2008-2009学年试题 线性代数

浙 江 工 业 大 学线 性 代 数 期 末 试 卷 （A ）（ 2008 ～ 2009 第 二 学 期 ）任课教师 学院： 班级（编号）：学号： 姓名： 得分：一、选择题（每题2分，共10分）：1. 下述关于上三角矩阵的命题中，不是真命题的有【 B 】。

A.可逆的上三角矩阵的逆矩阵仍是上三角矩阵；B.对角矩阵不是上三角矩阵；C.两个上三角矩阵的乘积仍是上三角矩阵；D.两个上三角矩阵的和仍是上三角矩阵； E ．主对角线上各元素均不为0的上三角矩阵是可逆矩阵。

2. 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=44434241343332312423222114131211a a a a a a a a a a a aa a a a A ， ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=41424344313233342122232411121314a a a a a a a a a a a a a a a a B ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00010100001010001P ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=10000010010000012P ，其中A 可逆，则1-B 等于【 C 】。

A. 211P P A -； B. 211P A P -； C. 121-A P P ； D. 112P A P -。

3. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321a a a α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321b b b β，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321c c c γ，其中)3 ,2 ,1( ,=i b a i i 全不为零，则三条直线)3 ,2 ,1( 0:==++i c y b x a l i i i i 交于一点的充要条件为【 D 】。

A. γβα,,线性相关；B. γβα,,线性无关；C. ),(),,(βαγβαr r =；D. γβα,,线性相关，而βα,线性无关。

4. 对于方阵A ，下列结论错误的是【 D 】。

A. 若A 的某一行或某一列元素全为零，则A 的一个特征值必为零；B. A 的每个特征向量同样也是2A 的特征向量；C. 若A 可逆，则A 的每个特征向量同时也是1-A 的特征向量；D.对应同一特征值的两个特征向量必为线性相关的。

厦门大学网络教育2008-2009学年第一学期《线性代数》模拟试卷（ A ）卷一、单项选择题(每小题3分，共24分).1. 若111221226a a a a =，则121122212020021a a a a --的值为( ). A ．12； B. －12； C. 18； D. 0. 2. 设A B 、为同阶方阵，则下面各项正确的是( ).A.若0AB =, 则0A =或0B =；B.若0AB =，则0A =或0B =；C.22()()A B A B A B -=-+；D.若A B 、均可逆，则111()AB A B ---=.3. 若方程组12312302403690x t x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭　的基础解系含有两个解向量，则 t =( ). A ．2； B ．4； C ．6； D ．8.4. 已知方程组A x b =对应的齐次方程组为0Ax =，则下列命题正确的是( ).A ．若0Ax =只有零解，则Ax b =一定有唯一解；B ．若0Ax =有非零解，则Ax b =一定有无穷解；C ．若Ax b =有无穷解，则0Ax =一定有非零解；D ．若Ax b =有无穷解，则0Ax =一定只有零解.5. 设12, u u 是非齐次线性方程组Ax b =的两个解，则以下结论正确的是( ).A ．12u u +是Ax b =的解；B ．12u u -是Ax b =的解；C ．1ku 是Ax b =的解（1k ≠）；D ．12u u -是0Ax =的解. 6. 设123,,a a a 线性相关，则以下结论正确的是( ).A ．12,a a 一定线性相关；B ．13,a a 一定线性相关；C ．12,a a 一定线性无关；D ．存在不全为零的数123,,k k k ，使得1122330k a k a k a ++=.7. 若20000101A x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦与200010001B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦相似，则x =( ). A ．-1； B ．0； C ．1； D ．2.8. 二次型f(x 1,x 2,x 3)=32232221x x 12x 3x 3x +++是( ).A. 正定的；B. 半正定的；C. 负定的；D. 不定的.二、填空题(每小题4分，共24分)1. 设802020301A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，*A 为A 的伴随矩阵，则*A =_________. 2. 非齐次线性方程组m n A x b ⨯=有唯一解的充分必要条件是_________.3. 设方程组123131232 1 2 53(8)8x x x x x x x a x ++=⎧⎪+=⎨⎪+++=⎩，当a 取__________时，方程组无解.4. 设向量组1(1,3,)a k =-，2(1,0,0)a =，3(1,3,2)a =-线性相关，则k =_________.5. 二次型3231212322213214225),,(x x x x x tx x x x x x x f +-+++=为正定二次型，则t 的取值范围是_____________.6. 3阶方阵A 的特征值分别为1，-2，3，则21()A -的特征值为_________.三、计算题(共38分).1. (10分) 计算行列式 3112513420111533D ---=---.2. (10分) 求123221343A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的逆矩阵1A -.3. (10分)求向量组)11,9,5,8(),2,1,1,3(),10,7,1,1(),1,1,1,2(4321=--=-==αααα的一个极大线性无关组，并将其余向量用此极大线性无关组线性表示.4. (8分)已知111131111A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求A 的特征值. 四、证明题(每小题7分，共14分).1. 设列矩阵12(,,,)T n X x x x = 满足1T X X =，E 为n 阶单位阵，2T H E XX =-，证明: H 是对称阵，且T HH E =.2. 证明二次型22256444f x y z xy xz =---++是负定的.答案：一．1．A 1211121112111112222122212221212220220(1)22122021a a aa a a a a a a a a a a a a =-=-==--2. B 由矩阵的理论可得选项B3. C 基础解系含有两个解向量3()2()1r A r A ⇒-=⇒=,12312324006369000A t t ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,6t =时，()1r A =4. C 当()()r A r A =时，Ax b =有解5. D 1212()2A u u Au Au b b b +=+=+=，因此12u u +不是Ax b =的解， 下面的选项类似讨论6. D 由线性相关的定义可得选项D7. B 相似矩阵具有相同的特征值8．D f 的矩阵是100036063A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，A 的各阶主子式为：1110a =>，103003=>，10003613366270063A ==⋅⋅-⋅=-<，因此f 为不定的 二．1．16 8022016124301A ==-=， 33***416A A A E A AA A ====⇒=2. n A r =)( 由方程组解的理论可得3. 0 方程组无解可得()(,)r A r A b ≠11211121112110120111011153880223001a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥→--→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+--⎣⎦⎣⎦⎣⎦,(,)3r A b =，当0a =时，()2r A =。

