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导数的概念及运算 【考点导读】 1.了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则了解复合函数的求导法则会求某些简单函数的导数与x0,h的关系是 仅与x0有关而与h无关 。
2．一点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的距离为，那么速度为零的时刻是 1，2，4秒末。
3．已知, 则 0 。
4．已知,则当时,。
5．（1）已知,则。
（2）（理科）设函数，则′＝。
6．已知两曲线和都经过点P（1,2），且在点P处有公切线，试求a,b,c值。
解：因为点P（1,2）在曲线上， 函数和的导数分别为和，且在点P处有公切数 ，得b=2 又由，得 【范例导析】 例1． 电流强度是单位时间内通过导体的电量的大小。
从时刻开始的秒内，通过导体的电量（单位：库仑）可由公式表示。
求第5秒内时的电流强度； 什么时刻电流强度达到63安培（即库仑/秒）？ 分析：为了求得各时刻的电流强度，类似求瞬时速度一样，先求平均电流强度，然后再用平均电流强度逼近瞬时电流强度。
解：（1）从时刻到时刻通过导体的这一横截面的电量为： 则这段时间内平均电流强度为 当 当时，则（安培）。
（2）令，得（秒）。
答：（1）第5秒时电流强度为23安培；（2）第15秒时电流强度为63安培。
点评：导数的实际背景丰富多彩，本题从另一个侧面深化对导数概念的理解。
例2．下列函数的导数： ① ② ③ 分析：利用导数的四则运算求导数。
解：①法一： ∴ 法二：=+ ② ∴ ③e－x（cosx+sinx）+e－x（－sinx+cosx）2e－xx, 点评：利用基本函数的导数、导数的运算法则及复合函数的求导法则进行导数运算，是高考对导数考查的基本要求。
例3． 如果曲线的某一切线与直线平行，求切点坐标与切线方程． 分析：本题重在理解导数的几何意义：曲线在给定点处的切线的斜率，用导数的几何意义求曲线的斜率就很简单了。
函数与导数压轴题题型与解题方法(高考必备)题型与方法（选择、填空题）一、函数与导数1、抽象函数与性质主要知识点：定义域、值域（最值）、单调性、奇偶性、周期性、对称性、趋势线（渐近线）对策与方法：赋值法、特例法、数形结合例1：已知定义在$[0,+\infty)$上的函数$f(x)$，当$x\in[0,1]$时，$f(x)=\frac{2}{3}-4x$；当$x>1$时，$f(x)=af(x-1)$，$a\in R$，$a$为常数。
下列有关函数$f(x)$的描述：①当$a=2$时，$f(\frac{3}{2})=4$；②当$a<\frac{1}{2}$时，函数$f(x)$的值域为$[-2,2]$；③当$a>\frac{1}{2}$时，不等式$f(x)\leq 2a$恒成立；④当$-\frac{1}{2}<a<\frac{1}{2}$时，函数$f(x)$的图像与直线$y=2an-1$（$n\in N^*$）在$[1,n]$内的交点个数为$n-\frac{1+(-1)^n}{2}$。
其中描述正确的个数有（。
）【答案】C分析：根据题意，当$x>1$时，$f(x)$的值由$f(x-1)$决定，因此可以考虑特例法。
当$a=2$时，$f(x)$的值域为$[0,4]$，因此①正确。
当$a\frac{1}{2}$时，$f(x)$在$[0,1]$上单调递减，在$[1,+\infty)$上单调递增，因此不等式$f(x)\leq 2a$恒成立，③正确。
当$-\frac{1}{2}<a<\frac{1}{2}$时，$f(x)$在$[0,1]$上单调递减，在$[1,+\infty)$上单调递增，因此$f(x)$与直线$y=2an-1$（$n\in N^*$）在$[1,n]$内的交点个数为$n-\frac{1+(-1)^n}{2}$，④正确。
因此，答案为$\boxed{\textbf{(C) }2}$。
15年山东理数压轴题的另解2015年山东省理科数学压轴题为：21.设函数f(x)=ln(x+1)+a(x2−x)，其中a∈R。
（Ⅰ）讨论函数f(x)极值点的个数，并说明理由；（Ⅱ）若任意x>0,f(x)≥0恒成立，求a的取值范围。
此题粗看是比较平常的导数问题，但实际做起来难度比较大。
参考答案第一问是求导函数后通分，通分后对其分子进行讨论，讨论比较繁琐。
而笔者通过观察后认为，如果不进行通分，直接借助数形结合的思路来研究问题，会比较方便。
求导数后得：f′(x)=1+a(2x−1)(x>−1)这里通分后分子变成关于x的二次函数（a不为0时），进行讨论比较繁琐。
但我们如果不着急通分的话，可以看成f′(x)=1−（−a）(2x−1)(x>−1)即考虑研究(−1，+∞)内函数g(x)=1x+1及ℎ(x)=(−a)(2x−1)的关系，我们可以采用数形结合的思路。
前者是双曲线的一只，后者是过点(12，0)的直线。
如图，a的值不同时，在同一坐标轴上作出两函数的图像，有下列几种情况。
图2这里直线刚好和这一支双曲线相切。
当直线斜率为负或零，倾斜角再大些的时候为图1的情况，此时函数()g x一直在()h x上方；当直线斜率为负，倾斜角再小些的时候为图3的情况，此时直线和双曲线有两个交点，这表明导函数有两个零点，且这两个零点左右邻域的导数异号，这说明原来函数有2个极值点。
直线斜率为正时，为图4的情况，直线和双曲线的这支只有一个交点，这表明导函数有一个零点且这个零点左右邻域的导数异号，即原来函数有1个极值点。
因而利用此思路可以很简便地获知极值点的个数。
只要求得相切时切线斜率就行了。
（i ）解：f ′(x )=1+a (2x −1)=1−（−a ）(2x −1)(x >−1) 令1()(1),()(21)(1).1g x xh x a x x x =>-=-->-+则'()()()f x g x h x =-当0a ->时，即0a <时，()g x 是减函数，()h x 为增函数，而11022g h ⎛⎫⎛⎫>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，x 趋于无穷大时()g x 趋于0，因而它们的图像必有且仅有一个交点，设其横坐标为x 0，则0'()0f x =，且当01x x -<<时，'()()()0f x g x h x =->；当0x x >时，'()()()f x g x h x =->.因而函数()f x 有且仅有极值点x 0，即极值点个数为1. 当0a =时显然函数()f x 没有极值点，极值点个数为0.当0a >时，令()()g x h x =，得2210ax ax a --+-=.令28(1)0,a a a =+-=有89a =，此时和()h x 的图像刚好相切。
导数应用的题型与解题方法一、专题概述导数是微积分的初步知识，是研究函数，解决实际问题的有力工具。
在高中阶段对于导数的学习，主要是以下几个方面:1．导数的常规问题：（1）刻画函数（比初等方法精确细微）；（2）同几何中切线联系（导数方法可用于研究平面曲线的切线）；（3）应用问题（初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便）等关于n 次多项式的导数问题属于较难类型。
2．关于函数特征，最值问题较多，所以有必要专项讨论，导数法求最值要比初等方法快捷简便。
3．导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型，也是高考中考察综合能力的一个方向，应引起注意。
二、知识整合1．导数概念的理解．2．利用导数判别可导函数的极值的方法及求一些实际问题的最大值与最小值．复合函数的求导法则是微积分中的重点与难点内容。
课本中先通过实例，引出复合函数的求导法则，接下来对法则进行了证明。
3．要能正确求导，必须做到以下两点：（1）熟练掌握各基本初等函数的求导公式以及和、差、积、商的求导法则，复合函数的求导法则。
（2）对于一个复合函数，一定要理清中间的复合关系，弄清各分解函数中应对哪个变量求导。
4．求复合函数的导数，一般按以下三个步骤进行：(1）适当选定中间变量，正确分解复合关系；（2）分步求导（弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导）；（3）把中间变量代回原自变量（一般是x ）的函数。
也就是说，首先，选定中间变量，分解复合关系，说明函数关系y=f(μ)，μ=f(x)；然后将已知函数对中间变量求导)'(μy ，中间变量对自变量求导)'(x μ；最后求x y ''μμ⋅，并将中间变量代回为自变量的函数。
整个过程可简记为分解——求导——回代。
熟练以后，可以省略中间过程。
若遇多重复合，可以相应地多次用中间变量。
三、例题分析例1．⎩⎨⎧>+≤==11)(2x b ax x x x f y 在1=x 处可导，则=a =b 思路：⎩⎨⎧>+≤==11)(2x bax x x x f y 在1=x 处可导，必连续1)(lim 1=-→x f xb a x f x +=+→)(l i m 1 1)1(=f ∴ 1=+b a2lim 0=∆∆-→∆x y x a xyx =∆∆+→∆0lim ∴ 2=a 1-=b例2．已知f(x)在x=a 处可导，且f ′(a)=b ，求下列极限：（1）hh a f h a f h 2)()3(lim 0--+→∆； （2）h a f h a f h )()(lim 20-+→∆分析：在导数定义中，增量△x 的形式是多种多样，但不论△x 选择哪种形式，△y 也必须选择相对应的形式。
