【全国重点校】高二上学期期末考试数学(理)试卷 Word版含答案 (2)

数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.双曲线221168x y -=的虚轴长是（ ）A ．8B ．C ．．2 2.在公差为d 的等差数列{}n a 中，“1d >”是“是递增数列”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3.为了了解800名高三学生是否喜欢背诵诗词，从中抽取一个容量为20的样本，若采用系统抽样，则分段的间隔k 为（ ）A ．50B ．60C ．30D ．404.已知椭圆22:1169x y C +=的左、右焦点分别为12F F 、，过2F 的直线交椭圆C 于P Q 、两点，若1F P +110FQ =，则PQ 等于（ ） A ．8 B ．6 C.4 D ．25.从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如下，则这100个成绩的平均数为（ ）A ．3B ．2.5 C.3.5 D ．2.756.某单位有员工120人，其中女员工有72人，为做某项调查，拟采用分层抽样法抽取容量为15的样本，则男员工应选取的人数是（ ） A ．5 B ．6 C.7 D ．87.已知椭圆()222:10525x y C b b +=<<的长轴长、短轴长、焦距成等差数列，则该椭圆的方程是（ ）A ．221254x y +=B ．221259x y += C.2212516x y += D ．22125x y +=8.已知点()00,A x y 是抛物线()220y px p =>上一点，且它在第一象限内，焦点为,F O 坐标原点，若32pAF =，AO = ） A ．B ．3x =- C.2x =- D ．1x =-9.某班m 名学生在一次考试中数学成绩的频率分布直方图如图，若在这m 名学生中，数学成绩不低于100分的人数为33，则等于（ ）A ．45B ．48 C.50 D ．5510.已知定点()3,0M -，()2,0N ，如果动点P 满足2PM PN =，则点P 的轨迹所包围的图形面积等于（ ） A ．1009π B ．1429π C.103πD ．9π11.已知命题p ：直线20x y +=与直线20x y +-=之间的距离不大于1，命题q ：椭圆2222754x y +=与双曲线22916144x y -=有相同的焦点，则下列命题为真命题的是（ ）A ．()p q ∧⌝B ．()p q ⌝∧ C.()()p q ⌝∧⌝ D ．p q ∧12.如图，12,F F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线分别交于点,A B ，且(A ，若2ABF ∆为等边三角形，则12BF F ∆的面积为（ ）A ．1 BD ．2第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知0m >，0n >，向量(),1,3a m =-与()1,,2b n =垂直，则mn 的最大值为 ．14.若[]x 表示不超过x 的最大整数，执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为 ．15.在区间2,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上任取一个数x ，则函数()3sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的值不小于0的概率为 ．16.已知点A 是抛物线()2:20C x px p =>上一点，O 为坐标原点，若,A B 是以点为圆心，OA 的长为半径的圆与抛物线C 的两个公共点，且ABO ∆为等边三角形，则p 的值是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3x ty =+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρθ=.（1）写出直线的普通方程及圆C 的直角坐标方程； （2）点P 是直线上的点，求点的坐标，使到圆心的距离最小.18. （本小题满分12分）已知p ：方程()2220x mx m +++=有两个不等的正根；q ：方程221321x ym m-=+-表示焦点在轴上的双曲线.（1）若为真命题，求实数m 的取值范围； （2）若“或”为真，“且”为假，求实数的取值范围.19. （本小题满分12分）某公司经营一批进价为每件4百元的商品，在市场调查时发现，此商品的销售单价x （百元）与日销售量（件）之间有如下关系：（1）求y 关于x 的回归直线方程；（2）借助回归直线方程请你预测，销售单价为多少百元（精确到个位数）时，日利润最大？相关公式：()()()1122211n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb x x xnx====---==--∑∑∑∑，a y bx =-.20. （本小题满分12分）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名同学的投篮命中次数，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中用x 表示.（1）若乙组同学投篮命中次数的平均数比甲组同学的平均数少1，求x 及乙组同学投篮命中次数的方差；（2）在（1）的条件下，分别从甲、乙两组投篮命中次数低于10次的同学中，各随机选取一名，求这两名同学的投篮命中次数之和为16的概率. 21. （本小题满分12分）如图，在三棱锥A BCD -中，AD ⊥平面BCD ，CB CD =，AD DB =，,P Q 分别在线段,AB AC 上，3AP PB =，2AQ QC =，M 是BD 的中点.（1）证明：//DQ 平面CPM ； （2）若二面角C AB D --的大小为3π，求tan BDC ∠.22. （本小题满分12分）已知()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F 、，1225F F =，点P 在椭圆上，21tan 2PF F ∠=，且的面积为4.（1）求椭圆的方程；（2）点M 是椭圆上任意一点，12A A 、分别是椭圆的左、右顶点，直线12MA MA ，与直线x =分别交于,E F 两点，试证：以EF 为直径的圆交x 轴于定点，并求该定点的坐标.试卷答案一、选择题1.B 因为28b =，所以虚轴长2b =.2.A 若1d >，则n N *∀∈，110n n a a d +-=>>，所以，{}n a 是递增数列；若{}n a 是递增数列，则n N *∀∈，10n n a a d +-=>，推不出1d >3.D 由于8002040÷=，即分段的间隔40k =.4.B 因为直线PQ 过椭圆的右焦点2F ，由椭圆的定义，在1F PQ ∆中，11416F P FQ PQ a ++==.又1110F P FQ +=，所以6PQ =. 5.A 设这100个成绩的平均数记为x ，则120210*********3100x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==.6.B 男员工应抽取的人数为12072156120-⨯=. 7.C 设焦距为2c ，则有222552b c c b ⎧-=⎨+=⎩，解得216b =，所以椭圆22:12516x y C +=.8.D 因为0322p px +=，所以0x p =，0y =.又)2212p +=，所以2p =，准线方程为1x =-.9.D ()10.0150.025100.6P =-+⨯=，由0.633m =，得55m =.10.A 设(),P x y ，则由2PM PN =得()()2222342x y x y ⎡⎤++=-+⎣⎦，化简得223322x y x +-70+=，即221110039x y ⎛⎫-+=⎪⎝⎭，所以所求图形的面积1009S π=. 11.B 对于命题p ，将直线l 平移到与椭圆相切，设这条平行线的方程为20x y m ++=，联立方程组224120x y x y m ⎧+=⎨++=⎩，消去y 得222210x mx m ++-=.由0∆=得，所以m =，椭圆上的点到直线l最近距离为直线20x y +-=与l 的距离d =1>，所以命题p 为假命题，于是p ⌝为真命题.对于命题q ，椭圆2222754x y +=与双曲线22916144x y -=有相同的焦点()5,0±，故q 为真命题.从而()p q ⌝∧为真命题. 12.由已知212BF BF a -=，122AF AF a -=，又2ABF ∆为等边三角形，所以121AF AF BF -=2a =，所以24BF =.在12AF F ∆中，16AF a =，24AF a =，122F F c =，1260F AF ∠=︒，由余弦定理得，所以227c a =，22226b c a a =-=，所以双曲线方程为222216x y a a-=，又()1,3A 在双曲线上，所以，解得212a =，即22a =.所以122124sin1202BF F S a a ∆=⨯⨯⨯︒==. 二、填空题13.9 因为，所以，又，所以.14.7 第一次循环，0S =，2n =；第二次循环，1S =，4n =；第三次循环，3S =，6n =；第四次循环，5S =，8n =；第五次循环，7S =.因为8>6，所以输出S 的值为7. 15.611 当2,43x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，272,636x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦.当[]20,6x ππ-∈，即7,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时()0f x ≥，则所求概率为76121221134ππππ-=⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 16.56如图，因为MA OA =，所以，点A 在线段OM 的中垂线上，又()0,10M ，所以可设(),5A x . 由tan 305x︒=，得x =，所以A ⎫⎪⎭的坐标代入方程22x px =，得56p =.三、解答题17.解：（1）由3,.x t y =+⎧⎪⎨=⎪⎩消去参数t ，得直线l0y --=，由ρθ=得2sin ρθ=，22x y +=，即圆C的直角坐标方程为(223x y +-=.（2）()3P t +，(C ，PC ==，0t =∴时PC 最小，此时()3,0P .18.解：（1）由已知方程221321x y m m -=+-表示焦点在y 轴上的双曲线，则()244202020m m m m ⎧∆=-+>⎪->⎨⎪+>⎩解得21m -<<-，即:21p m -<<-. 因p 或q 为真，所以p q 、至少有一个为真. 又且为假，所以至少有一个为假.因此，两命题应一真一假，当为真，为假时，213m m -<<-⎧⎨≥-⎩，解得21m -<<-；当为假，为真时，213m m m ≤≥-⎧⎨<-⎩或，解得.综上，21m -<<-或.19.解：（1）因为7x =，1089616.85y ++++==，所以，122121857 6.82255549ni ii ni i x y nx yb x nx==--⨯⨯===--⨯-∑∑，()6.82720.8a y bx =-=--⨯=，于是得到y 关于x 的回归直线方程220.8y x =-+.（2）销售价为时的利润为()()24220.8228.883.2x x x x ω=--+=-+-，当28.8722x =≈⨯时，日利润最大. 20.（1）解：依题意得：82910789112155x +⨯+++++⨯=-，解得6x =，41=5x 乙，22222141414141682910 1.7655555s ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-⨯+-+-=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦. （2）记甲组投篮命中次数低于10次的同学为123,,A A A ，他们的命中次数分别为9，8，7. 乙组投篮命中次数低于10次的同学为1234,,,B B B B ，他们的命中次数分别为6，8，8，9. 依题意，不同的选取方法有：()()()()()()()()()()()()111213142122232431323334,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B 共12种.设“这两名同学的投篮命中次数之和为16”为事件，则中恰含有()()()222334,,,,,A B A B A B 共3种.()31124P C ==∴. 21.（1）证明：取AB 的中点E ，连接ED EQ 、，则2AE AQEP QC==，所以//EQ PC . 又EQ ⊄平面CPM ，所以//EQ 平面CPM . 又PM 是BDE ∆的中位线，所以//DE PM ， 从而//DE 平面CPM . 又DEEQ E =，所以平面//DEQ 平面CPM .因为DQ ⊂平面DEQ ，所以//DQ 平面.（2）解：法1：由AD ⊥平面BCD 知，AD CM ⊥， 由BC CD =，BM MD =，知BD CM ⊥， 故CM ⊥平面ABD .由（1）知//DE PM ，面DE AB ⊥，故PM AB ⊥. 所以CPM ∠是二面角的平面角，即3CPM π∠=.设PM a =，则CM =，又易知在Rt ABD ∆中，4B π∠=，可知DM BM ==，在Rt CMD ∆中，tan MC MDC MD ∠===法2：以M 为坐标原点，,,MC MD ME 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标.设MC a =，MD b =，则(),0,0C a ，()0,,0B b -，()0,,2A b b ，则，()0,2,2BA b b =，设()1,,n x y z =是平面ABC 的一个法向量，则110,0.n BC n BA ⎧=⎪⎨=⎪⎩即0,220.ax by by bz +=⎧⎨+=⎩取()1,,n b a a =-， 不难得到平面ABD 的一个法向量为()21,0,0n =，所以121cos ,2nn <>==，所以a b =， 在中，6tan 2MC a MDC MD b ∠===.22.解：（1）因为21tan 2PF F ∠=，所以21sin PF F ∠=，21cos PF F ∠=. 由题意得((2222122125542522PF PF PF PF ⎧⨯⨯=⎪⎪⎨⎪=+-⨯⎪⎩，解得1242PF PF ⎧=⎪⎨=⎪⎩. 从而1224263a PF PF a =+=+=⇒=，结合2c =，得24b =，故椭圆的方程为22194x y +=. （2）由（1）得()13,0A -，()23,0A ，设()00,M x y ，则直线1MA 的方程为()0033y y x x =++，它与直线x =的交点的坐标为0033y E x ⎫⎫+⎪⎪⎪⎪+⎭⎭， 直线2MA 的方程为()0033y y x x =--，它与直线的交点的坐标为003535,3232y F x ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎭， 再设以EF 为直径的圆交x 轴于点(),0Q m ，则QE QF ⊥，从而1QE QF k k =-，即033y x ⎫+00353321352y x m ⎛⎫- -⎝⎭=--，即，解得3512m =±. 故以为直径的圆交x 轴于定点，该定点的坐标为351,02⎛⎫+ ⎪ ⎪⎭或351,02⎛⎫- ⎪ ⎪⎭.。

