2.3函数的奇偶性与周期性+高效作业

课时作业6 函数的奇偶性与周期性一、选择题1．f (x )是定义在R 上的奇函数，满足f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x －2，则f (12log 6)的值等于( )．A ．－43B ．－72 C.12 D ．－122．函数f (x )是定义域为R 的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝－x ＋1，则当x ＜0时，f (x )的表达式为( )．A ．－x ＋1B ．－x －1C ．x ＋1D ．x －13．(2013届湖南师大附中月考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ≥0，g x ，x <0，且函数f (x )为偶函数，则g (－2)＝( )．A ．6B ．－6C ．2D ．－2 4．定义两种运算：a ⊕b ＝log 2(a 2－b 2)，a ⊗b ＝a －b 2，则函数f (x )＝2(2)2xx ⊕⊗-为( )．A ．奇函数B ．偶函数C ．奇函数且为偶函数D ．非奇且非偶函数5．已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x ≥0，都有f (x ＋2)＝－f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (2 013)＋f (－2 014)的值为( )．A ．－2B ．－1C ．1D ．26．函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)与f (x －1)都是奇函数，则( )．A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是奇函数C ．f (x )＝f (x ＋2)D ．f (x ＋3)是奇函数7．已知函数f (x )是R 上的单调增函数且为奇函数，数列{a n }是等差数列，a 3＞0，则f (a 1)＋f (a 3)＋f (a 5)的值( )．A ．恒为正数B ．恒为负数C ．恒为0D ．可正可负二、填空题8．(2013届湖南雅礼中学月考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，g x ，x <0，若f (x )是奇函数，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－19的值为__________． 9．定义在R 上的奇函数f (x )，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝log 2x ，则不等式f (x )＜－1的解集是__________．10．定义在R 上的偶函数f (x )满足：f (x ＋1)＝－f (x )，且在[－1,0]上是增函数，下列关于f (x )的判断：①f (x )是周期函数；②f (x )的图象关于直线x ＝2对称；③f (x )在[0,1]上是增函数；④f (x )在[1,2]上是减函数；⑤f (4)＝f (0)．其中判断正确的序号是__________．三、解答题11．已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，且对任意a ，b ∈R ，都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )．且当x ＞0时，f (x )＜0恒成立，f (3)＝－3.(1)证明：函数y ＝f (x )是R 上的减函数；(2)证明：函数y ＝f (x )是奇函数；(3)试求函数y ＝f (x )在[m ，n ](m ，n ∈N *)上的值域．12．已知函数f (x )的定义域为R ，且满足f (x ＋2)＝－f (x )．若f (x )为奇函数，且当0≤x ≤1时，f (x )＝12x ，求使f (x )＝－12在[0,2 014]上的所有x 的个数．参考答案一、选择题1．C 解析：f (12log 6) ＝－f (12log 6-)＝－f (log 26)＝－f (log 26－2)＝－(2log 622-－2)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫64－2 ＝12，故选C. 2．B 解析：x ＜0时，f (x )＝－f (－x )＝－[－(－x )＋1]＝－x －1.选B.3．A 解析：g (－2)＝f (－2)＝f (2)＝22＋2＝6.4．A 解析：f (x )＝log 2(4－x 2)(x －2)2－2， 由⎩⎪⎨⎪⎧ 4－x 2>0，|x －2|－2≠0，得－2＜x ＜2且x ≠0，∴f (x )＝log 2(4－x 2)－x为奇函数． 5．C 解析：依题意得，x ≥0时，有f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，即x ≥0时，f (x )是以4为周期的函数．因此，f (2 013)＋f (－2 014)＝f (2 013)＋f (2 014)＝f (1)＋f (2)．而f (2)＝－f (0)＝－log 2(0＋1)＝0，f (1)＝log 2(1＋1)＝1，故f (2 013)＋f (－2 014)＝1.6．D 解析：由y ＝f (x ＋1)为奇函数知f (x ＋1)＝－f (－x ＋1)．①由y ＝f (x －1)为奇函数知f (x －1)＝－f (－x －1)．②由①得f (－x )＝－f (2＋x )；由②得f (－x )＝－f (x －2)，∴f (2＋x )＝f (x －2)，即f (x ＋4)＝f (x )．∴函数y ＝f (x )是以4为周期的函数．∴由②知，f (x －1＋4)＝－f (－x －1＋4)．∴f (x ＋3)＝－f (－x ＋3)，∴函数f (x ＋3)是奇函数．7．A 解析：不妨设等差数列{a n }的公差d ＞0，若a 1＞0，则a 5＞a 3＞a 1＞0.由函数f (x )在R 上是增函数且为奇函数，知f (a 5)＞f (a 3)＞f (a 1)＞0，所以f (a 1)＋f (a 3)＋f (a 5)＞0；若a 1＜0，则a 5＋a 1＝2a 3＞0，a 5＞－a 1＞0.由奇函数f (x )为R 上的增函数，知f (a 5)＞f (－a 1)＝－f (a 1)，所以f (a 1)＋f (a 5)＞0，又f (a 3)＞0，所以f (a 1)＋f (a 3)＋f (a 5)＞0.故选A.二、填空题8．2 解析：g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－19＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－19 ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝－log 319＝2. 9.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 0<x <12，或x <－2 解析：当x ＜0时，－x ＞0， ∴f (x )＝－f (－x )＝－log 2(－x )，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 2x ，x >0，0，x ＝0，－log 2(－x )，x <0.∴f (x )＜－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，log 2x <－1或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，0<－1或⎩⎪⎨⎪⎧ x <0，－log 2(－x )<－1⇒0＜x ＜12或x ＜－2.10．①②⑤ 解析：f (x ＋1)＝－f (x )⇒f (x ＋2)＝f (x )，故f (x )是周期函数．又f (x )＝f (－x )，所以f (x ＋2)＝f (－x )，故f (x )关于直线x ＝1对称．同理，f (x ＋4)＝f (x )＝f (－x )，∴f (x )关于直线x ＝2对称．由此可得①②⑤正确．三、解答题11．(1)证明：设任意x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，f (x 2)＝f [x 1＋(x 2－x 1)]＝f (x 1)＋f (x 2－x 1)．∵x 2－x 1＞0，∴f (x 2－x 1)＜0.∴f (x 2)＝f (x 1)＋f (x 2－x 1)＜f (x 1)，故f (x )是R 上的减函数．(2)证明：∵f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )恒成立，∴可令a ＝－b ＝x ，则有f (x )＋f (－x )＝f (0)．又令a ＝b ＝0，则有f (0)＝f (0)＋f (0)，∴f (0)＝0.从而任意的x ∈R ，f (x )＋f (－x )＝0，∴f (－x )＝－f (x )．故y ＝f (x )是奇函数．(3)解：由于y ＝f (x )是R 上的单调递减函数，∴y ＝f (x )在[m ，n ]上也是减函数， 故f (x )在[m ，n ]上的最大值f (x )max ＝f (m )，最小值f (x )min ＝f (n )．由于f (n )＝f [1＋(n －1)]＝f (1)＋f (n －1)＝…＝nf (1)，同理f (m )＝mf (1)．又f (3)＝3f (1)＝－3，∴f (1)＝－1.∴f (m )＝－m ，f (n )＝－n .因此函数y ＝f (x )在[m ，n ]上的值域为[－n ，－m ]．12．解：当0≤x ≤1时，f (x )＝12x ，设－1≤x ≤0，则0≤－x ≤1，∴f (－x )＝12(－x )＝－12x .∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )．∴－f (x )＝－12x ，即f (x )＝12x .故f (x )＝12x (－1≤x ≤1)．又设1＜x ＜3，则－1＜x －2＜1.∴f (x －2)＝12(x －2)．又∵f (x －2)＝－f (2－x )＝－f [(－x )＋2]＝－[－f (－x )]＝－f (x )， ∴－f (x )＝12(x －2)．∴f (x )＝－12(x －2)(1＜x ＜3)．∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 12x ，－1≤x ≤1，－12(x －2)，1<x <3.由f (x )＝－12，解得x ＝－1.又∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝－[－f (x )]＝f (x )，∴f (x )是以4为周期的周期函数．∴f (x )＝－12的所有x ＝4n －1(n ∈Z )．令0≤4n －1≤2 014，则14≤n ≤2 0154，又∵n ∈Z ，∴1≤n ≤503(n ∈Z )，∴在[0,2 014]上共有503个x 使f (x )＝－12.。

课时规范练2.3函数的奇偶性与周期性基础巩固组1.函数f(x)=1x-x的图象关于()A.y轴对称B.直线y=-x对称C.坐标原点对称D.直线y=x对称2.(2019北京怀柔模拟,6)若函数f(x)=2x-2-x,则f(x)()A.是奇函数,且在R上是增函数B.是偶函数,且在R上是增函数C.是奇函数,且在R上是减函数D.是偶函数,且在R上是减函数3.已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)内单调递增,则满足f(2x-1)<f(13)的x的取值范围是()A.(13,23) B.[13,23)C.(12,23) D.[12,23)4.(2019四川成都二模,8)已知定义域R的奇函数f(x)的图象关于直线x=1对称,且当0≤x≤1时,f(x)=x3,则f(52)=()A.-278B.-18C.18D.278125.(2019山东烟台二中模拟)已知函数y=f (x )满足y=f (-x )和y=f (x+2)是偶函数,且f (1)=π3,设F (x )=f (x )+f (-x ),则F (3)=( )A.π3B.2π3C.πD.4π36.(2019黑龙江佳木斯一中调研二,6)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数,且f (x+4)=f (x-2).若当x ∈[-3,0]时,f (x )=6-x ,则f (2 018)=( )A.36B.136C.6D.167.(2019重庆西南大学附属中学月考)已知f (x+2)是偶函数,f (x )在(-∞,2]上单调递减,f (0)=0,则f (2-3x )>0的解集是( )A.(-∞,23)∪(2,+∞) B .(23,2)C.(-23,23) D.(-∞,23)∪(23,+∞)8.已知定义域为R 的函数f (x )在(8,+∞)内为减函数,且函数y=f (x+8)为偶函数,则( ) A.f (6)>f (7) B.f (6)>f (9) C.f (7)>f (9)D.f (7)>f (10)9.(2019河北邢台一中期末)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数,其最小正周期为4,且当x ∈(-32,0)时,f (x )=log 2(-3x+1),则f (2 021)等于( ) A.4B.2C.-2D.log 2710.(2019北京,理13)设函数f (x )=e x +a e -x (a 为常数).若f (x )为奇函数,则a= ;若f (x )是R 上的增函数,则a 的取值范围是 .311.(2019安徽安庆二模,15)若f (x )是R 上的奇函数,且f (x +52)+f (x )=0,又f (1)=1,f (2)=2,则f (3)+f (4)+f (5)= .综合提升组12.(2019辽宁鞍山一中一模,10)定义在R 上的偶函数f (x ),满足f (x+1)=-f (x ),且f (x )在[-3,-2]上为减函数,则在锐角△ABC 中有( ) A.f (sin A )>f (cos B ) B.f (sin A )<f (cos B ) C.f (sin A )>f (sin B )D.f (cos A )<f (cos B )13.(2019山东临沂一模,7)已知函数g (x )=f (x )+x 2是奇函数,当x>0时,函数f (x )的图象与函数y=log 2x 的图象关于y=x 对称,则g (-1)+g (-2)=( ) A.-7B.-9C.-11D.-1314.(2019河南八市联考二,10)已知函数f (x )=e x-1-e -x+1,则下列说法正确的是( ) A.函数f (x )的最小正周期是1 B.函数f (x )是单调递减函数 C.函数f (x )关于直线x=1轴对称 D.函数f (x )关于(1,0)中心对称15.(2019山西临汾一中期末)已知f (x )是定义域为(-1,1)的奇函数,而且f (x )是减函数,如果f (m-2)+f (2m-3)>0,那么实数m 的取值范围是( )A.(1,53)B.(-∞,53)4C.(1,3)D.(53,+∞) 16.(2019浙江宁波一中期末)设定义在R 上的函数f (x )同时满足以下条件:①f (x )+f (-x )=0;②f (x )=f (x+2);③当0≤x<1时,f (x )=2x -1,则f (12)+f (1)+f (32)+f (2)+f (52)= .创新应用组17.(2019黑龙江哈尔滨三中调研,11)已知定义在R 上的偶函数f (x )在[0,+∞)上是单调递增的,若不等式f (ax-4)≤f (x+5)对任意x ∈[1,2]恒成立,则实数a 的取值范围为( )A.[-32,112]B.(-∞,112]C.[112,10] D.(-∞,-32]18.(2019江苏淮安一中模拟)已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数,且当0≤x<2时,f (x )=x 3-x ,则函数y=f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点个数为 .参考答案课时规范练2.3函数的奇偶性与周期性1.C∵f(-x)=-1x +x=-(1x-x)=-f(x),且定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),∴f(x)为奇函数.∴f(x)的图象关于坐标原点对称.2.A∵x∈R,f(-x)=2-x-2x=-f(x),∴函数f(x)为奇函数;∵f(x)=2x-2-x=2x-12x ,而y=2x是R上的增函数,y=-12x也是R上的增函数,∴f(x)=2x-2-x在R上是增函数.故选A.3.A由于函数f(x)在区间[0,+∞)内单调递增,且f(x)为偶函数,则由f(2x-1)<f(13),得-13<2x-1<13,解得13<x<23.故x的取值范围是(13,23).4.B∵f(x)是奇函数,且图象关于x=1对称,∴f(2-x)=f(x).又0≤x≤1时,f(x)=x3,∴f(5 2)=f(2-52)=f(-12)=-f(12)=-18.故选B.5.B由y=f(-x)和y=f(x+2)是偶函数知f(-x)=f(x),且f(x+2)=f(-x+2),则f(x+2)=f(x-2).∴f(x+4)=f(x),则y=f(x)的周期为4.所以F(3)=f(3)+f(-3)=2f(3)=2f(-1)=2f(1)=2π3.6.A∵f(x+4)=f(x-2),∴f(x+6)=f(x),∴f(x)的周期为6.56又f (x )是偶函数,且当x ∈[-3,0]时,f (x )=6-x ,∴f (2 018)=f (2+336×6)=f (2)=f (-2)=62=36.故选A .7.D 因为f (x+2)是偶函数,所以f (x )的图象关于直线x=2对称,所以f (0)=f (4)=0.又f (x )在(-∞,2]上单调递减,则f (x )在[2,+∞)上单调递增.当2-3x ≥2即x ≤0时,由f (2-3x )>0得f (2-3x )>f (4),所以2-3x>4,解得x<-23;当2-3x<2即x>0时,由f (2-3x )>0得f (2-3x )>f (0),所以2-3x<0,解得x>23.因此f (2-3x )>0的解集是(-∞,23)∪(23,+∞).故选D .8.D 由y=f (x+8)为偶函数,知函数f (x )的图象关于直线x=8对称.又因为f (x )在(8,+∞)内为减函数,所以f (x )在(-∞,8)内为增函数.可画出f (x )的草图(图略),知f (7)>f (10).9.C 因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数,其最小正周期为4,所以f (2 021)=f (4×505+1)=f (1)=-f (-1).因为-1∈(-32,0),且当x ∈(-32,0)时,f (x )=log 2(-3x+1),所以f (-1)=log 2[-3×(-1)+1]=2,所以f (2 021)=-f (-1)=-2.10.-1 (-∞,0] 若函数f (x )=e x +a e -x 为奇函数,则f (-x )=-f (x ),e -x +a e x =-(e x +a e -x ),(a+1)(e x +e -x)=0对任意的x 恒成立,则a=-1.若函数f (x )=e x +a e -x 是R 上的增函数,则f'(x )=e x -a e -x ≥0恒成立,即a ≤e 2x ,故a ≤0.11.-3 因为f (x +52)+f (x )=0,所以f(x+5)=-f(x+52)=f(x),所以f(x)是R上周期为5的奇函数,f(3)+f(4)+f(5)=f(-2)+f(-1)+f(0)=-f(2)-f(1)+0=-3.12.A由f(x+2)=-f(x+1)=f(x),得f(x)的周期为2.由f(x)在[-3,-2]上为减函数,可得f(x)在[-1,0]上为减函数,又f(x)为偶函数,所以f(x)在[0,1]上为增函数,由题意,A+B>π2,故sinA=cos(π2-A)>cos B,故f(sin A)>f(cos B),故选A.13.C∵x>0时,f(x)的图象与函数y=log2x的图象关于y=x对称,∴x>0时,f(x)=2x;∴x>0时,g(x)=2x+x2.又g(x)是奇函数,∴g(-1)+g(-2)=-[g(1)+g(2)]=-(2+1+4+4)=-11.故选C.14.D函数f(x)=e x-1-e-x+1,即f(x)=e x-1-1e x-1,可令t=e x-1,即有y=t-1t ,由y=t-1t在t>0递增,t=e x-1在R上递增,可得函数f(x)在R上为增函数,则A,B均错;由函数f(x)的图象向左平移1个单位,得函数的解析式为y=e x-e-x,显然此函数为奇函数,图象关于原点对称,所以函数f(x)的图象关于(1,0)中心对称.则C错误,D正确.故选D.15.A∵f(x)是定义域为(-1,1)的奇函数,∴-1<x<1,f(-x)=-f(x),78∴f (m-2)+f (2m-3)>0可转化为f (m-2)>-f (2m-3),即f (m-2)>f (-2m+3). ∵f (x )是减函数,∴{-1<m -2<1,-1<2m -3<1,m -2<-2m +3,∴1<m<53.16.√2-1 依题意知f (1)+f (-1)=0,又函数周期为2,则f (-1)=f (-1+2)=f (1),所以f (1)=0.∴f (12)+f (1)+f (32)+f (2)+f (52)=f (12)+0+f (-12)+f (0)+f (12)=f (12)-f (12)+f (0)+f (12)=f (12)+f (0)=212-1+20-1=√2-1. 17.A 根据题意,f (x )为偶函数且在[0,+∞)单调递增,则f (ax-4)≤f (x+5)⇒f (|ax-4|)≤f (|x+5|)⇒|ax-4|≤|x+5|,若不等式f (ax-4)≤f (x+5)对任意x ∈[1,2]恒成立,则|ax-4|≤|x+5|在区间[1,2]上恒成立,又由x ∈[1,2],则x+5>0, 则|ax-4|≤x+5,得-(x+5)≤ax-4≤x+5,即{(a +1)x +1≥0,(a -1)x -9≤0在区间[1,2]上恒成立,所以{(a +1)+1≥0,2(a +1)+1≥0,(a -1)-9≤0,2(a -1)-9≤0, 解得-32≤a ≤112,即a 的取值范围为[-32,112],故选A .18.7 因为当0≤x<2时,f (x )=x 3-x.又f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数,且f (0)=0, 则f (6)=f (4)=f (2)=f (0)=0.又f (1)=0,所以f (5)=f (3)=f (1)=0,故函数y=f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点有7个.。

