2012届高三第一轮复习(文理数) 第六章《平面向量和复数》课件1

垂心问题
已知点 O 是平面上的一定点，A，B，C 是平面上不共线的
三个点，动点
P
满足O→P＝O→A＋λ|A→BA→|cBos
→
＋
AC →
B |AC|cos
，λ∈[0，＋∞), C
则动点 P 的轨迹一定通过△ABC 的( )
A．重心
B．垂心
C．外心
D．内心
B
解析：由已知得A→P＝λ|A→BA→|cBos
第六章 平面向量、复数
微专题进阶课(五) 平面向量与“四心”
在平面向量的应用中，用平面向量解决平面几何问题时，首先将 几何问题中的几何元素和几何关系用向量表示，然后选择适当的基底 向量，将相关向量表示为基向量的线性组合，把问题转化为基向量的 运算问题，最后将运算的结果再还原为几何关系．应用向量相关知识， 可以巧妙地解决三角形四心所具备的一些特定的性质．
由|A→F|＝|C→F|可得(y－b)2＝(－a)2＋y2， 所以 y＝b2－ 2ba2，即 F0，b2－ 2ba2. 连接 AE，CE，DE，又由重心公式， 得E→A＋E→D＋E→C＝0， 则 Ea6，2b，
所以E→F＝－a6，－2ab2 ， 所以C→D·E→F＝－32a×－a6＋b2×－2ab2 ＝0， 所以C→D⊥E→F，即 EF⊥CD.
重心问题
已知 O 是△ABC 所在平面上的一点，若P→O＝13(P→A＋P→B＋
P→C)(其中 P 为平面上任意一点), 则点 O 是△ABC 的( )
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
C 解析：由已知得 3P→O＝O→A－O→P＋O→B－O→P＋O→C－O→P， 所以3P→O＋3O→P＝O→A＋O→B＋O→C， 即O→A＋O→B＋O→C＝0， 所以点O是△ABC的重心.

解析 如图，D→C＝A→B＝O→B－O→A＝b－a，B→C＝O→C－O→B＝－O→A－O→B＝－a－b. 答案 b－a －a－b
6.设 D，E 分别是△ABC 的边 AB，BC 上的点，AD＝12AB，BE＝23BC，若D→E＝λ1A→B ＋λ2A→C(λ1，λ2 为实数)，则 λ1＝________，λ2＝________.
一的实数 μ，使 λa＋b＝μ(a＋2b)成立，即 λa＋b＝μa＋2μb，则得λ1＝＝μ2，μ，解得 λ＝μ
＝12.
答案
1 2
5.(必修 4P92A12 改编)已知▱ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于 O，且O→A＝a，O→B＝b， 则D→C＝______，B→C＝________(用 a，b 表示).
解析 (2)若b＝0，则a与c不一定平行. (3)共线向量所在的直线可以重合，也可以平行，则A，B，C，D四点不一定在一条 直线上. 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)√
2.给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若 a，b 都是单位向量，
则 a＝b；③向量A→B与B→A相等.则所有正确命题的序号是( )
第1节 平面向量的概念及线性运算
考试要求 1.了解向量的实际背景；2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的 含义；3.理解向量的几何表示；4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义； 5.掌握向量的数乘运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；6.了解向量线性 运算的性质及其几何意义．
1.向量的有关概念 名称
B.23A→B＋13A→C
C.13A→B＋23A→C
D.13A→B－23A→C
解析 因为B→D＝12D→C.由向量的减法运算得 2(A→D－A→B)＝A→C－A→D，则A→D＝

第六章 平面向量与复数
【知识网络】
【考情分析】
年份
试题
考点
备注
2013
第10题
平面向量基本定理，平面向量的数量积
运算求解
2014
第2，12题
复数的运算，向量的线性运算与数量积
向量的加、减、乘法
2015
第3，6题
复数的运算，向量的坐标运算
注重基本概念
【备考策略】
高考中以考查向量的概念与运算为主，其中共线向量、垂直向量的充要条件，向量的模与夹角的计算尤为重要.解答题会以向量为背景，与直线、圆、三角函数、不等式甚至与数列交汇出现综合题.应突出向量的工具性.
复数的考查以复数的基本概念、四则运算为主，一般以

