苏教版高中数学必修4高一向量同步练习4(平面向量基本定理)

平面向量的基本定理及坐标表示、选择题1、若向量a=（1,1）,b=(1, - 1), c =( —1,2),则c 等于()13 1 3 . 3 1 -3 1 ,A、一a+ —bB、一a — bC、 a — bD、a+ b22 2 2 2 222 2、已知，A (2, 3), B （—4, 5）,则与AB共线的单位向量是( )—r 3.10.10 3.10 10 , 3 1010、A、e (, ---- -)B、e (——, ------ )或( -------- ,)101010 10 1010C、e (6,2)D、e ( 6,2)或(6,2)—*3、已知a，(1,2),b(3,2),ka b与a3b垂直时k值为( )A、171B、18C、19D、204、已知向量OP=(2, 1), OA =(1 , 7), OB =(5 , 1),设X是直线OP上的一点（O为坐标原点），那么XA XB的最小值是()A、-16B、-8C、0D、45、若向量m (1,2),n（2,1）分别是直线ax+(b —a)y —a=0 和ax+4by+b=0 的方向向量，贝U a,b的值分别可以是( )A、 1 , 2B、—2 , 1C、 1 , 2D、2 , 16、若向量a=(cos,sin),b=(cos ,sin）,则a与b 一定满足( )A、a与b的夹角等于一B、(a + b)丄(a —b)C、a// bD、a 丄b7、设i , j分别是x轴，y轴正方向上的单位向量，OP 3cos i3sin j ,(0,?),OQ i。

若用来表示OP与OQ的夹角，贝U 等于（）A、B、—2c、—2D、8、设0 2 ，已知两个向量OR cos , sin , OP2 2 sin , 2 cos ，则向量P-l P2长度的最大值是( )A、、2B、.3C、32D、二、填空题9、已知点A(2 , 0), B(4 , 0)，动点P在抛物线y2=- 4x运动，则使AP BP取得最小值的点P的坐标是____________________________________ 、10、把函数y 、.3cosx si nx的图象，按向量a m,n (m>0)平移后所得的图象关于y 轴对称，则m 的最小正值为____________________ 、11、_____________________________________________________________ 已知向量OA ( 1,2),OB (3,m),若OA AB,则m ________________________________ 、三、解答题12、求点A (- 3, 5)关于点P (- 1, 2)的对称点A、13、平面直角坐标系有点P(1, cosx), Q (cosx,1), x [,].4 4(1)求向量OP和OQ的夹角的余弦用x表示的函数f(x);(2)求的最值、14、设OA (2sinx,cos2x),OB ( cosx, 1)，其中x€ [0, 卜2(1)求f(x)= OA OB的最大值和最小值;um uuu uuu⑵当OA丄OB，求| AB卜215、已知定点A(0,1)、B(0, 1)、C(1,0)，动点P 满足：AP BP k|PC|、量P-l P2长度的最大值是( )(1)求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的图形；(2)当k 2时，求| AP BP |的最大值和最小值、4min14、解：⑴ f(x)= OAOB = -2sinxcosx+cos2x= 2cos(2x、选择题参考答案I 、 B ; 2、B ; 3、C ; 4、B ; 5、D ; 6、B ; 7、D ; 8、C 二、 填空题 9、 (0, 0)510、 m 一 6II 、 4 三、 解答题12、解：设A3 x2，则有L 25 y 2解得1、所以 A/(1，- 1)o13、解：(1)OP OQ 2cosx,|OP||OQ| 12cos x, cosOP OQ |OP| |OQ|2cosx 1 cos 2 xf (x)(2) COSf(x)2cosx 1 2cos2 cosxcosxcosx2T 1]2 cosx3.2cosx◎ f(x) 1,即 口33cos 1max2(2 arccos一 3AP BP(x, y1) (x, y 1) (2x,2y) •••I AP BP |5■/ 0$w ,_w2+— <— 2 4 4 4• ••当 2X+ —= 一，即 x=0 时，f(X )max =1 ；4 4当 2x+ 一= n,即 x= — n 时，f(x) min =- 2、4 8⑵ OA OB 即 f(x)=0 , 2x+ 一 = — , • x= 一、428此时 | AB |, (2sinx cosx)2 (cos2x 1)2=.4sin 2 x cos 2 x 4sin xcosx (cos2x 1)27 72— —cos2x 2sin2x cos 2x 2 22 7cos — 2sin — cos2 — 2 2 4 44=1 ■16 3.2、2的圆、|1 k|, 方 程化 为 (x 2)2 y 2115、解:(1 ）设动点P 的坐标为(x, y),则AP(x,y 1) , BP(x,y 1),PC (1 x,y)AP BP k | PC |2,• x 2y 21 k (x2 21) y即 (1 k)x 2(1 k)y 22kx k 10。

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作高一向量同步练习4（平面向量基本定理）一、选择题1、若ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，设OA =a ，OB =b ，则向量BC 等于A ．a +bB ．－a －bC ．－a +bD ．a －b2、已知向量a 和b 不共线，实数x 、y 满足 (2x ﹣y)a +4b =5a +(x ﹣2y)b ，则x+y 的值等于 （ ）A ．－1B ．1C ．0D ．33、若 5→ AB + 3→ CD =0，且 |→ AD | = |→ BC |，则四边形ABCD 是 （ ）A ． 平行四边形B ． 菱形C ． 等腰梯形D ． 非等腰梯形4、设 M 是△ABC 的重心，则→ AM = （ ）A ． → AC －→ AB 2 B ． → AB + → AC 2 C ． → AC －→ AB 3D ． → AB + → AC 3 5、设1e 和2e 为不共线的向量，则21e ﹣32e 与k 1e +λ2e （k ．λ∈R ）共线的充要条件是 （ ）A ．3k+2λ=0B ．2k+3λ=0C ．3k ﹣2λ=0D ．2k ﹣3λ=06、D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 上的中点，且b CA a BC ==,，给出下列命题，其中正确命题的个数是 ①b a AD --=21 ② b a BE 21+= ③CF =－b a 2121+ ④0=++CF BE AD A ．1 B ．2 C ．3 D ．4N A B DM C二、填空题1、设向量1e 和2e 不共线，若x 31e +()y -102e =()74-y 1e +x 22e ，则实数=x ，=y ．2、设向量1e 和2e 不共线，若k 1e +2e 与1e 4-2e 共线，则实数k 的值等于 ．3、若1e 和2e 不共线，且213e e a +-=，2124e e b +=，21123e e c +-=，则向量a 可用向量b 、c 表示为=a ．4、设OA 、OB 不共线，点P 在AB 上，若OB OA OP μλ+=，那么=+μλ ． 三、解答题 1、设21,e e 是两不共线的向量，已知2121212,3,2e e CD e e CB e k e AB -=+=+=，①若C B A ,, 三点共线，求k 的值，②若A ，B ，D 三点共线，求k 的值．2、设21,e e 是两不共线的向量，若21212133,82,e e CD e e BC e e AB -=+=+=，试证D B A ,, 三点共线．3、如图，ABCD 中，点M 是AB 的中点， CM 与BD 相交于点N ，若BD BN λ=，求实数λ的值．4、三角形ABC 中，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，且BD=41BC ，CE=31CA ，AD 与BE 交于R 点，求BERE AD RD 及的值．参考答案一、选择题BBC DAD二、填空题1、3=x 、4=y 。

2.3.1 平面向量基本定理1.若ABCD 是正方形，E 是DC 边的中点，且,AB a AD b ==，则BE 等于（ ） A .12b a + B .12b a - C .12a b + D . 12a b -2. 若O 为平行四边形ABCD 的中心，AB = 4e 1，BC = 6e 2，则3e 2－2e 1等于（ ）A .AOB .BOC .COD .DO 3. 已知ABC ∆的三个顶点,,A B C 及平面内一点P ，满足0PA PB PC ++=，若实数λ满AB AC AP λ+=，则λ的值为（ ）A .2B .32C .3D .64. 在ABC △中，AB =c ，AC =b .若点D 满足2BD DC =，则AD =（ ）A .2133+b cB .5233-c bC .2133-b cD .1233+b c 5. 如右图在平行四边形ABCD 中，a AB =，b AD =，NC AN 3=，M 为BC 的中点，则=MN （ ）A .a b 2141- B .b a 2141- C .)(41a b - D .)(41b a - 6.如右图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点， D E 与A F 相交于点H ， 设AH b BC a AB 则,,==等于_____.7.已知D 为ABC ∆的边BC 的中点，ABC ∆所在平面内有一点P ，满足0PA BP CP ++=，设||||AP PD λ=，则λ的值为______ 8.在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，或AF AE AC μλ+=，其中λ，μR ，则λ+μ= _________.ACDOM NbBEC A DHF9．在 ABCD 中，设对角线=a ，=b 试用a， b 表示，10．设1e ， 2e 是两个不共线向量，已知=21e +k 2e ， =1e +32e ，=21e 2e ， 若三点A ， B ， D 共线，求k 的值参考答案1.B2.B3.C4.A5.C6.2455+a b 7.2 8.34 9. ==21a ，=21=21b ，∴=+=-=21a -21b，=+=+=21a +21b。

