高中数学第一讲坐标系四柱坐标系与球坐标系简介成长训练新人教A版

一 平面直角坐标系更上一层楼基础·巩固1已知点P 的柱坐标为(2,4π,5)，点B 的球坐标为(6,3π,6π)，则这两个点在空间直角坐标系中的点的坐标为( ) A.P 点(5,1,1)，B 点(26,423,463) B.P 点(1,1,5)，B 点(26,423,463) C.P 点(26,423,463)，B 点(1,1,5) D.P 点(1,1,5)，B 点(423,463,26) 思路解析：设P 点的直角坐标为(x,y,z),x=2·cos4π=2·22=1,y=2·sin 4π=1,z=5.设B 点的直角坐标为(x,y,z),x=6·sin3π·cos 6π=6·4632323=•, y=6·sin3π·sin 6π=6·23·21=463,z=6·cos 3π=6·21=26.所以点P 的直角坐标为(1,1,5),点B 的直角坐标为(463,423,26). 答案：B2如图1-4-8，在柱坐标系中，长方体的两个顶点坐标为A 1(4,0,5),C 1(6,2π,5)，则此长方体外接球的体积为________________.图1-4-8思路解析：由长方体的两个顶点坐标为A 1(4,0,5),C 1(6,2π,5),可知OA=4,OC=6,OO 1=5, 则对角线长为77654222=++,那么球的体积为34·π·(277)3=67777π.答案：67777π3我国首都北京的球坐标为(6 370,50°,θ)，求北京所在的纬线的长度约为多少千米?（地球半径约6 370 km,cos40°=0.766 0）思路解析：如图,可根据点A 的球坐标找到纬度圈上的半径，从而可以求出纬线的长度来. 解：首都北京的球坐标为(6 370,50°,θ)，设为点A ，则|OA|=6 370，∠AOO ′=50°，∴|O ′A|=|OA|·sin50°=|OA|·cos40°=6 370×0.766 0，所以纬度圈长为2×3.142×6 370×0.766 0=3.066×104km.4在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,CA ＝CB ＝1，∠BCA=90°，棱AA 1=2，M 是A 1B 1的中点.求出点M 的空间直角坐标,柱坐标,球坐标来. 思路解析：建立适当的坐标系，如图.求点M 的空间直角坐标，需要找到(x,y,z)；求点M 的柱坐标，需要找到(ρ,θ,z)；求点M 的球坐标，需要找到(r,φ,θ).解：过点M 作底面xCy 的垂线MN ，∵ABC —A 1B 1C 1是直三棱柱，∴N 点在直线AB 上.由点N 分别作x 轴,y 轴的垂线EN,NF ，根据已知可得△ABC 是等腰直角三角形， ∴EN=NF=21，这样，点M 的空间直角坐标为(21,21,2)； 由于点M 在平面xCy 的射影为点N ，CN 的长度与∠ECN 的大小就是点M 的柱坐标的量，CN=22，∠ECN=4π，这样，点M 的柱坐标为(22,4π,2)； CM=r=2232)22(22=+，在△CC 1M 中，tan φ=42222=，这样点M 的球坐标为(223,arctan 42,4π). 5如图1-4-9，两平行面去截球，在两个截面圆上有两个点，它们的球坐标分别为A(25,arctan724,θA )、B(25,π-arctan 43,θB )，求出这两个截面间的距离.图1-4-9思路解析：根据已知可得球半径为25,这样就可以在Rt △AOO 1和Rt △BOO 1中求出OO 1及OO 2的长度来,可得两个截面间的距离为O 1O 2. 解：由已知,OA=OB=5,∠AOO 1=arctan724,∠BOO 1=π-arctan 43, 在△AOO 1中,tan ∠AOO 1=724=121211)()(OO OO OA OO A O -=.∵OA=25,∴OO 1=7.在△BOO 2中,∠BOO 2=arctan 43,tan ∠BOO 2=43=222222)()(OO OO OB OO BO -=.∵OB=25,∴OO 2=20.故O 1O 2=OO 1+OO 2=7+20=27.6如图，在柱坐标系中，O(0,0,4),A(3,θa ,4),B 1(3,θb ,0)，其中，θa -θb =60°，求直线AB 1与圆柱的轴OO 1所成的角和AB 1的长.图1-4-0思路分析：由点O,A,B 1的柱坐标，可知圆柱的高为4，底面半径为3，∠AOB=60°. 解：作OB ∥O 1B 1交上底圆周于点B ，连结AB ，∠AOB=60°，则△OAB 为等边三角形.∵OB ∥O 1B 1,∴BB 1与AB 1所成的角就是AB 1与圆柱的轴OO 1所成的角. 又BB 1垂直AB 所在平面，∴BB 1⊥AB. 在Rt △ABB 1中，tan ∠AB 1B=431=B B AB , ∴∠AB 1B=arctan43.∴AB 1=212B B AB +=5. 综合·应用7在赤道平面上，我们选取地球球心O 为极点，以O 为端点且与零子午线相交的射线Ox 为极轴，建立坐标系.有A 、B 两个城市，它们的球坐标分别为A(R,4π,6π)、B(R,4π,32π).飞机应该走怎样的航线最快，所走的路程有多远？思路分析：根据A 、B 两地的球坐标找到地球的半径,纬度,经度,当飞机走AB 两地的大圆时,飞机最快,所走的路程实际上是过A,B 两地的球面距离.解：如图所示,因为A(R,4π,6π),B(R,4π,32π), 可知∠AOO 1=∠O 1OB=4π, ∴∠O 1AO=∠O 1BO=4π. 又∠EOC=6π,∠EOD=32π,∴∠COD=32π-6π=2π.∴∠COD=∠AO 1B=2π.在Rt △OO 1B 中,∠O 1BO=4π,OB=R,∴O 1B=O 1A=22R.∵∠AO 1B=2π,∴AB=R. 在△AOB 中,AB=OB=OA=R,∴∠AOB=3π. ∴经过A 、B 两地的球面距离为3πR. 走经过A 、B 两地的大圆,飞机航线最短,其距离为3πR. 8结晶体的基本单位称为晶胞，图1-4-11(1)是食盐晶胞的示意图（可看成是八个棱长为21的小正方体堆积成的正方体），图形中的点代表钠原子，其他点代表氯原子，如图1-4-11(2)，建立空间直角坐标系O-xyz 后，试写出全部钠原子所在位置的球坐标,柱坐标.图1-4-11思路分析：在空间直角坐标中,我们需要找点的(x,y,z)；在柱坐标系中,需要找到(ρ,θ,z)；在球坐标系中,需要找到(r,φ,θ).解：把图中的钠原子分成下、中、上三层来写它们所在位置的坐标.下层的原子全部在xOy 平面上,它们所在位置的竖坐标全是0,所以这五个钠原子所在位置的球坐标分别为(0,0,0),(1,2π,0),(2,2π,4π),(1,2π,2π),(22,2π,4π),它们的柱坐标分别为(0,0,0),(1,0,0),(2,4π,0),(1,2π,0),(22,4π,0)；中层的原子所在的平面平行于xOy 平面,与z 轴交点的竖坐标为21,所以这四个钠原子所在位置的球坐标分别为(22,4π,0),(23,arccos 33,arctan 21),(26,arccos 66,arctan2),(22,4π,2π),它们的柱坐标分别为(21,0,21)、(25,arctan 21,21)、(25,arctan2,21)、(21,2π,21)； 上层的钠原子所在的平面平行于xOy 平面,与z 轴交点的竖坐标为1,所以这五个钠原子所在位置的球坐标分别为 (1,0,0),(2,4π,0),(3,arctan 2,4π),(2,4π,2π),(25,arctan 22,4π),它们的柱坐标分别为(0,0,1),(1,0,1),(2,4π,1),(1,2π,1),(22,4π,1).9距离是几何中的基本度量，几何问题和一些实际问题经常涉及距离，如建筑设计中常常需要计算空间两点间的距离.你能用两点的坐标表示这两点间的距离吗？解：(1)在平面直角坐标系中,已知P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),则|P 1P 2|=221221)()(y y x x -+-. (2)在空间直角坐标系,如图,设P 1(x 1,y 1,z 1),P 2(x 2,y 2,z 2)是空间中任意两点,且点P 1(x 1,y 1,z 1),P 2(x 2,y 2,z 2)在xOy 平面上的射影分别为M 、N,那么M 、N 的坐标为M(x 1,y 1,0)、N(x 2,y 2,0),在xOy 平面上,|MN|=221221)()(y y x x -+-.过点P 1作P 2N 的垂线,垂足为H,则|MP 1|=|z 1|,|NP 2|=|z 2|,所以|HP 2|=|z 2-z 1|. 在Rt △P 1HP 2中,|P 1H|=|MN|=221221)()(y y x x -+-, 根据勾股定理,得|P 1P 2|=2221||||HP H P +=221221221)()()(z z y y x x -+-+-.因此,空间中点P 1(x 1,y 1,z 1),P 2(x 2,y 2,z 2)之间的距离 |P 1P 2|=221221221)()()(z z y y x x -+-+-.(3)我们来确定P 1、P 2两点在柱坐标系中的距离公式：根据空间点P 的直角坐标(x,y,z)与柱坐标(ρ,θ,z)之间的变换公式：⎪⎩⎪⎨⎧===,,sin ,cos z z y x θρθρP 1(x 1,y 1,z 1),P 2(x 2,y 2,z 2),有⎪⎩⎪⎨⎧===,,sin ,cos 1111111z z y x θρθρ可得⎪⎩⎪⎨⎧===,,sin ,cos 2222222z z y x θρθρ |P 1P 2|=2212221122211)()sin sin ()cos cos (z z -+-+-θρθρθρθρ. (4)我们来确定P 1、P 2两点在球坐标系中的距离公式：空间点P 的直角坐标(x,y,z)与球坐标(r,φ,θ)之间的变换关系为⎪⎩⎪⎨⎧===.cos ,sin sin ,cos sin ϕθϕθϕr z r y r xP 1(x 1,y 1,z 1),P 2(x 2,y 2,z 2),有⎪⎩⎪⎨⎧===.cos ,sin sin ,cos sin 1111111111ϕθϕθϕr z r y r x 及⎪⎩⎪⎨⎧===.cos ,sin sin ,cos sin 22222222222ϕθϕθϕr z r y r x .可得|P 1P 2|=2221122221112222111)cos cos ()sin sin sin sin ()cos sin cos sin (ϕϕθϕθϕθϕθϕr r r r r r -+-+-。

四 柱坐标系与球坐标系简介一、基础达标π1.在空间直角坐标系中，点 P 的柱坐标为(2， ，3)，P 在 xOy 平面上的射影为 Q ，则 Q 点4的坐标为( ) πA.(2，0，3)B.(2，，0) 4 ππC.( 2，，3)D.( 2，，0)44解析 由点的空间柱坐标的意义可知，选 B. 答案 B2.空间直角坐标系 Oxyz 中，下列柱坐标对应的点在平面 yOz 内的是( ) ππA.(1，，2) B.(2，，0) 2 3 π π π πC.(3，6)D.(3，2)， ， 46π解析 由 P (ρ，θ，z )，当 θ＝ 时，点 P 在平面 yOz 内.2 答案 A3.设点 M 的直角坐标为(2，0，2)，则点 M 的柱坐标为( ) A.(2，0，2) B.(2，π，2) C.( 2，0，2)D.( 2，π，2)y解析 设点 M 的柱坐标为(ρ，θ，z )，∴ρ＝ x 2＋y 2＝2，tan θ＝＝0，x∴θ＝0，z ＝2.∴点 M 的柱坐标为(2，0，2).答案 Aπ 54.若点 M 的球坐标为(8，π)，则它的直角坐标为()， 3 6A.(－6，2 3，4)B.(6，2 3，4)C.(－6，－2 3，4)D.(－6，2 3，－4)π 5π π 5π π解析 由 x ＝8sin cos ＝－6，y ＝8sin sin ＝2 3，z ＝8cos ＝4，得点 M 的直角 3 6 3 6 3 坐标为(－6，2 3，4).答案 A1π 3π5.已知点 M 的球坐标为(4，4 )，则点 M 到 Oz 轴的距离为________. ， 4π 3π 3解析 设 M 的直角坐标为(x ，y ，z )，则由(r ，φ，θ)＝(4，π)，知 x ＝4sin cos π＝－，4 44 4π 3 π2，y ＝4sin sin π＝2，z ＝r cos φ＝4cos ＝2 2. 4 4 4 ∴点 M 的直角坐标为(－2，2，2 2).故点 M 到 Oz 轴的距离 （－2）2＋22＝2 2. 答案 2 2π 5ππ6.已 知 点 P 1的 球 坐 标 是 P 1(4，3 )， P 2的 柱 坐 标 是 P 2(2，，1)， 则 |P 1P 2|＝，26________.解析 点 P 1的直角坐标为(2，－2 3，0)点 P 2的直角坐标为( 3，1，1)，由两点距离公式 得|P 1P 2|＝ 21. 答案 215ππ π7.已知点 P 的柱坐标为(4，，－ 3)，点 B 的球坐标为(8，4)，求这两个点的直角， 63坐标.5π 35π6(－ 2) 36解 设点 P 的直角坐标为(x ，y ，z )，则 x ＝4cos ＝4× ＝－2 ，y ＝4sin ＝4×1＝2，z ＝－ 3.2π π 3 2 π π设点 B 的直角坐标为(x ，y ，z )，则 x ＝8sin cos ＝8× × ＝2 6，y ＝8sin sin 3 4 2 2 3 43 2 π 1 ＝8× × ＝2 6，z ＝8cos ＝8× ＝4. 2 2 3 2 所以点 P 的直角坐标为(－2 3，2，－ 3)，点 B 的直角坐标为(2 6，2 6，4).二、能力提升 ππ π8.已知点 P 的柱坐标为( 2，，5)，点 B 的球坐标为( 6，6)，则这两个点在空间直， 43角坐标系中的点的坐标为( )3 6 3 2A.P 点(5，1，1)，B 点(62)，， 443 6 3 2B.P 点(1，1，5)，B 点(， ，44 6 2)3 6 3 26C.P 点(2 )，B 点(1，1，5) ， ，44D.P 点(1，1，5)，B 点( 6 3 6 3 2 4 )，，242π 2 π 解析 设 P 点的直角坐标为(x ，y ，z )，x ＝ 2·cos ＝ 2· ＝1，y ＝ 2·sin ＝1，z 4 2 4 ＝5.设 B 点的直角坐标为(x ，y ，z )， π π 3 3 3 6x ＝ 6·sin ·cos ＝ 6· · ＝ ， 3 6 2 2 4 π π 3 1 3 2 y ＝ 6·sin ·sin ＝ 6· · ＝ ， 3 6 2 2 4π 1 6 z ＝ 6·cos ＝ 6· ＝ . 3 2 23 6 3 2 6所以，点 P 的直角坐标为(1，1，5)，点 B 的直角坐标为(2 ). ， ， 4 4答案 Bπ9.在球坐标系中，方程 r ＝1表示____________，方程 φ＝ 表示空间的____________.4π 答案球心在原点，半径为 1的球面 顶点在原点，中心轴为 z 轴，轴截面顶角为 的上半2个圆锥面π10.已知柱坐标系 Oxyz 中，若点 M 的柱坐标为(2， ， 5)，则|OM |＝________.3π解析∵(ρ，θ，z )＝(2， ， 5)，设 M 的直角坐标为(x ，y ，z )，则 x 2＋y 2＝ρ2＝4，∴3|OM |＝ x 2＋y 2＋z 2＝ 4＋（ 5）2＝3. 答案 3π π π 3π11.在球坐标系中，求两点 P (3，4)，Q (3，4 )的距离.， ， 66解 设 P ，Q 两点球坐标转化为直角坐标.设点 P 的直角坐标为(x ，y ，z )， π π 3 π π 3 π 3 3 x ＝3sin cos ＝ 2，x ＝3sin sin ＝ 2，z ＝3cos ＝3× ＝ 3. 6 4 4 6 4 4 6 2 23 2 3 2 3 3 π 3 23π∴P( 2 ).设点 Q 的直角坐标为(x 1，y 1，z 1)，x 1＝3sin cos ＝－，y 1 ， ， 4 4 6 4 4π 3π 3 2 π 3 ＝3sin sin ＝ ，z 1＝3cos ＝ .36 4 4 6 2 3 2 3 2 3 3 ∴点 Q (－2 ). ，，443 2 3 2 2 3 2 2 3 3 23 2 3 3∴|PQ|＝( 4 )＋( 4 )＋( 2 )＋－－4 4 23 2 3 2＝.即P，Q两点间的距离为.2 23ρ＝112.在柱坐标系中，求满足{0 ≤ z ≤ 2)的动点 M (ρ，θ，z )的围成的几何体的体积.0 ≤ θ < 2π 解 根据柱坐标系与点的柱坐标的意义可知，满足ρ＝01≤，θ<2π，0≤z ≤2的动点M (ρθ，，z )的轨迹如图所示，是以直线 Oz 为轴，轴截面为正方形 的圆柱，圆柱的底面半径 r ＝1，h ＝2，∴V ＝Sh ＝πr 2h ＝2π. 三、探究与创新13.在赤道平面上，我们选取地球球心 O 为极点，以 O 为端点且与零子午线相交的射线 Ox 为π π， 极轴，建立坐标系.有 A 、 B 两 个 城 市 ， 它 们 的 球 坐 标 分 别 为 A (R ，6)、4π 2πB (R ，3 )，飞机从 A 到 B 应该走怎样的航线最快？所走的路程有多远？ ， 4π π π 2π解 如图所示，∵A (R ，6)、B (R ，3 )，， ， 44π∴∠AOO 1＝∠BOO 1＝ .4设赤道面上与 A 、B 经度相同的点分别为 C 、D ，x 轴与赤道大圆的交点为 π 2π 2π π π E ，则∠EOC ＝ ，∠EOD ＝ ，∴∠COD ＝ － ＝ .∴∠AO 1B ＝∠COD6 3 3 6 2 π＝ . 2π 22π在 Rt △OO 1B 中，∠O 1BO ＝ ，OB ＝R ，∴O 1B ＝R ，同理 O 1A ＝R .∵∠AO 1B ＝ ，∴AB ＝4 222π R .在△AOB 中，AB ＝OB ＝OA ＝R ，∴∠AOB ＝ .3π 则经过 A 、B 两地的球面距离为 R .3π答：走经过 A 、B 两地的大圆，飞机航线最短，其距离为 R .34。

