高中数学第一章三角函数1.4.2正弦函数余弦函数的性质2导学案4170721310

1.4.2 《正弦函数、余弦函数的性质》（第二课时）导学案---奇偶性、单调性、最值【学习目标】 正弦函数、余弦函数的奇偶性、单调性、最值，并学会用这些性质解决简单的问题【重点难点】 单调性【学法指导】 自主探索与合作交流相结合【知识链接】 正弦函数、余弦函数的的图象【学习过程】一.预习导引1.回忆函数奇偶性的定义及如何判断函数的奇偶性. 奇（偶）函数的图像有什么特征？2.正弦函数、余弦函数具备奇偶性吗？说明理由.3.对于周期函数的单调性我们该怎样研究？sin y x =的单调递增区间是单调递减区间是cos y x =的单调递增区间是单调递减区间是4. sin y x =的最大值是 ，当且仅当x = 时取得.最小值是 ，当且仅当x = 时取得.cos y x =的最大值是 ，当且仅当x = 时取得.最小值是 ，当且仅当x = 时取得.二.基础训练1.cos 2y x =是____函数（奇、偶）.2.比较大小：（1）sin()_____sin()1810ππ-- （2）2317cos()_____cos()54ππ-- 3.sin(2)_______________________3y x π=-的递增区间是4.1cos ,y x x R x =+∈的最大值是____此时的取值集合是_____________5.2sin 3,y x x R x =-∈的最大值是____此时的取值集合是_____________三.典型例题2.sin sin y x x =+例1求的值域.22cos sin y x x =-练习：求的值域.22.sin()3y x π=-例求的增区间. 2cos 24y x π=--练习：求（）的减区间. 3.sin(),R _______y x θθπθ=+≤≤例（0）是上的偶函数，则的值是四.课时小结五.课外作业1.y =判断的奇偶性. 2.sin(2),[0,]32y x x ππ=+∈求的最值. 3.sin(2),[0,]3y x x ππ=-∈求的减区间. 4.31sin 22y a b x a b =--若函数的最大值是，最小值是，求,.1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（第二课时）---奇偶性、单调性、最值答案二.基础训练1.偶2. > <3. 5[,]()1212k k k Z ππππ-++∈4. 2 {|2,}x x k k Z π=∈5. 2 2{|,}63k x x k Z ππ=-+∈三.典型例题例1. 1[,2]4-练习: [2,2]-例2. 713[2,2]()66k k k Z ππππ++∈练习： 3[,]()88k k k Z ππππ-++∈例3. 2π五.课外作业1.非奇非偶,2. max min 1,2y y ==-3. 511[0,],[,]1212πππ 4. 121a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，或121a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩。

1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)学习目标 1.掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值(重点).2.掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的单调性，并能利用单调性比较大小(重、难点).3.会求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)及y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间(重点)．知识点 正弦函数、余弦函数的图象和性质(表中k ∈Z ))【预习评价】1．在下列区间中，使y ＝sin x 为增函数的是( ) A ．[0，π] B ．[π2，3π2]C ．[－π2，π2]D ．[π，2π]解析 因为函数y ＝sin x 的单增区间是[－π2＋2k π，π2＋2k π]，k ∈Z ，故当k ＝0时，即为[－π2，π2]，故选C ．答案 C2．函数y ＝2－sin x 取得最大值时x 的值为________．解析 当sin x ＝－1，即x ＝－π2＋2k π(k ∈Z )时，函数y ＝2－sin x 的最大值为3．答案 －π2＋2k π(k ∈Z )题型一 正弦函数、余弦函数的单调性【例1】 (1)下列函数，在[π2，π]上是增函数的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝cos xC ．y ＝sin 2xD ．y ＝cos 2x解析 对于函数y ＝cos 2x ，令π＋2k π≤2x ≤2π＋2k π，(k ∈Z )， 即π2＋k π≤x ≤π＋k π (k ∈Z )， 故y ＝cos 2x 的单增区间是[π2＋k π，π＋k π](k ∈Z )，则当k ＝0时单增区间为[π2，π]，故选D ．答案 D(2)求函数y ＝1＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π4，x ∈[－4π，4π]的单调减区间． 解 y ＝1＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π4＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4＋1． 由2k π－π2≤12x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )．解得4k π－π2≤x ≤4k π＋32π(k ∈Z )．又∵x ∈[－4π，4π]，∴函数y ＝1＋sin(－12x ＋π4)的单调减区间为[－4π，－5π2]，[－π2，3π2]，[7π2，4π]．规律方法 单调区间的求法求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的函数的单调区间，要先把ω化为正数， (1)当A >0时，把ωx ＋φ整体放入y ＝sin x 或y ＝cos x 的单调增区间内，求得的x 的范围即函数的增区间；放入y ＝sin x 或y ＝cos x 的单调减区间内，可求得函数的减区间．(2)当A <0时，把ωx ＋φ整体放入y ＝sin x 或y ＝cos x 的单调增区间内，求得的x 的范围即函数的减区间；放入y ＝sin x 或y ＝cos x 的单调减区间内，可求得函数的增区间．提醒 求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，把ωx ＋φ看作一个整体，借助y ＝sinx 的单调区间来解决．当A <0或ω<0时，要注意原函数的单调性与y ＝sin x 的单调性的关系．【训练1】 求函数f (x )＝2cos(2x －π6)的单调增区间．解 令－π＋2k π≤2x －π6≤2k π，k ∈Z ，解得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调增区间是[－5π12＋k π，π12＋k π](k ∈Z )．题型二 利用正弦函数、余弦函数的单调性比较大小 【例2】 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小． (1)sin 49π45与cos 39π45；(2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π与cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π. 解 (1)sin 49π45＝sin(π＋4π45)＝－sin 4π45，cos 39π45＝cos(π－6π45)＝－cos 6π45＝－sin 11π30，∵0＜4π45＜11π30＜π2，且y ＝sin x 在[0，π2]上是增函数∴sin 4π45<sin 11π30；从而－sin 4π45>－sin 11π30，即sin 49π45>cos 39π45.(2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π＝cos 235π＝cos(4π＋35π)＝cos 35π， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π＝cos 174π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋π4＝cos π4．∵0<π4<35π<π，且y ＝cos x 在[0，π]上是减函数，∴cos 35π<cos π4，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π<cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π． 规律方法 比较三角函数值的大小的步骤 (1)依据诱导公式把几个三角函数化为同名函数． (2)依据诱导公式把角化到属于同一个单调增(减)区间． (3)依据三角函数的单调性比较大小后写出结论． 【训练2】 比较下列各组数的大小：(1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－376π与sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫493π； (2)cos 870°与sin 980°．解 (1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－376π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫493π＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫16π＋π3＝sin π3， ∵y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增函数，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6<sin π3，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－376π<sin 493π． (2)cos87π18＝cos(4π＋5π6)＝cos 5π6，sin 49π9＝sin(4π＋13π9)＝sin 13π9＝sin(π2＋17π18)＝cos 17π18，∵0＜5π6＜17π18＜π，且y ＝cos x 在[0，π]上是减函数，∴cos 5π6>cos 17π18，即cos 8π18>sin 49π9.方向1 正弦函数、余弦函数的值域问题【例3-1】 函数f (x )＝2cos(2x ＋π4)，x ∈[－π2，0]的值域为________．解析 ∵－π2≤x ≤0，∴－3π4≤2x ＋π4≤π4，∴－22≤cos(2x ＋π4)≤1， 故－1≤2cos(2x ＋π4)≤2，即f (x )的值域是[－1，2]． 答案 [－1，2]方向2 与正、余弦函数有关的复合函数的值域问题【例3-2】 函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值是________．解析f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f (x )＝1－cos 2x ＋3cos x －34，令cos x ＝t 且t ∈[0，1]，则y ＝－t 2＋3t ＋14＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322＋1，则当t ＝32时，f (x )取最大值1. 答案1方向3 含参数的最值问题【例3-3】 若函数y ＝a －b cos x (b >0)的最大值为32，最小值为－12，求函数y ＝【例3-4】 －4a cos bx 的最值和最小正周期． 解 ∵y ＝a －b cos x (b >0)， ∴y max ＝a ＋b ＝32，y min ＝a －b ＝－12．由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝32，a －b ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝1.∴y ＝－4a cos bx ＝－2cos x ，所以函数y=－4a cos bx 的最大值为2，最小值为-2,最小正周期为2π. 规律方法 求三角函数值域或最值的常用方法(1)可化为单一函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋k ，其最大值为|A |＋k ，最小值－|A |＋k (其中A ，ω，k ，φ为常数，A ≠0，ω≠0)．(2)可化为y ＝A sin 2x ＋B sin x ＋C 或y ＝A cos 2x ＋B cos x ＋C (A ≠0)，最大值、最小值可利用二次函数在定义域上的最大值、最小值的求法来求(换元法)．课堂达标1．y ＝2sin(3x ＋π3)的值域是( )A ．[－2,2]B ．[0,2]C ．[－2,0]D ．[－1,1]解析 因为sin(3x ＋π3)∈[－1,1]，所以y ∈[－2,2]．答案 A2．下列关系式中正确的是( )A ．sin 11°<cos 10°<sin 168°B．sin 168°<sin 11°<cos 10°C ．sin 11°<sin 168°<cos 10°D．sin 168°<cos 10°<sin 11°解析 因为sin 168°＝sin 12°，cos 10°＝sin 80°，又因为函数y ＝sin x 在[0，π2]上单调递增，所以sin 11°<sin 12°<sin 80°，即sin 11°<sin 168°<cos 10°． 答案 C3．函数f (x )＝2cos(2x －π4)的单减区间是________．解析 令2k π≤2x －π4≤π＋2k π，k ∈Z ，得π8＋k π≤x ≤5π8＋k π，k ∈Z ， 即f (x )的单减区间是[π8＋k π，5π8＋k π](k ∈Z )．答案 [π8＋k π，5π8＋k π](k ∈Z )4．函数y ＝cos(x ＋π6)，x ∈[0，π2]的值域是________．解析 ∵0≤x ≤π2，∴π6≤x ＋π6≤2π3， ∴cos 2π3≤cos(x ＋π6)≤cos π6．∴－12≤y ≤32，即值域为[－12，32]．答案 [－12，32]5．求函数y ＝3－2sin 12x 的最值及取到最值时的自变量x 的集合．解 ∵－1≤sin 12x ≤1，∴当sin 12x ＝－1，12x ＝2k π－π2，k ∈Z ，即x ＝4k π－π，k ∈Z 时，y max ＝5，此时自变量x 的集合为{x |x ＝4k π－π，k ∈Z }； 当sin 12x ＝1，12x ＝2k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝4k π＋π，k ∈Z 时，y min ＝1，此时自变量x 的集合为{x |x ＝4k π＋π，k ∈Z }．课堂小结1．求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)单调区间的方法把ωx ＋φ看成一个整体，由2k π－π2≤ωx ＋φ≤2k π＋π2 (k ∈Z )解出x 的范围，所得区间即为增区间，由2k π＋π2≤ωx ＋φ≤2k π＋3π2(k ∈Z )解出x 的范围，所得区间即为减区间．若ω<0，先利用诱导公式把ω转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间．2．比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断．3．求三角函数值域或最值的常用方法：将y 表示成以sin x (或cos x )为元的一次或二次等复合函数，再利用换元或配方或利用函数的单调性等来确定y 的范围．基础过关1．函数y ＝sin 2x 的单调减区间是( ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，32π＋2k π(k ∈Z ) B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π4，k π＋34π(k ∈Z ) C ．[]π＋2k π，3π＋2k π(k ∈Z ) D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z ) 解析 令π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z ， 则y ＝sin 2x 的单减区间是[π4＋k π，3π4＋k π](k ∈Z )．答案 B2．下列函数中，周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为减函数的是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2解析 因为函数周期为π，所以排除C ，D ．又因为y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为增函数，故B 不符合．故选A ．答案 A3．函数f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的最大值为( )A.65B ．1 C.35D.15解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝65sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，函数的最大值为65.答案 A4．函数y ＝sin(x 2－π3)取最大值时自变量的取值集合是________．解析 当x 2－π3＝π2＋2k π，k ∈Z ，即x ＝5π3＋4k π，k ∈Z 时，函数取最大值．答案 {x |x ＝5π3＋4k π，k ∈Z }5．sin 1，sin 2，sin 3按从小到大排列的顺序为________________________． 解析 ∵1<π2<2<3<π，sin(π－2)＝sin 2，sin(π－3)＝sin 3．y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上递增，且0<π－3<1<π－2<π2，∴sin(π－3)<sin 1<sin(π－2)， 即sin 3<sin 1<sin 2． 答案 sin 3<sin 1<sin 26．已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4． (1)求f (x )的单调递增区间(k ∈Z )；(2)求f (x )的最小值及取得最小值时相应的x 值(k ∈Z )． 解 (1)令－π＋2k π≤3x ＋π4≤2k π，可得－5π12＋23k π≤x ≤－π12＋23k π，故f (x )的单调递增区间是[－5π12＋23k π，－π12＋23k π](k ∈Z )．(2)当3x ＋π4＝－π＋2k π，即x ＝－5π12＋23k π(k ∈Z )时，f (x )的最小值为－2．7．求函数y ＝cos 2x －sin x 的值域． 解 y ＝cos 2x －sin x ＝－sin 2x －sin x ＋1 ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ＋122＋54． ∵sin x ∈[－1,1]，∴当sin x ＝－12时，y max ＝54；当sin x ＝1时，y min ＝－1．∴函数y ＝cos 2x －sin x 的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，54．能力提升8．若函数y ＝sin(π＋x )，y ＝cos(2π－x )都是减函数，则x 的集合是( )A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π≤x ≤2k π＋π2，k ∈ZB ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |k π≤x ≤2k π＋π2，k ∈ZC ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π－π2≤x ≤2k π＋π2，k ∈ZD ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＋π2≤x ≤2k π＋3π2，k ∈Z解析 y ＝sin(π＋x )＝－sin x ，y ＝cos(2π－x )＝cos x ，对y ＝－sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z)上单调递减．对y ＝cos x 在[2k π，π＋2k π](k ∈Z)上单调递减． 取两集合的交集，故选A ． 答案 A9．函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，则b －a 的最大值和最小值之和等于( )A ．4π3B ．8π3C ．2πD ．4π解析 作出y ＝sin x 的一个简图， 如图所示，∵函数的值域为[－1，12]，且sin π6＝sin 5π6＝12，sin 3π2＝－1，∴定义域[a ，b ]中b －a 的最小值为3π2－5π6＝2π3，定义域[a ，b ]中b －a 的最大值为2π＋π6－5π6＝4π3，故可得，最大值与最小值之和为2π． 答案 C10．已知α，β为锐角三角形的两个内角，则cos α与sin β的大小关系是________． 解析 因为α，β是锐角三角形的两个内角，故α＋β>π2，∴α>π2－β，α∈(0，π2)，π2－β∈(0，π2)， 所以cos α<cos(π2－β)＝sin β．答案 cos α<sin β11．若f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上的最大值是2，则ω＝________．解析 ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，即0≤x ≤π3，且0<ω<1，∴0≤ωx ≤ωπ3<π3．∵f (x )max ＝2sin ωπ3＝2，∴sin ωπ3＝22，ωπ3＝π4，即ω＝34． 答案 3412．求下列函数的单调增区间：(1)y ＝1－sin x 2；(2)y ＝log 12cos(π3－x 2)． 解 (1)由2k π＋π2≤x 2≤2k π＋32π，k ∈Z ， 得4k π＋π≤x ≤4k π＋3π，k ∈Z ．∴y ＝1－sin x 2的增区间为[4k π＋π，4k π＋3π] (k ∈Z )． (2)要求函数y ＝log 12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 2的增区间，即求使y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3>0且单调递减的区间．为此，x 满足：2k π≤x 2－π3<2k π＋π2，k ∈Z ． 整理得4k π＋2π3≤x <4k π＋5π3，k ∈Z ． ∴函数y ＝log 12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 2的增区间为 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫4k π＋2π3，4k π＋5π3，k ∈Z ． 13．(选做题)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数，且|φ|<π.若f (x )≤|f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6|对x ∈R 恒成立．且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f (π)，求f (x )的单调递增区间． 解 由f (x )≤|f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6|对x ∈R 恒成立知， 2·π6＋φ＝2k π±π2(k ∈Z )． ∴φ＝2k π＋π6或φ＝2k π－5π6(k ∈Z )． ∵|φ|<π，得φ＝π6或φ＝－5π6， 又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f (π)， ∴φ＝－5π6，故f (x )=2sin(2x －5π6)由2k π－π2≤2x －5π6≤2k π＋π2(k ∈Z )． 得f (x )的单调递增区间是[k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z )．。

