2020届江西省南昌市四校联盟高三第二次联考数学(文)试题(解析版)

2020年江西省南昌市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.复数，，，则A. B. 2 C. D. 42.集合，，则A. B. C. D.3.已知空间内两条不同的直线a，b，则“”是“a与b没有公共点”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.已知，则不等式的解集是A. B. C. D.5.已知函数的图象关于原点对称，则A. B. 1 C. D.6.已知中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则角A等于A. B. C. D.7.已知为不共线的两个单位向量，且在上的投影为，则A. B. C. D.8.直线被圆截得最大弦长为A. B. C. 3 D.9.函数的图象大致为A. B.C. D.10.已知抛物线C：的焦点为F，是抛物线上一点，过A作抛物线准线的垂线，垂足为B，若，则A. 3B.C. 4D.11.春秋以前中国已有“抱瓮而出灌”的原始提灌方式，使用提水吊杆--桔槔，后发展成辘轳．19世纪末，由于电动机的发明，离心泵得到了广泛应用，为发展机械提水灌溉提供了条件．图形所示为灌溉抽水管道在等高图上的垂直投影，在A处测得B处的仰角为37度，在A处测得C处的仰角为45度，在B处测得C处的仰角为53度，A点所在等高线值为20米，若BC管道长为50米，则B点所在等高线值为参考数据A. 30米B. 50米C. 60米D. 70米12.已知函数在区间上有且仅有2个最小值点，下列判断：在上有2个最大值点；在上最少3个零点，最多4个零点；；在上单调递减．其中所有正确判断的序号是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若变量x，y满足约束条件，则目标函数的最大值为______．14.已知函数，，则的最小值为______．15.已知，分别是双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线的渐近线的一个公共点为P，若，则双曲线的离心率为______．16.已知四棱锥的底面ABCD是边长为3的正方形，平面ABCD，，E为PD中点，过EB作平面分别与线段PA、PC交于点M，N，且，则______，四边形EMBN的面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽8甲8281797895889384乙9295807583809085用茎叶图表示这两组数据；求两位学生预赛成绩的平均数和方差；现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由．18.已知等差数列的公差为，前n项和为，且满足______从；，，成等比数列；，这三个条件中任选两个补充到题干中的横线位置，并根据你的选择解决问题．Ⅰ求；Ⅱ若，求数列的前n项和．19.如图所示，四棱柱，底面ABCD是以AB，CD为底边的等腰梯形，且，，D.Ⅰ求证：平面平面ABCD；Ⅱ若，求三棱锥的体积．20.已知函数．Ⅰ讨论在区间上的单调性；Ⅱ若恒成立，求实数a的最大值．为自然对数的底21.已知椭圆，过点的两条不同的直线与椭圆E分别相交于A，B和C，D四点，其中A为椭圆E的右顶点．Ⅰ求以AB为直径的圆的方程；Ⅱ设以AB为直径的圆和以CD为直径的圆相交于M，N两点，探究直线MN是否经过定点，若经过定点，求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由．22.平面直角坐标系xOy中，抛物线E顶点在坐标原点，焦点为以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．Ⅰ求抛物线E的极坐标方程；Ⅱ过点倾斜角为的直线l交E于M，N两点，若，求．23.已知，．Ⅰ当时，求不等式的解集；Ⅱ求证：．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：由，，且，．故选：D．直接利用乘积的模等于模的乘积求解．本题考查复数模的求法，考查数学转化思想方法，是基础题．2.答案：C解析：解：集合，，．故选：C．求出集合A，B，由此能求出．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.答案：A解析：解：“”“a与b没有公共点”，反之不成立，由a与b没有公共点，a，b可能平行、可能为异面直线．“”是“a与b没有公共点”的充分不必要条件．故选：A．利用空间线线位置关系即可判断出关系．本题考查了空间线线位置关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.答案：A解析：解：已知，则不等式，即或．由可得；由可得，综上，，故选：A．不等式即或，分别求出的解集，再取并集，即得所求．本题主要考查分段函数的应用，其它不等式的解法，属于中档题．5.答案：A解析：解：由题意可知，为奇函数，故，所以，，则．由奇函数的性质可知，代入可求a，进而可求．本题主要考查了奇函数的性质在求解函数解析式中的应用，属于基础试题．6.答案：C解析：解：，由正弦定理可得，可得，，整理可得，解得，或舍去，，．故选：C．由已知利用正弦定理可得，利用二倍角的余弦函数公式化简已知等式可得，解方程可得sin A的值，结合范围，可求A的值．本题主要考查了正弦定理，二倍角的余弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了方程思想，属于基础题．7.答案：D解析：解：为不共线的两个单位向量，且在上的投影为，故；则．故选：D．根据向量在向量的方向上投影的定义求出，进而求出即可．本题考查了平面向量的数量积的定义与几何意义及向量的数量积运算，属于基础题．8.答案：D解析：解：根据题意，圆，即，其圆心为，半径，圆心到直线的距离，当圆心到直线的距离最小时，直线被圆截得弦长最大，而的最小值为1，则直线被圆截得最大弦长值为，根据题意，由圆的方程分析圆的圆心和半径，求出圆心到直线的距离d，分析可得d的最小值，由直线与圆的位置关系可得当圆心到直线的距离最小时，直线被圆截得弦长最大，据此计算可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，注意分析直线所过的定点，属于基础题．9.答案：C解析：解：当时，，故排除AD；，令，则，显然在上递减，且，当时，，在上递增，又，故存在，使得，且当，，，递减，，，，递增，可排除B．故选：C．利用极限思想及函数的单调性，运用排除法得解．本题主要考查函数图象的运用以及利用导数研究函数的单调性，考查极限思想及数形结合思想，属于基础题．10.答案：D解析：解：抛物线C：的焦点为，是抛物线上一点，过A作抛物线准线的垂线，垂足为，若，可得，可得，所以，解得舍去，此时，所以．故选：D．画出图形，结合已知条件，利用，列出方程，求出A的横坐标，然后求解即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，三角形的解法，考查计算能力，是中档题．11.答案：B解析：解：BC管道长为50米，可得B点与点C等高线值差为40，C与B水平的距离为30，因为A处测得C处的仰角为45度，即A与C的水平距离等于A点与点C等高线值差，设B点与点A等高线值差为x，A处测得B处的仰角为37度，可得A与B水平的距离；所以，解得，A点所在等高线值为20米，因此B点所在等高线值50米，故选：B．由题意，设B点与点A等高线值差为x，A处测得B处的仰角为37度，可得A与B水平的距离；BC 管道长为50米，可得B点与点C等高线值差为40，C与B水平的距离为30，在结合A处测得C处的仰角为45度，即A与C的水平距离等于A点与点C等高线值差，从而求解x的值；本题考查解三角在实际生活中的应用，灵活利用夹角以及直角三角形中的正余弦定义即可求解．属于基础题．12.答案：A解析：解：令解得，由，可知满足题意的k值只有两个，而，所以或，即有，，，解得，，所以错误；当时，取，，此时只有当时取最大值，所以错误；当时，，，，，，有5个解，所以错误；当时，，而，所以在上单调递减，正确．故选：A．先求出函数的最小值点，再解不等式即可得到的范围，即可判断各选项的真假．本题主要考查正弦函数的性质应用，整体代换法的应用，以及求零点的方法，属于较难题．13.答案：3解析：解：作出变量x，y满足约束条件，对应的平面区域如图：由得，平移直线，由图象可知当直线经过点A时，直线的截距最大此时z最大，由，解得，此时，故答案为：3．作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．利用平移确定目标函数取得最优解的条件是解决本题的关键．14.答案：解析：解：因为，，所以，故，则，当且仅当时取等号，故答案为：由已知结合对数运算性质可求ab，然后结合基本不等式即可求解．本题主要考查了对数的运算性质及基本不等式求解最值，属于基础试题．15.答案：解析：解：双曲线的渐近线方程为，焦点坐标为，，设点P的坐标为，不妨令，，，以为直径的圆与双曲线的渐近线的一个公共点为P，，即，，，，即，则，故答案为：．根据圆的有关性质和双曲线的渐近线方程可得P点的坐标，再根据即可求出，可得双曲线的离心率．本题主要考查了双曲线的方程、定义和简单性质．考查了解直角三角形的知识，考查运算能力，属于中档题．16.答案：解析：解：四棱锥的底面ABCD是边长为3的正方形，平面ABCD，，E为PD中点，过EB作平面分别与线段PA、PC交于点M，N，且，连结AC，BD，交于点O，过O作平面ABCD的垂线OF，交BE于F，过F作AC的平行线，分别与线段PA、PC交于点M，N，则平面EMBN就是平面，，，∽，，，，，，平面PBD，平面PBD，，四边形EMBN的面积为．故答案为：；．过EB作平面分别与线段PA、PC交于点M，N，且，连结AC，BD，交于点O，过O作平面ABCD的垂线OF，交BE于F，过F作AC的平行线，分别与线段PA、PC交于点M，N，则平面EMBN就是平面，由此能求出结果．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．17.答案：解：作出茎叶图如下：派甲参赛比较合适，理由如下：，，，，，，结合甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适．解析：根据所给的数据，以十位做茎，个位做叶，做出茎叶图，注意图形要做到美观，不要丢失数据；根据所给的数据做出两个人的平均数和方差即可；把平均数和方差进行比较，得到两个人的平均数相等，但是乙的方差大于甲的方差，得到要派甲参加．对于两组数据，通常要求的是这组数据的方差和平均数，用这两个特征数来表示分别表示两组数据的特征，即平均水平和稳定程度．18.答案：解：Ⅰ由，得，即；由，，成等比数列，得，，即；由，得，即；当选择时，有，，此时；当选择时，有，，解得，此时；当选择时，有且，解得，，此时；综合以上不管选择哪两个，均得、，即；Ⅱ，，两式相减得：，得．解析：Ⅰ先分别由首项与公差的关系式，然后选择、、条件组合，求出；Ⅱ利用错位相减法求其前n项和即可．本题主要考查数列基本量的运算及通项公式的求法，以及错位相减法在数列求和中的应用，属于基础题．19.答案：Ⅰ证明：中，，，，得，则，即，而，，平面，又面ABCD，平面平面ABCD；Ⅱ解：取BD的中点O，由于，，由Ⅰ可知平面面ABCD，故D面ABCD．，，，平面ABCD，．解析：Ⅰ中，由已知求解三角形可得，再由，由直线与平面垂直的判定可得平面，进一步得到平面平面ABCD；Ⅱ取BD的中点O，由于，得，结合Ⅰ可得面求得，再由平面ABCD，然后利用等体积法求三棱锥的体积．本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求多面体的体积，是中档题．20.答案：解：Ⅰ，时，；时，．当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，上递增；当时，在的单调递减；分Ⅱ，即，由Ⅰ知：在上递减，在上递增，则，即，分令，，即在R单调递增，而，，所以，即a的最大值为分解析：Ⅰ求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；Ⅱ问题转化为，即，根据函数的单调性求出的最小值，从而求出a的范围．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道常规题．21.答案：解：Ⅰ由已知，则，故AB方程：，联立直线AB与椭圆方程，消去y可得：，得，即，从而以AB为直径的圆方程为：，即；Ⅱ当CD斜率存在时，并设CD方程：，设，由，消去y得：，故，，从而，，而以CD为直径的圆方程为：，即，且以AB为直径的圆方程为，将两式相减得直线MN：，即，可得：，两条直线互异，则，即，令，解得，即直线MN过定点；当CD斜率不存在时，CD方程：，知，，则以CD为直径的圆为，而以AB为直径的圆方程，两式相减得MN方程：，过点．综上所述，直线MN过定点．解析：Ⅰ由已知，求得AB所在直线当斜率，得到AB的方程，与椭圆方程联立求得B点坐标，则以AB为直径的圆方程可求；Ⅱ当CD斜率存在时，并设CD方程：，设，联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，结合根与系数的关系写出以CD为直径的圆方程，与以AB为直径的圆的方程联立，求得MN的方程，利用直线系方程可得直线MN过定点；然后验证CD斜率不存在时即可．本题考查圆的方程的求法，考查直线与椭圆位置关系、圆与圆位置关系的应用，体现了“设而不求”的解题思想方法，考查运算求解能力，属难题．22.答案：解：Ⅰ由题意抛物线E的焦点为，所以标准方程为，故极坐标方程为；Ⅱ设过点A的直线l参数方程为为参数，代入，化简得，，，且．由，A在E内部，知，得或，所以，当时，解得，所以，当时，解得，所以或．解析：Ⅰ求出抛物线E的标准方程为，然后求解极坐标方程．Ⅱ设过点A的直线l参数方程为为参数，代入，利用韦达定理结合参数的几何意义，转化求解即可．本题考查抛物线的极坐标方程的求法，普通方程与极坐标方程的互化，直线的参数方程的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．23.答案：解：Ⅰ当时，不等式为，平方得，则，得，即或，所以，所求不等式的解集；Ⅱ证明：因为，又，所以，不等式得证．解析：Ⅰ将代入，把不等式两边平方后，解不等式即可；Ⅱ运用绝对值不等式的性质结合基本不等式可得，，由此得证．本题主要考查绝对值不等式的解法，及绝对值不等式的性质，基本不等式的运用，考查运算求解能力及推理论证能力，属于基础题．。

