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2020年内蒙古包头市高考数学一模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|3x−x2>0}，B={x|−1<x<1}，则A∩B=()A. {x|−1<x<3}B. {x|−1<x<0}C. {x|0<x<1}D. {x|1<x<3}+(1−i)2(i为虚数单位)，则|z|=()2.已知复数z=21−iA. 1B. √2C. 2√2D. 23.已知等差数列{a n}中，前n项和为S n，若a1=2，a8+a10=28，则S9=()A. 36B. 72C. 144D. 2884.函数y=xe x在点(1,e)处的切线方程为()A. y=2e xB. y=x−1+eC. y=−2e x+3eD. y=2ex−e5.函数y=e x(x2+2x+1)的图象可能是()A. B.C. D.6.如图，已知线段AB垂直于定圆所在的平面，B，C是圆上的两点，H是点B在AC上的射影，当C运动时，点H运动的轨迹()A. 是圆B. 是椭圆C. 是抛物线D. 不是平面图形7. 甲、乙两人在同一天上午8时至10时随机到达养老院为老人服务，并且工作1小时后离开，则两人在养老院相遇的概率为( ) A. 34 B. 13 C. 78 D. 35 8. 已知AD 为△ABC 边BC 的中线，且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−16,|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=10，则|AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 69. 公元263年，数学家刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，提出“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”.如图是利用“割圆术”思想求图形面积的一个程序框图，则其输出的n 的值为(参考数据：√3≈1.73，tan π12≈0.27，tan π24≈0.13) A. 6B. 12C. 24D. 4810. 设点F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2−y 22=1(a >0)的左、右焦点，过点F 1且与x 轴垂直的直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点．若△ABF 2的面积为2√6，则该双曲线的渐近线方程为( )A. y =±√3xB. y =±√33xC. y =±√2xD. y =±√22x 11. 正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M 是棱CC 1的中点，点A ，B ，D ，M 都在球O 的球面上，则球O 的表面积为( )A. 32πB. 3πC. 94πD. 9π12. 函数f(x)=(x −2)(ax +b)为偶函数，且在(0,+∞)单调递增，则f(2−x)>0的解集为( )A. {x|−2<x <2}B. {x|x >2或x <−2}C. {x|0<x <4}D. {x|x >4或x <0}二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 若(√x +3x )n 的展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则展开式中常数项为______．14.抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，直线y=2与y轴的交点为M，与抛物线的交点为N，且4|NF|=5|MN|，则p的值为______．15.已知函数y=3sin (2x+π4),x∈[0,π2]的单调增区间为[0,m]，则实数m的值为________．16.分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦·曼德尔布罗(BenoitMandelbrot)在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．按照下图1的分形规律可得到如图2所示的一个树形图，那么第12行的实心圆点的个数是_____．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为3sin A，周长为4(√2+1)，且sinB+sinC=√2sinA．(1)求a及cos A的值；(2)求cos(2A−π3)的值．18.如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，∠DAB=∠DBF=60°，且FA=FC．(1)求证：AC⊥平面BDEF；(2)求二面角A−FC−B的余弦值．(3)求AF与平面BFC所成角的正弦值．19.某中学举行了一次“环保知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩(得分取正整数，满分为100分)作为样本进行统计．请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图(如图所示)解决下列问题：频率分布表组别分组频数频率第1组[50,60)80.16第2组[60,70)a▓第3组[70,80)200.40第4组[80,90)▓0.08第5组[90,100]2b合计▓▓(1)写出a，b，x，y的值；(2)在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上(含80分)的同学中随机抽取2名同学到广场参加环保知识的志愿宣传活动，求所抽取的2名同学来自同一组的概率；(3)在(2)的条件下，设ξ表示所抽取的2名同学中来自第5组的人数，求ξ的分布列及其数学期望．20.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别是F1，F2，离心率e=12，过点F1且垂直于x轴的直线被椭圆E截得的线段长为3．(1)求椭圆E的方程；(2)若直线l过椭圆E的右焦点F2，且与x轴不重合，交椭圆E于M，N两点，求|MN|的取值范围．21.已知函数f(x)=ax2+2ln(a−x)(a∈R)，设曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线为l，若l与直线x−2y+2=0垂直，求a的值．22. 已知直线l 的参数方程为{x =m −12t y =√32t(其中t 为参数，m 为常数)，以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=2sinθ，直线l 与曲线C 交于点A ，B 两点． (1)若|AB|=√152，求实数m 的值； (2)若m =1，点P 坐标为(1,0)，求1|PA|+1|PB|的值．23. 设函数f(x)=|x +1|+|x −a|(a >0)．(1)当a =2时，求不等式f(x)>8的解集；(2)若∃x ∈R ，使得f(x)≤32成立，求实数a 的取值范围．【答案与解析】1.答案：C解析：本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．可以求出集合A，然后进行交集的运算即可．解：∵A={x|0<x<3}，B={x|−1<x<1}，∴A∩B={x|0<x<1}．故选：C．2.答案：B解析：通过化简，计算即可．本题考查求复数的模，注意解题方法的积累，属于基础题．解：∵z=21−i +(1−i)2=2(1+i)(1−i)(1+i)−2i=2(1+i)1−i2−2i=1−i，∴|z|=√2．故选B．3.答案：B解析：本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，是基础题．根据{a n}是等差数列，a8+a10=28，得2a9=28，即a9=14，S9=a1+a92×9可得答案．解：由题意{a n}是等差数列且a8+a10=28，得2a9=28，即a9=14．∴S9=2+142×9=72，故选B．4.答案：D解析：本题考查切线方程的求法，考查计算能力．求出函数的导数，求出切线的斜率，切点坐标，然后求解切线方程．解：函数f(x)=xe x，可得：f′(x)=(1+x)e x，则f′(1)=2e，f(1)=e；曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为：y−e=2e(x−1)，y=2ex−e．故选D．5.答案：A解析：本题考查了函数图象的识别，考查了函数值的变化趋势，属于基础题．解：y=e x(x2+2x+1)=e x(x+1)2≥0，故排除B，D，当x=−1时，y=0，故排除C，故选A．6.答案：A解析：本题主要考查立体几何中的垂直关系与动点轨迹的交汇，考查考生的数形结合能力、推理论证能力以及运算求解能力，考查的核心素养是直观想象、逻辑推理、数学运算，难度一般．由已知证得，，从而得出BH⊥AD,BH⊥HE，即可得出点H的运动轨迹．解：如图，过点B作圆的直径BD，连接CD，AD，再过点B作BE⊥AD于E，连接HE，因为AB⊥平面BCD，所以AB⊥CD．又由BD为圆的直径得BC⊥CD，且AB∩BC=B，所以CD⊥平面ABC，所以CD⊥BH．又BH⊥AC，且AC∩CD=C，所以BH⊥平面ACD，所以BH⊥AD，BH⊥HE．所以当点C运动时，点H运动的轨迹是以BE为直径的圆．故选A．7.答案：A解析：本题考查了几何概型的概率计算，作出图形是解题关键，属于中档题．作出表示两人到达养老院的时间的平面区域，根据面积比得出概率．解：以x，y表示甲，乙两人到达养老院的时间，若两人相遇，则需满足|x−y|≤1，作出平面区域如图所示：则．故选：A ．8.答案：B解析：解：如图，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ；∴BC⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2； ∴100=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+32+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2；∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=68；又AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )； ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=14(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2)=14×(68−32)=9； ∴|AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3． 故选B ．可画出图形，对BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的两边平方即可求出AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=68，而对AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )的两边平方，即可求出AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2的值，从而求出|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的值． 