2015-2016学年度福建省晨曦冷曦崎滨正曦四校第二学期期末考试高一数学第I 卷 （选择题, 共60分）一．选择题：本大题共12小题，第小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）若6log log 22=+b a ，则b a +的最小值为 A.62 B.6 C.28 D.16【答案】D 【解析】主要考查对数函数的运算以及基本不等式.因为=,所以,,所以故选D.（2）不等式a ax x x +>-242对一切实数x 都成立，则实数a 的取值范围是A.（1，4）B.)1,4(--C.(,4)(1,)-∞-⋃-+∞D.(,1)(4,)-∞⋃+∞ 【答案】B 【解析】主要考查一元二次不等式的解法，同时也考查了函数的性质与应用问题. 不等式变形为该不等式对一切实数恒成立，所以即化简得解得 所以实数的取值范围是故选B.（3）设n S 为等差数列}{n a 的前n 项的和，20161-=a ,22005200720052007=-S S ，则2016S 的值为 A.2015- B.2016- C.2015 D.2016【答案】B【解析】主要考查等差数列的求和，分析得到 因为数列为等差数列，设其公差为则其前项的和所以，所以为公差是的等差数列，所以因为为等差数列，==故选B. （4）下列函数在),0(+∞上为增函数的是（A ）1y x =- （B ）x y e -= （C ）ln(1)y x =+ （D ）)2(+-=x x y【答案】C【解析】主要考查函数的单调性问题，同时也考查了对数函数，指数函数的性质. 对于A:在上单调递减，在上单调递增，对于B:在上单调递减；对于C:在上单调递增，所以在上为增函数； 对于D:在上单调递减.故选C. （5）设定义在R 上的奇函数()f x 满足)0(4)(2>-=x x x f ，则()0f x >的解集为（A ）(2,2)- （B ）(4,4)- （C ）(0,2)(4,)+∞U （D ）(2,0)(2,)-+∞U【答案】D【解析】主要考查不等式的求解，利用函数奇偶性的性质求出函数的解析式是解决本题的关键，主要要进行分类讨论.当时，则此时==,是奇函数，,即, 当时，由得 当时，由得 综上或即不等式的解集为故选D. （6）双曲线221412x y -=的焦点到渐近线的距离为 （A ）23 （B ）2 （C ）3 （D ）1【答案】A【解析】本题考查了双曲线的渐近线方程和点到直线的距离公式,新课程标准降低了对双曲线知识的考查要求,但对于双曲线的一些基本性质(尤其是渐近线)还是高考客观题的重要考点.显然本题较好地考查了基本概念、基本方法和基本技能. 双曲线-=1的一条渐近线为y=x, c==4,其一焦点坐标为(4,0),由点到直线的距离公式可得焦点到渐近线的距离为=2,答案为A.A CP （7）将函数()()ϕ+=x x f 2sin 的图象向左平移8π个单位，所得到的函数图象关于y 轴对称，则ϕ的一个可能取值为（A ）4π- （B ）0 （C ）4π （D ）43π 【答案】C【解析】主要考查的图象变化规律，正弦函数、余弦函数的图象的 对称性.将函数的图象向左平移个单位，可得到的函数=的图象，再根据所得函数的图象关于轴对称，可得即则的一个可能取值为故选C.（8）变量x 、y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧->≤≤+-1101x y y x ，则1z x y =++的最大值为（A ）2- （B ）0 （C ）1 （D ）2【答案】D【解析】主要考查简单的线性规划问题，解题的关键是作出不等式组表示的可行域. 图形略，由条件可知，表示与直线平行的直线当中在y 轴上截距的最大值，故当直线过点时，取最大值，即故选D. （9）如图， AOB ∆为等腰直角三角形，1=OA ，OC 为斜边AB 的高，P 为线段OC 的中点，则=⋅（A ）81- （B ）41-B DC P A （C ）21- （D ）1-【答案】A【解析】主要考查向量的三角形法则和向量的数量积的定义和性质，注意运用向量的平方即为模的平方.由题意可得,，，，则===故选A.（10）如图，四棱锥ABCD P -中，ο90=∠=∠BAD ABC ，AD BC 2=，PAB ∆和PAD∆都是等边三角形，则异面直线CD 与PB 所成角的大小为（A ）30o （B ）ο45 （C ）ο60（D ）ο90 【答案】D 【解析】主要考查了异面直线所成的角，首先要将空间角转化为平面角，然后通过解三角形求之. 设，则,过作,则,过作，则如图过作连接则四边形是梯形，其中,，过G 作则在∆GHA ，,,所以故选D.（11）已知抛物线C ：x y 82=的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若QF PF 3=，则QF =（A ）25 （B ）38 （C ）3 （D ）6【答案】B【解析】主要考查抛物线的定义、标准方程及其性质、向量的共线，考查了学生的推理能力和计算能力.