Kalman滤波中相关噪声问题的探讨

量测噪声与过程噪声耦合的卡尔曼滤波嘿，朋友们！今天咱来聊聊量测噪声与过程噪声耦合的卡尔曼滤波。

这玩意儿听起来是不是有点玄乎？别急，听我慢慢给你唠唠。

咱先说说这个量测噪声，就好像你走在路上，旁边总有一些叽叽喳喳的声音干扰你判断方向，这量测噪声就是来捣乱的。

它会让你得到的数据变得不那么准确，就像雾里看花，模模糊糊的。

再看看过程噪声呢，就好比你本来计划好好地往前走，可突然刮来一阵风，把你吹得有点偏离轨道，这就是过程噪声在捣乱啦！那这两者耦合起来会咋样呢？哎呀，那可就热闹啦！就像一场混乱的音乐会，各种声音交织在一起，让你都不知道该听谁的了。

卡尔曼滤波呢，就是那个神奇的指挥家，它要努力在这一片混乱中找到和谐，把那些乱七八糟的声音整理得有条有理。

你想想看，如果没有卡尔曼滤波，那我们面对这些噪声不就抓瞎了吗？那我们的测量结果、我们的判断岂不是都要乱套啦？卡尔曼滤波就像是我们的救星，它能把那些让人头疼的噪声给处理得服服帖帖。

比如说，在自动驾驶中，要是没有卡尔曼滤波来处理这些噪声，车子还不得开得歪七扭八的呀？那多吓人呐！它能让车子更准确地感知周围环境，更安全地行驶。

在航天领域也是一样啊，那些精密的仪器和数据，要是被噪声干扰得乱七八糟，那还怎么探索宇宙呀？卡尔曼滤波就能让一切都变得清晰有序。

它就像是一个聪明的小精灵，在数据的海洋里穿梭，把有用的信息提取出来，把噪声过滤掉。

这多厉害呀！咱再打个比方，卡尔曼滤波就像是一个超级清洁工，把那些乱七八糟的垃圾噪声都清理掉，只留下干净整洁的数据环境。

你说它重不重要？总之呢，量测噪声与过程噪声耦合的卡尔曼滤波可不是个简单的东西，但它又超级重要。

它让我们的世界变得更精确，更有序。

没有它，我们的生活可能会变得一团糟呢！所以啊，我们可得好好感谢这个神奇的卡尔曼滤波，不是吗？大家说是不是这个理儿呀！。

有色噪声下的卡尔曼滤波摘要Kalman滤波技术是一种高效率的递归滤波器(自回归滤波器)，它是现代信息处理中的重要工具。

但是基本的Kalman滤波基本方程中要求系统噪声和量测噪声必须为互不相关的均值为零的白噪声过程, 限制了应用的范围。

本文研究了在系统噪声和量测噪声都是有色噪声条件下的Kalman滤波方法, 并推导了全套的滤波方程。

最后以GPS多天线三维姿态测量系统为例，根据推导出的动态噪声、观测噪声为有色噪声的线性系统滤波公式，在MATLAB环境下进行了仿真实验。

关键词：有色噪声，卡尔曼滤波，白噪声ABSTRACTKalman filtering technology is a kind of efficient algorithm.on filter (autoregressive filter), it is an important tool in modern information processing. But the basic Kalman filtering basic equations of noise and measurement requirements system for irrelevant noise must be zero of white noise process, limit the scope of application. In this paper we studied system noises and measurement noise are colored noise Kalman filtering method under the conditions, and derived full set of filter equation. Finally for example with GPS multi-antenna 3d pose measurement system, Carried out in MATLAB simulation experiment according to the dynamic noise is deduced, observation noise for colored noise linear system filtering formula.Key Words：Colored Noise, Kalman Filter, White Noise一、引言卡尔曼滤波技术是20世纪60年代在现代控制理论的发展过程中产生的一种最优估计技术。

Kalman滤波算法的特点：（1）由于Kalman滤波算法将被估计的信号看作在白噪声作用下一个随机线性系统的输出，并且其输入/输出关系是由状态方程和输出方程在时间域内给出的，因此这种滤波方法不仅适用于平稳随机过程的滤波，而且特别适用于非平稳或平稳马尔可夫序列或高斯-马尔可夫序列的滤波，所以其应用范围是十分广泛的。

（2）Kalman滤波算法是一种时间域滤波方法，采用状态空间描述系统。

系统的过程噪声和量测噪声并不是需要滤除的对象，它们的统计特征正是估计过程中需要利用的信息，而被估计量和观测量在不同时刻的一、二阶矩却是不必要知道的。

（3）由于Kalman滤波的基本方程是时间域内的递推形式，其计算过程是一个不断地“预测-修正”的过程，在求解时不要求存储大量数据，并且一旦观测到了新的数据，随即可以算的新的滤波值，因此这种滤波方法非常适合于实时处理、计算机实现。

