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二、2-1点的投影

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第2章正投影的基本理论知识点1.投影法的基本知识2.点的投

第2章正投影的基本理论知识点1.投影法的基本知识2.点的投

2．点在两投影面体系中的投影 (1) 投影 如图2-7所示，空间点A处于第一分角，按正投影法将点A向正面 和水平面投射，即由点A向正面作垂线，得垂足a′，则a′称为空间点A的正 面投影；由点A 向水平面作垂线， 得垂足a ，则a 称为空间点A的水平投影。 画出点A的正面投射线Aa′和水平投射线Aa所确定的平面Aaa′与V、H面的 交线a′ax 和 aax 。
（a）正投影法 图2-2 平行投影法
（b）斜投影法
1.正投影法的投影特点 (1)真实性。当物体上的平面（或直线）与投影面平行时，其投影反映实形（或实长）， 这种投影特性称为真实性。如图2–3（a）所示。 (2)积聚性。当物体上的平面（或直线）与投影面垂直时，则在投影面上的投影积聚为一 条线（或一个点），这种投影特性称为积聚性。如图2–3（b）所示。 (3)类似性。当物体上的平面（或直线）与投影面倾斜时，其投影的面积变小（或长度变 短），但投影的形状仍与原来形状类似，这种投影特性称为类似性。如图2–3（c）所示。
（a）
（b） 图2–4 物体的单面正投影
（c）
图2–5 三面正投影 多面正投影具有良好的度量性，只要物体上的平面或直线ห้องสมุดไป่ตู้某一投影面平行，就 能反映其实形或实长，故在工程中被广泛应用，是绘制工程图样的理论基础。
2.2点的投影 点是组成形体最基本的几何元素。要想正确地画出物体的视图，首先应该掌握点的投影规 律。 2.2.1点在两投影面体系中的投影 1.两投影面体系的建立 两投影面体系由互相垂直相交的两个投影面组成，如图2-6所示，其中一个为水平投 影面（简称水平面），以H表示，另一个为正立投影面（简称正面），以V表示。两投影 面的交线称为投影轴，以OX表示。 水平投影面H与正立投影面V将空间分为四个部分，称为四个分角，即第一分角、 第二分 角、 第三分角、 第四分角。 图 2-6 两 投 影 面 体 系 的 建 立

2-2 点、线、面的投影特性

2-2 点、线、面的投影特性

2-2 点、线、面的投影特性一、点的投影1、点的三面投影点是组成物体最基本的几何元素。

如图2-9所示，在三投影面体系中，由空间点A（x，y，z）分别向三投影面作正投影，得其三面投影a（x，y）、a′(x，z）、a″（y，z），即过点A分别作三投影面的垂线，其垂足即为点A的三面投影；展开H面和W面，得到点A的三视图：a 、a′长对正，a′、a″高平齐，a 、a″宽相等，如图2-10所示。

图2-9 点的三面投影图2-10 点的三视图例1 ：已知空间点B的两面投影b ，b′，如图2-11所示，求其第三面投影b″。

分析：空间点B的三面投影b 、b′、b″符合“长对正，高平齐，宽相等”的投影规律。

作图： b′与b″高平齐，b与b″宽相等，则其交点即为b″。

图2-11 求点的第三面投影图2-12 求点的三面投影例2 ：已知空间点D(5,4,3)，如图2-12所示,求其三面投影。

分析：空间点D的三面投影分别为d（x，y）、d′（x，z）、d″（y，z），且符合“长对正，高平齐，宽相等”的投影规律。

作图：分别在三投影轴上取x1=5，y1=4，z1=3，按“长对正，高平齐，宽相等”的投影规律分别作直线段，交点即为空间点D的三面投影（d 、d′、d″）。

2、两点的相对位置空间两点的相对位置是指空间两点间前后、左右、上下的位置关系。

两点在空间的相对位置可以根据两点的坐标值来判定，如图2-13所示。

X坐标确定两点的左右位置关系。

X坐标值大的点在左；Y坐标确定两点的前后位置关系。

Y坐标值大的点在前；Z坐标确定两点的上下位置关系。

Z坐标值大的点在上。

图2-13 两点的相对位置故A点在B点的右，后，上方，即B点在A点的左，前，下方。

3、重影点及其可见性判断若空间两点在某一投影面上的投影重合，则称这两点为该投影面的重影点。

此时，这两点位于同一投射线上，且有两个坐标的值分别相等，不等值的坐标之大小可以确定重影点的可见性，即X、Y、Z坐标值大的点分别位于左方、前方、上方，为可见点，如图2-14所示。

