高二数学二项式定理概率综合

第五讲 二项式定理及其概率的综合运用一、知识概要1、二项式定理二项式系数的性质：（1）对称性，在展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即n n 0n C C =，r n n r n 2n n 2n 1n n 1n C C ,,C C ,C C ---=== ；（2）增减性与最大值：在二项式展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值，当n 是偶数时，中间一项2n n C 最大；当n是奇数时，中间两项21n n C -，21n n C +相等，且为最大值；（3） +++=+++=++++5n 3n 1n 4n 2n 0n n n n 2n 1n 0n C C C C C C ,2C C C C2、概率（1）概率是频率的近似值，两者是不同概念（2（3）互斥事件A ，B 中有一个发生的概率：加法公式特例：A B =，即对立事件的概率和为1（4）相互独立事件A ，B（5）事件A 在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P 为事件A 在一次试验中发生的概率，此式为二项式[(1-P)+P]n展开的第k+1项（6）涉及的思维方法 观察与试验、分析与综合、一般化与特殊化 （7）主要思维形式有 逻辑思维、聚合思维、形象思维和创造性思维3、随机变量.（文科考纲不要求）1). 随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件： ①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果. 它就被称为一个随机试验.2). 离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若ξ是一个随机变量，a ，b 是常数.则b a +=ξη也是一个随机变量.一般地，若ξ是随机变量，)(x f 是连续函数或单调函数，则)(ξf 也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量. 设离散型随机变量ξ可能取的值为： ,,,,21i x x xξ取每一个值),2,1( =i x 的概率p x P ==)(ξ，则表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列.注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如：]5,0[∈ξ即ξ可以取0～5之间的一切数，包括整数、小数、无理数. 3). ⑴二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的于是得到随机变量ξ的概率分布如下：我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B （n·p ），其中n ，p 为参数，并记p)n b(k;qp C k n k k n ⋅=-. ⑵二项分布的判断与应用. ①二项分布，实际是对n 次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行n 次独立重复，且每次试验只有两种结果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布. ②当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列.4). 几何分布：“k =ξ”表示在第k 次独立重复试验时，事件第一次发生，如果把k 次试验时事件A 发生记为k A ，事A 不发生记为q )P(A ,A k k =，那根据相互独立事件的概率乘法分式：ξ的概率分布列.我们称ξ服从几何分布，并记p q p)g(k,1k -=，其中 3,2,1.1=-=k p q二、题型展示例1、求(4+2x+x 2)(2-x)7的展开式中x 5的系数。

利用二项式定理求解概率问题的应用在概率论中，二项式定理是一个非常重要的数学工具，它被广泛应用于解决各种与概率相关的问题。

本文将介绍利用二项式定理求解概率问题的应用，并提供示例进行说明。

二项式定理是代数学中的一个基本定理，它描述了一个二项式的幂的展开式。

具体来说，对于任意实数a和b以及非负整数n，二项式定理可以表示为：$(a+b)^n = C(n,0)a^n b^0 + C(n,1)a^{n-1} b^1 + C(n,2)a^{n-2} b^2 + ... + C(n,n-1)a^1 b^{n-1} + C(n,n)a^0 b^n$其中C(n,k)表示从n个元素中选择k个元素的组合数，也可以表示为二项式系数。

利用二项式定理，我们可以将一系列与概率相关的问题转换为代数问题，并通过求解代数方程来得到准确的概率值。

接下来，我们将通过几个具体的例子来说明这一过程。

第一个例子是关于投硬币的概率问题。

假设我们投掷一枚公正的硬币，问在5次投掷中，正面朝上的次数为3的概率是多少？我们可以将这个问题转化为二项式定理的问题。

将正面朝上的次数记为k，我们需要求解的概率即为：P(k=3) = C(5,3) * p^3 * (1-p)^2其中p表示硬币正面朝上的概率，因为硬币是公正的，所以p=0.5。

将值代入计算，我们可以得到：P(k=3) = C(5,3) * 0.5^3 * (1-0.5)^2接下来，我们可以通过二项式系数的计算公式求解C(5,3)，即：C(5,3) = 5! / (3!(5-3)!) = 5! / (3! * 2!) = 10将值代入计算，最终我们可以得到：P(k=3) = 10 * 0.5^3 * (1-0.5)^2 = 0.3125所以，在5次投掷中，正面朝上的次数为3的概率是0.3125。

第二个例子是关于生日悖论的概率问题。

生日悖论是指在一个房间里，只需要多少人，才能使得他们中至少有两个人生日相同的概率大于50%？我们可以利用二项式定理解决这个问题。

高二数学辅导讲义（排列组合、二项式定理与概率）07、5、7排列组合试题从解法上看，大致有以下几种：（1）有附加条件的排列组合问题，大多需用分类讨论的方法；（2）排列与组合的混合型问题，需分步骤，要用乘法原理解决；（3）元素不相邻问题常用插空法，相邻问题常用捆绑法；（4）排除法，将不符合条件的排列或组合剔除掉；（5）穷举法，将符合条件的所有排列或组合一一写出来，或写出一部分发现规律；（6）定序问题“缩倍法”，即若某几个元素必须保持一定的顺序，则可按通常排列后再除以这几个元素的排列数；（7）隔板法，例如：10个相同的小球分给三人，每人至少1个，有多少种方法？可将10个C种方法。

球排成一排，再用2块“隔板”将它们分成三个部分，有291、n个人参加某项资格考试，能否通过，有多少种可能的结果？2、同室四人各写了一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有种3、某班的10人中恰有班干部和团干部各5名：（1）班干部不全排在一起；（2）任何两名团干部都不相邻；（3）班干部和团干部相间排列。

