2016年秋人教版九年级数学上典中点第二十三章解码专训二.doc

九年级数学上册第二十三章旋转23.2 中心对称23.2.3 关于原点对称的点的坐标同步检测（含解析）（新版）新人教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（九年级数学上册第二十三章旋转23.2 中心对称23.2.3 关于原点对称的点的坐标同步检测（含解析）（新版）新人教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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23。

2。

3 关于原点对称的点的坐标测试时间:15分钟一、选择题1。

（2018广东广州海珠期末)在平面直角坐标系中，点P(-3，4）关于原点对称的点的坐标是( )A。

(3,4）B。

(3，-4）C。

(4,—3）D。

(—3，4）2.（2018湖北宜昌期中)已知点P(-1，m2+1)与点Q关于原点对称,则点Q一定在( ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D。

第四象限3。

在A（-5,0)、B（0，2）、C(2，-1)、D（2，0）、E(0，5）、F（-2，1)和G （-2，-1）这七个点中,关于原点O对称的两个点是（)A.A和EB.B和D C。

C和F D.F和G4.在平面直角坐标系中，把一个三角形的各顶点的横、纵坐标都乘-1，则以这三个新坐标为顶点的三角形与原三角形（）A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于坐标原点对称D。

关于直线y=x对称二、填空题5。

(2018吉林松原前郭期末)已知P（m+2，3)和Q(2,n—4)关于原点对称，则m+n= 。

6.在平面直角坐标系xOy中,如果有点P（-1,2）与点Q（1,—2）,那么：①点P与点Q关于x轴对称；②点P与点Q关于y轴对称；③点P与点Q关于原点对称；④点P与点Q都在y=—2x的图象上.前面的四种描述正确的是。

解码专训二：几种常见的热门考点名师点金：通过对近几年全国各地的中考试题研究发现，对有关图形的平移、旋转与中心对称等知识点的考查呈增加趋势．对于图形的识别，根据图形变换作图以及图形变换性质的有关计算是热门考点，并且与所学的函数、以后将学的相似等知识点融合在一起综合考查．图形的识别1．(2015·佛山)在下列四个图案中，不是．．中心对称图形的是()2．(2015·哈尔滨)下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()3．在圆、平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰三角形等图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是__________________．图形变换的作图4．(2014·宁夏)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(－2，1)，B(－4，5)，C(－5，2)．(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；(2)画出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2.(第4题)5．在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A(－7，1)，B(1，1)，C(1，7)．线段DE的端点坐标分别是D(7，－1)，E(－1，－7)．(1)试说明如何平移线段AC，使其与线段ED重合；(2)将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转，使AC的对应边为DE，请直接写出点B的对应点F的坐标；(3)画出(2)中的△DEF，同时绕坐标原点O逆时针旋转90°，画出旋转后的图形．(第5题)关于原点对称的点的坐标的运用6．已知|2a＋b|＋(b－3)2＝0，则点A(a，b)关于原点对称的点的坐标是__________．7．已知一元二次方程x2＋ax＋b＝0的两根为2和3，则以a为横坐标，b为纵坐标的点A关于原点对称的点A′的坐标是多少？平移、轴对称和旋转变换的综合应用8．如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的两条直角边OA，OB分别在x轴、y轴的负半轴上，且OA＝2，OB＝1.将Rt△AOB绕点O按顺时针方向旋转90°，再把所得的图象沿x轴正方向平移1个单位得到△CDO.(1)写出A，C两点的坐标；(2)求点A和点C之间的距离．(第8题)9．在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A，C的坐标分别为(0，3)、(－1，0)，将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′.(1)若抛物线过点C，A，A′，求此抛物线的解析式；(2)求OB′所在直线的解析式．(第9题)应用图形变换的性质进行计算或证明10.(2015·哈尔滨)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°.将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△AB′C′(点B的对应点是点B′，点C的对应点是点C′)，连接CC′，若∠CC′B′＝32°，则∠B的大小是()A．32°B．64°C．77°D．87°(第10题)(第11题)11．把一副三角板如图①放置，其中∠ACB＝∠DEC＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，斜边AB＝6，DC＝7，把三角板DCE绕着点C顺时针旋转15°得到△D1CE1(如图②)，此时AB与CD1交于点O，与D1E1相交于点F，则线段AD1的长为()A．32B．5C．4D.3112．如图，在平面直角坐标系中，▱OABC的顶点A在x轴上，顶点B的坐标为(6，4)．若直线l经过点(1，0)，且将▱OABC分割成面积相等的两部分，则直线l的函数解析式是()A．y＝x＋1B．y＝13x＋1C．y＝3x－3 D．y＝x－1(第12题)(第13题)13．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(－1，2)，点C的坐标为(－3，0)，将点C绕点A逆时针旋转90°，再向下平移3个单位长度，此时点C的对应点的坐标为________．(第14题)14．如图，在△ABC中，AC＝BC＝8，∠C＝90°，D为BC的中点，将△ABC绕点D逆时针旋转45°，得到△A′B′C′，B′C′与AB交于点E，则S四边形ACDE＝________．15．如图，正方形ABCD的边长为3，E，F分别是AB，BC边上的点，且∠EDF＝45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.(1)求证：EF＝MF；(2)当AE＝1时，求EF的长．(第15题)16．(2014·黔南州)两个长为2 cm，宽为1 cm的长方形，摆放在直线l上(如图①)，CE ＝2 cm，将长方形ABCD绕着点C顺时针旋转α角，将长方形EFGH绕着点E逆时针旋转相同的角度．(1)当旋转到顶点D，H重合时，连接AE，CG(如图②)，求证：△AED≌△GCD；(2)当α＝45°时(如图③)，求证：四边形MHND为正方形．(第16题)解码专训二 1．B 2.D 3．平行四边形4．解：(1)(2)如图所示．(第4题)5．解：(1)将线段AC 先向右平移6个单位，再向下平移8个单位(其他平移的方式也可)； (2)F(－1，－1) (3)图略． 6.⎝⎛⎭⎫32，－3 7．解：∵2和3是方程x 2＋ax ＋b ＝0的根，∴由根与系数的关系得2＋3＝－a ，2×3＝b ，则a ＝－5，b ＝6.所以点A(－5，6)关于原点对称的点A′的坐标是(5，－6)．8．解：(1)∵△CDO 是由△AOB 经过旋转、平移后得到的，∴△CDO ≌△AOB.∴OD ＝OB ＝1，CD ＝OA ＝2，∠ODC ＝∠AOB ＝90°，∴A(－2，0)，C(1，2)．(2)连接AC ，在Rt △ADC 中，CD ＝2，AD ＝OA ＋OD ＝3，∴AC ＝CD 2＋AD 2＝13. 点拨：在平面直角坐标系中图形的平移、轴对称和旋转变换中，应注意点所在的位置及长度相等的对应线段．9．解：(1)设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)．由抛物线过C(－1，0)，A(0，3)，A′(3，0)，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝0，c ＝3，9a ＋3b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2，c ＝3. ∴y ＝－x 2＋2x ＋3.(2)由四边形ABOC 为平行四边形及A(0，3)，C(－1，0)可知B(1，3)．∵四边形A′B′OC′是▱ABOC 绕点O 旋转得到的，∴A′B′＝AB ＝1，OA′＝OA ＝3，∠OA′B′＝∠OAB ＝90°.∴点B′的坐标为(3，－1)．于是易求得OB′所在直线的解析式为y ＝－13x.10．C 11.B 12.D 13.(1，－3) 14.2815．(1)证明：∵△DAE 逆时针旋转90°得到△DCM ，∴DE ＝DM ，∠ADE ＝∠CDM.又∵∠ADC ＝90°，∴∠EDM ＝90°，即∠EDF ＋∠FDM ＝90°.∵∠EDF ＝45°，∴∠FDM ＝45°.又∵DF ＝DF ，∴△DEF ≌△DMF ，∴EF ＝MF.(2)解：设EF ＝x.∵AE ＝CM ＝1，∴EB ＝2，BF ＝BM －MF ＝BM －EF ＝4－x.在Rt △EBF 中，由勾股定理，得EB 2＋BF 2＝EF 2，即22＋(4－x)2＝x 2，解得x ＝52，即EF 的长为52.16．证明：(1)由题意知AD ＝GD ，ED ＝CD ，∠ADC ＝∠GDE ＝90°，∴∠ADC ＋∠CDE ＝∠GDE ＋∠CDE ，即∠ADE ＝∠GDC.在△AED 和△GCD 中，AD ＝GD ，∠ADE ＝∠GDC ，ED ＝CD ，∴△AED ≌△GCD.(2)由α＝45°，易知BC ∥EH ，EF ∥CD ，∴∠NCE ＝∠NEC ＝45°，∴CN ＝NE ，∠CNE ＝90°，∴∠DNH ＝90°.∵∠D ＝∠H ＝90°，∴四边形MHND 是矩形．∵CN ＝NE ，DC ＝HE ，∴DN ＝HN ，∴矩形MHND 是正方形．。

