附录、平面图形的几何性质
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《材料力学》课程讲解课件附录I平面图形几何性质
解：
y
d
S x
yd A
A
2 yb( y) d y
0
b(y)
C
xc
yc
d
2 y2
R2 y2 d y d3
0
12
x
d
yc
Sx A
d3 12 πd 2 8
2d 3π
b( y) 2 R2 y2
29
yc
Sx A
d3 12 πd 2 8
2d 3π
y
2、求对形心轴 xc 的惯性矩
Ix
πd 4 64 2
3、惯性积是对轴而言。
y
z
dA
4、惯性积的取值为正值、负值、零。
y
5、规律：
o
z
20
5、规律：
Izy
zydA
A
0
y
dA z z dA
y
y
z
o
两坐标轴中，只要有一个轴为图形的对称轴，则 图形这一对坐标轴的惯性积为零。
21
对比记忆 静矩、形心；惯矩和惯性半径；它们都是反映截
面面积关于坐标轴分布情况的物理量。 静矩=（面积）（形心坐标） 惯矩=（面积）（惯性半径）2
z
o
dA y
z
全面积对z轴的惯性矩: I z y2dA,
2 z2 y2
全面积对y轴的惯性矩: I y A z2dA
A
15
Iz y2dA, I y z2dA
A
A
y
z
dA
y
o
z
2、量纲：［长度］4；单位：m4、cm4、mm4。 2 z2 y2
3、惯性矩是对轴而言（轴惯性矩）。
A
附录(惯性矩、静矩)
在一组平行的轴中，图形 在一组平行的轴中， 对其形心轴的惯性矩最小。 对其形心轴的惯性矩最小。
O
记住图形对形心轴的惯性矩， 记住图形对形心轴的惯性矩，便可求出对所有 平行于此形心轴的各轴的惯性矩。 平行于此形心轴的各轴的惯性矩。 为形心坐标，注意其正负号。 惯性积公式中 a, b 为形心坐标，注意其正负号。
附录 平面图形的几何性质
几何性质——只与横截面的几何形状和尺 只与横截面的几何形状和尺 几何性质 寸 有关的某些几何量， 有关的某些几何量，对杆件的应力和变形 起 着重要作用，如横截面面积A， 着重要作用，如横截面面积 ，圆轴横截面 F Fl N 拉压杆 对圆心的极惯性矩I σ= 对圆心的极惯性矩 P等。∆l = N A EA 圆轴扭转
材料力学
中南大学土木建筑学院
8
组合图形的静矩和形心有如下公式
S y = ∑ Ai zCi ； S z = ∑ Ai yCi
i =1 i =1
n
n
yC =
∑Ay
i =1 i
n
Ci
A
； zC =
∑Az
i =1
n
i Ci
A
材料力学
中南大学土木建筑学院
9
组合图形的静矩和形心
z Ⅰ
C1(yC1, zC1) C (yC ,zC)
I y + Iz I y − Iz 主惯性轴 Iy = + cos 2α − I yz sin 2α 的意义 1 2 2
对α求导
d Iy1 dα
即
材料力学
=−2
Iy − Iz 2
sin2 −2Iyz cos2 =−2Iy1z1 = 0 α α
主惯性轴就是使得图形的 惯性矩取极值时的坐标轴
O
记住图形对形心轴的惯性矩， 记住图形对形心轴的惯性矩，便可求出对所有 平行于此形心轴的各轴的惯性矩。 平行于此形心轴的各轴的惯性矩。 为形心坐标，注意其正负号。 惯性积公式中 a, b 为形心坐标，注意其正负号。
附录 平面图形的几何性质
几何性质——只与横截面的几何形状和尺 只与横截面的几何形状和尺 几何性质 寸 有关的某些几何量， 有关的某些几何量，对杆件的应力和变形 起 着重要作用，如横截面面积A， 着重要作用，如横截面面积 ，圆轴横截面 F Fl N 拉压杆 对圆心的极惯性矩I σ= 对圆心的极惯性矩 P等。∆l = N A EA 圆轴扭转
材料力学
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8
组合图形的静矩和形心有如下公式
S y = ∑ Ai zCi ； S z = ∑ Ai yCi
i =1 i =1
n
n
yC =
∑Ay
i =1 i
n
Ci
A
； zC =
∑Az
i =1
n
i Ci
A
材料力学
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9
组合图形的静矩和形心
z Ⅰ
C1(yC1, zC1) C (yC ,zC)
I y + Iz I y − Iz 主惯性轴 Iy = + cos 2α − I yz sin 2α 的意义 1 2 2
对α求导
d Iy1 dα
即
材料力学
=−2
Iy − Iz 2