4、有9个不同的文具盒：（1）将其平均分成三组；（2）将其分成三组，每组个数分别为2，3，4。

上述问题各有多少种不同的分法？5、排一张有8个节目的演出表，其中有3个小品，既不能排在第一个，也不能有两个小品排在一起，有几种排法？6、一个楼梯共10级台阶，每步走1级或2级，8步走完，一共有多少种走法？7、20个相同的球分给3个人，允许有人可以不取，但必须分完，有多少种分法？8、从4名男生和3名女生中选4人参加某座谈会，若这四人中必须既有男生又有女生，则不同选法有 A．140种B．120种C．35种D．34种9、从1、3、5、7中任取两个数字，从0、2、4、6、8中任取两个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有个（数字答）10、将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案有（）A.12 种B.24种C.36种D.48种11、乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有种.1．某办公室有8人，现从中选出3人参加A ，B ，C 三项活动，其中甲不得参加A 项活动，则不同的选派方法有 （ ）A ．35种B ．56种C ．294种D ．336种2．A ，B ，C ，D ，E 五种不同商品要在货架上排成一排，其中A ，B 两种商品必须排在一起，而C ，D 两种商品不能排在一起，则不同的排法共有 （ ）A ．12种B ．20种C ．24种D ．48种3．某展览会一周（七天）内要接待三所学校的学生参观，每天择安排一所学校，其中甲学校要连续参观两天，则不同的安排方法的种类有（ ）A ．24B ．60C ．120D ． 2104．在如图的1×6矩形长条格中涂上红.黄.兰三种颜色，每种颜色限涂两格，且相邻两格不同色，则不同的涂色方法共有（ ）A ．90种B ．54种C ．45种D ．30种5．在三张卡片的正反面上分别写有数字0与2，3与4，5与6，且6可以作9用，把这三张卡片拼在一起表示一个三位数，则三位数的个数为（ ）A ．12B ．72C ．60D ．406．若n xx )1(23 的展开式中只有第6项的系数最大，则常数项的值为 （ ） A ．462 B ．252 C ．210 D ．107．1.056的计算结果精确到0.01的近似值是 （ ）A ．1.23B ．1.24C ．1.34D ．1.448．两个同学同时做一道题，他们做对的概率分别为P(A)=0.8, P(B)=0.9，则该题至少被一个同学做对得概率为 （ ）A ．1.7B ．1C ．0.72D ．0.989．一个学生通过一种英语听力测试的概率是21，他连续测试两次，那么其中恰有一次通过的概率是 （ ） A.41 B.31 C.21 D.43 10．已知在6个电子元件中，有2个次品，4个合格品，每次任取一个测试，测试完后不再放回，直到两个次品都找到为止，则经过4次测试恰好将2个次品全部找出的概率（ ） A.51 B.154 C.52 D.1514 11．.如下图，A 、B 、C 、D 为海上的四个小岛，要建三座桥，将这四个小岛连接起来，则不同的建桥方案共有12．某校高三年级举行的一次演讲比赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其他班有5位，若采取抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班的3位同学恰好被排在一起(指演讲序号相连)，而二班的2位同学没有被排在一起的概率为( )A ．101B ．201C ．401D ．1201A.8种B.12种C.16种D.20种13．6)2||1|(|++x x 展开式中系数最大的项的系数为_________． 14．设二项式n x x )13(3+展开式的各项系数的和为P ；二项式系数的和为S ，且P+S=272，则展开式的常数项为_________．15．5个正四面体小木块表面上，分别标有1，2，3，4，如果把这5块小木块全部掷出，则至多有1块标有4的小木块因贴在桌面上看不见的概率是 .16．将正整数n 表示成k 个正整数的和（不计较各数的次序），称为将正整数n 分成k 个部分的一个划分，一个划分中的各加数与另一个划分的各加数不全相同，则称为不同的划分，将正整数n 划分成k 个部分的不同划分的个数记为P （n ，k ），则P （10，3）＝_________．三．解答题17．用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的数，（1）能组成多少个是25的倍数的四位数；（2）能组成多少个比240135大的数；（3）若把所组成的全部六位数从小到大排列起来，第100个数是多少？18．在二项式n x )221(+的展开式中，（1）若第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项；（2）若前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．19.设x 10-3=Q(x )(x -1) 2+ax +b ，其中Q(x )为关于x 的多项式，a ，b ∈R ．（1）求a ，b 的值；（2）若ax +b=28，求x 10－3除以81所得的余数。

概率二项式定理
概率二项式定理是概率论中的一个重要定理，它描述了一种离散随机变量服从二项分布的情况，并且可以被用来计算在一定试验次数下，某个事件发生的概率。

下面将详细介绍概率二项式定理。

在概率论中，二项分布是一种离散概率分布，它描述在n次独立重复试验中，成功概率为p的情况下，成功次数的概率分布。

对于一个二项随机变量X，其概率分布函数可以表示为：
P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)
其中，C(n,k)表示从n个不同元素中取出k个元素的组合数，即组合数公式C(n,k) = n! / (k! * (n-k)!).p^k表示成功概率为p的k 次连续成功，(1-p)^(n-k)表示失败概率为1-p的(n-k)次连续失败。

利用生成函数的方法，可以证明二项式定理:
(1 + x)^n = C(n,0) + C(n,1)x + C(n,2)x^2 + … +C(n,n)x^n
根据二项式定理，我们可以得到一个重要的结论，即当n趋近于无穷大时，满足成功概率为p的二项分布对应的概率分布逐渐趋近于正态分布，以均值为np，方差为np(1-p)的正态分布为极限。

这一结论在实际应用中被广泛使用。

例如，在工程设计和统计预测中，我们通常会将一些固定性质的系统看作是成功率为p的二项分布，并根据均值和方差来进行预测。

总之，概率二项式定理是概率论中的一个重要定理，它描述了一种离散随机变量服从二项分布的情况，并且可以被用来计算在一定试验次数下，某个事件发生的概率。

在实际应用中，我们可以利用该定理来进行工程设计和统计预测。

二项式定理一、二项式定理 ()0111*().nn n r n r r n nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --+=+++++∈1.右边的多项式叫做()na b +的二项展开式2.各项的系数rn C 叫做二项式系数3.式中的r n r r n C a b -叫做二项展开式的通项，它是二项展开式的第1r +项，即1(0,1,2,,).r n r r r n T C a b r n -+==4.二项展开式特点：共1r +项；按字母a 的降幂排列，次数从n 到0递减；二项式系数r n C 中r 从0到n 递增，与b 的次数相同；每项的次数都是.n二．二项式系数的性质性质1 ()na b +的二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即m n m n n C C -= 性质2 二项式系数表中，除两端以外其余位置的数都等于它肩上两个数之和，即11m m m n n n C C C -++= 性质3 ()n a b +的二项展开式中，所有二项式系数的和等于2n，即012.nn n n n C C C +++=（令1a b ==即得，或用集合的子集个数的两种计算方法结果相等来解释） 性质4 ()na b +的二项展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即022132112.rr n n n n n n n C C C C C C +-++++=++++=（令1,1a b ==-即得）性质5 ()na b +的二项展开式中，当n 为偶数时，中间一项的二项式系数2n nC 取得最大值；当n 为奇数时，中间两项的二项式系数12,n n C-12n nC+相等，且同时取得最大值.（即中间项的二项式系数最大）【题型精讲】题型一、展开式中的特殊项1．21()nx x-的展开式中，常数项为15，则n =A ．3B ．4C ．5D ．6 2.在()()1nx n N *+∈的二项展开式中，若只有5x的系数最大，则n =A ．8 B. 9 C. 10 D.113．如果2323nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为（ ）Ａ．3 Ｂ．5 Ｃ．6 Ｄ．10题型二、展开式的系数和1.已知()()()()100210001210012111.x a a x a x a x +=+-+-++-求：（1）0a ；（2）012100a a a a ++++（3）13599a a a a ++++；2.（江西理4）已知33nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n 等于（ ） Ａ．4Ｂ．5Ｃ．6 Ｄ．73.（江西文5）设2921101211(1)(21)(2)(2)(2)x x a a x a x a x ++=+++++++，则01211a a a a ++++的值为（ ）Ａ．2-Ｂ．1-Ｃ．1Ｄ．24.(安徽文12)已知45235012345(1)x a a x a x a x a x a x -=+++++, ())(531420a a a a a a ++++ 的值等于 .题型三、一项展开:拆成两项1.233除以9的余数是（ ）A ．1B ．2C ．4D ．8题型四、多项展开：1.（|x |＋||1x －2）3展开式中的常数项是（ ） A ．12 B ．－12 C ．20 D ．－202.求()()()2111nx x x ++++++ 展开式中3x 项的系数.。