(5)能用向量方法解决平面几何中平行、垂直、夹角、线段长度等问题. (6)掌握余弦定理、正弦ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ理可以解答的基本题型,能借助两个定理的变形进 行边角互化. (7)能用余弦定理、正弦定理解答三角形边、角、面积的复杂计算问题和实 际问题.
3.重视思想方法的应用 (1)数形结合思想:向量的几何表示,三角形法则,平行四边形法则使向量具备 “形”的特征,而向量的坐标表示和坐标运算又让向量具备“数”的特征.因此,运用数 形结合思想,可以将许多复杂的向量问题简单化. (2)化归与转化思想:用基底表示有关向量,将平面向量间的运算转化为基向量 间的运算;用余弦定理、正弦定理进行边角互化.
定理;
新高考Ⅱ卷·T18
2.能用余弦定理、正弦定理解决简单
2021年:新高考Ⅰ卷·T19
的实际问题.
新高考Ⅱ卷·T18
角度
考题 统计
考查内容
课程标准
高考真题
复数
2023年:新高考Ⅰ卷·T2
1.通过方程的解,认识复数;
新高考Ⅱ卷·T1
2.理解复数的代数表示及其几何意义,理 2022年:新高考Ⅰ卷·T2
概念的理解. (2)熟练掌握向量线性运算(加法、减法、数乘),数量积运算,并理解其几何意
义.
(3)理解向量共线的充要条件、平面向量基本定理,在此基础上体会向量坐标 表示的来龙去脉.
(4)了解向量方法推导余弦定理、正弦定理的过程,掌握两个定理及其常见变 形形式.
2.熟练掌握解决以下问题的方法规律 (1)从以下两个角度全面掌握平面向量的运算: ①几何角度:利用基底表示有关向量,转化为基向量的运算. ②坐标角度:建立平面直角坐标系,用坐标表示向量,转化为向量的坐标运算. (2)重视向量运算几何意义的理解和应用. (3)能用平面向量的线性运算解决用基底表示平面内任意向量、向量共线等 问题. (4)能用平面向量的数量积运算解决向量垂直、夹角、模等问题.

→ ＝(1,2)， (2)如图所示，在平行四边形 ABCD 中，AC → ＝(－3,2)，则AD →· → ＝________. BD AC
【解析】 由于四边形 ABCD 为平行四边形，设 O 为 → ＝2OE → AC 与 BD 的交点，连结 O 点与 DC 的中点 E，则AD
→ → 1 AC BD 1 → → )＝(－1,2)，所以 AD →· → ＝－1 ＝2 ＋ ＝ (AC ＋BD AC 2 2 2 2
• 5．(2010·湖南)若非零向量a，b满足|a|＝ |b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为( ) • A．30° B．60° • C．120° D．150° • 答案 C
解析 (2a＋b)· b＝2a· b＋b2＝2|a|2cos〈a，b〉＋a2＝0 1 ⇒cos〈a，b〉＝－2，所以 a，b 的夹角为 120° ，故选 C.
• • • • •
3．注意 ①两个向量的数量积是一个实数． ∴0·a＝0(实数)而0·a＝0 ②数量积不满足给合律(a·b)·c≠a·(b·c) ③a·b中的“·”不能省略．
• 1．(08·陕西卷)关于平面向量a，b，c，有下列三个命题： • ①若a·b＝a·c，则b＝c. • ②|a·b|＝|a|·|b|⇔a∥b. • ③a⊥b⇔|a＋b|＝|a－b|； • ④|a|＝|b|⇔|a·c|＝|b·c|.
③当 a 与 b 的夹角为 30° 时， 3 a· b＝|a||b|cos30° ＝2×5× 2 ＝5 3.
• • • •
探究1 (1)求平面向量数量积的步骤是： ①求a与b的夹角θ，θ∈[0°，180°]； ②分别求|a|和|b|； ③求数量积，即a·b＝|a||b|cosθ，若知道 向量的坐标a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则求 数量积时用公式a·b＝x1x2＋y1y2计算． • (2)注意共线时θ＝0°或180°，垂直时θ＝ 90°，三种特殊情况．

∵向量a+2b与2a-b平行,∴4(-2-m)=3(2m-1),
解得
1
m=-2,∴a+b=
3
- 2 ,3
.

