高中数学必修22.1 直线与圆锥曲线 教案

圆锥曲线复习课（一）----直线与圆锥曲线教学设计一、教材分析1、本课隶属于数学选修2-1，是对必修2所学的直线与方程的具体、丰富和延伸。

2、课标要求：在掌握了直线与圆锥曲线的基本概念后，进一步学习直线与圆锥曲线的综合应用。

二、学情分析平面解析几何对于当下处在高二上学期阶段的学生来说有了初步的认识，并且具备了初步的分析判断能力，相信学习本课以后可以达到综合分析的效果。

三、教学目标通过判断直线与圆锥曲线的交点个数的问题来研究直线圆锥曲线的位置关系；在探究的过程中应用方程组解的思想，提高学生解决问题的能力；在解答直线与圆锥曲线的相关问题过程中，体会解决直线与圆锥曲线关系问题的一般步骤和方法，体验在问题解决过程中养成严谨的科学研究的学习习惯。

感受数学学习的愉悦。

四、教学重难点1.重点：用代数的方法对方程组解的讨论研究直线圆锥曲线的公共点问题，学会弦长公式的应用2.难点：理解用方程思想解决直线与圆锥曲线的位置关系，构建完整的知识体系。

五、计划学时：1课时（45分钟）六学情分析本节课是平面解析几何的核心内容之一，着重学会判断直线与圆锥曲线的位置关系，体会用方程思想的数学思维方法，优化解题思维，提高解题能力。

直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考题中多以大题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题等等，突出考察了分类讨论，函数与方程等数学思想方法，要求学生分析问题和解决问题的能力计算能力较高。

本节课的特点运算量比较大，应着重采用点拨思路发散思维的教学方法。

七、教具：电脑平台，实物投影仪八、教学过程：（一.）知识梳理将直线y=kx+b代入圆锥曲线f(x,y)=0，经整理可得一个一元二次方程ax ^2+bx +c =0 （a ≠0）或者ay ^2+by +c =0 （a ≠0）。

则此直线与圆锥曲线有两个交点的充要条件是∆>0,有一个交点的充要条件是∆=0,没有交点的充要条件是∆<0。

例 已知抛物线的方程为y ²=4x,直线l 过定点P(-2,1)，斜率为k,k 为何值时，直线l 与抛物线y ²=4x:只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？).2(1的方程为解：由题意，设直线+=-x k y l⎩⎨⎧=+=-x y x k y 4)2(1由方程组20)12(44可得2=++-k y ky ).12(16＝时，方程的判别式为0当)1(2-+-∆≠k k k.21或,1解得=-=k k 个公共点。