2020届江西省南昌市四校联盟高三第二次联考数学（文）试题一、单选题1．集合{|A y y ==，集合{|B x y ==，则A B =I （ ）A ．{}|0x x ≥B ．{}2|x x ≤C ．{}|02x x ≤≤D ．∅【答案】C【解析】根据题意，分析可得集合A 为函数y =B 为函数y =A 、B ，进而由交集的定义计算可得答案．【详解】解：根据题意，集合{|A y y ==，为函数y =则{}|0A y y =≥，集合{|B x y ==，为函数y ={}|2=≤B x x ，{}|02A B x x ∴=≤≤I ； 故选：C ． 【点睛】本题考查集合的运算，关键是利用集合的表示法分析求出集合A 、B ，属于基础题． 2．下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ） A ．11ii-+ B ．1ii+ C ．()21i i +D ．()21i i +【答案】A【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简逐一核对四个选项得答案． 【详解】解：因为()()()211111i i i i i i --==-++-，()2111i i i i i i++==- ()2122i i i i +=⨯=-，()211ii i +=--，∴运算结果为纯虚数的是11ii-+． 故选：A ． 【点睛】3．“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体.自2015年以来，“一带一路”建设成果显著.如图是2015—2019年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图，下列描述错误．．的是( )A ．这五年，出口总额之和．．．．比进口总额之和．．．．大B ．这五年，2015年出口额最少C ．这五年，2019年进口增速最快D ．这五年，出口增速前四年逐年下降 【答案】D【解析】根据统计图中数据的含义进行判断即可. 【详解】对A 项，由统计图可得，2015年出口额和进口额基本相等，而2016年到2019年出口额都大于进口额，则A 正确；对B 项，由统计图可得，2015年出口额最少，则B 正确；对C 项，由统计图可得，2019年进口增速都超过其余年份，则C 正确； 对D 项，由统计图可得，2015年到2016年出口增速是上升的，则D 错误； 故选：D 【点睛】本题主要考查了根据条形统计图和折线统计图解决实际问题，属于基础题. 4．函数()23sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的一个单调递减区间是（ ） A ．713,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】利用诱导公式化简函数的解析式，再利用余弦函数的单调性，求得()f x 的一个减区间．解：对于函数2()3sin 23sin 23cos 23cos 232666f x x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=+-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，令2226k x k ππππ-+剟，k Z ∈，解得71212k x k ππππ++剟，k Z ∈，可得函数的单调递减区间为7,1212k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈， 令0k =，可得选项B 正确， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查诱导公式、余弦函数的单调性，属于基础题．5．双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为1cos50︒，则一条渐近线的倾斜角为（ ） A ．40︒ B ．45︒C ．50︒D ．60︒【答案】C【解析】依题意可得22222211cos 50c b e a a ==+=︒，根据同角三角函数的基本关系可得sin 50tan 50cos50b a ︒==︒︒，即可得解； 【详解】解：依题意可得1cos50c e a ==︒所以22222211cos 50c b e a a ==+=︒ 22211cos 50b a ∴=-︒2222sin 50cos 50b a ︒∴=︒ sin 50tan 50cos50b a ︒∴==︒︒因为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线为b y x a =±，故其中一条渐近线的倾斜角为50︒，【点睛】本题考查双曲线的简单性质，考查同角三角函数基本关系式的应用，属于基础题． 6．在ABC ∆中，已知a 、b 、c 成等比数列，且3a c +=，3cos 4B =，则AB CB ⋅=u u u r u u u r （ ） A ．32B ．32-C ．3D ．-3【答案】A【解析】先求a c +的平方，利用a 、b 、c 成等比数列，结合余弦定理，求解ac 的值，然后求解·AB CB u u u r u u u r．【详解】解：因为3a c +=，所以2229a c ac ++=， 又a 、b 、c 成等比数列：2b ac =， 由余弦定理：2222cos b a c ac B =+-， 又因为3cos 4B =， 解得2ac =， 3cos 2AB CB ac B ==u u u r u u u r g故选：A ． 【点睛】本题考查平面向量数量积的运算，等比数列的性质，余弦定理，考查学生分析问题解决问题的能力，属于基础题．7．已知)*n a n N =∈，则在数列{}n a 的前40项中最大项和最小项分别是（ ） A ．1a ，30a B ．1a ，9aC ．10a ，9aD ．12a ，11a【答案】D【解析】把给出的数列的通项公式变形，把n a 看作n 的函数，分析其单调性，即可得出结论． 【详解】解：1n a ==，故当123n <时，1n a <，且单调递减， 当123n >时，1n a >，且单调递减， 1112312<<Q ．∴这个数列的前40项中的最大项和最小项分别是12a ，11a ．故选：D ． 【点睛】本题主要考查数列的函数特性，属于基础题．8．已知函数2()|ln |1||f x x x =-+与()2g x x =，则它们所有交点的横坐标之和为（ ） A ．0 B ．2 C ．4 D ．8【答案】C【解析】作函数2ln 1||,2y x y x x =-=-图像，由图可知所有交点的横坐标之和为224⨯=，选C.点睛：(1)图象法研究函数零点的关键是正确画出函数的图象．在画函数的图象时，常利用函数的性质，如周期性、对称性等，同时还要注意函数定义域的限制．(2)对于一般函数零点个数的判断问题，不仅要判断区间[a ，b ]上是否有f (a )·f (b )<0，还需考虑函数的单调性． 9．若点的坐标满足，则点的轨迹图象大致是A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据函数的定义域，可排除C 、D 选项，再根据对数函数的运算性质，可排除A 选项，得道答案. 【详解】 由题意，满足，可排除选项C 、D ；又因为，所以，即且，排除选项A ，故选B. 【点睛】本题主要考查了函数图象的识别，其中解答中熟练应用对数函数的基本性质，利用排除法求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.10．棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱AD 中点，过点1B 且与平面1A BE 平行的正方体的截面面积为（ ） A ．5B ．26C ．45D ．6【答案】B【解析】取BC 中点F ，11A D 中点G ，连结DF 、1B F 、1DB 、DG 、1GB ，GF ，则//BE DF ，1//A E GD ，从而过点1B ，且与平面1A BE 平行的正方体的截面为四边形1DFB G ，由此能求出过点1B ，且与平面1A BE 平行的正方体的截面面积．【详解】解：取BC 中点F ，11A D 中点G ，连结DF 、1B F 、1DB 、DG 、1GB ，GF ，Q 棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱AD 中点，//BE DF ∴，1//A E GD ，又1A E BE E =I ，DG DFD ?，1AE 、BE ⊂平面1A BE ，DG 、DF ⊂平面1DFBG ，∴过点1B ，且与平面1A BE 平行的正方体的截面为四边形1DFB G ，144423DB =++=， 25322GF =-=，∴过点1B ，且与平面1A BE 平行的正方体的截面面积为：111123222622FB GD S DB GF =⨯⨯=⨯⨯=菱形．故选：B ．【点睛】本题考查截面面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题．11．过直线l ：2y x a =+上的点作圆C ：221x y +=的切线，若在直线l 上存在点M ，使得过点M 的圆C 的切线MP ，MQ （P ，Q 为切点）满足90PMQ ∠=︒，则a 的取值范围是（ ） A ．[]1,1- B ．[]22-,C ．(][),11,-∞-+∞UD ．(][),22,-∞-+∞U【答案】A【解析】由切线的对称性和圆的知识将问题转化为(0,0)C 到直线l 的距离小于或等于2，再由点到直线的距离公式得到关于a 的不等式求解．【详解】解：圆22:1C x y +=，圆心为：(0,0)，半径为1，Q 在直线l 上存在一点M ，使得过M 的圆C 的切线MP ，(MQ P ，Q 为切点）满足90PMQ ∠=︒，∴在直线l 上存在一点M ，使得M 到(0,0)C 2，∴只需(0,0)C 到直线:2l y x a =+，，解得11a -剟，即[]1,1a ∈-故选：A ． 【点睛】本题考查直线和圆的位置关系，是解决问题的关键，属于中档题．12．若关于x 的不等式1181xx λ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭有正整数解，则实数λ的最小值为（ ）A ．9B ．10C ．11D ．12【答案】D【解析】原不等式转化为33273344lnx ln ln x λλ=…，令()lnx f x x =，利用导数和函数的单调性即可求出． 【详解】解：1181x x λ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭Q ，∴1118ln ln x x λ⎛⎫ ⎪⎝⎭„， Q 不等式1181xx λ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭有正整数解，0λ∴>，∴33273344lnx ln ln x λλ=…，令()lnx f x x=，则21()lnx f x x -'=，∴当(0,)x e ∈时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当(,)x e ∈+∞时，()0f x '<，函数()f x 单调递减， 23e <<Q ，216327(2),(3)2839ln ln ln ln f f ====， ()()23f f ∴<，∴只需27(3)34ln f λ…，即394λ…，12λ…，即实数λ的最小值为12， 故选：D ． 【点睛】本题考查了导数和函数的单调性的最值的关系，考查了转化与化归思想，属于中档题．二、填空题13．已知函数()xf x e b =+的一条切线为1y x =+，则b =______.【答案】0【解析】设切点为()00,xe b P x +，利用导数的几何意义可得01x e =，与001x e b x +=+联立即可求得b 的值． 【详解】解：设切点为()00,xe b P x +，则00()1x f x e '==① 又001x e b x +=+②， 由①②得：00x =，0b =． 故答案为：0． 【点睛】本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程，考查运算能力，属于基础题． 14．已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和n S 有最大值，且202020191a a <-，则使得0n S >的n 的最大值为______. 【答案】4037【解析】利用等差数列的通项公式求和公式及其性质即可判断出结论． 【详解】解：由题意知0d <，因为202020191a a <- 所以20190a >，201920200a a +<，因此()403714037201914037403702S a a a =⨯+⨯=>，()()403814038201920201140384038022S a a a a =⨯+⨯=⨯+⨯<，故使得0n S >的n 的最大值为4037 故答案为：4037．本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．已知向量1a b ==r r ，且12a b ⋅=r r ，若c xa yb =+r r r，其中0x >、0y >且4x y +=，则c r 的最小值为______.【答案】23【解析】由平面向量的数量积求出2c r ，再利用基本不等式求出2c r 的最小值，即可得到cr 的最小值； 【详解】解：因为1a b ==r r ，且12a b ⋅=r r ，且c xa yb =+r r r，()222222222c x a y b xya b x y xy x y xy ∴=++=++=+-r r r r r g 又0x >、0y >且4x y +=242x y xy +⎛⎫∴≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2x y ==时取等号，()222244122x y c x y +⎛⎫∴≥+-=-= ⎪⎝⎭rc ∴r的最小值为23， 故答案为：23 【点睛】本题考查平面向量的数量积及基本不等式的应用，属于中档题.16．如图，已知抛物线1C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，且过点()3,6，圆2C ：22680x y x +-+=，过圆心2C 的直线l 与抛物线和圆分别交于P ，Q ，M ，N ，则2PN QM +的最小值为______.【答案】1262+【解析】设抛物线的标准方程，将点代入抛物线方程，求得抛物线方程，由抛物线的焦点弦性质，求得112||||PF QF p+=，根据抛物线的性质及基本不等式，即可求得答案． 【详解】解：设抛物线的方程：22(0)y px p =>， 则3623p =⨯，则212p =，∴抛物线的标准方程：212y x =，焦点坐标(3,0)F ，准线方程为3x =-，圆222:680C x y x +-+=的圆心为(3,0)，半径为1，由直线PQ 过抛物线的焦点，可设()1,P ρθ，()2,Q ρπθ+，由1cos pρθ=-，可得1121||||3PF QF p +==． ()||2||||12||1PN QM PF QF ∴+=+++()()211||2||33||2||3333332231262QF PF PF QF PF QF PF QF PF QF ⎛⎫⎛⎫=++=+++=+++++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…当且仅当2PF QF =时取等号， 故答案为：1262+．【点睛】本题考查抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系，抛物线的焦点弦的性质及基本不等式的应用，考查转化思想，属于中档题． 17．如图，在ABC ∆中，4B π=，角A 的平分线AD 交BC 于点D ，设5,sin BAD αα∠==（1）求sin C ；（2）若·28BA BC =u u u r u u u r ，求AC 的长.【答案】（172（2）5AC = 【解析】试题分析：（1）由α为三角形BAD 中的角，根据s inα的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，进而利用二倍角的正弦函数公式求出sin ∠BAC 与cos ∠BAC 的值，即为sin2α与cos2α的值，sinC 变形为sin sin 24C ππα⎡⎤⎛⎫=-+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，利用诱导公式，以及两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出sinC 的值；（2）利用正弦定理列出关系式，将sinC 与sin ∠BAC 的值代入得出28AB BC =，利用平面向量的数量积运算法则化简已知等式左边，将表示出的AB 代入求出BC 的长，再利用正弦定理即可求出AC 的长． 试题解析： 解：（1）∵0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，5sin 55α==， ∴2cos 1sin 5αα=-=， 则4sin sin22sin cos 2555BAC ααα∠====， ∴243cos 2cos 12155BAC α∠=-=⨯-=， ∴22232472sin sin 2sin 24455C πππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+===⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．（2）由正弦定理，得sin sin AB BCC BAC =∠472510BC=，∴28AB BC =，又·28BA BC =u u u r uu u r ，∴2282AB BC ⨯=，由上两式解得42BC =， 又由sin sin AC BCB BAC=∠得425BC=，∴5AC =．三、解答题18．如图所示，等腰梯形ABCD 的底角 A 等于60o ，直角梯形 ADEF 所在的平面垂直于平面ABCD ，90EDA ∠=o ，且22ED AD AB AF ===.（1）证明：平面ABE ⊥平面EBD ； （2）若三棱锥 A BDE -的外接球的体积为823π，求三棱锥 A BEF - 的体积. 【答案】（1）详见解析；（2）36.【解析】试题分析：(1)利用题意首先证得AB ⊥平面EBD ，由面面垂直的判断定理可得平面ABE ⊥平面EBD .(2)将三棱锥中点A 看作顶点，BEF 3试题解析：(1) 因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF ⋂平面,,ABCD AD ED AD ED ≠=⊥⊂平面ADEF ，ED ∴⊥平面ABCD ，AB ≠⊂Q 平面ABCD ，AB ED ∴⊥，又2,1,60,AD AB A AB BD ===∴⊥o Q .又,,BD ED D BD ED ≠⋂=⊂平面,EBD AB ∴⊥平面EBD ，又AB ≠⊂平面ABE ，所以平面ABE ⊥平面EBD .(2)由（1）得,AD DE AB BE ⊥⊥，所以三棱锥A BDE -的外接球的球心为线段AE 的中点34323AE π⎛⎫∴⋅⋅=⎪⎝⎭，解得2,1AE AD ED AB AF =====，111232A BEF B AEF V V --∴==⨯⨯⨯=. 19．某市为了调查小区成年居民对环境治理情况的满意度（满分按100计），随机对20名六十岁以上的老人和20名十八岁以上六十岁以下的中青年进行了不记名的问卷调查，得到了如下统计结果：表1：六十岁以上的老人对环境治理情况的满意度与频数分布表表2：十八岁以上六十岁以下的中青年人对环境治理情况的满意度与频数分布表表3：（1）若该小区共有中青年人500人，试估计其中满意度不少于80的人数；（2）完成表3的22⨯列联表，并回答能否有90%的把握认为“小区成年居民对环境治理情况的满意度与年龄有关”？（3）从表3的六十岁以上的老人“满意度小于80”和“满意度不小于80”的人数中用分层抽样的方法抽取一个容量为5的样本，再从中任取3人，求至少有两人满意小于80的概率.附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.【答案】（1）150；（2）没有90%的把握认为“小区成年居民对环境治理情况的满意度与年龄有关”；（3）7 10.【解析】（1）根据抽样比例求得抽取满意度不少于80的人数；（2）填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（3）利用分层抽样方法抽取样本，利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．【详解】解：（1）根据表中数据知，20人中满意度不少于80的人数为6人，该小区中青年人500人中，满意度不少于80的人数为6 50015020⨯=；（2）完成表3的22⨯列联表如下，由表中数据，计算2240(126148)0.440 2.70620202614K⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯；∴没有90%的把握认为“小区成年居民对环境治理情况的满意度与年龄有关”；（3）从表3知，用分层抽样方法抽取一个容量为5的样本，满意度小于80的抽取3人，记为A、B、C，满意度不小于80的抽取2人，记为d、e；从这5人中任取3人，基本事件是ABC、ABd、ABe、ACd、ACe、Ade、BCd、BCe 、Bde 、Cde 共10种；至少有两人满意小于80的是ABC 、ABd 、ABe 、ACd 、ACe 、BCd 、BCe 共7种；故所求的概率是710P =． 【点睛】本题考查了独立性检验与列举法求古典概型的概率问题，属于中档题．20．已知定直线:3l y x =+，定点(2,1)A ，以坐标轴为对称轴的椭圆C 过点A 且与l 相切.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）椭圆的弦,AP AQ 的中点分别为,M N ，若MN 平行于l ，则,OM ON 斜率之和是否为定值？ 若是定值，请求出该定值；若不是定值请说明理由.【答案】（1）22163x y +=（2）,OM ON 斜率之和为定值0【解析】试题分析：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为221(0,0,)mx ny m n m n +=>>≠，由题意构建关于a b ，的方程组，即可得椭圆方程．（Ⅱ）设点P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），可知PQ ∥MN ，所以k PQ =k MN =1，设直线PQ 的方程为y=x+t ，代入椭圆方程并化简得：3x 2+4tx+2t 2﹣6=0，利用韦达定理可计算0OM ON k k += 试题解析：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为221(0,0,)mx ny m n m n +=>>≠椭圆C 过点A ，所以41m n +=①，将3y x =+代入椭圆方程化简得：()26910m n x nx n +++-=，因为直线l 与椭圆C 相切，所以()()()264910n m n n ∆=-+-=②，解①②可得，11,63m n ==，所以椭圆方程为22163x y +=；（Ⅱ）设点()()1122,,,P x y Q x y ，则有11222121,,,2222x y x y M N ++++⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由题意可知PQ MN P ，所以1PQ MN k k ==，设直线PQ 的方程为y x t =+， 代入椭圆方程并化简得：2234260x tx t ++-=由题意可知1221243263t x x t x x ⎧+=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩③ 1212121211112222OM ON y y x t x t k k x x x x +++++++=+=+++++， 通分后可变形得到()()()12121212234424OM ON x x t x x t k k x x x x ++++++=+++将③式代入分子()()()()()212121212226341212036123612OM ON t t t t k k x x x x x x x x -++-+++===++++++，所以,OM ON 斜率之和为定值0.点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现. 21．已知函数()()1ln a f x a x x a R x+=--∈. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）当e a <<x 的方程()1a f ax ax+=-有两个不同的实数解1x ，2x ，求证：12124x x x x +<.【答案】（1）当1a >-时，()f x 在(0,1)a +单调递增，在(1,)a ++∞单调递减； 当1a -…时，()f x 在(0,)+∞单调递减．（2）证明见解析；【解析】（1）求出函数的导数，通过讨论a 的范围求出函数的单调区间即可； （2）求出函数的导数，通过讨论a 的范围求出函数的单调区间，结合函数的单调性证明即可． 【详解】解：函数()f x 的定义域是(0,)+∞，222211(1)[(1)]()1a a x ax a x x a f x x x x x+-+++-+-+'=--==， ①当10a +>，即1a >-时，()f x 在(0,1)a +单调递增，在(1,)a ++∞单调递减， ②当10a +„，即1a -„时，()f x 在(0,)+∞单调递减． （2）证明：设1()()()a g x f ax a lna lnx x ax+=+=+-， 所以(1)()(0)a x g x x x-'=>， 当01x <<时，()0g x '>，函数()g x 在区间(0,1)上单调递增； 当1x >时，()0g x '<，函数()g x 在区间(1,)+∞上单调递减； 所以()g x 在1x =处取得最大值．当e a <<1()a f ax ax+=-有两个不同的实数解1x ，2x 所以函数()g x 的两个不同的零点1x ，2x ，一个零点比1小，一个零点比1大． 不妨设1201x x <<<，由1()0g x =，且2()0g x =，得11()x ln ax =，且22()x ln ax =， 则121211,x x x e x e a a ==，所以121221x xx x e a+=，所以1212212121x x x x e x x a x x +=++g ，令12x x t +=，()te h t t=， 22(1)()t t t e t e e t h t t t --'==g ．12t x x =+Q ，1201x x <<<，1t ∴>，所以()0h t '>，所以函数()h t 在区间(1,)+∞上单调递增，()()1h t h e >=，所以12()122212121144x x x x e e e x x a x x a e +=>>=++， 又因为121x x +>，所以12124x x x x +<．【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，属于中档题．22．在平面直角坐标系中，将曲线1C 上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的12，得到曲线2C ，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，1C 的极坐标方程为2ρ=.(1)求曲线2C 的参数方程；(2)过原点O 且关于y 轴对称的两条直线1l 与2l 分别交曲线2C 于A C 、和B D 、，且点A 在第一象限，当四边形ABCD 周长最大时，求直线1l 的普通方程.【答案】（1）2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)；（2）14y x =【解析】试题分析：（Ⅰ）首先求得2C 的普通方程，由此可求得2C 的参数方程；（Ⅱ）设四边形ABCD 的周长为l ，点(2cos ,sin )A θθ，然后得到l 与θ的关系式，从而利用辅助角公式求得点的直角坐标点，从而求得1l 的普通方程．试题解析：（Ⅰ）2214x y +=，2{x cos y sin θθ==（θ为参数）． （Ⅱ）设四边形ABCD 的周长为l ，设点()2cos ,sin A q q ，8cos 4sin l θθ=+ ()θθθϕ⎫==+⎪⎭， 且cosϕ=，sin ϕ=所以，当22k πθϕπ+=+（k Z ∈）时，l 取最大值，此时22k πθπϕ=+-，所以，2cos 2sinθϕ==，sin cos θϕ== 此时，A ，1l 的普通方程为14y x =．点睛：将曲线的参数方程化为普通方程的关键是消去其中的参数，此时要注意其中的,x y (它们都是参数的函数)的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性．23．已知函数()|21|f x x =-． （1）解不等式()||3f x x <+；（2）若对于x ，y R ∈，有1|31|3x y -+≤，1|21|6y -≤，求证：(67)f x ≤． 【答案】（1）{|24}x x -<<；（2）证明见解析. 【解析】(1)利用零点分段讨论法解绝对值不等式. (2)利用绝对值三角不等式即可证明结论. 【详解】（1）由()||3f x x <+得|21|||3x x -<+，则12213x x x ⎧≥⎪⎨⎪-<+⎩，或102123x x x ⎧<<⎪⎨⎪-<+⎩，或012 3.x x x ≤⎧⎨-<-+⎩， 解得142x ≤<，或102x <<，或20x -<≤，即24x -<<， 所以不等式()||1f x x <+的解集为{|24}x x -<<. （2）证明：由1|31|3x y -+≤，1|21|6y -≤， 所以217()|21||2(31)3(21)|2|31|3|21|326f x x x y y x y y =-=-++-≤-++-≤+=. 【点睛】本题考查绝对值不等式的求解与证明，利用零点分段讨论法解绝对值不等式，利用绝对值三角不等式证明不等式.。