（4）由于滤波器的增益矩阵与观测无关，因此它可预先离线算出，从而可以减少实时在线计算量。

在求滤波器增益矩阵时，要求一个矩阵的逆，它的阶数只取决于观测方程的维数，而该维数通常很小，这样，求逆运算是比较方便的。

另外，在求解滤波器增益的过程中，随时可以算出滤波器的精度指标P，其对角线上的元素就是滤波误差向量各分量的方差。

Kalman滤波的应用领域一般地，只要跟时间序列和高斯白噪声有关或者能建立类似的模型的系统，都可以利用Kalman滤波来处理噪声问题，都可以用其来预测、滤波。

Kalman滤波主要应用领域有以下几个方面。

（1）导航制导、目标定位和跟踪领域。

（2）通信与信号处理、数字图像处理、语音信号处理。

（3）天气预报、地震预报。

（4）地质勘探、矿物开采。

（5）故障诊断、检测。

（6）证券股票市场预测。

具体事例：（1）Kalman滤波在温度测量中的应用；（2）Kalman滤波在自由落体运动目标跟踪中的应用；（3）Kalman滤波在船舶GPS导航定位系统中的应用；（4）Kalman滤波在石油地震勘探中的应用；（5）Kalman滤波在视频图像目标跟踪中的应用；。

卡尔曼滤波协噪音
卡尔曼滤波协噪音（Kalman filter with correlated noise）是一种应用于状态估计问题的滤波算法。

卡尔曼滤波器通过融合传感器测量值和系统模型，可以提供最优的状态估计结果。

卡尔曼滤波假设系统的状态和传感器的测量值都受到了噪音的影响。

对于传感器测量噪音，卡尔曼滤波器通过测量噪音协方差矩阵R来描述其统计特性。

然而，在某些情况下，不同传
感器之间的噪音并不是完全独立的，即存在噪音之间的相关性。

在卡尔曼滤波中，协噪音可以被表示为系统状态与传感器测量之间的协方差矩阵Q。

协噪音的存在使得卡尔曼滤波器能够更准确地进行状态估计，尤其对于存在相关性的传感器数据。

卡尔曼滤波协噪音的处理通常涉及以下步骤：
1. 建立系统模型，包括状态转移方程和测量方程。

2. 定义状态的先验估计和协方差矩阵作为初始条件。

3. 根据系统模型和测量方程，使用卡尔曼滤波算法进行状态预测和观测更新。

4. 更新状态的估计值和协方差矩阵。

5. 重复步骤3和步骤4，直到达到所需的状态估计精度。

在卡尔曼滤波中，协噪音的处理可以提高系统对相关噪音的鲁棒性和准确性。

这对于需要融合多个传感器数据进行状态估计的应用场景尤为重要，例如机器人导航、目标跟踪等。

2010_第三章_3有色噪声系统的Kalman滤波3.2.7 系统噪声或观测噪声是有色噪声的卡尔曼滤波在前面推导Kalman 滤波方程时，都是假定)(k w 和)(k v 都是白噪声。

而实际上，多数情况下，)(k w 和)(k v 可能是有色噪声。

通常情况下，对一些特定的有色噪声可通过成型滤波器化成白噪声，现举例说明如何把某些特定的有色噪声用白噪声通过成型滤波器来表示的问题。

设)(k ξ是一平稳随机序列，其相关函数为||,j i t t j i De R --=，j i t t >并可写出成型滤波器方程如下)()(),1()1(k n k k k k ++ψ=+ξξ式中的),1(k k +ψ为成型滤波器转移阵||1),1(k k t t e k k --+=+ψ)(k n 为均值为零的白噪声序列{}0)(=k n E ， {}kj t t T k k e D j n k n E δ)1()()(||21--+-= 下面分三种情况讨论有色噪声情况的Kalman 滤波：1）控制系统附加噪声是有色噪声，观测系统附加噪声是白噪声；2）控制系统附加噪声是白噪声，观测系统附加噪声是有色噪声；3）控制系统和观测系统的附加噪声均为有色噪声。

有色序列的类型还有许多种，本节仅讨论高斯—马尔可夫型随机序列。

理由不言而喻，人们知道，任何一个高斯—马尔可夫型随机序列，都可以看成是高斯白噪声驱动下，某个离散线性系统的状态序列。

因此，可以通过扩充状态变量法，来把附加噪声是有色的情况白化！下面分情况进行具体的讨论。

3.2.7.1 控制系统附加噪声是有色噪声，观测系统附加噪声是白噪声设系统状态和观测方程为)(),1()(),1()1(k w k k k x k k A k x +Γ++=+ (3.2.7.1))()()()(k v k x k C k z +=(3.2.7.2) 式中)(k w 为高斯—马尔可夫型随机序列（有色噪声）。

基于卡尔曼滤波的图像降噪方法研究赛地瓦尔地·买买提;阿布都加怕尔·如苏力;米娜瓦尔·吾买尔【摘要】In order to improve the quality of noise image, a de-noising algorithm based on Kalman filtering is proposed. By adopting recursive algorithm,it could be applicable to the stationary process and non-sta-tionary process, thus solving the problem of limiting factors from other estimation methods. The character-istics of the noise image are analyzed, and then based on the first-order Gaussian color noise the equiva-lent observation of noise image is redefined. Meanwhile, NSHP ( Non-Symmetric Half Plane) is applied to forming the process equation of image, thus considerably reducing the calculation complexity of updated Kalman filtering. Simulation results show that Kalman filtering could obviously reduce the noise of original image and effectively solve the fuzzy details resulted from image filtering. Compared with other traditional de-noising algorithms, the proposed method could better retain the image details, including lines, dots and margins and demonstrate its superiority of self-adaption.%为了改善噪声图像的质量，提出了一种基于KALMAN滤波的降噪方法，该算法采用递推性算法，因此，可以适用平稳与非平稳过程，这就解决了其他估计方法的限制性困难。

