圆的直径式方程在解题中的应用

圆的标准方程教案圆的标准方程教案圆是数学中的一个基本图形，它具有许多有趣的性质和应用。

在几何学中，我们通常用标准方程来描述一个圆的位置和形状。

本文将介绍圆的标准方程，并提供一个教案，帮助学生更好地理解和应用这个概念。

一、圆的定义和性质在开始讲解圆的标准方程之前，我们先来回顾一下圆的定义和一些基本性质。

圆是由平面上与一个固定点的距离恒定的所有点组成的集合。

这个固定点被称为圆心，距离被称为半径。

圆的性质有很多，其中一些重要的性质是：1. 圆的直径是圆上任意两点之间的最长距离，它等于半径的两倍。

2. 圆的周长是圆上所有点到圆心的距离之和，它等于直径乘以π（圆周率）。

3. 圆的面积是圆内所有点到圆心的距离的平均值乘以π的平方。

了解了这些基本性质后，我们可以更好地理解和推导圆的标准方程。

二、圆的标准方程推导圆的标准方程是一种用代数方式描述圆的方程。

它的一般形式是：(x - h)² + (y - k)² = r²其中，(h, k)是圆心的坐标，r是半径的长度。

我们可以通过推导来理解这个标准方程。

假设有一个圆，圆心坐标为(h, k)，半径为r。

任意一点(x, y)到圆心的距离可以表示为：√[(x - h)² + (y - k)²]由于这个点在圆上，所以它到圆心的距离等于半径r。

将这个条件代入上式，我们可以得到：√[(x - h)² + (y - k)²] = r为了消除根号，我们两边平方，得到：(x - h)² + (y - k)² = r²这就是圆的标准方程。

三、圆的标准方程教案现在我们来设计一个教案，帮助学生更好地理解和应用圆的标准方程。

1. 引入：通过展示一些圆的图片，让学生回顾圆的定义和性质。

提问他们圆的直径、周长和面积的计算方法。

2. 解释标准方程：简要解释圆的标准方程的含义和形式。

给出示例方程并解释每个部分的含义。

直线和圆的方程题型直线和圆的方程是解析几何中的重要内容。

在解析几何中，直线和圆的方程是解决几何问题的基础。

本文将介绍直线和圆的方程题型，并提供解题步骤和示例。

直线的方程题型以下是直线的方程题型及解题步骤：1. 已知两点求直线方程问题描述：已知点A(x₁, y₁)和点B(x₂, y₂)，求直线AB的方程。

解题步骤： 1. 使用点斜式公式或两点式公式求解。

- 点斜式公式：直线的方程为 y - y₁ = k(x - x₁)，其中k为斜率。

- 两点式公式：直线的方程为 (y - y₁)/(x - x₁)= (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)。

2.根据题目给出的点坐标，代入公式，求解方程。

2. 已知斜率和一点求直线方程问题描述：已知直线的斜率m和一点A(x₁, y₁)，求直线的方程。

解题步骤： 1. 使用点斜式公式求解。

- 点斜式公式：直线的方程为 y - y₁ = m(x - x₁)。

2.根据题目给出的斜率和点坐标，代入公式，求解方程。

3. 已知截距求直线方程问题描述：已知直线的截距b和斜率m，求直线的方程。

解题步骤： 1. 使用斜截式公式求解。

- 斜截式公式：直线的方程为 y = mx + b。

2.根据题目给出的截距和斜率，代入公式，求解方程。

圆的方程题型以下是圆的方程题型及解题步骤：1. 已知圆心和半径求圆的方程问题描述：已知圆心坐标C(h, k)和半径r，求圆的方程。

解题步骤： 1. 使用标准圆方程求解。

- 标准圆方程：圆的方程为 (x-h)² + (y-k)²= r²。

2.根据题目给出的圆心坐标和半径，代入公式，求解方程。

2. 已知直径的两个端点求圆的方程问题描述：已知直径的两个端点A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，求圆的方程。

解题步骤： 1. 使用标准圆方程求解。

- 标准圆方程：圆的方程为 (x-h)² + (y-k)²= r²。

詢•解题技巧与方法JIETI JIQIAO YU FANGFA•圆的直径式方程在解题中的妙用◎陈昌燕(江苏联合职业技术学院盐城机电分院，江苏盐城224000)【摘要】在新课程改革背景下，高中数学题目的形式日渐丰富，因此对学生的解题思维提出了更高的要求•在高中数学知识中，以圆的标准方程、参数方程和一般方程为重要考查点，需要学生深刻把握这些知识，而圆的直径式方程在考纲中不做要求，但是仍然存在许多和圆的直径密切相关的问题，如果学生可以在解题的过程中合理运用圆的直径式方程，就可以在一定程度上降低题目的难度，收获良好的效果•基于此，本文将以圆的直径式方程为例，探究其在解题中的运用.【关键词】圆的直径式方程；解题;妙用我们可以将圆的方程分成标准方程和一般方程两种形式，如果已知点A(*',y')和点B(*2,y2)分别是圆的直径的两个端点，而圆上任意一点M的坐标为(*,y)，可知m A-MB=0,可以计算出圆的方程为(*—*')(*—*2)+(y—) (y—y2)=0,此即圆的直径式方程•圆的直径式方程在解题中的应用十分广泛，本文将为大家简要介绍圆的直径式方程在解题中的具体用法.一、圆的直径式方程在解题中的作用以圆的直径为斜边作直角三角形，则另一点永远在圆上.将三角形的两条直角边的向量用坐标的形式表示，便可以通过两向量坐标垂直的性质推导出圆的直径式方程：(*—*')(*—*2)+(y—y2)(y—y2)=0.尽管圆的直径式方程不是高考的重要考查内容，但是如果题目中含有和圆的直径相关的题目，就可以借助圆的直径式方程进行解答，这样可以有效降低学生的解题难度，所以我们需要提高对这一方程的关注•此外,掌握圆的直径式方程的解法可以让学生在高考中多一种选择,那运用一种解题方法解题,并通过其他方法进行题目的验算,这可以切实提升学生的答题准确度，从而在高考中取得优异的成绩.二、圆的直径式方程的推导过程若圆的直径的两端点坐标分别为A(*',y2),B(*2,y2),则圆的直径式方程为(*—*')(*—*2)+(y—y2)(y—y2)=0,这可以通过向量进行证明.首先，假设P(*,y)是圆上一点，那么向量(*-*',y-y2)表示向量P A,(*—*2,y—y2)则表示向量PB.因为AB是圆的直径,所以对于圆上的任意一个非A,B 的点，厶APB=90°.所以可以确定两向量的内积为0,即(*—*')(*—*2)+ (y一y i)(y—了2)=a当P与A或B点重合时,两向量之一为0向量，因为0向量与任意向量垂直，所以上式仍成立，所以所有的圆上的点都符合方程(*—*')(*—*2)+(y—y2)(y—y2)=0.又因为所有满足向量(*—*',y—y2)垂直向量(*—*2,y—y2)的点都在圆上，所以可以确定(*—*')(*—*2)+(y—y2) (y—y2)=0就是该圆的方程.三、圆的直径式方程的运用(一)圆的方程例1请计算出过直线/：2*+y+4=0和圆C：*2+y2+2*—4y+1=0的交点，且面积最小的圆的方程.解析面积最小的圆也就是以交点连线为直径的圆，因此可以运用直径式方程进行解题.解由题目可知，交点坐标同时满足*2+y2+2*—4y+1=题目所求是以点(—3,2)和(-I1，：)为直径两端点的圆，可以列出：(*+3)(兀+丁)+(y—2)(y―寸)=0,整理可得面积最小的圆的方程为*2+y2+5*—5y+5=0.例2已知点A和点B是直线y=k*+b和双曲线*2—y2=4的两个交点，试计算出直径为AB的圆的方程.解由题意，可设A(*',y'),B(*2*2)，则点A和点B同时满足*2—y2=4和y=k*+b，将两式联立并消去字母y,可得(k2—1)*2+2kb*+b2+4=0,根据韦达定理，可得**2kb*'+*2=i八，①1—kb2+4'*2=k2—f②所以y i+y2=k(*'+*2>+2b= 2,③1—k2224k2—b2y i y2=k**i*2+kb(*i+*2)+犷=k2—i，④直径为AB的圆的方程为(*—*')(*—*2)+(y—y i)(y—y2)=0,将此式展开可得*2—(*'+*2)*+*'*2+y2—(y i+歹2”+y1y2=0.将①②③④分别代入上述方程,可以确定所求圆的方*22kb*y22b y4k2+4.程为*2+k2—1*+y2+k2—i y+k2—1=0例3从圆外一点P向圆0：*2+y2=1作两条切线，点P的坐标为(2,1),直线和圆0的切点分别为A,B，请求出经过A,B两点的直线方程.解析根据圆的直径式方程的性质，可以确定以线段0P为直径的圆的方程的解析式为圆0：*(*—2)+y(y—1)=0,由于点A和点B皆为圆0的切点，所以点A和点B同时在圆0和圆Q上，因此，可以将两个圆的方程式作减法，确定经过两个圆的公共弦的方程为*(*—2)+y(y—1)—(*2+y2—1)=0,可得2*+y—1=0,也就是直线AB的方程.2021.13解题技巧与方法•JIETI JIQIAO YU FANGFA由此可见，借助圆的直径式方程的性质和解法，可以有效简化解题过程,让解题更加快速,切实提升解题的准确率.(二)直线与圆的位置关系例4已知点P和点Q是直线/：x+2y-3=0和圆C：x'+y'+x-G y+m=0的两个交点，点0为坐标原点，如果0P丄0Q,请计算出实数m的值.解设点P(x1 ,y1),点Q(x2,y2)•由于点P和点Q都是直线/上的一点，可以得出內= 3-2y1,"；=3-2y；•yy又因为0P丄0Q,可以确定'1-=-1,12所以有x1x2+y』2二(3-2y1)(3-2歹2)+歹化=5y〔歹2-6(歹1+歹2)+9=0①.将圆的方程x2+y2+x-6y+m=0和直线方程x+2y-3=0联立，可以得出(3-2y)2+y2+3-2y-6y+m=0,即 5y2-20y+ 12+m=0.因为y〔和y是方程的根，可以得出y〔+y=4』』2=笃“将y1匕」2；"代入①，可以得出12+m-24+9=0,经计算可得m=3.例5已知点N是抛物线y=4x2上的一点，经过点N 作圆C：(x-2)2+y2=1的切线，分别与圆C相切于点P和点Q,已知点P、点Q和点0三点在同一条直线上(其中点0为坐标原点)，试求出点N的坐标.解由于点N是抛物线上的一点，由y=4x2可设点N (t,4#)，而点P和点Q分别为直径为NC的圆D和圆C的两个交点.由此可以计算出圆D的方程为(x-2)(x-t)+y(y-)=0,可以将圆D方程转化为x；-(2+t)x+2t+y；-4t；y=0①，又因为圆C的方程为x2-4x+y2+3=0②，将②式与①式相减，可得(2-1)"+2—4#y-3=0,此方程就是直线PQ的表达式.由于P,Q,0三点在同一条直线上，可以确定直线PQ3经过坐标原点0,由此可知2t-3=0,计算出t=2•由此可以计算出点N的坐标为(2,9)•例6直线/：y=0x+1和双曲线C：2x；-y；=1的右半部分的交点分别为点A和点B.(1)请确定实数0的取值范围.(2)当0取什么值时，可以让以线段AB为直径的圆0经过双曲线C的右焦点F?如果不存在这样一个实数0,请说明理由.解(1)根据题目，可以计算出实数0的取值范围为-2<0<-2.(由于该题目不是本文所研究的内容，故省略过程)(2)由题意，可设点A("1,yj,点B(x；,y；),将直线/的方程代入双曲线C的方程，可以得出：(2-02)x2-20x-2=(2-02)(x-x1)(x-x2)=0①，联立双曲线和直线方程，还可以得(2-02)y2-4y-02+2=(2-0；)(y-y1)(y-y；)=0②，又因为点A和点B分别为圆0直径的两个端点，所以可以将①式和②式相加求出圆0的方程：(2-0；)(x-x1)("-"丿+心-02”y-yj(y-y2)=0,计算可得(2-02)x；-20x-2+(2-0；)y；-4y-0；+2=0③.如果存在一个实数0,可以让圆0经过双曲线C的右焦点F(c,0),因为c=；,则点F[6卫)，将其代入③式，可以得出502+260-6=0,计算可得0=-響或0=響(与(1)问的取值范围不符，故舍去)，所以当0=-6；6时，可以让以线段AB为直径的圆0经过双曲线C的右焦点F.(三)圆与圆的位置关系例7已知01和02两圆的方程分别为01:X2+y2-10x-10y=0和02:x；+y；+6x-2y=0,请计算出以公共弦为直径的圆的方程.解根据题意，联立X2+y2-10x-10y=0和X2+y2+6x-2y=0,计算可得x1=0,y1=0；X2=-2,y2=4.根据圆的直径式方程(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)= 0,可以列出(x-0)(x+2)+(y-0)(y-4)=0.经计算，可得x；+y；+2x-4y=0,即以圆01和圆02的公共弦为直径的圆的方程为x；+y；+2x-4y=0.四、结束语总而言之，圆的直径式方程在解题过程中应用非常广泛，对于解题具有一定的作用•通过圆的直径式方程,可以将题目简化，帮助学生减少计算量,实现题目的由难化简，让学生脱离烦琐的计算流程，在最短的时间内找到问题的最优解•基于此，教师需要充分关注圆的直径式方程在解题过程中的作用，让学生可以针对题目内容选择合适的答题手段，强化学生对于圆的直径式方程的理解，争取在提升学生解题速度的基础上提升其解题准确率.【参考文献】[1]刘果.圆系方程在解题中的应用[J].语数外学习：语文教育,2020,12(1)：34.[2]刘立伟.例谈圆的一性质在解题中的妙用[J].中学生数学，2018,23(4)：18-19.[3]甘志国.圆的直径式方程的一个应用[J].数学教学研究,2018,37(3)：66-67.[4]程泽兵.微专题十八直线与圆的方程[J].中学数学教学参考,2018,14(1)：114-118.[5]陈桂明，刘新春.例说圆锥曲线方程在解题中的奇妙运用[J].中学数学月刊,2018,426(11)：59-62.[6]李仁兵.倡导学导式教学，提高高中数学教学效率：以苏教版“圆与方程：圆与圆的位置关系”为例[J].数学大世界,2019,15(10)：23.2021.13。

圆的直径式方程的应用题目：已知圆的一条直径的端点分别为11(,)A x y ，22(,)B x y ，求证：此圆的方程是1212()()()()0x x x x y y y y --+--=。