2020年江西省南昌市高考数学二模试卷(文科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 复数z 1=2−i ，z 2=12−i ，则|z 1z 2|=( ) A. 52 B. 5 C. 254 D. 252. 设集合A ={x ∈Z|x 2≤1}，B ={−1,0,1,2}，则A ∩B =( )A. {−1,1}B. {0}C. {−1,0，1}D. [−1,1]3. 已知空间内两条不同的直线a ，b ，则“a // b ”是“a 与b 没有公共点”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 已知函数f(x)={2e x−1,(x <2)log 3(x 2−1),(x ≥2)，则不等式f(x)>2的解集为( ) A. (1,2)⋃(3,+∞)B. (√10,+∞)C. (1,2)⋃(√10,+∞)D. (1,2)5. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(x)的图象关于直线x =2对称，当0<x <2时，f(x)=2x+2−x ，则f(5)=( )A. 3B. −3C. 7D. −76. 已知▵ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a =2c ，sinA =2cos2C ，则角A 等于( )A. π6B. π2C. 2π3D. 5π6 7. 已知a ⃗ ，b ⃗ 为单位．．向量，且|a ⃗ +b ⃗ |=√2|a ⃗ −b ⃗ |，则a ⃗ 在a ⃗ +b ⃗ 上的投影为( ) A. 13 B. −2√63 C. √63 D. 2√238. 直线4x −3y =0被圆(x −1)2+(y −3)2=10所截得弦长为( )A. 3B. 3√2C. 6D. 6√29. 函数f(x)=e x x 的图象大致为( )A. B. C. D.10. 已知F 是抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过C 上一点M 作其准线的垂线，垂足为N ，若∠NMF =120°，则|MF|=( ) A. 23 B. 2√33 C. 43 D. 4√3311. 春秋以前中国已有“抱瓮而出灌”的原始提灌方式，使用提水吊杆——桔槔，后发展成辘轳，19世纪末，由于电动机的发明，离心泵得到了广泛应用，为发展机械提水灌溉提供了条件．图形所示为灌溉抽水管道在等高图的上垂直投影，在A 处测得B 处的仰角为37度，在A 处测得C 处的仰角为45度，在B 处测得C 处的仰角为53度，A 点所在等高线值为20米，若BC 管道长为50米，则B 点所在等高线值为(参考数据sin37∘=35)A. 30米B. 50米C. 60米D. 70米 12. 已知函数f(x)=3sinωx 在区间[−π3,π4]上的最小值为−3，则ω的取值范围是( )A. (−∞,−92]∪[6,+∞)B. (−∞,−92]∪[32,+∞) C. (−∞,−2]∪[6,+∞)D. (−∞,−2]∪[32,+∞) 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知实数x ，y 满足{x −y ≤02x +y −6≤0x ≥−1，则x +y 的最大值为______．14. 已知a >0，b >0，且ab =1，则12a +12b +8a+b 的最小值为______．15. 设P 是双曲线x 2a 2−y 29=1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x −2y =0，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF 1|=3，则|PF 2|的值为______．16. 已知四棱锥P −ABCD 的底面ABCD 是边长为3的正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD =6，E 为PD中点，过EB 作平面α分别与线段PA 、PC 交于点M ，N ，且AC // α，则PM PA =________.四边形EMBN 的面积为________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下：甲：82，81，79，78，95，88，93，84乙：92，95，80，75，83，80，90，85(1)用茎叶图表示这两组数据；(2)现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度(在平均数、方差或标准差中选两个)考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由．18. 已知等差数列{a n }的公差为d(d ≠0)，前n 项和为S n ，且满足____________.(从①S 10=5(a 10+1))；②a 1,a 2,a 6成等比数列；③S 5=35，这三个条件中任选两个．．补充到题干中的横线位置，并根据你的选择解决问题)(Ⅰ)求a n ；(Ⅱ)若b n=1，求数列{a n b n}的前n项和T n．2n19.如图，在四棱锥P−ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB//CD，AB=2AD=2CD=2.E是PB的中点．(Ⅰ)求证：平面EAC⊥平面PBC；(Ⅱ)若PB=2，求三棱锥P−ACE的体积．20.已知函数f(x)=e x−ax，其中a∈R，e为自然对数的底数．(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a>0时，求函数f(x)在[0,a]上的最大值．21.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x24+y22=1，其左顶点为A，过原点O的直线(与坐标轴不重合)与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点．试问以MN为直径的圆是否经过定点(与直线PQ的斜率无关)？请证明你的结论．22.平面直角坐标系xOy中，抛物线E顶点在坐标原点，焦点为(1,0).以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．(Ⅰ)求抛物线E的极坐标方程；(Ⅱ)过点A(3,2)倾斜角为α的直线l交E于M，N两点，若|AN|=2|AM|，求tanα．23.已知函数f(x)=|x|+|x+1|．(Ⅰ)解关于x的不等式f(x)≥2；(Ⅱ)若a，b，c∈R+，函数f(x)的最小值为m，若a+b+c=m，求证：ab+bc+ac≤1．3-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：本题考查复数的模，属于基础题．根据复数模的性质可得结果．解：|z 1z 2|=|z 1||z 2|=√22+(−1)2⋅√(12)2+(−1)2=√5×√52=52． 故选A ．2.答案：C解析：本题考查了交集及其运算，是基础题．解：集合A ={x ∈Z|x 2⩽1}={−1,0,1}，B ={−1,0,1,2}，∴A ∩B ={−1,0，1}，故选C ．3.答案：A解析：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据空间直线的位置关系是解决本题的关键，属于基础题．根据充分条件和必要条件的定义进行判断．解：空间内两条不同的直线a ，b ，若，⇒与b 没有公共点，若“a 与b 没有公共点，不能推出“a // b ”因为a ，b 可能平行，也可能为异面，故空间内两条不同的直线a ，b ，则“a // b ”是“a 与b 没有公共点”的充分不必要条件，故选A ．4.答案：C解析：本题考查分段函数，不等式求解．根据已知函数解析式分段求解f(x)>2即可． 解：函数则不等式f(x)>2即为{2e x−1>2x <2或，解得1<x <2，或x >√10即原不等式的解集为．故选C ． 5.答案：D解析：解：由题意可得f(x +2)=f(−x +2)，所以f(5)=f(3+2)=f(−3+2)=f(−1)=−f(1)=−(23−1)=−7．故选：D ．由已知结合函数的对称性可得f(x +2)=f(−x +2)，从而可把f(5)转化到已知区间上，代入可求． 本题考查函数的性质，考查运算求解能力与推理论证能力．6.答案：B解析：本题考查了正弦定理及二倍角公式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．由正弦定理可得，sinA =2sinC ，进而利用二倍角公式求出sinC =12，则可得sin A ，结合A 的范围，可得角A 的大小．解：由正弦定理，得a sinA =c sinC ，又a =2c ，则sinA =2sinC ，∵sin A =2cos 2C ，。