四 柱坐标系与球坐标系简介课堂导学三点剖析一、已知直角坐标求柱坐标【例1】 设点M 的直角坐标为(1,1,3),求它的柱坐标.解：由变换公式得ρ2=x 2+y 2=12+12=2,∴ρ=2.又tan θ=x y =1, ∴θ=4π(M 在第Ⅰ卦限). 故M 的柱坐标为(2,4π,3). 温馨提示可以看出,球坐标系与柱坐标系都是在空间直角坐标系的基础上建立的.在直角坐标系中,我们需要三个长度:(x,y,z),而在柱坐标系与球坐标系中,我们需要长度,还需要角度.它是从长度,方向来描述一个点的位置,需要(ρ,θ,z)或者(r,φ,θ).三种坐标系互相不同,互相有联系,互相能够转化,都是刻画空间一点的位置,只是描述的角度不同.类题演练 1设M 的直角坐标为(1,3-,4),求其柱坐标.解:由公式得ρ2=1+3=4,∴ρ=2.又tan θ=x y =3-, ∴θ=32π. ∴柱坐标为(2,32π,4). 变式提升 1设M 的柱坐标为(2,6π,7),求直角坐标. 解:由公式得ρ2=x 2+y 2=4,又tan 6π=33=xy , ∴y=31x.∴y 2=1.∴y=1,x=3. ∴直角坐标为(3,1,7).二、已知直角坐标求球坐标【例2】 设点M 的直角坐标为(1,1,2),求它的球坐标.解：由公式得r=222z y x ++=2,由rcos φ=z=2,得cos φ=222=r ,φ=4π. 又tan θ=x y =1,θ=4π. ∴点M 的球坐标为(2,4π,4π). 类题演练 2设M 的直角坐标为(2,-1,1),求它的球坐标.解:由公式得r=222z y x ++=2,由rcos φ=z 得cos φ=21,φ=3π. 又tan θ=22-, ∴θ=π-arctan 22. ∴球坐标为(2,3π,π-arctan 22). 三、用柱坐标与球坐标解决空间实际问题【例3】 已知长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的边长为AB=14,AD=6,AA 1=10,以这个长方体的顶点A 为坐标原点，以射线AB,AD,AA 1分别为Ox 、Oy 、Oz 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体顶点C 1的空间直角坐标,球坐标,柱坐标.解析：如图,此题是考查空间直角坐标,球坐标,柱坐标的概念，我们要能借此区分三个坐标，找到它们的相同和不同来.C 1点的(x,y,z)分别对应着CD,BC,CC 1,C 1点的(ρ,θ,z)分别对应着AC,∠BAC,CC 1，C 1点的（r,φ,θ)分别对应着AC 1,∠A 1AC 1,∠BAC.解:C 1点的空间直角坐标为(14,6,10)，C 1点的柱坐标为(232,arctan73,10)，C 1点的球坐标为(332,arccos 33210,arctan 73). 温馨提示应当注意,在球坐标系中,当点P 在z 轴上,θ不确定;点P 与坐标原点O 重合,φ与θ都不确定.类题演练 3经过若干个固定和流动的地面遥感观测站监测，并通过数据汇总，计算出一个航天器在某一时刻的位置，离地面2 384千米，地球半径为6 371千米，此时经度为80°，纬度为75°.试建立适当的坐标系，确定出此时航天器点P 的坐标.解:在赤道平面上，选取地球球心O 为极点，以O 为端点且与零子午线相交的射线Ox 为极轴，建立球坐标系,如图.由已知航天器位于经度80°，可知θ=80°，由航天器位于纬度75°，可知φ=90°-75°=15°，由航天器离地面2 384千米，地球半径为6 371千米，可知r=2 384+6 371=8 755千米.∴点P 的球坐标为(8 755 km,15°,80°).变式提升 2两平行平面去截球，如图,在两个截面圆上有两个点，它们的球坐标分别为A(25,arctan 724,θa ),B(25,π-arctan 43,θb )，求出这两个截面间的距离.解:由已知,OA=OB=25,∠AOO 1=arctan 724,∠BOO 1=π-arctan 43,在△AOO 1中,tan∠AOO 1=724=11OO A O . ∵OA=25,∴OO 1=7.在△BOO 2中,∠BOO 2=arctan43,tan∠BOO 2=43=22OO B O . ∵OB=25,∴OO 2=20.则O 1O 2=OO 1+OO 2=7+20=27.∴两个截面间的距离O1O2为27.。

四 柱坐标系与球坐标系简介主动成长夯基达标1.如图,在柱坐标系中,长方体的两个顶点坐标为A 1(4,0,5),C 1(6,分 π2式,5),则此长方体外接球的体积为________.解析:据顶点的柱坐标求出长方体的三度,其外接球的直径恰为长方体的对角线长. 由长方体的两个顶点坐标为A 1(4,0,5),C 1(6,π2,5), 可知OA =4,OC =6,OO 1=5,则对角线长为,77654222＝＋＋那么球的体积为34·π·(277)3=.6π7777. 答案:6π77772.已知点M 的直角坐标为(1,-3,4),则它的柱坐标为_______.解析:设点M 的柱坐标为(ρ,θ,z),则⎪⎩⎪⎨⎧=z θ=ρ-θ=ρ4sin 3cos 1，，,解之,得ρ=2,θ=35π,z =4. ∴点M 的柱坐标为(2,35π,4).答案:(2,35π,4)3.设点M 的柱坐标为(2,6π,7),则它的直角坐标为_______.解析:设点M 的直角坐标为(x ,y ,z ),则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===7.z ,6πsin 2,6πcos 2y x ∴点M 的直角坐标为(3,1,7).答案:(3,1,7) 4.已知点M 的球坐标为(2,43π,43π),则它的直角坐标为_______. 解析:设M 的直角坐标为(x ,y ,z ),则∴点M 的直角坐标为(-1,1,-2). 答案:(-1,1,-2)5.两平行面去截球，如图,在两个截面圆上有两个点，它们的球坐标分别为A (25,ar ct a n724,θa )、B (25,π-arc t a n 43,θB )，求出这两个截面间的距离.解析:根据已知可得球半径为25,这样,我们就可以在R t △AOO 1和R t △BOO 1中求出OO 1及OO 2的长度来,可得两个截面间的距离为O 1O 2. 解:由已知,OA =OB =5,∠AOO 1=arctan724,∠BOO 1=π-arctan43,在△AOO 1中,tan∠AOO 1=724=.11OO A O ∵OA =25,∴OO 1=7. 在△BOO 2中,∠BOO 2=arctan43,tan∠B OO 2=43=.22OO BO .∵OB =25,∴OO 2=20.则O 1O 2=OO 1+OO 2=7+20=27. ∴两个截面间的距离O 1O 2为27.6.在赤道平面上，我们选取地球球心O 为极点，以O 为端点且与零子午线相交的射线Ox 为极轴，建立坐标系.有A 、B 两个城市，它们的球坐标分别为A (R ,4π,6π)、B (R ,4π,32π)，飞机应该走怎样的航线最快，所走的路程有多远？解析:我们根据A 、B 两地的球坐标找到地球的半径、纬度、经度,当飞机走AB 两地的大圆时,飞机最快,所走的路程实际上是要求我们求出过A 、B 两地的球面距离.解:如图所示,因为A (R ,4π,6π),B (R ,4π,32π), 可知∠O 1AO =∠O 1BO =4π,∴∠AO 1O =∠BO 1O =4π.又∠EOC =6π,∠EOD =32π,∴∠C OD =32π-6π=2π.∴∠COD =∠AO 1B =2π.在R t △OO 1B 中,∠O 1BO =4π,OB =R ,∴O 1B =O 1A =22R . ∵∠AO 1B =2π,∴AB =R . 在△AOB 中,AB =OB =OA =R , ∴∠AOB =3π. 则经过A 、B 两地的球面距离为3πR . 走经过A 、B 两地的大圆,飞机航线最短,其距离为3πR . 7.结晶体的基本单位称为晶胞，图(1)是食盐晶胞的示意图（可看成是八个棱长为21的小正方体堆积成的正方体），图形中的点代表钠原子，其他点代表氯原子，如图(2)，建立空间直角坐标系O —xyz 后，试写出全部钠原子所在位置的球坐标、柱坐标.解析:在空间直角坐标系中,我们需要找点的(x ,y ,z )；在柱坐标系中,需要找到(ρ,θ,z )；在球坐标系中,需要找到(r ,φ,θ).解:把图中的钠原子分成下、中、上三层来写它们所在位置的坐标.下层的原子全部在xOy 平面上,它们所在位置的竖坐标全是0,所以这五个钠原子所在位置的球坐标分别为(0,0,0),(1,2π,0),(2,2π,4π),(1,2π,2π),(22,2π,4π),它们的柱坐标分别为(0,0,0),(1,0,0),(2,4π,0),(1,2π,0),(22,4π,0)； 中层的原子所在的平面平行于xOy 平面,与z 轴交点的竖坐标为21,所以,这四个钠原子所在位置的球坐标分别为(22,4π,0),(23,arccos 33,arctan 21),(26,arccos 66,arctan2),(22,4π,2π),它们的柱坐标分别为(21,0,21),(25,arctan 21,21),(25,arctan2,21),(21,2π,21)； 上层的钠原子所在的平面平行于xOy 平面,与z 轴交点的竖坐标为1,所以,这五个钠原子所在位置的球坐标分别为(1,0,0),(2,4π,0),(3,arctan 2,4π),(2，4π，2π),(25,arctan22,4π),它们的柱坐标分别为(0,0,1),(1,0,1),(2,4π,1),(1,2π,1),(22,4π,1). 8.距离是几何中的基本度量,几何问题和一些实际问题经常涉及距离,如建筑设计中常常需要计算空间两点间的距离试用两点的坐标表示这两点间的距离.解:(1)在平面直角坐标系中,已知P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),则|P 1P 2|=221221)()(-y y +-x x .(2)在空间直角坐标系中,如图,设P 1(x 1,y 1,z 1)、P 2(x 2,y 2,z 2)是空间中任意两点,且点P 1(x 1,y 1,z 1)、P 2(x 2,y 2,z 2)在xOy 平面上的射影分别为M 、N ,那么M 、N 的坐标为M (x 1,y 1,0)、N (x 2,y 2,0),在xOy 平面上,|MN |=221221))(-y +(y -x x .过点P 1作P 2N 的垂线,垂足为H,则|MP 1|=|z 1|,|NP 2|=|z 2|,所以|H P 2|=|z 2-z 1|.在Rt △P 1H P 2中,|P 1H|=|MN |=221221))(-y +(y -x x ,根据勾股定理,得 |P 1P 2|=2221|+|HP H||P =221221221)(+)(+)(-z z -y y -x x .因此,空间中点P 1(x 1,y 1,z 1),P 2(x 2,y 2,z 2)之间的距离|P 1P 2|=221221221)(+)(+)(-z z -y y -x x .(3)我们来确定P 1、P 2两点在柱坐标系中的距离公式：根据空间点P 的直角坐标(x ,y ,z )与柱坐标(ρ,θ,z )之间的变换公式：⎪⎩⎪⎨⎧.,sin ,cos z=z θy=ρθx=ρP 1(x 1,y 1,z 1),P 2(x 2,y 2,z 2),有⎪⎩⎪⎨⎧,sin cos 11111111=z z ,θ=ρy ,θ=ρx ⎪⎩⎪⎨⎧,sin cos 22222222=z z ,θ=ρy ,θ=ρx 可得|P 1P 2|=2212221122211)(+)sin sin (+)cos cos (-z z θ-ρθρθ-ρθρ(4)我们来确定P 1、P 2两点在球坐标系中的距离公式：空间点P 的直角坐标(x ,y ,z )与球坐标(r ,φ,θ)之间的变换关系为⎪⎩⎪⎨⎧.cos ,sin sin ,cos sin φz=r θφy=r θφx=rP 1(x 1,y 1,z 1),P 2(x 2,y 2,z 2),有⎪⎩⎪⎨⎧11111111111cos sin sin cos sin φ=r z ,θφ=r y ,θφ=r x 及⎪⎩⎪⎨⎧,cos sin sin cos sin 22222222222φ=r z ,θφ=r y ,θφ=r x可得|P 1P 2|=2221122221112222111)cos cos (+)sin sin sin sin (+)cos sin cos sin (φ-r φr θφ-r θφr θφ-r θφr走近高考1.已知点P 的柱坐标为(2,4π,5)，点B 的球坐标为(6,3π,6π)，则这两个点在空间直角坐标系中的点的坐标为 （ ） A.P 点(5,1,1)，B 点)26,423,463(B.P 点(1,1,5)，B 点)26,423,463(C.P 点)26,423,463(，B 点(1,1,5) D.P 点(1,1,5)，B 点)423,463,26(解析:此题考查空间直角坐标系与空间极坐标系的互化.只要我们记住互化公式,问题就能够解决.球坐标与直角坐标的互化公式为⎪⎩⎪⎨⎧;cos sin,sin cos,sin φz=r φy=r φx=r柱坐标与直角坐标的互化公式为⎪⎩⎪⎨⎧.,sin ,cos z=z θy=ρθx=ρ解:设P 点的直角坐标为(x ,y ,z ),x =2·cos4π=2·22=1,y =2·sin 4π=1,z =5. 设B 点的直角坐标为(x ,y ,z ),x =6·sin3π·cos 6π=6·23·23=463, y =6·sin3π·sin 6π=6·23·21=423,z =6·cos 3π=6·21=.26所以,点P 的直角坐标为(1,1,5),点B 的直角坐标为(26,423,463).选B. 答案:B2.设点M 的直角坐标为(1,1,1),求它的柱坐标. 解:设M 的柱坐标为(ρ,θ,z ),则⎪⎩⎪⎨⎧,z=θ=ρθ=ρ1,sin 1,cos 1解之,得ρ=2,θ=4π,z =1.∴点M 的柱坐标为(2,4π,1). 3.设点M 的直角坐标为(1,1,2),求它的球坐标. 解:设M 的球坐标为(r ,φ,θ),则r =2222)2(11++=+z +y x =2.由r cos φ=z ,得2cos φ=2.∴φ=4π. 又tan θ=xy =1,∴θ=4π.∴点M 的球坐标为(2,4π,4π).。