sin2 −2Iyz cos2 =−2Iy1z1 = 0 α α
主惯性轴就是使得图形的 惯性矩取极值时的坐标轴
附录A 平面图形的几何性质
n
同理 I y
I
， Ai
y
i 1
n
I xy
I Ai xy
i 1
§A.2 惯性矩 惯性积 惯性半径
三、惯性积的性质
y -x x
当 x 、 y 轴中有一轴为对称轴
A
A
I xy
xyd A
A
y
y
2n
lim
Ai 0
i 1
xi
yi Ai
O
x
n
lim Ai 0 i 1
xi yi Ai
xi
r2 z2
yC 0 Sz 0
z dA
z dz
dA 2 r2 z2 dz
r
y
Sy
zdA
A
r
z2
2r3 r2 z2 dz
o
0
3
zC
Sy A
2r3
r2
3 2
4r
3
§A.1 形心和静矩
三、组合图形的静矩和形心
组合图形——由几个简单图形（如矩形、圆形等） 组成的平面图形
如：
§A.1 形心和静矩
Ix Iy
2
4
I
2 xy
故
I I
x0 y0
Ix
2
Iy
1 2
(Ix
I
y
)2
4
I
2 xy
§A.4 转轴公式 主惯性矩
4.主惯性矩的性质
当Ix1取极值时，对应的方位为1
令 dI x1
d
(I x I y )sin 21 2I xy cos 21 0
1
得到
tg21
2I xy Ix I
材料力学平面图形的几何性质
y
c
h
b
z
例 试拟定下图旳形心。
y 10
C2
120
c(19.7;39.7)
C1
80 图（a）
解：1、图形分割及坐标如图（a）
A1 700, z1 45, y1 5
A2 1200, z2 5, y2 60
2、求形心
zc
zi Ai
z 1
A1
z
2
A2
A
A1 A2
z
45 700 51200 19.7(mm) 700 1200
yc
yi Ai y1 A1 y2 A2
A
A1 A2
5 700 601200 39.7(mm)
700 1200
11
§4.3 惯性矩和惯性积 1 惯性矩
I z
y 2 dA
A
I y
z 2 dA
A
量纲：m4、mm4。 惯性矩是对轴而言。 惯性矩旳取值恒为正值。
y
dA A
y
ρ
0
z
z
已知：矩形 b h
12
64 4
24
I yc
I 矩yc
I圆yc
(1.5d )3 2d 12
d 4
64
0.513d 4
Y（对称轴）
d yc O
z1
Z（矩形旳对称轴）
2d
zc
b
25
作业 • 4.2 • 4.7
yz dA
图形对y、z两轴旳惯性积
I yz yzdA A
y z
dA
y z
惯性积则可能为正值，负值， 也可能等于零。
I yz
yzdA
A
材料力学(附录))
单位：cm
40 10
20 y
1
C2
15 单位：cm
I
y
I
y
i
I
y1
Iy2
I
y1
1
0203 12
0.67104(cm4)
I
y
2
40153 12
1.13104 (cm4 )
x
I y I y1 I y2
y
x1
(0.671.13)104
1.8104 (cm4 )
[例] 计算图示图形对其形心轴x轴的惯性矩。
三、惯性半径：
I x ix2 A
I
y
i
2 y
A
ix和iy分别称为图形对于x轴和y轴的惯性半径。
ix
Ix A
,
iy
Iy A
圆截面：
d 4
ix
I x 64
A
d 2
d 4
4
四、组合图形的惯性矩：
y 1
2 C
3
Ix y2dA
A
y2dA
x
Ai
Ix i
Ix Ixi Iy Iyi
y 1
Cx
§I–3 惯性积
y
Ix Ix i Ix1 Ix2
x1
I
x1
20103 12
2010(4526.25) 2
7.2104(cm4)
40 10
20 y
1
C2
ax
y
x1
15
I
x
2
15403 12
1540(26.2520)
2
10.3104 (cm4 )
Ix Ix1 Ix2 (7.2 10.3)104 17.5104 (cm4 )
材料力学平面图形的几何性质
平面图形的剪切中心和弯曲中心
剪切中心：平面图形中，剪切中心是剪切面上各点剪切应变之和为零的点，与该点距离最近的各 点组成的剪切面称为剪切面。
弯曲中心：平面图形中，弯曲中心是弯曲面上各点弯曲应变之和为零的点，与该点距离最近的各 点组成的弯曲面称为弯曲面。
刚性特性：平面图形在剪切和弯曲变形下，其几何形状和尺寸保持不变的性质称为刚性特性。
剪切中心和弯曲中心在平面图形中的作用：在平面图形中，剪切中心和弯曲中心是确定平面图形 在剪切和弯曲变形下应力和应变分布的关键点，对于分析平面图形的受力特性和稳定性具有重要 意义。