排列组合二项式定理与概率及统计一、复习策略排列与组合是高中数学中从内容到方法都比较专门的一个组成部分，是进一步学习概率论的基础知识，该部分内容，不论其思想方法和解题都有专门性，概念性强，抽象性强，思维方法新颖，解题过程极易犯〝重复〞或〝遗漏〞的错误，同时结果数目较大，无法一一检验，因此给考生带来一定困难．解决问题的关键是加深对概念的明白得，把握知识的内在联系和区别，科学周全的摸索、分析问题．二项式定理是进一步学习概率论和数理统计的基础知识，把握二项展开式及其通项公式的相互联系和应用是重点．概率那么是概率论入门，目前的概率知识只是为进一步学习概率和统计打好基础，做好铺垫．学习中要注意差不多概念的明白得，要注意与其他数学知识的联系，要通过一些典型问题的分析，总结运用知识解决问题的思维规律．纵观近几年高考，排列、组合、二项式定理几乎每年必考，考题多以选择题、填空题显现，题小而灵活，涉及知识点都在两三个左右，综合运用排列组合知识，分类计数和分步计数原理；二项式定理及二项式系数的性质运算或论证一些较简单而有味的小题也在高考题中常见，概率及概率统计的内容，从近几年新课程卷高考来看，每年都有一道解答题，占12分左右．排列与组合的应用题，是高考常见题型，其中要紧考查有附加条件的应用问题.解决这类问题通常有三种途径:(1)以元素为主，应先满足专门元素的要求，再考虑其他元素.(2)以位置为主考虑，即先满足专门位置的要求，再考虑其他位置.(3)先不考虑附加条件，运算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数.〔4〕某些元素要求必须相邻时，能够先将这些元素看作一个元素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排列，这种方法称为〝捆绑法〞；〔5〕某些元素不相邻排列时，能够先排其他元素，再将这些不相邻元素插入空挡，这种方法称为〝插空法〞；在求解排列与组合应用问题时，应注意：(1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题；(2)通过分析确定运用分类计数原理依旧分步计数原理；(3)分析题目条件，幸免〝选取〞时重复和遗漏；(4)列出式子运算和作答．二、典例剖析题型一：排列组合应用题解决此类问题的方法是：直截了当法，先考虑专门元素〔或专门位置〕，再考虑其他元素〔或位置〕；间接法，所有排法中减去不合要求的排法数；关于复杂的应用题，要合理设计解题步骤，一样是先分组，后分步，要求不重不漏，符合条件．例1、〔08安徽理12〕12名同学合影，站成了前排4人后排8人．现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，假设其他人的相对顺序不变，那么不同调整方法的种数是〔〕A．B．C．D．解：从后排8人中选2人共种选法，这2人插入前排4人中且保证前排人的顺序不变，那么先从4人中的5个空挡插入一人，有5种插法；余下的一人那么要插入前排5人的空挡，有6种插法，故为；综上知选C．例2、〔08湖北理6〕将5名理想者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名理想者的方案种数为〔〕A．540B．300C．180D．150解：将5分成满足题意的3份有1，1，3与2，2，1两种，因此共有种方案，故D正确．例3、四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为〔〕A．96B．48C．24D．0解：由题意分析，如图，先把标号为1，2，3，4号化工产品分别放入①②③④4个仓库内共有种放法；再把标号为5，6，7，8号化工产品对应按要求安全存放：7放入①，8放入②，5放入③，6放入④；或者6放入①，7放入②，8放入③，5放入④；两种放法．综上所述：共有种放法．应选B．例4、在正方体中，过任意两个顶点的直线中成异面直线的有____________对．解法一：连成两条异面直线需要4个点，因此在正方体8个顶点中任取4个点有种取法．每4个点可分共面和不共面两种情形，共面的不符合条件得去掉.因为在6个表面和6个体对角面中都有四点共面，故有种．但不共面的4点可构成四面体，而每个四面体有3对异面直线，故共有对．解法二：一个正方体共有12条棱、12条面对角线、4条体对角线，计28条，任取两条有种情形，除去其中共面的情形：〔1〕6个表面，每个面上有6条线共面，共有条；〔2〕6个体对角面，每个面上也有6条线共面，共有条；〔3〕从同一顶点动身有3条面对角线，任意两条线都共面，共有，故共有异面直线－－－=174对．题型二：求展开式中的系数例5、〔08广东理10〕〔是正整数〕的展开式中，的系数小于120，那么__________．解：按二项式定理展开的通项为，我们明白的系数为，即，也即，而是正整数，故只能取1．例6、假设多项式，那么a9等于〔〕A．9B．10C．－9D．－10解：=∴．例7、展开式中第6项与第7项的系数的绝对值相等，求展开式中系数最大的项和系数绝对值最大的项．解：，依题意有，∴n=8．那么展开式中二项式系数最大的项为．设第r＋1项系数的绝对值最大，那么有．那么系数绝对值最大项为．例8、求证：．证：〔法一〕倒序相加：设①又∵②∵，∴，由①＋②得：，∴，即．〔法二〕：左边各组合数的通项为，∴．〔法三〕：题型三：求复杂事件的概率例9、〔08福建理5〕某一批花生种子，假如每1粒发芽的概率为，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是〔〕A．B．C．D．解：由．例10、甲、乙两个围棋队各5名队员按事先排好的顺序进行擂台赛，双方1号队员先赛，负者被剔除，然后负方的队员2号再与对方的获胜队员再赛，负者又被剔除，一直如此进行下去，直到有一方队员全被剔除时，另一方获胜，假设每个队员的实力相当，那么甲方有4名队员被剔除，且最后战胜乙方的概率是多少？解：依照竞赛规那么可知，一共竞赛了9场，同时最后一场是甲方的5号队员战胜乙方的5号队员，而甲方的前4名队员在前8场竞赛中被剔除，也确实是在8次独立重复试验中该事件恰好发生4次的概率，可得，又第9场甲方的5号队员战胜乙方的5号队员的概率为，因此所求的概率为．题型四：求离散型随机变量的分布列、期望和方差例11、某先生居住在城镇的A处，预备开车到单位B处上班. 假设该地各路段发生堵车事件差不多上相互独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如图．〔例如：A→C→D算作两个路段：路段AC发生堵车事件的概率为，路段CD发生堵车事件的概率为〔1〕请你为其选择一条由A到B的路线，使得途中发生堵车事件的概率最小；〔2〕假设记路线A→C→F→B中遇到堵车次数为随机变量，求的数学期望解：〔1〕记路段MN发生堵车事件为MN．因为各路段发生堵车事件差不多上独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，因此路线A→C→D→B中遇到堵车的概率P1为=1－[1－P〔AC〕][1－P〔CD〕][1－P〔DB〕]=1－；同理：路线A→C→F→B中遇到堵车的概率P2为1－P〔〔小于〕．路线A→E→F→B中遇到堵车的概率P3为1－P〔〔小于〕．明显要使得由A到B的路线途中发生堵车事件的概率最小．只可能在以上三条路线中选择．因此选择路线A→C→F→B，可使得途中发生堵车事件的概率最小．〔2〕路线A→C→F→B中遇到堵车次数可取值为0，1，2，3．答：路线A→C→F→B中遇到堵车次数的数学期望为例12、如下图，甲、乙两只小蚂蚁分别位于一个单位正方体的点和点，每只小蚂蚁都能够从每一个顶点处等可能地沿各条棱向各个方向移动，但不能按原线路返回．比如，甲在处时能够沿、、三个方向移动，概率差不多上；到达点时，可能沿、两个方向移动，概率差不多上，小蚂蚁每秒钟移动的距离为1个单位．(Ⅰ)假设甲、乙两只小蚂蚁都移动1秒钟，那么它们所走的路线是异面直线的概率是多少？它们之间的距离为的概率是多少？(Ⅱ)假设乙蚂蚁不动，甲蚂蚁移动3秒钟后，甲、乙两只小蚂蚁之间的距离的期望值是多少？解：(Ⅰ)甲蚂蚁移动1秒能够有三种的走法：即沿、、三个方向，当沿方向时，要使所走的路线成异面直线，乙蚂蚁只能沿、C1C方向走，概率为，同理当甲蚂蚁沿方向走时，乙蚂蚁走、C1C，概率为，甲蚂蚁沿时，乙蚂蚁走、，概率为，因此他们所走路线为异面直线的概率为；甲蚂蚁移动1秒能够有三种走法：即沿、、三个方向，当甲沿方向时，要使他们之间的距离为，那么乙应走，现在的概率为，同理，甲蚂蚁沿方向走时、甲蚂蚁沿方向走时，概率都为，因此距离为的概率为．(Ⅱ)假设乙蚂蚁不动，甲蚂蚁移动3秒后，甲乙两个蚂蚁之间距离的取值有且只有两个：和，当时，甲是按以下路线中的一个走的：、、、、、，因此其概率为，当时，甲是按以下路线中的一个走的：、、、、、、因此其概率为，因此三秒后距离期望值为．例13、〔08湖北理17〕袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个〔n=1，2，3，4〕.现从袋中任取一球．ξ表示所取球的标号．〔Ⅰ〕求ξ的分布列，期望和方差；〔Ⅱ〕假设η=aξ－b，Eη=1，Dη=11，试求a，b的值．解：〔1〕的分布列为：0 1 2 3 4因此．〔2〕由，得，即，又，因此当时，由，得；当时，由，得．，或，即为所求．题型五：统计知识例14、〔08广东〕某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表．在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，那么应在三年级抽取的学生人数为〔〕一年级二年级三年级女生373男生377 370A．24B．18C．16D．12解：依题意我们明白二年级的女生有380人，那么三年级的学生的人数应该是500，即总体中各个年级的人数比例为，故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为．答案：C例15、在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布．成绩在90分以上〔含90分〕的学生有12名．〔Ⅰ〕试问此次参赛学生总数约为多少人？〔Ⅱ〕假设该校打算奖励竞赛成绩排在前50名的学生，试问设奖的分数线约为多少分？可共查阅的〔部分〕标准正态分布表．0 1 2 3 4 5 6 7 8 91.2 1.3 1.41.92.0 2.1 0.88490.90320.91920.97130.97720.98210.88690.90490.92070.97190.97780.98260.8880.90660.92220.97260.97830.98300.89070.90820.92360.97320.97880. 98340.89250.90990.92510.97380.97930.98380.89440.91150.92650.97440.97980.98420.89620.91310.92780.97500.98030.98460.89800.91470.92920.97560.98080.98500.89970.91620.93060.97620.98120.98540.90150.91770.93190.97670.98170.9857解：〔Ⅰ〕设参赛学生的分数为，因为～N(70，100)，由条件知，P(≥90)＝1－P〔<90〕＝1－F(90)＝1－＝1－(2)＝1－0.9772＝0.0228．这说明成绩在90分以上〔含90分〕的学生人数约占全体参赛人数的2.28%，因此，参赛总人数约为≈526〔人〕．〔Ⅱ〕假定设奖的分数线为x分，那么P(≥x)＝1－P〔<x〕＝1－F(90)＝1－＝＝0.0951，即＝0.9049，查表得≈1.31，解得x＝83.1．故设奖的分数线约为83.1分.。

