高数课总复习下册2010-2

总复习（三重积分、曲线曲面积分） （注：教材中带*号的内容不考）一， 各种积分：重积分（一重积分即定积分，二重积分，三重积分）， 曲线积分（第一类，第二类；平面，空间），曲面积分（第一类，第二类）怎样识别：根据积分区域。

另外对第一、第二类线、面积分还要看微元字符。

二， 重点：1,重积分重点主要是定限和计算，其次是几何应用（体积，曲面面积）与物理应用（质量，质心，做功，引力）2,曲线曲面积分重点主要是计算，其次是几何与物理应用3,各种积分的关系（主要用于通过互化来计算）：格林公式，高斯公式，斯托克斯公式*，两类曲线曲面积分互化三，三重积分的计算： 1. “2+1”公式：21(,)(,)(,,) (1)xyz x y z x y D f x y z dxdydz dxdy f x y z dz Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰（，，）此公式可导出“1+1+1”公式，柱坐标，球坐标* 2. “1+2”公式”：(,,) (2)(,,)zd cD z f x y z dxdydz dz f x y z dxdy D z f x y z z Ω=Ω⎰⎰⎰⎰⎰⎰（，，）其中为用垂直于 轴的平面去截割积分区域所得到的平面区域.此公式常用于当仅含时.2211()(,)()(,)2223. (,,) (3)12, , by x z x y a y x z x y f x y z dxdydz dx dy f x y z dz x y z r c Ω=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰化为三次积分：（，，）4. 化为柱坐标：当公式（），（）中的二重积分用极坐标时即为柱坐标。

5*. 化为球坐标：当被积函数含有积分区域的边界曲面是球坐标曲 面（球面圆锥, c c ϕθ==面半平面）时，常使用球坐标。

公式（3）定限方法：穿越法:1212(,) (,) () () z z x y z z x y y y x y y x ====为入口面，为出口面，为入口线，为出口线.要领：内限是外积分变量的函数。

高等数学下册复习资料高等数学下册是一门重要的大学数学课程，也是有挑战性的一门课程。

学生们需要透彻地掌握这门课程的基本概念、理论和实际应用，才能够为以后的学习和工作做好充分的准备。

因此，复习高等数学下册是非常必要的。

一、复习重点1.微分方程微分方程是高等数学下册中比较难理解和掌握的知识点之一。

在这个部分中，学生们需要掌握常微分方程及其解法、初始值问题、高阶微分方程、齐次方程和非齐次方程等。

2.多元函数微积分学多元函数微积分学是高等数学下册的另一个难点，包括多重积分、曲线积分、曲面积分、矢量场的线积分和面积分等。

3.线性代数线性代数是高等数学下册另一个重要的知识点。

这个部分需要学生们掌握线性空间、矩阵、行列式和特征值及其应用、线性方程组及其应用等。

二、复习方法1.理解基本概念和理论高等数学下册有很多基本的概念和理论，这些知识点是这门课程的基础。

学生们需要花费足够的时间来学习和理解这些概念和理论，从而能够透彻地掌握整个课程。

2.做题巩固知识点在学习中，做题是非常重要的一部分。

学生们需要选择一些代表性和难度适当的例题和习题来练习，从而加深对知识点的理解和掌握。

同时，做题也可以帮助学生们检查自己的学习效果。

3.查阅资料和参考书籍在复习过程中，学生们可以查阅相关资料和参考书籍，例如高等数学下册的教材、辅读书和网上资料等。

通过阅读和学习这些资料，学生们可以更深入地了解和掌握相关知识点。

4.参加辅导课和讨论小组参加辅导课和讨论小组，可以让学生们更好地交流和学习。

在这个过程中，学生们可以和老师和同学们一起讨论和解决问题，不断提高自己的学习能力。

三、总结复习高等数学下册需要花费足够的时间和精力，但是这个过程是非常重要的。

通过理解基本概念和理论、做题巩固知识点、查阅资料和参考书籍、参加辅导课和讨论小组等方法，学生们可以逐渐掌握高等数学下册的知识点，为以后的学习和工作打下坚实的基础。