1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质第2课时 正、余弦函数的性质1．掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的性质：周期性、奇偶性，了解其图象的对称性． 2．掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的单调性，会结合它们的图象说出单调区间，并能根据单调性比较大小．3．掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的最大值、最小值，会求简单三角函数的值域或最值，并能指出取得最大(小)值时自变量x 的值的集合．1．正弦函数的图象与性质__________当x ＝____________时，y 取最大值1 当x ＝__________时，y 取最小值－1正弦曲线是中心对称图形，其所有的对称中心坐标为(k π，0)(k ∈Z )，即正弦曲线与x轴的所有交点；正弦曲线也是轴对称图形，其所有的对称轴方程是x ＝k π＋π2(k ∈Z )，所有对称轴垂直于x 轴，且与正弦曲线交点的纵坐标是正弦函数的最大(小)值．【做一做1】 已知函数y ＝sin x ，x ∈R ，则下列说法不正确的是( ) A ．定义域是R B ．最大值与最小值的和等于0C ．在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是减函数 D ．最小正周期是2π 2．余弦函数的图象与性质余弦函数的图象与性质如下表所示：__[－1,1]当x ＝________时，y 取最大值1 当x ＝________时，y 取最小值－1余弦曲线是中心对称图形，其所有的对称中心坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0(k ∈Z )，即余弦曲线与x 轴的所有交点；余弦曲线也是轴对称图形，其所有的对称轴方程是x ＝k π(k ∈Z )，所有对称轴垂直于x 轴，且与余弦曲线交点的纵坐标是余弦函数的最大(小)值．【做一做2】 已知函数y ＝cos x ，x ∈R ，则下列说法错误的是( ) A ．值域为[－1,1] B ．是奇函数C ．在定义域上不是单调函数D ．在[0，π]上是减函数答案：1．R [－1,1] 2k π＋π2(k ∈Z ) 2k π－π2(k ∈Z ) 2π 奇⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2【做一做1】 C2．R 2k π(k ∈Z ) 2k π＋π(k ∈Z ) 2π 偶 [(2k －1)π，2k π] [2k π，(2k ＋1)π]【做一做2】 B正、余弦函数的性质与图象的关系剖析：(1)定义域是R ，反映在图象上是所有垂直于x 轴的直线与图象有且只有一个交点．(2)正、余弦函数的单调性，反映在图象上是曲线的上升与下降的情况．(3)正、余弦函数的周期性，反映在图象上是曲线有规律地重复出现．相邻两对称中心的间隔是半个周期，相邻两对称轴的间隔也是半个周期，相邻的对称中心与对称轴的间隔是四分之一个周期．(4)正、余弦函数的奇偶性，反映在图象上是曲线关于原点或y 轴对称，即sin(－x )＝－sin x ，cos(－x )＝cos x .(5)正、余弦函数的最大值和最小值，反映在图象上，就是曲线的最高点和最低点．题型一 判断三角函数的奇偶性 【例1】 判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝sin x cos x ；(2)f (x )＝1＋sin x －cos 2x1＋sin x.分析：先判断函数的定义域是否关于原点对称，再判断f (－x )与f (x )的关系，进而可确定函数的奇偶性．反思：1.判断函数奇偶性的依据是函数奇偶性的定义，定义域关于原点对称是函数有奇偶性的前提．另外还要注意诱导公式在判断f (x )与f (－x )之间关系时的应用．2．本例(2)中，易忽视f (x )的定义域，违背定义域优先的原则，而进行非等价变形，得f (x )＝sin x (1＋sin x )1＋sin x＝sin x ，从而导致结果错误．题型二 求三角函数的单调区间【例2】 求函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4的单调递减区间． 反思：求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，利用整体思想，把ωx ＋φ看成一个整体，借助于正弦函数的单调区间来解决．题型三 求三角函数的值域(最值) 【例3】 求下列函数的值域： (1)y ＝3－2cos 2x ，x ∈R ；(2)y ＝cos 2x ＋2sin x －2，x ∈R .分析：(1)将2x 看成一个整体，利用余弦函数的值域求得；(2)把sin x 看成一个整体，利用换元法转化为求二次函数的值域．反思：求三角函数的值域的方法：①化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋b (A ＞0)，则其值域为[－A ＋b ，A ＋b ]．如本例(1)小题；②把sin x 或cos x 看成一个整体，利用换元法转化为求二次函数在闭区间上的值域，如本例(2)小题．题型四 比较三角函数值的大小 【例4】 比较下列各组数的大小： (1)sin 194°与cos 160°；(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π8与sin ⎝⎛⎭⎪⎫cos 3π8.分析：(1)先将异名三角函数化为同名三角函数，并且利用诱导公式化到同一单调区间上．(2)先比较sin 3π8与cos 3π8的大小，然后利用正弦函数单调性求解．反思：比较三角函数值大小的步骤：①异名函数化为同名函数；②利用诱导公式把角化到同一单调区间上；③利用函数的单调性比较大小．题型五 易错辨析易错点 忽视x 的系数是－1【例5】 求y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 的单调递增区间． 错解：令π3－x ＝t ，∵y ＝sin t 的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )， ∴2k π－π2≤π3－x ≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得－2k π－π6≤x ≤－2k π＋56π，即2k π－π6≤x ≤2k π＋5π6(k ∈Z )，即y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 的单调递增区间为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋5π6(k ∈Z )． 错因分析：在π3－x 中，x 的系数－1是负数，应整体代入正弦函数的单调递减区间，求原函数的单调递增区间．答案：【例1】 解：(1)定义域为R .f (－x )＝sin(－x )cos(－x )＝－sin x cos x ＝－f (x )， ∴f (x )是奇函数．(2)要使函数有意义，自变量x 的取值应满足1＋sin x ≠0，∴sin x ≠－1.∴x ≠2k π＋32π，k ∈Z .∴函数的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ∈R ，且x ≠2k π＋3π2，k ∈Z .f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1＋sin π2－cos2π21＋sinπ2＝1，但f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2无意义，∴函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数．【例2】 解：由于函数y ＝2sin x 的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )． 令2k π＋π2≤3x ＋π4≤2k π＋3π2，得2k π3＋π12≤x ≤2k π3＋5π12(k ∈Z )． 故所求的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π3＋π12，2k π3＋5π12(k ∈Z )． 【例3】 解：(1)∵－1≤cos 2x ≤1，∴－2≤－2cos 2x ≤2. ∴1≤3－2cos 2x ≤5，即1≤y ≤5.∴函数y ＝3－2cos 2x ，x ∈R 的值域为[1,5]．(2)y ＝cos 2x ＋2sin x －2＝－sin 2x ＋2sin x －1＝－(sin x －1)2.∵－1≤sin x ≤1，∴函数y ＝cos 2x ＋2sin x －2，x ∈R 的值域为[－4,0]． 【例4】 解：(1)sin 194°＝sin(180°＋14°)＝－sin 14°， cos 160°＝cos(180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°. ∵0°＜14°＜70°＜90°，∴sin 14°＜sin 70°，从而－sin 14°＞－sin 70°，即sin 194°＞cos 160°. (2)∵cos 3π8＝sin π8，∴0＜cos 3π8＜sin 3π8＜1.而y ＝sin x 在(0,1)内递增，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3π8＜sin ⎝⎛⎭⎪⎫sin 3π8. 【例5】 正解：∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3，∴要求原函数的单调递增区间，只需求y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的单调递减区间．令2k π＋π2≤x －π3≤2k π＋3π2(k ∈Z )，∴2k π＋5π6≤x ≤2k π＋116π(k ∈Z )．∴y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 的单调递增区间是 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋5π6，2k π＋116π(k ∈Z )．1．函数y ＝sin 2cos xx+是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数也不是偶函数 2．下列关系式中正确的是( )A ．sin 11°＜cos 10°＜sin 168°B ．sin 168°＜sin 11°＜cos 10°C ．sin 11°＜sin 168°＜cos 10°D ．sin 168°＜cos 10°＜sin 11°3．函数y ＝sin 2x －cos x 的值域是__________．4．函数y ＝3－2π32cos 33x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的最大值为____________，此时自变量x 的取值集合是__________．5．求函数y ＝π2sin 4x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的单调递增区间．答案：1．A 定义域为R ，f (－x )＝sin()2cos()x x -+-＝sin 2cos xx-+＝－f (x )，则f (x )是奇函数．2．C ∵sin 168°＝sin(180°－168°)＝sin 12°，cos 10°＝sin 80°， sin 11°＜sin 12°＜sin 80°， ∴sin 11°＜sin 168°＜cos 10°.3.51,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦设cos x ＝t ，－1≤t ≤1，则y ＝1－cos 2x －cos x ＝－t 2－t ＋1＝21524t ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭. 由于－1≤t ≤1，则有－1≤y ≤54. 4．5 {x |x ＝3k π＋π，k ∈Z } 当2πcos 33x ⎛⎫+⎪⎝⎭＝－1时，y max ＝3－2×(－1)＝5.此时x 的取值集合为{x |x ＝3k π＋π，k ∈Z }． 5．解：y ＝π2sin 4x ⎛⎫-⎪⎝⎭＝π2sin 4x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.令2k π＋π2≤x －π4≤2k π＋3π2 (k ∈Z )，得 2k π＋3π4≤x ≤2k π＋7π4(k ∈Z )．函数y ＝π2sin 4x ⎛⎫-⎪⎝⎭的递增区间为 3π7π2π,2π44k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )．。