直线与圆锥曲线课程目标知识提要直线与圆锥曲线直线与圆锥曲线相结合的问题是平面几何中的重点问题，也是难点问题．包括直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系，及直线与圆锥曲线位置关系的应用问题．直线与圆锥曲线有相交、相切、相离三种位置关系．把直线和圆锥曲线的方程进行联立后，得到关于或的一元二次方程，通过分析这个方程，就可以得到直线与圆锥曲线的三种位置关系．弦长与面积若直线与圆锥曲线相交时有两个交点，则以这两个交点为端点的线段叫作圆锥曲线的弦，线段的长就是弦长．直线与圆锥曲线相交于点，点，则直线被圆锥曲线所截得的弦长公式为；其中和可由两根差公式，得到．面积问题首先需要选择恰当的面积公式，常见的有：1、直线方程为，与椭圆相交于点、，垂直于弦于点，则，因此，的面积．2、直线方程为，与椭圆相交于点、，且过椭圆右焦点，则的面积为．3、过椭圆上一动点，引直线、交椭圆于另外两点、，且，则．直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系有相交、相切与相离三种，可以通过联立直线与圆锥曲线的方程，消元后利用判别式的符号得到位置关系．需要注意的是，直线与椭圆的位置关系与它们的交点个数有对应关系，即相交时有两个交点，相切时有一个交点，相离时没有交点；直线与双曲线的位置关系没有这样的对应关系，直线与双曲线的相交时也可能只有一个交点，此时直线与双曲线的渐近线平行；直线与抛物线相交时也可能只有一个交点，此时直线与抛物线的轴平行．动态圆锥曲线问题的参数求解在圆锥曲线问题中有某些量不确定，需要设定某些参数，去求解这些参数的值或取值范围．动态圆锥曲线问题的性质证明通过代数的方法去探索与证明圆锥曲线的一些几何性质，比如满足某种条件的直线过定点，某些线段的长度比值确定，证明某些点在同一条直线上等等．精选例题直线与圆锥曲线1. 已知实数，满足，则的最大值为．【答案】2. 已知点，是椭圆上两点，且，则．【答案】3. 已知直线交抛物线于，两点，若该抛物线上存在点使得为直角，则的取值范围为．【答案】【分析】设，，，则，，由，得，由，解得，即．4. 已知，分别是椭圆的左、右焦点，为过点且斜率为的弦，则的值为．【答案】5. 已知直线经过抛物线的焦点，与交于，两点．若，则的值为．【答案】6. 在双曲线上求一点．使它到直线的距离最短．并求这个最短距离．【解】设与直线平行的双曲线的切线方程为．由得由直线与双曲线相切，得，解得．由本题题意，得．此时方程化为，解得，从而．则切点坐标为，这就是所求的点．由于直线与切线的距离为，所以双曲线上的点到直线的最短距离为．7. 如图，，是焦点为的抛物线上的两动点，线段的中点在直线上．(1)当时，求的值；【解】的焦点坐标是，准线方程是设，，则，所以因为线段的中点在定直线上所以，所以；因为，所以．(2)记得最大值为，求．【解】设，由得，所以，故可设直线的方程为，即．联立消去得，，，所以，因为，所以，所以8. 已知圆，动圆与圆内切并且经过定点，圆心的轨迹为曲线．(1)求曲线的方程；【解】由已知得圆的圆心为，半径为；设圆的圆心为，半径为．因为圆经过定点，所以，又圆与圆内切，所以，所以．由椭圆的定义可知，曲线是以，为左、右焦点的椭圆，，，椭圆方程为．(2)设过点的直线与曲线相交于，两点，当的面积最大时，求的方程．【解】当轴时，不符合题意，则可设．由得．由，得．设，，解方程得．因为直线与轴交于点，所以．设，则，．由均值不等式，得．当且仅当，即时等号成立．此时满足，且的最大值为．所以当的面积最大时，的方程为或．9. 如图所示，以原点为圆心的两个同心圆的半径分别为和，过原点的射线交大圆于点，交小圆于点在轴上的射影为．动点满足且．(1)求点的轨迹方程；【解】由且可知三点共线且．过点作，垂足为，设，因为，，由相似可知．因为在圆上，，即．所以点的轨迹方程为．(2)过点作斜率分别为，的直线，与点的轨迹分别交于，两点，．求证：直线过定点．【解】证明：设，，依题意，由，解得或．所以，，所以．因为，所以．用替代中的，同理可得．显然，关于原点对称，所以直线必过原点．10. 已知椭圆：的焦距为，且经过点．(1)求椭圆的方程；【解】依题意，，椭圆的焦点为，，，所以，椭圆的方程为(2)、的椭圆上两点，线段的垂直平分线经过，求面积的最大值（为坐标原点）．【解】根据椭圆的对称性，直线与轴不垂直，设直线：，由得，．设，，则，，，到直线的距离，的面积，依题意，，，，，代入整理得，，若，则，等号当且仅当时成立，若，则，，等号当且仅当，时成立．综上所述，面积的最大值为弦长与面积1. 椭圆的一个焦点为，过原点的直线交椭圆，两点，则的面积的最大值为．【答案】2. 已知，是椭圆的两个焦点，过点的直线交椭圆于，两点，若，则直线的斜率为．【答案】3. 直线被椭圆截得的线段的中点横坐标为，则中点的纵坐标为．【答案】【分析】设直线与椭圆交于，两点．将直线方程代入椭圆方程消去得，所以．因为线段中点横坐标为，所以，得．所以线段中点纵坐标为．4. 过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，若，，则．【答案】【分析】设，，由焦半径公式，得即设直线的方程为与抛物线方程联立，得则解得，所以方程变为解得于是5. 正方形的边在直线上，两点在抛物线上，则正方形的面积为．【答案】或【分析】设、所在直线方程为，代入，利用弦长公式可求出的长，利用的长等于两平行直线与间的距离，求出的值，再代入可求出的长，则面积可求．6. 已知大西北某荒漠上，两点相距千米，现准备在荒漠上围垦出一片以为一条对角线的平行四边形区域建成农艺园．按照规划，围墙总长为千米：(1)试建立适当的平面直角坐标系，求四边形另两个顶点的轨迹方程；【解】设四边形另两个顶点为，，则．即．则顶点的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆（长轴顶点除外）．以的中点为原点，以所在直线为轴，建立坐标系．设椭圆方程为，则，，从而．所以椭圆方程为．(2)该荒漠上有一条直线形小溪刚好通过点，且与成角．现要对整条小溪进行改造，但考虑到小溪可能被农艺园围进的部分今后将重新设计改造，因此对该部分暂不改造．问暂不改造的部分有多长？【解】即求：被椭圆截得的线段长．设与椭圆交于，两点．由得，则，所以．7. 已知椭圆，以点为中点的弦为，求弦的长度．【解】设，．由中点的坐标为，得由得，则，所以直线的方程为，即，代入椭圆方程整理，得，则从而8. 已知双曲线，它的弦的长是实轴长的倍，如果弦所在的直线过点，求直线的方程．【解】设的方程为，有消去并整理，得．设，，则，．因为，所以．即，．解得．当时，中，符合题意，所以；当不存在时，，符合题意．故的方程为或．9. 双曲线的左、右焦点分别为，直线过且与双曲线交于两点．(1)若的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；【答案】【分析】本小问考察双曲线的对称性．【解】根据题意，通径与焦距的比为，即，从而解得，进而双曲线的渐近线方程为．(2)设，若的斜率存在，且，求的斜率．【答案】【分析】本小问是一个典型的焦点弦长问题，用“焦半径公式”即可轻松解决．【解】当时，双曲线的方程为，其焦距．设为双曲线右支上一点，则，在中应用余弦定理有代入数据整理得类似地，当为双曲线左支上一点时，有（推导中用到：[a]）因此设直线的倾斜角为，则整理得，因此直线的斜率为．10. 设椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数，且椭圆与轴的一个交点坐标为．(1)求椭圆的方程；【解】由双曲线的离心率为，又由椭圆与轴的一个交点坐标为，得．由解得所以椭圆的方程为．(2)若直线交椭圆与，两点，椭圆上一点，求面积的最大值．【解】由得．由，得．设，，则，．又到的距离为，则当且仅当，即时等号成立．因此．直线与圆锥曲线的位置关系1. 直线与双曲线有且仅有一个公共点，则．【答案】或【分析】由得．当，即时，方程有唯一解，满足题意．当时，，即，此时方程有唯一解，满足题意．2. 过点引抛物线的一条弦，且被点平分，则此弦所在的直线方程为．【答案】3. 直线截椭圆所得弦的中点与椭圆中心连线所在的直线方程为．【答案】4. 直线与抛物线仅有一个公共点，则．【答案】5. 如果是椭圆的任意一条与轴不垂直的弦，为椭圆的中心，为椭圆的离心率，为的中点，那么的值为．【答案】6. 在直角坐标系中，曲线上的点到两定点，的距离之和等于，直线与交于两点，若，求的值．【解】由椭圆定义可知，曲线是以，为焦点，长半轴为的椭圆，它的短半轴，故曲线的方程为．设，其坐标满足消去并整理得，由题意符合，故．若，即，而于是，化简得，所以．7. 设动直线与抛物线相切于点，与直线相交于点，为抛物线的焦点，求的值．【解】直线的方程为，显然．由得．因为直线与抛物线相切，所以，所以．所以直线的方程为．令，得，所以．设切点坐标为，则，解得．由题意得，则8. 已知两点，，曲线上的动点满足．(1)求曲线的方程；【解】依题意，，且，所以曲线是以，为焦点，长轴长为的椭圆．设椭圆的方程为，其半焦距长为．因为，，，所以曲线的方程为．(2)设曲线的方程为，当和有四个不同的交点时，求实数的取值范围．【解】因为曲线的方程为，所以当，时，曲线的方程可化为；所以当，时，曲线的方程可化为；所以当，时，曲线的方程可化为；所以当，时，曲线的方程可化为．所以曲线是以，，，四个点为顶点的正方形．因为曲线和有四个不同的交点，且曲线，均是关于轴，轴对称的曲线，所以曲线与有且仅有一个交点．所以方程组有且仅有一组解．即关于的方程在区间内有且仅有一个实数根．设．情形①解得．情形②解得．所以实数的取值范围是或．9. 在平面直角坐标系中，曲线上的点到两定点，的距离之和等于，直线与交于，两点，若，求的值．【解】由椭圆定义可知，曲线是以，为焦点，长半轴长为的椭圆，它的短半轴，故曲线的方程为．设，，其坐标满足：消去并整理得，由题意符合，故，．若，即．而，于是，化简得，所以．10. 已知中心在坐标原点的椭圆经过点，且点为其右焦点．(1)求椭圆的方程；【解】依题意，可设椭圆的方程为，且可知左焦点为，从而有解得又，所以故椭圆的方程为．(2)是否存在平行于的直线，使得直线与椭圆有公共点，且直线与的距离等于？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．【解】假设存在符合题意的直线，其方程为，由得因为直线与椭圆有公共点，所以有解得另一方面，由直线与的距离可得解得由于所以符合题意的直线不存在．动态圆锥曲线问题的参数求解1. 已知抛物线与过点的直线交于，两点．若，则实数的值为．【答案】2. 椭圆的内接正方形的周长为．【答案】3. 直线交抛物线于，两点，为抛物线的顶点，若，则．【答案】4. 已知椭圆，若此椭圆上存在不同的两点，关于直线对称，则实数的取值范围是．【答案】【分析】设椭圆上两点、关于直线对称，的中点为，则，．两式相减得：即．所以所以，代入直线得因为在椭圆内部，所以，解得：．5. 已知点在抛物线的准线上，点在抛物线上，且位于轴的两侧，是坐标原点，若，则点到动直线的最大距离为．【答案】【分析】由已知可求得，设，由（\overrightarrow {OM} \cdot\overrightarrow {ON} = 3\)可得又因为，代入式解得，设动直线方程为把方程与抛物线方程联立解得，故过定点，从而到动直线的最大距离为到定点的距离．