数学拓展二：绝对值

绝对值的知识点绝对值是我们在数学中经常遇到的概念之一，它力求准确地表示数的距离和大小，为我们解决各种问题提供了便利。

在这篇文章中，我将介绍绝对值的概念、性质和应用，带你深入了解这个常见而又重要的数学概念。

首先，让我们从绝对值的定义说起。

绝对值表示一个数到零的距离。

简单来说，如果一个数是正数或零，那么它的绝对值就等于它本身；如果一个数是负数，那么它的绝对值就等于它的相反数。

举个例子，数-5的绝对值为5，而数3的绝对值仍然是3。

通过这种定义，我们可以发现，绝对值始终是非负的。

绝对值有一些非常有用的性质。

首先是绝对值的非负性，即绝对值恒为非负数。

这一性质使绝对值在数学运算中具有重要的作用。

另一个性质是绝对值的加法性，即两个数的绝对值之和等于它们的和的绝对值。

例如，对于数3和数-5来说，它们的绝对值之和等于数2的绝对值，即5。

绝对值还具有乘法性，即两个数的绝对值之积等于它们的积的绝对值。

例如，对于数-2和数4来说，它们的绝对值之积等于数8的绝对值，即8。

这些性质使绝对值在求解方程和不等式时具有重要的作用。

绝对值在实际生活中有着广泛的应用。

首先是在几何学中，绝对值可以用来表示距离。

例如，在平面直角坐标系中，两个点的坐标之差的绝对值等于它们之间的距离。

这一概念在计算机图形学、地理学等领域中有着广泛的应用。

其次是在函数的定义和图像中，绝对值可以用来改变函数在不同区间的特征。

例如，绝对值函数的图像是一条折线，具有关于原点对称的性质。

这种特性使得绝对值函数在解决实际问题中的应用更加方便和灵活。

绝对值还在数值分析中扮演着重要的角色。

当我们需要求解方程或优化问题时，绝对值函数可以帮助我们将问题转化为易于求解的形式。

例如，在最小二乘法中，我们经常需要求解一个无约束最小化问题，绝对值函数可以帮助我们消除约束条件，简化问题的求解过程。

这种应用使得绝对值在数学建模和工程实践中变得不可或缺。

绝对值的概念和应用在数学中起着重要的作用，它不仅帮助我们更好地理解数的距离和大小，还为我们解决问题提供了有力的工具。

绝对值的题型归类摘要：1.绝对值的概念与性质2.绝对值的题型分类3.绝对值题型的解题方法与技巧正文：绝对值是数学中一个非常重要的概念，它表示一个数到0 的距离，因此绝对值永远是非负的。