高二（上）数学期末统测试题（理科）考生注意：1. 本试卷分第I 卷（选择题）和第#卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.2. 请将各题答案填写在答题卡上.3. 本试卷主要考试内容:人教A 版必修1,必修3占15%,必修5占30%,选修2—1占55%.第"卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的.1.命题“若，则I a | = | # | ”的逆命题为 A .若 a 2 /b 2，则 \ a\ #\ b\ B.若 a 2##，则 I a " # " b" 0 若 I a | = | b |，则 a 2/b 21 若 I a \ # \ b \，则 a 2#b 22,若集合 \ — 1V 2—%%1%，&={0,1,2,3%,则 A&B /A . {1,2%B . {2,3%0 {0,1%1 {1,2,3%3, 某大学随机抽取20个班,调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据 T ----------------1 7 3的茎叶图如图所示，则这20个班有网购经历的人数的众数为2 7 4 4 4 3。

3 7 5 5 5 5 2 0A. 24B. 37 4 8 8 4 3 00 481 354, 已知a >3,则a —33a—3%最小值为5, 在三棱柱 ABC —A 1B 1C 1 中,若AB =!,A'=",A（/C ,则A. !十"一c B . ―!―b +c C , —a +b —c 1!—b —c6, 执行如图的程序框图.若输入A = 3,则输出的Z =A3 B4 05 167, 已知函数y （%） / log2（%+1） + 3%+*的零点在区间（0,1］上，则*的取 值范围为A , （ — 7, —4）*（0,十7） B, （ — 4,0）A . § B. 102140（— 7, —4]*（0,十7） 1 [ — 4,0）9.已知点F是抛物线+ =的焦点，点$(2,+#)&(!，+!)分别是抛物线上位于第一、四象限的点，若$-1/10测/ABF的面积为A. 14B. 30C. 42D. 9010.正三棱锥A'PBC的侧棱两两垂直,0,E分别为棱PA,BC的中点，则异面直线PC与DE 所成角的余弦值为A槡3 只槡槡p /槡p.槡(.33.11.在直角坐标系％Q y中,-是椭圆C：号十#!=1 (〉#〉0)的左焦点,A, B分别为左、右顶点, 过点-作％轴的垂线交椭圆C P P 3两点,连接PB交+轴于点E,连接AE交PQ于点4，#4是线段P-的中点,则椭圆C的离心率为; ) 10 4 12A.12.对于给定的正整数5，设集合X={1,2,3，…,n}, AOX,且A#1 ,记I(.A)为集合A中的最大元素,当A取遍X的所有非空子集时,对应的所有K.A)的和记为S(n),则8(100)的值为A. 100X2100+1B. 100X299+1C 99X2" + 1 D. 99 X2100+1第#卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.设命题.：对于任意的［0,2$) , | si; % |%1 ,则3 .为▲.14.一袋子中装有100个大小相同的红球、白球和黑球,其中45个红球,从中摸出一个球,摸出白球的概率为0. 23，则摸出黑球的概率为15.在/ABC中,内角A, B, C所对的边分别为",b, c.若c =4槡b, c os B /槡槡cos C?a /槡3 ,则S/ABC / ▲.16.已知双曲线C：%2-b2/ 1(a>0 , b〉0)的左、右焦点分别为-i, -2 ,过-2的直线交C的右支ab于A , B两点,A-,丄AB, 4 "A- | =3 | AB | ,则C的离心率为▲,三、解答题:本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(1。

2021-2022年高二上学期期末考试数学（理）试题Word版含答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、双曲线的渐近线的方程为（）A． B． C． D．2、下列命题正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则3、下列命题中，假命题是（）A． B．C． D．4、不等式的解集是（）A．或 B．C．或 D．R5、等差数列的前n项和是，若，则的值为（）A．55 B．65 C．60 D．706、如图，空间四边形中，，点在上，且是的中点，则等于（）A． B．C． D．7、在中，若，那么等于（）A． B． C． D．8、一元二次方程有一个正跟和一个负根的充分不必要条件是（）A． B． C． D．9、已知向量(22,),(2,3)m y x n x y y =-=+，且的夹角为钝角，则在平面上，点所在的区域是（ ） 10、直三棱柱中，190,BAC AB AA AC ∠===，则异面直线与所成的角为（ ） A ． B ． C ． D ．11、某同学要做一个三角形，要求三条高的程度分别为，则（ ） A ．不能做出满足要求的三角形 B ．能作出一个锐角三角形 C ．能作出一个直角三角形 D ．能作出一个钝角三角形12、已知点00(1,0),(1,0),(,)A B P x y -是直线上任意一点，以为焦点的椭圆过，记椭圆离心率关于的函数为，那么下列结论正确的是（ ）A ．与一一对应B ．函数无最小值，有最大值C ．函数是增函数D ．函数有最小值，无最大值第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卷的横线上。

. 13、已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为轴，且过点，则抛物线的方程为 14、如图，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座 灯塔P 的南偏西距灯塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向N 处，则该船航行的速度为 海里/小时15、设定义如下面数表，满足，且对任意自然数均有，则的值为1 2 3 4 5 14135216、已知满足约束条件020232x y y x ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪-≥⎩，如果是取得最大值时的最优解，则实数的取值范围是三、解答题：本大题共6小题，满分74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17、（本小题满分12分）已知命题方程所表示的图形是焦点在轴上的双曲线；命题方程无实根，又为真，为真，求实数的取值范围。

吉林油田高级中学第一学期期末考试高二数学试卷(理科)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设命题:0p x ∀>，||x x =，则p ⌝为( )A ．0x ∀>，||x x ≠B ．00x ∃≤，00||x x =C ．0x ∀≤，||x x = D ．00x ∃>，00||x x ≠ 2．已知A (－2,0,3)，B (－1,2,1)是空间直角坐标系中的两点，则|AB |=( ) A ．3 B 3 C ．9 D ．33．已知双曲线222:1(0)x C y a a-=>的一个焦点为(2,0)，则C 的离心率为( )A ．32 B ．2 C ．32 D ．2334．将正弦曲线sin y x =作如下变换:23X xY y =⎧⎨=⎩，得到的曲线的方程为( )A ．2sin3X Y = B ．2sin 31X Y = C ．X Y 2sin 31= D ．X Y 2sin 3=5．已知向量(2,4,)AB x =，平面α的一个法向量(1,,3)n y =，若α⊥，则( ) A ．3420x y ++= B ．4320x y ++= C ．6x =，2y = D ．2x =，6y = 6．已知双曲线C:x 216−y 248=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为C 上一点，F 1Q ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =QP ⃑⃑⃑⃑⃑ ，O 为坐标原点，若|PF 1|=10，则|OQ|=( ) A ．10 B ．9 C ．1 D ．1或97．已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中(正四棱柱是指底面为正方形，侧棱和底面垂直的四棱柱)，AA 1＝2AB ，E 是AA 1的中点，则异面直线BE 与CD 1所成角的余弦值为( ) A ．35 B ．－31010 C ．1010 D ．310108．设F 为抛物线24y x =的焦点，该抛物线上三点A 、B 、C 的坐标分别为11(,)x y 、22(,)x y 、33(,)x y .若||||||9FA FB FC ++=，则123x x x ++=( )A ．9B ．6C ．4D ．3 9．“x 2−x ≤0”是“x ≤1”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．若椭圆2213616x y +=上一点P 与椭圆的两个焦点F 1、F 2的连线互相垂直，则△PF 1F 2的面积为( )A ．36B ．16C ．20D ．2411．在三棱锥P －ABC 中，P A =AC =BC ，P A ⊥平面ABC ，90ACB ∠=︒，O 为PB 的中点，则直线CO 与平面P AC 所成角的余弦值为( )A B C D ．1212．抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，AB 是经过抛物线焦点F 的弦，M 是线段AB 的中点，过A ，B ，M 作抛物线的准线l 的垂线AC ，BD ，MN ，垂足分别是C ，D ，N ，其中MN 交抛物线于点Q .则下列说法中不正确的是( )A ．1||||2MN AB = B ．FN AB ⊥ C ．Q 是线段MN 的一个三等分点 D ．QFM QMF ∠=∠ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知F 为椭圆C ：221164x y +=的左焦点，过F 作x 轴的垂线交C 于A 、B 两点，则|AB |=____． 14．给下列三个结论：①命题“若a >b ，则a 2>b 2”的逆否命题为假；②命题“若2am b <2m ，则a b <”的逆命题为真；③命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”；④命题“若直线a //直线b ，直线b //直线c ，则直线a //直线c”是真命题.其中正确的结论序号是______（填上所有正确结论的序号）．15．过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)两点，且x 1+x 2=5，则这样的直线有______条．16．平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为1的正方形，AA 1=2，11120A AD A AB ∠=∠=︒，则对角线BD 1的长度为__________.三、解答题：本大题共6道题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．己知圆C 的圆心的坐标为(4,0),C -半径为4，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y t x 22221(t 为参数) (1)求圆C 的极坐标方程，直线l 的普通方程； (2)若圆C 和直线l 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.18．(本小题满分12分)求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程：(1)以直线x y 3±=为渐近线，焦点是(－4，0)，(4，0)的双曲线；(2)离心率为35，短轴长为8的椭圆.19．(本小题满分12分)已知命题:p x R ∀∈，230ax x -+>，命题:[1,2]q x ∃∈，x a 21≥. (1)若p 为真命题，求a 的取值范围；(2)若p q ∨为真命题，且p q ∧为假命题，求a 的取值范围.20．(本小题满分12分)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点E 、F 分别为棱AB 、AA 1的中点. (1)求证：A 1C ⊥平面BC 1D ；(2)求：EF 与平面BC 1D 所成角的正弦值.21．(本小题满分12分)已知动圆C 过定点F (2，0)，且与直线x =－2相切，圆心C 的轨迹为E ， (1)求圆心C 的轨迹E 的方程；(2)若直线l 交E 于P ，Q 两点，且线段PQ 的中点坐标为(1，1)，求直线l 的方程．22．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，PD ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点. (1)证明：P A //平面BDE ；(2)若PD =DC ，求二面角B －DE －C 的余弦值.四、选做题：23．(本小题满分10分)已知椭圆C ：22221x y a b+=(0a b >>)的左右焦点分别为)0,3(1-F 、)0,3(2F ，经过F 2的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，且△F 1AB 的周长为8． (1)则椭圆C 的方程为__________；(2)斜率为2的直线m 与椭圆C 交于P 、Q 两点，O 为坐标原点，且OP ⊥OQ ，则直线m 的方程为_________；(3)若在x 轴上存在一点E ，使得过点E 的任一直线与椭圆两个交点M 、N ，都有2211||||EM EN +为定值，则此定值为___________.高二数学试卷(理科)参考答案一、选择题：DADAC BDBAB BC二、填空题：13. 2；14. ①④；15. 2；16. 2 三、解答题17．【解】（1）圆C 的圆心的坐标为()4,0,C-半径为4，得到圆的一般方程为：()22416,x y ++=化为极坐标得到8cos 0ρθ+=.直线l 的参数方程为21:2x t l y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得到直线的斜率为1，过点（1，0），由点斜式得到方程为：1y x =-.（2）圆心为（-4，0），圆心到直线的距离为d=5 2.22=半径为4，由勾股定理得到弦长为2252414.2⎛⎫-= ⎪⎝⎭18．【答案】（1）x 24－y 212＝1；（2）2212516x y +=或2212516y x +=.19．【详解】(1)当0a =时，30x -+>不恒成立，不符合题意；当0a ≠时，01120a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得112a >. 综上所述：112a >. (2)[]1,2x ∃∈，21xa ⋅≥，则14a ≥. 因为p q ∨为真命题，且q q ∧为假命题，所以p 真q 假或p 假q 真，当p 真q 假，有11214a a ⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，即11124a <<；当p 假q 真，有11214a a ⎧≤⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，则a 无解.综上所述，11124a <<. 20．解：建立坐标系如图，则()2,0,0A 、()2,2,0B ，()0,2,0C ，()12,0,2A ，()12,2,2B ，)2,2,0(1C ，()10,0,2D ，()2,1,0E ，F (2,0,1)，)1,1,0(-=EF ，)0,2,2(=DB ，)2,2,0(1=DC ,()12,2,2A C =--．(1)∵01=•DB C A ，011=•DC C A ， ∴D DC DB DC C A DB C A =⊥⊥1111,, ∴A 1C ⊥平面BC 1D(2)由(1)知，1A C 为平面BC 1D 的法向量， 设EF与平面BC 1D所成的角为θ．∴sin θ=|||||11C A EF =3621．解：（1）由题设知，点C 到点F 的距离等于它到直线x =-2的距离，所以点C 的轨迹是以F 为焦点x =-2为基准线的抛物线，所以所求E 的轨迹方程为y 2=8x ． （2）由题意已知，直线l 的斜率显然存在，设直线l 的斜率为k ，11P x y （，）， 22Q x y （，），则有22112288y x y x ==，，两式作差得2212128y y x x （）即得128k y y =+，因为线段PQ 的中点的坐标为（1，1），所以k =4， 则直线l 的方程为y -1=4（x -1），即4x-y -3=0，22．【详解】∵四边形ABCD 是正方形，∴AD DC =. ∵PD ⊥平面ABCD .建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -.设PD DC a ==，则()0,0,0D、(),0,0A a 、()0,0,P a 、(),,0B a a 、0,,22a aE ⎛⎫⎪⎝⎭、()0,,0C a .∴(),0,AP a a =-、(),,0DB a a =、0,,22a a DE ⎛⎫= ⎪⎝⎭、()0,,0DC a =. （1）设平面BDE 的一个法向量为()1111,,n x y z =，则有110,0,n DB n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即11110,022ax ay a ay z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩.∴1111,1,1x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴()11,1,1n =-.100AP n a a ⋅=-++=，∴1AP n ⊥， 又∵AP ⊄平面BDE ，∴AP 平面BDE .（2）设平面CDE 的一个法向量为()21,0,0n =.12,3cosn n ==⨯∴二面角B DE C --3选做题：23．【答案】（1）2214x y +=（2）220x y -±=（3）5【详解】（1）由已知，1122c ab a ==，又222a b c =+，解得2,1,a b c === ∴椭圆的方程为2214x y +=。