高等数学 ( 向量代数— >无穷级数 ) 知识点向量与空间几何向量：向量表示((a^b)); 向量运算 (向量积 )；向量的方向和投影空间方程：曲面方程(旋转曲面和垂直柱面)；直线方程 (参数方程和投影方程)平面方程：点法式(法向量 )、一般式、截距式；平面夹角和距离直线方程：一般式、对称式(方向向量 )、参数式；直线夹角；平面交线(法向量积 )切平面和切线：切线与法平面；切平面与法线多元函数微分学多元函数极限：趋近方式，等阶代换偏微分和全微分：高阶微分(连续则可等 )；复合函数求导(Jacobi 行列式 )；多元函数极值：偏导数判定；拉格朗日乘数法(条件极值 )重积分二重积分：直角坐标和极坐标；对称性；换元法三重积分：直角坐标、柱坐标和球坐标；对称性重积分的应用：曲面面积；质心；转动惯量；引力曲线与曲面积分曲线积分：弧长积分；坐标曲线积分 (参数方程 )；格林公式面积积分：对面积积分；坐标面积积分；高斯公式无穷级数级数收敛：通项极限正项级数：调和级数；比较法和比较极限法；根值法；极限法；绝对收敛和条件收敛幂级数：收敛半径和收敛域；和函数；麦克劳林级数(二次展开 )Fourier 级数：傅里叶系数 (高次三角函数积分 )；奇偶延拓；正弦和余弦级数；一般周期的傅里叶级数矢量分析与场论(空间场基础 )方向导数与梯度方向导数：向量参数式；偏导数；方向余弦梯度 (grad)：方向导数的最值；梯度方向；物理意义(热导方向与电场方向)格林公式：曲线积分—>二重积分；曲线方向与曲面方向全微分原函数：场的还原；折线积分通量与散度高斯公式：闭合曲面—>三重积分；曲面外侧定向；曲面补齐；向量表达(通量 )散度 (div) ：通量的体积元微分；物理意义(有源场(电场 ))环流量与旋度斯托克斯公式：闭合曲线—>曲面积分；向量积定向；行列式表达；向量表达；物理意义 (环通量 )旋度 (rot) ：行列式斯托克斯公式；物理意义(有旋场 (磁场 ))第八章向量与解析几何向量代数定义定义与运算的几何表达uuur 向量有大小、有方向. 记作a或AB模向量 a 的模记作 a和差在直角坐标系下的表示a a x i a y j a z k (a x, a y ,a z)r r r a x prj x a, a y prj y a,a z prj z a a a x 2 a y 2 a z 2c a b a x b x, a y b y , a z b zc a b c a－ b单位向量 a 0 ，则 e a aae a( a x , a y , a z )a x2a y2a z2方向余弦点乘（数量积）叉乘（向量积）c a b 设 a 与x, y, z轴的夹角分别为，，，则方向余弦分别为 cos ， cos ， cosa b a b cos，为向量a与b的夹角c a b sin为向量 a 与 b 的夹角向量 c 与 a ，b都垂直定理与公式cosa x，cosa y，cosa zr r ra a ae a ( cos ， cos ， cos )cos2 +cos 2 cos 2 1a b a x b x a y b y a z b zi j ka b a x a y a zb x b y b z垂直平行a b a b 0 a b a x b x a y b y a z b z 0 a // b a b 0 a // ba x a y a zb x b y b za bcosa xb x a y b y a z b z交角余弦两向量夹角余弦cosa x2 a y2 a z2b x2 b y2 b z2a b向量 a 在非零向量b上的投影ax b x a y b y a z b z 投影 a b prj b a bx b y b zprj b a a cos(a b) 2 2 2b平面直线法向量 n { A, B,C }点M0( x0, y0, z0) 方向向量 T { m , n, p} 点 M 0 ( x0 , y0 , z0 )方程名称方程形式及特征方程名称方程形式及特征一般式Ax By Cz D 0 一般式A1 x B1 y C 1 z D 1 0 A 2 x B 2 y C 2 z D 2 0点法式A( x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0 点向式x x0 y y0 z z0 m n px x1 y y1 z z1 x x0 mt 三点式x 2 x1 y2 y1 z2 z1 0 参数式y y0 nt x3 x1 y3 y1 z3 z1 z z0 pt截距式x y z1 两点式x x0 y y0 z z0 a b c x1 x0 y1 y0 z1 z0面面垂直A1 A2 B1B2 C1C2 0 线线垂直m1 m2 n1 n2 p1 p2 0面面平行A1 B1 C1线线平行m1 n1 p1 A2 B2 C 2 m2 n2 p2线面垂直A B C线面平行Am Bn Cp 0 m n p点面距离面面距离M 