平面图形的抗扭刚度和抗弯刚度
抗扭刚度：表示材料 抵抗扭转变形的能力， 与平面图形的几何形 状和尺寸有关。
抗弯刚度：表示材料 抵抗弯曲变形的能力， 与平面图形的几何形 状、尺寸和材料本身 的弹性模量有关。
计算方法：根据 几何学原理，可 以通过平面图形 的边长、角度等 参数计算面积和
周长
平面图形的形心、质心和重心
形心：平面图形 中所有点组成的 面积的平均位置， 表示图形的几何 中心。
质心：平面图形 中所有点组成的 物质质量的平均 位置，表示图形 的质量中心。
重心：平面图形 中所有点组成的 重力场强度的平 均位置，表示图 形的重力中心。
平面图形稳定性分析的方法：通过力学分析、数学建模、实验测试等方法，对平面图形的稳定性 进行分析。
平面图形稳定性在工程中的应用：广泛应用于桥梁、建筑、机械等领域，以确保结构的稳定性和 安全性。
平面图形失稳的临界力和临界应力
定义：临界力是 指使平面图形失 稳的最小外力， 而临界应力则是 指在该外力作用 下，平面图形达 到失稳状态时的 应力值。
平面图形的动力学特性
平面图形的几何性质
——材料力学教案§A-1 引言不同受力形式下杆件的应力和变形，不仅取决于外力的大小以及杆件的尺寸，而且与杆件截面的几何性质有关。
当研究杆件的应力、变形，以及研究失效问题时，都要涉及到与截面形状和尺寸有关的几何量。
这些几何量包括：形心、静矩、惯性矩、惯性半径、极惯性短、惯性积、主轴等，统称为“平面图形的几何性质”。
研究上述这些几何性质时，完全不考虑研究对象的物理和力学因素，作为纯几何问题加以处理。
§A-2 静矩、形心及相互关系任意平面几何图形如图A-1所示。
在其上取面积微元dA ，该微元在Oxy 坐标系中的坐标为x 、y 。
定义下列积分：⎰=Ax A y S d ⎰=Ay A y S d （A-1）分别称为图形对于x 轴和y 轴的截面一次矩或静矩，其单位为3m 。
如果将dA 视为垂直于图形平面的力，则ydA 和zdA 分别为dA 对于z 轴和y 轴的力矩；x S 和y S 则分别为dA 对z 轴和y 轴之矩。
图A-1图形的静矩与形心图形几何形状的中心称为形心,若将面积视为垂直于 图形平面的力，则形心即为合力的作用点。
设C x 、C y 为形心坐标，则根据合力之矩定理⎭⎬⎫==C y C x Ax S Ay S (A-2)或⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫====⎰⎰A ydA AS y A xdA A S x A x CAyC (A-3) 这就是图形形心坐标与静矩之间的关系。
根据上述定义可以看出：1.静矩与坐标轴有关，同一平面图形对于不同的坐标轴有不同的静矩。
对某些坐标轴静矩为正；对另外某些坐标轴为负；对于通过形心的坐标轴，图形对其静矩等于零。
2.如果已经计算出静矩，就可以确定形心的位置；反之，如果已知形心位置，则可计算图形的静矩。
实际计算中，对于简单的、规则的图形，其形心位置可以直接判断。
例如矩形、正方形、圆形、正三角形等的形心位置是显而易见的。
对于组合图形，则先将其分解为若干个简单图形(可以直接确定形心位置的图形)；然后由式(A-2)分别计算它们对于给定坐标轴的静矩，并求其代数和；再利用式(A-3),即可得组合图形的形心坐标。
材料力学附录I 平面图形的几何性质2形心主轴和形心主惯性矩
i1
i1
i1
材料力学 附录I 平面图形的几何性质
例I-4-1：已知三角形对底边(x1轴)的惯性矩为bh3/12，
求其对过顶点的与底边平行的x2轴的所以不
x2
能直接使用平行移轴公式，需先求出 三角形对形心轴xC的惯性矩，再求对
h xC
h/3
x1
x2轴的惯性矩，即进行两次平行移轴
I
A2 zc
60 1003
12
50 44.72
60 100
404 64
50 44.7
202
202
4.24106 mm4
材料力学 附录I 平面图形的几何性质
§I-5 转轴公式 主惯性轴*
一、 惯性矩和惯性积的转轴定理
y
x1 y1
x cos y sin x sin y cos
材料力学 附录I 平面图形的几何性质
y
1．先求截面的 形心轴
A2
取参考坐标系如图，则：
A1
zc
yc
60100 50 60 100
202 202
70
44.7mm
yc z 2．求截面对形心轴的惯性矩：
I yc
Iy
100 603 12
404 64
1.67 106 mm4
I zc
I A1 zc
12
64 4
d
y
yC
x1
I
yC
I
矩xC
I圆xC