高二数学23—排列、组合、二项式定理及概率练习题-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN高二数学23—排列、组合、二项式定理及概率练习题1．若从集合P 到集合Q={a,b,c}所有不同的映射共有81个，则从集合Q 到集合P 可作的不同的映射共有（ ）A ．32个B ．27个C ．81个D ．64个2．某班举行联欢会，原定的五个节目已排出节目单，演出前又增加了两个节目，若将这两 个节目插入原节目单中，则不同的插法总数为（ ）A ．42B ．36C ．30D ．123．全班48名学生坐成6排，每排8人，排法总数为P ，排成前后两排，每排24人，排法 总数为Q,则有（ ）A ．P>QB ．P=QC ．P<QD ．不能确定4．从正方体的六个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（ ）种A ．8B ．12C ．16D ．205．12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配 方案共有（ ）A ．4448412C C C B ．44484123C C C C ．334448412A C C C D ．334448412A C C C 6．某单位准备用不同花色的装饰石材分别装饰办公楼中的办公室、走廊、大厅的地面及楼 的外墙，现有编号为1~6的六种不同花色的装饰石材可选择，其中1号石材有微量的放射性，不可用于办公室内，则不同的装饰效果有（ ）种A ．350B ．300C ．65D ．507．有8人已站成一排，现在要求其中4人不动，其余4人重新站位，则有（ ）种 重新站位的方法A ．1680B ．256C ．360D ．2808．一排九个坐位有六个人坐，若每个空位两边都坐有人，共有（ ）种不同的坐法A ．7200B ．3600C ．2400D ．1200 9．在(311xx +)n 的展开式中，所有奇数项二项式系数之和等于1024，则中间项 的二项式系数是 （ ）A. 462B. 330C.682D.79210.在(1+a x )7的展开式中,x 3项的系数是x 2项系数与x 5项系数的等比中项,则a 的值为( ) A.510 B.35 C.925 D.32511．袋内放有2个5分硬币，3个2分硬币，5个1分硬币，任意抓取其中5个，则总币值超过1角的概率是（ ）A. 0.4B. 0.5C. 0.6D. 0.712．卖水果的某个个体户，在不下雨的日子可赚100元，在下雨天则要损失10元，该地区每年下雨的日子约有130天，则该个体户每天获利的期望是（1年按365天计算）（ ）A. 90元B. 45元C. 55元D. 60.82 元13．10颗骰子同时掷出，共掷5次，至少有一次全部出现一个点的概率是（ ） A.510)65(1⎥⎦⎤⎢⎣⎡- B. 106)65(1⎥⎦⎤⎢⎣⎡- C. 105)61(11⎥⎦⎤⎢⎣⎡-- D.510)61(11⎥⎦⎤⎢⎣⎡-- 14．甲口袋内装有大小相等的8个红球和4个白球，乙口袋内装有大小相等的9个红球和3个白球，从两个口袋内各摸1个球，那么125等于（ ） A ．2个球都是白球的概率 B ．2个球中恰好有1个是白球的概率C ．2个球都不是白球的概率D ．2个球不都是白球的概率15．设每门高射炮命中飞机的概率为0.6 ,今有一飞机来犯，问需要（ ）门高射炮射击，才能以至少0.99的概率命中它。