高中数学第一章三角函数1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（2）导学案新人教A版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第一章三角函数1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（2）导学案新人教A版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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1。

4。

2 正、余弦函数的性质(2） 【学习目标】通过观察正弦函数、余弦函数的图像,得出函数的性质。

【学习重点】正余弦函数的奇偶性、对称性、单调性.【基础知识】1. 奇偶性请同学们观察正、余弦函数的图形，说出函数图象有怎样的对称性？其特点是什么？(1)正弦函数的图像观察函数y=sinx 的图象,当自变量取一对相反数时，它们对应的函数值有什么关系？这个事实反映在图象上,说明函数的图象有怎样的对称性呢?函数的图象关于原点对称.也就是说，如果点（x ，y ）是函数y=sinx 的图象上任一点,那么与它关于原点对称的点（—x ，—y ）也在函数y=sinx 的图象上,这时，我们说函数y=sinx 是 函数。

（2）余弦函数的图形 观察函数f （x ）=cosx 的图象,当自变量取一对相反数时，函数y 取同一值。

例如：f(-3π）=21,f （3π）=21 ,即f(-3π）=f(3π）；…… 由于cos(－x)=cosx,∴f(—x)= f （x ）。

以上情况反映在图象上就是：如果点（x,y ）是函数y=cosx 的图象上的任一点,那么，与它关于y 轴的对称点（-x,y)也在函数y=cosx 的图象上，这时，我们说函数y=cosx 是 函数.2。

1.4.2 正余弦函数的性质（1）【学习目标】1.了解周期函数及最小正周期的概念.2.会求一些简单三角函数的周期.【学习重点】理解周期函数的意义会求周期函数的周期【基础知识】函数 x x k y sin )2sin(=+=π，说明当自变量x 的值增加π2的整数倍时，函数的值重复出现，数学上用周期来刻画这一变化规律.1．周期函数定义：对于函数f (x)，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有：f (x+T)=f (x)，那么函数f (x)就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期. 问题：（1）对于函数sin y x =，x R ∈有2sin()sin 636πππ+=，能否说23π是它的周期？ （2）正弦函数sin y x =，x R ∈是不是周期函数，如果是，周期是多少？（2k π，k Z ∈且0k ≠）（3）若函数()f x 的周期为T ，则kT ，*k Z ∈也是()f x 的周期吗？为什么？（是，其原因为：()()(2)()f x f x T f x T f x kT =+=+==+ ）2．一般结论：函数sin()y A x ωϕ=+及函数cos()y A x ωϕ=+，x R ∈（其中,,A ωϕ 为常数，且0A ≠）的周期2||T πω= 说明：①周期函数x ∈定义域M ，则必有x+T ∈M, 且若T>0则定义域无上界；T<0则定义域无下界； ②“每一个值”只要有一个反例，则f (x)就不为周期函数（如f (x 0+t)≠f (x 0)）③T 往往是多值的（如y=sinx 2π,4π,…,-2π,-4π,…都是周期）周期T 中最小的正数叫做f(x)的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）y=sinx, y=cosx 的最小正周期为2π （一般称为周期）从图象上可以看出sin y x =，x R ∈；cos y x =，x R ∈的最小正周期为2π；判断：是不是所有的周期函数都有最小正周期？ （()f x c =没有最小正周期）3.求周期的方法：（1）公式法：一般结论：函数sin()y A x ωϕ=+及函数cos()y A x ωϕ=+，x R ∈（其中,,A ωϕ 为常数，且0A ≠）的周期2||T πω=（2）定义法：f (x+T)=f (x)（3）图像法：如果函数的图像有一定的变化规律，在某一范围内函数图像重复出现，并且图像一方（左或者右）无限延伸.|sinx |=y 或者|cosx |=y .（4）性质法：你能推出下列函数的周期吗？①)()(x f x f -=+α k x f x f +-=+)()(α（其中k 为非零常数） ②)()(x f kx f ±=+α（其中k 为非零常数） ③)(1)(1)(x f x f x f +-=+α， )(1)(1)(x f xf x f -+=+α④)2()1()(---=x f x f x f⑤)(x f 关于a x =和b x =对称⑥)(x f 关于)0,(a 和)0,(b 对称⑦)(x f 关于a x =和)0,(b 对称【例题讲解】例1 求下列三角函数的周期： ①x y cos 3= ②x y 2sin = ③12sin()26y x π=-，x R ∈．例2 求下列三角函数的周期：①y=sin(-x+3π)；② y=cos （-2x ）；③y=3sin(2x +5π).例3 求下列函数的周期： ①y=|sinx|；②y=|cosx|.【达标检测】1、设0≠a ，则函数)3sin(+=ax y 的最小正周期为（ ）A 、a πB 、||a πC 、a π2D 、||2a π2、函数1)34cos(2)(-+=πkxx f 的周期不大于2，则正整数k 的最小值是（）A 、13B 、12C 、11D 、103、求下列函数的最小正周期：（1）=-=T xy ),23sin(ππ .（2）=+=T x y ),62cos(ππ .4、已知函数)3sin(2πω+=x y 的最小正周期为3π，则=ω .5、求函数的周期：（1）x y cos 21=周期为： . （2）43sin x y =周期为： . （3）x y 4cos 2=周期为： .（4）x y 2sin 43=周期为： . 6、cosx sinx y +=是周期函数吗？如果是,则周期是多少？7、函数)sin()(x x f ω=)0(>w 在[0,4]与x 轴有9个交点，求ω的取值范围.【问题与收获】 参考答案：例1： ① π2 ② π ③ π4例2： ① π2 ② π ③ π4例3： ① π ② π达标检测：1、D 2、A 3、π6 ，1 4、 6±5、 π2， 8π， π， π 6f (x+)=|sin(x+7、)4,2[π。