(1.5d )32d 12
d 4
64
0.513
d
4
I xCyC0
2d
O
xC yC轴便是形心主轴
x xC
I xC、I yC便是形心主惯性矩
附录平面图形.ppt
z
y dA
A
z
I yz
yzdA
A
图形对y、z两轴的惯性积
单位：m4
讨论
（1） I yz 可0；0；0；
o
y
（2）若坐标轴y或z中有一根是图形的对称轴，则：
Iyz 0
材料力学
平面图形的几何性质 z
AII AI
AIII AIV
y
yzdA yzdA
AI
AII
yzdA yzdA
AIII
材料力学
平面图形的几何性质
例如: A AI AII AIII
则
I y
z 2 dA
A
z2dA z2dA z2dA
AI
AII
AIII
I yI I yII I yIII m I yi
同理
i 1
z I
II
y
III
m
m
m
m
I z I zi , S y S yi, Sz Szi , I yz I yzi
dz z h
同理
解：（1） Sz 0, S y 0.
c
h
y
（2） I y
z2dA
A
2 h
z 2bdz
h
2
b
b z3 2 1 bh3
3 h 12
2
Iz
y2dA
A
1 hb3 12
iy
I y 3 h, A6
材料力学
iz
Iz 3 b A6
平面图形的几何性质
（3）
I yz
yzdA
1 2 (Iy
Iz ) sin 20
I yz cos20
0
y dA
A
z
I yz
yzdA
A
图形对y、z两轴的惯性积
单位：m4
讨论
（1） I yz 可0；0；0；
o
y
（2）若坐标轴y或z中有一根是图形的对称轴，则：
Iyz 0
材料力学
平面图形的几何性质 z
AII AI
AIII AIV
y
yzdA yzdA
AI
AII
yzdA yzdA
AIII
材料力学
平面图形的几何性质
例如: A AI AII AIII
则
I y
z 2 dA
A
z2dA z2dA z2dA
AI
AII
AIII
I yI I yII I yIII m I yi
同理
i 1
z I
II
y
III
m
m
m
m
I z I zi , S y S yi, Sz Szi , I yz I yzi
dz z h
同理
解：（1） Sz 0, S y 0.
c
h
y
（2） I y
z2dA
A
2 h
z 2bdz
h
2
b
b z3 2 1 bh3
3 h 12
2
Iz
y2dA
A
1 hb3 12
iy
I y 3 h, A6
材料力学
iz
Iz 3 b A6
平面图形的几何性质
（3）
I yz
yzdA
1 2 (Iy
Iz ) sin 20
I yz cos20
0
第四章 平面图形的几何性质
D
12
组合图形的惯性矩：
I y I yi
i 1
n
I z I zi
i 1
n
空心圆截面：
I y Iz
D4 d 4
64
D 1 64
4 4 4 4
d ( ) D
z
Ip
D4 d 4
32
D 1 32
D
O d
zC z
100
1
20
C(yc,zc) 140 2
yC
zc
(2)求T形截面对形心轴yC的惯性矩Iyc
I y c I y i ( I y ci a Ai )
2 i
20
y
100 203 20 1403 2 ( 150 103.3 ) 100 20 ( 103.3 70 )2 20 140 12 12
A
I y1z1 y1 z1 dA
A
y
y1 cos cos cos sin sin y cos z sin y1 y cos z sin z1 y sin z cos
23
z1 z
z
形心主轴唯一
y
形心轴 y’、z’ 不是形心主轴 形心轴 y、z 是形心主轴
C
y
15
公式(formula of parallel axis)
已知：Iyc，Izc，Iyczc；求： Iy，Iz，Iyz。
z
b
y zc
2 2 I zc y1 dA I yc z1 dA A A
形心坐标为:
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n
S x Ai yi
i 1
n
A xdA S y x A A
A ydA S x y A A
计算组合截面形心坐标的公式如下：
n
n
x
Ai xi
i 1 n
y
Ai yi
i 1 n
Ai
i 1
Ai
i 1
8
例 1-1
试确定图示截面形心 C 的位置。
解： 将截面分为 1，2
dA
A xdA S y x A A
A ydA S x y A A
c
y
y
o
x x
x
