北京四中高中数学 平面向量的实际背景及基本概念提高巩固练习 新人教A版必修1

【巩固练习】1．若〈a r ，b r 〉=60°，|b r |=4，(a r +2b r )·(a r ―3b r )=―72，则向量a r 的模是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．122．若向量a r =（1，2），b r =（1，―1），则2a r +b r 与a r ―b r 的夹角等于（ ）A ．4π- B ．6πC ．4πD ．34π 3．若|a r |=1，|b r |=2，c r =a r +b r ，且c r ⊥a r ，则a r 与b r 的夹角为（ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°4．已知a r =（－3，2），b r =（―1，0），向量λa r +b r 与a r ―2b r 垂直，则实数λ的值为（ ） A ．17-B ．17C ．16-D ．165．平面向量a r 与b r 的夹角为60°，a r =（2，0），|b r |=1，则|a r +2b r |=（ ）A B ． C ．4 D ．126．设(sin a α=r ，1(cos ,)3b α=r ，且//a r b ρ，则锐角α为（ ） A ．030 B ．060 C ．075 D ．045 7.设(,1)A a ，(2,)B b ，(4,5)C 为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若OA u u u r 与OB u u u r 在OC u u u r 方向上的投影相同，则a 与b 满足的关系式为( )A.453a b -=B.543a b -=C.4514a b +=D.5414a b += 8．平面上三点A 、B 、C ，若||3,||4,||5AB BC CA ===u u u r u u u r u u u r ，则AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 等于（ ）．A ．25B ．25-C ．50D ．50-9．已知〈a r ，b r 〉=30°，|a r |=2，||b =r ，则向量a r 和向量b r 的数量积a r ·b r =____．10.已知a r ，b r 均为单位向量，〈a r ，b r 〉=60°，那么|a r +3b r |= .11.已知|a r |=4，||1b =r ，|a r －2b r |=4,则cos 〈a r ，b r 〉= .12.设向量a r ，b r ，c r 满足a r +b r +c r =0,( a r -b r )⊥c r , a r ⊥b r ,若|a r |=1，则|a r |2+|b r |2+|c r |2的值是 ． 13．以原点和A （5，2）为两个顶点作等腰Rt △OAB ，使∠B=90°，求点B 和向量AB u u u r 的坐标14．设向量 ,a b r r 满足 1a b ==r r 及 32a b -=r r(1)求 ,a b r r 所成角的大小； (2)求 3a b +r r 的值.15．已知O （0，0），A （2，0），B （0，2），C （cos α，sin α），且0＜α＜π．（1）若||OA OC +=u u u r u u u r ，求OB u u u r 与OC u u u r 的夹角；（2）若AC BC ⊥u u u r u u u r ，求tan α的值．【答案与解析】1．【答案】C【解析】 (a r +2b r )·(a r ―2b r )= a r 2―6b r 2―a r ·b r =―72，即|a r |2―6×42―2|a r |=―72，∴|a r |=6．2．【答案】C【解析】2a r +b r =（3，3），a r －b r =（0，3），则cos ＜2a r +b r，(2)()|2|||a b a b a b a b a b +⋅-->===+⋅-r r r r r r r r r r ， 故夹角为4π，选C ．3．【答案】C【解析】 设a r 与b r 的夹角为θ，∵c r ⊥a r ，∴c r ·a r =0．又c r =a r +b r ，∴(a r +b r )·a r =0,即a r 2+a r ·b r =0⇒|a r |2+|a r | |b r |cos θ=0．又|a r |=1，|b r |=2，∴1cos 2θ=-． 又∵θ∈[0°，180°]，∴θ=120°．4．【答案】A【解析】向量λa r +b r =（―3λ―1，2λ），a r ―2b r =（―1，2），因为两个向量垂直，故（―3λ－1，2λ）·（―1，2）=0，即3λ+1+4λ=0，解得17λ=-，故选A ． 5．【答案】B 【解析】∵a r =（2，0），故|a r |=2，|2|a b +==r r ．∵a r ·b r =|a r |·|b r |·cos60°=1，∴|2|a b +==r r ．6．【答案】B【解析】Q //a r b ρ，∴1sin 3αα= ，所以60α=o 7. 【答案】A【解析】由OA u u u r 与OB u u u r 在OC u u u r 方向上的投影相同，可得：OA OC OB OC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，(,1)(4,5)(2,)(4,5),a b ⇒⋅=⋅ 即 4585a b +=+，453a b -=.选A.8．【答案】B9．【答案】3【解析】 由题意知||||cos3023a b a b ⋅=︒==r r r r ．10. 11. 【答案】14 12. 【答案】4【解析】由a r +b r +c r =0，得c r = －a r －b r ，又(a r -b)⊥c r ，∴(a r －b r )·（－a r －b r ）=0， ∴－|a r |2－a r ·b r + a r ·b r +|b r |2=0,∴|b r |=|a r |=1.又c r = －a r －b r ，∴|c r |2=|－a r －b r |2= (－a r －b r )·（－a r －b r ）=|a r |2 + 2a r ·b r +|b r |2=2∴|c r综上，|a r |2+|b r |2+|c r |2=213．【解析】设B 点坐标为（x ，y ），则(,)OB x y =u u u r ，(5,2)AB x y =--u u u r ，∵OB AB ⊥u u u r u u u r ，∴x(x ―5)+y(y ―2)=0，即x 2+y 2―5x ―2y=0． ①又||||OB AB =u u u r u u u r ，∴x 2+y 2=(x ―5)2+(y ―2)2，即10x+4y=29． ②联立①②，解得117232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或223272x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．∴B 点坐标为73,22⎛⎫- ⎪⎝⎭或37,22⎛⎫ ⎪⎝⎭． ∴37,22AB ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r 或73,22AB ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ． 14．【解析】(1)()222327,94127,a b a b a b -=+-⋅=r r r r r r 而1,a b ==r r 则11,cos ,22a b a b a b ⋅=∴⋅=r r r r r r ， 故a r 与b r 所成的角为3π (2)()22239693113,3a b a a b b a b +=+⋅+=++=+=r r r r r r r r 15．【解析】（1）因为(2cos ,sin )OA OC αα+=+u u u r u u u r，||OA OC +=u u u r u u u r ，所以(2+cos α)2+sin 2α=7． 所以1cos 2α=．又α∈（0，π），所以3πα=，即3AOC π∠=．又2AOB π∠=，所以OB u u u r 与OC u u u r 的夹角为6π． （2）(cos 2,sin )AC αα=-u u u r ，(cos ,sin 2)BC αα=-u u u r ，因为AC BC ⊥u u u r u u u r ，所以0AC BC ⋅=u u u r u u u r ， 即1cos sin 2αα+=①． 所以21(cos sin )4αα+=．所以32sin cos 4αα=-． 因为(0,)απ∈，所以,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．又27(cos sin )12sin cos 4αααα-=-=， cos sin 0αα-<，所以cos sin αα-= ②．由①②得cos α=sin α=，从而tan α=．。

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§2.1平面向量的实际背景及基本概念课时目标 1.通过对物理模型和几何模型的探究,了解向量的实际背景，掌握向量的有关概念及向量的几何表示。