§1.4.2正弦函数余弦函数的性质【教材分析】《正弦函数和余弦函数的性质》是普通高中课程标准实验教材必修４中的内容，是正弦函数和余弦函数图像的继续，本课是根据正弦曲线余弦曲线这两种曲线的特点得出正弦函数和余弦函数的性质。

【教学目标】1. 会根据图象观察得出正弦函数、余弦函数的性质；会求含有x x cos ,sin 的三角式的性质；会应用正、余弦的值域来求函数)0(sin ≠+=a b x a y 和函数c x b x a y ++=cos cos 2)0(≠a 的值域2. 在探究正切函数基本性质和图像的过程中，渗透数形结合的思想，形成发现问题、提出问题、解决问题的能力，养成良好的数学学习习惯．3. 在解决问题的过程中，体验克服困难取得成功的喜悦．【教学重点难点】教学重点：正弦函数和余弦函数的性质。

教学难点：应用正、余弦的定义域、值域来求含有x x cos ,sin 的函数的值域【学情分析】知识结构：在函数中我们学习了如何研究函数，对于正弦函数余弦函数图像的学习使学生已经具备了一定的绘图技能，类比推理画出图象，并通过观察图象，总结性质的能力。

心理特征：高一普通班学生已掌握三角函数的诱导公式，并了解了三角函数的周期性，但学生运用数学知识解决实际问题的能力还不强；能够通过讨论、合作交流、辩论得到正确的知识。

但在处理问题时学生考虑问题不深入，往往会造成错误的结果。

【教学方法】1．学案导学：见后面的学案。

2．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习【课前准备】1．学生的学习准备：预习“正弦函数和余弦函数的性质”，初步把握性质的推导。

2．教师的教学准备：课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。

【课时安排】1课时【教学过程】一、预习检查、总结疑惑检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。

二、复 习导入、展示目标。

1.4.2正弦函数、余弦函数的性质（二）【学习目标】1.理解正、余弦函数在一个周期上的单调性，从而归纳正余弦函数的单调性；2.会求正、余弦函数在给定区间上的单调性，会用单调性比较函数值的大小.预习课本P37---40页的内容，完成下列问题【新知自学】 知识回顾：1.周期函数定义：一般地，对于函数f (x )，如果存在一个___________，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有：____________，那么函数f (x )就叫做_________，非零常数T 叫做这个函数的_______. 在周期函数的所有的周期中，如果存在一个最小的正数，则这个最小的正数叫做这个周期函数都有最小正周期2.奇偶性：正弦函数是________函数，余弦函数是________函数正弦函数关于每一个点________成中心对称；关于每一条直线________成轴对称； 余弦函数关于每一个点________成中心对称；关于每一条直线________成轴对称； 新知梳理：1.由正余弦函数的图象可以看出：正弦函数y=sinx 在每一个区间___________上都是增函数，在每一个区间___________上都是减函数；其中）Z k ∈余弦函数y=cosx 在每一个区间___________上都是增函数，在每一个区间___________上都是减函数；其中）Z k ∈2. 最值：正弦函数y=sinx 当且仅当x=_______时，y 取最大值1，当且仅当x=_______时，y 取最小值______.余弦函数y=cosx 当且仅当x=_______时，y 取最大值1，当且仅当x=_______时，y 取最小值______.3.三角函数的值域 正弦函数y=sinx 的值域：11y -≤≤余弦函数y=cosx 的值域：11y -≤≤ 对点练习：1. 给出的下列函数中在2ππ（，）上是增函数的是（ ） A 、sin y x = B 、cos y x =C 、sin 2y x =D 、cos 2y x =2.函数y=1-3cosx 的最大值是_______，最小值是________；其中取得最大值时的自变量x 的集合是_______________.3. 函数的最小正周期和最大值分别为（ ）A.π，1B.πC.2π，1D.2π4.把125cos ,532sin ,45cos -54sinππππ，从小到大排列起来为________________【合作探究】 典例精析：例1. 求函数y=sin(2x-3π)的单调增区间.变式1.求函数cos(2)4y x π=-的单调递减区间.题型二：有关三角函数的最值例2.求函数f(x)=-3sin(2x-3π)的最值，并求函数取得最值时自变量x 的取值的集合．变式练习2：已知函数()b x a x f +⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32sin 2π的定义域为]2,0[π，函数的最大值为1，最小值为5-，求b a 和的值例3．求下列函数的值域（1）1cos 2cos +=x xy（2）)66)(32sin(2πππ≤≤-+=x x y（3）)20(),sin 211(log 21π<≤-=x x y【课堂小结】【当堂达标】1.函数y=sinx,]32,6[x ππ∈的值域是（ ） A.[-1,1] B.[21,1] C.[21,23] D. [23,1] 2. 已知f(x)=sinx ，则以下不等式正确的是( )A ．f(3)>f(1)>f(2)B ．f(1)>f(2)>f(3)C ．f(3)>f(2)>f(1)D ．f(1)>f(3)>f(2)3. .函数[]()sin (π0)f x x x x =∈-，的单调递增区间是（ ） A.5ππ6⎡⎤--⎢⎥⎣⎦， B.5ππ66⎡⎤--⎢⎥⎣⎦， C.π03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， D.π06⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 4.在下列各区间中，是函数)4πsin(+=x y 的单调递增区间的是( ) (A)]π,2π[ (B)]4π,0[ (C)[－，0] (D)]2π,4π[ 5.求函数3cos 211y x π-=（x R ∈）的最值,并求函数取得最值时自变量x 的取值的集合．【课时作业】 1．已知函数sin()y A x m ωϕ=++的最大值为4，最小值为0，最小正周期为2π，则下列各式中符合条件的解析式为（ ）A ．4sin(4)3y x π=+B ．2sin(2)23y x π=++ C ．2sin(4)3y x π=+ D ．2sin(4)26y x π=++2．函数sin y x =的一个单调增区间是（ ） A.ππ⎛⎫- ⎪44⎝⎭， B.3ππ⎛⎫ ⎪44⎝⎭， C.3π⎛⎫π ⎪2⎝⎭， D.32π⎛⎫π ⎪2⎝⎭， 3、设M 和m 分别表示函数1cos 31-=x y 的最大值和最小值，则m M +等于 （ ） A ．32 B ．32- C ．34- D ．2- 4．函数y ＝cos x 和y ＝sinx 都是增函数的区间是( ) (A)]π,2π[ (B)]2π,0[ (C)]0,2π[- (D)]2π,π[-- 5．下列不等式成立的是( ) (A)6πsin 5πsin< (B)6πcos 5πcos > (C))6πsin()5πsin(->- (D))6πcos()5πcos(-<- 6．函数，sin x y =]3π2,6π[∈x ，则y 的取值范围是( ) (A)[－1，1] (B)]1，21[ (C)]23，21[ (D)]1，23[ 7．在 (0,2π) 内，使 sin x >cos x 成立的x 取值范围是______________.8．已知y=2sin(2x+6π),（1）求函数的单调递减区间；（2）求]3,6[x ππ-∈时函数的值域.9.已知关于x 的函数())f x x ϕ=+(0)πϕ-<<，()f x 的一条对称轴是8x π=(Ⅰ) 求ϕ的值；(Ⅱ) 求使()0f x ≥成立的x 的取值集合.【延伸探究】*1.求函数y=sin 2x - 4cos x + 3的最值.2．已知函数x x y 21cos 321sin +=，求：（1）函数y 的最大值，最小值及最小正周期；（2）函数y 的单调递增区间。

