上海市2015高考数学模拟卷(格致中学)文科

上海市杨浦区2015届高三一模数学文含答案XXX年度第一学期高三年级学业质量调研数学学科试卷（文科）考生注意：1.答卷前，务必在答题纸上写上姓名、考号，并将核对后的条形码贴在指定位置上。

2.本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟。

一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1.已知sinα=1/2，α∈(0,π)，则α=π/6.2.设A={x|1≤x≤3}，B={xm+1≤x≤2m+4,m∈R}，A⊆B，则m的取值范围是[-1,3)。

3.已知等差数列{an}中，a3=7，a7=3，则通项公式为an=-2n+11.4.已知直线l经过点A(1,-2)、B(-3,2)，则直线l的方程是y=-x-1.5.函数f(x)=x^2-1(x<0)的反函数f^-1(x)=√(x+1)(x≥1)。

6.二项式(x-1/2)^4的展开式中的第4项是6x^2-12x+5/16.7.不等式log2(x-3)+x>2的解是(3,∞)。

8.已知条件p:x+1≤2；条件q:x≤a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是(-∞,1]。

9.向量a=(2,3)，b=(-1,2)，若ma+b与a-2b平行，则实数m=1/2.10.一家5口春节回老家探亲，买到了如下图的一排5张车票：6排A座 | 6排B座 | 6排C座 | 走廊 | 6排D座 | 6排E座| 窗口 | 窗口 |其中爷爷行动不便要坐靠近走廊的座位，小孙女喜欢看风景要坐靠窗的座位，则座位的安排方式一共有60种。

11.已知一个铁球的体积为36π，则该铁球的表面积为54π。

12.已知集合A={z|z=1+i+i^2+。

+in,n∈N*}，则集合A的子集个数为2^n-1.13.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c。

若(a+b-c)(a+b+c)=ab，则角C=π/3.14.如图所示，已知函数y=log2(4x)图像上的两点A，B和函数y=log2(x)上的点C，线段AC平行于y轴，三角形ABC 为正三角形时，点B的坐标为(-1,2)，则实数p=-1/4.值为_______________。

2015年上海市十二校联考高考数学模拟试卷（文科）（3月份）(扫描二维码可查看试题解析)一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，每个空格填对4分，否则一律得零分.1．（4分）（2015•上海模拟）幂函数y=x（m∈N）在区间（0，+∞）上是减函数，则m=．2．（4分）（2015•上海模拟）函数的定义域是．3．（4分）（2006•上海）在△ABC中，已知BC=8，AC=5，三角形面积为12，则cos2C=．4．（4分）（2015•上海模拟）设i为虚数单位，若关于x的方程x2﹣（2+i）x+1+mi=0（m∈R）有一实根为n，则m=．5．（4分）（2015•上海模拟）若椭圆的方程为+=1，且此椭圆的焦距为4，则实数a=．6．（4分）（2015•上海模拟）若一个圆锥的侧面展开如圆心角为120°、半径为3 的扇形，则这个圆锥的表面积是．7．（4分）（2015•上海模拟）若关于x的方程lg（x2+ax）=1在x∈[1，5]上有解，则实数a的取值范围为．8．（4分）（2015•上海模拟）《孙子算经》卷下第二十六题：今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？．（只需写出一个答案即可）9．（4分）（2015•上海模拟）若（x≥0，y≥0），则目标函数k=6x+8y取最大值时点的坐标为．10．（4分）（2015•上海模拟）设口袋中有黑球、白球共7 个，从中任取2个球，已知取到至少1个白球的概率为，则口袋中白球的个数为．11．（4分）（2015•上海模拟）如图所示，一个确定的凸五边形ABCDE，令x=•，y=•，z=•，则x、y、z 的大小顺序为．12．（4分）（2015•上海模拟）设函数f（x）的定义域为D，D⊆[0，4π]，它的对应法则为f：x→sin x，现已知f（x）的值域为{0，﹣，1}，则这样的函数共有个．13．（4分）（2015•上海模拟）若多项式（1﹣2x+3x2﹣4x3+…﹣2000x1999+2001x2000）（1+2x+3x2+4x3+…+2000x1999+2001x2000）=a0x4000+a1x3999+a2x3998+…+a3999x+a4000，则a1+a3+a5+…+a2011+a2013+a2015=．14．（4分）（2015•上海模拟）在平面直角坐标系中有两点A（﹣1，3）、B（1，），以原点为圆心，r＞0为半径作一个圆，与射线y=﹣x（x＜0）交于点M，与x轴正半轴交于N，则当r变化时，|AM|+|BN|的最小值为．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且仅有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分.15．（5分）（2015•上海模拟）若非空集合A中的元素具有命题α的性质，集合B16．（5分）（2015•上海模拟）用反证法证明命题：“已知a 、b ∈N *，如果ab 可被 5 整17．（5分）（2015•上海模拟）实数x 、y 满足x 2+2xy+y 2+x 2y 2=1，则x ﹣y 的最大值18．（5分）（2015•上海模拟）直线m ⊥平面α，垂足是O ，正四面体ABCD 的棱长为4，点C 在平面α上运动，点B 在直线m 上运动，则点O 到直线AD 的距离的取值范围[﹣+2[+2三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题须写出必要的步骤.19．（12分）（2015•上海模拟）已知正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，底面边长为，点P 、Q 、R 分别在棱AA 1、BB 1、BC 上，Q 是BB 1中点，且PQ ∥AB ，C 1Q ⊥QR （1）求证：C 1Q ⊥平面PQR ；（2）若C 1Q=，求四面体C 1PQR 的体积．20．（14分）（2015•上海模拟）已知数列{b n}满足b1=1，且b n+1=16b n（n∈N），设数列{}的前n项和是T n．（1）比较T n+12与T n•T n+2的大小；（2）若数列{a n} 的前n项和S n=2n2+2n，数列{c n}=a n﹣log d b n（d＞0，d≠1），求d的取值范围使得{c n}是递增数列．21．（14分）（2015•上海模拟）某种波的传播是由曲线f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0）来实现的，我们把函数解析式f（x）=Asin（ωx+φ）称为“波”，把振幅都是A 的波称为“A 类波”，把两个解析式相加称为波的叠加．（1）已知“1 类波”中的两个波f1（x）=sin（x+φ1）与f2（x）=sin（x+φ2）叠加后仍是“1类波”，求φ2﹣φ1的值；（2）在“A类波“中有一个是f1（x）=sinx，从A类波中再找出两个不同的波（每两个波的初相φ都不同）使得这三个不同的波叠加之后是“平波”，即叠加后y=0，并说明理由．22．（16分）（2015•上海模拟）设函数f（x）=ax2+（2b+1）x﹣a﹣2（a，b∈R）．（1）若a=0，当x∈[，1]时恒有f（x）≥0，求b的取值范围；（2）若a≠0且b=﹣1，试在直角坐标平面内找出横坐标不同的两个点，使得函数y=f（x）的图象永远不经过这两点；（3）当a2+b2=1时，函数y=f（x）存在零点x0，求x0的取值范围．23．（18分）（2015•上海模拟）设有二元关系f（x，y）=（x﹣y）2+a（x﹣y）﹣1，已知曲线Γ：f（x，y）=0（1）若a=2时，正方形ABCD的四个顶点均在曲线上，求正方形ABCD的面积；（2）设曲线C与x轴的交点是M、N，抛物线E：y=x2+1与y 轴的交点是G，直线MG与曲线E交于点P，直线NG 与曲线E交于Q，求证：直线PQ过定点（0，3）．（3）设曲线C与x轴的交点是M（u，0）、N（v，0），可知动点R（u，v）在某确定的曲线上运动，曲线与上述曲线C在a≠0时共有4个交点，其分别是：A（x1，|x2）、B（x3，x4）、C（x5，x6）、D（x7，x8），集合X={x1，x2，…，x8}的所有非空子集设为Y i=1，2，…，255），将Y i中的所有元素相加（若Y i中只有一个元素，则和是其自身）得到255个数y1、y2、…、y255，求y13+y23+…+y2553的值．2015年上海市十二校联考高考数学模拟试卷（文科）（3月份）参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，每个空格填对4分，否则一律得零分. 1．（4分）（2015•上海模拟）幂函数y=x（m∈N）在区间（0，+∞）上是减函数，则m=0．2．（4分）（2015•上海模拟）函数的定义域是（0，1]．3．（4分）（2006•上海）在△ABC中，已知BC=8，AC=5，三角形面积为12，则cos2C=．•×=故答案为：4．（4分）（2015•上海模拟）设i为虚数单位，若关于x的方程x2﹣（2+i）x+1+mi=0（m∈R）有一实根为n，则m=1．5．（4分）（2015•上海模拟）若椭圆的方程为+=1，且此椭圆的焦距为4，则实数a=4或8．6．（4分）（2015•上海模拟）若一个圆锥的侧面展开如圆心角为120°、半径为3 的扇形，则这个圆锥的表面积是4π．=27．（4分）（2015•上海模拟）若关于x的方程lg（x2+ax）=1在x∈[1，5]上有解，则实数a 的取值范围为﹣3≤a≤9．﹣﹣﹣﹣8．（4分）（2015•上海模拟）《孙子算经》卷下第二十六题：今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？23，或105k+23（k为正整数）．．（只需写出一个答案即可）9．（4分）（2015•上海模拟）若（x≥0，y≥0），则目标函数k=6x+8y取最大值时点的坐标为（0，5）．10．（4分）（2015•上海模拟）设口袋中有黑球、白球共7 个，从中任取2个球，已知取到至少1个白球的概率为，则口袋中白球的个数为3．﹣，由此能求出口袋，11．（4分）（2015•上海模拟）如图所示，一个确定的凸五边形ABCDE，令x=•，y=•，z=•，则x、y、z 的大小顺序为x＞y＞z．x==AB••12．（4分）（2015•上海模拟）设函数f（x）的定义域为D，D⊆[0，4π]，它的对应法则为f：x→sin x，现已知f（x）的值域为{0，﹣，1}，则这样的函数共有1395个．sinx=x=x=，，，+C）（）即可．，sinx=x=x=，，，+C）（）13．（4分）（2015•上海模拟）若多项式（1﹣2x+3x2﹣4x3+…﹣2000x1999+2001x2000）（1+2x+3x2+4x3+…+2000x1999+2001x2000）=a0x4000+a1x3999+a2x3998+…+a3999x+a4000，则a1+a3+a5+…+a2011+a2013+a2015=0．14．（4分）（2015•上海模拟）在平面直角坐标系中有两点A（﹣1，3）、B（1，），以原点为圆心，r＞0为半径作一个圆，与射线y=﹣x（x＜0）交于点M，与x轴正半轴交于N，则当r变化时，|AM|+|BN|的最小值为2．，﹣+）与（﹣，）和（﹣a+，）和（﹣）的距离，即．．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且仅有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分.15．（5分）（2015•上海模拟）若非空集合A中的元素具有命题α的性质，集合B中的元素16．（5分）（2015•上海模拟）用反证法证明命题：“已知a 、b ∈N *，如果ab 可被 5 整除，222218．（5分）（2015•上海模拟）直线m ⊥平面α，垂足是O ，正四面体ABCD 的棱长为4，[﹣+2[+2+2+2[22三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题须写出必要的步骤. 19．（12分）（2015•上海模拟）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，底面边长为，点P、Q、R分别在棱AA1、BB1、BC上，Q是BB1中点，且PQ∥AB，C1Q⊥QR（1）求证：C1Q⊥平面PQR；（2）若C1Q=，求四面体C1PQR的体积．，由，，BR=QR=．20．（14分）（2015•上海模拟）已知数列{b n}满足b1=1，且b n+1=16b n（n∈N），设数列{}的前n项和是T n．（1）比较T n+12与T n•T n+2的大小；（2）若数列{a n} 的前n项和S n=2n2+2n，数列{c n}=a n﹣log d b n（d＞0，d≠1），求d的取值范围使得{c n}是递增数列．，∴，因此，，时，=4n21．（14分）（2015•上海模拟）某种波的传播是由曲线f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0）来实现的，我们把函数解析式f（x）=Asin（ωx+φ）称为“波”，把振幅都是A 的波称为“A类波”，把两个解析式相加称为波的叠加．（1）已知“1 类波”中的两个波f1（x）=sin（x+φ1）与f2（x）=sin（x+φ2）叠加后仍是“1类波”，求φ2﹣φ1的值；（2）在“A类波“中有一个是f1（x）=sinx，从A类波中再找出两个不同的波（每两个波的初相φ都不同）使得这三个不同的波叠加之后是“平波”，即叠加后y=0，并说明理由．则：即：所以：则：即：得到：=此时：，+22．（16分）（2015•上海模拟）设函数f（x）=ax2+（2b+1）x﹣a﹣2（a，b∈R）．（1）若a=0，当x∈[，1]时恒有f（x）≥0，求b的取值范围；（2）若a≠0且b=﹣1，试在直角坐标平面内找出横坐标不同的两个点，使得函数y=f（x）的图象永远不经过这两点；（3）当a2+b2=1时，函数y=f（x）存在零点x0，求x0的取值范围．[，）≥≥[23．（18分）（2015•上海模拟）设有二元关系f（x，y）=（x﹣y）2+a（x﹣y）﹣1，已知曲线Γ：f（x，y）=0（1）若a=2时，正方形ABCD的四个顶点均在曲线上，求正方形ABCD的面积；（2）设曲线C与x轴的交点是M、N，抛物线E：y=x2+1与y 轴的交点是G，直线MG与曲线E交于点P，直线NG 与曲线E交于Q，求证：直线PQ过定点（0，3）．（3）设曲线C与x轴的交点是M（u，0）、N（v，0），可知动点R（u，v）在某确定的曲线上运动，曲线与上述曲线C在a≠0时共有4个交点，其分别是：A（x1，|x2）、B（x3，x4）、C（x5，x6）、D（x7，x8），集合X={x1，x2，…，x8}的所有非空子集设为Y i=1，2，…，255），将Y i中的所有元素相加（若Y i中只有一个元素，则和是其自身）得到255个数y1、y2、…、y255，求y13+y23+…+y2553的值．1P的方程为：，y=，=0，因此1x+1，（﹣，x++=+n=3y=，如图所示，=0参与本试卷答题和审题的老师有：双曲线；若尘；wsj1012；qiss；刘长柏；1619495736；zlzhan；1457446928；sdpyqzh；wkl197822；孙佑中；sxs123；chenzhenji（排名不分先后）菁优网2015年4月16日。

【解析】()1f x =【提示】由条件利用半角公式化简函数的解析式，再利用余弦函数的周期性求得函数的最小正周期【考点】二倍角公式，三角函数的周期【答案】{}1,4 【解析】{UB x =<{}1,4UAB =【提示】由A 与B ，找出两集合的交集即可. 【考点】集合交集及其基本运算11【解析】()2f x =【提示】由原函数解析式把【考点】反函数.1sin 60=162a a ⎫⎪⎭【考点】立体几何的基本运算. 【解析】抛物线上的动点到焦点的距离等于动点到准线的距离【解析】12log (9x -且又2log (95)-1433x --+g【解析】条件要求男、女教师都有142332363636C +C C +C C 4515=+数目，再排除其中只有女教师的情况；即可得答案. 242246621(2)()C 2240x x ==. 求得r 值，则答案可求. 【解析】双曲线又C【解析】2a b c ++222a b c =++222a b a c b c +++22222a b c a c b c =++++2222()a b c c a b ++++,142cosc a b c a b c a b<+>=+++,1465cosc a b c a b<+>=++.2a b c ++的最大值为1465+. a b c ++的最大值为【提示】分别以a b ，所在的直线为【考点】平面向量的基本运算【解析】()sin 1f x x =当且仅当223())()f x x f x -+-m x ，满足120x x <<L 11【解析】22x x ++直接可得82(x +<它们的解集是相同的3112n b a +-)n λ-，。