6. 如图，椭圆和圆，已知圆将椭圆的长轴三等分，且圆的面积为．椭圆的下顶点为，过坐标原点且与坐标轴不重合的任意直线与圆相交于点，，直线，与椭圆的另一个交点分别是点，．(1)求椭圆的方程；【解】由题意得：，则，所以椭圆方程为：．(2)求面积最大时直线的方程．【解】由题意得：直线，的斜率存在且不为，，不妨设直线的斜率为，则．由：得：或所以：．同理得：，．由得：，所以：．所以：．设，则．当且仅当时取等号，所以．则直线，所以所求直线方程为：．7. 已知，是椭圆的两个焦点，为坐标原点，是以为直径的圆，直线与相切，并与椭圆交于不同的两点，．(1)求和的关系式【解】由与直线相切，得，即．(2)当，且时，求直线的倾斜角的取值范围．【解】由得．由，得．设，，则，．所以由，得，解得，即，故直线倾斜角的取值范围为．8. 一条斜率为的直线与离心率为的椭圆交于，两点，直线与轴交于点，且，，求直线和椭圆的方程．【解】由，得，即，则椭圆方程变为．设的方程为．由消去并整理，得．由与椭圆交于两点，得，即．设，，则．．由，得．而，所以．将代入上式，得，化简，得．由及，得，从而．由，得．联立，解得，，适合（）．因此，直线方程为或；椭圆的方程为．9. 已知中心在原点的椭圆：的一个焦点为，为椭圆上一点，的面积为．(1)求椭圆的方程；【解】因为椭圆的焦点为，所以，则椭圆的方程为．因为椭圆上一点，的面积为．所以，所以，所以．代入椭圆的方程，可得．所以，所以，所以椭圆的方程为．(2)是否存在平行于的直线，使得直线与椭圆相交于，两点，且以线段为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．【解】假设存在符合题意的直线存在，设直线方程为，代入椭圆方程，消去，可得．设，，则，，因为以线段为直径的圆恰好经过原点，所以所以．所以．所以．所以此时所以直线方程为．10. 设，是抛物线上相异两点，并且，交轴于点：(1)若点，到轴距离之积为，求的值；【解】设，，由得．又，，代入上式得，即，所以．(2)若为常数，在轴上是否存在异于点的点，交抛物线另一个交点为，交轴于，使？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．【解】假设存在点满足条件，设，，，，直线方程为，与联立得，因此．记，同上面做法可得．故．记，由有，可得．所以．由（1）知得，所以，．从而存在点满足条件．动态圆锥曲线问题的性质证明1. 已知抛物线的准线为，过且斜率为的直线与相交于，与的一个交点为，若，则．【答案】【分析】直线，代入，得，又，所以，解得，即，（舍去）．2. 已知直线过点，且与抛物线交于、两点，则．【答案】【解】由题可设直线的方程为，与抛物线联立，得，得，．3. 已知抛物线，过定点作一弦，则．【答案】【分析】直线的斜率不存在时，的方程为，代入，解得、从而直线的斜率存在时，设的方程为，代入中，消去得设，，则则有从而综上，．4. 设，分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上的动点，过原点的直线与椭圆相交于两点，且直线的斜率都存在，并记为，试证明为定值．【解】因为直线与椭圆的两个交点，关于坐标原点对称，所以设，，，于是有，两式相减得，即．又，，所以．故的值为一定值．5. 如图，，，是长轴长为的椭圆上的三点，是长轴一个端点，过椭圆中心，且，．(1)求这个椭圆方程；【解】以中点为原点，直线为轴建立直角坐标系，则，又因为，，从而为等腰直角三角形，点坐标为．设椭圆方程为，代入得，所以椭圆方程为．(2)若，是椭圆上两点，的平分线垂直，求证：存在，使得．【解】因为，由，，设，所以直线方程为．与椭圆联立，消，有，从而，．同理直线方程为，且有．又因为，，所以．因此，故，使．6. 如图，过椭圆外的一点作直线交椭圆于，两点，设关于轴的对称点为，且交轴于点：(1)若，求证：；【解】设，，则，．由有，所以又因为，，因此由上式即可得到．(2)若，，求点坐标．【解】由（1）知，且．所以，即．因此．因为，，，消去，得．因此得，由可得．从而点坐标为．7. 如图所示，曲线是以原点为中心、，为焦点的椭圆的一部分，曲线是以为顶点、为焦点的抛物线的一部分，是曲线和的一个交点，且为钝角．若，．(1)求曲线和的所在的椭圆和抛物线的方程；【解】设椭圆的方程为，由椭圆的定义得．设，，，则相减得．由抛物线的定义得，从而可得，或，（舍），则所求椭圆方程为，抛物线方程为．(2)过作一条与轴不垂直的直线，分别与曲线和依次交于，，，（从上到下）四点，若为的中点、为的中点，问是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．【解】设，，，，直线，代入椭圆，得，所以，．同理可代入抛物线，得，所以，．所以为定值．8. 如图，设为抛物线上的动点．过点做圆的两条切线，交直线于，两点．(1)求的圆心到抛物线准线的距离．【解】由题意可知，抛物线的准线方程为：所以圆心到抛物线准线的距离为(2)是否存在点，使线段被抛物线在点处得切线平分，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【解】设点的坐标为，抛物线在点处的切线交直线于点．再设，，的横坐标分别为，，．过点的抛物线的切线方程为：当时，过点与圆的切线为：可得因为，所以设切线，的斜率为，，则将分别代入①，②，③，得从而又，即同理所以是方程的两个不相等的根，从而因为，所以即．从而进而得，．综上所述，存在点满足题意，点的坐标为课后练习1. 过椭圆的一个焦点，倾斜角为的弦的长为．2. 抛物线的弦长为，则中点的横坐标的最小值为．3. 斜率为的直线与椭圆交于，两点，若弦长｜｜＝，则｜｜．4. 椭圆的左焦点为，上顶点为，过点作直线的垂线分别交椭圆，轴于，两点．若，则实数的值为．5. 在平面直角坐标系中，，分别为椭圆的左右焦点，顶点的坐标为，连接并延长交椭圆于点，过点作轴的垂线交椭圆于另一点，连接，若，则椭圆的离心率．6. 倾斜角为的直线过抛物线的焦点，并且交抛物线于两点，则弦的长为．7. 若直线被曲线截得的线段长为，则实数的值是．8. 与椭圆截得的弦长为．9. 以为中点的抛物线的弦所在直线方程为．10. 椭圆长轴上一个顶点为，以为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，该三角形的面积是．11. 如图，过抛物线焦点的直线依次交抛物线与圆于点，，，，则的值是．12. 过点与双曲线只有一个公共点的直线共有条．13. 已知椭圆，过点作斜率为的直线交椭圆于，两点，若为线段的中点，则．14. 设是椭圆长轴上的一个动点，过作斜率为的直线交椭圆于，两点，则的值为．15. 直线与抛物线和圆从左到右的交点依次为，，，，则的值为．（提示：由抛物线的定义，知，即）16. 已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，直线，分别与抛物线交于点，，设直线，的斜率分别为，，则．17. 已知曲线且与直线相交于，两点，且（为原点），则的值为．18. 抛物线上两点关于直线对称，且，则等于．19. 已知斜率为的直线与抛物线交于位于轴上方的不同两点，，记直线，的斜率分别为，，则的取值范围是．20. 已知过点的动直线与抛物线交于两点，为原点，点满足，则线段长度的最小值为．21. 已知斜率为的直线与抛物线相交于，两点，如果线段的长等于，求直线的方程．22. 已知双曲线的离心率，过，的直线到原点的距离是．(1)求双曲线的方程；(2)已知直线交双曲线于不同的点，，且，都在以为圆心的圆上，求的值．23. 如图，已知抛物线：经过点，过作倾斜角互补的两条不同直线，．(1)求抛物线的方程及准线方程；(2)设直线，分别交抛物线于，两点（均不与重合），若以线段为直径的圆与抛物线的准线相切，求直线的方程．24. 求直线与曲线的交点．25. 双曲线的左、右焦点分别为，，为坐标原点，以为直径的圆为，直线与相切，并与双曲线交于，两点．(1)求出与的关系；(2)向量在方向上的投影为，当时，求直线的方程．26. 已知直线交抛物线于，两点，且的中点的横坐标为，求弦的长．27. 如图，设椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，，，的面积为，求该椭圆的标准方程．28. 已知、两点在以为右焦点的椭圆上，斜率为的直线与椭圆交于点（在直线的两侧）．(1)求椭圆的方程；(2)求四边形面积的最大值．29. 过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点，，且的中点的纵坐标为，求的值．30. 已知椭圆的离心率为，右焦点为，斜率为的直线与椭圆交于两点，以为底边作等腰三角形，顶点为．(1)求椭圆的方程；(2)求的面积．31. 过点的直线交双曲线于，两点，若为弦的中点，求直线的方程．32. 过点的直线与双曲线相交于，两点，如果，其中为坐标原点，求直线的方程．33. 已知抛物线的准线方程是，直线与抛物线相交于，两点．(1)求抛物线的方程；(2)设为坐标原点，证明：．34. 在直角坐标系中，直线交轴于点，交抛物线于点，关于点的对称点为，连接并延长交于点．(1)求；(2)除以外，直线与是否有其它公共点？说明理由．35. 过点的椭圆的离心率为，椭圆与轴交于两点，，过点的直线与椭圆交于另一点，并与轴交于点，直线与直线交于点．(1)当直线过椭圆右焦点时，求线段的长；(2)当点异于点时，求证：为定值．36. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，以椭圆上的点为圆心，为半径作圆，当圆与直线有公共点时，求面积的最大值．37. 直线与双曲线相交于，两点，当为何值时，以为直径的圆经过坐标原点？38. 已知中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆过点，且它的离心率．(1)求椭圆的标准方程；(2)与圆相切的直线：交椭圆于，两点，若椭圆上一点满足，求实数的取值范围．39. 如图，动点与两定点构成，且直线的斜率之积为．设动点的轨迹为．(1)求轨迹的方程；(2)设直线与轴相交于点，与轨迹相交于点，且，求的取值范围．40. 已知直线与椭圆交于，两点，以为直径的圆过椭圆的左焦点，求实数的值．41. 如图，曲线是以原点为中心，，为焦点的椭圆的一部分．曲线是以原点为顶点，为焦点的抛物线的一部分，，是曲线和的交点且为钝角，若，．(1)求曲线和的方程；(2)设点，是曲线所在抛物线上的两点（如图）．设直线的斜率为，直线的斜率为，且，证明：直线过定点，并求该定点的坐标．42. 已知椭圆过点，离心率为．过椭圆右顶点的两条斜率乘积为的直线分别交椭圆于，两点．(1)求椭圆的标准方程；(2)直线是否过定点？若过定点，求出点的坐标，若不过点，请说明理由．43. 已知椭圆：，，分别为左，右焦点，离心率为，点在椭圆上且满足：，，过右焦点与坐标轴不垂直的直线交椭圆于，两点．(1)求椭圆的方程；(2)在线段上是否存在点使得以线段，为邻边的四边形是菱形？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．44. 已知点为双曲线（为正常数）上任一点，为双曲线的右焦点，过作右准线的垂线，垂足为，连接并延长交轴于．。