Ka l man 滤波器及其应用1.引言Kalman Filter是一个高效的递归滤波器，它可以实现从一系列的噪声测量中，估计动态系统的状态。

广泛应用于包含Radar、计算机视觉在内的等工程应用领域，在控制理论和控制系统工程中也是一个非常重要的课题。

连同线性均方规划，卡尔曼滤波器可以用于解决LQG(Linear-quadratic-Gaussian control)问题。

卡尔曼滤波器，线性均方归化及线性均方高斯控制器，是大部分控制领域基础难题的主要解决途径。

kalman Filter以它的发明者Rudolf.E.Kalman 而命名。

但是在Kanlman之前，Thorvald Nicolai Thiele和Peter Swerling 已经提出了类似的算法。

Stanley Schmidt 首次实现了Kalman 滤波器。

在一次对NASA Ames Research Center访问中，卡尔曼发现他的方法对于解决阿波罗计划的轨迹预测很有用，后来阿波罗飞船导航电脑就使用了这种滤波器。

这个滤波器可以追溯到Swerling(1958),Kalman(1960),Kalman和Bucy(1961)发表的论文。

Kalman Filter有时叫做Stratonovich-Kalman-Bucy滤波器。

因为更为一般的非线性滤波器最初由Ruslan L.Stratonovich发明，而Stratonovich-Kalman-Bucy滤波器只是非线性滤波器的一个特例。

事实上，1960年夏季，Kalman和Stratonovich在一个Moscow召开的会议中相遇，而作为非线性特例的线性滤波方程，早已经由Stratonovich在此以前发表了。

在控制领域，Kalman滤波被称为线性二次型估计，目前,卡尔曼滤波已经有很多不同的实现，有施密特扩展滤波器、信息滤波器以及一系列的Bierman和Thornton 发明的平方根滤波器等，而卡尔曼最初提出的形式现在称为简单卡尔曼滤波器。