2。

掌握平行向量与相等向量的概念．1．向量:既有________，又有________的量叫向量．2．向量的几何表示:以A为起点,B为终点的向量记作________．3．向量的有关概念：（1)零向量：长度为__________的向量叫做零向量，记作______．（2)单位向量:长度为______的向量叫做单位向量．(3)相等向量：__________且__________的向量叫做相等向量．(4）平行向量（共线向量)：方向__________的________向量叫做平行向量，也叫共线向量．①记法：向量a平行于b，记作________．②规定：零向量与__________平行．一、选择题1．下列物理量:①质量；②速度；③位移;④力;⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功．其中不是向量的有（)A．1个B．2个C．3个D．4个2．下列条件中能得到a＝b的是（)A．|a|＝|b｜B．a与b的方向相同C．a＝0，b为任意向量D．a＝0且b＝03．下列说法正确的有（）①方向相同的向量叫相等向量；②零向量的长度为0；③共线向量是在同一条直线上的向量；④零向量是没有方向的向量；⑤共线向量不一定相等；⑥平行向量方向相同．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个4．命题“若a∥b,b∥c，则a∥c"( ）A．总成立 B．当a≠0时成立C．当b≠0时成立 D．当c≠0时成立5．下列各命题中，正确的命题为（）A．两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同B．模为0的向量与任一向量平行C．向量就是有向线段D．|a|＝|b|⇒a＝b6．下列说法正确的是（）A．向量错误!∥错误!就是错误!所在的直线平行于错误!所在的直线B．长度相等的向量叫做相等向量C．零向量长度等于0D．共线向量是在一条直线上的向量题号123456答案二、填空题7．给出以下5个条件：①a＝b；②|a|＝｜b｜；③a与b的方向相反;④｜a｜＝0或｜b|＝0；⑤a与b都是单位向量．其中能使a∥b成立的是________．（填序号）8．在四边形ABCD中,错误!＝错误!且|错误!|＝｜错误!|，则四边形的形状为________．9．下列各种情况中,向量的终点在平面内各构成什么图形．①把所有单位向量移到同一起点;②把平行于某一直线的所有单位向量移到同一起点；③把平行于某一直线的一切向量移到同一起点．①__________；②____________；③____________.10．如图所示，E、F分别为△ABC边AB、AC的中点,则与向量错误!共线的向量有________________(将图中符合条件的向量全写出来）．三、解答题11。

高中数学 2.1平面向量的实际背景及其基本概念限时训练 新人教A 版必修41．下列量不是向量的是( )．A ．力B ．速度C ．质量D ．加速度2．下列说法错误的是( )．A ．向量AB →与BA →的长度相等B ．两个相等的向量若起点相同，则终点必相同C ．只有零向量的模等于0D ．零向量没有方向3．设O 为坐标原点，且|OM →|＝1，则动点M 的集合是( )．A ．一条线段B ．一个圆面C ．一个圆D ．一个圆弧4．下列命题：(1)若a 是单位向量，b 也是单位向量，则a 与b 的方向相同或相反；(2)若向量AB →是单位向量，则向量BA →也是单位向量；(3)以坐标平面上的定点A 为起点，所有单位向量的终点P 的集合是以A 为圆心的单位圆． 其中正确的个数为( )．A ．0B ．1C ．2D ．35．下列命题不正确的是( )．A ．零向量没有方向B ．零向量只与零向量相等C ．零向量的模为0D ．零向量与任何向量共线 6．若对任意向量b ，均有a ∥b ，则a 为________．7．如图所示，四边形ABCD 和四边形ABDE 都是平行四边形．(1)与向量ED →相等的向量有________；(2)若|AB →|＝3，则向量EC →的模等于________．8．给出下列四个条件：①a ＝b ；②|a |＝|b |；③a 与b 方向相反；④|a |＝0或|b |＝0.其中能使a ∥b 成立的条件是________．10．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，N ，M 是AD ，BC 上的点，且DN ＝MB .求证：CN →＝MA →.11．已知直线l ：y ＝x －22，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，－22，B (x ，y )是直线l 上的两点．(1)若AB →为零向量，求x ，y 的值；(2)若AB →为单位向量，求x ，y 的值．。