3
- ,3
2
.
第二环节
关键能力形成
能力形成点1 平面向量基本定理的应用
例 1 (1)在▱ABCD 中,AC 与 BD 相交于点 O,E 是线段 OD 的中点,AE 的
延长线与 CD 相交于点 F.若 =a,=b,则 等于( C )
(3)坐标表示:a=(x,y)叫做向量a的坐标表示.
(4)特殊向量的坐标:i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).
4.平面向量线性运算的坐标表示
若向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则:
运算
加法
减法
向量坐
标公式
数乘向
量
文字描述
两个向量和的坐标分别等于这两个向
量相应坐标的和
两个向量差的坐标分别等于这两个向
3
3
3
2
2
1
1
1 1
= − = a- b,
6
6
6 6
1
1
1 1
2
1
∴ = + = a+ b+ a- b= a+ b,故选 C.
2
2
6 6
3
3
||
||
]
(2)设 e1,e2 是同一平面内不共线的两个向量,若=e1-λe2,=2e1+e2,
2
=3e1-e2,且 A,B,D 三点共线,则实数 λ 的值为
种形式,应视题目的具体条件而定,一般涉及坐标的应用(2).

• 探究1 有向线段的定比分点坐标公式是解决有关共线问题的有 力工具，凡是与共线相联系的问题，可以考虑用这一公式来解． 用定比分点坐标公式求点的坐标时，首先要确定λ，此时一定要 分清有向线段的起点、终点和分点，尤其是要明确分点是内分点 还是外分点．若情况不定，应分类讨论，确定λ的值，一般有两 种思路：一是借助图形，数形结合求解；另一种是进行向量代数 运算，用定比分点的定义式确定λ的值．求点的坐标问题，也可 以用共线向量的充要条件求解，一般由两向量相等，建立方程组 ，解方程组即得所求点的坐标．
• 答案
22
• 命题立意 本题主要考查定比分点公式的运用和 向量的基本运算．
解析 运用定比分点公式分别求出点 E、F 的坐标为 → ，AF → 分别为(4，－1)，(6,2)．∴AE →· → ＝4×6 (5,1)、(7,4).AE AF －2＝22. 失分警示 由于公式记忆不牢，出现计算上的失误．
1 7 ∴P 点坐标为( ，4)或(－ ，8)． 3 3 1→ → 方法 3：∵|AP|＝ |AB|， 3 1 → → 1 → → → → ∴AP＝3(AP＋PB)或AP＝－3(AP＋PB)， 1→ → 1→ → 即AP＝2PB或AP＝－4PB， 1 1 → ∴点 P 分AB所成的比 λ＝2或－4. (以下解法同方法二)．
• 答案 A • 命题立意 本题考查线段的定比分点．
解析 如图，过点 P1 作 P1A⊥x 轴于 A，P2B⊥x 轴 → | P |P1A| 1P| → 于 B， 则点 P 分有向线段P1P2成比 λ＝－ ＝－|P B|＝ →2| 2 |PP 1 － . 3
2． 直角坐标平面内三点__. 若 E、 F 为线段 BC 的三等分点， 则AE AF
1→ → 方法 2：∵|AP|＝ |AB|，∴画出图形 3 1 1 → 由图可得，点 P 分AB所成的比 λ＝ 或－ . 2 4 又 A(－1,6)，B(3,0)， 设 P(x，y)，则由定比分点坐标公式得