2020年江西省南昌市高考数学二模试卷（文科）题号一二三总分得分1236.01. 已知集合A={x|x2-x-2>0}，B={x|0<x<3}，则A∩B 等于（）C.4. 己知角的顶点在坐标原点，始边为A. -B. -5. 已知抛物线y2=8 x的焦点为F，点P在该抛物线上，且P在y轴上的投影为点E，则|PF|-|PE|的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 46. 已知圆锥的侧面展开图为四分之三个圆面，设圆锥的底面半径为r，母线长为l ，有以下结论：① l：r=4：3；②圆锥的侧面积与底面面积之比为4：3；③圆锥的轴截面是锐角三角形．其中所有正确结论的序号是（）A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③7. 某市教育局卫生健康所对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了100 名学生，他们身高都处于A，B，C，D，E 五个层次，根据抽样结果得到如下统计图表，则从图表中不能得出的信息是（）2.3.A. （-1，3）B. （0，3）C. （1，3）已知a，b∈R，复数z=a-bi，则|z|2= （）D. （2，3）A. a2+b2-2abiB. a2-b2-2abiC. a2-b2D. a2+b2已知函数，命题，若p 为假命题，则实数 a 的取值范围是D.x 轴非负半轴，终边过点P（2,－1），则cos2 等于（）A. 样本中男生人数少于女生人数C. 样本中 D 层次身高的男生多于女生B. 样本中 B 层次身高人数最多D. 样本中 E 层次身高的女生有3人）10. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐 含着一个有趣的数学问题 --“将军饮马”问题， 即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发， 先到 河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x 2+y 2≤1，若将军从点 A （ 2，0）处出发，河岸线所在直线方程为 x+y=3，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ） A. -1 B. 2 C. 2 D.11. 已知一个四棱锥的三视图如图（网络中的小正方形边长为 1），则该四 棱锥的侧面中直角三角形的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 412. 已知双曲线 E ： - =1（ a > 0，b >0）的焦距为 2c ，圆 C 1：（ x-c ）2+y 2=r 2（ r >0）与圆 C 2： x 2+、填空题（本大题共 4 小题，共 12.0分）与 的夹角为 ，| |=2，| |=1，则 ?（ ） =14. 已知实 x ，y 满足 ，则 2x+y 的最小值是 _____15. 已知函数 f （x ）对于任意实数 x 都有 f （ -x ） = f （ x ），且当 x ≥0时，f （x ）=e x -sinx ，若实数 a满 足 f （log 2a ）< f （ 1），则 a 的取值范围是 ．8.已知函数 f （x ）=Asin （ωx+φ）（ A >0， 所示，若将 f （ x ）图象上的所有点向左平移 象，则函数 g （ x ）的单调递增区间是（A. [k π- ，k π- ] （k ∈Z ）B. [k π- ， k π ] （ k ∈Z ）C. [k π- ，k π ] （k ∈Z ）D. π， π （ ∈）9. 已知正实数 a ，b ，c 满足 log a 2=2，log 3b= ，c 6= ，则 a ，b ，c 的大小关系是（ ）A. a <b < cB. a < c < bC. c < b < aD. b < a < cy-m ）2=4r 2（m ∈R ）外切，且 E 的两条渐近线恰为两圆的公切线，则 E 的离心率为（A. B. C.13. 已知平面向量16. 已知平行四边形 ABCD 中， AB=AC ，BD=6，则此平行四边形面积的最大值为 ______ ．三、解答题（本大题共 7 小题，共 84.0分）17. 已知数列 { a n }是公差不为零的等差数列， a 1=1，且存在实数 λ满足 2a n+1=λa n +4， n ∈N +． （ 1）求 λ的值及通项 a n ；（ 2）求数列 { a } 的前 n 项和 S n ．矩形 ABCD 中，AB=3，BC=1，E 、F 是边 DC 的三等分点．现将 △DAE 、△CBF 分别沿 19. 已知椭圆 C ： =1（a >b >0），点 M 是C 长轴上的一个动点， 过点 M 的直线 l 与 C 交于 P ，Q 两点，与 y 轴交于点 N ，弦 PQ 的中点为 R ．当 M 为 C 的右焦点且 l 的倾斜角为 时， N ， P重合， |PM |=2． （ 1）求椭圆 C 的方程；（2）当 M ，N 均与原点 O 不重合时， 过点 N 且垂直于 OR 的直线 l ′与 x 轴交于点 H ．求证： 为定值．18. 如图，1）若 G 为线段 AB 上一点，且 AG=1，求证： DG ∥平面CBF ；2）求多面体 CDABFE 的体积．20. 某品牌餐饮公司准备在10 个规模相当的地区开设加盟店，为合理安排各地区加盟店的个数，先在其中 5 个地区试点，得到试点地区加盟店个数分别为1，2，3，4，5 时，单店日平均营业额y加盟店个数x（个）12345单店日平均营业额y（万元）10.910.297.87.1（1）求单店日平均营业额y（万元）与所在地区加盟店个数x（个）的线性回归方程；（2）根据试点调研结果，为保证规模和效益，在其他 5 个地区，该公司要求同一地区所有加盟店的日平均营业额预计值总和不低于35 万元，求一个地区开设加盟店个数m 的所有可能取值；（3）小赵与小王都准备加入该公司的加盟店，根据公司规定，他们只能分别从其他五个地区（加盟店都不少于 2 个）中随机选一个地区加入，求他们选取的地区相同的概率．21. 已知函数f（x）＝lnx＋ax，a∈R．（1）讨论函数f（x）的单调区间；（2）当时，证明：x3>f（x）．x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2-2ρcos-2θ=0，点P的极坐标是（，参考数据及公式：x i y i=125，=55 ，线性回归方程22. 已知在平面直角坐标系xOy 中，，以坐标原点为极点，直线l 的参数方程为t 为参数）1）求直线l 的极坐标方程及点P 到直线l的距离；2）若直线l 与曲线C交于M，N两点，求△PMN 的面积．23. 已知为正实数，函数.（1）求函数的最大值；（2）若函数的最大值为 1 ，求的最小值.答案与解析1. 答案： D解析： 解： A={ x|x <-1，或 x >2} ； ∴A ∩B=（ 2， 3）． 故选： D ．可求出集合 A ，然后进行交集的运算即可． 考查描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．2. 答案： D解析： 解：因为复数 z=a-bi ， 所以 |z|= ， 故|z|2=a 2+b 2， 故选： D ．根据复数 z=a-bi ，先求出 |z|，然后再求出 |z|2．本题考查了复数模的问题，解决问题的关键对 |z|2 的正确理解．本题属于基础题．3. 答案： C解析： 解：因为 p 为假命题，所以￢ p 为真命题， 即不存在 x 0∈R ，使 f （ x 0） =0 ， 故 △=1-4 a 2< 0， 解得： ， 故选： C ．直接利用命题 p 为假命题，即不存在 x 0∈R ，使 f （x 0）=0，根据这个条件得出实数 a 的取值范围． 本题考查的知识要点：命题的否定，解题的关键是要将假命题转化为真命题，从而来解决问题．4. 答案： C解析： 解：由题得点 P 到原点的距离为= ，故选： C ．先求出点 P 到原点的距离为 ，再利用三角函数的坐标定义求出 cos α，再利用二倍角的余弦求 cos2α 的值．本题主要考查三角函数的定义和二倍角公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理 计算能力．5. 答案： B解析： 解：因为抛物线 y 2=8x ， 所以抛物线的准线方程为 x=-2， 因为 P 在 y 轴上的投影为点 E ， 所以|PE|即为点 P 到 x=-2的距离减去 2， 因为点 P 在该抛物线上， 故点 P 到 x=-2的距离等于 |PF|，cos 所以cos2α =2co 2s α-1=2所以，|PE|=|PF |-2，故|PF|-|PE|=2，故选：B．P在y轴上的投影为点E，由抛物线的定义可得，|PE|=|PF|-2，故可得结果．本题考查了抛物线的定义，解决问题的关键是要利用抛物线的定义将|PE|进行转化．6. 答案：A解析：解：①，由题意得= ，可得l：r=4：3，所以该结论正确；②，由题意得= = = ，所以圆锥的侧面积与底面面积之比为4：3，所以该结论正确；③，由题得轴截面的三角形的三边长分别为，，2r ，顶角最大，其余弦为=- < 0，所以顶角为钝角，所以轴截面三角形是钝角三角形，所以该结论错误．故选：A．利用圆锥的侧面展开图和圆锥的关系可判断①；由圆锥的侧面积和底面积计算可判断②；由余弦定理计算可判断③．本题主要考查圆锥的计算，考查余弦定理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．7. 答案：C解析：解：A．样本中男生人数为4+12+10+8+6=40 ，女生人数为100-40=60 ，所以样本中男生人数少于女生人数，所以该选项是正确的；B．因为男生中 B 层次的比例最大，女生中 B 层次的比例最大，所以样本中 B 层次身高人数最多，所以该选项是正确的；C．样本中 D 层次身高的男生有8人，女生 D 层次的有60×15%=9，所以样本中 D 层次身高的男生少于女生，所以该选项是错误的；D．样本中E层次身高的女生有60×5%=3 人，所以该选项是正确的．故选：C．结合已知和两个统计图表，对每一个选项逐一分析判断得解．本题主要考查统计图表，考查比例和样本频数的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．8. 答案：A解析：【分析】本题考查了求三角函数解析式问题、三角函数图象平移问题、三角函数单调性问题，解决问题的关键是要能由函数图象得出函数解析式，属于中档题.根据三角函数的图象得出函数f（x）解析式，然后根据平移规则得出函数g（x）的图象，从而得出函数g（x）的单调区间．【解答】解：由图可得解得ω=2，将点代入函数f（x）=Asin（2x+φ），即，因为| φ<|，所以φ=，故函数f（x）= Asin（2x+ ），因为将f（x）图象上的所有点向左平移个单位得到函数g（x）的图象．所以，当（k∈Z）时,解得：（k∈Z ），故当x∈[ ]（k∈Z）时，g（x）单调递增，故选：A．9. 答案：B解析：解：由题得a2=2，；∴a6=8，b6=9，且；∵，a，b，c 都是正数；∴a<c<b．故选：B．先求出a6=8，b6=9，从而得出a6< c6< b6，根据a，b，c为正数即可得出a，b，c 的大小关系．考查对数的定义，对数式与指数式的互化，以及指数幂的运算，幂函数的单调性．10.答案：A解析：解：设点A关于直线x+y=3 的对称点A'（a，b），AA'的中点为（，），解得要使从点 A 到军营总路程最短，即为点A'到军营最短的距离，“将军饮马”的最短总路程为，故选：A．先求出点A关于直线x+y=3 的对称点A'，点A'到圆心的距离减去半径即为最短．本题考查了数学文化问题、点关于直线的对称问题、点与圆的位置关系等等，解决问题的关键是将实际问题转化为数学问题，建立出数学模型，从而解决问题．11.答案：C解析：解：由题得几何体原图是如图所示的四棱锥P-ABCD ，在四个侧面中，有∠PBA= ∠PCD = ∠CPB =90°，△PAD 是等边三角形．所以该四棱锥的侧面中直角三角形的个数为：3．故选：C．先找到几何体原图，再确定侧面直角三角形的个数得解．本题主要考查三视图还原几何体，考查空间几何元素位置关系的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．12.答案：C解析：解：双曲线的一条渐近线方程为bx-ay=0，故C1（c，0）到渐近线的距离为=r ，即b=r，设圆C1与圆C2的切点为M，则OM ⊥C1C2，故Rt△OMC 1∽Rt△C2OC1，于是= ，即，故c= r ，∴a= r ，∴双曲线的离心率e= = = ．故选：C．根据三角形相似和距离公式得出a，b，c与r 的关系即可得出离心率．本题考查了双曲线的性质，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．13.答案：3解析：解：由题平面向量与的夹角为，| |=2，| |=1，得?（）= =4-2×=3．故答案为：3．直接利用数量积的运算法则求解．本题主要考查数量积的运算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力．14.答案：-4解析：解：先作出不等式组对应的可行域，如图所示，设z=2x+y，所以y=-2 x+ z，当直线经过点 A 时，直线的纵截距最小，z最小，联立得A（-2，0），所以z最小=2×（-2）+0=-4 ．故答案为：-4．先作出不等式组对应的可行域，再利用数形结合分析得到2x+y 的最小值．本题主要考查线性规划求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．15.答案：（，2）解析：解：∵任意实数x 都有f（-x）=f（x），∴f（x）是偶函数，当x≥0时，f（x）=e x-sinx，即f′（x）=e x-cosx>0，即f（x）为增函数，则f（log 2a）< f （1），等价为f（|log2a|）< f（1），即|log 2a|< 1，即-1< log 2a< 1，即实数 a 的取值范围是故答案为：，2）根据条件判断函数的奇偶性和单调性，结合函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化进行求解即可．本题主要考查不等式的求解，根据条件判断函数的奇偶性和单调性，利用奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化是解决本题的关键．16.答案：3解析：解：平行四边形ABCD 中，AB=AC，BD=6，如图所示；则OB=3，设AB=2 x，∠BAC =θ，θ∈（0，π），则AO=x；△AOB 中，由余弦定理得32=4x2+x2-2?2x?x?cos θ，∴x2= ，∴ = ，∴平行四边形的面积为：S=2S△ABC =2? ?2x?2xsin θ=4x2sin θ=4? ?sin θ当且仅当tan θ=时取“ =”，∴平面四边形ABCD 面积的最大值为 3 ．故答案为： 3 ．根据题意设AB=2x，∠BAC=θ，利用余弦定理求得x2，再计算平行四边形的面积与它的最大值．本题考查了解三角形的应用问题，也考查了三角恒等变换应用问题，是中档题．17. 答案：解：（1）设等差数列{ a n}的公差为d，由存在实数λ满足2a n+1=λa n+4①，得2a n=λa n-1+4②，①-②得，2d=λd，又因为d≠0，解得λ=2；将λ =2代入① 可得：a n+1-a n=2，即d=2 ，又因为a1=1，所以a n=2n-1．2）由（1）可得：=2n+1-（2n+1 ），所以：，===2n+2-n2-2n-4解析：（1）设出等差数列的公差d，然后退位相减便可得结果；（2）求出数列{a }的通项公式，然后利用分组求和法解出数列的前n 项和S n．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，分组法求出数列的和，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．18. 答案：证明：（1）分别取AE，BF 的中点M，N，连接DM ，CN，MG，MN，因为AD=DE=1，∠ADE=90°，所以DM ⊥AE，且DM= ．因为BC=CF=1，∠BCF=90°，所以CN⊥BF，且CN= ．因为面DAE 、面CBF 均与面ABFE 垂直，所以DM ⊥面ABFE，CN⊥面ABFE ，所以DM ∥CN，且DM=CN．因为AM=AGcos45°，所以∠AMG=90°，所以△AMG 是以AG 为斜边的等腰直角三角形，故∠MGA =45°，而∠FBA=45°，则MG ∥FB，故面DMG ∥面CBF ，则DG∥面CBF．解：（2）如图，连接BE，DF，由（1）可知，DM ∥CN，且DM=CN，则四边形DMNC 为平行四边形，故DC=MN= =2．因为V=V D-ABE+V B-EFCD=V D-ABE+3V B-DEF ．所以V= +3× （）×1= ．解析：（1）分别取AE，BF 的中点M，N，连接DM ，CN，MG，MN，先证明DM ∥CN，再证明面DMG ∥面CBF，即证DG∥面CBF ．（2）连接BE，DF ，利用割补法和体积变换V=V D-ABE+V B-EFCD=V D-ABE+3V B-DEF ．求多面体CDABFE 的体积．本题主要考查空间位置关系的证明，考查空间几何体的体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．19. 答案： （1）解： ∵当 M 为 C 的右焦点，且 l 的倾斜角为，又 a 2=b 2+c 2，解得 b=1， c= ，∴椭圆 C 的方程为 ；（ 2）证明：设直线 l ：y=kx+m （k ≠0）， P （x 1，y 1）， Q （ x 2， y 2），将 y=kx+m 代入 得：（ 1+4k 2） x 2+8kmx+4m 2-4=0，∴R （1）根据题意得到关于 a ，b ，c 的方程组，解方程组即得椭圆的标准方程；2）设直线 l ：y=kx+m （ k ≠0），P （x 1，y 1），Q （ x 2，y 2），联立直线和椭圆的方程得到 R （本题主要考查椭圆的标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆中的定值问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，是中档题．将 =3， =9 代入，得 a=9-（ -3） =12，故所求线性回归方程为 =-x+12．（ 2）根据题意， m （12-m ）≥35，解得： 5≤m ≤7，又 m ∈Z +，所以 m 的所有可能取值为 5， （3）设其他 5个地区分别为 A ，B ，C ，D ，E ，他们选择结果共有 25 种，具体如下： AA ， AD ，AE ，BA ，BB ，BC ，BD ，BE ，CA ，CB ，CC ，CD ，CE ，DA ，DB ，DC ，DD ，DE ，EA ，EB EE ， 其中他们在同一个地区的有 5 种，所以他们选取的地区相同的概率 P= 解（1）利用最小二乘法求线性回归方程；，N ，P 重合， |PM |=2．∴直线 l ′的方程为 y=4 kx+m ，点 H 的坐标为（ -，0）， 又∵点 M （ ，0）， ∴为定值．点 H 的坐标为（），再求 为定值．）， 解析： 20.答案： 解（ 1）由题可得，=3， =9，设所求线性回归方程为 = x+a ， 则==-1， ，6，7． AB ，AC ， EC ．ED ，），则 ．2）解不等式 m （12-m ）≥35得一个地区开设加盟店个数 m 的所有可能取值；（3）利用古典概型的概率求选取的地区相同的概率．本题主要考查线性回归方程的求法，考查古典概型的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解 掌握水平和分析推理能力．属中档题．21. 答案： 解：（ 1）f （ x ）的定义域为（ 0，+∞）．由已知， f ′（ x ） = = ，①当 a ≥0时， f ′（ x ）≥0恒成立，此时 f （x ）在（ 0，+∞）．上单调递增；②当 a < 0时，令 f ′（ x ）> 0恒，得 x ，所以 f （ x ）在（ 0， - ）上单调递增，在（ - ）上单调递减．综上所述，当 a ≥0时， f （x ）的单调增区间为（ 0，+∞），无单调递减区间；当 a < 0时， f （x ）的单调递增区间为（ 0，- ），单调递减区间为（ - ）．（ 2）考虑到 x >0 时 x-1≥lnx ，欲证 x 3>ln x+ ，只要证明-1，令 g （x ）= ， x >0， 则 g ′（ x ）= ，令则 g ′（ x ）=0，可得 x 0= ， 且当 x ∈（0，x 0）时 g ′（x ）<0，当 x ∈（x 0，+∞）时 g ′（ x ）>0， 所以 g （ x ）在∈（0，x 0）上单调递减，在 x ∈（x 0，+∞）上单调递增，因为 ，所以 ，所以 g （x ） ≥g （ x 0）> 0，即 x 3>（ x-1）+ 只恒成立，所以 x 3>ln x+ 恒成立，即 x 3>f （x ）解析： （1）对 a 分 a ≥0和 a < 0讨论，利用导数求函数的单调区间；（2）x >0 时，x-1≥lnx ，欲证： x 3> ln x+ 只需证明-1，再构造函数 g （x ）= ，x >0，利用导数求函数的最小值 g （ x 0），即得证．本题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数证明不等式和求函数的最值，意在考查学 生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力． 22.答案： 解（ 1）由 消去 t ，得到 y= ，则 ρ sin θ=ρ cos ，θ ∴θ=，所以直线 l 的极坐标方程为 θ=（ ρ∈R ）．所以 g （ x ） ≥g（ x ）点P（，）到直线l 的距离为d= ×sin （- ）（2）由，得，ρ2-ρ-2=0 所以ρ1+ρ2=1 ，ρ1ρ2=-2所以，|MN |=| 1ρ-ρ2|= =3则△PMN 的面积为．S△PMN= |MN| ×d= ×= ．解析：（1）现将直线方程转化为普通方程，再利用公式求出直线的极坐标方程，进而可得点到直线的距离；（2）在极坐标下，利用韦达定理求出MN 的长度，从而得出面积．本题考查了直线的极坐标方程与普通方程的互化以及在极坐标下求解直线与曲线的弦长问题，利用韦达定理是解题的关键．属中档题．23. 答案：解：（1）因为f（x）=|x-a|-|x+2b| ≤（|x-a）-（x+2b）|=a+2b．，所以函数f（x）的最大值为a+2b．（2）由（1）可知，a+2b=1，因为a2+4b2≥4ab，所以2（a2+4b2）≥a2+4b2+4ab=（a+2b）2=1，即a2+4b2≥，且当a=2b= 时取“ =”，所以a2+4b2的最小值为解析：本题考查了基本不等式、绝对值不等式等知识，运用基本不等式时，要注意题意是否满足正、二定、三相等”的条件，熟练运用绝对值不等式也是解决本题的关键．（1）利用绝对值不等式公式进行求解；（2）由（1）得a+2b=1，再根据基本不等式可得a2+4b2的最小值．。