高二上数学期末考试题（理）答案1～5 DABBC 6～10 BDCAC 11．36π 12．3 131420y ±+= 1516解答：要使方程表示圆，则22244(3)4(14)4(169)0m m m ++--+>．整理得27610m m --<，解得117m -<<．设圆心的坐标为(,)x y ，则2341x m y m =+⎧⎨=-⎩， 消去参数m 可得，24(3)1y x =--，又1201,477m x -<<∴<<． 故圆心的轨迹方程为2204(3)1(4)7y x x =--<<，即22042435(4)7y x x x =-+<<． 17解答：连结AC BD 、交于O 点，连结MO ． 由MOPA 知，OMB ∠即为PA 与BM 所成的角．P ABCD -是正四棱锥，PO ∴⊥平面ABCD ．又,,AC BD PA BD MO BD ⊥∴⊥⊥ Rt OMB ∆中，11,1,122OM OB OM PA BO BD ⊥====，45OMB ∴∠= 即异面直线PA 与BM 所成角的为45． 18解答：（1）由已知,AB CD DE CD ⊥⊥可得CD ⊥平面ABD ．又ABD ∆中，,AE BE DE DE AB ==⊥ 知,AD BD AD BD =⊥，又AD 为AC 在平面ABD 内的射影，AC BD ∴⊥（2）连结CE ，作DH CE ⊥于H ，连结BH ． 由,AB DE AB CD ⊥⊥知，AB ⊥平面CDE ，所以平面ABC ⊥平面CDE ，又DH CE ⊥，DH ∴⊥平面ABC 故BD 与平面ABC 所成的角为DBH ∠．Rt CAD ∆≌,Rt CBD ∆AC BC ∴=，又60,ACB ABC∠=∴∆为等边三角形．记AB a =，则1,,2CE DE aBD ===．在Rt CDE ∆中，CD ==，CD DE DH CE ⋅∴== A BCEDＨ故在Rt BDH ∆中，sin DH DBH BD ∠==，故BD 与平面ABC所成的角为 19解答：（1）由题意知，椭圆焦点为12(F F 、，顶点12(2,0)(2,0)A A -、． 所以双曲线2C中，2,1a c b ===，故双曲线2C 的方程为2213x y -=．（2）联立2233y kx x y ⎧=⎪⎨-=⎪⎩22(13)90k x ---=．由题意知，2221307236(13)0k k k ⎧-≠⎪⎨∆=+->⎪⎩得2211,3k k <≠ ① 记1122(,),(,)A x y B x y，则12122913x x x x k-+=⋅=-．212121212((()2y y kx kx k x x x x ∴=⋅=++，由题2OA OB ⋅>，知22212121212229(1)12(1)()2201313k k x x y y k x x x x k k-++=++++>⇒+>--， 整理得2221(3)(31)0(,3)3k k k --<⇒∈ ②由①②知，21(,1)3k ∈，故k的取值范围是3(1,(,1)3-． 20解答：（1）由PA ⊥底面ABCD 知，PA BC ⊥，又,BC AB BC ⊥∴⊥平面PAB ．故PC 与平面PBA 所成的角的正弦为sin BC BPCPC ∠==， PCRt PAC ∴=∴∆中PA =，即2PA =（2）由M N 、分别为AD BC 、的中点，MN AD ∴⊥，又PA MN ⊥，所以MN ⊥平面PAD ,MN MP MN MQ ∴⊥⊥，故PMQ ∠为二面角P MN Q --的平面角．由MQ PD⊥，在Rt PMQ ∆中，PM=sin MQ MD ADP =⋅∠=， 故cos MQ PMQ PM ∠==P MN Q --的大小为10． （3）作MH NQ ⊥于H 点，由,MN PD MQ PD ⊥⊥，所以PD ⊥平面MNQ∴平面MNQ ⊥平面PNQ又MH NQ ⊥，M H ∴⊥平面PNQ 点M 到平面PNQ 的距离即为M H ． 在Rt Q ∆MN 中，2,MN MQ NQ === AB CDMQNHP23MN MQ MH NQ ⋅==，即点M 到平面PNQ 的距离为23． 21解答：（1）设y ===又由0y ≥，可得动点(P x 轨迹C 的方程为：24(0)y ax y =≥．（2）由题得28(0)y x y =≥，设直线:l x my c =+ , 依题意00m c ><、，则(,0)T c ． S T P Q 、、、都在直线l 上，则|||||0||0|11||()|||||0||0|||||P Q P Q ST ST c c c SP SQ x x x x --+=+=+--． 由题，0,0,0P Q c x x <>>，∴()||||11()||||P Q P Q P Qc x x ST ST c SP SQ x x x x -++=-⋅+=⋅ 由28y x x my c⎧=⎨=+⎩ 消去y 得，22(28)x c m x c -++22222228432(2)02800P Q P Q c m c m m c x x c m x x c 2⎧∆=(+)-=+>⎪⎪∴+=+>⎨⎪⋅=>⎪⎩210,2c m c <∴>-代入2228,P Q P Q x x c m x x c +=+⋅=得，2||||82||||ST ST m SP SQ c+=--又21,02m c c >-<知，212m c <-，所以22884,22m m c c ->--> 即||||||||ST ST SP SQ +的取值范围是(2,)+∞． （3）由1()d P ==2()d P x a ==-， 设111222(,),(,)A x y A x y 1a =-2a =-又2211224,4y ax y ax ==1a =-2a -，a -在[)0,x ∈+∞有两个不等的实数解．平方整理有，223(1)(24)0a x a a x a --++=在[)0,x ∈+∞有两个不等的实数解．第21题（2）图223212312(24)4(1)0240101a a a a a a x x a ax x a ⎧⎪∆=+-->⎪+⎪∴+=>⎨-⎪⎪⋅=≥⎪-⎩又0a >，得1a >． 故实数a 的取值范围是(1,)+∞．。

2021年高二上学期期末考试数学（理）试卷 Word版含答案一、选择题（每小题5分，共40分）1、设为虚数单位，则A.1B.C.D.2、已知等差数列，又为等比数列，求该等差数列的公差A. B.0 C.2 D.13、已知条件，条件，则是的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4、已知点在不等式组表示的平面区域内，则的最大值为A.6B.4C.2D.15、已知双曲线的一条渐近线方程为，它的一个焦点坐标为，求双曲线的方程A. B.C. D.6、某三棱锥的正视图和俯视图如图所示，其左视图的面积为A.6B.C.3D.7、抛物线上一动点到直线距离的最小值为A. B. C. D.8、如图，在正方体中，分别为棱上的点，则下列判断中正确的个数有（）①平面②在侧面上的正投影是面积为定值的三角形③在平面内总存在与平面平行的直线④平面内与平面所成的二面角（锐角）的大小与点的位置有关，而与点的位置无关A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题（每小题5分，共30分）9、已知命题，则为：10、定积分11、在中，若，则边12、已知圆的圆心位于第二象限且在直线上，若圆与两个坐标轴都相切，则圆的标准方程为13、若抛物线的焦点与双曲线的焦点重合，则14、对于,将表示为，当时，，当时，或.记为上述表示中为0的个数（例如：,,所以）,则（1）,（2）(1)(2)(2048)__________+++=I I I三、解答题（共80分）15、在数列中，，求的值，并由此猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明16、已知函数（1）求函数在处的切线方程（2）写出函数的单调增区间和最值17、在四棱锥中，，，,，平面平面（1）求证：平面（2）求二面角的余弦值（3）设点为线段上一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值18、已知函数（1）当时，求函数的单调区间（2）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围19、已知点，为一个动点，且直线、的斜率之积为（1）求动点的轨迹的方程（2）设,过点的直线与交于两点，的面积记为，对满足条件的任意直线，不等式恒成立，求的最小值20、已知数列满足，其中（1）若，求数列的通项公式（2）若，且①记，求证：数列为等差数列②若数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次，求首项应满足的条件民大附中xx高二理科第一学期期末考试答案（理科）一、选择题CDAA CCAB二、填空题9. 10.11.1 12.13. 14. 2，9228注：14题第二问为差比数列求和，,,,……所以1019+++=⋅+⋅+⋅++⋅+=(1)(2)(2048)021222102119228I I I-三、解答题15.；猜想；数学归纳法易证；16.（1）切线方程：（2）单调增区间，单调减区间，最小值为1，无最大值17.（1）因为,所以，又因为平面平面，为其交线，所以平面，又因为，所以两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，B C D P,(4,0,0),(2,22,0),(0,22,0),(0,0,4)所以,所以,从而又因为平面平面所以又因为与相交所以平面（2）（3）18.（1）的定义域为，若，，所以在上单调递减，在上单调递增（2）①若，在上单调增加；②若，在上单调增加，在上单调减少；③若，在上单调增加，在上单调减少；综上，的取值范围为19. （1）（2）轨迹方程：设，①若直线斜率不存在，则,,，此时②若直线斜率不存在，设直线，并不妨假，此时联立直线与轨迹的方程可知：，由于直线恒过点，且在椭圆内部，所以恒成立；由韦达定理可得，；（*）的面积；12121212tan tan )22tan tan()()1tan tan )1(2)(2)y y MQP NQP x x MQN MQP NQP y y MQP NQP x x -+∠+∠--∠=∠+∠==--∠⋅∠--- 化简得1222212123tan (2)()(1)(4)kx kx MQN k x x k x x k -∠=-+++++ 于是2221212(2)()(1)(4)tan 2S k x x k x x k MQN λ-+++++≥=∠，将（*）式代入得，所以 综上可知，的最大值为20.（1）由累加法可知（2）①123456789111,2,2,1,,,1,2,222b b b b b b b b b =========， 可知：61646263656611,2,2k k k k k k b b b b b b ++++++======，其中 51656166(1)064636261661()7n n n n n i n i i n n n n n n c c a a a a b b b b b b ++-++-=++++--=-=-=+++++=∑，其中 所以，所以为等差数列②由①可知，，，，，要使得中任何一项不重复出现无数次，只要不为常数，不为常数……，不为常数，即39948 9C0C 鰌39502 9A4E 驎RU 22897 5971 奱YuC21642 548A 咊30849 7881 碁,27446 6B36 欶Yi。