2.3.1 平面向量基本定理双基达标 限时15分钟1．若e 1，e 2是平面内所有向量的一组基底，则下面的四组向量中不能作为一组基底的是________． ①e 1－2e 2和e 1＋2e 2；②e 1与3e 2；③2e 1＋3e 2和－4e 1－6e 2；④e 1＋e 2与e 1.解析 2e 1＋3e 2与－4e 1－6e 2共线不能做为基底．答案 ③2．若a ，b 不共线，且(λ－1)a ＋(μ＋1)b ＝0(λ，μ∈R )，则λ＝________，μ＝________. 解析 λ－1＝0，μ＋1＝0，∴λ＝1，μ＝－1.答案 1 －13．设e 1、e 2是平面内两个向量，则有________．(写出正确的所有序号)①e 1、e 2一定平行；②e 1、e 2的模一定相等；③对于平面内的任意向量a 都有a ＝λe 1＋μe 2(λ，μ∈R )；④若e 1、e 2不共线，则对平面内的任一向量a 都有a ＝λe 1＋μe 2(λ，μ∈R )．答案 ④4．设e 1、e 2是表示平面内所有向量的一组基底，则向量a ＝e 1＋λe 2与向量b ＝－e 1＋2e 2共线的条件是λ＝________.解析 由于a ∥b ，因此只需基底对应系数成比例即可，即1－1＝λ2，∴λ＝－2. 答案 －25．设O 是平行四边形ABCD 两对角线的交点，下列向量组：①AD →与AB →；②DA →与BC →；③CA →与DC →；④OD →与OB →，其中可作为这个平行四边形所在平面表示它的所有向量的基底是________．(写出正确的所有序号)答案 ①③6.如图所示，设M ，N ，P 是△ABC 三边上的点，且BM →＝13BC →，CN →＝13CA →，AP →＝13AB →，若AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 将MN →、NP →，PM →表示出来．解 MN →＝CN →－CM →＝13CA →－23CB →＝－13AC →－23(AB →－AC →)＝13AC →－23AB →＝13b －23a . 同理可得NP →＝13a －23b ，PM →＝－MP →＝－(MN →＋NP →)＝13a ＋13b . 综合提高 限时30分钟7．若e 1，e 2是表示平面所有向量的一组基底，且a ＝3e 1－4e 2，b ＝6e 1＋k e 2不能作为一组基底，则k 的值为________．解析 当a ∥b 时，a ，b 不能作为一组基底，故存在λ，使得a ＝λb ，即3e 1－4e 2＝λ(6e 1＋k e 2)，∴6λ＝3，且kλ＝－4.解得λ＝12，k ＝－8. 答案 －88．如图所示，在△ABC 中，P 为BC 边上的一点，且BP →＝32PC →， (1)用AB →、AC →为基底表示AP →＝________.(2)用AB →、PC →为基底表示AP →＝________.答案 (1)25AB →＋35AC → (2)AB →＋32PC → 9．设向量m ＝2a －3b ，n ＝4a －2b ，p ＝3a ＋2b ，试用m ，n 表示p 的结果是________(其中a ，b 不共线)．解析 设p ＝x m ＋y n ，即3a ＋2b ＝2x a －3x b ＋4y a －2y b∴3a ＋2b ＝(2x ＋4y)a ＋(－3x －2y)b由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋4y ＝3，－3x －2y ＝2得：x ＝－74，y ＝138.∴p ＝－74m ＋138n 答案 p ＝－74m ＋138n 10．在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ、μ∈R ，则λ＋μ＝________.解析 设AB →＝a ，AD →＝b 则AE →＝12a ＋b ，AF →＝a ＋12b ，又∵AC →＝a ＋b ∴AC →＝23(AE →＋AF →)即λ＝μ＝23∴λ＋μ＝43. 答案 4311．如图在▱ABCD 中，M 、N 分别为DC 、BC 的中点，已知AM →＝c ，AN →＝d ，试用c 、d 表示AB →和AD →.解 设AB →＝a ，AD →＝b ，则由M 、N 分别为DC 、BC 的中点可得：BN →＝12b ，DM →＝12a . AD →＋DM →＝AM →，即b ＋12a ＝c .① AB →＋BN →＝AN →，即a ＋12b ＝d .② 由①②可得a ＝23(2d －c )，b ＝23(2c －d )， 即AB →＝23(2d －c )，AD →＝23(2c －d )． 12．若e 1，e 2是不共线向量，且AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2.(1)若A 、B 、D 三点共线，求实数k 的值；(2)问A 、B 、C 三点能否共线？解 (1)BD →＝CD →－CB →＝e 1－4e 2∵A 、B 、D 共线，故存在实数λ使AB →＝λBD →得⎩⎪⎨⎪⎧ 2＝λ，k ＝－4λ，得k ＝－8. (2)设实数t 使AB →＝tCB →，则⎩⎪⎨⎪⎧2＝t ，k ＝3t ， 故存在k ＝6时，AB →＝2CB →，当k ＝6时，A 、B 、C 三点共线．13．(创新拓展)已知向量a ＝2e 1－3e 2，b ＝2e 1＋3e 2，其中e 1，e 2不共线，向量c ＝2e 1－9e 2，问是否存在这样的实数λ，μ，使向量d ＝λa ＋μb 与c 共线？解 假设存在λ，μ使d 与c 共线，即d ＝k c (k ∈R )．∵d ＝λa ＋μb ＝(2λ＋2μ)e 1＋(3μ－3λ)e 2k c ＝2k e 1－9k e 2∴⎩⎪⎨⎪⎧2λ＋2μ＝2k ， ①3μ－3λ＝－9k. ② 由①②知λ＝－2μ.即只要λ＝－2μ，即能使d 与c 共线．。

2.2 向量的线性运算2.2.1 向量的加法一、填空题1．已知向量a 表示“向东航行1 km ”，向量b 表示“向南航行1 km ”，则a ＋b 表示_______． ①向东南航行 2 km ②向东南航行2 km ③向东北航行 2 km ④向东北航行2 km2．在平行四边形ABCD 中，BC →＋DC →＋BA →＋DA →＝________.3. 如图所示，在平行四边形ABCD 中，BC →＋DC →＋BA →＝________.①AD → ②DB →③BC → ④CB →4．在四边形中，若AC →＝AB →＋AD →，则四边形ABCD 一定是________．5. 如图所示，在正六边形ABCDEF 中，若AB ＝1，则|AB →＋FE →＋CD →|＝________.6．如图在平行四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，下列结论正确的有________．①AB →＝CD →，BC →＝AD → ②AD →＋CO →＝BO →③AO →＋OD →＝AC →＋CD → ④AB →＋AD →＋BC →＝DA → 7．已知|a |＝3，|b |＝5，则向量a ＋b 模长的最大值是________．8．已知点G 是△ABC 的重心，则GA →＋GB →＋GC →＝________.二、解答题9. 如图：平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于O 点，P 为平面内任意一点．求证：P A →＋PB →＋PC →＋PD →＝4PO →.10．一艘船以5 km/h 的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度和船实际速度． 11. 如图所示，在平行四边形ABCD 的对角线BD 的延长线和反向延长线上取点F ，E ，使BE ＝DF .求证：四边形AECF 是平行四边形．三、探究与拓展12．在日本3·11大地震后，一架救援直升飞机从A地沿北偏东60°方向飞行了40 km到B地，再由B地沿正北方向飞行40 km到达C地，求此时直升飞机与A地的相对位置．答案1．① 2.0 3.①③ 4.平行四边形 5.2 6．②③ 7．88．09．证明 ∵P A →＋PB →＋PC →＋PD →＝PO →＋OA →＋PO →＋OB →＋PO →＋OC →＋PO →＋OD →＝4PO →＋(OA →＋OB →＋OC →＋OD →)＝4PO →＋(OA →＋OC →)＋(OB →＋OD →)＝4PO →＋0＋0＝4PO →.∴P A →＋PB →＋PC →＋PD →＝4PO →.10．解 如图所示，OA →表示水流速度，OB →表示船垂直于对岸的方向行驶的速度，OC →表示船实际航行的速度，∠AOC ＝30°，|OB →|＝5.∵四边形OACB 为矩形，∴|OA →|＝|AC →|tan 30°＝53， |OC →|＝|OB →|sin 30°＝10， ∴水流速度大小为5 3 km/h ，船实际速度为10 km/h.11．证明 AE →＝AB →＋BE →，FC →＝FD →＋DC →，因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AB →＝DC →，因为FD ＝BE ，且FD →与BE →的方向相同，所以FD →＝BE →，所以AE →＝FC →，即AE 与FC 平行且相等，所以四边形AECF 是平行四边形．12．解 如图所示，设AB →、BC →分别是直升飞机两次位移，则AC →表示两次位移的合位移，即AC →＝AB →＋BC →，在Rt △ABD 中，|DB →|＝20 km ，|AD →|＝20 3 km ，在Rt △ACD 中，|AC →|＝|AD →|2＋|DC →|2＝40 3 km ，∠CAD ＝60°，即此时直升飞机位于A 地北偏东30°，且距离A 地40 3 km 处．。