§2.3 函数的奇偶性与周期性A 组 专项基础训练(时间：30分钟)1．(2013·广东)定义域为R 的四个函数y ＝x 3，y ＝2x ，y ＝x 2＋1，y ＝2sin x 中，奇函数的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1答案 C解析 由奇函数的定义可知y ＝x 3，y ＝2sin x 为奇函数．2．已知f (x )在R 上是奇函数，且f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)等于( )A ．－2B ．2C ．－98D ．98 答案 A解析 f (7)＝f (3)＝f (－1)＝－f (1)＝－2.3．(2014·福建)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x >0，cos x ，x ≤0，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是增函数C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域为[－1，＋∞)答案 D 解析 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x >0，cos x ，x ≤0的图象如图所示，由图象知只有D 正确．4．定义在R 上的偶函数f (x )，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，则( ) A ．f (3)<f (－2)<f (1)B ．f (1)<f (－2)<f (3)C ．f (－2)<f (1)<f (3)D ．f (3)<f (1)<f (－2)答案 A解析 由题意知f (x )为偶函数，所以f (－2)＝f (2)，又x ∈[0，＋∞)时，f (x )为减函数，且3>2>1，∴f (3)<f (2)<f (1)，即f (3)<f (－2)<f (1)，故选A.5．定义两种运算：ab ＝a 2－b 2，a ⊗b ＝(a －b )2，则f (x )＝2x 2－(x ⊗2)是( ) A ．奇函数B ．偶函数C ．既奇又偶函数D ．非奇非偶函数 答案 A解析 因为2x ＝4－x 2，x ⊗2＝(x －2)2，所以f (x )＝4－x 22－(x －2)2＝4－x 22－(2－x )＝4－x 2x ， 该函数的定义域是[－2,0)∪(0,2]，且满足f (－x )＝－f (x )．故函数f (x )是奇函数．6．函数f (x )在R 上为奇函数，且x >0时，f (x )＝x ＋1，则当x <0时，f (x )＝________. 答案 －－x －1解析 ∵f (x )为奇函数，x >0时，f (x )＝x ＋1，∴当x <0时，－x >0，f (x )＝－f (－x )＝－(－x ＋1)，即x <0时，f (x )＝－(－x ＋1)＝－－x －1.7．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，在区间[0，＋∞)上为增函数，且f (13)＝0，则不等式f (x )>0的解集为________．答案 {x |x >13或x <－13} 解析 由已知f (x )在R 上为偶函数，且f (13)＝0， ∴f (x )>0等价于f (|x |)>f (13)， 又f (x )在[0，＋∞)上为增函数，∴|x |>13，即x >13或x <－13. 8．已知函数f (x )满足：f (1)＝14，4f (x )f (y )＝f (x ＋y )＋f (x －y )(x ，y ∈R )，则f (2 015)＝________.答案 14解析 方法一 令x ＝1，y ＝0时，4f (1)·f (0)＝f (1)＋f (1)，解得f (0)＝12， 令x ＝1，y ＝1时，4f (1)·f (1)＝f (2)＋f (0)，解得f (2)＝－14， 令x ＝2，y ＝1时，4f (2)·f (1)＝f (3)＋f (1)，解得f (3)＝－12， 依次求得f (4)＝－14，f (5)＝14，f (6)＝12，f (7)＝14， f (8)＝－14，f (9)＝－12，… 可知f (x )是以6为周期的函数，∴f (2 015)＝f (335×6＋5)＝f (5)＝14. 方法二 ∵f (1)＝14， 4f (x )·f (y )＝f (x ＋y )＋f (x －y )，∴构造符合题意的函数f (x )＝12cos π3x ， ∴f (2 015)＝12cos ⎝⎛⎭⎫π3×2 015＝14. 9．设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x .(1)求f (π)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图象与x 轴所围成图形的面积．解 (1)由f (x ＋2)＝－f (x )得，f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以f (x )是以4为周期的周期函数，∴f (π)＝f (－1×4＋π)＝f (π－4)＝－f (4－π)＝－(4－π)＝π－4.(2)由f (x )是奇函数与f (x ＋2)＝－f (x )，得：f [(x －1)＋2]＝－f (x －1)＝f [－(x －1)]，即f (1＋x )＝f (1－x )．故知函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称．又当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，且f (x )的图象关于原点成中心对称，则f (x )的图象如图所示．当－4≤x ≤4时，f (x )的图象与x 轴围成的图形面积为S ，则S ＝4S △OAB ＝4×⎝⎛⎭⎫12×2×1＝4.10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数． (1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．解 (1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)由(1)知f (x )在[－1,1]上是增函数，要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增．结合f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1， 所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．B 组 专项能力提升(时间：30分钟)11．已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a x －a －x ＋2(a >0，且a ≠1)．若g (2)＝a ，则f (2)等于( )A ．2 B.154 C.174D ．a 2 答案 B解析 ∵f (x )为奇函数，g (x )为偶函数，∴f (－2)＝－f (2)，g (－2)＝g (2)＝a ，∵f (2)＋g (2)＝a 2－a －2＋2，①∴f (－2)＋g (－2)＝g (2)－f (2)＝a －2－a 2＋2，②由①、②联立，g (2)＝a ＝2，f (2)＝a 2－a －2＝154.12．设奇函数f (x )的定义域为R ，最小正周期T ＝3，若f (1)≥1，f (2)＝2a －3a ＋1，则a 的取值范围是( )A ．a <－1或a ≥23B ．a <－1C ．－1<a ≤23D ．a ≤23答案 C解析 函数f (x )为奇函数，则f (1)＝－f (－1)．由f (1)＝－f (－1)≥1，得f (－1)≤－1；函数的最小正周期T ＝3，则f (－1)＝f (2)，由2a －3a ＋1≤－1，解得－1<a ≤23. 13．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x ，则有①2是函数f (x )的周期；②函数f (x )在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数；③函数f (x )的最大值是1，最小值是0.其中所有正确命题的序号是________．答案 ①②解析 在f (x ＋1)＝f (x －1)中，令x －1＝t ，则有f (t ＋2)＝f (t )，因此2是函数f (x )的周期，故①正确；当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x 是增函数，根据函数的奇偶性知，f (x )在[－1,0]上是减函数，根据函数的周期性知，函数f (x )在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数，故②正确；在区间[－1,1]上，f (x )的最大值为f (1)＝f (－1)＝2，f (x )的最小值为f (0)＝1，故③错误．14．已知奇函数f (x )的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]上递减，求满足f (1－m )＋f (1－m 2)<0的实数m 的取值范围．解 ∵f (x )的定义域为[－2,2]．∴有⎩⎪⎨⎪⎧－2≤1－m ≤2，－2≤1－m 2≤2，解得－1≤m ≤ 3.① 又f (x )为奇函数，且在[－2,0]上递减，∴f (x )在[－2,2]上递减，∴f (1－m )<－f (1－m 2)＝f (m 2－1)⇒1－m >m 2－1，即－2<m <1.②综合①②可知，－1≤m <1.即实数m 的取值范围是[－1,1)．15．函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)．(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f (4)＝1，f (x －1)<2，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围． 解 (1)∵对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，∴令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0.(2)f (x )为偶函数．证明：令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)，∴f (－1)＝12f (1)＝0. 令x 1＝－1，x 2＝x 有f (－x )＝f (－1)＋f (x )，∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数．(3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2，由(2)知，f (x )是偶函数，∴f (x －1)<2⇔f (|x －1|)<f (16)．又f (x )在(0，＋∞)上是增函数．∴0<|x －1|<16，解之得－15<x <17且x ≠1.∴x 的取值范围是{x |－15<x <17且x ≠1}.。

2.3 函数的奇偶性与周期性一、填空题1．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝________.解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－2×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝－12.答案 －122.设函数2()(1)()f x x x a =++为奇函数,则a = .解析 由函数2()(1)()f x x x a =++为奇函数得到f (0)=0,即2(01)(0)a ++=0. 所以a =0. 答案 03．设函数f (x )是奇函数且周期为3，f (－1)＝－1，则f (2 011)＝________ 解析 因为f (－x )＝－f (x )，f (x ＋3)＝f (x )，f (－1)＝－1，所以f (1)＝1，f (2 011)＝f (3×670＋1)＝f (1)＝1. 答案 14．已知奇函数f (x )的图象关于直线x ＝－2对称，当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x ，则f (－9)＝________.解析 由题意，得f (－x )＝－f (x )，f (x )＝f (－4－x )， 所以f (－9)＝f (－4＋9)＝f (5)＝－f (－5)＝－f (1)＝－2. 答案 －25.若y =f (x )是奇函数,且在(0),+∞内是增函数,又f (3)=0,则xf (x )<0的解集是 _______.解析 因为f(x)在(0),+∞内是增函数,f(3)=0, 所以当0<x<3时,f(x)<0; 当x>3时,f(x)>0.又因为f(x)是奇函数,其图象关于原点对称,所以当-3<x<0时,f(x)>0; 当x<-3时,f(x)<0.可见xf(x)<0的解集是{x|-3<x<0或0<x<3}.答案 {x|-3<x<0或0<x<3}6．函数f(x)是奇函数，且在[－1,1]上是单调增函数，又f(－1)＝－1，则满足f (x )≤t 2＋2at ＋1对所有的x ∈[－1,1]及a ∈[－1,1]都成立的t 的取值范围是________．解析 由题意，f (x )max ＝f (1)＝－f (－1)＝1，所以t 2＋2at ＋1≥1，即t 2＋2at ≥0对a ∈[－1,1]恒成立，t ＝0时，显然成立；t ≥0时，由t ≥－2a 恒成立，得t ≥2；t ＜0时，由t ≤－2a 恒成立，得t ≤－2. 综上，得t ≤－2或t ＝0或t ≥2. 答案 (－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞)7．设f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x ＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x ，则f(7.5)＝________.解析 由题意得f(x ＋4)＝f[(x ＋2)＋2]＝－f(x ＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的函数，所以f(7.5)＝f(7.5－8)＝f(－0.5)＝－f(0.5)＝－0.5. 答案 －0.58．已知函数f (x )＝log 4(4x ＋1)＋kx (k ∈R )是偶函数，则k 的值为________． 解析 由f (－x )＝f (x )，得log 4(4－x ＋1)－kx ＝log 4(4x ＋1)＋kx ，即2kx ＝log 4⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4x4x －log 4(4x＋1)＝log 414x ＝－x ，所以k ＝－12.答案 －129．若偶函数f (x )在(－∞，0)内单调递减，则不等式f (－1)＜f (lg x )的解集是________．解析 因为f (x )是偶函数，所以f (x )＝f (|x |)，于是由f (－1)＜f (lg x )，得f (1)＜f (|lg x |)，又由f (x )在(－∞，0)内单调递减得f (x )在(0，＋∞)内单调递增，所以有|lg x |＞1，即lg x ＜－1或lg x ＞1，解得x ＜110或x ＞10.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫0，110∪(10，＋∞) 10．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝1－2－x ，则不等式f (x )＜－12的解集是________．解析若x＞0，则由f(x)＝1－2－x＜－12，得⎝⎛⎭⎪⎫12x＞32，这与x＞0时，⎝⎛⎭⎪⎫12x＜1矛盾．若x＜0，则由f(x)为奇函数，得f(x)＝－f(－x)＝－1＋2x＜－12，得2x＜12＝2－1，解得x＜－1.答案(－∞，－1)11．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－1,0]上是增函数，给出下列关于f(x)的判断：①f(x)是周期函数；②f(x)关于直线x＝1对称；③f(x)在[0,1]上是增函数；④f(x)在[1,2]上是减函数；⑤f(2)＝f(0)．其中正确的序号是________．解析∵f(x＋1)＝－f(x)，∴f(x)＝－f(x＋1)＝f(x＋1＋1)＝f(x＋2)，∴f(x)是周期为2的函数，①正确．又∵f(x＋2)＝f(x)＝f(－x)，∴f(x)＝f(2－x)，∴y＝f(x)的图象关于x＝1对称，②正确．又∵f(x)为偶函数且在[－1,0]上是增函数，∴f(x)在[0,1]上是减函数．又∵对称轴为x＝1，∴f(x)在[1,2]上为增函数，f(2)＝f(0)，故③④错误，⑤正确．答案①②⑤12．函数y＝f(x)与y＝g(x)有相同的定义域，且都不是常值函数，对于定义域内的任何x，有f(x)＋f(－x)＝0，g(x)g(－x)＝1，且当x≠0时，g(x)≠1，则F(x)＝2f xg x－1＋f(x)的奇偶性为________．