考查向量减法的几何意义，向量加法的平行四边形法则，以及向量数量积的运算．解析：本题考查了程序框图和循环结构，属于基础题．模拟循环程序，进行模拟计算，列出循环过程中S和n的数值，若满足判断框的条件，即可结束循环．解：模拟执行程序，可得：当n=6时，，输出的S值为2√3≈3.46，不满足判断框条件S<3.2，继续执行循环体；当n=12时，，不满足判断框条件S<3.2，继续执行循环体；当n=24时，≈24×0.13=3.12，满足判断框条件S<3.2，退出循环．所以输出的n的值为24．故选C．10.答案：D解析：本题考查双曲线的渐近线方程的求法，考查双曲线的方程和应用，考查运算能力，属于中档题．设F1(−c,0)，A(−c,y0)，c2=a2+2，A点代入双曲线的方程，解得y0，由三角形的面积公式，可得a，c的关系，进而得到a，b的关系，可得渐近线方程．解：不妨设F1(−c,0)，A(−c,y0)，c2=a2+2，则c2a −y022=1，则y02=2⋅c2−a2a2=4a2，又S△ABF2=2√6，即为12⋅2c⋅|2y0|=4ca=2√6，即为ca =√62，则ba=√c2a2−1=√22，故该双曲线的渐近线方程为y=±√22x.故选：D．解析：本题考查三棱锥的外接球的半径与棱长的关系，及球的表面积公式，属于中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．由已知可得线段AM的中点E为球O的球心，在直角三角形ACM中，求得AM，即得球O的半径，利用球的表面积公式可求．解：∵正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，点M是棱CC1的中点，如图：∵AB⊥BC,AB⊥BB1，BC∩BB1=B，BC，BB1⊂平面BCC1B1，所以AB⊥平面BCC1B1，∵BM⊂平面BCC1B1，∴AB⊥BM，即△ABM为直角三角形，同理AD⊥DM，△ADM也为直角三角形，取AM的中点E，则EA=EB=EM=ED，所以点E为球O的球心，在直角三角形ACM中，AC=√AB2+BC2=√2，CM=12，∴AM=√AC2+CM2=√2+14=32，则球O的半径R=34，则球O的表面积为4πR2=4π×916=9π4．故选C．12.答案：D解析：函数f(x)=ax2+(b−2a)x−2b为偶函数，则b−2a=0，故f(x)=ax2−4a=a(x−2)(x+ 2)，因为函数f(x)在(0,+∞)单调递增，所以a>0.根据二次函数的性质可知，不等式f(2−x)>0的解集为{x|2−x>2或2−x<−2}={x|x<0或x>4}．13.答案：135解析：解：(√x+3x)n的展开式中，令x=1，可得各项系数的和为4n，各项二项式系数的和为2n，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为4n2n=64，∴n=6，∴(√x+3x)6展开式的展开式的通项公式为：T r+1=C6r⋅3r⋅x3−3r2．令3−32r=0，求得r=2，可得展开式中的常数项等于C62⋅32=135．故答案为：135．根据各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，求得n的值，再利用展开式的通项公式求出常数项．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式的系数和常用的方法是赋值法，属于基础题．14.答案：1解析：本题考查抛物线的方程、直线与抛物线的位置关系，属于中档题．设N(x0,2)，代入抛物线方程，结合抛物线的定义，可得p=1．解：由题意知M(0,2)，设N(x0,2)，代入y2=2px(p>0)中得x0=2p，所以|MN|=2p，|NF|=2p+p2，因为4|NF|=5|MN|，所以4(p2+2p)=5×2p，解得p=−1(舍去)或p=1．故答案为1．15.答案：π8解析：本题主要考查了y=Asin(ωx+φ)的图象与性质，属于中档题目．求出y=3sin(2x+π4)的单调递增区间，即可得到x∈[0,π2]的单调增区间，从而得到m的值．解：由−π2+2kπ≤2x+π4≤π2+2kπ，k∈Z，得−3π8+kπ≤x≤π8+kπ，k∈Z．又0≤x≤π2，所以0≤x≤π8，即函数y=3sin(2x+π4)，x∈[0,π2]的单调增区间为[0,π8]．所以m=π8，故答案为π8．16.答案：89解析：本题主要考查了数列的应用，解题的关键构造这样一个数列{a n}表示空间圆点的个数变化规律，a n= a n−1+a n−2，属于中档题．解：观察可发现如下规律：每行空心圆点个数等于上一行的实心圆点个数；每行实心圆点个数等于上一行所有圆点个数.设a n为第n行所有圆点个数．∴第n行的空心圆点个数等于第n−1行的实心圆点个数，也即第n−2行的所有圆点个数a n−2，第n行的实心圆点个数等于第n−1行的所有圆点个数a n−1，所以a n=a n−1+a n−2，故各行中圆点的个数依次为1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，......a11=89，即第12行中实心圆点的个数是89，故答案为89．17.答案：解：(1)∵△ABC的面积为3sinA=12bcsinA，∴可得：bc=6，∵sinB+sinC=√2sinA，可得：b+c=√2a，∴由周长为4(√2+1)=√2a+a，解得：a=4，∴cosA=b2+c2−a22bc =(b+c)2−2bc−a22bc=a2−1212=13，(2)∵cosA=13，∴sinA=√1−cos2A=2√23，∴sin2A=2sinAcosA=4√29，cos2A=2cos2A−1=−79，∴cos(2A−π3)=cos2Acosπ3+sin2Asinπ3=4√6−718．解析：(1)由已知及三角形面积公式可求bc=6，进而可求a，利用余弦定理即可得解cos A的值．(2)利用同角三角函数基本关系式可求sin A，利用二倍角公式可求sin2A，cos2A的值，进而利用两角差的余弦函数公式即可计算得解．本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角差的余弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.答案：(1)证明：设AC与BD相交于点O，连结FO．因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD，且O为AC中点．又FA=FC，所以AC⊥FO.因为FO∩BD=O，FO,BD⊂平面BDEF，所以AC⊥平面BDEF．(2)解：因为四边形BDEF为菱形，且∠DBF=60°，所以△DBF为等边三角形．因为O为BD中点，所以FO⊥BD，又AC⊥平面BDEF，AC⊂平面ABCD，∴平面BDEF⊥平面ABCD，又平面BDEF∩平面ABCD=BD，FO⊂平面BDEF，故F O ⊥平面ABCD ． 又AO,BO ⊂平面ABCD ，∴AO ⊥FO,BO ⊥FO ，又AO ⊥BO ，由OA ，OB ，OF 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O −xyz ．设AB =2.因为四边形ABCD 为菱形，∠DAB =60°， 则BD =2，所以OB =1，OA =OF =√3． 所以O(0,0,0),A(√3,0,0),B(0,1,0), C(−√3,0,0),F(0,0,√3)．所以 CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,0,√3)，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,0)． 设平面BFC 的法向量为n⃗ =(x,y,z)， 则有{n ⃗ ⋅CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以{√3x +√3z =0√3x +y =0，取x =1，得n ⃗ =(1,−√3,−1)．因为OA ，OB ，OF 两两垂直，OA ，OF 是平面AFC 内两条相交直线，则OB ⊥平面AFC ， 可知平面AFC 的法向量为v⃗ =(0,1,0)． 由二面角A −FC −B 是锐二面角，得|cos <n ⃗ ,v ⃗ >|=|n ⃗⃗ ⋅v ⃗ ||n ⃗⃗ ||v ⃗ |=√155． 所以二面角A −FC −B 的余弦值为√155；(3)解：AF⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,0,√3)， 平面BFC 的法向量n ⃗ =(1,−√3,−1)，所以cos <AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=AF ⃗⃗⃗⃗⃗⋅n ⃗⃗|AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=√3√6×√5=−√105． 设AF 与平面BFC 所成角为θ，则．故AF 与平面BFC 所成角的正弦值为√105．解析：本题考查了直线和平面垂直的判定，考查了利用空间向量求线面角和面面角，解答的关键是建立正确的空间直角坐标系，是中档题．(1)要证AC ⊥平面BDEF ，只要证AC 垂直于平面BDEF 内的两条相交直线即可，设AC 与BD 相交于点O ，连结FO ，由已知FA =FC 可得AC ⊥FO ，再由ABCD 为菱形得到AC ⊥BD ，则由线面垂直的判定定理得到答案；(2)由OA ，OB ，OF 两两垂直，建立空间直角坐标系O −xyz ，求出二面角A −FC −B 的两个面的法向量，由法向量所成角的余弦值求得答案；(3)求出向量AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，直接用向量AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 与平面BFC 的法向量所成角的余弦值求得AF 与平面BFC 所成角的正弦值．19.答案：解：(1)由题意可知，样本容量=80.16=50，∴b =250=0.04，第四组的频数=50×0.08=4， ∴a =50−8−20−2−4=16． y =0.0410=0.004，x =1650×110=0.032．∴a =16，b =0.04，x =0.032，y =0.004．(2)由(1)可知，第4组有4人，第5组有2人，共6人．从竞赛成绩是80分)以上(含80分)的同学中随机抽取2名同学有C 62=15种情况．设事件A ：随机抽取的2名同学来自同一组，则P(A)=C 42+C 22C 62=715．所以，随机抽取的2名同学来自同一组的概率是715． (3)由(2)可知，ξ的可能取值为0，1，2， 则P(ξ=0)=C 42C 62=615=25，P(ξ=1)=C 41C 21C 62=815，P(ξ=2)=C 22C 62=115． 所以，ξ的分布列为所以，Eξ=0×25+1×815+2×115=23．解析：(1)利用频率=频数样本容量×100%，及频率组距表示频率分布直方图的纵坐标即可求出a ，b ，x ，y ；(2)由(1)可知第四组的人数，已知第五组的人数是2，利用组合的计算公式即可求出从这6人中任选2人的种数，再分两类分别求出所选的两人来自同一组的情况，利用互斥事件的概率和古典概型的概率计算公式即可得出；(3)由(2)可知，ξ的可能取值为0，1，2，再利用组合的计算公式及古典概型的计算公式、数学期望的计算公式即可得出． 熟练掌握频率=频数样本容量×100%，及频率组距表示频率分布直方图的纵坐标、频率之和等于1、互斥事件的概率、组合的计算公式及古典概型的计算公式、数学期望的计算公式是解题的关键．