平面向量的基本定理（2）1．等腰直角三角形ABC 中，AB ⊥AC ，则AB u u u r 与BC u u u r 的夹角是________．2．AD 与BE 分别为△ABC 的边BC ，AC 上的中线，且AD u u u r ＝a ，BE u u u r ＝b ，则BC u u u r ＝3．如图，在矩形ABCD 中，若BC u u u r ＝5e 1，DC u u u r ＝3e 2，则OC u u u r ＝ （用e 1,e 2 来表示）4．A 、B 、O 是平面内不共线的三个定点，且OA u u u r ＝a ，OB u u u r ＝b ，点P 关于点A 的对称点为Q ，点Q 关于点B 的对称点为R ，则PR u u u r 等于 （用a,b 来表示）5．已知非零向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，向量a ，b 的夹角为120°，且|b |＝2|a |，则向量a 与c 的夹角为________．°6．如图所示，D 是BC 边的一个四等分点．若用基底AB u u u r ，AC u u u r 表示AD u u u r ，则AD u u u r ＝________________.7．D 、E 、F 分别为△ABC 的边BC 、CA 、AB 上的中点，且BC u u u r ＝a ，CA u u r ＝b ，给出下列结论：①AD u u u r ＝－12a －b ；②BF u u u r ＝a ＋12b ； ③CF u u u r ＝－12a ＋12b ；④EF u u u r ＝12a . 其中正确结论的序号为________．8．如图，已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，E 、F 分别是DC 、AB 的中点，设AD u u u r ＝a ，AB u u u r ＝b ，试用a ，b 表示DC u u u r ，EF u u u r ，FC u u u r .9．如图，平行四边形ABCD 中，AD u u u r ＝b ，AB u u u r ＝a ，M 为AB 中点，N 为BD 靠近B 的三等分点，求证：M 、N 、C 三点共线．答案：1.解析：作线段AB 的延长线AD ，则∠DBC 是AB u u u r 与BC u u u r 的夹角．又∠DBC ＝180°－∠ABC＝180°－45°＝135°.答案：135°2.解析：设AD 与BE 交点为F ，则AF u u u r ＝23a ，BF u u u r ＝23b . 由AB u u u r ＋BF u u u r ＋FA u u u r ＝0，得AB u u u r ＝23(a －b )， 所以BC u u u r ＝2BD u u u r ＝2(AD u u u r －AB u u u r )＝23a ＋43b .答案：23a ＋43b 3.解析：OC u u u r ＝12AC u u u r ＝12(AB u u u r ＋BC u u u r )＝12(DC u u u r ＋BC u u u r ) ＝12(5e 1＋3e 2)． 答案：12(5e 1＋3e 2) 4.解析：如图，a ＝12(OR u u u r ＋OQ uuu r )，b ＝12(OQ uuu r →＋OR u u u r )， 相减得b －a ＝12(OR u u u r －OP u u u r )． ∴PR u u u r ＝2(b －a )．答案：2(b －a )5.解析：由题意可画出图形，在△OAB 中，因为∠OAB ＝60°，|b |＝2|a |，所以∠ABO ＝30°，OA ⊥OB ，即向量a 与c 的夹角为90°.答案：906.解析：∵D 是BC 边的四等分点，∴BD u u u r ＝14BC u u u r ＝14(AC u u u r －AB u u u r ) ∴AD u u u r ＝AB u u u r ＋BD u u u r ＝AB u u u r ＋14(AC u u u r －AB u u u r ) ＝34AB u u u r ＋14AC u u u r . 答案：34AB u u u r ＋14AC u u u r 7.解析：如图，AD u u u r ＝AC u u u r ＋CD u u u r＝－b ＋12CB u u u r ＝－b －12a ，①正确； BE u u u r ＝BC u u u r ＋CE u u u r ＝a ＋12b ，②正确； AB u u u r ＝AC u u u r ＋CB u u u r ＝－b －a ，CF u u u r ＝CA u u r ＋12AB uu u r ＝b ＋12(－b －a )＝12b －12a ，③正确；④EF u u u r ＝12CB uu u r ＝－12a ，④不正确．答案：①②③8.解：∵DC ∥AB ，AB ＝2DC ，E 、F 分别是DC 、AB 的中点， ∴FC u u u r ＝AD u u u r ＝a ，DC u u u r ＝AF u u u r ＝12AB u u u r ＝12b .EF u u u r ＝ED u u u r ＋DA u u u r ＋AF u u u r＝－12DC u u u r －AD u u u r ＋12AB u u u r＝－12×12b －a ＋12b ＝14b －a .9.证明：在△ABD 中，BD u u u r ＝AD u u u r －AB u u u r ，因为AB u u u r ＝a ，AD u u u r ＝b ，所以BD u u u r ＝b －a .∵N 点是BD 的三等分点，∴BN u u u r ＝13BD u u u r ＝13(b －a )．∵BC u u u r ＝b ，∴CN u u u r ＝BN u u u r －BC u u u r ＝13(b －a )－b＝－13a －23b . ① ∵M 为AB 中点，∴MB u u u r ＝12a ，∴CM u u u r ＝－MC u u u r ＝－(MB u u u r ＋BC u u u r )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋b＝－12a －b . ② 由①②可得CM u u u r ＝32CN u u u r.由共线向量定理知CM u u u r ∥CN u u u r ，又∵CM u u u r 与CN u u u r 有公共点C ，∴C 、M 、N 三点共线．。

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作2015.5高一数学平面向量综合练习一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知平面向量)1,1(),1,1(-==b a ，则向量=-b a 2321（ ）Ａ．(21)--，Ｂ．(21)-，C ． (1)，-2D ．(1)-，22．已知(5,3),(1,2),m n →→=-=-且m n λ→→+与2n m →→+互相垂直，则实数λ的值等于( ) A.B. C. D.3．已知()()()的值为，则，且b a b a b a b a b a 223,22+∙-++==⊥（ ）A ． 10B ．11C ． 12D ．84．已知P 1（2，3），P 2（-1，4），且12P P 2PP =，点P 在线段P 1P 2的延长线上，则P 点的坐标为（ ）A ．（34，-35）B ．（-34，35） C ．（4，-5）D ．（-4，5）5．若a 是非零向量，且a ·b =a ·c ，则 （ ） A.b =c B.b ⊥c C.a ⊥(b -c ) D.b =c 或a ⊥(b -c )6．已知均为单位向量且j i j i ,⊥，j i b j i a λ+=-=,2，且b a ,的夹角为锐角，则λ的范围是（ ）83-38-3883A ．），（），（2122-⋃-∞- B ．），（∞+21C ．），（），（∞+⋃-32322 D ．），（21∞- 7．21,e e 是夹角为600 的两个单位向量，则.2322121的夹角与e e b e e a +-=+=为（ ） A ．300B ．600C ．1200D ．15008．通过A （-1，2），且平行于)2,3(=a 的直线方程为（ ）A ．3x+2y-1=0B ．3x-2y+7=0C ．2x+3y-4=0D ．2x-3y+8=09．已知A （2，3），B （-4，5）则与AB 共线的单位向量为（ ） A ．），（26- B ．），）或（，（2626-- C ．)1010,10103(-D ．)1010,10103()1010,10103(--或 10．若c b a ,,满足0=++c b a ，且,4||,1||,3||===c b a 则a c c b b a ⋅+⋅+⋅=( ) A ．-11 B ．-12 C ．-13 D ．-14二、填空题：（本题共4小题，每小题4分，共16分）11．已知b a ,满足1||||==b a 且3|23|=-b a ，则=+|3|b a _________12．)2,1(),4,2(),3,1(--=-=-=c b a若d c a c b a ),(2,24,4--首尾相接能围成四边形，则d =（ ） 13．非零向量()0||||AB ACAB AC BC AB AC +⋅=,满足，且21||||=∙AC AC AB AB 则△ABC 为________三角形（判断三角形形状）14. 下列命题中：(1)如果非零向量a 与b 的方向相同或相反，那么b a+的方向必与a 、b 之一的方向相同；(2)如果a 、b 均为非零向量，则b a +与b a+一定相等；(3) 2x =时，向量)1,(x a = , ),4(x b = 共线且方向相同；(4) ,,0c a b a a∙=∙≠则c b =其中假命题是 .15．已知)5,4(),2,1(),0,0(===B A O 且AB t OA OP +=（1）当t 为何值时，点P 在x 轴上？t 为何值时，P 在第二象限？（2）四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出t ，若不能，说明理由。