四 柱坐标系与球坐标系简介课堂导学三点剖析一、已知直角坐标求柱坐标【例1】 设点M 的直角坐标为(1,1,3),求它的柱坐标.解：由变换公式得ρ2=x 2+y 2=12+12=2, ∴ρ=2.又tanθ=x y =1, ∴θ=4π(M 在第Ⅰ卦限). 故M 的柱坐标为(2,4π,3). 温馨提示可以看出,球坐标系与柱坐标系都是在空间直角坐标系的基础上建立的.在直角坐标系中,我们需要三个长度:(x,y,z),而在柱坐标系与球坐标系中,我们需要长度,还需要角度.它是从长度,方向来描述一个点的位置,需要(ρ,θ,z)或者(r,φ,θ).三种坐标系互相不同,互相有联系,互相能够转化,都是刻画空间一点的位置,只是描述的角度不同.类题演练 1设M 的直角坐标为(1,3-,4),求其柱坐标.解:由公式得ρ2=1+3=4,∴ρ=2.又tanθ=x y =3-, ∴θ=32π. ∴柱坐标为(2,32π,4). 变式提升 1设M 的柱坐标为(2,6π,7),求直角坐标. 解:由公式得ρ2=x 2+y 2=4,又tan 6π=33=xy , ∴y=31x.∴y 2=1.∴y=1,x=3. ∴直角坐标为(3,1,7).二、已知直角坐标求球坐标【例2】 设点M 的直角坐标为(1,1,2),求它的球坐标. 解：由公式得r=222z y x ++=2, 由rcosφ=z=2,得cosφ=222=r ,φ=4π. 又tanθ=x y =1,θ=4π. ∴点M 的球坐标为(2,4π,4π). 类题演练 2设M 的直角坐标为(2,-1,1),求它的球坐标.解:由公式得r=222z y x ++=2,由rcosφ=z 得cosφ=21,φ=3π. 又tanθ=22-, ∴θ=π-arctan22. ∴球坐标为(2,3π,π-arctan 22). 三、用柱坐标与球坐标解决空间实际问题【例3】 已知长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的边长为AB=14,AD=6,AA 1=10,以这个长方体的顶点A 为坐标原点，以射线AB,AD,AA 1分别为Ox 、Oy 、Oz 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体顶点C 1的空间直角坐标,球坐标,柱坐标.解析：如图,此题是考查空间直角坐标,球坐标,柱坐标的概念，我们要能借此区分三个坐标，找到它们的相同和不同来.C 1点的(x,y,z)分别对应着CD,BC,CC 1,C 1点的(ρ,θ,z)分别对应着AC,∠BAC,CC 1，C 1点的（r,φ,θ)分别对应着AC 1,∠A 1AC 1,∠BAC.解:C 1点的空间直角坐标为(14,6,10)，C 1点的柱坐标为(232,arctan 73,10)，C 1点的球坐标为(332,arccos 33210,arctan 73). 温馨提示应当注意,在球坐标系中,当点P 在z 轴上,θ不确定;点P 与坐标原点O 重合,φ与θ都不确定.类题演练 3经过若干个固定和流动的地面遥感观测站监测，并通过数据汇总，计算出一个航天器在某一时刻的位置，离地面2 384千米，地球半径为6 371千米，此时经度为80°，纬度为75°.试建立适当的坐标系，确定出此时航天器点P 的坐标.解:在赤道平面上，选取地球球心O 为极点，以O 为端点且与零子午线相交的射线Ox 为极轴，建立球坐标系,如图.由已知航天器位于经度80°，可知θ=80°，由航天器位于纬度75°，可知φ=90°-75°=15°，由航天器离地面2 384千米，地球半径为6 371千米，可知r=2 384+6 371=8 755千米.∴点P 的球坐标为(8 755 km,15°,80°).变式提升 2两平行平面去截球，如图,在两个截面圆上有两个点，它们的球坐标分别为A(25,arctan 724,θa ),B(25,π-arctan 43,θb )，求出这两个截面间的距离.解:由已知,OA=OB=25,∠AOO 1=arctan 724,∠BOO 1=π-arctan 43,在△AOO 1中,tan∠AOO 1=724=11OO A O . ∵OA=25,∴OO 1=7.在△BOO 2中,∠BOO 2=arctan43,tan∠BOO 2=43=22OO B O . ∵OB=25,∴OO 2=20.则O 1O 2=OO 1+OO 2=7+20=27.∴两个截面间的距离O1O2为27.。

四 柱坐标系与球坐标系简介[课时作业] [A 组 基础巩固]1．点A 的柱坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，7，则它的直角坐标是( )A ．(3，1,7)B ．(3，1，－7)C ．(23，1,7)D ．(23，1，－7)解析：∵ρ＝2，θ＝π6，z ＝7，∴x ＝ρcos θ＝3，y ＝ρsin θ＝1，z ＝7，∴点A的直角坐标是(3，1,7)．答案：A2．若点M 的直角坐标为(2,2,22)，则它的球坐标为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫2，5π4，π4B.⎝⎛⎭⎪⎫4，π4，π4C.⎝⎛⎭⎪⎫4，π4，3π4 D.⎝⎛⎭⎪⎫4，3π4，3π4 解析：由坐标变换公式得，r ＝x 2＋y 2＋z 2＝4，由r cos φ＝z ＝22得cos φ＝22，所以φ＝π4，又tan θ＝y x ＝1，点M 在第Ⅰ卦限，所以θ＝π4，所以M 的球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π4，π4.答案：B3．若点P 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，3，则P 到直线Oy 的距离为( )A ．1B ．2 C. 3D. 6解析：由于点P 的柱坐标为(ρ，θ，z )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，3，故点P 在平面xOy 内的射影Q到直线Oy 的距离为ρcos π6＝3，可得P 到直线Oy 的距离为 6.答案：D4．在直角坐标系中，(1,1,1)关于z 轴对称点的柱坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4，1 D.⎝⎛⎭⎪⎫2，7π4，1 解析：(1,1,1)关于z 轴的对称点为(－1，－1,1)，它的柱坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，5π4，1.答案：C5．已知点P 1的球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π2，5π3，P 2的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，1，则|P 1P 2|＝( )A.21B.29C.30D ．4 2解析：设点P 1的直角坐标为(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝4sin π2cos5π3，y 1＝4sin π2sin 5π3，z 1＝4cos π2，得⎩⎨⎧x 1＝2，y 1＝－23，z 1＝0.故P 1(2，－23，0)，设点P 2的直角坐标为(x 2，y 2，z 2)，故⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2cos π6，y 2＝2sin π6，z 2＝1，得⎩⎨⎧x 2＝3，y 2＝1，z 2＝1.故P 2(3，1,1)． 则|P 1P 2|＝－32＋－23－2＋－2＝21.答案：A6．已知柱坐标系Oxyz 中，点M 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，5，则|OM |＝________.解析：∵(ρ，θ，z )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，5，设M 的直角坐标为(x ，y ，z )， 则x 2＋y 2＝ρ2＝22，∴|OM |＝ x 2＋y 2＋z 2＝ 22＋52＝3.答案：37．已知点M 的直角坐标为(1,2,3)，球坐标为(r ，φ，θ)，则tan φ＝______，tan θ＝______.解析：如图所示，tan φ＝x 2＋y 2z ＝53，tan θ＝y x＝2. 答案：532 8．已知在柱坐标系中，点M 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3，5，且点M 在数轴Oy 上的射影为N ，则|OM |＝________，|MN |＝________.解析：设点M 在平面xOy 上的射影为P ，连接PN ，则PN 为线段MN 在平面xOy 上的射影． 因为MN ⊥直线Oy ，MP ⊥平面xOy ， 所以PN ⊥直线Oy .所以|OP |＝ρ＝2，|PN |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ρcos 2π3＝1，所以|OM |＝ρ2＋z 2＝22＋52＝3.在Rt △MNP 中，∠MPN ＝90°， 所以|MN |＝|PM |2＋|PN |2＝52＋12＝ 6.答案：369．已知点P 的球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，3π4，π4，求它的直角坐标． 解析：由变换公式得：x ＝r sin φcos θ＝4sin 3π4cos π4＝2. y ＝r sin φsin θ＝4sin 3π4sin π4＝2. z ＝r cos φ＝4cos3π4＝－2 2. 它的直角坐标为(2,2，－22)．10．已知点M 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，1，求M 关于原点O 对称的点的柱坐标．解析：M (2，π4，1)的直角坐标为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos π4＝1，y ＝2sin π4＝1，z ＝1，∴M 关于原点O 的对称点的直角坐标为(－1，－1，－1)． (－1，－1，－1)的柱坐标为： ρ2＝(－1)2＋(－1)2＝2，∴ρ＝ 2. tan θ＝－1－1＝1，又x <0，y <0.∴θ＝5π4.∴其柱坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，5π4，－1 ∴M 关于原点O 对称点的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4，－1.[B 组 能力提升]1．球坐标系中，满足θ＝π4，r ∈[0，＋∞)，φ∈[0，π]的动点P (r ，φ，θ)的轨迹为( )A ．点B ．直线C ．半平面D ．半球面解析：由于在球坐标系中，θ＝π4，r ∈[0，＋∞)，φ∈[0，π]，故射线OQ 平分∠xOy ，由球坐标系的意义，动点P (r ，φ，θ)的轨迹为二面角x ­OP ­y 的平分面，这是半平面，如图．答案：C2．已知点P 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，5，点B 的球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫6，π3，π6，则这两个点在空间直角坐标系中的点的坐标分别为( )A ．P (5,1,1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫364，324，62B ．P (1,1,5)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫364，324，62C ．P ⎝⎛⎭⎪⎫364，324，62，B (1,1,5)D ．P (1, 1,5)，B ⎝⎛⎭⎪⎫62，364，324解析：设点P 的直角坐标为(x ，y ，z )，则x ＝2cos π4＝2×22＝1， y ＝2sin π4＝1，z ＝5.设点B 的直角坐标为(x ′，y ′，z ′)，则x ′＝6sin π3cos π6＝6×32×32＝364， y ′＝6sin π3sin π6＝6×32×12＝324， z ′＝6cos π3＝6×12＝62. 所以点P 的直角坐标为(1,1,5)，点B 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫364，324，62.答案：B3.如图，在柱坐标系中，长方体的两个顶点坐标为A 1(4,0,5)，C 1⎝⎛⎭⎪⎫6，π2，5，则此长方体外接球的体积为________．解析：由A 1、C 1两点的坐标知长方体的长、宽、高的值为6、4、5，设外接球的半径为R ，则有(2R )2＝16＋25＋36＝77， 所以R ＝772，V 球＝43πR 3＝7777π6. 答案：7777π64．已知球坐标系中，M ⎝⎛⎭⎪⎫4，π6，π3，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π3，π6，则|MN |＝________.解析：设点M 的直角坐标为(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4sin π6cos π3＝1，y ＝4sin π6sin π3＝3，z ＝4cos π6＝2 3.∴M 的直角坐标为(1，3，23)，同理N 的直角坐标为(3，3，2)， ∴|MN |＝－2＋3－32＋3－2＝25－2 3. 答案：25－2 35.已知正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为1，如图建立空间直角坐标系Axyz ，Ax 为极轴，求点C 1的直角坐标、柱坐标以及球坐标．解析：点C 1的直角坐标为(1,1,1)，设点C 1的柱坐标为(ρ，θ，z )，球坐标为(r ，φ，θ)，其中ρ≥0，r ≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π，由公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z及⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ，得⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝ x 2＋y 2，tan θ＝y x x 及⎩⎪⎨⎪⎧r ＝ x 2＋y 2＋z 2，cos φ＝z r r ，得⎩⎨⎧ρ＝ 2，tan θ＝1及⎩⎪⎨⎪⎧r ＝ 3，cos φ＝33，结合题图得θ＝π4，由cos φ＝33得tan φ＝ 2.∴点C 1的直角坐标为(1,1,1)，柱坐标为(2，π4，1)，球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，φ，π4，其中tan φ＝2，0≤φ≤π.6．以地球球心为坐标原点，地球赤道所在平面为坐标平面xOy ，以原点指向北极点的方向为z 轴正方向，本初子午线(0°经线)所在平面为坐标平面xOz ，建立空间直角坐标系Oxyz ，如图，已知地球半径为R ，点A 的球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫R ，π4，π3，点B 的球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫R ，π4，5π6，求：(1)A ，B 两地之间的距离； (2)A ，B 两地之间的球面距离．解析：(1)由于球坐标(r ，φ，θ)的直角坐标为(x ，y ，z )＝(r sin φcos θ，r sin φsin θ，r cos φ)，所以A ，B 点的直角坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫24R ，64R ，22R ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－64R ，24R ，22R ，所以A ，B 两地之间的距离为|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋64R 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6－24R 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22R －22R 2＝R .(2)由上述可知，在△OAB 中，|OA |＝|OB |＝|AB |＝R ，得∠AOB ＝π3，所以A ，B 两地之间的球面距离为AB ＝π3R .。