导数压轴题7大题型归类总结，逆袭140+一、导数单调性、极值、最值的直接应用涉及本单元的题目一般以选择题、填空题的形式考查导数的几何意义，定积分，定积分的几何意义，利用图象判断函数的极值点，利用导数研究函数的单调性、极值、最值等.1.利用导数研究函数的单调性(1)首先确定所研究函数的定义域，然后对函数进行求导，最后在定义域内根据f′(x)＞0 ，则函数单调递增，f′(x)＜0，则函数单调递减的原则确定函数的单调性.(2)利用导数确定函数的单调区间后，可以确定函数的图象的变化趋势.2.利用导数研究函数的极值、最值(1)对函数在定义域内进行求导，令f′(x)=0，解得满足条件的x i(i=1,2…)，判断x=x i处左、右导函数的正负情况，若“左正右负”，则该点处存在极值且为极大值；若“左负右正”，则该点处存在极值且为极小值；若左、右符号相同，则该点处不存在极值.(2)利用导数判断函数y=f(x)的最值通常是在给定闭区间[a,b]内进行考查，利用导数先求出给定区间内存在的所有极值点x i(i=1,2…)，并计算端点处的函数值，最后进行比较，取最大的为最大值；最小的为最小值，即max{f(a),f(b),f(x i)}，min{f(a),f(b),f(x i)}.(3)注意函数单调性与极值、最值之间的联系.导数值为零的点的左、右两端的单调性对其极值情况的影响，单调性对函数最值的影响，都要注意结合函数的图象进行分析研究.(4)注意极值与最值之间的联系与区别，极值是函数的“局部概念”，最值是函数的“整体概念”，函数的极值不一定是最值，函数的最值也不一定是极值.要注意利用函数的单调性及函数图象直观研究确定.2.定积分及其应用(1)简单定积分的计算，能够把被积函数变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的和或差，利用定积分的性质把所求的定积分化为若干个定积分的和或差，然后分别用求导公式求出F(x)，使得F′(x)=f(x)，利用牛顿-莱布尼兹公式求出各个定积分的值，最后求得结果.(2)微积分基本定理的应用：能够根据给出的图象情况，建立简单的积分计算式子，求值计算.理解微积分基本定理的几何意义：曲线与轴围成的曲边多边形的面积，可以通过对该曲线表示的函数解析式在给定区间内求其积分而得到.其一般步骤是：画出图形，确定图形的范围，通过解方程组求出交点的横坐标，定出积分的上、下限；确定被积函数，特别是注意分清被积函数的上、下位置；写出平面图形面积的定积分的表达式；运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积.（2017高考新课标Ⅱ，理11）若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-l)e x-1的极值点，则f(x)的极小值为()A．-1B．-2e-3C．5e-3D．1【答案】A【解析】由题可得f′(x)=(2x+a)e x-1+(x2+ax-l)e x-1=[x2+(a+2)x+a-1]e x-1，因为f′(-2)=0，所以a=-1，f(x)=(x2-x-1)e x-1，故f′(x)=(x2+x-2)e x-1，令f′(x)＞0，解得x＜-2或x＞1，所以f(x)在(-∞,-2),(1,+∞)上单调递增，在(-2,1)上单调递减，所以f(x)的极小值为f(1)=(1-1-1)e1-1=-1，故选A．【名师点睛】（1）可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f ′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f ′(x)的符号不同；（2）若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．(2015高考新课标Ⅰ，理12)设函数f(x)=e x(2x-1)-ax+a ,其中a＜1，若存在唯一的整数x0，使得f(x0)＜0，则a的取值范围是()B．C．D．.(2016高考新课标II，理16)若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线，也是曲线y=ln(x+1)的切线，则b=______.（2016高考新课标III，理15）已知f(x)为偶函数，当x＜0时，f(x)=ln(-x)+3x,则曲线y=f(x)在点（1,−3）处的切线方程是______.二、交点与根的分布三、不等式证明（一）做差证明不等式（二）变形构造函数证明不等式（三）替换构造不等式证明不等式四、不等式恒成立求字母范围（一）恒成立之最值的直接应用（二）恒成立之分离参数（三）恒成立之讨论字母范围五、函数与导数性质的综合运用六、导数应用题七、导数与三角函数的结合补充练习题：6.（2018，全国1）7.（2018，,全国2）8.（2018，全国3）。
2017-2019年高考真题导数压轴题全集（含详细解析）1．（2019•全国）已知函数2())f x x ax -． （1）当1a =时，求()f x 的单调区间；（2）若()f x 在区间[0，2]的最小值为23-，求a ．2．（2019•新课标Ⅲ）已知函数32()2f x x ax b =-+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）是否存在a ，b ，使得()f x 在区间[0，1]的最小值为1-且最大值为1？若存在，求出a ，b 的所有值；若不存在，说明理由．3．（2019•新课标Ⅲ）已知函数32()22f x x ax =-+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）当03a <<时，记()f x 在区间[0，1]的最大值为M ，最小值为m ，求M m -的取值范围．4．（2019•浙江）已知实数0a ≠，设函数()f x alnx =0x >． （Ⅰ）当34a =-时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）对任意21[x e ∈，)+∞均有()f x …，求a 的取值范围． 注： 2.71828e =⋯为自然对数的底数．5．（2019•新课标Ⅱ）已知函数()(1)1f x x lnx x =---．证明： （1）()f x 存在唯一的极值点；（2）()0f x =有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．6．（2019•江苏）设函数()()()()f x x a x b x c =---，a ，b ，c R ∈，()f x '为()f x 的导函数． （1）若a b c ==，f （4）8=，求a 的值；（2）若a b ≠，b c =，且()f x 和()f x '的零点均在集合{3-，1，3}中，求()f x 的极小值； （3）若0a =，01b <…，1c =，且()f x 的极大值为M ，求证：427M …． 7．（2019•天津）设函数()(1)x f x lnx a x e =--，其中a R ∈． （Ⅰ）若0a …，讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）若10a e<<，()i 证明()f x 恰有两个零点；()ii 设0x 为()f x 的极值点，1x 为()f x 的零点，且10x x >，证明0132x x ->．8．（2019•天津）设函数()cos x f x e x =，()g x 为()f x 的导函数． （Ⅰ）求()f x 的单调区间； （Ⅱ）当[4x π∈，]2π时，证明()()()02f xg x x π+-…； （Ⅲ）设n x 为函数()()1u x f x =-在区间(24n ππ+，2)2n ππ+内的零点，其中n N ∈，证明20022sin cos n n e n x x x πππ-+-<-．9．（2019•新课标Ⅰ）已知函数()2sin cos f x x x x x =--，()f x '为()f x 的导数． （1）证明：()f x '在区间(0,)π存在唯一零点； （2）若[0x ∈，]π时，()f x ax …，求a 的取值范围． 10．（2019•新课标Ⅱ）已知函数1()1x f x lnx x +=--． （1）讨论()f x 的单调性，并证明()f x 有且仅有两个零点；（2）设0x 是()f x 的一个零点，证明曲线y lnx =在点0(A x ，0)lnx 处的切线也是曲线x y e =的切线．11．（2019•北京）已知函数321()4f x x x x =-+． （Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率为1的切线方程； （Ⅱ）当[2x ∈-，4]时，求证：6()x f x x -剟；（Ⅲ）设()|()()|()F x f x x a a R =-+∈，记()F x 在区间[2-，4]上的最大值为M （a ）．当M （a ）最小时，求a 的值．12．（2019•新课标Ⅰ）已知函数()sin (1)f x x ln x =-+，()f x '为()f x 的导数．证明：（1）()f x '在区间(1,)2π-存在唯一极大值点；（2）()f x 有且仅有2个零点．13．（2018•北京）设函数2()[(41)43]x f x ax a x a e =-+++．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线与x 轴平行，求a ； （Ⅱ）若()f x 在2x =处取得极小值，求a 的取值范围． 14．（2018•北京）设函数2()[(31)32]x f x ax a x a e =-+++．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(2，f （2）)处的切线斜率为0，求a ； （Ⅱ）若()f x 在1x =处取得极小值，求a 的取值范围．15．（2018•新课标Ⅲ）已知函数2()(2)(1)2f x x ax ln x x =+++-． （1）若0a =，证明：当10x -<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >； （2）若0x =是()f x 的极大值点，求a ．16．（2018•新课标Ⅰ）已知函数()1x f x ae lnx =--．（1）设2x =是()f x 的极值点，求a ，并求()f x 的单调区间； （2）证明：当1a e…时，()0f x …．17．（2018•新课标Ⅲ）已知函数21()xax x f x e +-=．（1）求曲线()y f x =在点(0,1)-处的切线方程； （2）证明：当1a …时，()0f x e +…．18．（2018•新课标Ⅱ）已知函数2()x f x e ax =-． （1）若1a =，证明：当0x …时，()1f x …； （2）若()f x 在(0,)+∞只有一个零点，求a ．19．（2018•浙江）已知函数()f x lnx ．（Ⅰ）若()f x 在1x x =，212()x x x ≠处导数相等，证明：12()()882f x f x ln +>-；（Ⅱ）若342a ln -…，证明：对于任意0k >，直线y kx a =+与曲线()y f x =有唯一公共点． 20．（2018•天津）已知函数()x f x a =，()log a g x x =，其中1a >． （Ⅰ）求函数()()h x f x xlna =-的单调区间；（Ⅱ）若曲线()y f x =在点1(x ，1())f x 处的切线与曲线()y g x =在点2(x ，2())g x 处的切线平行，证明122()lnlnax g x lna+=-； （Ⅲ）证明当1ea e …时，存在直线l ，使l 是曲线()y f x =的切线，也是曲线()y g x =的切线． 