部编版人教初中数学九年级上册第23章（旋转）拓展提高（含答案解析）前言：该拓展提高由多位一线国家特级教师针对当前最新的热点、考点、重点、难点、知识点，精心编辑而成。

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（最新精品拓展提高）23.1 图形的旋转基础闯关全练拓展训练1.如图,将等边△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△EDC,连接AD,BD.则下列结论:①AC=AD;②BD⊥AC;③四边形ACED是菱形.其中正确的个数是( )A.0B.1C.2D.32.如图,△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°后到达了△CDE的位置,下列说法中不正确的是( )A.线段AB与线段CD互相垂直B.线段AC与线段CE互相垂直C.点A与点E是两个三角形的对应点D.线段BC与线段DE互相垂直3.如图,△ABC为等腰直角三角形,∠ACB=90°,将△ABC绕点A逆时针旋转75°,得到△AB'C',过点B'作B'D⊥CA,交CA的延长线于点D,若AC=6,则AD的长为( )A.2B.3C.2D.34.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知点A(3,4),将OA绕坐标原点O逆时针旋转90°至OA',则点A'的坐标是.能力提升全练拓展训练1.如图,△ABD是等边三角形,以AD为边向外作△ADE,使∠AED=30°,且AE=3,DE=2,连接BE,则BE的长为( )A.4B.C.5D.2.(2016安徽合肥模拟)如图,已知△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,将直角边AC绕A点逆时针旋转至AC',连接BC',E为BC'的中点,连接CE,则CE的最大值为( )A. B.+1 C.+1 D.+13.(2018江西南昌东湖期中)如图,∠AOB=30°,P点在∠AOB内部,M点在射线OA上,将线段PM绕P点逆时针旋转90°,M点恰好落在OB上的N点(OM>ON),若PM=,ON=8,则OM= .4.如图,边长为6的等边三角形ABC中,E是对称轴AD上的一个动点,连接EC,将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC,连接DF,则在点E运动过程中,DF的最小值是.三年模拟全练拓展训练1.(2017福建厦门同安六校联考期中,8,★★☆)如图,在正方形ABCD 中,△ABE经旋转,可与△CBF重合,AE的延长线交FC于点M,以下结论正确的是( )A.BE=CEB.FM=MCC.AM⊥FCD.BF⊥CF2.(2017山东枣庄薛城期中,12,★★☆)如图,P是等边三角形ABC内一点,将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ,连接BQ,若PA=6,PB=8,PC=10,则四边形APBQ的面积为( )A.24B.12+6C.24+9D.12+93.(2017天津滨海新区期中,16,★★☆)如图,在△ABC中,AC=BC,点D、E分别是边AB、AC的中点,将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE,则DF与AC的数量关系是.4.(2018广西柳州期中,18,★★☆)在等边△ABC中,D是边AC上一点,连接BD,将△BCD绕点B逆时针旋转60°,得到△BAE,连接ED,若BC=5,BD=4.则下列四个结论:①AE∥BC;②∠ADE=∠BDC;③△BDE是等边三角形;④△AED的周长是9.其中正确的结论是(把你认为正确结论的序号都填上).五年中考全练拓展训练1.(2016江苏无锡中考,10,★★☆)如图,Rt△ABC 中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,AC=2,△ABC绕点C顺时针旋转得△A1B1C,当A1落在AB边上时,连接B1B,取BB1的中点D,连接A1D,则A1D的长度是( )A. B.2 C.3 D.22.(2017广西贺州中考,18,★★☆)如图,在正方形ABCD内作∠EAF=45°,AE 交BC于点E,AF交CD于点F,连接EF,过点A作AH⊥EF,垂足为H,将△ADF绕点A 顺时针旋转90°得到△ABG,若BE=2,DF=3,则AH的长为.3.如图,在△ABC中,AC=BC=8,∠C=90°,点D为BC的中点,将△ABC绕点D= .逆时针旋转45°,得到△A'B'C',B'C'与AB交于点E,则S四边形ACDE4.(2017四川南充中考,16,★★☆)如图,正方形ABCD和正方形CEFG边长分别为a和b,正方形CEFG绕点C旋转,给出下列结论:①BE=DG;②BE⊥DG;③DE2+BG2=2a2+2b2.其中正确的结论是(填序号).核心素养全练拓展训练1.如图,已知P为正方形ABCD外的一点,PA=1,PB=2,将△ABP绕点B顺时针旋转90°,使点P旋转至点P',且AP'=3,则∠BP'C的度数为( )A.105°B.112.5°C.120°D.135°2.(2016山东德州庆云期中)如图1,将三角板ABC与三角板ADE摆放在一起;如图2,固定三角板ABC,将三角板ADE绕点A按顺时针方向旋转,记旋转角∠CAE=α(0°<α<180°).当△ADE的一边与△ABC的某一边平行(不共线)时,旋转角α的所有可能的度数为.23.1 图形的旋转基础闯关全练拓展训练1.