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作随堂练习：平面向量的基本定理（1）1．若AD 是△ABC 的中线，已知AB ＝a ，AC ＝b ，则AD 等于2．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，若AC ＝a ，BD ＝b ，则AE ＝3．已知▱ABCD 中∠DAB ＝30°，则AD 与CD 的夹角为4．已知向量a ，b 不共线，若AB ＝λ1a ＋b ，AC ＝a ＋λ2b ，且A ，B ，C 三点共线，则关于实数λ1，λ2满足的关系为__________．5．设e 1，e 2是平面内的一组基底，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则e 1＋e 2＝________a ＋________b .6．梯形ABCD 中，AB ∥CD ，M ，N 分别是DA ，BC 的中点，且DC AB ＝k ，设AD ＝e 1，AB＝e 2，以e 1，e 2为基底表示向量BC .答案：1.解析：AD ＝12(AB ＋AC )＝12(a ＋b )．答案：12(a ＋b )2.解析：如图，∵AE ＝12(AO ＋AD )，且AO ＝12a ，AD ＝AO ＋OD＝12a ＋12b ，∴AE ＝12(12a ＋12a ＋12b )＝12a ＋14b .答案：12a ＋14b3.解析：如图，AD 与CD 的夹角为∠ADC ＝150°. 答案：150°4.解析：∵A ，B ，C 三点共线，∴AB ＝k AC (k ≠0)．∴λ1a ＋b ＝k (a ＋λ2b )＝ka ＋kλ2b .又∵a ，b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝k ，1＝kλ2.∴λ1λ2＝1.答案：λ1λ2＝15.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，解得⎩⎨⎧ e 1＝13a －23b ，e 2＝13a ＋13b .故e 1＋e 2＝⎝⎛⎭⎫13a －23b ＋⎝⎛⎭⎫13a ＋13b＝23a ＋⎝⎛⎭⎫－13b .答案：23 －136.解：如图，因为AB ＝e 2，DC ∥AB 且DCAB ＝k ，所以DC ＝k AB ＝ke 2.因为AB ＋BC ＋CD ＋DA ＝0，所以BC ＝－AB －CD －DA ＝－AB ＋DC ＋AD ＝e 1＋(k －1)e 2.。

学业分层测评(十八) 平面向量基本定理(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．设O 是平行四边形ABCD 的两条对角线AC 与BD 的交点，有下列向量组：①AD →与AB →；②DA →与BC →；③CA →与DC →；④OD →与OB →.其中可作为这个平行四边形所在平面内其他所有向量的基底的是________．【解析】 如图所示，AD →与AB →为不共线向量，可以作为基底.CA →与DC →为不共线向量，可以作为基底.DA →与BC →，OD →与OB →均为共线向量，不能作为基底．【答案】 ①③2．已知向量a 和b 不共线，实线x ，y 满足向量等式(2x －y )a ＋4b ＝5a ＋(x －2y )b ，则x ＋y 的值等于________．【解析】 由平面向量基本定理得⎩⎨⎧ 2x －y ＝5，4＝x －2y ，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－1，∴x ＋y ＝1.【答案】 13．(2016·苏州高一检测)在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝________.【解析】 ∵AD →＝2DB →，∴CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →.又∵CD →＝13CA →＋λCB →，∴λ＝23. 【答案】 234．若e 1，e 2是表示平面所有向量的一组基底，且a ＝3e 1－4e 2，b ＝6e 1＋k e 2不能作为一组基底，则k 的值为________．【解析】 易知a ∥b ，故设3e 1－4e 2＝λ(6e 1＋k e 2)， ∴⎩⎨⎧3＝6λ，－4＝kλ，∴k ＝－8. 【答案】 －85．如图2-3-7所示，平面内的两条直线OP 1和OP 2将平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包括边界)，若OP →＝aOP 1→＋bOP 2→，且点P 落在第Ⅰ部分，则a ________0，b ________0.(填“＞”或“＜”)图2-3-7【解析】 由向量的分解可知，a ＜0，b ＞0. 【答案】 ＜ ＞6．设e 1，e 2是不共线向量，e 1＋2e 2与m e 1＋n e 2共线，则nm ＝________. 【解析】 由e 1＋2e 2＝λ(m e 1＋n e 2)，得mλ＝1且nλ＝2， ∴nm ＝2. 【答案】 27．(2016·南京高一检测)在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________.【导学号：06460053】【解析】 设BC →＝b ，BA →＝a ，则AF →＝12b －a ， AE →＝b －12a ，AC →＝b －a ，代入AC →＝λAE →＋μAF →， 得b －a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋μ2b －⎝ ⎛⎭⎪⎫λ2＋μa ，即⎩⎪⎨⎪⎧1＝λ2＋μ，1＝λ＋μ2，解得λ＝μ＝23，∴λ＋μ＝43.【答案】 438．如图2-3-8，在△ABC 中，BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，三边BC ，CA ，AB 的中点依次为D ，E ，F ，则AD →＋BE →＋CF →＝________.图2-3-8【解析】 原式＝12(AB →＋AC →)＋12(BA →＋BC →)＋12(CB →＋CA →)＝0. 【答案】 0 二、解答题9．如图2-3-9，在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，G 点使DG →＝13DC →，试以a ，b 为基底表示向量AF →与EG →.图2-3-9【解】 AF →＝AB →＋BF →＝AB →＋12BC →＝AB →＋12AD →＝a ＋12b . EG →＝EA →＋AD →＋DG → ＝－12AB →＋AD →＋13DC → ＝－12a ＋b ＋13a ＝－16a ＋b .10．设e 1，e 2为两个不共线的向量，a ＝－e 1＋3e 2，b ＝4e 1＋2e 2，c ＝－3e 1＋12e 2，试用b ，c 为基底表示向量a .【解】 设a ＝λ1b ＋λ2c ，λ1，λ2∈R ，则－e 1＋3e 2＝λ1(4e 1＋2e 2)＋λ2(－3e 1＋12e 2)， 即－e 1＋3e 2＝(4λ1－3λ2)e 1＋(2λ1＋12λ2)e 2， ∴⎩⎨⎧4λ1－3λ2＝－1，2λ1＋12λ2＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝－118，λ2＝727，∴a ＝－118b ＋727c .[能力提升]1．如图2-3-10，已知AB →＝a ，AC →＝b ，BD →＝3DC →，用a ，b 表示AD →，则AD →＝________.图2-3-10【解析】 ∵AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋34BC → ＝AB →＋34(AC →－AB →) ＝34AC →＋14AB → ＝34b ＋14a . 【答案】 34b ＋14a2.如图2-3-11，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋29AC →，则实数m 的值为________．图2-3-11【解析】 设NP →＝λNB →，NP →＝AP →－AN →＝mAB →＋29AC →－14AC →＝mAB →－136AC →， λNB →＝λ(AB →－AN →)＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →－14AC →＝λAB →－λ4AC →，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝λ，－136＝－λ4，∴m ＝λ＝19.【答案】 193．点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足AM →＝34AB →＋14AC →，则△ABM 与△ABC 的面积之比为________．【解析】 如图，分别在AB →，AC →上取点E ，F ， 使AE →＝34AB →，AF →＝14AC →， 在BC →上取点G ，使BG →＝14BC →， 则EG ∥AC ，FG ∥AE ， ∴AG →＝AE →＋AF →＝AM →， ∴M 与G 重合，∴S △ABM S △ABC ＝BM BC ＝14. 【答案】 144．如图2-3-12，△ABC 中，D 为BC 的中点，G 为AD 的中点，过点G 任作一直线MN 分别交AB ，AC 于M ，N 两点，若AM →＝xAB →，AN →＝yAC →，试问：1x ＋1y 是否为定值？图2-3-12【解】 设AB →＝a ，AC →＝b ，则AM →＝x a ，AN →＝y b ，AG →＝12AD →＝14(AB →＋AC →)＝14(a ＋b )，∴MG →＝AG →－AM →＝14(a ＋b )－x a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14－x a ＋14b ，MN →＝AN →－AM →＝y b －x a ＝－x a ＋y b .∵MG →与MN →共线，∴存在实数λ，使MG →＝λMN →， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫14－x a ＋14b ＝λ(－x a ＋y b )＝－λx a ＋λy b .∵a 与b 不共线， ∴⎩⎪⎨⎪⎧14－x ＝－λx ，14＝λy ，消去λ，得1x ＋1y ＝4，∴1x ＋1y 为定值.。