第一章 三角函数三角函数 1．4 三角函数的图象与性质 1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)1．理解正弦函数、余弦函数的性质：奇偶性和单调性． 2．利用正弦函数、余弦函数的图象确定相应的奇偶性和单调性． 3．利用正弦函数、余弦函数的单调性与函数有关的单调区间．基础梳理一、正弦函数和余弦函数的单调性正弦函数和余弦函数都是周期函数，而对于周期函数，只要弄清楚它在一个周期内所具有的性质，便可以推知它在整个定义域内所具有的性质．对于正弦函数，结合图象知函数在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2上单调递减．根据函数的周期性，我们推知：正弦函数在每个闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z)上都是增函数，其函数值从－1增加到＋1；在每个闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z)上都是减函数，其函数值从＋1减小到－1.同样，余弦函数在每个闭区间[－π＋2k π，2k π](k ∈Z)上都是增函数，其函数值从－1增加到＋1；在每个闭区间[2k π，π＋2k π](k ∈Z)上都是减函数，其函数值从＋1减小到－1.思考应用1．正弦函数、余弦函数是单调函数吗？能否说“正弦函数在第一象限是增函数”？ 解析：正弦函数、余弦函数都不是定义域上的单调函数．“正弦函数在第一象限是增函数”也是错误的，因为在第一象限，即使是终边相同的角，它们也可以相差2π的整数倍．二、正弦函数和余弦函数的奇偶性根据诱导公式sin(－x )＝－sin x ，cos(－x )＝cos x ，可知正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数．从正弦函数y ＝sin x 的图象和余弦函数y ＝cos x 的图象上也可以看出，正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数．思考应用2．从正、余弦函数的奇偶性可知正弦函数y ＝sin x 的图象关于原点对称，余弦函数y ＝cos x 的图象关于y 轴对称，正、余弦函数的图象还有其他对称轴和对称中心吗？解析： 利用正、余弦函数的周期性和图象可以得出：正弦曲线y ＝sin x 既是中心对称图形，又是轴对称图形．其对称中心坐标是(k π，0)(k ∈Z)，对称轴方程是x ＝k π＋π2(k ∈Z)；同理，余弦曲线y ＝cos x 既是中心对称图形，又是轴对称图形．其对称中心坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0(k ∈Z)对称轴方程是x ＝k π(k ∈Z)．自测自评1．函数：①y ＝x 2sin x ；②y ＝sin x ，x ∈[0，2π]；③y ＝sin x ，x ∈[－π，π]；④y ＝x cos x 中，奇函数的个数为(C )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 解析：①③④是奇函数．故选C.2．使y ＝sin x 和y ＝cos x 均为减函数的一个区间是(B ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，π 解析：由y ＝sin x ，x ∈[0，2π]与y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象知：y ＝sin x 和y ＝cos x 的均为减函数的一个区间是：⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，故选B. 3．函数y ＝|sin x |的一个单调增区间(C )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π4．有下列命题：①y ＝sin x 的递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π，2k π＋π2(k ∈Z)；②y ＝sin x 在第一象限是增函数；③y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增函数．其中正确的个数是(A )A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个解析：①y ＝sin x 的递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )．②函数的单调性是相对于某一区间来说的，与所在象限无关．③正确．故选A.基础提升 1．下列命题正确的是(D )A ．y ＝sin x 在[0，π]内是单调函数B ．在第二象限内，y ＝sin x 是减函数，y ＝cos x 也是减函数C ．y ＝cos x 的增区间是[0，π]D ．y ＝sin x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上是减函数2．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2(x ∈R)，下面结论错误的是 (D )A ．函数f (x )的最小正周期为2πB ．函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数 C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝0对称 D ．函数f (x )是奇函数解析：由函数的f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＝－cos x (x ∈R)可以得到函数f (x )是偶函数，选择D.3．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4在下列区间是增函数的是(B )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4C ．[－π，0]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4 解析：由2k π－π2≤x ＋π4≤2k π＋π2，得2k π－3π4≤x ≤2k π＋π4(k ∈Z)，函数的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－3π4，2k π＋π4.令k ＝0，得B 正确．故选B.4．若α，β均为锐角且α＋β＞π2，则(A )A ．sin α＞cos βB ．sin α＜cos βC ．sin α＞sin βD ．cos α＜c os β解析：由题意0＜π2－β＜α＜π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β＜sin α，即sin α＞cos β.故选A.5．设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3(x ∈R)，则f (x )(A )A ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6上是增函数B ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2上是减函数 C ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π4上是增函数D ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6上是减函数解析：作函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象，并将图象在x 轴下方的部分对折到x 轴的上方，观察图象可知答案选A.6．判断函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 4＋3π2的奇偶性．分析：判断函数的奇偶性，首先要看定义域是否关于原点对称，再看f (－x )与f (x )的关系．解析：∵x ∈R，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 4＋3π2＝－cos 3x 4，∴f (－x )＝－cos 3（－x ）4＝－cos 3x4＝f (x )，∴函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 4＋3π2为偶函数． 巩固提高7．函数y ＝3cos 2x －4cos x ＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3的最小值是(D )A ．－13 B.154C ．0D ．－14解析：y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －232－13，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3， ∴cos x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12.当cos x ＝12时，y 取到最小值为y min ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫12－232－13＝－14.故选D.8．函数y ＝cos x 在区间[－π，a ]上为增函数，则a 的取值范围是________． 解析：∵y ＝cos x 在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，∴只有－π＜a ≤0时，满足已知．故a 的取值范围是(－π，0]．答案：(－π，0]9．求函数y ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋2的单调区间．解析：由2k π－π≤2x ＋π3≤2kx (k ∈Z)得k π－23x ≤x ≤k π－π6(k ∈Z)．∴函数的单调增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－2π3，k π－π6(k ∈Z)． 由2k π≤2x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z)得∴函数的单调减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z)．10．若函数f (x )＝a －b sin x 的最大值为32，最小值为－12，求函数g (x )＝－4a sin bx的最值和最小正周期．解析：当b >0时，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝32，a －b ＝－12，解得a ＝12，b ＝1.∴g (x )＝－2sin x ．此时函数g (x )的最大值为2，最小值为－2，最小正周期为2π. 当b <0时，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝32，a ＋b ＝－12，解得a ＝12，b ＝－1.∴g (x )＝2sin x ．此时函数g (x )最大值为2，最小值为－2，最小正周期为2π.1．求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间，首先把x 的系数化为正的，再利用整体代换，将ωx ＋φ代入相应不等式中，求解相应变量的取值范围．2．判断函数的奇偶性时，必须先检查函数的定义域是否关于原点的对称区间，再验证f (－x )与f (x )的关系，进而判断函数的奇偶性．。

§1.4.2正弦函数余弦函数的性质课前预习学案一、预习目标探究正弦函数、余弦函数的周期性，周期，最小正周期；会比较三角函数值的大小,会求三角函数的单调区间.二、预习内容1. _____________________________________________________________________叫做周期函数，___________________________________________叫这个函数的周期.2. _____________________________________叫做函数的最小正周期.3.正弦函数，余弦函数都是周期函数，周期是____________，最小正周期是________.4.由诱导公式_________________________可知正弦函数是奇函数.由诱导公式_________________________可知，余弦函数是偶函数.5.正弦函数图象关于____________________对称，正弦函数是_____________.余弦函数图象关于________________对称，余弦函数是_____________________.6.正弦函数在每一个闭区间_________________上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间_________________上都是减函数，其值从1减少到－1.7.余弦函数在每一个闭区间_________________上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间______________上都是减函数，其值从1减少到－1.8.正弦函数当且仅当x＝___________时，取得最大值1,当且仅当x=_________________时取得最小值－1.9.余弦函数当且仅当x＝______________时取得最大值1；当且仅当x=__________时取得最小值－1.10.正弦函数sinxy=的周期是___________________________.3=的周期是___________________________.11.余弦函数y cos2x12.函数y=sinx+1的最大值是__________,最小值是_____________,y=-3cos2x的最大值是_____________,最小值是_________________.13.y=-3cos2x取得最大值时的自变量x的集合是_________________.π54sin π45cos -π532sin π125cos 14.把下列三角函数值从小到大排列起来为：_____________________________， ， ， 三、提出疑惑课内探究学案 一、学习目标：会根据图象观察得出正弦函数、余弦函数的性质；会求含有x x cos ,sin 的三角式的性质；会应用正、余弦的值域来求函数)0(s in ≠+=a b x a y 和函数c x b x a y ++=c o s c o s 2)0(≠a 的值域学习重难点：正弦函数和余弦函数的性质及简单应用。