在数学题目中，绝对值常常出现在各种题型中，下面我们来详细探讨一下绝对值的题型归类。

首先，我们来了解一下绝对值的概念与性质。

绝对值表示一个数到0 的距离，因此，对于任意实数x，其绝对值表示为|x|，可以表示为x（当x≥0 时），或者-x（当x<0 时）。

绝对值的性质包括：|x|≥0，|-x|=|x|，|x+y|=|x|+|y|，|x-y|=|x|+|y|等等。

接下来，我们来看一下绝对值的题型分类。

根据题目的难度和考察方向，我们可以将绝对值题型大致分为以下几类：1.求绝对值：这类题目要求我们计算一个数的绝对值，通常比较简单，直接根据绝对值的定义计算即可。

2.解绝对值方程：这类题目要求我们解包含绝对值的方程，需要根据绝对值的性质进行转化，通常会涉及到分段讨论。

3.绝对值不等式：这类题目要求我们解包含绝对值的不等式，也需要根据绝对值的性质进行转化，可能会涉及到分段讨论和绝对值三角不等式。

4.绝对值与函数：这类题目将绝对值与函数结合起来，要求我们求解包含绝对值的函数的性质，如单调性、最值等，需要运用到函数的性质和绝对值的性质。

针对以上各类题型，我们需要掌握不同的解题方法与技巧。

对于求绝对值和解绝对值方程，我们需要熟悉绝对值的定义和性质，直接计算或者转化即可。

对于绝对值不等式，我们需要掌握绝对值三角不等式，进行分段讨论，注意不等式的方向。

对于绝对值与函数，我们需要将绝对值函数转化为分段函数，然后运用函数的性质进行求解。

绝对值拓展延伸绝对值是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、化简代数式、证明恒等式与不等式，以及求解方程与不等式时，经常会遇到含有绝对值符号的问题，同学们要学会根据绝对值的定义来解决这些问题．下面我们先复习一下有关绝对值的基本知识，然后进行例题分析．一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．即绝对值的几何意义可以借助于数轴来认识，它与距离的概念密切相关．在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值．结合相反数的概念可知，除零外，绝对值相等的数有两个，它们恰好互为相反数．反之，相反数的绝对值相等也成立．由此还可得到一个常用的结论：任何一个实数的绝对值是非负数．例1 a，b为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？(1)｜a+b｜=｜a｜+｜b｜；(2)｜ab｜=｜a｜｜b｜；(3)｜a-b｜=｜b-a｜；(4)若｜a｜=b，则a=b；(5)若｜a｜＜｜b｜，则a＜b；(6)若a＞b，则｜a｜＞｜b｜．例2 设有理数a，b，c在数轴上的对应点如图1-1所示，化简｜b-a｜+｜a+c｜+｜c-b｜．例3 已知x＜-3，化简：｜3+｜2-｜1+x｜｜｜．说明本例的解法是采取把a，b，c中大于零与小于零的个数分情况加以解决的，这种解法叫作分类讨论法，它在解决绝对值问题时很常用．例5 若｜x｜=3，｜y｜=2，且｜x-y｜=y-x，求x+y的值．例6 若a，b，c为整数，且｜a-b｜19+｜c-a｜99=1，试计算｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜的值．例8 化简：｜3x+1｜+｜2x-1｜．分析本题是两个绝对值和的问题．解题的关键是如何同时去掉两个绝对值符号．若分别去掉每个绝对值符号，则是很容易的事．例如，化简｜3x+1｜，只要考虑3x+1的正负，即可去掉绝对值符号．这里我们为三个部分(如图1－2所示)，即这样我们就可以分类讨论化简了．说明解这类题目，可先求出使各个绝对值等于零的变数字母的值，即先求出各个分界点，然后在数轴上标出这些分界点，这样就将数轴分成几个部分，根据变数字母的这些取值范围分类讨论化简，这种方法又称为“零点分段法”．例9 已知y=｜2x+6｜+｜x-1｜-4｜x+1｜，求y的最大值．分析首先使用“零点分段法”将y化简，然后在各个取值范围内求出y的最大值，再加以比较，从中选出最大者．例10 设a＜b＜c＜d，求｜x-a｜+｜x-b｜+｜x-c｜+｜x-d｜的最小值．分析本题也可用“零点分段法”讨论计算，但比较麻烦．若能利用｜x-a｜，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜的几何意义来解题，将显得更加简捷便利．例11 若2x+｜4-5x｜+｜1-3x｜+4的值恒为常数，求x该满足的条件及此常数的值．分析：要使原式对任何数x恒为常数，则去掉绝对值符号，化简合并时，必须使含x的项相加为零，即x的系数之和为零．故本题只有2x-5x+3x=0一种情况．练习题：1．x是什么实数时，下列等式成立：(1)｜(x-2)+(x-4)｜=｜x-2｜+｜x-4｜；(2)｜(7x+6)(3x-5)｜=(7x+6)(3x-5)．2．化简下列各式：(2)｜x+5｜+｜x-7｜+｜x+10｜．3．若a＋b＜0，化简｜a+b-1｜-｜3-a-b｜．4．已知y=｜x+3｜+｜x-2｜-｜3x-9｜，求y的最大值．5．设T=｜x-p｜+｜x-15｜+｜x-p-15｜，其中0＜p＜15，对于满足p≤x≤15的x来说，T的最小值是多少？6．已知a＜b，求｜x-a｜+｜x-b｜的最小值．7．不相等的有理数a，b，c在数轴上的对应点分别为A，B，C，如果｜a-b｜+｜b-c｜=｜a-c｜，那么B点应为( )．(1)在A，C点的右边；(2)在A，C点的左边；(3)在A，C点之间；(4)以上三种情况都有可能．。

初中数学知识点：绝对值在数轴上，表示一个数的点到原点的距离叫做这个数的绝对值。

绝对值用“||”来表示。

在数轴上，表示一个数a的点到数b的点之间的距离的值，叫做a-b的绝对值，记作|a-b|。

绝对值的意义：1、几何的意义：在数轴上，一个数到原点的距离叫做该数的绝对值．如：5指在数轴上表示数5的点与原点的距离，这个距离是5，所以5的绝对值是5。

2、代数的意义：非负数（正数和0,）非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数。

互为相反数的两个数的绝对值相等。

a的绝对值用“|a |”表示．读作“a的绝对值”。

实数a的绝对值永远是非负数，即|a |≥0。

互为相反数的两个数的绝对值相等，即|-a|=|a|。

若a为正数，则满足|x|=a的x有两个值±a，如|x|=3，,则x=±3.绝对值的有关性质：①任何有理数的绝对值都是大于或等于0的数，这是绝对值的非负性；②绝对值等于0的数只有一个，就是0；③绝对值等于同一个正数的数有两个，这两个数互为相反数；④互为相反数的两个数的绝对值相等。