工程制图复习题 附答案

工程制图复习题 附答案
第2章 正投影法和基本几何元素的投影
班级
学号
姓名
2-1 点的投影。
(1)求下列点的第三投影，并判断它们的空间位置。 (2)求下列点的第三投影，并判断重影点的可见性。
(3)点A位于点B之后、之下、之右皆为10mm，求点 A的三面投影。
在 分角
在 面内
在 面内
在 面内
(4)已知:点A和点B与V、W面等距，并且点A在B之下10mm， 求：点A的三面投影。
第3章 几何立体的投影
3-1 画出立体的第三面投影，并求表面上A、B两点的其余二投影，保留作图线。
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
第4章 截切立体的投影
4-1 画出截切平面立体的第三面投影，保留作图线。
(1)
(2)
班级
学号
姓名
4-2 画出截切平面立体的侧面投影，并补全水平投影。
(1)
(3)
(4)
2-2 直线的投影。
(1)求下列直线的第三投影，并判断它们的空间位置。
(2)已知：点C在AB上，且AC=10mm。 求：点C的两投影。
(3)已知：点C在AB上，且AC：CB=2：1。 求：点C的两投影。
水平线
正垂线
(4)分别判断下列两直线的相对位置。
一般位置线
(5)已知：直线AB平行CD，且CD=15mm。 (6)作一水平线MN与下列三直线均相交。 求：CD的两面投影。
(5)
(6)
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
8-6 补画半剖视图中所缺的图线。
(1)

机械制图第二章 点

机械制图第二章 点

Z
V a′
A a″ W
X
O
H
a
直观图
Y
23
24
不动
V
a′ A
X
a
向下翻
H
Z
向后翻
a″ W
O
Y
25
26
27
Z
V a′
a″ W
H
X O
a YH
YW
28
Z
V a′
a″ W
H
X O
a YY HYW源自29Za′a″
X O
a YY H
YW
投影图
30
为了确定点在空间的具体位置，在 投影图中引入坐标系。
O
a
ay
H
Y
51
直观图7
Z
V a′ az
A
a″
W
X
ax
O
a
ay
H
Y
52
例3：已知点A、点B的两面投影，求第三面投影，再
以点A为基准点，标出两点的相对位置,并画出它们的 直观图。
53
54
二、特殊位置的点
1、落在投影面上的点
Z
a′
VA X
W O
b′
X
a
H
b B
Y
Z
a″
b″
O
Y
Y
55
2、落在投影轴上的点
有点 A（x、y、z），就有唯一确定 的投影图（a a′a″）。
画出A的投影图（a a′a″），也就 有唯一地确定该点 A（x、y、z）坐标值。
31
32
33
三面投影图点的投影规律
1、点的正面投影与水平投影连线垂直 于OX轴（a′a⊥OX），反映该点的X坐标值。

机械制图—第二章 点、直线和平面

机械制图—第二章 点、直线和平面

§2-3 直线投影 例：过C点作直线与AB垂直相交。 分析：
AB为正平线, 正面投 影反映直角。
c c
●
.
d
b
●
a
d
b
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§2-3 直线投影 六、直角三角形法求一般位置直线的实长及倾角 分析：过A点作AC∥ab，
V
b
B a
则得到直角三角形ABC。
ΔZ
X

A a
O
C
b H
在该三角形中AC＝ab， BC＝Bb－Aa＝ Δ Z Δ Z(A、B两点的Z坐标差)， 而∠BAC 即α 角， 斜边即AB实长。
投射中心 投射线
空间物体
投影 投影面
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§2-1 投影法的基本知识 二、投影法的分类
投影法有两类:中心投影法和平行投影法
中心投影法
平行投影法
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§2-1 投影法的基本知识 三、投影法的基本特性
1.中心投影法 投影特性：
投射中心、物体、 投影面三者之间的相 对距离对投影的大小 有影响，度量性较差。
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§2-3 直线投影 ⒉ 两直线相交
V c
b
k
a A a c C
b d K D d k a B a H
c
k
d
d c k b
b
特点：交点是两直线的共有点 判别方法： 若空间两直线相交，则其同面投影必相交， 且交点的投影必符合空间点的投影规律。
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§2-3 直线投影 例：过C点作水平线CD,且与AB相交。 分析: CD为水平线, 所以其正面投影平 行于OX轴,因此,先 作出CD的正面投影, 从而找到CD与AB交 点的正面投影。