具有相关噪声和不确定观测系统的全局最优Kalman滤波陈东彦;余永龙;胡军【摘要】研究了具有不同源噪声和不确定观测的离散线性随机系统的全局最优Kalman滤波问题.乘性噪声是用来描述系统的随机扰动,相关噪声包括了有限步自相关过程噪声和纵向相关噪声,不确定观测包括了一步随机时滞和多丢包.由Kronecker delta函数来描述有限步自相关过程噪声和纵向相关噪声,通过两个已知统计特性且相互独立的Bernoulli分布变量来描述一步随机时滞和多丢包现象.基于最优估计的定义,在最小均方误差意义下设计出全局最优Kalman滤波.最后,算例仿真验证滤波方法的有效性.【期刊名称】《哈尔滨理工大学学报》【年(卷),期】2015(020)004【总页数】10页(P1-10)【关键词】全局最优Kalman滤波;不确定系统;乘性噪声;相关噪声;不确定观测【作者】陈东彦;余永龙;胡军【作者单位】哈尔滨理工大学应用科学学院,黑龙江哈尔滨150080;哈尔滨理工大学应用科学学院,黑龙江哈尔滨150080;哈尔滨理工大学应用科学学院,黑龙江哈尔滨150080【正文语种】中文【中图分类】O231.1近年来，对网络控制系统状态估计的研究受到了广泛的关注，并获得了很多研究成果[1-2].在网络系统数据传输过程中，随机时滞和测量丢失经常出现，因此对具有这类性质网络控制系统Kalman滤波的研究具有重要的现实意义.文 [3]指出Kalman滤波是在最小均方误差意义下的全局最优Kalman滤波，适用于带有随机非线性和随机时滞的不确定系统 [4-5].在网络控制系统中，随机时滞和测量丢失通常利用随机变量来描述[6].文 [7]通过两个Bernoulli分布随机变量建立了一个新的模型来描述可能发生一步随机时滞和多丢包的网络控制系统，并研究其最优线性估计.文 [8-9]则借用文 [7]的模型，分别研究了系统状态的H滤波和鲁棒H滤波.在研究Kalman滤波中，对系统的过程噪声和测量噪声通常假定其不相关，但是噪声相关却是客观存在的.文 [10]在2008年研究了过程噪声有限步自相关系统的Kalman型递推滤波，即预先给定滤波结构，然后根据无偏性和最小误差协方差计算出未知量.文 [11]在2011年研究了过程噪声有限步自相关且观测数据具有随机性系统的Kalman型递推滤波.值得注意的是，文 [10-11]都忽略了对噪声的估计，所以提出的滤波都是次优的.为了提高Kalman滤波的性能，文 [12]在2010年研究了测量噪声有限步自相关系统的鲁棒非脆弱Kalman型递推滤波，在滤波结构中引入随机性，但这种滤波仍然是次优的.文 [13]在2013年提出了全局最优Kalman滤波来替代[12]中的滤波，并给出了算例仿真，很好地展现了全局最优Kalman滤波的优良性.文 [14]研究了过程噪声有限步自相关、测量噪声有限步自相关和纵向相关噪声系统的全局最优Kalman 滤波.早在1993年，文 [15]就阐述了乘性噪声在目标追踪和导航系统中的广泛存在性，文 [12-13]给出了具有乘性噪声系统中的不确定性描述，并对该类系统的Kalman滤波进行了研究.综上，对系统中的随机时滞、测量丢失、相关或不相关的过程噪声和测量噪声以及乘性噪声等都已获得很多研究结果.我们注意到系统观测中不确定性对Kalman滤波的影响也是不容忽略的，因此，本文研究同时具有乘性噪声、有限步自相关过程噪声、纵向相关噪声、一步随机时滞和测量丢失的复杂系统的全局最优Kalman滤波，通过分离出系统矩阵中的随机变量，将原系统进行增广.在增广系统中，过程噪声有限步自相关并且和测量噪声纵向相关.基于最优估计的定义，在最小均方误差意义下给出其全局最优Kalman滤波.最后，通过算例仿真验证全局最优Kalman滤波的有效性.文中主要符号：右上角标T表示矩阵的转置，Rn表示n维欧氏空间，Rm×n表示所有m×n阶矩阵的集合，I和0分别表示单位矩阵和零矩阵，P>0表示P是正定的实对称矩阵，diag{…}表示对角矩阵.此外，E{x}表示随机变量x的数学期望，P{*}表示随机事件*的概率.δk-j表示Kronecker delta 函数，当k=j时，其值等于1，当k≠j时，其值等于0 .如果矩阵的阶数不明确指出，则假定它们是符合代数运算的.考虑如下具有乘性噪声、有限步自相关过程噪声、纵向相关噪声、一步随机时滞和多丢包的离散时间线性随机系统：yk= (1-γk)[1-(1-γk-1)λk]yk-1.其中k∈Rn为需要估计的系统状态；k∈Rm为测量输出；yk∈Rm为滤波器接收到的观测值.ξk, ηk是零均值协方差为1的乘性噪声，且和其他噪声信号不相关；k, k和s,k是适当维数的系统矩阵；k∈Rr是零均值有限步自相关的过程噪声，其统计性质如下：.式中：gk表示gk步自相关(gk≥1)；>0；是零均值协方差为的测量噪声且与纵向相关：γk和λk是互不相关且和其他噪声信号也不相关的随机变量，均服从Bernoulli分布，且=β，其中0≤α≤1,0≤β≤1是已知的正数.假设 1 初始状态0与其他噪声信号不相关，并有如下统计性质注1：容易看出，传感器在k时刻准确接收到数据的概率为=α、发生一步时滞的概率为、发生丢包的概率为).可以验证α+(1-α)2β+(1-α)α+(1-α)2(1-β)=1.类似于文 [7]，定义.注意到，由式(2)和(3)，有于是，系统(1)～(3)可以增广为如下系统：这里，,过程噪声ωk和测量噪声νk满足如下统计性质：其中，为了后面讨论方便，我们引入以下参量：A1,k+γkA2,k+(1-γk)λkA3,k+γkηkA4,k+ ξkA5,k+ηkA6,k,,(γk-α)C2,k+[(1-γk)λk- (1-α)β]C3,k+γkηkC4,k,容易证明：进一步将增广系统(6)～(7)改写成如下形式：其中过程噪声k和测量噪声k由下列式子给出：本文的目的是基于所收到的观测序列(yk+1,yk,…,y1)，寻求系统状态k+1的全局最优Kalman滤波.注意到原系统和增广系统的关系，我们有，因此仅需给出增广系统(6)～(7)或(11)～(12)的全局最优Kalman滤波.2.1 预备引理在给出系统(11)～(12)的全局最优Kalman滤波之前，首先介绍一些引理和定义.设，我们容易得到如下结果：引理1 系统(6)的状态xk+1满足如下递推式Ξk+1=.其中：证明：将(6)式代入，有(16)式成立.引理2 系统(11)～(12)的过程噪声k和测量噪声k的自相关矩阵、纵向相关矩阵分别为k+其中：α(1-α)B2,kSk证明：由式(13)给出的，当j=k时，设则有kT+当j=k-gk,…,k-1和j=k+1,…,k+gk时，设，因为γk和γj是不相关的，有，于是当j≤k-gk-1和j≥k+gk+1时，有.综上得到式(17).类似地，利用式(14)，注意=0，γk和γj不相关，.设我们有当j≤k-1和j≥k+1时，有.因此，式(18)成立.同理，对，当j=k时，设，则α(1-α)B2,kSk其中，.当j≤k-1和j≥k+1时，注意和γj不相关，，我们有.因此，式(19)成立.利用上述引理，可以计算过程噪声k和状态xk、观测数据yk的协方差矩阵.引理3 对t=0,…,gk-1，设，则证明：将k=k-t时的(11)式代入，利用引理2，注意，得到Ψk,t=将k=k-t时的(12)式代入，容易看出，于是Φk,t=注2：在上述的引理中，我们规定：当k≤t或k=0时，Ψk,t和Φk,t都等于0. 为了方便我们进一步的讨论，现介绍如下定义：定义1 基于线性空间Yj=L(y1,…,yj)，xk+1的最优估计由下式给出).类似地，我们可以定义估计和的表达式.定义2Δyk+1=，Γk+1=Cov(xk+1,yk+1)- Cov(xk+1,Yk)(Var Yk)-1Cov(Yk,yk+1) ，Υk+1=Var yk+1- Cov(yk+1,Yk)(Var Yk)-1Cov(Yk,yk+1)，Πk,t=，Λk,t=Cov(yk,yk-t)- Cov(yk,Yk-t-1)(Var Yk-t-1)-1Cov(Yk-t-1,yk-t)，Ωk,t=Cov(xk,yk-t)- Cov(xk,Yk-t-1)(Var Yk-t-1)-1Cov(Yk-t-1,yk-t) ，Fk+1=Var xk+1- Cov(xk+1,Yk-1)(Var Yk-1)-1Cov(Yk-1,xk+1)，注3: 由定义1，易见定义2，并且Ωk+1,0=Γk+1，Λk+1,0=Υk+1.引理4[13] 对如下适当维数的分块矩阵如果G和G11都是可逆的，则是可逆的，并且).引理5 由定义2，如下结果成立Ωk,t=，Fk+1=.其中Πk,gk-1=Φk,gk-1.证明：由Πk,t的定义，当t=0,…,gk-1时，利用引理4，并注意到，可以得到如下的结果Πk,t=, ,对t=1,…,gk-1,由Λk,t的定义，代入式(12)并且注意引理2 的结果,有.因此，我们有Λk,t=Cov(yk,yk-t)- Cov(yk,Yk-t-1)(Var Yk-t-1)-1Cov(Yk-t-1,yk-t)=对t=1,…,gk-1，将(11)式不断地代入Ωk,t的定义中，可以得到以下的式子Ωk,t= (Var Yk-t-1)-1Cov(Yk-t-1,yk-t)+ (Var Yk-t-1)-1Cov(Yk-t-1,yk-t)]= (Var Yk-t-1)-1Cov(Yk-t-1,yk-t)]=……= (Var Yk-t-1)-1Cov(Yk-t-1,yk-t)]+ (Var Yk-t-1)-1Cov(Yk-t-1,yk-t)]=将式(11)代入Fk+1的定义中，有Fk+1=为了计算上面的式子，以下两个式子将被用到.一方面，连续使用引理4，注意到0，则有另一方面，反复使用引理4，注意到有综上，并注意到，可以得出Fk+1的表达式.2.2 全局最优Kalman滤波定理1 对系统(11)～(12)，全局最优Kalman滤波如下证明：首先，由定义1和引理4，全局最优Kalman滤波可由下式给出[Cov(xk+1,yk+1)-Cov(xk+1,Yk)× (Var Yk)-1Cov(Yk,yk+1)][Var yk+1-Cov(yk+1,Yk)(Var Yk)-1×即式(34)成立.其次，计算.为了方便，首先计算.注意到=0，并且利用定义1和引理4，有注意到其中.将式(11)两边在由Yk生成的线性空间上作投影，有将式(41)代入式(42)，可得到式(35).