解析因为f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝1g x，所以F (－x )＝2f －xg －x －1＋f (－x )＝－2f x 1g x－1－f (x )＝2f x g xg x －1－f (x )＝2f x g x －2f x ＋2f xg x －1－f (x )＝2f (x )＋2fxg x －1－f (x )＝2f xg x －1＋f (x )＝F (x )．所以F (x )是偶函数． 答案 偶函数13．已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足条件f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋32＝－f (x )，且函数y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34为奇函数，给出以下四个命题：①函数f (x )是周期函数；②函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0对称；③函数f (x )为R 上的偶函数；④函数f (x )为R 上的单调函数，其中真命题的序号为________(写出所有真命题的序号)． 解析 ①由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝－f (x )，得f (x ＋3)＝－f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋32＝f (x )，所以①正确．②由y ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x －34为奇函数，得f (x )图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0对称，所以②不正确．③由f ⎝⎛⎭⎪⎫－x －34＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34，得f (x )＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －32，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝－f (x )，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫－x －32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32，所以f (x )是偶函数，③正确．由③正确知④不正确． 答案 ①③ 二、解答题14．设f (x )＝e x ＋a e －x (a ∈R ，x ∈R )． (1)讨论函数g (x )＝xf (x )的奇偶性；(2)若g (x )是个偶函数，解不等式f (x 2－2)≤f (x )．解析 (1)a ＝1时，f (x )＝e x ＋e －x 是偶函数，所以g (x )＝xf (x )是奇函数；a ＝－1时，f (x )＝e x －e －x 是奇函数，所以g (x )＝xf (x )是偶函数．a ≠±1，由f (x )既不是奇函数又不是偶函数，得g (x )＝xf (x )是非奇非偶函数． (2)当g (x )是偶函数时，a ＝－1，f (x )＝e x －e －x 是R 上的单调增函数，于是由f (x 2－2)≤f (x )得x 2－2≤x ，即x 2－x －2≤0，解得－1≤x ≤2.15.已知函数f (x )=2220000x x x x x mx x ⎧-+,>,⎪,=,⎨⎪+,<⎩是奇函数. (1)求实数m 的值;(2)若函数f (x )在区间[12]a -,-上单调递增，求实数a 的取值范围. 解析 (1)设x <0, 则-x >0,所以f (-x )=22()2()2x x x x --+-=--. 又f (x )为奇函数, 所以f (-x )=-f (x ).于是x <0时22()2f x x x x mx ,=+=+,所以m =2.(2)要使f (x )在[12]a -,-上单调递增，结合()f x 的图象（略）知2121a a ->-,⎧⎨-≤,⎩所以13a <≤,故实数a 的取值范围是(1,3].16. 已知函数f (x )，当x ，y ∈R 时，恒有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )． (1)求证：f (x )是奇函数；(2)如果x ∈R ＋，f (x )<0，并且f (1)＝－12，试求f (x )在区间[－2,6]上的最值．解析 (1)证明：∵函数f (x )的定义域为R ， ∴其定义域关于原点对称．∵f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，令y ＝－x ， ∴f (0)＝f (x )＋f (－x )．令x ＝y ＝0，∴f (0)＝f (0)＋f (0)，得f (0)＝0. ∴f (x )＋f (－x )＝0，得f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数．(2)法一：设x ，y ∈R ＋，∵f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )， ∴f (x ＋y )－f (x )＝f (y )． ∵x ∈R ＋，f (x )<0，∴f (x ＋y )－f (x )<0，∴f (x ＋y )<f (x )．∵x ＋y >x ，∴f (x )在(0，＋∞)上是减函数． 又∵f (x )为奇函数，f (0)＝0，∴f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数． ∴f (－2)为最大值，f (6)为最小值．∵f (1)＝－12，∴f (－2)＝－f (2)＝－2f (1)＝1，f (6)＝2f (3)＝2[f (1)＋f (2)]＝－3.∴所求f (x )在区间[－2,6]上的最大值为1，最小值为－3. 法二：设x 1<x 2，且x 1，x 2∈R .则f (x 2－x 1)＝f [x 2＋(－x 1)]＝f (x 2)＋f (－x 1)＝f (x 2)－f (x 1)． ∵x 2－x 1>0，∴f (x 2－x 1)<0.∴f (x 2)－f (x 1)<0. 即f (x )在R 上单调递减．∴f (－2)为最大值，f (6)为最小值．∵f (1)＝－12，∴f (－2)＝－f (2)＝－2f (1)＝1，f (6)＝2f (3)＝2[f (1)＋f (2)]＝－3. ∴所求f (x )在区间[－2,6]上的最大值为1，最小值为－3.17．已知函数f (x )＝1＋ax2x ＋b (a ≠0)是奇函数，并且函数f (x )的图象经过点(1,3)．(1)求实数a ，b 的值； (2)求函数f (x )的值域．解析 (1)因为函数f (x )＝1＋ax 2x ＋b 是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )． 所以1＋a －x 2－x ＋b ＝－1＋ax 2x ＋b.因为a ≠0，所以－x ＋b ＝－x －b . 所以b ＝0.又函数f (x )的图象经过点(1,3)， 所以f (1)＝3. 所以1＋a 1＋b ＝3.因为b ＝0， 故a ＝2. (2)由(1)知f (x )＝1＋2x 2x＝2x ＋1x(x ≠0)．当x ＞0时，2x ＋1x≥22x ·1x ＝22，当且仅当2x ＝1x ，即x ＝22时取等号．当x ＜0时，(－2x )＋1－x≥2 －2x·1－x＝2 2.所以2x ＋1x≤－2 2.当且仅当－2x ＝1－x ，即x ＝－22时取等号． 综上可知，函数f (x )的值域为(－∞，－22]∪[22，＋∞)．18．设f (x )＝log a ⎝⎛⎭⎪⎫1－mx x －1为奇函数，g (x )＝f (x )＋log a [(x －1)(ax ＋1)](a ＞1，且m ≠1)． (1)求m 的值； (2)求g (x )的定义域；(3)若g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，－32上恒正，求a 的取值范围．解析 (1)f (x )是奇函数，f (x )＝－f (－x )， log a ⎝⎛⎭⎪⎫1－mx x －1＝－log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋mx －x －1＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －11＋mx ， ∴1－mx x －1＝－x －11＋mx ，x 2－1＝(mx )2－1， ∴(m 2－1)x 2＝0，又m ≠1，∴m ＝－1. (2)由(1)f (x )＝log a x ＋1x －1，g (x )＝log a x ＋1x －1＋log a [(x －1)·(ax ＋1)]，x 必须满足⎩⎨⎧x －1ax ＋1＞0，x ＋1x －1＞0.又a ＞1，∴x ＜－1或x ＞1，∴g (x )的定义域为{x |x ＜－1或x ＞1}． (3)a ＞1，g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，－32上恒正，即(x ＋1)(ax ＋1)＞1⇒ax ＋1＜1x ＋1⇒ax ＜－x x ＋1⇒a ＞－1x ＋1，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，－32，∴－1x ＋1≤－1⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋1＝2，∴a ＞2，∴a 的取值范围是(2，＋∞)．。

2021年高考数学大一轮复习 2.3函数的奇偶性与周期性课时作业 理一、选择题1．(xx·广东卷)下列函数为奇函数的是( ) A ．f (x )＝2x－12xB ．f (x )＝x 3sin xC ．f (x )＝2cos x ＋1D ．f (x )＝x 2＋2x解析：令f (x )＝2x －12x ＝2x －2－x ，其定义域为R ，且f (－x )＝2－x －2x＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．答案：A2．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且y ＝f (x )的图象关于直线x ＝13对称，则f (－23)＝( )A ．0B ．1C ．－1D ．2解析：由f (x )是奇函数可知，f (0)＝0，f (－23)＝－f (23)．又因为y ＝f (x )的图象关于x＝13对称，所以f (0)＝f (23)，因此f (－23)＝0，故选A. 答案：A3．(xx·大纲卷)奇函数f (x )的定义域为R .若f (x ＋2)为偶函数，且f (1)＝1，则f (8)＋f (9)＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．1解析：∵f (x ＋2)为偶函数，∴f (－x ＋2)＝f (x ＋2)，又∵f (x )为奇函数，∴f (－x ＋2)＝－f (x －2)，∴f (x ＋2)＝－f (x －2)，即f (x ＋4)＝－f (x )，∴f (x )是以8为周期的函数，∴f (8)＋f (9)＝f (0)＋f (1)＝0＋1＝1.答案：D4．(xx·山东卷)对于函数f(x)，若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f(x)＝f(2a－x)，则称f(x)为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是( ) A．f(x)＝x B．f(x)＝x2C．f(x)＝tan x D．f(x)＝cos(x＋1)解析：f(x)＝f(2a－x)可得函数关于直线x＝a对称，结合选项，只有D选项中函数有对称轴，故选D.答案：D5．x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f(x)＝x－[x]在R上为( ) A．奇函数B．偶函数C．增函数D．周期函数解析：由题知，f(x)＝x－[x]＝⎩⎪⎨⎪⎧...x＋1，x∈[－1，0x，x∈[0，1x－1，x∈[1，2x－2，x∈[2，3…据此画出f(x)的部分图象如图所示：由图象知，f(x)为周期为1的周期函数．答案：D6．若奇函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，又f(－3)＝0，则不等式xf x<0的解集为( )A．(－3,0)∪(3，＋∞)B．(－3,0)∪(0,3)C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(0,3)解析：如图，作出f(x)的草图：由xf x<0可知x，f(x)异号，∴不等式的解为－3<x<0或0<x<3.答案：B 二、填空题7．(xx·新课标卷Ⅱ)偶函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，f (3)＝3，则f (－1)＝________.解析：y ＝f (x )为偶函数，知f (x )＝f (－x )，图象关于x ＝2对称，知f (2－x )＝f (2＋x )．f (－1)＝f (1)＝f [2＋(－1)]＝f [2－(－1)]＝f (3)＝3.答案：38．如果函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －3，x >0，f x ， x <0是奇函数，则f (x )＝________.解析：令x <0，∴－x >0，g (－x )＝－2x －3，∴g (x )＝2x ＋3，∴f (x )＝2x ＋3. 答案：2x ＋39．(xx·湖南卷)若f (x )＝ln(e 3x＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________.解析：因为f (x )＝ln(e 3x＋1)＋ax 为偶函数，则f (－x )＝f (x )，所以f (－x )＝ln(e －3x＋1)＋a (－x )＝ln(e 3x ＋1)－3x －ax ＝ln(e 3x＋1)＋ax ，则－3－a ＝a ，得a ＝－32.答案：－32三、解答题10．已知函数f (x )＝2|x －2|＋ax (x ∈R )有最小值． (1)求实数a 的取值范围．(2)设g (x )为定义在R 上的奇函数，且当x <0时，g (x )＝f (x )，求g (x )的解析式． 解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2x －4， x ≥2，a －2x ＋4， x <2，要使函数f (x )有最小值，需⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2≥0，a －2≤0，所以－2≤a ≤2，即当a ∈[－2,2]时，f (x )有最小值． (2)因为g (x )为定义在R 上的奇函数， 所以g (0)＝0.设x >0，则－x <0， 所以g (x )＝－g (－x )＝(a －2)x －4，所以g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2x －4， x >0，0， x ＝0，a －2x ＋4， x <0.11．已知函数f (x )＝2x＋k ·2－x，k ∈R . (1)若函数f (x )为奇函数，求实数k 的值；(2)若对任意的x ∈[0，＋∞)，都有f (x )>2－x成立，求实数k 的取值范围． 解：(1)因为f (x )＝2x ＋k ·2－x是奇函数， 所以f (－x )＝－f (x )，x ∈R ，即2－x＋k ·2x ＝－(2x ＋k ·2－x )，所以(1＋k )＋(k ＋1)·22x＝0，对一切x ∈R 恒成立，所以k ＝－1.(2)因为x ∈[0，＋∞)，均有f (x )>2－x， 即2x ＋k ·2－x >2－x成立， 所以1－k <22x对x ≥0恒成立， 所以1－k <(22x )min .因为y ＝22x在[0，＋∞)上单调递增，所以(22x)min ＝1. 所以k >0.1．设定义在R 上的奇函数y ＝f (x )，满足对任意t ∈R ，都有f (t )＝f (1－t )，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12时，f (x )＝－x 2，则f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32的值等于( )A ．－12B ．－13C ．－14D ．－15解析：由f (t )＝f (1－t )，得f (1＋t )＝f (－t )＝－f (t )， 所以f (2＋t )＝－f (1＋t )＝f (t )， 所以f (x )的周期为2. 又f (1)＝f (1－1)＝f (0)＝0，所以f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝f (1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 ＝0－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝－14.故选C.答案：C2．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (x ＋1)为奇函数，f (0)＝0，当x ∈(0,1]时，f (x )＝log 2x ，则在(8,10)内满足方程f (x )＋1＝f (1)的实数x 的值为________．解析：根据已知得f (－x )＝f (x )，f (－x ＋1)＝－f (x ＋1)，即f (x ＋1)＝－f (x －1)，以x ＋1代x ，得f (x ＋2)＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，即4为函数f (x )的一个周期．再由f (－x ＋1)＝－f (x ＋1)，以－x ＋1代x ，可得f (x )＝－f (2－x )，当x ∈[1,2)时，2－x ∈(0,1]，所以当x ∈[1,2)时，f (x )＝－log 2(2－x )．当x ∈(8,9]时，x －8∈(0,1]，此时f (x )＝f (x －8)＝log 2(x －8)，方程f (x )＋1＝f (1)，即f (x )＝－1，即log 2(x －8)＝－1，解得x ＝172；当x ∈(9,10)时，x －8∈(1,2)，此时f (x )＝f (x －8)＝－log 2(8－x )，方程f (x )＋1＝f (1)，即f (x )＝－1，即－log 2(10－x )＝－1，解得x ＝8(舍去)．综上可知，在(8,10)内满足方程f (x )＋1＝f (1)的实数x 的值为172.答案：1723．奇函数f (x )满足对任意x ∈R 都有f (2＋x )＋f (2－x )＝0，且f (1)＝9，则f (2 010)＋f (2 011)＋f (2 012)的值为________．解析：奇函数f (x )满足f (2＋x )＋f (2－x )＝0，则f (2＋x )＝－f (2－x )＝f (x －2)，所以函数f (x )是周期为4的周期函数，f (2 010)＋f (2 011)＋f (2 012)＝f (2)＋f (3)＋f (4)，令x ＝0，则f (2)＝0；令x ＝2，则f (4)＝f (0)＝0；由f (3)＝f (－1)＝－f (1)＝－9，故f (2 010)＋f (2 011)＋f (2 012)＝－9.答案：－9 4．已知函数f (x )＝ax ＋b 1＋x 2的定义域为(－1,1)，满足f (－x )＝－f (x )，且f (12)＝25. (1)求函数f (x )的解析式；(2)用单调性的定义证明f (x )在(－1,1)上是增函数； (3)解不等式f (x 2－1)＋f (x )<0. 解：(1)由f (－x )＝－f (x )，得－ax ＋b 1＋x 2＝－ax －b 1＋x 2⇒b ＝0，则f (x )＝ax 1＋x 2，又由f (12)＝25，所得a ＝1； 所以f (x )＝x1＋x2.(2)设－1<x 1<x 2<1，则f (x 1)－f (x 2)＝x 11＋x 21－x 21＋x 22＝x 1－x 21－x 1x 21＋x 211＋x 22又－1<x 1<x 2<1，∴x 1－x 2<0,1－x 1x 2>0,1＋x 21>0,1＋x 22>0， 从而f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2) 所以f (x )在(－1,1)上是增函数．(3)由f (x 2－1)＋f (x )<0得f (x 2－1)<－f (x )即f (x 2－1)<f (－x )由(2)知f (x )在(－1,1)上是增函数，则⎩⎪⎨⎪⎧－1<x 2－1<1－1<x <1x 2－1<－x⇒⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <0，或0<x <2－1<x <1－1－52<x <－1＋52⇒－1<x <0或0<x <－1＋52所以，原不等式的解集为(－1,0)∪(0，－1＋52)．6#28331 6EAB 溫` x40833 9F81 龁27884 6CEC 泬25652 6434 搴20909 51AD 冭32434 7EB2 纲26098 65F2 旲24928 6160 慠32349 7E5D 繝。