绝对值的化简：绝对值意思是值一定为正值，按照“符号相同为正，符号相异为负”的原则来去绝对值符号。

①绝对值符号里面为负，在去掉绝对值时必须要加一个负的符号老确保整个值为正值，也就是当：│a│=a (a为正值，即a≥0 时）；│a│=-a （a为负值，即a≤0 时）②整数就找到这两个数的相同因数；③小数就把这两个数同时扩大相同倍数成为整数,一般都是扩大10、100倍；④分数的话就相除，得数是分数就是分子：分母，要是得数是整数，就这个数比1。

《绝对值》讲义一、引入在数学的世界里，绝对值是一个非常重要的概念。

它看似简单，却有着广泛的应用，能帮助我们解决许多数学问题。

那么，什么是绝对值呢？二、绝对值的定义绝对值指的是一个数在数轴上所对应点到原点的距离。

用符号“｜｜”来表示。

例如，数字 5 的绝对值表示为｜5|，数字－5 的绝对值表示为｜－5|。

需要注意的是，绝对值总是非负的。

也就是说，对于任意实数 a，其绝对值｜a| 总是大于或等于 0。

三、绝对值的性质1、正数的绝对值是它本身比如，｜3| ＝ 3 ，因为 3 是正数，它的绝对值就是它本身。

2、 0 的绝对值是 0即｜0| ＝ 0 ，这是很明确的。

3、负数的绝对值是它的相反数例如，｜－7| ＝ 7 ，因为－7 是负数，它的绝对值是它的相反数 7 。

4、互为相反数的两个数的绝对值相等若 a 和 a 互为相反数，那么｜a| ＝｜a| 。

5、绝对值具有非负性即｜a| ≥ 0 ，这是绝对值非常重要的一个性质。

四、绝对值的计算计算绝对值时，我们只需要判断这个数的正负。

如果是正数，绝对值就是它本身；如果是 0，绝对值就是 0；如果是负数，绝对值就是它的相反数。

例如，计算｜8| ，因为 8 是正数，所以｜8| ＝ 8 。

计算｜－12| ，因为－12 是负数，所以｜－12| ＝ 12 。

再比如，计算｜0| ，结果就是 0 。

五、绝对值方程在数学中，我们还会遇到绝对值方程，例如｜x 3| ＝ 5 。

要解决这样的方程，我们需要分情况讨论：当x 3 ≥ 0 时，即x ≥ 3 ，方程变为 x 3 ＝ 5 ，解得 x ＝ 8 。

当 x 3 ＜ 0 时，即 x ＜ 3 ，方程变为（x 3) ＝ 5 ，即 x ＋ 3 ＝ 5 ，解得 x ＝－2 。

所以，方程｜x 3| ＝ 5 的解为 x ＝ 8 或 x ＝－2 。

六、绝对值不等式绝对值不等式也是常见的数学问题，比如｜x| ＜ 5 。

这意味着 x 到原点的距离小于 5 ，所以－5 ＜ x ＜ 5 。

数学拓展二：绝对值
教学目标：
在绝对值概念形成过程中，渗透数形结合等思想方法，并注意培养学生的思维能力．
课堂探究：
填空：
(1)若|a|＝6，则a＝______；
(2)若|-b|＝0.87，则b＝______；
(4)若x+|x|＝0，则x是______数．
分析：已知一个数的绝对值求这个数，则这个数有两个, 它们是互为相反数．由
解：(1)∵|a|＝6，∴a＝±6；
(2)∵|-b|＝0.87，∴b＝±0.87；
(4)∵x+|x|＝0，∴|x|＝-x．
∵|x|≥0，∴-x≥0
∴x≤0，x是非正数．
点评：“绝对值”是代数中最重要的概念之一，应当从正、逆两个方面来理解这个概念．对绝对值的代数定义，至少要认识到以下四点：
(1)任何一个数的绝对值一定是正数或0，即|a|≥0；
(2)互为相反数的两个数的绝对值相等，|a|=|-a|；
(3)如果一个数的绝对值是它本身，那么这个数一定是正数或0；如果一个数的绝对值是它的相反数，那么这个数一定是负数或0；
(4)求一个含有字母的代数式的值，一定要根据字母的取值范围分情况进行讨论．。