我们称之为圆的直径式方程，下面给出一种证明： 证明：设(,)P x y 为圆上任意一点，当P 点与A 或B 点不重合时，有PA PB ⊥。

又1212,PA PB y y y y k k x x x x --==--，∴12121y y y y x x x x --⋅=---, 即 1212()()()()0x x x x y y y y --+--= ①当P 点与A 点重合时，有11,x x y y ==，显然满足①式；当P 点与B 点重合时，有22,x x y y ==，显然满足①式。

综上可知，以11(,)A x y ，22(,)B x y 为直径两端点的圆的方程为1212()()()()0x x x x y y y y --+--=。

利用这个方程可以解决以直线与二次曲线相交弦为直径的圆的有关问题，这里不再详细叙述，本文主要从A ，B 为任意两点的角度出发，谈谈方程①在实际问题中的应用。

例1. 若从椭圆的短轴的一个端点看两个焦点的视角为直角，求椭圆的离心率。

分析：设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则由①式可知，以12F F 为直径的圆的方程为2()()0x c x c y -++=，又短轴的端点(0,)b ±在此圆上，从而220b c -=，再由222b a c =-，可以求得离心率2c e a ==。

例2.已知点P 在直线2x =上移动，直线l 通过原点且与OP 垂直，通过点A （1，0）及点P 的直线m 与直线l 相交于点Q ，求点Q 的轨迹。

分析：设点P 、Q 的坐标分别为1(2,)y ，22(,)x y ，则由①可以得以PQ 为直径的圆的方程为：212(2)()()()0x x x y y y y --+--=，又此圆过原点，故21220x y y +=，根据AP AQ k k =，可得2121y y x =-，于是2222201y x x +=-，经过整理得点Q 的方程为：2214()212x y -+=(1)x ≠。

高中数学解题中圆系方程的应用分析获奖科研报告摘要：高中数学具有较强的逻辑性要求，题目的综合性比较明显，将圆系方程运用于高中数学解题过程中，能够在一定程度上降低数学题的难度，帮助理解和分析题干，进而提升学生的解题正确率.本文主要探讨圆系方程在实际数学解题过程中的运用，列举了几个高中数学的经典题型，进行详细分析.关键词：高中数学解题圆系方程应用圆系方程的主要运用方式是将参数与图像相结合，以便于加深学生对题干的理解.在几何题解题过程中，适合既定条件的圆构成了一个圆系，一个圆系的共同形式的方程称之为圆系方程.将圆系方程运用于高中几何题型中，能帮助有效解决几何问题，提高解题效率.因此，有必要对圆系方程在数学解题中的具体应用进行研究和探讨.一、借助圆系方程求圆的方程高中数学具有一定的逻辑性和抽象性，学生在学习过程中若不是全身心投入，则很容易将各项概念和性质等混淆，导致教学效率不高.教材中关于求圆的方程式的内容和经典题型比较多，但一般的解题思路是通过已知条件求得圆的半径和圆心标之后，再得出圆的方程式.这种方法的操作比较麻烦，不利于学生在考试过程中使用.并且过长的计算时间容易导致学生在解题过程中出现计算错误或常识性失误等.若借助圆系方程，则可首先假设适合已知条件的圆系方程，列出含有未知数l的相关参数，并依据题干给出的条件进行运算，求出直径l的值，这样，运算量明显减少.在给出的解题参考中，先对两圆的交点坐标进行求解，再假设方程，将已知的点直接代入，借助待定系数法求得待定系数的值，最后得出圆的方程.相比之下，圆系方程的运用，减少了解题耗费的时间.需注意的是，实际解题过程中，学生切不可不认真审题就直接采用圆系方程求解.使用圆系方程的基本前提是了解题干及潜在解题条件，充分分析完题干，再选择求解方式.二、求两圆的公共弦或两圆的公切线方程针对这一类型数学题，一般解题思路是将两圆的方程看做F（x，y）+λG（x，y）=0，取λ的值为-1，则可解答方程，这种解题方式相对比较简单.由于教材中没有涉及具体圆系方程的知识点，可将其转换为一般式方程之后联立，将两个方程式相减，可得到两圆的公切线方程.一般情况下，借助圆系方程解决此类问题，需首先确定两圆的位置关系，再进行下一步的计算.例2：已知圆C：x+y+2x+8y-8=0，圆C：x+y-4x-4y-2=0，求两圆的位置关系.根据教材内容可知，两圆存在不止一个公共点.此题的解题关键是确定两圆的位置关系，在清楚了位置关系之后，即可借助圆系方程，求出两圆的公共直线的方程式.此时可知公共弦的方程式为x+2y-1=0.此时需注意的是，若无法准确判断两圆的位置关系，经过计算所得的直线方程，不能直接将其界定为公共弦，或者公切线方程.学生在实际解题过程中应认真理解题干和要求，有效利用已知条件及蕴含条件进行解题.通过圆系方程的运用，简化了原本需要联立方程式和计算的过程，大大缩短了解题时间.同时，此题运用圆系方程解题的正确率更高，学生不易由于数字特征而产生常识性失误.三、借助圆系方程判断直线与圆的位置关系高中数学中，要求对直线与圆的位置关系进行判断，是比较常见的题型.教材中给出了代数解题法和几何解题法两种，代数法需要对方程进行消元处理，继而得到一元二次方程，这一方法的计算量比较大，学生容易在解题过程中发生计算错误等问题.因此，解题过程中可尽量不用代数法.几何法相对更简单一些，首先求出圆心距直线的距离d，再将半径r与直线d进行大小判断，通过两者的关系确认，进而判断圆与该直线的位置关系.但几何法大多运用于比较简单的问题.针对部分比较难的问题，借助圆系方程进行解答准确性更高，也更简便.例3：圆系方程x+y+2kx+（4k+10）y+10k+20=0（k∈R，k≠-1）中，求任意两个圆的位置关系.此题中的圆系方程可转换为x+y+10y+20+k（2x+4y+10）=0；由方程2x+4y+10=0，以及x+y+10y+20=0，可知该方程表示的直线与圆呈相切的关系.因此，可得该圆系方程表示的两个圆有一个公共点.四、借助圆系方程求最小面积的圆的方程高中数学中，求最小面积或最大面积的圆的方程的题型比较常见，常规的解题方法也相似，即只要知道满足圆的最小面积的半径的方程式即可.而将圆系方程运用于这类题型中，解题过程则更加简单.例4：求经过两圆x+y=5，（x-1）+（y-1）=16的交点，且面积最小的圆的方程.此题若采用常见的解题方法，需首先联立方程，求得两圆的交点.再设所求的对象圆的方程，在其中发现各项变量之间的关系，最终获得半径的最小值.这类解题方法有一定的可行性，但解题所需时间较多.借助圆系方程则可减少运算所需的时间，提高解题效率.两圆相交直线的方程式为2x+2y-11=0，则经过直线2x+2y-11=0与圆x+y=5相交的点的圆系方程为x+y-25+l（2x+2y-11）=0，为了求得最小半径，两圆的相交直线须为所求的圆的直径；因此圆心坐标为（-1，-1），在弦2x+2y-11=0上，所以l=-，所求的圆的方程表示为（x-）+（y-）=.需注意的是，在高中数学题中，通常求最小面积的圆的方程与求最大面积的圆的方程的题型比较多，两者有相似之处.高中数学题一般具有较强的综合性，对学生逻辑思考能力和解题思维都有所要求.将圆系方程运用于高中数学解题过程中，通过简化题干、设已知条件等方式，不仅能够减少解题所耗费的时间，简化解题程序，还能够促使学生能够在更短的时间内完成解题.并且，在不断的训练和解题过程中，学生逐渐养成较强的逻辑思维和解题习惯，进而促进数学成绩的提高.此外，教师应引起注意，积极寻找解决该类问题的途径，从而使学生在考试当中获得理想的成绩.。

圆的通用方程圆的通用方程圆是平面几何中的一种基本图形，它具有许多重要的性质和应用。

在数学中，圆可以用不同的方式来表示和描述，其中最常用的是通用方程。

一、圆的定义圆是一个平面上所有到定点距离相等的点构成的集合。

这个定点称为圆心，到定点距离称为半径。

半径相等的圆互相重合。

二、圆的标准方程在直角坐标系中，如果一个圆心坐标为(h,k)，半径为r，则这个圆可以表示为：(x-h)² + (y-k)² = r²这就是标准方程。

其中，(x,y)表示平面上任意一点的坐标。

三、通过图像理解通用方程通用方程也可以通过图像来理解。

假设有一个以原点为中心，半径为r 的圆，则它可以表示为：x² + y² = r²这个公式描述了所有到原点距离等于r的点构成的集合。

如果将原点移到(h,k)，则公式变成：(x-h)² + (y-k)² = r²这个公式描述了所有到(h,k)距离等于r的点构成的集合。

四、如何从通用方程求出其他参数？从通用方程可以求出圆的半径、圆心坐标和直径等参数。

具体方法如下：1. 半径：将通用方程中的r²提取出来，即可得到半径的值。

2. 圆心坐标：将通用方程展开，化简后得到形如x² + y² + Dx + Ey +F = 0的一般式方程。

然后，通过配方法，将它转化为(x - h)² + (y -k)² = r²的形式，即可得到圆心坐标(h,k)。

3. 直径：直径是圆上两点之间的最长距离。

因此，可以在通用方程中找到两个点，并计算它们之间的距离。

这个距离就是直径。

五、例题解析例题1：已知圆心坐标为(2,-3)，半径为5，求该圆的通用方程。

解：根据公式(x-h)² + (y-k)² = r²，代入已知数据可得：(x-2)²+ (y+3)² = 25这就是该圆的通用方程。

已知直径求圆的方程在学习初中数学的时候，我们已经学过了圆的基本概念和性质。

比如，圆是由所有到圆心距离相等的点组成的闭合图形。

而圆的方程则是帮助我们描述和表示圆的数学式子。

在这里，我们要探讨的是，如果已知圆的直径，如何求出它的方程。

第一步，求出圆心坐标在解决圆的方程问题时，首先需要知道的是圆心的坐标。

如果我们知道了圆的直径，其实也就知道了圆心的坐标。

因为圆的直径就是连接圆上任意两点，并且穿过圆心的线段。

因此，我们可以找出直径的中点，这个点就是圆心的坐标。

举个例子来说，如果我们知道了直径的两个端点的坐标分别是（x1，y1）和（x2，y2），那么连接这两个点的线段的中点坐标就是：[(x1+x2)/2, (y1+y2)/2]。

这个中点的坐标就是圆心的坐标。

第二步，利用圆心坐标和半径求圆的方程已知圆心和半径，我们就能够确定圆的方程了。

圆的一般式是 (x-a)² + (y-b)² = r²，其中（a，b）是圆心的坐标，r是半径。

如果我们知道了圆心的坐标和半径大小，那么将这些值代入圆的一般式中，就能够得到圆的方程。

比如，对于一个圆心坐标为（2，5），半径为4的圆来说，它的方程就是 (x-2)² + (y-5)² = 16。

在这个例子中，我们已经利用圆心坐标和半径求出了圆的方程。

而且这个例子相对来说比较简单，我们假设已知了圆的直径，而实际上，如果我们只知道圆的一些点的坐标，求解就会更加困难和复杂。

总结通过以上的分析，我们可以得出结论，已知圆的直径求圆的方程，实际上就是利用直径求出圆心坐标，进而通过圆心坐标和半径求出圆的方程。

当然，具体问题具体分析，如果所给的信息比较复杂，那么解决起来也需要更加优美巧妙的数学方法。

圆的直径式方程推导【实用版】目录1.圆的定义和基本性质2.圆的直径3.圆的直径式方程4.圆的直径式方程的推导过程5.结论正文一、圆的定义和基本性质圆是一个平面上所有到一个固定点的距离相等的点的集合。

这个固定点被称为圆心，而到圆心的距离被称为半径。

圆有许多基本性质，如所有圆的圆心都在圆的直径上，圆的直径是圆内最长的线段等等。

二、圆的直径圆的直径是通过圆心，并且两端都在圆上的线段。

直径在圆中有着特殊的地位，因为它是圆内最长的线段，而且任何一条直径都可以将圆平分为两个半圆。

三、圆的直径式方程圆的直径式方程是指用圆的直径和圆心坐标来表示圆的方程。

它的形式通常为：(x-a) + (y-b) = (d/2)，其中 (a,b) 是圆心的坐标，d 是圆的直径。

四、圆的直径式方程的推导过程我们可以通过以下步骤推导出圆的直径式方程：1.假设圆的方程为 (x-a) + (y-b) = r，其中 (a,b) 是圆心的坐标，r 是半径。

2.圆的直径 d 的两个端点为 (a-d/2, b) 和 (a+d/2, b)，它们在圆上，所以满足圆的方程。

3.将这两个端点的坐标代入圆的方程，得到：(a-d/2-a) + (b-b) = r(a+d/2-a) + (b-b) = r4.简化上述方程，得到：d/4 = r5.因为 r = d/2，所以可以得到：d/4 = (d/2)6.解出 d = 4(d/2)，得到 d = 2r。