1.(2017辽宁育才高三月考)下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的是( ).A .y=x 3B .y=|x|+1C .y=-x 2+1D .y=2-|x|【解析】选项A 中的函数是奇函数,选项C,D 中的函数在(0,+∞)上是减函数,故选B . 【答案】B2.(2017江西广昌一中期中)设f (x )-x 2=g (x )(x ∈R),若函数f (x )为偶函数,则g (x )的解析式可以为( ).A .g (x )=x 3B .g (x )=cos xC .g (x )=1+xD .g (x )=x e x【解析】由f (x )-x 2=g (x ),x ∈R,得f (x )=g (x )+x 2,当g (x )=cos x 时,f (x )=cos x+x 2,f (-x )=cos(-x )+(-x )2=cosx+x 2=f (x ),且定义域为R,故f (x )为偶函数.【答案】B3.(2017山东曲阜师大附中高三月考)偶函数y=f (x )在(-∞,-1]上是增函数,则下列不等式成立的是( ).A .f (-1)>f (√33)B .f (√2)>f (-√2)C .f (4)>f (3)D .f (-√2)>f (√3)【解析】已知f (x )是偶函数,则f (-x )=f (x ).f (x )在(-∞,-1]上是增函数.对于A,f (√33)=f (-√33),∵-√33>-1,∴f (-1)与f (√33)的大小关系不确定;对于B,f (x )是偶函数,即f (-x )=f (x ),f (√2)=f (-√2); 对于C,f (4)=f (-4),f (3)=f (-3),∵-4<-3,∴f (4)<f (3); 对于D,f (√3)=f (-√3),∵-√3<-√2<-1,∴f (-√2)>f (√3). 【答案】D4.(山东潍坊四中2018届月考)设常数a>0,函数f (x )=2x +a2x -a 为奇函数,则a 的值为( ).A .1B .-1C .4D .3 【解析】∵函数f (x )=2x +a2x -a 为奇函数,∴f (-x )+f (x )=0,即2-x +a 2-x -a +2x +a2x -a=0, 化简得(1+a ·2x )(2x -a )+(1-a ·2x )(2x +a )=0, 故2·2x (1-a 2)=0,解得a=1或a=-1.∵a>0,∴a=1.经检验,当a=1时,函数f (x )的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),符合题意.【答案】A5.(2017湖北襄阳高三期中联考)设函数f (x )=ln(2+x )+ln(2-x ),则f (x )( ).A .是奇函数,且在(0,2)上是增函数B .是奇函数,且在(0,2)上是减函数C .是偶函数,且在(0,2)上是增函数D .是偶函数,且在(0,2)上是减函数【解析】因为f (-x )=ln(2-x )+ln(2+x )=f (x ),所以函数f (x )是偶函数.又f (x )=ln(2+x )+ln(2-x )=ln[(2+x )(2-x )]=ln(4-x 2),所以f (x )在(0,2)上是减函数.故选D .【答案】D6.(2017陕西西安一模)奇函数f (x )的定义域为R,若f (x+1)为偶函数,且f (1)=2,则f (4)+f (5)的值为( ).A .2B .1C .-1D .-2 【解析】∵f (x+1)为偶函数,∴f (-x+1)=f (x+1),∴f (-x )=f (x+2). 又∵y=f (x )为奇函数,∴f (-x )=-f (x )=f (x+2),且f (0)=0,∴f (x+4)=-f (x+2)=f (x ),∴y=f (x )的周期为4. ∴f (4)+f (5)=f (0)+f (1)=0+2=2.【答案】A7.(2017江苏泰州高三月考)已知函数f (x )是奇函数,当x<0时,f (x )=x 2-3a sin πx 2,且f (3)=6,则a= .【解析】因为f (3)=6⇒f (-3)=-6,所以f (-3)=9-3a sin (-3π2)=-6⇒a=5. 【答案】58.(2017合肥质检)若函数f (x )(x ∈R)是周期为4的奇函数,且在[0,2]上的解析式为f (x )={x(1-x),0≤x ≤1,sin πx,1<x ≤2,则f (294)+f (416)= .【解析】因为函数f (x )是周期为4的奇函数,所以f (294)+f (416)=f (-34)+f (-76)=-f (34)-f (76)=-316+sin π6=516. 【答案】5169.(2017重庆模拟)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数,且在(-∞,0]上是减函数,若f (a )≥f (2),则实数a 的取值范围是 .【解析】∵函数f (x )是定义在R 上的偶函数,且在(-∞,0]上是减函数,∴函数f (x )在[0,+∞)上是增函数.∵f (a )≥f (2),即f (|a|)≥f (2),∴|a|≥2,解得a ≥2或a ≤-2.∴实数a 的取值范围是(-∞,-2]∪[2,+∞). 【答案】(-∞,-2]∪[2,+∞)10.(2017四川成都五校联考)已知f (x )是定义在R 上的偶函数,且在(-∞,0)上单调递增,若实数a 满足f (2|a-1|)>f (-√2),则a 的取值范围是( ).A .(-∞,12) B .(-∞,12)∪(32,+∞) C .(12,32)D .(32,+∞)【解析】∵f (x )是定义在R 上的偶函数,且在(-∞,0)上单调递增,∴f (x )在(0,+∞)上单调递减.∵2|a-1|>0,f (-√2)=f (√2),∴2|a-1|<√2=212,∴|a -1|<12,解得12<a<32.【答案】C11.(2017山东枣庄三中月考)定义在R 上的偶函数f (x )满足:f (4)=f (-2)=0,在(-∞,-3)和[-3,0]上分别单调递增和单调递减.则不等式xf (x )>0的解集为( ).A .(-∞,-4)∪(4,+∞)B .(-4,-2)∪(2,4)C .(-∞,-4)∪(-2,0)D .(-∞,-4)∪(-2,0)∪(2,4)【解析】偶函数f (x )(x ∈R)满足f (4)=f (-2)=0,所以f (4)=f (-2)=f (-4)=f (2)=0,且f (x )在[0,3]和(3,+∞)上分别单调递增和单调递减.求xf (x )>0的解集等价于求函数在第一、三象限中的图象对应的x 的取值范围,即x ∈(-∞,-4)∪(-2,0)∪(2,4).综上所述,xf (x )>0的解集为(-∞,-4)∪(-2,0)∪(2,4),所以D 选项是正确的.【答案】D12.(2016湖北省高三联考)已知g (x )是定义在R 上的奇函数,当x<0时,g (x )=-ln(1-x ),函数f (x )={x 3,x ≤0,g(x),x >0,若f (2-x 2)>f (x ),则实数x 的取值范围是( ).A .(-∞,1)∪(2,+∞)B .(-∞,-2)∪(1,+∞)C .(1,2)D .(-2,1)【解析】设x>0,则-x<0,所以g (x )=-g (-x )=ln(1+x ),所以f (x )={x 3,x ≤0,ln(1+x),x >0.所以函数f (x )在R 上是增函数,所以当f (2-x 2)>f (x )时,满足2-x 2>x ,即-2<x<1,故选D .【答案】D13.(2017湖南四校联考)若f (x )=ln(e 3x +1)+ax 是偶函数,则a= .【解析】∵f (-x )=f (x ),∴ln(e -3x +1)-ax=ln(e 3x +1)+ax ,化简得2ax+3x=0(x ∈R),则2a+3=0,∴a=-32. 【答案】-3214.(2017山东潍坊月考)已知f (x )是定义在R 上的奇函数,且f (x )是减函数,若 f (2-m 2)+f (2m+1)>0,则实数m 的取值范围是 .【解析】∵f (2-m 2)+f (2m+1)>0,∴f (2-m 2)>-f (2m+1).又∵f (x )是定义在R 上的奇函数,且f (x )是减函数, ∴f (2-m 2)>f (-2m-1),即2-m 2<-2m-1, 解得m>3或m<-1,∴实数m 的取值范围是(-∞,-1)∪(3,+∞). 【答案】(-∞,-1)∪(3,+∞)。

§2.3 函数的奇偶性与周期性(时间：60分钟)A 组 专项基础训练一、选择题(每小题5分，共20分)1． (2012·广东)下列函数为偶函数的是 ( )A ．y ＝sin xB ．y ＝x 3C ．y ＝e xD ．y ＝ln x 2＋1答案 D解析 由函数奇偶性的定义知A 、B 项为奇函数，C 项为非奇非偶函数，D 项为偶函数．2． (2012·天津)下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为 ( )A ．y ＝cos 2x ，x ∈RB ．y ＝log 2|x |，x ∈R 且x ≠0C ．y ＝e x －e －x 2，x ∈R D ．y ＝x 3＋1，x ∈R 答案 B解析 选项A 中函数y ＝cos 2x 在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递减，不满足题意； 选项C 中的函数为奇函数；选项D 中的函数为非奇非偶函数，故选B.3．(2011·辽宁)若函数f (x )＝x (2x ＋1)(x －a )为奇函数，则a 等于( ) A.12 B.23 C.34D ．1 答案 A解析 ∵f (－x )＝－f (x )，∴－x (－2x ＋1)(－x －a )＝－x (2x ＋1)(x －a )， ∴(2a －1)x ＝0，∴a ＝12. 4． (2012·福州质检)已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)等于 ( )A ．－2B ．2C ．－98D ．98答案 A解析 ∵f (x ＋4)＝f (x )，∴f (x )是周期为4的函数，∴f (7)＝f (2×4－1)＝f (－1)，又∵f (x )在R 上是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (－1)＝－f (1)， 而当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，∴f (1)＝2×12＝2，∴f (7)＝f (－1)＝－f (1)＝－2，故选A.二、填空题(每小题5分，共15分)5． 设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x )(x ∈R )是偶函数，则实数a 的值为________． 答案 －1解析 因为f (x )是偶函数，所以恒有f (－x )＝f (x )，即－x (e －x ＋a e x )＝x (e x ＋a e －x )，化简得 x (e －x ＋e x )(a ＋1)＝0.因为上式对任意实数x 都成立，所以a ＝－1. 6． 设f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)＝______.答案 －3解析 因为f (x )是定义在R 上的奇函数，因此f (－x )＋f (x )＝0.当x ＝0时，可得f (0)＝0， 可得b ＝－1，此时f (x )＝2x ＋2x －1，因此f (1)＝3.又f (－1)＝－f (1)，所以f (－1)＝－3.7． (2012·江南十校联考)已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足条件f ⎝⎛⎭⎫x ＋32＝－f (x )，且函数y ＝f ⎝⎛⎭⎫x －34为奇函数，给出以下四个命题： ①函数f (x )是周期函数；②函数f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－34，0对称； ③函数f (x )为R 上的偶函数；④函数f (x )为R 上的单调函数．其中真命题的序号为________．答案 ①②③解析 由f (x )＝f (x ＋3)⇒f (x )为周期函数，且T ＝3，①为真命题；又y ＝f ⎝⎛⎭⎫x －34关于(0,0) 对称，y ＝f ⎝⎛⎭⎫x －34向左平移34个单位得y ＝f (x )的图象， 则y ＝f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－34，0对称，②为真命题； 又y ＝f ⎝⎛⎭⎫x －34为奇函数，∴f ⎝⎛⎭⎫x －34＝－f ⎝⎛⎭⎫－x ＋34，f ⎝⎛⎭⎫x －34－34＝－f ⎝⎛⎭⎫34－x －34＝－f (－x )， ∴f ⎝⎛⎭⎫x －32＝－f (－x )，f (x )＝f (x －3)＝－f ⎝⎛⎭⎫x －32＝f (－x )，∴f (x )为偶函数，不可能为R 上 的单调函数．所以③为真命题，④为假命题．三、解答题(共25分)8． (12分)已知函数f (x )＝x 2＋a x(x ≠0)． (1)判断f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)若f (1)＝2，试判断f (x )在[2，＋∞)上的单调性．解 (1)当a ＝0时，f (x )＝x 2，f (－x )＝f (x ) ，函数是偶函数．当a ≠0时，f (x )＝x 2＋a x(x ≠0)， 取x ＝±1，得f (－1)＋f (1)＝2≠0；f (－1)－f (1)＝－2a ≠0，∴f (－1)≠－f (1)，f (－1)≠f (1)．∴函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数．(2)若f (1)＝2，即1＋a ＝2，解得a ＝1，这时f (x )＝x 2＋1x. 任取x 1，x 2∈[2，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(x 21＋1x 1)－⎝⎛⎭⎫x 22＋1x 2 ＝(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2－1x 1x 2. 由于x 1≥2，x 2≥2，且x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，x 1＋x 2>1x 1x 2， 所以f (x 1)<f (x 2)，故f (x )在[2，＋∞)上是单调递增函数．9． (13分)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且它的图象关于直线x ＝1对称．(1)求证：f (x )是周期为4的周期函数；(2)若f (x )＝x (0<x ≤1)，求x ∈[－5，－4]时，函数f (x )的解析式．(1)证明 由函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，有f (x ＋1)＝f (1－x )，即有f (－x )＝f (x ＋2)．又函数f (x )是定义在R 上的奇函数，故有f (－x )＝－f (x )．故f (x ＋2)＝－f (x )．从而f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，即f (x )是周期为4的周期函数．(2)解 由函数f (x )是定义在R 上的奇函数，有f (0)＝0.x ∈[－1,0)时，－x ∈(0,1]，f (x )＝－f (－x )＝－－x .故x ∈[－1,0]时，f (x )＝－－x .x ∈[－5，－4]时，x ＋4∈[－1,0]，f (x )＝f (x ＋4)＝－－x －4.从而，x ∈[－5，－4]时，函数f (x )＝－－x －4.B 组 专项能力提升一、选择题(每小题5分，共15分)1． (2011·安徽)设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3答案 A解析 ∵f (x )是奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，∴f (1)＝－f (－1)＝－[2×(－1)2－(－1)]＝－3.2． 已知f (x )是定义在R 上的偶函数，g (x )是定义在R 上的奇函数，且g (x )＝f (x －1)，则f (2013)＋f (2 015)的值为 ( )A ．－1B ．1C ．0D ．无法计算 答案 C解析 由题意，得g (－x )＝f (－x －1)，又∵f (x )是定义在R 上的偶函数，g (x )是定义在R 上的奇函数，∴g (－x )＝－g (x )，f (－x )＝f (x )，∴f (x －1)＝－f (x ＋1)，∴f (x )＝－f (x ＋2)，∴f (x )＝f (x ＋4)，∴f (x )的周期为4，∴f (2 013)＝f (1)，f (2 015)＝f (3)＝f (－1)，又∵f (1)＝f (－1)＝g (0)＝0，∴f (2 013)＋f (2 015)＝0.3． (2012·淄博一模)设奇函数f (x )的定义域为R ，最小正周期T ＝3，若f (1)≥1，f (2)＝2a －3a ＋1， 则a 的取值范围是 ( )A ．a <－1或a ≥23B ．a <－1C ．－1<a ≤23D ．a ≤23答案 C解析 函数f (x )为奇函数，则f (1)＝－f (－1)．由f (1)＝－f (－1)≥1，得f (－1)≤－1；函数的最小正周期T ＝3，则f (－1)＝f (2)，由2a －3a ＋1≤－1，解得－1<a ≤23. 二、填空题(每小题4分，共12分)4． (2011·浙江)若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝________.答案 0解析 ∵函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即(－x )2－|－x ＋a |＝x 2－|x ＋a |， ∴|－x ＋a |＝|x ＋a |，∴a ＝0.5． 已知函数f (x )满足：f (1)＝14，4f (x )f (y )＝f (x ＋y )＋f (x －y )(x ，y ∈R )，则f (2 015)＝________. 答案 14解析 方法一 令x ＝1，y ＝0时，4f (1)·f (0)＝f (1)＋f (1)，解得f (0)＝12， 令x ＝1，y ＝1时，4f (1)·f (1)＝f (2)＋f (0)，解得f (2)＝－14， 令x ＝2，y ＝1时，4f (2)·f (1)＝f (3)＋f (1)，解得f (3)＝－12， 依次求得f (4)＝－14，f (5)＝14，f (6)＝12，f (7)＝14， f (8)＝－14，f (9)＝－12，… 可知f (x )是以6为周期的函数，∴f (2 015)＝f (335×6＋5)＝f (5)＝14. 