初一年级奥数知识点：绝对值
1.绝对值的几何意义
一个数的绝对值，•就是在数轴上该数所对应的点与原点的距离.
2.绝对值的代数意义
(1)正数的绝对值是它的本身.
(2)负数的绝对值是它的相反数.
(3)0的绝对值是0.
掌握有理数绝对值的概念，给一个数能求出它的绝对值.
掌握求绝对值的方法：根据绝对值的代数定义来解答.
理解绝对值的概念，利用绝对值比较两负数的大小.比较方法是先比较它们绝对值的大小，再根据“两个负数，绝对值大的反而小”来解答.掌握了绝对值的概念后，判断有理数的大小就不一定要依赖于比较数轴上的点的位置了.
注意
(1)任何一个数的绝对值均大于或等于0(即非负数).
(2)互为相反数的两数的绝对值相等;反之，当两数的绝对值相等时，•这两数可能相等，可能互为相反数.
练习题
1. -3的绝对值是( )
(A)3 (B)-3 (C)13 (D)-13
2. 绝对值等于其相反数的数一定是
A.负数
B.正数
C.负数或零
D.正数或零
3. 若│x│+x=0，则x一定是( )
A.负数
B.0
C.非正数
D.非负数
4.某粮店出售三种品牌的面粉，袋上分别标有质量为0.1kg、0.2kg、0.3kg的字样，从中任意拿出2袋，它们的质量最多相差( )
A.0.8kg
B.0.6kg
C.0.5kg
D.0.4kg
5.正式比赛时，乒乓球的尺寸要有严格的规定，已知四个乒乓球，超过规定的尺寸为正数，不足的尺寸记为负数，为选一个乒乓球用于比赛，裁判对这四个乒乓球进行了测量，得到结果:A 球+0.2mm，B球-0.1mm，C球+0.3mm，D球-0.2mm，你认为应选哪一个乒乓球用于比赛?为什么?。

绝对值几何意义的经典例题摘要：1.绝对值的概念回顾2.绝对值的几何意义3.经典例题解析4.解题技巧与方法5.总结与应用正文：绝对值是数学中一个重要的概念，它在几何和代数中都有广泛的应用。