21．（2018•江苏）记()f x '，()g x '分别为函数()f x ，()g x 的导函数．若存在0x R ∈，满足00()()f x g x =且00()()f x g x '='，则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点”． （1）证明：函数()f x x =与2()22g x x x =+-不存在“S 点”； （2）若函数2()1f x ax =-与()g x lnx =存在“S 点”，求实数a 的值；（3）已知函数2()f x x a =-+，()xbe g x x=．对任意0a >，判断是否存在0b >，使函数()f x 与()g x 在区间(0,)+∞内存在“S 点”，并说明理由． 22．（2018•新课标Ⅱ）已知函数321()(1)3f x x a x x =-++．（1）若3a =，求()f x 的单调区间； （2）证明：()f x 只有一个零点． 23．（2018•新课标Ⅰ）已知函数1()f x x alnx x=-+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点1x ，2x ，证明：1212()()2f x f x a x x -<--．24．（2017•全国）已知函数32()3(1)12f x ax a x x =-++． （1）当0a >时，求()f x 的极小值；（Ⅱ）当0a …时，讨论方程()0f x =实根的个数． 25．（2017•新课标Ⅰ）已知函数2()()x x f x e e a a x =--． （1）讨论()f x 的单调性； （2）若()0f x …，求a 的取值范围．26．（2017•天津）设a Z ∈，已知定义在R 上的函数432()2336f x x x x x a =+--+在区间(1,2)内有一个零点0x ，()g x 为()f x 的导函数． （Ⅰ）求()g x 的单调区间；（Ⅱ）设[1m ∈，00)(x x ⋃，2]，函数0()()()()h x g x m x f m =--，求证：0()()0h m h x <； （Ⅲ）求证：存在大于0的常数A ，使得对于任意的正整数p ，q ，且[1pq∈，00)(x x ⋃，2]，满足041||p x q Aq-…． 27．（2017•新课标Ⅱ）设函数2()(1)x f x x e =-． （1）讨论()f x 的单调性；（2）当0x …时，()1f x ax +…，求a 的取值范围． 28．（2017•山东）已知函数2()2cos f x x x =+，()(cos sin 22)x g x e x x x =-+-，其中2.71828e ≈⋯是自然对数的底数．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(π，())f π处的切线方程；（Ⅱ）令()h x g =()x a -()()f x a R ∈，讨论()h x 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．29．（2017•天津）设a ，b R ∈，||1a …．已知函数32()63(4)f x x x a a x b =---+，()()x g x e f x =． （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）已知函数()y g x =和x y e =的图象在公共点0(x ，0)y 处有相同的切线， ()i 求证：()f x 在0x x =处的导数等于0；()ii 若关于x 的不等式()x g x e …在区间0[1x -，01]x +上恒成立，求b 的取值范围．30．（2017•江苏）已知函数32()1(0,)f x x ax bx a b R =+++>∈有极值，且导函数()f x '的极值点是()f x 的零点．（Ⅰ）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域； （Ⅱ）证明：23b a >；（Ⅲ）若()f x ，()f x '这两个函数的所有极值之和不小于72-，求实数a 的取值范围．31．（2017•北京）已知函数()cos x f x e x x =-． （1）求曲线()y f x =在点(0，(0))f 处的切线方程；（2）求函数()f x 在区间[0，]2π上的最大值和最小值．32．（2017•新课标Ⅱ）已知函数2()f x ax ax xlnx =--，且()0f x …． （1）求a ；（2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且220()2e f x --<<．33．（2017•浙江）已知函数1()(()2x f x x e x -=…．（1）求()f x 的导函数；（2）求()f x 在区间1[2，)+∞上的取值范围．34．（2017•新课标Ⅲ）已知函数2()(21)f x lnx ax a x =+++． （1）讨论()f x 的单调性； （2）当0a <时，证明3()24f x a--…． 35．（2017•新课标Ⅰ）已知函数2()(2)x x f x ae a e x =+--．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围． 36．（2017•新课标Ⅲ）已知函数()1f x x alnx =--． （1）若()0f x …，求a 的值；（2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，2111(1)(1)(1)222n m ++⋯+<，求m 的最小值．37．（2017•山东）已知函数3211()32f x x ax =-，a R ∈，（1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(3，f （3）)处的切线方程；（2）设函数()()()cos sin g x f x x a x x =+--，讨论()g x 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．38．（2016•山东）设2()(21)f x xlnx ax a x =-+-，a R ∈． （1）令()()g x f x ='，求()g x 的单调区间；（2）已知()f x 在1x =处取得极大值，求正实数a 的取值范围． 39．（2016•天津）设函数3()f x x ax b =--，x R ∈，其中a ，b R ∈． （1）求()f x 的单调区间；（2）若()f x 存在极值点0x ，且10()()f x f x =，其中10x x ≠，求证：1020x x +=； （3）设0a >，函数()|()|g x f x =，求证：()g x 在区间[1-，1]上的最大值不小于14． 40．（2016•新课标Ⅲ）设函数()1f x lnx x =-+． （1）讨论()f x 的单调性； （2）证明当(1,)x ∈+∞时，11x x lnx-<<； （3）设1c >，证明当(0,1)x ∈时，1(1)x c x c +->． 41．（2016•北京）设函数32()f x x ax bx c =+++． （1）求曲线()y f x =在点(0，(0))f 处的切线方程；（2）设4a b ==，若函数()f x 有三个不同零点，求c 的取值范围； （3）求证：230a b ->是()f x 有三个不同零点的必要而不充分条件．42．（2016•新课标Ⅲ）设函数()cos2(1)(cos 1)f x a x a x =+-+，其中0a >，记|()|f x 的最大值为A ．（Ⅰ）求()f x '； （Ⅱ）求A ；（Ⅲ）证明：|()|2f x A '…．43．（2016•山东）已知221()()x f x a x lnx x -=-+，a R ∈． ()I 讨论()f x 的单调性；()II 当1a =时，证明3()()2f x f x >'+对于任意的[1x ∈，2]成立． 44．（2016•四川）设函数2()f x ax a lnx =--，1()x eg x x e=-，其中a R ∈， 2.718e ⋯=为自然对数的底数． （1）讨论()f x 的单调性； （2）证明：当1x >时，()0g x >；（3）确定a 的所有可能取值，使得()()f x g x >在区间(1,)+∞内恒成立． 45．（2016•江苏）已知函数()(0x x f x a b a =+>，0b >，1a ≠，1)b ≠． （1）设2a =，12b =． ①求方程()2f x =的根；②若对于任意x R ∈，不等式(2)()6f x mf x -…恒成立，求实数m 的最大值； （2）若01a <<，1b >，函数()()2g x f x =-有且只有1个零点，求ab 的值． 46．（2016•新课标Ⅱ）已知函数()(1)(1)f x x lnx a x =+--． （Ⅰ）当4a =时，求曲线()y f x =在(1，f （1）)处的切线方程； （Ⅱ）若当(1,)x ∈+∞时，()0f x >，求a 的取值范围． 47．（2016•新课标Ⅱ）（Ⅰ）讨论函数2()2xx f x e x -=+的单调性，并证明当0x >时，(2)20x x e x -++>；（Ⅱ）证明：当[0a ∈，1)时，函数2()(0)x e ax a g x x x--=>有最小值．设()g x 的最小值为h （a ），求函数h （a ）的值域．48．（2016•北京）设函数()a x f x xe bx -=+，曲线()y f x =在点(2，f （2）)处的切线方程为(1)4y e x =-+， （Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）求()f x 的单调区间．49．（2016•新课标Ⅰ）已知函数2()(2)(1)x f x x e a x =-+-有两个零点． （Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）设1x ，2x 是()f x 的两个零点，证明：122x x +<． 50．（2016•新课标Ⅰ）已知函数2()(2)(1)x f x x e a x =-+-． （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．2017-2019年高考真题导数压轴题全集（含详细解析）参考答案与试题解析一．解答题（共50小题）1．