(2)当a,b不共线时, 作=a,=b,则 a+b= ,如图①所示.根据三角形的
性质,有||a|-|b||<|a+b|<|a|+|b|.同理可证||a|-|b||<|a-b|<|a|+|b|.
(3)当a,b为非零向量且共线时,若向量a与b同向,则|a+b|=|a|+|b|(如图②
所示),|a-b|=||a|-|b||;若向量a,b反向,不妨设|a|>|b|,则|a+b|=|a|-|b|(如图③所
= ,
所以
1 = 2,
1
解得 λ=2.
.
第二环节
关键能力形成
能力形成点1
辨析平面向量的有关概念
例1 (1)对于非零向量a,b,“a+b=0”是“a∥b”的( A )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
若a+b=0,则a=-b,所以a∥b.
若a∥b,则a+b=0不一定成立,
1 1
A.2a+2b
1 1
C.- a- b
2 2
=
1

2
1 1
B.2a-2b
1 1
D.- a+ b
2 2
=
1
1 1
(b-a)=- a+ b,故选
2
2 2
D.
1
2
4.设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ=
由题意知,存在常数 t∈R,使 λa+b=t(a+2b).因为向量 a,b 不平行,
成比例等性质,把未知向量用已知向量表示出来.

→. ＝DC
• (3)不正确，当b＝0时， • a与c可以不共线． • (4)不正确，当a∥b，但方向相反时，即使|a|＝|b|，也 不能得到a＝b. • (5)不正确． • 【答案】 (1)不正确 (2)正确 (3)不正确 (4)不正确 (5)不正确
• 探究1 本例主要复习向量的基本概念．向量的基本概念 较多，因而容易遗忘．为此，复习时一方面要构建良好的 知识结构，另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行 类比和联想，引导学生在理解的基础上加以记忆．
• 三、实数与向量的积(数乘) • (1)定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，λa与a ＜ λa ＞ 平行．规定：|λa|＝|λ||a|，当λ__ __0时， 的方向与 a的方向 ；当λ__ 相同__0时，λa的方向与a的方向 相反 ；当 λ＝0时，λa＝0. (λμ)a • (2)运算律：λ(μa)＝ ， λa＋μa λa＋λb . • ( λ ＋μ ) a＝ ，λ(a＋b)＝ • 四、向量共线定理： • 向量b与非零向量a共线的充要条件是有且 仅有一实数 • λ，使得b＝λa，即b∥a⇔b＝λa(a≠0) ．
相同 • 3．平行向量：方向 或 相反 的 非零 向量 叫做平行向量．规定：0与任何向量平行，平行向量也叫 做 共线向量 • ． 长度相等且方向相同 • 4．相等向量： 的向量叫做 相等向量，向量a与b相等，记作a＝b. • 5．相反向量：模相等方向相反的向量叫做相反向量．
• 二、向量运算 • (1)加2 B．3 C ．4 D．5 答案 B 解析 选B.①真命题． ②假命题．当a与b中有一个为零向量时，其方向是不确 定的． • ③真命题． • ④假命题．共线向量所在的直线可以重合，也可以平行 ． • ⑤假命题．向量是用有向线段来表示的，但并不是有向 线段．

1 + = ,
= 2,
则
所以
即 =2.
= 1,
1- = 0,
2
.
解题心得复数代数形式运算问题的解题策略
复数的
加减法
复数的
乘法
复数的
除法
在进行复数的加减法运算时,可类比合并同类项,运用法则(实
部与实部相加减,虚部与虚部相加减)计算即可
复数的乘法类似于多项式的四则运算,可将含有虚数单位i的
以x轴非负半轴为始边,向量 所在的射线为终边的角θ叫复数z=a+bi的
辐角,因此复数z的辐角是θ+2kπ(k∈Z).
(3)辐角的主值
①定义及表示:在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值,通常记作
arg z,即0≤arg z<2π.
②唯一性:复数z的辐角的主值是确定唯一的.
特别注意:当z=0时,其辐角是任意的.
(2)复数减法的几何意义
若复数 z1,z2 对应的向量1 , 2 不共线,则复数 z1-z2 是连接向量1 , 2
的终点,并指向被减向量终点的向量2 1 所对应的复数,即复数的减法可以
按照向量的减法来进行.
(3)复平面内的两点间距离
z1,z2 是复平面内的两点 Z1 和 Z2 所对应的复数,d 为 Z1 和 Z2 间的距离,设
则 = +i = 2 2 + 2 2 i .
2
+
+
温馨提示对复数除法的两点说明
(1)实数化:分子、分母同时乘分母的共轭复数,化简后即得结果,这个过
程实际上就是把分母实数化,这与根式除法的分母“有理化”很类似.
(2)代数式:注意最后结果要将实部、虚部分开.