华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2008-2009学年第2学期 考试科目： 线性代数考试类型：（闭卷） 考试时间： 120 分钟学号 姓名 年级专业 题号 一 二 三 四 五 六 总分 得分 评阅人试卷说明: T A 表示矩阵A 的转置矩阵，*A 表示矩阵A 的伴随矩阵，1A -表示矩阵A 的逆矩阵，A 表示方阵A 的行列式, R (A )表示矩阵A 的秩, I 是单位矩阵.一. 选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题的选项中，只有一项符合要求，把所选项前的字母填在题中括号内1. 设n B A 均为,阶方阵，满足等式0=AB ，则必有( C )(A) 0=A 或 0=B(B) 0=+B A () 0||=A 或 0||=B(D) 0||||=+B A2. 已知,,A B C 均为n 阶可逆方阵，且ABC I =，则下列结论必然成立的是( C )(A) ACB I = (B) BAC I = () BCA I = (D) CBA I =3．设有n 维向量组（Ⅰ）：12,,,r ααα 和（Ⅱ）：12,,,()m m r ααα> ，则( B )(A) 向量组（Ⅰ）线性无关时，向量组（Ⅱ）线性无关() 向量组（Ⅰ）线性相关时，向量组（Ⅱ）线性相关 (C) 向量组（Ⅱ）线性相关时，向量组（Ⅰ）线性相关 (D) 向量组（Ⅱ）线性无关时，向量组（Ⅰ）线性相关4．设n 元齐次线性方程组AX =0的系数矩阵A 的秩为r ，则AX =0有非零解的充分必要条件是( B )5. Matlab 软件中, 在命令窗口输入[1:3][321]'*, 显示ans=( D )二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）6. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010021A ，则=-1A120010001-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭． (A) r=n() r<n(C) r ≥n(D) r>n(A) 7 (B) 8 (C) 9 () 107. 设t ηηη,,,21 及t t ηληληλ+++ 2211都是非齐次线性方程组b A =X 的解向量，则=+++t λλλ 21______1__________.8. 矩阵20002023A a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦与矩阵10002000B b ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦相似, 则a b += . 9. 设123,1,1),0,2,3),1,0,1),k ααα===（（（则当k = 时，α1,α2,α3 线性相关.10.设A 为三阶方阵，其特征值2,1,3,- 则*A = ．11.已知二次型222123112132233(,,)2245f x x x x tx x x x x x x x =+-+++正定, 则t 的取值范围为 ．三、计算题12.(7分) 已知100110,021A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭131011,002B ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭求:2T A AB +13.（8分）计算下列行列式3214214314324321四、解方程组14. (10分)求方程组123412341234311232x x x xx x x xx x x x⎧⎪--+=⎪-+-=⎨⎪⎪--+=-⎩的通解.五、解答题15.（10分）求下列向量组的秩，并求一个最大无关组：a1=(1, 2,-1, 4)T,a2=(9, 100, 10, 4)T, a3= (-2,-4, 2,-8)T．16. (8分) 已知1121 342 012A--⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭，求A的伴随矩阵*A．17.(12分) 设212122221A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求一个正交阵P ，使1P AP -=Λ为对角阵．六、证明题18.(6分) 设向量组322211,a a b a a b +=+= 433,a a b += 144,a a b +=, 证明向量组4321,,,b b b b 线性相关.2008—2009第二学期《线性代数》（A ）参考答案和评分标准一. 选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1. C2. C3. B4. B5. D二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）6. 120010001-⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭ 7. 18. 8 9. -1/2 10. 36 11. 405t -<<三、计算题12.T T A AB A E B 2(2)+=+=1001001001102010310021001112⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎪ ⎪ ⎪-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦3分100300110330021114⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=- ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭ 5分 300030754⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭7分 13.将行列式第2、3、4列加到第1列上，得3214214314324321=32110214101431043210=101110222031104321------ 4分=10400440311--- 6分=160 8分14.11110111101111011131002410024111231/200121/200000⎛⎫⎛⎫⎛⎫------ ⎪ ⎪ ⎪--→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 4分 x x x x x x 1234340241--+=⎧⎨-=⎩，x x x x x x x x 1324132431-=-⎧⎨+=++⎩， 5分 取x x 2400⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得*120120η⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 6分取x x 2410,01⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，x x 1311,02⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 8分 得齐次方程组基础解系为121110,0201ξξ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 9分通解为x x k kx x 12123411120101022010⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭10分 15. 192192192210040820010110201900004480320000A ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦6分rank(A)=2 7分 所以向量组的秩为2． 8分 a 1=(1, 2, -1, 4)T , a 2=(9, 100, 10, 4)T 不成比例，所以 a 1，a 2为最大无关组. 10分16. 因为1*1,||A A A -=2分*1111||||A A AA A ---==4分 1||1A -=- 6分*1||1*A A -=-=121342012--⎛⎫ ⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭8分17.123(1)(1)(5),1,1,5A E λλλλλλλ-=-+--=-==， 3分对应于11λ=-，由 ()0A E x += 得111122ξ-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，单位化，得111162p -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭； 6分 对应于21λ=，由 ()0A E x -= 得2110ξ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，单位化，得211120p -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 8分 对应于35λ=，由 (5)0A E x -= 得3111ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，单位化，得311131p ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭． 10分 11162311162321063P ⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，有1100010005TP AP P AP --⎛⎫⎪==Λ= ⎪ ⎪⎝⎭． 12分18. 设有4321,,,x x x x 使得044332211=+++b x b x b x b x即0)()()()(144433322211=+++++++a a x a a x a a x a a x 3分整理得 01100011000111001)(43214321=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x x x a a a a 4分而011000110001110014321=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛x x x x 有非零解，所以结论成立 6分。

内蒙古科技大学2006/2007学年第二学期《线性代数》试题 课程号：10132105 考试方式： 闭卷 使用专业、年级： 06级(本科) 工科各专业 命题教师：何林山 考试时间：2007.7.16 一、填空题（每题6分，共24分）1．若矩阵A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=230154012，则行列式|21A|= ，秩 R( A)= 。

2．向量组E ：),0,0,1(1=Te )0,1,0(2=Te ，)1,0,0(3=T e 是线性 关的，任一个三维向量),,(321b b b T =β由向量组E 的线性表示式是=β 。

3．设A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nn n n a a a a ...............1111， ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n x x x 1，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n b b b 1，如果秩R(A)= r <n ，并且非齐次线性方程组b Ax =有无穷多解，则R （A ，b ）= ，行列式|A|= 。

4．设A 是m 行n 列的矩阵 ，且m>n,如果秩R(A)= n ，那么A 的列向量组线性 关 ， A 的行向量组线性 关 。

二、选择题（每题4分，共16分）1．设A 、B 都是n 阶方阵，下面结论不正确的是： 。

A.行列式 |AB|=|B| |A|B. 如果 A 、B 都可逆，则111---=A B AB ）（ C.T T T A B B A +=+)( D.若 AB=O 则必有A=O 或B=O2．设A 、B 是已知的n 阶方矩阵，X 是未知矩阵，且|A|0≠ ，则矩阵方程XA —B=0中的未知矩阵X= 。

A.1-BAB.B A 1-C.A B 1-D.1-A3．设A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛mn m n a a a a ......1111 ， ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n x x x 1，秩r （A ）= r < n ，齐次线性方程组O Ax =有非零解，则它的基础解系中解向量的个数是 。