高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）2.1 平面向量的实际背景及基本概念同步检测一、选择题1. 下列说法中错误的是( )A. 零向量是没有方向的B. 零向量的长度为0C. 零向量与任一向量平D. 零向量的方向是任意的答案：A解析：解答：本题主要考查零向量的概念，对于选项A,零向量的方向是任意的，故错误；零向量的方向是任意的；零向量与任一向量平行；故A是错误的.分析：由题根据零向量的概念进行分析即可.2. 下列各量中不是向量的是( )A.浮力B.风速C.位移D.密度答案：D解析：解答：密度只有大小没有方向.分析：由题根据所给物理量结合向量的定义进行分析即可.3. 如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中点A、B、C、D、E、F、O中的任一点为始点，与始点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量OA外，与向量OA共线的向量共有( )A.6B.7C.8D.9解析：解答：本题主要考查向量的表示 与向量OA 共线的向量有,,,,,,,,AO OD DO AD DA EF FE BC CB 共9个，故选D.分析：由题结合所给图形，根据共线向量的定义进行观察即可.4. 设12,e e 是两个单位向量，则下列结论中正确的是( )A. 12e e =B.12e e ＞C.12e e =-D.12e e ＝答案：D解析：解答：由题根据单位向量长度为1，方向不定，不难得到所有单位向量的模相等，故选D.分析：本题主要考查了单位向量的定义，根据定义集合选项不难解决问题.5. 下列命题正确的是( )A.a 与b,b 与ｃ共线，则a 与c 也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C.向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行答案：C解析：解答：题主要考查向量的概念，由于零向量与任一向量都共线，所以A 不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B 不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以Ｄ不正确；对于C ，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若a 与ｂ不都是非零向量，即a 与ｂ至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有a 与ｂ共线，不符合已知条件，所以有a 与ｂ都是非零向量，所以应选C.分析：有关平行向量与共线向量、相等向量与相反向量的定义属于平时练习和考试的常考知识点，一定要认真理解，准确运用，难度不大.6. 某人先向正东方向走了x km ，然后他向右转90°，向新的方向走了3 km ，结果他离出发点恰好为33km ，那么x 的值为( ) A.3 B.32 C.3 D.23或3解析：解答：本题主要考查向量的概念，依题意，由勾股定理可得()222333,32x x+=∴=，故选B.分析：本题主要考查了向量的基本概念的物理背景，难度不大，主要是根据所学余弦定理计算路程，然后得到位移即可.7. 下列命题中正确的是( )A.若两个向量相等,则它们的起点和终点分别重合.B.模相等的两个平行向量是相等向量.C.若a和b都是单位向量,则a b=.D.两个相等向量的模相等.答案：D解析：解答：本题主要考查向量的概念，根据向量相等的定义易知两个相等向量的模相等，故选D；对于选项A，若两个向量相等,则它们的起点和终点不一定相等的；选项B：模相等的两个平行向量是相等向量是错误的，可以是方向相反的向量；C. 若a⃗和b⃗⃗都是单位向量,则模是相等的，但是两个向量不一定相等；D. 两个相等向量的模相等是正确的.分析：本题主要考查了相等向量，解决问题的根据是根据相等向量的定义就发现解决即可.8. 与AB反向的单位向量是( )A ABABB. ABC.ABAB- D.BA答案：C解析：解答：本题主要考查单位向量的概念，与AB反向的单位向量AB AB -.分析：本题主要考查了单位向量与相反向量，解决问题的关键是首先计算出所求向量的单位向量，然后根据方向相反得到结果.9. 如图，D、E、F分别是△ABC边AB，BC，CA上的中点，有下列4个结论：①,DA FE AF DE == ；②||DF CB ；③CF DE =；④FD BE =.其中正确的为( ) A. ①②④ B. ①②③ C. ②③ D. ①④答案：B解析：解答：由题根据所给图形满足条件结合对应向量的关系不难得到,DA FE AF DE == ，||DF CB ，CF DE = ， -FD BE = ，所以①②③正确，故选B. 分析：本题主要考查了向量的模、相等向量、平行向量，解决问题的根据是结合所给图形对应的向量满足的几何关系结合向量的有关对应进行分析解决.10. 如图所示,等腰梯形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点P,点E,F 分别在两腰AD,BC 上,EF 过点P,且EF ∥AB,则下列等式成立的是( )A.AD BC =B.AC BD =C.PE PF =D.EP PF =答案：D解析：解答：根据相等向量的定义,分析可得:A 中,AD 与BC 的方向不同,故AD BC =错误;B 中,AC 与BD 的方向不同,故AC BD =错误;C 中,PE 与PF 的方向相反,故PE PF = 错误;D 中, EP 与PF 的方向相同,且长度都等于线段EF 长度的一半,故EP PF = 正确分析：本题主要考查了相等向量与相反向量，解决问题的关键是根据所给图形对应向量满足的条件结合相等向量与相反向量的定义进行发现解决即可.11. 下列命题中正确的个数是( )①向量AB 与CD 是共线向量，则A 、B 、C 、D 必在同一直线上；②向量a 与向量b 平行，则,a b 方向相同或相反；③若下列向量AB 、CD 满足AB CD > ，且AB 与CD 同向，则AB CD > ； ④若a b = ，则,a b 的长度相等且方向相同或相反；⑤由于零向量方向不确定，故不能与任何向量平行.A.0B.1C.2D.3答案：A解析：解答：本题主要考查向量的概念①错误，把共线向量与平面几何中的共线“混淆”； ②错误，忽视了如果其中有一个是零向量，则其方向不确定； ③错误，把向量与实数混为一谈，事实上向量不能比较大小； ④错误，由a b =，只能说明,a b 的长度相等，确定不了方向；⑤错误，不清楚零向量的概念.规定零向量与任一向量平行.故选A.分析：本题主要考查了零向量、单位向量、平行向量与共线向量、相等向量与相反向量，解决问题的关键是根据所给向量满足条件结合定义进行分析解决.12. 下列说法正确的个数是( )①若向量a,b 共线,向量b,c 共线,则a 与c 也共线;②任意两个相等的非零向量的起点与终点是一平行四边形的四个顶点;③向量a 与b 不共线,则a 与b 都是非零向量;④若a=b,b=c,则a=c.A.1B.2C.3D.4答案：B解析：解答：由于零向量与任意向量都共线,故当b 为零向量时,a,c 不一定共线,所以①不正确;两个相等的非零向量可以在同一直线上,故②不正确;向量a 与b 不共线,则a 与b 都是非零向量,否则不妨设a 为零向量,则a 与b 共线,与a 与b 不共线矛盾,故③正确;a=b,则a,b 的长度相等且方向相同;b=c,则b,c 的长度相等且方向相同,所以a,c 的长度相等且方向相同,故a=c,④正确.分析：本题主要考查了平行向量与共线向量、相等向量与相反向量，解决问题的关键是根据所给向量满足条件结合向量有关的定义进行发现解决即可.13. 已知O点固定,且OA=2,则符合题意的A点构成的图形是( )A.一个点B.一条直线C.一个圆D.不能确定答案：C解析：解答：∵OA= 2,∴终点A到起点O的距离为2,又O点固定,∴A点的轨迹是以O为圆心,2为半径的圆,故选C.分析：本题主要考查了向量的模、向量的几何表示，解决问题的关键是根据向量的模结合向量的模的几何意义进行分析即可.14. 若a为任一非零向量,b的模为1,下列各式:①|a|>|b|;②a∥b;③|a|>0;④|b|=±1.其中正确的是( )A.①④B.③C.①②③D.②③答案：B解析：解答：①中,|a|的大小不能确定,故①错误;②中,两个非零向量是否平行取决于两个向量的方向,故②错误;④中,向量的模是一个非负实数,故④错误;③正确.选B分析：本题主要考查了向量的模，解决问题的关键是根据向量不能比较大小，向量的模可以比较大小，向量是有方向和长度的量.15. 有下列四个命题：①时间、速度、加速度都是向量；②向量的模是一个正实数；③所有单位圆上以圆心为起点以终点为在圆上向量都相等；④共线向量一定在同一直线上，其中真命题的个数是( )A.0B.1C.2D.3答案：A解析：解答：本题主要考查向量的概念，时间不是向量；向量的模是非实数；单位向量的模相等但方向不一定相同；共线向量可以在一条直线上，也可用分别在互相平行的直线上.故选A.分析：本题主要考查了向量的物理背景与概念、向量的模、向量的几何表示、平行向量与共线向量，解决问题的关键是根据向量的有关定义进行分析即可.二、填空题16. 有下面命题;①平行向量的方向一定相同；②共线向量一定是相等向量；③相等向量一定是共线向量，不相等向量一定不共线；④起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；⑤相等向量、若起点不同，则终点一定不同；⑥不相等的向量一定不平行；_____.其中正确命题的序号是答案：⑤④解析：解答：主要考查向量的概念①错，两向量方向相同或相反都是共线向量；②③⑥均错，共线向量也叫平行向量，对向量的长度没有要求，共线向量不一定是相等，相等向量一定共线，不相等向量可以是共线向量，如两个向量的共线，但是可以不相等的向量.分析：本题主要考查了平行向量与共线向量、相等向量与相反向量，解决问题的关键是根据定义进行分析即可.17. 某A地位于B地正西方向5 km处，C地位于A地正北方向5 km处，则C地相对于B 地的位移是________.答案：西北方向52km解析：解答：由题根据A,B,C三地的位置关系结合勾股定理不难得到52BC=,结合方位角不难得到C地相对于B地的位移是西北方向52km.分析：本题主要考查了向量的物理背景与概念，解决问题的关键是根据实际情况进行计算，然后写出对应位移即可.18. 把平面上所有单位向量都移动到共同的起点,那么这些向量的终点所构成的图形是.答案：以单位长度为半径的圆解析：解答：由题根据所给问题所有向量组成了以单位长度为半径的圆.分析：本题主要考查了单位向量、向量的几何表示，解决问题的关键是根据所给向量满足条件结合向量的几何意义进行分析即可.19. 在四边形ABCD中, DC AB=,则这个四边形的形状是.答案：平行四边形解析：解答：由DC AB=,可得DC与AB平行且相等，所以四边形ABCD是平行四边形分析：本题主要考查了相等向量，解决问题的关键是根据相等向量定义结合向量的几何意义进行分析即可.20. 如图所示,O 是正三角形ABC 的中心;四边形AOCD 和AOBE 均为平行四边形,则与向量AD 相等的向量有 ;与向量OA 共线的向量有 ;与向量OA 的模相等的向量有 .(填图中所画出的向量)答案：OC |,DC EB |,,,,OB OC DC EB AD解析：解答：∵O 是正三角形ABC 的中心,∴OA=OB=OC,∴结合相等向量及共线向量定义可知:与AD 相等的向量有OC ;与OA 共线的向量有,DC EB ；与OA 的模相等的向量有,,,,OB OC DC EB AD .分析：本题主要考查了向量的模、相等向量与相反向量、平行向量与共线向量，解决问题的关键是根据所给向量满足的几何关系结合图形及向量的有关定义进行发现解决即可.三、解答题 21. 用向量表示小船的下列位移(用1∶500 000的比例尺)(1)由A 地向东北方向航行15 km 到达B 地;答案：解：B 地在A 地的东北方向,即 B 地在A 地北偏东45°方向,线段AB 的长度画为3 cm 即可.如图所示.(2)由A 地向西偏北60°方向航行20 km 到达C 地,再由C 地向正南方向航行25 km 到达D 地.答案：解：由于C 地在A 地的西偏北60°方向,则线段AC 与表示正北方向的线的夹角为30°,且线段AC 的长度画为4 cm;D 地在C 地的正南方向,则画竖直向下的线段,长度为5 cm 即可,连接AD,即为所求位移.如图所示.解析：分析：本题主要考查了向量的物理背景与概念，解决问题的关键是根据有关方位角的知识进行发现计算即可.22. 如图所示的方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成,方格纸中有两个定点A,B,AC点C为小正方形的顶点,且5(1)画出所有的向量AC;答案：解：画出所有的向量AC如图所示.(2)求| BC |的最大值与最小值.答案：解：由(1)所画的图知,①当点C 位于点C 1或C 2时,|BC |取得最小值22125+= ；②当点C 位于点C 5和C 6时,|BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|取得最大值224541+= . ∴|BC |的最大值为41,最小值为5 .解析：分析：本题主要考查了向量的模、向量的几何表示，解决问题的关键是根据所给向量满足的几何关系进行作图计算即可. 23. 已知O 是正方形ABCD 对角线的交点,在以O,A,B,C,D 这5点中任意一点为起点,另一点为终点的所有向量中,写出:(1)与BC 相等的向量;答案：解：画出图形,如图所示.易知BC ∥AD,BC=AD,所以与BC 相等的向量为AD(2)与OB 长度相等的向量;答案：解：由（1）图像得：O 是正方形ABCD 对角线的交点知OB=OD=OA=OC,所以与OB 长度相等的向量为,,,,,,BO OC CO OA AO OD DO .(3)与DA 共线的向量.答案：解：由（1）图像得：与DA 共线的向量为,,AD BC CB .解析：分析：本题主要考查了平共线向量、相等向量的有关概念，解决问题的关键是根据所给向量满足的条件进行正确作图，然后观察所求向量即可.24. 如图所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心，且,,OA OB OC ===a b c .O F ED C BA(1)与a 的模相等的向量有多少？答案：解：与a 的模相等的向量有23个 (2)与a 的长度相等，方向相反的向量有哪些？答案：解：与a 的长度相等，方向相反的向量有,,,OD BC AO FE(3)与a 共线的向量有哪些？答案：解：与a 共线的向量有,,,,,,,,EF BC OD FE CB DO AO DA AD(4)请一一列出与,,a b c 相等的向量.答案：解：与a 相等的向量有：,,EF DO CB ；与a 相等的向量有：,,DO EO FA ；与c 向量相等的向量有：,,FO ED AB .解析：分析：本题主要考查了共线向量、相等向量，解决问题的关键是根据所给图形，结合有关向量的定义进行观察分析即可. 25. 在平行四边形ABCD 中，E,F 分别是AD ，BC 的中点，如图所示 EFD CBA(1)写出与向量FC 共线的向量； 答案：解：共线向量满足的条件与向量FC 共线的向量有：,,.CF AE EA(2)求证：BE FD .答案：证明：在平行四边形ABCD中，AD∥BC,AD=BC，又分别是AD，BC的中点，所以ED∥BF且ED=BF，所以四边形BFDE是平行四边形，故BE FD解析：分析：本题主要考查了共线向量、相等向量，解决问题的关键是根据所给几何图形满足的条件结合有关向量的知识进行观察，计算，证明即可.。