5．已知 a 与 b 是两个不共线向量，且向量 a＋λb 与－(b－3a)共线，则 λ＝ ________.
－13 [由已知得 a＋λb＝－k(b－3a)，
∴???λ＝－k， ??3k＝1，
? ?
λ＝－13，
得???k＝13.
]
平面向量的有关概念
给出下列六个命题： ①若|a|＝|b|，则 a＝b 或 a＝－b； ②若A→B＝D→C，则 ABCD 为平行四边形； ③若 a 与 b 同向，且 |a|>|b|，则 a>b； ④λ，μ 为实数，若 λa＝μb，则 a 与 b 共线； ⑤λa＝0(λ 为实数)，则 λ 必为零； ⑥a，b 为非零向量， a＝b 的充要条件是 |a|＝|b|且 a∥b. 其中假命题的序号为 ________ ．
(3)a∥b 是 a＝λb(λ∈R)的充要条件． ( )
(4)△ABC 中，D 是 BC 的中点，则 A→D＝12(A→C＋A→B)．(
)
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2．(教材改编)已知?ABCD的对角线 AC 和 BD 相交于点 O，且O→A＝a，O→B＝ b，则D→C＝________，B→C＝________.(用 a，b 表示)
抓
基
础
·
自
主 学
第六章 平面向量与复数 课
习
时
第 29 课
平面向量的基本概念及其线性运算
分 层
明 考
训 练
向
·
题
型
突
破
[最新考纲] 内容
平面向量的概念 平面向量的加法、减法及数乘运算
要求
A
B
C
√
√
1．向量的有关概念 (1) 向量：既有 _大__小__ 又有 _方__向__ 的量称为向量，向量的大小称为向量的 _长__度__(_或__模__) ． (2)零向量： __长__度__为__0__ 的向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于 __1_个__单__位___ 的向量． (4)平行向量：方向__相__同__或__相__反___ 的非零向量．平行向量又叫 _共__线__向__量___ ．规 定：0 与任一向量 _平__行__． (5)相等向量：长度 _相__等__且方向_相__同__的向量． (6)相反向量：长度 _相__等__且方向_相__反__的向量．

易知点G为△ABC的重心,则有如下结论:
(1)GA+GB +GC =0;
(2)
AG
=
1
(
AB
+
AC
);
3
1 1
(3)GD= (GB+GC)= ( AB+ OC(λ,μ为常数),则A,B,C三点共线的充要条件是λ+μ=1.
必备知识 · 整合
栏目只多有关的“考在键点上”能面的加书力，，做只· 突超上链”破考接点，一且“这各种个简栏化目标居题中放；
2.向量的线性运算
向量 运算
加法
定义
求两个向量和的运算, 叫做向量的加法
法则 (或几何意义)
三角形 法则
栏目只多有关的“考在键点上”能面的加书力，，做只· 突超上链”破考接点，一且“这各种个简栏化目标居题中放；
运算律 (1)交换律:a+b= b+a ; (2)结合律:(a+b)+c= a+(b+c)
平行四边形 法则
必备知识 · 整合
栏目只多有关的“考在键点上”能面的加书力，，做只· 突超上链”破考接点，一且“这各种个简栏化目标居题中放；
减法 数乘
若b+x=a,则向量x叫做a与b的差 ,求两个向量差的运算,叫做向 量的减法
三角形 法则
实数λ与向量a的积是一个向量, (1)|λa|= |λ||a| ;
必备知识 · 整合
栏目只多有关的“考在键点上”能面的加书力，，做只· 突超上链”破考接点，一且“这各种个简栏化目标居题中放；
第五章 平面向量与复数
第一节 平面向量的概念及线性运算
必备知识 · 整合
关键能力 · 突破