数学北师大版九年级下册二次函数与一元二次方程的关系

题型解读4 二次函数图像平移题型【解题方法】1.平移口决：“左右平移在括号，上下平移在末梢；左加右减须牢记，上加下减错不了”2.注意：①平移时，要抛物线的解析式转化为顶点式y=a（x﹣h）2+k②点的平移与线的平移，在左右平移时，正好相反---左减右加；上下平移完全相同。

【典型例题】1．将抛物线y=（x﹣1）2+3向左平移1个单位，得到的抛物线与y轴的交点坐标是（ B ）2.将抛物线y=x2平移得到抛物线y=（x+2）2，则这个平移过程正确的是（）AA．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位 C．向上平移2个单位 D．向下平移2个单位3.把抛物线y=﹣2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为（）y=﹣2（x﹣1）2+24.将抛物线y=x2﹣6x+5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是（）y=（x﹣4）2﹣25.矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴，A(2,1),一张透明纸上画有一个点和一条抛物线，平移透明纸，使这个点与点A重合，此时抛物线的解析式为y=x2，再次平移透明纸，使这个点与点C重合，则该抛物线的解析式为（）A. y=x2+8x+14B. y=x2−8x+14C. y=x2+4x+3D. y=x2−4x+3解析：考查二次函数图像的平移。

∵矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴，A(2,1),∴点C与A关于原点对称，∴C(-2,-1),纸上的点与二次函数同时移，即相当于二次函数平移，该点由点A移到点C，即向左移4个单位长度，再向下移2个单位长度，则二次函数也随之向左移4个单位长度，再向下移2个单位长度，∴二次函数的解析式为：y=(x+4)2−2，选A6.如图，抛物线y=x2在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为A1，A2，A3…A n，…．将抛物线y=x2沿直线L：y=x向上平移，得一系列抛物线，且满足下列条件：①抛物线的顶点M1，M2，M3，…M n，…都在直线L：y=x上；②抛物线依次经过点A1，A2，A3…A n，…．则顶点M2014的坐标为（4027 ，4027 ）．解：M1（a1，a1）是抛物线y1=（x﹣a1）2+a1的顶点，抛物线y=x2与抛物线y1=（x﹣a1）2+a1相交于A1，得x2=（x﹣a1）2+a1，即2a1x=a12+a1，x=（a1+1）．∵x为整数点∴a1=1，M1（1，1）；M2（a2，a2）是抛物线y2=（x﹣a2）2+a2=x2﹣2a2x+a22+a2顶点，抛物线y=x2与y2相交于A2，x2=x2﹣2a2x+a22+a2，∴2a2x=a22+a2，x=（a2+1）．∵x为整数点，∴a2=3，M2（3，3），M3（a3，a3）是抛物线y2=（x﹣a3）2+a3=x2﹣2a3x+a32+a3顶点，抛物线y=x2与y3相交于A3，x2=x2﹣2a3x+a32+a3，∴2a3x=a32+a3，x=（a3+1）．∵x为整数点∴a3=5，M3（5，5），所以M2014，2014×2﹣1=4027 （4027，4027），7.如图，一段抛物线y=﹣x（x﹣1）（0≤x≤1）记为m1，它与x轴交点为O、A1，顶点为P1；将m1绕点A1旋转180°得m2，交x轴于点A2，顶点为P2；将m2绕点A2旋转180°得m3，交x轴于点A3，顶点为P3，…，如此进行下去，直至得m10，顶点为P10，则P10的坐标为（（10.5，﹣0.25））．解：y=﹣x（x﹣1）（0≤x≤1），OA1=A1A2=1，P2P4=P1P3=2，P2（2.5，﹣0.25）P10的横坐标是2.5+2×[（10﹣2）÷2]=10.5，p10的纵坐标是﹣0.25，故答案为（10.5，﹣0.25）．题型解读5 二次函数与一元二次方程关系题型【知识梳理】一.二次函数与一元二次方程的关系二.二次函数最值问题(一).对二次函数2(0)y axbx c a =++≠，若自变量为任意实数，则取最值情况为：（1）当0,2ba x a>=-时，244ac b y a-=最小值（2）当0,2ba x a<=-时，244ac b y a -=最大值（3）可直接根据图象或采用配方法和公式法求二次函数的最值.三.二次函数表达式（一）二次函数的三种表示方法1、解析法（用函数表达式表示）；2、表格法；3、图像法 （二）用待定系数法求二次函数的解析式(简称”一般两根三顶点”) （1）一般式：c bx ax y++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式.（2）顶点式：()k h x a y+-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=(即对应二次好方程02=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=。