0 (x0 , y0 , z0 ) Ax By Cz D 0 Ax By Cz D1 0 Ax By Cz D 2 0n1 cosdAx0 By0 Cz0 DdD1 D2A2 B 2 C 2 A2 B2 C2 面面夹角线线夹角线面夹角{ A1, B1 ,C1} n2 { A2 , B2 ,C2 } s1 { m1 ,n1 , p1} s2 { m2 , n2 , p2 } s { m,n, p} n { A, B, C} | A1A2 B1 B2 C1C2 | m1 m2 n1 n2 p1 p2 sinAm Bn Cpcos A2 B2 C 2 m2 n2 p 22 2 2A222 2m12 n12 p12 m22 n22 p22A1 B1 C1 B2 C2空间曲线x(t)，y(t)，z(t )，(t)x x0 y y0 z z0切“线”方程：(t 0 ) (t 0 ) (t0 ) 切向量T ( (t0 ) , (t0 ) , (t0 )) 法平“面”方程：(t0 ) ( x x0 ) (t0 ) ( y y0 ) (t 0 )( z z0 ) 0：空间曲面：y(x)z (x)F ( x, y, z) 0切向量T (1 , ( x) , (x))法向量rn( F x ( x0 , y0 , z0 ) ,F y ( x0 , y0 , z0 ) ,F z ( x0 , y0 , z0 ) )切“线”方程：x x0 y y 0 z z01 ( x0 ) ( x 0 )法平“面”方程：( x x0 ) ( x0 ) ( y y0 ) ( x0 )( z z0 ) 0切平“面”方程：F x ( x0 , y 0 , z0 )( x x0 ) F x ( x0 , y0 , z0 )( y y 0 )F x ( x0 , y0 , z0 )( z z0 ) 0法“线“方程：x x0 y y 0 z z0F x ( x 0 , y 0 , z0 ) F y ( x 0 , y 0 , z0 ) F z ( x0 , y 0 , z0 )r) ,n ( f x ( x0 , y 0 切平“面”方程：f y ( x0 , y 0 ) , 1 ) f x ( x0 , y0 )( x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 ) ( z z0 ) 0z f ( x, y) 或法“线“方程：rn ( f x ( x0 , y0 ) , x x0 y y0 z z0f y (x0 , y0 ) , 1) f x ( x0 , y0 ) f y (x0 , y0 ) 1第十章重积分积分类型二重积分I f x, y dD平面薄片的质量质量 = 面密度面积重积分计算方法（1）利用直角坐标系X—型 f ( x, y)dxdy b 2 ( x)dx f (x, y)dyD a 1( x)Y—型 f (x, y) dxdy d 2 ( y)dy f (x, y) dxD c 1 ( y)（2）利用极坐标系使用原则(1)积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示( 含圆弧 ,直线段 )；(2) 被积函数用极坐标变量表示较简单( 含( x2y2 ) ,为实数)f ( cos , sin ) d dD2(), sin ) dd f ( cos1()020 2（3）利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性当D 关于 y 轴对称时，（关于 x 轴对称时，有类似结论）0 f ( x, y)对于x是奇函数，即 f ( x, y ) f ( x, y )I2 f ( x, y) dxdy f ( x, y )对于x是偶函数，D1即 f ( x, y) f ( x , y )D1是 D的右半部分计算步骤及注意事项典型例题P141—例 1、例 3P147—例 5P141—例 2应用该性质更方便1 ．画出积分区域2 ．选择坐标系标准：域边界应尽量多为坐标轴，被积函数关于坐标变量易分离3 ．确定积分次序原则：积分区域分块少，累次积分好算为妙4 ． 确定积分限 方法：图示法 先积一条线，后扫积分域5 ． 计算要简便注意：充分利用对称性，奇偶性投影法 (1) 利用直角坐标截面法f ( x, y, z)dVb y 2 ( x ) z 2 ( x,y ) 投影dx dy f ( x, y, z)dzay 1 ( x )z 1 ( x ,y)x r cos （2） 利用柱面坐标y r sinz zP159—例 1P160—例 2三重积分 相当于在投影法的基础上直角坐标转换成极坐标I适用范围 :f ( x, y, z)dvP161—例 3○积分区域 表面用柱面坐标表示时方程简单； 如 旋转体12变量易分离 .