方法二 ∵f (1)＝14，4f (x )·f (y )＝f (x ＋y )＋f (x －y )， ∴构造符合题意的函数f (x )＝12cos π3x ， ∴f (2 015)＝12cos ⎝⎛⎭⎫π3×2 015＝14. 6． 设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0,1]时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫121－x ，则①2是函数f (x )的周期；②函数f (x )在(1,2)上递减，在(2,3)上递增；③函数f (x )的最大值是1，最小值是0；④当x ∈(3,4)时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －3.其中所有正确命题的序号是________．答案 ①②④解析 由已知条件：f (x ＋2)＝f (x )，则y ＝f (x )是以2为周期的周期函数，①正确；当－1≤x ≤0时0≤－x ≤1，f (x )＝f (－x )＝⎝⎛⎭⎫121＋x ，函数y ＝f (x )的图象如图所示：当3<x <4时，－1<x －4<0，f (x )＝f (x －4)＝⎝⎛⎭⎫12x －3，因此②④正确．③不正确．三、解答题(共13分)7． 已知函数f (x )在R 上满足f (2－x )＝f (2＋x )，f (7－x )＝f (7＋x )且在闭区间[0,7]上，只有f (1)＝f (3)＝0，(1)试判断函数y ＝f (x )的奇偶性；(2)试求方程f (x )＝0在闭区间[－2 011,2 011]上根的个数，并证明你的结论．解 (1)若y ＝f (x )为偶函数，则f (－x )＝f (2－(x ＋2))＝f (2＋(x ＋2))＝f (4＋x )＝f (x )，∴f (7)＝f (3)＝0，这与f (x )在闭区间[0,7]上，只有f (1)＝f (3)＝0矛盾；因此f (x )不是偶函数．若y ＝f (x )为奇函数，则f (0)＝f (－0)＝－f (0)，∴f (0)＝0，这些f (x )在闭区间[0,7]上，只有f (1)＝f (3)＝0矛盾；因此f (x )不是奇函数．综上可知：函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数．(2)∵f (x )＝f [2＋(x －2)]＝f [2－(x －2)]＝f (4－x )，f (x )＝f [7＋(x －7)]＝f (7－(x －7))＝f (14－x )，∴f (14－x )＝f (4－x )，即f [10＋(x －4)]＝f (4－x )∴f (x ＋10)＝f (x )，即函数f (x )的周期为10.又∵f (1)＝f (3)＝0，∴f (1)＝f (1＋10n )＝0(n ∈Z )，f (3)＝f (3＋10n )＝0(n ∈Z )，即x ＝1＋10n 和x ＝3＋10n (n ∈Z )均是方程f (x )＝0的根．由－2 011≤1＋10n≤2 011及n∈Z可得n＝0，±1，±2，±3，…，±201，共403个；由－2 011≤3＋10n≤2 011及n∈Z可得n＝0，±1，±2，±3，…，±200，－201，共402 个；所以方程f(x)＝0在闭区间[－2 011,2 011]上的根共有805个．。

§2.3 函数的奇偶性与周期性1．(2019·合肥质检)下列函数中，既是偶函数，又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( ) A ．y ＝x 3 B ．y ＝|x |＋1 C ．y ＝－x 2＋1 D ．y ＝2－|x |答案 B解析 y ＝|x |＋1是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，符合题意． 2．已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是( ) ①y ＝f (|x |)；②y ＝f (－x )；③y ＝xf (x )；④y ＝f (x )＋x . A ．①③ B ．②③ C ．①④ D ．②④ 答案 D解析 由奇函数的定义f (－x )＝－f (x )验证， ①f (|－x |)＝f (|x |)，为偶函数；②f [－(－x )]＝f (x )＝－f (－x )，为奇函数； ③－xf (－x )＝－x ·[－f (x )]＝xf (x )，为偶函数； ④f (－x )＋(－x )＝－[f (x )＋x ]，为奇函数． 可知②④正确，故选D.3．已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x ，则f ⎝⎛⎭⎫－52＋f (1)等于( )A ．－2B ．0C ．2D ．1 答案 A解析 ∵函数f (x )为定义在R 上的奇函数，且周期为2， ∴f (1)＝－f (－1)＝－f (－1＋2)＝－f (1)， ∴f (1)＝0，f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝－124 ＝－2， ∴f ⎝⎛⎭⎫－52＋f (1)＝－2. 4．已知f (x )为奇函数，当x >0时，f (x )＝x (1＋x )，那么当x <0时，f (x )等于( )A ．－x (1－x )B ．x (1－x )C ．－x (1＋x )D ．x (1＋x )答案 B解析 当x <0时，则－x >0，∴f (－x )＝(－x )(1－x )，又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝x (1－x )． 5．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，其最小正周期为4，且当x ∈⎝⎛⎭⎫－32，0时，f (x )＝ log 2(－3x ＋1)，则f (2 021)等于( ) A ．4 B ．2 C ．－2 D ．log 27 答案 C解析 ∵函数f (x )是定义在R 上的奇函数，其最小正周期为4， ∴f (2 021)＝f (4×505＋1)＝f (1)＝－f (－1)． ∵－1∈⎝⎛⎭⎫－32，0，且当x ∈⎝⎛⎭⎫－32，0时， f (x )＝log 2(－3x ＋1)，∴f (－1)＝log 2[－3×(－1)＋1]＝2， ∴f (2 021)＝－f (－1)＝－2.6．已知偶函数f (x )对于任意x ∈R 都有f (x ＋1)＝－f (x )，且f (x )在区间[0,1]上是单调递增的，则f (－6.5)，f (－1)，f (0)的大小关系是( ) A ．f (0)<f (－6.5)<f (－1) B ．f (－6.5)<f (0)<f (－1) C ．f (－1)<f (－6.5)<f (0) D ．f (－1)<f (0)<f (－6.5) 答案 A解析 由f (x ＋1)＝－f (x )，得f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，∴函数f (x )的周期是2. ∵函数f (x )为偶函数，∴f (－6.5)＝f (－0.5)＝f (0.5)，f (－1)＝f (1)． ∵f (x )在区间[0,1]上是单调递增的，∴f (0)<f (0.5)<f (1)，即f (0)<f (－6.5)<f (－1)． 7．若f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________. 答案 －32解析 函数f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，故f (－x )＝f (x )，即ln(e－3x＋1)－ax ＝ln(e 3x ＋1)＋ax ，化简得ln(1＋e 3x )－ln e 3x －ax ＝ln(e 3x ＋1)＋ax ，即－3x －ax ＝ax ，所以2ax ＋3x ＝0恒成立， 所以a ＝－32.8．已知y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且f (1)＝1，若g (x )＝f (x )＋2，则g (－1)＝________. 答案 －1解析 令H (x )＝f (x )＋x 2，则H (1)＋H (－1)＝f (－1)＋1＋f (1)＋1＝0， ∴f (－1)＝－3，∴g (－1)＝f (－1)＋2＝－1.9．(2019·广东六校联考)定义在R 上的函数 f (x )满足 f (x ＋1)＝f (x －1)，且 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x <0，|2－x |，0≤x <1，其中a ∈R ，若f (－5)＝f (4.5)，则a ＝________. 答案 2.5解析 由f (x ＋1)＝f (x －1)，得f (x ＋2)＝f [(x ＋1)＋1]＝f [(x ＋1)－1]＝f (x )， 所以f (x )是周期为2的周期函数． 又f (－5)＝f (4.5)，所以f (－1)＝f (0.5)， 即－1＋a ＝1.5，解得a ＝2.5.10．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，且f (1)＝0，则不等式x [f (x )－f (－x )]<0的解集为________．答案 {x |－1<x <0或0<x <1} 解析 ∵f (－x )＝－f (x )，∴不等式x [f (x )－f (－x )]<0可化简为xf (x )<0， 又f (1)＝0，∴f (－1)＝0，∵奇函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数， 从而函数f (x )的大致图象如图所示，则不等式x [f (x )－f (－x )]<0的解集为{x |－1<x <0或0<x <1}． 11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围． 解 (1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )， 于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)要使 f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合 f (x )的图象(如图所示)知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．12．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数； (2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式． (1)证明 ∵f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )． ∴f (x )是周期为4的周期函数．(2)解 ∵x ∈[2,4]，∴－x ∈[－4，－2]， ∴4－x ∈[0,2]，∴f (4－x )＝2(4－x )－(4－x )2＝－x 2＋6x －8. ∵f (4－x )＝f (－x )＝－f (x )， ∴－f (x )＝－x 2＋6x －8， 即当x ∈[2,4]时，f (x )＝x 2－6x ＋8.13．若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x )>0，f (x ＋2)＝1f (x )对任意x ∈R 恒成立，则f (2 023)＝_____. 答案 1解析 因为f (x )>0，f (x ＋2)＝1f (x )，所以f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2] ＝1f (x ＋2)＝11f (x )＝f (x )，即函数f (x )的周期是4，所以f (2 023)＝f (506×4－1)＝f (－1)． 因为函数f (x )为偶函数， 所以f (2 023)＝f (－1)＝f (1)．当x ＝－1时，f (－1＋2)＝1f (－1)，得f (1)＝1f (1).由f (x )>0，得f (1)＝1，所以f (2 023)＝f (1)＝1.14．(2019·湖北鄂州三校联考)若函数f (x －2)为奇函数，f (－2)＝0，且f (x )在区间[－2，＋∞)上单调递减，则不等式f (3－x )>0的解集为________． 答案 (5，＋∞)解析 因为函数f (x －2)为奇函数，所以f (x －2)图象的对称中心为点(0,0)．因为f (x )的图象可由f (x －2)的图象向左平移两个单位长度而得，所以f (x )的图象关于点(－2,0)对称． 因为f (x )在[－2，＋∞ )上单调递减，所以f (x )在(－∞ ，－2]上也单调递减． 因为f (3－x )>0＝f (－2)，所以3－x <－2， 解得x >5.15．(2019·河北保定两校联考)对于函数y ＝f (x )，若存在x 0，使f (x 0)＋f (－x 0)＝0，则称点(x 0，f (x 0))是曲线f (x )的“优美点”．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x <0，kx ＋2，x ≥0，若曲线f (x )存在“优美点”，则实数k 的取值范围为________． 答案 (－∞，2－22]解析 由“优美点”的定义，可知若点(x 0，f (x 0))是曲线y ＝f (x )的“优美点”，则点(－x 0，－f (x 0))也在曲线y ＝f (x )上．如图所示作出函数y ＝x 2＋2x (x <0)的图象，然后作出其关于原点对称的图象，此图象对应的函数解析式为y ＝－x 2＋2x (x >0)．设过定点(0,2)的直线y ＝k 1x ＋2与曲线y ＝f (x )＝－x 2＋2x (x >0)切于点A (x 1，f (x 1))， 则k 1＝－2x 1＋2＝－x 21＋2x 1－2x 1－0，解得x 1＝2或x 1＝－2(舍去)， 所以k 1＝－22＋2.由图可知，若曲线y ＝f (x )存在“优美点”，则k ≤2－2 2.16．若f (x )是定义在(－1,1)上的奇函数，且当x ∈[0,1)时f (x )为增函数，求不等式f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12<0的解集．解 ∵f (x )为奇函数，且在[0,1)上为增函数， ∴f (x )在(－1,0)上也是增函数．∴f (x )在(－1,1)上为增函数．f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12<0⇔f (x )<－f ⎝⎛⎭⎫x －12＝f ⎝⎛⎭⎫12－x ⇔⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <1，－1<12－x <1，x <12－x⇔－12<x <14.∴不等式f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12<x <14.。

时间：45分钟满分：100分班级：________ 姓名：________ 学号：________ 得分：________ 一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分，在下列四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2018·江西红色六校联考)设f(x)＝lg(21－x＋a)是奇函数，则使f(x)＜0的x的取值范围是( )A．(－1,0) B．(0,1)C．(－∞，0) D．(－∞，0)∪(1，＋∞)解析：因为函数f(x)＝lg(21－x＋a)为奇函数，且在x＝0处有定义，故f(0)＝0，即lg(2＋a)＝0，∴a＝－1.故函数f(x)＝lg(21－x－1)＝lg1＋x1－x.令f(x)＜0，得0＜1＋x1－x＜1，即x∈(－1,0)．答案：A2．(2018·诸城模拟)定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)的函数f(x)不恒为0，且对于定义域内的任意实数x，y都有f(xy)＝x ＋y成立，则f(x)( )A．是奇函数，但不是偶函数B．是偶函数，但不是奇函数C．既是奇函数，又是偶函数D．既不是奇函数，又不是偶函数解析：令x＝y＝1，则f(1)＝1＋1，∴f(1)＝0.令x＝y＝－1，则f(1)＝－－1＋－－1，∴f(－1)＝0.令y＝－1，则f(－x)＝－x＋－1，∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)是奇函数．又∵f(x)不恒为0，∴f(x)不是偶函数．故选A.答案：A3．(2018·江西盟校二联)函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0,2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)＞0在[－1，3]上的解集为( )A．(1,3) B．(－1,1)C．(－1,0)∪(1,3) D．(－1,0)∪(0,1)解析：f(x)的图象如图所示．当x ∈(－1,0)时，由xf(x)＞0，得x ∈(－1,0)；当x ∈(0,1)时，由xf(x)＞0，得x ∈Ø；当x ∈(1,3)时，由xf(x)＞0，得x ∈(1,3)．∴x ∈(－1,0)∪(1,3)，故选C.答案：C4．设f(x)是定义在R 上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(－2,1]上的图象，则f(2 011)＋f(2 012)＝( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：由于f(x)是定义在R 上的周期为3的周期函数，所以f(2 011)＋f(2 012)＝f(670×3＋1)＋f(671×3－1)＝f(1)＋f(－1)，而由图象可知f(1)＝1，f(－1)＝2，所以f(2 011)＋f(2 012)＝1＋2＝3.答案：A5．设偶函数f(x)满足f(x)＝2x －4(x≥0)，则不等式f(x －2)>0的解集为( )A ．{x|x<－2，或x>4}B ．{x|x<0，或x>4}C ．{x|x<0，或x>6}D ．{x|x<－2，或x>2}解析：当x≥0时，令f(x)＝2x －4>0，所以x>2.又因为函数f(x)为偶函数，所以函数f(x)>0的解集为{x|x<－2，或x>2}．将函数y ＝f(x)的图象向右平移2个单位即得函数y ＝f(x －2)的图象，故f(x －2)>0的解集为{x|x<0，或x>4}．答案：B6．(2018·辽宁大连)设函数f(x)(x ∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x)＝f(2－x)，且当x ∈[0,1]时，f(x)＝x 3.又函数g(x)＝|xcos(πx)|，则函数h(x)＝g(x)－f(x)在[－12，32]上的零点个数为( ) A ．5B ．6C ．7D ．8解析：根据题意，函数y ＝f(x)是周期为2的偶函数，且当0≤x≤1时，f(x)＝x 3，则当－1≤x≤0时，f(x)＝－x 3，且g(x)＝|xcos(πx)|，所以当x ＝0时，f(x)＝g(x)．当x≠0时，若0<x≤12，则x 3＝xcos(πx)， 即x 2＝|cos(πx)|.同理可以得到在区间[－12，0)，(12，1]，(1，32]上的关系式都是上式，在同一坐标系中作出所得关系式等号两边函数的图象，如图所示，有5个根．所以共有6个．答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上)7．(2018·金华十校模拟)已知函数f(x －1)为奇函数，函数f(x ＋3)为偶函数，f(0)＝1，则f(8)＝________. 