一元二次方程复习2(201908)
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一元二次方程专题复习考点一:一元二次方程定义与解法1.定义:只含有一个未知数,并且含未知数项的最高次数是2,这样的整式方程叫一元二次方程,一元二次方程的标准形式是02=++c bx ax )0(≠a 。
2.常用解法(1)直接开平方法:如果2x =a(a ≥0),则x =±a ,即方程的解为1x =a ,2x =-a.(2)公式法:如果2=++c bx ax )040(2≥-≠ac b a ,,得a acb b x 2421---=,aac b b x 2422-+-=。
(3)配方法例:用配方法解24610x x -+=第一步,将二次项系数化为1:231024x x -+=,(两边同除以4) 第二步,移项: 23124x x -=-第三步,两边同加一次项系数的一半的平方:2223313()()2444x x -+=-+第四步,完全平方:235()416x -=第五步,直接开平方:34x -=:134x =++,234x =+ (4)因式分解法:若))(2n mx f ex c bx ax ++=++(,则02=++c bx ax 的解为e f x -=1,mnx -2=。
方法总结:解一元二次方程时,要注意根据方程的特点,选择适当的方法求解。
一般地,若方程左边是一个完全平方式,右边是一个非负数或完全平方式,就采用直接开方法;若能分解因式就用因式分解法;当以上两种方法都行不通时,可采用公式法或配方法。
➢ 【课前热身】1. 当a =____________时,方程2310ax x ++=是一元二次方程.2. 已知1x =是方程220x ax ++=的一个根,则方程的另一根为__________.3.一元二次方程(1)x x x -=的解是_____________.4. 若关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠,且0a b c ++=,则方程必有一根为____________.5. 用配方法解方程2420x x -+=,则下列配方正确的是( )A.2(2)2x -=B.2(2)2x +=C.2(2)2x -=-D.2(2)6x -=➢ 【典型例题解析】1、关于x 的一元二次方程2(1)(2)26ax ax x x --=-+中,求a 的取值范围.2、已知:关于x 的方程226350x x m m -+--=的一个根是1-,求方程的另一个根及m 的值。
第二十一章 一元二次方程 【我学会了】1、只含有 个未知数,并且未知数的最高次数是 ,这样的 方程,叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式: ,其中 二次项, 是一次项, 是常数项, 二次项系数 , 一次项系数。
3、一元二次方程的解法 (1)、配方法:①直接开平方法解形如2x =p(p ≥0)或(mx+n )2=p(p ≥ 0)的方程 (1)x 2-2=0; (2)(x +1)2-4=0;②我们把方程x 2+6x -16=0变形为(x +3)2=25,它的左边是一个含有未知数的________式,右边是一个_______常数.这样,就能应用直接开平方的方法求解.这种解一元二次方程的方法叫做配方法.解:x 2+3x +1=0移项,得x 2+3x =-1.方程左边配方,得x 2+3x +( )2=-1+____, 即 _____________________ 所以 ___________________原方程的解是: x 1=______________ x 2=__________ (2)、公式法:用配方法解一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0). 因为a ≠0,方程两边都除以a ,得_____________________=0.移项,得 x 2+abx =________, 配方,得 x 2+ab x +______=______-ac ,即 (____________) 2=___________因为a ≠0,所以4 a 2>0,当b 2-4 ac ≥0时,直接开平方,得_____________________________.所以 x =_______________________ 即 x =_________________________由以上研究的结果,得到了一元二次方程ax 2+bx +c =0的求根公式:一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)只有当系数a 、b 、c 满足条件b 2-4ac___0时才有实数根。
一元二次方程知识点复习1、一元二次方程的一般式: 。