2020届四校联盟高三年级第二次联考试卷语文考试时间:150分钟总分:150分2020.3.29第Ⅰ卷阅读题一、现代文阅读（6 36 分）（一）论述类文本阅读（本题共 3 3 小题，9 9 分）阅读下面的文字，完成1-3题。

家国天下观念滥觞于西周时期。

西周从国家制度来看，施行的是分封制；从社会制度来看，施行的则是宗法制。

父为“家君”,君为“国父”，君父同伦，家国同构，因而家国天下观念得以萌生。

秦以后分封制改为郡县制，贵族制变为官僚制，但家国天下的观念经历代儒家发扬光大，逐渐成为了中国人的人生信念与精神追求。

如今制度化儒家已然解体，社会形态、家庭结构、价值观念也发生了很大变化，但弘扬家国天下观念并对其进行创造性转化、创新性发展，仍具有重要意义。

家国天下观念强调家庭的重要性，这在今天仍不过时。

孟子曰“天之本在国，国之本在家，家之本在身。

”治家是治国的起点。

家庭有序，国家才能稳固；家庭和睦，国家才能兴旺。

现代社会、公共生活的强势导致家庭私生活式微，家教逐渐被社会道德教化替代，家风也慢慢淡出现代社会文化评价视野。

现代社会的秩序不单单靠宏观制度保障，也需要个人美德支撑，个人美德的养成关键在家庭，因此，在家庭与私人领域，仍需大力弘扬孝悌之道，提倡忠恕爱敬之德，注重家教、注重家风，让千千万万个家庭成为国家发展、民族进步、社会和谐的重要基点。