答案 D ∵等边△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△EDC,2.∴AC=BC=DC=EC,∠BCD=120°,∵∠ACB=60°,∴∠ACD=60°,∴△ACD为等边三角形,∴AC=AD,∴①正确;∵AB=AC=EC=ED=AD,∴四边形ACED是菱形,∴③正确;由AB=BC,得B在AC的垂直平分线上,由AD=CD,得D在AC的垂直平分线上,∴BD垂直平分AC,∴②正确.2.答案 C 由于△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°后到达了△CDE的位置,则线段AB与CD垂直,线段AC与CE垂直,点A与点C为对应点,线段BC与DE垂直.故选C.3.答案 D 在等腰直角△ABC中,AB===6,由旋转的性质知AB'=AB=6,∠BAB'=75°.在直角△B'AD中,∠B'AD=180°-∠BAC-∠BAB' =180°-45°-75°=60°,则AD=6×=3.故选D.4.答案(-4,3)解析如图,过点A作AB⊥x轴于点B,过点A'作A'B'⊥x轴于点B',由题意知OA=OA',∠AOA'=90°,∴∠A'OB'+∠AOB=90°,∵∠AOB+∠OAB=90°,∴∠OAB=∠A'OB',在△AOB和△OA'B'中,∴△AOB≌△OA'B'(AAS),∴OB'=AB=4,A'B'=OB=3,∴点A'的坐标为(-4,3).能力提升全练拓展训练1.答案 B 如图,作EF⊥AE,且EF=DE,连接AF、DF,因为∠AEF=90°,所以∠DEF=90°-30°=60°,又因为DE=EF,所以△DEF是等边三角形,所以∠EDF=60°,∠ADF=∠BDE,又因为AD=BD,DE=DF,所以△BDE≌△ADF,所以BE=AF==.故选B.2.答案 B 取AB的中点M,连接CM,EM,∴当CE=CM+EM时,CE的值最大,∵将直角边AC绕A点逆时针旋转至AC',∴AC'=AC=2.∵E为BC'的中点,∴EM=AC'=1,∵∠ACB=90°,AC=BC=2,∴AB=2,∴CM=AB=,∴CE的取大值为CM+EM=+1.故选B.3.答案4+2解析如图,连接MN,过N作NH⊥OA于H,∵线段PM绕P点逆时针旋转90°,M 点恰好落在OB上的N点,∴∠MPN=90°,PN=PM=,∴△PMN为等腰直角三角形,∴MN===2,在Rt△OHN 中,∵∠NOH=30°,ON=8,∴NH=ON=4,OH===4.在Rt△MNH中,∵NH=4,MN=2,∴MH==2,∴OM=OH+MH=4+2.4.答案 1.5解析如图,取AC的中点G,连接EG,∵旋转角为60°,∴∠ECD+∠DCF=60°.又∵∠ECD+∠GCE=∠ACB=60°,∴∠DCF=∠GCE.∵AD是等边△ABC的对称轴,∴CD=BC,∴CD=CG.又∵CE旋转到CF,∴CE=CF,∴△DCF≌△GCE,∴DF=EG,根据垂线段最短知EG⊥AD时,EG最短,即DF最短,此时,∵∠CAD=×60°=30°,AG=AC=×6=3,∴EG=AG=×3=1.5,∴DF=1.5.三年模拟全练拓展训练1.答案 C 因为E不一定是BC的中点,故A错误;根据旋转的性质可得△ABE≌△CBF,则∠AEB=∠F,又∵直角△ABE中,∠BAE+∠AEB=90°,∴∠BAE+∠F=90°,∴∠AMF=90°,∴AM⊥FC,故C正确;连接AC,因为E是BC 上任意一点,BF=BE,所以AC和AF不一定相等,则M不一定是FC的中点,故B错误;∵BF⊥BC,∴BF⊥CF一定错误,故D错误.故选C.2.答案 C 如图,连接PQ,∵△ABC为等边三角形,∴∠BAC=60°,AB=AC,∵线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ,∴AP=AQ=6,∠PAQ=60°,∴△APQ为等边三角形,∴PQ=AP=6.∵∠CAP+∠BAP=60°,∠BAP+∠BAQ=60°,∴∠CAP=∠BAQ.在△APC和△AQB中,AC=AB,∠CAP=∠BAQ,AP=AQ,∴△APC≌△AQB(SAS),∴PC=QB=10.在△BPQ中,∵PB2=82=64,PQ2=62=36,BQ2=102=100,又64+36=100,∴PB2+PQ2=BQ2,∴△PBQ为直角三角形,∠BPQ=90°,∴S四边形APBQ =S△BPQ+S△APQ=×6×8+×62=24+9.故选C.3.答案DF=AC解析∵AC=BC,点D、E分别是边AB、AC的中点,∴DE=BC,AE=AC,∵AC=BC,∴AE=DE.∵将△ADE绕点E旋转180°得△CFE,∴△ADE≌△CFE,∴AE=CE,DE=FE,∴AE=CE=DE=FE,∴DF=AC.4.答案①③④解析∵△ABC为等边三角形,∴BA=BC=AC,∠ABC=∠C=∠BAC=60°,∵△BCD绕点B逆时针旋转60°,得到△BAE,∴∠BAE=∠C=60°,∴∠BAE=∠ABC,∴AE∥BC,故①正确;∵△BCD绕点B 逆时针旋转60°,得到△BAE,∴BD=BE,∠DBE=60°,∴△BDE是等边三角形,故③正确;∵∠BDE=60°,又∠BDC=∠BAC+∠ABD>60°,∴∠ADE<60°,∴∠ADE≠∠BDC,故②错误;∵△BDE是等边三角形,∴DE=BD=4,而△BCD绕点B逆时针旋转60°,得到△BAE,∴AE=CD,∴△AED的周长=AE+AD+DE=CD+AD+DE=AC+4=5+4=9,故④正确.故答案为①③④.五年中考全练拓展训练1.答案A∵∠ACB=90°,∠ABC=30°,AC=2,∴∠A=90°-∠ABC=60°,AB=4,BC=2,。