格致中学 二〇一五届高考模拟考试试题高三年级 数学(理科) 试卷 (共4页)一、填空题：（本大题共14小题，每小题4分，满分56分）。

把答案直接填写在答题卷的相应位置上。

1 已知集合{}2≤=x x A ,⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-+=015x x x B ,则A B = .2 若函数)(x f y =与2x y e +=的图像关于直线x y =对称,则=)(x f .3 已知角α的终边上的一点的坐标为22(sin ,cos )33P ππ,则角α的最小正值为 . 4 已知z 和31z i+-都是纯虚数,那么=z . 5 若抛物线22y px =的焦点恰好是双曲线222x y -=的右焦点,则_______p =. 6 设{}n a 为等差数列,若π=++951a a a ,则28tan()a a +的值为.7 设整数m 是从不等式0822≤--x x 的整数解的集合S 中随机抽取的一个元素,记随机变量ξ2m =,则ξ的数学期望E ξ= .8 对于空间中的三条直线,有以下四个条件:①三条直线两两相交；②三条直线两两平行； ③三条直线共点；④两直线相交,第三条平行于其中一条与另个一条相交. 其中使这三条直线共面的充分条件有 个.9 圆sin cos (0,02)ρθθρθπ=->≤<的圆心的极坐标是 .10 已知12,F F 分别是椭圆2211612x y +=的左、右焦点,点P 是椭圆上的任意一点, 则121||PF PF PF -的取值范围是 .11 把实数a 、b 、c 、d 排形成如a b c d ⎛⎫⎪⎝⎭的形式,称之为二行二列矩阵.定义矩阵的一种运算a b x ax by c d y cx dy +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭,该运算的几何意义为平面上的点(),x y 在矩阵a b c d ⎛⎫⎪⎝⎭的作用下变换成点(),ax by cx dy ++,若曲线22421x xy y ++=在矩阵11a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭的作用下变班级____________姓名________________学号____________准考证号______________换成曲线2221x y -=,则a b +的值为____________.12 已知数列{}n a 满足:11a =,2()a x x N *=∈,21n n n a a a ++=-,若前2014项中恰好含有667项为0,则x 的值为 .13 在面积为2的ABC ∆中,E ,F 分别是AB ,AC 的中点,点P 在直线EF 上, 则2+⋅的最小值是 . 14 设函数()122014122014,()f x x x x x x x x =+++++++-+-++-∈R ,下列四个命题中真命题的序号是 .(1)()f x 是偶函数； (2)不等式()20132014f x <⨯的解集为∅； (3)()f x 在()0,+∞上是增函数； (4)方程2(56)(2)f a a f a -+=-有无数个实根. 二、选择题:(每题5分,共20分)15 如果i +2是关于x 的实系数方程02=++n mx x 的一个根,则圆锥曲线122=+ny m x 的焦点坐标是 ( ).A )0,1(± .B )1,0(± .C )0,3(± .D )3,0(±16 某金店用一杆不准确的天平(两边臂不等长)称黄金,某顾客要购买10g 黄金,售货员先将5g 的砝码放在左盘,将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将5g 的砝码放入右盘,将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客,则顾客实际所得黄金 ( ).A 大于10g .B 小于10g .C 大于等于10g .D 小于等于10g17 某校高三年级举行的一次演讲比赛共有10位同学参加,其中一班有3位,二班有2位,其他班有5位.若采取抽签的方式确定他们的演讲顺序,则一班的3位同学恰好被排在一起(指演讲序号相连),而二班的2位同学没有被排在一起的概率为 ( ).A 101 .B 201 .C 401 .D 120118 设函数()xxxf x a b c =+-,其中0,0c a c b >>>>.若,,a b c 是ABC ∆的三条边长,则下列结论中正确的是 ( ) ①对一切(),1x ∈-∞都有()0f x >；②存在x R +∈,使,,x x xxa b c 不能构成一个三角形的三条边长； ③若ABC ∆为钝角三角形,则存在()1,2x ∈,使()0f x =..A ①② .B ①③ .C ②③ .D ①②③三、解答题:(本大题共74分) 19(本小题12分)如图,棱锥P ABCD -中,PA ⊥平面ABCD ,底面ABCD 为直角梯形,且//AB CD ,90BAD ∠=,2PA AD DC ===,4AB =.(1)求证:BC PC ⊥；(2)求PB 与平面PAC 所成的角的正弦值.20(本小题14分)设ABC ∆三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知,cos cos 3C a A b B π==.(1)求角A 的大小；(2)如图,在ABC ∆的外角ACD ∠内取一点P ,使得2PC =.过点P 分别作直线,CA CD 的垂线,PM PN ,垂足分别是.设PCA α∠=,求PM PN +的最大值及此时α的取值.21(本小题14分)定义在D 上的函数()f x ,如果满足:对任意x D ∈,存在常数0M >,都有|()|f x M ≤成立,则称()f x 是D 上的有界函数,其中M 称为函数()f x 的上界.已知函数()11124x xf x a ⎛⎫⎛⎫=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(1)当1a =时,求函数()f x 在(),0-∞上的值域,并判断函数()f x 在(),0-∞上是否为有界函数,请说明理由；(2)若函数()f x 在[)0,+∞上是以3为上界的有界函数,求实数a 的取值范围.DCAP23(本小题16分)在平面直角坐标系xoy 中,已知三点(0,0)O ,(1,1)A -,(1,1)B ,曲线C 上任意—点(,)M x y 满足:14()2MA MB OM OA OB +=-⋅+.(1)求曲线C 的方程；(2)设点P 是曲线C 上的任意一点,过原点的直线l 与曲线相交于,M N 两点,若直线,PM PN 的斜率都存在,并记为PM k ,PN k .试探究PM PN k k ⋅的值是否与点P 及直线l 有关,并证明你的结论；(3)设曲线C 与y 轴交于,D E 两点,点(0,)Q m 在线段DE 上,点P 在曲线C 上运动. 若当点P 的坐标为(0,2)时,QP 取得最小值,求实数m 的取值范围.23(本小题18分)已知等比数列{}n a 的首项12013a =,公比12q =-,数列{}n a 前n 项和记为n S ,前n 项积记为n T . (1)证明:21n S S S ≤≤；(2)求n 为何值时,n T 取得最大值；(3)证明:若数列{}n a 中的任意相邻三项按从小到大排列,则总可以使其成等差数列；若所有这些等差数列的公差按从小到大的顺序依次记为12,,,n d d d ,则数列{}n d 为等比数列.。

2015年上海高考数学（文科）试题解析版一、填空题（本大题共14小题，每题4分，满分56分） 1、函数()x x f 2sin 31-=的最小正周期为 _________.分析：本题是基础题目，主要考查余弦的二倍角公式，属于常考题目。

答案：π2、设全集U R =，若集合{}4,3,2,1=A ，{}32|≤≤=x x B ，则=B C A U _________. 分析：本题考查了学生的集合运算，属于基础题目和常考题目 。

答案：{1,4}3、若复数z 满足i z z +=+13_，其中i 为虚数单位，则z =___________. 分析：考查复数基本形式及共轭复数的概念，属于基础题目和常规题目。

答案：1142i + 4、设()x f 1-为()12+=x xx f 的反函数，则()=-21f ___________.分析：考查了反函数的知识点，较为基础。

答案：23-5、若线性方程组的增广矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛211302c c ，解为⎩⎨⎧==53yx ，则=-21c c ___________.分析：考查了二元一次方程组增广矩阵的概念，属于基础知识，但考前这个小知识点被遗漏的学校较多。

答案：166、若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为316，则=a ___________.分析：首先考查了学生对于正三棱柱的认识，其次考查了棱柱的体积公式，题型和知识点较为常规。

答案：47、抛物线()022>=p px y 上的动点Q 到其焦点距离的最小值为1，则=p ___________. 分析：考查了抛物线上的点到焦点的距离问题，可以通过第一定义，将到焦点的距离转化成到准线的距离，这样题目就非常容易解决掉。

答案：28、方程()()223log 59log 1212+-=---x x 的解为___________.分析：考查了对数方程的知识点，通过对数运算，去掉对数符号，解出方程的根，易错点为根的验证。