如 f ( x 22) f (x 22)○被积函数 用柱面坐标表示时yzf (x, y, z)dVb dr 2 ( ) cos , sin, z) ddzr 1 ( f (空间立体物的a)质量x cos r sin cos （3）利用球面坐标ysinr sin sin质 量 = 密 度z r cos面积dv r 2sindrd dP165— 10-(1)适用范围 :○1积分域 表面用球面坐标表示时 方程简单 ;如，球体，锥体 .2变量易分离 . 如， f ( x2 y2 2)○被积函数 用球面坐标表示时z2 22(, ) sin cos ,sin sin , cos ) 2sin dIdd1(f ( 1 1, )（4）利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性积分类型第一类曲线积分If (x, y)dsL曲形构件的质量质 量 = 线 密 度弧长第十一章曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分计算方法典型例题参数法（转化为定积分）（ 1） L : y (x) I f ( (t), (t)) '2 (t )'2 (t )dt（ 2） L : x(t )(t) Ib1 y'2 ( x) dxf (x, y( x))y(t )aP189-例 1x r ( )cosP190－ 3（ 3） rr ( ) () L :y r ( )sinIf ( r ( ) cos ,r ( ) sin ) r 2 ( ) r '2 ( ) d（ 1） 参数法 （转化为定积分）x ( t)(t 单调地从 到 )L :(t) yPdx Qdy{ P[ (t),( t)](t ) Q[ (t), ( t)] (t )} dtL（ 2）利用格林公式 （转化为二重积分）条件： ①L 封闭，分段光滑，有向（左手法则围成平面区域D ）② P ， Q 具有一阶连续偏导数结论：Pdx QdyQ P()dxdyLx y平面第二类曲线 D满足条件直接应用积分应用：有瑕点，挖洞不是封闭曲线，添加辅 助线P196-例 1、例 2、例 3、例 4P205－例 4P214-5(1)(4)I Pdx QdyL变力沿曲线所做的功（3）利用路径无关定理 （特殊路径法）等价条件：①QP ②Pdx Qdyx yL③ PdxQdy 与路径无关，与起点、终点有关L④ Pdx Qdy 具有原函数 u( x, y)（特殊路径法，偏积分法，凑微分法）（4）两类曲线积分的联系P211-例 5、例 6、例 7IPdx Qdy(Pcos Qcos )dsLL（ 1）参数法 （转化为定积分）空间第二类曲线Pdx Qdy Rdz{ P[ (t), (t), (t)] (t ) Q[ (t), (t), (t)] (t )积分R[ (t), (t), (t)] (t )}dt（ 2）利用斯托克斯公式 （转化第二类曲面积分）IPdx Qdy Rdz 条件： ①L 封闭，分段光滑，有向L② P ， Q ，R 具有一阶连续偏导数P240-例 1变力沿曲线所做的功第一类曲面积分If (x, y, z)dv曲面薄片的质量质 量 = 面 密 度面积Pdx QdyRdzL结论：R Q P R Q p()dydz (z)dzdx (x)dxdyyzxy满足条件直接应用应用：不是封闭曲线，添加辅 助线投影法： zz( x, y) 投影到 xoy 面I f (x, y, z)dvf (x, y, z(x, y)) 1 z x 2 z 2y dxdyDxy类似的还有投影到yoz 面和 zox 面的公式P217-例 1、例 2（1）投影法○1Pdydzp( x( y, z), y, z)dydzDy z： z z( x, y) ， 为 的法向量与 x 轴的夹角前侧取“ +”， cos 0 ；后侧取“”， cos 0○2Qdzdxp(x, y( x, z), z)dzdxDyz第二类曲面积分： yy( x, z) ， 为的法向量与 y 轴的夹角右侧取“ +”， cos 0 ；左侧取“ ”， cos 0○3QdxdyQ( x, y, z(x, y))dxdyDy z： xx( y, z) ，为 的法向量与 x 轴的夹角IPdydz Qdzdx Rdxdy”， cos上侧取“ +”， cos ；下侧取“（2 ）高斯公式 右手法则取定 的侧流体流向曲面一 条件： ① 封闭，分片光滑，是所围空间闭区域的外侧侧的流量② P ， Q ，R 具有一阶连续偏导数结论：Pdydz Qdzdz Rdxdy(PQR )xyz满足条件直接应用应用：不是封闭曲面，添加辅 助面（3）两类曲面积分之间的联系Pdydz Qdzdx Rdxdy (PcosQcos Rcos )dS转换投影法： dydz (z)dxdy dzdx (z)dxdyx y所有类型的积分：○1 定义：四步法——分割、代替、求和、取极限； ○2 性质：对积分的范围具有可加性，具有线性性；○3 对坐标的积分，积分区域对称与被积函数的奇偶性。