二项分布二项式定理二项分布是概率论中一个非常重要的概率分布，它描述了在一系列独立重复的同一试验中成功的次数的概率分布。

而二项式定理则是代数中的一个重要定理，描述了两个数的幂的展开式。

在概率论中，二项式定理与二项分布有着密切的关系。

首先，让我们来了解一下二项分布。

假设有一次重复的试验，成功的概率为p，失败的概率为1-p。

现在进行n次独立重复的试验，我们想要知道成功的次数为k的概率是多少。

这就是二项分布所描述的问题。

二项分布的概率质量函数可以表示为：P(X=k) = (n choose k) p^k (1-p)^(n-k)。

其中，(n choose k)表示组合数，即从n个元素中选取k个元素的方式数。

这个概率质量函数描述了在n次试验中成功k次的概率。

接下来，我们来看看二项式定理。

二项式定理描述了一个二项式的展开式。

对于任意实数a和b以及非负整数n，二项式定理可以表示为：(a + b)^n = C(n,0)a^nb^0 + C(n,1)a^(n-1)b^1 + ... +C(n,k)a^(n-k)b^k + ... + C(n,n)a^0b^n.其中，C(n,k)表示组合数，即从n个元素中选取k个元素的方式数。

这个定理描述了一个二项式的n次幂的展开式。

现在，我们来看一下二项分布与二项式定理的关系。

在二项分布的概率质量函数中，(n choose k)就是组合数，与二项式定理中的C(n,k)是一样的。

这说明二项分布中的组合数与二项式定理中的组合数是相似的概念。

而且，在二项分布的概率质量函数中，p^k 和(1-p)^(n-k)就对应了二项式定理中的a^k和b^(n-k)。

这说明二项分布中的概率计算与二项式定理中的幂的展开式有着一定的对应关系。

综上所述，二项分布与二项式定理有着密切的关系。

二项分布描述了在一系列独立重复的试验中成功的次数的概率分布，而二项式定理描述了一个二项式的展开式。

它们都涉及到组合数和幂的计算，因此有着一定的相似性。

高二数学二项式定理与概率时间：2009年3月29日1、（2005 湖北）5)212(++xx的展开式中整理后的常数项为_______。

2、（2005 浙江）在8765)1()1()1()1(x x x x -+-+-+-的展开式中，含3x 的项的系数是（ ）A 、74B 、121C 、74-D 、121-3、（2005市 重庆）若n x x )12(-展开式中含21x 项的系数与含41x项的系数之比为5-，则n 的值为（ ）A 、4B 、6C 、8D 、104、（2006 浙江）若多项式10109910102)1()1()1(++++⋯+++=+x a x a x a a x x ，则9a 的值为___________。

5、（2007湖北）如果n x x )23(32-的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为_____。

6、若n x )1(+的展开式中，倒数第5，6，7项的系数顺次成等差数列，且展开式的项为数为奇数，求展开式中2x 的系数。

7、已知)0,()1()(212≠∈++++m N n mx m x n m 与的展开式中含有n x 的系数相等，求实数m 的取值范围。

8、设)(x f 是定义在R 上的函数，且i n i ni i i n x x n i f C x g -==-=∑)1()()(0。

（1）若);(,1)(x g x f 求=（2）若)(,)(x g x x f 求=。

9、从数集}3,2,1,0,1{-=A 中任选三个数组成二次函数c bx ax y ++=2的系数，则可组成与x 轴正负方向都有交点的不同抛物线的概率为___________。

10、某人抛掷一枚骰子，各点数出现的概率都为61，构造数列}{n a ，当第n 次出现的点数是3的倍数时，n a =1；当第n 次出现的点数不是3的倍数时，n a = 1-。

记n S 为前n 项的和，则15-=S 的概率为__________。

高考知识点：排列、组合、二项式、概率一、分类计数原理和分步计数原理：分类计数原理：如果完成某事有几种不同的方法，这些方法间是彼此独立的，任选其中一种方法都能达到完成此事的目的，那么完成此事的方法总数就是这些方法种数的和。