四 柱坐标系与球坐标系简介1．柱坐标系(1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz .设P 是空间任意一点，它在Oxy 平面上的射影为Q ，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)表示点Q 在平面Oxy 上的极坐标，这时点P 的位置可用有序数组(ρ，θ，z )(z ∈R)表示，这样，我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z )之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z )叫做点P 的柱坐标，记作P (ρ，θ，z )，其中ρ≥0,0≤θ＜2π，z ∈R.(2)空间任意一点P 的直角坐标(x ，y ，z )与柱坐标(ρ，θ，z )之间的变换公式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z.2．球坐标系(1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz .设P 是空间任意一点，连接OP ，记|OP |＝r ，OP 与Oz 轴正向所夹的角为φ，设P 在Oxy 平面上的射影为Q ，Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为θ.这样点P 的位置就可以用有序数组(r ，φ，θ)表示．这样，空间的点与有序数组(r ，φ，θ)之间建立了一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r ，φ，θ)叫做点P 的球坐标，记作P (r ，φ，θ)，其中r ≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π.(2)空间点P 的直角坐标(x ，y ，z )与球坐标(r ，φ，θ)之间的变换关系为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ.[例1] (1)设点A 的直角坐标为(1，3，5)，求它的柱坐标．(2)已知点P 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π3，8，求它的直角坐标．[思路点拨] 直接利用变换公式求解．[解] (1)由变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得ρ2＝x 2＋y 2，z ＝z ，即ρ2＝12＋(3)2＝4，∴ρ＝2. tan θ＝yx＝3，又x ＞0，y ＞0. ∴θ＝π3，∴点A 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，5. (2)由变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z得x ＝4cos π3＝2，y ＝4sin π3＝23，z ＝8.∴点P 的直角坐标为(2,23，8)．由直角坐标系中的直角坐标求柱坐标，可设点的柱坐标为(ρ，θ，z )，代入变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z求ρ，也可利用ρ2＝x 2＋y 2，求ρ.利用tan θ＝yx求θ，在求θ的时候特别注意角θ所在的象限，从而确定θ的值；同理，可由柱坐标转化为直角坐标.1．已知点M 的直角坐标为(0,1,2)，求它的柱坐标． 解：ρ＝ x 2＋y 2＝ 02＋12＝1. ∵x ＝0，y ＞0，∴θ＝π2，∴点M 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2，2.2．将下列各点的柱坐标分别化为直角坐标．(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，1；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫6，5π3，－2；(3)()1，π，0.解：设点的直角坐标为(x ，y ，z )．(1)∵(ρ，θ，z )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ＝2cos π6＝3，y ＝ρsin θ＝2sin π6＝1，z ＝1，∴(3，1,1)为所求．(2)∵(ρ，θ，z )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫6，5π3，－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ＝6cos5π3＝3，y ＝ρsin θ＝6sin 5π3＝－33，z ＝－2，∴(3，－33，－2)为所求．(3)∵(ρ，θ，z )＝(1，π，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ＝cos π＝－1，y ＝ρsin θ＝sin π＝0，z ＝0，∴(－1,0,0)为所求.[例2] (1)已知点P 的球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，3π4， π4，求它的直角坐标； (2)已知点M 的直角坐标为(－2，－2，－22)，求它的球坐标． [思路点拨] 直接套用坐标变换公式求解． [解] (1)由坐标变换公式得，x ＝r sin φcos θ＝4sin 3π4cos π4＝2， y ＝r sin φsin θ＝4sin 3π4sin π4＝2， z ＝r cos φ＝4cos3π4＝－22， 故其直角坐标为(2,2，－22)． (2)由坐标变换公式得，r ＝x 2＋y 2＋z 2＝(－2)2＋(－2)2＋(－22)2＝4.由r cos φ＝z ＝－22，得cos φ＝－22r ＝－22，φ＝3π4.又tan θ＝y x ＝1，则θ＝5π4(M 在第三象限)，从而知M 点的球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，3π4，5π4.由直角坐标化为球坐标时，可设点的球坐标为(r ，φ，θ)，利用变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ求出r ，φ，θ即可；也可以利用r 2＝x 2＋y 2＋z 2，tan θ＝y x，cos φ＝z r来求．要特别注意由直角坐标求球坐标时，要先弄清楚φ和θ所在的位置．3．将下列各点的球坐标分别化为直角坐标．(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，π3；(2)⎝⎛⎭⎪⎫6，π3，2π3.解：设点的直角坐标为(x ，y ，z )．(1)∵(r ，φ，θ)＝⎝⎛⎭⎪⎫2，π6，π3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ＝2sin π6cos π3＝12，y ＝r sin φsin θ＝2sin π6sin π3＝32，z ＝r cos φ＝2cos π6＝3，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，3为所求． (2)∵(r ，φ，θ)＝⎝⎛⎭⎪⎫6，π3，2π3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ＝6sin π3cos2π3＝－332，y ＝r sin φsin θ＝6sin π3sin 2π3＝92，z ＝r cos φ＝6cos π3＝3，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－332，92，3为所求． 4．求下列各点的球坐标．(1)M (1，3，2)；(2)N (－1,1，－2)． 解：(1)由变换公式得，r ＝x 2＋y 2＋z 2＝12＋(3)2＋22＝2 2.由z ＝r cos φ，得cos φ＝z r ＝222＝22，∴φ＝π4，又tan θ＝yx ＝31＝3，x ＞0，y ＞0，∴θ＝π3， ∴它的球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4，π3.(2)由变换公式得，r ＝x 2＋y 2＋z 2＝(－1)2＋12＋(－2)2＝2.由z ＝r cos φ，得cos φ＝zr ＝－22，∴φ＝3π4. 又tan θ＝y x ＝1－1＝－1，x ＜0，y ＞0，∴θ＝3π4， ∴它的球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，3π4，3π4.一、选择题1．在球坐标系中，方程r ＝2表示空间的( ) A ．球 B ．球面 C ．圆D ．直线解析：选B r ＝2，表示空间的点到原点的距离为2，即表示球心在原点，半径为2的球面． 2．设点M 的直角坐标为(－1，－3，3)，则它的柱坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3，3C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，4π3，3 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π3，3解析：选C ρ＝(－1)2＋(－3)2＝2，∵tan θ＝y x ＝3，x <0，y <0，∴θ＝4π3，又z ＝3，∴点M 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，4π3，3.3．若点M 的球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫8，π3，5π6，则它的直角坐标为( )A ．(－6,23，4)B ．(6,23，4)C ．(－6，－23，4)D ．(－6,23，－4)解析：选A 由x ＝8sin π3cos 5π6＝－6，y ＝8sin π3sin 5π6＝23，z ＝8cos π3＝4，得点M 的直角坐标为(－6,23，4)．4．若点M 的直角坐标为(3，1，－2)，则它的球坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，3π4，π6 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4，π6C.⎝⎛⎭⎪⎫22，π4，π3 D.⎝⎛⎭⎪⎫22，3π4，π3解析：选A 设M 的球坐标为(r ，φ，θ)，r ≥0,0≤φ≤π，0≤θ<2π，则r ＝(3)2＋12＋(－2)2＝22， 由22cos φ＝－2得φ＝3π4，又tan θ＝13＝33，x >0，y ＞0，得θ＝π6， ∴点M 的球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，3π4，π6.故选A.二、填空题5．点P 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6，3，则点P 到原点的距离为________． 解析：x ＝ρcos θ＝4cos π6＝23，y ＝ρsin θ＝4sin π6＝2.即点P 的直角坐标为(23，2,3)，其到原点的距离为(23－0)2＋(2－0)2＋(3－0)2＝25＝5.答案：56．点M (－3，－3,3)的柱坐标为________． 解析：ρ＝x 2＋y 2＝(－3)2＋(－3)2＝32，∵tan θ＝－3－3＝1，x <0，y <0，∴θ＝5π4，∴点M 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，5π4，3. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫32，5π4，37．已知点M 的直角坐标为(1,2,3)，球坐标为(r ，φ，θ)，则tan φ＝________，tan θ＝________.解析：如图所示，tan φ＝x 2＋y 2z ＝53，tan θ＝yx＝2.答案：532 三、解答题8．设点M 的直角坐标为(1,1，2)，求点M 的柱坐标与球坐标． 解：由坐标变换公式，可得ρ＝x 2＋y 2＝2，∵tan θ＝y x ＝1，x >0，y >0，∴θ＝π4.r ＝x 2＋y 2＋z 2＝12＋12＋(2)2＝2.由r cos φ＝z ＝2(0≤φ≤π)，得cos φ＝2r＝22，φ＝π4. 所以点M 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，2，球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，π4.9．已知点M 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，3，点N 的球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，π2，求线段MN 的长度． 解：设点M 的直角坐标为(x ，y ，z )，由变换公式得，x ＝ρcos θ＝2cos π4＝1，y ＝ρsin θ＝2sin π4＝1，z ＝3，∴点M 的直角坐标为(1,1,3)，设点N 的直角坐标为(a ，b ，c )， 则a ＝ρsin φ·c os θ＝2×22×0＝0，b ＝ρsin φ·sin θ＝2×22×1＝2，c ＝ρcos φ＝2×22＝2， ∴点N 的直角坐标为(0，2，2)．∴|MN |＝12＋(1－2)2＋(3－2)2＝15－8 2.10.已知正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为1，如图所示建立空间直角坐标系A ­xyz ，以Ax 为极轴．求点C 1的直角坐标，柱坐标以及球坐标．解：点C 1的直角坐标为(1,1,1)，设点C 1的柱坐标为(ρ，θ，z )，球坐标为(r ，φ，θ)，其中ρ≥0，r ≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π，由坐标变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z ，且⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ，得⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝x 2＋y 2，tan θ＝y x (x ≠0)，且⎩⎪⎨⎪⎧r ＝x 2＋y 2＋z 2，cos φ＝z r ，得⎩⎨⎧ρ＝2，tan θ＝1，且⎩⎪⎨⎪⎧r ＝3，cos φ＝33.结合图形，得θ＝π4，由cos φ＝33得tan φ＝ 2.所以点C 1的直角坐标为(1,1,1)，柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，1，球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，φ，π4，其中tan φ＝2，0≤φ≤π.。

四 柱坐标系与球坐标系简介课堂导学三点剖析一、已知直角坐标求柱坐标【例1】 设点M 的直角坐标为(1,1,3),求它的柱坐标. 解：由变换公式得ρ2=x 2+y 2=12+12=2, ∴ρ=2. 又tan θ=xy =1,∴θ=4π(M 在第Ⅰ卦限).故M 的柱坐标为(2,4π,3).温馨提示可以看出,球坐标系与柱坐标系都是在空间直角坐标系的基础上建立的.在直角坐标系中,我们需要三个长度:(x,y,z),而在柱坐标系与球坐标系中,我们需要长度,还需要角度.它是从长度,方向来描述一个点的位置,需要(ρ,θ,z)或者(r,φ,θ).三种坐标系互相不同,互相有联系,互相能够转化,都是刻画空间一点的位置,只是描述的角度不同. 类题演练 1设M 的直角坐标为(1,3-,4),求其柱坐标.解:由公式得ρ2=1+3=4, ∴ρ=2. 又tan θ=xy =3-,∴θ=32π.∴柱坐标为(2,32π,4).变式提升 1设M 的柱坐标为(2,6π,7),求直角坐标.解:由公式得ρ2=x 2+y 2=4, 又tan6π=33=xy ,∴y=31x.∴y 2=1.∴y=1,x=3.∴直角坐标为(3,1,7).二、已知直角坐标求球坐标【例2】 设点M 的直角坐标为(1,1,2),求它的球坐标. 解：由公式得r=222z y x ++=2, 由rcos φ=z=2,得cos φ=222=r,φ=4π.又tan θ=xy =1,θ=4π.∴点M 的球坐标为(2,4π,4π).类题演练 2设M 的直角坐标为(2,-1,1),求它的球坐标. 解:由公式得r=222z y x ++=2, 由rcos φ=z 得cos φ=21,φ=3π.又tan θ=22-,∴θ=π-arctan22.∴球坐标为(2,3π,π-arctan22).三、用柱坐标与球坐标解决空间实际问题【例3】 已知长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的边长为AB=14,AD=6,AA 1=10,以这个长方体的顶点A 为坐标原点，以射线AB,AD,AA 1分别为Ox 、Oy 、Oz 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体顶点C 1的空间直角坐标,球坐标,柱坐标.解析：如图,此题是考查空间直角坐标,球坐标,柱坐标的概念，我们要能借此区分三个坐标，找到它们的相同和不同来.C 1点的(x,y,z)分别对应着CD,BC,CC 1,C 1点的(ρ,θ,z)分别对应着AC,∠BAC,CC 1，C 1点的（r,φ,θ)分别对应着AC 1,∠A 1AC 1,∠BAC.解:C 1点的空间直角坐标为(14,6,10)，C 1点的柱坐标为(232,arctan73,10)，C 1点的球坐标为(332,arccos 33210,arctan73).温馨提示应当注意,在球坐标系中,当点P 在z 轴上,θ不确定;点P 与坐标原点O 重合,φ与θ都不确定. 类题演练 3经过若干个固定和流动的地面遥感观测站监测，并通过数据汇总，计算出一个航天器在某一时刻的位置，离地面2 384千米，地球半径为6 371千米，此时经度为80°，纬度为75°.试建立适当的坐标系，确定出此时航天器点P 的坐标. 解:在赤道平面上，选取地球球心O 为极点，以O 为端点且与零子午线相交的射线Ox 为极轴，建立球坐标系,如图.由已知航天器位于经度80°，可知θ=80°，由航天器位于纬度75°，可知φ=90°-75°=15°，由航天器离地面2 384千米，地球半径为6 371千米，可知r=2 384+6 371=8 755千米.∴点P 的球坐标为(8 755 km,15°,80°). 变式提升 2两平行平面去截球，如图,在两个截面圆上有两个点，它们的球坐标分别为A(25,arctan724,θa ),B(25,π-arctan43,θb )，求出这两个截面间的距离.解:由已知,OA=OB=25,∠AOO 1=arctan724,∠BOO 1=π-arctan43,在△AOO 1中,tan∠AOO 1=724=11OOA O .∵OA=25,∴OO 1=7. 在△BOO 2中,∠BOO 2=arctan 43,tan∠BOO 2=43=22OOB O .∵OB=25,∴OO 2=20.则O 1O 2=OO 1+OO 2=7+20=27.∴两个截面间的距离O1O2为27.。