20.答案：解：(1)由于c 2=a 2−b 2，将x =−c 代入椭圆方程x 2a 2+y 2b 2=1，即y =±b 2a ，由题意知2b 2a =3，即a =23b 2，又e =ca =12， 所以a =2，b =√3， 所以椭圆E 的方程为x 24+y 23=1.(2)当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程y =k(x −1)(k ≠0)，M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2). 由{y =k(x −1)x 24+y 23=1，得(4k 2+3)x 2−8k 2x +4k 2−12=0，Δ>0，则x 1+x 2=8k 24k 2+3，x 1x 2=4k 2−124k 2+3，所以，所以|MN|∈(3,4)；当直线l 与x 轴垂直时，|MN|=3. 综上所述，|MN|的取值范围为[3,4)．解析：本题考查椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系，属于中档题． (1) 由2b 2a=3，得a =23b 2，又e =c a =12，求出a ，b 即可．(2)当直线l 与x 轴不垂直时，设l 的方程y =k(x −1)(k ≠0)，M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，直线方程与椭圆方程联立，根据弦长公式求出|MN|，再与斜率不存在时比较即可．21.答案：解：由f(x)=ax 2+2ln(a −x)得f′(x)=2ax −2a−x ，所以f′(1)=2a −2a−1．由题设可得2a −2a−1=−2，从而a2=2，解得a =±√2， 检验可得a =√2符合题意， 所以a =√2．解析：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，以及两直线垂直的条件等基础题知识，考查运算求解能力，属于基础题，利用导数的几何意义求出x =1处的切线的斜率，再根据两直线垂直的条件：斜率之积为−1，建立方程，解之即可．22.答案：解：(1)曲线C 的极坐标方程为ρ=2sinθ，曲线C 的极坐标方程可化为ρ2=2ρsinθ， 转化为普通方程可得x 2+y 2=2y ， 即x 2+(y −1)2=1．把{x =m −12ty =√32t代入x 2+(y −1)2=1， 并整理可得t 2−(m +√3)t +m 2=0①， 由条件可得△=(m +√3)2−4m 2>0， 解之得−√33<m <√3．设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1+t 2=m +√3，t 1t 2=m 2≥0， |AB|=|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2， =√(m +√3)2−4m 2=√152， 解之得m =√32或√36；(2)当m =1时，①式变为：t 2−(1+√3)t +1=0， 所以：t 1+t 2=1+√3，t 1t 2=1，由点P 的坐标为(1,0)可得1|PA|+1|PB|=1|t 1|+1|t 2|=|t 1|+|t 2||t 1t 2|=|t 1+t 2||t 1t 2|=1+√3．解析：本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，点到直线距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． (1)直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．(2)利用(1)的关系式，根据一元二次方程根和系数的关系和点到直线的距离公式的应用求出结果．23.答案：解：(1)f(x)>8即|x +1|+|x −2|>8，当x ≥2时，x +1+x −2>8，解得x >92； 当−1<x <2时，x +1+2−x >8，解得x ∈⌀； 当x ≤−1时，−x −1+2−x >8，可得x <−72． 综上可得，原不等式的解集为{x|x >92或x <−72}； (2)若∃x ∈R ，使得f(x)≤32成立， 可得f(x)min ≤32，由f(x)=|x +1|+|x −a|(a >0) ≥|x +1−x +a|=|1+a|=a +1， 当−1≤x ≤a 时，f(x)取得最小值a +1， 由a +1≤32， 可得0<a ≤12， 即a 的范围是(0,12].解析：本题考查绝对值不等式的解法和性质的运用：求最值，考查分类讨论思想方法和转化思想，考查运算能力，属于中档题．(1)去绝对值，讨论x 的范围，解不等式求并集，即可得到所求解集；(2)由题意可得f(x)min≤3，运用绝对值不等式的性质可得f(x)的最小值，解不等式可得a的范围．2。
2020年内蒙古包头高三一模数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.设集合，，则（ ）．A. B. C. D.2.已知是虚数单位，若，则（ ）．A. B. C. D.3.设等差数列的前项和为，若，，则（ ）．A. B. C. D.4.曲线在点处的切线方程为，则（ ）．A.B.C.D.5.当时，函数的图象大致是（ ）．A.B.C.D.6.已知定点，都在平面内，定点，，是内异于，的动点，且，那么动点在平面内的轨迹是（ ）．A.圆，但要去掉两个点B.椭圆，但要去掉两个点C.双曲线，但要去掉两个点D.抛物线，但要去掉两个点7.小张家订了一份报纸，送报人可能在早上~之间把报送到小张家，小张离开家去工作的时间在早上~之间．用表示事件：“小张在离开家前能得到报纸”，设送报人到达的时间为，小张离开家的时间为，看成平面中的点，则用几何概型的公式得到事件的概率等于（ ）．A.B.C.D.8.在中，为边上的中线，为的中点，且，，，则A.B.9.公元年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的值为（）．开始输出结束是否A.B.C.D.10.已知，是双曲线:的左、右焦点，，是的左、右顶点，点在过，且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的渐近线方程为（ ）．A.B.C.D.11.棱长为的正方体内有一个内切球，过正方体中两条异面直线，的中点，作直线，则该直线被球面截在球内的线段的长为（ ）．C.D.12.设是定义域为的偶函数，且在单调递增，，，则（）．A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知多项式的各项系数之和为，则展开式中含项的系数为 ．14.已知抛物线：的焦点为，斜率为的直线与的交点为，，若，则直线的方程为 ．15.若函数在和上均单调递增，则实数的取值范围为 ．（1）（2）16.分形几何学是数学家伯努瓦·曼得尔布罗在世纪年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．按照如图甲所示的分形规律可得如图乙所示的一个树形图：记图乙中第行黑圈的个数为，则：． ．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）（1）（2）17.在中，角，，的对边分别为，，，且．求角的大小．已知的外接圆半径，且，求的周长．（1）（2）18.如图，三棱柱中，侧面是菱形，其对角线的交点为，且，．求证：平面．设，若直线与平面所成的角为，求二面角的正弦值．（1）（2）（3）19.某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行了一次安全意识测试，根据测试成绩评定”合格””不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：”合格”记分，”不合格”记分．现随机抽取部分学生的答卷，统计结果及对应的频率分布直方图如下：得分频率组距等级得分频数不合格合格，，，，由该题中频率分布直方图求测试成绩的平均数和中位数.其他条件不变，在评定等级为”合格”的学生中依次抽取人进行座谈，每次抽取人，求在第次抽取的测试得分低于分的前提下，第次抽取的测试得分仍低于分的概率.用分层抽样的方法，从评定等级为”合格”和”不合格”的学生中抽取人进行座谈．现再从这人中任选人，记所选人的量化总分为，求的数学期望．20.【答案】解析:，∴，（1）（2）已知椭圆的右焦点为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为，且与短轴两端点的连线相互垂直．求椭圆的方程．若圆上存在两点，，椭圆上存在两个点，满足：，，三点共线，，，三点共线，且，求四边形面积的取值范围．：：（1）（2）21.已知函数，．若函数在上单调递增，求实数的值．定义：若直线与曲线、都相切，我们称直线为曲线、的公切线，证明：曲线，与，总存在公切线．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）（1）（2）22.在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线，直线的参数方程为(为参数)．直线与曲线交于，两点．写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程（不要求具体过程）．设，若，，成等比数列，求的值．（1）（2）23.已知函数，.当时，解关于的不等式．若对任意，都存在，使得不等式成立，求实数的取值范围．A1.，∴．故选．解析:设，则由．可得，即．即．即，所以．所以，所以．故选．解析:设等差数列的公差为，因为，，所以，即，解得，所以，所以．故选．解析:因为在点处的切线方程为，又，所以，解得，所以，故选．C 2.D 3.B 4.解析:①当时，若，则，即，，∴有个零点；②当时，恒成立，∵恒成立，∴恒成立，∵，令，则，∴函数有两零点，，且，不妨设，则，，∴在，，即单调递增；在，，即单调递减，综上所述，选选项．解析:如下图，∵，∴，又：，∴面，∴，∴动点在平面内的轨迹是以为直径的一个圆，但要去掉、两个点．B 5.A 6.故选．解析:设送报人到达的时间为，小明爸爸离家去工作的时间为，记小明爸爸离家前能看到报纸为事件；以横坐标表示报纸送到时间，以纵坐标表示小明爸爸离家时间，建立平面直角坐标系，小明爸爸离家前能得到报纸的事件构成区域如图示离家时间报纸送达时间由于随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的，所以符合几何概型的条件．根据题意，只要点落到阴影部分，就表示小明爸爸在离开家前能得到报纸，即事件发生，所以;故选：．解析:因为为边上的中线，所以又点为的中点，，，．则．所以．．D 7.A 8.所以．故选：．解析:模拟执行程序，可得：，，不满足条件，，，不满足条件，，，满足条件，退出循环，输出的值为．故选．解析:由已知得，，如图所示，作于，因为直线过点，且斜率为，所以直线的方程为，又因为点为直线上的点，则，因为为等腰三角形，，所以，则，则，B 9.D 10.所以，所以在中，，又，所以所以所以，所以，所以，由，可得，所以双曲线的渐近线方程为，所以渐近线方程为．故选：．解析:如图，为该直线被球面截在球内的线段，连结并延长，交对棱于，则为对棱的中点，取的中点，则，∴，且，∴，∴ ．故选．C 11.C12.解析:∵是偶函数，且在单调递增，∴在单调递减，，，∴，∵，，，∴，∴，∵，∵，∴，∴，∵，且，，，∴即，∴，∴，故选：．13.解析:令，可得，解得 ，则，∴展开式中含项的系数为，故答案为：．14.解析:抛物线的焦点坐标为，准线的方程为，过点作的垂线交于点，过点作的垂线交于点，设直线方程为，联立得，，∴．∵，，∴，设，，则，∴，即，∴，∴直线的方程为．15.