工程图学基础A教案-2点线面投影

工程图学基础A教案-2点线面投影

【教学内容与过程设计】教学内容过程设计一、点在一个投影面上的投影图1 图2过空间点A向投影面H 引垂线，得到的垂足a即为空间点A在H面上的正投影，见图1。

在投影线任取一点B，，其在H面上的投影与A的投影重合。

结论：在一定的投影条件下，空间一点有其唯一确定的投影，投影a 有无数个空间与其对应。

二、点在两投影面体系中的投影引入：点在一个投影面上的投影能不能确定点的空间位置？（图2）如何解决？——增加投影面。

1、两投影面体系（图3）在图1的基础上再增加一个投影面，处于正面直立位置且与H面相互垂直，这样就建立两投影面体系。

水平投影面——H面；正面投影面——V面；OX投影轴。

图3 图4 ★黑板上画出空间示意图（由图1逐步演变为图3）。

点对一个投影面的投影（图1）点在两投影面体系中的投影（图3）点在三投影面体系中的投影（图5）2、空间点A在两个投影面上的投影（图3）过空间点A分别向H、V面引垂线，得到的垂足a、a'分别为空间点A在H-V两面投影体系中的投影。

A —空间点；a—点A的水平投影；a'—点A的正面投影；3、投影面的展开（图3）为了方便表达，需要将两个相互垂直的投影面展开到同一平面内。

规定：V面保持不动，H面向下旋转90°，使得H面和V面处于同一平面内，从而得到点的两面投影图。

注意：a、a'、a x三点共线，并且垂直OX轴。

4、点的两面投影规律①a'a⊥OX轴，点的水平投影与正面投影的连线垂直于OX轴；②aa x =A a'，a'a x=A a，点的水平投影到X轴距离反映该点到V面距离，点的正面投影到X轴距离反映该点到H面距离。

注意：给了点的水平投影和正面投影就可确定该点的空间位置，同样给了一个空间点就有唯一一组水平投影和正面投影与其对应。

A （a，a'）三、点在三投影面体系中的投影引入：点的两面投影已经能确定该点的空间位置，但为更清楚地表达某些几何体的形状和结构，需采用三面投影图。

2.2.1点的投影

2.2.1点的投影
2.2.1 点的投影
2020/3/26
我们带着梦想家
点的投影
【学习内容】 一、点的三面投影 二、点的投影特性 三、点的投影与坐标 四、两点的相对位置
2020/3/26
我们/3/26
我们带着梦想家
点的投影
二、 点的投影特性
点的投影永远是点。
三、 点的投影与坐标
按统一规定， 空间点用大写字母A、B、C…标记。 在H面上的投影用相应的小写字母a、b、c…标记； 在V面上的投影用小写字母加一撇a′、b′、c′…标记； 在W面上的投影用小写字母加两撇a″、b″、c″…标记。
见性。
【课堂练习】 教材P34例2-1，求点的三面投影；P35例2-2求点 的第三面投影。
【课后作业】
1 ．机械制图习题集（多学时）2-5、2-6。 2 ．怎样根据点的已知两投影作出第三投影？
2020/3/26
我们带着梦想家
点的投影
x z
y z
y
x
2020/3/26
点A到H面的距离 Aa=a'aX=a"aY=点A的z坐标； 点A到V面的距离 Aa'=aaX=a"aZ=点A的y坐标； 点A到W面的距离 Aa"=a'aZ=aaY=点A的x坐标。
我们带着梦想家
[例题1]已知点的坐标，求作点的三面投影。 动态演示：已知点的坐标，求点的三面投影
[例题2]已知点的两面投影，求作其第三面投影。
4、两点的相对位置
两点的相对位置是以一点为基准，判别其他点相对于这一点的左右、 高低、前后位置关系。在三投影面体系中，两点的相对位置是由两点的坐 标差决定的。
如图所示，就是点B在点A的右、前、上方。
2020/3/26