滁州九校—第一学期高二期末考试数学试卷（理科）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.高二（2）班男生36人，女生18人，现用分层抽样方法从中抽出n 人，若抽出的男生人数为12，则n 等于（ ）A ．16B ．18C ． 20D ．22 2. 命题“,ln x R x x ∀∈>”的否定为（ ）A ．,ln x R x x ∀∈≤B ．,ln x R x x ∀∈<C ．000,ln x R x x ∃∈≤D ．000,ln x R x x ∃∈>3. 双曲线221124x y -=的焦点到渐近线的距离为（ ）A B C ． 2 D ． 3 4.下列函数是偶函数的是 （ ）A ．cos y x x =+B ．sin 2y x x =+ C. 2cos y x x =+ D ．2sin 2y x x =+5. 若正方形ABCD 的边长为1，则在正方形ABCD 内任取一点，该点到点A 的距离小于1的概率为（ ） A ．4π B ．6π C. 1π D ．2π6. “函数()()2311f x ax a x =--+在区间[)1,+∞上是增函数”是“01a ≤≤”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C.充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件7.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为 （ ）A ． 2B ． 3 C. 4 D ．58. 设命题2:,20p x R x x ∃∈-+=；命题:q 若1m >，则方程22121x y m m+=-表示焦点在x 轴上的椭圆，那么，下列命题为真命题的是（ ）A ．()p q ∨⌝B ．()()p q ⌝∨⌝ C. p q ∧ D ．()p q ∧⌝ 9. 将曲线cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向左平移6π个单位后，得曲线()y f x =，则函数()f x 的单调增区间为（ ） A ．(),33k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B ．(),66k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦C. ()2,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ D ．()5,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦10. 已知长方体11111,2,3,ABCD A B C D AD AA AB E -===是线段AB 上一点，且1,3AE AB F =是0中点，则1D C 与平面1D EF 所成的角的正弦值为（ ）A ．．411.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()3cos 3cos cos b A a C a B -=+，则sin A =（ ）A B ．1312. 已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左顶点为M ，右焦点为F ，过左顶点且斜率为1的直线l 与双曲线C 的右支交于点N ，若MNF ∆的面积为232b ，则双曲线C 的离心率为（ ）A ． 3B ． 2 C.53 D ．43第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上13.已知向量()()1,3,3,a b t =-=，若a b ⊥，则2a b += ．14.已知一个算法的程序框图如图所示，当输入的1x =-与1x =时，则输出的两个y 值的和为 ．15.在长方体1111ABCD A B C D -中，11,2AB BC AA ===，点,E F 分别为1,CD DD 的中点，点G 在棱1AA 上，若//CG 平面AEF ，则四棱锥G ABCD -的外接球的体积为 ．16.已知椭圆22143x y +=的右焦点为F ，点M 是椭圆上第一象限内的点，MF 的延长线依次交y 轴，椭圆于点,P N ，若MF PN =，则直线MN 的斜率为 ．三、解答题 ：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.甲乙两人同时生产内径为25.41mm 的一种零件，为了对两人的生产质量进行评比，从他们生产的零件中各抽出5件（单位：mm ）， 甲：25，44，25，43，25，41，25，39，25，38 乙：25，41，25，42，25，41，25，39，25，42 从生产的零件内径的尺寸看，谁生产的零件质量较高．18.已知直线2y x p =-与抛物线()220y px p =>相交于,A B 两点，O 是坐标原点．（1）求证：OA OB ⊥；（2）若F 是抛物线的焦点，求ABF ∆的面积．19.某高校进行社会实践，对[]25,55岁的人群随机抽取1000人进行了一次是否开通“微博”的调查，开通“微博”的为“时尚族”，否则称为“非时尚族”．通过调查得到各年龄段人数的频率分布直方图如图所示，其中在[)30,35岁、[)35,40岁年龄段人数中，“时尚族”人数分别占本组人数的80%、60%． 请完成以下问题：（1）求[)30,35岁与[)35,40岁年龄段“时尚族”的人数；（2）从[)30,45岁和[)45,50岁年龄段的“时尚族”中，采用分层抽样法抽取6人参加网络时尚达人大赛，其中两人作为领队，求领队的两人年龄都在[)30,45岁内的概率．20. 已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知232,S 6S ==-． （1）求数列{}n a 的通项公式和前n 项和n S ；（2）是否存在n ，使23,S 2,n n n S n S +++成等差数列，若存在，求出n ，若不存在，说明理由．21.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，1,2,PB PD AB AP Q====是CD 中点．（1）求点C 到平面BPQ 的距离； （2）求二面角A PQ B --的余弦值．22.设椭圆()2222:10x y M a b a b +=>>经过点12,,P F F ⎭是椭圆M 的左、右焦点，且12PF F ∆ （1）求椭圆M 的方程；（2）设O 为坐标原点，过椭圆M 内的一点()0,t 作斜率为k 的直线l 与椭圆M 交于,A B 两点，直线,OA OB 的斜率分别为12,k k ，若对任意实数k ，存在实数m ，使得12k k mk +=，求实数m 的取值范围．试卷答案一、选择题1-5:BCCCA 6-10: CDBCA 11、12：AB二、填空题13. 5416.三、解答题17.解：甲的平均数()125.4425.4325.4125.3925.38 5.415x =⨯++++=甲， 乙的平均数()125.4125.4225.4125.3925.4225.415x =⨯++++=乙， 甲的方差20.00052s =甲，乙的方差20.00012s =乙，∵甲、乙平均数相同，乙的方差较小，∴乙生产的零件比甲的质量高． 18.（1）证明：由222y x p y px=-⎧⎨=⎩，得22442x px p px -+=，∴22640x px p -+=， 设()()1122,y ,,A x B x y ，则11222,2y x p y x p =-=-，且2121264x x p x x p +-=，∴()()()221212121212122222482640x x y y x x x p x p x x p x x p p p p p +=+--=-++=-+=，∴12120OA OB x x y y =+=，∴OA OB ⊥； （2）解：由（1）知AOB ∆的面积等于()()22221122111222S OA OB x y x y x==++=225p ==， （用12122S p y y =-求解同样给分）直线2y x p =-与x 轴交点为()2,0M p ，抛物线焦点F 为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，∴34FM OM =，∴AFB ∆的面积为234S p =． 19.解：（1）[)30,35岁的人数为10000.06580%240⨯⨯⨯=，[)35,40岁的人数为10000.04560%120⨯⨯⨯=；（2）由（1）知[)30,35岁中抽4人，记为,,,a b c d ，[)35,40岁中抽2人，记为x y 、， 则领队两人是ab ac ad ax ay bc bd bx by cd cx cy dx dy xy 、、、、、、、、、、、、、、共15种可能，其中两人都在[)30,35岁内的有6种，所以所求概率为62155=． 20.解：（1）设{}n a 的公差为d ，则112232362a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=-⎪⎩，∴146a d =⎧⎨=-⎩， ∴()()211461106,732n n n n a n n S na d n n -=--=-=+=-； （2）()()2223737333646n n S S n n n n n n -+=-++-+=---，()()2227232352n S n n n n +=+-+=--+，()()2222223522664n S n n n n n n ++=--++=--+，若存在n ，使23,2,n n n S S n S +++成等差数列，则22646664n n n n ---=--+，∴5n =， ∴存在5n =，使23,2,n n n S S n S +++成等差数列． 21.解：∵正方形边长1,2AB PB PD AP ====，∴222222PB PA AB PD PA AD =+=+，∴,PA AB PA AD ⊥⊥，∴PA ⊥平面ABCD ， ∴分别以AB AD AP 、、为x 轴、y 轴，z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()()10,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,2,,1,0,1,1,02A B D P Q C⎛⎫⎪⎝⎭，∴()()()10,0,2,1,0,2,,1,2,1,1,22AP BP PQ PC⎛⎫==-=-=-⎪⎝⎭，（1）设平面BPQ的一个法向量()1111,,n x y z=，则1111111201202x zBP nx y zPQ n-+=⎧⎧=⎪⎪⇒⎨⎨+-==⎪⎪⎩⎩，令11z=，得()12,1,1n=，∴PC与平面BPQ所成角的正弦值111sin66n PCn PCθ===，∴点C到平面BPQ的距离为6sinPQθ=（2）设平面APQ的一个法向量()2222,,n x y z=，则222222201202zAP nx y zPQ n⎧=⎧=⎪⎪⇒⎨⎨+-==⎪⎪⎩⎩，令22x=，得()22,1,0n=-，∴121212cos,6n nn nn n===⨯A PQ B--22.解：（1）设M的焦点()()12,0,,0F c F c-，∵12,P PF F∆⎭122c⨯=1c=，由222233141a b a b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得2243a b ⎧=⎨=⎩，∴椭圆M 的方程为22143x y +=； （2）设直线l 的方程为y kx t =+，由22143x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()2223484120k x ktx t +++-=， 设()()1122,,,A x y B x y ，则21212228412,3434kt t x x x x k k -+=-=++，()212121221212122223t x x y y t t kt k k k k k k x x x x x x t ++=+=+++=+=--， 由12k k mk +=对任意k 成立，得22223t m t =--，∴()232m t m-=，又()0,t 在椭圆内部中，∴203t ≤<，∴2m ≥，即[)2,m ∈+∞．。