北师大版数学九年级下册2.5《二次函数与一元二次方程》说课稿1一. 教材分析北师大版数学九年级下册2.5《二次函数与一元二次方程》这一节的内容，是在学生已经掌握了二次函数的图像和性质的基础上进行讲解的。

本节课的主要内容是一元二次方程的求解方法和应用，通过引导学生利用二次函数的性质来解决实际问题，培养学生的解决问题的能力。

教材中首先介绍了二次函数与一元二次方程的关系，引导学生理解二次函数的图像与一元二次方程的解的关系。

接着，教材通过具体的例子，讲解了一元二次方程的求解方法，包括因式分解法、配方法、求根公式法等。

最后，教材又通过实际问题，让学生应用所学的知识，解决实际问题。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了二次函数的基本知识，对于二次函数的图像和性质有一定的了解。

但是，对于一元二次方程的求解方法和应用，可能还不是很熟悉。

因此，在教学过程中，需要引导学生利用已学的二次函数知识，来理解和掌握一元二次方程的知识。

三. 说教学目标1.让学生理解二次函数与一元二次方程的关系，理解一元二次方程的解的性质。

2.让学生掌握一元二次方程的求解方法，包括因式分解法、配方法、求根公式法等。

3.培养学生利用二次函数和一元二次方程解决实际问题的能力。

四. 说教学重难点1.教学重点：让学生理解二次函数与一元二次方程的关系，掌握一元二次方程的求解方法。

2.教学难点：引导学生理解一元二次方程的根的判别式，以及如何应用一元二次方程解决实际问题。

五. 说教学方法与手段在教学过程中，我会采用讲授法、引导法、讨论法等教学方法，通过多媒体课件、教学实物等教学手段，引导学生理解二次函数与一元二次方程的关系，掌握一元二次方程的求解方法。

六. 说教学过程1.导入：通过复习二次函数的图像和性质，引导学生理解二次函数与一元二次方程的关系。

2.讲解：讲解一元二次方程的求解方法，包括因式分解法、配方法、求根公式法等。

3.应用：通过实际问题，让学生应用所学的知识，解决实际问题。

2024北师大版数学九年级下册2.5.1《二次函数与一元二次方程》教学设计一. 教材分析《二次函数与一元二次方程》是北师大版数学九年级下册第2.5.1节的内容。

本节内容是在学生已经掌握了二次函数的图像和性质的基础上，引出一元二次方程，并通过解决实际问题，让学生了解一元二次方程的解法及其应用。

教材通过生活中的实例，引导学生探究一元二次方程的解法，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了二次函数的基本知识和图像，对于一元二次方程也有了一定的了解。

但是，学生在解决实际问题时，往往会因为对概念理解不深而产生困惑。

因此，在教学过程中，教师需要帮助学生深化对二次函数和一元二次方程的理解，提高他们解决实际问题的能力。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握一元二次方程的解法，并能应用于实际问题。

2.过程与方法：通过解决实际问题，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和自主学习能力。

四. 教学重难点1.重点：一元二次方程的解法及其应用。

2.难点：如何将实际问题转化为数学模型，并运用一元二次方程解决。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。

通过设置问题，引导学生自主探究，合作解决实际问题，从而提高学生的数学素养。

六. 教学准备1.教材、教案、课件。

2.相关实际问题素材。

3.投影仪、白板等教学设备。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个实际问题引入本节内容，例如：“某商品打8折后的售价为120元，请问原价是多少？”让学生思考并尝试解决。

2.呈现（10分钟）教师引导学生将实际问题转化为数学模型，呈现出一元二次方程的形式。

例如，设商品原价为x元，则打8折后的售价为0.8x，根据题意可得方程0.8x = 120。

3.操练（10分钟）教师引导学生运用一元二次方程的解法求解问题。

首先，让学生回忆二次函数的图像和性质，然后引导学生利用“开平方法”求解方程。

2024北师大版数学九年级下册2.5.2《二次函数与一元二次方程》教学设计一. 教材分析《二次函数与一元二次方程》是北师大版数学九年级下册第2.5.2节的内容。

本节课的内容包括：了解二次函数与一元二次方程的关系，掌握一元二次方程的解法，以及运用二次函数的性质解决实际问题。

教材通过实例引导学生探究二次函数与一元二次方程之间的联系，培养学生的抽象思维能力。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了二次函数的图象与性质，以及一元二次方程的基本知识。