下面我们将探讨绝对值的几何意义，并通过经典例题来加深理解。

一、绝对值的概念回顾绝对值是指一个数到零点的距离，可以用以下公式表示：|x| = x（x≥0），|x| = -x（x<0）。

二、绝对值的几何意义在直角坐标系中，对于一个点P(x, y)，其绝对值的几何意义表示点P到原点O的距离。

在平面几何中，绝对值表示两点之间的距离。

三、经典例题解析例题1：求解|3x - 5| = 2 的解。

解析：根据绝对值的定义，可分为两种情况：1.3x - 5 = 2，解得x = 1；2.3x - 5 = -2，解得x = 1。

所以，方程的解为x = 1。

例题2：求解|2x + 3| = 7 的解。

解析：同样根据绝对值的定义，可分为两种情况：1.2x + 3 = 7，解得x = 2；2.2x + 3 = -7，解得x = -5。

所以，方程的解为x = 2 或x = -5。

四、解题技巧与方法1.熟悉绝对值的定义，掌握绝对值在几何和代数中的应用；2.根据绝对值的意义，将问题分为两种情况讨论；3.利用代数方法求解，注意区分正负号。

五、总结与应用通过以上分析，我们可以看出绝对值在数学中的重要性。

在解决含有绝对值的题目时，要熟练掌握绝对值的几何意义，运用分类讨论的思维方法，将问题分为两种情况来求解。

绝对值的概念与运算规则在数学的广阔天地中，绝对值是一个十分基础且重要的概念。

它看似简单，却在解决各种数学问题时发挥着关键作用。

接下来，让我们一起深入探索绝对值的奥秘，了解其概念与运算规则。

绝对值的定义可以简单地表述为：一个数在数轴上所对应点到原点的距离，叫做这个数的绝对值。

用符号“｜｜”来表示。

例如，数字 5的绝对值写作｜5|，数字－5 的绝对值写作｜－5|，且｜5| ＝｜－5|＝ 5。

从几何角度理解，绝对值就是距离。

无论这个数是正数还是负数，它的绝对值都是非负的。

这就好像在一条数轴上，正数在原点的右边，负数在原点的左边，但它们到原点的距离，也就是绝对值，始终是一个非负数。

再从代数角度来看，绝对值的定义可以更精确地表述为：当一个数大于等于 0 时，它的绝对值就是它本身；当一个数小于 0 时，它的绝对值是它的相反数。

用数学式子表示就是：若a ≥ 0，则｜a| ＝ a；若 a ＜ 0，则｜a| ＝ a 。

例如，｜3| ＝ 3，因为 3 大于 0 ，所以其绝对值就是它本身 3 。

而｜－3| ＝ 3 ，因为－3 小于 0 ，所以其绝对值是它的相反数 3 。

了解了绝对值的概念，接下来让我们看看绝对值的运算规则。

首先是加法运算。

当两个数同号时（即同为正数或同为负数），它们绝对值的和等于它们和的绝对值。

例如，｜2| ＋｜3| ＝ 2 ＋ 3 ＝ 5 ，而｜2 ＋ 3| ＝ 5 ，两者相等。

当两个数异号时（即一个为正数，一个为负数），它们绝对值的差的绝对值等于它们和的绝对值。

例如，｜5| ｜－3| ＝ 5 3 ＝ 2 ，而｜5 ＋（－3)｜＝｜2| ＝ 2 。

然后是减法运算。

对于任意两个数 a 和 b ，｜a b| 的值等于 a 和 b差值的绝对值。

例如，｜7 2| ＝｜5| ＝ 5 。

乘法运算中，两个数乘积的绝对值等于它们绝对值的乘积。

假设 a和 b 是两个实数，那么｜a × b| ＝｜a| ×｜b| 。

绝对值练习基础篇提高篇拓展篇绝对值练习基础篇、提高篇,拓展篇（一）绝对值练习基础篇 1、 ______5=-；______312=-；______31.2=-；______=+π． 2、 ______510=-+-；______36=-÷-；______5.55.6=--- 3、 2-的相反数是 2--的倒数是 。

4、 -0.02的绝对值的相反数是5、 如果3-=a ，则______=-a ，______=a 。

6、 绝对值为3的数为____________ 。

7、 一个数的绝对值是，那么这个数为______。

8、 －|－6/7|＝________________。

(4)--+＝___________。

9、 12的相反数与－7的绝对值的和是____________________。

10、 绝对值小于π的整数有______________________。

11、 绝对值小于3.1的所有非负整数为 。

12、 绝对值不大于2005的所有整数的和是 ，积是 。

13、 7=x ，则______=x ； 7=-x ，则______=x 。

14、 绝对值不大于11.1的整数有 个。

15、 若4x -=，则x ＝__________若31x -=，则x ＝__________ 16、 在－(-2)，－|-2|，(-2)2，-22四个数中，负数有_________个17、 有理数的绝对值一定是 ，绝对值等于它本身的数有 。

18、 若|x|=-x ，则x 是_________数；19、 已知a=-8 b=-6，求-│b ∣-│-a ∣的值为 。

32号将它们连接起来为 。

（二）绝对值练习提高篇A 绝对值的非负性，平方根的非负性 1、 若|a+2|+|b-1|=0,则a= b= ; 2、 若023=-++b a ，则b a 的值为 。

3、 若()()22110a b -++=,则20042005a b +＝__________. 4、 若2|3|(2)0m n -++=，则m+n 的值为 。

绝对值拓展训练一、绝对值的基本应用：1、如图，数轴的单位长度为1，如果点A ，B 表示的数的绝对值相等，那么点A 表示的数是（ ） A ．-4 B ．-2 C ．0 D ．42、如图数在线的O 是原点，A 、B 、C 三点所表示的数分别为a 、b 、c ．根据图中各点的位置，下列各数的絶对值的比较何者正确（ ）A ．|b|＜|c|B ．|b|＞|c|C ．|a|＜|b|D ．|a|＞|c|3、若|x-3|=x-3，则下列不等式成立的是（ ） A ．x-3＞0 B ．x-3＜0 C ．x-3≥0 D ．x-3≤04、如图所示，数在线的A 、B 、C 、D 四点所表示的数分别a 、b 、20、d ．若a 、b 、20、d 为等差数列，且|a-d|=12，则a 值（ ） A ．11 B ．12 C ．13 D ．145、如果a 与1互为相反数，则|a|=（ ） A ．2 B ．-2 C ．1 D ．-16、若|a|=3，则a 的值是（ ） A ．-3 B ．3 C.31D. 3 7、对于式子-（-8），下列理解：（1）可表示-8的相反数；（2）可表示-1与-8的乘积；（3）可表示-8的绝对值；（4）运算结果等于8．其中理解错误的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．38、如图表示数轴上四个点的位置关系，且它们表示的数分别为p ，q ，r ，s ．若|p-r|=10，|p-s|=12，|q-s|=9，则|q-r|=（ ）A ．7B ．9C ．11D ．139、若|a-1|=1-a ，则a 的取值范围为（ ） A ．a ≥1 B ．a ≤1 C ．a ＞1 D ．a ＜1 10、设a 是实数，则|a|-a 的值（ ） A ．可以是负数 B ．不可能是负数 C ．必是正数D ．可以是正数也可以是负数 11、m 是实数，则|m|+m （ ） A ．可以是负数 B ．不可能是负数 C ．必是正数D ．可以是正数也可以是负数 12、下列结论中正确的是（ ） A ．若a 、b 为实数，则|a •b|=|a|•|b| B ．若a 为实数，则-a ≤0 C ．若|a|=|b|，则a=b D ．若a 为实数，则a 2＞0 13、下列说法不正确的是（ ） A ．0既不是正数，也不是负数 B ．1是绝对值最小的数C ．一个有理数不是整数就是分数D ．0的绝对值是014、绝对值大于2且小于5的所有整数的和是（ ） A ．7 B ．-7 C ．0 D ．5二、解绝对值方程：1、已知：|x|=3，|y|=2，且xy ＜0， 求：x+y 的值。