第三，推导Δyk+1.容易观察到=0，这样就得到了式(36).第四，利用定义1和引理的递推式将会直接地推出Var xk+1-Cov(xk+1,Yk+1)(Var Yk+1)-1×式(37)被得到.类似地，的递推式可以推导如下，式(38)被得到.最后，我们计算Γk+1和Υk+1.一方面，注意到，因为，我们有：Γk+1=Cov(xk+1,yk+1)-Cov(xk+1,Yk)(Var Yk)-1×Cov(Yk,yk+1)= [Var xk+1-Cov(xk+1,Yk)(Var Yk)-1×得到了式(39).另一个方面，注意到k+1，因为，我们有：Υk+1=Var yk+1-Cov(yk+1,Yk)(Var Yk)-1Cov(Yk,yk+1)=式(40)成立.证毕.定理1的全局最优Kalman滤波计算过程归纳如下.算法1 (有限步自相关过程噪声和多丢包系统的全局最优Kalman滤波)步骤1:给出初值.步骤2:在k时刻，由前一时刻的值，可计算如下的几个量.步骤3:由式(32)求得Ωk,gk-1,…,Ωk,1;Ωk-1,gk-2,…,Ωk-1,1;Ωk-gk+2,1，将其代入式(31)得到Λk,gk-1,…,Λk,1;Λk-1,gk-2,…,Λk-1,1;Λk-gk+2,1，由式(20)得到Ψk,0,…,Ψk,gk-2，求出；知Πk,gk-1，进而由引理5中式(30)求Πk,gk-2,…,Πk,0.步骤4:将上述所得和初始值代入式(35)计算.步骤5:利用式(32)计算Ωk+1,1，接着计算，把代入式(33)计算Fk+1.步骤6:把Ωk+1,1,Υk和Fk+1代入式(38)得到.步骤7:将代入式(39)得到Γk+1.步骤8:利用式(16)得出Ξk+1，进而得到，将和代入式(40)得出Υk+1.步骤9:将yk+1、上述得到的代入式(36)得到Δyk+1.步骤10:把和Δyk+1代入式(34)得到.步骤和Υk+1代入式(37)得到.考虑离散线性随机系统(1)～(3)，设,且T.我们设过程噪声三步自相关，即gk=3，且过程噪声与测量噪声纵向相关，即它们满足以下方程：其中ξk,ηk和εk都是零均值协方差为1的Gaussian白噪声.设a0=0.15, a1=0.1, a2=0.15, a3=0.2, b0=0.15，这样过程噪声就是三步自相关并且与测量噪声纵向相关.设,Δy-2=0,Δy-1=0,Υ-2=0.01,Υ-1=0.01,并记MSEi定义为滤波k,i的均方误差，即是相互独立的实验次数.利用定理1，在MMSE原则下构造全局最优Kalman滤波.从图1～4，可以看出全局最优Kalman滤波有很好的性能.本文研究了同时具有乘性噪声、有限步自相关过程噪声、纵向相关噪声、一步随机时滞和多丢包系统的全局最优Kalman滤波.利用两个已知统计特性且相互独立的Bernoulli分布变量来描述一步随机时滞和多丢包现象.引入新的中间变量，基于增广方法和最优估计的定义，我们给出了一个新的全局最优Kalman滤波算法.最后，给出算例仿真，验证了我们的Kalman滤波的有效性.【相关文献】[1] CABALLERO-AGUILA R, HERMOSO-CARAZO A, LINARES-PEREZ J. Linear and Quadratic Estimation Using Uncertain Observations from Multiple Sensors with Correlated Uncertainty [J]. Signal Processing, 2011, 91(2): 330-337.[2] MA Jing, SUN Shu-li. Optimal Linear Estimators for Systems with Random Sensor Delays, Multiple Packet dropouts and uncertain observation[J]. IEEE Transactions onSignal Processing, 2011, 59(11): 5181-5192.[3] KALMAN R E. A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems[J]. Transactions of the ASME Journal of the Basic Engineering, 1960, 82: 35-45.[4] HU Jun, WANG Zi-dong, SHEN Bo, et al. Gain-constrained Recursive Filtering with Stochastic Nonlinearities and Probabilistic Sensor Delay[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2013, 61(5): 1230-1238.[5] CHEN Dong-Yan, XU Long. Optimal Kalman Filtering for a Class of State Delay Systems with randomly Multiple Sensor Delays[J]. Abstract and Applied Analysis, 2014, Article ID 716716, 10 pages.[6] MA Jing, SUN Shu-li. Linear Optimal Full-order Estimators for Discrete-time Stochastic Uncertain Systems with Packet Losses[J]. Control Theory & Applications, 2014, 31(6): 764--772.[7] SUN Shu-li. Optimal Linear Estimation for Networked Systems with One-step Random Delays and Multiple Packet Dropouts[J]. Acta Automatica Sinica, 2012, 38(3): 349-356. [8] LI Xiu-ying, WANG Jin-yu, SUN Shu-li. H∞ Filter Design for Networked Systems with One-step Random Delays and Multiple Packet Dropouts[J]. Acta Automatica Sinica, 2014, 40(1): 155-160.[9] LI Xiu-ying, WANG Jin-yu, SUN Shu-li. Robust H∞ Filtering for Network-based Systems with Delayed and Missing Measurements[J]. Control Theory & Applications, 2013, 30(11): 1401-1407.[10] SONG En-bin, Zhu Yun-min, You Zhi-sheng. The Kalman Type Recursive State Estimator with a Finite-step Correlated Process Noises[C]// Proceedings of the IEEEInternational Conference on Automation and Logistics, Qingdao, China, 2008, 196--200.[11] ZENG Ming, FENG Jian-Xin, YU Zhi-Wei. Optimal Robust Kalman-type Recursive Filter for Uncertain Systems with Finite-step Autocorrelated Process Noises and Missing Measurements[C]// Proceedings of the 2nd International Conference on Intelligent Control and Information(ICICIP), Harbin, China, 2011, 495-498.[12] FENG Jian-xin, WANG Zi-dong, ZENG Ming. Optimal Robust Non-fragile Kalman-Type Recursive Filtering with Finite-step Autocorrelated Noises and Multiple Packet Dropouts[J]. Aerospace Science and Technology, 2010, 15(6): 486-494.[13] LI Fan, ZHOU Jie, WU Du-Zhi. Optimal Filtering for Systems with Finite-step Autocorrelated Noises and Multiple Packet Dropouts[J]. Aerospace Science and Technology, 2013, 24(1): 255-263.[14] JIANG Pei, ZHOU Jie, ZHU Yun-Min. Globally Optimal Kalman Filtering with Finite-Time Correlated Noises[C]// Proceedings of the 49th IEEE Conference on Decision and Control, Atlanta, GA, USA, 2010： 5007-5012.[15] KOUIKOGLOU V S, PHILLIS Y A. Trace Bounds on the Covariances of Continuous Time systems with Multiplicative Noise[J]. IEEE Transactions on Automatic Control, 1993, 38(1): 138-142.。