教师：王莉萍 学生：孙昊 时间: 2013年12月14日 时段：16:00-18:00 一、授课目的与考点分析： 直线与圆锥曲线的位置关系 二、授课内容：5．直线与圆锥曲线的位置关系：（1）相交：0∆>⇔直线与椭圆相交；0∆>⇒直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有0∆>，当直线 与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故0∆>是直线 与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；0∆>⇒直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有0∆>，当直线 与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故0∆>也仅是 直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。

例如 ①直线y ―kx ―1=0与椭圆2215x y m+=恒有公共点，则m 的取值范围是_______； （答：[1，5)∪（5，+∞））②过双曲线12122=-y x 的右焦点直线交双曲线于A 、B 两点，若│AB ︱＝4，则这样 的直线有_____条。

（答：3） （2）相切：0∆=； （3）相离：0∆<。

特别提醒：①直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。

如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点；②过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。

例如 ①过点)4,2(作直线与抛物线x y 82=只有一个公共点，这样的直线有______；龙文学校个性化辅导教案提纲（答：2）②过点(0,2)与双曲线116922=-y x 有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为______ ； （答：425,33⎧⎫⎪⎪±±⎨⎬⎪⎪⎩⎭）③过抛物线x y 42=的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分 别是p 、q ，则=+qp 11_______ ； （答：1） ④已知抛物线方程为x y 82=，若抛物线上一点到y 轴的距离等于5，则它到抛物线的 焦点的距离等于____；若该抛物线上的点M 到焦点的距离是4，则点M 的坐标为 _____； （答：7,(2,4)±） ⑤抛物线x y 22=上的两点A 、B 到焦点的距离和是5，则线段AB 的中点到y 轴的距离 为______。

高中数学圆锥曲线教案
一、教学目标
1.了解圆锥曲线的定义和基本性质。

2.能够掌握圆锥曲线的标准方程及其图像特点。

3.能够解决与圆锥曲线相关的问题。

二、教学重点和难点
重点：掌握圆锥曲线的标准方程及其图像特点。

难点：理解圆锥曲线的定义及性质。

三、教学内容
1.圆锥曲线的定义和基本性质。

2.圆锥曲线的标准方程及其图像特点。

3.圆锥曲线的相关问题解决方法。

四、教学过程
1.导入新知识：通过引入一个问题或实际应用场景引起学生的兴趣。

2.讲解圆锥曲线的定义和基本性质，包括椭圆、双曲线和抛物线。

3.介绍圆锥曲线的标准方程及其图像特点。

4.通过实例分析，让学生熟悉解决与圆锥曲线相关的问题的方法。

5.组织学生进行练习和讨论，巩固所学知识。

6.总结本节课内容，提出问题进行思考，激发学生的学习兴趣。

五、课堂作业
1.完成练习题。

2.思考如何将圆锥曲线应用到实际生活中。

六、教学反思
本节课主要对圆锥曲线的定义和基本性质进行了讲解，并通过实例让学生掌握了圆锥曲线的标准方程及其图像特点。

同时也引导学生思考如何将所学知识应用到实际生活中。

在教学过程中需要注意引导学生正确理解圆锥曲线的概念，帮助他们建立深刻的认识。

①掌握点与椭圆、双曲线、抛物线位置关系的判定方法：代数方法②掌握直线与椭圆、双曲线、抛物线位置关系(交点个数) 的判定方法：代数方法和几何法(数型结合方法)。

③掌握直线与椭圆、双曲线、抛物线位置关系的常见题型的解题思路与方法，会根据直线与圆锥曲线的位置确定参数的值(或范围)。

①培养学生运算能力、探索能力，分析问题解决问题的能力；②培养学生数形结合思想、转化思想函数方程思想及分类讨论思想。

①培养学生运动变化观点；②培养学生认识事物的特殊性与一般性规律。

直线与圆锥曲线位置关系的判定是高中数学的重点内容，是高考数学考查的重要内容，在高考试卷中占有相当的分量。

该内容经常与方程组的解的讨论、方程的区间根、直线的斜率，以及数形结合思想，分类讨论思想、转化化归思想、函数方程思想方法等知识相结合。

该内容知识的综合性、应用性较强，是学生学习的难点之一。

点、直线与圆锥曲线位置关系的判定方法，以及判定方法的灵活应用。

直线与圆锥曲线在某个区间内有交点的问题。

求参数的取值范围。

根据本内容的特点结合学生的实际，采用讲解和学生讨论探索，最后教师总结归纳的教学方法。

指导学生掌握通性，同时注重对一题多解和一题多变的训练，培养思维能力。

<>1、给出下列曲线：① 4x+2y-1=0 , ② ,③⑤=2x. 其中与直线 y=-2x-3 有交点的所有曲线是(A .①③ B.②④⑤ C.①②③ D.②③④2①若题目中没给出直线方程，假设直线方程时应对直线方程的斜率存在和不存在两种情况进行分类讨论。

②对于研究给定区间的位置关系问题，应转化为方程ax2+bx+c=0 的区间根问题，结合二次函数图象加以解决。

联立方程,消去x或y，得到关于x (或y)的方程ax2+bx+c=0 (或ay2+by+c=0)。

(1)当a=0 时 (2)当 a ≠0 时3<1>判断直线与圆锥曲线交点个数；<2>证明直线与圆锥曲线的位置关系；<3>已知直线与圆锥曲线的位置关系，求直线方程(或确定参数的值)；<4>已知直线与圆锥曲线的位置关系，求参数的取值范围。