解析：由y ＝f(x －1)为奇函数得f(－x －1)＝－f(x －1)，由y ＝f(x ＋3)为偶函数得f(－x ＋3)＝f(x ＋3)，则f(8)＝f(5＋3)＝f(－5＋3)＝f(－2)＝f(－1－1)＝－f(1－1)＝－f(0)＝－1.答案：－18．(2018·山东滨州一模)已知定义在R 上的函数y ＝f(x)满足以下三个条件：①对于任意的x ∈R ，都有f(x ＋1)＝1；②函数y ＝f(x ＋1)的图象关于y 轴对称；③对于任意的x 1，x 2∈[0,1]，且x 1＜x 2，都有f(x 1)＞f(x 2)，则f(32)，f(2)，f(3)从小到大的关系是________． 解析：由①得f(x ＋2)＝f(x ＋1＋1)＝1＋＝f(x)，所以函数f(x)的周期为2.因为函数y ＝f(x ＋1)的图象关于y 轴对称，将函数y ＝f(x ＋1)的图象向右平移一个单位即得y ＝f(x)的图象，所以函数y ＝f(x)的图象关于x ＝1对称；根据③可知函数f(x)在[0,1]上为减函数，又结合②知，函数f(x)在[1,2]上为增函数．因为f(3)＝f(2＋1)＝f(1)，在区间[1,2]上，1＜32＜2，所以f(1)＜f(32)＜f(2)，即f(3)＜f(32)＜f(2)． 答案：f(3)＜f(32)＜f(2) 9．(2018·银川质检)已知定义在R 上的偶函数满足：f(x ＋4)＝f(x)＋f(2)，且当x ∈[0,2]时，y ＝f(x)单调递减，给出以下四个①f(2)＝0；②x ＝－4为函数y ＝f(x)图象的一条对称轴；③函数y ＝f(x)在[8,10]上单调递增；④若方程f(x)＝m 在[－6，－2]上的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－8.以上解析：令x ＝－2，得f(2)＝f(－2)＋f(2)，即f(－2)＝0.又函数f(x)是偶函数，故f(2)＝0，①正确；根据f(2)＝0可得f(x ＋4)＝f(x)，所以函数f(x)的周期是4，由于偶函数的图象关于y 轴对称，故x ＝－4也是函数y ＝f(x)的图象的一条对称轴，②正确；根据函数的周期性可知，函数f(x)在[8,10]上单调递减，③不正确；由于函数f(x)的图象关于直线x ＝－4对称，故如果方程f(x)＝m 在区间[－6，－2]上的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 22＝－4，即x 1＋x 2＝－8，④正确．故真答案：①②④10．(2018·济宁高三一模)已知定义域为R 的函数f(x)既是奇函数，又是周期为3的周期函数，当x ∈(0，32)时，f(x)＝sin πx ，则函数f(x)在区间[0,6]上的零点个数是________．解析：由f(x)是定义域为R 的奇函数，可知f(0)＝0.因为f(x ＋3)＝f(x)，所以f(3)＝0.令x ＝－32，得f(32)＝f(－32)，所以f(32)＝0.又当x ∈(0，32)时，f(x)＝sin πx ，所以f(1)＝0，f(2)＝f(3－1)＝f(－1)＝－f(1)＝0，则f(x)在区间[0,3]上的零点有5个．由周期性可知，f(x)在区间(3,6]上有4个零点，故f(x)在区间[0,6]上的零点个数是9.答案：9三、解答题(本大题共3小题，共40分，11、12题各13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤)11．(能力题)设函数f(x)的定义域为R ，对于任意的实数x ，y ，都有f(x ＋y)＝f(x)＋f(y)，当x ＞0时，f(x)＜0，求证：(1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．证明：(1)令x ＝y ＝0，得f(0)＝f(0)＋f(0)，∴f(0)＝0.再令y ＝－x ，得f(0)＝f(x)＋f(－x)，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．(2)设x 1、x 2∈(－∞，＋∞)且x 1＜x 2，则x 2－x 1＞0，∵当x ＞0时，f(x)＜0，∴f(x 2－x 1)＜0.又∵对于任意的实数x ，y 都有f(x ＋y)＝f(x)＋f(y)且f(x)为奇函数，∴f(x 2－x 1)＝f[x 2＋(－x 1)]＝f(x 2)＋f(－x 1)＝f(x 2)－f(x 1)．∴f(x 2)－f(x 1)＜0，∴f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．12．(2018·广东六校联考)已知定义域为R 的函数f(x)＝－2x＋b 2x ＋1＋a是奇函数． (1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f(t 2－2t)＋f(2t 2－k)＜0恒成立，求k 的取值范围．解：(1)因为f(x)是定义在R 上的奇函数，所以f(0)＝0，即b －1a ＋2＝0⇒b ＝1， 所以f(x)＝1－2x a ＋2x ＋1， 又由f(1)＝－f(－1)知1－2a ＋4＝－1－12a ＋1⇒a ＝2. (2)由(1)知f(x)＝1－2x 2＋2x ＋1＝－12＋12x ＋1， 易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．又因f(x)是奇函数，从而不等式：f(t 2－2t)＋f(2t 2－k)＜0等价于f(t 2－2t)＜－f(2t 2－k)＝f(k －2t 2)，因f(x)为减函数，由上式推得：t 2－2t ＞k －2t 2，即对t ∈R 有：3t 2－2t －k ＞0，从而Δ＝4＋12k ＜0⇒k ＜－13. 13．(能力题)设函数f(x)的定义域关于原点对称，且满足 ①f(x 1－x 2)＝12＋12－1；②存在正常数a ，使f(a)＝1.求证：(1)f(x)是奇函数；(2)f(x)是周期函数，并且有一个周期为4a.解：(1)不妨令x ＝x 1－x 2，则f(－x)＝f(x 2－x 1)＝21＋11－2 ＝－12＋12－1＝－f(x 1－x 2)＝－f(x)．∴f(x)是奇函数．(2)要证f(x ＋4a)＝f(x)，可先计算f(x ＋a)，f(x ＋2a)，∵f(x ＋a)＝f[x －(－a)]＝－＋1－－ ＝－＋1－－＝－1＋1，(f(a)＝1)． ∴f(x ＋2a)＝f[(x ＋a)＋a]＝＋－1＋＋1 ＝－1＋1－1－1＋1＋1＝－1.∴f(x ＋4a)＝f[(x ＋2a)＋2a]＝1－＋＝f(x)． 故f(x)是以4a 为周期的周期函数．。

2021年高考数学大一轮总复习 2.3 函数的奇偶性与周期性高效作业理新人教A版一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分，在下列四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(xx·江西红色六校联考)设f(x)＝lg(21－x＋a)是奇函数，则使f(x)＜0的x的取值范围是( )A．(－1,0) B．(0,1)C．(－∞，0) D．(－∞，0)∪(1，＋∞)解析：因为函数f(x)＝lg(21－x＋a)为奇函数，且在x＝0处有定义，故f(0)＝0，即lg(2＋a)＝0，∴a＝－1.故函数f(x)＝lg(21－x －1)＝lg1＋x1－x.令f(x)＜0，得0＜1＋x1－x＜1，即x∈(－1,0)．答案：A2．(xx·诸城模拟)定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)的函数f(x)不恒为0，且对于定义域内的任意实数x，y都有f(xy)＝f yx＋f xy成立，则f(x)( )A．是奇函数，但不是偶函数B．是偶函数，但不是奇函数C．既是奇函数，又是偶函数D．既不是奇函数，又不是偶函数解析：令x＝y＝1，则f(1)＝f11＋f11，∴f(1)＝0.令x ＝y ＝－1，则f (1)＝f －1－1＋f －1－1，∴f (－1)＝0.令y ＝－1，则f (－x )＝f －1x ＋f x－1， ∴f (－x )＝－f (x )． ∴f (x )是奇函数． 又∵f (x )不恒为0，∴f (x )不是偶函数．故选A. 答案：A3．(xx·江西盟校二联)函数f (x )是周期为4的偶函数，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )＞0在[－1，3]上的解集为( )A ．(1,3)B ．(－1,1)C ．(－1,0)∪(1,3)D ．(－1,0)∪(0,1)解析：f (x )的图象如图所示．当x ∈(－1,0)时，由xf (x )＞0，得x ∈(－1,0)； 当x ∈(0,1)时，由xf (x )＞0，得x ∈Ø； 当x ∈(1,3)时，由xf (x )＞0，得x ∈(1,3)． ∴x ∈(－1,0)∪(1,3)，故选C. 答案：C4．设f (x )是定义在R 上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(－2,1]上的图象，则f (2 011)＋f (2 012)＝( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：由于f (x )是定义在R 上的周期为3的周期函数，所以f (2 011)＋f (2 012)＝f (670×3＋1)＋f (671×3－1)＝f (1)＋f (－1)，而由图象可知f (1)＝1，f (－1)＝2，所以f (2 011)＋f (2 012)＝1＋2＝3.答案：A5．设偶函数f (x )满足f (x )＝2x －4(x ≥0)，则不等式f (x －2)>0的解集为( ) A ．{x |x <－2，或x >4}B ．{x |x <0，或x >4}C ．{x |x <0，或x >6}D ．{x |x <－2，或x >2}解析：当x ≥0时，令f (x )＝2x －4>0，所以x >2.又因为函数f (x )为偶函数，所以函数f (x )>0的解集为{x |x <－2，或x >2}．将函数y ＝f (x )的图象向右平移2个单位即得函数y＝f (x －2)的图象，故f (x －2)>0的解集为{x |x <0，或x >4}．答案：B6．(xx·辽宁大连)设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x )＝f (2－x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 3.又函数g (x )＝|x cos(πx )|，则函数h (x )＝g (x )－f (x )在[－12，32]上的零点个数为( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：根据题意，函数y ＝f (x )是周期为2的偶函数，且当0≤x ≤1时，f (x )＝x 3，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝－x 3，且g (x )＝|x cos(πx )|，所以当x ＝0时，f (x )＝g (x )．当x ≠0时，若0<x ≤12，则x 3＝x cos(πx )，即x 2＝|cos(πx )|.同理可以得到在区间[－12，0)，(12，1]，(1，32]上的关系式都是上式，在同一坐标系中作出所得关系式等号两边函数的图象，如图所示，有5个根．所以共有6个．答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上) 7．(xx·金华十校模拟)已知函数f (x －1)为奇函数，函数f (x ＋3)为偶函数，f (0)＝1，则f (8)＝________.解析：由y ＝f (x －1)为奇函数得f (－x －1)＝－f (x －1)，由y ＝f (x ＋3)为偶函数得f (－x ＋3)＝f (x ＋3)，则f (8)＝f (5＋3)＝f (－5＋3)＝f (－2)＝f (－1－1)＝－f (1－1)＝－f (0)＝－1.答案：－18．(xx·山东滨州一模)已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足以下三个条件：①对于任意的x ∈R ，都有f (x ＋1)＝1f x；②函数y ＝f (x ＋1)的图象关于y 轴对称；③对于任意的x 1，x 2∈[0,1]，且x 1＜x 2，都有f (x 1)＞f (x 2)，则f (32)，f (2)，f (3)从小到大的关系是________．解析：由①得f (x ＋2)＝f (x ＋1＋1)＝1fx ＋1＝f (x )，所以函数f (x )的周期为2.因为函数y ＝f (x ＋1)的图象关于y 轴对称，将函数y ＝f (x ＋1)的图象向右平移一个单位即得y ＝f (x )的图象，所以函数y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称；根据③可知函数f (x )在[0,1]上为减函数，又结合②知，函数f (x )在[1,2]上为增函数．因为f (3)＝f (2＋1)＝f (1)，在区间[1,2]上，1＜32＜2，所以f (1)＜f (32)＜f (2)，即f (3)＜f (32)＜f (2)．答案：f (3)＜f (32)＜f (2)9．(xx·银川质检)已知定义在R 上的偶函数满足：f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)，且当x ∈[0,2]时，y ＝f (x )单调递减，给出以下四个命题：①f (2)＝0；②x ＝－4为函数y ＝f (x )图象的一条对称轴； ③函数y ＝f (x )在[8,10]上单调递增；④若方程f (x )＝m 在[－6，－2]上的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－8. 以上命题中所有真命题的序号为________．解析：令x ＝－2，得f (2)＝f (－2)＋f (2)，即f (－2)＝0.又函数f (x )是偶函数，故f (2)＝0，①正确；根据f (2)＝0可得f (x ＋4)＝f (x )，所以函数f (x )的周期是4，由于偶函数的图象关于y 轴对称，故x ＝－4也是函数y ＝f (x )的图象的一条对称轴，②正确；根据函数的周期性可知，函数f (x )在[8,10]上单调递减，③不正确；由于函数f (x )的图象关于直线x ＝－4对称，故如果方程f (x )＝m 在区间[－6，－2]上的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 22＝－4，即x 1＋x 2＝－8，④正确．故真命题的序号为①②④.答案：①②④10．(xx·济宁高三一模)已知定义域为R 的函数f (x )既是奇函数，又是周期为3的周期函数，当x ∈(0，32)时，f (x )＝sinπx ，则函数f (x )在区间[0,6]上的零点个数是________．解析：由f (x )是定义域为R 的奇函数，可知f (0)＝0.因为f (x ＋3)＝f (x )，所以f (3)＝0.令x ＝－32，得f (32)＝f (－32)，所以f (32)＝0.又当x ∈(0，32)时，f (x )＝sinπx ，所以f (1)＝0，f (2)＝f (3－1)＝f (－1)＝－f (1)＝0，则f (x )在区间[0,3]上的零点有5个．由周期性可知，f (x )在区间(3,6]上有4个零点，故f (x )在区间[0,6]上的零点个数是9.答案：9三、解答题(本大题共3小题，共40分，11、12题各13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤)11．(能力题)设函数f (x )的定义域为R ，对于任意的实数x ，y ，都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，当x ＞0时，f (x )＜0，求证：(1)f (x )为奇函数；(2)f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数．证明：(1)令x＝y＝0，得f(0)＝f(0)＋f(0)，∴f(0)＝0.再令y＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．(2)设x1、x2∈(－∞，＋∞)且x1＜x2，则x2－x1＞0，∵当x＞0时，f(x)＜0，∴f(x2－x1)＜0.又∵对于任意的实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)且f(x)为奇函数，∴f(x2－x1)＝f[x2＋(－x1)]＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2)－f(x1)．∴f(x2)－f(x1)＜0，∴f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．12．(xx·广东六校联考)已知定义域为R的函数f(x)＝－2x＋b2x＋1＋a是奇函数．(1)求a，b的值；(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0恒成立，求k的取值范围．解：(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，即b－1a＋2＝0⇒b＝1，所以f(x)＝1－2xa＋2x＋1，又由f(1)＝－f(－1)知1－2a＋4＝－1－12a＋1⇒a＝2.(2)由(1)知f(x)＝1－2x2＋2x＋1＝－12＋12x＋1，易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．又因f(x)是奇函数，从而不等式：f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0等价于f(t2－2t)＜－f(2t2－k)＝f(k－2t2)，因f(x)为减函数，由上式推得：t2－2t＞k－2t2，即对t∈R有：3t2－2t－k＞0，从而Δ＝4＋12k＜0⇒k＜－13 .13．(能力题)设函数f(x)的定义域关于原点对称，且满足①f (x 1－x 2)＝f x 1f x 2＋1f x 2－f x 1；②存在正常数a ，使f (a )＝1. 求证：(1)f (x )是奇函数；(2)f (x )是周期函数，并且有一个周期为4a . 解：(1)不妨令x ＝x 1－x 2，则f (－x )＝f (x 2－x 1)＝f x 2f x 1＋1f x 1－f x 2＝－f x 1f x 2＋1f x 2－f x 1＝－f (x 1－x 2)＝－f (x )． ∴f (x )是奇函数． (2)要证f (x ＋4a )＝f (x )， 可先计算f (x ＋a )，f (x ＋2a )， ∵f (x ＋a )＝f [x －(－a )]＝f －a f x ＋1f －a －f x＝－f a f x ＋1－f a －f x ＝fx －1fx ＋1，(f (a )＝1)． ∴f (x ＋2a )＝f [(x ＋a )＋a ]＝f x ＋a －1f x ＋a ＋1＝f x －1f x ＋1－1f x －1f x ＋1＋1＝－1f x .∴f (x ＋4a )＝f [(x ＋2a )＋2a ]＝1－fx ＋2a＝f (x )．故f (x )是以4a 为周期的周期函数．34048 8500 蔀}36196 8D64 赤36811 8FCB 迋 25202 6272 扲v 23863 5D37 崷37173 9135 鄵26011 659B斛,29221 7225 爥28243 6E53 湓39044 9884 预。