23.2.2中心对称图形前事不忘，后事之师。

《战国策·赵策》圣哲学校蔡雨欣【知识与技能】了解中心对称图形的定义及其特征，体会中心对称和中心对称图形之间的联系和区别.【过程与方法】经历观察、思考、探究、发现的过程，感受中心对称图形的特征，培养学生的观察能力和动手操作能力.【情感态度】通过对中心对称图形的探究和认知，体验图形的变化规律，感受图形的变换的美感，享受学习数学的乐趣和积累一定的审美经验.【教学重点】中心对称图形的有关概念及其性质.【教学难点】中心对称图形和中心对称的区别和联系一、情境导入，初步认识问题1 关于中心对称的两个图形有哪些特征？说说看.问题2 观察如图所示的三个图形，你能发现什么？与同伴交流你的看法.【教学说明】问题1 旨在让学生对上节课的中心对称知识进行简单的回顾，而问题2则是展示本节课所需探讨的问题，从而导入新课.教学时，应让学生认真进行回顾思考，仔细分析图形特征，然后相互交流，并选派代表作出回答，最后教师给予补充说明，导入新课.二、思考探究，获取新知探究1 如图，将线段AB绕它的中点旋转180°，你有什么发现？探究2 如图，将ABCD绕它的两条对角线的交点O旋转180°，你有什么发现？【教学说明】显然，线段绕它的中点旋转180°后，它的两个端点互换了位置，旋转后的线段与原线段重合；在ABCD中，由于OA=OC，OB=OD，故图形绕点O旋转180°后，点A与点C，点B与点D分别互换了位置，旋转后的图形与原来的图形重合.上述这些结论在学生的积极参与中可自主获得.同时，教师可展示教具（如用钉子固定在两根等长木条的中点处，将其中一根转动180°，另一根不动，看两根木条重合成一根木条的过程）或利用多媒体展示平行四边形绕其对角线交点转动180°的情形，加深学生印象，进而引出中心对称图形的定义.把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心.三、合作交流，掌握新知问题1除上面所讲的线段、平行四边形都是中心对称图形外，请你举例说出一个图形，使它是中心对称图形？与同伴交流.【教学说明】通过学生的举例，同伴交流，最后教师予以点评，让学生加对中心对称图形的理解和掌握.问题2说说中心对称图形具有哪些特点？它与中心对称有什么区别和联系？谈谈你的看法，并与同伴交流.【教学说明】学生在相互交流中获得对中心对称图形及其与中心对称的异同的一些认知后，教师应对这一问题予以评讲，以深化对上述知识点的理解.【归纳结论】1.中心对称图形上的每一对对应点所连线段必经过对称中心，且被对称中心平分；2.中心对称图形是指一个图形本身是中心对称的，它反映了一个图形的本质性质特征，而中心对称是指两个图形关于某一点对称，揭示的是两个全等图形之间的一种置关系.3.中心对称图形的形状美观，具有几何美.问题3判断下列图形是否为中心对称图形，如果是，请指出它的对称中心.（1）线段；（2）等腰三角形；（3）矩形；（4）菱形；（5）等腰梯形；（6）圆；（7）正多边形【教学说明】让学生学会判别一个图形是否是中心对称图形的方法，领会其关键在于找出一个点，看绕着该点旋转180°后能否与自身重合，从而作出判别.教学时，可让学生回答，全班同学一道析判别，教师适时予以点评，加深对中心对称图形的认识.【归纳结论】（1）线段是中心对称图形，其对称中心是该线段的点；（2）等腰三角形不是中心对称图形；（3）矩形是中心对称图形，其对称中心为对角线的交点；（4）菱形是中心对称图形，其对称中心为对角线的交点；（5）等腰梯形不是中心对称图形；（6）圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心；（7）当正多边形的边数是奇数时，不是中心对称图形；当多边形的边数为偶数时，它是中心对称图形，它的对称中心是正多边形中心.四、运用新知，深化理解1.按要求画一个图形，所画图形中应有一个正方形和圆，并且这个图形既是中心对称图形，又是轴对称图形.你能行吗？与同伴交流.2.如图，请在图中画出一条直线，使之将图中图形的面积分成相等的两部分，试试看，与同伴交流.【教学说明】第1题可由学生自主完成，相互交流画图案即可，而第2题则应引导学生进行分析，找出解决问题的关键，达到获取结论的目的.事实上，经过中心对称图形的对称中心的任意一条直线将此中心对称图形的面积一分为二.这样，可将所给图案适当添加辅助线转化为两个矩形后，过这两个矩形对角线的交点的直线就将所给图案的面积分成相等的两部分.【答案】1.如图所示（学生的答案可以不一样，只要合理即可）：2.如图所示：（答案不唯一）五、师生互动，课堂小结为更好地掌握知识，教师可让学生阐述本节所学知识，归纳完善知识体系：（1）中心对称图形的有关概念；（2）中心对称图形的性质特点；（3）中心对称图形与中心对称的区别与联系；（4）中心对称图形的识别方法.【教学说明】在学生相互交流后，选派几名同学进行回顾小结，师生再共同完善，让学生谈谈收获和体会，完善认知.1.布置作业：从教材“习题23.2”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.本课通过学习中心对称图形，进一步认识几何图形的本质特征，通过学习中心对称图形与中心对称的区别联系，中心对称图形与轴对称图形的区别，进一步发展学生抽象概括的能力.【素材积累】不要叹人生苦短，若把人一生的足迹连接起来，也是一条长长的路；若把人一生的光阴装订起来，也是一本厚厚的书。

阶段强化专训二：图形变换的四种作图名师点金：平移、旋转、轴对称和中心对称这几种图形变换都可以改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，注意作图时要弄清平移的方向和距离、旋转的方向和角度，作图要求准确、明了．平移作图题型1已知平移方向和距离的作图1．如图，已知△ABC，将△ABC沿着北偏东60°的方向平移1 cm，作出平移后的图形(不写作法，保留作图痕迹)．(第1题)题型2已知平移方法在网格(坐标系)中的作图2．如图，已知△ABC经过平移得到△A′B′C′，△ABC中任意一点P(x1，y1)平移后的对应点为P′(x1＋6，y1＋4)，求点A′，B′，C′的坐标，并画出平移后的图形．(第2题)旋转作图题型1已知旋转角和旋转中心作图3．如图，将△ABC绕点O旋转后，顶点A的对应点为点D，试确定顶点B，C的对应点的位置并画出旋转后的三角形．(第3题)题型2已知旋转方法在网格(坐标系)中作图4．(2015·金华)在平面直角坐标系中，点A的坐标是(0，3)，点B在x轴上，将△AOB 绕点A逆时针旋转90°得到△AEF，点O，B对应点分别是E，F.(1)若点B的坐标是(－4，0)，请在图中画出△AEF，并写出点E，F的坐标；(2)当点F落在x轴上方时，试写出一个符合条件的点B的坐标．(第4题)轴对称作图5．如图，请作出图中与△ABC关于直线m成轴对称的图形．(第5题)中心对称作图题型1已知对称中心作图6．画出如图所示的四边形ABCD关于点O成中心对称的图形．(第6题)题型2在直角坐标系中作图7．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(2，1)，B(－2，3)，C(－2，－2)．(1)作出△ABC关于原点对称的△A1B1C1；(2)直接写出点A1，B1，C1的坐标；(3)点C绕点O旋转180°后与点C1重合，求它所经过的路径长．(第7题)阶段强化专训二1．解：如图，△A1B1C1即为所求．点拨：平移作图时，找关键点的对应点是关键的一步．(第1题)(第2题)2．解：∵点P(x1，y1)平移后的对应点为P′(x1＋6，y1＋4)，∴平移的方法为先向右平移6个单位长度，再向上平移4个单位长度．由题图可知，A(－4，－2)，B(－5，－5)，C(－1，－3)，∴A′(2，2)，B′(1，－1)，C′(5，1)．如图所示，△A′B′C′即为平移后的图形．3．解：(1)连接OA，OD，OB，OC；(2)分别以OB，OC为一边作∠BOE，∠COF，使得∠BOE＝∠COF＝∠AOD且OE＝OB，OF＝OC；(3)连接EF，ED，FD，△DEF就是△ABC 绕点O旋转得到的图形，如图．点拨：旋转作图要严格按照步骤进行．先找准旋转中心和旋转角，确定关键点，再作出各个关键点的对应点，最后顺次连接各关键点的对应点．(第3题)(第4题)4．解：(1)如图，△AEF就是所求作的三角形．点E的坐标是(3，3)，点F的坐标是(3，－1)．(第5题)(2)答案不唯一，如B(－2，0)等．5．解：如图，作法：(1)过点A作直线m的垂线，垂足为点O，在垂线上截取OA′＝OA，点A′就是点A关于直线m的对称点；(2)类似地，可以分别作出点B，C关于直线m 的对称点B′，C′；(3)连接A′B′，B′C′，C′A′，得到的△A′B′C′就是所要求作的图形．点拨：作平面图形关于某直线的对称图形，只要找到已知图形的关键点，作这些关键点关于这条直线的对称点，再连接这些对称点即可．6．解：如图．(第6题)7．解：(1)如图．(2)点A(2，1)关于原点对称的点为A1(－2，－1)，点B(－2，3)关于原点对称的点为B1(2，－3)，点C(－2，－2)关于原点对称的点为C1(2，2)．(3)点C与点C1重合，所经过的路径是以点O为圆心，OC长为半径的半圆，OC＝22，所以点C所经过的路径长为22π.。