2.3 向量的坐标表示 2.3.1 平面向量基本定理一、填空题1．若e 1，e 2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是________． ①e 1－e 2，e 2－e 1 ②2e 1＋e 2，e 1＋2e 2 ③2e 2－3e 1,6e 1－4e 2 ④e 1＋e 2，e 1－e 22．下面三种说法中，正确的是________．①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量． 3．设向量m ＝2a －3b ，n ＝4a －2b ，p ＝3a ＋2b ，若用m ，n 表示p ，则p ＝________.4．若OP 1→＝a ，OP 2→＝b ，P 1P →＝λPP 2→(λ≠－1)，则OP →＝________.5．M 为△ABC 的重心，点D ，E ，F 分别为三边BC ，AB ，AC 的中点，则MA →＋MB →＋MC →＝________.6．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b .若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →＝____________.7. 如图，在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ、μ∈R ，则λ＋μ＝________.8．如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 上的一点，且AF FD ＝15，连结CF 并延长交AB 于E ，则AE EB＝________.二、解答题9. 如图，在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，G 点使DG →＝13DC →，试以a ，b 为基底表示向量AF →与EG →.10．如图，▱OACB 中，OA →＝a ，OB →＝b ，BD ＝13BC ，OD 与BA 相交于E .求证：BE ＝14BA .11. 如图所示，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在边AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求证：AP ∶PM ＝4∶1.三、探究与拓展12. 如图，△ABC 中，AD 为三角形BC 边上的中线且AE ＝2EC ，BE 交AD 于G ，求AG GD 及BGGE的值．答案1．②④ 2.②③ 3.－74m ＋138n 4.11＋λa ＋λ1＋λb5．0 6.23b ＋13c 7.43 8.1109．解 AF →＝AB →＋BF →＝AB →＋12BC →＝AB →＋12AD →＝a ＋12b .EG →＝EA →＋AD →＋DG →＝－12AB →＋AD →＋13DC →＝－12a ＋b ＋13a ＝－16a ＋b .10．证明 设BE →＝λBA →.则OE →＝OB →＋BE →＝OB →＋λBA → ＝OB →＋λ(OA →－OB →)＝λOA →＋(1－λ)OB →＝λa ＋(1－λ)b . OD →＝OB →＋BD →＝13a ＋b .∵O 、E 、D 三点共线，∴OE →与OD →共线， ∴λ13＝1－λ1，∴λ＝14.即BE ＝14BA . 11．证明 设AB →＝b ，AC →＝c ，则AM →＝12b ＋12c ，AN →＝23AC →，BN →＝BA →＋AN →＝23c －b .∵AP →∥AM →，BP →∥BN →，∴存在λ，μ∈R ，使得AP →＝λAM →， BP →＝μBN →，又∵AP →＋PB →＝AB →，∴λAM →－μBN →＝AB →，∴由λ⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＋12c －μ⎝ ⎛⎭⎪⎫23c －b ＝b 得 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12λ＋μb ＋⎝⎛⎭⎪⎫12λ－23μc ＝b . 又∵b 与c 不共线． ∴⎩⎪⎨⎪⎧12λ＋μ＝1，12λ－23μ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝45，μ＝35.故AP →＝45AM →，即AP ∶PM ＝4∶1.12．解 设AG GD ＝λ，BG GE＝μ.∵BD →＝DC →，即AD →－AB →＝AC →－AD →， ∴AD →＝12(AB →＋AC →)．又∵AG →＝λGD →＝λ(AD →－AG →)，∴AG →＝λ1＋λAD →＝λ2 1＋λ AB →＋λ2 1＋λ AC →.又∵BG →＝μGE →，即AG →－AB →＝μ(AE →－AG →)，∴(1＋μ)AG →＝AB →＋μAE →，AG →＝11＋μAB →＋μ1＋μAE →.又AE →＝23AC →，∴AG →＝11＋μAB →＋2μ3 1＋μ AC →.∵AB →，AC →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ2 1＋λ ＝11＋μ，λ2 1＋λ ＝2μ3 1＋μ .解之，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝4，μ＝32.∴AG GD ＝4，BG GE ＝32.。

高一数学测试向量选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1． 条件甲：“ABCD 是平行四边形”是条件乙：“AB DC =”成立的（ ）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件2． 已知向量a 与b 不共线，且||||0a b =≠，则下列结论中正确的是（ ）A .向量a b +与a b -垂直B .向量a b -与a 垂直C .向量a b +与a 垂直D .向量a b +与a b -共线3． 如果向量(,1)a n =与(4,)b n =共线 ,且方向相反，则n 的值为（ ）A .2±B .2-C .2D .04． 下列条件中，不能确定A 、B 、P 三点共线的是（ ）A .22sin 33cos 33MP MA MB =+ B .22sec 33tan 33MP MA MB =-C .22csc 33cot 33MP MA MB =-D .22sin 33cos 57MP MA MB =+5． 已知(4,9)P --，(2,3)Q ，且y 轴与线段PQ 的交点为M ，则M 分PQ 所成的比为（ ）A .13B .12C . 2D .3-6．已知向量a 、b 的夹角为60，||3a =，||2b =，若(35)()a b ma b +⊥-，则m 的值为（ ）A .3223B .2342C .2942D .42297．已知向量(3,1)a =，向量(sin ,cos )b m αα=-，R α∈，且//a b ，则m 的最小值为（ ）A .2-B .1-C .2-D .3-8.若向量(2,3)a =，(4,7)b =-，则a 在b 方向上的投影为（ ）A .3B .135C .655D .659.下列命题中：⑴ 若k R ∈，且0kb =，则0k =或0b =; ⑵ 若0a b =,则0a =或0b =;⑶ 若不平行的两个非零向量a 、b 满足||||a b =，则()()0a b a b +-=; ⑷ 若a 与b 平行，则||||||a b a b =；⑸ 若//a b ，//b c ，则//a c ； ⑹ 若0a ≠，a b a c =，则b c =． 其中真命题的个数是（ ）A .1B .2C .3D .410．已知向量(2,1)a =--，(,1)b λ=，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是（ ）A .1(,2)(2,)2-+∞B .(2,)+∞C .1(,)2-+∞D .1(,)2-∞-11．已知向量集合{|(1,2)(3,4),}M a a R λλ==+∈，{|(2,2)(4,5),N a a λ==--+}R λ∈，则M N ＝（ ）A .{(1,1)}B .{(1,1),(2,2)}--C .{(2,2)}--D .φ12．非零向量OA a =、OB b =，若点B 关于OA 所在直线的对称点为1B ，则向量1OB 为（ ）A .22()||a b a b a - B .2a b - C .22()||a b a b a - D .2()||a b a ba - 二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13．已知(cos ,sin )A αα，(cos ,sin )B ββ，则||AB 的最大值为_________．14．已知(3,2)A -，(8,0)AB =，则AB 的中点M 的坐标是__________.15．已知28a b i j +=-，816a b i j -=-+，其中i 、j 是互相垂直的单位向量，则a b 的值为＿＿＿＿＿．16．对n 个向量123,,,,n a a a a ⋅⋅⋅，若存在n 个不为零的实数123,,,,,n k k k k ⋅⋅⋅使得1122330n n k a k a k a k a +++⋅⋅⋅+=成立，则称向量123,,,,n a a a a ⋅⋅⋅是线性相关的．按此规定，能说明1(1,0)a =，2(1,1)a =-，3(2,2)a =＂线性相关＂的实数123,,k k k ，依次可以取__________(写出一组即可).答 题 卡姓名_________. 班级__________. 学号__________. 分数___________. 你认为此卷的难度系数是＿＿＿＿(填0.1～0.9之间的数,如0.6,数字越小,表明难度越大). 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案题号 13 14 15 16 答案三、解答题：本大题共6小题，共74分. 17．如图所示，ABCD 中，23BM BD =，14CN CA =， 若AB a =，AD b =，试用向量a ，b 来表示MN ．ABCDMNab18．已知(cos ,sin )a x x =，(sin 2,1cos 2)b x x =-，(0,1)c =，(0,)x π∈⑴向量a 、b 是否共线？请说明理由． ⑵求函数()||()f x b a b c =-+的最大值．19．已知平面直角坐标系中，(1,0)A -，(1,0)B ，点C 的横坐标恒为32，且AC AB ，CA CB BA BC 成等差数列，记θ为CA 与CB 的夹角，求tan θ．20．已知向量a 、b 、c 、d 及实数x 、y 满足||||1a b ==，(3)c a x b =+-，d ya xb =-+若a b ⊥，c d ⊥且||10c ≤.⑴求y 关于x 的函数关系式()y f x =及其定义域;⑵若[1,2]x ∈时,不等式()16f x mx ≥-恒成立，求实数m 的取值范围．21．如图，在Rt △ABC 中，已知BC=a ，若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点，问BC PQ 与的夹角θ取何值时CQ BP ⋅的值最大？并求出这个最大值.aBCA22．已知向量(1,1)m =，向量n 与向量m 的夹角为34π，且1m n =-．⑴求向量n ；⑵若向量n 与向量(1,0)q =的夹角为2π,向量2(cos ,2cos )2C p A =，其中A 、B 、C为ABC ∆的内角，且A 、B 、C 依次成等差数列．求||n p +的取值范围．参考答案1.A2.A3.B4.D5.C6.C7.A8.C9.C 10.A 11.C 12.A 13.2 14.(1,2) 15.-63 16.-4:2:1即可 17.()()331()443MN AN AM AC AD DM a b b DB =-=-+=+-+511212a b =+ 18.(1)()cos 1cos2sin sin 2x x x x -=, a ∴与b 共线（2）()2sin ,0,,sin 0,2sin ,b x x x b x π=∈>∴=又()2sin 2sin ,a b c x x +=+()22112sin sin 2sin ,48f x x x x ⎛⎫∴=-+=--+ ⎪⎝⎭()0,,x π∈∴当1sin 4x =时，函数()f x 取得最大值18。