高数下知识点复习一、导数与微分1.导数的定义导数是描述函数变化率的概念，表示函数在某一点的瞬时变化率。

导数的定义为：$$f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0}{\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}$$2.导数的性质导数具有如下的性质：(1) 导函数存在的充要条件是函数在该点可导。

(2) 导函数的值表示函数的斜率。

(3) 导函数具有线性性质，即对于常数a和b，有$(af(x)+bg(x))'=af'(x)+bg'(x)$。

(4) 导函数的导数为二阶导数，记作$f''(x)$。

3.微分的定义与性质微分是导数的一种几何解释，表示函数在某一点附近的变化量。

微分的定义为：$$df(x) = f'(x)dx$$微分满足的性质包括：(1) $\Delta f = f(x+\Delta x)-f(x) \approx df$(2) 微分的四则运算：若函数f(x)和g(x)可导，则$$d(f\pm g) = df \pm dg$$$$d(f \cdot g) = g(df) + f(dg)$$$$d\left(\frac{f}{g}\right) = \frac{g(df) - f(dg)}{g^2}$$二、极限与连续1.数列极限数列极限是描述数列趋向某一值的概念。

数列的极限定义为：对于任意给定的正数$\varepsilon$，存在正整数N，使得当$n>N$时，有$|a_n-L|<\varepsilon$。

2.函数极限函数极限是描述函数趋向某一值的概念。

函数的极限定义为：对于任意给定的正数$\varepsilon$，存在正数$\delta$，使得当$0<|x-a|<\delta$时，有$|f(x)-L|<\varepsilon$。

3.极限的性质极限具有如下的性质：(1) 唯一性：如果极限存在，则极限是唯一的。

下册（一）：多元函数的微积分：将上册的一元函数微积分的概念拓展到多元函数最典型的是二元函数极限：二元函数与一元函数要注意的区别，二元函数中两点无限接近的方式有无限多种（一元函数只能沿直线接近），所以二元函数存在的要求更高，即自变量无论以任何方式接近于一定点，函数值都要有确定的变化趋势连续：二元函数和一元函数一样，同样是考虑在某点的极限和在某点的函数值是否相等导数：上册中已经说过，导数反映的是函数在某点处的变化率（变化情况），在二元函数中，一点处函数的变化情况与从该点出发所选择的方向有关，有可能沿不同方向会有不同的变化率，这样引出方向导数的概念沿坐标轴方向的导数若存在，称之为偏导数通过研究发现，方向导数与偏导数存在一定关系，可用偏导数和所选定的方向来表示，即二元函数的两个偏导数已经足够表示清楚该函数在一点沿任意方向的变化情况高阶偏导数若连续，则求导次序可交换微分：微分是函数增量的线性主要部分，这一本质对一元函数或多元函数来说都一样。

只不过若是二元函数，所选取的线性近似部分应该是两个方向自变量增量的线性组合，然后再考虑误差是否是自变量增量的高阶无穷小，若是，则微分存在仅仅有偏导数存在，不能推出用线性关系近似表示函数增量后带来的误差足够小，即偏导数存在不一定有微分存在若偏导数存在，且连续，则微分一定存在极限、连续、偏导数和可微的关系在多元函数情形里比一元函数更为复杂极值：若函数在一点取极值，且在该点导数（偏导数）存在，则此导数（偏导数）必为零所以，函数在某点的极值情况，即函数在该点附近的函数增量的符号，由二阶微分的符号判断。

对一元函数来说，二阶微分的符号就是二阶导数的符号，对二元函数来说，二阶微分的符号可由相应的二次型的正定或负定性判断。

级数敛散性的判别思路：首先看通项是否趋于零，若不趋于零则发散。

若通项趋于零，看是否正项级数。

若是正项级数，首先看能否利用比较判别法，注意等比级数和调和级数是常用来作比较的级数，若通项是连乘形式，考虑用比值判别法，若通项是乘方形式，考虑用根值判别法。

第八、九章向量代数与空间解析几何总结○1定义：四步法——分割、代替、求和、取极限；○2性质：对积分的范围具有可加性，具有线性性；○3对坐标的积分，积分区域对称与被积函数的奇偶性。

第十二章总结无穷级数常数项级数傅立叶级数幂级数一般项级数正项级数用收敛定义，nns∞→lim存常数项级数的基本性质常数项级数的基本性质○若级数收敛,各项同乘同一常数仍收敛?○两个收敛级数的和差仍收敛?注：一敛、一散之和必发散；两散和、差必发散.○去掉、加上或改变级数有限项?不改变其收敛性?○若级数收敛?则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛，且其和不变。

推论?如果加括号后所成的级数发散?则原来级数也发散?注：收敛级数去括号后未必收敛.莱布尼茨判别法若1+≥nnuu且0lim=∞→nnu，则∑∞=--11)1(nnn u收敛nu∑和nv∑都是正项级数，且nnvu≤.若nv∑收敛，则nu∑也收敛；若nu∑发散，则nv∑也发散.比较判别法比较判别法的极限形式nu∑和nv∑都是正项级数，且lvunnn=∞→lim，则○1若+∞<<l0,nu∑与nv∑同敛或同散;○2若0=l,nv∑收敛,nu∑也收敛；○3如果+∞=l，nv∑发散，nu∑也发比值判别法根值判别法nu∑是正项级数，ρ=+∞→nnn uu1lim,ρ=∞→nnnulim,则1<ρ时收敛；1>ρ(ρ=+∞)时发散；1=ρ时可能收敛也可能发收敛性和函数展成幂级数nnnxa∑∞=0,ρ=+∞→nnn aa1lim,1,0;,0;0,.R R Rρρρρ=≠=+∞===+∞缺项级数用比值审敛法求收敛半径)(xs的性质○在收敛域I上连续;○在收敛域),(RR-内可导，且可逐项求导;○和函数)(xs在收敛域I上可积分，且可逐项积分.(R不变,收敛域可能变化).直接展开:泰勒级数间接展开:六个常用展开式⎰-=πππnxdxxfancos)(1⎰-=πππnxdxxfbnsin)(1收敛定理x是连续点,收敛于)(xf;x是间断点,收敛于)]()([21+-+xfxf周期延拓)(xf为奇函数，正弦级数，奇延拓；)(xf为偶函数，余弦级数、偶延拓.交错级数。