解码专训一：图形的变换——平移、对称、旋转在几何证明中的巧用名师点金：在进行与图形变换有关的计算或证明时，往往需要在图形中添加一些辅助线，添加辅助线后能使题目中的分散条件集中，较容易找到一些量之间的关系，使数学问题较轻松地解决．常见的辅助线作法有平移法、旋转法、翻折法等．翻折法1．如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，AD⊥BE，垂足为D.求证：∠2＝∠1＋∠C.(第1题)平移法2．如图，在△ABC中，E，F分别为AB，AC上的点，且BE＝CF，请判断EF与BC 的大小关系，并说明理由．(第2题)旋转法3．如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，以D为顶点作60°角，角的两边分别交AB，AC于点M，N，连接MN，试探究BM，MN，NC之间的关系，并加以证明．(第3题)4．如图所示，在△ABC中，M是BC的中点，E，F分别在AC，AB上，且ME⊥MF，求证：EF<BF＋CE.(第4题)解码专训一(第1题)1．证明：如图，延长AD 交BC 于点F.(相当于将AB 边向下翻折，与BC 边重合，A 点落在F 点处，折痕为BE)∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE ＝∠CBE.∵BD ⊥AD ，∴∠ADB ＝∠FDB ＝90°.在△ABD 和△FBD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ABD ＝∠FBD ，BD ＝BD ，∠ADB ＝∠FDB ，∴△ABD ≌△FBD(ASA )．∴∠2＝∠DFB.又∵∠DFB ＝∠1＋∠C ，∴∠2＝∠1＋∠C.2．解：EF<BC.理由如下：如图，将EF 平移到BM ，则MF 可看成由BE 平移得到，所以CF ＝BE ＝MF ，考虑到MF 与CF 的对称关系，作∠MFC 的平分线交BC 于点D ，连接DM ，易得DM ＝DC.∵BD ＋DM>BM ，∴BD ＋CD ＞BM ，∴BC>EF ，即EF<BC.点拨：本题从平移的角度来思考问题，从而降低了求解的难度．(第2题)(第3题)3．解：猜想：MN ＝BM ＋NC.证明如下：延长NC 到点E ，使CE ＝BM ，连接DE(相当于将△DBM 绕点D 旋转至△DCE)． ∵△ABC 是等边三角形，△BDC 是顶角∠BDC ＝120°的等腰三角形，∴∠ABC ＝∠ACB ＝60°，∠DBC ＝∠DCB ＝180°－120°2＝30°. ∴∠DBM ＝∠DCE ＝90°.又∵DB ＝DC ，∴△DBM ≌△DCE.∴DM ＝DE ，∠BDM ＝∠CDE.∴∠EDN ＝∠CDN ＋∠CDE ＝∠CDN ＋∠BDM ＝120°－60°＝60°.∵DM ＝DE ，∠MDN ＝∠EDN ，DN ＝DN ，∴△DMN ≌△DEN ，∴MN ＝EN ，∴MN ＝NC ＋CE ＝BM ＋NC.(第4题)4．证明：由题意可知BM ＝MC ，∴可将△BFM 绕点M 旋转180°得到△CNM ，如图所示，∴BF ＝CN ， FM ＝MN.连接EN ，又∵ME ⊥MF ，∴EN ＝EF.在△ENC 中，EN<NC ＋CE ，∴EF<BF ＋CE.。