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作1．若e 1，e 2是平面α内所有向量的一组基底，则下列命题中正确的序号是__________． ①空间任一向量p 都可表示为λ1e 1＋λ2e 2(λ1，λ2∈R )②对平面α中的任一向量p ，使p ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1，λ2有无数对 ③若λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＝λ2＝0④λ1e 1＋λ2e 2(λ1，λ2∈R )不一定在平面α内2．已知向量a 和b 不共线，实数x ，y 满足向量等式(2x －y )a ＋4b ＝5a ＋(x －2y )b ，则x ＋y 的值等于__________．3．已知ABCD 中，23BP BC =，若AB =a ，BC =b ，则PD ＝__________. 4．在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点．若AC AE AF λμ=+，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝__________.5．设e 1，e 2是两个不共线的向量，则向量a ＝2e 1＋e 2与向量b ＝e 1＋λe 2(λ∈R )共线时，λ的值为__________．6．如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若AD x AB y AC =+，则x ＝__________，y ＝__________.7. 重力为1 N 的重物被两根细绳悬挂着，处于平衡状态(如图所示)，已知两细绳与水平线分别成30°，60°角，问两细绳各受到多大的力？8.如图所示，在平行四边形ABCD中，AH＝HD，14BF MC BC==，设AB=a，AD=b，以a，b为基底表示AM，MH，AF，MD.参考答案1. 答案：③解析：①错，这样的p 只能与e 1，e 2在同一平面内，不能是空间任一向量；②错，这样的λ1，λ2是惟一的，而不是无数对；④错，λ1e 1＋λ2e 2在α内，只有③正确．2. 答案：1解析：由平面向量基本定理得25,42,x y x y -=⎧⎨=-⎩解得2,1.x y =⎧⎨=-⎩ ∴x ＋y ＝1.3. 答案：13-b a解析：如图所示，111333PD PC CD BC CD AB =+=+=-=-b b a . 4. 答案：43解析：延长AF ，DC 交于点H ，∵E ，F 为中点，∴AB ＝HC ＝CD ，AF ＝FH .∴2222()AC AH HC AF CE AF AE AC =+=+=+-． ∴2233AC AF AE =+，即23λ=，23μ=.∴43λμ+=. 5. 答案：12 解析：∵a ，b 共线，∴存在惟一实数m ，使得a ＝m b ，即2e 1＋e 2＝m (e 1＋λe 2)．∵e 1，e 2不共线，∴2,1.m m λ=⎧⎨=⎩∴m ＝2，12λ=. 6. 答案：312+32 解析：设AB ＝1，则AC ＝1，2BC =，2ED =，62BD =， ∴32DF =，32BF =. ∴33(1)22AD AB AC =++.∴312x =+，32y =. 7. 解：将重力在两根细绳方向上分解，两细绳间夹角为90°， ∵1OP =(N)，∠P 1OP ＝60°，∠P 2OP ＝30°，11cos6010.52OP OP ==⋅=(N)， 23cos3010.872OP OP ==⋅≈(N)， 即两根细绳上承受的拉力分别为0.5 N 和0.87 N.8. 解：由于1144BF BC AD ==，∴14BF =b . 在△ABF 中，14AF AB BF =+=+a b ， 又∵14BF MC BC ==， ∴12FM BC =.∴12FM =b . 则113424AM AF FM =+=+++=a b b a b . 又∵AH ＝HD ，∴12AH =b . ∴131(244MH AH AM =-=-+--)=b a b a b .又∵12HD =b ， ∴111424MD MH HD =+=--+=-+a b b a b .。

随堂练习：向量的坐标运算1．若向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)，c ＝(4,2)满足(ka ＋b )∥c ，则k ＝2．已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2)，B (－1，－2)，C (3,1)，且BC ＝2AD ，则顶点D 的坐标为3．若A (3，－6)，B (－5,2)，C (6，y )三点共线，则y ＝4．已知a ＝(－2,1－cos θ)，b ＝(1＋cos θ，－14)，且a ∥b ，则锐角θ等于 5．已知向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1,2)，且a ∥b ，则tan θ＝________.6．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，c ＝(－1,2)，若(a ＋b )∥c ，则m ＝________.7．已知点A (－1，－1)、B (1,3)、C (x,5)，若对于平面上任意一点O ，都有OC ＝λOA＋(1－λ) OB ，λ∈R ，则x ＝______.8．已知向量a ＝(－2,3)，b ∥a ，向量b 的起点为A (1,2)，终点B 在坐标轴上，则点B的坐标为________________．9．已知A 、B 、C 三点的坐标为(－1,0)、(3，－1)、(1,2)，并且AE ＝13AC ，BF ＝13BC ，求证：EF ∥AB .10．平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)，回答下列问题：(1)求3a ＋b －2c ；(2)求满足a ＝mb ＋nc 的实数m ，n ；(3)若(a ＋kc )∥(2b －a )，求实数k .答案：1.解析：ka ＋b ＝(k －1，k ＋1)，由(ka ＋b )∥c ，得2(k －1)－4(k ＋1)＝0，解得k ＝－3.答案：-32.解析：令D (x ，y )，由已知得⎩⎨⎧ 2(x －0)＝3－(－1)，2(y －2)＝1－(－2). 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝72.∴顶点D 的坐标为(2，72)． 答案：(2，72)．3.解析：AB ＝(－8,8)，AC ＝(3，y ＋6)．∵AB ∥AC ，∴－8(y ＋6)－24＝0.∴y ＝－9.答案：-94.解析：由a ∥b 得－2×(－14)＝1－cos 2θ＝sin 2θ， ∵θ为锐角，∴sin θ＝22，∴θ＝45°.答案：45°5.解析：∵a ∥b ，∴2sin θ＝cos θ－2sin θ.即4sin θ＝cos θ，∴tan θ＝14. 答案：146.解析：a ＋b ＝(2－1，－1＋m )＝(1，m －1)，由(a ＋b )∥c ， 得1×2－(m －1)×(－1)＝0，即m ＝－1.答案：－17.解析：取点O (0,0)，由OC ＝ λOA ＋(1－λ) OB ，得 (x,5)＝λ(－1，－1)＋(1－λ)(1,3)，∴⎩⎨⎧ x ＝－λ＋(1－λ)，5＝－λ＋3(1－λ).解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－12，x ＝2. 答案：28.解析：由b ∥a ，可设b ＝λa ＝(－2λ，3λ)．设点B 坐标为(x ，y )，则AB ―→＝(x －1，y －2)＝b .由⎩⎨⎧ －2λ＝x －1，3λ＝y －2，⇒⎩⎨⎧x ＝1－2λ，y ＝3λ＋2.① 又B 点在坐标轴上，则1－2λ＝0或3λ＋2＝0，∴λ＝12或λ＝－23，代入①式得B 点坐标为(0，72)或(73，0)．答案：(0，72)或(73，0)9.证明：设E 、F 的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，依题意有AC ＝(2,2)，BC ＝(－2,3)，AB ＝(4，－1)．∵AE ＝13AC ，∴(x 1＋1，y 1)＝13(2,2)．∴点E 的坐标为(－13，23)． 同理点F 的坐标为(73，0)，EF ＝(83，－23)． 又83×(－1)－4×(－23)＝0，∴EF ∥AB .10.解：(1)3a ＋b －2c ＝3(3,2)＋(－1,2)－2(4,1)＝(9,6)＋(－1,2)－(8,2)＝(9－1－8,6＋2－2)＝(0,6)．(2)∵a ＝mb ＋nc ，∴(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)＝(－m ＋4n,2m ＋n )．∴－m ＋4n ＝3且2m ＋n ＝2，解得m ＝59，n ＝89. (3)∵(a ＋kc )∥(2b －a )，又a ＋kc ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)，∴2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0.∴k ＝－1613.。