（2019•全国）已知函数2())f x x ax -． （1）当1a =时，求()f x 的单调区间；（2）若()f x 在区间[0，2]的最小值为23-，求a ．【解答】解：（1）当1a =时，2())f x x x =-， 则5322()(0)f x x x x '=-…，令()0f x '=，则35x =， ∴当305x <<时，()0f x '<；当35x >时，()0f x '>． ()f x ∴的单调递减区间为3(0,)5，单调递增区间为3(,)5+∞；（2）312253()(02)22f x x ax x '=-剟，令()0f x '=，则35a x =， 当0a …时，()0f x '>，()f x ∴在[0，2]上单调递增，∴2()(0)03min f x f ==≠-，不符合条件； 当1003a <…时，3025a <…，则当305a x <<时，()0f x '<；当325ax <<时，()0f x >，()f x ∴在3(0,)5a 上单调递减，在3(,2)5a上单调递增，∴53223332()()()()5553min a a a f x f a ==-=-，53a ∴=，符合条件；当103a >时，1023>，则当02x <<时，()0f x '<，()f x ∴在(0,2)上单调递减，∴2()(2)2)3min f x f a ==-=-，2a ∴=，不符合条件．()f x ∴在区间[0，2]的最小值为23-，a 的值为53．2．（2019•新课标Ⅲ）已知函数32()2f x x ax b =-+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）是否存在a ，b ，使得()f x 在区间[0，1]的最小值为1-且最大值为1？若存在，求出a ，b 的所有值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）2()626()3af x x ax x x '=-=-．令()6()03a f x x x '=-=，解得0x =，或3a．①0a =时，2()60f x x '=…，函数()f x 在R 上单调递增． ②0a >时，函数()f x 在(,0)-∞，(3a，)+∞上单调递增，在(0,)3a 上单调递减．③0a <时，函数()f x 在(,)3a -∞，(0,)+∞上单调递增，在(3a，0)上单调递减．（2）由（1）可得：①0a …时，函数()f x 在[0，1]上单调递增．则(0)1f b ==-，f （1）21a b =-+=，解得1b =-，0a =，满足条件．②0a >时，函数()f x 在[0，]3a上单调递减．13a…，即3a …时，函数()f x 在[0，1]上单调递减．则(0)1f b ==，f （1）21a b =-+=-，解得1b =，4a =，满足条件． ③013a <<，即03a <<时，函数()f x 在[0，)3a 上单调递减，在(3a，1]上单调递增．则最小值32()2()()1333a a af a b =⨯-⨯+=-，化为：3127a b -+=-．而(0)f b =，f （1）2a b =-+，∴最大值为b 或2a b -+．若：3127a b -+=-，1b =，解得3a =，矛盾，舍去．若：3127a b -+=-，21a b -+=，解得a =±0，矛盾，舍去．综上可得：存在a ，b ，使得()f x 在区间[0，1]的最小值为1-且最大值为1．a ，b 的所有值为：01a b =⎧⎨=-⎩，或41a b =⎧⎨=⎩． 3．（2019•新课标Ⅲ）已知函数32()22f x x ax =-+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）当03a <<时，记()f x 在区间[0，1]的最大值为M ，最小值为m ，求M m -的取值范围．【解答】解：（1）2()622(3)f x x ax x x a '=-=-， 令()0f x '=，得0x =或3ax =．若0a >，则当(x ∈-∞，0)(,)3a +∞时，()0f x '>；当(0,)3ax ∈时，()0f x '<． 故()f x 在(,0)-∞，(,)3a+∞上单调递增，在(0,)3a 上单调递减；若0a =，()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；若0a <，则当(x ∈-∞，)(03a ⋃，)+∞时，()0f x '>；当(3ax ∈，0)时，()0f x '<．故()f x 在(,)3a -∞，(0,)+∞上单调递增，在(3a，0)上单调递减；（2）当03a <<时，由（1）知，()f x 在(0,)3a 上单调递减，在(3a，1)上单调递增，()f x ∴在区间[0，1]的最小值为3()2327a a f =-+，最大值为(0)2f =或f （1）4a =-．于是，3227a m =-+，4,022,23a a M a -<<⎧=⎨<⎩…．332,0227,2327a a a M m a a ⎧-+<<⎪⎪∴-=⎨⎪<⎪⎩…． 当02a <<时，可知3227a a -+单调递减，M m ∴-的取值范围是8(,2)27；当23a <…时，327a 单调递增，M m ∴-的取值范围是8[27，1)．综上，M m -的取值范围8[27，2)．4．（2019•浙江）已知实数0a ≠，设函数()f x alnx =0x >． （Ⅰ）当34a =-时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）对任意21[x e∈，)+∞均有()f x …，求a 的取值范围． 注： 2.71828e =⋯为自然对数的底数．【解答】解：（1）当34a =-时，3()4f x lnx =-+0x >，3()4f x x '=-+=， ∴函数()f x 的单调递减区间为(0,3)，单调递增区间为(3,)+∞．（2）由f （1）12a…，得0a <…，当04a <…时，()f x…20lnx -…，令1t a=，则t …设()22g t t lnx =-，t …，则2()2g t t lnx=--，()i 当1[7x ∈，)+∞则()2g x g lnx =…，记()p x lnx =，17x …，则1()p x x '=-==，列表讨论：()p x p ∴…（1）0=，()2()2()0g t g p x p x ∴==厖．()ii 当211[,)7x e ∈时，()g t g =…，令()(1)q x x =++，21[x e ∈，1]7， 则()10q x'=+>，故()q x 在21[e ，1]7上单调递增，1()()7q x q ∴…，由()i 得11()()77q p p =<（1）0=，()0q x ∴<，()0g t g ∴=>…，由()()i ii 知对任意21[x e∈，)+∞，t ∈，)+∞，()0g t …，即对任意21[x e ∈，)+∞，均有()f x …，综上所述，所求的a 的取值范围是(0． 5．（2019•新课标Ⅱ）已知函数()(1)1f x x lnx x =---．证明： （1）()f x 存在唯一的极值点；（2）()0f x =有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数． 【解答】证明：（1）函数()(1)1f x x lnx x =---． ()f x ∴的定义域为(0,)+∞， 11()1x f x lnx lnx x x-'=+-=-， y lnx =单调递增，1y x=单调递减，()f x ∴'单调递增， 又f '（1）10=-<，f '（2）1412022ln ln -=-=>， ∴存在唯一的0(1,2)x ∈，使得0()0f x '=．当0x x <时，()0f x '<，()f x 单调递减， 当0x x >时，()0f x '>，()f x 单调递增， ()f x ∴存在唯一的极值点．（2）由（1）知0()f x f <（1）2=-， 又22()30f e e =->，()0f x ∴=在0(x ，)+∞内存在唯一的根x a =，由01a x >>，得011x a<<， 1111()()(1)10f a f ln a a a a a=---=-=， ∴1a是()0f x =在0(0,)x 的唯一根， 综上，()0f x =有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．6．（2019•江苏）设函数()()()()f x x a x b x c =---，a ，b ，c R ∈，()f x '为()f x 的导函数． （1）若a b c ==，f （4）8=，求a 的值；（2）若a b ≠，b c =，且()f x 和()f x '的零点均在集合{3-，1，3}中，求()f x 的极小值； （3）若0a =，01b <…，1c =，且()f x 的极大值为M ，求证：427M …．【解答】解：（1）a b c ==，3()()f x x a ∴=-， f （4）8=，3(4)8a ∴-=， 42a ∴-=，解得2a =．（2）a b ≠，b c =，设2()()()f x x a x b =--． 令2()()()0f x x a x b =--=，解得x a =，或x b =．2()()2()()()(32)f x x b x a x b x b x b a '=-+--=---． 令()0f x '=，解得x b =，或23a bx +=． ()f x 和()f x '的零点均在集合{3A =-，1，3}中，若：3a =-，1b =，则2615333a b A +-+==-∉，舍去． 1a =，3b =-，则2231333a b A +-==-∉，舍去． 3a =-，3b =，则263133a b A +-+==-∉，舍去．． 3a =，1b =，则2617333a b A ++==∉，舍去． 1a =，3b =，则2533a b A +=∉，舍去． 3a =，3b =-，则263133a b A +-==∈，． 因此3a =，3b =-，213a bA +=∈， 可得：2()(3)(3)f x x x =-+． ()3[(3)](1)f x x x '=---．可得1x =时，函数()f x 取得极小值，f （1）22432=-⨯=-． （3）证明：0a =，01b <…，1c =， ()()(1)f x x x b x =--．2()()(1)(1)()3(22)f x x b x x x x x b x b x b '=--+-+-=-++． △22214(1)124444()332b b b b b =+-=-+=-+…．