直线与圆锥曲线的位置关系教案一、教学目标1. 理解直线与圆锥曲线的位置关系，掌握相关概念和性质。

2. 能够运用直线与圆锥曲线的位置关系解决实际问题。

3. 培养学生的逻辑思维能力和数学解决问题的能力。

二、教学内容1. 直线与圆锥曲线的基本概念和性质。

2. 直线与圆锥曲线的相切、相离和相交情况。

3. 直线与圆锥曲线的交点个数与判别式。

4. 直线与圆锥曲线的应用问题。

三、教学方法1. 采用讲解、案例分析、练习相结合的教学方法。

2. 通过图形演示和实际例子，引导学生直观理解直线与圆锥曲线的位置关系。

3. 鼓励学生进行自主学习和合作学习，提高解决问题的能力。

四、教学准备1. 教学课件和教学素材。

2. 直尺、圆规等绘图工具。

3. 练习题和答案。

五、教学过程1. 引入：通过简单的例子，引导学生思考直线与圆锥曲线的位置关系。

2. 讲解：讲解直线与圆锥曲线的基本概念和性质，解释相切、相离和相交情况的定义。

3. 案例分析：分析具体的直线与圆锥曲线的位置关系案例，引导学生通过判别式判断交点个数。

4. 练习：让学生进行相关的练习题，巩固所学知识。

6. 作业布置：布置相关的练习题，巩固所学知识。

六、教学拓展1. 探讨直线与圆锥曲线的位置关系在实际问题中的应用，如光学、工程等领域。

2. 介绍直线与圆锥曲线位置关系在现代数学中的研究进展和应用。

七、课堂小结1. 回顾本节课所学内容，直线与圆锥曲线的位置关系及其应用。

2. 强调重点概念和性质，提醒学生注意在实际问题中的应用。

八、作业布置1. 完成课后练习题，巩固所学知识。

2. 选择一道与直线与圆锥曲线位置关系相关的综合应用题，进行练习。

九、课后反思1. 学生对本节课内容的掌握程度，哪些方面需要加强。

2. 教学方法的适用性，是否达到预期教学效果。

十、教学评价1. 学生作业、练习题和课堂表现的评价。

2. 对学生掌握直线与圆锥曲线位置关系知识的程度的评价。

3. 教学反馈，了解学生对教学内容的满意度和建议。

课题： 直线与圆锥曲线的交点【三维目标】1、知识与技能：能从“数”和“形”角度判断直线和圆锥曲线的位置关系。

2、过程与方法：培养学生提出问题和解决问题的能力；培养学生的自主探索精神和创新能力。

3、情感态度与价值观：通过课堂中和谐、民主的师生关系，让学生在平等、尊重、信任、理解和宽容的氛围中受到激励和鼓舞，培养学生严谨的科学态度。

【教学重点、难点与关键】1、重点：利用“代数”或“几何”的方法解决直线和圆锥曲线的位置关系。

2、难点：在开放式教学中让学生自己发现问题，提出问题。

3、关键点：帮助学生寻找“数”、“形”之间的联系。

【教学方法与手段】教学方法：开放式、探究式教学。

教学手段：利用教学软件几何画板辅助教学。

【教学过程及说明】一、引例：已知椭圆C ：24x +22y =1，直线l ：y=ax+b ①请你具体给出a ，b 的一组值，使直线l 和椭圆C 相交。

②直线l 和椭圆C 相交时，a ，b 应满足什么关系？③若a+b=1，试判定直线和椭圆C 的位置关系。

分析：y=ax+b②联立方程：24x +22y =1，消去y ，得：（1+2a 2）x 2+4abx+2b 2-4=0 (*) 则△=（4ab ）2-4（1+2a 2）（2b 2-4）＞0 整理得： b 2-4a 2＜2③思路一：（1-a ）2-4a 2=-3a 2-2a+1=3（a+31）2+34＜2恒成立。

所以直线l 和椭圆相交。

思路二：直线y=ax+（1-a ）过点（1，1）而点（1，1）在椭圆内部，所以直线和椭圆相交。

引例设计说明：问题①是个开放题，结果不唯一。

学生可以分别从形与数这两个角度考虑这个问题，给出一组符合题意的a ，b 的值。

问题②是在问题①基础上的提升，探求直线和椭圆相交时的一般情况。

切入本节课的主题。

也为后面比较直线和双曲线位置关系的代数处理的异同点，做个铺垫。

问题③的提出，是对问题①②的呼应。

它可以从“直线l 过定点（1，1）”的几何角度去解。

直线与圆锥曲线一、 教学目标1、能够正确熟练地解决直线和圆锥曲线位置关系的一些问题。

2、能够正确运用圆锥曲线的定义和标准方程解决焦点弦问题、焦点三角形问题、弦中点问题。

二、教学难点直线与圆锥曲线的位置关系，几何图形和代数方程的相互转化。

三、知识梳理 1、直线与圆锥曲线的位置关系：（1） 几何角度：无公共点，一个公共点，两个公共点； （2） 代数角度：将直线0=++C By Ax 与圆锥曲线联立得02=++c bx ax ；① 若a=0，当圆锥曲线为双曲线时，直线l 与双曲线的渐近线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线l 与抛物线的对称轴平行（或重合） ② 若a ≠0,设ac b 42-=∆当∆ > 0时，直线与圆锥曲线交于不同的两点； 当∆ < 0时，直线与圆锥曲线相切与一点； 当∆ = 0 时，直线与圆锥曲线无公共点。

2、弦长问题：斜率为k 的直线与圆锥曲线交于),(),,(2211y x Q y x P ，则||1||122x x k PQ -+=或||11||122y y k PQ -+=。

四、课前热身1、直线m 与椭圆1222=+y x 交于P 、Q 两点，线段PQ 的中点为M ，设直线m 的斜率为k 1,直线OM 的斜率为k 2,则k 1*k 2=2、已知直线y=2x 与双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 有交点，则双曲线离心率的范围为3、过点P （0，2）的直线和抛物线x y 82=交于A 、B 两点，若线段AB 的中点M 在直线X=2上，求|AB|=4、若直线3)2(+-=x k y 和曲线42-=x y 有两个不同的公共点，则k的范围为____________5、已知直线l: 01243=+-y x 经过椭圆C 的一个焦点和短轴的一个顶点，求椭圆的标准方程及离心率。

五、典型题析热点一 直线与圆锥曲线的位置关系问题例1、 若曲线ax y =2与直线1)1(-+=x a y 恰有一个公共点，求实数a 的值解析: 若0=a ，则曲线变为y=0，与直线y=x-1必有一个交点；若0≠a ，则由⎩⎨⎧=-+=axy x a y 21)1(得，01)23()1(22=++-+x a x a① 当0)1(2=+a 即1-=a 时，01=+x 1-=∴x 有一个公共点； ②当0)1(2≠+a 时，0)1(4)23(22=+-+=∆a a54-=∴a 有一个公共点。

直线与圆锥曲线的位置关系教案教学目标：1. 理解直线与圆锥曲线的位置关系；2. 学会运用直线与圆锥曲线的性质解决问题；3. 提高推理能力和解决问题的能力。

教学重点：1. 直线与圆锥曲线的位置关系的判定；2. 直线与圆锥曲线的性质及应用。

教学难点：1. 直线与圆锥曲线的位置关系的判定；2. 直线与圆锥曲线的性质的灵活运用。

教学准备：1. 教材或教学资源；2. 投影仪或白板；3. 粉笔或教学板书。

教学过程：第一章：直线与圆锥曲线的位置关系简介1.1 引入通过展示一些实际问题，引导学生思考直线与圆锥曲线的位置关系，例如：在平面直角坐标系中，给定一个圆锥曲线（如椭圆、双曲线、抛物线），如何判断一条给定的直线与该圆锥曲线的位置关系（相交、切线、平行、远离）？1.2 讲解讲解直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法，包括：（1）相交：直线与圆锥曲线有两个不同的交点；（2）切线：直线与圆锥曲线有一个交点，且该交点为切点；（3）平行：直线与圆锥曲线没有交点；（4）远离：直线与圆锥曲线相离，没有交点。

1.3 练习给出一些练习题，让学生运用所学知识判断直线与圆锥曲线的位置关系，并解释原因。

1.4 小结总结本章内容，强调直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法及应用。

第二章：直线与圆锥曲线的性质2.1 引入通过展示一些实际问题，引导学生思考直线与圆锥曲线的性质，例如：在平面直角坐标系中，给定一条直线和一个圆锥曲线（如椭圆、双曲线、抛物线），如何描述它们的交点、切点等特征？2.2 讲解讲解直线与圆锥曲线的性质，包括：（1）交点的坐标：根据直线和圆锥曲线的方程，求出它们的交点坐标；（2）切点的坐标：根据直线和圆锥曲线的方程，求出它们的切点坐标；（3）斜率：直线与圆锥曲线相交时，交点的切线斜率与直线的斜率的关系；（4）距离：直线与圆锥曲线的距离公式。

2.3 练习给出一些练习题，让学生运用所学知识描述直线与圆锥曲线的交点、切点等特征，并计算相关距离和斜率。

直线与圆锥曲线的位置关系教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解直线与圆锥曲线的位置关系；（2）学会运用直线与圆锥曲线的性质解决相关问题。

2. 过程与方法：（1）通过观察、分析、推理等方法，探索直线与圆锥曲线的位置关系；（2）培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对数学的兴趣和好奇心；（2）培养学生的团队合作精神，提高学生的表达沟通能力。