分步计数原理：如果完成某事，必须分成几个步骤，每个步骤都有不同的方法，而—个步骤中的任何一种方法与下一步骤中的每一个方法都可以连接，只有依次完成所有各步，才能达到完成此事的目的，那么完成此事的方法总数就是这些方法种数的积。

区别：如果任何一类办法中的任何一种方法都能完成这件事，则选用分类计数原理，即类与类之间是相互独立的，即“分类完成”；如果只有当n 个步骤都做完，这件事才能完成，则选用分步计数原理，即步与步之间是相互依存的，连续的，即“分步完成”。

二、排列与组合：（1）排列与组合的区别和联系：都是研究从一些不同的元素中取出n 个元素的问题； 区别：前者有顺序，后者无顺序。

（2）排列数、组合数： 排列数的公式：)()!(!)1()2)(1(n m m n n m n n n n A m n ≤-=+---= 注意：①全排列：!n A n n =； ②记住下列几个阶乘数，1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=720； 排列数的性质：①1-=m m nA A （将从n 个不同的元素中取出)(n m m ≤个元素，分两步完成：第一步从n 个元素中选出1个排在指定的一个位置上；第二步从余下1-n 个元素中选出1-m 个排在余下的1-m 个位置上）②m m m A mA A 1-+=（将从n 个不同的元素中取出)(n m m ≤个元素，分两类完成：第一类：m 个元素中含有a ，分两步完成：第一步将a 排在某一位置上，有m 不同的方法。

第二步从余下1-n 个元素中选出1-m 个排在余下的1-m 个位置上）即有11--m n mA 种不同的方法。

第二类：m 个元素中不含有a ，从1-n 个元素中取出m 个元素排在m 个位置上，有m n A 1-种方法。

概率二项式定理是概率论中的一个重要定理，它是描述在进行一连串相互独立的重复试验时，成功事件发生的次数满足二项分布的概率定理。

这一定理在概率论和统计学中有着广泛的应用，对于理解随机试验中的事件发生概率具有重要意义。

概率二项式定理的提出可以追溯到17世纪，当时法国数学家皮埃尔-雷蒙德提出了这一定理的基本框架。

通过推导和研究，他得出了在进行n次重复试验中成功事件发生k次的概率公式，这就是现在所称的概率二项式定理。

这一定理为后人在概率论领域的研究提供了重要的理论基础，也为实际问题的求解提供了有效的方法。

在现代概率论的发展过程中，概率二项式定理得到了广泛的推广和运用。

它不仅在概率统计学中有着深远的影响，也在实际生活和科学研究中有着重要的应用。

例如在股票市场的波动分析、生物学中的基因遗传规律研究、工程领域的质量控制等方面，概率二项式定理都发挥着关键作用。

概率二项式定理的核心思想是将重复试验中成功事件的概率转化为二项分布的形式，通过二项式系数的计算得出事件发生的概率。

这一方法在实际问题中的应用非常广泛，可以解决各种与事件次数相关的概率计算问题。

通过概率二项式定理，我们可以更准确地预测事件发生的可能性，为决策提供科学依据。

除了在理论研究和实际应用中的重要性，概率二项式定理也为概率相关领域的进一步发展提供了新的思路和方法。

通过对这一定理的深入研究，人们可以更好地理解概率事件的规律性，推导出更多的概率分布和定理，为概率论和统计学的深入发展奠定基础。

梳理一下本文的重点，我们可以发现，概率二项式定理作为概率论中的重要定理，对于描述重复试验中事件发生的概率具有重要意义。

通过对这一定理的研究和运用，我们可以更好地理解概率事件的规律，提高概率统计学的应用能力，推动概率相关领域的发展。

希望未来能够有更多的学者和科研工作者深入探讨概率二项式定理的相关问题，为概率论的研究和应用做出更大的贡献。

二项式定理的运用二项式定理在概率计算中的应用在概率计算中，二项式定理是一项非常重要的数学工具，它可以用于计算概率事件发生的可能性。

二项式定理是关于如何展开二项式幂的一个公式，它的应用领域非常广泛。

本文将探讨二项式定理在概率计算中的应用。

一、二项式定理的概念和公式介绍二项式定理是代数学中的一个重要定理，其公式表达如下：$(a+b)^n = C_n^0 \cdot a^n \cdot b^0 + C_n^1 \cdot a^{n-1} \cdot b^1 + \ldots + C_n^k \cdot a^{n-k} \cdot b^k + \ldots + C_n^n \cdot a^0 \cdot b^n$其中，$C_n^k$ 代表组合数，表示从 $n$ 个元素中选取 $k$ 个元素的可能组合数。

$a$ 和 $b$ 是两个常数，$n$ 是一个非负整数。

二、二项式定理在概率计算中的应用1. 掷硬币的概率假设有一枚硬币，它的正反两面分别为事件 A 和事件 B。

如果我们把硬币抛掷 $n$ 次，那么事件 A 出现 $k$ 次（正面朝上）的概率可以使用二项式定理来计算。

根据二项式定理，事件 A 出现 $k$ 次的概率可以表示为：$P(A=k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$其中，$p$ 是硬币出现正面朝上的概率。

这个公式可以用来计算硬币投掷实验的概率结果。

2. 生日悖论生日悖论是指在一组人中，至少有两个人的生日相同的概率。

通过二项式定理，我们可以计算在一组 $n$ 个人中至少有两个人生日相同的概率。

假设一年有 $m$ 个不同的日期，那么至少有两个人生日相同的概率可以表示为：$P(\text{至少有两人生日相同}) = 1 - P(\text{所有人生日都不相同})$在所有人生日都不相同的情况下，第一个人的生日可以是任意一天，第二个人的生日不能和第一个人相同，所以有 $m-1$ 种可能，第三个人的生日不能和前两个人相同，所以有 $m-2$ 种可能，以此类推。

第十章排列、组合、概率与二项式定理考纲解读（一）内容解读1、分类和分布记数原理2、排列、组合的意义3、排列数公式和组合数公式4、组合数性质5、二项式定理与二项展开式的性质6、随机事件和随机事件概率的意义7、等可能事件概率的意义8、互斥事件有一个发生的概率的意义9、相互独立事件同时发生的概率的意义10、n次独立重复试验（二）能力解读1、掌握分类和分布记数原理及其简单应用；2、理解排列、组合的意义；3、掌握排列数公式和组合数公式4、掌握组合数性质5、掌握二项式定理与二项展开式的性质及其简单应用；6、了解随机事件和随机事件概率的意义7、了解等可能事件概率的意义；会用排列、组合的基本公式计算一些等可能事件概率；8、了解互斥事件有一个发生的概率的意义；会用互斥事件概率的加法公式求一些事件概率；9、了解相互独立事件同时发生的概率的意义；会用相互独立事件同时发生的概率的乘法公式求一些事件概率；10、了解n次独立重复试验的意义；会求事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率。