12n n n b b b ；12312⎛⎫ ⎪，2⎛武汉理工大学教务处试题标准答案及评分标准用纸课程名称:线性代数 （ A 卷）一、填空题（每小题3分，共15分）1、2A E +；2、1；3、4；4、3；5、 0.二、选择题（每小题3分，共15分）1、C2、C3、A4、D 5 、B三、解答题（每小题7分，共35分）1、 2212111nn nn i i n b b a b b D a b b a b =+⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦+∑ ………………………………………………………（3分） 11n i iaa b a =⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦∑ ………………………………………………………………（6分）11n n i i a b a -=⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦∑…………………………………………………………………………………（7分） 2、 因为()123240,312402231024A B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭……………………………………………………………（2分） 553100444333010444131001222r r ⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪−−→−−→- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭………………………………………………（6分）所以 X=55313334262-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭………………………………………………………………（7分） 3、 因 22|3|3||T AA A =29||A = ……………………………………………………（5分）2229()a b =+。

……………………………………………………（7分）4、设10,T X α= 即123220x x x ++= ……………………………………… （2分）解得基础解系12221,001ηη--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

……………………………………… （4分）Schmidt 正交化12,ηη，得到222132222252[,]41,[,]501ηααηαηααα⎛⎫- ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪===-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭即为所求。

2008 – 2009学年第二学期《线性代数B 》试卷3．设方阵B 为三阶非零矩阵，且AB=O ，则。

4。

设向量组线性无关，向量β不能由它们线性表示，则向量组β的秩为。

5．设A 为实对称阵，且｜A |≠0，则二次型f =x T A x 化为f =y T A -1 y 的线性变换是x =．６．设的两组基为,,;T ,,则由基到基 的过渡矩阵为。

6小题,每小题3分，满分18分) n 为n 阶行列式，则D n ＝0的必要条件是［ ］。

（A ）D n 中有两行元素对应成比例; (B ） D n 中各行元素之和为零； （C) D n 中有一行元素全为零；(D)以D n 为系数行列式的齐次线性方程组有非零解． 2．若向量组α，β，γ线性无关，α,β，σ线性相关,则[ ］。

（A)α必可由β，γ，σ 线性表示； （B) β必可由α，γ，σ 线性表示; （C)σ必可由β,γ，α 线性表示; （D ）γ必可由β，α,σ 线性表示.３．设3阶方阵A 有特征值0，－1，1,其对应的特征向量为P 1，P 2，P 3，令P ＝（P 1,P 2，P 3），则P －1AP ＝[ ］。

(A ）；（B ）；（C) ； （D ）．４．设α1,α2，α3线性无关，则下列向量组线性相关的是[ ]。

(A)α1，α2,α3 - α1； （B)α1，α1+α2，α1+α3； （C)α1+α2,α2+α3，α3+α1; （D)α1-α2，α2-α3，α3—α1。

５．若矩阵A 3×4有一个3阶子式不为0,则A 的秩Ｒ（）=[ ］.(A ）1;(B ）2； （C ）3；(D ）4．６．实二次型f ＝x T Ax 为正定的充分必要条件是［ ]。

（A ） A 的特征值全大于零； （B ） A 的负惯性指数为零； （C) ｜A | 〉 0 ；（D ）R （A ） = n 。

三、解答题（共5小题，每道题8分，满分40分） . ２.求向量组,，，的一个极大无关组，并把其余的向量用该极大无关组线性表出。

2008级《线性代数》考题（2009年12月用）(附答案)一. 填空题（每空3分，共15分）1. 设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=333222111c b a c b a c b a A ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=333222111d b a d b a d b a B 且4=A ,1=B 则=+B A 20 2. 二次型233222213214),,(x x tx x x x x x f +-+=是正定的，则t 的取值范围是44 t -3. A 为3阶方阵，且21=A ，则=--*12)3(A A 2716-4. 设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是0,21====n n λλλ5. 设A 为n 阶方阵，n βββ ,,21为A 的n 个列向量，若方程组0=AX 只有零解，则向量组(n βββ ,,21)的秩为 n二. 选择题（每题3分，共15分）6. 设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+--=-0322313221ax cx bc bx cx ab ax bx ，则下列结论正确的是（A ） (A)当c b a ,,取任意实数时，方程组均有解 (B)当a ＝0时，方程组无解 (C) 当b ＝0时，方程组无解 (D)当c ＝0时，方程组无解 7. A.B 同为n 阶方阵，则（C ）成立(A) B A B A +=+ (B) BA AB =(C) BA AB = (D) 111)(---+=+B A B A8. 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=333231232221131211a a a a a a a a a A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++=331332123111131211232221a a a a a a a a a a a a B ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100010101P ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1010100012P 则（C ）成立 (A)21P AP (B) 12P AP (C) A P P 21 (D) A P P 12 9. A ,B 均为n 阶可逆方阵，则AB 的伴随矩阵=*)(AB （D ） (A) **B A (B) 11--B A AB (C) 11--A B (D)**A B 10. 设A 为n n ⨯矩阵，r A r =)(＜n ，那么A 的n 个列向量中（B ） （A ）任意r 个列向量线性无关 (B) 必有某r 个列向量线性无关(C) 任意r 个列向量均构成极大线性无关组(D) 任意1个列向量均可由其余n －1个列向量线性表示三. 计算题（每题7分，共21分）11. 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=300041003A 。