2015年上海市高考数学试卷（文科）一、填空题（本大题共14小题,满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律零分）1．（4分）函数f（x）=1﹣3sin2x的最小正周期为．2．（4分）设全集U=R,若集合A={1,2,3,4},B={x|2≤x≤3},则A∩B=．3．（4分）若复数z满足3z+=1+i,其中i是虚数单位,则z=．4．（4分）设f﹣1（x）为f（x）=的反函数,则f﹣1（2）=．5．（4分）若线性方程组的增广矩阵为解为,则c1﹣c2=．6．（4分）若正三棱柱的所有棱长均为a,且其体积为16,则a=．7．（4分）抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1,则p=．8．（4分）方程log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2的解为．9．（4分）若x,y满足,则目标函数z=x+2y的最大值为．10．（4分）在报名的3名男老师和6名女教师中,选取5人参加义务献血,要求男、女教师都有,则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）．11．（4分）在（2x+）6的二项式中,常数项等于（结果用数值表示）．12．（4分）已知双曲线C1、C2的顶点重合,C1的方程为﹣y2=1,若C2的一条渐近线的斜率是C1的一条渐近线的斜率的2倍,则C2的方程为．13．（4分）已知平面向量、、满足⊥,且{||,||,||}={1,2,3},则|++|的最大值是．14．（4分）已知函数f（x）=sinx．若存在x1,x2,…,x m满足0≤x1＜x2＜…＜x m≤6π,且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x m﹣1）﹣f（x m）|=12（m≥2,m ∈N*）,则m的最小值为．二、选择题（本大题共4小题,满分20分）每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律零分. 15．（5分）设z1、z2∈C,则“z1、z2均为实数”是“z1﹣z2是实数”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件16．（5分）下列不等式中,与不等式＜2解集相同的是（）A．（x+8）（x2+2x+3）＜2 B．x+8＜2（x2+2x+3）C．＜D．＞17．（5分）已知点A的坐标为（4,1）,将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB,则点B的纵坐标为（）A．B．C．D．18．（5分）设P n（x n,y n）是直线2x﹣y=（n∈N*）与圆x2+y2=2在第一象限的交点,则极限=（）A．﹣1 B．﹣ C．1 D．2三、解答题（本大题共有5题,满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）如图,圆锥的顶点为P,底面圆为O,底面的一条直径为AB,C为半圆弧的中点,E为劣弧的中点,已知PO=2,OA=1,求三棱锥P﹣AOC的体积,并求异面直线PA和OE所成角的大小．20．（14分）已知函数f（x）=ax2+,其中a为常数（1）根据a的不同取值,判断函数f（x）的奇偶性,并说明理由；（2）若a∈（1,3）,判断函数f（x）在[1,2]上的单调性,并说明理由．21．（14分）如图,O,P,Q三地有直道相通,OP=3千米,PQ=4千米,OQ=5千米,现甲、乙两警员同时从O地出发匀速前往Q地,经过t小时,他们之间的距离为f（t）（单位:千米）．甲的路线是OQ,速度为5千米/小时,乙的路线是OPQ,速度为8千米/小时,乙到达Q地后在原地等待．设t=t1时乙到达P地,t=t2时乙到达Q地．（1）求t1与f（t1）的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米,当t1≤t≤t2时,求f（t）的表达式,并判断f（t）在[t1,t2]上的最大值是否超过3？说明理由．22．（16分）已知椭圆x2+2y2=1,过原点的两条直线l1和l2分别与椭圆交于点A、B和C、D,记△AOC的面积为S．（1）设A（x1,y1）,C（x2,y2）,用A、C的坐标表示点C到直线l1的距离,并证明S=|；（2）设l1:y=kx,,S=,求k的值；（3）设l1与l2的斜率之积为m,求m的值,使得无论l1和l2如何变动,面积S保持不变．23．（18分）已知数列{a n}与{b n}满足a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n）,n∈N*．（1）若b n=3n+5,且a1=1,求{a n}的通项公式；（2）设{a n}的第n0项是最大项,即a n0≥a n（n∈N*）,求证:{b n}的第n0项是最大项；（3）设a1=3λ＜0,b n=λn（n∈N*）,求λ的取值范围,使得对任意m,n∈N*,a n≠0,且．2015年上海市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题,满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律零分）1．（4分）（2015•上海）函数f（x）=1﹣3sin2x的最小正周期为π．【分析】由条件利用半角公式化简函数的解析式,再利用余弦函数的周期性求得函数的最小正周期．【解答】解:∵函数f（x）=1﹣3sin2x=1﹣3=﹣+cos2x,∴函数的最小正周期为=π,故答案为:π．【点评】本题主要考查半角公式的应用,余弦函数的周期性,属于基础题．2．（4分）（2015•上海）设全集U=R,若集合A={1,2,3,4},B={x|2≤x≤3},则A∩B= {2,3} ．【分析】由A与B,找出两集合的交集即可．【解答】解:∵全集U=R,A={1,2,3,4},B={x|2≤x≤3},∴A∩B={2,3},故答案为:{2,3}【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3．（4分）（2015•上海）若复数z满足3z+=1+i,其中i是虚数单位,则z=．【分析】设z=a+bi,则=a﹣bi（a,b∈R）,利用复数的运算法则、复数相等即可得出．【解答】解:设z=a+bi,则=a﹣bi（a,b∈R）,又3z+=1+i,∴3（a+bi）+（a﹣bi）=1+i,化为4a+2bi=1+i,∴4a=1,2b=1,解得a=,b=．∴z=．故答案为:．【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等,属于基础题．4．（4分）（2015•上海）设f﹣1（x）为f（x）=的反函数,则f﹣1（2）=﹣．【分析】由原函数解析式把x用含有y的代数式表示,x,y互换求出原函数的反函数,则f﹣1（2）可求．【解答】解:由y=f（x）=,得,x,y互换可得,,即f﹣1（x）=．∴．故答案为:．【点评】本题考查了函数的反函数的求法,是基础的计算题．5．（4分）（2015•上海）若线性方程组的增广矩阵为解为,则c1﹣c2=16．【分析】根据增广矩阵的定义得到,是方程组的解,解方程组即可．【解答】解:由题意知,是方程组的解,即,则c1﹣c2=21﹣5=16,故答案为:16．【点评】本题主要考查增广矩阵的求解,根据条件建立方程组关系是解决本题的关键．6．（4分）（2015•上海）若正三棱柱的所有棱长均为a,且其体积为16,则a= 4．【分析】由题意可得（•a•a•sin60°）•a=16,由此求得a的值．【解答】解:由题意可得,正棱柱的底面是变长等于a的等边三角形,面积为•a•a•sin60°,正棱柱的高为a,∴（•a•a•sin60°）•a=16,∴a=4,故答案为:4．【点评】本题主要考查正棱柱的定义以及体积公式,属于基础题．7．（4分）（2015•上海）抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1,则p=2．【分析】利用抛物线的顶点到焦点的距离最小,即可得出结论．【解答】解:因为抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1,所以=1,所以p=2．故答案为:2．【点评】本题考查抛物线的方程与性质,考查学生的计算能力,比较基础．8．（4分）（2015•上海）方程log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2的解为2．【分析】利用对数的运算性质化为指数类型方程,解出并验证即可．【解答】解:∵log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2,∴log2（9x﹣1﹣5）=log2[4×（3x ﹣1﹣2）],∴9x﹣1﹣5=4（3x﹣1﹣2）,化为（3x）2﹣12•3x+27=0,因式分解为:（3x﹣3）（3x﹣9）=0,∴3x=3,3x=9,解得x=1或2．经过验证:x=1不满足条件,舍去．∴x=2．故答案为:2．【点评】本题考查了对数的运算性质及指数运算性质及其方程的解法,考查了计算能力,属于基础题．9．（4分）（2015•上海）若x,y满足,则目标函数z=x+2y的最大值为3．【分析】作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,通过平移即可求z的最大值．【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:（阴影部分）．由z=x+2y得y=﹣x+z,平移直线y=﹣x+z,由图象可知当直线y=﹣x+z经过点B时,直线y=﹣x+z的截距最大,此时z最大．由,解得,即B（1,1）,代入目标函数z=x+2y得z=2×1+1=3故答案为:3．【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用图象平行求得目标函数的最大值和最小值,利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．10．（4分）（2015•上海）在报名的3名男老师和6名女教师中,选取5人参加义务献血,要求男、女教师都有,则不同的选取方式的种数为120（结果用数值表示）．【分析】根据题意,运用排除法分析,先在9名老师中选取5人,参加义务献血,由组合数公式可得其选法数目,再排除其中只有女教师的情况；即可得答案．【解答】解:根据题意,报名的有3名男老师和6名女教师,共9名老师,在9名老师中选取5人,参加义务献血,有C95=126种；其中只有女教师的有C65=6种情况；则男、女教师都有的选取方式的种数为126﹣6=120种；故答案为:120．【点评】本题考查排列、组合的运用,本题适宜用排除法（间接法）,可以避免分类讨论,简化计算．11．（4分）（2015•上海）在（2x+）6的二项式中,常数项等于240（结果用数值表示）．【分析】写出二项展开式的通项,由x的指数为0求得r值,则答案可求．【解答】解:由（2x+）6,得=．由6﹣3r=0,得r=2．∴常数项等于．故答案为:240．【点评】本题考查了二项式系数的性质,关键是对二项展开式通项的记忆与运用,是基础题．12．（4分）（2015•上海）已知双曲线C1、C2的顶点重合,C1的方程为﹣y2=1,若C2的一条渐近线的斜率是C1的一条渐近线的斜率的2倍,则C2的方程为．【分析】求出C1的一条渐近线的斜率,可得C2的一条渐近线的斜率,利用双曲线C1、C2的顶点重合,可得C2的方程．【解答】解:C1的方程为﹣y2=1,一条渐近线的方程为y=,因为C2的一条渐近线的斜率是C1的一条渐近线的斜率的2倍,所以C2的一条渐近线的方程为y=x,因为双曲线C1、C2的顶点重合,所以C2的方程为．故答案为:．【点评】本题考查双曲线的方程与性质,考查学生的计算能力,比较基础．13．（4分）（2015•上海）已知平面向量、、满足⊥,且{||,||,||}={1,2,3},则|++|的最大值是3+．【分析】分别以所在的直线为x,y轴建立直角坐标系,分类讨论:当{||,||}={1,2},||=3,设,则x2+y2=9,则++=（1+x,2+y）,有||=的最大值,其几何意义是圆x2+y2=9上点（x,y）与定点（﹣1,﹣2）的距离的最大值；其他情况同理,然后求出各种情况的最大值进行比较即可．【解答】解:分别以所在的直线为x,y轴建立直角坐标系,①当{||,||}={1,2},||=3,则,设,则x2+y2=9,∴++=（1+x,2+y）,∴||=的最大值,其几何意义是圆x2+y2=9上点（x,y）与定点（﹣1,﹣2）的距离的最大值为=3+；②且{||,||}={1,3},||=2,则,x2+y2=4,∴++=（1+x,3+y）∴||=的最大值,其几何意义是圆x2+y2=4上点（x,y）与定点（﹣1,﹣3）的距离的最大值为2+=2+,③{||,||}={2,3},||=1,则,设,则x2+y2=1∴++=（2+x,3+y）∴||=的最大值,其几何意义是在圆x2+y2=1上取点（x,y）与定点（﹣2,﹣3）的距离的最大值为1+=1+∵,故|++|的最大值为3+．故答案为:3+【点评】本题主要考查了向量的模的求解,解题的关键是圆的性质的应用:在圆外取一点,使得其到圆上点的距离的最大值:r+d（r为该圆的半径,d为该点与圆心的距离）．14．（4分）（2015•上海）已知函数f（x）=sinx．若存在x1,x2,…,x m满足0≤x1＜x2＜…＜x m≤6π,且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x m﹣1）﹣f（x m）|=12（m≥2,m∈N*）,则m的最小值为8．【分析】由正弦函数的有界性可得,对任意x i,x j（i,j=1,2,3,…,m）,都有|f（x i）﹣f （x j）|≤f（x）max﹣f（x）min=2,要使m取得最小值,尽可能多让x i（i=1,2,3,…,m）取得最高点,然后作图可得满足条件的最小m值．【解答】解:∵y=sinx对任意x i,x j（i,j=1,2,3,…,m）,都有|f（x i）﹣f（x j）|≤f（x）max﹣f（x）min=2,要使m取得最小值,尽可能多让x i（i=1,2,3,…,m）取得最高点,考虑0≤x1＜x2＜…＜x m≤6π,|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x m﹣1）﹣f（x m）|=12,按下图取值即可满足条件,∴m的最小值为8．故答案为:8．【点评】本题考查正弦函数的图象和性质,考查分析问题和解决问题的能力,考查数学转化思想方法,正确理解对任意x i,x j（i,j=1,2,3,…,m）,都有|f（x i）﹣f（x j）|≤f（x）max﹣f（x）min=2是解答该题的关键,是难题．二、选择题（本大题共4小题,满分20分）每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律零分. 15．（5分）（2015•上海）设z1、z2∈C,则“z1、z2均为实数”是“z1﹣z2是实数”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合复数的有关概念进行判断即可．【解答】解:若z1、z2均为实数,则z1﹣z2是实数,即充分性成立,当z1=i,z2=i,满足z1﹣z2=0是实数,但z1、z2均为实数不成立,即必要性不成立,故“z1、z2均为实数”是“z1﹣z2是实数”的充分不必要条件,故选:A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据复数的有关概念是解决本题的关键．16．（5分）（2015•上海）下列不等式中,与不等式＜2解集相同的是（）A．（x+8）（x2+2x+3）＜2 B．x+8＜2（x2+2x+3）C．＜D．＞【分析】根据x2+2x+3=（x+1）2+2＞0,可得不等式＜2,等价于x+8＜2（x2+2x+3）,从而得出结论．【解答】解:由于x2+2x+3=（x+1）2+2＞0,不等式＜2,等价于x+8＜2（x2+2x+3）,故选:B．【点评】本题主要考查不等式的基本性质的应用,体现了等价转化的数学思想,属于基础题．17．（5分）（2015•上海）已知点A的坐标为（4,1）,将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB,则点B的纵坐标为（）A．B．C．D．【分析】根据三角函数的定义,求出∠xOA的三角函数值,利用两角和差的正弦公式进行求解即可．【解答】解:∵点A的坐标为（4,1）,∴设∠xOA=θ,则sinθ==,cosθ==,将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB,则OB的倾斜角为θ+,则|OB|=|OA|=,则点B的纵坐标为y=|OB|sin（θ+）=7（sinθcos+cosθsin）=7（×+）=+6=,故选:D．【点评】本题主要考查三角函数值的计算,根据三角函数的定义以及两角和差的正弦公式是解决本题的关键．18．（5分）（2015•上海）设P n（x n,y n）是直线2x﹣y=（n∈N*）与圆x2+y2=2在第一象限的交点,则极限=（）A．﹣1 B．﹣ C．1 D．2【分析】当n→+∞时,直线2x﹣y=趋近于2x﹣y=1,与圆x2+y2=2在第一象限的交点无限靠近（1,1）,利用圆的切线的斜率、斜率计算公式即可得出．【解答】解:当n→+∞时,直线2x﹣y=趋近于2x﹣y=1,与圆x2+y2=2在第一象限的交点无限靠近（1,1）,而可看作点P n（x n,y n）与（1,1）连线的斜率,其值会无限接近圆x2+y2=2在点（1,1）处的切线的斜率,其斜率为﹣1．∴=﹣1．故选:A．【点评】本题考查了极限思想、圆的切线的斜率、斜率计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题．三、解答题（本大题共有5题,满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）（2015•上海）如图,圆锥的顶点为P,底面圆为O,底面的一条直径为AB,C为半圆弧的中点,E为劣弧的中点,已知PO=2,OA=1,求三棱锥P﹣AOC的体积,并求异面直线PA和OE所成角的大小．又容易得到,从而带【分析】由条件便知PO为三棱锥P﹣AOC的高,底面积S△AOC入棱锥的体积公式即可得到该三棱锥的体积．根据条件能够得到OE∥AC,从而找到异面直线PA,OE所成角为∠PAC,可取AC中点H,连接PH,便得到PH⊥AC,从而可在Rt△PAH中求出cos∠PAC,从而得到∠PAC．【解答】解:∵PO=2,OA=1,OC⊥AB；∴；E为劣弧的中点；∴∠BOE=45°,又∠ACO=45°；∴OE∥AC；∴∠PAC便是异面直线PA和OE所成角；在△ACP中,AC=,；如图,取AC中点H,连接PH,则PH⊥AC,AH=；∴在Rt△PAH中,cos∠PAH=；∴异面直线PA与OE所成角的大小为arccos．【点评】考查圆锥的定义,圆锥的高和母线,等弧所对的圆心角相等,能判断两直线平行,以及异面直线所成角的定义及找法、求法,能用反三角函数表示角．20．（14分）（2015•上海）已知函数f（x）=ax2+,其中a为常数（1）根据a的不同取值,判断函数f（x）的奇偶性,并说明理由；（2）若a∈（1,3）,判断函数f（x）在[1,2]上的单调性,并说明理由．【分析】（1）根据函数的奇偶性的定义即可判断,需要分类讨论；（2）根据导数和函数的单调性的关系即可判断．【解答】解:（1）当a=0时,f（x）=,显然为奇函数,当a≠0时,f（1）=a+1,f（﹣1）=a﹣1,f（1）≠f（﹣1）,且f（1）+f（﹣1）≠0,所以此时f（x）为非奇非偶函数．（2）∵a∈（1,3）,f（x）=ax2+,∴f′（x）=2ax﹣=,∵a∈（1,3）,x∈[1,2],∴ax＞1,∴ax3＞1,∴2ax3﹣1＞0,∴f′（x）＞0,∴函数f（x）在[1,2]上的单调递增．【点评】本题考查了函数的奇偶性和单调性,属于基础题．21．（14分）（2015•上海）如图,O,P,Q三地有直道相通,OP=3千米,PQ=4千米,OQ=5千米,现甲、乙两警员同时从O地出发匀速前往Q地,经过t小时,他们之间的距离为f（t）（单位:千米）．甲的路线是OQ,速度为5千米/小时,乙的路线是OPQ,速度为8千米/小时,乙到达Q地后在原地等待．设t=t1时乙到达P地,t=t2时乙到达Q 地．（1）求t1与f（t1）的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米,当t1≤t≤t2时,求f（t）的表达式,并判断f（t）在[t1,t2]上的最大值是否超过3？说明理由．【分析】（1）用OP长度除以乙的速度即可求得t1=,当乙到达P点时,可设甲到达A点,连接AP,放在△AOP中根据余弦定理即可求得AP,也就得出f（t1）；（2）求出t2=,设t,且t小时后甲到达B地,而乙到达C地,并连接BC,能够用t表示出BQ,CQ,并且知道cos,这样根据余弦定理即可求出BC,即f（t）,然后求该函数的最大值,看是否超过3即可．【解答】解:（1）根据条件知,设此时甲到达A点,并连接AP,如图所示,则OA=；∴在△OAP中由余弦定理得,f（t1）=AP==（千米）；（2）可以求得,设t小时后,且,甲到达了B点,乙到达了C点,如图所示:则BQ=5﹣5t,CQ=7﹣8t；∴在△BCQ中由余弦定理得,f（t）=BC==；即f（t）=,；设g（t）=25t2﹣42t+18,,g（t）的对称轴为t=；且；即g（t）的最大值为,则此时f（t）取最大值；即f（t）在[t1,t2]上的最大值不超过3．【点评】考查余弦定理的应用,以及二次函数在闭区间上最值的求法．22．（16分）（2015•上海）已知椭圆x2+2y2=1,过原点的两条直线l1和l2分别与椭圆交于点A、B和C、D,记△AOC的面积为S．（1）设A（x1,y1）,C（x2,y2）,用A、C的坐标表示点C到直线l1的距离,并证明S=|；（2）设l1:y=kx,,S=,求k的值；（3）设l1与l2的斜率之积为m,求m的值,使得无论l1和l2如何变动,面积S保持不变．【分析】（1）依题意,直线l1的方程为y=x,利用点到直线间的距离公式可求得点C到直线l1的距离d=,再利用|AB|=2|AO|=2,可证得S=|AB|d=|x1y2﹣x2y1|；（2）由（1）得:S=|x1y2﹣x2y1|=×|x1﹣y1|=,进而得到答案；（3）方法一:设直线l1的斜率为k,则直线l1的方程为y=kx,联立方程组,消去y解得x=±,可求得x1、x2、y1、y2,利用S=|x1y2﹣x2y1|=•,设=c（常数）,整理得:k4﹣2mk2+m2=c2[2k4+（1+4m2）k2+2m2],由于左右两边恒成立,可得,此时S=；方法二:设直线l1、l2的斜率分别为、,则=m,则mx1x2=﹣y1y2,变形整理,利用A（x1,y1）、C（x2,y2）在椭圆x2+2y2=1上,可求得面积S的值．【解答】解:（1）依题意,直线l1的方程为y=x,由点到直线间的距离公式得:点C到直线l1的距离d==,因为|AB|=2|AO|=2,所以S=|AB|d=|x1y2﹣x2y1|；（2）由（1）A（x1,y1）,C（x2,y2）,S=|x1y2﹣x2y1|=×|x1﹣y1|=．所以|x1﹣y1|=,由x12+2y12=1,解得A（,﹣）或（,﹣）或（﹣,）或（﹣,）,由k=,得k=﹣1或﹣；（3）方法一:设直线l1的斜率为k,则直线l2的斜率为,直线l1的方程为y=kx,联立方程组,消去y解得x=±,根据对称性,设x1=,则y1=,同理可得x2=,y2=,所以S=|x1y2﹣x2y1|=•,设=c（常数）,所以（m﹣k2）2=c2（1+2k2）（k2+2m2）,整理得:k4﹣2mk2+m2=c2[2k4+（1+4m2）k2+2m2],由于左右两边恒成立,所以只能是,所以,此时S=,综上所述,m=﹣,S=．方法二:设直线l1、l2的斜率分别为、,则=m,所以mx1x2=y1y2,∴m2==mx1x2y1y2,∵A（x1,y1）、C（x2,y2）在椭圆x2+2y2=1上,∴（）（）=+4+2（+）=1,即（+4m）x1x2y1y2+2（+）=1,所以+﹣2x1x2y1y2=（x1y2﹣x2y1）2=[1﹣（4m+）x1x2y1y2]﹣2x1x2y1y2=﹣（2m++2）x1x2y1y2,是常数,所以|x1y2﹣x2y1|是常数,所以令2m++2=0即可,所以,m=﹣,S=．综上所述,m=﹣,S=．【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合应用,考查方程思想、等价转化思想与综合运算能力,属于难题．23．（18分）（2015•上海）已知数列{a n}与{b n}满足a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n）,n∈N*．（1）若b n=3n+5,且a1=1,求{a n}的通项公式；（2）设{a n}的第n0项是最大项,即a n0≥a n（n∈N*）,求证:{b n}的第n0项是最大项；（3）设a1=3λ＜0,b n=λn（n∈N*）,求λ的取值范围,使得对任意m,n∈N*,a n≠0,且．【分析】（1）把b n=3n+5代入已知递推式可得a n+1﹣a n=6,由此得到{a n}是等差数列,则a n可求；（2）由a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1,结合递推式累加得到a n=2b n+a1﹣2b1,求得,进一步得到得答案；（3）由（2）可得,然后分﹣1＜λ＜0,λ=﹣1,λ＜﹣1三种情况求得a n 的最大值M和最小值m,再由∈（）列式求得λ的范围．﹣a n=2（b n+1﹣b n）,b n=3n+5,【解答】（1）解:∵a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n）=2（3n+8﹣3n﹣5）=6,∴a n+1∴{a n}是等差数列,首项为a1=1,公差为6,则a n=1+（n﹣1）×6=6n﹣5；（2）∵a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=2（b n﹣b n﹣1）+2（b n﹣1﹣b n﹣2）+…+2（b2﹣b1）+a1=2b n+a1﹣2b1,∴,∴．∴数列{b n}的第n0项是最大项；（3）由（2）可得,①当﹣1＜λ＜0时,单调递减,有最大值；单调递增,有最小值m=a1=3λ＜0,∴的最小值为,最大值为,则,解得．∴λ∈（）．②当λ=﹣1时,a2n=1,a2n﹣1=﹣3,∴M=3,m=﹣1,不满足条件．③当λ＜﹣1时,当n→+∞时,a2n→+∞,无最大值；→﹣∞,无最小值．当n→+∞时,a2n﹣1综上所述,λ∈（﹣,0）时满足条件．【点评】本题考查了数列递推式,考查了等差关系的确定,考查了数列的函数特性,训练了累加法求数列的通项公式,对（3）的求解运用了极限思想方法,是中档题．参与本试卷答题和审题的老师有:caoqz；sllwyn；沂蒙松；sxs123；maths；刘长柏；danbo7801；吕静；wkl197822；whgcn；wfy814（排名不分先后）菁优网2017年3月17日。