Kalman滤波及其改进方法的去噪对比分析Kalman滤波及其改进方法的去噪对比分析[摘要]本文主要对Kalman滤波等方法在数据处理中进行应用研究，探讨Kalman滤波及其改进方法在数据中去噪效果，并将Kalman滤波、自适应Kalman与抗差自适应Kalman滤波进行对比，得出抗差自适应Kalman滤波去噪效果最好。

[关键词]Kalman滤波抗差自适应去噪1 前言在测量数据处理中，不论是GPS变形监测，还是GPS周跳探测与修复等，为了获得目标的运动状态，必须对各个与状态有关的参数进行测量。

这些参数量测值可能仅是系统的状态或部分状态的线性组合或某一函数，且量测值中有随机误差，甚至一些大的扰动误差。

Kalman滤波是解决这类动态系统状态估值的较好的一种方法。

2 Kalman滤波的基本知识Kalman滤波方法是借助系统的状态转移方程，根据前一时刻的状态参数估值和当前时刻的观测值递推估计新的状态估值。

在测量数据去噪中，常用Kalman滤波离散化模型来描述系统。

离散线性系统的状态估计是利用Y1，Y2，...Yk，根据其数学模型求定第时刻状态向量的最佳估值，记为。

离散随机线性系统的状态方程和观测方程为：式中：Yk指系统观测向量，维数是m；Xk指系统的状态向量，维数是n；Vk指系统观测噪声向量，维数是m；Wk-1指系统随机干扰向量，维数是p；Hk 是m×n维观测矩阵；гk，k-1是n×p维干扰输入矩阵；Fk，k-1是系统n×n维状态转移矩阵。