7.所以，圆的直径式方程为：(x-a) + (y-b) = (d/2)，也就是 (x-a) + (y-b) = r。

圆的方程知识点及题型归纳总结知识点精讲一、基本概念 平面内到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫圆. 二、基本性质、定理与公式 1.圆的四种方程（1）圆的标准方程：222)()(r b y a x =-+-，圆心坐标为(a ,b )，半径为)0(>r r （2）圆的一般方程：)04(02222>-+=++++F E D F Ey Dx y x ，圆心坐标为⎪⎭⎫⎝⎛--2,2E D ，半径2422FE D r -+=（3）圆的直径式方程：若),(),,(2211y x B y x A ，则以线段AB 为直径的圆的方程是0))(())((2121=--+--y y y y x x x x（4）圆的参数方程：①)0(222>=+r r y x 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x （θ为参数）；②)0()()(222>=-+-r r b y a x 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=θθsin cos r b y r a x （θ为参数）.注 对于圆的最值问题，往往可以利用圆的参数方程将动点的坐标设为)sin ,cos (θθr b r a ++（θ为参数，(a,b )为圆心，r 为半径），以减少变量的个数，建立三角函数式，从而把代数问题转化为三角问题，然后利用正弦型或余弦型函数的有界性求解最值.2.点与圆的位置关系判断（1）点),(00y x P 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系： ①⇔>-+-222)()(r b y a x 点P 在圆外； ②⇔=-+-222)()(r b y a x 点P 在圆上； ③⇔<-+-222)()(r b y a x 点P 在圆内.（2）点),(00y x P 与圆022=++++F Ey Dx y x 的位置关系：①⇔>++++0002020F Ey Dx y x 点P 在圆外； ②⇔=++++0002020F Ey Dx y x 点P 在圆上； ③⇔<++++0002020F Ey Dx y x 点P 在圆内.题型归纳及思路提示题型1 求圆的方程 思路提示（1）求圆的方程必须具备三个独立的条件，从圆的标准方程上来讲，关键在于求出圆心坐标(a,b )和半径r ；从圆的一般方程来讲，必须知道圆上的三个点.因此，待定系数法是求圆的方程常用的方法.（2）用几何法来求圆的方程，要充分运用圆的几何性质，如圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上，半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形等. 例9.17 根据下列条件求圆的方程：（1）ABC ∆的三个顶点分别为A (-1,5),B (-2,-2),C (5,5),求其外接圆的方程； （2）经过点A (6,5),B (0,1),且圆心在直线3x +10y +9=0上； （3）经过点P (-2,4),Q (3,-1),且在x 轴上截得的弦长等于6. 分析 根据待定系数法求出相应的量即可.解析 （1）解法一：设所求圆的方程为022=++++F Ey Dx y x ，则由题意有，⎪⎩⎪⎨⎧=+++=++--=+++-0505508220265F E D F E D F E D 解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=2024F E D 故所求圆的方程为0202422=---+y x y x解法二：由题意可求得AC 的中垂线方程为x =2,BC 的中垂线方程为x +y -3=0，所以圆心是两条中垂线的交点P (2,1),且半径5)51()12(||22=-++==AP r所以所求圆的方程为25)1()2(22=-+-y x 即0202422=---+y x y x（2）AB 的中垂线与AB 垂直，则斜率231-=-=ABk kAB 的中点(3,3)，则由点斜式可得)3(233--=-x y ， 即线段AB 的中垂线方程为3x+2y-15=0由⎩⎨⎧=++=-+0910301523y x y x ，解得⎩⎨⎧-==37y x ，所以圆心为C(7,-3),又65||=BC故所求的圆的方程为65)3()7(22=++-y x（3）设圆的方程为022=++++F Ey Dx y x ，将点P ，Q 的坐标分别代入，得⎩⎨⎧-=+-=--1032042F E D F E D ，又令y =0,得02=++F Dx x .设21,x x 是方程的两根，则由韦达定理有F x x D x x =-=+2121,，由6||21=-x x有364)(21221=-+x x x x ，即3642=-F D解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=842F E D 或⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=086F E D故所求圆的方程为084222=---+y x y x 或08622=--+y x y x评注 圆的方程有两种形式：标准方程和一般方程.求圆的方程问题一般采用待定系数法，并有两种不同的选择，一般地，已知圆 上的三点时用一般方程；已知圆心或半径关系时用标准方程.即首先设出圆的方程（标准方程或一般方程），然后根据题意列出关于圆的方程中参数的方程（组），解方程或方程组即可求得圆的方程.一般地，确定一个圆需要三个独立的条件.变式1 求过点A(6,0),B(1,5),且圆心在直线0872:=+-y x l 上的圆的方程. 变式2 在平面直角坐标系xOy 中，曲线与坐标轴的交点都在圆C 上，求圆C 的方程例9.18 已知圆的半径为10，圆心在直线y =2x 上，圆被直线y=x 截得的弦长为24，求此圆的方程. 分析 求圆的标准方程，就是求222)()(r b y a x =-+-中的a,b,r ，可优先考虑待定系数法. 解析 解法一：设圆的方程为10)()(22=-+-b y a x .由圆心在直线y=2x 上，得b=2a （①） 由圆在直线y=x 上截得的弦长为24，将y=x 代入10)()(22=-+-b y a x ，整理得010)(22222=-+++-b a x b a x 由弦长公式，得24||221=-x x即24)10(2)(2222=-+-+b a b a ，化简得2±=-b a （②） 由式①②可得⎩⎨⎧==42b a 或⎩⎨⎧-=-=42b a故所求圆的方程为10)4()2(22=-+-y x 或10)4()2(22=+++y x解法二：据几何性质，半径、弦长的一半、弦心距构成直角三角形，可得弦心距2)22(22=-=r d ，又弦心距等于圆心(a,b )到直线x-y =0的距离，即22||=-=b a d ，又已知b =2a ，解得⎩⎨⎧==42b a 或⎩⎨⎧-=-=42b a 故所求圆的方程为10)4()2(22=-+-y x 或10)4()2(22=+++y x 评注 注意灵活运用垂径定理来简化圆中弦长的求解过程.变式1 求与x 轴相切，圆心在直线3x-y =0上，且被直线x-y =0截得的弦长为72的圆的方程例9.19 圆01222=--+x y x 关于直线2x -y +3=0对称的圆的方程是（ ）A.21)2()3(22=-++y x B.21)2()3(22=++-y xC.2)2()3(22=-++y x D.2)2()3(22=++-y x解析 解法一：（推演法）将圆的方程01222=--+x y x 化为标准方程2)1(22=+-y x ，得圆心为(1,0)，半径为2，设对称圆的圆心坐标为(a,b)，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=+-+⨯2110032212a b b a ,得⎩⎨⎧=-=23b a . 故对称圆的方程是2)2()3(22=-++y x 解法二：（排除法）将圆的方程01222=--+x y x 化为标准方程2)2(22=+-y x ,得2=r ,则对称圆的半径也应为2，故排除选项A,B ，在选项C 中，圆心为(-3,2)，验证两圆圆心所在的直线的斜率为211302-=---，与直线032=+-y x 垂直.故选C评注 根据圆的性质求圆关于直线的对称圆的方程问题，一般转化为求圆心关于直线对称点的问题，半径保持不变.变式1 若不同两点P ,Q 的坐标分别为，)3,3(),,(a b b a --,则线段PQ 的垂直平分线l 的斜率为________，圆1)3()2(22=-+-y x 关于直线l 对称的圆的方程为______题型2 直线系方程和圆系方程 思路提示求过两直线交点（两圆交点或直线与圆交点）的直线方程（圆系方程）一般不需求其交点，而是利用它们的直线系方程（圆系方程）.（1）直线系方程：若直线0:1111=++C y B x A l 与直线0:2222=++C y B x A l 相交于点P ，则过点P 的直线系方程为：0)()(22221111=+++++C y B x A C y B x A λλ)0(2221≠+λλ简记为：)0(022212211≠+=+λλλλl l 当01≠λ时，简记为：021=+l l λ（不含2l ）（2）圆系方程：若圆0:111221=++++F y E x D y x C 与圆0:222222=++++F y E x D y x C 相交于A,B两点，则过A,B两点的圆系方程为：)1(0)(2222211122-≠=+++++++++λλF y E x D y x F y E x D y x简记为：)1(021-≠=+λλC C ，不含2C当1-=λ时，该圆系退化为公共弦所在直线（根轴）0)()(:212121=-+-+-F F y E E x D D l 注 与圆C 共根轴l 的圆系0:=+l C C λλ例9.20 （1）设直线01:1=+-y x l 与直线022:2=++y x l 相交于点P,求过点P 且与直线0132:3=--y x l 平行的直线4l 的方程.（2）求圆心在直线0143=-+y x 上且过两圆0222=-+-+y x y x 与522=+y x 的交点的圆的方程.分析 把两条直线（圆）的方程联立，解得直线（圆）的交点坐标的方法看似平常，实则复杂难解，而利用直线系（圆系）方程的概念，则较易求得答案.解析 （1）解法一：由⎩⎨⎧=++=+-02201y x y x ，得交点)0,1(-P .因为34//l l ，故设032:4=+-C y x l ，又4l 过点)0,1(-P ，故0)1(2=+-C ，得2=C即0232:4=+-y x l解法二：设0)1(22:4=+-+++y x y x l λ，即02)1()2(:4=++-++λλλy x l 因为34//l l ，所以）（）（λλ-=+-1223，得8-=λ，故0232:4=+-y x l (2)设所求圆为)1(0)5(222-≠=-++-+-+λλy x y x y x 化为一般式0152111122=++-+++-+λλλλy x y x 所以)1(212,)1(212λλ+-=-+=-E D ，故圆心为⎪⎭⎫ ⎝⎛++）（，）（λλ121-121代入直线0143=-+y x 中，得01)1(24)1(23=-+-+λλ解得23-=λ，把23-=λ代入所设的方程中，得0112222=--++y x y x 故所求圆的方程为0112222=--++y x y x评注 直线系或圆系是具有共同性质的直线或圆的集合，在解题过程中适当利用直线系或圆系方程，往往能够简化运算，快速得出结论.变式1 过直线042=++y x 和圆014222=+-++y x y x 的交点且面积最小的圆的方程是_________ 变式2 （1）设直线0:1=-y x l 与直线04:2=-+y x l 相交于点P ，求过点P 且与直线0543:3=++y x l 垂直的直线4l 的方程.（2）已知圆042:22=---+m y x y x C ，若直线02:=-+y x l 与圆C 相交于A,B 两点，且OB OA ⊥（O 为坐标原点），求m 的值和以AB 为直径的圆的方程.题型3 与圆有关的轨迹问题 思路提示要深刻理解求动点的轨迹方程就是探求动点的横纵坐标x,y 的等量关系，根据题目条件，直接找到或转化得到与动点有关的数量关系，是解决此类问题的关键所在.例9.21（2012北京丰台高三期末理18）在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，动点P 与两个定点)0,4(),0,1(N M 的距离之比为21.（1）求动点P 的轨迹W 的方程；（2）若直线3:+=kx y l 与曲线W 交于A,B 两点，在曲线W 上是否存在 一点Q ，使得OB OA OQ +=，若存在，求出此时直线l 的斜率；若不存在，说明理由. 解析 （1）设点P 的坐标为),(y x P ，由题意知21||||=PN PM ，即2222)4()1(2y x y x +-=+- 即4:22=+y x W（2）因为直线3:+=kx y l 与曲线W 相交于A,B 两点，所以213),(2<+=kl O d即25>k 或25-<k ① 假设曲线W 上存在点Q ，使得2||,=+=OQ OB OA OQ 因为A,B 在圆上，所以||||OB OA =，且OB OA OQ +=由向量加法的平行四边形法则可知四边形OAQB 为菱形，所以OQ 与AB 互相垂直平分. 故1||21),(==OQ l O d ，即1132=+k，解得22±=k ，符合式①所以存在点Q ，使得OB OA OQ +=评注 在平面上到两定点的距离之比不为1的正数的动点轨迹为圆. 变式1 在ABC ∆中，若BC AC AB 2,2==，则ABC S ∆的最大值为__________变式2 （2012北京石景山一模理8）如图9-10所示，已知平面B A l ,,=βα 是l 上的两个点，C,D 在平面β内，且αα⊥⊥CB DA ,,AD =4,AB =6,BC =8，在平面α上有一个动点P ，使得BPC APD ∠=∠，则P-ABCD 体积的最大值是（ ）A.324B.16C.48D.144例9.22 如图9-11所示，已知P (4,0)是圆3622=+y x 内的一点，A,B 是圆上两动点，且满足︒=∠90APB ，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程解析 解法一：设AB 的中点为R ,点Q 的坐标为(x,y ),则在ABP Rt ∆中||||PR AR =，又因为R 是弦AB 的中点，由垂径定理，在ORA Rt ∆中36||||22=+OR AR ，又2222|)|2(|)|2()|||(|2PR OR OP OQ +=+(*), 得72362)|||(|2||||2222=⨯-+=+PR OR OP OQ , 故56||72||22=--OP OQ则矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程是5622=+y x 解法二：设AB 的中点为R ，Q 的坐标为(x,y),则⎪⎭⎫⎝⎛+2,24y x R ，在矩形APBQ 中有||21||||PQ AR PR ==在ORA Rt ∆中，36||||||222==+OA RA OR则()[]364412242222=+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x y x ，即5622=+y x 评注 式（*）的依据是，平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和.在矩形APBQ 中，O 为矩形APBQ 外一点，有2222OB OA OQ OP +=+变式1 已知圆422=+y x 上一定点A (2,0),B (1,1)为圆内的一定点，P ，Q 为圆上的动点.（1）求线段AP 中点M 的轨迹方程；（2）若︒=∠90PBQ ，求线段PQ 中点N 的轨迹.变式2 已知点P (0,5)及圆024124:22=+-++y x y x C（1）直线l 过P 且被圆C 截得的线段长34||=AB ，求l 的方程； （2）求过点P 的圆C 的动弦的中点M 的轨迹方程.题型4 用二元二次方程表示圆的一般方程的充要条件 思路提示方程022=++++F Ey Dx y x 表示圆的充要条件是0422>-+F E D ，故在解决圆的一般式方程的有关问题时，必须注意这一隐含条件.在圆的一般方程中，圆心为⎪⎭⎫⎝⎛--2,2E D ，半径F E D r 42122-+=例9.23方程0122222=-+++++a a ay ax y x 表示圆，则a 的取值范围是（ ）A.()2,-∞-B.⎪⎭⎫⎝⎛-0,32 C.()0,2-D.⎪⎭⎫ ⎝⎛-32,2解析 由0122222=-+++++a a ay ax y x可得0143)(2222>+--=++⎪⎭⎫ ⎝⎛+a a a y a x即04432<-+a a ，得322<<-a .故选D 评注 对于用二元二次方程表示圆的方程的充要条件的不等式不需要记忆，只需通过配方，然后让右边大于零即可变式1 方程042422=+-++m y mx y x 表示圆的方程的充要条件是（ ）A.⎪⎭⎫ ⎝⎛∈1,41mB.()+∞∈,1mC.⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-∈41,mD. ),1(41,+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-∈ m变式2 若圆02)1(222=-+-++a ay x a y x 关于直线01=+-y x 对称，则实数a 的值为______ 题型5 点与圆的位置关系判断 思路提示在处理点与圆的位置关系问题时，应注意圆的不同方程形式对应的不同判断方法，另外还应注意其他约束条件，如圆的一般方程的隐含条件对参数的制约.例9.24 若点A (1,1)在圆4)()(22=++-a y a x 的内部，则实数a 的取值范围是（ ）A.)1,1(-B.)1,0(C.),1()1,.(+∞-∞-D.{}1,1-解析 点A (1,1)在圆内部，满足4)()(22<++-a y a x ，即4)1()1(22<++-a a ，解得11<<-a 故选A评注 判断点与圆的位置关系的代数方法为若点),(00y x P 在圆上,则22020)()(r b y a x =-+-； 若点),(00y x P 在圆外,则22020)()(r b y a x >-+-； 若点),(00y x P 在圆内,则22020)()(r b y a x <-+-.反之也成立.变式1 点A (1,0)在圆0332222=-++-+a a ax y x 上，则a 的值为_______变式2 过占P (1,2)可以向圆024222=-+-++k y x y x 引两条切线，则k 的范围是（ ）A.)7,(-∞B.)7,0(C.)7,3(D.),5(+∞题型6 与圆有关的最值问题 思路提示解决此类问题，应综合运用方程消元法、几何意义法、参数方程法等各种思想和方法求解，才能做到灵活、高效.例9.25 已知实数x,y 满足方程01422=+-+x y x（1）求xy的最大值和最小值； （2）求x y -的最大值和最小值；（3）求22y x +的最大值和最小值分析 方程01422=+-+x y x 表示圆心为（2，0），半径为3的圆.--=x y x y 的几何意义是圆上一点M(x,y)与原点连线的斜率；设y-x=b ，可看作直线y=x+b 在y 轴上的截距；22y x +是圆上一点与原点距离的平方，可借助于平面几何知识，利用数形结合的方法求解.解析 （1）原方程可化为3)2(22=+-y x ，表示以点（2，0）为圆心，以3为半径的圆.设k xy=，即kx y =.当直线kx y =与圆相切时，斜率最大值和最小值，此时31|02|2=+-k k ，解得3±=k故xy的最大值为3，最小值为3- （2）设y-x =b ，即y =x +b ，当y =x +b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值和最小值，此时32|02|=+-b ，即62±-=b ，故y-x 的最大值为62+-，最小值为62--（3）解法一：（几何法）22y x +表示圆上点与原点距离的平方，由平面几何知识知它在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2，故()347)32(2max22+=+=+y x,()347)32(2min22-=-=+y x解法二：（参数方程法）把圆的方程化为标准方程3)2(22=+-y x设⎪⎩⎪⎨⎧=+=θθsin 3cos 32y x （θ为参数,)2,0[πθ∈） 则()θθθcos 347)sin 3(cos 322222+=++=+y x故当1cos -=θ时，()347)32(2min22-=-=+y x当1cos =θ时，()347)32(2max22+=+=+y x解法三：（方程消元法）由圆的标准方程为3)2(22=+-y x ，可得222(3）--=x y且[]32,32+-∈x故14)2(32222-=--+=+x x x y x 由[]32,32+-∈x故[]347,3471422+-∈-=+x yx故所求最大值为347+，最小值为347-评注 涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解.一般地：（1）形如ax b y --=μ的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题. （2）形如by ax t +=的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题.（3）形如22)()(b y a x m -+-=的最值问题，可转化为曲线上的点到点(a,b)的距离平方的最值问题 变式 1 若圆1)1(22=-+y x 上任意一点(x,y )都使不等式0≥-+m y x 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A.]21,(--∞B.),21[+∞-C.]12,(---∞D.]12,(+-∞ 变式2 若圆1)1(22=-+y x 上任意一点(x,y )都使不等式0)2(22≥-+-m y x 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A.]21,(--∞ B.),51[+∞- C.]15,(--∞ D.]15,(+-∞题型7 数形结合思想的应用思路提示研究曲线的交点个数问题常用数形结合法，即需要作出两种曲线的图像.在此过程中，尤其要注意需对代数式进行等价变形，以防出现错误.例9.26 方程225x y --=表示的曲线是（ ）A.一条射线B.一个圆C.两条射线D.半个圆分析 对于方程的变形要注意等价性，即在变形前，先制约变量的取值范围解析 由题可知0,55≤≤≤-y x ，且2522=+y x ，故原方程表示圆心在（0，0），半径为5的下半圆.故选D变式1 方程21y x -=表示的曲线是（ ）A.一条射线B.一个圆C.两条射线D.半个圆 例9.27 直线b x y +=与曲线21y x -=有且仅有一个公共点，则b 的取值范围是（ ） A.{}2,2- B.{}211|-=≤<-b b b 或 C.{}11|≤≤-b b D.{}2|≥b b 分析 利用数形结合法求解解析 将曲线方程21y x -=变形为)0(122≥=+x y x ，当直线b x y +=与曲线122=+y x 相切时，满足12|00|=--b ，整理可得2||=b ，即2±=b .如图9-12所示，可得当2-=b 或11≤<-b 时，直线b x y +=与曲线21y x -=有且仅有一个公共点.故选B变式1 当曲线241x y -+=与直线4)2(+-=x k y 有两个相异交点时，实数k 的取值范围是（ ） A.⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,125 B.⎥⎦⎤ ⎝⎛43,125 C.⎪⎭⎫ ⎝⎛125,0 D.⎥⎦⎤ ⎝⎛43,31 变式2 若直线b x y +=与曲线243x x y --=有公共点，则b 的取值范围是（ ） A.[]221,1+- B.[]221,221+- C.[]3,221- D.[]3,21- 变式3 设集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈≤+-≤=R y x m y x m y x A ,,)2(2),(222, {}R y x m y x m y x B ∈+≤+≤=,,122),(，若A B ≠∅，则实数m 的取值范围是_______有效训练题1.若直线y =kx 与圆03422=+-+x y x 的两个交点关于直线x +y +b =0对称，则（ ）A.k=1,b=-2B.k=1,b=2C.k=-1,b=2D.k=-1,b=-2 2.若点(4a -1,3a +2)不在圆25)2()1(22=-++y x 的外部，则a 的取值范围是（ ） A.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-55,55 B.)1,1(- C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-55,55 D.]1,1[- 3.设椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为21=e ，右焦点为)0,(c F ，方程02=-+c bx ax 的两个实根分别为1x 和2x ，则点),(21x x P （ ）A.必在圆222=+y x 内B.必在圆222=+y x 上C.必在圆222=+y x 外D.以上三种情形都有可能 4.已知圆422=+y x ，过点A (4,0)作圆的割线ABC ，则弦BC 中点的轨迹方程是（ ） A.⎪⎭⎫ ⎝⎛<≤-=+-2114)1(22x y x B. ()104)1(22<≤=+-x y xC. ⎪⎭⎫ ⎝⎛<≤-=+-2114)2(22x y x D. ()104)2(22<≤=+-x y x 5.已知两点A (-1,0),B (0,2)，点P 是圆1)1(22=+-y x 上任意一点，则PAB ∆面积的最大值与最小值分别是（ ） A.)54(21,2- B.)54(21),54(21-+ C.54,5- D. )25(21),25(21-+ 6.已知圆C 的方程为012222=+-++y x y x ，当圆心C 到直线04=++y kx 的距离最大时，k 的值为（ ） A.31 B.51 C.31- D.51- 7.定义在),0(+∞上的函数f (x )的导函数0)('<x f 恒成立，且1)4(=f ，若1)(22≤+y x f ，则y x y x 2222+++的最小值是______8.已知圆C 经过()()5,1,1,3A B 两点，圆心在x 轴上，则圆C 的方程为______9.已知直线R m m x y l ∈+=,:.若以点M (2,0)为圆心的圆与直线l 相切于点P ，且点P 在y 轴上，该圆的方程为_______10.根据下列条件求圆的方程.（1）经过点(1,1)P 和坐标原点，并且圆心在直线2310x y ++=上；（2）圆心在直线4y x =-上，且与直线:10l x y +-=相切于点(3,2)P -；（3）过三点(1,12),(7,10),(9,2)A B C -（4）已知一圆过(4,2),(1,3)P Q --两点，且在y 轴上截得的线段长为.11.设定点(3,4)M -，动点N 在圆224x y +=上运动，以,OM ON 为两边做平行四边形MONP ，求点P 的轨迹方程.12.集合22(,)|((1)4A x y x y ⎧⎫⎪⎪=++≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭， 集合{}22()(,)|22,B m x y y x mx m m m R ==-++∈，设集合B 是所有()B m 的并集，求A B ⋂的面积。