1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质1.掌握y＝sin x(x∈R)，y＝cos x(x∈R)的周期性、奇偶性、单调性和最值.(重点)2.会求函数y＝A sin(ωx＋φ)及y＝A cos(ωx＋φ)的周期，单调区间及最值.(难点)3.了解周期函数、周期、最小正周期的含义.(易混点)[基础·初探]教材整理1 函数的周期性阅读教材P34～P35“例2”以上部分，完成下列问题.1.函数的周期性(1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.2.两种特殊的周期函数(1)正弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π.(2)余弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π.函数y＝2cos x＋5的最小正周期是________.【解析】函数y＝2cos x＋5的最小正周期为T＝2π.【答案】2π教材整理2 正、余弦函数的奇偶性阅读教材P37“思考”以下至P37第14行以上内容，完成下列问题.1.对于y＝sin x，x∈R恒有sin(－x)＝－sin x，所以正弦函数y＝sin x是奇函数，正弦曲线关于原点对称.2.对于y＝cos x，x∈R恒有cos(－x)＝cos x，所以余弦函数y＝cos x是偶函数，余弦曲线关于y轴对称.判断函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2的奇偶性. 【解】 因为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2＝－cos 2x .且f (－x )＝－cos(－2x )＝－cos 2x ＝f (x )，所以f (x )为偶函数. 教材整理3 正、余弦函数的图象和性质阅读教材P 37～P 38“例3”以上内容，完成下列问题.函数名称图象与性质 性质分类 y ＝sin x y ＝cos x相 同 处定义域 R R 值域 [－1,1] [－1,1] 周期性 最小正周期为2π最小正周期为2π不 同 处图象奇偶性奇函数偶函数单调性在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )上是增函数；在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋32π(k ∈Z )上是减函数在[2k π－π，2k π](k ∈Z )上是增函数；在[2k π，2k π＋π](k ∈Z )上减函数对称轴 x ＝k π＋π2(k ∈Z )x ＝k π(k ∈Z )对称中心(k π，0)(k ∈Z )⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0(k ∈Z ) 最值x ＝2k π＋π2(k ∈Z )时，y max ＝1；x ＝2k π－π2(k ∈Z )时，y min ＝－1x ＝2k π时，y max ＝1；x＝2k π＋π时，y min ＝－1判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋π6＝sin π6，则2π3是函数y ＝sin x 的一个周期.( )(2)函数y ＝sin x 在第一象限内是增函数.( )(3)余弦函数y ＝cos x 是偶函数，图象关于y 轴对称，对称轴有无数多条.( )(4)函数y ＝－12sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值为0.( )【解析】 (1)×.因为对任意x ，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋x 与sin x 并不一定相等.(2)×.y ＝sin x 的单调性针对的是某一区间，不能用象限角表示. (3)√.由余弦函数图象可知正确.(4)√.函数y ＝－12sin x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上为减函数，故当x ＝0时，取最大值0. 【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)√[小组合作型]三角函数的周期问题及简单应用(1)下列函数是以π为最小正周期的函数是( ) A.y ＝sin x B.y ＝sin x ＋2 C.y ＝cos 2x ＋2D.y ＝cos 3x －1(2)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的最小正周期为________.(3)求函数y ＝|sin x |的最小正周期.【精彩点拨】 (1)(2)利用周期定义或公式T ＝2πω求解.(3)利用图象求解.【自主解答】 (1)y ＝sin x 及y ＝sin x ＋2的最小正周期为2π，y ＝cos 2x ＋2的最小正周期为π，y ＝cos 3x －1的最小正周期为2π3，所以选C.(2)法一：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋2π ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋π＋π4，所以最小正周期为π.法二：因为函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4中ω＝2，所以其最小正周期T ＝2π|ω|＝2π2＝π.【答案】 (1)C (2)π(3)作函数y ＝|sin x |的简图如下：由图象可知y ＝|sin x |的最小正周期为π.求三角函数周期的方法：(1)定义法：即利用周期函数的定义求解.(2)公式法：对形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A ≠0，ω≠0)的函数，T ＝2π|ω|. (3)图象法：即通过观察函数图象求其周期.[再练一题]1.求下列三角函数的周期： (1)y ＝cos 2x ，x ∈R ；(2)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π4，x ∈R . 【导学号：00680018】【解】 (1)因为cos 2(x ＋π)＝cos(2x ＋2π)＝cos 2x ，由周期函数的定义知，y ＝cos 2x 的周期为π.(2)因为sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13x ＋6π－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋2π－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π4，由周期函数的定义知，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π4的周期为6π.三角函数奇偶性的判断(1)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0152π－2 016x 是( )A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数(2)已知a ∈R ，函数f (x )＝sin x －|a |(x ∈R )为奇函数，则a 等于( ) A.0 B.1 C.－1D.±1【精彩点拨】 (1)可先化简解析式再判断奇偶性.(2)可由f (－x )＝－f (x )恒成立来求a .【自主解答】 (1)因为y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2 0152π－2 016x＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2 016x ＋1 007π＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2 016x ＝－cos 2 016x ， 所以为偶函数.(2)函数的定义域为R ，因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝sin(－x )－|a |＝－f (x )＝－sin x ＋|a |，所以|a |＝0，从而a ＝0，故选A.【答案】 (1)B (2)A1.判断函数奇偶性应把握好的两个方面： 一看函数的定义域是否关于原点对称； 二看f (x )与f (－x )的关系.2.对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断.[再练一题]2.(1)函数f (x )＝2sin 2x 的奇偶性为 ( ) A.奇函数 B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数(2)判断函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫34x ＋3π2的奇偶性.【解析】 (1)∵f (x )的定义域是R ， 且f (－x )＝2sin 2(－x )＝－2sin 2x ＝－f (x )，∴函数为奇函数. 【答案】 A(2)∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫34x ＋3π2＝－cos 34x ，∴f (－x )＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34x ＝－cos 34x ，∴函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫34x ＋3π2为偶函数.求正、余弦函数的单调区间(1)下列函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上是增函数的是( ) A.y ＝sin x B.y ＝cos x C.y ＝sin 2xD.y ＝cos 2x(2)函数y ＝cos x 在区间[－π，a ]上为增函数，则a 的取值范围是________.(3)求函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 的单调递减区间.【精彩点拨】 (1)可借助于正、余弦函数的单调区间来判断；(2)可利用[－π，a ]为y＝cos x 对应增区间子集求a 范围；(3)可先化为y ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6后，利用复合函数在对应区间上同增异减方法来求解.【自主解答】 (1)因为y ＝sin x 与y ＝cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上都是减函数，所以排除A ，B.因为π2≤x ≤π，所以π≤2x ≤2π.因为y ＝sin 2x 在2x ∈[π，2π]内不具有单调性，所以排除C.(2)因为y ＝cos x 在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，所以只有－π<a ≤0时满足条件，故a ∈(－π，0].【答案】 (1)D (2)(－π，0](3)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，令z ＝x －π6，则y ＝－sin z ，要求y ＝－sin z 的递减区间，只需求sin z 的递增区间， 即2k π－π2≤z ≤2k π＋π2，k ∈Z ，所以2k π－π2≤x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，所以2k π－π3≤x ≤2k π＋23π，k ∈Z .故函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋23π(k ∈Z ).1.求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 或形如y ＝A cos(ωx ＋φ)＋b (其中A ≠0，ω>0，b 为常数)的函数的单调区间，可以借助于正弦函数、余弦函数的单调区间，通过解不等式求得.2.具体求解时注意两点：①要把ωx ＋φ看作一个整体，若ω<0，先用诱导公式将式子变形，将x 的系数化为正；②在A >0，ω>0时，将“ωx ＋φ”代入正弦(或余弦)函数的单调区间，可以解得与之单调性一致的单调区间；当A <0，ω>0时同样方法可以求得与正弦(余弦)函数单调性相反的单调区间.[再练一题]3.求函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4的单调递减区间.【解】 令2k π≤3x －π4≤π＋2k π(k ∈Z )，解得π12＋23k π≤x ≤5π12＋23k π(k ∈Z )，所以函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12＋23k π，5π12＋23k π(k ∈Z ).[探究共研型]正、余弦函数的值域与最值问题探究1 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4在x ∈[0，π]上最小值是多少？ 【提示】 因为x ∈[0，π]，所以x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4，由正弦函数图象可知函数的最小值为－22. 探究2 函数y ＝A sin x ＋b ，x ∈R 的最大值一定是A ＋b 吗？【提示】 不是.因为A >0时最大值为A ＋b ，若A <0时最大值应为－A ＋b .求下列函数的值域： (1)y ＝3－2sin 2x ；(2)y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2；(3)y ＝cos 2x －4cos x ＋5.【精彩点拨】 (1)利用－1≤sin 2x ≤1求解.(2)可换元令z ＝x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，23π，转化为求y ＝cos z 值域来求解；(3)可换元，令cos x ＝t ，转化为一元二次函数来解决. 【自主解答】 (1)∵－1≤sin 2x ≤1， ∴－2≤－2sin 2x ≤2， ∴1≤3－2sin 2x ≤5，∴原函数的值域是[1,5].(2)由y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2可得x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，∵函数y ＝cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上单调递减，∴函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32.(3)y ＝cos 2x －4cos x ＋5，令t ＝cos x ，则－1≤t ≤1.y ＝t 2－4t ＋5＝(t －2)2＋1，当t ＝－1，函数取得最大值10；t ＝1时，函数取得最小值2，所以函数的值域为[2,10].三角函数最值问题的常见类型及求解方法： 1y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c a ≠0，利用换元思想设t ＝sin x ，转化为二次函数y＝at 2＋bt ＋c 求最值，t 的范围需要根据定义域来确定.2y ＝A sin ωx ＋φ＋b ，可先由定义域求得ωx ＋φ的范围，然后求得sin ωx＋φ的范围，最后得最值.[再练一题]4.(1)函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4的值域为________. (2)函数f (x )＝2sin 2x ＋2sin x －12，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6的值域为________.【解析】 (1)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，23π，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 ∴函数的值域为[－1,2]. (2)令t ＝sin x ，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6，∴12≤sin x ≤1， 即12≤t ≤1.∴f (t )＝2t 2＋2t －12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122－1，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，且该函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上单调递增.∴f (t )的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1，最大值为f (1)＝72.即函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，72.【答案】 (1)[－1,2] (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，721.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若sin(60°＋60°)＝sin 60°，则60°为正弦函数y ＝sin x 的一个周期.( ) (2)若T 是函数f (x )的周期，则kT ，k ∈N *也是函数f (x )的周期.( ) (3)函数y ＝sin x ，x ∈(－π，π]是奇函数.( )【解析】 (1)×.举反例，sin(40°＋60°)≠sin 40°，所以60°不是正弦函数y ＝sinx 的一个周期.(2)√.根据周期函数的定义知，该说法正确. (3)×.因为定义域不关于原点对称. 【答案】 (1)× (2)√ (3)×2.函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4，x ∈R 的最小正周期为( ) 【导学号：70512011】A.π2 B.π C.2πD.4π【解析】 因为3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12x ＋4π－π4＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4＋2π＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4，即f (x ＋4π)＝f (x )，所以函数f (x )的最小正周期为4π. 【答案】 D3.函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的一个递减区间是( ) 【导学号：00680019】A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2B.[－π，0]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23π，23πD.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，23π【解析】 令x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，32π＋2k π，k ∈Z ， 得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3＋2k π，43π＋2k π，k ∈Z ， k ＝0时，区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，4π3是函数f (x )的一个单调递减区间，而⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，23π⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，4π3.故选D.【答案】 D4.比较下列各组数的大小：(1)cos 150°与cos 170°；(2)sin π5与sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π5.【解】 (1)因为90°<150°<170°<180°，函数y ＝cos x 在区间[90°，180°]上是减函数，所以cos 150°>cos 170°.(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π5＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2π＋3π5＝sin 3π5＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－2π5＝sin 2π5.因为0<π5<2π5<π2，函数y ＝sin x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数，所以sin π5<sin 2π5，即sin π5<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π5.。