高等数学(向量代数—>无穷级数)知识点向量与空间几何向量：向量表示((a^b));向量运算(向量积)；向量的方向和投影空间方程：曲面方程(旋转曲面和垂直柱面)；直线方程(参数方程和投影方程)平面方程：点法式(法向量)、一般式、截距式；平面夹角和距离直线方程：一般式、对称式(方向向量)、参数式；直线夹角；平面交线(法向量积)切平面和切线：切线与法平面；切平面与法线多元函数微分学多元函数极限：趋近方式，等阶代换偏微分和全微分：高阶微分(连续则可等)；复合函数求导(Jacobi行列式)；多元函数极值：偏导数判定；拉格朗日乘数法(条件极值)重积分二重积分：直角坐标和极坐标；对称性；换元法三重积分：直角坐标、柱坐标和球坐标；对称性重积分的应用：曲面面积；质心；转动惯量；引力曲线与曲面积分曲线积分：弧长积分；坐标曲线积分(参数方程)；格林公式面积积分：对面积积分；坐标面积积分；高斯公式无穷级数级数收敛：通项极限正项级数：调和级数；比较法和比较极限法；根值法；极限法；绝对收敛和条件收敛幂级数：收敛半径和收敛域；和函数；麦克劳林级数(二次展开)Fourier级数：傅里叶系数(高次三角函数积分)；奇偶延拓；正弦和余弦级数；一般周期的傅里叶级数矢量分析与场论(空间场基础)方向导数与梯度方向导数：向量参数式；偏导数；方向余弦梯度(grad)：方向导数的最值；梯度方向；物理意义(热导方向与电场方向)格林公式：曲线积分—>二重积分；曲线方向与曲面方向全微分原函数：场的还原；折线积分通量与散度高斯公式：闭合曲面—>三重积分；曲面外侧定向；曲面补齐；向量表达(通量)散度(div)：通量的体积元微分；物理意义(有源场(电场)) 环流量与旋度斯托克斯公式：闭合曲线—>曲面积分；向量积定向；行列式表达；向量表达；物理意义(环通量)旋度(rot)：行列式斯托克斯公式；物理意义(有旋场(磁场))向量代数定义 定义与运算的几何表达 在直角坐标系下的表示向量 有大小、有方向. 记作a 或AB a (,,)x y z x y z a i a j a k a a a =++=,,x x y y z z a prj a a prj a a prj a ===模向量a 的模记作aa 222x y z a a a =++和差c a b =+c a b =－=+c a b {},,=±±±x x y y z z a b a b a b单位向量0a ≠，则a ae a=a e 222(,,)=++x y z x y z a a a a a a方向余弦设a 与,,x y z 轴的夹角分别为αβγ，，，则方向余弦分别为cos αβγ，cos ，coscos y x z a a a aaaαβγ===，cos ，coscos a e αβγ=(，cos ，cos ) 222cos 1αβγ+=+cos cos 点乘（数量积） θcos b a b a =⋅，θ为向量a 与b 的夹角 z z y y x x b a b a b a ++=⋅b a叉乘（向量积）b ac ⨯=θsin b a c =θ为向量a 与b 的夹角向量c 与a ，b 都垂直 zyxz y xb b b a a a k j ib a =⨯ 定理与公式垂直 0a b a b ⊥⇔⋅= 0x x y y z z a b a b a b a b ⊥⇔++=平行 //0a b a b ⇔⨯=//y zx x y za a a ab b b b ⇔== 交角余弦两向量夹角余弦ba ba ⋅=θcos222222cos x x y y z zx y z x y za b a b a b a a a b b b θ++=++⋅++投影向量a 在非零向量b 上的投影cos()b a bprj a a a b b∧⋅==222x x y y z zb x y za b a b a b prj a b b b ++=++空间曲面∑：0),,(=z y x F法向量000000000((,,),(,,),(,,))x y z n F x y z F x y z F x y z = 切平“面”方程：000000000000(,,)()(,,)()(,,)()0x x x F x y z x x F x y z y y F x y z z z -+-+-=法“线“方程：),,(),,(),,(000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z y x -=-=- ),(y x f z = 0000((,),(,),1)x y n f x y f x y =--或0000((,),(,),1)x y n f x y f x y =-切平“面”方程：0)())(,())(,(0000000=---+-z z y y y x f x x y x f y x法“线“方程：1),(),(0000000--=-=-z z y x f y y y x f x x y x 重积分 积分类型计算方法典型例题二重积分()σd ,⎰⎰=Dy x f I平面薄片的质量质量=面密度⨯面积（1） 利用直角坐标系X —型⎰⎰⎰⎰=Dbax x dy y x f dx dxdy y x f )()(21),(),(φφY —型⎰⎰⎰⎰=dcy y Ddx y x f dy dxdy y x f )()(21),(),(ϕϕP141—例1、例3（2）利用极坐标系 使用原则(1) 积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示(含圆弧,直线段 )； (2) 被积函数用极坐标变量表示较简单(含22()x y α+,α为实数)21()()(cos ,sin )(cos ,sin )Df d d d f d βϕθαϕθρθρθρρθθρθρθρρ=⎰⎰⎰⎰02θπ≤≤0θπ≤≤2πθπ≤≤P147—例5（3）利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性当D 关于y 轴对称时，（关于x 轴对称时，有类似结论）P141—例2应用该性质更方便所有类型的积分：○1定义：四步法——分割、代替、求和、取极限；○2性质：对积分的范围具有可加性，具有线性性；○3对坐标的积分，积分区域对称与被积函数的奇偶性。