设与x 轴的交点为过向准线作垂线，垂足为N ,因为所以又所以因为所以.故选B.（12）设x x f lg )(=，若函数ax x f x g -=)()(在区间)4,0(上有三个零点，则实数a 的取值范围是（A ）1(0,)e （B ）lg 2lg (,)2e e （C ）lg 2(,)2e （D ）lg 2(0,)2【答案】B【解析】本题主要考查了函数的零点,函数f (x )=|lg x |的图象如图示:当a ≤0时,显然,不合乎题意,当a ＞0时,如图示,当x ∈(0,1]时,存在一个零点,当x ＞1时,f (x )=lg x ,可得g (x )=lg x -a x ,(x ∈(1,4),g ’(x )=,若g ’(x )<0,解得,g (x )为减函数,若g ’(x )>0,解得,g (x )为增函数,此时g (x )必须在(1,4)上有两个交点,所以,解得,故选B第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．） (13)35cos 的值为____________. 【答案】【解析】主要考查任意角的三角函数值.因为故答案为(14)设△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，若()()a b c a b c ab +-++=，则角C 的大小为_________. 【答案】【解析】主要考查余弦定理的应用，解题的关键是对题中所给等式的变形. 因为，化简可得：所以,故=.故答案为.（15）已知椭圆C ：2211612x y +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的两焦点的对称点分别为P ，Q ，线段MN 的中点在C 上，则||||PN QN += ． 【答案】【解析】主要考查了椭圆定义的运用，三角形中位线的性质等，本题涉及的动点较多，解题的突破口是作出图形，根据图形的几何特征，寻找两个三角形的中位线，关键是利用椭圆的定义，抓住变化中确定的数量关系.设椭圆的长轴长为,则由可知设分别是椭圆C 的左、右焦 点，K 为线段MN 的中点，如图所示，由已知条件，易得分别是线段MB ,MA 的中点，则在∆NBM 和∆NAM 中，有,又由椭圆定义，得故==故答案为16.（16）定义：如果函数)(x f y =在定义域内给定区间],[b a 上存在0x )(0b x a <<，满足a b a f b f x f --=)()()(0，则称函数)(x f y =是],[b a 上的“平均值函数”，0x 是它的一个均值点，例如2x y =是]1,1[-上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数mx x x f +=3)(是]1,1[-上的平均值函数，则实数m 的取值范围是 ．【答案】【解析】主要在新定义下考查方程根的问题.在做关于新定义的题目时，一定要先认真的研究定义理解定义，再按定义解答.函数是上的平均值函数，故有在(-1,1)内有 实数根，由⟹解得或又所以的解为：必为均值点,即<⟹. <⟹所以所求实数m 的取值范围是故答案为三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）（17）（本小题满分12分）设ABC ∆是锐角三角形，三个内角A ，B ，C 所对的边分别记为a ，b ，c ，并且 )3sin()3sin()sin )(sin sin (sin B B B A B A +-=+-ππ. （Ⅰ）求角A 的值； （Ⅱ）若12=⋅AC AB ，72=a ，求b ，c （其中c b <）．【答案】(1)，，．(2)，，又，，，，．【解析】主要考查余弦定理的应用，三角函数的化简求值.(1)利用已知条件化简表达式，求出的正弦函数值，然后求角的值；(2)利用求出bc 的值，利用余弦定理得到关系式，然后求b ,c .AHI（18）（本小题满分12分）已知数列}{n a 满足)(3)1)(1(11++-=--n n n n a a a a ，21=a ，令11-=n n a b . （Ⅰ）证明：数列}{n b 是等差数列； （Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式．【答案】(1)，，即，是等差数列．(2)，，，．【解析】主要考查等差数列的知识点，解答本题的关键是熟练掌握等差数列的性质.(1)利用等差数列的定义，结合.即可证明数列是等差数列；(1)利用，以及数列是等差数列，可求数列的通项公式.（19）（本小题满分12分）ABC ∆为等腰直角三角形，4==BC AC ，ο90=∠ACB ，D 、E 分别是边AC 和AB 的中点，现将ADE ∆沿DE 折起，使面ADE ⊥面DEBC ，H 是边AD 的中 点，平面BCH 与AE 交于点I ． （Ⅰ）求证：IH //BC ；OACBDyx（Ⅱ）求三棱锥HIC A -的体积.