2-3 函数的奇偶性与周期性1.(2020·北京西城区抽检 ) 以下各函数中， ()是 R上的偶函数 () A．y＝x2－ 2x B．y＝ 2x1C．y＝ cos2 x D．y＝| x| － 1[ 答案]C[ 分析]A、B 不是偶函数， D 的定义域 { x∈ R| x≠± 1} 不是 R，应选 C.2．( 文 ) 设f ( x) 是定义在 R 上的奇函数，且当x>0时， f ( x)＝2x－3，则 f (－2)的值等于()A．－ 111 B.4C．1D．－11 4[ 答案]A[ 分析] f (2)＝22－ 3＝ 1，又f ( x) 是奇函数，∴f(－2)＝－ f (2)＝－1，应选 A.( 理)(2020·浙江杭州月考) 已知函数 f ( x)为定义在R 上的奇函数，当x≥0时， f ( x)＝2x ＋ 2x＋m( m为常数) ，则 f (－1)的值为()A．－ 3B．－ 1C．1D．3[ 答案]A[ 分析]∵函数 f ( x)是定义在R上的奇函数，∴f (0)＝0，即 f (0)＝20＋ m＝0，解得 m＝－1.∴f( x)＝2＋2x－1， f (1)＝21＋2×1－1＝3，xf (－1)＝－ f (1)＝－3.3．(文 )(2020 ·济南模拟 ) 函数f ( x)( x∈ R)是周期为 3 的奇函数，且f ( － 1) ＝a，则f (2020)的值为 ()A．a B．－aC．0D．2a[ 答案]B[ 分析]∵f ( x)周期为3，∴f(2020)＝f (670×3＋1)＝ f (1)，∵f ( x)为奇函数， f (－1)＝ a，∴f(1)＝－ a，应选 B.( 理)(2020 ·兰州诊疗、河北三校联考) 已知f ( x) 是定义在R 上的偶函数，并知足 f ( x＋1，当 1≤x≤2时，f ( x) ＝x－ 2，则f (6.5) ＝ (2) ＝－f x)A．4.5B．－ 4.5C．0.5D．－ 0.5[ 答案]D1，∴ f ( x＋4)＝ f [( x＋2)＋2]＝－f 1[ 分析]∵f ( x＋2)＝－f x x＋2＝ f ( x)，∴ f ( x)周期为 4，∴f (6.5) ＝f (6.5 － 8) ＝f ( － 1.5)＝ f (1.5)＝1.5－ 2＝－ 0.5.4．( 文 )(2020 ·北京东城一模 ) 已知函数 f ( x)是定义在R上的偶函数，且当x>0时， f ( x)＝ ln( x＋ 1)，则函数 f ( x)的图象大概为()[ 答案]C[ 分析]函数 f ( x)＝ln(x＋1)的图象由 f ( x)＝ln x的图象向左平移 1 个单位获得，选用x>0的部分，而后作对于y 轴的对称图形即得．( 理)(2020 ·北京西城模拟 ) 定义在 R上的偶函数f ( x) 的部分图象如下图，则在( － 2,0) 上，以下函数中与f ( x)的单一性不一样的是()A．y＝x2＋ 1B．y＝ | x| ＋ 1C．2x＋ 1，x≥0e x， x≥0＝D．＝e－x， x<0y x3＋1， x<0y[ 答案]C[ 分析]∵f ( x)为偶函数，由图象知， f ( x)在(－2,0)上为减函数，而y＝ x3＋1在(－∞，0)上为增函数．5．(2020 ·青岛模拟 ) 已知定义在 R 上的函数f ( x) 知足f (3)＝ 2－3，且对随意的x都有f ( x＋3)＝－f 1，则 f (2020)的值为 () xA．－ 2－ 3B．－ 2＋ 3 C．2－ 3D．－ 3－ 3 [ 答案]A[ 分析]由题意得 f ( x＋6)＝ f ( x＋3＋3)＝－1＝1＝ f ( x)．∴函f＋ 31x－－f x数 f ( x)的周期为 6.f(2020) ＝f (335 ×6) ＝f (6)，而 f (6)＝f (3＋3)＝－1＝－1＝－ 2－ 3.f32－ 3 6．( 文 )(2020·合肥模拟 ) 设f ( x) 是偶函数，且当x>0时是单一函数，则知足 f (2 x)＝fx＋1x之和为() () 的全部x＋497 A．－2B．－2C．－ 8D． 8[ 答案]Cx＋1[ 分析 ]∵f(x)是偶函数，f(2x)＝f(x＋4)x＋1∴f(|2 x|)＝f (|x＋4|)又∵ f ( x)在(0，＋∞)上为单一函数，x＋1∴|2 x| ＝ | x＋4| ，即 2x ＝x＋1x＋1或 2＝－x＋4x x＋4整理得2x2＋ 7x－1＝ 0或 2x2＋ 9x＋ 1＝ 0设方程22＋ 7x －1＝ 0的两根为x1，2，方程22＋ 9x＋ 1＝0 的两根为x3，4.x x x x79则( x1＋x2) ＋ ( x3＋x4) ＝－＋ ( － ) ＝－ 8.2 2( 理 ) 已知f ( x)是定义在 ( －∞，＋∞ ) 上的偶函数，且在( －∞， 0]上是增函数，设a＝f (log47)，b＝ f (log1 3)， c＝f(0.20.6) ，则a、b、c的大小关系是 ()2A．<<B．<<c b a b c aC．b<a<c D．a<b<c[ 答案]C[ 分析]由题意知f () ＝(| |)．x f x∵log 7＝ log7>1， |log 1 3|＝ log3>log7， 0<0.20.6 22<1，422∴|log 1 3|>|log47|>|0.20.6 |.2又∵ f ( x)在(－∞，0]上是增函数，且 f ( x)为偶函数，∴f( x)在[0，＋∞)上是减函数．∴b<a<c.应选C.7．(文)若 f ( x)是定义在R上的偶函数，其图象对于直线 x＝2对称，且当 x∈(－2,2)时，f ( x)＝－ x2＋1.则 f (－5)＝________.[ 答案]0[ 分析]由题意知 f (－5)＝ f (5)＝ f (2＋3)＝ f (2－3)＝ f (－1)＝－(－1)2＋1＝0.( 理)(2020·深圳中学 ) 已知函数y＝ f ( x)是偶函数， y＝ g( x)是奇函数，它们的定义域都f x是 [ －π，π] ，且它们在x∈ [0 ，π] 上的图象如下图，则不等式g x<0 的解集是 ________．ππ[ 答案]－3，0∪ 3，π[ 分析]依照偶函数的图象对于y 轴对称，奇函数的图象对于原点对称，先补全 f ( x)、() 的图象，g xf x f x<0f x>0x 轴上∵ g x<0，∴g x>0，或g x<0，察看两函数的图象，此中一个在方，一个在 x 轴下方的，即知足要求，∴－π3<x<0 或π3 <x<π.8．设函数f ( x) ＝ cos(3x＋φ)(0< φ <π) ．若f ( x) ＋f′(x) 是奇函数，则φ＝________.[ 答案]π6[ 分析]∵f ′(x)＝－3sin(3x＋φ) ．∴f (x) ＋′( ) ＝ cos(3x＋φ) －3sin( 3 ＋φ)f x x3 ＋＋π＝2cosφ 3 .xππf ( x)＋ f′(x)是奇函数?φ＋3＝ kπ＋2( k∈Z)，π即φ ＝kπ＋6(k∈Z)．π又∵ 0<φ <π，∴k＝ 0 时，φ＝6 .19．定义在 R上的偶函数f ( x) 在 [0 ，＋∞ ) 上单一递减，且 f (2)＝0，则知足 f (log 1 x)<04的会合为 ________．1[ 答案](0 ，2) ∪ (2 ，＋∞)[ 分析]由题意知f ()<0 的解为x1或x1><－，x2211∴由 f (log 1x)<0得log 1x>2或log 1x<－2，4441∴0<x<2或x>2.410． ( 文 ) 已知函数f ( x)＝1－2a x＋a( a>0且 a≠1)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数．(1)求 a 的值；(2)求函数 f ( x)的值域；(3) 当x∈ (0,1]时，tf(x)≥2x－2恒建立，务实数t 的取值范围．[ 分析 ](1) ∵f ( x) 是定义在 ( －∞，＋∞ ) 上的奇函数，即f ( －x) ＝－f ( x) 恒建立，∴f (0)＝0.4即 1－2×a0＋a＝ 0，解得＝ 2.a2x－ 1x1＋y(2) ∵y＝x，∴ 2 ＝，2 ＋ 11－yx1＋y由 2>0 知1－y>0，∴－ 1<y<1，即f ( x) 的值域为 ( － 1,1)．xx t ·2－ t x(3) 不等式tf ( x) ≥2－ 2 即为2x＋ 1≥2－ 2.即： (2 x ) 2－ ( t＋1) ·2x＋t－2≤0. 设 2x＝u，∵x∈(0,1]，∴ u∈(1,2]．∵u∈(1,2]时 u2－( t ＋1)· u＋ t －2≤0恒建立．12－t＋ 1×1＋t－2≤0∴ 2t ＋1，解得 t ≥0.2 －×2＋t－2≤01( 理)(2020·烟台模拟 ) 已知函数f ( x) ＝ax＋x2( x≠0，常数a∈R)．(1)议论函数 f ( x)的奇偶性，并说明原因；(2) 若函数f ( x) 在x∈[3 ，＋∞ ) 上为增函数，求 a 的取值范围．[ 分析](1) 定义域为( －∞，0) ∪ (0 ，＋∞ ) ，对于原点对称．1当 a＝0时， f ( x)＝x2，知足对定义域上随意x， f (－ x)＝ f ( x)，∴ a＝0时， f ( x)是偶函数；当 a≠0时， f (1)＝ a＋1， f (－1)＝1－ a，若 f ( x)为偶函数，则a＋1＝1－a， a＝0矛盾；若 f ( x ) 为奇函数，则 1－ a ＝－ ( a ＋ 1) ，1＝－ 1 矛盾，∴当 a ≠0时， f ( x ) 是非奇非偶函数．(2) 对随意 x 1， x 2∈ [3 ，＋∞ ) ，且 x 1>x 2，11f ( x 1) － f ( x 2) ＝ ax 1＋2－ ax 2－ 2 x1x2x 22－x 12122 2＝a ( x － x ) ＋ x 1x 2x 1＋ x 2＝( x 1－ x 2)( a －2 2) ．x 1x 2∵x 1－x 2>0， f ( x ) 在 [3 ，＋∞ ) 上为增函数，x ＋ x 21 1∴ a >1>＋ 2在 [3 ，＋∞ ) 上恒建立．2 2，即 2 x 1x 2a x 1x 2 x 1x 2∵12＋12 ，∴ a ≥ 2 .12< 2721227x x x x11.(2020·泰安模拟) f ( x ) 是定义在 R 上的以3 为周期的偶函数， 且 f (2) ＝ 0，则方程 f ( x )＝ 0 在区间 (0,6)A ．1内解的个数起码是 (B ．4C ． 3)D ． 2[ 答案]B[ 分析 ]由 f (2) ＝ 0，得 f (5) ＝0，∴ f ( － 2) ＝0， f ( － 5) ＝ 0.∴ f ( － 2) ＝f ( － 2＋ 3) ＝ f (1) ＝ 0，f ( － 5) ＝ f ( － 5＋ 9) ＝f (4) ＝ 0，故 f ( x ) ＝ 0 在区间 (0,6) 内的解起码有 1,2,4,5四个．12． (2020 ·开封调研 ) 已知 f ( x )( x ∈ R)为奇函数， f (2) ＝1， f ( x ＋2) ＝ f ( x ) ＋f (2) ，则f (3) 等于 ()1A. 2B ．1 3 D ．2C.2[ 答案] C[ 剖析]为求 f (3) 先求 f (1) ，为求 f (1) 先在 f ( x ＋ 2) ＝f ( x ) ＋ f (2) 中，令 x ＝－ 1，利用f ( x)为奇函数，可解出 f (1)．[ 分析]令 x＝－1得 f (1)＝ f (－1)＋ f (2)＝ f (2)－ f (1)，∴f (1)1＝ 2f (2)1＝ 2，∴f (3)＝ f (1)＋ f (2)3＝2.[ 评论 ]解答此类题目，一般先看给出的值和待求值之间能够经过条件式如何赋值才能产生联系，赋值时同时兼备奇偶性或周期性的运用，请再练习下题：若奇函数 f ( x)( x∈R)知足 f (3)＝1， f ( x＋3)＝ f ( x)＋ f (3)，则 f 32等于()11A．0B． 1 C. 2D．－2[ 答案]C333[ 分析]在 f ( x＋3)＝f ( x)＋ f (3)中取 x＝－2得， f2＝ f －2＋ f (3)，∴ f ( x)是奇函数，且 f (3)＝ 1，3 1∴f2＝2.13． ( 文 )(2020 ·山东淄博一模) 设奇函数 f ( x)的定义域为R，最小正周期T＝3，若2a－ 3)f (1) ≥1， f (2) ＝＋1，则 a 的取值范围是(a2A．a<－ 1 或a≥3B．a<－ 122C．－ 1<a≤3D．a≤3[ 答案]C[ 分析]函数 f ( x)为奇函数，则 f (－1)＝－ f (1)．由 f (1)＝－ f (－1)≥1得， f (－1)≤－1；函数的最小正周期 T＝3，2a－ 32则 f (－1)＝f (2)，由a＋1≤－1解得，－1<a≤3.( 理)(2020·新方一模 ) 已知定义在R 上的奇函数 f ( x)知足 f ( x－4)＝－ f ( x)，且在区间[0,2] 上是增函数，则 ()A．f ( － 25)< f (11)< f (80)B．f (80)<f (11)<f (－25)C．f (11)<f (80)<f (－25)D．f ( － 25)< f (80)< f (11)[答案] D[ 分析 ]∵f(x－4)＝－f(x)，∴ f ( x － 8) ＝－ f ( x － 4) ＝ f ( x ) ，∴ f ( x ＋ 8) ＝f ( x ) ，∴ f ( x ) 周期为 8. ∴ f (80) ＝ f (0) ， 又∵ f ( x ) 为奇函数，∴ f ( － 25) ＝f ( － 24－1) ＝ f ( － 1) ，∴ f (11) ＝ f (3) ＝－ f (3 － 4) ＝ f (1) ，由条件知 f ( x ) 在 [ － 2,2] 上为增函数，∴f ( － 1)< f (0)< f (1) ，∴ f ( － 25)< f (80)< f (11) ．114． ( 文 ) 设 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数，且 y ＝ f ( x ) 的图象对于直线 x ＝ 2 对称，则 f (1)＋ f (2) ＋ f (3) ＋f (4) ＋ f (5) ＝ ________.[ 答案] 0[ 分析]1∵f ( x ) 的图象对于直线 x ＝ 对称，211∴ f 2＋ x ＝f 2－ x ，对随意 x ∈R 都建立， ∴ f ( x ) ＝ f (1 － x ) ，又 f ( x ) 为奇函数，∴ f ( x ) ＝－ f ( － x ) ＝－ f (1 ＋ x )＝ f ( － 1－ x ) ＝ f (2 ＋ x ) ，∴周期 T ＝ 2 ∴ f (0) ＝ f (2) ＝f (4) ＝ 01 又 f (1) 与 f (0) 对于 x ＝ 对称2∴f (1) ＝ 0 ∴ f (3) ＝f (5) ＝ 0 填 0.( 理) 若函数f ( x ) ＝a － e xa 为常数 ) 在定义域上为奇函数，则实数a 的值为 ________．x(1＋a e[答案] 1 或－ 1a －e －x ae x － 1[ 分析 ]f ( － x ) ＝ 1＋ae － x ＝ e x ＋ af ( x ) ＋ f ( －x )＝a － e xa ＋ e x ＋ 1＋ ae xae x － 11＋ xxae e ＋ a＝a 2－ e 2x ＋ a 2 e 2x － 1 ＝ 0 恒建立，1＋ ae x e x ＋ a因此 a ＝ 1 或－ 1.15．已知函数 f ( x ) ＝e x －e －x ( x ∈ R 且 e 为自然对数的底数 ) ．(1) 判断函数 f ( x ) 的奇偶性与单一性；(2) 能否存在实数 t ，使不等式 f ( x － t ) ＋ f ( x 2－ t 2) ≥0对全部 x 都建立？若存在， 求出 t ；若不存在，请说明原因．[ 分析](1) ∵f ( x) 的定义域为 R，且f ( －x) ＝e－x－e x＝－f ( x) ，∴f ( x) 为奇函数；∵() ＝x 1＝x为增函数，＝－1为增函数，∴() 为增函数．x e－，而y e f xe e(2)∵ f ( x－t )＋ f ( x2－ t 2)≥0，∴ f ( x2－ t 2)≥－ f ( x－ t )，∵f ( x)为奇函数，∴ f ( x2－ t 2)≥ f ( t － x)，∵f ( x)为增函数，∴x2－t 2≥ t － x，∴ t 2＋ t ≤x2＋ x.由条件知， t 2＋t ≤x2＋ x 对随意实数 x 恒建立，当x ∈R时，x2＝ (x1211＋＋)－≥－.x24421121∴t＋t ≤－4，∴ ( t＋2)≤0，∴t＝－2.122故存在 t ＝－2，使不等式 f ( x－t )＋ f ( x － t) ≥0对一确实数x 都建立．1－mx16． (2020 ·泉州模拟 ) 已知函数f ( x) ＝ log a x－1( a>0 且a≠1) 是奇函数．(1)求 m的值；(2)判断 f ( x)在区间(1，＋∞)上的单一性并加以证明；(3) 当a>1，x∈ (1 ，3) 时，f ( x) 的值域是 (1 ，＋∞ ) ，求a的值．[ 分析 ] (1) ∵f ( x) 是奇函数，x＝ 1 不在f ( x) 的定义域内，∴x＝－1也不在函数定义域内，令 1－m·( － 1) ＝ 0 得m＝－ 1.( 也能够由 f (－ x)＝－ f ( x)恒建立求 m)x＋1(2)由 (1) 得f ( x) ＝ log a x－1( a>0 且a≠1) ，任取 x1， x2∈(1，＋∞)，且 x1<x2，x＋1x ＋1x ＋112令 t ( x)＝x－1，则 t ( x1)＝x1－1，t ( x2)＝x2－1，x＋ 1x ＋1 2 x－ x1122∴t ( x1)－ t ( x2)＝x1－1－x2－1＝x1－1x2－1，∵x1>1， x2>1， x1<x2，∴x1－1>0， x2－1>0， x2－ x1>0.x1＋1x2＋1∴t( x1)> t ( x2)，即x1－1>x2－1，x1＋1x2＋1∴当 a>1时，log a x1－1>log a x2－1，即 f ( x1)> f ( x2)；＋1x2＋1当 0<a<1 时， log a x1－1<log a x2－1，即f ( x1)< f ( x2) ，x 1∴当 >1 时，f (x) 在 (1 ，＋∞ ) 上是减函数，当0<<1 时，f(x) 在 (1 ，＋∞ ) 上是增函数．a a(3) ∵a>1，∴f( x) 在 (1 ， 3) 上是减函数，∴当 x∈(1，3) 时，f ( x)> f ( 3) ＝ log a(2 ＋3) ，由条件知， log(2 ＋ 3) ＝ 1，∴a＝ 2＋ 3.a1．已知g( x) 是定义在 R 上的奇函数，且在 (0 ，＋∞ ) 内有 1005 个零点，则 f ( x)的零点共有()A．1005 个B． 1006 个C．2020 个D． 2020 个[ 答案]D[ 分析]∵奇函数的图象对于原点对称，g( x)在(0，＋∞)上与 x 轴有1005个交点，故在 ( －∞， 0) 上也有 1005 个交点，又f (0) ＝ 0，∴共有零点2020 个．2．(2020·杭州模拟 ) 若函数f ( x) 是定义在 R 上的偶函数，在 ( －∞， 0] 上是减函数，且f (2)＝0，则使得 f ( x)<0的 x 的取值范围是()A．( －∞， 2)B．( － 2,2)C．( －∞，－2) ∪(2 ，＋∞ ) D ． (2 ，＋∞)[ 答案]B[ 分析]∵f ( x)是定义在R上的偶函数，在 ( －∞， 0]上是减函数，∴ f ( x)在(0，＋∞)上为增函数，由 f ( x)< f (2)得 f (| x|)< f (2)，∴| x|<2，∴－2<x<2.3．以下函数中既是奇函数，又在区间[ －1,1]上单一递减的是 ()A．f ( x) ＝ sin x B ．f ( x) ＝－ | x＋ 1|1x－ x2－xC．f ( x) ＝2( a＋ a)D．f ( x) ＝ ln 2＋x[ 答案]D[ 分析]y＝sin2－x为奇函数，而1 x－ x) 为偶函数，y＝－ | x＋ 1| 是非x 与 y＝ln y＝( a＋ a2＋x2奇非偶函数． y＝sin x 在[－1,1]上为增函数．应选 D.4．(2020 ·安徽理， 4) 若f ( x) 是 R 上周期为 5 的奇函数，且知足 f (1)＝1， f (2)＝2，则f (3)－f (4)＝ ()A．－ 1B． 1C．－ 2D． 2[ 答案]A[ 分析] f (3)－ f (4)＝ f (－2)－f (－1)＝－ f (2)＋f (1)＝－2＋1＝－1，应选 A.222?x5．定义两种运算：a?b＝ a － b ， a⊕ b＝| a－ b|，则函数 f ( x)＝x⊕2－2() A．是偶函数B．是奇函数C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数又不是偶函数[答案]B4－x2[ 分析 ] f ( x)＝|x－2|－2，∵x2≤4，∴－2≤ x≤2，又∵ x≠0，∴ x∈[－2,0)∪(0,2]．4－x 2则f (x) ＝，() ＋( －) ＝ 0，应选 B.－ x f x f x6．已知函数f ( x) 是 R 上的偶函数，g( x) 是 R 上的奇函数，且g( x)＝f ( x－1)，若 g(1)＝ 2，则f (2020)的值为 ()A．2B．0C．－ 2D．±2[ 答案]A[ 分析]由已知： g(－ x)＝ f (－x－1)，又 g( x)、 f ( x)分别为R上的奇、偶函数，∴－ g( x)＝f ( x＋1)，∴ f ( x－1)＝－ f ( x＋1)，∴ f ( x)＝－ f ( x＋2)，∴ f ( x)＝f ( x＋4)，即 f ( x)的周期 T＝4，∴f(2020)＝f (0)＝ g(1)＝2，应选 A.。