圆的两点式方程1 圆的两点式方程已知一个圆直径的两端点分别是1122(,)(,)A x y B x y 、，则圆的方程是1212()()()()0x x x x y y y y --+--=.证明：设点(,)P x y 是圆上除,A B 外任意一点，则2APB π∠=,即0PA PB =,所以 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=，易证,A B 两点也适合该方程.方程1212()()()()0x x x x y y y y --+--=给出了圆的方程的一种形式，因为只涉及到直径两端点，因此该方程可定义为圆的两点式方程；圆的两点式方程形式简洁对称，更好地反映了圆的一些特征，下面通过实例谈谈该方程的应用.2 圆的两点式方程的直接应用例1 已知两点12(49)(6,3)M M ，，,求以12M M ，为直径的圆的方程.解 由圆的两点式方程得(4)(6)(9)(3)0x x y y --+--=，化简得22+1012510x y x y ---=.3 圆的两点式方程的变式应用圆的两点式方程实质上也可以解决以直线与二次曲线相交的弦为直径的圆的问题. 将方程1212()()()()0x x x x y y y y --+--=变形可得：2212121212()()0x y x x x y y y x x y y +-+-+++=，该形式含有12121212,,,x x y y x x y y ++， 而1212,,,x x y y 是直线方程与二次曲线方程联立分别消去,y x 所得方程的两根，结合韦达定理可解决以直线与二次曲线相交的弦为直径的圆的问题.例2 设椭圆22132x y +=的左焦点、右焦点分别为12,F F ，过右焦点2F 的直线l 交椭圆于B A 、两点，若以AB 为直径的圆经过左焦点1F ，求直线l 的方程.解 当直线l 的斜率不存在时，此时直线l 的方程：1x =，易知不合题意.当直线l 的斜率存在时，设直线l 的斜率为k ，直线方程为(1)y k x =-，设1122(,),(,)A x y B x y ，则以AB 为直径的圆的方程为2212121212()()0x y x x x y y y x x y y +-+-+++=，因为左焦点1F 在圆上，所以12121210(1)x x x x y y ++++=联立方程22(1),23 6.y k x x y =-⎧⎨+=⎩得2222(32)6360k x k x k +-+-=，利用韦达定理222212121212122226364,,[()1]323232k k x x x x y y k x x x x k k k k --+===-++=+++，代入(1)式得，2222124403232k k k k --+=++，解得212k =，22k k ==-，当2k =时，直线l 20,y --=当2k =-时，直线l 20.y +=4 圆的两点式方程的拓展应用设直线(,)0f x y =与二次曲线(,)0g x y =相交于1122(,)(,)A x y B x y 、两点.由(,)0,(,)0.f x y g x y =⎧⎨=⎩消去y 得，21212()0x x x x x x -++=，消去x 得，21212()0y y y x y y -++=.两式相加可得以AB 为直径的圆的方程2212121212()()0x y x x x y y y x x y y +-+-+++=.例3 已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，直线1y x =+与该椭圆交与P 和Q ，且OP OQ ⊥,||PQ =求椭圆方程.解 设椭圆方程为221(0,0)Ax By A B +=>>，1122(,),(,)P x y P x y ，由221, 1.y x Ax By =+⎧⎨+=⎩消去y 得2()210(1)A B x Bx B +++-=，消去x 得2()210(2)A B y Ay A +-+-=，两式相加可得以,P Q 为直径的圆的方程22()()2220A B x A B y Bx Ay A B ++++-++-=，由OP OQ ⊥可知原点(0,0)在圆上，即20(3)A B +-=，由1（）式得122,B x x B A B +=-=-+1211.2B B x x A B --==+，所以2222212121212||()()(1)[()4]PQ x x y y k x x x x =-+-=++-，代入数据化简得 2102[2(1)]4B B =--，再结合(3）式解得,31,22A B ==或13,22A B ==，故所求椭圆方程为2232x y +=或2232x y +=.。

直径式圆的方程
方程为（x-a)(x-c)+（y-b)(y-d)=0。

圆的标准方程（x-a)²+(y-b)²=r²中，有三个参数a、b、r，即圆心坐标为（a，b)，只要求出a、b、r，这时圆的方程就被确定，因此确定圆方程，须三个独立条件，其中圆心坐标是圆的定位条件，半径是圆的定形条件。

几何法：
求出圆心到直线的距离d，半径为r。

d>r，则直线与圆相离。

d=r，则直线与圆相切。

d<r，则直线与圆相交。

如果在平面直角坐标系中还可以直接将直线方程与圆的方程联立得出。

若△＞0则该方程有两个根，即直线与圆有两个交点，相交。

若△＝0则该方程有一个根，即直线与圆有一个交点，相切。

若△＜0则该方程有零个根，即直线与圆有零个交点，相离。

圆的直径式方程公式
《圆的直径式方程公式》是指圆形的直径定义为一个给定的几何形状，使用一个数学表达式来描述它的特性。

圆的直径是指一个圆的中心点到其边缘的距离，也称外径。

求知圆的直径，可由圆的直径式方程来解出：的直径式方程公式为：
（1）D=2(R)
（2）D=2[(A/π)1/2 ]
式1中的“D”表示的是圆的直径，而“R”则表示的是圆的半径，由此可以得出，圆的直径等于其半径的2倍。

式2中的“A”表示的是圆面积，而“π”则表示的是圆周率（π≈3.14），由此可以得出，圆的直径等于（圆面积除以π再开2次方）的2倍。

- 1 -。

圆在直角坐标系的解析式在数学中，圆是几何形状的一种。

它由平面上与一定距离的点构成，这些点到圆心的距离都相等。

在直角坐标系中，圆的方程可以通过解析式表示。

解析式是圆的方程，可以用来描述圆的位置和形状。

圆的一般方程在直角坐标系中，圆的一般方程可以表示为：(x - h)² + (y - k)² = r²其中(h, k)是圆心的坐标，r是圆的半径。

这个方程可以解释为，对于平面上的一点(x, y)，它到圆心的距离的平方等于半径的平方。

圆的标准方程圆的一般方程可以进一步转化为标准方程：(x - a)² + (y - b)² = r²其中(a, b)是圆心的坐标。

标准方程是一种简化的表达形式，将圆心的坐标直接代入方程中。

圆心与半径的关系圆的半径是一个关键参数，它决定了圆的大小。

圆的半径r是圆心到圆周上任意一点的距离。

当圆心(h, k)不为原点时，我们可以通过以下公式计算半径r的值：r = √[(x - h)² + (y - k)²]即圆的半径等于圆心到圆周上任意一点(x, y)的距离。