[A.基础达标]1．在下列判断中，正确的是( ) ①长度为0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；③单位向量的长度都相等；④单位向量都是同方向的；⑤任意向量与零向量都共线．A ．①②③B ．②③④C ．①②⑤D ．①③⑤解析：选D.由定义知①正确，②由于两个零向量是平行的，但不能确定是否同向，也不能确定是哪个具体方向，故不正确．显然，③，⑤正确，④不正确，所以答案是D.2．下列命题中，正确的是( ) A ．|a |＝1⇒a ＝±1B ．|a |＝|b |且a ∥b ⇒a ＝bC ．a ＝b ⇒a ∥bD ．a ∥0⇒|a |＝0解析：选C.两共线向量的模相等，但两向量不一定相等，0与任一向量平行． 3．设a 0，b 0分别是a ，b 的单位向量，则下列结论中正确的是( ) A ．a 0＝b 0B ．a 0＝－b 0C ．|a 0|＋|b 0|＝2D ．a 0∥b 0解析：选C.因为a 0，b 0是单位向量，则|a 0|＝1，|b 0|＝1，所以|a 0|＋|b 0|＝2.故选C.4．下列结论中，不正确的是( )A ．向量AB →，CD →共线与向量AB →∥CD →意义是相同的B ．若AB →＝CD →，则AB →∥CD →C ．若向量a ，b 满足|a |＝|b |，则a ＝bD ．若向量AB →＝CD →，则向量BA →＝DC →解析：选C.平行向量又叫共线向量．相等向量一定是平行向量，但两个向量长度相等，方向却不一定相同，故C 错误．5．若|AB →|＝|AD →|且BA →＝CD →，则四边形ABCD 的形状为( )A ．平行四边形B ．矩形C ．菱形D ．等腰梯形解析：选C.由BA →＝CD →，知AB ＝CD 且AB ∥CD ，即四边形ABCD 为平行四边形．又因为|AB →|＝|AD →|，所以四边形ABCD 为菱形．6．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，O 为其中心，则|OA →|＝________.解析：正方形的对角线长为22， ∴|OA →|＝ 2. 答案： 27. 设O 是正方形ABCD 的中心，则①AO →＝OC →；②AO →∥AC →；③AB →与CD →共线；④AO →＝BO →.其中，所有正确的序号为________．解析：正方形的对角线互相平分，则AO →＝OC →，①正确； AO →与AC →的方向相同，所以AO →∥AC →，②正确； AB →与CD →的方向相反，所以AB →与CD →共线，③正确；尽管|AO →|＝|BO →|，然而AO →与BO →的方向不相同，所以AO →≠BO →，④不正确． 答案：①②③8．已知A ，B ，C 是不共线的三点，向量m 与向量AB →是平行向量，与BC →是共线向量，则m ＝________.解析：∵A ，B ，C 不共线，∴AB →与BC →不共线．又m 与AB →，BC →都共线，∴m ＝0.答案：09．如图所示，四边形ABCD 与ABEC 都是平行四边形．(1)用有向线段表示与向量AB →相等的向量；(2)用有向线段表示与向量AB →共线的向量．解：(1)与向量AB →相等的向量是向量CE →，向量DC →；(2)与向量AB →共线的向量是向量BA →，向量DC →，向量CD →，向量CE →，向量EC →，向量ED →，向量DE →.10．在直角坐标系中画出下列向量，使它们的起点都是原点O ，并求终点的坐标． (1)|a |＝2，a 的方向与x 轴正方向的夹角为60°，与y 轴正方向的夹角为30°； (2)|a |＝4，a 的方向与x 轴正方向的夹角为30°，与y 轴正方向的夹角为120°； (3)|a |＝42，a 的方向与x 轴、y 轴正方向的夹角都是135°. 解：如图所示：[B.能力提升]1．已知点O 固定，且|OA →|＝2，则A 点构成的图形是( ) A ．一个点 B ．一条直线 C ．一个圆 D ．不能确定解析：选C.∵|OA →|＝2，∴终点A 到起点O 的距离为2. 又∵O 点固定，∴A 点的轨迹是以O 为圆心，2为半径的圆．故选C. 2．下列说法中：①若a 是单位向量，b 也是单位向量，则a 与b 的方向相同或相反；②若向量AB →是单位向量，则向量BA →也是单位向量； ③两个相等的向量，若起点相同，则终点必相同． 正确的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：选C.由单位向量的定义知，凡长度为1的向量均称为单位向量，对方向没有任何要求，故①不正确；因为|AB →|＝|BA →|，所以当AB →是单位向量时，BA →也是单位向量，故②正确；根据相等向量的概念知，③是正确的．3．给出下列四个条件：①a ＝b ；②|a |＝|b |；③a 与b 方向相反；④|a |＝0或|b |＝0，其中能使a ∥b 成立的条件是________．解析：因为a 与b 为相等向量，所以a ∥b ，即①能够使a ∥b 成立；由于|a |＝|b |并没有确定a 与b 的方向，即②不能够使a ∥b 成立；因为a 与b 方向相反时，a ∥b ，即③能够使a ∥b 成立；因为零向量与任意向量共线，所以|a |＝0或|b |＝0时，a ∥b 能够成立．故使a ∥b 成立的条件是①③④.答案：①③④ 4. 如图所示，已知四边形ABCD 是矩形，O 为对角线AC 与BD 的交点，设点集M ＝{O ，A ，B ，C ，D }，向量的集合T ＝{PQ →|P ，Q ∈M ，且P ，Q 不重合}，则集合T 有________个元素．解析：以矩形ABCD 的四个顶点及它的对角线交点O 五点中的任一点为起点，其余四点中的一个点为终点的向量共有5×4＝20(个)．但这20个向量中有8组向量是相等的，其余12个向量各不相等，即为AO →(OC →)、OA →(CO →)，DO →(OB →)，AD →(BC →)，DA →(CB →)，AB →(DC →)，BA →(CD →)，BO →(OD →)，AC →，CA →，BD →，DB →，由元素的互异性知T 中有12个元素．答案：125．如图所示，已知四边形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，AD 的中点，又AB →＝DC →且CN →＝MA →，求证：DN →＝MB →.证明：因为AB →＝DC →，所以|AB →|＝|DC →|且AB ∥DC ， 所以四边形ABCD 是平行四边形，所以|DA →|＝|CB →|且DA ∥CB .又因为DA →与CB →的方向相同，所以CB →＝DA →.同理可证，四边形CNAM 是平行四边形，所以CM →＝NA →.因为|CB →|＝|DA →|，|CM →|＝|NA →|，所以|MB →|＝|DN →|， 又DN →与MB →的方向相同，所以DN →＝MB →.6．(选做题)“马走日”是中国象棋中的一个规则，即“马”在走动时必须走一个“日”字形的路径．如图是中国象棋棋盘的一部分，如果有一“马”在A 处，可以跳到E 处，也可以跳到F 处，分别用向量AE →，AF →表示“马”走了一步．(1)试标出“马”在点B ，C ，D 处走了一步的所有情况；(2)“马”在D 处是否能跳到相邻的B 点，试在图中标出，并说明“马”能否从棋盘任一交叉点出发走到棋盘的任何一交叉点处？解：(1)如图，点B 处的“马”有4条路线：BQ →、BR →、BS →、BT →；点C 处的“马”有8条路线：CG →、CF →、CP →、CO →、CN →、CM →、CL →、CH →；点D 处的“马”有3条路线：DU →、DV →、DW →.(2)事实上，“马”由点D 到点B 处，只需沿向量DV →，VQ →，QB →走三步即可(请同学们自己标出)．也就是说“马”能从一个交叉点出发，然后回到该交叉点的相邻点．由递推关系可得，“马”能从任一交叉点出发，然后又能走到棋盘的任一交叉点．。