高数下知识点复习高等数学下册包含了许多重要的知识点，对于我们深入理解数学的应用和进一步学习其他学科都有着至关重要的作用。

下面就来对这些知识点进行一个系统的复习。

首先是多元函数的微积分学。

多元函数与一元函数有很多相似之处，但也存在着明显的差异。

对于多元函数的极限与连续，要理解多元函数极限的定义和存在条件。

它比一元函数的极限更为复杂，因为需要考虑多个方向上的趋近情况。

连续性的判断也是基于极限的概念，需要函数在某点的极限值等于该点的函数值。

多元函数的偏导数是重点之一。

偏导数表示函数在某一变量方向上的变化率。

计算偏导数时，将其他变量视为常数，只对关注的变量进行求导。

比如对于函数＼（f(x,y)＼），＼（f_x\）表示对＼（x\）的偏导数，＼（f_y\）表示对＼（y\）的偏导数。

偏导数的几何意义可以理解为曲面在某一坐标轴方向上的切线斜率。

全微分则是综合考虑了各个变量的变化对函数值的影响。

它的表达式为＼（dz ＝ f_x dx ＋ f_y dy\）。

接着是多元函数的极值问题。

通过求解偏导数为零的方程组，得到驻点。

然后利用二阶偏导数判断驻点是否为极值点。

这里会涉及到判别式＼（D ＝ f_{xx}f_{yy} f_{xy}＾2\）。

若＼（D ＞ 0\）且＼（f_{xx} ＞ 0\），则为极小值点；若＼（D ＞ 0\）且＼（f_{xx} ＜0\），则为极大值点；若＼（D ＜ 0\），则不是极值点。

然后是重积分。

二重积分可以用于计算平面区域上的面积、质量等。

将二重积分化为累次积分是常见的计算方法，要根据积分区域的形状选择合适的积分顺序。

三重积分则是对空间区域的积分，其计算方法与二重积分类似，但更加复杂。

在重积分的应用中，求曲面的面积是一个重要的内容。

需要利用曲面的方程和相应的积分公式进行计算。

再来说说曲线积分和曲面积分。

曲线积分分为第一型曲线积分和第二型曲线积分。

第一型曲线积分与曲线的长度有关，常用于计算曲线的质量等。

2010-2011学年高等数学第二学期期末考试考点
1、空间解析几何与多元函数微分
（1）直线方程（点向式、面交式，参量式）。

（2）直线与平面平行、垂直的条件
（3）隐含数求偏导；
（4）方向导数与梯度；
（5）多元函数极值存在的条件，极值求解（无条件极值和条件极值）；多元函数的最值；
（6）曲面的切平面和法线方程，曲线的切线与法平面方程。

（7）偏导数的求法；求复合函数的一阶、二阶偏导数（内层具体、外层抽象）2、重积分
（1）二重积分与三重积分的对称性与几何意义；
（2）二重积分、三重积分的计算（直角坐标系、极坐标系、柱面坐标、球面坐标等）
3、线面积分
(1) 第一二类曲线积分的性质与计算(含对称性与轮换对称性)
(2)格林公式;曲线积分与路径无关条件；二元函数全微分的原函数,解全微分方程；.
(3)第一二类曲面积分的性质与计算；
(4)高斯公式；
(5)斯托克斯公式;
(6)散度、旋度的计算
4. 级数
(1)正项级数和一般项级数敛散性的判定;
(2)求收敛域;
(3)求幂级数的和函数;
(4)函数展开成幂级数;
(5)函数展开成傅里叶级数,收敛定理.
题型：填空题（共15分，每小题3分）；选择题（共15分，每小题3分）；计
算题（共21分，每小题7分）；计算与解答题（共21分，每小题7分）；计算与解答题（共21分，每小题7分）；证明题（5分）。