2.2.3 向量的数乘一、填空题1．若2⎝⎛⎭⎫y －13a －12(c ＋b －3y )＋b ＝0，其中a 、b 、c 为已知向量，则未知向量y ＝_________. 2．设e 1，e 2是两个不共线的向量，若向量m ＝－e 1＋k e 2 (k ∈R )与向量n ＝e 2－2e 1共线，则k ＝______.3．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．4．已知向量a 、b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是_______．5．已知△ABC 的三个顶点A ，B ，C 及平面内一点P ，且P A →＋PB →＋PC →＝AB →，则________． ①P 在△ABC 内部 ②P 在△ABC 外部③P 在AB 边上或其延长线上 ④P 在AC 边上6．在△ABC 中，点D 在直线CB 的延长线上，且CD →＝4BD →＝rAB →＋sAC →，则r －s ＝________.7．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m 的值为________．8．已知O 是平面内一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|(λ∈[0，＋∞))，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的________． ①外心 ②内心 ③重心 ④垂心 二、解答题9. 如图，ABCD 为一个四边形，E 、F 、G 、H 分别为BD 、AB 、AC 和CD 的中点，求证：四边形EFGH 为平行四边形．10. 如图所示，在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，试用a ，b 表示MN →.11．两个非零向量a 、b 不共线．(1)若A B →＝a ＋b ，B C →＝2a ＋8b ，C D →＝3(a －b )，求证：A 、B 、D 三点共线； (2)求实数k 使k a ＋b 与2a ＋k b 共线．三、探究与拓展12. 如图所示，在平行四边形ABCD 中，点M 是AB 的中点，点N 在BD 上，且BN ＝13BD .求证：M 、N 、C 三点共线.答案1.421a －17b ＋17c2.123.12 4．A 、B 、D 5.④ 6.83 7.3 8．②9．证明 ∵F 、G 分别是AB 、AC 的中点．∴FG →＝12BC →.同理，EH →＝12BC →.∴FG →＝EH →. ∴四边形EFGH 为平行四边形．10．解 MN →＝MB →＋BA →＋AN →＝－12b －a ＋34AC →＝－12b －a ＋34(a ＋b )＝14(b －a )．11．(1)证明 ∵A D →＝A B →＋B C →＋C D →＝a ＋b ＋2a ＋8b ＋3a －3b ＝6a ＋6b ＝6A B →，∴A 、B 、D三点共线．(2)解 ∵k a ＋b 与2a ＋k b 共线，∴k a ＋b ＝λ(2a ＋k b )．∴(k －2λ)a ＋(1－λk )b ＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧k －2λ＝0，1－λk ＝0⇒k ＝±2. 12．证明 设BA →＝a ，BC →＝b ，则由向量减法的三角形法则可知：CM →＝BM →－BC →＝12BA →－BC →＝12a －b . 又∵N 在BD 上且BD ＝3BN ，∴BN →＝13BD →＝13(BC →＋CD →)＝13(a ＋b )，∴CN →＝BN →－BC →＝13(a ＋b )－b＝13a －23b ＝23⎝⎛⎭⎫12a －b ， ∴CN →＝23CM →，又∵CN →与CM →的公共点为C ，∴M 、N 、C 三点共线．。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作高一数学测试向量选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1． 条件甲：“ABCD 是平行四边形”是条件乙：“AB DC =”成立的（ ）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件2． 已知向量a 与b 不共线，且||||0a b =≠，则下列结论中正确的是（ ）A .向量a b +与a b -垂直B .向量a b -与a 垂直C .向量a b +与a 垂直D .向量a b +与a b -共线3． 如果向量(,1)a n =与(4,)b n =共线 ,且方向相反，则n 的值为（ ）A .2±B .2-C .2D .04． 下列条件中，不能确定A 、B 、P 三点共线的是（ ）A .22sin 33cos 33MP MA MB =+ B .22sec 33tan 33MP MA MB =-C .22csc 33cot 33MP MA MB =-D .22sin 33cos 57MP MA MB =+5． 已知(4,9)P --，(2,3)Q ，且y 轴与线段PQ 的交点为M ，则M 分PQ 所成的比为（ ）A .13B .12C . 2D .3-6．已知向量a 、b 的夹角为60，||3a =，||2b =，若(35)()a b ma b +⊥-，则m 的值为（ ）A .3223B .2342C .2942D .42297．已知向量(3,1)a =，向量(sin ,cos )b m αα=-，R α∈，且//a b ，则m 的最小值为（ ）A .2-B .1-C .2-D .3-8.若向量(2,3)a =，(4,7)b =-，则a 在b 方向上的投影为（ ）A .3B .135C .655D .659.下列命题中：⑴ 若k R ∈，且0kb =，则0k =或0b =; ⑵ 若0a b =,则0a =或0b =;⑶ 若不平行的两个非零向量a 、b 满足||||a b =，则()()0a b a b +-=; ⑷ 若a 与b 平行，则||||||a b a b =；⑸ 若//a b ，//b c ，则//a c ； ⑹ 若0a ≠，a b a c =，则b c =． 其中真命题的个数是（ ）A .1B .2C .3D .410．已知向量(2,1)a =--，(,1)b λ=，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是（ ）A .1(,2)(2,)2-+∞B .(2,)+∞C .1(,)2-+∞D .1(,)2-∞-11．已知向量集合{|(1,2)(3,4),}M a a R λλ==+∈，{|(2,2)(4,5),N a a λ==--+}R λ∈，则M N ＝（ ）A .{(1,1)}B .{(1,1),(2,2)}--C .{(2,2)}--D .φ12．非零向量OA a =、OB b =，若点B 关于OA 所在直线的对称点为1B ，则向量1OB 为（ ）A .22()||a b a b a - B .2a b - C .22()||a b a b a - D .2()||a b a ba - 二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13．已知(cos ,sin )A αα，(cos ,sin )B ββ，则||AB 的最大值为_________．14．已知(3,2)A -，(8,0)AB =，则AB 的中点M 的坐标是__________.15．已知28a b i j +=-，816a b i j -=-+，其中i 、j 是互相垂直的单位向量，则a b 的值为＿＿＿＿＿．16．对n 个向量123,,,,n a a a a ⋅⋅⋅，若存在n 个不为零的实数123,,,,,n k k k k ⋅⋅⋅使得1122330n n k a k a k a k a +++⋅⋅⋅+=成立，则称向量123,,,,n a a a a ⋅⋅⋅是线性相关的．按此规定，能说明1(1,0)a =，2(1,1)a =-，3(2,2)a =＂线性相关＂的实数123,,k k k ，依次可以取__________(写出一组即可).答 题 卡姓名_________. 班级__________. 学号__________. 分数___________. 你认为此卷的难度系数是＿＿＿＿(填0.1～0.9之间的数,如0.6,数字越小,表明难度越大). 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案题号 13 14 15 16 答案三、解答题：本大题共6小题，共74分. 17．如图所示，ABCD 中，23BM BD =，14CN CA =， 若AB a =，AD b =，试用向量a ，b 来表示MN ．ABCDMNab18．已知(cos ,sin )a x x =，(sin 2,1cos 2)b x x =-，(0,1)c =，(0,)x π∈⑴向量a 、b 是否共线？请说明理由． ⑵求函数()||()f x b a b c =-+的最大值．19．已知平面直角坐标系中，(1,0)A -，(1,0)B ，点C 的横坐标恒为32，且AC AB ，CA CB BA BC 成等差数列，记θ为CA 与CB 的夹角，求tan θ．20．已知向量a 、b 、c 、d 及实数x 、y 满足||||1a b ==，(3)c a x b =+-，d ya xb =-+若a b ⊥，c d ⊥且||10c ≤.⑴求y 关于x 的函数关系式()y f x =及其定义域;⑵若[1,2]x ∈时,不等式()16f x mx ≥-恒成立，求实数m 的取值范围．21．如图，在Rt △ABC 中，已知BC=a ，若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点，问BC PQ 与的夹角θ取何值时CQ BP ⋅的值最大？并求出这个最大值.aBCA22．已知向量(1,1)m =，向量n 与向量m 的夹角为34π，且1m n =-．⑴求向量n ；⑵若向量n 与向量(1,0)q =的夹角为2π,向量2(cos ,2cos )2C p A =，其中A 、B 、C为ABC ∆的内角，且A 、B 、C 依次成等差数列．求||n p +的取值范围．参考答案1.A2.A3.B4.D5.C6.C7.A8.C9.C 10.A 11.C 12.A 13.2 14.(1,2) 15.-63 16.-4:2:1即可 17.()()331()443MN AN AM AC AD DM a b b DB =-=-+=+-+511212a b =+ 18.(1)()cos 1cos2sin sin 2x x x x -=, a ∴与b 共线（2）()2sin ,0,,sin 0,2sin ,b x x x b x π=∈>∴=又()2sin 2sin ,a b c x x +=+()22112sin sin 2sin ,48f x x x x ⎛⎫∴=-+=--+ ⎪⎝⎭()0,,x π∈∴当1sin 4x =时，函数()f x 取得最大值18。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作2015.5高一数学平面向量综合练习一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知平面向量)1,1(),1,1(-==b a ，则向量=-b a 2321（ ）Ａ．(21)--，Ｂ．(21)-，C ． (1)，-2D ．(1)-，22．已知(5,3),(1,2),m n →→=-=-且m n λ→→+与2n m →→+互相垂直，则实数λ的值等于( ) A.B. C. D.3．已知()()()的值为，则，且b a b a b a b a 22322+•-++==⊥（ ）A ． 10B ．11C ． 12D ．84．已知P 1（2，3），P 2（-1，4），且12P P 2PP =，点P 在线段P 1P 2的延长线上，则P 点的坐标为（ ）A ．（34，-35）B ．（-34，35） C ．（4，-5）D ．（-4，5）5．若a 是非零向量，且a ·b =a ·c ，则 （ ） A.b =c B.b ⊥c C.a ⊥(b -c ) D.b =c 或a ⊥(b -c )6．已知均为单位向量且j i j i ,⊥，j i b j i a λ+=-=,2，且b a ,的夹角为锐角，则λ的范围是（ ）83-38-3883A ．），（），（2122-⋃-∞- B ．），（∞+21C ．），（），（∞+⋃-32322 D ．），（21∞- 7．21,e e 是夹角为600 的两个单位向量，则.2322121的夹角与e e b e e a +-=+=为（ ） A ．300B ．600C ．1200D ．15008．通过A （-1，2），且平行于)2,3(=a 的直线方程为（ ）A ．3x+2y-1=0B ．3x-2y+7=0C ．2x+3y-4=0D ．2x-3y+8=09．已知A （2，3），B （-4，5）则与AB 共线的单位向量为（ ） A ．），（26- B ．），）或（，（2626-- C ．)1010,10103(-D ．)1010,10103()1010,10103(--或 10．若c b a ,,满足0=++c b a ，且,4||,1||,3||===c b a 则a c c b b a ⋅+⋅+⋅=( ) A ．-11 B ．-12 C ．-13 D ．-14二、填空题：（本题共4小题，每小题4分，共16分）11．已知b a ,满足1||||==b a 且3|23|=-b a ，则=+|3|b a _________12．)2,1(),4,2(),3,1(--=-=-=c b a若d c a c b a ),(2,24,4--首尾相接能围成四边形，则d =（ ） 13．非零向量()0||||AB ACAB AC BC AB AC +⋅=,满足21||||=AC AB 则△ABC 为________三角形（判断三角形形状）14. 下列命题中：(1)如果非零向量a 与b 的方向相同或相反，那么b a+的方向必与a 、b 之一的方向相同；(2)如果a 、b 均为非零向量，则b a +与b a+一定相等；(3) 2x =时，向量)1,(x a = , ),4(x b = 共线且方向相同；(4) ,,0c a b a a•=•≠则c b =其中假命题是 .15．已知)5,4(),2,1(),0,0(===B A O 且AB t OA OP +=（1）当t 为何值时，点P 在x 轴上？t 为何值时，P 在第二象限？（2）四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出t ，若不能，说明理由。