知识精讲绝对值的几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离.绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值号.②一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负号，绝对值是5. 求字母a的绝对值：①(0)0(0)(0)a aa aa a>⎧⎪==⎨⎪-<⎩②(0)(0)a aaa a≥⎧=⎨-<⎩③(0)(0)a aaa a>⎧=⎨-≤⎩利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.例如：若0a b c++=，则0a=，0b=，0c=绝对值的其它重要性质：（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a a≥，且a a≥-；（2）若a b=，则a b=或a b=-；（3）ab a b=⋅；aab b=(0)b≠；（4）222||||a a a==；a的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．a b-的几何意义：在数轴上，表示数a．b对应数轴上两点间的距离．【例题精讲】模块一、绝对值的性质【例1】到数轴原点的距离是2的点表示的数是（）A．±2 B．2 C．-2 D．4绝对值【例2】下列说法正确的有（ ）①有理数的绝对值一定比0大；②如果两个有理数的绝对值相等，那么这两个数相等；③互为相反数的两个数的绝对值相等；④没有最小的有理数，也没有绝对值最小的有理数；⑤所有的有理数都可以用数轴上的点来表示；⑥符号不同的两个数互为相反数．A ．②④⑤⑥B ．③⑤C ．③④⑤D ．③⑤⑥【例3】如果a 的绝对值是2，那么a 是（ ）A ．2B ．-2C ．±2D ．12±【例4】若a ＜0，则4a +7|a |等于（ ）A ．11aB ．-11aC ．-3aD ．3a【例5】一个数与这个数的绝对值相等，那么这个数是（ ）A ．1，0B ．正数C ．非正数D ．非负数【例6】已知|x |=5，|y |=2，且xy ＞0，则x -y 的值等于（ ）A ．7或-7B ．7或3C ．3或-3D ．-7或-3【例7】若1-=x x，则x 是（ ）A ．正数B ．负数C ．非负数D ．非正数【例8】已知：a ＞0，b ＜0，|a|＜|b|＜1，那么以下判断正确的是（ ）A ．1-b ＞-b ＞1+a ＞aB ．1+a ＞a ＞1-b ＞-bC ．1+a ＞1-b ＞a ＞-bD ．1-b ＞1+a ＞-b ＞a【例9】已知a ．b 互为相反数，且|a -b |=6，则|b -1|的值为（ ）A ．2B ．2或3C ．4D ．2或4【例10】a ＜0，ab ＜0，计算|b -a +1|-|a -b -5|，结果为（ ）A ．6B ．-4C ．-2a +2b +6D ．2a-2b-6【例11】若|x +y |=y -x ，则有（ ）A ．y ＞0，x ＜0B ．y ＜0，x ＞0C ．y ＜0，x ＜0D ．x =0，y ≥0或y =0，x ≤0【例12】已知：x ＜0＜z ，xy ＞0，且|y |＞|z |＞|x |，那么|x +z |+|y +z |-|x -y |的值（） A ．是正数 B ．是负数 C ．是零 D ．不能确定符号⑤b+---．其中正确的有．（请填写番号）=+bacbca2-模块二 绝对值的非负性 1. 非负性：若有几个非负数的和为0，那么这几个非负数均为02. 绝对值的非负性；若0a b c ++=，则必有0a =，0b =，0c =【例1】 若42a b -=-+，则_______a b +=【巩固】若7322102m n p ++-+-=，则23_______p n m +=＋【例2】()2120a b ++-=，分别求a b ，的值模块三 零点分段法1. 零点分段法的一般步骤：①找零点→②分区间→③定符号→④去绝对值符号．【例1】阅读下列材料并解决相关问题： 我们知道()()()0000x x x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式12x x ++-时，可令10x +=和20x -=，分别求得12x x =-=，（称12-，分别为1x +与2x -的零点值），在有理数范围内，零点值1x =-和2x =可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下3中情况：⑴当1x <-时，原式()()1221x x x =-+--=-+⑵当12x -<≤时，原式()123x x =+--=⑶当2x ≥时，原式1221x x x =++-=-综上讨论，原式()()()211312212x x x x x -+<-⎧⎪=-<⎨⎪-⎩≤≥通过阅读上面的文字，请你解决下列的问题：（1）别求出2x +和4x -的零点值（2）化简代数式24x x ++-【巩固】化简12x x +++【巩固】化简12m m m+-+-的值【巩固】化简523x x++-．【课堂检测】1.若a的绝对值是12，则a的值是（）A．2 B．-2 C．12D．12±2.若|x|=-x，则x一定是（）A．负数B．负数或零C．零D．正数3.如果|x-1|=1-x，那么（）A．x＜1 B．x＞1 C．x≤1D．x≥14.若|a-3|=2，则a+3的值为（）A．5 B．8 C．5或1 D．8或4【家庭作业】1.-19的绝对值是________2.如果|-a|=-a，则a的取值范围是（A．a＞0 B．a≥0C．a≤0D．a＜07.若3230x y-++=，则yx的值是多少？。