考试时间：6月3日（第14周周五）下午4点到6点
考试地点、领取试卷等另行通知。

高数下知识点复习在高等数学下册的学习中，我们接触到了许多重要的知识点。

这些知识点不仅是数学学科的基础，也在实际应用中发挥着重要作用。

接下来，让我们一起对这些知识点进行一次系统的复习。

首先，我们来看看多元函数微分学。

多元函数的概念是这部分的基础，与一元函数不同，多元函数有多个自变量。

对于二元函数 z ＝ f(x, y)，我们要理解其定义域、值域等概念。

偏导数是多元函数微分学中的重要内容。

偏导数表示函数在某一方向上的变化率。

对于函数 z ＝ f(x, y)，其关于 x 的偏导数记为∂z/∂x，关于 y 的偏导数记为∂z/∂y。

计算偏导数时，我们把其他自变量看作常数，只对所关注的自变量求导。

全微分则是对多元函数微小变化的一种精确描述。

如果函数 z ＝f(x, y)的全微分 dz ＝∂z/∂x dx ＋∂z/∂y dy，那么全微分在近似计算和误差分析中有着广泛的应用。

接下来是多元复合函数求导法则。

这部分内容相对复杂，需要我们理清函数之间的复合关系。

比如，对于形如 z ＝ f(u(x, y)， v(x, y)）的复合函数，我们要使用链式法则来求导。

隐函数求导也是一个重点。

当方程 F(x, y) ＝ 0 确定了隐函数 y ＝y(x)时，我们通过对方程两边同时求导来得到隐函数的导数。

再说说方向导数与梯度。

方向导数表示函数沿某一方向的变化率，而梯度则是一个向量，它的方向是函数值增加最快的方向，其模长等于方向导数的最大值。

在多元函数极值问题中，我们要掌握极值的必要条件和充分条件。

通过求解偏导数为零的方程组，得到可能的极值点，然后再利用充分条件判断是极大值还是极小值。

然后是重积分。

二重积分是将平面区域上的函数进行积分，它可以用来计算平面图形的面积、质量等。

在计算二重积分时，我们可以将其化为累次积分，根据积分区域的特点选择合适的积分顺序。

三重积分则是对空间区域上的函数进行积分，其计算方法与二重积分类似，但更加复杂。

我们可以通过直角坐标、柱坐标、球坐标等不同的坐标系来计算三重积分。

高等数学下册总复习资料财管双语班财管双语班目录目录〈一〉内容提要 (1)第八章多元函数微分法及其应用 (1)第九章重积分 (5)第十章曲线积分与曲面积分..................................................... 错误！未定义书签。

第十一章无穷级数 (7)第十二章微分方程 (13)〈二〉强化训练 (16)（Ⅰ）04、05、06期末试卷 (16)2004—2005学年第二学期期末考试试卷 (16)2005—2006学年第二学期期末考试试卷 (20)2006—2007学年期末考试试卷 (22)（Ⅱ）自测训练 (25)试卷一 (25)附参考答案： (28)试卷二 (29)附参考答案： (32)试卷三 (33)附参考答案： (36)2005－2006学年第二学期期末考试试卷（2005级快班试卷） (38)2006－2007学年第二学期期末考试（2006级快班试卷） (41)试卷四 (44)参考答案及提示 (48)试卷五 (52)参考答案及提示： (56)高等数学下册总复习资料1高等数学下册总复习〈一〉内容提要第八章 多元函数微分法及其应用一、基本概念1．多元函数（1）知道多元函数的定义n 元函数：),,,(21n x x x f y =（2）会求二元函数的定义域1°：分母不为0； 2°：真数大于0；3°：开偶次方数不小于0；4°：u z arcsin =或u arccos 中||u ≤1 （3）会对二元函数作几何解释 2．二重极限A y x f y y x x =→→),(lim 0这里动点),(y x 是沿任意路线趋于定点),(00y x 的．（1） 理解二重极限的定义（2） 一元函数中极限的运算法则对二重极限也适用，会求二重极限； （3） 会证二元函数的极限不存在（主要用沿不同路径得不同结果的方法）． 3．多元函数的连续性（1）理解定义：)()(lim 00P f P f P P =→．（2）知道一切多元初等函数在其定义域内连续的结论； （3）知道多元函数在闭区域上的最大最小值定理、介值定理。