解析:，当时，在和上单调递增，∵和上均单调递增，∴，∴，∴的取值范围为：．（1）（2）（1）（2）故答案为：．解析:根据图甲所示的分形规律，个白圈分形为个白圈个黑圈，个黑圈分形为个白圈个黑圈，记某行白圈个，黑圈个为，则第一行记为，第二行记为，第三行记为，第四行记为，故．各行白圈数乘以，分别是，，，，，即，，，，，∴第行的国数为，∴第行的黑圈数为 ，．故答案为：；．解析:∵，∴，即，∴，又∵，∴．由正弦定理，得，则，∵,∴由余弦定理，得，即，∴．∵，（1）（2）16.（1）．（2）．17.（1）（2）∴，∴的周长为．（注：求出后，可用正弦定理求出，进而得到为直角三角形，用勾股定理可求出的值，最后求出周长．）解析:∵四边形是菱形，∴．∵，，∴平面．∵平面，∴．又∵，是的中点，∴．又∵，∴平面．∵，∴直线与平面所成的角等于直线与平面所成的角．∵平面，∴直线与平面所成的角为，即．因为，则在等腰直角三角形中，所以，．在中，由得，以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，（1）证明见解析．（2）．18.（1）（2）（3）则，，，所以，．设平面的一个法向量为．，可得，，，取平面的一个法向量为，则，所以二面角的正弦值的大小为．解析:由题意知，样本容量为，，，．平均数为，设中位数为，因为，,所以，则，解得．由题意可知，分数在内的学生有人，分数在内的学生有人．设”第次抽取的测试得分低于分”为事件，”第次抽取的测试得分低于分”为事件，则，，所以.在评定等级为”合格”和”不合格”的学生中用分层抽样的方法抽取人，则”不合格”的学生人数为”合格”的学生人数为，，（1）,.（2）.（3）.19.（1）（2）由题意可得 的所有可能取值为，，，，.，，，，.所以的分布列为.解析:由焦点与短轴两端点的连线相互垂直及椭圆的对称性可知，，∵过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为，∴ ．又，解得，．∴椭圆的方程为．由()可知圆的方程为，①当直线的斜率不存在时，直线的斜率为，此时，，．②当直线的斜率为零时，，，．③当直线的斜率存在且不等于零时，设直线的方程为，联立，得，设，的横坐标分别为，，则 ，，所以，(注：的长度也可以用点到直线的距离和勾股定理计算．)由可得直线的方程为，联立椭圆的方程，消去，得，（1）．（2）．20.四边形四边形（1）（2）设，的横坐标为，，则，，∴．，∵，∴，∴．综上，由①②③得的取值范围是．解析:∵，，∴，函数在上单调递增等价于在上恒成立．令，得，所以在单调递减，在单调递增，则．因为，则在上恒成立等价于在上恒成立；又∵，∴，所以，即．设，的切点横坐标为，则，切线方程为．①设，的切点横坐标为，则，切线方程为．②若存在，，使①②成为同一条直线，则曲线与存在公切线，由①②得，消去得，即．四边形四边形四边形（1）．（2）证明见解析．21.（1）（2）（1）令，则，所以，函数在区间上单调递增．∵，∴，使得，∴时总有．又∵时，，∴在上总有解．综上，函数，与，总存在公切线．解析:曲线，转换为直角坐标方程为：，直线的参数方程为（为参数）．转换为直角坐标方程为：．将直线的参数方程为（为参数）代入曲线．得到：，（和为、对应的参数）所以：，，由于：，，成等比数列，故：，整理得：，解得：．解析:当时，，（1），．（2）．22.（1）解集为．（2）的取值范围为．23.（2）则，当时，由得，，解得，当时，恒成立，当时，由得，，解得，所以的解集为．对任意，都存在，使得成立，等价于，因为，所以，且①，当时，①式等号成立，即，又因为②，当时，②式等号成立，即，所以，即的取值范围为．。
内蒙古包头市2017 届高三放学期第一次模拟考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60 分）一、选择题：本大题共12 个小题 ,每题 5 分 ,共 60 分 .在每题给出的四个选项中，只有一项是切合题目要求的 .1. 设复数 z 1,z 2 在复平面内的对应点对于原点对称， z 12 i ，则 z 1 z 2 （）A ． 5B ． 3 4iC ． 3D ． 5 4i2. 已知会合 A 3, 2,1 , B x | x 1 x2 0, x Z ，则A B （）A ． 1B ．2, 1C ．3, 2, 1,0D ．3, 2, 1,0,1设向量 an,1 , b222，则 n3. 2,1 ，且 a ba b （）1 B ． 2C ． 21A ．D ．2224. 一个圆经过椭圆xy 2 1的三个极点，且圆心在 x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程4为（）3 2253 225A ． xy 2B ． xy 2 24 41622C. x3 y 225 D ． x3 y 2 25416445. 若将一个质点随机投入以下图的长方形ABCD 中，此中 AB 2, BC 1 ，则质点落在 以 CD 为直径的半圆内的概率是（）A ．B ． C. D ．8 6426. 某几何体的三视图以下图，若该几何体的体积是12 ，則它的表面积是（）A ．18 16 B．20 16 C. 22 16 D．24 167. 若将函数y 2cos 2x 的图象向右平移个单位长度，则平移后图象的一个对称中心为12（）A ． 5 ,0 B．7 ,0 C. ,0 D．,06 6 3 68. 以下图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，履行该程序框图，若输入的a,b 分别为 17,14 ，则输出的 a （）A ．4 B．3 C. 2 D ．19. 设0, , 0, ，且 sin cos ，则（）2 2 cos 1 sinA ．22 B．22C. 22D ．2210. x2 x y 54 y3的系数为（的睁开式中， x ）A ．8 B．9 C. 10 D．1211. 已知抛物线 C : y2 2px 与点 N 2,2 ，过 C 的焦点且斜率为2的直线与 C 交于 A,B 两点，若 N A NB，则 P （）A ．2B ．2 C. 4 D．412. 若函数 f x x 1 x 2 x 2ax b 的图象对于直线 x 0 对称，则 f x 的最小值为（ ）A ．2579 414B ．C.D ．444第Ⅱ卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.ABC 的内角 A, B,C 所对的边分别为 a, b, c ，已知 a b cosC c sin B ，则B．14. 已知直线 a, b ，平面 ，知足 a，且 b，有以下四个命题 : ①对随意直线c有 ca ；②存在直线 c，使 c b 且 c a ；③对知足 a的随意平面，有，；④存在平面，使 b.此中正确的命题有 ． (填写全部正确命题的编号 )x 115. 已知 a0, x, y 知足拘束条件x y 3 ，若 z2x y 的最大值为 8 ，则y a x3a．16. 已知函数f x 是定义在 R 上的可导函数，其导函数为f ' x ，若对随意实数 x 有f x f ' x ，且 yf x1为奇函数，则不等式 fx e x 的解集为． 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .）17. 已知数列a n 的前 n 项和为 S n ，且 S n 2a n 3n n N.（1）求 a 1, a 2 , a 3 的值；（2）能否存在常数，使得数列 a n为等比数列？若存在， 求出 的值和通项公式 a n ；若不存在，请说明原因.18. 以下图是某公司2010 年至 2016 年污水净化量（单位: 吨）的折线图 .注: 年份代码 1-7 分别对应年份 2010-2016.（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合 y 和 t 的关系，请用有关系数加以说明；（2）成立 y 对于 t 的回归方程，展望 2017 年该公司污水净化量；（3）请用数听说明回归方程预告的成效.7729 ；附注: 参照数据 : y 54, t i t y iy21, 14 3.74,y i y ii 1i 14n参照公式：有关系数r(t i t )( y i y)i 1，回归方程 ya bt 中斜率和截距的最nn(t i t )2( y i y)2i 1i 1小；n(t i t )( y iy)二乘法估汁公式分别为 bi 1, a y bt ；n(t i t )2i 1ny i )22( y i 2=1i 1 ，此中 R 1，表示回归的成效越好 .反应回归成效的公式为： R n越靠近于( yy) 2ii 119. 如图，三棱柱 ABC A 1B 1C 1 中，侧面 BB 1C 1C 为菱形， AC AB 1 .（ 1）证明 : AB B 1C ；（ 2）若 CAB 1 90 , CBB 1 60 , AB BC ,求二面角 A A 1B 1 C 1 的正弦值 .20. 已知椭圆C :x2 y2 1 与x轴， y 轴的正半轴分别订交于A,B 两点，点 M,N 为椭4圆 C 上相异的两点，此中点M 在第一象限，且直线 AM 与直线 BN 的斜率互为相反数. （1）证明 : 直线MN的斜率为定值；（2）求四边形AMBN面积的取值范围 .21. 已知函数 f x a x x2 x ln a a 0, a 1 .（1）议论函数 f x 的单一性；（2）若存在x1, x2 1,1 ，使得 f x1 f x2 e 1 ，试求a的取值范围.请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为x 5cos( 为参数), 以坐标原点为极y 65sin点， x 轴正半轴为极轴成立极坐标系. （1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程为0 ，此中0知足 tan 0 5,l 与 C 交于 A, B 两点，求2AB 的值.23.选修 4-5：不等式选讲已知函数 f xx x 1 , A 为不等式 f x x 1 的解集 .2 2（1）求A；（2）当a A 时，试比较log 2 1 a 与 log 2 1 a 的大小 .内蒙古包头市2017 届高三放学期第一次模拟考试数学（理）试题参照答案一、选择题1-5: BDACC6-10: AADBC11-12： DC二、填空题13.14. ①②③④15.316.x | x 0 (或 0,)4三、解答题17. 解： (1) 当 n 1 时，由S1 2a1 3 1，得 a1 3 ；当n 2 时，由 S2 2a2 3 2 ，可得 a2 9 ；当n 3时，由S3 2a3 3 3 ，得 a3 21.(2) 令 a2 2a1 a3 ，即9 2 3 21 ，解得 3 .由S n 2a n 3n 及S n 1 2a n 1 3 n 1 ，两式相减，得 a n 1 2a n 3.由以上结论得a n 1 3 2a n 3 3 2 a n 3 ，所以数列a n 3 是首项为 6 ，公比为 2 的等比数列，所以存在3，使得数列a n 3 为等比数列，所以a n 3 a1 3 2n 1 ,a n 3 2n 1 n N .18.解： (1) 由折线图中的数据和附注中的参照数据得，7 2 7 221 14t 4, t i t 28, y i y i18 所以r . 因为 y 与t 的,28 18 4i 1 i 1有关系数近似为0.935 ，说明 y 与t的线性有关程度相当大，进而能够用线性回归模型拟合y 与t的关系.7(t it )( y i y)3, a3451,(2) 由 y54及（ 1）得 bi 1 721y bt 54(t i228 44t)i1所以 y 对于 t 的回旧方程为 : ybt a3 将 2017 年对应的 t8 代入得t 51 ,3 84y51 57 ,4所以展望 2017 年该公司污水净化量约为57 吨.7 y i )22( y i1 9 1 7(3)=1i 11因为 R718 410.875 ,所以“污水净化量的差别”( y i y) 288i 1有 87.5 0 0 是由年份惹起的，这说明回归方程展望的成效是优秀的.19. 