圆的性质圆具有一些特殊的性质，包括：•圆的直径是圆上任意两点之间的最长距离，它等于半径的两倍。

•圆上任意一点到圆心的距离等于半径的长度。

•圆心到圆上任意一点的切线垂直于半径。

利用这些性质，我们可以解决一些与圆相关的问题，如求解切线的斜率、求解切点的坐标等。

示例问题以下是一些与圆相关的示例问题：问题一：已知一个圆的圆心坐标为(3, 2)，半径为5，求圆的方程。

解答：根据圆的一般方程，我们可以得到：(x - 3)² + (y - 2)² = 25所以圆的方程为(x - 3)² + (y - 2)² = 25。

问题二：如果一个圆的圆心在原点，半径为6，求圆的方程。

解答：根据圆的标准方程，当圆心在原点时，可以得到：x² + y² = 36所以圆的方程为x² + y² = 36。

平面直角坐标系与圆的方程在平面几何学中，平面直角坐标系与圆的方程是非常重要的内容。

平面直角坐标系是一种常见的坐标系，用于描述二维平面上的点的位置。

圆是平面几何中的一个基本图形，具有许多特殊性质和重要应用。

本文将探讨平面直角坐标系与圆的方程，并介绍如何表示和推导圆的方程。

一、平面直角坐标系平面直角坐标系由两条互相垂直的坐标轴组成，通常用x和y表示。

x轴是水平的，y轴是垂直的，它们的交点称为原点O。

在平面直角坐标系中，每个点都可以用一个有序数对(x, y)表示，其中x是点在x轴上的坐标，y是点在y轴上的坐标。

坐标轴上的单位长度通常是相同的，可以是厘米、米或其他单位。

二、圆的方程圆是由平面上所有到一个固定点的距离相等的点构成的集合。

这个固定点称为圆心，与圆心距离相等的距离称为半径。

在平面直角坐标系中，我们可以推导出圆的方程。

假设圆的圆心坐标为(x0, y0)，半径长度为r。

对于任意一个点(x, y)在圆上，它到圆心的距离等于半径r。

根据勾股定理，可以得到下面的方程：(x - x0)² + (y - y0)² = r²这个方程就是圆的一般方程，其中(x0, y0)表示圆心的坐标，r表示半径的长度。

在这个方程中，将x和y代入，如果等式成立，那么点就在圆上；如果等式不成立，点就在圆外。

三、圆的特殊方程除了一般方程外，圆还有一些特殊的方程形式。

1. 标准方程：当圆的圆心在原点O(0,0)时，圆的方程可以简化为：x² + y² = r²这个方程称为圆的标准方程。

2. 平移方程：当圆的圆心不在原点时，可以通过平移变换将圆的方程转化为标准方程。

假设圆的圆心坐标为(x0, y0)，则圆的平移方程可以表示为：(x - x0)² + (y - y0)² = r²这个方程表示圆心平移到了点(x0, y0)，然后再以半径r绘制圆。