机械制图中点的两面投影

机械制图中点的两面投影
V
≡b
D ≡d ≡d’ X
B
A ≡a’ b’ a
O
c
投影图
C≡c’ B≡b
≡d’ D ≡d
X
A ≡a’
a O
点A 在V 面上 点B 在H 面上 点C 在V 面上 点D 在投影轴上
c C≡c’
b’
§2-2 点的两面投影
本节结束
§2-2 点的两面投影
§2-2 点的两面投影
二、点的两面投影的投影特性
1.点的两面投影
v
符号规定
空间点——大写字母
a’
A aX
H 投影——小写字母 V 投影——小写字母加一撇 O
投影面展开
X
a
§2-2 点的两面投影
二、点的两面投影的投影特性
1.点的两面投影
v
符号规定
空间点——大写字母
a’
A aX
H 投影——小写字母 V 投影——小写字母加一撇 O
§2-2 点的两面投影
二、点的两面投影的投影特性
3.其它分角点的投影图 空间位置
V
B b’ d
a’ O
c C
b
X c’ d’
A
a
投影图
c
b
a’
D
Ⅰ 分角内的点A Ⅱ 分角内的点B Ⅲ 分角内的点C Ⅳ 分角内的点D a
b’
O

c’
d d’
§2-2 点的两面投影
二、点的两面投影的投影特性
特殊位置点的投影： 空间位置
投影面展开
X 90°
a
§2-2 点的两面投影
二、点的两面投影的投影特性
1.点的两面投影
v
符号规定
空间点——大写字母

《机械制图》教案——第二章-2 点线面的投影

《机械制图》教案——第二章-2 点线面的投影

点、直线和平面的投影教学目的要求:1.点的投影及作图.2.各种位置直线的投影,及两直线的相对位置.3.直角三角形法求直线的实长和倾角,直角定理.4.各种位置平面的投影,平面上取点取线的作图.教学重点难点:1.各种位置直线的投影.2.各种位置平面的投影.3.平面上取点取线的作图.学时: 3§ 1点的投影1.1点的三面投影本节教学目标：点在第一分角中各种位置的投影特性和作图方法。

重点：点在两投影面体系及三投影面体系中的投影，两点的相对位置及重影点的投影。

难点：重影点的投影。

引入：点是最基本的几何元素，以此来分析点在空间中的位置关系及规律。

1.1.1三面投影的规律点的三面投影：水平投影 a → H正面投影 a´→ V侧面投影 a″→ W点的三面投影规律：a′a ⊥ oxa′a″⊥ oza aх =a″az1.1.2点的投影与坐标的关系一、三投影面体系中点的投影A a = a′ax = a″ay = 高标（Z标）A a′= a ax = a″az = 纵标（Y标）A a″= a′az = aay = 横标（X标）V、H 投影反映XV、W 投影反映ZH、W 投影反映Y1.点在三投影面体系中的投影空间点 A的位置确定后，那么它的三面投影（ a、a′、 a″）投影就确定了，反之如果空间一点的三面投影确定，则空间点的位置也就确定。

2.术语及规定习惯上我们将空间点用大写的字母表示，其投影用相应的小写字母表示。

3.投影性质点的两投影的连线垂直于相应的投影轴；点的投影到投影轴的距离反映空间点到投影面的距离。

二、特殊位置点的投影1.其他分角内的点两投影面体系——四分角；三投影面体系——八分角。

2.其他情况投影面上的点的投影关系；投影轴上的点的投影关系1.2两点的相对位置和重影点1.2.1两点的相对位置根据两点相对于投影面的坐标不同，即可确定两点的相对位置。

XA<XB B点在A左方 YA>YB B点在A点后方 ZA>ZB B点在A点下方例：比较三棱锥四个顶点S、A、B、C的位置。

二投影的基本知识

二投影的基本知识

（2）从属性 点在直线上，点的正投影一定在该直线的正投 影上。点、直线在平面上，点和直线的正投影一定 在该平面的正投影上，这种性质称为正投影的从属 性。如图I-4所示。
（a）
图I-4从属性
（b）
（3）定比性 点在直线上，点分该直线成一定比例的两段， 那么，点的投影也分直线的投影成相同比例的两段。 这一特性称为定比性。
图2-2-1作直线的三面正投影图（投影面的倾斜线）
（二）各种位置直线的投影特性 空间直线按其相对于三个投影面的不同位置关系 可分为三种：投影面平行线、投影面垂直线和投影面 倾斜线。前两种称为特殊位置直线，后一种称为一般 位置直线。 投影面平行线 1．定义：指平行于一个投影面，而倾斜于另外两 个投影面的直线。 2．分类及投影图：投影面平行线可分为：正平线、 水平线、侧平线。这三种平行线的投影图如表2-1所示。
（a）中心投影 （b）斜投影 （c）正投影
图I-2投影的分类
二、正投影的基本性质 （1）同素性 点的正投影仍然是点，直线的正投影一般仍为直 线（特殊情况例外），平面的正投影一般仍为原空间 几何形状的平面（特殊情况例外），这种性质称为正 投影的同素性。如图I-3所示。
（a）点的投影 （b）直线的投影 （c）平面的投影 图I-3同素性
图I-15形体的三面正投影图
2、轴测投影图 图I-16是形体的轴测投影图（也称立体图）。它 是用平行投影的正投影法绘制的单面投影图。 优点：立体感强，非常直观。 缺点：作图较繁，表面形状在图中往往失真，度 量性差，只能作为工程上的辅助性图样。
图I-16形体的轴测图
3、透视投影图 图I-17是形体的透视投影图。它是用中心投影法绘 制的单面投影图。 优点：图形逼真，直观性强。 缺点：作图复杂，形体的尺寸不能直接在图中度量 ，故不能作为施工依据，仅用于建筑设计方案的比较及 工艺美术和宣传广告画等。