绝对值的知识点在数学的世界里，绝对值是一个非常重要的概念。

它虽然看似简单，却在解决各种数学问题中发挥着关键作用。

接下来，就让我们一起深入了解绝对值的相关知识。

绝对值的定义其实很好理解。

简单来说，绝对值就是一个数在数轴上所对应点到原点的距离。

比如，数字5 在数轴上距离原点5 个单位，所以 5 的绝对值就是 5 ；而－5 在数轴上距离原点也是 5 个单位，所以－5 的绝对值同样是 5 。

用数学符号表示，绝对值记作“ ｜｜”，所以｜5| ＝ 5 ，｜－5| ＝ 5 。

从几何意义上看，绝对值表示的是距离，所以它具有非负性，也就是说，任何数的绝对值总是大于等于 0 的。

这是绝对值的一个重要性质。

接下来，我们看看绝对值的运算规则。

对于正数，它的绝对值就是它本身。

比如｜3| ＝ 3 。

对于 0 ，其绝对值就是 0 ，即｜0| ＝ 0 。

对于负数，它的绝对值是它的相反数。

例如｜－7| ＝ 7 。

在进行加减运算时，如果两个数同号（即同为正数或同为负数），那么它们的绝对值相加，符号不变；如果两个数异号（一个为正数，一个为负数），则用绝对值较大的数减去绝对值较小的数，符号取绝对值较大的数的符号。

例如，计算｜5| ＋｜－3| ，因为 5 和－3 异号，且｜5| ＞｜－3| ，所以结果为 5 3 ＝ 2 。

在乘法运算中，两个数相乘，绝对值相乘，若同号得正，异号得负。

比如，｜－2| ×｜3| ＝ 2 × 3 ＝ 6 ，｜2| ×｜－3| ＝ 2 × 3 ＝ 6 。

在除法运算中，两个数相除，绝对值相除，若同号得正，异号得负。

比如，｜－6| ÷｜2| ＝ 6 ÷ 2 ＝ 3 ，｜6| ÷｜－2| ＝ 6 ÷ 2 ＝ 3 。

绝对值还有一些常见的不等式。

比如，对于任意实数 a 和 b ，有｜a ＋b| ≤ ｜a| ＋｜b| ，当且仅当ab ≥ 0 时，等号成立。

初中数学教案：绝对值的拓展应用1.绝对值的基本概念绝对值是一个数与0之间的距离，记为|a|，表示a和0之间的距离，其值为正数。

例如，|3|=3，|-3|=3，|0|=0。

2.绝对值的运算法则（1）|a|≥0，即绝对值是非负的。

（2）|a|=|b|，其中a和b是有理数，当且仅当a=b或a=-b。

（3）|ab|=|a|×|b|，即两个数的绝对值的积等于这两个数的绝对值的积。

（4）|a/b|=|a|/|b|，其中b≠0，即两个数的商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值。