四、圆的性质和应用圆作为平面几何中的基本图形，具有许多重要性质和应用。

第二十七章 圆的解析性质及应用【基础知识】圆有如下一系列有趣的解析性质:性质1 圆心为(,)a b ,半径为r 的圆的方程为222()()x a y b r -+-=．性质2 二次方程表示圆的方程所应满足的条件是2240D E F +->,且220x y Dx Ey F ++++=． 性质3 圆心为（,a b ）,半径为r 的圆的参数方程为cos sin x a r y b r θθ=+⋅⎧⎨=+⋅⎩（θ为参数）．性质 4 与两定点(,0)a ,(,0)b （a b ≠）距离的比为mn（n m ≠且0,0n m >>）的点的轨迹是圆:22222222()an bm mn a b x y n m n m ⎛⎫--⎡⎤-+= ⎪⎢⎥--⎣⎦⎝⎭． 性质 5 与两定点(,0)a ,(0,)c 的距离的比为mn (n m ≠且0n >,0m >)的轨迹是圆:2222an x n m ⎛⎫- ⎪-⎝⎭ 2222222()cm mn a c y n m n m ⎛⎫+⎡⎤++= ⎪⎢⎥--⎣⎦⎝⎭． 性质6 以点11(,)A x y ,22(,)B x y 为圆的直径两端点的圆的方程为 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=．注 上述方程可变形为2212121212()()0x y x x x y y y x x y y +-+-+++=．此式说明:若两曲线的两交点坐标满足它,则此两点为这圆的直径的两端点．性质7 若直线(),0f x y =与二次曲线(,)0F x y =相交于P ,Q 两点,且由(,)0,(,)0.f x y F x y =⎧⎨=⎩消去y ,得()0g x =；消去x ,得()0h y =(其中()g x 与()h y 的二次项系数均为1）,那么以P ,Q 为直径端点的圆的直径式方程为()()0g x h y +=．证明 设P ,Q 的坐标分别为11(,)P x y ,22(,)Q x y ,则1x ,2x 是方程()0g x =的两个根；1y ,2y 是方程()0h y =的两个根,即12()()()0g x x x x x =--=,12()()()0h y y y y y =--=．两式相加,有1212()()()()()()0g x h y x x x x y y y y +=--+--=．由性质6,即证得结论成立．性质8 设O 为平面直角坐标系原点,P 为直线l :(,)1g x y Ax By =+=(A ,B 不同时为零）上一点,射线OP 交圆:2222(,)1x y f x y r r=+=于点R ,若点Q 在OP 上且满足22OQ OP OR r ⋅==,则点P 在l 上移动时,Q 点的轨迹是圆2222224()224Ar Br A B r x y ⎛⎫⎛⎫+⋅-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,或(,)(,)0f x y g x y -=． 证明 设00(,)P x y ,(,)Q x y ,则由Q 在OP 上可设OP k OQ =⋅．由2OQ OP r ⋅=,有OQ R OQ ⋅⋅= 2r ,即22r k OQ=,亦即22r OP OQ OQ=⋅,从而2022r x x x y =⋅+,2022r y y x y =⋅+．又00(,)x y 在直线l 上,即有001Ax By +=,亦即2222221r x r yA B x y x y ⋅⋅⋅+⋅=++,由此得222Ar x ⎛⎫- ⎪⎝⎭22224()24Br A B r y ⎛⎫+⋅+-=⎪⎝⎭． 上式又可化为2222x y Ax By r r+=+,故(,)(,)0f x y g x y -=．性质9 过两圆1(,)0f x y =,2(,)0f x y =（或一圆与一二次曲线）交点的圆的方程为1(,)f x y +2(,)0(1)f x y λλ=≠-．注 若1λ=-,则为一直线方程．性质10 设直线l :0Ax By C ++=,圆Γ:222()()x a y b r -+-=,圆心(,)O a b 到直线l 的距离为d =则(1)当d R <时,直线l 与圆Γ相交,反之亦真；(2)当d R =时,直线l 与圆Γ相切,反之亦真； (3)当d R >时,直线l 与圆Γ相离,反之亦真．性质11 直线0Ax By C ++=与圆222x y r +=相切的充要条件是()2222A B r C +=． 性质12 设00(,)M x y ,圆的方程222x y r +=,对于直线l 的方程200x x y y r +=,则(1)当M 在圆上时,l 为圆的切线；(2)当M 在圆外时,l 为圆的切点弦直线；(3)当M 在圆内时,l 为与以M 为中点的弦平行且过此弦端点切线交点的直线．事实上,这可由第二十五章的性质7推论后的注即得．这里,其实l 即为点M 关于圆的极线． 【典型例题与基本方法】例1 已知一圆在x 轴上的截距为a ,b ,在y 轴上的截距为(0)c c ≠,求此圆的方程．解法1 由于圆过点(,0)A a ,(,0)B b ,(0,)C c 三点,则圆心M 在AB ,AC 的垂直平分线上,即M 点是两直线1()2x a b =+,2222()()x a y x y c -+=+-的交点,求得2,22a b c ab M c ⎛⎫++ ⎪⎝⎭,又可求得半径22222a b c ab r MA b c ⎛⎫++⎛⎫==-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故由性质1,得所求圆的方程为22222a b c ab x y ⎛⎫++⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22222b a c ab c ⎛⎫-+⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 解法2 设此圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=．此圆在x 轴上的距离是a ,b ,则20a Da F ++=,① 20b Db F ++=． ②由①,②知a ,b 是方程20x Dx F ++=的两根,从而由韦达定理,有a b D +=-,ab F =． 又此圆在y 轴上截距为c ,有20c Ec F ++=．③从而20c Ec ab ++=,即2c abE c+=-．此时,显然满足2240D E F +->,故由性质2知所求圆的方程为22()0ab x y a b x c y ab c ⎛⎫+-+-++= ⎪⎝⎭．注 也可由①,②,③联立求出D ,E ,F ．例2 设A 为定点(b ,0),P 为圆229x y +=上一点,M 是AP 上的一点,且满足12AM MP =．当点P 在圆上运动时,求点M 的轨迹方程．解法1 如图27-1,作MN PO ∥交x 轴于N ,显见MN 为定长,即1MN =,且N 为定点(4,0)．由圆的平面几何定义知,到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆,定点是圆心,定长为半径,故所求圆的方程为22(4)1x y -+=．解法2 设点M 的坐标是(,)x y ,设圆229x y +=的参数方程为3cos ,3sin .x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）于是可设点P 的坐标为(3cos ,3sin )θθ,由此例定理（或由定比分点坐标公式）得点M 的轨迹的参数方程为4cos ,sin .x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）由此即知,线段AP 上的点M 的轨迹是以点(4,0)为圆心,以1为半径的圆．例3 已知一曲线是与两个定点(0,0)O ,A (3,0)的距离的比为12的点的轨迹,求此曲线的方程． 解法1 由题设,运用性质4,知0a =,3b =,1m =,2n =．或运用性质5,知3a =,0c =,1n =,2m =,可求得曲线方程为22(1)4x y ++=．解法 2 由题设及圆的轨迹定义和所求的曲线为圆,即可推知其圆心在直线OA 上,且圆与直线OA 的两个交点即为直径的两端点．由平面几何知识得动点P 满足12PO PA=点为(1,0)P ,(3,0)Q -,从而所求方程为(1)(3)(0)(0)0x x y y -++--=,即22(1)4x y ++=．例 4 求以相交两圆1C :22410x y x y ++++=,及2C :222210x y x y ++++=的公共弦为直径的圆的方程．解法1 由两圆的方程相减即得公共弦所在直线的方程:20x y -=． 设所求圆的方程为2241(2)0x y x y x y λ+++++-=,即 22(42)(1)10x y x y λλ++++-+=．其圆心12,2λλ-⎛⎫-- ⎪⎝⎭必在直线20x y -=上,即由()122202λλ----=,求得75λ=-． 故所求圆的方程为2255161250x y x y ++++=． 解法2 可求得两已知圆的公共弦方程为20x y -=． 运用性质7,由22410,20.x y x y x y ⎧++++=⎨-=⎩分别消去y ,x ,得25610x x ++=及251240y y ++=．此两式相加,得225561250x y x y ++++=,此即为所求圆的方程． 例5 直线2y x =-与抛物线22y x =相交于A ,B ．求证:OA OB ⊥． 证明 由222y x y x=-⎧⎨=⎩分别消去y ,x ,得2640x x -+=,2240y y -+=．此两式相加,得以AB 为直径的圆的方程:22620x y x y +--=． 显然,原点O 在圆22620x y x y +--=上,故OA OB ⊥．例6 已知双曲线的中心在原点,焦点在x 轴上,P ,Q 两点．若OP OQ ⊥,且4PQ =,求双曲线的方程．（1991年全国高考理科题）解 设双曲线方程为22221x y a b-=,直线方程为3()5y x c =-,其中22c a b =+． 联立直线和双曲线方程分别消去y ,x ,得2222222222635()05353a c a c a b g x x x b a b a+=+-=--． 24222222153()05353b c b h y y y b a b a =++=--．由性质7,知以PQ 为直径的圆的方程为()()0g x h y +=．因OP OQ ⊥,所以圆过原点,则(0)(0)0g h +=,即222243530a c a b b +-=．解得223b a =．设11(,)P x y ,22(,)Q x y ,则PQ 的中点为1212,22x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭．由题设得122OM PQ ==,即221212()()16x x y y +++=．而2122261532a c x x cb a +=-=--,21221515b c y y +==． 将其代入()*式,得22151644c c +=,解得24c =．由此求得21a =,23b =．故所求双曲线方程为2x213y -=． 例7 已知函数1sin 1sin y x x =+-求y 的最大值．（新加坡竞赛题）解 令1sin u x =+1sin v x -则有直线方程:0u v y +-=,及圆的方程:222u v +=． 由已知可知直线与圆有公共点(,)u v ）,从而22y即2y ≤,等号当且仅当0x =时成立,故max 2y =． 例8 确定最大的实数z ,使5x y z ++=,3xy yz zx ++=,并且x ,y 也是实数． （第7届加拿大竞赛题）解 由已知,得22222()2()52319x y z x y z xy yz zx ++=++-++=-⋅=． 令直线l :(5)0x y z ++-=,O :22219x y z +=-．由已知可知l 与O 有公共点,从而 25192z z --即2310130z z --≤． 解得313z 1-≤≤,故max 133z =．例9 112()2x y z x y z --++．（1978年罗马竞赛题）解 x u =1y v -2z t -=,u v t s ++=,则可令l :()0u v t s ++-=,O :222u v s +=- 23t -．因l 与O 有公共点,2232t s S t ---即222(2)360s t t s t -+++≤．因s 有实数解,则22[2(2)]4(36)0t t ∆=-+-+≥,即2(1)0t -≤,故1t =．此时23s t =+=,223z t =+=,代入l 与O 的方程得2u v +=,222u v +=．解此方程得1u v ==,故原方程的解为1x =,2y =,3z =．【解题思维策略分析】1．运用圆的解析性质证明圆锥曲线性质例10 从椭圆22221x y a b+=上一点P ,引以短轴为直径、原点为圆心的O 的两条切线,切点为A ,B ,直线AB 与x 轴,y 轴分别相交点M ,N ,则222222a b a bONOM+=．图27-2证明 如图27-2,设00(,)P x y ,O 的方程为222x y b +=,则切点弦AB 的方程为200x x y y b +=．由0x =得20b ON y y ==,0y =得20b OM x x ==,从而2222222220022442a y b x a b a b a b b bON OM++===．注 类似地,(i )可证明将上例中的O 换为以长轴为直径的圆,P 为此圆上一点,引椭圆的两条切线,则44222a b a OMON+=；(ii)可证明对于双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>,抛物线22(0)y px p =>的类似于上例的结论:(a)从双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上一点P ,向以实轴为直径、原点为圆心的圆O 引两条切线,切点为A ,B ,直线AB 与x 轴、y 轴分别交于M ,N ,则 222222b a b a OMON-=． (b)从双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上一点P ,向以虚轴为直径,原点为圆心的圆O 引两条切线,切点为A ,B ,直线AB 与x 轴、y 轴分别交于M ,N ,则 222222b a a b OMON-=． (c)从抛物线22(0)y px p =>上一点P ,向以2p （通径）为直径,原点为圆心的圆引两条切线,切点为A ,B ,直线AB 与x 轴,y 轴相交于点M ,N ,则222OM pON=． 例11 设P 是半径为R 的圆O 内任意一点,过点P 任意引(2)n n ≥条直线1l ,2l ,…,n l ．如果这n 条直线相邻两条所成的角都为πn ,且第i 条直线i l 交圆于i M ,i M '两点（1i =,2,…,n ）,那么221()ni i i PM PM ='+∑是与P 点无关的定值22nR ．证明 以圆心O 为坐标原点,射线OP 为x 轴正半轴建立直角坐标系,则圆的方程为222x y R +=．设(,0)P r ,不妨设直线1l 的倾斜角α最小,1l 的参数方程为cos ,sin ,x r t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）将此方程代入圆的方程222x y R +=,整理得 2222cos 0t r t r R α+⋅⋅+-=．设关于t 的上述二次方程的两根为1t ,2t ,则知 122cos t t r α+=-,2212()t t R r =--．由t 的几何意义,从而222211121212()2PM PM t t t t t '+=+=+-222222(1cos2)2()2(cos2)r R r r R αα=++-=+ （*）设直线i l （1i =,2,…,n ）对应的倾斜角为(1)πi n α-+,分别以πn α+,2πn α+,…,(1)πn nα-+代（*）式的α,然后将n 个式子(连同(*)式）相加,并注意三角公式 12(1)πcos 0ni m i n θ=-⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦∑,（n m >均为正整数） 从而22222112(1)π()2cos 22nn ii i i i PMPM r nR nR n α==⎧-⎫⎡⎤'+=++=⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭∑∑． 注 若注意到22211111212()4M M PM PM t t t t ''=-=+-,可得22212(2)niii M M n R r ='=⋅-∑；211PM +21212222121()21t t t t t t PM +-=⋅',可得2222221112()n i i i nR R r PM PM =⎛⎫ ⎪+= ⎪-'⎝⎭∑；221212221112()411t t t t PM PM t t ⎛⎫+-+= ⎪ ⎪'⋅⎝⎭,可得22222212(2)()i i n R r PM PM R r ⎛⎫1-∑+= ⎪ ⎪'-⎝⎭等． 2．注意点圆方程的巧用例12 已知圆0C 的方程为222x y r +=,求经过圆0C 上一点00(,)M x y 的切线方程．解 视点00(,)M x y 为点圆曲线0Γ:2200()()0x x y y -+-=．于是00{}C M Γ=∩,由性质9,得曲线系2222200[()()]0x y r x x y y λ+-+-+-=．且由题设知其中1λ=-,故有22220000222x x y y x y r r +=++=．即得200x x y y r +=即为所求．例13 求与圆C :2268170x y x y +--+=切于点(1,2)的圆的方程． 解 视点(1,2)为点圆曲线0Γ:22(1)(2)0x y -+-=,由性质9得所求圆的方程为2268x y x y +-- 2217[(1)(2)]0x y λ-+-+-=．即 ()2223428111x y λλλλλ+⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+．由228(1)λ=+⎝⎭,求得115λ=-或295λ=-．于是得1C :2227922x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭及2C :2223122x y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 易知点(1,2)满足圆1C 的方程,且圆1C 与圆C 的圆心距等于两圆半径之差的绝对值,所以圆1C 与圆C 内切于点(1,2),圆1C 为所求．同理,圆1C 与圆C 外切于点(1,2),圆2C 也为所求． 3．借助圆的解析性质求解其他代数问题例14 若正数x ,y ,z 满足x y z a ++=,2222(0)2a x y z a ++=>,求证:203x <≤,203y <≤,203z <≤．证明 由已知有x y a z +=-,22222a x y z +=-,此二式同时成立,即知直线x y a z +=-与圆22222a x y z +=-（z ）有公共点,即原点到直线的距离不大于圆的半径,得2320z az -≤．又0a >,则203z a <≤．同理有203y a <≤,203z a <≤．例15 已知cos cos 2m αβ+=,sin sin 2n αβ+=．求cot cot αβ的值．解 令(cos ,sin )A αα,(cos ,sin )B ββ,则知A ,B 在圆221x y +=上．设线段AB 的中点为(,)C m n ,则1(cos cos )2m αβ=+,1(sin sin )2n αβ=+,且OC n k m =,AB m k n =-．AB 的方程为22m m n y x n n +=-+,并代入圆的方程,得222222222222()()10m m m n n m n x x n n n ⎛⎫++-+-+= ⎪⎝⎭．又cos α,cos β为此方程两根,有222222()cos cos n m n m n αβ+-⋅=+． 同理22222()sin sin m n m m n αβ+-⋅=+．故2222222()cot cot ()m n n m n m αβ+-⋅=+-为所求．【模拟实战】习题A1．求过直线l :240x y ++=与圆C :222410x y x y ++-+=的两个交点P ,Q ,且面积最小的圆的方程．2．已知直线1y x =-与椭圆22221(1)1x y a a a +=>-相交于A ,B 两点,若以AB 为直径的圆过椭圆的左焦点,求a 的值．3．已知圆C :2224x y +=,直线l :1128x y+=,P 是l 上一点,射线OP 交圆于点R ,又点Q 在OP 上且满足:2OQ OP OR ⋅=．当点P 在l 上移动时,求点Q 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线． 4．求与抛物线24y x =相切于点P (1,4)且过点(3,0)的圆的方程． 5．求函数3cos ()2sin xy f x x+==-的值的取值范围．6．解方程组222 1.x y z x y z ⎧++⎪⎨++=⎪⎩7．已知a ,b +∈R ,且1a b +=,求证:2211252a b b a ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥．8．已知α,β是锐角,目4422sin cos 1cos sin ααββ+=．求证:π2αβ+=．9．已知sin sin()cos()ααβαβ++++=,π,π4β⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,求β的值．习题B1．自点A (3-,3)发出的光线l 射到x 轴上,被x 轴反射,其反射光线与圆224470x y x y +--+=相切,求光线l 所在直线方程．2．半径等于某个正三角形高的圆在这个正三角形的一边上滚动．证明三角形两边截圆的弧的总长等于60︒． 3．（九点圆定理）证明:三角形三边的中点,三高的垂足,垂心与顶点连接线段的中心,这九个点共圆．第二十七章 圆的解析性质及应用 习题A1．面积最小的圆是以PQ 为直径的圆,由240x y ++=与222410x y x y ++-+=分别消去y ,x ,得()22633055g x x x =++=,()2124055h y y y =-+=,故所求圆的方程为22261240555x y x y ++-+=． 2．将1y x =-代入椭圆方程,得()2242222202121a a a g x x x a a -=-+=--．将1x y =+代入椭圆方程,得()22422222202121a a a h y y y a a --=++=--．从而以AB 为直径的圆的方程为2224222222224210212121a a a a x y y a a a ---+-++=---． 因为此圆过椭圆的左焦点()1,0-,由此代入上述方程得42410a a -+=．而1a >,从而求得()1622a =+．3．由2224241218x y x y +=+整理,得()22313124x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭,此即为以31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心,132为半径的圆． 4．因为点()1,4P 在抛物线上,所以由圆锥曲线的一般性质,知过点P 与抛物线相切的切线方程为442y x +=,即840x y --=． 视点()1,4为点圆曲线0Γ:()()22140x y -+-=,设所求圆方程为()()()2214840x y x y λ-+-+--=．此圆过点()3,0,从而求得1λ=-．于是有22107210x y x y +--+=． 将上述方程与24y x =联立,消去y ,得42162710210x x x --+=,即()()2211632210x x x -++=．易知此方方程的实根有仅有二重根1x =,从而推知抛物线24y x =与圆22107210x y x y +--+=有且仅有公共点()1,4,也即它们相切于点()1,4,因此22107210x y x y +--+=为所求圆的方程． 5．令cos u x =,sin v x =,则l :()320u yv y ++-=,O :221u v +=,由已知l 与O 有公共点,有23211y y -+≤,即231280y y -+≤,解得23232233y -+≤≤． 6．令l :()30x y z ++-=,O :2221x y z +=-．由已知l 与O 有公共点,知2312z z --≤,即()310z -≤,故33z =,由此求得33x y ==．7．令2211a b u b a ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,1a x b +=,1b y a +=,则l :110x y ab ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭O :22x y u +=．由已知条件知l 与O 有公共点,有112ab u ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭,即21112u ab ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥．又由已知1a b +=得14ab ≤,由此知()21251422u +=≥． 8．令2sin cos x αβ=,2cos sin y αβ=,则l :cos sin 10x y ββ⋅+⋅-=,O :221x y +=（由已知所设）．又l 与O 有公共点,从而有1,即22cos sin 1ββ+=,而22cos sin 1ββ+=,这说明l 与O 有且只有一个公共点,而22sin cos ,cos sin P ααββ⎛⎫⎪⎝⎭与点()cos ,sin Q ββ均是l 与O 上的点,从而2sin cos cos αββ=,亦即22sin cos αβ=,又α,β均为锐角,故2αβπ+=． 9．由已知得()()1cos sin sin sin cos cos ββαββα+-⋅++⋅．令sin u α=,cos v α=, 则l :()()1cos sin sin cos cos 0u ββββα+-⋅++⋅． O :221u v +=．由l 与O 有公共点,1即cos sin ββ≥,而,4βπ⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦,从而cos sin ββ=,故4βπ=．习题B1．已知圆的方程为22221x y -+-=（）（）,它关于x 轴的对称圆方程为()()22221x y -++=．此圆与直线l 相切,设切点()11,B x y ,l 上任一点为(),M x y ,B 分MA 为定比λ,则131x x λλ-=+,131y y λλ+=+．又B 在圆上有()()22249255194470y x x y x y λλ+-+++-++=,又l 与圆相切有0=△,即()()83434330x y x y -+-++=,故所求两条光线方程为3430x y +-=,4330x y ++=．2．取正ABC △的顶点A 为原点,BC 边上的高DA 所在直线为y 轴建立直角坐标系,则AB,AC 的 程分别为0y -=,0y +=．若正ABC △的高为r ,则与边BC 相切而滚动的圆的方程为()222x m y r -+=．设圆与AB ,AC 分别交于Q ,R 两点,则Q ,R 两点的横坐标Q x ,R x 为方程()2223x m x r -+=,即222420x mx m r -+-=的根．即有2Q R m x x +=,()214Q R x x mr ⋅=-．又Q Q y ,R R y ,则()()()2222222232Q R Q R Q Q R R Q Q R R RQ x x y y x x x x x x x x =-+-=-++++()222224444Q R Q R m m r x x x x r ⎛⎫-⎡⎤=+-=-= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭． 从而RQ r =,故RQ 在圆心所张的角恒为60︒的圆上．3．以垂心为原点,ABC △的高AD 所在直线为y 轴建立直角坐标系．设()0,2A a ,()22B b d ，,()22C c d ，,则三边中点的坐标分别为()2P b c d +，,(),Q c a d +,(),R b a d +垂心与三顶点连线的中点分别为()0,J a ,(),K b d ,(),L c d ．因AD ,BE ,CF 是ABC △的三条高,则JPD △,KQE △,LRF △都是直角三角形,故它们的外接圆直径分别为JP ,KQ ,LR ．又因这三条线段的中点坐标均为2,22b c a d ++⎛⎫⎪⎝⎭,故三外接圆的圆心重合．而()()2222JP b c d a =++-,()2222KQ LR b c a ==-+,且从BE AC ⊥可得()2220d d a b c -+⋅=,即2d bca d+=,故 ()()()22222220JP KQ b c d a b c a -=++----=,故JP KQ LR ==,即三圆直径相等,由此得JPD △,KQE △,LRF △的三外接圆重合,故九个点共圆．。