2-1-2 点的投影和坐标

2-1-2 点的投影和坐标
c
a b
O c YH
b YW
a
c b ax c
ab
a
c b
投影面上点，其该面投影与点本身重合，另两投影在相应的投影轴上；
投影轴上点，有两个投影与点本身重合，另一投影与原点重合。
三、两点间的相对位置
a
az
b
a
ax
b
ab
ay
a b
b a
§2－1 点的投影
a b
两点中X坐标大的点 —— 在左方 两点中Y坐标大的点 —— 在前方 两点中Z坐标大的点—— 在上方
二、点的投影和坐标
§2－1 点的投影
1.点的坐标 2.点的投影
a
az
a(
) aza() Nhomakorabeaa
ax
ax
每个投影反映点
a
ay
的两个坐标；
a(
)
每个坐标在两个
投影中得到反映
。
XA(Oax)＝ Aa —— 点到W投影面的距离；
YA(Oay)＝ Aa —— 点到V投影面的距离；
点的坐标与点 到 投影面的距
ZA(Oaz)＝ Aa —— 点到H投影面的距离； 离
两点间的相对位置 可用它们同方向的 坐 标差来判断
a
az
b
a
ax
b
ab
ay
a b
b a
A在B的左方XA-XB处 A在B的前方YA-YB处 A在B的上方ZA-ZB处
§2－1 点的投影
a b
点A在点B的左、 前、上方
§2－1 点的投影
例：已知点的坐标，求投影。A( 15, 8, 10 ), B( 15, 8, 0 ), C(15, 0, 0 ) Z

《园林制图--点的投影》教案

《园林制图--点的投影》教案

《点的投影》教案教学过程复习提问（5分钟）1、三视图的三等关系是如何叙述的？2、三投影面体系中各个平面的代号分别是什么？导入新课（2分钟）点、线、面是构成物体形状的基本几何元素。

学习和掌握它们的投影特性和规律，能够透彻理解园林图样所表达的内容。

讲授新课（35分钟）§3-1点的投影一、点在三面投影体系中的投影1．三面投影体系的建立在V、H两面的基础上再增加一个右侧立面，使之与V、H相互垂直，此面以W 表示，称W面。

这样V、H、W互相垂直，组成一个三投影面体系。

V、H面的交线称X轴；V、W面的交线称Z轴；H、W面的交线称Y轴。

X、Y、Z三轴的交点O称为投影原点。

2．点在三面投影体系中的投影设有一空间点A、分别向H、V、W进行投影的a，a′，a″。

a″称为A点的侧面投影。

摊平时，设V面不动，H向下转90°，W面向右后转90°，Y轴随H的以Y H表示，随W的以Y W表示。

省略投影面边界。

3．点在V、H、W中的投影规律(1)、点的正面投影和水平投影均反映空间点的X坐标，所以点的正面投影和水平投影的连线垂直X轴，即a′a⊥X轴；（2、点的正面投影和侧面投影均反映空间点的Z坐标，所以点的正面投影和侧面投影的连线垂直Z轴，即a′a″⊥Z轴；（3）、点的水平投影和侧面投影均反映空间点的Y坐标，所以点的水平投影到X轴的距离等于侧面投影到Z轴的距离，即aa X=a″a Z。

根据两点相对于投影面的坐标不同，即可确定两点的相对位置。

XA<XB B点在A左方YA>YB B点在A点后方教学过程设计4．点的投影与直角坐标的关系把三面投影体系看作为空间直角坐标体系，则H、V、W面为坐标面，X、Y、Z 轴为坐标轴，原点O为坐标原点。

如上图，空间点A的三个直角坐标X A、Y A、Z A即为A点到三个坐标面的距离，它们与A点的投影a,a′,a″的关系如下：Aa″=aa y=a x o=a′a z=X A;Aa′=aa x=a Y o=a″a z=Y A;Aa=a′a X=a Z o=a″a Y=Z A。