2.3函数的奇偶性与周期性第三周周一45分钟一、选择题(每小题6分，共36分)1.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( )()y=-x3,x∈R ()y=sinx,x∈R()y=x,x∈R ()y=(12)x,x∈R2.(2019·宿州模拟)已知f(x)满足f(x+4)=f(x)和f(-x)=-f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)=2x2，则f(7)=( )()-2 ()2 ()-98 ()983.(预测题)f(x),g(x)都是定义在R上的奇函数，且F(x)=3f(x)+5g(x)+2,若F(a)=b,则F(-a)=( )()-b+4 ()-b+2 ()b-4 ()b+24.函数y=lg(21x+-1)的图象关于( )()x轴成轴对称图形 ()y轴成轴对称图形()直线y=x成轴对称图形 ()原点成中心对称图形5.(2019·临沂模拟)若函数f(x)=(k-1)a x-a-x(a>0,a≠1)在R上既是奇函数，又是减函数，则g(x)=log a(x+k)的图象是( )6.（2019·莆田模拟）若f(x),g(x)分别是R上的奇函数、偶函数，且f(x)-g(x)=e x,则有（）()f(2)<f(3)<g(0) ()g(0)<f(3)<f(2)()f(2)<g(0)<f(3) ()g(0)<f(2)<f(3)二、填空题(每小题6分，共18分)7.设函数f(x)= ()()x2x ktanx++为奇函数，则k=______.8.(2019·广东高考)设函数f(x)=x3cosx+1,若f(a)=11,则f(-a)=______.9.（2019·泉州模拟）若f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)=f(1-x)，则f(2 012)=________.三、解答题(每小题15分，共30分)10.(易错题)设定义在［-2,2］上的奇函数f(x)在区间［0,2］上单调递减，若f(m)+f(m-1)>0,求实数m的取值范围.11.(2019·珠海模拟)已知函数f(x)=a-12x b是偶函数，a为实常数.(1)求b的值；(2)当a=1时，是否存在n>m>0,使得函数y=f(x)在区间［m,n］上的函数值组成的集合也是［m,n］，若存在，求出m,n的值，否则，说明理由.(3)若在函数定义域内总存在区间［m,n］(m<n)，使得y=f(x)在区间［m,n］上的函数值组成的集合也是［m,n］,求实数a的取值范围.。

2021年高考数学 2.3 函数的奇偶性与周期性练习(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.定义域为R的四个函数y=x3,y=2x,y=x2+1,y=2sin x中,奇函数的个数是( )A.4B.3C.2D.1【解析】选C.由奇函数的概念可知y=x3,y=2sin x是奇函数.2.(xx·广州模拟)下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是()A.y=B.y=e-xC.y=-x2+1D.y=lg |x|【解析】选C.A中,y=为奇函数,故排除A;B中,y=e-x为非奇非偶函数,故排除B;C中,y=-x2+1的图象关于y轴对称,故为偶函数,且在(0,+∞)上单调递减;D中,y=lg |x|为偶函数,在x∈(0,+∞)时单调递增,排除D.3.已知f(x)在R上是奇函数,且满足f(x+4)=f(x),当x∈(0,2)时,f(x)=2x2,则f(2 015)等于()A.-2B.2C.-98D.98【解析】选A.因为f(x+4)=f(x),所以f(x)是以4为周期的周期函数,所以f(2 015)=f(503×4+3)=f(3)=f(-1).又f(x)为奇函数,所以f(-1)=-f(1)=-2×12=-2,即f(2 015)=-2.【方法技巧】周期性问题常与奇偶性相结合,解题时注意以下两点:(1)周期的确定:特别是给出递推关系要明确周期如何确定.(2)周期性与奇偶性在解题时,一般情况下周期性起到自变量值转换作用,奇偶性起到调节转化正负号的作用.【加固训练】(xx·皖北八校模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=-f(x),f(x-2)=f(x+2),且x∈(-2,0)时,f(x)=2x+,则f(2 013)=()A.-1B.0C.1D.±1【解析】选A.因为f(-x)=-f(x),所以函数f(x)为奇函数.因为f(x-2)=f(x+2),所以f(x+4)=f(x),即函数的周期为4.所以f(2 013)=f(4×503+1)=f(1).因为f(-1)=2-1+=1,f(-1)=-f(1)=1,即f(1)=-1,所以f(2 013)=f(1)=-1,故选A.4.(xx·长春模拟)x为实数,[x]表示不超过x的最大整数,则函数f(x)=x-[x]在R上为()A.奇函数B.偶函数C.增函数D.周期函数【解析】选 D.当n为整数时,必有[n+x]=n+[x]成立.设k∈Z,且k≠0,则f(x+k)=(x+k)-[x+k]=(x+k)-([x]+k)=x-[x]=f(x),所以f(x)必为周期函数,故选D.【一题多解】本题还可以采用如下方法:≠±f(x),故A,B错;又f(x1)=0.2,f(x2)=0,显然f(x)不是增函数,故C错,故选D.方法二:(图象法)依据已知可以作出函数f(x)的图象,如图所示,则可知f(x)是有界,且周期为k(k∈Z,k≠0)的非单调函数,其最小正周期为1,故选D.5.若函数f(x)=是奇函数,则a的值为()A.0B.1C.2D.4【解析】选A.由f(-1)=-f(1),得,所以(-1+a)2=(1+a)2,解得a=0.6.(xx·重庆模拟)已知函数y=f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=lg x,则f(f())的值等于()A. B.- C.lg 2 D.-lg 2【解析】选D.因为当x>0时,f(x)=lg x,所以f()=lg =-2,则f(f())=f(-2),因为函数y=f(x)是奇函数,所以f(f())=-f(2)=-lg 2.7.(xx·黄冈模拟)能够把圆O:x2+y2=16的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O的“和谐函数”,下列函数不是圆O的“和谐函数”的是()A.f(x)=4x3+xB.f(x)=lnC.f(x)=tanD.f(x)=ex+e-x【解析】选D.由“和谐函数”的定义知,若函数为“和谐函数”,则该函数为过原点的奇函数.A中,f(0)=0,且f(x)为奇函数,所以f(x)=4x3+x为“和谐函数”;B中,f(0)=ln=ln 1=0,且f(-x)=ln =ln=-ln =-f(x),所以f(x)为奇函数,所以f(x)=ln为“和谐函数”;C中,f(0)=tan 0=0,且f(-x)=tan(-)=-tan =-f(x),所以f(x)为奇函数,故f(x)=tan为“和谐函数”;D中,f(0)=e0+e-0=2,所以f(x)=ex+e-x的图象不过原点,所以f(x)=ex+e-x不是“和谐函数”.二、填空题(每小题5分,共15分)8.f(x)为奇函数,当x<0时,f(x)=log2(1-x),则f(3)=.【解析】f(3)=-f(-3)=-log24=-2.答案:-29.若函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则实数a=.【解析】因为函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数,所以f(-x)=f(x),即(-x)2-|-x+a|=x2-|x+a|,所以|-x+a|=|x+a|,所以a=0. 答案:010.(xx·长沙模拟)设定义在[-2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减,若f(1-m)<f(m),则实数m的取值范围是.【解析】因为f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x)=f(|x|).所以不等式f(1-m)<f(m),等价于f(|1-m|)<f(|m|).又当x∈[0,2]时,f(x)是减函数.所以解得-1≤m<.(20分钟40分)1.(5分)(xx·山东高考)对于函数f(x),若存在常数a≠0,使得x取定义域内的每一个值,都有f(x)=f(2a-x),则称f(x)为准偶函数.下列函数中是准偶函数的是()A.f(x)=B.f(x)=x2C.f(x)=tan xD.f(x)=cos(x+1)【解题提示】本题为新定义问题,准确理解准偶函数的概念再运算.【解析】选D.由f(x)=f(2a-x)可知, f(x)关于x=a对称,准偶函数即偶函数左右平移得到的.【加固训练】定义两种运算:a⊗b=,a⊕b=,则f(x)=是()A.奇函数B.偶函数C.既奇又偶函数D.非奇非偶函数【解析】选A.因为2⊗x=,x⊕2=,所以f(x)=该函数的定义域是[-2,0)∪(0,2],且满足f(-x)=-f(x).故函数f(x)是奇函数.2.(5分)(xx·杭州模拟)若偶函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+2)=f(x),当x∈[0,1]时,f(x)=x,则y=f(x)的图象与y=log4|x|的图象的交点个数是()A.3B.4C.6D.8【解析】选C.由于f(x)是满足f(x+2)=f(x)的偶函数,且当x∈[0,1]时,f(x)=x,故f(x)是周期为2的周期函数,其图象如图所示,根据函数y=log4|x|也是偶函数,其图象也关于y轴对称,容易知道它们的交点共有6个.故选C.3.(5分)(xx·西安模拟)设f(x)是定义在R上的奇函数,且y=f(x)的图象关于直线x=对称,则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=.【解析】f(x)是定义在R上的奇函数,且y=f(x)的图象关于直线x=对称,所以f(-x)=-f(x),f(+x)=f(-x)⇒f(x)=f(1-x),所以f(-x)=f(1+x)=-f(x),f(2+x)=-f(1+x)=f(x),所以f(0)=f(1)=f(3)=f(5)=0,f(0)=f(2)=f(4)=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=0.答案:0【加固训练】已知函数f(x)满足:f(1)=,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x,y∈R),则f(2 015)=.【解析】令x=1,y=0时,4f(1)·f(0)=f(1)+f(1),解得f(0)=,令x=1,y=1时,4f(1)·f(1)=f(2)+f(0),解得f(2)=-,令x=2,y=1时,4f(2)·f(1)=f(3)+f(1),依次求得f(4)=-,f(5)=,f(6)=,f(7)=,f(8)=-,f(9)=-,…可知f(x)是以6为周期的函数,所以f(2 015)=f(335×6+5)=f(5)=.答案:【一题多解】本题还可以采用如下方法:因为f(1)=,4f(x)·f(y)=f(x+y)+f(x-y),所以构造符合题意的函数f(x)=所以f(2 015)=答案:4.(12分)函数f(x)的定义域为D={x|x≠0},且满足对于任意x1,x2∈D,有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2).(1)求f(1)的值.(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论.(3)如果f(4)=1,f(x-1)<2,且f(x)在(0,+∞)上是增函数,求x的取值范围.【解析】(1)因为对于任意x1,x2∈D,有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2),所以令x1=x2=1,得f(1)=2f(1),所以f(1)=0.(2)f(x)为偶函数.证明如下:令x1=x2=-1,有f(1)=f(-1)+f(-1),所以f(-1)=f(1)=0.令x1=-1,x2=x有f(-x)=f(-1)+f(x),所以f(-x)=f(x),所以f(x)为偶函数.(3)依题设有f(4×4)=f(4)+f(4)=2,由(2)知,f(x)是偶函数,所以f(x-1)<2,等价于f(|x-1|)<f(16).又f(x)在(0,+∞)上是增函数.所以0<|x-1|<16,解得-15<x<17且x≠1.所以x的取值范围是{x|-15<x<17且x≠1}.5.(13分)(能力挑战题)已知函数f(x)在R上满足f(2-x)=f(2+x),f(7-x)= f(7+x), 且在闭区间[0,7]上,只有f(1)=f(3)=0.(1)试判断函数y=f(x)的奇偶性.(2)试求方程f(x)=0在闭区间[-2 014,2 014]上根的个数,并证明你的结论.【解析】(1)若y=f(x)为偶函数,则f(-x)=f(2-(x+2))=f(2+(x+2))= f(4+x)=f(x),所以f(7)=f(3)=0,这与f(x)在闭区间[0,7]上只有f(1)=f(3)=0矛盾;因此f(x)不是偶函数.若y=f(x)为奇函数,则f(0)=-f(0),所以f(0)=0,这与f(x)在闭区间[0,7]上只有f(1)=f(3)=0矛盾;因此f(x)不是奇函数.综上可知:函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.(2)由⇒⇒f(4-x)=f(14-x)⇒f(x)=f(x+10),从而知函数y=f(x)的周期T=10.由f(3)=f(1)=0,得f(11)=f(13)=f(-7)=f(-9)=0.故f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有两个解,从而可知函数y=f(x)在[0,2 014]上有404个解,在[-2 014,0]上有402个解,所以函数y=f(x)在[-2 014,2 014]上共有806个解.20373 4F95 侕A39850 9BAA 鮪30473 7709 眉WD t37702 9346 鍆rk34576 8710 蜐} [。

2.3函数的奇偶性及周期性1．(2013山东，5分)已知函数f (x )为奇函数，且当x >0时， f (x ) ＝x 2＋1x ，则f (－1)＝( )A ．2B ．1C ．0D ．－2『解析』本题主要考查函数奇偶性的应用，考查运算求解能力和转化思想．由f (x )为奇函数知f (－1)＝－f (1)＝－2.『答案』D2．(2013广东，5分)定义域为R 的四个函数y ＝x 3，y ＝2x ，y ＝x 2＋1，y ＝2sin x 中，奇函数的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1『解析』本题考查函数的奇偶性，考查考生对函数性质——奇偶性的了解．由奇函数的概念可知，y ＝x 3，y ＝2sin x 是奇函数．『答案』C3．(2013湖南，5分)已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)等于( )A ．4B ．3C ．2D ．1『解析』本题主要考查奇函数与偶函数的定义和解方程组，意在考查考生的化简能力．由已知可得，－f (1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (1)＝4，两式相加解得，g (1)＝3.『答案』B4. (2013安徽，5分)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________.『解析』本题主要考查函数解析式的求法，意在考查考生对函数解析式的理解，以及对抽象函数的化归与转化能力．当－1≤x ≤0时，有0≤x ＋1≤1，所以f (1＋x )＝(1＋x )『1－(1＋x )』＝－x (1＋x )．又f (x ＋1)＝2f (x )，所以f (x )＝12f (1＋x )＝－x (x ＋1)2.『答案』－x (x ＋1)25．（2012山东，5分）定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )．当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 012)＝() A．335B．338C．1 678 D．2 012『解析』由f(x＋6)＝f(x)可知，函数f(x)的周期为6，所以f(－3)＝f(3)＝－1，f(－2)＝f(4)＝0，f(－1)＝f(5)＝－1，f(0)＝f(6)＝0，f(1)＝1，f(2)＝2，所以在一个周期内有f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1＋2－1＋0－1＋0＝1，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2 012)＝f(1)＋f(2)＋335×1＝1＋2＋335＝338.『答案』B6．（2011广东，5分）设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是()A．|f(x)|－g(x)是奇函数B．|f(x)|＋g(x)是偶函数C．f(x)－|g(x)|是奇函数D．f(x)＋|g(x)|是偶函数『解析』设F(x)＝f(x)＋|g(x)|，由f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，得F(－x)＝f(－x)＋|g(－x)|＝f(x)＋|g(x)|＝F(x)，∴f(x)＋|g(x)|是偶函数，又可判断其他选项不恒成立．『答案』D7．（2011安徽，5分）设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x) ＝2x2－x，则f(1)＝()A．－3 B．－1C．1 D．3『解析』法一：∵f(x)是定义在R上的奇函数，且x≤0时，f(x)＝2x2－x，∴f(1)＝－f(－1)＝－2×(－1)2＋(－1)＝－3.法二：设x>0，则－x<0，∵f(x)是定义在R上的奇函数，且x≤0时，f(x)＝2x2－x，∴f(－x)＝2(－x)2－(－x)＝2x2＋x，又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－2x2－x，∴f(1)＝－2×12－1＝－3.『答案』A8．（2010山东，5分）设f(x)为定义在R上的奇函数．当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b 为常数)，则f(－1)＝()A．－3 B．－1C．1 D．3『解析』因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以有f(0)＝20＋2×0＋b＝0，解得b＝－1，因为当x≥0时，f(x)＝2x＋2x－1，所以f(－1)＝－f(1)＝－(21＋2×1－1)＝－3.『答案』A9．（2010安徽，5分）若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)＝()A．－1 B．1C．－2 D．2『解析』由于函数f(x)的周期为5，所以f(3)－f(4)＝f(－2)－f(－1)，又f(x)为R上的奇函数，∴f(－2)－f(－1)＝－f(2)＋f(1)＝－2＋1＝－1.『答案』A10.（2011浙江，4分）若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________.『解析』由题意知，函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则f(1)＝f(－1)，∴1－|1＋a|＝1－|－1＋a|，∴a＝0.『答案』0。