解： (1) 证明 : 连结 BC 1 ，交 B 1C 于点 O ,连结 AO .因为侧面 BBC 11C 为菱形，所以B CBC ，且 O 为BC 和 BC 的中点 . 因为 ACAB ，所以 AOBC ，又111111AO BC 1O , 所以B 1C 平面 ABO 因为 AB 平面 ABO ，故AB B 1C .. (2) 因为CAB 1 90 ，所以 AC AB 1，又 O 为BC 1的中点，所以 AO CO .又因为AB BC ，所以BOA BOC 故 OA OB ，进而OA,OB,OB 1 两两相互垂直. 以 O 为坐标原点，,OB, OB 1 ,OA 的方向为 x 轴， y 轴， z 轴的正方向， OB 为单位长，成立以下图的空间直角坐标系 Oxyz .因为 CBB60 ，所以 CBB 为等边三角形，又因为AB BC ,OC OA ，所以11A 0,0,3 , B 1,0,0 , B 1 0, 3,0 ,C 0, 3,0 ,3 33AB0,3,3,AB AB 1,0,3,BC BC1,3,0 ,13 31 131 13n AB 13 y 3 z 0 设 nx, y, z 是平面 AAB 11 的法向量，则 ，即33 ,所以可取n A 1 B 13xz3n 1, 3, 3 .同理，设 mx 1 , y 1, z 1 是平面 A 1B 1C 1 的法向量，则m A 1B 1 01,3, 3，m B 1C 1.可取 m则 cos n, mn m 1 ,所以 sinn, m4 3m n7 .720. 解： (1) 证明 : 因为直线 AM 与直线 BN 斜率互为相反数，所以可设直线 AM 方程为y k x 2，直线 BN 方程为 ykx1 ,yk x 2联立方程组x24 y24 解得 M 点的坐标为8k 2 24k；4k 2 ,4k 21 1ykx 18k,1 4k 2,联立方程组x 2 4 y 2 ,解得 N 点的坐标为44k 2 1 4k 2 11 4k2 4k 1所以k MN4k 2 1 4k 2 18k8k 22 .24k 2 14k 2 1(2)设直线 MN 的方程为 y 1 x b1 b 1 ,记 A, B 到直线 MN 的距离分别为 d A , d B ,2则d A d B1 b1 b4 5y 1 x b115 ,联立方程组2 ，得 11x 2 4y 2 444x 2 2bx 2b 2 2 0 ,所以212x M x N2b, x M x N2b2, MN14xMx N 5 2 b ,SAMBNSAMNSBMN1MN d A1MN d B1MN d A d b2 2 b 2 ,222因为 1 b1 ,所以 S AMBN 2,2 2 .21. 解： (1) f ' xa x ln a 2 x ln a 2xa x1 ln a ,设 g xf ' x ,则g ' x2 a x ln 2 a 0 ，所以 f ' x 在 R 上单一递加，又因为 f ' 00 ，故 f ' x 0有独一解 x 0 ，所以 x, f 'x , f x 的变化状况以下表所示:x,00,f ' xf x递减 极小值 递加所以 f x 在,0 上单一递减，在 0, 上单一递加 .(2)因为存在 x 1 , x 21,1，使得 f x 1f x 2e 1 ,x 1,1时，所以当fxmaxfxminf xmaxf x mine 1.由（ 1）知，f x 在1,0 上递减，在0,1 上递加，所以当x 1,1 时，f xminf 01, f xmaxmax f1 , f 1 ,而f 1f1a 1 ln a1 1 ln aa 1 2ln a ,记aag tt 1 2ln t t 0 ,t121 21因为 g ' t11 0 (当 t 1时取等号 ), 所以 g t t 2ln t 在t 2 tttt0,上单一递加 . g 1 0 ，故当 t 1时，g t 0 ；当 0 a 1 时， f 1 f1 .而①当 a 1 时，由 f 1f 0 e 1，得 a ln a e 1 ，得 a e ； ②当 0 a 1 时，由f1f，得1ln ae 1，得 0a1， 综上可知，所求 a 取值范围e 1ae为 0,1e,.e22. 解： (1)圆 C 的一般方程为 x 2y 6 225 ，把 xcos , ysin 代入圆 C 的方程，得 C 的极坐标方程为212 sin 11 0.（2）设 A, B 所对应的极径分别为1,2 ，将 l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得：212 sin 011 0，于是 12 12sin 0 , 1 2 11 ，AB sincos22 0 44 ，因为 tan 05121 24 1 2144sin ，即25，2解得 sin 25 ，所以 AB144sin 24480 44 6 .91 02x, x223. 解：（ 1） f x1,0 x 1 ，当 x 0 时，由 f xx 1 ，得 1 2x x 1 ，2 22 2 22x1, x 12 2解得 x0 ，与 x 0 矛盾，此时无解；当0 x1时，由 fxx1 ，得1 x1 ，2 2 2 21解得 x0 ，此时应有 0x；2当 x1时，由f xx1 2x11 ，解得 x 1，此时应有1 x 1，综上，2，得 2x2122f x xx |0 x 1| .的解集 A2（2）当 0 a 1时， 0 1 a 1,1 1 a 2 ，log 2 1 a log 2 1 alog 2 1 alog 2 1 alog 2 1 a 1 alog 2 1 a 2 .因为 0 a 1，所以 0 a 2 1 ，所以 0 1 a 2 1 ，所以 log 2 1a 2 0 ，即log 2 1 a log 2 1 a .。
内蒙古包头市2017届高三下学期第一次模拟考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设复数12z ,z 在复平面内的对应点关于原点对称，1z 2i =-，则 12z z = （ ）A ．5-B ．34i -+C ．3-D ．54i -+【答案】B【解析】由题意得:错误！未找到引用源。
,选B.2. 已知集合{}()(){}3,2,1,|120,Z A B x x x x =---=-+≤∈，则A B = （ ）A ．{}1-B ．{}2,1--C ．{}3,2,1,0---D ．{}3,2,1,0,1---【答案】D【解析】错误！未找到引用源。
,所以错误！未找到引用源。
,选D. 3. 设向量()(),1,2,1a n b == ，且222a b a b -=+ ，则n = （ ）A ．12-B ．2-C ．2D ．12【答案】A【解析】由题意得：错误！未找到引用源。
，选A.4. 一个圆经过椭圆2214x y +=的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为（ ） A ． 2232524x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭ B ．22325416x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭ C. 22325416x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭ D ．2232544x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭ 【答案】C【解析】由题意得圆经过错误！未找到引用源。
，所以可设圆一般方程为错误！未找到引用源。
，代入点错误！未找到引用源。
得错误！未找到引用源。
,因此圆的标准方程为错误！未找到引用源。
，选C.5. 若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中2,1AB BC ==，则质点落在以CD 为直径的半圆内的概率是 （ ）A ．8πB ．6π C.4π D ．2π 【答案】C【解析】试题分析：长方形错误！未找到引用源。
内蒙古包头市2017届高三数学第四次模拟考试试题 理一.选择题：（本题共12个小题，每小题5分，共60分）. 1.设i 为虚数单位，若()i1ia z a R -=∈+是纯虚数，则a 的值是 A. 1- B. 0 C. 1 D. 2 2.设全集U ＝R ，集合2{|230}{|10}A x x x B x x =--<=-≥，， 则图中阴影部分所表示的集合为A. {}|13x x ≤-≥或xB. {}|13x x <≥或x C.{|1}x x ≤ D. {|1}x x ≤- 3. 已知F 是抛物线24y x =的焦点，过点F 且斜率为的直线交抛物线于A ， B 两点，则22||FA FB -的值为A. 283B. 1289 D. 4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1该几何体的各个顶点在某一个球面上，则该球的表面积为 A.B.C.D.5.我国南宋时期的数学家秦九韶（约12021261-）在他的著作《数书九章》 中提出了多项式求值的秦九韶算法．如图所示的框图给出了利用秦九韶算法 求多项式的一个实例．若输入的5n =，1v =，2x =，则程序框图计算的 是A .5432222221+++++ B.5432222225+++++ C.654322222221++++++ D.43222221++++6. 已知等比数列{}n a 的公比0q >，2211,6n n n a a a a ++=+=，则{}n a 的前4项和4S = A ．152 B ．152- C. 15 D ．30A7. 已知,x y 满足：020x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，若目标函数z ax y =+取最大值时的最优解有无数多个，则实数a的值是A. 0B. 1C. 1±D. 1-8．已知函数()sin cos f x a x b x =+（x R ∈），若0x x =是函数()f x 的一条对称轴，且0tan 3x =，则点(),a b 所在的直线为A ．30x y -=B ．30x y +=C ．30x y -=D ．30x y +=9．正四面体ABCD 的棱长为4，E 为棱AB 的中点，过E 作此正四面体的外接球的截面，则截面面积的最小值是 A ．4π B ．8π C ．12π D ．16π 10.动点P 从点A 出发，按逆时针方向沿周长为l 的平面图形运动一周，,A Py 与动点P 所走过的路程x 的关系如图所示，那么动点P 所走的图形可能是A . B. C. D. 11.2017年高考前第二次适应性训练结束后，对全市的英语成绩进行统计，发现英语成绩的频率分布直方图形状与正态分布()2~95,8N 的密度曲线非常拟和，据此估计:在全市随机抽取的4名高三同学中，恰有2 名同学的英语成绩超过95分的概率是A ．16 B ．13 C.12D ．38 12. 定义在R 上的可导函数()f x ，其导函数记为()f x '，满足()()()221f x f x x +-=-，且当1x ≤时，恒有()2f x x '+<．若()()3132f m f m m --≥-，则实数m 的取值范围是 A.(],1-∞B.1,13⎛⎤- ⎥⎝⎦C.[)1,+∞D.1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦BD二.填空题：（本题共4个小题，每小题5分，共20分).错误！未找到引用源。