2015年上海高考数学（文科）试题一、填空题（本大题共14小题，每题4分，满分56分）1、函数()x x f 2sin 31-=的最小正周期为 _________.2、设全集U R =，若集合{}4,3,2,1=A ，{}32|≤≤=x x B ，则=B C A U _________.3、若复数z 满足i z z +=+13_，其中i 为虚数单位，则z =___________.4、设()x f 1-为()12+=x x x f 的反函数，则()=-21f ___________.5、若线性方程组的增广矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛211302c c ，解为⎩⎨⎧==53y x ，则=-21c c ___________.6、若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为316，则=a ___________.7、抛物线()022>=p px y 上的动点Q 到其焦点距离的最小值为1，则=p ___________.8、方程()()223log 59log 1212+-=---x x 的解为___________.9、若y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥-020y y x y x ，则目标函数()y x x f 2+=的最大值为___________.10、在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）11、在6212⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的二项展开式中，常数项等于 （结果用数值表示）.12、已知双曲线1C 、2C 的顶点重合，1C 的方程为1422=-y x ，若2C 的一条渐近线的斜率是1C 的一条渐近线的斜率的2倍，则2C 的方程为___________.13、已知平面向量,,满足b a ⊥，且}{}3,2,1=++的最大值 为___________.14、已知函数()x x f sin =，存在m x x x ,,21，满足π6021≤<<<≤m x x x ，且()()()()()()()*-∈≥=-++-+-N m m x f x f x f x f x f x f m m ,2,1213221 ，则m 的最小值为____.二、选择题（本大题共4小题，每题5分，满分20分）15、设C z z ∈21,，则“21z 、z 均为实数”是“21z z -为实数”的（ ）A 、充分非必要条件B 、必要非充分条件C 、充要条件下D 、既不充分也不必要条件16、下列不等式中，与不等式23282<+++x x x 解集相同的是（ ）A 、()()23282<+++x x xB 、 ()()32282++<+x x xC 、823212+<++x x xD 、218322>+++x x x17、已知点A 的坐标为()1,34，将OA 坐标原点O 逆时针方向旋转3π至OB ，则B 点的纵坐标为（ ）A 、233B 、235C 、211D 、213 18、设()n n n y x P ,是直线()*∈+=-N n n n y x 12与圆222=+y x 在第一象限的交点，则极限=--∞→11lim n nn x y （ ）A 、1-B 、21-C 、1D 、2三、解答题（本题共5大题，满分74分）19、（本题满分12分）如图，圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，底面的一条直径为AB ，C 为半圆弧AB 的中点，E 为劣弧BC 的中点，已知2PO =，1OA =，求三棱锥P AOC -的体积，并求异面直线PA 与OE 所成角。

2015年高考上海卷文数试题解析（精编版）（解析版）一．填空题（本大题共14小题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律零分）1.函数x x f 2sin 31)(-=的最小正周期为 . 【答案】π2.设全集R =U .若集合}4,3,2,1{=A ，}32|{<≤=x x B ，则=)(B C A U . 【答案】}4,1{【解析】因为}32|{<≤=x x B ，所以2|{<=x x B C U 或}3≥x ，又因为}4,3,2,1{=A ， 所以}4,1{)(=B C A U . 【考点定位】集合的运算.3.若复数z 满足i z z +=+13，其中i 是虚数单位，则=z . 【答案】i 2141+ 【解析】设),(R ∈+=b a bi a z ，则bi a z -=，因为i z z +=+13，所以i bi a bi a +=-++1)(3，即i bi a +=+124，所以⎩⎨⎧==1214b a ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2141b a ，所以i z 2141+=.【考点定位】复数的概念，复数的运算.4.设)(1x f-为12)(+=x x x f 的反函数，则=-)2(1f . 【答案】32-5.若线性方程组的增广矩阵为 ⎝⎛02 13 ⎪⎪⎭⎫21c c 解为⎩⎨⎧==53y x ，则=-21c c . 【答案】166.若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为316，则=a . 【答案】4【解析】依题意，3162321=⨯⨯⨯⨯a a a ，解得4=a . 【考点定位】等边三角形的性质，正三棱柱的性质.7.抛物线)0(22>=p px y 上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则=p .【答案】2【解析】依题意，点Q 为坐标原点，所以12=p，即2=p . 【考点定位】抛物线的性质，最值.8. 方程2)23(log )59(log 1212+-=---x x 的解为 .【答案】2【考点定位】对数方程.【名师点睛】利用24log 2=，)0,0(log log log >>=+n m mn n m a a a 将已知方程变形同底数2的两个对数式相等，再根据真数相等得到关于x 的指数方程，再利用换元法求解.与对数有关的问题，应注意对数的真数大于零.9.若y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥-020y y x y x ，则目标函数y x z 2+=的最大值为 .【答案】3【考点定位】不等式组表示的平面区域，简单的线性规划.10. 在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）. 【答案】120【考点定位】组合，分类计数原理.11.在62)12(xx +的二项式中，常数项等于 （结果用数值表示）. 【答案】240【解析】由r r rr rrr x C xx C T 366626612)1()2(---+⋅⋅=⋅⋅=，令036=-r ，所以2=r ，所以常数项为2402426=⋅C .【考点定位】二项式定理.【名师点睛】求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)．12.已知双曲线1C 、2C 的顶点重合，1C 的方程为1422=-y x ，若2C 的一条渐近线的斜率是1C 的一条渐近线的斜率的2倍，则2C 的方程为 .【答案】14422=-y x【考点定位】双曲线的性质，直线的斜率.13.已知平面向量a 、b 、c 满足b a ⊥，且}3,2,1{|}||,||,{|=c b a ，则||c b a ++的最大值是 . 【答案】53+【考点定位】平向量的模，向量垂直.【名师点睛】本题考查分析转化能力.设向量a 、b 、c 的坐标，用坐标表示c b a ++，利用辅助角公式求三角函数的最值.即可求得||c b a ++的最大值.14.已知函数x x f s i n )(=.若存在1x ，2x ，⋅⋅⋅，m x 满足π6021≤<⋅⋅⋅<<≤m x x x ，且12|)()(||)()(||)()(|13221=-+⋅⋅⋅+-+--m m x f x f x f x f x f x f ),2(*∈≥N m m ，则m 的最小值为. 【答案】8二．选择题（本大题共4小题，满分20分）每题有且只有一个正确答案案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律零分.15. 设1z 、C ∈2z ，则“1z 、2z 均为实数”是“21z z -是实数”的（ ）. A. 充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 【答案】A【解析】设),(11111R ∈+=b a i b a z ，),(22222R ∈+=b a i b a z ，若1z 、2z 均为实数，则021==b b ，所以21212121)(a a i b b a a z z -=-+-=-是实数；【考点定位】复数的概念，充分条件、必要条件的判定.16. 下列不等式中，与不等式23282<+++x x x 解集相同的是（ ）.A. 2)32)(8(2<+++x x x B. )32(282++<+x x xC. 823212+<++x x x D.218322>+++x x x 【答案】B17. 已知点 A 的坐标为)1,34(，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转3π至OB ，则点B 的纵坐标为（ ）. A.233 B. 235 C.211 D. 213 【答案】D因为491)34(2222=+=+n m ，所以491692722=+n n ，所以213=n 或213-=n （舍去），所以点B 的纵坐标为213. 【考点定位】三角函数的定义，和角的正切公式，两点间距离公式.18. 设),(n n n y x P 是直线)(12*∈+=-N n n ny x 与圆222=+y x 在第一象限的交点，则极限=--∞→11limn n n x y ( ).A. 1-B. 21-C. 1D. 2 【答案】A三．解答题（本大题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分12分）如图，圆锥的顶点为P ，底面的一条直径为AB ，C 为半圆弧AB 的中点，E 为劣弧CB 的中点.已知2=PO ，1=OA ，求三棱锥AOC P -的体积，并求异面直线PA 与OE 所成角的大小.【答案】1010arccos【考点定位】圆锥的性质，异面直线的夹角.20.（本题满分14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分. 已知函数xax x f 1)(2+=，其中a 为实数. （1）根据a 的不同取值，判断函数)(x f 的奇偶性，并说明理由； （2）若)3,1(∈a ，判断函数)(x f 在]2,1[上的单调性，并说明理由. 【答案】（1）)(x f 是非奇非偶函数；（2）函数)(x f 在]2,1[上单调递增.【解析】（1）当0=a 时，xx f 1)(=，显然是奇函数； 当0≠a 时，1)1(+=a f ，1)1(-=-a f ，)1()1(-≠f f 且0)1()1(≠-+f f ， 所以此时)(x f 是非奇非偶函数.【考点定位】函数的奇偶性、单调性.21.（本小题14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分.如图，C B A ,,三地有直道相通，5=AB 千米，3=AC 千米，4=BC 千米.现甲、乙两警员同时从A 地出发匀速前往B 地，经过t 小时，他们之间的距离为)(t f （单位：千米）.甲的路线是AB ，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB ，速度为8千米/小时.乙到达B 地后原地等待.设1t t =时乙到达C 地. （1）求1t 与)(1t f 的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当11≤≤t t 时，求)(t f 的表达式，并判断)(t f 在]1,[1t 上得最大值是否超过3？说明理由.【答案】（1）h 83，8413千米；（2）超过了3千米. 【解析】（1）h v AC t 831==乙，设此时甲运动到点P ，则8151==t v AP 甲千米， 所以=⋅⋅-+==A AP AC AP AC PC t f cos 2)(22184135381532)815(322=⨯⨯⨯-+=千米.【考点定位】余弦定理的实际运用，函数的值域.【名师点睛】分段函数是一类重要的函数模型．解决分段函数问题，关键抓住在不同的段内研究问题， 分段函数的值域，先求各段函数的值域，再求并集.22.（本题满分14分）本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分. 已知椭圆1222=+y x ，过原点的两条直线1l 和2l 分别于椭圆交于A 、B 和C 、D ，设AOC ∆的面积为S .（1）设),(11y x A ，),(22y x C ，用A 、C 的坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明||21221y x y x S -=；（2）设kx y l =:1，)33,33(C ，31=S ，求k 的值； （3）设1l 与2l 的斜率之积为m ，求m 的值，使得无论1l 与2l 如何变动，面积S 保持不变.【答案】（1）详见解析；（2）1-=k 或51-=k ；（3）21-=m .由（1）得2111221216|1|3|3333|21||21kk kx x y x y x S +-=-=-= 由题意知31216|1|32=+-k k ， 解得1-=k 或51-=k . （3）设kx y l =:1，则x km y l =:2，设),(11y x A ，),(22y x C ， 由⎩⎨⎧=+=1222y x kx y ，的221211k x +=， 同理2222222)(211m k k k m x +=+=，由（1）知，||||||21||21||2121212111221x x k m k kx x k mx x y x y x S ⋅-⋅=⋅-⋅=-= 22222212||mk k m k +⋅+-=， 整理得0)18()2164()18(22222242=-++++-m S k m m S S k S ，由题意知S 与k 无关， 则⎪⎩⎪⎨⎧=++=-021*********m m S S S ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==21812m S . 所以21-=m . 【考点定位】椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系.23.（本题满分16分）本题共3小题.第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分. 已知数列}{n a 与}{n b 满足)(211n n n n b b a a -=-++，*∈N n .（1）若53+=n b n ，且11=a ，求数列}{n a 的通项公式；（2）设}{n a 的第0n 项是最大项，即)N (0*∈≥n a a n n ，求证：数列}{n b 的第0n 项是最大项；（3）设130a λ=<，n n b λ=)N (*∈n ，求λ的取值范围，使得对任意m ，*∈N n ，0n a≠，且 1(,6)6m na a ∈. 【答案】（1）56-=n a n ；（2）详见解析；（3）)0,41(-.（3）因为n n b λ=，所以)(211n n n n a a λλ-=-++，当2≥n 时，112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-+⋅⋅⋅+-+-=---λλλλλλλ3)(2(2)(22211+-+⋅⋅⋅+-+-=---n n n n λλ+=n 2，由指数函数的单调性知，}{n a 的最大值为0222<+=λλa ，最小值为λ31=a ， 由题意，nm a a 的最大值及最小值分别是12321+=λa a 及31212+=λa a ， 由61312>+λ及6123<+λ，解得041<<-λ， 综上所述，λ的取值范围是)0,41(-. 【考点定位】数列的递推公式，等差数列的性质，常数列，数列的最大项，指数函数的单调性.。