家国天下观念是现代中国社会伦理的重要维度。

家国同构，移家为国，移孝为忠，儒家所追求的国家秩序，实质上是家庭秩序的扩大反映，爱国和爱家有高度的一致性。

当今社会飞速发展，各种价值观念不断碰撞，但家与国的根本利益是一致的。

家是社会的细胞，国是维护家的外部屏障，家国的良性互动与发展有利于促进整个社会的稳定与和谐。

家国天下的教化塑造了中国人的人格精神，使得中国人的价值观内蕴着对国家的认同感和责任意识。

这种认同感和责任意识在今天常表现为个体对国家的热爱，对民族统一的追求，对国富民强的企盼。

2019-2020学年高三下学期第二次联考（文科）数学试卷2020.3一、选择题（共12小题）1．集合，集合，则A∩B＝（）A．{x|x≥0}B．{x|x≤2}C．{x|0≤x≤2}D．∅2．下列各式的运算结果为纯虚数的是（）A．B．C．i（1+i）2D．i2（1+i）3．“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体．自2015年以来，“一带一路”建设成果显著．右图是2015﹣2019年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图，下列描述错误的是（）A．这五年，出口总额之和比进口总额之和大B．这五年，2015 年出口额最少C．这五年，2019 年进口增速最快D．这五年，出口增速前四年逐年下降4．函数的一个单调递减区间是（）A．B．C．D．5．双曲线C：的离心率为，则一条渐近线的倾斜角为（）A．40°B．45°C．50°D．60°6．在△ABC中，已知a、b、c成等比数列，且a+c＝3，，则＝（）A．B．C．3D．﹣37．已知，则在数列{a n}的前40项中最大项和最小项分别是（）A．a1，a30B．a1，a9C．a10，a9D．a12，a118．函数f（x）＝ln|x﹣1|+x2与g（x）＝2x，两函数图象所有交点的横坐标之和为（）A．0B．2C．4D．89．若点P（x，y）坐标满足ln||＝|x﹣1|，则点P的轨迹图象大致是（）A．B．C．D．10．棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱AD中点，过点B1，且与平面A1BE 平行的正方体的截面面积为（）A．5B．2C．2D．611．过直线l：y＝2x+a上的点作圆C：x2+y2＝1的切线，若在直线l上存在一点M，使得过点M的圆C的切线MP，MQ（P，Q为切点）满足∠PMQ＝90°，则a的取值范围是（）A．[﹣10，10]B．[﹣，]C．（﹣∞，﹣10]∪[10，+∞）D．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）12．若关于x的不等式有正整数解，则实数λ的最小值为（）A．9B．10C．11D．12二、填空题（本题4小题）13．已知函数f（x）＝e x+b的一条切线为y＝x+1，则b＝．14．已知数列{a n}是等差数列，其前n项和S n有最大值，且，则使得S n＞0的n的最大值为．15．已知向量，且，若，其中x＞0、y＞0且x+y＝4，则的最小值为．16．如图，已知抛物线C1的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，且过点（3，6），圆C2：x2+y2﹣6x+8＝0，过圆心C2的直线l与抛物线和圆分别交于P，Q，M，N，则|PN|+2|QM|的最小值为．三、解答题（共70分，第17-21题为必考题，第22-23题为选考题）（一）必考题：共60分17．如图，在△ABC中，，角A的平分线AD交BC于点D，设∠BAD＝α，．（Ⅰ）求sin C；（Ⅱ）若，求AC的长．18．如图所示，等腰梯形ABCD的底角A等于60°，直角梯形ADEF所在的平面垂直于平面ABCD，∠EDA＝90°，且ED＝AD＝2AB＝2AF．（1）证明：平面ABE⊥平面EBD；（2）若三棱锥A﹣BDE 的外接球的体积为，求三棱锥A﹣BEF的体积．19．某市为了调查小区成年居民对环境治理情况的满意度（满分按100计），随机对20名六十岁以上的老人和20名十八岁以上六十岁以下的中青年进行了不记名的问卷调查，得到了如下统计结果：表1：六十岁以上的老人对环境治理情况的满意度与频数分布表满意度[0，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]人数15653表2：十八岁以上六十岁以下的中青年人对环境治理情况的满意度与频数分布表满意度[0，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]人数24842表3满意度小于80满意度不小于80合计六十岁以上老人人数十八岁以上六十岁以下的中青年人人数合计（1）若该小区共有中青年人500人，试估计其中满意度不少于80的人数；（2）完成表3的2×2列联表，并回答能否有90%的把握认为“小区成年居民对环境治理情况的满意度与年龄有关”？（3）从表3的；六十岁以上的老人“满意度小于80”和“满意度不小于80”的人数中用分层抽样的方法抽取一个容量为5的样本，再从中任取3人，求至少有两人满意小于80的概率．附：K2＝，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k0）k00.4550.708 1.323 2.072 2.706 3.84 5.024 6.6357.87910.83 20．已知定直线l：y＝x+3，定点A（2，1），以坐标轴为对称轴的椭圆C过点A且与l相切．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）椭圆的弦AP，AQ的中点分别为M，N，若MN平行于l，则OM，ON斜率之和是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值请说明理由．21．已知函数（a∈R）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当e＜a ＜时，关于x 的方程有两个不同的实数解x1，x2，求证：x1+x2＜4x1x2．（二）选做题（共10分，请考生在22，23题中任选一题作答）22．在平面直角坐标系，将曲线C1上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的，得到曲线C2，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ＝2．（Ⅰ）求曲线C2的参数方程；（Ⅱ）过原点O且关于y轴对称点两条直线l1与l2分别交曲线C2于A、C和B、D，且点A在第一象限，当四边形ABCD的周长最大时，求直线l1的普通方程．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|．（Ⅰ）解不等式f（x）＜|x|+3；（Ⅱ）若对于x、y∈R，有，，求证：．参考答案一、选择题（本题12小题，每小题5分，共60分）1．集合，集合，则A∩B＝（）A．{x|x≥0}B．{x|x≤2}C．{x|0≤x≤2}D．∅【分析】求出集合A，集合B，由此能求出A∩B．解：∵集合＝{y|y≥0}，集合＝{x|x≤2}，∴A∩B＝{x|0≤x≤2}．故选：C．2．下列各式的运算结果为纯虚数的是（）A．B．C．i（1+i）2D．i2（1+i）【分析】分别利用复数代数形式的乘除运算化简四个复数得答案．解：；；i（1+i）2＝i（2i）＝﹣2；i2（1+i）＝﹣1﹣i．故选：A．3．“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体．自2015年以来，“一带一路”建设成果显著．右图是2015﹣2019年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图，下列描述错误的是（）A．这五年，出口总额之和比进口总额之和大B．这五年，2015 年出口额最少C．这五年，2019 年进口增速最快D．这五年，出口增速前四年逐年下降【分析】正确理解图象带来的信息逐一进行判断即可．解：对于A，这五年，出口总额之和比进口总额之和大，故A对；对于B，2015出口额最少，故B对；对于C，这五年，2019 年进口增速最快，故C对；对于D，根据蓝色线斜率可知，这五年，出口增速前三年逐年下降，第四年后增速开始增加，故D错．故选：D．4．函数的一个单调递减区间是（）A．B．C．D．【分析】解即可得出f（x）的单调递减区间，然后即可判断每个选项的区间是否为f（x）的一个单调递减区间．解：解得，（k∈Z），k＝0时，；k＝1时，；k＝﹣1时，，∴是f（x）的一个单调递减区间．故选：B．5．双曲线C：的离心率为，则一条渐近线的倾斜角为（）A．40°B．45°C．50°D．60°【分析】通过双曲线的离心率求解渐近线的斜率，然后求解倾斜角即可．解：双曲线C：的渐近线方程为y＝±x，由双曲线的离心率为，所以＝，得＝＝＝tan50°，一条渐近线的倾斜角为50°．故选：C．6．在△ABC中，已知a、b、c成等比数列，且a+c＝3，，则＝（）A．B．C．3D．﹣3【分析】根据已知条件结合余弦定理求得ac＝2；再代入数量积求解即可．解：因为在△ABC中，已知a、b、c成等比数列，且a+c＝3，，∴b2＝ac；∵b2＝a2+c2﹣2ac cos B＝（a+c）2﹣2ac﹣2ac×＝ac；∴ac＝2；∴＝||•||cos B＝ac•cos B＝2×＝．故选：A．7．已知，则在数列{a n}的前40项中最大项和最小项分别是（）A．a1，a30B．a1，a9C．a10，a9D．a12，a11【分析】根据题意，将数列的通项公式变形可得a n＝＝1+，结合函数的性质分析可得答案．解：根据题意，a n＝＝1+，当n≤11时，数列{a n}递减，且a n＜1，当n≥12时，数列{a n}递减，且a n＞1，故在数列{a n}的前40项中最大项和最小项分别是a12和a11；故选：D．8．函数f（x）＝ln|x﹣1|+x2与g（x）＝2x，两函数图象所有交点的横坐标之和为（）A．0B．2C．4D．8【分析】令f（x）＝g（x）得出ln|x﹣1|+x2＝2x，作出y＝ln|x﹣1|和y＝﹣x2+2x的函数图象，数形结合即可．解：令f（x）＝g（x），即ln|x﹣1|+x2＝2x，∴ln|x﹣1|＝﹣x2+2x，分别作出y＝ln|x﹣1|和y＝﹣x2+2x的函数图象，如图所示：显然函数图象有2个交点，x1＝0，x2＝2，则x1+x2＝2故选：B．9．若点P（x，y）坐标满足ln||＝|x﹣1|，则点P的轨迹图象大致是（）A．B．C．D．【分析】取特殊点代入进行验证即可．解：由题意，x＝1时，y＝1，故排除C，D；令x＝2，则y＝，排除A．故选：B．10．棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱AD中点，过点B1，且与平面A1BE 平行的正方体的截面面积为（）A．5B．2C．2D．6【分析】取BC中点F，A1D1中点G，连结DF、B1F、DB1、DG、GB1，GF，则BE∥DF，A1E∥GD，从而过点B1，且与平面A1BE平行的正方体的截面为四边形DFB1G，由此能求出过点B1，且与平面A1BE平行的正方体的截面面积．解：取BC中点F，A1D1中点G，连结DF、B1F、DB1、DG、GB1，GF，∵棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱AD中点，∴BE∥DF，A1E∥GD，又A1E∩BE＝E，DG∩DF＝D，A1E、BE⊂平面A1BE，DG、DF⊂平面DFB1G，∴过点B1，且与平面A1BE平行的正方体的截面为四边形DFB1G，∵DF＝FB1＝B1G＝DG＝，DB1＝＝2，GF＝2＝2，∴过点B1，且与平面A1BE平行的正方体的截面面积为：＝＝＝2．故选：C．11．过直线l：y＝2x+a上的点作圆C：x2+y2＝1的切线，若在直线l上存在一点M，使得过点M的圆C的切线MP，MQ（P，Q为切点）满足∠PMQ＝90°，则a的取值范围是（）A．[﹣10，10]B．[﹣，]C．（﹣∞，﹣10]∪[10，+∞）D．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）【分析】由切线的对称性和圆的知识将问题转化为C（0，0）到直线l的距离小于或等于，再由点到直线的距离公式得到关于a的不等式求解．解：圆C：x2+y2＝1，圆心为：（0，0），半径为1，∵在直线l上存在一点M，使得过M的圆C的切线MP，MQ（P，Q为切点）满足∠PMQ ＝90°，∴在直线l上存在一点M，使得M到C（0，0）的距离等于，∴只需C（0，0）到直线l：y＝2x+a的距离小于或等于，故，解得﹣≤a≤，故选：B．12．若关于x的不等式有正整数解，则实数λ的最小值为（）A．9B．10C．11D．12【分析】令f（x）＝，由题意，存在正整数x，使不等式f（x）≥能成立．利用导数求出f（x）的最大值，可得实数λ的最小值．解：∵关于x的不等式有正整数解，∴≥81，∴lnx≥4ln3．∵x为正整数，λ＞0，∴≥＝．令f（x）＝，则f′（x）＝．当x∈（0，e），f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（e，+∞），f′（x）＜0，f（x）单调递减，故当x＝e时，f（x）取得最大值．而e不是正整数，2＜e＜3，f（2）＝＝，f（3）＝＝，∴f（3）＞f （2）．故只要f（3）≥即可，求得λ≥12，故选：D．