平面向量的数量积【学习目标】1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；3.掌握数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的运算；4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；【要点梳理】要点一： 平面向量的数量积1. 平面向量数量积(内积)的定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角是θ，则数量cos a b θ叫a 与b 的数量积，记作a b ⋅，即有()cos 0a b a b θθπ⋅=≤≤.并规定0与任何向量的数量积为0.2.一向量在另一向量方向上的投影：cos b θ叫做向量b 在a 方向上的投影.要点诠释：1. 两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别(1)两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos θ的符号所决定.(2)两个向量的数量积称为内积，写成a b ⋅；今后要学到两个向量的外积a b ⨯，而a b ⋅是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.(3)在实数中，若0a ≠，且0a b ⋅=，则0b =；但是在数量积中，若0a ≠，且0a b ⋅=，不能推出0b =.因为其中cos θ有可能为0.2. 投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ=0︒时投影为b ；当θ=180︒时投影为b -. 要点二：平面向量数量积的几何意义数量积a b ⋅表示a 的长度||a 与b 在a 方向上的投影cos b θ的乘积，这是a b ⋅的几何意义。

图所示分别是两向量,a b 夹角为锐角、钝角、直角时向量b 在向量a 方向上的投影的情形，其中1||cos OB b θ=，它的意义是，向量b 在向量a 方向上的投影是向量1OB 的数量，即11||a OB OB a =⋅。

事实上，当θ为锐角时，由于cos 0θ>，所以10OB >；当θ为钝角时，由于cos 0θ<，所以10OB <；当090θ=时，由于cos 0θ=，所以10OB =，此时O 与1B 重合；当00θ=时，由于cos 1θ=，所以1||OB b =；当当0180θ=时，由于cos 1θ=-，所以1||OB b =-。

北京四中高中数学 平面向量的实际背景及基本概念提高巩固练习 新人教A 版必修1【巩固练习】1．下列说法中正确的有（ ）．①向量AB 与CD 是共线向量，则A 、B 、C 、D 必在同一直线上；②向量a 与向量b 平行，则a 、b 方向相同或相反；③若向量AB 、CD 满足||||AB CD >，且AB 与CD 同向，则AB CD >；④若a =b ，则a ，b 的长度相等且方向相同或相反；⑤由于零向量0方向不确定，故0不能与任何向量平行．A ．0个B ．2个C ．3个D ．4个2．在同一平面上，把所有长度为1的向量的始点放在同一点，那么这些向量的终点所构成的图形是（ ）．A ．一条线段B ．一段圆弧C ．圆上一群孤立的点D ．一个半径为1的圆3．若=AB AD 且=BA CD ，则四边形ABCD 的形状为( )A ．平行四边形B ．矩形C ．菱形D ．等腰梯形4．若a 是任一非零向量，b 是单位向量，则下列式子正确的是（ ）．A ．a ＞bB ．a ∥bC ．a ＞0D ．||=a b a 5．如图，点D 是正六边形ABCDEF 的中心，则以A 、B 、C 、D 、E 、F 、O 中的任意一点为起点，与起点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量OA 外，与向量OA 共线且模相等的向量共有（ ）．A ．2个B ．3个C ．6个D ．7个6．正多边形有n 条边，它们对应的向量依次为1a ，2a ，…，n a ，则这n 个向量（ ）． A ．都相等 B ．都共线 C ．都不共线 D ．模都相等7．下列说法中，正确的是（ ）．A ．若a ＞b ，则a ＞bB ．若a =b ，则a =bC ．若a =b ，则a ∥bD ．若a ≠b ，则a 与b 不是共线向量 8．下列命题正确的是( )A ．向量a 与b 共线，向量b 与c 共线，则向量a 与c 共线B ．向量a 与b 不共线，向量b 与c 不共线，则向量a 与c 不共线C ．向量AB 与CD 是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点一定共线D ．向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量9．在Rt△ABC 中，∠BAC=90°，||1AB =，||2AC =，则||BC =__________．10．已知四边形ABCD 中，12AB DC =，且||||AD BC =，则四边形ABCD 的形状是________．11．若某人从点A 出发向东走3km 至点B ，从点B 向北走km 至点C ，则点C 相对于点A 的位置向量为 。