四柱坐标系与球坐标系简介学习目标：1.了解柱坐标系、球坐标系的意义，能用柱坐标系、球坐标系刻画简单问题中的点的位置．(重点)2.知道柱坐标、球坐标与空间直角坐标的互化关系与公式，并用于解题．(难点、易错点)教材整理1 柱坐标系阅读教材P16～P17“思考”及以上部分，完成下列问题．一般地，如图，建立空间直角坐标系Oxyz.设P是空间任意一点．它在Oxy平面上的射影为Q，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)表示点Q在平面Oxy上的极坐标，这时点P的位置可用有序数组(ρ，θ，z)(z∈R)表示．这样，我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z)之间的一种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z)叫做点P的柱坐标，记作P(ρ，θ，z)，其中ρ≥0,0≤θ<2π，－∞＜Z＜＋∞.已知点A的柱坐标为(1,0,1)，则点A的直角坐标为( )A．(1,1,0) B．(1,0,1)C．(0,1,1) D．(1,1,1)[解析] ∵x＝ρcos θ＝1，y＝ρsin θ＝0，z＝1，∴直角坐标为(1,0,1)，故选B.[答案] B教材整理2 球坐标系阅读教材P17～P18，完成下列问题．一般地，如图，建立空间直角坐标系Oxyz.设P是空间任意一点，连接OP，记|OP|＝r，OP与Oz轴正向所夹的角为φ.设P在Oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为θ.这样点P的位置就可以用有序数组(r，φ，θ)表示．这样，空间的点与有序数组(r，φ，θ)之间建立了一种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r，φ，θ)叫做点P的球坐标，记做P(r，φ，θ)，其中r≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π.已知点A 的球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫3，π2，π2，则点A 的直角坐标为( )A ．(3,0,0)B ．(0,3,0)C ．(0,0,3)D ．(3,3,0)[解析] ∵x ＝3×sin π2×cos π2＝0，y ＝3×sin π2×sin π2＝3，z ＝3×cos π2＝0，∴直角坐标为(0,3,0)．故选B. [答案] B【例1(2)设点N 的柱坐标为(π，π，π)，求它的直角坐标．[思路探究] (1)已知直角坐标系中的直角坐标化为柱坐标，利用公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z ，求出ρ，θ即可．(2)已知柱坐标系中的柱坐标化为直角坐标，利用公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z ，求出x ，y ，z即可．[自主解答] (1)设M 的柱坐标为(ρ，θ，z )， 则由⎩⎪⎨⎪⎧1＝ρcos θ，1＝ρsin θ，z ＝1，解之得，ρ＝2，θ＝π4，因此，点M 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，1. (2)设N 的直角坐标为(x ，y ，z )，则由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝πcos π，y ＝πsin π，z ＝π，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－π，y ＝0，z ＝π，因此，点N 的直角坐标为(－π，0，π)．1．由直角坐标系中的直角坐标求柱坐标，可以先设出点M 的柱坐标为(ρ，θ，z )，代入变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z ，求ρ；也可以利用ρ2＝x 2＋y 2，求ρ.利用tan θ＝yx，求θ，在求θ的时候特别注意角θ所在的象限，从而确定θ的取值．2．点的柱坐标和直角坐标的竖坐标相同．1．根据下列点的柱坐标，分别求直角坐标： (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π6，3；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4，2.[解] 设点的直角坐标为(x ，y ，z )．(1)⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ρcos θ＝2cos5π6＝－3，y ＝ρsin θ＝2sin 5π6＝1，z ＝3，因此所求点的直角坐标为(－3，1,3)．(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ＝2cos3π4＝－1，y ＝ρsin θ＝2sin 3π4＝1，z ＝2，因此所求点的直角坐标为(－1,1,2).【例2】 已知点M 的球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，4π，4π，求它的直角坐标．[思路探究] 球坐标――――――――――――――→x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ直角坐标[自主解答] 设点的直角坐标为(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2sin 34πcos 34π＝2×22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝－1，y ＝2sin 34πsin 34π＝2×22×22＝1，z ＝2cos 34π＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝－2，因此点M 的直角坐标为(－1,1，－2)．1．根据球坐标系的意义以及与空间直角坐标系的联系，首先要明确点的球坐标(r ，φ，θ)中角φ，θ的边与数轴Oz ，Ox 的关系，注意各自的限定范围，即0≤φ≤π，0≤θ<2π.2．化点的球坐标(r ，φ，θ)为直角坐标(x ，y ，z )，需要运用公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z＝r cos φ，转化为三角函数的求值与运算．2．若例2中“点M 的球坐标改为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，56π，53π”，试求点M 的直角坐标．[解] 设M 的直角坐标为(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ＝3sin5π6cos 5π3＝34，y ＝r sin φsin θ＝3sin 5π6sin 5π3＝－334，z ＝r cos φ＝3cos 5π6＝－332，∴因此M 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，－334，－332.【例3】 已知长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，底面正方形ABCD 的边长为1，棱AA 1的长为2，如图所示，建立空间直角坐标系Axyz ，Ax 为极轴，求点C 1的直角坐标和球坐标．[思路探究] 先确定C 1的直角坐标，再根据空间直角坐标系与球坐标系的联系，计算球坐标．[自主解答] 点C 1的直角坐标为(1,1，2)．设C 1的球坐标为(r ，φ，θ)，其中r ≥0,0≤φ≤π，0≤θ<2π， 由x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ， 得r ＝x 2＋y 2＋z 2＝12＋(2)2＋12＝2. 由z ＝r cos φ，∴cos φ＝22，φ＝π4， 又tan θ＝yx＝1， ∴θ＝π4，从而点C 1的球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，π4.1．由直角坐标化为球坐标时，我们可以设点M 的球坐标为(r ，φ，θ)，再利用变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ求出r ，θ，φ.2．利用r 2＝x 2＋y 2＋z 2，tan θ＝yx ，cos φ＝z r，特别注意由直角坐标求球坐标时，应首先看明白点所在的象限，准确取值，才能无误．3．若本例中条件不变，求点C 的柱坐标和球坐标． [解] 易知C 的直角坐标为(1,1,0)．设点C 的柱坐标为(ρ，θ，0)，球坐标为(r ，φ，θ)，其中0≤φ≤π，0≤θ<2π. (1)由于ρ＝x 2＋y 2＝12＋12＝ 2.又tan θ＝y x ＝1，∴θ＝π4，因此点C 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，0.(2)由于r ＝x 2＋y 2＋z 2＝12＋12＋0＝ 2.又cos φ＝z r ＝0，∴φ＝π2.又tan θ＝y x ＝1，∴θ＝π4，故点C 的球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π2，π4.柱、球坐标系—⎪⎪⎪—柱坐标系—球坐标系—柱坐标、球坐标的互化1．在空间直角坐标系中，点P 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，3，P 在xOy 平面上的射影为Q ，则Q点的坐标为( )A ．(2,0,3) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，3D ．(2，π4，0) [解析] 由点的空间柱坐标的意义可知，选B. [答案] B2．柱坐标P ⎝ ⎛⎭⎪⎫16，π3，5转换为直角坐标为( ) A ．(5,8,83) B ．(8,83，5) C ．(83，8,5)D ．(4,83，5)[解析] 由公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θz ＝z ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝16cos π3＝8，y ＝16sin π3＝83，z ＝5，即P 点的直角坐标为(8,83，5)．[答案] B3．已知一个点的球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，3π4，π4，则它的高低角为( )A ．－π4B.3π4C.π2D.π3[解析] ∵φ＝3π4，∴它的高低角为π2－φ＝－π4.[答案] A4．设点M 的直角坐标为(1,1，2)，则点M 的柱坐标为________，球坐标为________．[解析] 由坐标变换公式，可得ρ＝x 2＋y 2＝2，tan θ＝y x ＝1，θ＝π4(点(1,1)在平面xOy 的第一象限)，r ＝x 2＋y 2＋z 2＝12＋12＋(2)2＝2.由r cos φ＝z ＝2， 得cos φ＝2r＝22，φ＝π4. ∴点M 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，2，球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，π4.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，π45．已知点P 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，5，点B 的球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫6，π3，π6，求这两个点的直角坐标．[解] 设点P 的直角坐标为(x 1，y 1，z 1)， 则x 1＝2cos π4＝1，y 1＝2sin π4＝1，z ＝5.设点B 的直角坐标为(x 2，y 2，z 2)，则x 2＝6sin π3cos π6＝6×32×32＝364，y 2＝6sin π3sin π6＝6×32×12＝324， z 2＝6cos π3＝6×12＝62. 所以点P 的直角坐标为(1,1,5)，点B 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫364，324，62.。

四柱坐标系与球坐标系简介课后篇巩固探究A组1.已知点A的球坐标为,则点A的直角坐标为()A.(3,0,0)B.(0,3,0)C.(0,0,3)D.(3,3,0)A的直角坐标为(x,y,z),则x=3×sin×cos=0,y=3×sin×sin=3,z=2×cos=0,所以直角坐标为(0,3,0).2.若点M的直角坐标为(-1,-,3),则它的柱坐标是()A. B.C. D.M的柱坐标为(ρ,θ,z),则ρ==2,θ=,z=3,所以点M的柱坐标为,故选C.3.在球坐标系中,方程r=3表示空间中的()A.以x轴为中心轴,底面半径为3的圆柱面B.以y轴为中心轴,底面半径为3的圆柱面C.以z轴为中心轴,底面半径为3的圆柱面D.以原点为球心,半径为3的球面A.2B.C.2D.4M的直角坐标为(x,y,z),因为(r,φ,θ)=,所以即M(-2,2,2).故点M到Oz轴的距离为=2.5.在空间直角坐标系Oxyz中,下列柱坐标对应的点在平面yOz内的是()A.B.C.D.P的柱坐标(ρ,θ,z)知,当θ=时,点P在平面yOz内,故选A.6.若点P的直角坐标为(,3),则它的柱坐标是.7.已知在柱坐标系Oxyz中,点M的柱坐标为,则|OM|=.M的直角坐标为(x,y,z),且x2+y2=ρ2=4,故|OM|==3.8.若点M的球坐标为,O为原点,则点M到原点的距离为,OM与平面xOy所成的角为.9.建立适当的球坐标系,求棱长为1的正方体的各个顶点的球坐标.O为极点,以此顶点处的三条棱所在的直线为坐标轴,建立如图所示的球坐标系.则有O(0,0,0),A,B,C,D(1,0,0),E,F,G.10.(1)将下列各点的柱坐标化为直角坐标:P,Q.(2)将下列各点的球坐标化为直角坐标:A,B,C.设点P的直角坐标为(x1,y1,z1),则x1=ρcos θ=cos,y1=ρsinθ=sin,z1=,故点P的直角坐标为.设点Q的直角坐标为(x2,y2,z2),则x2=4cos=-2,y2=4sin=2,z2=-3,故点Q的直角坐标为(-2,2,-3).(2)设点A的直角坐标为(x1,y1,z1),则x1=r sin φcosθ=4sin×cos=4×1×=2,y1=r sin φsinθ=4sin sin=4×1×=-2,z1=r cos φ=4×cos=0,故点A的直角坐标为(2,-2,0).设点B的直角坐标为(x2,y2,z2),则x2=8sin cos π=8××(-1)=-4,y2=8sin sin π=0,z2=8cos=8×=-4.故点B的直角坐标为(-4,0,-4).设点C的直角坐标为(x3,y3,z3),因为r=0,所以x3=0,y3=0,z3=0,即点C的直角坐标为(0,0,0). |AA1|=2,M是线段A1B1的中点.建立适当的坐标系,求点M的直角坐标和柱坐标.,过点M作底面xCy的垂线MN.因为ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以点N在线段AB上.过点N分别作x轴、y轴的垂线NE,NF,根据已知,可得△ABC是等腰直角三角形,所以|NE|=|NF|=.故点M的直角坐标为.由于点M在平面xCy上的射影为点N,连接CN,|CN|=,∠ECN=,故点M的柱坐标为.B组1.在柱坐标系中,方程z=C(C为常数)表示()A.圆B.与xOy平面垂直的平面C.球面D.与xOy平面平行的平面2.已知在空间直角坐标系Oxyz中,点M在平面yOz内,若M的球坐标为(r,φ,θ),则应有()A.φ=B.θ=C.φ=D.θ=M向平面xOy作垂线,垂足N一定在直线Oy上,由极坐标系的意义知θ=.3.在柱坐标系中,满足的动点M(ρ,θ,z)围成的几何体的体积为.ρ=1,0≤θ<2π,0≤z≤2的动点M(ρ,θ,z)的轨迹是以直线Oz为轴,轴截面为正方形的圆柱面,其底面半径r=1,高h=2,故V=Sh=πr2h=2π.π点的坐标分别为A1(8,0,10),C1,则该长方体外接球的体积为.故其外接球的体积为×(5)3=.5.如图,点P为圆柱的上底面与侧面交线上的一点,且点P的柱坐标为,求该圆柱的体积.P作PP'垂直于底面,垂足为P',因为P,所以点P'的柱坐标为.因此圆柱的底面半径为6,高为5.故圆柱的体积为V=π×62×5=180π.6.一个圆形体育场,自正东方向起,按逆时针方向等分为十六个扇形区域,顺次记为一区,二区……十六区,我们设圆形体育场第一排与体育场中心的距离为200 m,每相邻两排的间距为1 m,每层看台的高度为0.7 m,现在需要确定第九区第四排正中的位置A,请建立适当的柱坐标系,把点A的柱坐标求出来.O为极点,选取以O为端点且过正东入口的射线Ox为极轴,在地面上建立极坐标系,则点A与体育场中轴线Oz的距离为203 m,极轴Ox按逆时针方向旋转,就是OA在地平面上的射影,A距地面的高度为2.8 m,因此我们可以用柱坐标来表示点A的准确位置.所以点A的柱坐标为.三棱锥)的各个顶点的坐标.,找到相应坐标.B为极点O,选取以O为端点且与BD垂直的射线Ox为极轴,过点O且与平面BCD垂直的直线为z轴,建立如图所示的柱坐标系.过点A作AA'垂直于平面BCD,垂足为A',连接BA',则|BA'|=3×,|AA'|=,∠A'Bx=,则A,B(0,0,0),C,D.。