第一学期期末考试试题高二数学（理科）命题：卢会玉 审核：甄荣本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分；满分150分，考试时间120分钟.第I 卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．抛物线x y 102=的焦点到准线的距离是（ ） A ．25 B ．5 C ．215D ．10 2．在等差数列{}n a 中，已知a 1=2,a 2+a 3=13，则a 4+a 5+a 6=（ ） A. 40 B. 42 C. 43 D. 453．已知椭圆1162522=+y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一焦点距离为 （ ）A ．2B ．3C ．5D ．7 4．下列命题为真命题的是( )A ．若ac bc >，则a b >B ．若22a b >，则a b >C ．若11a b>，则a b < D ．若a b <，则a b < 5．在△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，PA ⊥平面ABC ，PA =8，则P 到BC 的距离是（ ）A.5 B.45 C.35 D.256．设双曲线的半焦距为c ，两条准线间的距离为d ，且d c =，那么双曲线的离心率e 等于（ ）A ．2B ．3C ．2D ．37．三角形ABC 周长等于20，面积等于 60,310=∠A ，则a 为 （ ） A ． 5 B ．7 C ． 6 D ．88．如图，ABCD —A 1B 1C 1D 1是正方体，B 1E 1＝D 1F 1＝411B A ，则 BE 1与DF 1所成角的余弦值是（ ） A ．1715 B ．21C ．178D ．239.曲线2sin y x =在点（0,0）处的切线与直线1x ay +=垂直，则实数a 的值为（ ）A ．2B ．2-C ．12D ． 12-10.已知1)6()(23++++=x a ax x x f 既有极大值又有极小值，则a 的取值范围为（ ） A. 21>-<a a 或 B. 63<<-a C.21<<-a D.63>-<a a 或 11.已知平行六面体''''ABCD A B C D -中，AB =4，AD =3，'5AA =，090BAD ∠=，''060BAA DAA ∠=∠=，则'AC 等于（ ）A ．85B ．85C ．52D ．5012．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．由增加的长度决定第II 卷二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13．曲线34y x x =-在点（－1，－3）处的切线方程是________．14.已知实数x y ，满足2203x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩≥，≤，≤≤，则2z x y =-的取值范围是________．15．设等比数列{}n a 的公比12q =，前n 项和为n S ，则44S a =________．16．已知0,0,2a b a b >>+=，则14a b+的最小值是________．三、解答题：（共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．）17．(本小题满分10分)在ABC ∆中，5BC =，3AC =，sin 2sin C A =.图（I ）求AB 长；（II ）求sin(2)4A π-的值．18．（本小题满分12分）设命题p ：（4x -3）2≤1;命题q :x 2-(2a +1)x +a (a +1)≤0,若⌝p 是⌝q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.19．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ． （Ⅰ）求n a 及n S ； （Ⅱ）令n b =211n a -（*n N ∈），求数列{}n b 的前n 项和n T . 20．（本小题满分12分）已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//AB DC ，⊥=∠PA DAB ,90 底面ABCD ，且12PA AD DC ===，1AB =，M 是PB 的中点. （Ⅰ）证明：面PAD ⊥面PCD ； （Ⅱ）求AC 与PB 所成的角的余弦值； （Ⅲ）求二面角M AC B --的正弦值.21. （本小题满分12分）设椭圆()222210x y a b a b+=>>过M ()2,2、N()6,1两点，O 为坐标原点.（I ）求椭圆E 的方程；（II ）若直线()40y kx k =+>与圆2283x y +=相切，并且与椭圆E 相交于两点A 、B ，求证：OA OB ⊥.22.（本小题满分12分）函数21()ln ,()(0)2f x xg x ax bx a ==+≠.（I ）若2,()()()a h x f x g x =-=-时函数在其定义域内是增函数，求b 的取值范围； （II ）若1=,2=b a ，若函数2)(2)(x x f x g k --=在[1，3]上恰有两个不同零点，求实数k 的取值范围.高二理科数学试卷参考答案一、选择题（共60分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 BBDDBCBAADBA二、填空题（共20分） 题号 13 14 15 16答案 y=x-2[-5,7]1592三、解答题（共70分） 17.（本小题满分10分）（Ⅰ）解：在△ABC 中，根据正弦定理，ABCC AB sin sin = 于是AB =522sin sin ==BC BC A C…………………………………………………………4分（Ⅱ）解：在△ABC 中，根据余弦定理，得cos A =2222525AB AC BC AB AC +-=于是 sin A =55cos 12=-A …………………………………………………………6分从而sin2A =2sin A cos A =54,cos2A =cos 2A -sin 2A =53 所以 sin(2A -4π)=sin2A cos 4π-cos2A sin 4π=102……………………………………10分18.（本小题满分12分）设A ＝{x|(4x －3)2≤1}，B ＝{x |x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0}， 易知A ＝112xx ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭，B ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}．………………………………………6分 由p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，得p 是q 的充分不必要条件，即A 真包含于B ， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12，a ＋1≥1.…………………………………………………………………………10分 故所求实数a 的取值范围是10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.…………………………………………………12分19.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d . 由于3577,26a a a =+=， 所以1127,21026a d a d +=+=， 解得13, 2.a d ==………………………………………………………………………2分由于1(1),n a a n d =+-所以2 1.n a n =+ ………………………………………………………………………4分由于1()2n n n a a S +=, 所以(2).n S n n =+……………………………………………………………………6分（Ⅱ）因为21n a n =+所以214(1)n a n n -=+因此1111().4(1)41n b n n n n ==-++…………………………………………………9分故12n n T b b b =+++111111(1)42231n n =-+-++-+ 11(1)41n =-+4(1)nn =+所以数列{}n b 的前n项和.4(1)n nT n =+………………………………………………12分20.（本小题满分12分）以A 为坐标原点,AD 长为单位长度，建立如图所示空间直角坐标系，则各点坐标为111111(0,0,0),(0,1,0),(,,0),(,0,0),(0,0,),(0,,)222224A B C D P M .（Ⅰ）证明：因11(0,0,),(0,,0),0,.22AP DC AP DC AP DC ==⋅=⊥故所以由题设知AD DC ⊥，且AP 与AD 是平面PAD 内的两条相交直线，由此得DC ⊥面PAD .又DC 在面PCD 内，故面PAD ⊥面PCD .………………………………………………4分（Ⅱ）解：因111(,,0),(0,1,),222AC PB ==-251||,||,,22210cos ,.5||||AC PB AC PB AC PB AC PB AC PB ==⋅=⋅<>==⋅故所以……………………………………………7分 所以，AC 与PC 所成角的余弦值为105…………………………………………………8分（Ⅲ）解：易知平面ACB 的一个法向量1(0,0,),2AP =…………………………………9分设平面MAC 的一个法向量(,,),n x y z =则0n AM n AC ⎧=⎪⎨=⎪⎩，不妨取(1,1,2),n =-………10分设二面角M AC B --的平面角为则θ， 则6cos .3θ=所以23sin 1cos .3θθ=-= …………………………………………………………12分21.（本小题满分12分）解:（1）因为椭圆E: 22221x y a b+=（a,b>0）过M （2，2） ，N(6,1)两点,所以2222421611a b a b +=+=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩解得22118114a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以2284a b ⎧=⎨=⎩ …………………………………………3分 椭圆E 的方程为22184x y += …………………………………………4分（2）设()11y x A ()22y x B ，由题意得：5,362142==+=k k d ……………6分联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=1484522y x x y 024516112=++x x 化简得，有1124,511162121=-=+x x x x ………………………………………………………9分()()16)(5464545212121212121+++=+++=+x x x x x x x x y y x x =0……11分OB OA ⊥∴…………………………………………………………………………… 12分22.（本小题满分12分） （Ⅰ）2()ln ,()(0,)h x x x bx h x =+-+∞且函数定义域为，则：1()20(0,)h x x b x x'=+-≥∈+∞对恒成立，………………………………… 2分112,0,222b x x x x x∴≤+>∴+≥，（当且仅当1x x=时，即22x =时，取等号），22b ∴≤……………………………………………………………………… 5分（II ）函数k 2()()2()k x g x f x x =--在[1，3]上恰有两个不同的零点等价于方程 k =2ln x x a -=，在[1，3]上恰有两个相异实根. 令2()2ln ,()1,x x x x x ϕϕ'=-=-则 ……………………………………………… 7分[)(](]min 1,2,()0,2,3,()0,()[1,2]2,3.()(2)22ln 2.x x x x x x ϕϕϕϕϕ''∈<∈>==-当时当时在上是单调递减函数,在上是单调递增函数故 ……………………………………………9分(1)1,(3)32ln3,(1)(3),ϕϕϕϕϕϕ==->∴≤又只需(2)<a (3),只需()()23k ϕϕ<≤…………………………………………………………………………11分故22ln 32ln3.x a -<≤- ……………………………………………………12分。

2021-2022年高二上学期期末考试理科数学试题 Word 版含答案考生注意：本卷共三大题，22小题，满分150分，时间120分钟.不准使用计算器一、选择题（本大题共12小题，每小题5分,共60分） 1.在中，,,,则（ ）A. B. C. D.2．已知成等差数列，成等比数列，那么的值为( )A ．B ．C ．D ．3.下列说法中，正确的是 ( )A ．命题“若，则”的逆命题是真命题B ．命题“存在”的否定是：“任意”C ．命题“p 或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题D ．已知，则“”是“”的充分不必要条件 4. 在数列中，,,则的值为（ ）（A ）49 （B ）50 （C ）51 （D ）525已知中，内角的对边分别为，若，，则的面积为 ( ) A. B. 1 C. D. 2 6.已知是抛物线的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，，则线段AB 的中点到y 轴的距离为（ ）A. B. C. 1 D.7.已知在平面直角坐标系上的区域由不等式组02x y x ⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩给定。

若为上的动点，点的坐标为，则的最大值为 （ ） A ． B ． C ．4 D ．3 8 已知是实数，则“且”是“”的 ( ) A ． 充分而不必要条件 B ． 充要条件C ． 必要而不充分条件D ． 既不充分也不必要条件9已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，E 为AA 1中点，则异面直线BE 与CD 1所成角的余弦值为 ( )A ． B. C. D. 10.已知不等式 对任意正实数恒成立，则正实数的最小值为 ( )A. 4B. 1C. 5D. 311．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 ( ) A ．[1,2] B ．(1,2) C ．[2，＋∞) D ．(2，＋∞) 12. 椭圆+=1上有n 个不同的点P 1,P 2,P 3,…,P n , F 是右焦点，|P 1F |，|P 2F |，…，|P n F | 组成等差数列，且公差d >，则n 的最大值是（ ） A.99 B.100 C.199 D.200二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13.已知t >0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t的最小值为________．14. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，当时，的面积为 . 15．在中，222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，则A 的取值范围是 . 16．已知圆与抛物线(p ＞0)的准线相切，则p= .三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17（本小题满分10分） 等比数列的各项均为正数，且，． 求数列的通项公式；设31323log log log n n b a a a =++⋅⋅⋅+，求数列的前项和．18.（本小题满分12分）在中，角的对边分别为，，的面积为. (1)求的值； （2）求的值19（本小题满分12分）已知函数的定义域为，()lg[(1)(2)](1)g x x a a x a =---<的定义域为.（1）求.(2)记 ，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围。