济南大学2008～2009学年第二学期课程考试试卷（A 卷）一、选择题（每小题3分，共15分）1．D 2333231232221131211==a a a a a a a a a ，则333132312321222113111211322322322a a a a a a a a a a a a ---的值为 [ C ] (A ) 4; (B ) 6; (C ) 8; (D ) 10.2. 设n 阶方阵A ，B ，C ，满足ABC=E ，则必有 [ D ](A ) ACB=E ; (B ) CBA=E ; (C ) BAC=E ; (D ) BCA=E .二、填空题（每空3分，共24分）1. 行列式225144196151214111=_________.2. 设矩阵A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1102,230311⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=B 则=B A T .6. 4阶行列式D 某一行的所有元素都相等且它们对应的余子式也相等，则D = 0 . 三、（本题满分10分）计算4阶行列式 b b a a -+-+1111111111111111.四、（本题满分12分）设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛400021012，矩阵B 满足：AB=A+2B ，求矩阵B .五、（本题满分14分）试求b 为何值时, 线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++-=---=++=+++bx x x x x x x x x x x x x x 43214324324321223121220有解,并求其通解.一、选择题（每小题3分，共18分） 1．若622211211=a a a a ，则120020221221112--a a a a 的值为 [ A ] (A ) 12-; (B )12; (C ) 18; (D ) 0.3. 设n 元齐次线性方程组=Ax 0的系数矩阵的秩为r ，则方程组=Ax 0有非零解的充分必要条件是 [ D ] (A ) n r =； (B ) n r ≥； (C ) n r >； (D ) n r <. 5. 设n 阶方阵A ，B ，C 满足ABC=E ，则必有 [ B ](A ) ACB=E ; (B ) BCA =E ; (C ) BAC=E ; (D ) CBA =E .二、填空题（每空3分，共24分）1. 行列式222111c b a c b a=_________. 2. 设A ，B 均为3阶方阵,且A =2,21=B ，则12-A B T =_____ __.4. 非齐次线性方程组b Ax =有解的充分必要条件是 . 56. 设n 阶矩阵A 满足=-+E A A 102320，则1)2(--E A = .三、（本题满分10分）计算4阶行列式aa a a a a a a aa a a 0000. 四、（本题满分12分）设AX +B =X ，其中A =，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101111010B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3-5021-1，求矩阵X .五、（本题满分14分）试求a 为何值时, 线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=++-=++-=++322321321321a x x ax x ax x ax x x有唯一解、无解、有无穷多解？并在无穷多解时求其通解.一、填空题（每小题3分，共18分）2. 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100020101A ，则(A +3E )-1 (A 2-9E )=.3. 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=200031021A ，则A -1=.二、选择题（每小题3分，共18分）1. 若矩阵A 有一个r 阶子式不为零，则下列结论正确的是 [ ](A ) R (A )<r ； (B ) R (A )≤ r ； (C ) R (A )>r ； (D ) R (A )≥ r .2. 设A ，B 为同阶可逆矩阵，则下列结论一定成立的是 [ D ](A ) AB = BA ； (B ) 存在可逆矩阵P ，使P -1 AP =B ； (C ) 存在可逆矩阵C ，使C T AP =B ； (D ) 存在可逆矩阵P 和Q ，使P -AQ =B . 5. 矩阵方程AX =B 有解的充分必要条件是 [ C ](A ) R (A )= R (B )； (B ) R (B )=R (A , B )； (C ) R (A )=R (A , B )； (D ) R (A )<R (A , B ).6. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=133312321131131211232221333231232221131211,a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a B A ,,101010001,10000101021⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=P P 则[ D ](A ) B =P 1AP 2； (B ) B =P 2AP 1； (C ) B =A P 1P 2； (D ) B =P 1P 2A .三、计算题（第1、2题每小题10分，第3小题12分，共32分）1. 计算行列式3321322132113211111b a a a a b a a a a b a a a a +++.2. 求齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+++000224214324321x x x x x x x x x x 的全部解.3. 已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2001,1121B P 满足P -1AP=B ，计算： (1) |-A 5|； (2) A 3.济南大学2011～2012学年第二学期课程考试试卷（A 卷）课 程 线 性 代 数 考试时间 2012 年 7 月 2 日一、填空题（每小题3分，满分27分）1、设行列式==11110342226111304z y xzy x，则行列式_________. 4、设矩阵A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1100120000120025，则A -1=________________. 6、三元线性方程x 1+ x 2+ x 3=1的全部解是_______________.三、计算题（每小题9分，满分18分）（1）D =cc b b a a ------1100110011001.（2）设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛161020101,而X 满足AX +E =A 2+X ，求X .四、应用题（每小题10分，满分20分）（2）设A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1-11020011-λλλ, b =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛11-a ，已知非齐次线性方程组Ax=b 存在两个不同的解，求（I ）a ，λ的值；（II ）Ax =b 的通解.。

2008─2009学年 第 二 学期《线性代数Ⅱ》课程考试试卷B 答案注意：1、本试卷共 3 页； 2、考试时间120分钟一、单选题 (每小题 2 分，共 20 分)1.设A 为n 阶方阵，且2,n ≥则5A -等于（ A ）；(A ) (5)n A -； (B ) 5A -； (C ) 5A ； (D ) 5nA .2.设,,A B C 为同阶方阵，则()T ABC 等于 ( B )；(A ) T T T A B C ； (B ) T T T C B A ； (C ) T T T C A B ； (D ) T T T A C B .3.设矩阵1122A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则和A 等价的矩阵是( B )；(A ) 1022A ⎛⎫= ⎪⎝⎭；(B ) 1313A ⎛⎫= ⎪⎝⎭；(C ) 111222A ⎛⎫= ⎪⎝⎭；(D ) 112222A ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭. 4.若向量组s ααα,...,,21，(2s )线性无关的充要条件是（ D ）； (A ) s ααα,...,,21 均不为零向量；(B ) s ααα,...,,21中任意两个向量不成比例； (C ) s ααα,...,,21任意s-1个向量线性无关；(D ) s ααα,...,,21中任意一个向量均不能由其余s-1个向量线性表示.5.已知12,ββ为非齐次线性方程组Ax b =两个不同的解，12,αα为其导出组0Ax =的一个基础解系，12,c c 为任意常数，则Ax b =的通解可以表示为（ A ）；(A ) )()(212121121αααββ++++c c ；(B ) )()(212121121αααββ+++-c c ；(C ) )()(212121121ββαββ-+++c c ；(D ) )()(212121121ββαββ+++-c c . 6.设A 为n 阶方阵，且032=-+E A A则=+-1)2(E A （ A ）；(A ) E A -；(B ) E A +；(C ))(31E A -；（D ）)(31E A +. 7．设n 阶可逆方阵A 有一个特征值为3，对应的特征向量为x, 则下列等式中不正确的是（ B ）；()3A Ax x = 1()3B A x x -= 11()3C A x x -= 2()9D A x x =.8.写出二次型1231213(,,)22f x x x x x x x =+的规范形（ C ）；（A ）221222y y -； （B ）221222y y +； （C ）2212y y -； （D ）2212y y +. 9.设3阶矩阵A 与B 相似,A 的特征值为4,2,3. 则B 等于（ D ）；1()24A ； 1()9B ； ()9C ； ()24D .10.二次型212311323(,,)44f x x x x x x x x =++的矩阵为（ D ）；(A ) 104004440⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；(B ) 1022002000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；(C ) 1002000220⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；(D ) 102002220⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.二、计算下列行列式 (每小题6分，共12分)1．123233249499367677=02．1115115115115111=512三峡大学 试卷纸 教学班号 序号 学号 姓名…………………….………….………………试 题 不 要 超 过 密 封 线………….………………………………三、计算矩阵 (共20分)设111210101A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，123120001B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭求（1）A AB 23-；(5分) （2）B A T；（5分）（3）判断矩阵A 是否可逆？若可逆，求1-A .（10分）解：（1）242126124AB ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ (2)2421114108323126221018181241011610AB A -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (5)（2）12112336411012000310*******TA B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭………10 （3）40A =-≠，故A 可逆，……………………13 并且**1111222, (17)113111111222444113111 (204)222113444A A A A ----⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪===- ⎪- ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭四、(每小题4分，共16分)已知向量组13125α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭21112α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭32013α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭41101α⎛⎫⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(1)若123430αααβ+--=，求β；(2)求向量组的秩),,,(4321ααααR ；(3)求向量组4321,,,αααα的一个最大无关组； (4)将其余向量组用此最大无关组线性表示.解：（1）1135383193β⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (4)（2）31211011110101122110000052310000A ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪---⎪ ⎪=→⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭向量组的秩),,,(4321ααααR =2 (8)（3）向量组4321,,,αααα的一个最大无关组为12,αα (12)（4）312412,2αααααα=-=- (16)三峡大学 试卷纸 教学班号 序号 学号 姓名…………………….………….………………试 题 不 要 超 过 密 封 线………….………………………………五、(共15分)求下列非齐次线性方程组的通解及对应的齐次方程组的基础解系：123451234523451234513235226254337x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=-⎧⎪+++-=-⎪⎨+++=⎪⎪+++-=-⎩ 解111111101153321135012262012262000000543317000000-----⎛⎫⎛⎫⎪⎪-- ⎪ ⎪→⎪ ⎪⎪⎪--⎝⎭⎝⎭因R(A)=R(A,b)=2 5.故有无穷解. (5)原方程组的同解方程组为13452345532262x x x x x x x x =++-⎧⎨=---+⎩ (7)特解*32,000η-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (9)齐次的基础解系123115226,,100010001ξξξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (13)通解为*112233k k k ηηξξξ=+++(123,,k k k 为任意常数) (15)六、(共17分) 设矩阵100032023A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.(1)求矩阵A 的特征值和特征向量；（2）求一正交矩阵P ，使得AP P 1-为对角矩阵.解：（1）10032(1)(1)(5)0023A E λλλλλλλ--=-=---=- 得A 的特征值为1231,5λλλ===……………4 对应121λλ==，解方程0)(=-x E A 得特征向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1101ξ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0012ξ (8)1ξ，2ξ为对应于121λλ==的特征向量.对应53=λ，解方程0)5(=-x E A 得特征向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1103ξ (10)3ξ为对应于53=λ的特征向量.(2)将321,,ξξξ单位化有,11021,001,11021321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=P P P ......... (12)令),,(321P P P P =（不唯一）有⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-5000200011AP P (15)三峡大学 试卷纸 教学班号 序号 学号 姓名…………………….………….………………试 题 不 要 超 过 密 封 线………….………………………………。