但部分学生对于如何运用二次函数的性质解决实际问题还不够熟练。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的个体差异，引导他们通过自主学习、合作探讨，提高解决问题的能力。

三. 教学目标1.知识与技能：理解二次函数与一元二次方程的关系，掌握一元二次方程的解法，能运用二次函数的性质解决实际问题。

2.过程与方法：通过探究、合作、交流，培养学生的抽象思维能力和问题解决能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养他们勇于探索、积极进取的精神。

四. 教学重难点1.重点：二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程的解法。

2.难点：如何运用二次函数的性质解决实际问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过实例引入，激发学生的学习兴趣。

2.启发式教学法：引导学生主动探究，发现规律。

3.合作学习法：鼓励学生相互讨论，共同解决问题。

4.实践教学法：让学生在实际问题中运用所学知识，提高解决问题的能力。

六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示二次函数与一元二次方程的关系及解法。

2.实例：准备一些实际问题，用于引导学生运用二次函数的性质解决实际问题。

3.练习题：准备一些练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一个实际问题：某商场举行打折活动，某商品原价为800元，打八折后售价为多少？引导学生思考如何用数学知识解决这个问题。

2.呈现（10分钟）展示商品打折问题，引导学生列出相应的二次函数和一元二次方程。

5 二次函数与一元二次方程知己知彼，百战不殆。

《孙子兵法·谋攻》原创不容易，【关注】店铺，不迷路！第1课时二次函数与一元二次方程的关系【知识与技能】1.体会函数与方程之间的联系，初步体会利用函数图象研究方程问题的方法.2.理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根的函数图象特征.【过程与方法】经历类比、观察、发现、归纳的探索过程，体会函数与方程相互转化的数学思想和数形结合的数学思想.【情感态度】培养学生类比与猜想、不完全归纳、认识到事物之间的联系与转化、体验探究的乐趣和学会用辨证的观点看问题的思维品质.【教学重点】经历“类比—观察—发现—归纳”而得出二次函数与一元二次方程的关系的探索过程.【教学难点】准确理解二次函数与一元二次方程的关系.一、情景导入，初步认知我们学习了一元一次方程kx+b=0(k≠0)和一次函数y=kx+b(k≠0)后，讨论了它们之间的关系.当一次函数中的函数值y=0时，一次函数y=kx+b就转化成了一元一次方程kx+b=0，且一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx+b=0的解现在我们学习了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)和二次函数Y=ax2+bx+c(a≠0)，它们之间是否也存在一定的关系呢？本节课我们将探索有关问题.【教学说明】让学生通过对旧知识的回顾及对新知识的思考，梳理旧知识，起到承上启下之效，同时通过老师的引导，培养学生形成解决一类问题的通用方法的思维品质.二、思考探究，获取新知探究：画出y=x2+2x、y=x2-2x+1、y=x2-2x+2的图象，观察并解答：1.每个图象与x轴有几个交点？2.一元二次方程x2+2x=0、x2-2x+1=0、x2-2+2=有几个根？用判别式验证.3.函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系？【教学说明】引起学生的认知冲突，激发学生的求知欲望，大胆猜想，通过交流寻求解决类似问题的方法.【归纳结论】二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点有三种情况：有两个交点、一个交点、没有交点.当二次函数y=ax2+x+c的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值，即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.三、运用新知，深化理解1.知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的是（）A.ac＞0B.方程ax2+bx+c=0的两根是x1=-1，x2=3C.2a-b=0D.当x＞0时，y随x的增大而减小解析：根据抛物线的开口方向，对称轴，与x轴、y轴的交点，逐一判断：A.∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，∴a＜0，c＞0，ac＜0，故选项错误；B.∵抛物线对称轴是x=1，与x轴交于(3，0），∴抛物线与x轴另一交点为（-1，0)，即方程ax2+bx+c=0的两根是x1=-1，x2=3，故本选项正确；C.∵抛物线对称轴为x=1，∴2a+b=0，故本选项错误；D.∵抛物线对称轴为x=1，开口向下，∴当x＞1时y随x的增大而减小，故本选项错误.答案：B.2.如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由象可知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.6，x2=（）A.-1.6B.3.2C.4.4D.以上都不对解析：根据图象知道抛物线的对称轴为x=3，根据抛物线是轴对称图形和已知条件即可求出x2：由抛物线图象可知其对称轴为x=3，又抛物线是轴对称图形，∴抛物线与x轴的两个交点关于x=3对称，而关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的个根分别是x1，x2那么两根满足2×3=x1+x2，而x1=1.6，∴x2=4.4.答案：C.3.根据下列表格的对应值：判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（）A.8＜x＜9B.9＜x＜10C.10＜x＜11D.11＜x＜12解析：根据表格知道8＜x＜12，y随x的增大而增大，而-0.38＜0＜1.2，由此即可推方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围：依题意得当8＜x＜12，y随x的增大而增大，而-0.38＜0＜1.2，∴方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是10＜x＜11.答案：C.【教学说明】学生独立完成3个小题，小组交流所做结果，练习巩固，加深理解.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表迸行总结，教师作以补充.1.布置作业：教材“习题2.10”中第2、3、4题.2.完成练习册中本课时的练习.本节课主要是向学生渗透两种思想：函数与方程互相转化的思想；数形结合思想.三种题型：函数图象与x轴交点的横坐标、方程根的个数、函数图象的交点坐标.【素材积累】宋庆龄自1913年开始追随孙中山，致力于中国革命事业，谋求中华民族独立解放。