二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）直线与圆锥曲线的位置关系；（2）运用直线与圆锥曲线的性质解决相关问题。

2. 教学难点：（1）直线与圆锥曲线的位置关系的判断；（2）灵活运用直线与圆锥曲线的性质解决实际问题。

三、教学过程1. 导入：（1）复习相关知识点，如直线、圆锥曲线的定义及性质；（2）提出问题，引导学生思考直线与圆锥曲线的位置关系。

2. 探究：（1）分组讨论，让学生观察直线与圆锥曲线的位置关系，总结规律；（2）每组派代表分享探究成果，师生共同总结直线与圆锥曲线的位置关系。

3. 讲解：（1）讲解直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法；（2）举例说明如何运用直线与圆锥曲线的性质解决实际问题。

4. 练习：（1）布置课堂练习题，让学生巩固所学知识；（2）挑选部分练习题进行讲解，解答学生疑问。

5. 总结：（1）回顾本节课所学内容，让学生梳理知识体系；（2）强调直线与圆锥曲线位置关系在实际问题中的应用。

四、课后作业1. 完成课堂练习题；2. 选取一个实际问题，运用直线与圆锥曲线的性质进行解答；3. 预习下一节课内容。

五、教学反思1. 反思教学效果：（1）学生对直线与圆锥曲线的位置关系的掌握程度；（2）学生运用直线与圆锥曲线的性质解决实际问题的能力。

2. 改进措施：（1）针对学生掌握不足的地方，进行有针对性的讲解和练习；（2）提供更多实际问题，让学生锻炼运用所学知识解决问题的能力。

六、教学评价1. 学生自评：（1）评价自己在课堂学习中的表现，如参与度、理解程度等；（2）反思自己在课后作业中的表现，如完成情况、解决问题能力等。

直线与圆锥曲线的位置关系【教学要求】1.深刻领会曲线与方程的概念．2.掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判定，能够应用直线与圆锥曲线的位置关系解决一些实际问题． 【典型例题】例1．已知直线l 过抛物线)0(22>=p px y )的焦点F ，并且与抛物线交于),(),,(2211y x B y x A 两点，证明:(1)焦点弦公式AB =p x x ++21；(2)若l 的倾斜角为α，则AB =α2sin 2p；(3)FA 1+FB 1为常量；(4)若CD 为抛物线的任何一条弦，则直线l 不可能是线段CD 的垂直平分线．分析：已知直线l 过抛物线的焦点，分斜率存在、不存在将直线方程设出，将直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，设而不求即可简捷求解.证明：(1)作1AH ⊥准线1l 于1H ，作2BH ⊥1l 于2H ， 由定义AF =1AH ，BF =2BH ,准线1l :2px -=, ∴弦长AB =AF +BF =1AH +2BH =++21p x 22px +=p x x ++21； (2)当α=90°时，弦长AB 为通径长．∴AB =2p =90sin 22p． 当α≠90°时，F (2p,0)，设l 的斜率为k ．则αtan =k ,作AC ∥y 轴，BC ∥x 轴，AC 、BC 交于C ，则),(11y x C ，∠ABC =α，⎪⎩⎪⎨⎧=-=px y p x k y 2)2(2 将①代入②，得04)2(22222=++-p k px k x k ∴p kk x x 22212+=+ ∴AB = p x x ++21=⋅p 2221k k +=⋅p 2αα22tan 1tan +=ap2sin 2 ∴AB =α2sin AC(3)利用抛物线的焦半径公式，得⋅FA )2()2(21px p x FB +⋅+==4)(222121p x x p x x +++＝4)21(24222p k p p p ++⋅+＝ αα222222sin )cot 1()11(p p k p =+=+ ① ②∴FA 1+FB 1=FB FA FB FA ⋅+=FB FA AB ⋅=αα222sin sin 2p p =p 2为定值； (4)显然当ox l ⊥时，弦CD 不存在．当l 不与x 轴垂直时，设C (p c 22,c )，D (p d 22,d )，且c ≠d ，则CD k =dc p+2．若l ⊥CD ，则l k =-pdc 2+ ∵l k ≠0，∴d c +≠0 设线段CD 的中点为),(00y x M ,则0x =21(p c 22+p d 22)=p d c 422+,0y =2d c +，将0x 代入方程)2(p x k y l -=求得：'0y =-p dc 2+( 0x -2p )=2d c +(21-p x 0) ∵21-p x 0=21-2224pd c +≠1∴'0y ≠21(d c +)= 0y ∴线段CD 的中点M 不在直线l 上． 小结：用抛物线的定义，把抛物线上的点到焦点的距离转化为抛物线上的点到准线的距离来计算，简化了运算，(2)中没有运用弦长公式，而是利用(1)的结论或结合图形，灵活运用平面几何知识解直角三角形，证明较简捷，本题要注意运用直线方程的点斜式时，斜率是否存在，解答时要分斜率不存在(α=90°)和斜率存在(α≠90°)两种情况证明，同样(4)中也要对直线l 的位置进行讨论，同时要注意解题的严密性．例2．设双曲线C ：)0(1222>=-a y ax 与直线l ：1=+y x 相交于两个不同的点B A 、．(1)求双曲线C 的离心率e 的取值范围； (2)设直线l 与y 轴的交点为P ，且=125，求a 的值． 分析：由曲线C 与直线l 有两个不同交点，得其两方程联立后二次方程的△>0，这样便得出a 、c 的不等式，再求解ac=e 即完成第一问，借助向量相等条件，韦达定理，列出只含a 的方程，再求解． 解：(1)由C 与l 相交于两个不同的点，故知方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-11222y x y ax 有两个不同的实数解，消去y 并整理得022)1(2222=-+-a x a x a ， 所以⎪⎩⎪⎨⎧>-+≠-0)1(84012242a a a a 解得0<a <2且a ≠1,双曲线的率心率e =a a 21+=112+a∵0<a <2且a ≠1,∴>e 26且e ≠2,即率心率e 的取值范围为(26，2)∪(2,+∞). (2)设),(),,(2211y x B y x A ,)1,0(P ．∵ =125 ∴=-)1,(11y x )1,(12511-y x ． 由此得=1x2125x ，由于21x x 、都是方程①的根,且1-2a ≠0 所以=21217x 2212a a --,=22125x 2212a a --．消去2x ,得2212a a --=60289 由>a 0,所以a =1317． 小结：本题考查直线、双曲线的概念性质，韦达定理、不等式、平面向量的运算，解方程等知识，考查数形结合，方程、不等式的思想方法，以及推理运算能力和综合运用数学知识解决问题的能力，此题涉及知识点多，运算量大，需要学生具有一定的数学能力才能解出此题．例3.已知某椭圆的焦点是)0,4(1-F 、)0,4(2F ，过点2F 并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点B ，且B F 1+B F 2=10，椭圆上不同的两点),(),,(2211y x C y x A ，满足条件A F 2、C F 2成等差数列． (1)求该椭圆的方程； (2)求弦AC 中点的横坐标；(3)设弦AC 的垂直平分线的方程为m kx y +=，求m 的取值范围．分析：本题考查直线、椭圆、等差数列等基本知识，考查综合运用知识的能力、逻辑推理能力、运算能力． 解：(1)由椭圆定义及条件知：B F a 12=+B F 2=10．∴a =5,又c =4，∴22c a b -==3．∴椭圆方程为252x +92y =1．(2)∵),4(B y B 在椭圆上，∴B F 2=B y =59． 法一：∵右准线为425=x ,离心率54=e ，∴A F 2=54()4251x -, C F 2=54()4252x - 由A F 2、B F 2、C F 2成等差数列，得54()4251x -+ 54()4252x -=2×59∴821=+x x ．设弦AC 中点),(00y x P ，则2210x x x +==28=4． 法二：由A F 2、B F 2、C F 2成等差数列，得2121)4(y x +-+2222)4(y x +-=2×59① ∵),(11y x A 在椭圆252x +92y =1上，∴y 21=)25(2592121x y -=(25-x 21)．∴A F 2=2121)4(y x +-=)25(25916821121x x x -++-=21)545(x -=)425(511x - ② 设),(22y x C ，同理可得 C F 2=2222)4(y x +-=)425(512x - ③将②、③代入①，得)425(511x -+)425(512x -=518∴821=+x x ．设弦AC 中点),(00y x P ，则2210x x x +==28=4． (3)法一：由),(),,(2211y x C y x A 在椭圆25925922⨯=+y x 上，∴2592592121⨯=+y x ④ 2592592121⨯=+y x ⑤由④-⑤，得9(2221x x -)+25(2221y y -)=0∴9×221x x ++25×221y y +×2121x x y y --=0(1x ≠2x )将221x x +=0x =4，221y y +=0y ，2121x x y y --=-k1(k ≠0)代入上式，得02549y +⨯(k 1-)=0(k ≠0) , 由上式得03625y k = (当k =0时也成立)， 由点),4(0y P 在弦AC 的垂直平分线上，得m kx y +=0. ∴00009169254y y y k y m -=-=-=. 由),4(0y P 在线段B B ' (B '与B 关于x 轴对称)的内部，得-59<<0y 59, 所以<<-m 516516. 法二：∵弦AC 的中点为),4(0y P ,∴直线AC ：)4(10--=-x ky y ⑥ 将⑥代入252x +92y =1，得0925)4(25)4(50)259(220022=⨯-+++-+k ky x ky x k∴259)4(502021++=+k ky x x =8 解得03625y k = (当k =0时也成立) 以下步骤同法一． 小结： (1)法一根据圆锥曲线的统一定义，将圆锥曲线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，从而简化运算，法二用两点间距离公式，运算量较大．(2)法一用代点相减法，既有弦的中点，又有斜率，法二用直线与圆锥曲线关系的一般方法进行处理．例4．已知椭圆1C 的方程为1422=+y x ，双曲线2C 的左、右焦点分别为1C 的左、右顶点，而2C 的左、右顶点分别是1C 的左、右焦点．(1)求双曲线2C 的方程；(2)若直线l ：2+=kx y 与椭圆1C 及双曲线2C 都恒有两个不同的交点，且l 与2C 的两个交点A和B 满足·<6(其中O 为原点)，求k 的取值范围． 解：(1)设双曲线2C 的方程为22a x 22by -=1，则3142=-=a ，再由222c b a =+得2b =1,故2C 的方程为1322=-y x ． (2)将2+=kx y 代入1422=+y x ,得0428)41(22=+++kx x k . 由直线l 与椭圆1C 恒有两个不同的交点得△1=0)14(16)41(16)28(2222>-=+-k k k ,即412>k ． ① 将2+=kx y 代入1322=-y x ，得0926)31(22=---kx x k ． 由直线l 与双曲线2C 恒有两个不同的交点B A 、，得⎪⎩⎪⎨⎧>-=-+-=∆≠-0)1(36)31(36)26(03122222k k k k 即312≠k 且12<k ． ② 设),(),,(B B A A y x B y x A ,则=+B A x x23126k k -，B A x x =2319k--． 由·<6得B A x x + B A y y <6，而B A x x + B A y y = B A x x +(2+A kx )(2+B kx )＝2)(2)1(2++++B A B A x x k x x k =22319)1(k k --⋅++⋅k 2 23126k k -+2=137322-+k k ，于是137322-+k k <6，即13131522--k k >0解此不等式得15132>k 或312<k , ③ 由①、②、③得<<241k 31或<<21513k 1, 故k 的取值范围为(1513,1--)∪(33-,21-)∪(21,33)∪(1513,1)． 小结：此题是一个椭圆与双曲线的混合问题，应熟练掌握椭圆、双曲线的几何性质，注意分清两者中a 、b 、c 之间的关系，(2)中利用直线与椭圆，双曲线相交构造关于k 的不等式组，准确合理的计算是成功的关键．【巩固练习】一、选择题：1．直线123+=x y 与曲线92y 4x x -=1的公共点个数为 ( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个2．设直线l ：022=++y x 关于原点对称的直线为l ',若l '与椭圆1422=+y x 的交点为B A 、，P 为椭圆上动点，则使△PAB 面积为21的点P 的个数为 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题：3．过原点与双曲线42x 32y -=1-交于两点的直线的斜率的取值范围为 ． 4．过点(0,2)的直线l 与抛物线)2(42--=x y 仅有一个公共点，则满足此条件的直线l 共有 条． 三、解答题：5.已知椭圆E ：22a x +22b y =1(o b a >>)，以)0,(1c F -为圆心，以c a -为半径作圆1F ，过点),0(2b B 作圆1F 的两条切线，设切点为M 、N ．(1)若过两个切点M 、N 的直线恰好经过点),0(1b B -时，求此椭圆的离心率；(2)若直线MN 的斜率为1-，且原点到直线MN 的距离为)12(4-，求此时的椭圆方程； (3)是否存在椭圆，使得直线MN 的斜率k 在间(22-， 23-)内取值？若存在，求出椭圆E 的离心率e 的取值范围；若不存在，请说明理由．6.设抛物线221x y =的焦点为F ，准线为l ，过点F 作一直线与抛物线交于A 、B 两点，再分别过点A 、B 作抛物线的切线，这两条切线的交点记为P ．(1)证明直线PA 与PB 相互垂直，且点P 在准线l 上；(2)是否存在常数λ，使等式·= λ2FP 恒成立？若存在，求出λ的值，若不存在，说明理由． 答案：1．B 2．B 3．(∞-,-23)∪(23,+∞) 4．1 5．(1)13-=e ；(2)181622=+y x ；(3))33,21(- 6．(2)λ＝1-。