一．填空题（本大题共14小题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律零分）1.函数xxf2sin31)(-=的最小正周期为 .【答案】π2.设全集R=U.若集合}4,3,2,1{=A，}32|{<≤=xxB，则=)(BCAU.【答案】}4,1{【解析】因为}32|{<≤=xxB，所以2|{<=xxBCU或}3≥x，又因为}4,3,2,1{=A，所以}4,1{)(=BCAU.【考点定位】集合的运算.3.若复数z满足izz+=+13，其中i是虚数单位，则=z .【答案】i2141+【解析】设),(R∈+=babiaz，则bia-=，因为izz+=+13，所以ibiabia+=-++1)(3，即ibia+=+124，所以⎩⎨⎧==1214ba，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2141ba，所以iz2141+=.【考点定位】复数的概念，复数的运算.4.设)(1xf-为12)(+=xxxf的反函数，则=-)2(1f .【答案】32-5.若线性方程组的增广矩阵为⎝⎛213⎪⎪⎭⎫21cc解为⎩⎨⎧==53yx，则=-21cc .【答案】166.若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为316，则=a .【答案】4【解析】依题意，3162321=⨯⨯⨯⨯aaa，解得4=a.【考点定位】等边三角形的性质，正三棱柱的性质.7.抛物线)0(22>=ppxy上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则=p . 【答案】2【解析】依题意，点Q为坐标原点，所以12=p，即2=p.【考点定位】抛物线的性质，最值.8. 方程2)23(log)59(log1212+-=---xx的解为 .【答案】2【考点定位】对数方程.【名师点睛】利用24log2=，)0,0(logloglog>>=+nmmnnmaaa将已知方程变形同底数2的两个对数式相等，再根据真数相等得到关于x的指数方程，再利用换元法求解.与对数有关的问题，应注意对数的真数大于零.9.若yx,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥-2yyxyx，则目标函数yxz2+=的最大值为 .【答案】3【考点定位】不等式组表示的平面区域，简单的线性规划.10. 在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）. 【答案】120【考点定位】组合，分类计数原理.11.在62)12(x x +的二项式中，常数项等于 （结果用数值表示）. 【答案】240【解析】由rr r r rr r x C xx C T 366626612)1()2(---+⋅⋅=⋅⋅=，令036=-r ，所以2=r ，所以常数项为2402426=⋅C .【考点定位】二项式定理.【名师点睛】求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)．12.已知双曲线1C 、2C 的顶点重合，1C 的方程为1422=-y x ，若2C 的一条渐近线的斜率是1C 的一条渐近线的斜率的2倍，则2C 的方程为 .【答案】14422=-y x【考点定位】双曲线的性质，直线的斜率.13.已知平面向量a 、b 、c 满足b a ⊥，且}3,2,1{|}||,||,{|=c b a ，则||c b a ++的最大值是 . 【答案】53+【考点定位】平向量的模，向量垂直.【名师点睛】本题考查分析转化能力.设向量a 、b 、c 的坐标，用坐标表示++，利用辅助角公式求三角函数的最值.即可求得||++的最大值.14.已知函数x x f sin )(=.若存在1x ，2x ，⋅⋅⋅，m x 满足π6021≤<⋅⋅⋅<<≤m x x x ，且12|)()(||)()(||)()(|13221=-+⋅⋅⋅+-+--m m x f x f x f x f x f x f ),2(*∈≥N m m ，则m 的最小值为 .【答案】8二．选择题（本大题共4小题，满分20分）每题有且只有一个正确答案案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律零分.15. 设1z 、C ∈2z ，则“1z 、2z 均为实数”是“21z z -是实数”的（ ）. A. 充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 【答案】A【解析】设),(11111R ∈+=b a i b a z ，),(22222R ∈+=b a i b a z ，若1z 、2z 均为实数，则021==b b ，所以21212121)(a a i b b a a z z -=-+-=-是实数；【考点定位】复数的概念，充分条件、必要条件的判定.16. 下列不等式中，与不等式23282<+++x x x 解集相同的是（ ）.A. 2)32)(8(2<+++x x x B. )32(282++<+x x xC. 823212+<++x x x D. 218322>+++x x x 【答案】B17. 已知点 A 的坐标为)1,34(，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转3π至OB ，则点B 的纵坐标为（ ）.A.233 B. 235 C.211 D. 213 【答案】D因为491)34(2222=+=+n m ，所以491692722=+n n ，所以213=n 或213-=n （舍去），所以点B 的纵坐标为213. 【考点定位】三角函数的定义，和角的正切公式，两点间距离公式.18. 设),(n n n y x P 是直线)(12*∈+=-N n n ny x 与圆222=+y x 在第一象限的交点，则极限=--∞→11limn n n x y ( ).A. 1-B. 21-C. 1D. 2 【答案】A三．解答题（本大题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分12分）如图，圆锥的顶点为P ，底面的一条直径为AB ，C 为半圆弧AB 的中点，E 为劣弧CB 的中点.已知2=PO ，1=OA ，求三棱锥AOC P -的体积，并求异面直线PA 与OE 所成角的大小.【答案】1010arccos【考点定位】圆锥的性质，异面直线的夹角.20.（本题满分14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分. 已知函数xax x f 1)(2+=，其中a 为实数. （1）根据a 的不同取值，判断函数)(x f 的奇偶性，并说明理由； （2）若)3,1(∈a ，判断函数)(x f 在]2,1[上的单调性，并说明理由. 【答案】（1）)(x f 是非奇非偶函数；（2）函数)(x f 在]2,1[上单调递增. 【解析】（1）当0=a 时，xx f 1)(=，显然是奇函数； 当0≠a 时，1)1(+=a f ，1)1(-=-a f ，)1()1(-≠f f 且0)1()1(≠-+f f ， 所以此时)(x f 是非奇非偶函数.【考点定位】函数的奇偶性、单调性.21.（本小题14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分.如图，C B A ,,三地有直道相通，5=AB 千米，3=AC 千米，4=BC 千米.现甲、乙两警员同时从A 地出发匀速前往B 地，经过t 小时，他们之间的距离为)(t f （单位：千米）.甲的路线是AB ，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB ，速度为8千米/小时.乙到达B 地后原地等待.设1t t =时乙到达C 地. （1）求1t 与)(1t f 的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当11≤≤t t 时，求)(t f 的表达式，并判断)(t f 在]1,[1t 上得最大值是否超过3？说明理由.【答案】（1）h 83，8413千米；（2）超过了3千米. 【解析】（1）h v AC t 831==乙，设此时甲运动到点P ，则8151==t v AP 甲千米，所以=⋅⋅-+==A AP AC AP AC PC t f cos 2)(22184135381532)815(322=⨯⨯⨯-+=千米.【考点定位】余弦定理的实际运用，函数的值域.【名师点睛】分段函数是一类重要的函数模型．解决分段函数问题，关键抓住在不同的段内研究问题，分段函数的值域，先求各段函数的值域，再求并集.22.（本题满分14分）本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分.已知椭圆1222=+y x ，过原点的两条直线1l 和2l 分别于椭圆交于A 、B 和C 、D ，设AOC ∆的面积为S .（1）设),(11y x A ，),(22y x C ，用A 、C 的坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明||21221y x y x S -=；（2）设kx y l =:1，)33,33(C ，31=S ，求k 的值；（3）设1l 与2l 的斜率之积为m ，求m 的值，使得无论1l 与2l 如何变动，面积S 保持不变.【答案】（1）详见解析；（2）1-=k 或51-=k ；（3）21-=m .由（1）得2111221216|1|3|3333|21||21kk kx x y x y x S +-=-=-=由题意知31216|1|32=+-k k ，解得1-=k 或51-=k . （3）设kx y l =:1，则x kmy l =:2，设),(11y x A ，),(22y x C ，由⎩⎨⎧=+=1222yxkxy，的221211kx+=，同理2222222)(211mkkkmx+=+=，由（1）知，||||||21||21||2121212111221xxkmkkxxkmxxyxyxS⋅-⋅=⋅-⋅=-=22222212||mkkmk+⋅+-=，整理得0)18()2164()18(22222242=-++++-mSkmmSSkS，由题意知S与k无关，则⎪⎩⎪⎨⎧=++=-2164182222mmSSS，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==21812mS.所以21-=m.【考点定位】椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系.23.（本题满分16分）本题共3小题.第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分.已知数列}{na与}{nb满足)(211nnnnbbaa-=-++，*∈Nn.（1）若53+=n b n ，且11=a ，求数列}{n a 的通项公式；（2）设}{n a 的第0n 项是最大项，即)N (0*∈≥n a a n n ，求证：数列}{n b 的第0n 项是最大项；（3）设130a λ=<，n n b λ=)N (*∈n ，求λ的取值范围，使得对任意m ，*∈N n ，0n a ≠，且1(,6)6m na a ∈. 【答案】（1）56-=n a n ；（2）详见解析；（3）)0,4(-.（3）因为n n b λ=，所以)(211nn n n a a λλ-=-++，当2≥n 时，112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-+⋅⋅⋅+-+-=--- λλλλλλλ3)(2(2)(22211+-+⋅⋅⋅+-+-=---n n n nλλ+=n 2，由指数函数的单调性知，}{n a 的最大值为0222<+=λλa ，最小值为λ31=a ， 由题意，nma a 的最大值及最小值分别是12321+=λa a 及31212+=λa a ，由61312>+λ及6123<+λ，解得041<<-λ， 综上所述，λ的取值范围是)0,41(-.【考点定位】数列的递推公式，等差数列的性质，常数列，数列的最大项，指数函数的单调性.。

绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）文科数学注意事项:1.本试卷共6页,23道试题,满分150分.考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上,在试卷上作答一律不得分.3.答卷前,务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号,并将核对后的条形码贴在指定位置上.一、填空题：本大题共有14题,满分56分.直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．函数213sin f x =x -（）的最小正周期为 . 2．设全集=U R .若集合={1,2,3,4}A ，{23}B x x =≤≤，则U A B ð= . 3．若复数z 满足31i z z +=+，其中i 为虚数单位，则z = .4．设-1f x （）为=21x f x x +（）的反函数，则=-12f （） .5．若线性方程组的增广矩阵为122301c c 骣琪琪桫、解为35x y ì=ïí=ïî，，则12c c -= . 6．若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为，则a= .7．抛物线2=2>0y px p （）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p = .8．方程1122log (95)log (32)2x x ---=-+的解为 .9．若x ，y 满足0,2,0,x y x y y ì-ïï+íïïî≥≤≥则目标函数2f x y =+的最大值为 .10．在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）.11．在621(2)x x+的二项展开式中，常数项等于 （结果用数值表示）.12．已知双曲线1C 、2C 的顶点重合，1C 的方程为22=14x y -.若2C 的一条渐近线的斜率是1C 的一条渐近线的斜率的2倍，则2C 的方程为 .13．已知平面向量a ，b ，c 满足a ⊥b ，且{|a |，|b |，|c |}={1,2,3}，则|a +b +c |的最大值是 .14．已知函数()sin f x x =.若存在12,,m x x x 满足1206πm x x x ≤＜＜＜≤，且1|f x （）223-1|||++||=122,m m f x f x f x f x f x m m -+--?*N （）（）（）（）（）（≥），则m 的最小值为 .二、选择题：本大题共有4小题,满分20分.每题有且只有一个正确答案,将正确答案填在题后括号内,选对得5分,否则一律得零分.15．设12,z z ÎC ，则“12,z z 均为实数”是“12z z -是实数”的( )A .充分非必要条件B .必要非充分条件C .充要条件D .既非充分又非必要条件16．下列不等式中，与不等式2+8<223x x x ++解集相同的是( )A .2(+8)(+2+3)<2x x xB .2+8<2(+2+3)x x xC .212<23+8x x x ++ D .2231>+82x x x ++17．已知点A的坐标为（），将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转π3至OB ，则点B 的纵坐标为( )ABC .112D .13218．设(),n n n P x y 是直线2()1nx y n n -=?+*N 与圆222x y +=在第一象限的交点，则极限1lim 1n n n y x -=-( )A .1-B .12- C .1 D .2三、解答题：本大题共有5题,满分74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 19.（本小题满分12分）如图，圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，底面的一条直径为AB ，C 为半圆弧AB 的中点，E 为劣弧CB 的中点，已知2PO =，1OA =，求三棱锥P AOC -的体积，并求异面直线PA 与OE 所成的角的大小.20.（本小题满分14分）已知函数21()f x ax x=+，其中a 为常数. （Ⅰ）根据a 的不同取值，判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由； （Ⅱ）若(1,3)a Î，判断函数()f x 在[1,2]上的单调性，并说明理由.21.（本小题满分14分）如图，O ，P ，Q 三地有直道相通，3OP =千米，4PQ =千米，5OQ =千米.现甲、姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无------------------------------------乙两警员同时从O 地出发匀速前往Q 地，经过t 小时，他们之间的距离为()f t （单位：千米）.甲的路线是OQ ，速度为5千米/小时，乙的路线是OPQ ，速度为8千米/小时.乙到达Q 地后在原地等待.设1t t =时，乙到达P 地；2t t =时，乙到达Q 地. （Ⅰ）求1t 与1()f t 的值；（Ⅱ）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当12t t t ≤≤时，求()f t 的表达式，并判断()f t 在12[,]t t 上的最大值是否超过3？说明理由.22.（本小题满分16分）已知椭圆2221x y +=，过原点的两条直线1l 和2l 分别与椭圆交于点A ，B 和C ，D .记△AOC 的面积为S .（Ⅰ）设11(,)A x y ，22(,)C x y .用A ，C 的坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明12211||2S x y x y =-；（Ⅱ）设1:l y kx =，C ，13S =，求k 的值； （Ⅲ）设1l 与2l 的斜率之积为m .求m 的值，使得无论1l 与2l 如何变动，面积S 保持不变.23.（本小题满分18分）已知数列{}n a 与{}n b 满足112()n n n n a a b b ++-=-，n Î*N .（Ⅰ）若35n b n =+，且11a =，求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设{}n a 的第0n 项是最大项，即0()n n a a n Î*N ≥.求证：{}n b 的第0n 项是最大项；（Ⅲ）设130a l =＜，()n n b n l =?*N .求l 的取值范围，使得对任意m ，n Î*N ，0n a ¹，且1(,6)6m n a a Î.2015年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）文科数学答案解析1235c c ⎡⎤⎤⎡⎤=⎢⎥⎥⎢⎥⎦⎣⎦⎣⎦【提示】根据增广矩阵的定义得到【解析】正三棱柱的体积为14330x -+=30=，即得【提示】利用对数的运算性质化为指数类型方程，解出并验证即可【考点】对数方程.【考点】二元线性规划求目标函数最值.10.【答案】120122，2(m f x -++2m x ，，满足6m x <<≤27811π0,π,22x x x ===，，。

高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）2015年高考上海卷文数试题解析（精编版）（解析版）一．填空题（本大题共14小题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律零分）1.函数x x f 2sin 31)(-=的最小正周期为 .【答案】π2.设全集R =U .若集合}4,3,2,1{=A ，}32|{<≤=x x B ，则=)(B C A U . 【答案】}4,1{【解析】因为}32|{<≤=x x B ，所以2|{<=x x B C U 或}3≥x ，又因为}4,3,2,1{=A ， 所以}4,1{)(=B C A U . 【考点定位】集合的运算.3.若复数z 满足i z z +=+13，其中i 是虚数单位，则=z .【答案】i 2141+ 【解析】设),(R ∈+=b a bi a z ，则bi a z -=，因为i z z +=+13，所以i bi a bi a +=-++1)(3，即i bi a +=+124，所以⎩⎨⎧==1214b a ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2141b a ，所以i z 2141+=. 【考点定位】复数的概念，复数的运算.4.设)(1x f-为12)(+=x x x f 的反函数，则=-)2(1f . 【答案】32-5.若线性方程组的增广矩阵为 ⎝⎛02 13 ⎪⎪⎭⎫21c c 解为⎩⎨⎧==53y x ，则=-21c c . 【答案】166.若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为316，则=a . 【答案】4【解析】依题意，3162321=⨯⨯⨯⨯a a a ，解得4=a . 【考点定位】等边三角形的性质，正三棱柱的性质.7.抛物线)0(22>=p px y 上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则=p .【答案】2【解析】依题意，点Q 为坐标原点，所以12=p，即2=p . 【考点定位】抛物线的性质，最值.8. 方程2)23(log )59(log 1212+-=---x x 的解为 .【答案】2【考点定位】对数方程.【名师点睛】利用24log 2=，)0,0(log log log >>=+n m mn n m a a a 将已知方程变形同底数2的两个对数式相等，再根据真数相等得到关于x 的指数方程，再利用换元法求解.与对数有关的问题，应注意对数的真数大于零.9.若y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥-020y y x y x ，则目标函数y x z 2+=的最大值为 .【答案】3【考点定位】不等式组表示的平面区域，简单的线性规划.10. 在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）. 【答案】120【考点定位】组合，分类计数原理.11.在62)12(x x的二项式中，常数项等于 （结果用数值表示）. 【答案】240【解析】由rr r r rr r x C xx C T 366626612)1()2(---+⋅⋅=⋅⋅=，令036=-r ，所以2=r ，所以常数项为2402426=⋅C .【考点定位】二项式定理.【名师点睛】求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)．12.已知双曲线1C 、2C 的顶点重合，1C 的方程为1422=-y x ，若2C 的一条渐近线的斜率是1C 的一条渐近线的斜率的2倍，则2C 的方程为 .【答案】14422=-y x【考点定位】双曲线的性质，直线的斜率.13.已知平面向量a 、b 、c 满足b a ⊥，且}3,2,1{|}||,||,{|=c b a ，则||c b a ++的最大值是 . 【答案】53+【考点定位】平向量的模，向量垂直.【名师点睛】本题考查分析转化能力.设向量a 、b 、c 的坐标，用坐标表示c b a ++，利用辅助角公式求三角函数的最值.即可求得||c b a ++的最大值.14.已知函数x x f s i n)(=.若存在1x ，2x ，⋅⋅⋅，m x 满足π6021≤<⋅⋅⋅<<≤m x x x ，且12|)()(||)()(||)()(|13221=-+⋅⋅⋅+-+--m m x f x f x f x f x f x f ),2(*∈≥N m m ，则m 的最小值为 . 【答案】8二．选择题（本大题共4小题，满分20分）每题有且只有一个正确答案案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律零分.15. 设1z 、C ∈2z ，则“1z 、2z 均为实数”是“21z z -是实数”的（ ）. A. 充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 【答案】A【解析】设),(11111R ∈+=b a i b a z ，),(22222R ∈+=b a i b a z ，若1z 、2z 均为实数，则021==b b ，所以21212121)(a a i b b a a z z -=-+-=-是实数；【考点定位】复数的概念，充分条件、必要条件的判定.16. 下列不等式中，与不等式23282<+++x x x 解集相同的是（ ）. A. 2)32)(8(2<+++x x x B. )32(282++<+x x xC. 823212+<++x x x D.218322>+++x x x 【答案】B17. 已知点 A 的坐标为)1,34(，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转3π至OB ，则点B 的纵坐标为（ ）.A.233 B. 235 C.211 D. 213 【答案】D因为491)34(2222=+=+n m ，所以491692722=+n n ，所以213=n 或213-=n （舍去），所以点B 的纵坐标为213. 【考点定位】三角函数的定义，和角的正切公式，两点间距离公式.18. 设),(n n n y x P 是直线)(12*∈+=-N n n ny x 与圆222=+y x 在第一象限的交点，则极限=--∞→11limn n n x y ( ).A. 1-B. 21-C. 1D. 2 【答案】A三．解答题（本大题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分12分）如图，圆锥的顶点为P ，底面的一条直径为AB ，C 为半圆弧AB 的中点，E 为劣弧CB 的中点.已知2=PO ，1=OA ，求三棱锥AOC P -的体积，并求异面直线PA 与OE 所成角的大小.【答案】1010arccos【考点定位】圆锥的性质，异面直线的夹角.20.（本题满分14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分. 已知函数xax x f 1)(2+=，其中a 为实数. （1）根据a 的不同取值，判断函数)(x f 的奇偶性，并说明理由； （2）若)3,1(∈a ，判断函数)(x f 在]2,1[上的单调性，并说明理由. 【答案】（1）)(x f 是非奇非偶函数；（2）函数)(x f 在]2,1[上单调递增. 【解析】（1）当0=a 时，xx f 1)(=，显然是奇函数； 当0≠a 时，1)1(+=a f ，1)1(-=-a f ，)1()1(-≠f f 且0)1()1(≠-+f f ， 所以此时)(x f 是非奇非偶函数.【考点定位】函数的奇偶性、单调性.21.（本小题14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分. 如图，C B A ,,三地有直道相通，5=AB 千米，3=AC 千米，4=BC 千米.现甲、乙两警员同时从A 地出发匀速前往B 地，经过t 小时，他们之间的距离为)(t f （单位：千米）.甲的路线是AB ，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB ，速度为8千米/小时.乙到达B 地后原地等待.设1t t =时乙到达C 地.（1）求1t 与)(1t f 的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当11≤≤t t 时，求)(t f 的表达式，并判断)(t f 在]1,[1t 上得最大值是否超过3？说明理由.【答案】（1）h 83，8413千米；（2）超过了3千米. 【解析】（1）h v AC t 831==乙，设此时甲运动到点P ，则8151==t v AP 甲千米， 所以=⋅⋅-+==A AP AC AP AC PC t f cos 2)(22184135381532)815(322=⨯⨯⨯-+=千米.【考点定位】余弦定理的实际运用，函数的值域.【名师点睛】分段函数是一类重要的函数模型．解决分段函数问题，关键抓住在不同的段内研究问题， 分段函数的值域，先求各段函数的值域，再求并集.22.（本题满分14分）本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分. 已知椭圆1222=+y x ，过原点的两条直线1l 和2l 分别于椭圆交于A 、B 和C 、D ，设AOC ∆的面积为S .（1）设),(11y x A ，),(22y x C ，用A 、C 的坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明||21221y x y x S -=；（2）设kx y l =:1，)33,33(C ，31=S ，求k 的值； （3）设1l 与2l 的斜率之积为m ，求m 的值，使得无论1l 与2l 如何变动，面积S 保持不变.【答案】（1）详见解析；（2）1-=k 或51-=k ；（3）21-=m .由（1）得2111221216|1|3|3333|21||21kk kx x y x y x S +-=-=-= 由题意知31216|1|32=+-k k ，解得1-=k 或51-=k . （3）设kx y l =:1，则x k m y l =:2，设),(11y x A ，),(22y x C ， 由⎩⎨⎧=+=1222y x kxy ，的221211kx +=， 同理2222222)(211m k k k m x +=+=，由（1）知，||||||21||21||2121212111221x x k m k kx x k mx x y x y x S ⋅-⋅=⋅-⋅=-= 22222212||m k k m k +⋅+-=，整理得0)18()2164()18(22222242=-++++-m S k m m S S k S ，由题意知S 与k 无关，则⎪⎩⎪⎨⎧=++=-021*********m m S S S ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==21812m S . 所以21-=m . 【考点定位】椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系.23.（本题满分16分）本题共3小题.第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分. 已知数列}{n a 与}{n b 满足)(211n n n n b b a a -=-++，*∈N n .（1）若53+=n b n ，且11=a ，求数列}{n a 的通项公式；（2）设}{n a 的第0n 项是最大项，即)N (0*∈≥n a a n n ，求证：数列}{n b 的第0n 项是最大项；（3）设130a λ=<，n n b λ=)N (*∈n ，求λ的取值范围，使得对任意m ，*∈N n ，0n a ≠，且 1(,6)6m na a ∈. 【答案】（1）56-=n a n ；（2）详见解析；（3）)0,41(-.（3）因为n n b λ=，所以)(211n n n n a a λλ-=-++，当2≥n 时，112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-+⋅⋅⋅+-+-=---λλλλλλλ3)(2(2)(22211+-+⋅⋅⋅+-+-=---n n n nλλ+=n2，由指数函数的单调性知，}{n a 的最大值为0222<+=λλa ，最小值为λ31=a ， 由题意，nm a a 的最大值及最小值分别是12321+=λa a 及31212+=λa a ， 由61312>+λ及6123<+λ，解得041<<-λ，综上所述，λ的取值范围是)0,41(-. 【考点定位】数列的递推公式，等差数列的性质，常数列，数列的最大项，指数函数的单调性.。