考点分布1、高考试题中的排列与组合问题很多情况下都是直接运用分类或分步记数原理来处理；2、二项式定理的内容主要侧重考查二项式定理本身和二项展开式的性质；3、概率部分的内容在近年高考的解答题中综合性比较强，一般都与离散型随机变量的分布列、期望和方差相结合，以生产问题或生活问题为载体来命题。

高考备考复习建议1、本章内容在中学数学中，就其研究内容和研究对象来说都是相对独立的。

在思想方法上体现着应用的观点；在复习中应该注意运用化归思想和分类讨论思想来分析问题，解决问题。

2、在复习中应该注意把握这部分知识的逻辑关系：排列、组合知识是进一步学习概率内容的预备知识和重要基础；而概率、统计又是我们研究可能性数学的基础工具。

3、排列与组合的意义、排列数公式和组合数公式的应用，以及二项式定理与二项展开式的性质等内容的考查，在高考试题中多以选择题和填空题的形式出现；而概率内容多以解答题的形式出现，有时也出现在选择题和填空题中。

二项式定理和概率综合（讲义）➢ 知识点睛一、二项式定理1. 基本概念（1）二项式定理011()C C C C n n n k n k k nn n n n n a b a a b a b b --+=+++++L L ．（2）通项二项展开式中的C kn k k n ab -叫做二项展开式的通项，用1k T +表示，即通项为展开式的第1k +项： 1C 01k n k kk n T a b k n -+==L （，，，）．（3）二项式系数在二项展开式中各项的系数C 01kn k n =L （，，，）叫做二项展开式中各项的系数．2. 性质3. 各二项式系数的和已知0122(1)C C C C C n k k n n n n n n n x x x x x n *+=++++++∈N L L （）．令1x =，得012C C C C C 2k n n n n n n n n *++++++=∈N L L （）．二、概率古典概型：P (A )=_____________________．几何概型：P (A )=_____________________．➢ 精讲精练1. 6(2的展开式中的第四项是_______．2. 在62⎛⎫ ⎝的二项展开式中，2x 的系数为（ ） A ．154-B ．154C ．38-D ．383. 计算下列各式的二项展开式中指定各项的系数：（1）6(2)x +的展开式中3x 的系数是________；（2）5122x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中23x y 的系数是_______；（3）5232x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是_______．4. 25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为（ ）A ．10B ．20C ．30D ．605. 计算下列各式的二项展开式中指定各项的系数：（1）10201511x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中2x 项的系数是_____；（2）式子3)2||1|(|-+x x 的展开式中的常数项是_____；（3）35(1(1+的展开式中x 的系数是_______；（4）621(1)x x x x ⎛⎫++- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是________．6. 填空：（1）已知5的展开式中含32x 的项的系数为30， 则a =_______；（2）已知5)1)(1(x ax ++的展开式中含2x 的项的系数为5，则=a ________．7. 若512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项是（ ） A ．-40B ．-20C ．20D ．408. 已知(1+)n x 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数之和为（ ）A ．122B ．112C ．102D ．929. 设m 为正整数，2()m x y +的展开式中二项式系数的最大值为a ，21()m x y ++的展开式中二项式系数的最大值为b ，若13a =7b ，则m 的值为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．810. 若n 为奇数，则112217C 7C 7C 7n n n n n n n ---++++L 被9除得的余数是（ ） A ．0 B ．2 C ．7 D ．811. 设a ∈Z ，且0≤a <13，若512012+a 能被13整除，则a =（ ）A ．0B ．1C ．11D ．1212.某科研合作项目成员由11个美国人、4个法国人和5个中国人组成，现从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为________（结果用分数表示）．13.在一次读书活动中，一同学从4本不同的科技书和2本不同的文艺书中任选3本，则所选的书中既有科技书又有文艺书的概率为________．14.从编号为1，2，…，10的10个大小相同的球中任取4个，则所取4个球的最大号码是6的概率为______．15.把一枚硬币向上连抛10次，则正、反两面交替出现的概率为________．16.将20名运动员平均分成两组，其中两名种子选手必在一组的概率为________．17.将4个编号的球放入3个编号的盒中，对于每一个盒来说，所放的球数k满足0≤k≤4．在各种放法的可能性相等的条件下，求：（1）第一个盒没有球的概率；（2）第一个盒恰有1个球的概率；（3）第一个盒恰有2个球的概率；（4）第一个盒有1个球，第二个盒恰有2个球的概率．18.一个口袋内有7个白球和3个黑球，分别求下列事件的的概率：（1）事件A：从中摸出一个放回后再摸一个，两回摸出的球是一白一黑；（2）事件B：从袋中摸出一个黑球，放回后再摸出一个是白球；（3）事件C：从袋中摸出两个球，一个黑球，一个白球；（4）事件D：从袋中摸出两个球，先摸出的是黑球，后摸出的是白球．【参考答案】1．160x2．C 3．（1）160；（2）-20；（3）404．C5．（1）45；（2）-20；（3）2；（4）-56．（1）-6；（2）-17．D8．D9．B10．C11．D12．11919013．4514．12115．91216．919 17．（1）1681；（2）3281；（3）827；（4）427 18．（1）2150；（2）21100；（3）715；（4）730概率综合（随堂测试）1. 填空：（1）8-的展开式中x 2y 2的系数为___________．（2）43(1)(1x -的展开式中x 2的系数是__________．（3）(1+x )(2+x )(3+x )…(20+x )的展开式中x 19的系数是_____．2. 5()a x x+（x ∈R ）展开式中x 3的系数为10，则实数a 等于（ ） A ．-1 B ．12C ．1D ．23. 已知8支球队中有3支弱队，以抽签方式将这8支球队分为A ，B 两组，每组4支，则A ，B 两组中有一组恰有两支弱队的概率为________．【参考答案】1．（1）70；（2）-6；（3）2102．D3．34概率综合（习题）➢ 例题示范例：在二项式(ax m +bx n )12（a ＞0，b ＞0，m ，n ≠0）中有2m +n =0，如果它的展开式中系数最大的项恰是常数项，求它是第几项？思路分析：根据题意，由二项式定理可得通项：1212121211212C C k k m mk k nk k k k m mk nk k T a x b x a b x ----++==．考虑到系数最大的项恰是常数项，所以x 的次数为0，即12m -mk +nk =0，结合题中2m +n =0，可求得k =4，故系数最大的项是第5项．➢ 巩固练习1. 填空（结果用数字作答）：（1）(x +2)5的展开式中x 3的系数是__________．（2）35(x +的展开式中x 8的系数是__________．（3）(4x -2-x )6（x ∈R ）的展开式中常数项是__________．（4）在(x -1)(x -2)(x -3)(x -4)(x -5)的展开式中，含x 4的项的系数是__________．（5）(1+x )8(1+y )4的展开式中x 2y 2的系数是__________．2. 若8(x 的展开式中4x 的系数为7，则实数a 的值为__________．3. 若62()x x -的展开式中常数项为60，则实数a 的值为_____．4. 使得(3N n x n++∈（）的展开式中含有常数项的最小的n 为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．75. (1+x )2n +1的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是（ ）A ．n ，n +1B ．n -1，nC ．n +1，n +2D ．n +2，n +36. 在20()x 的展开式中，系数为有理数的项共有______项．7. 设二项式6(x-（a ＞0）的展开式中x 3的系数为A ，常数项为B ，若B =4A ，则a 的值为________．8. 8(2展开式中不含x 4项的系数的和为________．9. 1231C 3C 9C 3C n n n n nn -++++…等于（ ） A ．4n B ．34n ⋅ C ．413n- D ．413n - 10. 11100-1的末尾连续零的个数是（ ） A ．7 B ．5 C ．3D ．211. 用二项式定理证明5555+9能被8整除．12. 停车场可把12辆车停放一排，当有8辆车已停放后，则所剩4个空位恰连在一起的概率为（ ）A ．8127CB ．8128C C ．8129CD ．81210C13. 在一次读书活动中，一同学从4本不同的科技书和2本不同的文艺书中任选3本，则所选的书中既有科技书又有文艺书的概率为（ ）A ．15B ．12C ．23D ．4514. 某组有16名学生，其中男、女生各占一半，把全组学生分成人数相等的两小组，求每小组里男、女生人数相同的概率．15. 甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，甲、乙依次各抽一题．求：（1）甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？（2）甲、乙两人中至少有1人抽到选择题的概率是多少？16. 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛．（1）求所选3人都是男生的概率；（2）求所选3人中恰有1名女生的概率；（3）求所选3人中至少有1名女生的概率．【参考答案】1．（1）40；（2）52；（3）15；（4）-15；（5）1682．1 23．4 4．B 5．C 6．6 7．-3 8．0 9．D 10．C 11．略12．C 13．D14．490 128715．（1）415；（2）131516．（1）15；（2）35；（3）4511。