直线与圆锥曲线的位置关系教案第一章：直线与圆锥曲线的基本概念1.1 直线的基本概念直线的定义直线的性质直线的方程1.2 圆锥曲线的基本概念圆锥曲线的定义圆锥曲线的性质圆锥曲线的方程第二章：直线与圆锥曲线的交点2.1 直线与圆的交点直线与圆的位置关系直线与圆的交点个数直线与圆的交点坐标求解方法2.2 直线与椭圆的交点直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的交点个数直线与椭圆的交点坐标求解方法2.3 直线与双曲线的交点直线与双曲线的position 关系直线与双曲线的交点个数直线与双曲线的交点坐标求解方法第三章：直线与圆锥曲线的切点3.1 直线与圆的切点直线与圆的位置关系直线与圆的切点性质直线与圆的切点坐标求解方法3.2 直线与椭圆的切点直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的切点性质直线与椭圆的切点坐标求解方法3.3 直线与双曲线的切点直线与双曲线的position 关系直线与双曲线的切点性质直线与双曲线的切点坐标求解方法第四章：直线与圆锥曲线的距离4.1 直线与圆的距离直线与圆的位置关系直线与圆的距离公式直线与圆的距离求解方法4.2 直线与椭圆的距离直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的距离公式直线与椭圆的距离求解方法4.3 直线与双曲线的距离直线与双曲线的position 关系直线与双曲线的距离公式直线与双曲线的距离求解方法第五章：直线与圆锥曲线的应用5.1 直线与圆的相切问题直线与圆相切的条件直线与圆相切的应用实例直线与圆相切的解题方法5.2 直线与椭圆的相切问题直线与椭圆相切的条件直线与椭圆相切的应用实例直线与椭圆相切的解题方法5.3 直线与双曲线的相切问题直线与双曲线相切的条件直线与双曲线相切的应用实例直线与双曲线相切的解题方法第六章：直线与圆锥曲线的对称性6.1 直线与圆的对称性直线与圆的对称性质直线与圆的对称变换直线与圆的对称问题实例与解法6.2 直线与椭圆的对称性直线与椭圆的对称性质直线与椭圆的对称变换直线与椭圆的对称问题实例与解法6.3 直线与双曲线的对称性直线与双曲线的对称性质直线与双曲线的对称变换直线与双曲线的对称问题实例与解法第七章：直线与圆锥曲线的相交弦7.1 直线与圆的相交弦直线与圆的相交弦性质直线与圆的相交弦公式直线与圆的相交弦问题实例与解法7.2 直线与椭圆的相交弦直线与椭圆的相交弦性质直线与椭圆的相交弦公式直线与椭圆的相交弦问题实例与解法7.3 直线与双曲线的相交弦直线与双曲线的相交弦性质直线与双曲线的相交弦公式直线与双曲线的相交弦问题实例与解法第八章：直线与圆锥曲线的焦点8.1 直线与圆的焦点直线与圆的焦点性质直线与圆的焦点问题实例与解法直线与圆的焦点应用8.2 直线与椭圆的焦点直线与椭圆的焦点性质直线与椭圆的焦点问题实例与解法直线与椭圆的焦点应用8.3 直线与双曲线的焦点直线与双曲线的焦点性质直线与双曲线的焦点问题实例与解法直线与双曲线的焦点应用第九章：直线与圆锥曲线的综合问题9.1 直线与圆的综合问题直线与圆的位置关系的综合应用直线与圆的交点、切点、距离的综合问题实例与解法直线与圆的对称性、相交弦、焦点的综合应用9.2 直线与椭圆的综合问题直线与椭圆的位置关系的综合应用直线与椭圆的交点、切点、距离的综合问题实例与解法直线与椭圆的对称性、相交弦、焦点的综合应用9.3 直线与双曲线的综合问题直线与双曲线的position 关系的综合应用直线与双曲线的交点、切点、距离的综合问题实例与解法直线与双曲线的对称性、相交弦、焦点的综合应用第十章：直线与圆锥曲线的拓展与提升10.1 直线与圆锥曲线的拓展问题直线与圆锥曲线的特殊位置关系问题直线与圆锥曲线的创新性问题实例与解法直线与圆锥曲线的综合应用提升10.2 直线与圆锥曲线的解题策略与方法直线与圆锥曲线的分类讨论方法直线与圆锥曲线的数形结合方法直线与圆锥曲线的构造法与方程法10.3 直线与圆锥曲线的教学反思与评价直线与圆锥曲线教学的重点与难点直线与圆锥曲线教学的方法与技巧直线与圆锥曲线教学的评价与反思重点和难点解析1. 第一章：直线与圆锥曲线的基本概念重点关注直线和圆锥曲线的定义、性质和方程。