高考衣食住用行衣：高考前这段时间，提醒同学们出门一定要看天气，否则淋雨感冒，就会影响考场发挥。

穿着自己习惯的衣服，可以让人在紧张时产生亲切感和安全感，并能有效防止不良情绪产生。

食：清淡的饮食最适合考试，切忌吃太油腻或者刺激性强的食物。

如果可能的话，每天吃一两个水果，补充维生素。

另外，进考场前一定要少喝水！住：考前休息很重要。

好好休息并不意味着很早就要上床睡觉，根据以往考生的经验，太早上床反而容易失眠。

考前按照你平时习惯的时间上床休息就可以了，但最迟不要超过十点半。

用：出门考试之前，一定要检查文具包。

看看答题的工具是否准备齐全，应该带的证件是否都在，不要到了考场才想起来有什么工具没带，或者什么工具用着不顺手。

行：看考场的时候同学们要多留心，要仔细了解自己住的地方到考场可以坐哪些路线的公交车？有几种方式可以到达？大概要花多长时间？去考场的路上有没有修路堵车的情况？考试当天，应该保证至少提前20分钟到达考场。

2015年高考上海卷文数试题解析（精编版）（解析版）一．填空题（本大题共14小题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律零分）1.函数x x f 2sin 31)(-=的最小正周期为 . 【答案】π2.设全集R =U .若集合}4,3,2,1{=A ，}32|{<≤=x x B ，则=)(B C A U I. 【答案】}4,1{【解析】因为}32|{<≤=x x B ，所以2|{<=x x B C U 或}3≥x ，又因为}4,3,2,1{=A ， 所以}4,1{)(=B C A U I . 【考点定位】集合的运算.3.若复数z 满足i z z +=+13，其中i 是虚数单位，则=z . 【答案】i 2141+ 【解析】设),(R ∈+=b a bi a z ，则bi a z -=，因为i z z +=+13，所以i bi a bi a +=-++1)(3，即i bi a +=+124，所以⎩⎨⎧==1214b a ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2141b a ，所以i z 2141+=. 【考点定位】复数的概念，复数的运算.4.设)(1x f-为12)(+=x x x f 的反函数，则=-)2(1f . 【答案】32-5.若线性方程组的增广矩阵为 ⎝⎛02 13 ⎪⎪⎭⎫21c c 解为⎩⎨⎧==53y x ，则=-21c c . 【答案】166.若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为316，则=a . 【答案】4【解析】依题意，3162321=⨯⨯⨯⨯a a a ，解得4=a . 【考点定位】等边三角形的性质，正三棱柱的性质.7.抛物线)0(22>=p px y 上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则=p . 【答案】2【解析】依题意，点Q 为坐标原点，所以12=p，即2=p . 【考点定位】抛物线的性质，最值.8. 方程2)23(log )59(log 1212+-=---x x 的解为 .【答案】2【考点定位】对数方程.【名师点睛】利用24log 2=，)0,0(log log log >>=+n m mn n m a a a 将已知方程变形同底数2的两个对数式相等，再根据真数相等得到关于x 的指数方程，再利用换元法求解.与对数有关的问题，应注意对数的真数大于零.9.若y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥-020y y x y x ，则目标函数y x z 2+=的最大值为.【答案】3【考点定位】不等式组表示的平面区域，简单的线性规划.10. 在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）. 【答案】120【考点定位】组合，分类计数原理.11.在62)12(x x +的二项式中，常数项等于 （结果用数值表示）. 【答案】240【解析】由r r r r rrr x C xx C T 366626612)1()2(---+⋅⋅=⋅⋅=，令036=-r ，所以2=r ，所以常数项为2402426=⋅C .【考点定位】二项式定理.【名师点睛】求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)．12.已知双曲线1C 、2C 的顶点重合，1C 的方程为1422=-y x ，若2C 的一条渐近线的斜率是1C 的一条渐近线的斜率的2倍，则2C 的方程为 .【答案】14422=-y x【考点定位】双曲线的性质，直线的斜率.13.已知平面向量a 、b 、c 满足b a ⊥，且}3,2,1{|}||,||,{|=c b a ，则||c b a ++的最大值是 . 【答案】53+【考点定位】平向量的模，向量垂直.【名师点睛】本题考查分析转化能力.设向量a 、b 、c 的坐标，用坐标表示c b a ++，利用辅助角公式求三角函数的最值.即可求得||c b a ++的最大值.14.已知函数x x f sin )(=.若存在1x ，2x ，⋅⋅⋅，m x 满足π6021≤<⋅⋅⋅<<≤m x x x ，且12|)()(||)()(||)()(|13221=-+⋅⋅⋅+-+--m m x f x f x f x f x f x f ),2(*∈≥N m m ，则m 的最小值为. 【答案】8二．选择题（本大题共4小题，满分20分）每题有且只有一个正确答案案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律零分.15. 设1z 、C ∈2z ，则“1z 、2z 均为实数”是“21z z -是实数”的（ ）. A. 充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 【答案】A【解析】设),(11111R ∈+=b a i b a z ，),(22222R ∈+=b a i b a z ，若1z 、2z 均为实数，则021==b b ，所以21212121)(a a i b b a a z z -=-+-=-是实数；【考点定位】复数的概念，充分条件、必要条件的判定.16. 下列不等式中，与不等式23282<+++x x x 解集相同的是（ ）. A. 2)32)(8(2<+++x x x B. )32(282++<+x x xC. 823212+<++x x x D. 218322>+++x x x 【答案】B17. 已知点 A 的坐标为)1,34(，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转3π至OB ，则点B 的纵坐标为（ ）. A.233 B. 235 C.211 D. 213 【答案】D因为491)34(2222=+=+n m ，所以491692722=+n n ，所以213=n 或213-=n （舍去），所以点B 的纵坐标为213. 【考点定位】三角函数的定义，和角的正切公式，两点间距离公式.18. 设),(n n n y x P 是直线)(12*∈+=-N n n ny x 与圆222=+y x 在第一象限的交点，则极限=--∞→11limn n n x y ( ).A. 1-B. 21-C. 1D. 2 【答案】A三．解答题（本大题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分12分）如图，圆锥的顶点为P ，底面的一条直径为AB ，C 为半圆弧AB 的中点，E 为劣弧CB 的中点.已知2=PO ，1=OA ，求三棱锥AOC P -的体积，并求异面直线PA 与OE 所成角的大小.【答案】1010arccos【考点定位】圆锥的性质，异面直线的夹角.20.（本题满分14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分. 已知函数xax x f 1)(2+=，其中a 为实数. （1）根据a 的不同取值，判断函数)(x f 的奇偶性，并说明理由； （2）若)3,1(∈a ，判断函数)(x f 在]2,1[上的单调性，并说明理由. 【答案】（1）)(x f 是非奇非偶函数；（2）函数)(x f 在]2,1[上单调递增. 【解析】（1）当0=a 时，xx f 1)(=，显然是奇函数； 当0≠a 时，1)1(+=a f ，1)1(-=-a f ，)1()1(-≠f f 且0)1()1(≠-+f f ， 所以此时)(x f 是非奇非偶函数.【考点定位】函数的奇偶性、单调性.21.（本小题14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分.如图，C B A ,,三地有直道相通，5=AB 千米，3=AC 千米，4=BC 千米.现甲、乙两警员同时从A 地出发匀速前往B 地，经过t 小时，他们之间的距离为)(t f （单位：千米）.甲的路线是AB ，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB ，速度为8千米/小时.乙到达B 地后原地等待.设1t t =时乙到达C 地. （1）求1t 与)(1t f 的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当11≤≤t t 时，求)(t f 的表达式，并判断)(t f 在]1,[1t 上得最大值是否超过3？说明理由.【答案】（1）h 83，8413千米；（2）超过了3千米. 【解析】（1）h v AC t 831==乙，设此时甲运动到点P ，则8151==t v AP 甲千米，所以=⋅⋅-+==A AP AC AP AC PC t f cos 2)(22184135381532)815(322=⨯⨯⨯-+=千米.【考点定位】余弦定理的实际运用，函数的值域.【名师点睛】分段函数是一类重要的函数模型．解决分段函数问题，关键抓住在不同的段内研究问题， 分段函数的值域，先求各段函数的值域，再求并集.22.（本题满分14分）本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分.已知椭圆1222=+yx ，过原点的两条直线1l 和2l 分别于椭圆交于A 、B 和C 、D ，设AOC ∆的面积为S .（1）设),(11y x A ，),(22y x C ，用A 、C 的坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明||21221y x y x S -=； （2）设kx y l =:1，)33,33(C ，31=S ，求k 的值；（3）设1l 与2l 的斜率之积为m ，求m 的值，使得无论1l 与2l 如何变动，面积S 保持不变. 【答案】（1）详见解析；（2）1-=k 或51-=k ；（3）21-=m .由（1）得2111221216|1|3|3333|21||21kk kx x y x y x S +-=-=-=由题意知31216|1|32=+-k k ，解得1-=k 或51-=k . （3）设kx y l =:1，则x kmy l =:2，设),(11y x A ，),(22y x C ， 由⎩⎨⎧=+=1222y x kx y ，的221211k x +=， 同理2222222)(211m k k km x +=+=，由（1）知，||||||21||21||2121212111221x x k m k kx x k mx x y x y x S ⋅-⋅=⋅-⋅=-= 22222212||mk k m k +⋅+-=，整理得0)18()2164()18(22222242=-++++-m S k m m S S k S ， 由题意知S 与k 无关，则⎪⎩⎪⎨⎧=++=-021640182222m m S S S ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==21812m S .所以21-=m . 【考点定位】椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系.23.（本题满分16分）本题共3小题.第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分.已知数列}{n a 与}{n b 满足)(211n n n n b b a a -=-++，*∈N n .（1）若53+=n b n ，且11=a ，求数列}{n a 的通项公式；（2）设}{n a 的第0n 项是最大项，即)N (0*∈≥n a a n n ，求证：数列}{n b 的第0n 项是最大项；（3）设130a λ=<，n n b λ=)N (*∈n ，求λ的取值范围，使得对任意m ，*∈N n ，0n a ≠，且1(,6)6m na a ∈. 【答案】（1）56-=n a n ；（2）详见解析；（3）)0,4(-.（3）因为n n b λ=，所以)(211nn n n a a λλ-=-++，当2≥n 时，112211)()()(aa a a a a a a n n n n n +-+⋅⋅⋅+-+-=--- λλλλλλλ3)(2(2)(22211+-+⋅⋅⋅+-+-=---n n n nλλ+=n 2，由指数函数的单调性知，}{n a 的最大值为0222<+=λλa ，最小值为λ31=a ， 由题意，nma a 的最大值及最小值分别是12321+=λa a 及31212+=λa a ，由61312>+λ及6123<+λ，解得041<<-λ， 综上所述，λ的取值范围是)0,41(-.【考点定位】数列的递推公式，等差数列的性质，常数列，数列的最大项，指数函数的单调性.。