2.5 二次函数与一元二次方程原创不容易，为有更多动力，请【关注、关注、关注】，谢谢！古之学者必严其师，师严然后道尊。

欧阳修
第1课时二次函数与一元二次方程
说明由．
； 322++=x x y ； 432
1
2-+-=x x y
2、证明：抛物线y=x2-（2p-1）x+p2-p 与x 轴必有两个不同的交点。

3.如图，在同一直角坐标系中，二次函数的图象与两坐标轴分别交于A （－1，0）、点B （3，0）和点C （0，－3），一次函数的图象抛物线交于B 、C 两点．⑴求一次函数与二次函数的解析式
(2)根据图象:当自变量x 时，一次函数值大于二次函数值．
【素材积累】
你可以选择这样的 三心二意 ：信心、恒心、决心；创意、乐意。

摘一个崇高的目的支持下，不停地工作，即使慢，也一定会获得成功。

大部分人往往对已经失去的机遇捶胸顿足，却对眼前的机遇熟视无睹。

这个世界不符合所有人的梦想、只是有人学会遗忘，有人却一直坚持。

如果你盼望明天，那必须先脚踏现实；如
1 －1 －3 3
x
y
O A
B
C
果你希望辉煌，那么你须脚不停步。

北师大版九年级数学下册：2.5《二次函数与一元二次方程》教学设计一. 教材分析《二次函数与一元二次方程》是北师大版九年级数学下册第2.5节的内容。

这部分内容是在学生已经掌握了二次函数的图像和性质的基础上进行学习的，主要让学生了解二次函数与一元二次方程之间的关系，以及如何利用二次函数的性质来解决一元二次方程的问题。

教材中安排了丰富的例题和练习题，有助于学生巩固所学知识。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于二次函数的图像和性质有一定的了解。

但是，对于如何将二次函数与一元二次方程联系起来，以及如何运用二次函数的性质来解决实际问题，部分学生可能还存在一定的困惑。

因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对性地进行引导和讲解。

三. 教学目标1.理解二次函数与一元二次方程之间的关系。

2.学会利用二次函数的性质来解决一元二次方程的问题。

3.提高学生的数学思维能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.二次函数与一元二次方程之间的关系。

2.如何利用二次函数的性质来解决一元二次方程的问题。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究二次函数与一元二次方程之间的关系。

2.通过例题和练习题，让学生在实践中掌握利用二次函数的性质解决一元二次方程的方法。

3.采用分组讨论和合作交流的方式，培养学生的团队协作能力和沟通能力。

六. 教学准备1.准备相关的教学PPT和教学素材。

2.准备相关的练习题和答案。

3.准备黑板和粉笔。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入本节课的主题，例如：“某商品的原价为200元，商家进行打折促销，折扣率为x（0≤x≤1），求打折后的价格。