【巩固练习】1．设1e u r 、2e u u r 是同一平面内的两个向量，则有（ ）A ．1e u r 、2e u u r 一定平行B ．1e u r 、2e u u r 的模相等C ．对一平面内的任一向量a r ，都有a r =λ1e u r +μ2e u u r （λ、μ∈R ）D ．若1e u r 、2e u u r 不共线，则对同一平面内的任一向量a r ，都有a r =λ1e u r +μ2e u u r （λ、μ∈R ）2．已知四边形ABCD 的三个顶点(0,2)A ，(1,2),(3,1)B C --，且2BC AD =u u u r u u u r ，则顶点D3.已知向量()()()1,2,2,3,3,4,a b c ===且12c a b λλ=+.则1λ，2λ的值分别为( ) A. –2，1 B.1，-2 C.2，-1 D.-1，24．已知向量a r ，b r 不共线，且4AB a b =+u u u r r r ，9BC a b =-+u u u r r r ，3CD a b =-u u u r r r ，则一定共线的是（ ）A ．A ，B ，D B ．A ，B ，C C ．B ，C ，D D ．A ，C ，D5．已知向量a r =（3，2），b r =（x ，4），且a r ∥b r ，则x 的值是（ ）A ．―6B ．6C ．83 D ．83- 6．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若(2,4)AB =u u u r ，(1,3)AC =u u u r ，则BD u u u r 等于（ ） A ．（―2，―4） B ．（―3，―5） C ．（3，5） D ．（2，4）7．已知向量a r 、b r 不共线，c r ＝k a r ＋b r (k ∈R )，d u r ＝a r －b r .如果c r ∥d u r ，那么( )A ．k ＝1且c r 与d u r 同向B ．k ＝1且c r 与d u r 反向C ．k ＝－1且c r 与d u r 同向D ．k ＝－1且c r 与d u r 反向8．设点A （2，3），B （5，4）C （7，10），若()AP AB AC R λλ=+∈u u u r u u u r u u u r ，若点P 在第三象限，则λ的取值范围是（ ）A ． 0λ<B ．1λ<-C ．1λ>D ．2λ>9．如图在正方形ABCD 中，设AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ，BD c =u u u r r ，则在以a r ，b r 为基底时，AC u u u r 可表示为________，在以a r ，c r 为基底时，AC u u u r 可表示为________．10.若M(1，0)，N(0，1)，P(2，1)，Q(1， y)，且MN PQ =u u u u r u u u r ，则y 的值为_______ . 11.(2,3),2,(3,0)AB CD AB C ==u u u r u u u r u u u r ，则点D 的坐标是__________.12．已知a r =―1e u r +32e u u r ，b r =41e u r +22e u u r ，c r =―31e u r +122e u u r ，若用b r 与c r 表示a r ，则应有a r =________．13．如图所示，在Y ABCD 中，M 、N 分别是DC 、BC 的中点，已知AM c =u u u u r r ，AN d =u u u r u r ，试用c r 、d u r 表示AB u u u r 与AD u u u r ．14．已知a r =（1，2），b r =（―3，2），当k 为何值时，k a r +b r 与a r ―3b r 平行？平行时它们是同向还是反向？15．已知点(0,0),(1,4),(4,2)O A B -，线段AB 的三等分点,C D （点C 靠近A ）．（1）求点C ，D 的坐标； （2）若点E 相对点B 的位置向量为2OC OD +u u u r u u u r ，求点E 的坐标．【答案与解析】1．【答案】D 【解析】 1e u r 、2e u u r 是任意向量，A 、B 、C 都不一定成立，只有1e u r 、2e u u r 不共线，由平面向量基本定理知，D 正确．2．【答案】A3. 【答案】D4．【答案】A【解析】282(4)2BD BC CD a b a b AB =+=+=+=u u u r u u u r u u u r r r r r u u u r ，故A 、B 、D 共线．5．【答案】B【解析】 由a r ∥b r ⇒3×4=2x ，∴x=6．6．【答案】B 【解析】设AC 与BD 交于O 点，则2BD BO =u u u r u u u r ，而12BO AC AB =-u u u r u u u r u u u r ， ∴22(1,3)(4,8)(3,5)Bd BO AC AB ==-=-=--u u u r u u u r u u u r u u u r ．7．【答案】D【解析】不妨设a r ＝(1,0)，b r ＝(0,1)．依题意d u r ＝a r －b r ＝(1，－1)，又c ＝k a r ＋b r ＝(k,1)，∵c r ∥d u r ，∴12－(－1)·k ＝0，∴k ＝－1，又k ＝－1时，c r ＝(－1,1)＝－d u r ，∴c r 与d u r 反向． 8．【答案】B9．【答案】a r +b r 2a r +c r【解析】以d u r ，c r 为基底时将BD u u u r 平移，使B 与A 重合，再由三角形法则或平面四边形法则即得．10. 【答案】2【解析】(01,10)(12,1)112MN PQ y y y =∴--=--∴-=∴=u u u u r u u u r Q11. 【答案】(7，6)【解析】(2,3),2(4,6)AB CD AB ===u u u r u u u r u u u r ，而C(3，0)，设D 点的坐标为(x ，y)，则⎩⎨⎧⎩⎨⎧==∴=-=-676043y x y x 12．【答案】171827b c -+r r 【解析】设a b c λμ=+r r r ，则1212123(42)(312)e e e e e e λμ-+=++-+u r u u r u r u u r u r u u r12(43)(212)e e λμλμ=-++u r u u r ，故12(431)(2123)0e e λμλμ-+++-=u r u u r ．∴431021230λμλμ-+=⎧⎨+-=⎩，解得118727λμ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故171827a b c =-+r r r ． 13．【解析】可以借鉴解方程组的思想，设AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ，在△ABN 中，有12a b d +=r r u r ； 在△ADM 中，有12b a c +=r r r ，联立以上两式可得 2(2)3AB d c =-u u u r u r r ，2(2)3AD c d =-u u u r r u r ．14．【解析】 k a r +b r =k （1，2）+（―3，2）=（k ―3，2k+2），a r ―3b r =（1，2）―3（―3，2）=（10，―4）．当k a r +b r 与a r ―3b r 平行时，存在唯一实数λ使k a r +b r =λ(a r －3b r )．由（k ―3，2k+2）=λ（10，―4）得310224k k λλ-=⎧⎨+=-⎩，解得1313k λ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩． 当13k =-时，k a r +b r 与a r ―3b r 平行， 这时11(3)33ka b a b a b +=-+=--r r r r r r ， ∵103λ=-<，∴k a r +b r 与a r －3b r 反向． （2）2(2,2)2(3,0)(8,2),OC OD +=+=u u u r u u u r2(4,2)(8,2)(12,0)OE OB OC OD =++=-+=u u u r u u u r u u u r u u u r点E 坐标为（12，0）．。

第二章平面向量本章教材分析1．丰富多彩的背景,引人入胜的内容.教材首先从力、位移等量讲清向量的实际背景以及研究向量的必要性,接着介绍了平面向量的有关知识.学生将了解向量丰富的实际背景,理解平面向量及其运算的意义,能用向量语言与方法表述和解决数学、物理中的一些问题,发展运算能力和解决实际问题的能力.平面向量基本定理是平面向量正交分解及坐标表示的基础,从学生熟知的功的概念出发,引出了平面向量数量积的概念及其几何意义,接着介绍了向量数量积的性质、运算律及坐标表示.向量数量积把向量的长度和三角函数联系了起来,这样为解决有关的几何问题提供了方便,特别能有效地解决线段的垂直问题.最后介绍了平面向量的应用.2．教学的最佳契机,全新的思维视角.向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”,这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的.反过来,向量的理论和方法,又成为解决物理学和工程技术的重要工具,向量之所以有用,关键是它具有一套良好的运算性质,通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算,这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题.这一章的内容虽然概念多,但大都有其物理上的来源,虽然抽象,却与图形有着密切的联系,向量应用的优越性也是非常明显的.全新的思维视角,恰当的教与学,使得向量不仅生动有趣,而且是培养学生创新精神与能力的极佳契机.3．本章充分体现出新教材特点.以学生已有的物理知识和几何内容为背景,直观介绍向量的内容,注重向量运算与数的运算的对比,特别注意知识的发生过程.对概念、法则、公式、定理等的处理主要通过观察、比较、分析、综合、抽象、概括得出结论.这一章中的一些例题,教科书不是先给出解法,而是先进行分析,探索出解题思路,再给出解法.解题后有的还总结出解决该题时运用的数学思想和数学方法,有的还让学生进一步考虑相关的问题.对知识的处理,都尽量设计成让学生自己观察、比较、猜想、分析、归纳、类比、想象、抽象、概括的形式,从而培养学生的思维能力.向量的坐标实际上是把点与数联系起来,进而可把曲线与方程联系起来,这样就可用代数方程研究几何问题,同时也可以用几何的观点处理某些代数问题.4.§2.1 平面向量的实际背景及基本概念一、教学分析本节是本章的入门课,概念较多,但难度不大.学生可根据原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念,结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.由于向量来源于物理,并且兼具“数”和“形”的特点,所以它在物理和几何中具有广泛的应用,可通过几个具体的例子说明它的应用.位移是物理中的基本量之一,也是几何研究的重要对象.几何中常用点表示位置,研究如何由一点的位置确定另外一点的位置.位移简明地表示了点的位置之间的相对关系,它是向量的重要的物理模型.力是常见的物理量.重力、浮力、弹力等都是既有大小又有方向的量.物理中还有其他力,让学生举出物理学中力的其他一些实例,目的是要建立物理课中学过的位移、力及矢量等概念与向量之间的联系,以此更加自然地引入向量概念,并建立学习向量的认知基础.二、教学目标1、知识与技能：了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量。