【答案】(1)因为、分别是边和的中点，所以，因为平面，平面，所以平面.因为平面，平面，平面平面.所以.又因为，所以.(2) ,高,.【解析】主要考查几何体的体积的求法，转化思想的应用，直线与直线平面的证明，直线与平面平行的判定定理的应用.(1)证明平面，，然后利用平行公理证明(2)求出棱锥的底面面积以及高，即可求解体积.（20）（本小题满分12分）如图，抛物线1C ：px y 22=与椭圆2C ：1121622=+y x 在第一象限的交点为B ，O 为坐标原点，A 为椭圆的右顶点，OAB ∆的面积为368.（Ⅰ）求抛物线1C 的方程；（Ⅱ）过A 点作直线l 交1C 于C 、D 两点，求OCD ∆面积的最小值．【答案】(1)因为的面积为,所以，代入椭圆方程得，抛物线的方程是：.(2) 直线斜率不存在时，；直线斜率存在时，设直线方程为，代入抛物线，得.，综上最小值为.【解析】主要考查抛物线方程的求法，直线与圆锥曲线的综合应用，考查分析问题解决问题的能力.(1)通过的面积为求出然后求出抛物线的方程；(2)直线斜率不存在时，求出三角形的面积；直线斜率存在时，设直线方程为,与抛物线联立，然后求出三角形的面积，推出最小值.（21）（本小题满分12分）设函数)1(ln )(2-+=x b x ax x f )0(>x ，曲线)(x f y =过点)1,(2+-e e e ，且在点)0,1(处的切线方程为0=y .（Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）证明：当1≥x 时，2)1()(-≥x x f ；（Ⅲ）若当1≥x 时，2)1()(-≥x m x f 恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】(1)，，，．(2)，设，，.，在上单调递增，， 在上单调递增，．．(3)设，，(2) 中知，，，①当即时，，在单调递增，，成立．②当即时，，，令，得，当时，单调递减，在上单调递增，不成立．综上，．【解析】主要考查函数的导数的应用，函数的单调性的判断参数的范围的求法，考查了学生分析问题解决问题的能力.(1)求出通过,求出a,b的值；(2)求出的解析式，，，求出导数，二次求导，判断g的单调性，然后证明．(3)设，求出利用(2)中知≥=，推出，分时和时，求解的范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. （22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，延长BA 和CD 相交于点P ，41=PB PA ，21=PC PD . （Ⅰ）求BCAD的值； （Ⅱ）若BD 为⊙O 的直径，且1=PA ，求BC 的长．【答案】(1)由，，得与相似，设则有，所以.(2)，.【解析】主要考查三角形相似的判定，考查相交线定理.(1)证明与相似，即可求的值；(2)求出利用勾股定理求的长.（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==242222t y t x （t 是参数）， 以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程)4cos(2πθρ+=.（Ⅰ）判断直线l 与曲线C 的位置关系；（Ⅱ）设M 为曲线C 上任意一点，求y x +的取值范围．PABDO ⋅【答案】(1)直线的普通方程为.曲线的直角坐标系下的方程为.圆心到直线的距离为.所以直线与曲线的位置关系为相离.(2)设，则.【解析】主要考查了简单曲线的极坐标方程，极坐标与直角坐标的互化，由点到直线的距离判断直线与圆的位置关系，训练了圆的参数方程的应用.(1)由直线的参数方程消去得直线的直角坐标方程，化圆的极坐标方程为直角坐标方程，再由圆心到直线的距离与圆的半径关系得到直线与圆的位置关系；(1)设出曲线上的点的参数方程，由利用两角和的正弦化简后可得的取值范围.（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数212)(--+=x x x f . （Ⅰ）解不等式0)(≥x f ；（Ⅱ）若存在实数x ，使得a x x f +≤)(，求实数a 的取值范围．【答案】(1)①当时，，所以.②当时，，所以为.③当时，，所以.综合①②③不等式的解集为.(2)即.由绝对值的几何意义，只需.【解析】主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化、分类讨论的数学思想.(1)化简函数的解析式，分类讨论，求得不等式的解集；(1)不等式即有解，根据绝对值的意义，只需。