（勤奋、求是、创新、奉献）2008～ 2009 学年第 二 学期考查试卷主考教师： 李 娜学院 _________________ 班级 __________ 姓名 __________ 学号 ___________《线性代数B 》课程试卷(B 卷)标准答案（本卷考试时间90分钟）一、填空(本题共6小题，每小题3分，共18分)1．已知4阶行列式D 中第三列元素依次为1,0,2,1- ，它们的余子式依次分别为4,7,3,5-，则D = -15 .2．已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=62111402a A ,其秩2)(=A R ，则=a 0 ．3．设3阶方阵A 的特征值为1-，1，0，则=+-|44|23E A A -4 .4．设向量组321,,ααα线性无关，则1332212,2,2αααααα+++线性 无关 .5. 设A 为74⨯矩阵，2)(=A R ，则齐次线性方程组0=Ax 的基础解系中包含解向量的个数为 5个 .6．设⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=Λ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=Λ=-1001,1101,1P AP P ，则=5A .⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1201二、单项选择(本题共5小题，每小题3分，共15分)1. 设A 为3阶方阵，且4-=A ，则=-12)2(A A A T ( B ) ．)A ( 2- ； )B ( 2 ； )C ( 8 ； )D ( 8-.2. 设C B A ,,均为二阶方阵，AC AB =，则当( C )时，可推出C B =.)A (⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0101A ； )B ( A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0011； (C)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0110A ； (D)⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111A .3.设B A ,是两个相似的n 阶矩阵，则 ( A )． (A) 存在非奇异矩阵P ，使得B AP P=-1；(B) 存在对角矩阵D ，使得A 与B 都相似于D ； (C)||||B A =； (D)B E A E -=-λλ.4.已知21,ββ是非齐次线性方程组b Ax =的两个不同的解，21,αα是其对应的齐次线性方程组0=Ax 的一个基础解系，21,c c 是任意常数，则b Ax =的通解必为 ( B )．(A) )(21)(2121211ββααα-+++c c ； (B) )(21)(2121211ββααα++-+c c ； (C) )(21)(2121211ββββα-+++c c ； (D) )(21)(2121211ββββα++-+c c .5. n 阶矩阵A 具有n 个不同特征值是A 与对角矩阵相似的( B )． (A) 充分必要条件 ； (B) 充分但非必要条件； (C) 必要但非充分条件； (D) 既非充分也非必要条件.三、计算下列行列式：（10分）1222111)1(b a a c c b b a ca c bc b aD +++= 27181914131211111)2(--=D 1221111111)1(b a a c b a a c c b c b a +++++= ))1(3)(23()21)(13)(11)(12(---⋅------= =0 分5 =1×(-2)×2×(-3)×1×4=48 分5四、解矩阵方程X A AX +=，其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010312022A ，求矩阵X .（10分）解 A X E A =-)(, A E A X 1)(--= 分3⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-010110312302022021)( A E A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----−→−010110332340022021 分5⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---−→−312100010110022021 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---−→−312100010110002201 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----−→−312100302010622001 分9 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=∴312302622X 分10(分或8412312623)(1⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=--E A⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⋅⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=-=∴-312302622010312022412312623)(1A E A X 分10 )五、t 为何值时,线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+=+-+=+-+=+-+tx x x x x x x x x x x x x x x x 432143214321432122,133,24224,1有解，并在有解时求通解.(14分)解 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=t A2112131132422411111分2 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------−→−20110202202022011111t ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----−→−00000100001011011111 t 可见,42)()(1<===A R A R t 时，所以有依赖于2个独立参数的无穷多解．分5⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-−→−00000000001011001001A 分7 同解方程组为,144333241⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=-=x x x x x x x x 分11).,(0010100101102121R k k k k x ∈⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=∴ 分14六、已知矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=163053064A ， (1) 求出A 的特征值和特征向量，并判断能否对角化？ （2）若A 能对角化,求出可逆矩阵P 和对角阵Λ，使得Λ=-AP P1.(16分)解（1）163053064-+--=-λλλλA E )2()1()1](18)5)(4[(2+-=-++-=λλλλλ所以特征值为2,1321-===λλλ 分5当121==λλ时，,00000002146306306-3⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-A E同解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==-=3322212x x x x x x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=∴0121p ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=∴1002p 分9当23-=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=--0001-101010001-100113-6303306-6-2A E同解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==-=333231x x x x x x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=∴1113p 分11（2）因为A 有三个线性无关的特征向量，所以可以对角化。