四 柱坐标系与球坐标系简介1．借助具体实例了解柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法． 2．与空间直角坐标系中刻画点的位置方法相比较，体会它们的区别与联系．1．柱坐标系(1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz ，设P 是空间任意一点，它在Oxy 平面上的射影为Q ，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)来表示点Q 在平面Oxy 上的极坐标．这时点P 的位置可用有序数组________(z ∈R )表示，这样，我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z )之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z )叫做点P 的柱坐标，记作________，其中________________________．(2)空间点P 的直角坐标(x ，y ，z )与柱坐标(ρ，θ，z )之间的变换公式为__________ 【做一做1－1】 设点P 的直角坐标为(1,1,3)，则它的柱坐标是__________． 【做一做1－2】 柱坐标满足方程ρ＝2的点所构成的图形是________． 2．球坐标系(1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz ，设P 是空间任意一点，连接OP ，记|OP |＝r ，OP 与Oz 轴正向所夹的角为φ，设P 在Oxy 平面上的射影为Q ，Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角θ.这样点P 的位置就可以用有序数组________表示．这样，空间的点与有序数组(r ，φ，θ)之间建立了一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r ，φ，θ)叫做点P 的球坐标，记作__________，其中______________________．(2)空间点P 的直角坐标(x ，y ，z )与球坐标(r ，φ，θ)之间的变换关系为______________在测量实践中，球坐标中的角θ称为被测点P (r ，φ，θ)的方位角，π2－φ称为高低角．【做一做2】 已知点M 的球坐标为(4，π4，3π4)，则它的直角坐标是______，它的柱坐标是______．答案：1．(1)(ρ，θ，z ) P (ρ，θ，z ) ρ≥0，0≤θ＜2π，－∞＜z ＜＋∞(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z .【做一做1－1】 (2，π4，3) 【做一做1－2】 以Oz 轴所在直线为轴，且垂直于轴的截面是半径为2的圆柱侧面 2．(1)(r ，φ，θ) P (r ，φ，θ) r ≥0，0≤φ≤π，0≤θ＜2π(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ.【做一做2】 (－2,2,22) (22，3π4，22)1．空间直角坐标系、柱坐标系、球坐标系的联系和区别剖析：它们都是三维的坐标，球坐标与柱坐标都是在空间直角坐标基础上建立的． 在直角坐标中，我们需要三个长度x ，y ，z ，而在柱坐标与球坐标中，我们需要长度，还需要角度．它们是从长度、方向来描述一个点的位置，需要ρ，θ，z 或者r ，φ，θ.空间直角坐标：设点M 为空间一已知点．我们过点M 作三个平面分别垂直于x 轴、y 轴、z 轴，它们与x 轴、y 轴、z 轴的交点依次为P ，Q ，R ，这三点在x 轴、y 轴、z 轴的坐标依次为x ，y ，z .于是空间的一点M 就惟一地确定了一个有序数组x ，y ，z .这组数x ，y ，z 就叫做点M 的坐标，并依次称x ，y 和z 为点M 的横坐标、纵坐标和竖坐标(如图所示)．坐标为(x ，y ，z )的点M 通常记为M (x ，y ，z )．这样，通过空间直角坐标系，我们就建立了空间的点M 和有序数组(x ，y ，z )之间的一一对应关系．如果点M 在yOz 平面上，则x ＝0；同样，zOx 面上的点，y ＝0；如果点M 在x 轴上，则y ＝z ＝0；如果M 是原点，则x ＝y ＝z ＝0等．几种三维坐标互相不同，互相有联系，互相能够转化，都是刻画空间一点的位置，只是描述的角度不同．2．建立空间坐标系的方法剖析：我们已经学习了数轴、平面直角坐标系、平面极坐标系、空间直角坐标系、柱坐标系、球坐标系等．坐标系是联系形与数的桥梁，利用坐标系可以实现几何问题与代数问题的相互转化．不同的坐标系有不同的特点，在实际应用时，我们就可以根据问题的特点选择适当的坐标系，借助坐标系方便、简捷地研究问题．当图形中有互相垂直且相交于一点的三条直线时，可以利用这三条直线直接建系． 有些图形虽然没有互相垂直且相交于一点的三条直线，但是图形中有一定的对称关系(如：正三棱锥、正四棱锥、正六棱锥等)，我们可以利用图形的对称性建立空间坐标系来解题．有些图形没有互相垂直且相交于一点的三条直线，但是有两个互相垂直的平面，我们可以利用面面垂直的性质定理，作出互相垂直且相交于一点的三条直线，建立空间坐标系．题型一 直角坐标与柱坐标的互化【例1】 设点M 的直角坐标为(1,1,1)，求它在柱坐标系中的坐标．分析：把直角坐标系中的直角坐标化为柱坐标，利用公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z ，求出ρ，θ即可．反思：由直角坐标求柱坐标，可以先设出点M 的柱坐标为(ρ，θ，z )，代入变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z求ρ；也可以利用ρ2＝x 2＋y 2求ρ，利用tan θ＝yx求θ，在求θ时，要特别注意角θ所在的象限，从而确定θ的取值．题型二 直角坐标与球坐标的互化【例2】 已知点M 的球坐标为(2，3π4，3π4)，求它的直角坐标．分析：利用变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ求解，其中r ＝x 2＋y 2＋z 2，cos φ＝z r ，tan θ＝yx. 反思：由直角坐标求球坐标时，可先设点M 的球坐标为(r ，φ，θ)，利用变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ求出r ，φ，θ即可；也可以利用r 2＝x 2＋y 2＋z 2，tan θ＝y x，cos φ＝zr来求．需要特别注意的是在求φ和θ时，要先弄清楚点M 所在的位置． 题型三 求空间一点的坐标【例3】 一个圆形体育馆，自正东方向起，按逆时针方向等分为十六个扇形区域，顺次记为一区，二区，…，十六区，我们设圆形体育场第一排与体育馆中心的距离为200 m ，每相邻两排的间距为1 m ，每层看台的高度为0.7 m ，现在需要确定第九区第四排正中的位置A ，请建立适当的坐标系，把点A 的坐标求出来．反思：找空间中一点的柱坐标，与找平面极坐标是类似的，需要确定极径、极角，只是比平面极坐标多了一个量，即点在空间中的高度．题型四 柱坐标系、球坐标系的应用【例4】 已知点P 1的球坐标是P 1(23，π3，π4)，P 2的柱坐标是P 2(6，π6，1)，求|P 1P 2|.分析：可把两点坐标均化为空间直角坐标，再用空间两点间的距离公式求距离．反思：柱坐标及球坐标问题可以统一化为直角坐标问题来解决． 题型五 易错辨析【例5】 设点M 的直角坐标为(1,1，2)，求它的球坐标． 错解：点M 的球坐标为(2，2，2)．答案：【例1】 解：设点M 的柱坐标为(ρ，θ，z )， 则有⎩⎪⎨⎪⎧1＝ρcos θ，1＝ρsin θ，z ＝1，解之得ρ＝2，θ＝π4.因此，点M 的柱坐标为(2，π4，1)．【例2】 解：设点M 的直角坐标为(x ，y ，z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2sin3π4cos 3π4＝2×22－22＝－1，y ＝2sin 3π4sin 3π4＝2×22×22＝1，z ＝2cos 3π4＝－22＝－ 2.∴点M 的直角坐标为(－1,1，－2)．【例3】 解：以圆形体育场中心O 为极点，选取以O 为端点且过正东入口的射线Ox 为极轴，在地面上建立极坐标系，则点A 与体育场中轴线Oz 的距离为203 m ，极轴Ox 按逆时针方向旋转17π16，就是OA 在地平面上的射影，A 距地面的高度为2.8 m ，因此我们可以用柱坐标来表示点A 的准确位置．∴点A 的柱坐标为(203，17π16，2.8)．【例4】 解：设P 1的直角坐标为P 1(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝23sin π3cos π4＝322，y 1＝23sin π3sin π4＝322，z 1＝23cos π3＝3，∴P 1的直角坐标为(322，322，3)．设P 2的直角坐标为P 2(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝6cos π6＝322，y 2＝6sin π6＝62，z 2＝1，∴P 2的直角坐标为(322，62，1)．∴|P 1P 2|＝0＋322－622＋3－2＝30－102. 【例5】 错因分析：球坐标和柱坐标与直角坐标互化的公式记忆混淆，错用公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z .正解：∵r ＝x 2＋y 2＋z 2＝12＋12＋22＝2，z ＝r cos φ＝2，∴cos φ＝22.∴φ＝π4. 又∵tan θ＝y x ＝1，∴θ＝π4.∴点M 的球坐标为(2，π4，π4)．1在空间直角坐标系Oxyz 中，方程x ＝1表示( )．A ．点B ．直线C ．平面D ．以上都不对 2在空间球坐标系中，方程r ＝2(0≤φ≤2π，0≤θ＜2π)表示()． A ．圆 B ．半圆 C ．球面 D ．半球面 3点M 的直角坐标为1，－2)，则它的球坐标为( )．A．3,)46ππ B．,)46ππ C．,)43ππ D ．3,)43ππ4空间点P 的柱坐标为(6，3π，4)，则点P 关于z 轴的对称点为________． 5把下列用柱坐标表示的各点用直角坐标表示出来．(1)(2,0，－2)；(2)(π，π，π)6把下列用球坐标表示的各点用直角坐标表示出来． (1)(2，,63ππ)；(2)(2，7,44ππ)．答案：1．C 由空间点的直角坐标的定义知，方程x ＝1表示与x 轴垂直且到原点的距离为1的平面．2．D 由空间点的球坐标的定义可知，方程r ＝2(0≤φ≤2π，0≤θ＜2π)表示半球面． 3．A 设M 的球坐标为(r ，φ，θ)，则sin cos ,1sin sin ,2cos ,r r r ϕθϕθϕ==⎨⎪-=⎩解得3,4.6r πϕπθ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩4．(6，43π，4) 5．解：设点的直角坐标为(x ，y ，z )． (1)∵(ρ，θ，z )＝(2,0，－2)，∴2cos 02,sin 00,2,x y z ==⎧⎪==⎨⎪=-⎩∴(2,0，－2)为所求点的直角坐标． (2)∵(ρ，θ，z )＝(π，π，π)，∴cos ,sin 0,,x y z ππππππ==-⎧⎪==⎨⎪=⎩∴(－π，0，π)为所求点的直角坐标． 6．解：设点的直角坐标为(x ，y ，z )．(1)∵(r ，φ，θ)＝(2，,63ππ)，∴1sin cos 2sin cos ,632sin 2sin sin 63cos 2cos 6x r y r z r ππϕθππϕθπϕ⎧===⎪⎪⎪===⎨⎪⎪===⎪⎩∴1(2为所求点的直角坐标．(2)∵(r，φ，θ)＝(2，7,44ππ)，∴7sin cos2sin cos1,447sin sin2sin sin1,44cos2cos4x ry rz rππϕθππϕθπϕ⎧===⎪⎪⎪===-⎨⎪⎪===⎪⎩∴(1，－1为所求点的直角坐标．。

四 柱坐标系与球坐标系简介学习目标 1.了解柱坐标系、球坐标系的特征.2.掌握柱坐标系、球坐标系与空间直角坐标系的关系，并掌握坐标间的互化公式.3.能利用柱坐标、球坐标与空间坐标的转化解决相关问题．知识点一 柱坐标系思考 要刻画空间一点的位置，就距离和角的个数来说有什么限制？ 答案 空间点的坐标都是三个数值，其中至少有一个是距离． 梳理 柱坐标系的概念(1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz ，设P 是空间任意一点，它在平面Oxy 上的射影为Q ，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)表示点Q 在平面Oxy 上的极坐标．这时点P 的位置可用有序数组(ρ，θ，z )(z ∈R )表示，这样，我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z )之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z )叫做点P 的柱坐标，记作P (ρ，θ，z )，其中ρ≥0,0≤θ<2π，z ∈R .(2)空间点P 的直角坐标(x ，y ，z )与柱坐标(ρ，θ，z )之间的变换公式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z .知识点二 球坐标系思考 要刻画空间一点的位置，在空间直角坐标系中，用三个距离来表示，在柱坐标系中，用两个距离和一个角来表示，那么，能否用两个角和一个距离来表示． 答案 可以． 梳理 球坐标系的概念(1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz ，设P 是空间任意一点，连接OP ，记|OP |＝r ，OP 与Oz 轴正向所夹的角为φ，设P 在Oxy 平面上的射影为Q ，Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为θ.这样点P 的位置就可以用有序数组(r ，φ，θ)表示．这样，空间的点与有序数组(r ，φ，θ)之间建立了一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r ，φ，θ)叫做点P 的球坐标，记作P (r ，φ，θ)，其中r ≥0,0≤φ≤π，0≤θ<2π.(2)空间点P 的直角坐标(x ，y ，z )与球坐标(r ，φ，θ)之间的变换关系为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ.类型一 柱坐标与直角坐标的互化例1 (1)已知点A 的直角坐标为(－1，3，4)，求它的柱坐标；(2)已知点P 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π3，8，求它的直角坐标．解 (1)设点A 的柱坐标为(ρ，θ，z )，则⎩⎨⎧－1＝ρcos θ，3＝ρsin θ，4＝z ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝2，θ＝2π3，z ＝4，∴点A 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3，4.(2)由变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z ，得x ＝4cos π3＝2，y ＝4sin π3＝23，z ＝8.∴点P 的直角坐标为(2,23，8)．反思与感悟 (1)由直角坐标系中的直角坐标求柱坐标，可以先设出点M 的柱坐标为(ρ，θ，z )，代入变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z ，求ρ；也可以利用ρ2＝x 2＋y 2，求ρ.利用tan θ＝yx，求θ，在求θ的时候特别注意角θ所在的象限，从而确定θ的取值． (2)点的柱坐标和直角坐标的竖坐标相同．跟踪训练1 (1)已知点M 的直角坐标为(0,1,2)，求它的柱坐标；(2)已知点N 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2，3，求它的直角坐标．解 (1)ρ＝x 2＋y 2＝02＋12＝1.∵x ＝0，y >0，∴θ＝π2.∴点M 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2，2.(2)由变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得z ＝z ，x ＝2cos π2＝0，y ＝2sin π2＝2，故点N 的直角坐标为(0,2,3)． 类型二 球坐标与直角坐标的互化例2 (1)已知点P 的球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，3π4，π4，求它的直角坐标；(2)已知点M 的直角坐标为(－2，－2，－22)，求它的球坐标． 解 (1)由变换公式，得x ＝r sin φcos θ＝4sin 3π4cos π4＝2. y ＝r sin φsin θ＝4sin 3π4sin π4＝2. z ＝r cos φ＝4cos3π4＝－2 2. 故其直角坐标为(2,2，－22)． (2)由坐标变换公式，可得r ＝x 2＋y 2＋z 2＝(－2)2＋(－2)2＋(－22)2＝4.由r cos φ＝z ＝－22，得cos φ＝－22r ＝－22，φ＝3π4.又tan θ＝y x ＝1，θ＝5π4，从而知M 点的球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，3π4，5π4.反思与感悟 由直角坐标化为球坐标时，可设点的球坐标为(r ，φ，θ)，利用变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ，求出r ，φ，θ即可；也可以利用r 2＝x 2＋y 2＋z 2，tan θ＝y x，cos φ＝zr来求，要特别注意由直角坐标求球坐标时，要先弄清楚φ和θ所在的位置． 跟踪训练2 把下列各点的球坐标化为直角坐标． (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4，5π4；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫6，π3，π6.解 设点的直角坐标为(x ，y ，z )．(1)∵(r ，φ，θ)＝⎝⎛⎭⎪⎫2，3π4，5π4，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ＝2sin3π4cos 5π4＝－1，y ＝r sin φsin θ＝2sin 3π4sin 5π4＝－1，z ＝r cos φ＝2cos 3π4＝－2，∴(－1，－1，－2)为所求． (2)∵(r ，φ，θ)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫6，π3，π6，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ＝6sin π3cos π6＝364，y ＝r sin φsin θ＝6sin π3sin π6＝324，z ＝r cos φ＝6cos π3＝62，∴⎝⎛⎭⎪⎫364，324，62为所求．类型三 求点的坐标例3 已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1，底面ABCD 边长为1，高AA 1为6，建立空间直角坐标系(如图)，Ax 为极轴，求点C 1的直角坐标，柱坐标及球坐标．解 点C 1的直角坐标为(1,1，6)，设C 1的柱坐标为(ρ，θ，6)，ρ＝x 2＋y 2＝2，tan θ＝y x ＝1，θ＝π4，所以C 1的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，6，设C 1的球坐标为(r ，φ，θ)，其中r ≥0,0≤φ≤π，0≤θ<2π， 由x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ， 得r ＝x 2＋y 2＋z 2＝12＋12＋(6)2＝2 2. 由z ＝r cos φ，得cos φ＝32，φ＝π6， 又tan θ＝y x ＝1，∴θ＝π4，从而点C 1的球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π6，π4，柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，6，直角坐标为(1,1，6)．反思与感悟 (1)弄清空间直角坐标系、柱坐标系、球坐标系之间的关系，灵活运用直角坐标与柱坐标及球坐标的互化公式．(2)结合图形，更直观地看到三种坐标之间的联系．跟踪训练3 在例3的条件下，求点C ，A 1的直角坐标、柱坐标及球坐标．解 C 的直角坐标为(1,1,0)，设C 的柱坐标为(ρ，θ，z )，球坐标为(r ，φ，θ)(ρ≥0,0≤φ≤π，0≤θ<2π)． ρ＝12＋12＝2，tan θ＝yx＝1，∴θ＝π4，z ＝0，∴C 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，0.又r ＝x 2＋y 2＋z 2＝2，φ＝π2，θ＝π4，∴C 的球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π2，π4.A 1的直角坐标为(0,0，6)，A 1的柱坐标为(0,0，6)， A 1的球坐标为(6，0,0)．1．在空间直角坐标系中，点P 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，3，P 在xOy 平面上的射影为Q ，则Q 点的坐标为( ) A ．(2,0,3) B ．(2，2，0) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，3D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，0答案 B2．设点M 的直角坐标为(2,0,2)，则点M 的柱坐标为( ) A ．(2,0,2) B ．(2，π，2) C ．(2，0,2) D ．(2，π，2) 答案 A3．在球坐标系中，方程r ＝2表示空间的( ) A ．球B ．球面C ．圆D ．直线 答案 B4．点P 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6，3，则点P 到原点的距离为________．答案 5解析 x ＝ρcos θ＝4cos π6＝23，y ＝ρsin θ＝4sin π6＝2.即点P 的直角坐标为(23，2,3)，其到原点距离为(23－0)2＋(2－0)2＋(3－0)2＝25＝5.5．已知点M 的直角坐标为(1,2,3)，球坐标为(r ，φ，θ)，则tan φ＝________，tan θ＝________. 答案532 解析 如图所示，tan φ＝x 2＋y 2z ＝53，tan θ＝yx＝2.1．空间点的坐标的确定(1)空间直角坐标系中点的坐标是由横坐标、纵坐标和竖坐标来确定的，即(x ，y ，z )． (2)空间点的柱坐标是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的竖坐标组成的，即(ρ，θ，z )． (3)空间点的球坐标是点在Oxy 平面上的射影和原点连线与x 轴正方向所成的角θ，点和原点的连线与z 轴的正方向所成的角φ，以及点到原点的距离组成的，即(r ，φ，θ)．注意求坐标的顺序为①到原点的距离r ；②与z 轴正方向所成的角φ；③与x 轴正方向所成的角θ.2．柱坐标系又称半极坐标系，它是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的一部分建立起来的，空间任一点P 的位置可以用有序数组(ρ，θ，z )表示，(ρ，θ)是点P 在Oxy 平面上的射影Q 的极坐标，z 是P 在空间直角坐标系中的竖坐标．一、选择题1．点P 的柱坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫4，5π4，3，则其直角坐标为( )A ．(22，22，3)B ．(－22，22，3)C ．(－22，－22，3)D ．(22，－22，3)答案 C2．设点M 的直角坐标为(－1，－1，2)，则它的球坐标为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，π4B.⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，5π4C.⎝⎛⎭⎪⎫2，5π4，π4 D.⎝⎛⎭⎪⎫2，3π4，π4 答案 B3．在直角坐标系中，(1,1,1)关于z 轴对称点的柱坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4，1D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，7π4，1 答案 C解析 (1,1,1)关于z 轴的对称点为(－1，－1,1)，它的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4，1.4．空间直角坐标系Oxyz 中，下列柱坐标对应的点在平面yOz 内的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2，2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，0C.⎝⎛⎭⎪⎫3，π4，π6 D.⎝⎛⎭⎪⎫3，π6，π2 答案 A解析 由P (ρ，θ，z )，当θ＝π2时，点P 在平面yOz 内．5．已知点M 的球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π4，3π4，则点M 到Oz 轴的距离为( )A ．22B.2C ．2D ．4 答案 A解析 设点M 的直角坐标为(x ，y ，z )．∵(r ，φ，θ)＝⎝⎛⎭⎪⎫4，π4，3π4， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ＝4sin π4cos3π4＝－2，y ＝r sin φsin θ＝4sin π4sin 3π4＝2，z ＝r cos φ＝4cos π4＝22，∴点M 的直角坐标为(－2,2,22)， ∴点M 到Oz 轴的距离为(－2)2＋22＝2 2.6．在柱坐标系中，点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，1，则点P 的直角坐标为( )A ．(3，－1,1)B ．(3，1,1)C ．(－1，3，1)D ．(1，3，1)答案 D解析 柱坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，1对应的点的直角坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos π3，2sin π3，1，即(1，3，1)．二、填空题7．已知在柱坐标系中，点M 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3，5，且点M 在坐标轴Oy 上的射影为N ，则|MN |＝________. 答案6解析 设点M 在平面xOy 上的射影为P ，连接PN ，则PN 为线段MN 在平面xOy 上的射影． 因为MN ⊥直线Oy ，MP ⊥平面xOy ， 所以PN ⊥直线Oy ，所以|OP |＝ρ＝2，|PN |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ρcos 2π3＝1， 在Rt△MNP 中，∠MPN ＝90°，所以|MN |＝|PM |2＋|PN |2＝(5)2＋12＝ 6. 8．在极坐标系中，由三条直线θ＝0，θ＝π3，ρcos θ＋ρsin θ＝1围成图形的面积是________． 答案3－34解析 如图，由题意知|OA |＝|OB |＝1，∠POC ＝π3，∠PAC ＝π4，|PC |＝|CA |＝3－32，故所求面积为3－34.9．已知柱坐标系Oxyz 中，点M 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，5，则|OM |＝________.答案 3解析 因为(ρ，θ，z )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，5，设点M 的直角坐标为(x ，y ，z )，则x 2＋y 2＝ρ2＝4， 所以|OM |＝x 2＋y 2＋z 2＝4＋(5)2＝3.10．已知点P 1的球坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π2，5π3，P 2的柱坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，1，则|P 1P 2|＝________. 答案21解析 因为点P 1的球坐标是⎝⎛⎭⎪⎫4，π2，5π3， 所以11154sin cos ,2354sin sin ,234cos ,2P P P x y z ππ⎧=⎪⎪ππ⎪=⎨⎪π⎪=⎪⎩经计算得P 1(2，－23，0)，因为P 2的柱坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，1，所以2222cos ,62sin ,61,P P P x y z π⎧=⎪⎪π⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩经计算得P 2(3，1,1)．所以|P 1P 2|＝(2－3)2＋(－23－1)2＋(0－1)2＝21. 三、解答题11．设点M 的直角坐标为(1,1，2)，求点M 的柱坐标与球坐标． 解 由坐标变换公式，可得ρ＝x 2＋y 2＝2，tan θ＝y x ＝1，θ＝π4，r ＝x 2＋y 2＋z 2＝12＋12＋(2)2＝2.由r cos φ＝z ＝2(0≤φ≤π)， 得cos φ＝2r＝22，φ＝π4. 所以点M 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，2，球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，π4.12．已知点P 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，5，点B 的球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π4，π6，求这两个点的直角坐标．解 设点P 的直角坐标为(x ，y ，z )， 则由柱坐标与直角坐标的变换公式，得x ＝2cos π4＝2×22＝1，y ＝2sin π4＝1，z ＝5. 设点B 的直角坐标为(x ，y ，z )， 则由球坐标与直角坐标的变换公式，得x ＝1×sin π4cos π6＝1×22×32＝64， y ＝1×sin π4sin π6＝1×22×22＝12， z ＝1×1×cos π4＝22.11 故点P 的直角坐标为(1,1,5)，点B 的直角坐标为⎝⎛⎭⎪⎫64，12，22. 四、探究与拓展13．点M 的球坐标为(r ，φ，θ)，φ，θ∈(0，π)，则其关于点(0,0,0)的对称点的球坐标为________________． 答案 (r ，π－φ，π＋θ)14．有一个母线与轴线夹角为π3的倒置圆锥，一只小虫在圆锥面上从顶点出发盘旋着向上爬行，已知它上升的速度为v >0，盘旋的角速度为ω>0，求t 时刻蚂蚁所在的位置的球坐标． 解 取圆锥的顶点O 为坐标原点，建立球坐标系，如图，设t 时刻蚂蚁在点M (r ，φ，θ)处，由题意得θ＝ωt ，z ＝vt ，φ＝π3， 由于z r ＝cos φ＝cos π3＝12，于是r ＝2z ＝2vt ， 所以t 时刻蚂蚁所在的位置的球坐标为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2vt ，π3，ωt ，t ∈[0，＋∞)．。