令2()3(22)0f x x b x b '=-++=．解得：11(0,]3x =，2x =．12x x <，12223b x x ++=，123b x x =，可得1x x =时，()f x 取得极大值为M ，2111()3(22)0f x x b x b '=-++=，可得：2111[(22)]3x b x b =+-，1111()()(1)M f x x x b x ==--222211111111(22)1()()()()[(21)2]33b x b x b x x x b x b x b x b +-=--=--=--+2222111(22)11[(21)2][(222)]339b x b b b x b b b x b b +-=--+=-+-++， 22132222()022b b b -+-=---<，M ∴在1(0x ∈，1]3上单调递减，2221222524()932727b b b b M b b -+-+-∴++=剟． 427M ∴…． 7．（2019•天津）设函数()(1)x f x lnx a x e =--，其中a R ∈． （Ⅰ）若0a …，讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）若10a e<<， ()i 证明()f x 恰有两个零点；()ii 设0x 为()f x 的极值点，1x 为()f x 的零点，且10x x >，证明0132x x ->．【解答】()I 解：211()[(1)]x x xax e f x ae a x e x x-'=-+-=，(0,)x ∈+∞．0a …时，()0f x '>，∴函数()f x 在(0,)x ∈+∞上单调递增．()II 证明：()i 由()I 可知：21()xax e f x x-'=，(0,)x ∈+∞． 令2()1x g x ax e =-，10a e<<，可知：()g x 在(0,)x ∈+∞上单调递减，又g （1）10ae =->．且221111()1()1()0g ln a ln ln a a a a =-=-<，()g x ∴存在唯一解01(1,)x ln a∈．即函数()f x 在0(0,)x 上单调递增，在0(x ，)+∞单调递减． 0x ∴是函数()f x 的唯一极值点．令()1h x lnx x =-+，(0)x >，1()xh x x-'=， 可得()h x h …（1）0=，1x ∴>时，1lnx x <-．111111()()(1)()(1)0ln a f ln ln ln a ln e ln ln ln a a a a a=--=--<．0()f x f >（1）0=．∴函数()f x 在0(x ，)+∞上存在唯一零点．又函数()f x 在0(0,)x 上有唯一零点1． 因此函数()f x 恰有两个零点；()ii 由题意可得：0()0f x '=，1()0f x =，即0201x ax e =，111(1)x lnx a x e =-， 1011201x x x lnx ex --∴=，即1020111x x x lnx e x -=-， 1x >，可得1lnx x <-．又101x x >>， 故10220101(1)1x x x x ex x --<=-，取对数可得：100022(1)x x lnx x -<<-， 化为：0132x x ->．8．（2019•天津）设函数()cos x f x e x =，()g x 为()f x 的导函数． （Ⅰ）求()f x 的单调区间； （Ⅱ）当[4x π∈，]2π时，证明()()()02f xg x x π+-…； （Ⅲ）设n x 为函数()()1u x f x =-在区间(24n ππ+，2)2n ππ+内的零点，其中n N ∈，证明20022sin cos n n e n x x x πππ-+-<-．【解答】（Ⅰ）解：由已知，()(cos sin )x f x e x x '=-，因此， 当(24x k ππ∈+，52)()4k k Z ππ+∈时，有sin cos x x >，得()0f x '<，()f x 单调递减；当3(24x k ππ∈-，2)()4k k Z ππ+∈时，有sin cos x x <，得()0f x '>，()f x 单调递增． ()f x ∴的单调增区间为3[24k ππ-，2]()4k k Z ππ+∈，单调减区间为[，52]()4k k Z ππ+∈； （Ⅱ）证明：记()()()()2h x f x g x x π=+-，依题意及（Ⅰ）， 有()(cos sin )x g x e x x =-，从而()()()()()(1)()()022h x f x g x x g x g x x ππ'='+'-+-='-<．因此，()h x 在区间[4π，]2π上单调递减，有()()()022h x h f ππ==…．∴当[4x π∈，]2π时，()()()02f xg x x π+-…； （Ⅲ）证明：依题意，()()10n n u x f x =-=，即cos 1n x n e x =．记2n n y x n π=-，则(,)42n y ππ∈，且22()cos cos(2)()n n y x n n n n n f y e y e x n e x N πππ--==-=∈．由20()1()n n f y e f y π-==…及（Ⅰ），得0n y y …，由（Ⅱ）知，当(4x π∈，)2π时，()0g x '<，()g x ∴在[4π，]2π上为减函数，因此，0()()()04n g y g y g π<=…， 又由（Ⅱ）知，()()()02n n n f y g y y π+-…，故0222200000()2()()()sin cos (sin cos )n n n n n n y n n f y e e e e y g y g y g y x x e y y πππππ------=--=<--剟． 20022sin cos n n e n x x x πππ-∴+-<-．9．（2019•新课标Ⅰ）已知函数()2sin cos f x x x x x =--，()f x '为()f x 的导数． （1）证明：()f x '在区间(0,)π存在唯一零点； （2）若[0x ∈，]π时，()f x ax …，求a 的取值范围． 【解答】解：（1）证明：()2sin cos f x x x x x =--，()2cos cos sin 1cos sin 1f x x x x x x x x ∴'=-+-=+-，令()cos sin 1g x x x x =+-，则()sin sin cos cos g x x x x x x x '=-++=，当(0,)2x π∈时，cos 0x x >，当(,)2x ππ∈时，cos 0x x <，∴当2x π=时，极大值为()1022g ππ=->， 又(0)0g =，()2g π=-，()g x ∴在(0,)π上有唯一零点，即()f x '在(0,)π上有唯一零点；（2）由（1）知，()f x '在(0,)π上有唯一零点0x ， 使得0()0f x '=，且()f x '在0(0,)x 为正，在0(x ，)π为负， ()f x ∴在[0，0]x 递增，在0[x ，]π递减，结合(0)0f =，()0f π=，可知()f x 在[0，]π上非负， 令()h x ax =，()()f x h x …，根据()f x 和()h x 的图象可知，0a ∴…， a ∴的取值范围是(-∞，0]．10．（2019•新课标Ⅱ）已知函数1()1x f x lnx x +=--． （1）讨论()f x 的单调性，并证明()f x 有且仅有两个零点；（2）设0x 是()f x 的一个零点，证明曲线y lnx =在点0(A x ，0)lnx 处的切线也是曲线x y e =的切线．【解答】解析：（1）函数1()1x f x lnx x +=--．定义域为：(0，1)(1⋃，)+∞； 212()0(1)f x x x '=+>-，(0x >且1)x ≠， ()f x ∴在(0,1)和(1,)+∞上单调递增，①在(0,1)区间取值有21e，1e 代入函数，由函数零点的定义得， 21()0f e <，1()0f e >，211()()0f f e e<， ()f x ∴在(0,1)有且仅有一个零点，②在(1,)+∞区间，区间取值有e ，2e 代入函数，由函数零点的定义得，又f （e ）0<，2()0f e >，f （e ）2()0f e <，()f x ∴在(1,)+∞上有且仅有一个零点，故()f x 在定义域内有且仅有两个零点； （2）0x 是()f x 的一个零点，则有00011x lnx x +=-， 曲线y lnx =，则有1y x'=； 由直线的点斜式可得曲线的切线方程，曲线y lnx =在点0(A x ，0)lnx 处的切线方程为：0001()y lnx x x x -=-， 即：0011y x lnx x =-+，将00011x lnx x +=-代入， 即有：00121y x x x =+-， 而曲线x y e =的切线中，在点01(ln x ，1)x 处的切线方程为：00000011111()y x ln x lnx x x x x x -=-=+， 将00011x lnx x +=-代入化简，即：00121y x x x =+-， 故曲线y lnx =在点0(A x ，0)lnx 处的切线也是曲线x y e =的切线． 故得证．11．（2019•北京）已知函数321()4f x x x x =-+． （Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率为1的切线方程； （Ⅱ）当[2x ∈-，4]时，求证：6()x f x x -剟；（Ⅲ）设()|()()|()F x f x x a a R =-+∈，记()F x 在区间[2-，4]上的最大值为M （a ）．当M （a ）最小时，求a 的值． 【解答】解：（Ⅰ）23()214f x x x '=-+， 由()1f x '=得8()03x x -=，得1280,3x x ==． 