一、[教师答题时间： 5 分钟] 单项选择题（每小题3分，共15分。

请将答案填在相应括号内）1、B2、A3、A4、C5、D二、[教师答题时间： 5 分钟]填空题（每小题3分，共15分。

请将答案填在相应空格内）1、 92、 123、 34、-25、-16三、计算题（每小题7分，共28分） 1、[教师答题时间： 3 分钟]答：234232342323423234231111a a a a a a a b b b b b b b D abcdc cccc ccdd d d dd d == （2分）()()()()()()abcd d c d b d a c b c a b a =------ （5分） 2、[教师答题时间： 3 分钟]答：设1223,3411A B -⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭显然矩阵A 可逆，故1X A B -= （2分）又因为()1223137,341101525r A B --⎛⎫⎛⎫=−−→⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭（4分）所以137525X A B --⎛⎫==⎪-⎝⎭（1分）3、[教师答题时间： 3 分钟]答：1231033063323112431840100101ααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-=+-=+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（7分）4、[教师答题时间： 3 分钟]答：二次型()123,,f x x x 的矩阵为210161014A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭ （2分）A 的一阶顺序主子式为120D => A 的二阶顺序主子式为22111016D -==>-A 的三阶顺序主子式为321111116111614202414214D ---=--=-==>---- （4分）所以二次型()123,,f x x x 正定。

（1分） 四、计算题（本题共12分）[教师答题时间： 6 分钟]答：记()12345,,,,A ααααα= （1分） 则()12345,,,,ααααα11221112210215102151 20313021511104100222r ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪=−−→⎪ ⎪---- ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭1104110010020620103100111001110000000000r r -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪−−→−−→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（6分） 所以A 的列向量组的秩为3 （1分）A 的列向量组的一个极大无关组为123,,ααα （2分）并且41233αααα=+-；523ααα=-+ （2分） 五、计算题（本题共12分）[教师答题时间： 6 分钟]答：当2a ≠-时,()(),4R A R A b ==，此时方程组有唯一解； 当2a =-且1b ≠时，()3R A =，(),4R A b =，此时方程组无解；2a =-且1b =时，()(),34R A R A b ==<，此时方程组有无穷多解。

南京师范大学2008-2009学年第一学期《线性代数》期末试卷院系____________ 姓名____________ 学号_____________ 得分____________一、选择题（每题3分，共15分）1. 下列各项中，_____________是4阶行列式)det(ij a 的一项．(A) 42341321a a a a - (B) 42332111a a a a -(C) 44131231a a a a - (D) 41322114a a a a -2. 三角形矩阵A 可逆的充分必要条件是A 的主对角线元素___________(A) 不全为零 (B) 全不为零 (C) 全部为正 (D) 全部为负3. 设矩阵A 中有一个1-k 阶子式不为零，且所有1+k 阶子式全为零，则A 的秩r 为___________(A) k r = (B) 1-=k r 或 k r = (C) 1-=k r (D) 1+=k r 4. 设A 为n 阶方阵，且A 的秩为1-n ，α和β是非齐次线性方程组b Ax =的两个不同的解向量，则方程组0=Ax 的通解为___________(A) αk (B) βk (C) )(βα-k (D) )(βα+k5. 非齐次线性方程组b Ax =中未知量个数为n ，方程个数为m ，系数矩阵A 的秩为r ，则___________(A)m r =时，方程组b Ax =有解 (B)m n =时，方程组b Ax =有唯一解 (C)n r <时，方程组b Ax =有无穷多解 (D) r n =时，方程组b Ax =有唯一解二、填空题（每题3分，共15分）1．设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3210A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2101B ，则 ________,)(=T AB.________)(=+T B A2.设 ),2,1,2,1(-=α ),1,3,4,2(=β βγα=+2 ，则.________=γ3 给定非齐次线性方程组b Ax =, 当_______________时，方程组无解。