.普通高等学校招生全国统一考试 （包头市第一次模拟考试）理科数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的目要求的. .1.1.设复数设复数z 满足(1)1i z i +=-，则z =（） A ．1B ．2C ．3D ．42.2.已知全集已知全集{2,1,0,1,2}U =--，2{|,}M x x x x U =≤∈，32{|320}N x x x x =-+=，则M N =I （）A ．{0,1,2}-- B ．{0,2}C ．{1,1}- D ．{0,1}3.3.《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子最上面一节的容积为（）A ．25升B ．611升C ．1322升D ．2140升4.4.若若,x y R ∈，且1230x x y y x ≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2z x y=+的最小值为（）A ．0B ．1C ．2D ．35.5.已知已知550(21)x a x -=4145a x a x a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++，则015a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=（） A ．1B ．243C ．32D ．2116.6.某多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（）某多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（）A ．83B ．323C ．163D ．2837.7.若双曲线若双曲线C ：22221x y a b -=的离心率为e ，一条渐近线的倾斜角为θ，则cos e θ的值（） A ．大于1 B ．等于1 C ．小于1 D ．不能确定，与e ，θ的具体值有关8.8.执行如图所示的程序框图，如果输入的执行如图所示的程序框图，如果输入的150t =，则输出的n =（）A ．5B ．6C ．7D ．89.9.现有现有4张牌（张牌（11）、（2）、（3）、（4），每张牌的一面都写上一个数字，另一面都写上一个英文字母。
迫注意事项：1. 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号涂写在答题卡上．本试卷满分150分，考试时间120分钟．2. 回答第I 卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3. 答第II卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效4. 考试结束，将本试卷和答题卡一并交回第I卷一、单项选择题（本题共i2小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）. 1. 已知集合A=lxE Z I O�x�3 f ,B={xl (x+l)(x-2)冬O},则AnB =A.l0,1,2/ • ·• B .!I,2/· C. 国O�x 冬2/ D.国-1冬x:::::;3f 2. 若复数z=cosa +isin a , 则当'lT <a<'lT时复数z在复平面内对应的点在2 A.第一象限 B.第二象限C .第三象限 D.第四象限3.如图是某学校研究性课题《什么样的活动最能促进同学们进行垃圾分类》问题的调查问卷统计图（每个受访者都只能在问卷的5个活动中选择一个）由此可知，以下结论错误的是．． A回答该问卷的总人数不可能是100个B. 回答该问卷的受访者中，选择“设置分类明确的垃圾桶＂的入数最多书兄牛贮什么样的活动最能促进同学们进行垃圾分类心公益广告＠学校要求＠学校团委会宣传＠垃圾分类运输环节得到改善＠设置分类明确的垃圾桶'c 回答该问卷的受访者中，选择“学校团委会宣传”的人数最少°争D 回答该间卷的受访者中喝；择“公益广告”的人数比选择“学校要求＂的少8个-·---4. 已知I a 1=1, I b 1=2, 向量a ,b的夹角为严＿3，则了国可）＝A.v T-1 B.1 C.2 D. V 了+l 5. 记S n 为数列(a n }的前n 项和，且S n =-2a "+l,则况的值为, '- 6.A 。
2017年内蒙古包头市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于原点对称，z1=2﹣i，则z1•z2=（）A．﹣5 B．﹣3+4i C．﹣3 D．﹣5+4i2．（5分）已知集合A={﹣3，﹣2，﹣1}，B={x|（x﹣1）（x+2）≤0，x∈Z}，则A∪B=（）A．{﹣1}B．{﹣2，﹣1}C．{﹣3，﹣2，﹣1，0}D．{﹣3，﹣2，﹣1，0，1}3．（5分）设向量=（n，1），=（2，1），且|﹣|2=||2+||2，则n=（）A．﹣ B．﹣2 C．2 D．4．（5分）一个圆经过椭圆+y2=1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为（）A．（x﹣）2+y2=B．（x+）2+y2=C．（x﹣）2+y2=D．（x﹣）2+y2=5．（5分）若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以CD为直径的半圆内的概率是（）A．B．C．D．6．（5分）某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积是12π，则它的表面积是（）A．18π+16 B．20π+16 C．22π+16 D．24π+167．（5分）若将函数y=2cos2x的图象向右平移个单位长度，则平移后图象的一个对称中心为（）A．（π，0）B．（，0）C．（﹣，0） D．（，0）8．（5分）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为17，14，则输出的a=（）A．4 B．3 C．2 D．19．（5分）设α∈（0，），β∈（0，），且=，则（）A．2α+β=B．2α﹣β=C．α+2β=D．α﹣2β=10．（5分）（x2﹣x+y）5的展开式中，x4y3的系数为（）A．8 B．9 C．10 D．1211．（5分）已知抛物线C：y2=2px与点N（﹣2，2），过C的焦点且斜率为2的直线与C交于A、B两点，若NA⊥NB，则p=（）A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．412．（5分）若函数f（x）=（x﹣1）（x+2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=0对称，则f（x）的最小值为（）A．﹣B．C．﹣ D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB，则B=．14．（5分）已知直线a，b，平面α，满足a⊥α，且b∥α，有下列四个命题：①对任意直线c⊂α，有c⊥a；②存在直线c⊄α，使c⊥b且c⊥a；③对满足a⊂β的任意平面β，有β⊥α；④存在平面β⊥α，使b⊥β．其中正确的命题有（填写所有正确命题的编号）15．（5分）已知a＜0，x，y满足约束条件，若z=2x+y的最大值为8，则a=．16．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的可导函数，其导函数记为f′（x），若对于任意的实数x，有f（x）＞f′（x），且y=f（x）﹣1是奇函数，则不等式f（x）＜e x的解集为．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣3n（n∈N+）．（1）求a1，a2，a3的值；（2）是否存在常熟λ，使得{a n+λ}为等比数列？若存在，求出λ的值和通项公式a n，若不存在，请说明理由．18．（12分）如图是某企业2010年至2016年污水净化量（单位：吨）的折线图．注：年份代码1～7分别对应年份2010～2016．（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y和t的关系，请用相关系数加以说明；（2）建立y关于t的回归方程，预测2017年该企业污水净化量；（3）请用数据说明回归方程预报的效果．附注：参考数据：=54，（t i﹣）（y i﹣）=21，≈3.74，（y i﹣）2=．参考公式：相关系数r=，回归方程=+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为=，=﹣．反映回归效果的公式为R2=1﹣，其中R2越接近于1，表示回归的效果越好．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AC=AB1．（1）证明：AB⊥B1C；（2）若∠CAB1=90°，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的正弦值．20．（12分）已知椭圆C：+y2=1与x轴、y轴的正半轴分别相交于A、B两点．点M、N为椭圆C上相异的两点，其中点M在第一象限，且直线AM与直线BN的斜率互为相反数．（1）证明：直线MN的斜率为定值；（2）求△MBN面积的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna（a＞0且a≠1）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，试求a的取值范围．选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=，l与C交于A，B两点，求|AB|的值．选修4-5：不等式选讲23．已知函数f（x）=|x|+|x﹣|，A为不等式f（x）＜x+的解集．（1）求A；（2）当a∈A时，试比较|log2（1﹣a）|与|log2（1+a）|的大小．2017年内蒙古包头市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2017•包头一模）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于原点对称，z1=2﹣i，则z1•z2=（）A．﹣5 B．﹣3+4i C．﹣3 D．﹣5+4i【解答】解：∵复数z1，z2在复平面内的对应点关于原点对称，z1=2﹣i，∴z2=﹣2+i．则z1•z2=（2﹣i）（﹣2+i）=﹣3+4i．故选：B．2．（5分）（2017•包头一模）已知集合A={﹣3，﹣2，﹣1}，B={x|（x﹣1）（x+2）≤0，x∈Z}，则A∪B=（）A．{﹣1}B．{﹣2，﹣1}C．{﹣3，﹣2，﹣1，0}D．{﹣3，﹣2，﹣1，0，1}【解答】解：∵集合A={﹣3，﹣2，﹣1}，B={x|（x﹣1）（x+2）≤0，x∈Z}={x|﹣2≤x≤1，x∈Z}={﹣2，﹣1，0，1}，∴A∪B={﹣3，﹣2，﹣1，0，1}．故选：D．3．（5分）（2017•包头一模）设向量=（n，1），=（2，1），且|﹣|2=||2+||2，则n=（）A．﹣ B．﹣2 C．2 D．【解答】解：∵|﹣|2=||2+||2﹣2=||2+||2，∴=0，即=2n+1=0，∴n=﹣．故选：A．4．（5分）（2017•包头一模）一个圆经过椭圆+y2=1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为（）A．（x﹣）2+y2=B．（x+）2+y2=C．（x﹣）2+y2=D．（x﹣）2+y2=【解答】解：椭圆+y2=1的顶点坐标为（±2，0），（0，±1），∵圆的圆心在x轴的正半轴上，且圆经过椭圆+y2=1的三个顶点，则圆经过（2，0），（0，﹣1），（0，1），设圆的方程为（x﹣a）2+y2=r2，则，解得a=，r=．∴圆的标准方程为（x﹣）2+y2=．故选：C．5．