又(0)0f =，88()327f =，y x ∴=和88273y x -=-，即y x =和6427y x =-； （Ⅱ）证明：欲证6()x f x x -剟， 只需证6()0f x x --剟， 令321()()4g x f x x x x =-=-，[2x ∈-，4]， 则2338()2()443g x x x x x '=-=-， 可知()g x '在[2-，0]为正，在8(0,)3为负，在8[,4]3为正，()g x ∴在[2-，0]递增，在[0，8]3递减，在8[,4]3递增，又(2)6g -=-，(0)0g =，864()6327g =->-，g （4）0=，6()0g x ∴-剟， 6()x f x x ∴-剟；（Ⅲ）由（Ⅱ）可得， ()|()()|F x f x x a =-+ |()|f x x a =-- |()|g x a =-在[2-，4]上，6()0g x -剟， 令()t g x =，()||h t t a =-，则问题转化为当[6t ∈-，0]时，()h t 的最大值M （a ）的问题了，①当3a -…时，M （a ）(0)||h a a ===-，此时3a -…，当3a =-时，M （a ）取得最小值3； ②当3a -…时，M （a ）(6)|6||6|h a a =-=--=+，63a +…，M ∴（a ）6a =+，也是3a =-时，M （a ）最小为3． 综上，当M （a ）取最小值时a 的值为3-．12．（2019•新课标Ⅰ）已知函数()sin (1)f x x ln x =-+，()f x '为()f x 的导数．证明：（1）()f x '在区间(1,)2π-存在唯一极大值点；（2）()f x 有且仅有2个零点．【解答】证明：（1）()f x 的定义域为(1,)-+∞， 1()cos 1f x x x'=-+，21()sin (1)f x x x ''=-++， 令21()sin (1)g x x x =-++，则32()cos 0(1)g x x x '=--<+在(1,)2π-恒成立，()f x ∴''在(1,)2π-上为减函数， 又(0)1f ''=，21()11102(1)2f ππ''=-+<-+=+，由零点存在定理可知， 函数()f x ''在(1,)2π-上存在唯一的零点0x ，结合单调性可得，()f x '在0(1,)x -上单调递增，在0(x ，)2π上单调递减，可得()f x '在区间(1,)2π-存在唯一极大值点；（2）由（1）知，当(1,0)x ∈-时，()f x '单调递增，()(0)0f x f '<'=，()f x 单调递减； 当0(0,)x x ∈时，()f x '单调递增，()(0)0f x f '>'=，()f x 单调递增；由于()f x '在0(x ，)2π上单调递减，且0()0f x '>，1()0212f ππ'=-<+， 由零点存在定理可知，函数()f x '在0(x ，)2π上存在唯一零点1x ，结合单调性可知，当0(x x ∈，1)x 时，()f x '单调递减，1()()0f x f x '>'=，()f x 单调递增； 当1(,)2x x π∈时，()f x '单调递减，1()()0f x f x '<'=，()f x 单调递减．当(2x π∈，)π时，cos 0x <，101x -<+，于是1()cos 01f x x x'=-<+，()f x 单调递减，其中 3.2()1(1)1(1)1 2.610222f ln ln ln lne ππ=-+>-+=->-=，()(1)30f ln ln ππ=-+<-<．于是可得下表：结合单调性可知，函数()f x 在(1-，]2π上有且只有一个零点0，由函数零点存在性定理可知，()f x 在(2π，)π上有且只有一个零点2x ，当[x π∈，)+∞时，()sin (1)1(1)130f x x ln x ln ln π=-+<-+<-<，因此函数()f x 在[π，)+∞上无零点．综上，()f x 有且仅有2个零点．13．（2018•北京）设函数2()[(41)43]x f x ax a x a e =-+++．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线与x 轴平行，求a ； （Ⅱ）若()f x 在2x =处取得极小值，求a 的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）函数2()[(41)43]x f x ax a x a e =-+++的导数为2()[(21)2]x f x ax a x e '=-++．由题意可得曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线斜率为0， 可得(212)0a a e --+=，且f （1）30e =≠， 解得1a =；（Ⅱ）()f x 的导数为2()[(21)2](2)(1)x x f x ax a x e x ax e '=-++=--， 若0a =则2x <时，()0f x '>，()f x 递增；2x >，()0f x '<，()f x 递减． 2x =处()f x 取得极大值，不符题意；若0a >，且12a =，则21()(2)02x f x x e '=-…，()f x 递增，无极值； 若12a >，则12a <，()f x 在1(a，2)递减；在(2,)+∞，1(,)a -∞递增， 可得()f x 在2x =处取得极小值； 若102a <<，则12a >，()f x 在1(2,)a 递减；在1(a，)+∞，(,2)-∞递增， 可得()f x 在2x =处取得极大值，不符题意；若0a <，则12a <，()f x 在1(a，2)递增；在(2,)+∞，1(,)a -∞递减， 可得()f x 在2x =处取得极大值，不符题意． 综上可得，a 的范围是1(2，)+∞．14．（2018•北京）设函数2()[(31)32]x f x ax a x a e =-+++．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(2，f （2）)处的切线斜率为0，求a ； （Ⅱ）若()f x 在1x =处取得极小值，求a 的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）函数2()[(31)32]x f x ax a x a e =-+++的导数为2()[(1)1]x f x ax a x e '=-++．曲线()y f x =在点(2，f （2）)处的切线斜率为0， 可得2(4221)0a a e --+=， 解得12a =； （Ⅱ）()f x 的导数为2()[(1)1](1)(1)x x f x ax a x e x ax e '=-++=--， 若0a =则1x <时，()0f x '>，()f x 递增；1x >，()0f x '<，()f x 递减． 1x =处()f x 取得极大值，不符题意；若0a >，且1a =，则2()(1)0x f x x e '=-…，()f x 递增，无极值； 若1a >，则11a<，()f x 在1(a ，1)递减；在(1,)+∞，1(,)a -∞递增，可得()f x 在1x =处取得极小值； 若01a <<，则11a >，()f x 在1(1,)a递减；在1(a ，)+∞，(,1)-∞递增，可得()f x 在1x =处取得极大值，不符题意； 若0a <，则11a<，()f x 在1(a ，1)递增；在(1,)+∞，1(,)a -∞递减，可得()f x 在1x =处取得极大值，不符题意． 综上可得，a 的范围是(1,)+∞．15．（2018•新课标Ⅲ）已知函数2()(2)(1)2f x x ax ln x x =+++-． （1）若0a =，证明：当10x -<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >； （2）若0x =是()f x 的极大值点，求a ．【解答】（1）证明：当0a =时，()(2)(1)2f x x ln x x =++-，(1)x >-． ()(1)1xf x ln x x '=+-+，2()(1)x f x x ''=+，可得(1,0)x ∈-时，()0f x ''…，(0,)x ∈+∞时，()0f x ''… ()f x ∴'在(1,0)-递减，在(0,)+∞递增， ()(0)0f x f ∴''=…，()(2)(1)2f x x ln x x ∴=++-在(1,)-+∞上单调递增，又(0)0f =．∴当10x -<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >．（2）解：由2()(2)(1)2f x x ax ln x x =+++-，得222(12)(1)(1)()(12)(1)211x ax ax x ax x ln x f x ax ln x x x ++-++++'=+++-=++， 令2()(12)(1)(1)h x ax x ax x ln x =-++++， ()4(421)(1)h x ax ax a ln x '=++++．当0a …，0x >时，()0h x '>，()h x 单调递增， ()(0)0h x h ∴>=，即()0f x '>，()f x ∴在(0,)+∞上单调递增，故0x =不是()f x 的极大值点，不符合题意．当0a <时，12()84(1)1ah x a aln x x -''=++++， 显然()h x ''单调递减， ①令(0)0h ''=，解得16a =-．∴当10x -<<时，()0h x ''>，当0x >时，()0h x ''<，()h x ∴'在(1,0)-上单调递增，在(0,)+∞上单调递减， ()(0)0h x h ∴''=…，()h x ∴单调递减，又(0)0h =，∴当10x -<<时，()0h x >，即()0f x '>，当0x >时，()0h x <，即()0f x '<，()f x ∴在(1,0)-上单调递增，在(0,)+∞上单调递减， 0x ∴=是()f x 的极大值点，符合题意；②若106a -<<，则(0)160h a ''=+>，161644(1)(21)(1)0a a aah ea e++-''-=--<，()0h x ∴''=在(0,)+∞上有唯一一个零点，设为0x ，∴当00x x <<时，()0h x ''>，()h x '单调递增，()(0)0h x h ∴'>'=，即()0f x '>，()f x ∴在0(0,)x 上单调递增，不符合题意；③若16a <-，则(0)160h a ''=+<，221(1)(12)0h a e e''-=->，()0h x ∴''=在(1,0)-上有唯一一个零点，设为1x ，∴当10x x <<时，()0h x ''<，()h x '单调递减，()(0)0h x h ∴'>'=，()h x ∴单调递增， ()(0)0h x h ∴<=，即()0f x '<，()f x ∴在1(x ，0)上单调递减，不符合题意． 综上，16a =-．16．（2018•新课标Ⅰ）已知函数()1x f x ae lnx =--．（1）设2x =是()f x 的极值点，求a ，并求()f x 的单调区间； （2）证明：当1a e…时，()0f x …．【解答】解：（1）函数()1x f x ae lnx =--． 