四柱坐标系与球坐标系简介1．了解柱坐标系、球坐标系的意义，能用柱坐标系、球坐标系刻画简单问题中的点的位置．(重点)2．知道柱坐标、球坐标与空间直角坐标的互化关系与公式，并用于解题．(难点、易错点)[基础·初探]教材整理1 柱坐标系阅读教材P16～P17“思考”及以上部分，完成下列问题．一般地，如图1­4­1，建立空间直角坐标系Oxyz.设P是空间任意一点．它在Oxy平面上的射影为Q，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)表示点Q在平面Oxy上的极坐标，这时点P 的位置可用有序数组(ρ，θ，z)(z∈R)表示．这样，我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z)之间的一种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z)叫做点P的柱坐标，记作P(ρ，θ，z)，其中ρ≥0,0≤θ<2π，－∞＜Z＜＋∞.图1­4­1已知点A的柱坐标为(1,0,1)，则点A的直角坐标为( )A．(1,1,0) B．(1,0,1)C．(0,1,1) D．(1,1,1)【解析】∵x＝ρcos θ＝1，y＝ρsin θ＝0，z＝1，∴直角坐标为(1,0,1)，故选B.【答案】 B教材整理2 球坐标系阅读教材P17～P18，完成下列问题．一般地，如图1­4­2，建立空间直角坐标系Oxyz .设P 是空间任意一点，连接OP ，记|OP |＝r ，OP 与Oz 轴正向所夹的角为φ.设P 在Oxy 平面上的射影为Q ，Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为θ.这样点P 的位置就可以用有序数组(r ，φ，θ)表示．这样，空间的点与有序数组(r ，φ，θ)之间建立了一种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r ，φ，θ)叫做点P 的球坐标，记做P (r ，φ，θ)，其中r ≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π.图1­4­2已知点A 的球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫3，π2，π2，则点A 的直角坐标为( )A ．(3,0,0)B ．(0,3,0)C ．(0,0,3)D ．(3,3,0)【解析】 ∵x ＝3×sin π2×cos π2＝0，y ＝3×sin π2×sin π2＝3，z ＝3×cos π2＝0，∴直角坐标为(0,3,0)．故选B. 【答案】 B[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：(2)设点N 的柱坐标为(π，π，π)，求它的直角坐标．【思路探究】 (1)已知直角坐标系中的直角坐标化为柱坐标，利用公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z ，求出ρ，θ即可．(2)已知柱坐标系中的柱坐标化为直角坐标，利用公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z ，求出x ，y ，z 即可．【自主解答】 (1)设M 的柱坐标为(ρ，θ，z )， 则由⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝ρcos θ，1＝ρsin θ，z ＝1，解之得，ρ＝2，θ＝π4，因此，点M 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，1. (2)设N 的直角坐标为(x ，y ，z )，则由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝πcos π，y ＝πsin π，z ＝π，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－π，y ＝0，z ＝π，因此，点N 的直角坐标为(－π，0，π)．1．由直角坐标系中的直角坐标求柱坐标，可以先设出点M 的柱坐标为(ρ，θ，z )，代入变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z ，求ρ；也可以利用ρ2＝x 2＋y 2，求ρ.利用tan θ＝yx，求θ，在求θ的时候特别注意角θ所在的象限，从而确定θ的取值．2．点的柱坐标和直角坐标的竖坐标相同．[再练一题]1．根据下列点的柱坐标，分别求直角坐标： (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π6，3；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4，2.【导学号：91060009】【解】 设点的直角坐标为(x ，y ，z )．(1)⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ρcos θ＝2cos5π6＝－3，y ＝ρsin θ＝2sin 5π6＝1，z ＝3，因此所求点的直角坐标为(－3，1,3)．(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ＝2cos3π4＝－1，y ＝ρsin θ＝2sin 3π4＝1，z ＝2，因此所求点的直角坐标为(－1,1,2).已知点M 的球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，4π，4π，求它的直角坐标．【思路探究】 球坐标――――――――――――――→x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ直角坐标【自主解答】 设点的直角坐标为(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2sin 34πcos 34π＝2×22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝－1，y ＝2sin 34πsin 34π＝2×22×22＝1，z ＝2cos 34π＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝－2，因此点M 的直角坐标为(－1,1，－2)．1．根据球坐标系的意义以及与空间直角坐标系的联系，首先要明确点的球坐标(r ，φ，θ)中角φ，θ的边与数轴Oz ，Ox 的关系，注意各自的限定范围，即0≤φ≤π，0≤θ<2π.2．化点的球坐标(r ，φ，θ)为直角坐标(x ，y ，z )，需要运用公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ，转化为三角函数的求值与运算．[再练一题]2．若例2中“点M 的球坐标改为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，56π，53π”，试求点M 的直角坐标．【解】 设M 的直角坐标为(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ＝3sin5π6cos 5π3＝34，y ＝r sin φsin θ＝3sin 5π6sin 5π3＝－334，z ＝r cos φ＝3cos 5π6＝－332，∴因此M 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，－334，－332.已知长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，底面正方形ABCD 的边长为1，棱AA 1的长为2，如图1­4­3所示，建立空间直角坐标系Axyz ，Ax 为极轴，求点C 1的直角坐标和球坐标．图1­4­3【思路探究】 先确定C 1的直角坐标，再根据空间直角坐标系与球坐标系的联系，计算球坐标．【自主解答】 点C 1的直角坐标为(1,1，2)．设C 1的球坐标为(r ，φ，θ)，其中r ≥0,0≤φ≤π，0≤θ<2π， 由x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ， 得r ＝x 2＋y 2＋z 2＝12＋22＋12＝2.由z ＝r cos φ，∴cos φ＝22，φ＝π4， 又tan θ＝y x ＝1，∴θ＝π4，从而点C 1的球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，π4.1．由直角坐标化为球坐标时，我们可以设点M 的球坐标为(r ，φ，θ)，再利用变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ求出r ，θ，φ.2．利用r 2＝x 2＋y 2＋z 2，tan θ＝yx ，cos φ＝z r，特别注意由直角坐标求球坐标时，应首先看明白点所在的象限，准确取值，才能无误．[再练一题]3．若本例中条件不变，求点C 的柱坐标和球坐标． 【解】 易知C 的直角坐标为(1,1,0)．设点C 的柱坐标为(ρ，θ，0)，球坐标为(r ，φ，θ)，其中0≤φ≤π，0≤θ<2π. (1)由于ρ＝x 2＋y 2＝12＋12＝ 2.又tan θ＝y x ＝1，∴θ＝π4，因此点C 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，0.(2)由于r ＝x 2＋y 2＋z 2＝12＋12＋0＝ 2.又cos φ＝z r ＝0，∴φ＝π2.又tan θ＝y x ＝1，∴θ＝π4，故点C 的球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π2，π4.[构建·体系]柱、球坐标系—⎪⎪⎪—柱坐标系—球坐标系—柱坐标、球坐标的互化1．在空间直角坐标系中，点P 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，3，P 在xOy 平面上的射影为Q ，则Q 点的坐标为( )A ．(2,0,3) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，3D ．(2，π4，0) 【解析】 由点的空间柱坐标的意义可知，选B. 【答案】 B2．柱坐标P ⎝ ⎛⎭⎪⎫16，π3，5转换为直角坐标为( ) A ．(5,8,83) B ．(8,83，5) C ．(83，8,5)D ．(4,83，5)【解析】 由公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θz ＝z ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝16cos π3＝8，y ＝16sin π3＝83，z ＝5，即P 点的直角坐标为(8,83，5)．【答案】 B3．已知一个点的球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，3π4，π4，则它的高低角为( )A ．－π4B.3π4C.π2D.π3【解析】 ∵φ＝3π4，∴它的高低角为π2－φ＝－π4.【答案】 A4．设点M 的直角坐标为(1,1，2)，则点M 的柱坐标为________，球坐标为________.【导学号：91060010】【解析】 由坐标变换公式，可得ρ＝x 2＋y 2＝2，tan θ＝y x ＝1，θ＝π4(点(1,1)在平面xOy 的第一象限)，r ＝x 2＋y 2＋z 2＝12＋12＋22＝2.由r cos φ＝z ＝2， 得cos φ＝2r＝22，φ＝π4. ∴点M 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，2，球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，π4.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，π45．已知点P 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，5，点B 的球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫6，π3，π6，求这两个点的直角坐标．【解】 设点P 的直角坐标为(x 1，y 1，z 1)， 则x 1＝2cos π4＝1，y 1＝2sin π4＝1，z ＝5.设点B 的直角坐标为(x 2，y 2，z 2)，则x 2＝6sin π3cos π6＝6×32×32＝364，y 2＝6sin π3sin π6＝6×32×12＝324， z 2＝6cos π3＝6×12＝62. 所以点P 的直角坐标为(1,1,5)，点B 的直角坐标为⎝⎛⎭⎪⎫364，324，62.我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)学业分层测评(四) (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．空间直角坐标系Oxyz 中，下列柱坐标对应的点在平面yOz 内的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2，2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，0C.⎝⎛⎭⎪⎫3，π4，π6 D.⎝⎛⎭⎪⎫3，π6，π2 【解析】 由P (ρ，θ，z )，当θ＝π2时，点P 在平面yOz 内．【答案】 A2．设点M 的直角坐标为(2,0,2)，则点M 的柱坐标为( ) A ．(2,0,2) B ．(2，π，2) C ．(2，0,2)D ．(2，π，2)【解析】 设点M 的柱坐标为(ρ，θ，z )， ∴ρ＝x 2＋y 2＝2，tan θ＝yx＝0，∴θ＝0，z ＝2，∴点M 的柱坐标为(2,0,2)． 【答案】 A3．在空间球坐标系中，方程r ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤φ≤π2，0≤θ＜2π表示( ) A.圆 B ．半圆 C ．球面D ．半球面【解析】 设动点M 的球坐标为(r ，φ，θ)，由于r ＝2，0≤φ≤π2，0≤θ＜2π.动点M 的轨迹是球心在点O ，半径为2的上半球面．【答案】 D4．已知点M 的直角坐标为(0,0,1)，则点M 的球坐标可以是( ) A ．(1,0,0) B ．(0,1,0) C ．(0,0,1)D ．(1，π，0)【解析】 设M 的球坐标为(r ，φ，θ)， 则r ＝x 2＋y 2＋z 2＝1，θ＝0， 又cos φ＝z r＝1，∴φ＝0. 故点M 的球坐标为(1,0,0)． 【答案】 A5．在直角坐标系中，点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，2，则其球坐标为( ) 【导学号：91060011】A.⎝ ⎛⎭⎪⎫433，π3，π6 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫433，π6，π6 C.⎝⎛⎭⎪⎫233，π3，π3 D.⎝⎛⎭⎪⎫233，π6，π3 【解析】 r ＝x 2＋y 2＋z 2＝12＋⎝⎛⎭⎪⎫332＋22＝433， cos φ＝z r ＝2433＝32，∴φ＝π6.tan θ＝y x ＝33，又y ＞0，x ＞0，∴θ＝π6. ∴球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫433，π6，π6. 【答案】 B 二、填空题6．已知点M 的球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π4，3π4，则点M 到Oz 轴的距离为________．【解析】 设M 的直角坐标为(x ，y ，z )，则由(r ，φ，θ)＝⎝⎛⎭⎪⎫4，π4，3π4， 知x ＝4sin π4cos 3π4＝－2，y ＝4sin π4sin3π4＝2， z ＝4cos π4＝22，∴点M 的直角坐标为(－2,2,22)．故点M 到OZ 轴的距离－2＋22＝2 2. 【答案】 2 2 7．在柱坐标系中，点M 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，23π，5，则|OM |＝________. 【解析】 设点M 的直角坐标为(x ，y ，z )．由(ρ，θ，z )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，23π，5知 x ＝ρcos θ＝2cos 23π＝－1，y ＝2sin 23π＝3，因此|OM |＝x 2＋y 2＋z 2 ＝－2＋32＋52＝3.【答案】 38．(2015·广东高考)已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，点A 的极坐标为A ⎝⎛⎭⎪⎫22，7π4，则点A 到直线l 的距离为________．【解析】 由2ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2， 得2ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin θ－22cos θ＝2，∴y －x ＝1. 由点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，7π4得点A 的直角坐标为(2，－2)，∴d ＝|2＋2＋1|2＝522. 【答案】 522三、解答题9．在柱坐标系中，求满足⎩⎪⎨⎪⎧ ρ＝10≤θ<2π0≤z ≤2的动点M (ρ，θ，z )围成的几何体的体积．【解】 根据柱坐标系与点的柱坐标的意义可知，满足ρ＝1,0≤θ<2π，0≤z ≤2的动点M (ρ，θ，z )的轨迹如图所示，是以直线Oz 为轴，轴截面为正方形的圆柱，圆柱的底面半径r ＝1，h ＝2，∴V ＝Sh ＝πr 2h ＝2π.10．经过若干个固定和流动的地面遥感观测站监测，并通过数据汇总，计算出一个航天器在某一时刻的位置，离地面2 384千米，地球半径为6 371千米，此时经度为80°，纬度为75°.试建立适当的坐标系，确定出此时航天器点P 的坐标．【解】 在赤道平面上，选取地球球心为极点，以O 为原点且与零子午线相交的射线Ox 为极轴，建立球坐标系．由已知航天器位于经度为80°，可知θ＝80°＝4π9. 由航天器位于纬度75°，可知，φ＝90°－75°＝15°＝π12，由航天器离地面2 384千米，地球半径为6 371千米，可知r ＝2 384＋6 371＝8 755千米，所以点P 的球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫8 755，π12，4π9. [能力提升]1．空间点P 的柱坐标为(ρ，θ，z )，关于点O (0,0,0)的对称的点的坐标为(0＜θ≤π)( )A ．(－ρ，－θ，－z )B ．(ρ，θ，－z )C ．(ρ，π＋θ，－z )D ．(р，π－θ，－z ) 【解析】 点P (ρ，θ，z )关于点O (0,0,0)的对称点为P ′(ρ，π＋θ，－z )．【答案】 C2．点P 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6，3，则点P 到原点的距离为________． 【解析】 x ＝ρcos θ＝4cos π6＝23， y ＝ρsin θ＝4sin π6＝2，即点P 的直角坐标为(23，2,3)，其到原点距离为3－2＋－2＋－2＝5.【答案】 53．以地球中心为坐标原点，地球赤道平面为xOy 坐标面，由原点指向北极点的连线方向为z 轴正向，本初子午线所在平面为zOx 坐标面，如图1­4­4所示，若某地在西经60°，南纬45°，地球的半径为R ，则该地的球坐标可表示为________．图1­4­4【解析】 由球坐标的定义可知，该地的球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫R ，3π4，5π3. 【答案】 ⎝⎛⎭⎪⎫R ，3π4，5π3 4．已知在球坐标系Oxyz 中，M ⎝⎛⎭⎪⎫6，π3，π3， N ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，2π3，π3，求|MN |. 【解】 法一 由题意知，|OM |＝|ON |＝6，∠MON ＝π3， ∴△MON 为等边三角形，∴|MN |＝6.法二 设M 点的直角坐标为(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6sin π3cos π3＝332，y ＝6sin π3sin π3＝92，z ＝6cos π3＝3， 故点M 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫332，92，3， 同理得点N 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫332，92，－3， ∴|MN | ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫332－3322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫92－922＋＋2 ＝0＋0＋62＝6.。