二、填空题（本题4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数f（x）＝e x+b的一条切线为y＝x+1，则b＝0．【分析】先对原函数求导数，然后根据切线斜率为1构造方程求出切点横坐标，代入切线方程求出切点纵坐标，最后将切点坐标代入原函数即可求出b的值．解：f′（x）＝e x，设切点为（x0，y0），由已知切线斜率为1．所以，所以x0＝0，代入切线的y0＝1，所以1＝e0+b，所以b＝0．故答案为：0．14．已知数列{a n}是等差数列，其前n项和S n有最大值，且，则使得S n＞0的n的最大值为4037．【分析】由数列的前n项和S n有最大值，可知数列单调递减，结合，可得a2019＞0，a2020＜0，a2019+a2020＜0，然后由求和公式可求．解：因为数列{a n}是等差数列，且前n项和S n有最大值，故数列单调递减，由，可得a2019＞0，a2020＜0，a2019+a2020＜0，∴S4038＝＜0，＞0，则使得S n＞0的n的最大值为4037．故答案为：403715．已知向量，且，若，其中x＞0、y＞0且x+y＝4，则的最小值为2．【分析】先求2的平方，把其整理为关于x的二次函数求最小值即可．解：因为向量，且，，其中x＞0、y＞0且x+y＝4，则2＝x2+y2+2xy＝x2+y2+xy＝x2﹣4x+16＝（x﹣2）2+12≥12；当x＝2时取最小值12；∴x＝2时，的最小值为：＝2．故答案为：2．16．如图，已知抛物线C1的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，且过点（3，6），圆C2：x2+y2﹣6x+8＝0，过圆心C2的直线l与抛物线和圆分别交于P，Q，M，N，则|PN|+2|QM|的最小值为12+6．【分析】由题意可得抛物线的方程，进而可得焦点坐标，再由圆的方程可得圆心坐标及半径，所以可得圆心与抛物线的焦点重合，所以由过焦点的弦的性质+＝＝，再由|PN|+2|QM|用焦半径表示，整理成符合均值不等式的形式可得最小值，解：由题意设抛物线的方程为：y2＝2px，p＞0，因为抛物线过（3，6），所以36＝2p×3，所以p＝6，所以抛物线的分长为：y2＝12x．所以焦点坐标F为：（3，0），圆C2：x2+y2﹣6x+8＝0，则圆心坐标（3，0），半径为1；所以圆的圆心坐标为抛物线的焦点F，所以+＝＝，所以|PN|+2|QM|＝（|PF|+1）+2（|QF|+1）＝|PF|+2|QF|+3＝3（|PF|+2|QF|）（+）+3＝3（++3）+3≥3（2+3）+3＝12+6，当且仅当2|QF|2＝|PF|2，即|PF|＝|QF|时取等号．故答案为：12+6．三、解答题（共70分，第17-21题为必考题，第22-23题为选考题）（一）必考题：共60分17．如图，在△ABC中，，角A的平分线AD交BC于点D，设∠BAD＝α，．（Ⅰ）求sin C；（Ⅱ）若，求AC的长．【分析】（Ⅰ）由α为三角形BAD中的角，根据sinα的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，进而利用二倍角的正弦函数公式求出sin∠BAC与cos∠BAC的值，即为sin2α与cos2α的值，sin C变形为sin[π﹣（+2α）]，利用诱导公式，以及两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出sin C的值；（Ⅱ）利用正弦定理列出关系式，将sin C与sin∠BAC的值代入得出AB＝BC，利用平面向量的数量积运算法则化简已知等式左边，将表示出的AB代入求出BC的长，再利用正弦定理即可求出AC的长．解：（Ⅰ）∵α∈（0，），sinα，∴cosα＝＝，∴sin∠BAC＝sin2α＝2sinαcosα＝2××＝，cos∠BAC＝cos2α＝2cos2α﹣1＝2×﹣1＝，∴sin C＝sin[π﹣（+2α）]＝sin（+2α）＝（cos2α+sin2α）＝×（+）＝；（Ⅱ）由正弦定理，得＝，即＝，∴AB＝BC，又•＝28，∴AB×BC×＝28，由上两式解得：BC＝4，由＝，得：＝，∴AC＝5．18．如图所示，等腰梯形ABCD的底角A等于60°，直角梯形ADEF所在的平面垂直于平面ABCD，∠EDA＝90°，且ED＝AD＝2AB＝2AF．（1）证明：平面ABE⊥平面EBD；（2）若三棱锥A﹣BDE的外接球的体积为，求三棱锥A﹣BEF的体积．【分析】（1）由平面ADEF⊥平面ABCD，ED⊥AD，利用面面垂直的性质定理可得：ED⊥平面ABCD，因此AB⊥ED．又AD＝2，AB＝1，A＝60°，可得AB⊥BD．即可证明AB⊥平面EBD，于是平面ABE⊥平面EBD．（2）由（1）得AD⊥DE，AB⊥BE，可得三棱锥A﹣BDE的外接球的球心为线段AE 的中点．再利用球的体积计算公式与三棱锥的体积计算公式即可得出．【解答】（1）证明：因为平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，ED⊥AD，ED⊂平面ADEF，∴ED⊥平面ABCD，∵AB⊂平面ABCD，∴AB⊥ED，又∵AD＝2，AB＝1，A＝60°，∴AB⊥BD．又BD∩ED＝D，BD，ED⊂平面EBD，∴AB⊥平面EBD，又AB⊂平面ABE，所以平面ABE⊥平面EBD．（2）解：由（1）得AD⊥DE，AB⊥BE，所以三棱锥A﹣BDE的外接球的球心为线段AE的中点．∴，解得，∴．19．某市为了调查小区成年居民对环境治理情况的满意度（满分按100计），随机对20名六十岁以上的老人和20名十八岁以上六十岁以下的中青年进行了不记名的问卷调查，得到了如下统计结果：表1：六十岁以上的老人对环境治理情况的满意度与频数分布表满意度[0，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]人数15653表2：十八岁以上六十岁以下的中青年人对环境治理情况的满意度与频数分布表满意度[0，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]人数24842表3满意度小于80满意度不小于80合计六十岁以上老人人数十八岁以上六十岁以下的中青年人人数合计（1）若该小区共有中青年人500人，试估计其中满意度不少于80的人数；（2）完成表3的2×2列联表，并回答能否有90%的把握认为“小区成年居民对环境治理情况的满意度与年龄有关”？（3）从表3的；六十岁以上的老人“满意度小于80”和“满意度不小于80”的人数中用分层抽样的方法抽取一个容量为5的样本，再从中任取3人，求至少有两人满意小于80的概率．附：K2＝，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k0）k00.4550.708 1.323 2.072 2.706 3.84 5.024 6.6357.87910.83【分析】（1）根据抽样比例求得抽取满意度不少于80的人数；（2）填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（3）利用分层抽样方法抽取样本，利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．解：（1）根据表中数据知，20人中满意度不少于80的人数为6人，该小区中青年人500人中，满意度不少于80的人数为500×＝150；（2）完成表3的2×2列联表如下，满意度小于80满意度不小于80合计六十岁以上老人人数12820十八岁以上六十岁以下的中青年人人14620数合计261440由表中数据，计算K2＝≈0.440＜2.706；∴没有90%的把握认为“小区成年居民对环境治理情况的满意度与年龄有关”；（3）从表3知，用分层抽样方法抽取一个容量为5的样本，满意度小于80的抽取3人，记为A、B、C，满意度不小于80的抽取2人，记为d、e；从这5人中任取3人，基本事件是ABC、ABd、ABe、ACd、ACe、Ade、BCd、BCe、Bde、Cde共10种；至少有两人满意小于80的是ABC、ABd、ABe、ACd、ACe、BCd、BCe共7种；故所求的概率是P＝．20．已知定直线l：y＝x+3，定点A（2，1），以坐标轴为对称轴的椭圆C过点A且与l相切．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）椭圆的弦AP，AQ的中点分别为M，N，若MN平行于l，则OM，ON斜率之和是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值请说明理由．【分析】（Ⅰ）设椭圆的标准方程为mx2+ny2＝1（m＞0，n＞0，m≠n），椭圆C过点A，所以4m+n①，将y＝x+3代入椭圆方程化简得：（m+n）x2+6nx+9n﹣1＝0，由△＝（6n）2﹣4（m+n）（9n﹣1）＝0②，…可得，，即可得椭圆方程．（Ⅱ）设点P（x1，y1），Q（x2，y2），可知PQ∥MN，所以k PQ＝k MN＝1，设直线PQ的方程为y＝x+t，代入椭圆方程并化简得：3x2+4tx+2t2﹣6＝0由题意可知，利用韦达定理可计算解：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为mx2+ny2＝1（m＞0，n＞0，m≠n）椭圆C过点A，所以4m+n①，…将y＝x+3代入椭圆方程化简得：（m+n）x2+6nx+9n﹣1＝0，因为直线l与椭圆C相切，所以△＝（6n）2﹣4（m+n）（9n﹣1）＝0②，…解①②可得，，所以椭圆方程为；…（Ⅱ）设点P（x1，y1），Q（x2，y2），则有，由题意可知PQ∥MN，所以k PQ＝k MN＝1，设直线PQ的方程为y＝x+t，代入椭圆方程并化简得：3x2+4tx+2t2﹣6＝0由题意可知③…通分后可变形得到…将③式代入分子所以OM，ON斜率之和为定值0．…21．已知函数（a∈R）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当e＜a＜时，关于x的方程有两个不同的实数解x1，x2，求证：x1+x2＜4x1x2．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间，结合函数的单调性证明即可．解：函数f（x）的定义域是（0，+∞），，①当a+1＞0，即a＞﹣1时，f（x）在（0，1+a）递增，在（1+a，+∞）递减，②当a+1≤0即a≤﹣1时，f（x）在（0，+∞）递减．（2）证明：设，所以，当0＜x＜1时，g'（x）＞0，函数g（x）在区间（0，1）上单调递增；当x＞1时，g'（x）＜0，函数g（x）在区间（1，+∞）上单调递减；所以g（x）在x＝1处取得最大值．当e＜a＜时，方程有两个不同的实数解x1，x2所以函数g（x）的两个不同的零点x1，x2，一个零点比1小，一个零点比1大．不妨设0＜x1＜1＜x2，由g（x1）＝0，且g（x2）＝0，得x1＝ln（ax1），且x2＝ln（ax2），则，所以，所以，令x1+x2＝t，，．∵t＝x1+x2，0＜x1＜1＜x2，∴t＞1，所以h'（t）＞0，所以函数h（t）在区间（1，+∞）上单调递增，h（t）＞h（1）＝e，所以，又因为x1+x2＞1，所以x1+x2＜4x1x2．（二）选做题（共10分，请考生在22，23题中任选一题作答）22．在平面直角坐标系，将曲线C1上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的，得到曲线C2，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ＝2．（Ⅰ）求曲线C2的参数方程；（Ⅱ）过原点O且关于y轴对称点两条直线l1与l2分别交曲线C2于A、C和B、D，且点A在第一象限，当四边形ABCD的周长最大时，求直线l1的普通方程．【分析】（Ⅰ）求出曲线C2的普通方程，即可求曲线C2的参数方程；（Ⅱ）设四边形ABCD的周长为l，设点A（2cosα，sinα），则l＝8cosα+4sinα＝4sin （α+θ），cosθ＝，sinθ＝，由此，可求直线l1的普通方程．解：（Ⅰ）曲线C1的极坐标方程为ρ＝2，直角坐标方程为x2+y2＝4，将曲线C1上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的，得到曲线C2：+y2＝1，∴曲线C2的参数方程为（α为参数）；（Ⅱ）设四边形ABCD的周长为l，设点A（2cosα，sinα），则l＝8cosα+4sinα＝4sin （α+θ），cosθ＝，sinθ＝，α+θ＝+2kπ（k∈Z）时，l取得最大值，此时cosα＝sinθ＝，sinα＝cosθ＝，A （，），∴直线l1的普通方程为y＝x．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|．（Ⅰ）解不等式f（x）＜|x|+3；（Ⅱ）若对于x、y∈R，有，，求证：．【分析】（Ⅰ）根据f（x）＜|x|+3，可得|2x﹣1|＜|x|+3，然后去绝对值解不等式组即可；（Ⅱ）由|x﹣3y+1|≤，|2y﹣1|≤，可得f（x）＝|2x﹣1|≤2|x﹣3y+1|+3|2y﹣1|，从而证明不等式．解：（Ⅰ）由f（x）＜|x|+3，得|2x﹣1|＜|x|+3，∴或或，∴或或﹣2＜x≤0，∴﹣2＜x＜4，∴不等式f（x）＜|x|+1的解集为{x|﹣2＜x＜4}；（Ⅱ）∵对于x、y∈R，|x﹣3y+1|≤，|2y﹣1|≤，∴f（x）＝|2x﹣1|＝|2（x﹣3y+1）+3（2y﹣1）|≤2|x﹣3y+1|+3|2y﹣1|≤＝．。