直线与圆锥曲线教学目标：1．熟练掌握直线与圆锥曲线三种位置关系的数与形的一一对应；2．熟练掌握解决直线与圆锥曲线相关问题的常用方法；3．培养学生熟练运用数形结合、方程和转化的数学思想解决数学问题的能力。

教学重点、难点：重点：1．直线与圆锥曲线位置关系的判定；2．点差法的应用。

难点：点差法的综合应用。

教学过程：复习归纳：直线:0l Ax By C ++=与圆锥曲线():,0C f x y =的位置关系有哪些？相离，相切、相交；一般如何判定？考察直线与曲线的公共点个数；如何利用代数方法来判定？联立直线与曲线方程，考察消去y （或x ）后的方程的解的情况。

归纳：()200000,0Ax By C A x B x C f x y ++=⎧⎪⇒++=⎨=⎪⎩ 把研究直线与圆锥曲线的问题转化为研究方程组解的问题当00A ≠时：相离0⇔∆<，相切0⇔∆=；相交0⇔∆>；(1)当 A0=0 时，若一次方程有解，则只有一解，即直线与圆锥曲线只有一个交点此时，若圆锥曲线为双曲线，则直线与渐近线平行若圆锥曲线为抛物线， 则直线与对称轴平行或重合问题探究：已知双曲线22:22C x y -=与点()1,2P ，求过P 点的直线l 的斜率取值范围，使l 与C 分别有一个公共点，两个公共点，没有公共点。

解析：考查直线与双曲线公共点个数问题，实际上是研究联立方程消去y （或x ）后得到的新方程是否有实数解或实数解的个数问题，在解题过程中要注意二次项系数的讨论。

解：设():21l y k x -=-()()()2222222222246012x y k x k k x k k y k x ⎧-=⎪⇒-+--+-=⎨=-+⎪⎩ （＊） ()()()()22224242461632k k k k k k ⇒∆=-+--+=-(1)当220k -=即k =l 与C 有一个交点；当2200k ⎧-≠⎨∆=⎩即32k =时，方程（＊）有一解，则l 与C 有一个交点，∴当k =32时，l 与C 有一个交点。

直线与圆锥曲线广汉中学 黄华祯 考情分析：直线与圆锥曲线的位置关系是高考的必考内容，涉及直线与圆锥曲线的相交、相切、弦长、面积以及中点弦等问题，难度中等.本节课就直线与圆锥曲线位置关系判定、通过直线与圆锥曲线位置关系求参数范围以及直线与圆锥曲线相交时，有关相交弦长求解问题进行教学。

一、教学目标1、知识与技能：掌握直线与圆锥曲线的位置关系判定。

2、过程与方法：学生通过观察分析，会用代入法求解直线与圆锥曲线的有关问题。

3、情感、态度与价值观：加强数形结合思想的训练与应用，提高学生的空间想象力和直观想象素养。

二、教学重难点：重点：直线与圆锥曲线位置关系、求解弦长。

难点：直线与圆锥曲线问题与其他知识融合考察，合理使用题中条件。

三、学法与教学用具学法：学生通过自主探究分析，体验计算以及数形结合解题的过程。

教学用具：多媒体。

四、教学过程：知识回顾1．直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系，从几何角度来看有三种：相离时，直线与圆锥曲线______公共点；相切时，直线与圆锥曲线有______公共点；相交时，直线与椭圆有______公共点，直线与双曲线、抛物线有一个或两个公共点．一般通过它们的方程来研究：设直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0与二次曲线C ：f (x ，y )＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，f （x ，y ）＝0消元，如果消去y 后得：ax 2＋bx ＋c ＝0， (1)当a ≠0时，①Δ＞0，则方程有两个不同的解，直线与圆锥曲线有两个公共点，直线与圆锥曲线________； ②Δ＝0，则方程有两个相同的解，直线与圆锥曲线有一个公共点，直线与圆锥曲线________； ③Δ＜0，则方程无解，直线与圆锥曲线没有公共点，直线与圆锥曲线________．(2)注意消元后非二次的情况，即当a ＝0时，对应圆锥曲线只可能是双曲线或抛物线． 当圆锥曲线是双曲线时，直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是________；当圆锥曲线是抛物线时，直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是________．注：直线方程涉及斜率k 要考虑其不存在的情形．例题讲练、知识回顾2．直线与圆锥曲线相交的弦长问题(1)直线l ：y ＝kx ＋m 与二次曲线C ：f (x ，y )＝0交于A ，B 两点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，f （x ，y ）＝0得ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，则x 1＋x 2＝________，x 1x 2＝________， 则弦长||AB ＝ ．例题讲解3.巩固练习1．直线y＝x＋1与椭圆x2＋y22＝1的位置关系是()A．相离B．相切C ．相交D ．无法确定2．设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过点F 的直线l 交C 于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若|AB |＝8，则y 21＋y 22等于( )3．已知A ，B 为双曲线x 2－y 29＝1上两点，且线段AB 的中点坐标为(－1，－4)，则直线AB 的斜率为( ) A.32 B.94 C ．－94 D ．－324．斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( ) A.455 B.4105 C.8105 D.8557．若斜率为k (k >0)的直线l 过双曲线C ：y 2－x 24＝1的上焦点F ，与双曲线C 的上支交于A ，B 两点，且F A →＋3FB →＝0，则k 的值为( )A.22B.33C.55D.19198．(2023·全国乙卷)设A ，B 为双曲线x 2－y 29＝1上两点，下列四个点中，可为线段AB 中点的是( )A ．(1,1)B ．(－1,2)C ．(1,3)D ．(－1，－4)二、填空题9．已知直线y ＝kx －1与双曲线x 2－y 2＝4没有公共点，则k 的取值范围为________________．12．(2023·荆门模拟)过点P ′(2,0)作斜率为1的直线交抛物线y 2＝2px (p >0)于A ，B 两点，直线x ＝－2交x 轴于点Q ，连接QA ，QB ，则直线QA ，QB 的斜率之和为________．三、解答题13．若椭圆E ：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)过抛物线y 2＝8x 的焦点，且与双曲线x 2－y 2＝－1有相同的焦点．(1)求椭圆E 的方程；(2)直线l 过点(1,0)，且被椭圆E 截得的线段长为32，求直线l 的方程．。