观测噪声和动态噪声均为零均值白噪声序列，而且在任何时刻它们都不相关。

因而称上述Kalman滤波模型为完全不相关白噪声作用下的Kalman滤波。

根据离散Kalman滤波的基本方程，可推导出Kalman 滤波递推方程具体计算步骤以及模型公式如下：存储tk-1时刻的和（记为Dk-1）；计算状态一步预测方程：计算一步预测误差方差阵：滤波增益矩阵：。

卡尔曼滤波过程噪声
卡尔曼滤波是一种重要的状态估计算法，它可以处理带有噪声的系统模型，并将其估计或预测到最佳状态。

其中，过程噪声是一个经常被提到的问题，它不但影响着整个卡尔曼滤波的结果，还与实际应用密切相关。

卡尔曼滤波的过程中通过更新当前系统状态，以及计算预测值与实际值之间的误差，来调整后续的预测值，实现对状态的估计。

在此过程中，系统中还包括了过程噪声（process noise），它代表了系统在运行时的非面向目标的随机扰动。

例如，在GPS导航系统中，车辆的加速度、转弯等因素均为过程噪声，而这些因素都会影响车辆的行驶路径。

那么，针对这种过程噪声，卡尔曼滤波是如何处理的呢？以下是一些解决过程噪声的步骤：
1. 确定过程噪声的来源：需要明确不同系统中的过程噪声，以及它们的来源和特点，从而确定适当的噪声模型。