2020届江西省南昌市高三下学期二模考试数学（文）试卷★祝考试顺利★(解析版)一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.复数12121,,z z i z z z ===⋅,则||z 等于( )A. 2B. 4 D. 【答案】B【解析】先利用复数的乘法运算得到12z z z =,再利用模的计算公式计算即可.【详解】由已知,21(1)2z z i i z ==-=,所以||4z ===. 故选：B2.集合{A x y ==,{B y y ==,则A B =（ ） A. ∅B. []22-,C. []0,2D. {}2【答案】C【解析】集合A 中元素为函数y =,集合B 中元素为函数y =因变量,化简集合,A B ,根据交集定义,即可求得A B .【详解】{A x y ==∴集合A 中元素为函数y =的自变量由240x -≥,即24x ≤解得：22x -≤≤∴[]2,2A =-{B y y ==∴集合B 中元素为函数y =因变量由02≤≤=∴[]0,2B =∴[][][]2,202=,2,0A B =-故选：C3.已知空间内两条不同的直线a ,b ,则“//a b ”是“a 与b 没有公共点”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据充分条件和必要条件定义,即可求得答案. 【详解】空间内两条不同的直线a ,b由“//a b ”可以推出“a 与b 没有公共点”∴“//a b ”是“a 与b 没有公共点”充分条件在空间中“a 与b 没有公共点”, a 与b 可以是//a b 或异面直线故：“a 与b 没有公共点”不能推出“//a b ”∴“//a b ”是“a 与b 没有公共点”不必要条件∴“//a b ”是“a 与b 没有公共点”的充分不必要条件故选：A.4.已知1,1()ln ,1x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩,则不等式()1f x >的解集是( )A. (1,)eB. (2,)+∞C. (2, )eD. (,)e +∞ 【答案】D【解析】分1x ≤,1x >两种情况讨论,分别解不等式组,再求并集即可.【详解】当1x ≤时,()11f x x =->,解得2x >,所以x ∈∅；。