高二上学期期末考试数学（理）试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题1．设集合 ， ，若 ，则 的取值范围是 A ． B ． C ． D ． 2．下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为2y x =±的是A ． 22=14y x -B ． 22=14x y -C ． 22=14y x -D ． 22=14x y - 3．已知，则 = A ． B ．C ．D ．4．下列说法正确的是A ． ，则 的充分条件是B ． 若 ，则 的充要条件是C ． 对任意 ， 的否定是存在 ，D ． 是一条直线， ， 是两个不同的平面，若 ， ，则 5．体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为A ． 12πB ． 323π C ． 8π D ． 4π6．设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，与C 交于点P ， PF x ⊥轴，则k =A ．B ． 1C ．D ． 27．已知 为等差数列 的前 项和，若 ，则=A ．B ．C ．D ．8．若执行右侧的程序框图，当输入的x 的值为4时，输出的y 的值为2，则空白判断框中的条件可能为A ． 3x >B ． 4x >C ． 4x ≤D ． 5x ≤ 9．设函数 ，则 是 A ． 奇函数，且在 上是增函数 B ． 奇函数，且在 上是减函数 C ． 偶函数，且在 上是增函数 D ． 偶函数，且在 上是减函数10．如图，网格纸上小正方形的边长为 ，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为A ．B ．C ．D ．11．已知三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上， 满足 ， ， 为球 的直径，且 ，则点 到底面 的距离为A ．B ．C ．D ．12．过抛物线 的焦点 ，且斜率为 的直线交 于点 （ 在 轴上方）， 为 的准线，点 在 上且 ，则 到直线 的距离为此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号A ．B ．C ．D ．二、填空题13．已知向量()()1,2,,1a b m =-=.若向量a b +与a 垂直，则m =_______________14．若,x y 满足约束条件10{30 30x y x y x -+≥+-≥-≤，则2z x y =-的最小值为 ______15．函数()cos26cos 2f x x x π⎛⎫=+-⎪⎝⎭的最大值为___________________ 16．平面直角坐标系xOy 中，双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线与抛物线()22:20C x py p =>交于点,,O A B .若OAB ∆的垂心为2C 的焦点，则1C 的离心率为_______________三、解答题17．已知 分别是 内角 的对边，（I ）求 的值；（II ）若角 为锐角，求 的值及 的面积.18． 为数列 的前 项和，已知 ， ． （1）求 的通项公式； （2）设，求数列 的前 项和．19．某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组： [)[)20,30,30,40,, []80,90，并整理得到如下频率分布直方图：（Ⅰ）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50）内的人数； （Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．20．如图，在四棱锥P ABCD -中， 90ABC ACD ∠=∠=， 60BAC CAD ∠=∠=，PA ABCD ⊥平面， =21PA AB =，.设,M N 分别为,PD AD 的中点.（I ）求证：平面//CMN 平面PAB ； （II ）求二面角N PC A --的平面角的余弦值.21．中心在原点的双曲线 的右焦点为， ，渐近线方程为 .（I ）求双曲线 的方程；（II ）直线 与双曲线 交于 两点，试探究，是否存在以线段 为直径的圆过原点.若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由.22．已知函数 ；（I ）当 时，求函数 的最值；（II ）如果对任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.高二上学期期末考试数学（理）试题数学答案参考答案1．A【解析】由题意，集合A={x||x-2|＜1}={x|1＜x＜3}，∵集合B={x|x＜m}，A B∴m≥3,∴m的取值范围是{m|m≥3}故选A．2．C【解析】试题分析：焦点在y轴上的是C和D，渐近线方程为ay xb=±，故选C．考点：1．双曲线的标准方程；2．双曲线的简单几何性质．3．B【解析】则，故选B.4．D【解析】对于A，当a＜0时，由b2-4ac≤0不能得到f（x）≥0，则“ax2+bx+c≥0”的充分条件是“b2-4ac≤0”错误．对于B，若 m，k，n∈R，由mk2＞nk2的一定能推出m＞n，但是，当k=0时，由m＞n不能推出mk2＞nk2，故B错误，对于C，命题“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x0∈R，有x02＜0”，故C错误，对于D，因为垂直于同一直线的两个平面互相平行，故D正确，故选D.5．A【解析】试题分析：因为正方体的体积为8，所以棱长为2，所以正方体的体对角线长为，所以该球的表面积为2412ππ⋅=，故选A.【考点】正方体的性质，球的表面积【名师点睛】与棱长为a的正方体相关的球有三个：外接球、内切球和与各条棱都相切的球，、2a.6．DD.考点：1、直线与抛物线；2、抛物线的几何性质；3、反比例函数.7．C【解析】∵3a1+4a9=a17，∴4a1+4a9=a1+a17，即4（a1+a9）=2a9，即4a5=a9，则故选C.8．B【解析】由题意得4x=时判断框中的条件应为不满足，所以选B.9．A【解析】函数f（x）=ln（1+x）-ln（1-x），函数的定义域为（-1，1），函数f（-x）=ln（1-x）-ln（1+x）=-[ln（1+x）-ln（1-x）]=-f（x），所以函数是奇函数．排除C，D，正确结果在A，B，只需判断特殊值的大小，即可推出选项，x=0时，f（0）=0；x=时，，显然f（0）＜f，函数是增函数，所以B错误，A正确．故选A．10．B【解析】由已知中的三视图可得该几何体是一个三棱锥，其直观图如下图所示：故其体积V，故选B. 11．C 【解析】∵三棱锥P-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，PA 为球O 的直径且PA=4，∴球心O 是PA 的中点，球半径R=OC=PA ＝2，过O 作OD ⊥平面ABC ，垂足是D ，∵△ABC 满足AB ＝2 ,∠ACB ＝90°，∴D 是AB 中点，且AD=BD=CD= ∴OD= ∴点P 到底面ABC 的距离为d=2OD=2 ,故选C.点睛：本题考查点到平面的距离的求法，关键是分析出球心O 到平面ABC 的距离，找到 的外接圆的圆心D 即可有 OD ⊥平面ABC ，求出OD 即可求出点 到底面 的距离.12．D 【解析】抛物线C ：y 2=4x 的焦点F （1，0），且斜率为 的直线：y= （x-1），过抛物线C ：y 2=4x 的焦点F ，且斜率为 的直线交C 于点M （M 在x 轴上方），联立可得N （-1，2 ），NF 的方程为：y=- （x-1），即 则M 到直线NF 的距离为：，故选D.点睛：本题考查了直线与抛物线的位置关系，联立直线与抛物线得出点M 坐标，从而得出点N 坐标是关键，注意计算的准确性.13．7【解析】向量()1,2a =-， (),1b m =， a b + ()1,3m =-,则()()11320m -⋅-+⨯=,解得m=7,故填7.14．5-【解析】由约束条件10{30 30x y x y x -+≥+-≥-≤作出可行域如图，联立3{ 10x x y =-+=，解得()3,4B ，化目标函数2z x y =-为1122y x z =-，由图可知，当直线1122y x z =-过()3,4B 时，直线在y 轴上的截距最大， z 有最小值为3245-⨯=-，故答案为5-.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15．5【解析】∵()2cos25cos cos25sin 2sin 5sin 12f x x x x x x x π⎛⎫=+-=+=-++⎪⎝⎭25332sin 48x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，∴当sin 1x =时， ()f x 有最大值为4，故答案为4.16．32【解析】设OA 所在的直线方程为b y x a =,则OB 所在的直线方程为b y x a=-, 解方程组2{ 2by x a x py ==得： 222{ 2pbx apb y a==，所以点A 的坐标为2222,pb pb a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭, 抛物线的焦点F 的坐标为: 0,2p ⎛⎫⎪⎝⎭.因为F 是ABC ∆的垂心，所以1OB AF k k ⋅=-, 所以， 2222252124pb p b b a pb a a a ⎛⎫- ⎪-=-⇒= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.所以，2222293142c be ea a==+=⇒=.考点：1、双曲线的标准方程与几何性质；2、抛物线的标准方程与几何性质.17．（1）（2）【解析】试题分析：（I）由已知等式化简得：sin2A=6sin2C，结合sinA＞0，sinC＞0，可得sin A＝，进而可求sinA，由正弦定理可求a的值；（II）由同角三角函数基本关系式可求cosA的值，由余弦定理得b2-2b-15=0，解得b的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．试题解析：（I）由得化简得：均为三角形内角，即：，又因为，所以．结合已知，由正弦定理，得．（II ）由得．由余弦定理，得．解得或（舍负）．所以．18．（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）通过与作差可得，进而可知数列是首项为，公差为的等差数列，即可求解数列的通项公式；（2）通过（1）可知，裂项可得，并项即可求解数列的和．试题解析：（1）由，可知，可得，即，由于，可得．又，解得（舍去），．所以是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为（2）由可知，．设数列的前项和为，则考点：等差数列的通项公式；数列的求和．19．（1）0.4；（2）20；（3）3:2.【解析】试题分析：（Ⅰ）根据频率=组距×高，可得分数小于70的概率为：1﹣（0.04+0.02）×10；（Ⅱ）先计算样本中分数小于40的频率，进而计算分数在区间[40，50）内的频率，可估计总体中分数在区间[40，50）内的人数；（Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．进而得到答案．试题解析：(1)由频率分布直方图知，分数在[)70,80的频率为0.04100.4⨯=，分数在[)80,90的频率为0.02100.2⨯=，则分数小于70的频率为10.40.20.4--=，故从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率为0.4.(2)由频率分布直方图知，样本中分数在区间[]50,90的人数为()0.010.020.040.021010090+++⨯⨯=(人)，已知样本中分数小于40的学生有5人，所以样本中分数在区间[)40,50内的人数为1009055--=(人)，设总体中分数在区间[)40,50内的人数为x，则5100400x=，得20x =， 所以总体中分数在区间[)40,50内的人数为20人. (3)由频率分布直方图知，分数不小于70的人数为()0.040.021010060+⨯⨯= (人)， 已知分数不小于70的男女生人数相等， 故分数不小于70分的男生人数为30人， 又因为样本中有一半男生的分数不小于70， 故男生的频率为： 0.6， 即女生的频率为： 0.4，即总体中男生和女生人数的比例约为： 3:2.点睛：利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数时，易出错，应注意区分这三者．在频率分布直方图中：(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数； (2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．20．（1）见解析（2【解析】试题分析：（1）证明//MN PA ，推出//MN 平面PAB ，证明//CN AB ，即可证明//CN 平面PAB ，然后证明平面//CMN 平面PAB ；（2）以点A 为原点， AC 为x 轴， AP 为z 轴建立空间直角坐标系，求出平面PCN 的法向量，平面PAC 的法向量，利用空间向量的数量积求解面角N PC A ﹣﹣的平面角的余弦值．试题解析：（1）证明：∵M 、N 分别为PD ， AD 的中点， 则//MN PA ．又∵MN ⊄平面PAB ， PA ⊂平面PAB ，∴//MN 平面PAB ．在R t A C D中， 60CAD ∠=︒， CN AN =，∴60ACN ∠=︒，又∵60BAC ∠=︒，∴//CN AB ．∵CN ⊄平面PAB ， AB ⊂平面PAB ，∴//CN 平面PAB ，又∵CN MN N ⋂=，∴平面//CMN 平面PAB ．（2）∵PA ⊥平面ABCD ，∴平面PAC ⊥平面ACD ，又∵DC AC ⊥，平面PAC ⋂平面ACD AC =，∴DC ⊥平面PAC ，如图，以点A 为原点， AC 为x 轴， AP 为z 轴建立空间直角坐标系，∴()0,0,0A ， ()2,0,0C ，()0,0,2P ，()D ，()N ∴()()1,3,0,1,3,2CN PN =-=-，设(),,n x y z =是平面PCN 的法向量，则0{n CN n PN ⋅=⋅=，即30{ 20x y x z -+=+-=，可取(3,1n=，又平面PAC的法向量为()0,CD =，∴237cos ,23CD n CD n CD n⋅===⨯⋅，由图可知，二面角N PC A ﹣﹣的平面角为锐角，∴二面角N PC A ﹣﹣的平面角的余弦值为7． 21．(1) (2) 存在， 【解析】试题分析：（Ⅰ）设双曲线的方程为，（a ＞0，b ＞0），则有c= ，，c 2=a 2+b 2，解得即可;（Ⅱ）由得（2-k 2）x 2+2kx-2=0，根据韦达定理和向量的数量积得出关于k 的方程，即可求出k 的值.试题解析：（Ⅰ）设双曲线的方程为，则有得，所以双曲线方程为．（Ⅱ）由得，依题意有解得且，①且，，设，，依题意有，所以，又，所以，化简得，符合①，所以存在这样的圆.22．(1) ，；(2)【解析】试题分析：（I）化简函数得，判断函数的单调性，然后求解函数的最值；（II）由，得利用换元法令，所以对恒成立.利用分类讨论①当时，；②当时，分离得，求右侧函数的最小值即得实数的取值范围.试题解析：（Ⅰ）又在上单调递减，，；（Ⅱ）由，得令所以对恒成立.①当时，；②当时，，令由于在递减，在递增.所以，则；综上知.点睛：本题考查不等式恒成立，分类讨论以及转化思想的应用，利用对数的运算性质对函数进行化简，采用换元法，把函数化繁为简，进行变量分离解决恒成立问题是解题的关键.。

高二数学期末考试模拟试卷一、选择题（本大题共11小题，每小题3分，共33分）1、与向量(1,3,2)a =-r平行的一个向量的坐标是（ ）A ．（31，1，1） B ．（－1，－3，2）C ．（－21，23，－1）D ．（2，－3，－22）2、设命题p ：方程2310x x +-=的两根符号不同；命题q ：方程2310x x +-=的两根之和为3，判断命题“p ⌝”、“q ⌝”、“p q ∧”、“p q ∨”为假命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．33、“a ＞b ＞0”是“ab ＜222b a +”的 （ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4、椭圆1422=+y m x 的焦距为2，则m 的值等于 （ ）. A ．5 B ．8 C ．5或3 D ．5或85、已知空间四边形OABC 中，c OC b OB a OA ===，点M 在OA 上，且OM=2MA ，N 为BC 中点，则=（ ） A ．c b a 213221+- B ．c b a 212132++-C ．212121-+D ．213232-+6、抛物线2y 4x =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标为（ ）A ．1716 B ．1516 C ．78D ．0 7、已知对称轴为坐标轴的双曲线有一条渐近线平行于直线x ＋2y －3＝0，则该双曲线的离心率为（ ）A.5或54 C. D.5或538、若不等式|x －1| <a 成立的充分条件是0<x <4,则实数a 的取值范围是 ( ) A ．a ≤1 B ．a ≤3 C ．a ≥1 D ．a ≥39、已知),,2(),,1,1(t t t t t =--=，则||-的最小值为 （ ）A ．55 B ．555 C ．553 D ．51110、已知动点P(x 、y )满足1022)2()1(-+-y x ＝|3x ＋4y ＋2|，则动点P 的轨迹是 （ ）A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．无法确定11、已知P 是椭圆192522=+y x 上的一点，O 是坐标原点，F 是椭圆的左焦点且),(21+=4||=，则点P 到该椭圆左准线的距离为（ ） A.6 B.4 C.3 D.25一、选择题（本大题共11小题，每小题3分，共33分）二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）12、命题：01,2=+-∈∃x x R x 的否定是13、若双曲线 4422=-y x 的左、右焦点是1F 、2F ，过1F 的直线交左支于A 、B 两点，若|AB|=5，则△AF 2B 的周长是 .14、若)1,3,2(-=，)3,1,2(-=，则,为邻边的平行四边形的面积为 ． 15、以下四个关于圆锥曲线的命题中：①设A 、B 为两个定点，k 为正常数，||||PA PB k +=u u u r u u u r，则动点P 的轨迹为椭圆；②双曲线221259x y -=与椭圆22135x y +=有相同的焦点； ③方程02522=+-x x 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④和定点)0,5(A 及定直线25:4l x =的距离之比为54的点的轨迹方程为221169x y -=． 其中真命题的序号为 _________．三、解答题（本大题共6小题，共55分）16、（本题满分8分）已知命题p ：方程11222=--m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，命题q ：双曲线1522=-mx y 的离心率)2,1(∈e ，若q p ,只有一个为真，求实数m 的取值范围．17、(本小题满分12分) 已知函数44cos 2cos 21()sin()sin()44x x f x x x ππ--=+-(Ⅰ)求11()12f π-的值； (Ⅱ)当[0,)4x π∈时，求1()()sin 22g x f x x =+的最大值和最小值。