（5）|-a|=|a|，即一个数的相反数与该数的绝对值相等。

3.绝对值的拓展应用（1）求解绝对值方程。

绝对值方程通常为|ax+b|=c的形式，将其分为两种情况进行讨论即可。

（2）求解绝对值不等式。

绝对值不等式的解法同样可以通过将其分为两种情况进行讨论。

（3）应用绝对值进行函数图像的研究。

例如，f(x)=|x-2|的图像为以(2,0)为顶点的开口向上的V型图像。

（4）利用绝对值进行距离计算。

例如，两个数a和b之间的距离为|a-b|。

（5）利用绝对值进行模型建立。

例如，在一件物品的价格为p元时，有一定的销售量，当价格上涨为p+x元时，销售量减少了y台。

此时，销售量变化的绝对值为|y|。

根据不同的p、x和y，可以建立相应的模型进行分析。

4.绝对值的练习题（1）绝对值方程|x-4|=3的解为？解：将其分为两种情况讨论，得到x=1或x=7。

（2）绝对值不等式|2x-1|≥3的解为？解：将其分为两种情况讨论，得到x≤-1或x≥2。

（3）函数f(x)=|x-3|的图像为？解：以(3,0)为顶点的开口向上的V型图像。

（4）两个数a和b的差的绝对值为5，如果a+b=10，则a和b的值分别为？解：由题目可得|a-b|=5，又因为a+b=10，则将其代入得到|a-10+a|=5，即|2a-10|=5。

再将其分为两种情况讨论，得到a=7.5或2.5，进而可以得出b=2.5或7.5。

绝对值拓展
1、关于概念结构的理论，罗希提出的原型说(1975年)认为，概念主要以原型即它的最佳关例表达出来一个数的绝对值实质上是该数所对应的点到原点的距离的数值因此，我们选用了例1，它对于理解和形成绝对值概念是有益的布尔纳提出了特征表说(1979年)，他主张从个体所具有的共同重要特征来说明概念，所以，这里配合例1选用了例2，意图是突出它们的共同特征，增强学生对绝对值概念的感性认识，同时还能对零的绝对值给出一个比较自然的解释
2、中学代数里，实数绝对值的形式定义是：aR ，
|a|=⎩
⎨⎧-≥.0,;0, a a a a 而利用数轴将表示a 的点到原点的距离作为它的一种几何解释
实际上，它的几何意义反映了概念的本质，也可以作为绝对值的定义即实质定义一般在同一知识系统中不宜出现同一对象的两种不同定义，为了避免证明等价性的麻烦，通常以形式化的表述作为定义，另一种表术作为辅助性的解释，这在逻辑上可带来方便，其不足之处是形式定义较难理解 我们采用的办法是重点放在几何意义的理解上，最后再概括上升到形式定义上来这样比较符合从感性认识上升到理性认识的规律，同时使得绝对值概念的非负性具有较扎实的基础。

绝对值知识点范文绝对值是数学中的一种运算符号，用来表示一个数在数轴上到原点的距离。

无论这个数是正数、负数还是零，其绝对值都是非负数。

以下是绝对值的一些重要知识点：1.绝对值的定义：对于任意实数a，它的绝对值表示为，a，a，=a(当a≥0)；，a，=-a(当a<0)。

2.绝对值的性质：-非负性质：对于任意实数a，a，≥0。

-非负数的绝对值等于自身：对于任意非负实数a，a，=a。

-负数的绝对值等于相反数：对于任意负实数a，a，=-a。

-非零数的相反数的绝对值等于自身绝对值：对于任意非零实数a，-a，=，a。

-三角不等式：对于任意实数a和b，有，a+b，≤，a，+，b。

3.绝对值在求解问题中的应用：-求解不等式：绝对值经常出现在求解不等式的过程中，可以根据不同的情况对绝对值进行分段讨论，并转化为简单的不等式，从而求解出不等式的解集。

-函数的定义域与值域：在函数的定义域和值域的求解过程中，会用到绝对值对函数的取值范围进行限制。

-距离的计算：绝对值可以用来计算两点之间的距离，例如直线上两点的距离等于两点坐标相减后的绝对值。

4.绝对值的运算：-绝对值的加法：对于任意实数a和b，有，a+b，≤，a，+，b。

- 绝对值的乘法：对于任意实数a和b，有，ab， = ，a，× ，b。

-绝对值的幂运算：对于任意实数a和正整数n，有，a^n，=，a，^n。

5.绝对值与符号函数的关系：- 符号函数的定义：对于任意实数a，符号函数sgn(a) = 1 (当a>0)；sgn(a) = -1 (当a<0)；sgn(a) = 0 (当a=0)。

- 绝对值和符号函数的关系：对于任意实数a，有，a，= a ×sgn(a)。