高二数学选修2-3二项式知识点二项式是数学中一个重要的概念，广泛应用于代数、概率等领域。

在高二数学选修2-3中，学生将会学习有关二项式的重要知识点。

本文将介绍二项式的定义、展开、性质以及应用等内容。

1. 二项式的定义二项式是由两个代数项相加（或相减）而成的表达式，一般形式为：（a+b）^n，其中a和b为实数或变量，n为非负整数。

其中，a和b被称为二项式的项，n被称为二项式的指数。

2. 二项式的展开二项式展开是指将一个二项式表达式展开为多项式的过程。

根据二项式定理，当n为非负整数时，二项式（a+b）^n可以展开为多项式的形式。

二项式定理的表达式为：（a+b）^n = C(n,0)a^n b^0 + C(n,1)a^(n-1) b^1 + C(n,2)a^(n-2)b^2 + ... + C(n,n-1)a^1 b^(n-1) + C(n,n)a^0 b^n其中，C(n,r)表示从n个元素中取r个元素的组合数，计算公式为：C(n,r) = n! / [(n-r)!r!]3. 二项式的性质- 二项式展开后的多项式的项数为n+1，其中n为二项式的指数。

- 二项式展开后的多项式的各项系数由组合数C(n,r)决定。

- 二项式展开后的多项式中的各项次数之和为n。

4. 二项式的应用二项式在数学中有广泛的应用。

以下是一些常见的应用场景：- 概率计算：二项式系数可以用于计算二项分布的概率。

- 代数运算：二项式的展开可以应用于多项式的乘法运算。

- 公式推导：二项式展开后的多项式可以推导出各种数学公式，如二次方程的求根公式等。

- 组合数学：二项式系数在组合数学中有着重要的地位，用于解决组合问题。

总结：高二数学选修2-3中的二项式知识点包括了二项式的定义、展开、性质以及应用等内容。

掌握了这些知识，可以为学生在数学或其他相关领域的学习中提供帮助，并广泛应用于实际问题的解决中。

高二数学要学哪些知识点高二是学生们数学学习的重要阶段，也是数学知识的进一步深化和扩展的时期。

在这一阶段，学生需要掌握一系列的数学知识点，为日后的学习打下坚实的基础。

下面将介绍高二数学学习中需要重点关注的知识点。

1. 函数与方程函数与方程是高中数学的基础，也是高二数学学习的重点。

学生需要通过学习一元二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等内容，掌握函数的性质、图像和应用。

同时，还需深入学习一元二次方程、二次函数的图像与性质、因式分解等内容，并能熟练解决相关的问题。

2. 三角学三角学是高二数学的重要内容，涉及到三角函数、三角恒等式、三角方程等知识点。

学生需要通过学习正弦定理、余弦定理等内容，掌握解三角形的各种问题的方法，能够熟练运用三角函数解决相关的实际问题。

3. 空间几何空间几何是高二数学中的重点之一，包括平面与直线的位置关系、三角形、四边形、圆锥曲线等内容。

学生需要通过学习立体几何的投影、旋转、平移、拉伸等知识，能够解决与空间几何相关的问题，并在实际生活中运用。

4. 排列与组合排列与组合是高二数学中的一项重要内容，涉及到排列、组合、二项式定理等知识点。

学生需要通过学习全排列、循环排列、组合数等内容，掌握解决排列与组合问题的方法，并能够运用于实际的计数问题。

5. 数列与数列的极限数列与数列的极限是高二数学的难点内容，包括等差数列、等比数列、递归数列等。

学生需要通过学习数列的通项公式、递推关系式以及数列的极限等知识点，能够分析数列的性质，并在数列的极限问题中运用极限的概念。

6. 概率与统计概率与统计是高二数学的重点内容，包括概率的基本概念、条件概率、离散型随机变量等。

学生需要通过学习事件的概率计算、事件的独立性、正态分布等知识点，掌握解决概率与统计问题的方法，并能运用于实际的问题中。

7. 导数与微分导数与微分是高二数学的高级内容，包括导数的定义、求导法则、高阶导数以及微分的应用等。

学生需要通过学习导数的概念、导数的性质、导数公式等知识点，能够计算函数的导数，并应用于函数的极值、曲线的解析式等问题中。