经济学院本科生09-10学年第一学期线性代数期末考试试卷 (A 卷)答案及评分标准一、填空题（每小题4分、本题共28分）1. 设A 为n 阶方阵, *A 为其伴随矩阵, 31det =A , 则=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛*-A A 1541det 1_____ 2. 已知12,αα均为2维列向量, 矩阵),2(2121αααα-+=A , ),(21αα=B . 若行列式6A =, 则B = _____3.若,),,,(),,,,(2121k r r s s ==αααβααα,1),,,,(21+=k r s γααα 则),,,,,(21γβαααs r = _____4. 设A 为5阶方阵, 且4)(=A r , 则齐次线性方程组0*=x A （*A 是A 的伴随矩阵）的基础解系所包含的线性无关解向量的个数为 _____5. 设33()ij A a ⨯=是实正交矩阵, 且,a b T11=1,=(1,0,0)则线性方程组Ax b =的解是_____6. 若使二次型31212322213212242),,(x tx x x x x x x x x f ++++=为正定的, 则 t 的取值范围是 _____7. 设3阶方阵A 满足0322=--E A A , 且0<A <5, 则=A _____ 答案：（1） 3)1(n - （2）-2 （3） k +1 （4） 4（5） T)0,0,1( （6） 2<t （7）3二、单项选择题（每小题4分、本题共28分）1. 设A 为n 阶方阵, B 是A 经过若干次矩阵的初等变换后所得到的矩阵, 则有（ ） (A) B A = (B) B A ≠(C) 若0=A , 则一定有0=B (D) 若0>A , 则一定有0>B 2. 设行列式3040222207005322D =--, 则第四行各元素代数余子式之和的值为 ( ) (A) 28 (B) -28 (C) 0 (D) 336 3. 设A 为m 阶方阵, B 为n 阶方阵, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00BA C , 则 C 等于 ( )(A) B A (B) B A - (C) B A m n )1(- (D) B A n m +-)1( 4. 设n 维列向量组)(,,21n m m <ααα 线性无关, 则n 维列向量组m βββ ,,21线性无关的充分必要条件是 （ ）(A) 向量组m ααα ,,21可由向量组m βββ ,,21线性表示 (B) 向量组m βββ ,,21可由向量组m ααα ,,21线性表示 (C) 矩阵),,(21m ααα 与矩阵),,(21m βββ 等价 (D) 向量组m ααα ,,21与向量组m βββ ,,21等价 5．设A 、B 为n 阶方阵, 且)()(B r A r =, 则（ ）(A) 0)(=-B A r (B) )(2)(A r B A r =+ (C) )()()(B r A r B A r +≤ (D) )(2)(A r AB r =6. 设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0000000000000004,1111111111111111B A , 则A 与B （ ） （A ）合同且相似 （B ）合同但不相似( C ) 不合同但相似 （D) 不合同且不相似7．设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值, 对应的特征向量分别为21,αα, 则221),(ααα+A 线 性无关的充分必要条件是 （ ）（A ）01≠λ （B ）02≠λ ( C )01=λ (D) 02=λ 答案：CCC CCA A三、计算题（每小题8分、本题共32分）1．计算n +1阶行列式 nn n n d b d b d b a a a a D 00000022112101=+.解 分三种情况讨论：（1）当n d d d ,,,21 全不为0时，D 为箭型行列式且∑∑==--=-=====nk n kkk nn nk k k k c c d d d d b a a d d d a a a d b a a D jjd jb 1210212110;)(0000001（2）当n d d d ,,,21 中只有一个为0时，不妨假设0=i d ，则ni i i i ni i i inni i i i ni i ic cd d d d b a d d b d d a d b d b b d b d a a a a a a D i111111111111011000011+-+-+--+-↔-=-=-====+（3）当n d d d ,,,21 中有两个以上为0时，显然0=D .综合以上三种情况，我们有⎪⎩⎪⎨⎧=∃-=≠-=+-=∑0,;...),...,2,1(0;)(11211210i n i i i i k nk n kk k d i d d d d d b a n k d d d d d b a a D 2. 设矩阵A 满足关系式11)2(--=-C A B C E T , 其中⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=1000210002101021,1000210032102321C B , 求A ？ 解 在等式11)2(--=-C A B C E T 等号两边同时乘以C , 得[]TB C A 1)2(--=,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=--100021********21)2(,100021003210432121B C B C ,[]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=-=-1210012100120001)2(1TB C A . 3．设线性方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++-=+--=+--bx x x x x ax x x x x x x x x x x 43214321432143217107141253032（1）问：a , b 取何值时, 线性方程组无解、有解?（2）当线性方程组有解时, 试用基础解系表示通解.解 设题中线性方程组为.Ax b =用消元法, 对线性方程组Ax b =的增广矩阵A 施以行初等变换，化为阶梯形矩阵：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--−−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=ｂ－４０１００００００－１００１３２０ｂ１－１０初等行变换a a A 32117107141125313211 由此可知：当b ≠4时,)()(A r A r ≠ 线性方程组Ax b =无解; 当b =4时, 恒有)()(A r A r = 线性方程组Ax b =有解.若,3)()(,1==≠A r A r a 方程组有无穷多个解，通解为：T T )1,0,21,27()0,0,21,21(--+k k 为任意实数 若,2)()(,1===A r A r a 方程组有无穷多个解，通解为：T 2T 1T )1,0,21,27()0,1,23,21()0,0,21,21(--+-+k k 21k k 、为任意实数 4．设矩阵,,321101210,324202423*1Q A Q B Q A -=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= 求E B 2010+的特征值和特征向量. 其中*A 是A 的伴随矩阵, E 为3阶单位矩阵. 解 计算A 的特征多项式32422423--------=-λλλλA E .)1()8(2+-=λλ故A 的特征值为1,8321-===λλλ. 因为.,,8*X AX A X AX A i λλλ====∏则若所以*A 的特征值为1,-8,-8.由于Q A Q B *1-=与*A 相似, 相似矩阵有相同的特征值，所以E B 2010+的特征值为：2011，2002，2002.下面求特征向量, 因为X Q A X A Q X Q Q A Q X Q B 1*11*11||))(()(-----===λ,我们有矩阵B 的属于λA的特征向量为X Q 1-, 因此矩阵E B 2010+的属于2010+λA的特征向量为X Q 1-第三步 求出A 的全部特征向量对于81=λ，求解线性方程组0)8(=-x A E 得特征向量 .2121⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=α 对于132-==λλ，求解线性方程组0)(=--x A E 得特征向量.021,10132⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=αα第四步 求出E B 2010+ 的全部特征向量，即计算312111,,ααα---Q Q Q .,012,23223,23121,21211111212113121111⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=----αααQ Q Q Q综合以上分析我们有：矩阵E B 2010+属于特征值2011的特征向量为k ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--27121, k 为任意实数属于特征值2002的特征向量为 ,0122322321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--k k 21k k 、为任意实数四、证明题（每题6分，共12分）1. 已知向量组)1(,,,121>+s s s αααα 线性无关, 向量组s βββ,,21 可表示为),,2,1(1s i t i i i i =+=+ααβ, 其中i t 是实数. 证明s βββ,,21 线性无关.证明 用定义. 假设存在 s 个数s k k k ,,21 , 使 02211=+++s s k k k βββ , 即 0)()()(132222111=+++++++s s s s t k t k t k αααααα , 也就是0)()()(11133212221111=++++++++++--s s s s s s s t k k t k k t k k t k k ααααα .又因为)1(,,,121>+s s s αααα 线性无关, 所以上式中系数部分都为0, 即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+=+=--0000112111s s s s s t k k t k k t k k 解得 021====s k k k , 故s βββ,,21 线性无关. 2. 设n 阶矩阵 A 满足022=-+E A A 且E A ≠. 证明A 相似于对角矩阵.证 由022=-+E A A 可得 ))(2(0)2)((E A A E A E A E ---==+- (1)可得A 的特征值为 1或 -2，要证明A 相似于对角矩阵，也就是A 可以对角化，即要证明A 有n 个线性无关的特征向量。

０６级《线性代数与概率统计》期末考试试题（A 卷)２007学年(1)学期姓名:＿_＿＿__＿_＿＿＿＿___＿___学号：___＿_＿____________＿_分数：_＿_＿___________＿___＿一、是非题（下列叙述正确的打“√”,错误的打“×”）(共10分）1、若A 是n 阶方阵(ｎ≥２）,则A A =-。

（ × )2、在样本空间S 中存在两个事件A 、B 满足()()()A B P AB P A P B φ⋂==且( √ )3、若向量组123,,,...,m αααα线性无关，则1α必可由23,,...,m ααα线性表出。

( × ）４、设A 是ｍ×n 矩阵，若m <n ，则A Ｘ＝0有无穷多个解。

（ √ ） 5、对于随机变量X 、Y ，若ρXY ≠0,则Ｘ与Y 必定不相互独立。

( √ ） 6、在圆周上任意放置三个点,则该三点构成各种三角形的概率必定大于0。

( ×)7、将一枚硬币抛掷10000次,出现正面580０次，认为这枚硬币不均匀是合理。

( √ ) 8、已知()(),A B A B A B A B C ++++++=则C ＝B 。

( √ ）9、设m ×n 矩阵B ≠Ｏ，且BX =B Ｙ,则X ＝Y 。

( × ）10、对于矩阵A 、B ，若矩阵A 满秩,则r(AB ）=ｒ(B ）。

（ √ )二、选择题（２0分）１、已知A 、B 、Ｃ为某随机试验中的事件，则下列各式一定正确的是( D ） （Ａ)();A B B A -+= (B)()();A B C A B C +-=+- （Ｃ);A C B C A B +=+⇒= (D)以上答案都不一定正确 2、设,A B 均为可逆矩阵，且AB BA =,则( B )（Ａ)11;A B B A --= （Ｂ）11;AB B A --= （C)11;AB B A --= （D ）11()()0A B A B --++≠３、某人射击时,中靶的概率为3/４，如果射击直到中靶为止,则射击次数为3的概率为( Ｃ ）(Ａ)33();4 (B) 231();44⨯ （C) 213();44⨯ (Ｄ） 31()44、下列说法不正确的是( A ）（A ）对于事件A ，若P(Ａ)=1,则事件A 必定为必然事件; （B ）极大无关组中的解向量一定线性无关；(Ｃ)交换行列式的某两行，行列式的值变为相反数；(Ｄ)满秩矩阵一定可逆，且可以化为若干个初等矩阵的乘积。