解码专训二：几种常有的热点考点名师点金：一元二次方程题的种类特别丰富，常有的有一元二次方程的根、一元二次方程的解法、一元二次方程根的状况、一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的应用等，只需我们掌握了不一样种类题的解法特色，就能够使问题变得简单，了然．一元二次方程的根1．(2015·州兰 ) 若一元二次方程ax2－ bx－ 2 015＝ 0 有一根为x＝－ 1，则 a＋b＝ ________．2．若对于x 的一元二次方程ax2＋bx＋ c＝ 0 有一根为－1，且a＝4－ c＋c－ 4－2，（a＋ b）2 016求 2 015c的值．一元二次方程的解法3．用配方法解方程x2－ 2x－1＝ 0 时，配方后所得的方程为()A．(x＋ 1)2＝0B． (x －1)2＝ 0C． (x＋ 1)2＝ 2D． (x－ 1)2＝ 24．一元二次方程x2－ 2x－ 3＝ 0 的解是 ()A．x1＝－ 1， x2＝3B． x1＝1， x2＝－ 3C． x1＝－ 1， x2＝－ 3D． x1＝ 1，x2＝ 35．选择适合的方法解以下方程：(1)(x － 1)2＋2x(x － 1)＝ 0；(2)x2－ 6x－ 6＝0；(3)6 000(1 － x)2＝ 4 860；(4)(10＋ x)(50 － x)＝ 800；(5)(中考·山西 )(2x － 1)2＝ x(3x ＋ 2)－7.一元二次方程根的鉴别式6．(2015·北河 )若对于x 的方程x2＋ 2x＋ a＝ 0 不存在实数根，则 a 的取值范围是() A．a＜ 1B． a＞ 1C． a≤ 1 D． a≥ 17．在等腰三角形ABC中，三边长分别为a， b， c.此中a＝ 5，若对于x 的方程x2＋ (b ＋ 2)x ＋ (6－ b)＝ 0 有两个相等的实数根，求△ ABC的周长．一元二次方程根与系数的关系8．已知α，β是对于x 的一元二次方程x2＋ (2m＋ 3)x ＋ m2＝ 0 的两个不相等的实数根，且知足 1＋ 1＝－ 1，则m 的值是 ()α βA．3B．1C．3或－1 D．－3或 19．(2015·充南)已知对于x 的一元二次方程(x－ 1)(x －4)＝ p2， p 为实数．(1)求证：方程有两个不相等的实数根．(2)p 为什么值时，方程有整数解．(直接写出三个，不需说明原因)．10．对于x 的方程 ax2－ (3a＋ 1)x＋ 2(a＋ 1)＝ 0 有两个不相等的实数根x1， x2，且有x1＋ x2－ x1x2＝ 1－ a，求 a 的值．11．设x1，x2是对于x的一元二次方程x2＋2ax＋a2＋4a－2＝0的两个实数根，当a为什么值时， x12＋ x22有最小值？最小值是多少？一元二次方程的应用12．(2015乌·鲁木齐)某商品此刻的售价为每件60 元，每礼拜可卖出300 件．市场检查反应：每降价 1 元，每礼拜可多卖出20 件．已知商品的进价为每件40 元，在顾客得优惠的前提下，商家还想获取 6 080 元的收益，应将销售单价定为多少元？13．小林准备进行以下操作实验：把一根长为 4 cm 的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2，小林该怎么剪？(2)小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不行能等于 48 cm2. ”他的说法对吗？请说明原因．新定义问题14．(中考·厦门)若x1，x2是对于x的方程x2＋bx＋c＝0的两个实数根，且|x1|＋|x2|＝2|k|(k是整数 )，则称方程 x2＋ bx＋ c＝0 为“偶系二次方程”．如方程 x2－ 6x － 27＝ 0，x2－ 2x－ 8＝ 0，x2＋ 3x －27＝0， x2＋ 6x－ 27＝ 0， x2＋ 4x＋ 4＝ 0 都是“偶系二次方程”．4判断方程 x2＋ x－12＝ 0 是不是“偶系二次方程”，并说明原因．解码专训二1．2 015点拨：把x＝－ 1 代入方程中获取a＋b－ 2 015＝ 0，即 a＋ b＝ 2 015.2．解：∵a＝4－c＋c－4－2，∴c－4≥0且4－c≥0，即c＝4，则a＝－2.又∵－1是一元二次方程 ax2＋ bx＋ c＝ 0 的根，∴ a－ b ＋ c＝ 0，∴ b＝ a＋ c＝－ 2 ＋ 4＝ 2.∴原式＝（－2＋ 2）2 016＝ 0.2 015 ×43．D 4.A5．解：(1)(x－1)2＋2x(x－1)＝0，(x－ 1)(x － 1＋ 2x)＝0，(x－ 1)(3x － 1) ＝ 0，x1＝ 1，x2＝1 . 3(2)x2－ 6x－ 6＝0，∵ a＝ 1， b＝－ 6， c＝－ 6，∴b2－ 4ac＝ (－6)2－ 4×1×(－ 6)＝ 60.∴x＝6±60＝ 3± 15，2∴x1＝ 3＋ 15， x2＝ 3－ 15.(3)6 000(1 － x)2＝ 4 860，(1－ x)2＝0.81，1－x＝±0.9，x1＝ 1.9， x2＝ 0. 1.(4)(10＋ x)(50 － x)＝ 800，x2－ 40x＋ 300＝0，x1＝ 10， x2＝ 30.(5)(2x － 1)2＝ x(3x ＋ 2)－ 7，4x2－4x ＋ 1＝3x2＋2x－7，x2－ 6x＋ 8＝0，x1＝ 2，x2＝4.6．B27．解：∵对于x 的方程 x ＋(b ＋2)x ＋ (6－ b)＝ 0 有两个相等的实数根，当 a 为腰时，△ ABC 周长为 5＋5＋ 2＝ 12.当 b 为腰时， 2＋ 2＜ 5，不可以组成三角形．∴△ ABC 的周长为 12.8．A9．(1)证明：化简方程，得x2－ 5x＋ 4－ p2＝ 0.＝(－ 5)2－ 4(4－ p2)＝ 9＋ 4p2.∵ p 为实数，则 p2≥0，∴ 9＋ 4p2＞ 0.即＞ 0，∴方程有两个不相等的实数根．(2)解：当 p 为 0， 2，－ 2 时，方程有整数解．(答案不独一 )点拨： (1) 先将一元二次方程化为一般形式，由题意得，一元二次方程根的鉴别式b2－4ac＝ (－ 5)2－ 4×1×(4－ p2 )＝ 9＋ 4p2，易得， 9＋ 4p2＞ 0，进而得证．(2)一元二次方程的解为2x＝ 5± 9＋ 4p，若方程有整数解，则9＋ 4p2一定是完整平方数，故当p＝0、 2、－ 2 时， 9 2＋ 4p2分别对应9、25、 25，此时方程的解分别为整数．10．解：由题意，得x1＋x2＝3a＋1，x1x2＝2（ a＋ 1），∴3a＋1－ 2（ a＋1）＝ 1－a，a a a a∴ a2－ 1＝ 0，即 a＝±1.又∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝[ －(3a＋ 1)] 2－ 4a·2(a＋ 1)＞ 0，即 (a－ 1)2＞0，∴ a≠1，∴ a＝－ 1.11．解：∵方程有两个实数根，∴221＝ (2a) － 4(a＋ 4a－ 2) ≥0，∴ a≤.2又∵ x1＋ x2＝－ 2a， x1x2＝ a2＋ 4a－2，∴x12＋ x22＝ (x1＋ x2) 2－ 2x1x2＝2(a－2)2－4.12122的值最小．∵ a≤，且 2(a－ 2)≥0，∴当 a＝时， x1＋ x222221211此时 x1＋ x2＝ 22－ 2－ 4＝2，即最小值为2.点拨：此题中考虑Δ≥0进而确立 a 的取值范围这一过程易被忽视．12．解：设每件商品降价x 元，则售价为每件(60－ x) 元，每礼拜的销量为(300＋ 20x)件．依据题意，得(60－ x－ 40)(300 ＋ 20x)＝ 6 080.解得 x1＝ 1， x2＝ 4.又要顾客得优惠，故取x＝ 4，即销售单价为56 元．答：应将销售单价定为56 元．13．解：(1)设剪成的较短的一段为x cm，则较长的一段为(40－ x) cm，由题意，得x 2 4＋40－ x2＝12， x ＝ 28.当 x＝ 12 时，较长的一段为 40－ 12＝ 28(cm)，当 x ＝ 58，解得 x412＝ 28时，较长的一段为40－ 28＝ 12＜28(舍去 )．∴较短的一段为12 cm，较长的一段为 28 cm.(2)小峰的说法正确．原因以下：设剪成的较短的一段为m cm，则较长的一段就为 (40－ m) cm，由题意得m240－ m222－ 4×416 4＋4＝ 48，变形为 m － 40m＋ 416＝0.∵＝ (－ 40)＝－ 64＜ 0，∴原方程无实数解，∴小峰的说法正确，这两个正方形的面积之和不行能等于48 cm2.14．解：不是．原因以下：解方程 x2＋ x－ 12＝ 0，得 x1＝－ 4， x2＝ 3.|x1|＋ |x2|＝ 4＋ 3＝ 2×|3.5|.∵ 3.5 不是整数，∴方程 x2＋ x－ 12＝ 0 不是“偶系二次方程”．。