2、 一元二次方程的解法(1) 直接开平方法 (也可以使用因式分解法)①2(0)x a a =≥ 解为:②2()(0)x a b b +=≥ 解为:③2()(0)ax b c c +=≥ 解为: ④22()()()ax b cx d a c +=+≠ 解为:(2) 因式分解法:提公因式,平方公式,平方差,十字相乘法如:20(,0)()0ax bx a b x ax b +=≠⇔+= 此类方程适合用提公因式,而且其中一个根为0 290(3)(3)0x x x -=⇔+-= 230(3)0x x x x -=⇔-=3(21)5(21)0(35)(21)0x x x x x ---=⇔--=22694(3)4x x x -+=⇔-= 2241290(23)0x x x -+=⇔-=24120(6)(2)0x x x x --=⇔-+= 225120(23)(4)0x x x x +-=⇔-+=(3) 配方法①二次项的系数为“1”的时候:直接将一次项的系数除于2进行配方,②二次项的系数不为“1”的时候:先提取二次项的系数,之后的方法同上:(4)公式法:一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠,求根公式是:①当240b ac ∆=->② 当240b ac ∆=-=时,方程③ 当240b ac ∆=-<时,方程①把方程化成一般形式:一元二次方程的一般式:20 (0)ax bx c a ++=≠,并确定出a 、b 、c ②求出24b ac ∆=-,并判断方程解的情况。
③代公式:3、一元二次方程的根与系数的关系定理:如果一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠定的两个根为12,x x ,那么:常用变形:练习: 【练习1】若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根,试求下列各式的值:(1) 2212x x +; (2) 1211x x +; (3) 12(5)(5)x x --; (4) 12||x x -.【练习2】已知关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=,根据下列条件,分别求出k 的值. (1) 方程两实根的积为5; (2) 方程的两实根12,x x 满足12||x x =.4、韦达定理相关知识(1)若一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有两个实数根21x x 和,那么=+21x x ,=•21x x 。
一.知识梳理1.一元二次方程的定义一元二次方程:只含有一个未知数,未知数的最高次数是2,且系数不为0,这样的方程叫一元二次方程.一般形式:ax'+bx+c二0(aH0)。
注意:判断某方程是否为-•元二次方程时,应首先将方程化为一般形式。
2.一元二次方程的解法:⑴直接开平方法:对形如(x+m) 5M0)的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方法。
例:(x+1) 2 =4(2)配方法:用配方法解一元二次方程ax2+bx + c = O(a^O)的一-般步骤是:①化二次项系数为1,即方程两边同时除以二次项系数;②移项,使方程左边为二次项和一次项,右边为常数项;③配方,即方程两边都加上一次项系数一半的平方;④化原方程为(x + m)2=n的形式;⑤如果M>0,就可以用直接开平方求出方程的解,如果水0,则原方程无解.例:4#-8对1=0⑶公式法:公式丫•缪用或根公式求出一元二次方程的解的方法.它是通过配方推导出来的.一元二次方程的求—b 土 Jb' — 4ac根公式是" ——(b2-4ac^0)o步骤:①把方程转化为一般形式;②确定a, b, c的值;③求出恋一4ac的值,当b2—4ac>0吋代入求根公式。
⑷因式分解法:用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法.理论根据:若ab=O,则沪0或b 二0。
步骤是:①将方程右边化为0;②将方程左边分解为两个一次因式的乘枳;③令每个因式等于0,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程,它们的解就是原一元二次方程的解.因式分解的方法:提公因式、公式法、十字相乘法。
例:A-5X~6=0;33 一元二次方程的注意事项:(1)在一元二次方程的一般形式屮要注意,强调aHO.因当a二0时,不含有二次项,即不是一元二次方程.如关于x的方程(m2—4) x2+2mx+l=0中,当m二土2时就是一元一次方程了.⑵应用求根公式解一元二次方程时应注意:①先化方程为一般形式再确定a, b, c的值;②若b2-4a<0,则方程无解.⑶ 利川因式分解法解方程时,方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式.如一2(x+4)~3 (x+4)中,不能随便约去x+4o⑷注意:解一元二次方程时一般不使用配方法(除特别要求外)但又必须熟练掌握,解一元二次方程的一般顺序是:开平方法一因式分解法一公式法.丄+丄/+花。