四柱坐标系与球坐标系简介课时过关·能力提升基础巩固1已知点P的柱坐标为则其直角坐标为A.(5,8,C.(P的直角坐标为(x,y,z).∵ρ=16,θθ=8,y=ρsinθ=故点P的直角坐标是(8,2已知点P的柱坐标为若在空间直角坐标系中点在平面上的射影为则点的柱坐标为A.(2,0,3)BC3在球坐标系中,方程r=表示A.圆B.半圆C.球面D.半球面,方程r=表示半球面.4已知点M的柱坐标为则它的直角坐标为M的直角坐标为(x,y,z).∵ρ=4,θ∴x=ρcosθ=4coy=ρsinθ=4si故点M的直角坐标为(--5若点M的柱坐标为点的球坐标为则(ρ,θ,z)设点M的直角坐标为(x,y,z),则x2+y2=ρ2=49,∴r6已知空间点P的柱坐标为则点关于轴的对称点的柱坐标为7把下列用柱坐标表示的点用直角坐标表示出来.(1)(2,0,-2);(2)(π,π,π).(x,y,z).(1)∵(ρ,θ,z)=(2,0,-2),-故(2,0,-2)为所求点的直角坐标.-(2)∵(ρ,θ,z)=(π,π,π),故(-π,0,π)为所求点的直角坐标.8把下列用球坐标表示的点用直角坐标表示出来.(1(x,y,z).(1)∵(r,φ,θ)故为所求点的直角坐标.(2)∵(r,φ,θ)故(1,-1为所求点的直角坐标.9已知点P的柱坐标为点的球坐标为求这两个点的直角坐标P的直角坐标为(x,y,z),则x所以点P的直角坐标为(1,1,5).设点B的直角坐标为(x1,y1,z1),则x1y1z1所以点B的直角坐标为10结晶体的基本单位称为晶胞,食盐晶胞的示意图如图①所示可看成是八个棱长为的小正方体堆积成的正方体图形中的点代表钠原子如图所示建立空间直角坐标系后试写出下层钠原子所在位置的球坐标、柱坐标图①图xOy 平面上,它们所在位置的竖坐标全是0,所以这五个钠原子所在位置的球坐标分别为(0,0,0)它们的柱坐标分别为(0,0,0),(1,0,0)能力提升1已知点M 的直角坐标为则它的球坐标为 ACM 的球坐标为(r ,φ,θ),则 - 解得2已知点M 的球坐标为则点 到 轴的距离为 A.M 的直角坐标为(x ,y ,z ), ∵(r ,φ,θ)∴M (2,2,故点M 到Oz 轴的距离为★以地球中心为坐标原点,赤道所在平面为xOy 平面,由原点指向北极的方向为z 轴的正方向,零子午线所在的平面为zOx 坐标平面,如图所示.某地在西经 ° 南纬 ° 地球的半径为R ,则该地的球坐标可以表示为( )AC.4若点M 的柱坐标为则它的球坐标为ACM 的直角坐标为(x ,y ,z ). ∵点M 的柱坐标为即 ∴点M 的直角坐标为(-1,-1 设点M 的球坐标为(r ,φ,θ), ∴r --容易知道θ故球坐标为5在柱坐标系中,长方体ABCD-A1B1C1D1的顶点D在原点,另两个顶点坐标分别为A1(8,0,10),C则此长方体的外接球的体积为|DA|=8,|DC|=6,|DD1|=10,所以外接球的直径为1半径为故所求的体积为6在柱坐标系中,方程ρ=1表示空间中的什么曲面?方程z=-1表示什么曲面?ρ=1表示以z轴所在直线为轴,以1为底面半径的圆柱侧面;方程z=-1表示与xOy坐标面平行的平面,且此平面与xOy平面的距离为1,并且在xOy平面的下方.7已知点P1的球坐标是的柱坐标是求P1的直角坐标为(x,y,z).∵点P1的球坐标是故点P1的直角坐标为(2,-设点P2的直角坐标为(x1,y1,z1).∵点P2的柱坐标是故点P2的直角坐标为∴|P1P2|----★8在球坐标系中,求两点间的距离P的直角坐标为(x,y,z),则x=3siy=3siz=3co所以设点Q的直角坐标为(x1,y1,z1),则x1=3siy1=3siz1=3co所以点-所以|PQ|=--故P,Q两点间的距离为。

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四柱坐标系与球坐标系简介［课时作业]［A组基础巩固］1．点A的柱坐标是错误!，则它的直角坐标是（)A．（错误!，1,7）B．（错误!,1,－7)C．（2错误!，1，7) D．（2错误!，1，－7)解析：∵ρ＝2，θ＝错误!，z＝7，∴x＝ρcos θ＝错误!，y＝ρsin θ＝1,z＝7，∴点A的直角坐标是（3，1，7)．答案：A2．若点M的直角坐标为(2，2,2错误!),则它的球坐标为( )A。

错误! B.错误!C.错误!D。

错误!解析：由坐标变换公式得，r＝错误!＝4，由r cos φ＝z＝2错误!得cos φ＝错误!,所以φ＝错误!，又tan θ＝错误!＝1，点M在第Ⅰ卦限,所以θ＝错误!,所以M的球坐标为错误!.答案：B3．若点P的柱坐标为错误!，则P到直线Oy的距离为（)A．1 B．2C.错误!D。

错误!解析:由于点P的柱坐标为(ρ，θ，z)＝错误!，故点P在平面xOy内的射影Q到直线Oy 的距离为ρcos错误!＝错误!，可得P到直线Oy的距离为错误!.答案：D4．在直角坐标系中，(1，1，1）关于z轴对称点的柱坐标为( )A.错误!B.错误!C。

四柱坐标系与球坐标系简介课后篇巩固探究A组1.已知点A的球坐标为,则点A的直角坐标为()A.(3,0,0)B.(0,3,0)C.(0,0,3)D.(3,3,0)A的直角坐标为(x,y,z),则x=3×sin×cos=0,y=3×sin×sin=3,z=2×cos=0,所以直角坐标为(0,3,0).2.若点M的直角坐标为(-1,-,3),则它的柱坐标是()A. B.C. D.M的柱坐标为(ρ,θ,z),则ρ==2,θ=,z=3,所以点M的柱坐标为,故选C.3.在球坐标系中,方程r=3表示空间中的()A.以x轴为中心轴,底面半径为3的圆柱面B.以y轴为中心轴,底面半径为3的圆柱面C.以z轴为中心轴,底面半径为3的圆柱面D.以原点为球心,半径为3的球面4.导学号73574021已知点M的球坐标为,则点M到Oz轴的距离为()A.2B.C.2D.4M的直角坐标为(x,y,z),因为(r,φ,θ)=,所以即M(-2,2,2).故点M到Oz轴的距离为=2.5.在空间直角坐标系Oxyz中,下列柱坐标对应的点在平面yOz内的是()A.B.C.D.P的柱坐标(ρ,θ,z)知,当θ=时,点P在平面yOz内,故选A.6.若点P的直角坐标为(,3),则它的柱坐标是.7.已知在柱坐标系Oxyz中,点M的柱坐标为,则|OM|=.M的直角坐标为(x,y,z),且x2+y2=ρ2=4,故|OM|==3.8.若点M的球坐标为,O为原点,则点M到原点的距离为,OM与平面xOy所成的角为.9.建立适当的球坐标系,求棱长为1的正方体的各个顶点的球坐标.O为极点,以此顶点处的三条棱所在的直线为坐标轴,建立如图所示的球坐标系.则有O(0,0,0),A,B,C,D(1,0,0),E,F,G.10.(1)将下列各点的柱坐标化为直角坐标:P,Q.(2)将下列各点的球坐标化为直角坐标:A,B,C.设点P的直角坐标为(x1,y1,z1),则x1=ρcos θ=cos,y1=ρsin θ=sin,z1=,故点P的直角坐标为.设点Q的直角坐标为(x2,y2,z2),则x2=4cos=-2,y2=4sin=2,z2=-3,故点Q的直角坐标为(-2,2,-3).(2)设点A的直角坐标为(x1,y1,z1),则x1=r sin φcos θ=4sin×cos=4×1×=2,y1=r sin φsin θ=4sin sin=4×1×=-2,z1=r cos φ=4×cos=0,故点A的直角坐标为(2,-2,0).设点B的直角坐标为(x2,y2,z2),则x2=8sin cos π=8××(-1)=-4,y2=8sin sinπ=0,z2=8cos=8×=-4.故点B的直角坐标为(-4,0,-4).设点C的直角坐标为(x3,y3,z3),因为r=0,所以x3=0,y3=0,z3=0,即点C的直角坐标为(0,0,0).11.导学号73574022在直三棱柱ABC-A1B1C1中,|CA|=|CB|=1,∠BCA=90°,棱|AA1|=2,M是线段A1B1的中点.建立适当的坐标系,求点M的直角坐标和柱坐标.,过点M作底面xCy的垂线MN.因为ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以点N在线段AB上.过点N分别作x轴、y轴的垂线NE,NF,根据已知,可得△ABC是等腰直角三角形,所以|NE|=|NF|=.故点M的直角坐标为.由于点M在平面xCy上的射影为点N,连接CN,|CN|=,∠ECN=,故点M的柱坐标为.B组1.在柱坐标系中,方程z=C(C为常数)表示()A.圆B.与xOy平面垂直的平面C.球面D.与xOy平面平行的平面2.已知在空间直角坐标系Oxyz中,点M在平面yOz内,若M的球坐标为(r,φ,θ),则应有()A.φ=B.θ=C.φ=D.θ=M向平面xOy作垂线,垂足N一定在直线Oy上,由极坐标系的意义知θ=.3.在柱坐标系中,满足的动点M(ρ,θ,z)围成的几何体的体积为.ρ=1,0≤θ<2π,0≤z≤2的动点M(ρ,θ,z)的轨迹是以直线Oz 为轴,轴截面为正方形的圆柱面,其底面半径r=1,高h=2,故V=Sh=πr2h=2π.π4.导学号73574023在柱坐标系中,长方体ABCD-A1B1C1D1的一个顶点在原点,另两个顶点的坐标分别为A1(8,0,10),C1,则该长方体外接球的体积为.8,6,10,则其外接球的半径为5.故其外接球的体积为×(5)3=.5.如图,点P为圆柱的上底面与侧面交线上的一点,且点P的柱坐标为,求该圆柱的体积.P作PP'垂直于底面,垂足为P',因为P,所以点P'的柱坐标为.因此圆柱的底面半径为6,高为5.故圆柱的体积为V=π×62×5=180π.6.一个圆形体育场,自正东方向起,按逆时针方向等分为十六个扇形区域,顺次记为一区,二区……十六区,我们设圆形体育场第一排与体育场中心的距离为200 m,每相邻两排的间距为1 m,每层看台的高度为0.7 m,现在需要确定第九区第四排正中的位置A,请建立适当的柱坐标系,把点A的柱坐标求出来.O为极点,选取以O为端点且过正东入口的射线Ox为极轴,在地面上建立极坐标系,则点A与体育场中轴线Oz的距离为203 m,极轴Ox按逆时针方向旋转,就是OA在地平面上的射影,A距地面的高度为2.8 m,因此我们可以用柱坐标来表示点A的准确位置.所以点A的柱坐标为.7.导学号73574024建立适当的柱坐标系,表示棱长为3的正四面体(棱长都相等的三棱锥)的各个顶点的坐标.,找到相应坐标.B为极点O,选取以O为端点且与BD垂直的射线Ox为极轴,过点O且与平面BCD垂直的直线为z轴,建立如图所示的柱坐标系.过点A作AA'垂直于平面BCD,垂足为A',连接BA',则|BA'|=3×,|AA'|=,∠A'Bx=,则A,B(0,0,0),C,D.。