初中数学九年级典例及变式===================================================================================123.3课题学习 图案设计主编：一．【知识要点】当一个图案由几个相同的图形组成时，我们可以 用已学过的图形的平移、旋转或轴对称的特征去分析它,看它具有什么样的运动特征，就可以判断它的形成过程;也可以根据图案所表达的内涵去挖掘它所表达的意义。

二．【典例精析】 知识点一:分析图案例1.如下左图所示的图案是由六个全等的菱形拼成的，它也可以看作是以一个图案为“基本图案”，通过旋转得到的．以下图案中，不能作为“基本图案”的一个是（ ） A ．B ．C ．D ．变式练习：1．下列这些复杂的图案都是在一个图案的基础上，在“几何画板”软件中拖动一点后形成的，它们中每一个图案都可以由一个“基本图案”通过连续旋转得来，旋转的角度正确的是（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°2.如图，可以通过平移变换但不能通过旋转变换得到的图案有 ；可以通过旋转变换但不能通过平移变换得到的图案有 ；既可通过平移变换，又可通过旋转变换得到的图案有 ．知识点二：利用图形变换设计图案例2.如图是一个4×4的正方形网格，每个小正方形的边长为1．请你在网格中以左上角的三角形为基本图形，通过平移、对称或旋转变换，设计一个精美图案，使其满足：①既是轴对称图形，又是以点O 为对称中心的中心对称图形；②所作图案用阴影标识，且阴影部分的面积为4．3.图案设计：正方形绿化场地拟种植两种不同颜色的花卉，要求种植的花卉能组成轴对称或中心对称图案．下面是三种不同设计方案中的一部分，请把图①、图②补成既是轴对称图形，又是中心对称图形，并画出一条对称轴；把图③补成只是中心对称图形，并把中心标上字母P ．（在你所设计的图案中用阴影部分和非阴影部分表示两种不同颜色的花卉．）三．【归纳小结】____________________________________________________________________________________________________________________________________。

23.3 课题学习图案设计课后作业：方案（B）一、教材题目：P77 T88.如图，（1）中的梯形符合什么条件时，可以经过旋转和轴对称形成（2）中的图案？二、补充题目：部分题目来源于《点拨》1．将图中方格纸中的图形绕O点顺时针旋转90°后得到的图形是()(第1题)2．如图中所摆放的五个图形，下列说法错误的是(以中心的图形为初始位置)()(第2题)A．左上角的图形只需沿对角线平移即可得到B．右上角的图形是先沿对角线平移后，再顺时针旋转45°得到的C．右下角的图形是先沿对角线平移后，再作轴对称变换得到的D．左下角的图形是先沿对角线平移后，再顺时针旋转90°得到的3．如图的图案是由图中的五种基本图形中的两种拼接而成的，这两种基本图形是()(第3题)A．(1)(5)B．(2)(3)C．(2)(4)D．(2)(5)4．某正方形园地是由边长为1的四个小正方形组成的，现要在园地上建一个花坛(阴影部分)，使花坛面积是园地面积的一半，以下图中(如图)设计不符合要求的是()5．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1.(1)如图(1)，两个半径为1的圆相交，求阴影部分的面积；(2)图(2)是以(1)中的图形为基本图形，通过怎样变换得到的？(第5题)6．用四块如图(1)所示的正方形瓷砖拼成一个新的正方形，使拼成的图案是一个轴对称图形．请你在图(2)(3)(4)中各画出一种拼法(要求三种拼法各不相同，且其中至少有一个既是轴对称图形，又是中心对称图形)．(第6题)7.为创建绿色校园，学校决定在一块正方形的空地上种植花草，现向学生征集设计图案，图案要求只能用圆弧在正方形内加以设计，使正方形和所画的圆弧构成的图案既是轴对称图形又是中心对称图形．种植花草部分用阴影表示．请你在图(3)(4)( 5)中画出三种不同的设计图案．提示：在两个图案中，只有半径变化而圆心不变的图案属于同一种，例如：图(1)(2)只能算一种．(第7题)8．我们通常可以对一些图形进行剪切，并利用图形的轴对称、平移、旋转等进行图案设计，如图(1)中，可以沿线段AE剪切矩形ABCD，再将△ABE通过变换与梯形AECD拼接成等腰梯形．请按下列要求进行图案设计：(第8题)(1)把矩形剪切2次拼接成一个菱形，请在图(2)中画出剪切线，再画出拼接示意图；(2)把矩形剪切1次拼接成一个菱形，请在图(3)中画出剪切线，再画出拼接示意图．答案一、教材8．解：当题图(1)中的梯形是有一个底角为60°，且上底长等于一腰长的等腰梯形时满足题意．点拨：仔细观察题图(2)中图案的组成情况即可解答本题．二、点拨1．B 2.D 3.D 4.B(第5题) 5．解：(1)如图，S正方形ABCD＝1×1＝1，S扇形ABC＝90360×π×12＝π4.∴阴影部分的面积为S正方形ABCD－2(S正方形ABCD－S扇形ABC)＝12π－1.(2)题图(2)中的图形可以通过轴对称变换和平移变换得到．6．解：如图．(第6题)点拨：答案不唯一．7．解：如图所示为不同情形下的部分正确画法，答案不唯一．(第7题)8．解：(1)沿矩形一边中点和对边两顶点连线剪去两个全等的直角三角形即可拼接出菱形，如图．(第8题(1))(2)以矩形一边为半径，顶点为圆心画弧，与另一边交于一点，沿该点与圆心的连线剪开，可拼接成菱形，如图．(第8题(2))。