0x ∴>，1()x f x ae x'=-， 2x =是()f x 的极值点，f ∴'（2）2102ae =-=，解得212a e=， 21()12x f x e lnx e ∴=--，211()2x f x e e x∴'=-，当02x <<时，()0f x '<，当2x >时，()0f x '>， ()f x ∴在(0,2)单调递减，在(2,)+∞单调递增．（2）证明：当1a e …时，()1x e f x lnx e --…，设()1x e g x lnx e =--，则1()x e g x e x '=-，由1()0x e g x e x'=-=，得1x =，当01x <<时，()0g x '<， 当1x >时，()0g x '>， 1x ∴=是()g x 的最小值点，故当0x >时，()g x g …（1）0=，∴当1a e…时，()0f x …．17．（2018•新课标Ⅲ）已知函数21()xax x f x e +-=．（1）求曲线()y f x =在点(0,1)-处的切线方程； （2）证明：当1a …时，()0f x e +…．【解答】解：（1）22(21)(1)(1)(2)()()x x x xax e ax x e ax x f x e e +-+-+-'==-． (0)2f ∴'=，即曲线()y f x =在点(0,1)-处的切线斜率2k =，∴曲线()y f x =在点(0,1)-处的切线方程方程为(1)2y x --=．即210x y --=为所求．（2）证明：函数()f x 的定义域为：R ，可得22(21)(1)(1)(2)()()x x x xax e ax x e ax x f x e e +-+-+-'==-． 令()0f x '=，可得1212,0x x a==-<，当1(,)x a ∈-∞-时，()0f x '<，1(,2)x a ∈-时，()0f x '>，(2,)x ∈+∞时，()0f x '<．()f x ∴在1(,)a -∞-，(2,)+∞递减，在1(a-，2)递增，注意到1a …时，函数2()1g x ax x =+-在(2,)+∞单调递增，且g （2）410a =+> 函数()f x 的图象如下：1a …，∴1(0,1]a∈，则11()a f e e a -=--…，1()aminf x e e ∴=--…，∴当1a …时，()0f x e +…．18．（2018•新课标Ⅱ）已知函数2()x f x e ax =-．（1）若1a =，证明：当0x …时，()1f x …； （2）若()f x 在(0,)+∞只有一个零点，求a ． 【解答】证明：（1）当1a =时，函数2()x f x e x =-． 则()2x f x e x '=-，令()2x g x e x =-，则()2x g x e '=-， 令()0g x '=，得2x ln =．当(0,2)x ln ∈时，()0g x '<，当(2,)x ln ∈+∞时，()0g x '>，2()(2)222220ln g x g ln e ln ln ∴=-=->…， ()f x ∴在[0，)+∞单调递增，()(0)1f x f ∴=…， 解：（2）方法一、，()f x 在(0,)+∞只有一个零点⇔方程20x e ax -=在(0,)+∞只有一个根，2xe a x⇔=在(0,)+∞只有一个根，即函数y a =与2()xe G x x=的图象在(0,)+∞只有一个交点．3(2)()x e x G x x-'=， 当(0,2)x ∈时，()0G x '<，当(2,)∈+∞时，()0G x '>， ()G x ∴在(0,2)递减，在(2,)+∞递增，当0→时，()G x →+∞，当→+∞时，()G x →+∞，()f x ∴在(0,)+∞只有一个零点时，a G =（2）24e =．方法二：①当0a …时，2()0x f x e ax =->，()f x 在(0,)+∞没有零点．．②当0a >时，设函数2()1x h x ax e -=-．()f x 在(0,)+∞只有一个零点()h x ⇔在(0,)+∞只有一个零点．()(2)x h x ax x e -'=-，当(0,2)x ∈时，()0h x '<，当(2,)x ∈+∞时，()0h x '>， ()h x ∴在(0,2)递减，在(2,)+∞递增，∴24()(2)1min ah x h e ==-，(0)x …． 当h （2）0<时，即24e a >，由于(0)1h =，当0x >时，2x e x >，可得33342241616161(4)11110()(2)a a a a a h a e e a a=-=->-=->．()h x 在(0,)+∞有2个零点当h （2）0>时，即24e a <，()h x 在(0,)+∞没有零点，当h （2）0=时，即24e a =，()h x 在(0,)+∞只有一个零点，综上，()f x 在(0,)+∞只有一个零点时，24e a =．19．（2018•浙江）已知函数()f x lnx ．（Ⅰ）若()f x 在1x x =，212()x x x ≠处导数相等，证明：12()()882f x f x ln +>-；（Ⅱ）若342a ln -…，证明：对于任意0k >，直线y kx a =+与曲线()y f x =有唯一公共点． 【解答】证明：（Ⅰ）函数()f x lnx =， 0x ∴>，1()f x x'=-， ()f x 在1x x =，212()x x x ≠处导数相等，∴1211x x =， 12x x ≠，∴12=，12x x ≠，12256x x ∴>，由题意得121212()()()f x f x lnx lnx ln x x +=，设()g x lnx，则1()4)4g x x'=， ∴列表讨论：()g x ∴在[256，)+∞上单调递增， 12()(256)882g x x g ln ∴>=-， 12()()882f x f x ln ∴+>-．（Ⅱ）令(||)a k m e -+=，2||1()1a n k+=+， 则()||0f m km a a k k a -->+--…，。
近十年高考数学压轴题高频考点及解题策略分析近11年全国I卷，11道理科压轴题中全部考查函数与导数。
“函数与导数”以其极强的综合性强，灵活多变的解法，屡屡承载压轴使命．也因此成为了高考数学是否可以达到140+的关键因素。
压轴题为什么难？难在题设条件多而杂，你能在第一遍审题的过程中就找到全部的条件？又能不能在看到条件的那一刻就反映出可能的做法？本文通过对近年来高考数学压轴题考情分析，及典型例题，归纳了解题策略，一起来看。
一、近十年全国卷压轴题考点（一）方法角度（1）函数的零点，极值点的问题：2015（I卷），2017（I、II卷）， 2018（ II卷，III卷）（如何选取函数，如何取点）（2）恒成立求参数范围问题：2010，2011，2013（I卷）（含参求导、分离参数、化两个函数（一直一曲））（3）函数不等式（证明和利用解决问题）：2013（II卷），2014（I卷）， 2017（III卷）（函数不等式的等价变形、数列求和问题的函数不等式寻找）（4）函数的值域问题（包含任意存在、派生函数值域）：2015（II卷）， 2015（II卷）（隐零点问题的整体代换（虚设零点））（5）双变量问题：2016（I卷）， 2018（ I卷）（极值点偏移问题，双变量问题的函数构造）（6）数值估计：2014（II卷）（极值点附近的x值的选择）（7）高等数学背景下的压轴题处理：（定积分法求和，极限思想的应用（罗必达法则），双变量中的拉格朗日中值定理）（二）核心函数角度（以二次函数为主）二、解题策略一熟悉掌握以下六种基本函数及其图象在遇到涉及指数函数式与对数函数式的综合题目时，可考虑将指数函数式和对数函数式分离成上述六种基本函数分析解答.二函数极值点存在不可求问题利用函数最值解不等式问题时，遇到函数的最值在极值点处，函数极值存在却不可求，这时可以考虑设出极值点，利用整体代换的思路求解.三利用超越不等式放缩牢记常用的超越不等式常见变式在需要确定函数取值范围时可以利用上述不等式将指数、对数、三角函数等超越函数放缩成非常熟悉的一次函数或反比例函数来分析求解.四方程根（函数零点）的个数问题考虑函数零点个数问题时，应根据函数的导数确定原函数的单调性和极值，可结合函数图象和参数的取值范围确定零点个数，或根据零点个数确定参数取值范围.五以高等数学为背景的试题（洛必达法则、拉格朗日中值定理等的应用）遇到含参不等式的证明时常用的两种方式：对参数分类讨论和参变量分离法. 对于参变量分离的求解策略关键在于分离后构造的函数要存在最值.如遇最值不存在的问题，可以考虑用洛必达法则求出函数的极限，再由极限值构造函数.从以上对全国卷导数压轴题的分析，可以看出全国卷导数题目的特点，看似平淡却富有神奇，注重通法又不乏技巧，要求我们在平时的学习中注重积累，重视数学思想方法的锻炼，在平时的思维训练中注重广度与深度，提升灵活运用知识解决问题的能力.。
12015年高考理科数学全国卷I 压轴题解法赏析题目 已知函数31(),()ln 4f x x ax g x x =++=-．(Ⅰ)当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线； （II ）用{}min ,m n 表示,m n 中的最小值，设函数{}()min (),()(0)h x f x g x x =>，讨论()h x 零点的个数.本题主要考查了导数的综合应用，其中利用导数研究已知函数的图像与性质是解决此类问题的突破口，而常用方法是分类讨论与分离变量，本题虽然形式上引入了符号{}min ,m n ，但解题的思路方法仍然不变．第(Ⅰ)题利用导数性质容易得出34a =-，下面本文给出第（II ）题的两种不同解法．解法一（分类讨论，研究()h x 的图像性质）： 由()ln 0g x x =-=得1x =，即()g x 在(0,)+∞上有且只有1个零点．又2()3(0)f x x a x '=+>，注意到1(0)04f =>． 当0a ≥时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上是增函数，如图1，()h x 在(0,)+∞上只有1个零点．当0a <时，令()0f x '=，得x =，于是()f x在上是减函数，在)+∞是增函数，min1()4f x f ==．当0f >即304a -<<时，102<<，如图2，()h x 在(0,)+∞上只有1个零点．当0f =即34a =-时，12=，如图3，2()h x 在(0,)+∞上有2个零点．当0f <即34a <-时，5(1)4f a =+．若(1)0f >，即5344a -<<-时，1012<<<，如图4，()h x 在(0,)+∞上有3个零点．