机械制图第二章 点

机械制图第二章 点

aa ′⊥
OX
13
三、两面投影图的性质
ax
X
a′
O
a 1、 一点的两面投影连线垂直于投影轴 (aa′⊥OX), 2 、点的水平投影到OX轴的距离等于点到V面的距 离，正面投影到OX距离等于该点到H面的距离。
14
三、两面投影图性质

a a⊥OX a ax =A a =ZA a ax = A a = Y A
第二章
点
§2-1 两投影面体系中点的投影
§2-2 三投影面体系中点的投影
1
§2-1 两投影面体系中点的投影 S 投射中心
投射线
A 空间点
投射面
a 投影
2
3
S 投射中心 投射线 点在一个投影 面上的投影不能确 定点的空间位置。
投射面
a 投影
4
一、点的两个投影能唯一确定该点的空间位置
向H V面投影
6
O
b
Y
64
例3：已知点A坐标（x、y、z），又知B在点A的 右方10，上方8和前方6，求点B的投影。 解：5 Z b′ b″ a′
10
8
a″ Y
X a
bx
6
O
b
Y
65
66
四、重影点
V
a′ c′
A
O
X
ax
C
c a
67
上遮下
a′
c′ X a O （c） Y Z
▲z a ″ c″
坐标大的在上
Y
68
15
四、其他分角内点的投影
2
V 1 O
X 3 4
16
§2-2 三投影面体系中点的投影
17

画法几何及工程制图第一章点线面的投影

画法几何及工程制图第一章点线面的投影
§1.3 直线的投影 一、各种直线投影 二、直线实长倾角 三、直线上的点 四、直线的迹点 五、直线相对位置
§1.4 平面的投影
1．投影面垂直线
(2) 正垂线
总目录
一、各种位置直线的投影
点击看投影图
§1.1 投影的基本 知识
§1.2 点的投影
§1.3 直线的投影 一、各种直线投影 二、直线实长倾角 三、直线上的点 四、直线的迹点 五、直线相对位置
点；当平行图形平行于投射方向S 时，其投影为 直线。
§1.1 投影的基本 知识
一、投影法基本概念
二、投影法的分类
三、平行投影的性质
四、形体三面投影图
7.真实性
三、平行投影的基本性质
§1.2 点的投影 §1.3 直线的投影 §1.4 平面的投影
总目录
♦当线段平行于投影面时，其投射反映实长 ♦当平面平行于投影面时，其投影反映实形
总目录
4. 简比不变
三、平行投影的基本性质
♦直线上三个点的简单比是平行投影的不变量。 即AC:BC = ac:bc
§1.1 投影的基本 知识
一、投影法基本概念
二、投影法的分类
三、平行投影的性质
四、形体三面投影图
5. 相仿性
三、平行投影的基本性质
§1.2 点的投影 §1.3 直线的投影 §1.4 平面的投影
§1.1 投影的基本 知识
一、投影法基本概念
二、投影法的分类
三、平行投影的性质
四、形体三面投影图
四、形体的三面投影图
1．三面投影体系的建立
§1.1 投影的基本知识
§1.2 点的投影 §1.3 直线的投影 §1.4 平面的投影
总目录
（a) 结构不同的两形体在同一投 影面上的投影相同，这表明，一 个投影面不能表达立体的结构和 形状。

机械制图点、、面的投影

机械制图点、、面的投影

表示。 投影长分别是：
a b = AB cosα
ab = AB cosβ
ab=AB cosγ
回本章 回本讲
一般位置直线投影特性
各投影的长度均小于直线本身的实长。 直线的各投影均不平行于各投影轴。
回本章 回本讲
一般位置直线的实长
直角三角形法
求直线的实长与倾角.swf
第三节 两直线的相对位置 两直线平行
aYH
a0
H
YH
YH
YH
点的三面投影与坐标的关系：AAaa’=’=aa’a’ax=z=aa’’aayy==aaxzOO==XZAA
Aa’=aax=a’’az=ayO=YA
点的正面投影和水平投影的连线垂直于X轴，即a’a⊥OX
点的正面投影和侧面投影的连线垂直于Z轴，即a’a’’⊥OZ
点的水平投影到X轴的距离等于点的侧面投影到Z轴的距离，
即a’a⊥OX。
回本章 回本讲
例：已知C点的两面投影c’和c’’，求作第三投影c。
作法：
Z
（1）从原点O做YW、YH的45°分角线；
c’
（2）过c’作OX轴垂线c’c；
（3）过c’’作YW轴的垂线与45°分角线相 X
O
交；
（4）过交点作YH轴的垂线与cc’方向的连
线相交即得c。
c
YH
c’’
YW
回本章 回本讲
两直线平行
两直线平行
两直线相交
两直线相交
两直线相交
两直线交叉
第三章 平面的投影
第一节 平面投影的表示方法
不在同一 直线上的 三个点
直线及线 外一点
两相交 直线
两平行 直线
平面 图形
回本讲