解码专训二：探究二次函数中存在性问题名师点金：存在性问题是近年来中考的热点，这类问题的知识覆盖面广，综合性强，题型构思精巧，解题方法灵活，求解时常常要猜想或者假设问题的某种关系或结论存在，再经过分析、归纳、演算、推理找出最后的答案．常见的类型有：探索与特殊几何图形有关的存在性问题，探索与周长有关的存在性问题，探索与面积有关的存在性问题．探索与特殊几何图形有关的存在性问题1．(2015·绵阳)如图，已知抛物线y ＝－x 2－2x ＋a(a≠0)与y 轴相交于A 点，顶点为M ，直线y ＝12x －a 分别与x 轴、y 轴相交于B ，C 两点，并且与直线MA 相交于N 点．(1)若直线BC 和抛物线有两个不同交点，求a 的取值范围，并用a 表示点M ，A 的坐标． (2)将△NAC 沿着y 轴翻折，若点N 的对称点P 恰好落在抛物线上，AP 与抛物线的对称轴相交于点D ，连接CD ，求a 的值及△PCD 的面积．(3)在抛物线y ＝－x 2－2x ＋a(a ＞0)上是否存在点Q ，使得以Q ，A ，C ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．(第1题)探索与周长有关的存在性问题2．如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(－2，0)，OB＝OA，且∠AOB＝120°.(1)求点B的坐标．(2)求经过A，O，B三点的抛物线的解析式．(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．(第2题)探索与面积有关的存在性问题3．如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c经过A(1，0)，B(0，2)两点，顶点为D.(1)求抛物线的解析式；(2)将抛物线沿y轴平移后经过点C(3，1)，求平移后所得抛物线的解析式．(3)设(2)中平移后的抛物线与y轴的交点为B1，顶点为D1，在此抛物线上是否存在点N，使△NBB1的面积是△NDD1面积的2倍？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．(第3题)解码专训二1．解：(1)将A ，B ，C 三点的坐标代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得 ⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝0，9a ＋3b ＋c ＝0，c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2，c ＝3. ∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3. (2)∵点A ，B 关于直线l 对称，∴PA ＝PB.∴当点P 为直线BC 与l 的交点时，△PAC 的周长最小．由B(3，0)，C(0，3)易求直线BC 的解析式为y ＝－x ＋3；又易得直线l 的解析式为x ＝1.于是易求点P 的坐标为(1，2)．(3)存在．点M 的坐标为(1，1)，(1，6)，(1，－6)，(1，0)．点拨：对于(3)问，假设存在符合条件的点M ，设M(1，m)，由A(－1，0)，C(0，3)，结合勾股定理易得MA 2＝m 2＋4，MC 2＝m 2－6m ＋10，AC 2＝10.①若MA ＝MC ，则MA 2＝MC 2，得m 2＋4＝m 2－6m ＋10，得m ＝1；②若MA ＝AC ，则MA 2＝AC 2，得m 2＋4＝10，得m ＝±6；③若MC ＝AC ，则MC 2＝AC 2，得m 2－6m ＋10＝10，得m ＝0或m ＝6；当m ＝6时，M ，A ，C 三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去．综上可知，符合条件的点M 的坐标为(1，1)，(1，6)，(1，－6)，(1，0)．2．解：(1)由题意联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2－2x ＋a ，y ＝12x －a ，整理得2x 2＋5x －4a ＝0，由Δ＝25＋32a ＞0，解得a ＞－2532.∵a≠0，∴a ＞－2532且a≠0.令x ＝0, 得y ＝a ，∴A(0，a)．由y ＝－(x ＋1)2＋1＋a ，得M(－1，1＋a)．(2)设直线MA 为y ＝kx ＋b ，代入A(0，a)、M(－1，1＋a)，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ，1＋a ＝－k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝a ，故直线MA 为y ＝－x ＋a.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋a ，y ＝12x －a ，解得⎩⎨⎧x ＝4a3，y ＝－a 3.∴N ⎝⎛⎭⎫4a 3，－a3.由于P 点是N 点关于y 轴的对称点，因此P ⎝⎛⎭⎫－4a 3，－a 3，代入y ＝－x 2－2x ＋a ，得－a 3＝－169a 2＋83a ＋a ，解得a ＝94或a ＝0(舍去)． ∴A ⎝⎛⎭⎫0，94，C ⎝⎛⎭⎫0，－94，M ⎝⎛⎭⎫－1，134，∴AC ＝92. ∴S △PCD ＝S △PAC －S △DAC ＝12AC.|x P |－12AC.|x D |＝12×92×(3－1)＝92.(3)①当点Q 1在y 轴左侧时，由四边形AQ 1CN 为平行四边形，得AC 与Q 1N 相互平分，则点Q 1与N 关于原点(0，0)中心对称，而N ⎝⎛⎭⎫4a 3，－a 3，故Q 1⎝⎛⎭⎫－4a 3，a3代入y ＝－x 2－2x ＋a ，得a 3＝－169a 2＋83a ＋a ，解得a ＝158或a ＝0(舍去)，∴Q 1⎝⎛⎭⎫－52，58.②当点Q 2在y 轴右侧时，由四边形ACQ 2N 为平行四边形，得NQ 2∥AC 且NQ 2＝AC ，而N ⎝⎛⎭⎫4a 3，－a3，A(0，a)，C(0，－a)，故Q 2⎝⎛⎭⎫4a 3，－7a 3.代入y ＝－x 2－2x ＋a ，得－7a 3＝－169a 2－83a ＋a ，解得a ＝38或a ＝0(舍去)，∴Q 2⎝⎛⎭⎫12，－78.∴当点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫－52，58或⎝⎛⎭⎫12，－78时，Q ，A ，C ，N 四点能构成平行四边形．3．解：(1)过点B 作BD ⊥y 轴于点D ，则∠BOD ＝120°－90°＝30°.由A(－2，0)可得OA ＝2，∴OB ＝2.于是在Rt △BOD 中，易得BD ＝1，OD ＝ 3.∴点B 的坐标为(1，3)．(2)由抛物线经过点A(－2，0)，O(0，0)可设抛物线的解析式为y ＝ax(x ＋2)，将点B 的坐标(1，3)代入，得a ＝33，因此所求抛物线的解析式为y ＝33x 2＋233x.(第3题)(3)存在．如图，易知抛物线的对称轴是直线x ＝－1，当点C 是抛物线的对称轴与线段AB 的交点时，△BOC 的周长最小．设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎨⎧k ＋b ＝3，－2k ＋b ＝0，解得⎩⎨⎧k ＝33，b ＝233，∴y ＝33x ＋233.当x ＝－1时，y ＝33，因此点C 的坐标为⎝⎛⎭⎫－1，33.4．解：(1)∵抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过点A(1，0)，B(0，2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧0＝1＋b ＋c ，2＝c.解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－3，c ＝2. ∴抛物线的解析式为y ＝x 2－3x ＋2.(2)当x ＝3时，由y ＝x 2－3x ＋2得y ＝2，可知抛物线y ＝x 2－3x ＋2过点(3，2)， ∴将原抛物线沿y 轴向下平移1个单位长度后过点C.∴平移后抛物线的解析式为y ＝x 2－3x ＋1.(3)假设存在点N ，则点N 在抛物线y ＝x 2－3x ＋1上，可设N 点坐标为(x 0，x 02－3x 0＋1)．由(2)知，BB 1＝DD 1＝1.将y ＝x 2－3x ＋1配方得y ＝⎝⎛⎭⎫x －322－54， ∴抛物线的对称轴为直线x ＝32.(第4题)当0<x 0<32时，如图①，∵S △NBB 1＝2S △NDD 1，∴12×1×x 0＝2×12×1×⎝⎛⎭⎫32－x 0， ∴x 0＝1，此时x 02－3x 0＋1＝－1，∴点N 的坐标为(1，－1)； 当x 0>32时，如图②，同理可得12×1×x 0＝2×12×1×⎝⎛⎭⎫x 0－32， ∴x 0＝3，此时x 02－3x 0＋1＝1，∴点N 的坐标为(3，1)． 综上，符合条件的点N 的坐标为(1，－1)，(3，1)．。