高二数学（理科）期末试题（时间：120分钟 总分：150分，交答题纸）第Ⅰ卷（12题：共60分）一、选择题（包括12小题，每小题5分，共60分）1.某高中有学生1 000人，其中一、二、三年级的人数比为4∶3∶1，要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为200的样本，则应抽取三年级的学生人数为（ ） A ．100 B ．40 C ．75 D ．252.某市进行一次高三教学质量抽样检测,考试后统计的所有考生的数学成绩服从正态分布.已知数学成绩平均分为90分,60分以下的人数占10%,则数学成绩在90分至120分之间的考生人数所占百分比约为 （ ） A.40%B.30%C.20%D. 10%3.对于空间的两条直线n m ,和一个平面α，下列命题中的真命题是 （ ） A.n m n m //,////则，若αα B.n m n m //,则，若αα⊥⊥ C.n m n m //,//则，若αα⊥ D.n m n m //,//则，若αα⊂4.根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为930，下雨的概率为1130，既吹东风又下雨的概率为830，则在吹东风的条件下下雨的概率为 （ ）A.911B.811C.89D.255.甲、乙两名学生六次数学测验成绩如右图所示。

①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数； ②甲同学的平均分比乙同学的平均分高； ③甲同学的平均分比乙同学的平均分低； ④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差。

上面说法正确的是（ ）A.②④B.①②④C.③④D.①③ 6.下图是把二进制数11111(2)化成十进制数的一个程序框图， 则判断框内应填入的条件是( )A.?5>iB.?4≤iC.?4>iD.?5≤i7．在4次独立重复试验中,事件A 发生的概率相同,若事件A 至少发生1次的概率为8165,则事件A 在1次试验中发生的概率为( ) A.32 B.31 C.95D.94 8.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一个焦点与圆01022=-+x y x 的圆心重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的标准方程为（ ）A.120522=-y x B.1202522=-y x C.152022=-y x D.1252022=-y x 9.设A 为定圆C 圆周上一点，在圆周上等可能地任取一点与A 连接，求弦长超过半径2倍的概率（ ） A.34B. 35C.13D.1210.①命题“设R b a ∈,，若6≠+b a ，则3≠a 或3≠b ”是一个真命题； ②若“q p ∨”为真命题，则q p ,均为真命题；③命题“)1(2,,22--≥+∈∀b a b a R b a ”的否定是“)1(2,,22--≤+∈∃b a b a R b a ”；④“)(2Z k k ∈+=ππϕ”是函数)2sin(ϕ+=x y 为偶函数的充要条件。

全国重点高中高二数学期末考试试题（附详细答案）（理）一、选择题（每小题5分，共计60分）1．已知复数z ＝11－i，则z －|z |对应的点所在的象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是( )A ．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数B ．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数C ．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数D ．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数 3．5人站成一排，甲、乙两人必须站在一起的不同排法有 ( )A ．12种B ．24种C ．48种D ．60种4．为了研究某大型超市开业天数与销售额的情况，随机抽取了5天，其开业天数与每天的销售额的情况如下表所示：开业天数 10 2030 40 50 销售额/天(万元)62758189根据上表提供的数据，求得y 关于x 的线性回归方程为y ^＝0.67x ＋54.9，由于表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为 ( )A ．67B ．68C ．68.3D ．715. 袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回抽取的条件下一次抽取一个，记下号码后放回去再抽取一个，总共取出两个球，设两个球号码之和为随机变量，则所有可能取值的个数是（ ）A ．5B ．9C ．10D ．25 6. 甲、乙两名篮球运动员在10场比赛中得分的茎叶图 如图所示，则“9x =”是“甲运动员得分平均数大于乙运动员得分平均数”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 若对于任意的实数,有,则的 ( )A ．2B ．4C ．6D ．8ξξx 3230123(2)(2)(2)x a a x a x a x =+-+-+-a 9 6 1 甲乙8 6 3x 4 1 15 5 7 2 3 56 6 8 91 328. 《九章算术》中,将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”,已知某“堑堵”的三视图如右图所示,则该“堑堵”的表面积为（ ） A.B.C. D.9. 不等式组表示的点集记为M ，不等式组表示的点集记为N ，在M 中任取一点P ，则P ∈N 的概率为 （ ） A.B.C.D.10. 椭圆2221(01)y x b b+=<<的左焦点为F ，上顶点为A ，右顶点为B ，若FAB 的外接圆圆心(,)P m n 在直线y x =-的左下方，则该椭圆离心率的取值范围为 （ ）A.2,12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B.1,12⎛⎫⎪⎝⎭ C.20,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D.10,2⎛⎫⎪⎝⎭ 11．已知的展开式中的常数项为,是以为周期的偶函数,且当时,,若在区间内,函数有4个零点,则实数的取值范围是 ( )A.B. C. D.12. 若实数满足,则的最小值为 ( )A.B.C.D.二、填空题（每小题5分，共计20分）13．观察下列式子：1＋122＜32，1＋122＋132＜53，1＋122＋132＋142＜74，……，根据上述规律，第n 个不等式应该为________．14. 已知随机变量只能取三个值：，其概率依次成等差数列，则公差的取值范围是________．24442+642+2204x y -≤≤⎧⎨≤≤⎩220x y y x-+≥⎧⎨≥⎩91671673293252315x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭T ()f x T [0,1]x ∈()f x x =[1,3]-()()g x f x k xk =--k1(0]4，1[0)4，1(0)4，1[0]4，,,,a b c d 22l n 321a a cb d--==()()22a cb d -+-110123x x x ，，d15．展开式中的系数是 .16. 过直线上的一个动点向圆上引两条切线,切点为,若，则四边形的最小面积的概率为 .三、解答题（本大题满分70分） 17. （本小题满分10分）在正四棱锥中，E ，F 分别为棱VA ，VC 的中点．（1）求证：EF ∥平面ABCD ； （2）求证：平面VBD ⊥平面BEF ．18（本小题满分12分）现有6个小球和3个盒子，小球放入盒子，每盒不空。

绝密★启用前第一学期期末考试高二年级(理科数学)试题卷 本试卷共22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生先检查试卷与答题卷是否整洁无缺损，并用黑色字迹的签字笔在答题卷指定位置填写自己的班级、姓名、学号和座位号。

2．选择题每小题选出答案后，请将答案填写在答题卷上对应的题目序号后，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上。

不按要求填涂的，答案无效。

3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卷的整洁，考试结束后，将答题卷交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．1．下列说法正确的是(A) 命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”(B) 若命题2:,210p x x x ∃∈-->R ，则命题2:,210p x x x ⌝∀∈--<R (C) 命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题 (D) “1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件2．已知向量(1,1,0)=a ，(1,0,2)=-b ，且(R)k k +∈a b 与2-a b 互相垂直，则k 等于(A) 1 (B)15 (C) 35 (D)753．设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，若3a =，3b =π3A =，则B =(A)π6 (B) 5π6 (C) π6或5π6(D)2π34．若公差为2的等差数列{}n a 的前9项和为81，则9a =(A) 1(B) 9(C) 17(D)195．设椭圆的两个焦点分别为1F 、2F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若12F PF ∆为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是(A)(B) (C) 2 16．已知等比数列{n a }的前n 项和12-=n n S ，则++2221a a (2)n a +等于(A) 2)12(-n(B))12(31-n (C) 14-n (D))14(31-n 7．不等式220ax bx ++>的解集是11(,)23-，则a b -等于(A) 10- (B) 10 (C) 14- (D)148．已知0,0>>b a ，且132=+b a ，则23a b+的最小值为(A) 24(B) 25 (C) 26(D)279．若中心在原点，焦点在y(A) y x =± (B) 2y x =±(C) y = (D)12y x =± 10．方程22123x y m m +=-+表示双曲线的一个充分不必要条件是 (A) 30m -<< (B) 32m -<< (C) 34m -<< (D)13m -<<11．已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE SD ，所成的角的余弦值为(A)13(B)3(C)(D)2312．已知点P 是抛物线22y x =上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A 的坐标是⎪⎭⎫ ⎝⎛4,27A ，则|||PA PM +的最小值是(A)211 (B) 4 (C)29 (D)5二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．已知向量1(8,,),(,1,2)2a x xb x ==，其中0x >，若b a //，则x 的值为__________．14．过抛物线214y x =的焦点F 作一条倾斜角为30︒的直线交抛物线于A 、B 两点，则AB =__________． 15．已知21F F 、为椭圆192522=+y x 的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点若1222=+B F A F ，则AB =__________．16．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨。

高二期末数学（理）试卷参考答案二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．02,2>-+∈∀x x R x ； 10．11 （1227,112a a a +==）； 11．0.3 （ 频率/组距0.001=，组距300=，频率0.0013000.3=⨯=）；12．221124x y -=； 13．P Ax By Cz D d α-+++=； 14．(2,0)(2,)b ∈-+∞三、解答题（本大题共6题，共80分）15．（本题12分）解：（1）设事件“0,,x y x y Z +≥∈”为A,x y Z ∈，[]0,2x ∈，即0,1,2x =；[]1,1y ∈-，即1,0,1y =-则基本事件如右表…………………3分基本事件总和9n =……………4分其中满足“0x y +≥”的基本事件8n = 8()9m P A n ==故,x y Z ∈，求0x y +≥的概率为89……6分 （2）设事件“0,,x y x y R +≥∈”为B []0,2x ∈，[]1,1y ∈-基本事件如右图四边形ABCD 区域…………8分 224ABCD S =⨯=事件B 包括的区域如阴影部分117114222ABCD S S =-⨯⨯=-=阴影……10分7/27()48ABCD S P B S ===阴影故,x y R ∈，0x y +≥的概率为78…12分 16．（本题12分）解：（1）设直线方程为：y x b =+ 直线与圆相切，设圆心到直线的距离为d∴2d ==⇒b =± …………………………………………………………4分 ∴切线方程为：0x y -±=…………………………………………………………6分（2）直线:l y x t =-+与椭圆22:1916x y C +=有交点，则 方程组221916y x t x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩有解 ∴将y x t =-+代入椭圆方程221916x y +=得： 22251891440x tx t -+-=………………8分∴该二次方程的判别式：()()221842591440t t ∆=--⨯-≥……10分解得[]5,5t ∈-………………12分17. (本题满分14分)解：解：设小正方形的边长为x 厘米，则盒子底面长为82x -，宽为52x -盒子容积32(82)(52)42640V x x x x x x =--=-+……4分由82055200,20x x x x ->⎧⎪⎛⎫->⇒∈⎨ ⎪⎝⎭⎪>⎩……………6分'2'10125240,0,1,3V x x V x x =-+===令得或，103x =（舍去）…10分 (1)18V V ==极大值，在定义域内仅有一个极大值， 18V ∴=最大值…14分18.（本小题14分）解：以D 为坐标原点，DA ，DC ，1DD 依次为x 轴、y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，并设正方体棱长为1,设点E 的坐标为(0,,0)E t 。