1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一)学习目标 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义(重点).2.会求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)及y ＝A cos(ωx ＋φ)的周期(重点).3.掌握函数y ＝sin x 、y ＝cos x 的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性(重点)．知识点1 周期函数 1．周期函数2．最小正周期【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”)(1)周期函数y ＝f (x )的定义域可以为[a ，b ](a ，b ∈R )．( ) (2)任何周期函数都有最小正周期．( )(3)若存在正数T ，使f (x ＋T )＝－f (x )，则函数f (x )的周期为2T .( ) 提示 (1)×，周期函数的定义域一定为无限集，且无上下界．(2)×，常数函数f (x )＝c ，任意一个正实数都是其周期，因而不存在最小正周期． (3)√，f (x ＋2T )＝f [(x ＋T )＋T ]＝－f (x ＋T )＝－[－f (x )]＝f (x )，所以f (x )的周期为2T ．知识点2 正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性【预习评价】函数y ＝sin(x ＋π2)是( )A ．周期为π的奇函数B ．周期为π的偶函数C ．周期为2π的奇函数D ．周期为2π的偶函数解析 因为y ＝sin(x ＋π2)＝cos x ，所以该函数是周期为2π的偶函数．答案 D题型一 求三角函数的周期 【例1】 求下列函数的周期： (1)y ＝2sin(12x ＋π6)，x ∈R ；(2)y ＝1－2cos(π2x )，x ∈R ；(3)y ＝|sin x |，x ∈R ． 解 (1)∵2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12x ＋4π＋π6 ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6＋2π＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6，∴自变量x 只要并且至少要增加到x ＋4π，函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6，x ∈R 的值才能重复出现，∴函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6，x ∈R 的周期是4π． (2)∵1－2cos[π2(x ＋4)]＝1－2cos(π2x ＋2π)＝1－2cos(π2x )，∴自变量x 只需并且至少要增加到x ＋4，函数y ＝1－2cos(π2x )，x ∈R 的值才能重复出现，∴函数y ＝1－2cos(π2x )，x ∈R 的周期是4．(3)作图如下：观察图象可知最小正周期为π． 规律方法 求三角函数周期的方法 (1)定义法,即利用周期函数的定义求解．(2)公式法，对形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A ≠0，ω≠0)的函数，T ＝2π|ω|．(3)观察法，即通过观察函数图象求其周期．三种方法各有所长，要根据函数式的结构特征，选择适当的方法求解．【训练1】 (1)下列是定义在R 上的四个函数图象的一部分，其中不是周期函数的是()解析 对于D ，x ∈(－1,1)时的图象与其他区间图象不同，不是周期函数． 答案 D(2)下列函数中，周期为π2的是( )A ．y ＝sin x 2B ．y ＝sin 2xC ．y ＝cos x4D ．y ＝cos 4x解析 选项A ，周期T ＝2π12＝4π；选项B ，周期T ＝2π2＝π；选项C ，周期T ＝2π14＝8π；选项D ，周期T ＝2π4＝π2．答案 D题型二 三角函数的奇偶性 【例2】 判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π2；(2)f (x )＝lg(1－sin x )－lg(1＋sin x )； (3)f (x )＝1＋sin x －cos 2x1＋sin x ．解 (1)显然x ∈R ，f (x )＝cos 12x ，f (－x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＝cos 12x ＝f (x )，∴f (x )是偶函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－sin x >0，1＋sin x >0，得－1<sin x <1．解得定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z ．∴f (x )的定义域关于原点对称． 又∵f (x )＝lg(1－sin x )－lg(1＋sin x ) ∴f (－x )＝lg[1－sin(－x )]－lg[1＋sin(－x )] ＝lg(1＋sin x )－lg(1－sin x )＝－f (x )． ∴f (x )为奇函数．(3)∵1＋sin x ≠0，∴sin x ≠－1， ∴x ∈R 且x ≠2k π－π2，k ∈Z ．∵定义域不关于原点对称，∴该函数是非奇非偶函数． 规律方法 判断函数奇偶性的两个关键点 关键点一：看函数的定义域是否关于原点对称； 关键点二：看f (－x )与f (x )的关系．对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断． 【训练2】 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝|sin x |＋cos x ； (2)f (x )＝1－cos x ＋cos x －1． 解 (1)函数的定义域为R ，又f (－x )＝|sin(－x )|＋cos(－x )＝|sin x |＋cos x ＝f (x )，所以f (x )是偶函数． (2)由1－cos x ≥0且cos x －1≥0，得cos x ＝1，从而x ＝2k π，k ∈Z ，此时f (x )＝0，故该函数既是奇函数又是偶函数.【例3】 (1)下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是( ) A ．y ＝cos|2x |B ．y ＝|sin x |C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2xD ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－2x解析 y ＝cos|2x |是偶函数，y ＝|sin x |是偶函数，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝cos 2x 是偶函数，y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－2x ＝－sin 2x 是奇函数，根据公式得其最小正周期T ＝π．答案 D(2)定义在R 上的函数f (x )既是偶函数，又是周期函数，若f (x )的最小正周期为π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3等于( )A ．－12B ．12C ．－32D ．32解析 f (5π3)＝f (5π3－π)＝f (2π3)＝f (2π3－π)＝f (－π3)＝f (π3)＝sin π3＝32．答案 D【迁移1】 若将例3(2)题中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，结果如何？ 解 f (5π3)＝f (5π3－π)＝f (2π3)＝f (2π3－π)＝f (－π3)＝－f (π3)＝－sin π3＝－32． 【迁移2】 若将例3(2)题条件不变，求f ⎝⎛⎭⎪⎫2 017π3＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 018π3的值．解 f (2 017π3)＝f (672π＋π3)＝f (π3)＝sin π3＝32，f (2 018π3)＝f (672π＋2π3)＝f (2π3)＝f (－π3)＝f (π3)＝sin π3＝32， 所以f (2 017π3)＋f (2 018π3)＝32＋32＝3．规律方法 三角函数周期性与奇偶性的解题策略(1)探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的形式，再利用公式求解．(2)判断函数y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)是否具备奇偶性，关键是看它能否通过诱导公式转化为y ＝A sin ωx (A ω≠0)或y ＝A cos ωx (A ω≠0)其中的一个．【训练3】 若函数f (x )是以π2为周期的偶函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π6＝________．解析 f (－17π6)＝f (－17π6＋3π)＝f (π6)＝f (π6－π2)＝f (－π3)＝f (π3)＝1．答案 1课堂达标1．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最小正周期为( ) A ．4π B ．2π C ．π D.π2解析 由题意T ＝2π2＝π，故选C.答案 C2．函数f (x )＝cos(π3x －π4)的周期是( )A ．3B ．3πC ．6D ．6π解析 T ＝2ππ3＝6．答案 C3．函数y ＝sin(ωx ＋π4)的最小正周期为2，则ω的值为________．解析 T ＝2π|ω|＝2，∴|ω|＝π，∴ω＝±π．答案 ±π4．函数f (x )是周期函数，10是f (x )的一个周期，且f (2)＝2，则f (22)＝________． 解析 f (22)＝f (22－20)＝f (2)＝2． 答案25．判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫34x ＋3π2 (2)f (x )＝x ·cos x ．解 (1)f (x )的定义域是R ，且f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫34x ＋3π2＝－cos 34x ，所以f (－x )＝f (x )，则f (x )是偶函数．(2)f (x )的定义域是R ，又f (－x )＝(－x )·cos(－x )＝－x cos x ＝－f (x )， 所以f (x )是奇函数．课堂小结1．求函数的最小正周期的常用方法：(1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使f (x ＋T )＝f (x )成立的T ．(2)图象法，即作出y ＝f (x )的图象，观察图象可求出T ，如y ＝|sin x |．(3)结论法，一般地，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A ，ω，φ为常数，A ≠0，ω>0，x ∈R )的周期T ＝2πω．2．判断函数的奇偶性，必须坚持“定义域优先”的原则，准确求函数定义域和将式子合理变形是解决此类问题的关键．如果定义域关于原点对称，再看f (－x )与f (x )的关系，从而判断奇偶性．基础过关1．函数f (x )＝x ＋sin x ，x ∈R ( ) A ．是奇函数，但不是偶函数 B ．是偶函数，但不是奇函数 C ．既是奇函数，又是偶函数 D ．既不是奇函数，又不是偶函数解析 由f (－x )＝－x －sin x ＝－(x ＋sin x )＝－f (x )可知f (x )是奇函数． 答案 A2．下列函数中，周期为2π的是( ) A ．y ＝sin x2B ．y ＝sin 2xC ．y ＝|sin x2|D ．y ＝|sin 2x |解析 y ＝sin x 2的周期为T ＝2π12＝4π；y ＝sin 2x 的周期为T ＝2π2＝π； y ＝|sin x2|的周期为T ＝2π；y ＝|sin 2x |的周期为T ＝π2．故选C ． 答案 C3．定义在R 上的函数f (x )周期为π，且是奇函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．0D ．2解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－1．答案 B4．若函数f (x )＝sin(12x ＋φ)是偶函数，则φ＝________．解析 由诱导公式得若f (x )是偶函数，则φ＝π2＋k π，k ∈Z ．答案π2＋k π，k ∈Z 5．若f (x )是R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝sin x ，则f (x )的解析式为________． 解析 当x <0时，－x >0，所以f (－x )＝sin(－x )＝－sin x ， 又f (－x )＝f (x )，所以f (x )＝－sin x ，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ≥0，－sin x ，x <0答案 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ≥0，－sin x ，x <06．判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x cos(π＋x )； (2)f (x )＝1＋sin x ＋1－sin x ； (3)f (x )＝e sin x＋e－sin xe sin x －e－sin x ．解 (1)x ∈R ，f (x )＝cos(π2＋2x )cos(π＋x )＝－sin 2x ·(－cos x )＝sin 2x cos x ． ∴f (－x )＝sin(－2x )cos(－x )＝－sin 2x cos x ＝－f (x )．∴y ＝f (x )是奇函数．(2)对任意x ∈R ，－1≤sin x ≤1， ∴1＋sin x ≥0,1－sin x ≥0．∴f (x )＝1＋sin x ＋1－sin x 的定义域是R ． ∵f (－x )＝1＋－x ＋1－－x，＝1－sin x ＋1＋sin x ＝f (x )， ∴y ＝f (x )是偶函数． (3)∵esin x－e－sin x≠0，∴sin x ≠0，∴x ∈R 且x ≠k π，k ∈Z ． ∴定义域关于原点对称．又∵f (－x )＝e－x ＋e －－x e－x－e－－x＝e －sin x ＋esin xe －sin x －esin x ＝－f (x )， ∴该函数是奇函数．7．已知f (x )是以π为周期的偶函数，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝1－sin x ，求当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤52π，3π时，f (x )的解析式．解 x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤52π，3π时，3π－x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝1－sin x ，∴f (3π－x )＝1－sin(3π－x )＝1－sin x ． 又∵f (x )是以π为周期的偶函数， ∴f (3π－x )＝f (－x )＝f (x )，∴f (x )的解析式为f (x )＝1－sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤52π，3π．能力提升8．函数y ＝|sin x －sin x1－sin x 的奇偶性为( )A ．奇函数B ．既是奇函数也是偶函数C ．偶函数D ．非奇非偶函数解析 由题意知，当1－sin x ≠0， 即sin x ≠1时，y ＝|sin x －sin x1－sin x＝|sin x |，所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠2k π＋π2，k ∈Z ，由于定义域不关于原点对称， 所以该函数是非奇非偶函数． 答案 D9．设f (x )是定义域为R ，最小正周期为3π2的函数，若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ，－π2≤x ≤0，sin x ，0<x ≤π，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4的值等于( )A ．1B ．22 C ．0 D ．－22解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4＝f (－15π4＋3π2×3)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝sin 3π4＝22．答案 B10．关于x 的函数f (x )＝sin(x ＋φ)有以下说法： ①对任意的φ，f (x )都是非奇非偶函数； ②存在φ，使f (x )是偶函数； ③存在φ，使f (x )是奇函数； ④对任意的φ，f (x )都不是偶函数． 其中错误的是________(填序号)． 解析 φ＝0时，f (x )＝sin x 是奇函数． φ＝π2时，f (x )＝cos x 是偶函数．答案 ①④11．设函数f (x )＝sin π3x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 017)＝________．解析 ∵f (x )＝sin π3x 的周期T ＝2ππ3＝6．∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 017)＝336[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)]＋f (2 017) ＝336⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3＋sin 23π＋sin π＋sin 43π＋sin 53π＋sin 2π ＋f (336×6＋1)＝336×0＋f (1)＝sin π3＝32．答案3212．判断函数f (x )＝ln(sin x ＋1＋sin 2x )的奇偶性． 解 ∵sin x ＋1＋sin 2x ≥sin x ＋1≥0，若两处等号同时取到，则sin x ＝0且sin x ＝－1矛盾， ∴对x ∈R 都有sin x ＋1＋sin 2x >0． ∵f (－x )＝ln(－sin x ＋1＋sin 2x )＝ln(1＋sin 2x －sin x )＝ln(1＋sin 2x ＋sin x )－111 ＝－ln(sin x ＋1＋sin 2x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．13．(选做题)已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，若函数g (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2时，g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，求关于x 的方程g (x )＝32的解集．解 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2时，g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3．因为x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，所以由g (x )＝32解得x ＋π3＝－π6或π6，即x ＝－π2或－π6．又因为g (x )的最小正周期为π．所以g (x )＝32的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k π－π2或x ＝k π－π6，k ∈Z ．。