平面向量的根本定理及坐标表示一、选择题1、假设向量a=(1,1),b=(1,－1),c=(－1,2),那么c等于()A、1a+3bB、1a3bC、3a 1D、3a+1bb222222222、，A〔2，3〕，B〔－4，5〕，那么与AB共线的单位向量是〔〕A、e(310,10)B、e(310,10)或(310,10)101010101010C、e(6,2)D、e(6,2)或(6,2)3、a(1,2),b(3,2),ka b与a3b垂直时k值为〔〕A、17B、18C、19D、204、向量OP=(2，1)，OA=(1，7)，OB=(5，1)，设X是直线OP上的一点(O为坐标原点)，那么XAXB的最小值是()A、-16B、-8C、0D、45、假设向量m(1,2),n (2,1)分别是直线ax+(b－a)y－a=0和ax+4by+b=0的方向向量，那么a,b的值分别可以是〔〕A、－1，2B、－2，1C、1，2D、2，16、假设向量a=(cos,sin)，b=(cos,sin)，那么a与b一定满足〔〕A、a与b的夹角等于－B、(a＋b)⊥(a－b)C、a∥bD、a⊥b7、设i,j分别是x轴，y轴正方向上的单位向量，OP3cosi3sinj，(0,),OQ i。

假设用来表示OP与OQ的夹角，那么等于〔〕2A、B、C、D、228、设0 2 ，两个向量OP1cos ,sin ，OP2 2 sin ,2 cos ，那么向量P1P2长度的最大值是〔〕A、2B、3C、32D、二、填空题9、点A(2，0)，B(4，0)，动点P在抛物线y2＝－4x运动，那么使AP BP取得最小值的点P的坐标是、10、把函数y3cosxvm,n〔m>0〕平移后所得的图象关sinx的图象，按向量a于y轴对称，那么m的最小正值为__________________、11、向量OA(1,2),OB (3,m),假设OA AB,那么m、三、解答题12、求点A〔－3，5〕关于点P〔－1，2〕的对称点A/、13、平面直角坐标系有点P(1,cosx),Q(cosx,1),x[4,]. 4〔1〕求向量OP和OQ的夹角的余弦用x表示的函数f(x)；〔2〕求的最值、14、设OA (2sinx,cos2x)，OB ( cosx，1)，其中x∈[0，]、2求f(x)=OA·OB的最大值和最小值；uuur uuur uuur当OA⊥OB，求|AB|、15、定点A(0,1)、B(0, 1)、C(1,0)，动点P满足：APBP k|PC|2、〔1〕求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的图形；〔2〕当k 2时，求|AP BP|的最大值和最小值、参考答案一、选择题1、B；2、B；3、C；4、B；5、D；6、B；7、D；8、C二、填空题9、(0，0)10、m5611、4三、解答题3x1x1/2/，解得12、解：设A 〔ｘ，ｙ〕，那么有5 yy1 、所以A 〔1，－1〕。