第二章 正投影的基本知识

第二章 正投影的基本知识

第二章正投影的基础知识本章教学目标要求:1.熟悉投影法的基本知识及三视图的对应关系。

2.掌握点的投影及投影规律3.掌握线、面的投影特性。

本章重点难点：点、线、面的投影特性。

回概述：实际工程中的各种技术图样，都是按一定的投影方法绘制的，机械工程图样通常是用正投影法绘制。

本章首先学习介绍投影法的基本知识和物体三视图，再讨论点、线、面等几何元素的投影原理，为学习后面的内容奠定基础。

§2-1 投影法和三视图的形成§2-2 点的投影§2-3 直线的投影§2-4 平面的投影如图，建立一个平面P 和不在该平面内的一点S ，在平面P 和点S 之间放一物体A 。

过点S发射一光线SA ，SA 与平面P 的交点a 称为物体A 在平面P 上的投影。

这种确定空间物体投影的方法，称为投影法。

一、投影法的基本知识1.投影法§2-1投影法和三视图的形成图2-1 投影法2.投影法分类中心投影法：投影线汇交一点的投影法。

平行投影法：所有投影线相互平行的投影法。

斜投影法：投影线与投影面相倾斜的平行投影法。

正投影法：投影线与投影面相垂直的平行投影法。

AC baBcACBBC Acb aab c S投影中心投影面P投影方向投影面P投影面P投影方向投影线中心投影法正投影法斜投影法3.平行投影法的投影特性⑶类似性（同形性）:当直线或平面图形不平行、也不垂直投影面时，直线的投影仍为直线，平面图形的投影是原图形的类似形。

正投影时，其投影小于实长或实形。

⑴实形性（真迹性）：线段或平面图形平行于投影面，其投影反映实形或实长。

⑵积聚性：直线或平面图形平行于投射线，其投影积聚成点或直线。

⑸定比性：两平行线段长度之比，等于其投影长之比。

直线上两线段长度之比，等于其投影长之比。

⑷平行性：两相互平行直线，其投影平行。

⑹从属性：直线上的点或平面上的点和直线，其投影必在直线或平面的V投影面正投影投影线A BPRC D图2-3 平行投影法的投影特性注意：投影不等于影子图2-4 影子和投影•仅有一个投影是不能准确、真实地表达物体的形状。

第2章 投影基础

第2章 投影基础

● a
W O
ay
Y
点的两面投影连线，必定垂直于相应的投影轴
② aax= aaz = A到V面的距离 aax= aay= A到H面的距离 aaz= aay = A到W面的距离
影轴距=点面距
点的投影到投影轴的 距离，等于空间点到相 应的投影面的距离
点的三面投影的特性
1、V、H两投影都反映横标，且投影连线垂直X 轴；aa⊥OX轴。
第2章 投 影 基 础
2.1 投影法和三视图的形成 2.2 点的投影 2.3 直线的投影 2.4 平面的投影 2.5 换面法
2.1 投影法和三视图的形成
2.1.1 投影法 2.1.2 正投影的基本性质 2.1.3 三视图的形成及其投影规律
2.1.1 投影法
1 投影法的定义 2 投影法的三要素 3 投影法的分类 4 中心投影法 5 平行投影法
O
Y
Y投影轴
投影面的展开
2. 三视图的形成
三视图
主视图
由前向后投射在正面所得的视图
俯视图
由上向下投射在水平面所得的视图
左视图
由左向右投射在侧面所得的视图
三面投影的形成
3. 投影面的展开
规定 : V面保持不动，H面向下绕OX轴旋转900，W面向右绕OZ轴
旋转900。
V
Z 向右
X
向下
O
YW
YH
展开后的情况
2.1.1 投影法
1 投影法的定义 假想用一束光线照射物体，使其在平面上留下 影子的方法。
P
● a A●
2 投影法的三要素 （1）物体；（2）投影面；（3）投射线
投影的形成
投射线
b a 投影
3 投影法的分类 画透视图