2. 噪声模型设计：根据系统的情况，设计噪声模型，如白噪声、随机游走等，来描述过程噪声。

同时，噪声模型还跟系统模型有关，因此，需要根据系统模型进行噪声模型的选择。

3. 进行卡尔曼滤波：设定好初始状态，开始进行卡尔曼滤波，此过程中，过程噪声会被加入系统模型，并随着时间逐步增大，以模拟实际中的变化情况。

4. 调整噪声参数：在实际应用中，过程噪声通常难以预知，在卡尔曼滤波的过程中，需要不断地对噪声参数进行调整，以逐步接近实际情况。

总体而言，在卡尔曼滤波过程中，过程噪声是一个需要重视的因素，它对卡尔曼滤波的结果具有很大的影响。

因此，针对不同系统，需要设计适当的过程噪声模型，并在实际应用中不断进行参数调整，以提高估计精度，满足不同应用场景的要求。

卡尔曼滤波是一种常用于轨迹去噪的算法，它利用系统的动力学模型和测量模型对数据进行融合，从而去除轨迹中的噪声，提高轨迹的精确度。

在本文中，我们将介绍如何使用Python实现卡尔曼滤波轨迹去噪的过程。

一、背景介绍1.1 卡尔曼滤波原理卡尔曼滤波是一种递归算法，它利用系统的状态方程和观测方程对系统状态进行估计。

通过不断地观测和更新，最终得到对系统状态的准确估计。

1.2 轨迹去噪应用在实际应用中，很多传感器获取的数据都会受到噪声的影响，轨迹数据也不例外。

轨迹去噪是很多领域都需要解决的问题，包括无人机导航、自动驾驶、移动机器人等。

二、Python实现2.1 安装依赖库在Python中实现卡尔曼滤波，需要安装一些依赖库，包括numpy和matplotlib等。

可以通过pip命令进行安装。

2.2 定义系统参数在实现卡尔曼滤波之前，需要定义系统的状态方程和观测方程，以及初始化系统状态和协方差矩阵等参数。

2.3 实现卡尔曼滤波使用定义好的系统参数和观测数据，通过卡尔曼滤波算法对轨迹数据进行去噪处理。

这一步是整个流程的核心。

2.4 可视化结果通过matplotlib库对去噪后的轨迹数据进行可视化展示，以便于分析和比较。

三、实例分析为了更直观地理解卡尔曼滤波轨迹去噪的过程，我们选取一个简单的实例进行分析。

假设我们有一段模拟的二维轨迹数据，其中包含一定的噪声。

3.1 数据准备我们需要准备模拟的二维轨迹数据，并添加一定的随机噪声。

3.2 系统参数定义定义系统的状态方程和观测方程，以及初始化系统状态和协方差矩阵等参数。

3.3 实现卡尔曼滤波使用定义好的系统参数和观测数据，通过卡尔曼滤波算法对轨迹数据进行去噪处理。

3.4 可视化结果通过matplotlib库对去噪后的轨迹数据进行可视化展示，以便于分析和比较。

四、总结通过以上实例分析，我们可以清晰地了解卡尔曼滤波轨迹去噪的整个实现过程。

卡尔曼滤波通过系统的动力学模型和观测模型对数据进行融合，能够有效地去除轨迹中的噪声，提高轨迹的精确度。

Kalman滤波中相关噪声问题的探讨在Kalman中存在一类噪声相关的问题，不同噪声之间的关联携带了大量信息，在Kalman滤波问题中不能忽视。

针对该问题，现有的方法大多是针对特定步长的相关噪声，且计算量大，实时性不好。

本文将针对单传感器和多传感器两种系统对观测噪声与过程噪声之间，不同观测噪声之间存在的相关性问题进行简单探讨。

得出一种计算简单，实时性好的解决办法。

标签：Kalman滤波；目标跟踪；相关噪声0 引言Kalman滤波被广泛应用到航空、军事的目标跟踪或导航等各个领域，拥有越来越重要的历史地位。

Kalman滤波用于导航系统中时，经常会遇到大风，雷雨等恶劣天气，对导航控制系统产生不利影响，由于外力风力等对飞机、船体的共同作用，常常导致系统中存在相关噪声。

当系统存在相关噪声时，传统Kalman滤波精度难以满足要求，国内外目前的研究方法大多针对特定步长或单一噪声相关的情况。

本文将简单探讨一种新的适应范围更广的算法。

4 结果分析本文对Kalma滤波中存在的几种形式的相关噪声问题进行了探讨，得出了一种噪声不相关的等价伪量测对状态进行估计更新。

它用于解决单传感器中存在的噪声相关的问题。

经过仿真，验证了算法的可行性，明显减小误差。

由于应用环境和研究系统的复杂化，多传感器系统也越来越成为发展趋势。

从第二部分中我们可以理论分析出，本文探讨的方法可以用于处理单传感器中的一步到多步相关的问题；本方法适用范围广，对于多传感器系统中存在的噪声相关的问题同样适用，只需要在多设出相应的参数，然后求出所设参数，最后再用序贯式滤波对伪量测进行处理。

用于多传感器系统时，本方法还可以有效提减小计算时间，提高实时性。

参考文献：[1]付梦印，邓志红，闫莉萍.Kalman滤波理论及其在导航系统中的应用[M].北京：科学出版社，2010.[2]Charles K.Chui，陈关荣.卡尔曼滤波及其实时应用（第四版）[M].北京：清华大学出版社，2013.。

卡尔曼滤波降噪原理
卡尔曼滤波是一种用于估计系统状态的数学方法，通常用于传感器测量数据的降噪和预测。

其原理基于对系统状态的动态建模和测量数据的统计分析，以提高对系统状态的估计精度。

首先，卡尔曼滤波基于系统的动态模型和测量模型。

动态模型描述了系统状态随时间的演变规律，而测量模型则描述了系统状态与传感器测量之间的关系。

通过这两个模型，卡尔曼滤波能够根据之前的状态估计和当前的测量值来预测系统的下一个状态，并计算状态估计的不确定性。

其次，卡尔曼滤波利用动态模型和测量模型之间的关系，通过对测量数据和状态估计的协方差进行加权平均，从而得到对系统状态的最优估计。

这种加权平均的过程能够有效地降低测量数据中的噪声对状态估计的影响，提高估计的准确性。

此外，卡尔曼滤波还具有递归更新的特性，即在接收到新的测量数据后，可以通过递归地更新状态估计和估计的不确定性，从而不断优化对系统状态的估计。

这种递归更新的过程使得卡尔曼滤波能够及时地响应新的测量数据，并对系统状态进行动态调整，从而
更好地应对系统中的噪声和不确定性。

总的来说，卡尔曼滤波通过动态建模、测量数据分析和递归更新等步骤，能够有效地降噪并预测系统的状态，是一种在实时数据处理和控制系统中广泛应用的滤波方法。

它在航空航天、导航、机器人技术等领域都有着重要的应用价值。

自适应调制噪声尺度的卡尔曼滤波器【自适应调制噪声尺度的卡尔曼滤波器】引言：在信息处理领域中，卡尔曼滤波器是一种经典且广泛应用的推断算法。

它通过对系统状态进行递推估计，结合测量数据来提供最优估计值。

然而，卡尔曼滤波器在实际应用中往往面临着噪声尺度的不确定性问题。

为了更好地适应不同噪声环境，自适应调制噪声尺度的卡尔曼滤波器应运而生。

本文将探讨自适应调制噪声尺度的卡尔曼滤波器原理、应用和优势，并结合个人观点和理解对其进行分析。

一、自适应调制噪声尺度的卡尔曼滤波器概述1. 加权最小二乘估计自适应调制噪声尺度的卡尔曼滤波器使用加权最小二乘估计（WMSE）来优化卡尔曼滤波的性能。

WMSE通过对噪声尺度进行自适应调整，可以在不同的噪声环境下提供更准确的估计结果。

2. 噪声尺度估计卡尔曼滤波器通常假设系统的噪声尺度是已知的。

然而，在实际应用中，由于噪声的复杂性和不确定性，噪声尺度往往是未知的。

自适应调制噪声尺度的卡尔曼滤波器通过估计噪声尺度的变化，能够提高滤波器的性能和鲁棒性。

二、自适应调制噪声尺度的卡尔曼滤波器原理1. 噪声尺度模型自适应调制噪声尺度的卡尔曼滤波器引入了噪声尺度模型，用于描述噪声的变化特性。

常见的噪声尺度模型包括线性模型和非线性模型，通过参数估计方法对噪声尺度进行实时更新。

2. 估计算法自适应调制噪声尺度的卡尔曼滤波器利用加权最小二乘估计算法对噪声尺度进行估计。

该算法通过最小化误差方差，选取最佳的权重，从而实现对噪声尺度的优化。

估计算法可以采用经典的扩展卡尔曼滤波器（EKF）或无迹卡尔曼滤波器（UKF）等。

三、自适应调制噪声尺度的卡尔曼滤波器应用1. 目标跟踪自适应调制噪声尺度的卡尔曼滤波器在目标跟踪中具有广泛的应用。

通过动态调整噪声尺度，可以更好地适应目标运动特性和噪声环境的变化，提高跟踪的准确性和鲁棒性。

2. 信号处理在信号处理领域，自适应调制噪声尺度的卡尔曼滤波器可以用于抑制噪声、提取信号和改善信号质量。