（5分）（2017•包头一模）若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以CD为直径的半圆内的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：∵AB=2，BC=1，∴长方体的ABCD的面积S=1×2=2，圆的半径r=1，半圆的面积S=，则由几何槪型的概率公式可得质点落在以AB为直径的半圆内的概率是=，故选：C．6．（5分）（2017•包头一模）某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积是12π，则它的表面积是（）A．18π+16 B．20π+16 C．22π+16 D．24π+16【解答】解：由题意可知：几何体是圆柱去掉个圆柱，圆柱的底面半径为：r；高为：2r几何体的体积为：，∴r=2．几何体的表面积为：=18π+16．故选A．7．（5分）（2017•包头一模）若将函数y=2cos2x的图象向右平移个单位长度，则平移后图象的一个对称中心为（）A．（π，0）B．（，0）C．（﹣，0） D．（，0）【解答】解：函数y=2cos2x的图象向右平移个单位，可得2cos2（x﹣）=2cos （2x﹣），由2x﹣=，（k∈Z），可得对称中心横坐标x=，（k∈Z），即对称中心为（）当k=1可得对称中心为（，0）．故选A8．（5分）（2017•包头一模）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为17，14，则输出的a=（）A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：根据已知中的程序框图可得，该程序的功能是计算17，14的最大公约数，由17，14的最大公约数为1，故选：D9．（5分）（2017•包头一模）设α∈（0，），β∈（0，），且=，则（）A．2α+β=B．2α﹣β=C．α+2β=D．α﹣2β=【解答】解：由=，可得：sinα﹣sinαsinβ=cosαcosβ．∴sinα=cosαcosβ+sinαsinβ=cos（α﹣β）∵α∈（0，），β∈（0，），∴cos（α﹣β）＞0∴α+α﹣β=，即2α﹣β=．故选B10．（5分）（2017•包头一模）（x2﹣x+y）5的展开式中，x4y3的系数为（）A．8 B．9 C．10 D．12【解答】解：由题意，含y3的为C53（x2﹣x）2y3，而（x2﹣x）2含x4的系数为1∴x4y3的系数为C53=10．故选：C11．（5分）（2017•包头一模）已知抛物线C：y2=2px与点N（﹣2，2），过C的焦点且斜率为2的直线与C交于A、B两点，若NA⊥NB，则p=（）A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4【解答】解：设直线方程为y=2（x﹣），A（x1，y1）、B（x2，y2），代入抛物线方程，整理得4x2﹣6px+p2=0，∴x1+x2=p，x1x2=p2，由NA⊥NB，得（x1+2，y1﹣2）•（x2+2，y2﹣2）=（x1+2）（x2+2）+[2（x1﹣）﹣2][2（x2﹣）﹣2]=0，代入整理得3p2﹣4p﹣32=0，∵p＞0，∴解得p=4．故选D．12．（5分）（2017•包头一模）若函数f（x）=（x﹣1）（x+2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=0对称，则f（x）的最小值为（）A．﹣B．C．﹣ D．【解答】解：函数f（x）=（x﹣1）（x+2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=0对称，∴f（﹣1）=f（1），f（﹣2）=f（2），即﹣2（1﹣a+b）=0，0=4•（4+2a+b），求得b=﹣2，a=﹣1，∴f（x）=（x﹣1）（x+2）（x2﹣x﹣2 ）=x4﹣5x2+4，∴f′（x）=4x3﹣10x=2x（2x2﹣5）=2x（x﹣）•（x+）．显然，在（﹣∞，﹣），（0，）上，f′（x）＜0，f（x）为减函数；在（，0），（，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数，故当x=时，y=，x=时，y=，函数y取得最小值为，故选：C．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2017•包头一模）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB，则B=．【解答】解：由a=bcosC+csinB以及正弦定理：可得：sinA=sinBcosC+sinCsinB⇔sinBcosC+sinCcosB=sinBcosC+sinCsinB∴sinCcosB=sinCsinB∵sinC≠0∴cosB=sinB0＜B＜π，∴B=．故答案为．14．（5分）（2017•包头一模）已知直线a，b，平面α，满足a⊥α，且b∥α，有下列四个命题：①对任意直线c⊂α，有c⊥a；②存在直线c⊄α，使c⊥b且c⊥a；③对满足a⊂β的任意平面β，有β⊥α；④存在平面β⊥α，使b⊥β．其中正确的命题有①②③④（填写所有正确命题的编号）【解答】解：①对任意直线c⊂α，∵a⊥α，∴有c⊥a，正确；②c⊥b，c∥α，可得存在直线c⊄α，使c⊥b且c⊥a，正确；③对满足a⊂β的任意平面β，根据平面与平面垂直的判定，有β⊥α，正确；④存在平面β⊥α，β∩α=l，b⊥l，可使b⊥β，正确．故答案为①②③④．15．（5分）（2017•包头一模）已知a＜0，x，y满足约束条件，若z=2x+y 的最大值为8，则a=﹣3．【解答】解：先作出不等式对应的区域，若z=2x+y的最大值为8，则2x+y=8，直线y=a（x﹣3）过定点（3，0），则直线2x+y=8与x﹣y=3相交于A，得A（1，6），同时A也在直线y=a（x﹣3）上，即a（1﹣3）=6，得a=﹣3，故答案为：﹣3．16．（5分）（2017•包头一模）已知函数f（x）是定义在R上的可导函数，其导函数记为f′（x），若对于任意的实数x，有f（x）＞f′（x），且y=f（x）﹣1是奇函数，则不等式f（x）＜e x的解集为（0，+∞）．【解答】解：由题意令g（x）=，则=，∵f（x）＞f′（x），∴g′（x）＜0，即g（x）在R上是单调递减函数，∵y=f（x）﹣1为奇函数，∴f（0）﹣1=0，即f（0）=1，g（0）=1，则不等式f（x）＜e x等价为＜1=g（0），即g（x）＜g（0），解得x＞0，∴不等式的解集为（0，+∞），故答案为：（0，+∞）．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）（2017•包头一模）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣3n（n ∈N）．+（1）求a1，a2，a3的值；（2）是否存在常熟λ，使得{a n+λ}为等比数列？若存在，求出λ的值和通项公式a n，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）当n=1时，S1=a1=2a1﹣3，解得a1=3，当n=2时，S2=a1+a2=2a2﹣6，解得a2=9，当n=3时，S3=a1+a2+a3=2a3﹣9，解得a3=21．（2）假设{a n+λ}是等比数列，则（a2+λ）2=（a1+λ）（a3+λ），即（9+λ）2=（3+λ）（21+λ），解得λ=3．∴{a n+3}的首项为a1+3=6，公比为=2．∴a n+3=6×2n﹣1，∴a n=6×2n﹣1﹣3．18．（12分）（2017•包头一模）如图是某企业2010年至2016年污水净化量（单位：吨）的折线图．注：年份代码1～7分别对应年份2010～2016．（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y和t的关系，请用相关系数加以说明；（2）建立y关于t的回归方程，预测2017年该企业污水净化量；（3）请用数据说明回归方程预报的效果．附注：参考数据：=54，（t i﹣）（y i﹣）=21，≈3.74，（y i﹣）2=．参考公式：相关系数r=，回归方程=+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为=，=﹣．反映回归效果的公式为R2=1﹣，其中R2越接近于1，表示回归的效果越好．【解答】解：（1）由题意，=4，（t i﹣）（y i﹣）=21，∴r==≈0.935，∵0.935＞0.75，故y与t之间存在较强的正相关关系；（2）=54，===，=﹣=54﹣=51，∴．y关于t的回归方程=t+51，t=8，==57，预测2017年该企业污水净化量约为57吨；（3）R2=1﹣=1﹣≈0.875，∴企业污水净化量的差异有87.5%是由年份引起的，这说明回归方程预报的效果是良好的．19．（12分）（2017•包头一模）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AC=AB1．（1）证明：AB⊥B1C；（2）若∠CAB1=90°，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的正弦值．【解答】证明：（1）连结BC1，交B1C于点O，连结AO，∵侧面BB1C1C为菱形，∴B1C⊥BC1，且O为B1C的BC1的中点，∵AC=AB1，∴AO⊥B1C，又AO∩BC1=O，∴B1C⊥平面ABD，∵AB⊂平面ABO，∴AB⊥B1C．解：（2）∵∠CAB1=90°，∴AC⊥AB1，又O为B1C的中点，∴AO=CO，又∵AB=BC，∴△BOA≌△BOC，∴OA⊥OB，从而OA，OB，OB1两两垂直，以O为原点，分别以OB，OB1，OA为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，∵∠CBB1=60°，∴△CBB1为等边三角形，又∵AB=BC，OC=OA，∴A（0，0，），B（1，0，0），B1（0，，0），C（0，﹣，0），=（0，，﹣），==（1，0，﹣），，设=（x，y，z）是平面AA1B1的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，），设平面A1B1C1的法向量=（a，b，c），则，取a=1，得，则cos＜＞==，sin＜＞==．∴二面角A﹣A1B1﹣C1的正弦值为．20．（12分）（2017•包头一模）已知椭圆C：+y2=1与x轴、y轴的正半轴分别相交于A、B两点．点M、N为椭圆C上相异的两点，其中点M在第一象限，且直线AM与直线BN的斜率互为相反数．（1）证明：直线MN的斜率为定值；（2）求△MBN面积的取值范围．【解答】证明：（1）∵直线AM与直线BN的斜率互为相反数，∴设直线AM的方程为y=k（x﹣1），直线BN的方程为y=﹣kx+1，联立方程组，解得M点坐标为M（），联立方程组，解得N点坐标为N（），∴直线MN的斜率k MN==．解：（2）设直线MN的方程为y=，（﹣1＜b＜1），记A，B到直线MN的距离分别为d A，d B，则d A+d B=+=，联立方程组，得x2+2bx+2b2﹣2=0，∴，|MN|=|x M﹣x N|=，S△MBN=S△AMN+S△BMN=|MN|•d A+|MN|•d B=|MN|（d A+d B）=2，∈（2，2]．∵﹣1＜b＜1，∴S△MBN21．（12分）（2017•包头一模）已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna（a＞0且a≠1）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，试求a的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）=a x+x2﹣xlna，∴f′（x）=a x lna+2x﹣lna=（a x﹣1）lna+2x，∵0＜a＜1或a＞1，∴当x∈（0，+∞）时，lna与a x﹣1同号，∴f′（x）＞0，∴函数在（0，+∞）上单调递增．