”让学生思考如何用数学模型来表示这个问题。

2.呈现（10分钟）呈现二次函数的一般形式：y=ax^2+bx+c（a≠0），并引导学生回顾二次函数的图像和性质。

3.操练（10分钟）让学生尝试将实际问题转化为二次函数模型，并利用二次函数的性质来解决问题。

北师大版九年级数学下第二章5 二次函数与一元二次方程 5.1二次函数的图象与x 轴的交点和一元二次方程的根的关系（含答案）一、选择题1．二次函数y＝x2＋ax＋b的图象如图1，则关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解是()图1A．无解B．x＝1C．x＝－4D．x1＝－1，x2＝42．二次函数y＝x2＋x－6的图象与x轴交点的横坐标是()A．2和－3 B．－2和3C．2和3 D．－2和－33．已知二次函数y＝x2－mx－n2(mn≠0)，则它的图象与x轴的交点情况为()A．有两个交点B．有一个交点C．没有交点D．不能确定4．已知二次函数y＝x2－3x＋m(m为常数)的图象与x轴的一个交点坐标为(1，0)，则关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0的根是()A．x1＝1，x2＝－1 B．x1＝1，x2＝2C．x1＝1，x2＝0 D．x1＝1，x2＝35．已知二次函数y＝(x－a－1)(x－a＋1)－3a＋7(其中x是自变量)的图象与x轴没有交点，且当x＜－1时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是()A．a＜2 B．a＞－1C．－1＜a≤2 D．－1≤a＜26．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图2所示，则ax2＋bx＋c＝m有实数根的条件是()图2A．m≤－2 B．m≥－2C．m≥0 D．m＞47．如图3，一次函数y＝－x与二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象相交于点M，N，则关于x的一元二次方程ax2＋(b＋1)x＋c＝0的根的情况是()图3A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．以上结论都不正确8．下列关于二次函数y＝ax2－2ax＋1(a>1)的图象与x轴交点的判断，正确的是()A．没有交点B．只有一个交点，且它位于y轴右侧C．有两个交点，且它们均位于y轴左侧D．有两个交点，且它们均位于y轴右侧二、填空题9．如图4，抛物线y＝ax2与直线y＝bx＋c的两个交点分别为A(－2，4)，B(1，1)，则方程ax2＝bx＋c的根是________.图410．如图5是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，则关于x的方程ax2＋bx＋c－3＝0的根的情况是______________．图5三、解答题11．已知二次函数y＝x2－2mx＋m2＋3(m是常数)．(1)求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴都没有交点；(2)把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数图象与x轴只有一个交点？12．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图6所示，根据图象解答下列问题：(1)写出方程ax2＋bx＋c＝0的两个根；(2)写出不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；(3)写出当y随x的增大而减小时，自变量x的取值范围；(4)若方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，求k的取值范围.链接听P24例1归纳总结图613．已知抛物线y＝ax2＋bx＋1的顶点为(－1，－2)，且经过点(－2，1)．(1)求该抛物线的表达式．(2)抛物线y＝ax2＋bx＋1与直线y＝x＋1是否有交点？若有，请判断有几个交点；若没有，请说明理由．附加题某班“数学兴趣小组”对函数y＝x2－2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．(1)自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：其中，m＝________．(2)根据上表数据，在如图7所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．(3)观察函数图象，写出该函数的两条性质．(4)进一步探究函数图象发现：①函数图象与x轴有________个交点，所以对应的方程x2－2|x|＝0有________个实数根；②方程x2－2|x|＝2有________个实数根；③若关于x的方程x2－2|x|＝a有4个实数根，则a的取值范围是____________．图7参考答案1．[答案] D2．[解析] A 二次函数y ＝x 2＋x －6的图象与x 轴交点的横坐标实际就是方程x 2＋x －6＝0的两个根，由(x －2)(x ＋3)＝0得两根分别为2和－3.3．[答案] A 4．[答案] B5．[解析] D y ＝(x －a －1)(x －a ＋1)－3a ＋7＝x 2－2ax ＋a 2－3a ＋6. ∵抛物线与x 轴没有交点， ∴(－2a )2－4(a 2－3a ＋6)<0， 解得a <2.∵抛物线的对称轴为直线x ＝－－2a2＝a ，抛物线开口向上，且当x <－1时，y 随x 的增大而减小， ∴a ≥－1，∴实数a 的取值范围是－1≤a ＜2. 故选D. 6．[答案] B7．[解析] A ∵一次函数y ＝－x 与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象有两个交点， ∴ax 2＋bx ＋c ＝－x 有两个不相等的实数根， ax 2＋bx ＋c ＝－x 可变形为ax 2＋(b ＋1)x ＋c ＝0， ∴ax 2＋(b ＋1)x ＋c ＝0有两个不相等的实数根． 故选A. 8．[答案] D9．[答案] x 1＝－2，x 2＝1[解析] ∵抛物线y ＝ax 2与直线y ＝bx ＋c 的两个交点分别为A (－2，4)，B (1，1)，∴方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax 2，y ＝bx ＋c 的解为⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－2，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝1，y 2＝1，即关于x 的方程ax 2－bx －c ＝0的根为x 1＝－2，x 2＝1， ∴方程ax 2＝bx ＋c 的根是x 1＝－2，x 2＝1. 故答案为x 1＝－2，x 2＝1. 10．[答案] 有两个相等的实数根11．解：(1)证明：∵b 2－4ac ＝(－2m )2－4×1×(m 2＋3)＝4m 2－4m 2－12＝－12＜0， ∴方程x 2－2mx ＋m 2＋3＝0没有实数根，故不论m 为何值，该函数的图象与x 轴都没有交点．(2)y ＝x 2－2mx ＋m 2＋3＝(x －m )2＋3，把函数y ＝(x －m )2＋3的图象沿y 轴向下平移3个单位长度后，得到函数y ＝(x －m )2的图象，它的顶点坐标是(m ，0)，此时这个函数的图象与x 轴只有一个交点，所以把函数y ＝x 2－2mx ＋m 2＋3的图象沿y 轴向下平移3个单位长度后，得到的函数图象与x 轴只有一个交点．12．(1)x 1＝1，x 2＝3 (2)1＜x ＜3 (3)x ＞2 (4)k ＜213．解：(1)将(－1，－2)，(－2，1)代入y ＝ax 2＋bx ＋1，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋1＝－2，4a －2b ＋1＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝6，所以该抛物线的表达式为y ＝3x 2＋6x ＋1.(2)联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x 2＋6x ＋1，y ＝x ＋1，消去y ，得3x 2＋6x ＋1＝x ＋1，即3x 2＋5x ＝0. 因为52－4×3×0＝25>0，所以抛物线y ＝3x 2＋6x ＋1与直线y ＝x ＋1有两个交点． 附加题 解：(1)0 (2)如图所示：(3)答案不唯一，如：①函数y ＝x 2－2|x |的图象关于y 轴对称；②当x >1时，y 随x 的增大而增大． (4)①3 3 ②2 ③－1<a <0。