1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质(第二课时)[教材研读]预习课本P37～40，思考以下问题1．正、余弦函数的单调区间分别是什么？2．正、余弦函数的最值分别是多少？取最值时自变量x的值是多少？[要点梳理]正弦函数、余弦函数的图象和性质[自我诊断]判断(正确的打“√”，错误的打“×”)1．正弦函数、余弦函数在定义域内都是单调函数．( ) 2．存在x ∈R 满足sin x ＝ 2.( )3．在区间[0,2π]上，函数y ＝cos x 仅当x ＝0时取得最大值1.( ) [答案] 1.× 2.× 3.×题型一 正、余弦函数的单调性思考：正弦函数在定义域上是增函数，而余弦函数在定义域上是减函数，这种说法对吗？ 提示：不正确．正弦函数在每个闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )上是增函数，并不是在整个定义域上是增函数，同样的，余弦函数在闭区间[2k π，2k π＋π](k ∈Z )上是减函数，并不是在整个定义域上是减函数．求函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的单调区间．[思路导引] 将x －π3看成一个整体解题．[解] 令z ＝x －π3，则y ＝2sin z .∵z ＝x －π3是增函数，∴y ＝2sin z 单调递增(减)时，函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3也单调递增(减)．由z ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )，得x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋5π6(k ∈Z )， 故函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋5π6(k ∈Z )．同理可求函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋5π6，2k π＋11π6.求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的函数的单调区间时，若ω为负数，则要先把ω化为正数．当A >0时，把ωx ＋φ整体放入y ＝sin x 或y ＝cos x 的单调增区间内，求得的x 的范围即函数的增区间；整体放入y ＝sin x 或y ＝cos x 的单调减区间内，可求得函数的减区间．当A <0时，上述方法求出的区间是其单调性相反的区间．[跟踪训练]求函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3－2x 的单调递减区间．[解] ∵y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝－3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3， ∴y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3是增函数时，y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 是减函数．∵函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z )上是增函数，∴－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，即－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π(k ∈Z )．∴函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3－2x 的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12＋k π，5π12＋k π(k ∈Z )．题型二 三角函数值的大小比较 思考：利用三角函数的单调性比较大小sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18________sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10(填“<”或“>”)提示：因为－π2<－π10<－π18<0，正弦函数y ＝sin x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上是增函数，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－810，故填>.比较下列各组数的大小：(1)sin250°与sin260°；(2)cos 15π8与cos 14π9.[思路导引] 利用三角函数的单调性比较．[解] (1)∵函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2上单调递减，且90°<250°<260°<270°， ∴sin250°>sin260°.(2)cos 15π8＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π8＝cos π8， cos 14π9＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－4π9＝cos 4π9. ∵函数y ＝cos x 在[0，π]上单调递减， 且0<π8<4π9<π，∴cos π8>cos 4π9，∴cos 15π8>cos 14π9.比较三角函数值大小的方法(1)比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较．(2)比较两个不同名的三角函数值的大小，一般应先化为同名的三角函数，后面步骤同上．[跟踪训练]比较下列各组数的大小． (1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8与cos 13π7； (2)sin194°与cos160°. [解] (1)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＝cos π8，cos 13π7＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π7＝cos π7，而0<π8<π7<π2，且y ＝cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减，∴cos π8>cos π7.即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8>cos 13π7.(2)∵sin194°＝sin(90°＋104°)＝cos104°， 而0°<104°<160°<180°， 且y ＝cos x 在[0，π]上单调递减． ∴cos104°>cos160°. 即sin194°>cos160°. 题型三 正、余弦函数的最值思考：正弦函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，3π2上函数值的变化有什么特点？余弦函数在[0,2π]上函数值的变化有什么特点？提示：y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上，曲线逐渐上升，是增函数，函数值y 由－1增大到1；在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2上，曲线逐渐下降，是减函数，函数值y 由1减小到－1.y ＝cos x 在[0，π]上，曲线逐渐下降，是减函数，函数值由1减小到－1，在[π，2π]上，曲线逐渐上升，是增函数，函数值由－1增大到1.(1)求函数y ＝3－2sin x 的最大值和最小值，并分别写出使这个函数取得最大值和最小值时x 的集合．(2)求函数y ＝2sin 2x ＋2sin x －12，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6的值域．[思路导引] (1)利用正弦函数的值域确定函数的最值；(2)利用变量代换转化为二次函数求值域，注意变量的范围．[解] (1)因为－1≤sin x ≤1，所以当sin x ＝－1，即x ＝2k π＋3π2，k ∈Z 时，y 取得最大值5，相应的自变量x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝2k π＋3π2，k ∈Z .当sin x ＝1，即x ＝2k π＋π2，k ∈Z 时，y 取得最小值1，相应的自变量x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝2k π＋π2，k ∈Z. (2)令t ＝sin x ，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6，所以12≤sin x ≤1，即12≤t ≤1.所以y ＝2t 2＋2t －12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122－1，∵以t 为自变量的二次函数在[12，1]上单调递增，∴1≤y ≤72，所以原函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，72. [变式] 将(2)中函数改为y ＝2cos 2x ＋2sin x －12，其他条件不变，结果如何？[解] y ＝2cos 2x ＋2sin x －12＝2(1－sin 2x )＋2sin x －12＝－2sin 2x ＋2sin x ＋32＝－2⎝⎛⎭⎪⎫sin x －122＋52.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6，∴sin x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1.所以32≤y ≤52.故原函数的值域⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，52.求三角函数值域或最值的常用方法(1)可化为单一函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋k ，其最大值为|A |＋k ，最小值为－|A |＋k (其中A ，ω，k ，φ为常数，A ≠0，ω≠0)．(2)可化为y ＝A sin 2x ＋B sin x ＋C 或y ＝A cos 2x ＋B cos x ＋C (A ≠0)，最大、最小值可利用二次函数在定义域上的最大值、最小值的求法来求．(换元法)[跟踪训练] 求下列函数的值域：(1)y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2；(2)y ＝cos 2x －4cos x ＋5.[解] (1)由y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2可得x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，函数y ＝cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上单调递减，所以函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32. (2)令t ＝cos x ，则－1≤t ≤1. ∴y ＝t 2－4t ＋5＝(t －2)2＋1， ∴t ＝－1时，y 取得最大值10，t ＝1时，y 取得最小值2.所以y ＝cos 2x －4cos x ＋5的值域为[2,10]．课堂归纳总结1．本节课的重点是正弦函数和余弦函数的性质，难点是正、余弦函数的最值问题的求解．2．要重点掌握函数性质的应用 (1)正、余弦函数的单调性，见典例1； (2)三角函数值的大小比较，见典例2； (3)正、余弦函数的最值，见典例3. 3.本节课的易错点有以下两处(1)求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，如果ω<0，应先利用诱导公式将其转化为正值，如典例1的跟踪训练．(2)求函数y ＝A sin 2x ＋B sin x ＋C 的值域时，易忽视正弦函数y ＝sin x 的有界性，如典例3(2).1．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的一个递减区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2B ．[－π，0]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，2π3D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π3[解析] ∵2k π＋π2≤x ＋π6≤2k π＋3π2，k ∈Z ，∴2k π＋π3≤x ≤2k π＋4π3，k ∈Z .令k ＝0得π3≤x ≤4π3.又∵⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π3⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，4π3 ∴函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的一个递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π3.故选D.[答案] D2．函数y ＝2sin 2x ＋2cos x －3的最大值是( ) A ．－1 B ．1 C ．－12D ．－5[解析] 由题意，得y ＝2sin 2x ＋2cos x －3＝2(1－cos 2x )＋2cos x －3＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －122－12. ∵－1≤cos x ≤1，∴当cos x ＝12时，函数有最大值－12.[答案] C3．下列关系式中正确的是( ) A ．sin11°<cos10°<sin168° B ．sin168°<sin11°<cos10° C ．sin11°<sin168°<cos10° D ．sin168°<cos10°<sin11°[解析] ∵sin168°＝sin(180°－12°) ＝sin12°，cos10°＝sin(90°－10°)＝sin80°.由正弦函数的单调性得sin11°<sin12°<sin80°，即sin11°<sin168°<cos10°.[答案] C4．下列函数中，周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为减函数的是( ) A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 B ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2 D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2 [解析] 由周期为π，则排除C 、D.A 中y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos2x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上单调递减，符合题意．而B 中y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin2x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上单调递增，则不符题意，故选A.[答案] A5．函数y ＝13sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x (x ∈[0，π])的单调递增区间为________． [解析] ∵y ＝13sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝－13sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6 ∴函数的单调增区间即为t ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6的单调递减区间为2k π＋π2≤x －π6≤2k π＋3π2∴2k π＋2π3≤x ≤2k π＋5π3，k ∈Z 且x ∈[0，π]，当k ＝0时，－2π3≤x ≤5π3， 而⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，5π5∩[0，π]＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，π，∴y ＝13sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x (x ∈[0，π])的单调递增区间为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，π. [答案] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，π。