例谈求解圆的方程常用方法杜红全(甘肃省康县教育局教研室㊀７４６５００)摘㊀要:圆是高考热点ꎬ也是必然考查的内容.主要考查圆的方程㊁直线与圆的位置关系㊁圆与圆的位置关系以及圆的几何性质等ꎬ但是会求圆的方程是基础.本文从直接法㊁几何性质法㊁待定系数法等五个方面举例说明圆的方程的常用求法ꎬ希望起到抛砖引玉的作用.关键词:直接法ꎻ几何性质法ꎻ待定系数法ꎻ利用圆的直径式方程ꎻ利用圆系方程中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)３１－００１０－０３收稿日期:２０２０－０８－０５作者简介:杜红全(１９６９.９－)ꎬ男ꎬ甘肃省康县人ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀圆是简单的二次曲线ꎬ是高中数学的一个基本内容ꎬ也是高考常考的内容ꎬ会求圆的方程才是硬道理.下面举例说明求圆的方程的常用方法ꎬ供参考.㊀㊀一㊁直接法直接法就是根据圆的定义ꎬ利用已知条件ꎬ确定圆心坐标和半径ꎬ直接求出圆的标准方程.例１㊀求满足下列条件的圆的方程:(１)圆心在点Ｃ(３ꎬ－４)处ꎬ半径是５ꎻ(２)经过点Ｐ(５ꎬ２)ꎬ圆心是点Ｃ(４ꎬ－１).分析㊀根据题设条件ꎬ可利用圆的方程的定义来解决.㊀解㊀(１)因为圆心是在点Ｃ(３ꎬ－４)ꎬ半径是５ꎬ所以圆的方程为(ｘ－３)２＋(ｙ＋４)２＝５.(２)因为圆的半径是ｒ＝｜ＰＣ｜＝(５－４)２＋(２＋１)２＝１０ꎬ圆心是Ｃ(４ꎬ－１)ꎬ所以圆的方程是(ｘ－４)２＋(ｙ＋１)２＝１０.点评㊀确定圆的标准方程只需要圆心的坐标和圆的半径即可ꎬ因此圆心和半径是圆的两要素.㊀㊀二㊁几何性质法几何性质法就是通过研究圆的性质㊁直线和圆㊁圆和圆的位置关系ꎬ求出圆心坐标与半径ꎬ从而得到圆的标准方程.常用的几何性质有:圆心与切点的连线垂直于切线ꎻ圆心到切线的距离等于圆的半径ꎻ圆的弦的垂直平分线过圆心ꎻ两条弦的垂直平分线的交点为圆心等.例２㊀求过点Ａ(１ꎬ－１)和Ｂ(－１ꎬ１)ꎬ且圆心在直线ｘ＋ｙ－２＝０上的圆的方程.分析㊀利用圆的几何性质求出圆的圆心和半径后ꎬ再写出方程.解法一㊀设点Ｃ为圆心ꎬ因为点Ｃ在直线ｘ＋ｙ－２＝０上ꎬ所以可设点Ｃ的坐标为(ａꎬ２－ａ).又因为该圆经过ＡꎬＢ两点ꎬ所以｜ＣＡ｜＝｜ＣＢ｜.所以(ａ－１)２＋(２－ａ＋１)２＝(ａ＋１)２＋(２－ａ－１)２ꎬ解得ａ＝１.所以圆心Ｃ的坐标为(１ꎬ１)ꎬ半径ｒ＝｜ＣＡ｜＝２.故所求圆的标准方程为(ｘ－１)２＋(ｙ－１)２＝４.解法二㊀由已知可得线段ＡＢ中点的坐标为(０ꎬ０)ꎬｋＡＢ＝１－(－１)－１－１＝－１ꎬ所以弦ＡＢ的垂直平分线的斜率为ｋ＝１ꎬ所以弦ＡＢ的垂直平分线的方程为ｙ－０＝１ˑ(ｘ－０)ꎬ即ｙ＝ｘ.而圆心是直线ｙ＝ｘ与ｘ＋ｙ－２＝０的交点ꎬ由ｙ＝ｘꎬｘ＋ｙ－２＝０ꎬ{得ｘ＝１ꎬｙ＝１ꎬ{即圆心为(１ꎬ１)ꎬ圆的半径为(１－１)２＋[１－(－１)]２＝２.故所求圆的标准方程为(ｘ－１)２＋(ｙ－１)２＝４.点评㊀一般地ꎬ在解决有关圆的问题时ꎬ有时利用圆的几何性质作转化较为简单ꎬ充分体现了解析几何问题的代数方法和几何方法的有机结合的特点.本题还可以用待定系数法求解.㊀㊀三㊁待定系数法圆的方程中ꎬ有三个独立系数ꎬ因此必须具备三个独立条件才能确定一个圆ꎬ确定系数的方法就是待定系数法.待定系数法就是先设出圆的方程ꎬ然后根据条件求出方程中的参数.０１１.设圆的标准方程例３㊀求与ｘ轴交于Ａ(１ꎬ０)和Ｂ(５ꎬ０)两点ꎬ且半径为５的圆的方程.分析㊀可设出圆的标准方程ꎬ再把ＡꎬＢ两点的坐标代入ꎬ用待定系数法求解.解㊀设圆的标准方程为(ｘ－ａ)２＋(ｙ－ｂ)２＝５.因为ＡꎬＢ在圆上ꎬ所以ＡꎬＢ坐标满足方程(ｘ－ａ)２＋(ｙ－ｂ)２＝５.把ＡꎬＢ坐标分别代入该方程再联立ꎬ得(１－ａ)２＋(０－ｂ)２＝５ꎬ(５－ａ)２＋(０－ｂ)２＝５ꎬ{解得ａ＝３ꎬｂ＝１ꎬ{或ａ＝３ꎬｂ＝－１.{所以所求圆的方程为(ｘ－３)２＋(ｙ－１)２＝５或(ｘ－３)２＋(ｙ＋１)２＝５.点评㊀如果由已知条件容易求得圆心坐标㊁半径或需要利用圆心的坐标或半径列方程问题ꎬ一般采用圆的标准方程ꎬ再用待定系数法求出ａꎬｂꎬｒ.本题还可以用几何性质法求解.２.设圆的一般方程例４㊀已知әＡＢＣ的三个顶点为Ａ(１ꎬ４)ꎬＢ(－２ꎬ３)ꎬＣ(４ꎬ－５)ꎬ求әＡＢＣ的外接圆方程.分析㊀已知三个顶点都在圆上ꎬ可采用圆的一般方程ꎬ利用待定系数法求出圆的方程.解㊀设әＡＢＣ的外接圆方程为ｘ２＋ｙ２＋Ｄｘ＋Ｅｙ＋Ｆ＝０.因为ＡꎬＢꎬＣ在圆上ꎬ所以将坐标分别代入ꎬ有１＋１６＋Ｄ＋４Ｅ＋Ｆ＝０ꎬ４＋９－２Ｄ＋３Ｅ＋Ｆ＝０ꎬ１６＋２５＋４Ｄ－５Ｅ＋Ｆ＝０ꎬìîíïïï解得Ｄ＝－２ꎬＥ＝２ꎬＦ＝－２３.ìîíïïï所以әＡＢＣ的外接圆方程为ｘ２＋ｙ２－２ｘ＋２ｙ－２３＝０.点评㊀如果已知条件与圆心和半径都无直接关系ꎬ通常采用圆的一般方程ꎬ再用待定系数法求出常数ＤꎬＥꎬＦꎻ本题还可以用几何性质法求解.㊀㊀四㊁利用圆的直径式方程已知一个圆的一条直径的端点是Ａ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＢ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬ则圆的方程可表示为(ｘ－ｘ１)(ｘ－ｘ２)＋(ｙ－ｙ１)(ｙ－ｙ２)＝０ꎬ此方程称为圆的直径式方程.例５㊀求过直线２ｘ＋ｙ＋４＝０和圆ｘ２＋ｙ２＋２ｘ－４ｙ＋１＝０的交点ꎬ且面积最小的圆的方程.分析㊀设直线和圆的交点为ＡꎬＢꎬ面积最小的圆是以ＡＢ为直径的圆.故可以利用圆的直径式方程求解.解㊀由２ｘ＋ｙ＋４＝０ꎬｘ２＋ｙ２＋２ｘ－４ｙ＋１＝０ꎬ{得交点Ａ(－１１５ꎬ２５)ꎬＢ(－３ꎬ２).因为面积最小的圆是以ＡＢ为直径的圆ꎬ所以所求的圆方程为(ｘ＋１１５)(ｘ＋３)＋(ｙ－２５)(ｙ－２)＝０ꎬ即ｘ２＋ｙ２＋２６５ｘ－１２５ｙ＋３７５＝０.点评㊀求解本题的关键是知道面积最小的圆是以直线和圆的交点为直径的圆ꎬ此题虽然还可以利用圆的性质求出圆心的坐标和半径求解ꎬ但是用圆的直径式方程求解比较简便.当然本题还可以用过直线与圆交点的圆系方程求解.㊀㊀五㊁利用圆系方程具有某种共同性质的圆的集合叫做圆系ꎬ含有参数的圆的方程称为圆系方程.常用的圆系方程类型有以下几种:(１)同心圆系①以(ａꎬｂ)为圆心的同心的圆系方程为(ｘ－ａ)２＋(ｙ－ｂ)２＝λ２(λ为参数ꎬλ>０)ꎻ②与圆ｘ２＋ｙ２＋Ｄｘ＋Ｅｙ＋Ｆ＝０同心的圆系方程为ｘ２＋ｙ２＋Ｄｘ＋Ｅｙ＋λ＝０(λ为参数)ꎻ同心圆系图形特点是位置相同ꎬ大小不同.(２)半径相等的圆系方程为(ｘ－ｍ)２＋(ｙ－ｎ)２＝ｒ２(ｍ㊁ｎ为参数)ꎬ图形特点是大小一样ꎬ位置不同.(３)过直线与圆交点的圆系方程.设直线ｌ:Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝０与圆Ｃ:ｘ２＋ｙ２＋Ｄｘ＋Ｅｙ＋Ｆ＝０相交ꎬ则方程ｘ２＋ｙ２＋Ｄｘ＋Ｅｙ＋Ｆ＋λ(Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ)＝０(λ为参数)表示过直线ｌ与圆Ｃ的两个交点的圆系方程.(４)过两圆Ｃ１:ｘ２＋ｙ２＋Ｄ１ｘ＋Ｅ１ｙ＋Ｆ１＝０和Ｃ２:ｘ２＋ｙ２＋Ｄ２ｘ＋Ｅ２ｙ＋Ｆ２＝０交点的圆系方程为ｘ２＋ｙ２＋Ｄ１ｘ＋Ｅ１ｙ＋Ｆ１＋λ(ｘ２＋ｙ２＋Ｄ２ｘ＋Ｅ２ｙ＋Ｆ２)＝０(λ为参数ꎬλʂ－１ꎬ且不含圆Ｃ２)ꎬ特别提示:①由于该圆系方程不包括圆Ｃ２ꎬ因此直接应用该圆系方程必须检验Ｃ２是否满足题意ꎬ谨防漏解ꎻ②当参数λ＝－１时ꎬ该方程为过两圆交点的一条直线方程:(Ｄ１－Ｄ２)ｘ＋(Ｅ１－Ｅ２)ｙ＋(Ｆ１－Ｆ２)＝０.例６㊀有一圆与直线ｌ:４ｘ－３ｙ＋６＝０相切于点Ａ(３ꎬ６)ꎬ且圆经过点Ｂ(５ꎬ２)ꎬ求此圆的方程.分析㊀将点Ａ(３ꎬ６)视为 点圆 :(ｘ－３)２＋(ｙ－６)２＝０ꎬ然后利用过直线与圆交点的圆系方程求解.解㊀根据题意可设所求圆的方程为(ｘ－３)２＋(ｙ－６)２＋λ(４ｘ－３ｙ＋６)＝０ꎬ把点Ｂ(５ꎬ２)的坐标代入方程ꎬ解得λ＝－１.所以所求圆的方程为ｘ２＋ｙ２－１０ｘ－９ｙ＋３９＝０.点评㊀所谓 点圆 就是半径为０的圆ꎬ所以一个孤立的点Ｃ(ａꎬｂ)的图形可以看成 点圆 ꎬ即点Ｃ(ａꎬｂ)的圆的方程可表示为(ｘ－ａ)２＋(ｙ－ｂ)２＝０ꎬ在求与已知直线或已知圆相切于某一已知点的圆的问题时ꎬ把切点视为 点圆 是一个重要方法技巧.本题还可用几何性质法和待定系数法求解.１１例７㊀求以圆Ｃ１:ｘ２＋ｙ２－１２ｘ－２ｙ－１３＝０和圆Ｃ２:ｘ２＋ｙ２＋１２ｘ＋１６ｙ－２５＝０的公共弦为直径的圆的方程.㊀分析㊀可先求公共弦所在直线的方程ꎬ再利用过两圆交点的圆系方程求解.解㊀联立两圆方程ｘ２＋ｙ２－１２ｘ－２ｙ－１３＝０ꎬｘ２＋ｙ２＋１２ｘ＋１６ｙ－２５＝０ꎬ{相减得公共弦所在直线的方程为４ｘ＋３ｙ－２＝０.设所求圆的方程为ｘ２＋ｙ２－１２ｘ－２ｙ－１３＋λ(ｘ２＋ｙ２＋１２ｘ＋１６ｙ－２５)＝０(λ为参数ꎬλʂ－１)ꎬ由此可得圆心Ｃ(－１２λ－１２２(１＋λ)ꎬ－１６λ－２２(１＋λ)).因为圆心Ｃ在公共弦所在的直线上ꎬ所以４－(１２λ＋１２)２(１＋λ)＋３ －(１６λ＋２)２(１＋λ)－２＝０ꎬ解得λ＝１２.所以所求圆的方程为ｘ２＋ｙ２－４ｘ＋４ｙ－１７＝０.点评㊀一般地ꎬ求过两个圆交点的圆的方程利用圆系方程求解比较简捷ꎬ应学会使用此法.本题还可先求出公共弦的端点坐标ꎬ再得所求圆的方程.㊀㊀参考文献:[１]高杲.圆与方程知识点及常考题型分析[Ｊ].中学生数理化(高一版)ꎬ２０１４(１２):３－６.[责任编辑:李㊀璟]２０１９年北京卷文科第１９题的推广与变式刘才华(山东省泰安市宁阳第一中学㊀２７１４００)摘㊀要:本文给出了２０１９年北京高考文科第１９题在椭圆㊁双曲线及圆中的推广与变式.关键词:椭圆ꎻ双曲线ꎻ圆ꎻ定点ꎻ定值中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)３１－００１２－０２收稿日期:２０２０－０８－０５作者简介:刘才华(１９６９.１０－)ꎬ男ꎬ山东省泰安宁阳人ꎬ本科ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀章建跃先生在«数学教育心理学»中提到:变式就是变更对象的非本质特征的表现形式ꎬ变更观察事物的角度或方法ꎬ以突出事物的本质特征ꎬ突出那些隐蔽的本质特征.这就要求教师在教学过程中ꎬ善于 借题发挥 ꎬ一题多变ꎬ 以少胜多 ꎬ引导学生从不同的角度出发ꎬ对题目本身进行相应地理解以及挖掘ꎬ这对于提升学生的逻辑推理和数学运算等核心素养有着极大的帮助.下面对２０１９年北京市文科第１９题进行推广与变式ꎬ供教学参考.试题㊀已知椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１的右焦点为(１ꎬ０)ꎬ且经过点Ａ(０ꎬ１).(１)求椭圆Ｃ的方程ꎻ(２)设Ｏ为原点ꎬ直线ｌ:ｙ＝ｋｘ＋ｔ(ｔʂ１)与椭圆Ｃ交于两个不同点ＰꎬＱꎬ直线ＡＰ与ｘ轴交于点Ｍꎬ直线ＡＱ与ｘ轴交于点Ｎ.若ＯＭ ＯＮ＝２ꎬ求证:直线ｌ经过定点.将试题推广到一般的椭圆ꎬ我们得到如下命题１㊀设Ｏ为原点ꎬ直线ｌ:ｙ＝ｋｘ＋ｔ(ｔʂｂ)与椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)交于两个不同点ＰꎬＱꎬＡ(０ꎬｂ)为椭圆Ｃ的上顶点ꎬ直线ＡＰ与ｘ轴交于点Ｍꎬ直线ＡＱ与ｘ轴交于点Ｎ.若ＯＭ ＯＮ＝ａ２ꎬ则直线ｌ经过定点Ｏ.证明㊀设Ｐ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＱ(ｘ２ꎬｙ２).由ｙ＝ｋｘ＋ｔꎬｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１{得(ａ２ｋ２＋ｂ２)ｘ２＋２ｋｔａ２ｘ＋ａ２ｔ２－ａ２ｂ２＝０ꎬ则ｘ１＋ｘ２＝－２ｋｔａ２ａ２ｋ２＋ｂ２ꎬｘ１ ｘ２＝ａ２ｔ２－ａ２ｂ２ａ２ｋ２＋ｂ２ꎬ且Δ>０.直线ＡＰ的方程为ｙ＝ｙ１－ｂｘ１ｘ＋ｂꎬ令ｙ＝０得ｘＭ＝－ｂｘ１ｙ１－ｂ＝－ｂｘ１ｋｘ１＋ｔ－ｂ.直线ＡＱ的方程为ｙ＝ｙ２－ｂｘ２ｘ＋ｂꎬ同理得ｘＮ＝－ｂｘ２ｋｘ２＋ｔ－ｂ.则ｘＭ ｘＮ＝ｂｘ１ｋｘ１＋ｔ－ｂｂｘ２ｋｘ２＋ｔ－ｂ＝ｂ２ｘ１ｘ２(ｋｘ１＋ｔ－ｂ)(ｋｘ２＋ｔ－ｂ).２１。