1.函数x x f 2sin 31)(-=的最小正周期为___________. 【解析】根据题意可得212cos 23)2cos 1(231)(-=--=x x x f ，所以2ππ2T ==. 【答案】π2.设全集U =R ．若集合{}1,2,3,4Α=，{}23Βx x =≤≤，则UΑΒ= ．【解析】根据题意，可得{|32}UB x x x =><或，故{}1,4UΑΒ=.【答案】{}1,43.若复数z 满足31i z z +=+，其中i 为虚数单位，则z = ．【解析】设()i ,z x y x y =+∈R ，所以i z x y =-，所以33i i 1i x y x y ++-=+，所以11,42x y ==.故11i.42z =+【答案】11i 42+4.设)(1x f -为12)(+=x x x f 的反函数，则=-)2(1f ___________.【解析】令212=+x x，解得32-=x ，即32)2(1-=-f .【答案】32-5.若线性方程组的增广矩阵为122301c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，解为3,5,x y =⎧⎨=⎩则12c c -= ． 【解析】根据增广矩阵的定义可以还原成方程组⎩⎨⎧=+=+,0,3221c y c y x 把⎩⎨⎧==,5,3y x 代入，可得⎩⎨⎧==,5,2121c c 所以.1621=-c c 【答案】166.若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为a = ．【解析】由3164323213==⨯⨯⨯=⋅=a a a a S h V 底，可得4=a . 【答案】47.抛物线()220y px p =>上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p = ．【解析】根据抛物线的性质，知当且仅当动点Q 运动到原点时，点Q 到抛物线焦点的距离最小，所以有12p=，所以2.p = 【答案】28.方程()()1122log 95log 322x x ---=-+的解为 ． 【解析】由题意可得()11954320,x x ---=->所以()21134330,x x ---⋅+=即()()1133310,x x ----=解得1x =或2x =，检验知只有2x =符合题意.【答案】29.若y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥-,0,2,0y y x y x 则目标函数y x f 2+=的最大值为___________.【解析】根据题意作出可行域，如图中阴影部分所示，由图可知，当直线20x y f +-=过()1,1A 时有最大值，且max 121 3.f =+⨯=【答案】310.在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 .（结果用数值表示）【解析】由题意可分男1、女4，男2、女3和男3、女2三种情况，所以142332363636C C C C C C 456015120.++=++=【答案】120 11.在62)12(x x +的二项展开式中，常数项等于___________.（结果用数值表示） 【解析】由()666316621C 2C 2,rrrrr r r T x x x ---+⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭令036=-r ，得2=r ，所以常数项为2436C 2240.T =⋅=【答案】24012.已知双曲线1C ，2C 的顶点重合，1C 的方程为1422=-y x .若2C 的一条渐近线的斜率是1C 的一条渐近线的斜率的2倍，则2C 的方程为___________.【解析】设2C 的方程为()22210,4x y b b -=>可得2C 的一条渐近线方程为2by x =.因为1C 的一条渐近线方程为,2x y =由题意可知1222b =⨯，解得 2.b =故2C 的方程为22 1.44x y -= 【答案】22144x y -= 13.已知平面向量,,a b c 满足⊥a b ，且{}{},,1,2,3=a b c ，则a +b+c 的最大值是___________.【解析】令,,,OA OB OC ===a b c ,OA OB OD +=+=a b 可知当OC 与OD 方向相同时++a b c 取最大值.因为{}{},,1,2,3=a b c ，所以经计算可知，当1,2,3,OA OB OC ===或2,1,3OA OB OC ===时，a +b+c 取最大值35+.【答案】35+14.已知函数()sin f x x =．若存在12,,,m x x x 满足1206m x x x ≤<<⋅⋅⋅<≤π，且()()()()()()1223112m m f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-=（2m ≥，m *∈N ），则m 的最小值为 ．【解析】因为对任意的(),,1,2,,,i j x x i j m =()()()()max min 2i j f x f x f x f x -≤-=，若欲使m 取最小值，应尽可能多的让()1,2,,i x i m =取最值点.因为1206m x x x ≤<<<≤π，()()()()()()()*12231122,m m f x f x f x f x f x f x m m --+-++-=≥∈N ，所以按照下图所示取值即可满足条件.所以m 的最小值为8. 【答案】815.设12,C z z ∈，则“12,z z 均为实数”是“12z z -是实数”的（ ）. A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【解析】选 A.充分性显然成立.必要性不成立，因为若12z z -是实数，可设1i z a c =+，()2i ,,,0z b c a b c c =+∈≠R ，显然1z ，2z 均为虚数.16.下列不等式中，与不等式23282<+++x x x 解集相同的是（ ）. A.2)32)(8(2<+++x x x B.)32(282++<+x x xC.823212+<++x x x D.218322>+++x x x 【解析】选 B.因为()22231220x x x ++=++≥>恒成立，所以由不等式的性质可得()28223x x x +<++.17.已知点Α的坐标为()，将ΟΑ绕坐标原点Ο逆时针旋转π3至ΟΒ，则点Β的纵坐标为（ ）. ABC ．112D ．132【解析】选D.由题意可知7OA =，所以1sin 7AOx ∠=，cos AOx ∠=，所以13sin sin 7sin cos cos sin .33332B y OB AOx OA AOx AOx AOx ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=∠+=∠+=∠⋅+∠⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭18.设(),n n n Ρx y 是直线21n x y n -=+（n *∈N ）与圆222x y +=在第一象限的交点，则极限1lim1n n n y x →∞-=-（ ）. A.1- B.12-C.1D.2 【解析】选A.当n →∞时，直线()*21nx y n n -=∈+N 趋向于21x y -=，直线与圆的交点趋向于点()1,1P .1lim1n n n y x →∞--可以理解为过点()1,1P 所作的圆的切线的斜率k ，设切线方程为()11y k x -=-，由222x y +=的圆心到切线的距离等于半径，=解得1k =-，即1lim11nnnyx→∞-=--.19.如图，圆锥的顶点为P，底面圆心为O，底面的一条直径为AB，C为半圆弧AB的中点，E为劣弧CB的中点.已知2,1PO OA==.求三棱锥P AOC-的体积，并求异面直线PA和OE所成的角的大小.【解析】1112.323P AOCV-=⨯⨯=因为//AC OE，所以PAC∠为异面直线PA与OE所成的角或其补角.由2,1PO OA OC===，得5, 2.PA PC AC===在PAC∆中，由余弦定理得10cos10PAC∠=，故异面直线PA与OE所成的角的大小为10arccos.1020.已知函数21()f x axx=+，其中a为常数.(1)根据a的不同取值，判断函数()f x的奇偶性，并说明理由；(2)若(1,3)a∈，判断函数()f x在[1,2]上的单调性，并说明理由.【解析】（1）()f x的定义域为{|0,}x x x≠∈R，关于原点对称.2211()()f x a x axx x-=-+=--，当0a=时，()()f x f x-=-，故()f x为奇函数.当0a≠时，由(1)1,(1)1f a f a=+-=-，知(1)(1)f f-≠且(1)(1)f f-≠-，故()f x既不是奇函数也不是偶函数.（2）设1212x x≤<≤，则22212121122112111()()()[()]f x f x ax ax x x a x x x x x x -=+--=-+-， 由1212x x ≤<≤，得210x x ->，1224x x <+<，1214x x <<，121114x x -<-<-， 又13a <<，所以122()12a x x <+<， 得12121()0a x x x x +->，从而21()()0f x f x ->，即21()()f x f x >， 故当(1,3)a ∈时，()f x 在[1,2]上单调递增.21.如图，,,O P Q 三地有直道相通，3OP =千米，4PQ =千米，5OQ =千米.现甲、乙两警员同时从O 地出发匀速前往Q 地，经过t 小时，他们之间的距离为()f t （单位：千米）.甲的路线是OQ ，速度为5千米/小时，乙的路线是OPQ ，速度为8千米/小时.乙到达Q 地后在原地等待.设1t t =时，乙到达P 地；2t t =时，乙到达Q 地. （1）求1t 与1()f t 的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当12t t t ≤≤时，求()f t 的表达式，并判断()f t 在12[,]t t 上的最大值是否超过3？说明理由.【解析】（1）138t =. 记乙到P 时甲所在地为R ，则158OR =千米. 在OPR ∆中，2222cos PR OP OR OP OR O =+-∠， 所以1341()f t PR ==（千米）.（2）278t =，如图建立平面直角坐标系. 设经过t 小时，甲、乙所在位置分别为,.M N 当37[,]88t ∈时，(3,4),(3,83)M t t N t -，222()(33)(43)254218f t t t t t =-+-+=-+.()f t 在37[,]88上的最大值是3341()88f =，不超过3.22.已知椭圆2221x y +=，过原点的两条直线1l 和2l 分别与椭圆交于点,A B 和,C D ，记AOC ∆的面积为S .（1）设1122(,),(,)A x y C x y ，用,A C 的坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明122112S x y x y =-； （2）设1:l y kx =，33,C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，13S =，求k 的值； （3）设1l 与2l 的斜率之积为m .求m 的值，使得无论1l 与2l 如何变动，面积S 保持不变. 【解析】（1）证明：直线111:0l y x x y -=，点C 到1l 的距离12122211d x y=+.因为2211||AO x y =+，所以122111||||22S OA d x y x y ==-. （2）解：由22,21,y kx x y =⎧⎨+=⎩得212112x k =+. 由（1），122111211333|1|||||22612k S x y x y x kx k-=-=-=+. 由题意，23|1|13612k k -=+，解得15k =-或1-.（3）解：设1:l y kx =，则2:m l y x k=. 设1122(,),(,)A x y C x y . 由22,21,y kx x y =⎧⎨+=⎩得212112x k=+.同理2222221212()k x m k m k==++. 由（1），21212212112111||||||||222||x mx k m S x y x y x kx x x k k ⋅-=-=-=⋅⋅ 22222k m=+，整理得24222222(81)(4162)(81)0S k S S m m k S m -++++-=.由题意知，S 与k 无关，则2222810,41620,S S S m m ⎧-=⎪⎨++=⎪⎩得21,81,2S m ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 所以12m =-. 23.已知数列{}n a 与{}n b 满足112(),*n n n n a a b b n ++-=-∈N . （1）若35,n b n =+且11a =,求{}n a 的通项公式；（2）设{}n a 的第0n 项是最大项,即0(*)n n a a n ≥∈N .求证:{}n b 的第0n 项是最大项；（3）设130a λ=<,(*)nn b n λ=∈N ,求λ的取值范围,使得对任意,*m n ∈N ，0n a ≠，且1,66m n a a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 【解析】（1）解：由13n n b b +-=，得16n n a a +-=， 所以{}n a 是首项为1，公差为6的等差数列，故{}n a 的通项公式为*65,n a n n =-∈N .（2）证明：由112()n n n n a a b b ++-=-，得1122n n n n a b a b ++-=-. 所以{2}n n a b -为常数列，1122n n a b a b -=-，即1122n n a b a b =+-， 因为0*,n n a a n ≥∈N ，所以011112222n n b a b b a b +-≥+-，即0n n b b ≥.故{}n b 的第0n 项是最大项.（3）解：因为nn b λ=，所以112()n n n n a a λλ++-=-，当2n ≥时，112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+11222()2()2()3n n n n λλλλλλλ---=-+-++-+2n λλ=+.当1n =时，13a λ=，符合上式.所以2nn a λλ=+.因为130a λ=<，且对任意*11,(,6)6n a n a ∈∈N ，故0n a <.特别地，2220a λλ=+<， 于是1(,0)2λ∈-.此时对任意*,0n n a ∈≠N .当102λ-<<时，2212212||,2||n n n n a a λλλλλλ--=+>=-+<,由指数函数的单调性知，{}n a 的最大值为2220a λλ=+<，最小值为13a λ=.由题意，m na a 的最大值及最小值分别为12321a a λ=+及21213a a λ+=.由21136λ+>及3621λ<+，解得104λ-<<. 综上所述，λ的取值范围为1(,0)4-.。

2015上海高考数学（文）试题及答案满分:班级：_________ 姓名：_________ 考号：_________一、单选题（共4小题）1.设、，则“、均为实数”是“是实数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件2.下列不等式中，与不等式解集相同的是（）A．B．C．D．3.已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的纵坐标为（）A．B．C．D．4.设是直线与圆在第一象限的交点，则极限（）A．B．C．D．二、填空题（共14小题）5.函数的最小正周期为____________.6.设全集.若集合，，则__________.7.若复数满足，其中是虚数单位，则________.8.设为的反函数，则___________.9.若线性方程组的增广矩阵为解为，则__________.10.若正三棱柱的所有棱长均为，且其体积为，则___________.11.抛物线上的动点到焦点的距离的最小值为1，则_________.12.方程的解为___________.13.若满足，则目标函数的最大值为___________14.在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）.15.在的二项展开式中，常数项等于（结果用数值表示）.16.已知双曲线、的顶点重合，的方程为，若的一条渐近线的斜率是的一条渐近线的斜率的2倍，则的方程为17.已知平面向量、、满足，且，则的最大值是______.18.已知函数.若存在，，，满足，且，则的最小值为三、解答题（共5小题）19.如图，圆锥的顶点为，底面圆为，底面的一条直径为，为半圆弧的中点，为劣弧的中点，已知.求三棱锥的体积，并求异面直线和所成角的大小.20.已知函数，其中为常数（1）根据的不同取值，判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）若，判断函数在上的单调性，并说明理由.21.如图，三地有直道相通，千米，千米，千米，现甲、乙两警员同时从地出发匀速前往地，经过小时，他们之间的距离为（单位：千米）.甲的路线是，速度为千米/小时，乙的路线是，速度为千米/小时，乙到达Q地后在原地等待.设时，乙到达地，时，乙到达地.（1）求与的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米，当时，求的表达式，并判断在上的最大值是否超过3？说明理由.22.已知椭圆，过原点的两条直线和分别与椭圆交于点、和、，记的面积为.（1）设，用、的坐标表示点到直线的距离，并证明；（2）设，，，求的值;（3）设与的斜率之积为，求的值，使得无论和如何变动，面积保持不变.23.已知数列与满足.（1）若且,求的通项公式;（2）设的第项是最大项,即,求证:的第项是最大项;（3）设,,求的取值范围,使得对任意，，且答案部分1.考点:充分条件与必要条件复数的加减试题解析:若、均为实数，则必为实数，故充分性成立；反之，则不一定成立，如时，是实数，但、不是实数.故选A.答案:A2.考点:不等式的性质试题解析:因为,由不等式性质原不等式两边同乘以，得,故选B.答案:B3.考点:两角和与差的三角函数试题解析:如下图：设,则,由题意求得.又.因,所以点B的纵坐标为.故选D.答案:D4.考点:数列极限试题解析:当时,且，而由,得所以而则为该圆在（1，1）处切线的斜率，又且故.故选A.答案:A5.考点:三角函数的图像与性质倍角公式试题解析:因为, 所以的最小正周期为.答案:6.考点:集合的运算试题解析:，所以答案:7.考点:复数综合运算试题解析:设,则,所以,.故.答案:8.考点:反函数试题解析:根据反函数的知识知，若适合,则适合. 由，得.故.答案:9.考点:矩阵试题解析:因为方程组的解为，将之分别代入则有，所以16.答案:1610.考点:空间几何体的表面积与体积试题解析:若正三棱柱的所有棱长均为,则其体积为,由,解得.答案:411.考点:抛物线试题解析:根据抛物线定义，抛物线上的点满足到焦点距离等于到准线的距离，故可转化为抛物线上的动点Q到准线的距离最小即可，故此点应为抛物线的顶点（0，0）.由，故.答案:212.考点:指数与指数函数对数与对数函数试题解析:原方程可化为，由对数函数的单调性知即，设，则,解得，，故而当时，原方程无意义，应舍去，故其解为.答案:213.考点:线性规划试题解析:结合如图所示的线性规划知识知，目标函数在点处取得最大值，.答案:314.考点:组合与组合的运用试题解析:9名教师中选取5人，共有种，不符合题意的选取办法，即只从6名女教师中选取5人，有种，故符合要求的选取种数为120种.答案:12015.考点:二项式定理与性质试题解析:由二项式定理的通项公式得,解,得.故其常数项为.答案:24016.考点:双曲线试题解析:双曲线的渐近线方程为，顶点为. 故双曲线的渐近线方程为,顶点为，所以双曲线的方程为.答案:17.考点:平面向量的几何运算试题解析:分三种情况考虑：（1）时，的最大值如图所示为.（1）时，的最大值如图所示为.（1）时，的最大值如图所示为.三者比较大小后知应选.答案:18.考点:三角函数的图像与性质试题解析:结合正弦函数的图像（如下图），欲的值最小，需最大，故按如下图所示取点符合要求,即,,,,,,,.此时.而当时，因的最大值是2，结合，故其总和达不到12.故的最小值是8.答案:819.考点:空间的角空间几何体的表面积与体积试题解析:解：.因为，所以∠PAC为异面直线PA与OE所成的角或其补角.由PO=2,OA=OC=1,得PA=PC=，AC.在△PAC中，由余弦定理得,故异面直线PA与OE所成角的大小为.答案:三棱锥的体积；异面直线和所成角的大小为20.考点:函数的奇偶性函数的单调性与最值试题解析:(1)的定义域为关于原点对称.,当时,故为奇函数.当时，由,知且,故既不是奇函数也不是偶函数.(2)设,则,由得,,,又,所以得从而,即.故当时,在上单调递增.答案:见解析21.考点:余弦定理分段函数，抽象函数与复合函数试题解析:(1).设乙到时甲所在地为,则千米,在中,, 所以（千米）.(2).如图建立平面直角坐标系，设经过小时，甲，乙所在位置分别为.当时，,.在上的最大值是，不超过3.答案:（1）；（2）见解析22.考点:圆锥曲线综合试题解析:(1)证明：直线：，点C到的距离.因为,所以.(2)解：由,得.由（1），得.由题意得，解得或-1.（3）设则. 设.由得.同理.由（1），整理得.由题意知与无关,则得所以.答案:（1）见解析（2）（3）23.考点:数列综合应用试题解析:(1)由，得，故是首项为1，公差为6的等差数列，所以的通项公式是(2)由，得，所以为常数列，，即，因为所以即，故的第项是最大项.(3)因为，所以，当时，=当时，符合上式.所以，因为且对任意，故，特别地，于是.此时对任意，.当时，,,由指数函数的单调性知，的最大值为，最小值为.由题意,的最大值及最小值分别为及.由及，解得.综上所述，的取值范围为.答案:（1）（2）见解析（3）的取值范围。