**第一学期高二级期末考试理科数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，选择最恰当的一项．1．若复数313iz i-=，则z =（ ） A.3i -+ B.3i -- C.3i + D.3i -2．已知集合{}1,1A =-，{}|10B x ax =+=，若B A ⊆,则实数a 的所有可能取值的集合为（ ）A.{}1-B.{}1C.{}1,1-D.{}1,0,1- 3．设c b a >>,则下列不等式一定成立的是 ( ) . A.a c b c > B.ab ac > C.111a b c<< D.a c b c ->-4．首项10a >的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若512S S =，则n S 取得最大值时n 的值为( ).A. 7B.8或9C. 8D.105．“0m n >>”是“方程221mx ny +=表示焦点在y 轴上的椭圆”的（ ）. ks5uA.充分而不必要B.必要而不充分C.充要条件D.既不充分也不必要条件6．某几何体的三视图如图表1所示,则该几何体的体积为( )A ．168π+B ．88π+C ．1616π+D ．816π+图表 17．函数)(x f y =的图象向右平移6π单位后与函数x y 2sin =的图象重合，则)(x f y =的解析式是（ ）A ．()f x =)32cos(π-x B ．()f x =)62cos(π-x C ．()f x =)62cos(π+x D ．()f x =)32cos(π+x8．已知直线l 过点P (3,2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，如图表2所示，则△ABO 的面积的最小值为（ ）． A.6 B.12 C.24 D.18 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分． 9．在△ABC 中，若a =3，b=3，∠A=3π，则∠C 的大小为_________. 10．到椭圆22184x y +=左焦点的距离与到定直线2x =距离相等的动点轨迹方程是 _____11．已知实数x y ，满足2203x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩，，，则2z x y =-的最小值是 .12．若执行图表3中的框图，输入13N =，则输出的数等于______13．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条近线的夹角为3π，则双曲线的离心率为＿＿＿14．曲线C 是平面内与两个定点1(1,0)F -和2(1,0)F 的距离的积等于常数2(1)a a >的点的轨迹.给出下列三个结论： ①曲线C 过坐标原点； ②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则12F PF ∆的面积不大于212a .其中所有正确的结论的序号是 .图表 2图表 3三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15．(本题满分12分)已知命题p ：0,x R ∃∈使得200210ax x -->成立.；命题q ：函数log (1)a y x =+在区间(0,)+∞上为减函数； （1）若命题p ⌝为真命题，求实数a 的取值范围；( 2 ) 若命题“p 或q ”为真命题，且“p 且q ”为假命题，求实数a 的取值范围.ks5u16．（本题满分12分）设△ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且6a c +=,2b =,7cos 9B =. (1)求,a c 的值; (2)求sin()A B -的值.17．（本题满分14分）如图表4，在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，点E 是棱1DD 上的动点，F ，G 分别是1,BD BB 的中点. （1）求证：EF CF ⊥.（2）当点E 是棱1DD 上的中点时，求异面直线EF 与CG 所成角的余弦值.（3）当二面角E CF D --达到最大时，求其余弦值.1图表 418．（本题满分14分）数列{}n a 中，()()1221,2,11nn n a a a a n N ++==-=+-∈且. （1）求数列{}n a 的通项公式. （2）求数列{}n a 的前n 项和n S .（3）若4n S t n >⋅-对于*n N ∈恒成立，求t 的取值范围.19．（本题满分14分）已知椭圆C 的方程为),0(12222>=+a y a x 其焦点在x 轴上，离心率22=e . (1)求该椭圆的标准方程：(2)设动点)(0,0y x P 满足2OP OM ON =+其中M 、N 是椭圆C 上的点，直线OM 与ON 的斜率之积为21-,求证：20202y x +为定值； (3) 在(2)的条件下，问：是否存在两个定点A ，B ，使得||||PB PA +为定值？若存在，给出证明；若不存在，请说明理由．20．(本题满分14分)已知定义域为]1,0[的函数)(x f 同时满足： （1）对于任意)1,0(∈x ，总有0)(>x f ； （2）1)1(=f ；（3）若01≥x ，02≥x ，121≤+x x ，则有)()()(2121x f x f x x f +≥+； （Ⅰ）证明)(x f 在]1,0[上为增函数；（Ⅱ）若对于任意]1,0[∈x ，总有24()4(2)()540f x a f x a --+-≥，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）比较)22221(132++++n n f 与1的大小，并给与证明；揭阳第一中学2013——2014学年度第一学期 高二级期末考试理科数学试题参考答案一、选择题：1~4 DDDB ； 5~8 CABB 二、填空题：9.2π； 10. 28y x =-； 11. 5-； 12. 1213； 13. 或2； 14. ②③三、解答题： 15. 解：（1）p ⌝：,x R ∀∈2210ax x --≤成立………………………………2分 0a ≥时 2210ax x --≤不恒成立……………………………………3分由00a <⎧⎨∆≤⎩得1a ≤-.………………………………………6分（2）命题q 为真⇔01a <<………………………………………………7分由命题“p 或q”为真，且“p 且q”为假，得命题p 、q 一真一假…………9分①当p 真q 假时，则101a a a >-⎧⎨≤≥⎩或得10a -<≤ 1a ≥或……………………10分②当p 假q 真时，则101a a ≤-⎧⎨<<⎩无解；…………………………………… 11分∴实数a 的取值范围是10a -<≤ 1a ≥或……………………………12分16. 解:(1)由余弦定理2222cos b a c ac B =+-,得()222(1cos )b ac ac B =+-+, ………………………………………………2分又6a c +=,2b =,7cos 9B =,所以9ac =,……………………………………4分 解得3a =,3c =. …………………………………………………………………6分(2)在△ABC 中,sin 9B ==,……………………………………7分由正弦定理得sin sin 3a B Ab ==, …………………………………………9分 因为a c =,所以A 为锐角,所以1cos 3A ==………………………10分因此sin()sin cos cos sin 27A B A B A B -=-=.………………………12分17.解：（1）方法一： F 为BD 的中点，CF BD ∴⊥………………1分 又1DD ⊥ 面ABCD ，1DD CF ∴⊥……………………………………2分1DD BD D ⋂= ，CF ⊥面11BB D D ……………………………………3分EF ⊂ 面11BB D D ，CF EF ∴⊥……………………………………4分；方法二：以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系.则(0,1,0)C ,11(,,0)22F ,设(0,0,)(01)E m m ≤≤.……………………1分则11(,,0)22CF =- ,11(,,)22EF m =- …………………………………………2分110044CF EF ∴=-+= ………………………………………………………3分故CF EF ⊥……………………………………………………………………4分（2）方法一：连接1,A E AF .当点E 是棱1DD 上的中点时，因为G 为1BB 的中点，由正方体的性质知1//A E CG ks5u故1A EF ∠或其补角为异面直线EF 与CG 所成角.…………………………5分在Rt DEF中，EF ===……………………………6分 在11Rt A D E中，1A E ==………………………………………7分在1Rt A AF中，12A F ==……………………………………8分 故，在1Rt A EF中，2221111536cos 2A E EF A F A EF A E EF +-+-∠===⋅∴异面直线EF 与CG所成角的余弦值为15……9分； 方法二：1111,,,1,0,2222EF CG ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ………………………………6分设异面直线EF 与CG 所成角为θ，则cos cos ,EF CG θ=<>== ……………………………………8分∴异面直线EF 与CG9分 （3）方法一：CF ⊥ 面11BB D D ，,CF EF CF DF ∴⊥⊥………………10分 故EFD ∠为二面角E CF D --的平面角，………………………………11分 当E 与1D 重合时，二面角E CF D --达到最大.…………………………12分此时，11,22DF DD EF ===…………………………………………13分所以cos DF EFD EF ∠===，即当二面角E CF D --达到最大时其余弦值为……………………………………………………………………………14分 方法二：设(0,0,)(01)E m m ≤≤，面CEF 的一个法向量为(,,)n x y z =由00n CF n CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得110220x y y mz ⎧-=⎪⎨⎪-+=⎩ 取1z =，则x y m ==，故(),,1n m m =……………………………………11分 面DCF 的一个法向量为()0,0,1v =…………………………………………12分设二面角E CF D --的大小为α，则由图可知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故cos α=，当cos α达到最小即1m =时，二面角E CF D --达到最大，此时cos 3α=……………………………………………………14分18.解：（1） ()()211nn n a a n N ++-=+-∈ 当n 为奇数时，()20n n a a n N ++-=∈，即2n n a a +=因为11a =，故当n 为奇数时，1n a =；…………………………1分 当n 为偶数时，()22n n a a n N ++-=∈，即()22n n a a n N ++=+∈22a = ，故22(1)22k a k k =+-=故当n 为偶数时，n a n =…………………………………………………………3分所以n a 的通项公式为1,,n n a n n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数……………………………………4分（2）由（1）可知，当n 为偶数时，2(2)4212141224n nn n n nS n ++=++++++=+=…………6分 当n 为奇数时，221(1)4(1)(1)1144n n n n n S S --+-+=+=+=………………8分故()221,44,4n n n S n nn ⎧+⎪⎪=⎨+⎪⎪⎩为奇数为偶数………………………………………………9分（3）若4n S t n >⋅-对于*n N ∈恒成立，由（2）可知①当n 为偶数时，即24>t n-44n n+⋅恒成立 不等式转化为24164n n t n++<24164121344n n n n n++=++≥+= ，当且仅当4n =时取等号故3t <……………………………………………………………………11分②当n 为奇数时，即2(1)>t n-44n +⋅恒成立 不等式转化为22174n n t n++<2217171144422n n n n n ++=++≥+ 当且仅当n =ks5u*n N ∈ ，故当3n =时2217843n n n ++=，当5n =时22171345n n n ++=取最小值为135故135t <………………………………………………………………13分 综上所述，t 的取值范围是135t <.……………………………………14分19. 解：(1)由22=e 得,2c a =又,22=b 所以,2222c c +=解得,2,2==a c故椭圆的标准方程为;12422=+y x ……………………………………3分(2)设),,(),,(2211y x N y x M 则由2OP OM ON =+得),(2),(),(221100y x y x y x +=所以,2,2210210y y y x x x +=+=…………………………………………5分因为M 、N 是椭圆12422=+y x 上，所以,42,4222222121=+=+y x y x ……………6分又设ON OM k k 、分别为直线OM 、ON 的斜率，由题意知，,212121-==⋅x x y y k k ON OM 即,022121=+y y x x ……………………………………8分故)44(2)44(22122212122212020y y y y x x x x y x +++++=+,20)(4)2(4)2(212122222121=+++++=y y x x y x y x即2022020=+y x （定值） ……………………………………………………10分(3)由(2)知点P 是椭圆1102022=+y x 上的点，…………………………12分因为,101020=-=c 所以该椭圆的左、右焦点)0,10()010(B A 、，-满足54||||=+PB PA 为定值.…………………………………………………………13分因此存在两个定点A ，B ，使得||||PB PA +为定值．……………………14分 20. 解：（I ）设1201x x ≤<≤，则()210,1x x -∈………………………………1分()210,1,()0,()0x f x f x x ∈>∴-> …………………………………………2分 212111211121()()[()]()()()()()0f x f x f x x x f x f x x f x f x f x x ∴-=-+-=-+-=->…………………………………………………………………………3分即21()()f x f x >，故()f x 在[]0,1上是增函数.…………………………………4分 （II ）因为()f x 在[]0,1上是增函数，则()(1)1f x f ≤=，故1()0f x -≥………5分 当()1f x =时，不等式化为010a ⋅+≥，显然a R ∈；…………………………6分当()1f x <时，不等式化为24()8()544()f x f x a f x -+≤-对于[]0,1x ∈恒成立.………………………………………………………………………………7分设[]24()8()511()144()41()f x f x y f x f x f x -+==-+≥--从而1a ≤…………………………………………………………………8分 综上所述，(],1a ∈-∞……………………………………………………9分（III ）令23411232222n n nT +=++++ ① 则3452112322222n n nT +=++++ ②……………………………………10分 由①-②得2345121111112222222n n n nT ++=+++++- …………………………11分即231111111112222222n n n n n n nT ++=++++-=--< …………………………13分由（I ）可知2341123()(1)12222n nf f +++++<= ……………………………14分ks5u。