x∈（﹣∞，0）时，lna与a x﹣1异号，∴函数在（﹣∞，0）上单调递减．（2）∵存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，∴当x∈[﹣1，1]时，|（f（x））max﹣（f（x））min|=（f（x））max﹣（f（x））min ≥e﹣1．∵f（x）在[﹣1，0]上递减，在[0，1]上递增，∴当x∈[﹣1，1]时，（f（x））min=f（0）=1，（f（x））max=max{f（﹣1），f（1）}，而f（1）﹣f（﹣1）=（a+1﹣lna）﹣（+1+lna），记g（t）=t﹣﹣2lnt（t＞0 ），∵g′（t）=1+﹣=（﹣1）2≥0，（当t=1时取等号），∴g（t）=t﹣﹣2lnt（t＞0 ）在t∈（0，+∞）上单调递增，而g（1）=0，∴当t＞1时，g（t）＞0；当0＜t＜1时，g（t）＜0．也就是当a＞1时，f（1）＞f（﹣1）；当0＜a＜1时，f（1）＜f（﹣1）；①当a＞1时，由f（1）﹣f（0）≥e﹣1⇒a﹣lna≥e﹣1⇒a≥e，②当0＜a＜1时，由f（﹣1）﹣f（0）≥e﹣1，可得+lna≥e﹣1，≥a＞0综上知，所求a的取值范围为（0，]∪[e，+∞）．选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）（2017•包头一模）在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=，l与C交于A，B两点，求|AB|的值．【解答】解：（1）圆C的参数方程为（α为参数），普通方程为x2+（y+6）2=25，极坐标方程为ρ2+12ρsinθ+11=0；（2）设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，则ρ1+ρ2=﹣12sinα0，ρ1ρ2=11∵tanα0=，∴sin2α0=，∴|AB|=|ρ1﹣ρ2|==6．选修4-5：不等式选讲23．（2017•包头一模）已知函数f（x）=|x|+|x﹣|，A为不等式f（x）＜x+的解集．（1）求A；（2）当a∈A时，试比较|log2（1﹣a）|与|log2（1+a）|的大小．【解答】解：（1）函数f（x）=|x|+|x﹣|，A为不等式f（x）＜x+的解集．而不等式即|x|+|x﹣|＜x+，即①，或②，或③．解①求得x∈∅，解②求得0＜x≤，解③求得＜x＜1．综上可得，不等式的解集为A={x|0＜x＜1 }．（2）当a∈A时，0＜a＜1，1﹣a∈（0，1），log2（1﹣a）＜0，|log2（1﹣a）|=﹣log2（1﹣a）；1+a∈（1，2），log2（1+a）＞0，|log2（1+a）|=log2（1+a）；|log2（1﹣a）|﹣|log2（1+a）|=﹣log2（1﹣a）﹣log2（1+a）=﹣log2（1﹣a）（1+a）=﹣log2（1﹣a2）=；∵1﹣a2∈（0，1），∴＞1，∴＞0；∴|log2（1﹣a）|＞|log2（1+a）|．参与本试卷答题和审题的老师有：沂蒙松；zlzhan；zhczcb；sxs123；lcb001；左杰；豫汝王世崇；whgcn；qiss；gongjy；刘老师；caoqz（排名不分先后）胡雯2017年4月8日。
内蒙古包头市2017届咼二数学下学期第一次模拟考试试题文(扫描版)|.專城孤分胡】勲选拝"川弟n樹肛也样&序郦幷需盘獣射菁g精“己詡rt j.・冷丛楼稍井［50井.増试时耀畑井祝2MW* I禮时.选岀杠獰集仃*用諂暑把務祖卡上对应■目的蓉釜怀号Nt品.杠需改动用［樟皮IP申th祁逸携挨他暮塞标号斥虑雇试律上兀的试債上Jt 牧<号试轴将本试注押崙墅h茹址目，第1«-.«»■<拿丸・拔12小・海彷■，分"黄和井在■小■细出的RBT覲/中，貝昔一11鼻捋囂■目鼻需的)JJ3-i)( -2«i> ・A. -5B. -J+4i C H -3 DWA J - J | U 1 -2. -J| f -轧7*0| D. t -3t-2. -!,O,I13一设向■ = ・{ -yJ},S *(14>+»1*-E<J・札膚叵经过匚心A(0J 2,0).C<fl, -1 J;,W|K K 的杯用力静为A,(t^y>? +/-^ 氐“诗■音C(■-■j-)1 *j^ IX (» 'yJ1 *T*最1賀(共*#DS.若将一个质点随机投人如图所示的长方形ARCD 中，其AB =2,BC=1,则质点落在 以CD 为直径的半圆内的概率是 A ，8 f X n JL 4 2 6-某几何体的三视图如右图所示，若谏几何体的体积是 【2讥则它的盍而枳起 A. IB IT + 16 B. 30v + L6 C. 22TT +16 D. 24ir + 16 7•若将函数y=2c0s2x 的图朝向右平移召亍眼位拴度屈C -5 D. -4m 设拋物线5护=牡的熾点为F,倾斜弟为钝角的直线£过F 且与（:交于两点。
若IARI =学加的斜率为•A. -1 E.-名 C- - —■ D, --fi12.若 =<X-1)(X+2)(X 2+W +1>)S 偶菌数"則 fb)的最小值为.25 H 7 r 9 n 41A. -—B. -T- J ' — U- T 平移后函数的一个零点是 B ，（y t 0） A.（訂,0） &右边稈序框图的算注思路源丁我国古代数学喀苦（九章算术〉中的“更招减ftL 术”，执行 该程序框图，若输人的■上分别为17*14,则输出的却二 A.4 B.3 C2 D. I 9已知歯数氏町=『+吐+ 1的图諛崔点的切 塩过点（2J ）,则玄=C.( -f r 0) ,0) B. IC.2D. 3 10-函数『(x) =6CM (^ +^) -CTB 2I 的：ft 小值为 A, -7 D A 84 4 4 4文科数学试卷第2页（共4贞）第II卷注Bi事项：l-答第口卷时席认▲阅读(寥題紙》上苗注盍*項谱筝車爭存《警律*9占申存可号占些暮a2.本惠冥M)小題，共90分。
内蒙古2020年高考数学一模试卷（理科）B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分）若集合，则（）．A . [0,1]B .C .D .2. （2分） (2019高三上·丽水月考) 若整数x，y满足不等式组则2x＋y的最大值是（）A . 11B . 23C . 26D . 303. （2分）圆ρ=r与圆ρ=﹣2rsin（θ+ ）（r＞0）的公共弦所在直线的方程为（）A . 2ρ（sin θ+cos θ）=rB . 2ρ（sin θ+cos θ）=﹣rC . ρ（sin θ+cos θ）=rD . ρ（sin θ+cos θ）=﹣r4. （2分） (2016高二上·辽宁期中) “4＜K＜9”是“方程 =1表示的图形为椭圆”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件5. （2分）(2017·邯郸模拟) 阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为（）A . 3B . 4C . 6D . 76. （2分） (2019高三上·武汉月考) 某多面体的三视图如图所示，其中正视图是一个直角边为2的等腰直角三角形，侧视图是两直角边分别为2和1的直角三角形，俯视图为一矩形，则该多面体的外接球的表面积为（）A .B .C .D .7. （2分）(2017·福州模拟) 在△ABC中， =6，• =7，那么BC=（）A . 13B . 6C . 7D .8. （2分）(2019高三上·杭州月考) 已知内角的对边分别为，若，，则的形状是（）A . 等腰三角形B . 等边三角形C . 等腰直角三角形D . 等腰三角形或直角三角形二、填空题 (共6题；共6分)9. （1分） (2015高三上·和平期末) 已知a∈R，复数（2+ai）（2﹣i）的实部与虚部互为相反数，则a的值为________．10. （1分） (2017高二上·平顶山期末) 数列{an}的前n项和为Sn ，且an+1= ，a1=2，则S2017=________．11. （1分） (2019高二下·湘潭月考) 已知抛物线的准线为，过且斜率为的直线与相交于点，与的一个交点为．若，则 ________．12. （1分） (2020高一下·北京期末) 若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数.给出下列三个函数：① ；② ；③ .其中，为“同形”函数的序号是________.13. （1分）将5位老师分别安排到高二的三个不同的班级任教，则每个班至少安排一人的不同方法数为________．14. （1分） (2016高一上·铜仁期中) 已知函f（x）= ，则f（f（））=________三、解答题 (共6题；共60分)15. （10分） (2018高二上·西安月考) △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c.（1）求C；（2）若c= ,△ABC的面积为 ,求△ABC的周长.16. （10分） (2017高二下·南昌期末) 某班级举行一次知识竞赛活动，活动分为初赛和决赛两个阶段、现将初赛答卷成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，制成如下频率分布表．分数（分数段）频数（人数）频率[60，70）①0.16[70，80）22②[80，90）140.28[90，100）③④合计501（1）填充频率分布表中的空格（在解答中直接写出对应空格序号的答案）；（2）决赛规则如下：参加决赛的每位同学依次口答4道小题，答对2道题就终止答题，并获得一等奖．如果前三道题都答错，就不再答第四题．某同学进入决赛，每道题答对的概率P的值恰好与频率分布表中不少于80分的频率的值相同．①求该同学恰好答满4道题而获得一等奖的概率；②记该同学决赛中答题个数为X，求X的分布列及数学期望．17. （15分） (2018高三上·沈阳期末) 如图，在四棱锥中，已知，，底面，且，，为的中点，在上，且 .（1）求证：平面平面；（2）求证：平面；（3）求三棱锥的体积.18. （10分） (2020高三上·泸县期末) 已知函数 .（1）讨论函数的单调性；（2）当时，设函数有最小值，求的值域.19. （10分） (2018高二上·海口期中) 已知椭圆经过点M（﹣2，﹣1），离心率为．过点M作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C交于异于M的另外两点P、Q．（1）求椭圆C的方程；（2）试判断直线PQ的斜率是否为定值，证明你的结论．20. （5分）(2018·北京) 设n为正整数，集合A= ,对于集合A 中的任意元素和 = ,记M（）= [（）+（）+ +（）] (Ⅰ)当n=3时，若，（0,1,1），求M（）和M（）的值；(Ⅱ)当n=4时，设B是A的子集，且满足；对于B中的任意元素 ,当a，β相同时,M（）是奇数;当aβ不同时,M（）是偶数,求集合B中元素个数的最大值(Ⅲ)给定不小于2的n ，设B是A的子集，且满足；对于B中的任意两个不同的元素 ,M（）=0,写出一个集合B,使其元素个数最多,并说明理由.参考答案一、选择题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共6题；共6分)9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、三、解答题 (共6题；共60分)15-1、15-2、16-1、16-2、17-1、17-2、17-3、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、。