北师大版九年级数学下册：2.5《二次函数与一元二次方程》说课稿1一. 教材分析北师大版九年级数学下册2.5《二次函数与一元二次方程》这一节主要介绍了二次函数与一元二次方程之间的关系。

通过学习，学生能够理解二次函数的图像与一元二次方程的解法，以及如何将一元二次方程转化为二次函数的问题。

教材通过具体的例子和练习题，帮助学生掌握这一知识点。

二. 学情分析九年级的学生已经学习过一次函数和二次函数的基本概念，对函数的图像和解法有一定的了解。

然而，对于二次函数与一元二次方程之间的联系，他们可能还不太清楚。

因此，在教学过程中，我需要通过具体的例子和练习题，帮助学生理解和掌握这一知识点。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解二次函数与一元二次方程之间的关系，能够将一元二次方程转化为二次函数的问题，并能够运用二次函数的知识解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过观察、分析和解决实际问题，学生能够培养自己的观察能力、思考能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：学生能够积极参与课堂讨论，培养自己的合作意识和团队精神，增强对数学学习的兴趣和自信心。

四. 说教学重难点1.教学重点：学生能够理解二次函数与一元二次方程之间的关系，能够将一元二次方程转化为二次函数的问题，并能够运用二次函数的知识解决实际问题。

2.教学难点：学生能够理解二次函数的图像与一元二次方程的解法之间的联系，能够运用二次函数的知识解决实际问题。

五. 说教学方法与手段在教学过程中，我将采用讲授法、引导发现法、讨论法和练习法等教学方法。

同时，我还将利用多媒体课件和黑板等教学手段，帮助学生更好地理解和掌握知识。

六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引出二次函数与一元二次方程之间的关系，激发学生的兴趣和好奇心。

2.讲解：通过讲解和示例，引导学生理解和掌握二次函数与一元二次方程之间的关系，以及如何将一元二次方程转化为二次函数的问题。

3.练习：通过课堂练习和小组讨论，巩固学生对二次函数与一元二次方程之间关系的理解，培养学生的思考能力和解决问题的能力。