机械制图第二章习题答案

机械制图第二章习题答案

X
a
c
O RH d（e）
PH
v
v
QV
b PH
RH
第11页
第二章 点 直线 平面的投影
2-3 平面的投影 6.补全平面图形ABCDE的两面投影。
答案
a'
e'
b'
d'
c'
e' a'
b'
d'
c'
Xa
O
e
b
c
d
在平面上取相交线
Xa
O
e
b
d c
在平面上取平行线和相交线
第11页
第二章 点 直线 平面的投影
2-3 平面的投影 7.已知圆心位于A点直径30的圆为侧平面，作圆的三面投影。
7.已知AB与CD平行，且分别与EF、GH交于A、B两点，求
直线AB的两面投影。
答案
d' g'h' b'
e'
a'
c' x
f' o
af h c
eb
第10页
d
g
第二章 点 直线 平面的投影
2-3 平面的投影
1.根据下面各平面投影图填空： d'
c'
b'
e'
a'
f'
X
cO X d
a
e
b
f
答案
l' Zl"
m'
m"
O
n'
n"
O
ABC是正垂 面 DEF是 侧平 面 LMN是 侧垂 面 =30º;= 6;0º= 。90º= ;9=0º ；9=0º。=0º ；=60º；=30º 90º
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• 由点的投影图判别两点在空间的相对位置， 首先应该了解对空间的一个点来说有前、后、 左、右、上、下等六个方位。如图所示。
这六个方位在投影图上也能反映出来。
V上
Z 上W
左
右
后
前
下
下
X
后
O
YW
左
右
前
H
YH
点的相对位置
两点中X 值大的点 ——在左 两点中Y 值大的点 ——在前 两点中Z 值大的点 ——在上
A点的正面投影 —— a
A点的侧面投Z影 —— a
V a
V
Z
a
A
a
OWX
O
Ha
Y
a
H
YH
W
a
YW
2、点的投影特性
（1）点的投影连线垂直于投影轴。
（2）点的投影与投影轴的距离，反映 该点的坐标，也就是该点至相应投影面 的距离。
见图所示。
点的投影规律
2. aaz = aay = x
aaz = aax = y
aax =aa y = z
Z
V a
az
y
x a” X ax z O W
1. aa OX aa OZ
V
Z
a
az
W
a
X ax
O ay YW
a H
ay Y
ay
a
H
YH
3.特殊位置的点：
• 当点在某一投影面上时，它的坐标 必有一个为零，三个投影中必有两 个投影位于投影轴上；
• 当点在某一投影轴上时，它的坐标 必有两个为零，三个投影中必有两 个投影位于投影轴上，另一个投影 则与坐标原点重合；
第二章 点、直线和平面
§2-1 点的投影
点的三面投影 点的投影与坐标 两点的相对位置 重影点及其可见性的判别
一、点的三面投影
将空间点A置于投影体系中， 由A点分别向三个投影面作垂 线，三个垂足就是点A在三个 投影面上的投影。用相应的 小写字母表示。
1.点的三面投影图画法
A点的水平投影 —— a
一点在另一点的正前方或正后方， 这两点就是对V面的重影点；
一点在另一点的正上方或正下 方，这两点就是对H面的重影点；
一点在另一点的正左方或正右方， 这两点就是对W面的重影点。
重影点的投影
重影点在标注时，将不可见的点的投影加 上括号，如图中的（f）。
• 作业：
• 附加1. 试说明在三投影面 体系中，空间点前、后、左、 右、上、下六个方位是如何 反映的。
Z
a
Z
a
b
A
a
b
X
O
X
O
B
b
b a
b Y
a YH
a
b
YW
例题2 已知A点在B点之右8毫米，之前5毫米，之上9 毫米，求A点的投影。
Z
a
a
9
b
X
xB-xA=8
O
b
YW
5
b
a YH
四、重影点及其可见性判别
a
d(c)
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
重影点及其可见性
若两个点处于垂直于某一投 影面的同一投影线上，则两个 点在这个投影面上的投影便互 相重合，这两个点就称为对这 个投影面的重影点。
• 当点在坐标原点上时，它的三个坐 标均为零。
投影面和轴上的点投影
V
b
V Bb
aXa CcX NhomakorabeaO
c
b
b a
Aa
H
H
c
O c
例题1 已知点A的正面与侧面投影，求点A的水平投影。
Z
a
a
X
O
YW
a YH
a
Z
a
注：因为
平面是无
限大的， X
O
Y
所以一般
不画出平
面边框。
a
Y
三、两点的相对位置