北京四中高中数学 平面向量的基本定理及坐标表示提高巩固练习 新人教A 版必修1【巩固练习】1．如果1e u r 、2e u u r 是平面α内所有向量的一组基底，那么（ ）A ．若实数λ1、λ2使λ11e u r +λ22e u u r =0，则λ1=λ2=0B ．空间任一向量a r 可以表示为a r =λ11e u r +λ22e u u r ，这里λ1、λ2是实数C ．对实数λ1、λ2，λ11e u r +λ22e u u r 不一定在平面α内D ．对平面α中的任一向量a r ，使a r =λ11e u r +λ22e u u r 的实数λ1、λ2有无数对2．已知向量a r =（1，2），b r =（x ，1）且a r +2b r 与2a r ―b r 平行，则x 等于（ ）A ．4B ．2C ．12D ．12- 3．若三点(2,3),(3,),(4,)A B a C b 共线，则有（ ）A ．3,5a b ==-B ．10a b -+=C ．23a b -=D ．20a b -=4．已知基底1e u r 、2e u u r ，实数,x y 满足1212(34)(23)63x y e x y e e e -+-=+u r u u r u r u u r ，则x y -的值等于（ ）A ．3B ．－3C ．0D ．25．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC u u u r ＝a r ，BD u u u r ＝b r ，则AF u u u r ＝ ( ) A.14a r ＋12b r B. 23a r ＋13b r C. 12a r ＋14b r D. 13a r ＋23b r 6．若1OP a =u u u r r ，2OPb =u u u r r ，12PP PP λ=u u u r u u u r ，则OP uuu r 等于（ ） A ．a r +λb r B ．λa r +b r C ．λa r +(1+λ)b r D ．1a b λλ++r r 7．已知向量a r ＝(6,4)，b r ＝(0,2)，OC u u u r ＝a r ＋λb r ，若点C 在函数y ＝sin 12πx 的图像上，则实数λ的值为 ( ) A.52 B.32 C ．－52 D ．－328．如图，点P 在∠AOB 的对顶角区域MON 内，且满足：OP xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r ，则实数对（x ，y ）可以是（ ）A ．11,23⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．21,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．32,45⎛⎫- ⎪⎝⎭9．在ABCD Y 中，AB u u u r ＝a r ，AD u u u r ＝b r ，AN u u u r ＝3NC u u u r ，M 为BC 的中点，则MNu u u u r ＝________(用a r 、b r 表示)．10．已知a ＞0，若平面内三点A （1，－a ），B （2，a 2），C （3，a 3）共线，则a=________。

课时提升作业(十五)平面向量的实际背景及基本概念一、选择题(每小题4分，共12分)1.(2014·临汾高一检测)下列物理量：①速度；②力；③路程；④密度；⑤功.其中不是向量的有()A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选C.日常生活中，常用到两类量，一类量是只有大小而没有方向，如质量、路程、密度、温度、功等，这类量叫做数量，它是一个代数量，可以进行代数运算；另一类量是既有大小又有方向，如速度、位移、力、加速度等，这类量叫做向量.【变式训练】下列说法中正确的个数是()(1)身高是一个向量.(2)∠AOB的两条边都是向量.(3)物理学中的加速度是向量.A.0B.1C.2D.3【解析】选B.(1)错误.身高是一个数量.(2)错误.∠AOB的两条边都是射线，不是向量.(3)正确.物理学中的加速度是既有大小又有方向的量，是向量.2.若|a|=|b|，那么要使a=b，两向量还需要具备()A.方向相反B.方向相同C.共线D.方向任意【解析】选B.两向量相等需具备长度相等且方向相同两个条件，因此选B.3.(2014·丹东高一检测)设O是正六边形ABCDEF的中心，则以O和各顶点为起点和终点的向量中与向量相等的向量的个数有()A.4个B.3个C.2个D.1个【解析】选B.根据正六边形的性质可得，与相等的向量有，，，共3个.二、填空题(每小题4分，共8分)4.(2014·无锡高一检测)如图所示，已知正方形ABCD边长为2，O为其中心，则||=.【解析】正方形的对角线长为2，所以||=.答案：【变式训练】△ABC是等腰三角形，则两腰上的向量与的关系是. 【解析】因为△ABC是等腰三角形，所以AB=AC，即||=||.答案：模相等5.若A地位于B地正西方向5km处，C地位于A地正北方向5km处，则C地相对于B地的位移是.【解析】画出图形，便可知C在B的西北方向5km处.答案：西北方向5km三、解答题(每小题10分，共20分)6.(2014·蚌埠高一检测)如图所示菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于O点，∠DAB=60°，分别以A，B，C，D，O中的不同两点为始点与终点的向量中，(1)写出与平行的向量.(2)写出与模相等的向量.【解析】(1)由菱形的性质和平行向量的定义可知，与平行的向量有：，，.(2)由菱形的性质及∠DAB=60°可知，与模相等的向量有：，，，，，，，，.【变式训练】如图，四边形ABCD与ABDE都是平行四边形.(1)用有向线段表示与向量相等的向量.(2)用有向线段表示与向量共线的向量.【解析】(1)与向量相等的向量有：，.(2)与向量共线的向量有，，，，，，.7.如图所示，四边形ABCD中，=，N，M是AD，BC上的点，且=.求证：=.【解题指南】由=可证四边形ABCD是平行四边形.由=可证四边形CNAM 是平行四边形，进一歩可证明||=||，最后说明与方向相同.【证明】因为=，所以||=||且AB∥CD，所以四边形ABCD是平行四边形.所以||=||且DA∥CB.同理可证，四边形CNAM是平行四边形，所以||=||，所以||=||，DN∥MB，即与的模相等且方向相同，所以=.一、选择题(每小题4分，共8分)1.(2014·宜春高一检测)已知下列命题：①向量的长度与向量的长度相等；②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；③两个有共同终点的向量，一定是共线向量；④向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上.其中错误说法的个数为()A.1B.2C.3D.4 【解析】选B.①正确.②正确.③错误.终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反.④错误.共线向量所在的直线可以重合，也可以平行.2.(2014·娄底高一检测)已知点O固定，且||=2，则A点构成的图形是() A.一个点 B.一条直线C.一个圆D.不能确定【解析】选C.因为||=2，所以点A在以点O为圆心、2为半径的圆上，故A点构成的图形是一个圆.【变式训练】(2014·鄂州高一检测)把同一平面内所有不小于1，不大于2的向量的起点，移到同一点O，则这些向量的终点构成的图形的面积等于.【解析】这些向量的终点构成的图形是一个圆环，其面积为π·22-π·12=3π.答案：3π二、填空题(每小题5分，共10分)3.当向量a与任一向量都平行时，向量a一定是.【解析】由零向量的规定知，只有零向量与任一向量都平行.答案：零向量【变式训练】若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是向量.【解析】两个向量在同一直线上，则这两个向量的方向可能同向，也可能反向，但一定是共线向量，即平行向量.答案：平行4.下列结论正确的是.①单位向量的方向相同或相反；②对任一向量a，|a|>0总是成立的；③||=||；④与的长度不相等.【解析】①中，单位向量的长度为1，方向任意，故①错；②中，零向量的模为零，故②错；③中，与方向相反，但大小相等，故③正确；④中，与的长度相等，故④错.答案：③三、解答题(12分)5.(2014·信阳高一检测)如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有两个定点A，B.点C为小正方形的顶点，且||=.(1)画出所有的向量.(2)求||的最大值与最小值.【解析】(1)画出所有的向量，如图所示：(2)由(1)所画的图知，①当点C位于点C1或C2时，||取得最小值=；②当点C位于点C5或C6时，||取得最大值=；所以||的最大值为，最小值为.。