上海市黄浦区2015年高考模拟考数学试卷(文)(2015年4月21日)考生注意：1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效；2．答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚； 3．本试卷共23道试题，满分150分；考试时间120分钟．一、填空题(本大题满分56分) 本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．1．函数0(2)()lg(3)1x f x x x -=-++的定义域是 ．2．函数22log (1)y x =-的单调递减区间是 ．3．已知集合{}{}2|160,R ,|3,R A x x x B x x a x =-≤∈=-≤∈，若B A ⊆，则正实数a 的取值范围是 ．4．若二次函数222(2)31y x m x m =+--+是定义域为R 的偶函数，则函数()2(1,mf x x m x x x=-+≤∈的反函数1()f x -= ． 5．已知角α的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边在x 轴的正半轴上，终边经过点()3,4P a a -(0,R)a a ≠∈，则cos 2α的值是 .6．在△ABC 中，内角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，且2222sin a b c bc A =+-，则∠A = ．7．在等差数列{}n a 中，若8103,1a a =-=，9m a =，则正整数m = ． 8．已知点(2,3)(1,4)A B --、，则直线AB 的点法向式方程是 ．9．已知抛物线216y x =的焦点与双曲线2221(0)12x y a a -=>的一个焦点重合，则双曲线的渐近线方程是 ．10．已知AB 是球O 的一条直径，点1O 是AB 上一点，若14OO =，平面α过点1O 且垂直AB ，截得圆1O ，当圆1O 的面积为9π时，则球O 的表面积是 ．11．若二次函数()y f x =对一切R x ∈恒有2224()245x x f x x x -+≤≤-+成立，且(5)27f =，则(11)f = ．12．(文科) 设点(,)x y 位于线性约束条件32102x y x y y x +≤⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩所表示的区域内（含边界），则目标函数2z x y =+的最大值是 ．13． (文科) 一个不透明的袋中装有大小形状质地完全相同的黑球、红球、白球共10个，从中任意摸出1个球，得到黑球的概率是25，则从中任意摸出2个球得到至少1个黑球的概率是 ． 14． (文科) 在ABC ∆中，||1AB BC = ，且||cos =||cos AC B BC A，则AC AB ⋅ 的数值是 ．二、选择题(本大题满分20分) 本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．在空间中，下列命题正确的是 [答] ( )．A ．若两直线a ,b 与直线l 所成的角相等，那么a ∥bB ．空间不同的三点A BC 、、确定一个平面 C ．如果直线l //平面α且l //平面β，那么βα//D ．若直线a 与平面M 没有公共点，则直线a //平面M16．设实数1212,,,a a b b 均不为0，则“1122a b a b =成立”是“关于x 的不等式110a x b +>与220a x b +>的解集相同”的 [答] ( )．A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件17．若复数z 同时满足2i z z -=，i z z =，则z = (i 是虚数单位，z 是z 的共轭复数) [答] ( )．A ．1i -B ．iC ．1i --D ． 1i -+18．已知数列{}n a 共有5项，满足123450a a a a a >>>>≥，且对任意(15)i j i j ≤≤≤、，有i j a a -仍是该数列的某一项，现给出下列4个命题： (1)50a =；(2)414a a =；(3)数列{}n a 是等差数列；(4)集合{}|,15i j A x x a a i j ==+≤≤≤中共有9个元素．则其中真命题的序号是 [答]( )． A ．(1)、(2)、(3)、(4) B ．(1)、(4) C ．(2)、(3) D ．(1)、(3)、(4) 三、解答题(本大题满分74分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．19．(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，13AA =，过1A 、1C 、B 三点的平面截去长方体的一个角后，得到如下所示的几何体111ABCD AC D -．（文科）(1) 求几何体111ABCD AC D -的体积，并画出该几何体的左视图(AB 平行主视图投影所在的平面)；(2)求异面直线1BC 与11A D 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．第19题图20．(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．已知函数1g()sin 221R 22x x x x =-+∈，，函数()f x 与函数()g x 的图像关于原点对称．(1)求()y f x =的解析式； (2)(文科) 当[,]42x ππ∈-时，求函数()f x 的取值范围．21．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．有一块铁皮零件，其形状是由边长为40cm 的正方形截去一个三角形ABF 所得的五边形ABCDE ，其中12,10AFcm BF cm ==，如图所示．现在需要用这块材料截取矩形铁皮DMPN ，使得矩形相邻两边分别落在,CD DE 上，另一顶点P 落在边CB 或BA 边上．设DM x =cm ，矩形DMPN 的面积为y 2cm ．A BC D 1A 1C 1D(1)试求出矩形铁皮DMPN 的面积y 关于x 的函数解析式， 并写出定义域；(2)试问如何截取(即x 取何值时)，可使得到的矩形DMPN 的面积最大？第21题图22．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分． （文科）已知数列{}n a 满足12a =，对任意*N m p ∈、都有m p m p a a a +=⋅． (1)求数列{}n a (*N n ∈)的通项公式n a ；(2)数列{}n b 满足31223+21212121n n n b b b ba =+++++++ (*N n ∈)，求数列{}nb 的前n 项和n B ； (3)设2n n n B c =，求数列{}n c (*N n ∈)中最小项的值．23．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．已知点12(F F 、，平面直角坐标系上的一个动点(,)P x y 满足12||+||=4PF PF．设动点P 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的轨迹方程；(2)点M 是曲线C 上的任意一点，GH 为圆22:(3)1N x y -+=的任意一条直径，求MG MH ⋅的取值范围；(3)（理科）已知点A B 、是曲线C 上的两个动点，若OA OB ⊥(O 是坐标原点)，试证明：直线AB 与某个定圆恒相切，并写出定圆的方程．（文科）已知点A B 、是曲线C 上的两个动点，若OA OB ⊥(O 是坐标原点)，试证明：原点O 到直线AB 的距离是定值．黄浦区2015年高考模拟考数学试卷(文理合卷)参考答案 (2015年4月21日)一、填空题1．(3,)+?； 8．7(2)3(3)0 7(1)3(4)0x y x y ++-=-++=也可以是； 2．(,1)-?； 9．y =?；3．(0,1] ； 10．100p ； 4．1()11)f x x -=-?； 11．153；5．725-； 12143；6．4p ； 13．（理科）2.7；（文科）23；7．14 ； 14．（理科）4．（文科）2或32．二、选择题 15．D 16．B 17．D 18．A 三、解答题19．(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分６分，第2小题满分６分． （理科）解 (1)按如图所示建立空间直角坐标系．由题知，可得点D(0,0,0)(2,2,0)B 、1(0,0,3)D 、1(2,0,3)A 、1(0,2,3)C ．由1O 是11AC 中点，可得1(1,1,3)O .于是，111(1,1,3),(2,0,0)BO A D =--=- ．设异面直线1BO 与11A D 所成的角为θ，则1111111c o s ||||BO A D BO A D θ⋅===． 因此，异面直线1BO 与11A D 所成的角为． (2)设(,,)n x y z =是平面ABD 的法向量．∴110,0.n BA n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ D z又11(0,2,3),(2,0,3)BA BC =-=-，∴230,230.y z x z -+=⎧⎨-+=⎩ 取2z =，可得3,3,2.x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩即平面11BAC 的一个法向量是(3,3,2)n = ． ∴||n DB d n ⋅=11=． （文科）解(1) 2AB BC ==，13AA =，11111=2232231032ABCD A D C V V V -∴=-⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=长方体三棱锥．左视图如右图所示． (2)依据题意，有11,A D AD AD BC ，即11A D BC ．∴1C BC ∠就是异面直线1BC 与11A D 所成的角． 又 1C C BC ⊥，∴113tan 2C C C BC BC ∠==． ∴异面直线1BC 与11A D 所成的角是3tan 2arc ．20．(本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．解(1)设点(,)x y 是函数()y f x =的图像上任意一点，由题意可知，点(,)x y --在()y g x =的 图像上，于是有1sin(2)2)1,2R y x x x -=--+∈． 所以，1()sin 2212f x x x =-，R x ∈．（理科）(2)由(1)可知，1()sin 221sin(2)1,[0,]23f x x x x x ππ=-=+-∈，记[0,]D π=．由222,Z 232k x k k πππππ-≤+≤+∈，解得5,1212Z k x k k ππππ-≤≤+∈， 则函数()f x 在形如5[,],1212k k k Z ππππ-+∈的区间上单调递增. 结合定义域，可知上述区间中符合题意的整数k 只能是0和1．令0k =得15[,]1212D ππ=-；1k =时，得1713[,]1212D ππ=.所以，1[0,]12D D π= ，27[,]12D D ππ= ．于是，函数()f x 在[0,]π上的单调递增区间是[0,]12π和7[,]12ππ．（文科）(2)由(1)可知，1()sin 221sin(2)123f x x x x π=-=+-．又[,]42x ππ∈-， 所以，42633x πππ-≤+≤．考察正弦函数sin y x =的图像，可知，sin(2)13x π≤+≤，[,]42x ππ∈-．于是，1sin(2)103x π≤+-≤． 所以，当[,]42x ππ∈-时，函数()f x的取值范围是()0f x ≤≤．21．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．解(1)依据题意并结合图形，可知：1 当点P 在线段CB 上，即030x <≤时，40y x =；2 当点P 在线段BA 上，即3040x <≤时，由PQ BFQA FA=，得6485QA x =-．于是，26765y DM PM DM EQ x x =⋅=⋅=-． 所以，240,030676.30405 < x x y x x x ≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩定义域(0,40]D =． (2)由(1)知，当030x <≤时，01200y <≤；当3040x <≤时，2266953610361076()55333y x x x =-=--+≤，当且仅当953x =时，等号成立． 因此，y 的最大值为36103． 答：先在DE 上截取线段953DM cm =，然后过点M 作DE 的垂线交BA 于点P ，再过点P 作DE 的平行线交DC 于点N ，最后沿MP 与PN 截铁皮，所得矩形面积最大，最大面积为361032cm ．22．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分．（理科）解(1) 对任意*N m p ∈、都有m p m p a a a +=⋅成立，∴令,1m n p ==，得*11,N n n a a a n +=⋅∈．∴数列{}n a (*N n ∈)的递推公式是1*111,2, N .n na a a a n +⎧=⎪⎨⎪=⋅∈⎩ (2)由(1)可知，数列{}n a (*N n ∈)是首项和公比都为12的等比数列，于是*1()2N n n a n =∈． 由131223(1)21212121n n n nb b b b a +=-+-++-++++ (*N n ∈)，得 31121231(1)21212121n n n n b b b ba ---=-+-++-++++ (2n ≥)． 故111(1)(1)(1)(2)212n n n n n n nn b a a b n +--=-⇒=-+≥+． 当1n =时，1113212b a b =⇒=+．所以*31)21(1)(1).(2,)2 ( N n n nn b n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-+≥∈⎪⎩，(3) ∵2n n n c b λ=+，∴当3n ≥时，12(1)(1)2nnn n c =+-+λ， 111112(1)(1)2n n n n c ----=+-+λ，依据题意，有1132(1)(2)02n nn n n c c λ---=+-+>，即12(1)322n nn λ-->-+．01 当n 为大于或等于4的偶数时，有12322n n λ->-+ 恒成立，又12322n -+ 随n 增大而增大，则1min2128(4)33522n n n -⎛⎫⎪== ⎪ ⎪+⎝⎭，故λ的取值范围为12835λ>-； 02 当n 为大于或等于3的奇数时，有12322n λ-<+恒成立，故λ的取值范围为3219λ<；03 当2n =时，由22153(2)(2)042c c λλ-=+-+>，得8λ<．综上可得，所求λ的取值范围是128323519λ-<<． （文科）解(1) 对任意*N m p ∈、都有m p m p a a a +=⋅成立，12a =，∴令,1m n p ==，得*11,N n n a a a n +=⋅∈． ∴数列{}n a (*N n ∈)是首项和公比都为2的等比数列．∴1*122(N )n n n a a n -=⋅=∈． (2) 由31223+21212121n n n b b b ba =+++++++ (*N n ∈)，得 31121231+21212121n n n b b b ba ---=+++++++ (2n ≥)． 故121112(21)22(2)21n n n n n n n n n b a a b n -----=⇒=+=+≥+． 当1n =时，111621ba b =⇒=+．于是，211*1)22.(2,)n n n n b n n --=⎧=⎨+≥∈⎩ ( N 6，当1n =时，116B b ==； 当2n ≥时，123221231241212131411311 =6+(2+2+2++2)+(2+2+2++2)2(14)2(12) =6+141224 =42.33n nn n n n n n B b b b b ⋅-⋅-⋅-⋅-------=++++--+--⋅++ 又1n =时，112442633n B =⋅++=，综上，有*2442N .33n n n B n =⋅++∈，(3) 2nn n B c =，11132B c ==， ∴24121332n n n c =⋅+⋅+，*N n ∈．1111124124121(21)33233221=(2)0(2).32n n n n n n n n c c n -----∴-=⋅+⋅+-⋅+⋅+->≥∴数列{}n c (*N n ∈)是单调递增数列，即数列{}n c 中数值最小的项是1c ，其值为3．23．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．解(1)依据题意，动点(,)P x y4=.又12||4F F =<，因此，动点(,)P x y 的轨迹是焦点在x轴上的椭圆，且24,2a b c =⎧⎪⇒=⎨=⎪⎩ 所以，所求曲线C 的轨迹方程是22142x y +=． (2) 设00(,)M x y 是曲线C 上任一点．依据题意，可得,MG MN NG MH MN NH =+=+．GH 是直径， ∴NH NG =- ．又||=1NG，22=()()=()() =||||.MG MH MN NG MN GH MN NG MN NG MN NG ∴⋅+⋅++⋅--∴22200||(3)(0)MN x y =-+-＝201(6)72x --． 由22142x y +=，可得22x -≤≤，即022x -≤≤．2221||25||||24M N M N N G ∴≤≤≤-≤ ，0． ∴M G M H ⋅ 的取值范围是024MG MH ≤⋅≤．(另解21||25MN ≤≤ ：结合椭圆和圆的位置关系，有||||||||||||OM ON MN OM ON -≤≤+(当且仅当M N O 、、共线时，等号成立)，于是有1||5MN ≤≤．)（理科）(3)证明 因A B 、是曲线C 上满足OA OB ⊥的两个动点，由曲线C 关于原点对称，可知直线AB 也关于原点对称．若直线AB 与定圆相切，则定圆的圆心必在原点．因此，只要证明原点到直线AB 的距离(d )是定值即可．设12||,||OA r OB r ==，点11(cos ,sin )A r r θθ，则 2222(c o s (),s i n ())(s i n ,c o s )22B r rr rππθθθθ++=-． 利用面积相等，有11||||||22OA OB AB d ⋅=⋅，于是2221222122211111r r d r r r r ==++． 又A B 、两点在曲线C 上，故222211222222cos sin 1,42sin cos 1.42r r r r θθθθ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 可得22212222cos sin 1,42sin cos 1.42r r θθθθ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 因此，22121134r r +=．所以，243d =，即d所以，直线AB 总与定圆相切，且定圆的方程为：2243x y +=． （文科）(3)证明 设原点到直线AB 的距离为d ，且A B 、是曲线C 上满足OA OB ⊥的两个动点．01若点A 在坐标轴上，则点B 也在坐标轴上，有11||||||22OA OB AB d =⋅，即3d ==．02若点(,)A A A x y 不在坐标轴上，可设1:,:OA y kx OB y x k==-． 由221,42.x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩ 得222224,124.12A Ax k k y k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩设点(,)B B B x y ，同理可得，222224,24.2B B k x k y k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩于是，||OA =||OB =||AB =． 利用11||||||22OA OB AB d =⋅，得d = 综合012和可知，总有3d =，即原点O 到直线AB的距离为定值3． (方法二：根据曲线C 关于原点和坐标轴都对称的特点，以及OA OB ⊥，求出A B 、的一组坐标，再用点到直线的距离公式求解，也可以得出结论)。