广州大学2008-2009学年第一学期考试卷参考答案与评分标准课 程：线性代数 考 试 形 式： 闭卷 考试一．填空题（每小题3分，共15分）1．行列式524210321--中（2，3）元素的代数余子式A 23的值为__-10__ 2．设A 是4阶方阵，A =-2，则*A -=___-8___3．向量组α1=(1,2,-1,1), α2=(2,0,3,0), α3=(-1,2,-4,1)的秩为__2__4．若α1，α2，α3都是齐次线性方程组Ax=0的解向量，则A （3α1-5α2+2α3）=__0__.5．已知0=λ是方阵A 的一个特征值，则|A|= 0___二．单项选择题（每小题3分，共15分）1．设n 阶方阵A 中有n 2-n 个以上元素为零，则A 的值【 B 】A ．大于零B ．等于零C ．小于零D ．不能确定2．设n 阶方阵A ，B ，C 满足ABC=E ，则必有【 D 】A ．ACB=EB ．CBA=EC ．BAC=ED ．BCA=E3．设3阶矩阶A=（α1，β，γ），B=（α2，β，γ），且A =2，B =-1，则B A += 【 A 】A ．4B ．2C ．1D ．-44．设A 是3阶可逆矩阵, A 的第2行乘以2为矩阵B ，则1-A 的【 C 】为1-BA ．第2列乘以2; B. 第2行乘以2;装┋┋┋┋┋┋┋订┋┋┋┋┋┋┋┋线┋┋┋┋┋┋┋┋┋装┋┋┋┋┋┋┋┋┋订┋┋┋┋┋┋线┋┋┋┋┋┋┋学院 系专业班级 学号姓名C. 第2列乘以21; D. 第2行乘以21. 5．设A 为m ×n 矩阵，则非齐次线性方程组Ax=b 有惟一解的充分必要条件是【 D 】A ．m=nB ．Ax=0只有零解C ．向量b 可由A 的列向量组线性表出D ．A 的列向量组线性无关，而增广矩阵A 的列向量组线性相关三．（本题8分）计算行列式3351110243152113------=D .解：331511204351213121-------=↔c c D 7216011206480213114125------=+-r r r r ……………………2分 7216064801120213132-----=↔r r 1510001080011202131242384----=-+r r r r ……………………………4分 402/50001080011202131344/5=---=+r r …………………………………………6分…………………………………………8分四．（本题8分）设矩阵3400430000200022A ⎛⎫ ⎪- ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，求4A 解： 记13443A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭22022A ⎛⎫= ⎪⎝⎭2212343450434305A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭44145005A ⎛⎫=⎪⎝⎭………………………………………………3分22232202020222222A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭442642022A ⎛⎫= ⎪⎝⎭………………………………………………6分4444141442264500000050000200022A A A A A ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪=== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭…………8分┋┋┋┋┋ 装 ┋┋┋┋┋┋┋订┋┋┋┋┋┋┋┋线┋┋┋┋┋┋┋┋┋装┋┋┋┋┋┋┋┋┋订┋┋┋┋┋┋线┋┋┋┋┋┋┋学院系专业班级 学号姓名五．（本题10分）已知向量1110α-⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1322α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2133α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=7054α，（1）试判定1α，2α，3α是向量组1α，2α，3α，4α的一个最大无关组（2）将4α用1α，2α，3α线性表出解：（1）12341235(,,,)13100127A αααα-⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭122334123501250013r r r r r ÷---⎛⎫⎪−−−→-- ⎪ ⎪⎝⎭……………………………………………2分123233120401010013r r r r +---⎛⎫ ⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭………………………………………………4分12(1)123412100601010013(,,,)r r r Bββββ-⨯-⎛⎫ ⎪−−−→ ⎪⎪⎝⎭= ………………………………………………6分由于()()3R A R B ==，且1β，2β，3β线性无关，所以1α，2α，3α是向量组1α，2α，3α，4α的一个最大无关组………………………………………………8分（2）由于对矩阵初等行变换，不改变列向量组的线性相关性所以412363αααα=++ …………… ……………………………10分六．（本题10分）已知⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=321011330A ，B A AB 2+=，求B 解：B A AB 2+=A B E A =-⇒)2( ……………………………………………2分021*********≠=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=-E A …………………………………………4分所以1)2(--E A 存在，有A E A B 1)2(--=……………………………………6分()A E A 2-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321121011011330332⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++330110011011352310~23212r r r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----+022200363301352310~1312r r r r ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-÷↔011100352310363301~)2(312r r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---011100321010330001~323133r r r r ………………………8分 ⇒A E A B 1)2(--==⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-011321330 ……………………………………………10分┋┋┋┋┋ 装┋┋┋┋┋┋┋订┋┋┋┋┋┋┋┋线┋┋┋┋┋┋┋┋┋装┋┋┋┋┋┋┋┋┋订┋┋┋┋┋┋线┋┋┋┋┋┋┋学院 系专业 班级 学号姓名七．（本题12分）求齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++-=--+0377023520432143214321x x x x x x x x x x x x 的基础解系与通解解：对系数矩阵A 作初等行变换，变为行最简形矩阵，有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=137723521111A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------81014045701111~121327r r r r …………………………3分 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----000045701111~232r r ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----÷-00007/47/5107/37/201~)7(221r r r ……………………6分 便得⎪⎩⎪⎨⎧+=+=43243174757372x x x x x x ……………………………………………8分令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0143x x 及⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10，则对应有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛7/57/221x x 及⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛7/47/3，即得基础解系 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=017/57/21ξ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=107/47/32ξ……………………………………………10分 并由此写出通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321x x x x ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=017/57/21c ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+107/47/32c ，),(21R c c ∈…………………………………12分八．（本题12分）设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=00111100x A ，问x 为何值时，矩阵A 能对角化？解：λλλλλλλ---=---=-11)1(011110x E A ……………………………2分 )1()1(2+--=λλ得11-=λ，132==λλ ……………………………………………4分 对应单根11=λ，可求得线性无关的特征向量恰有一个，故A 可对角化的充分必要条件是对应重根132==λλ，有两个线性无关的特征向量，即方程0)(=-x E A 有两个线性无关的解，亦即系数矩阵E A -的秩为1………6分由⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-10101101)(x E A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-000100101~x r ，……………………………8分 要1)(=-E A R ，得01=+x ，即1-=x ………………………………10分 因此，当1-=x 时，矩阵A 能对角化。