第二章平面向量
．平面向量的实际背景及基本概念
．通过再现物理学中学过的力、位移等概念与向量之间的联系，在类比抽象过程中引入向量概念，并建立学生学习向量的认知基础．．理解向量的有关概念：向量的表示法、向量的模、单位向量、相等向量、共线向量．
一、向量的概念
．向量的实际背景．
有下列物理量：位移、路程、速度、速率、力、质量、密度，
其中位移、速度、力都是既有大小又有方向的量．路程、速率、质量、密度都是只有大小的量．
．平面向量是既有大小又有方向的量，向量不能
比较大小．数量是只有大小没有方向的量，数量能比较大小．
练习：时间、温度、位移、质量、体积、力，哪些是向量？
答案：位移、力
．直角坐标平面上的轴、轴都是向量吗？数学中的向量与物理中的力有区别吗？
解析：轴，轴只有方向，没有大小，因而不是向量．数学中的向量是自由向量与起点无关，只要大小相等，方向相同，两个向量就是相等向量，而物理上的力是非自由向量，因为力这个向量还和作用点(即起点)有关．
二、向量的几何表示
．有向线段是带有方向的线段，通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以为起点，为终点的有向线段记作．起点要写在终点的前面．
有向线段包含三个要素起点、方向、长度．
．向量的有向线段表示方法．
向量常用带箭头的线段表示，它的长短表示向量的大小，箭头的指向表示向量的方向．
．向量也可以用黑体的字母表示，如，，.
强调：箭头不能不写，否则表示数量．
．向量的模．。

更上一层楼基础•巩固1.下列命题正确的是( )A.若|a|=0，则a=0B.若|a|=|b|，则a=bC.若|a|=|b|，则a，b是平行向量D.若a与b平行，则a=b思路分析：考虑向量的相等关系，必须同时考虑它的大小和方向，当|a|=|b|时，只说明a与b的长度相等，无法确定方向，故B、C均错，当a与b平行时，只说明方向相同或相反，没有长度的关系，不能确定相等，故D错.答案：A2.如图2-1-13，设RSPQ为菱形，下列可以用同一条有向线段表示的两个向量是( )图2-1-13A.SP和QRB.SR和C.和D.和思路分析：相等向量可以进行平移.答案：B3.下面三个命题中，真命题的个数为( )①向量的模是一个正实数②若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等③若=，则A、B、C、D四点构成平行四边形A.0B.1C.2D.3思路分析：①向量的模可以为0；②两个互相平行的单位向量方向不一定相同，所以它们不一定相等；③与相等，点A、B、C、D有可能共线，不一定构成平行四边形.答案：A4.下列命题中正确的是( )A.|a|=|b|⇒a=bB.|a|>|b|⇒a>bC.a=b⇒a∥bD.|a|=0⇒a=0思路分析：相等向量必共线，C正确.答案：C5.请画出下列表示小船的位移的图形(用1∶500 000的比例尺)：(1)由A地向东北方向航行15 km到达B地；(2)由A地向西偏北60°方向航行20 km到达C地；(3)由C地向正南方向航行25 km到达D地.解：如图.(1)(2)(3)见(2)图中位移CD.6.用有向线段分别表示一个方向向上、大小为20 N的力和一个方向向下、大小为30 N的力(用1 cm的长度表示力的大小为10 N).解：如图.用AB表示方向向上、大小为20 N的力，用CD表示方向向下、大小为30 N的力.7.在平面上任意确定一点O，点P在点O“东偏北60°，3 cm”处，点Q在点O“南偏西30°，3 cm”处，画出点P和点Q相对于点O的位置向量(即知起点O，方向和长度，确定点P、Q). 解：如图.综合•应用8.在直角坐标系xOy中，有三点A(1，0)、B(-1，2)、C(-2，2)，请用有向线段分别表示A 到B、B到C、C到A的位移.解：如图.9.如图2-1-14，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，在以正六边形的顶点和中心为始点和终点的向量中，分别写出与图2-1-14中向量OD 、OE 、OF 平行的向量.图2-1-14答案:与OD 平行的向量有OA ，CB ；与OE 平行的向量有OB ，DC ;与OF 平行的向量有OC ，CO ，AB .10.如图2-1-15，设每一个小方格的边长为1，指出图中各向量的长度.图2-1-15答案:|AB |=22,|CD |=3,|EF |=3,|FG |=13,|GH |=23.11.如图，B 、C 是线段AD 的三等分点，分别以图中各点为起点和终点，最多可以写出___________对相等的向量.图2-1-16思路分析：按向量的模的大小分类.(1)模为1个单位的向量有6对.其中与同向的有3对，与反向的也有3对；(2)模为2个单位的向量有2对，它们是BD AC =，CA DB =.(3)模为3个单位的向量有2个，如AD ，DA .共有2对.答案：1012.把平行于某一直线的所有单位向量的起点平移到同一始点，则这些向量的终点所构成的图形是________.答案:两个点13.如图2-1-17所示，四边形ABCD与ABDE都是平行四边形.图2-1-17(1)写出与向量AB相等的向量：____________；(2)写出与向量AB共线的向量：____________；(3)若|AB|=1.5，则向量EC的长度为____________.答案:(1)DC，ED(2)DC，ED，CD，DE，BA，EC，CE(3)314.在直角坐标系中，画出下列向量：(1)|a|=2，a的方向与x轴正方向的夹角为60°，与y轴正方向的夹角为30°；(2)|a|=4，a的方向与x轴正方向的夹角为30°，与y轴正方向的夹角为120°；4，a的方向与x轴正方向的夹角为135°，与y轴正方向的夹角为135°.(3)|a|=2答案:(1)如图①;(2)如图②；(3)如图③.①②③回顾•展望15.(2006胶州统考) 一位模型赛车手摇控一辆赛车向正东方向前进1 m，逆时针方向转弯α度，继续按直线向前行进1 m，按逆时针方向转弯α度，按直线向前行进1 m，按此方法继续操作下去，如图2-1-18.图2-1-18(1)作图说明当α=45°时，操作几次时赛车的位移为零?(2)按此方法操作赛车能回到出发点，α应满足什么条件？请写出其中两个.思路分析：按题目叙述作图，可以发现终点与起点重合，所以位移必为零向量，按规定方法操作赛车使其回到出发点的拐弯角度α有多个值，只要使得n=α︒360中的n 为不小于3的整数即可.解：(1)赛车位移路线构成一个正八边形，赛车所行路程是8 m ，操作8次赛车的位移为零.(2)n=α︒360,n 为不小于3的整数，如α=30°，则n=12，即操作12次可回到起点；又如α=15°，则n=24，即操作24次可回到起点.16.(2006泰州统考) 图2-1-19是中国象棋的半个棋盘，“马走日”是象棋中马的走法.马可从A 跳到A 1，也可跳到A 2，用向量1AA 、2AA 表示马走了“一步”.试在图中画出马在B 、C 处走了“一步”的所有情况.图2-1-19答案：。