S y Ax
Sx Ay
4
y
dA
S y Ax
y
c
y
o
x x
Sx Ay
x
若截面对某一轴的静矩等于零，则该轴必过形心。
截面对通过形心的轴的静矩等于零。
5
二,
组合截面
由几个简单图形组成的截面称为组合截面
所以
Ix Iy
x
Ix Iy
πd 64
4
17
§I—4 平行移轴公式
一 。平行移轴公式
y
x, y ——任意一对坐标轴
a
C(a,b)
C —— 截面形心
o
b
x
（a , b ) _____ 形心 c 在 xoy 坐标系下的 坐标。
18
则平行移轴公式为
2 I x I xc a A
y
yc
Iy Iy b A
i 1
20
n
例 4 -1 求梯形截面对其形心轴 yc 的惯性矩。 解：将截面分成两个截面。 截面的形心必在对称轴 zc 上。
取过矩形 2 的形心且平行于底边的轴作为参考轴记作 y轴 。
A1 20 140 A2 100 20
Z 1 80 Z2 0
140
zc
20
所以截面的形心坐标为
2
y
10
x1 5mm
y1 60mm
矩形 2
2 10 70 700 mm A2
1
x1
y1
o
2
y2
10
x2 10
70 45mm 2
x2
80
x
y2 5mm
11
所以
x
A1 x1 A2 x 2 37500 20mm A1 A2 1900
A1 y1 A2 y 2 75500 y 40mm A1 A2 1900
y
截面对 x , y 轴的惯性积为
dA y x
I xy A xydA
x
0
14
惯性矩的数值恒为正，惯性积则可能为正值，负值，也可能 为零。 截面对 x , y 轴的惯性半径（回转半径） 为
y
iy
Iy A
Ix ix A
dA
dA y
dx
dx
x
15
例 2 _ 1 求矩形截面对其对称轴 x , y 轴的惯性矩。 解：
20
A1 Z 1 A2 Z 2 46.7mm ZC A1 A2
yc
1
y
2
21
100
I I
1 yC
1 2 20 1403 20 140 (80 46.7) 12 1 2 100 203 100 20 ( 46.7 ) 12
1 yC 2 yC 6 4
截面各组成部分对于某一轴的静矩之代数和，就等于该 截面对于同一轴的静矩。
6
组合截面静矩的计算公式为
S y Ai xi
i 1
n
S x Ai yi
i 1
n
其中： Ai —— 第 i个简单截面面积
( xi yi ) —— 第 i个简单截面的形心坐标
7
S y Ai xi
i 1
I x A y dA
2
dA = b dy
I x A y dA by dy
2 2 h 2 h 2
bh 12
3
y
Iy
hb 12
3
dy h C y
x
b
16
例 2 - 2 求圆形截面对其对称轴的惯性矩 。 解：因为截面对其圆心 O 的极惯性矩为
IP
4 d
32
y
I x I y I
2
c
a o
C(a,b)
xc
I xy I xc yc abA
b
x
19
二。组合截面的惯性矩
惯性积
Ixi , Iyi , I xyi —— 第 i个简单截面对 x ,y 轴的惯性矩、
惯性积。
I x I xi
i 1
n
n
组合截面的惯性矩，惯性积
I y I yi
i 1
I xy I xyi
y 10
1
x1
y1
o
2
y2
10 x
x2
80
12
§ I—2
定义：
惯性矩和惯性半径
y dA y
截面对 o 点的极惯性矩为
I
P
A
2
dA
x
x
截面对 y ,x轴的惯性矩分别为
0
I y A x dA I x A y dA
13
2
2
2 2 x2 y
所以
I = Ix + Iy
2 yC
I yC I I 12.12 10 m
zc
20
140
Iy Iy b A
2
c
yc
1
ZC
y
20
100
2
22
附录 I
平面图形的几何性质
1
§ I-1 静矩和形心
§ I -2 惯性矩和惯性半径
§ I-4 平行移轴公式
2
§I-1 静矩和形心
一, 定义
截面对 y , x 轴的静矩为：
y
dA y
S y A xdA
S x A ydA
o
x
x
静矩可正，可负，也可能等于零。
3
y
截面的形心 C 的坐标公式为：
两个矩形。
y
10
1
取 x 轴和 y 轴分别与截面 的底边和左边缘重合
o
8092ຫໍສະໝຸດ 10 xy10
A1 x1 A2 x2 x A1 A2 Ai
i 1 n i 1
Ai xi
n
1
x1
A1 y1 A2 y 2 y A1 A2
y1
o
2
y2
10 x
x2
80
10
矩形 1
A1 10 120 1200 mm