圆的解题技巧总结 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】圆的解题技巧总结一、垂径定理的应用给出的圆形纸片如图所示，如果在圆形纸片上任意画一条垂直于直径CD的弦AB，垂足为P，再将纸片沿着直径CD对折，我们很容易发现A、B两点重合，即有结论AP=BP，弧AC=弧BC．其实这个结论就是“垂径定理”，准确地叙述为：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．垂径定理是“圆”这一章最早出现的重要定理，它说明的是圆的直径与弦及弦所对的弧之间的垂直或平分的对应关系，是解决圆内线段、弧、角的相等关系及直线间垂直关系的重要依据，同时，也为我们进行圆的有关计算与作图提供了方法与依据．例1某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．(1)请你补全这个输水管道的圆形截面；(2)若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．例2如图，PQ=3，以PQ为直径的圆与一个以5为半径的圆相切于点P，正方形ABCD的顶点A、B在大圆上，小圆在正方形的外部且与CD切于点Q，则AB=例3如图，已知⊙O中，直径MN=10，正方形ABCD的四个顶点分别在半径OM、OP以及⊙O上，并且∠POM=45°，则AB的长为多少？例4图为小自行车内胎的一部分，如何将它平均分给两个小朋发做玩具？二、与圆有关的多解题几何题目一般比较灵活，若画图片面，考虑不周，很容易漏解，造成解题错误，在解有关圆的问题时，常常会因忽视图形的几种可能性而漏解．1．忽视点的可能位置．例5△ABC是半径为2的圆的内接三角形，若3BC cm，则∠A的度数为______．22．忽视点与圆的位置关系．例6点P到⊙0的最短距离为2cm，最长距离为6cm，则⊙0的半径是______．3．忽视平行弦与圆心的不同位置关系．例7已知四边形ABCD是⊙0的内接梯形，AB∥CD，AB=8cm，CD=6cm，⊙0的半径是5cm，则梯形的面积是______．4．忽略两圆相切的不同位置关系例8点P在⊙0外，OP=13cm，PA切⊙0于点A，PA=12cm，以P为圆心作⊙P与⊙0相切，则⊙P的半径是______．例9若⊙O1与⊙02相交，公共弦长为24cm，⊙O1与⊙02的半径分别为13cm和15cm，则圆心距0102的长为______．三、巧证切线切线是圆中重要的知识点，而判断直线为圆的切线是中考的重要考点．判断直线是否是圆的切线，主要有两条途径：1．圆心到直线的距离等于半径当题中没有明确直线与圆是否相交时，可先过圆心作直线的垂线，然后证明圆心到直线的距离等于半径．例10如图，P 是∠AOB 的角平分线OC 上一点，PD⊥OA 于点D ，以点P 为圆心，PD 为半径画⊙P ，试说明OB 是⊙P 的切线．2．证明直线经过圆的半径的外端，并且垂直于这条半径当已知直线与圆有交点时，连结交点和圆心（即半径），然后证明这条半径与直线垂直即可．例11如图，已知AB 为⊙O 的直径，直线BC 与⊙0相切于点B ，过A 作AD∥OC 交⊙0于点D ，连结CD.(1)求证：CD 是⊙0的切线；(2)若AD=2，直径AB=6，求线段BC 的长．四、结论巧用，妙解题例12已知：如图，⊙O 为Rt△ABC 的内切圆，D 、E 、F 分别为AB 、AC 、BC 边上的切点，求证：BD AD s ABC ⋅=∆．该结论可叙述为：“直角三角形的面积等于其内切圆与斜边相切的切点分斜边所成两条线段的乘积．”运用它，可较简便地解决一些与直角三角形内切圆有关的问题，举例如下：例13如图，⊙0为Rt△ABC 的内切圆，切点D 分斜边AB 为两段，其中AD ＝10，BD ＝3，求AC 和BC 的长．例14如图，△ABC 中∠A 与∠B 互余，且它们的角平分线相交于点0，又OE⊥AC ，OF⊥BC ，垂足分别为E 、F ，AC=10，BC ＝13．求AE ·BF 的值．五、点击圆锥的侧面展开图圆锥的侧面展开图是中考中的热点内容：解决此类问题的关键是明确圆锥的侧面展开图中各元素与圆锥各元素之间的关系：圆锥的侧面展开图是扇形，而扇形的半径是圆锥的母线，弧长是圆锥的底面周长．例15若一个圆锥的母线长是它的底面半径长的3倍，则它的侧面展开图的圆心角是()A．180°B．90°C．120°D．135°例16圆锥的侧面展开图是一个半圆面，则这个圆锥的母线长与底面半径长的比是():π:1C．2：1D．3：1例17如图，小红要制作一个高4cm，底面直径是6cm的圆锥形小漏斗，若不计接缝，不计损耗，则她所需纸板的面积是()A．15πcm2B．6π13cm2D．30cm213cm2C．12π⋅例18下图是小芳学习时使用的圆锥形台灯罩的示意图，则围成这个灯罩的铁皮的面积为______cm2．（不考虑接缝等因素，计算结果用π表示）评注：圆锥的侧面积，需要熟练掌握其计算公式，理解圆锥的侧面积等于其剪开后扇形的面积．例19如图，有一块四边形形状的铁皮ABCD，BC=CD,AB=2AD,∠ABC＝∠ADB=90°．(1)求∠C的度数；(2)以C为圆心，CB为半径作圆弧BD得一扇形CBD，剪下该扇形并用它围成一圆锥的侧面，若已知BC＝a，求该圆锥的底面半径；(3)在剩下的材料中，能否剪下一块整圆做该圆锥的底面？并说明理由．六、例谈三角形内切圆问题三角形的内切圆是与三角形都相切的圆，它的圆心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等，它与顶点的连线平分内角．应用内心的性质，结合切线的性质、切线长的性质可以解决很多问题，现举例说明，例20如图，△ABC中，内切圆⊙I和边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F．求证：(1)A FDE ∠-︒=∠2190； (2)A BIC o ∠+=∠2190． 例21如果△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，它的内切圆⊙I 半径为r ，那么△ABC 的面积为().A ．r c b a )(++B ．r c b a ）（++21C ．r c b a ）（++31D ．r c b a ）（++41 七、阴影部分面积的求值技巧求阴影部分面积，通常是根据图形的特点，将其分解、转化为规则图形求解．但在转化过程中又有许多方法．本文精选几个题，介绍几种常用方法．1．直接法当已知图形为熟知的基本图形时，先求出适合该图形的面积计算公式中某些线段、角的大小，然后直接代入公式进行计算．例22如图，在矩形ABCD 中，AB=1，AD=3，以BC 的中点E 为圆心的与AD 相切于点P ，则图中阴影部分的面积为()A ．π32B ．π43C ．π43D ．3π 2．和差法当图形比较复杂时，我们可以把阴影部分的面积转化为若干个熟悉的图形的面积的和或差来计算．例23如图，AB 和AC 是⊙0的切线，B 、C 为切点，∠BAC=60°，⊙0的半径为1，则阴影部分的面积是()A ．π323-B ．33π-C ．332π-D ．π-32 3．割补法把不规则的图形割补成规则图形，然后求面积．例24如图，正方形ABCD 的顶点A 是正方形EFGH 的中心，EF=6cm ，则图中的阴影部分的面积为______．4．等积变形法把所求阴影部分的图形进行适当的等积变形，即可找出与它面积相等的特殊图形，从而求出阴影部分面积．例25如图，C 、D 两点是半圆周上的三等分点，圆的半径为R ，求阴影部分的面积．5．平移法把图形做适当的平移，然后再计算面积．例26如图，CD 是半圆0的直径，半圆0的弦AB 与半圆O '相切，点O '在CD 上，且AB∥CD ，AB ＝4，则阴影部分的面积是（结果保留π）．6．整体法例27如图，正方形的边长为a ，分别以对角顶点为圆心，边长为半径画弧，则图中阴影部分的面积是()A ．224121a a π+-B ．)41(222a a π-C ．22.21a a π+-D ．2221a a π- 7．折叠法例28如图，半圆A 和半圆B 均与y 轴相切于点0，其直径CD ，EF 均和x 轴垂直，以0为顶点的两条抛物线分别经过点C 、E 和点D 、F ，则图中阴影部分的面积是______．8．聚零为整法例29如图所示，将半径为2cm 的⊙0分割成十个区域，其中弦AB 、CD 关于点0对称，EF 、GH 关于点0对称，连结PM ，则图中阴影部分的面积是______（结果用π表示）．八、圆中辅助线大集合圆是初中重点内容，是中考必考内容．关于圆的大部分题目，常需作辅助线来求解．现对圆中辅助线的作法归纳总结如下：1、有关弦的问题，常做其弦心距，构造直角三角形例30如图，矩形ABCD与圆心在AB上的⊙O交于点G、B、F、E，GB=8cm，AG＝1cm，DE＝2cm，则EF＝______cm．2、有关直径问题，常做直径所对的圆周角例31如图，在△ABC中，∠C=90°，以BC上一点0为圆心，以OB为半径的圆交AB于点M，交BC于点N．(1)求证：BN⋅=BCAB⋅BM(2)如果CM是⊙0的切线，N为OC的中点，当AC＝3时，求AB的值．3、直线与圆相切的问题，常连结过切点的半径，得到垂直关系；或选圆周角，找出等角关系例32如图，AB、AC分别是⊙0的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦ED分别交⊙0于点E，交AB于点H，交AC于点F，过点C的切线交ED的延长线于P．(1)若PC＝PF，求证：AB⊥ED．(2)点D在劣弧的什么位置时，才能使AD2＝DE·DF，为什么？4、两圆相切，常做过切点的公切线或连心线，充分利用连心线必过切点等定理例33如图，⊙02与半圆O l内切于点C，与半圆的直径AB切于D，若AB=6，⊙02的半径为1，则∠ABC的度数为______．C、数学思想方法与中考能力要求数学思想和方法是数学的血液和精髓，是解决数学问题的有力武器，是数学的灵魂．因此，我们领悟和掌握以数学知识为载体的数学思想方法，是提高数学思维水平，提高数学能力，运用数学知识解决实际问题的有力保证，因此，我们在学习中必须重视数学思想在解题中的应用．一、数形结合思想．数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维相结合．通过对图形的认识，数形结合的转化，可培养同学们思维的灵活性、形象性，使问题化难为易，化抽象为具体．例1MN是半圆直径，点A是的一个三等分点，点B是的中点，P是直径MN上的一动点，⊙0的半径是1，求AP+BP的最小值．二、转化思想转化思想，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换，使之转化，进而得到解决的一种方程，转化思想，能化繁为简，化难为易，化未知为已知．例2如图，以0⊙的直径BC为一边作等边△ABC，AB、AC交⊙0于D、E两点，试说明BD=DE=EC．在同圆或等圆中，经常利用圆心角、圆周角、弧、弦等量的转化，说明其他量．三、分类思想所谓分类思想，就是当被研究的问题包含多种可能情况，不能一概而论时，必须按可能出现的所有情况来分别讨论，得出各种情况下相应的结论．分类必须遵循一定的原则：(1)每一次分类要按照同一标准进行；(2)不重、不漏、最简.例3⊙0的直径AB=2cm，过点A的两条弦AC=2cm，AD=3cm，求∠CAD所夹的圆内部分的面积．在圆中有许多分类讨论的题目，希望同学们做题时，要全面、缜密，杜绝“会而不对，对而不全”的现象．四、方程思想通过对问题的观察、分析、判断，将问题化归为方程问题，利用方程的性质和实际问题与方程的互相转化达到解决问题的目的．例4如图，AB是⊙0的直径，点P在BA的延长线上，弦CD⊥AB，垂足为E，且PC是⊙O 的切线，若OE:EA=1:2，PA＝6，求⊙0的半径．五、函数思想例5（2005·梅州市）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BA=5，点P是AC上的动点（P不与A、C重合），设PC＝x，点P到AB的距离为y．(1)求y与x的函数关系式；(2)试讨论以P为圆心，半径为x的圆与AB所在直线的位置关系，并指出相应的x的取值范围．例6(2006·烟台)如图，从⊙0外一点A作⊙0的切线AB、AC，切点分别为B、C，且⊙0直径BD＝6，连结CD、AO.(1)求证：CD∥AO；(2)设CD=x，AO=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(3)若AO+CD＝11，求AB的长．。

圆的方程1、圆的标准方程：以点),(b a C 为圆心，r 为半径的圆的标准方程是222)()(r b y a x =-+-. 特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是：222r y x =+.2、点与圆的位置关系：已知点()00M ,x y 及圆()()()222C 0：x-a y b r r +-=>，（1）点M 在圆C 外()()22200CM r x a y b r ⇔>⇔-+->； （2）点M 在圆C 内⇔()()22200CM r x a y b r <⇔-+-<； （3）点M 在圆C 上()20CM r x a ⇔=⇔-()220y b r +-=。

3、 圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x .当0422>-+F E D 时，方程表示一个圆，其中圆心⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D C ，半径2422F E D r -+=. 当0422=-+F E D 时，方程表示一个点⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D . 当0422<-+F E D 时，方程无图形（称虚圆）.注：（1）方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是：0=B 且0≠=C A 且2240D E AF +->.4、圆的直径式方程：已知1122(,)(,)A x y B x y 是圆的直径的两个端点，则圆的方程为 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=5、圆的参数方程及应用对于圆的普通方程222()()x a y b R -+-=来说，圆的方程还有另外一种表达形式cos sin x a R y b R θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数），在解决有些问题时，合理的选择圆方程的表达形式，能给解决问题带来方便，本文浅谈圆的参数方程再解题中的应用。

一、求最值例1 已知点（x ，y ）在圆221x y +=上，求2223x xy y ++的最大值和最小值。