若(1)0f =，即54a =-1=<，如图5，()h x 在(0,)+∞上有2个零点．若(1)0f <，即54a <->，如图6，()h x 在(0,)+∞上有1个零点．综上所述，当54a <-或34a >-时，()h x 在(0,)+∞上有1个零点；当54a =-或34a =-时，()h x 在(0,)+∞上有2个零点；当5344a -<<-时，()h x 在(0,)+∞上有3个零点．解法二（分离变量，讨论()f x 的零点分布）：注意到(1)ln10g =-=，即()g x 在(0,)+∞上有且只有1个零点．下面研究()f x 在(0,)+∞上零点的个数，进而得到()h x 在(0,)+∞上零点的个数．由31()04f x x ax =++=得21,04a x x x =-->．令21(),04x x x xϕ=-->，则 3281(),04x x x xϕ-+'=> 由()0x ϕ'=，得12x =，令()0x ϕ'>，得102x <<，令()0x ϕ'<，得12x >，故max 13()()24x ϕϕ==-，又0x →+或x()x3x →+∞时，()x ϕ→-∞，因此()x ϕ的图像如图7，注意到5(1)4ϕ=-．当34a >-时，()f x 无零点，而5(1)04f a =+>，(1)0g =，故{}(1)min (1),(1)(1)0h f g g ===，()h x 在(0,)+∞上有1个零点．当34a =-时，()f x 有1个零点12， 1()02f =，11()ln 022g =->，故1111()min (),()()02222h f g f ⎧⎫===⎨⎬⎩⎭．又5(1)04f a =+>，(1)0g =，故{}(1)min (1),(1)(1)0h f g g ===，所以()h x 在(0,)+∞上有2个零点．当5344a -<<-时，()f x 有2个零点，设为1x ，2x ，则12110,122x x <<<<，12()()0f x f x ==，12()0,()0g x g x >>，故{}1111()min (),()()0h x f x g x f x ===，{}2222()min (),()()0h x f x g x f x ===．又5(1)04f a =+>，(1)0g =，故{}(1)min (1),(1)(1)0h f g g ===，所以()h x 在(0,)+∞上有3个零点．当54a =-时，()f x 有2个零点，一个为1，，另一个设为3x ，3102x <<，3(1)()0f f x ==，3()0g x >，(1)0g =，故{}3333()min (),()()0h x f x g x f x ===，{}(1)min (1),(1)0h f g ==，所以()h x 在(0,)+∞上有2个零点．当54a <-时，()f x 有2个零点，分别设为45,x x ，不妨设4501,1x x <<>，45()()0f x f x ==，5(1)04f a =+<，4()0g x >，5()0g x <，(1)0g =，故{}4444()min (),()()0h x f x g x f x ===，{}5555()min (),()()0h x f x g x g x ==<，{}(1)min (1),(1)(1)0h f g f ==<，所以()h x 在(0,)+∞上有1个零点．综上所述（同上）．点评：以上两种解法都引入了数形结合的思想，通过研究函数的性质画出函数图像，又根据函数图像探究函数性质（零点个数），“数”的推理严谨，“形”的呈现直观，“数”与“形”交相辉映，相得益彰．。
大方向教育个性化辅导教案教师：徐琨学生：学科：数学时间：课题（课型）导数的综合应用教学方法：知识梳理、例题讲解、归纳总结、巩固训练【高考考情解读】导数的概念及其运算是导数应用的基础，这是高考重点考查的内容．考查方式以客观题为主，主要考查：一是导数的基本公式和运算法则，以及导数的几何意义；二是导数的应用，特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题、证明不等式以及讨论方程的根等，已成为高考热点问题；三是应用导数解决实际问题．1．导数的几何意义函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数值就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，其切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．2．导数与函数单调性的关系(1)f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0.(2)f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f′(x)＝0时，则f(x)为常数，函数不具有单调性．3．函数的极值与最值(1)函数的极值是局部范围内讨论的问题，函数的最值是对整个定义域而言的，是在整个范围内讨论的问题．(2)函数在其定义区间的最大值、最小值最多有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有．(3)闭区间上连续的函数一定有最值，开区间内的函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值一定是函数的最值．4．四个易误导数公式及两个常用的运算法则(1)(sin x)′＝cos x.(2)(cos x)′＝－sin x.(3)(a x)′＝a x ln a(a>0，且a≠1)．(4)(log a x)′＝1x ln a(a>0，且a≠1)．(5)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．(6)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0).考点一 导数几何意义的应用例1 (1)过点(1,0)作曲线y ＝e x 的切线，则切线方程为________．(2)(2013·南京模拟)在平面直角坐标系xOy 中，设A 是曲线C 1：y ＝ax 3＋1(a >0)与曲线C 2：x 2＋y 2＝52的一个公共点，若C 1在A 处的切线与C 2在A 处的切线互相垂直，则实数a 的值是________． (1)求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点．(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化．以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解．(1)直线y ＝kx ＋b 与曲线y ＝ax 2＋2＋ln x 相切于点P (1,4)，则b 的值为________．(2)若曲线f (x )＝x sin x ＋1在x ＝π2处的切线与直线ax ＋2y ＋1＝0互相垂直，则实数a ＝________考点二 利用导数研究函数的性质例2 (2013·广东)设函数f (x )＝x 3－kx 2＋x (k ∈R )．(1)当k ＝1时，求函数f (x )的单调区间；(2)当k <0时，求函数f (x )在[k ，－k ]上的最小值m 和最大值M .(2013·浙江)已知a ∈R ，函数f (x )＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax .(1)若a ＝1，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)若|a |>1，求f (x )在闭区间[0,2|a |]上的最小值．考点三 利用导数解决与方程、不等式有关的问题 例3 (2013·陕西)已知函数f (x )＝e x ，x ∈R .(1)求f (x )的反函数的图象上点(1,0)处的切线方程； (2)证明：曲线y ＝f (x )与曲线y ＝12x 2＋x ＋1有唯一公共点；研究方程及不等式问题，都要运用函数性质，而导数是研究函数性质的一种重要工具．基本思路是构造函数，通过导数的方法研究这个函数的单调性、极值和特殊点的函数值，根据函数的性质推断不等式成立的情况以及方程实根的个数，必要时画出函数的草图辅助思考．已知f (x )＝2x ln x ，g (x )＝－x 2＋ax －3.(1)求函数f (x )的最小值；(2)若存在x ∈(0，＋∞)，使f (x )≤g (x )成立，求实数a 的取值范围；(3)证明对一切x ∈(0，＋∞)，都有f (x )＞2⎝ ⎛⎭⎪⎫x e x －2e 成立．1． 函数单调性的应用(1)若可导函数f (x )在(a ，b )上单调递增，则f ′(x )≥0在区间(a ，b )上恒成立； (2)若可导函数f (x )在(a ，b )上单调递减，则f ′(x )≤0在区间(a ，b )上恒成立； (3)可导函数f (x )在区间(a ，b )上为增函数是f ′(x )>0的必要不充分条件． 2． 可导函数极值的理解(1)函数在定义域上的极大值与极小值的大小关系不确定，也有可能极小值大于极大值； (2)对于可导函数f (x )，“f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x )＝0”是“f (x )在x ＝x 0处取得极值”的必要不充分条件；(3)注意导函数的图象与原函数图象的关系，导函数由正变负的零点是原函数的极大值点，导函数由负变正的零点是原函数的极小值点． 3． 导数在综合应用中转化与化归思想的常见类型(1)把不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题；(2)把证明不等式问题转化为函数的单调性问题； (3)把方程解的问题转化为函数的零点问题.1.已知函数()()323,f x ax bx x a b R =+-∈在点()()1,1f 处的切线方程为20y +=． ⑴求函数()f x 的解析式；⑵若对于区间[]2,2-上任意两个自变量的值12,x x 都有()()12f x f x c -≤，求实数c 的最小值； ⑶若过点()()2,2M m m ≠可作曲线()y f x =的三条切线，求实数m 的取值范围．2.已知函数3211()33f x x mx x m =--+，其中m ∈R ．(1)求函数y =f (x )的单调区间；(2)若对任意的x 1，x 2∈[-1，1]，都有12|()()|4f x f x ''-≤，求实数m 的取值范围； (3)求函数()f x 的零点个数．3.己知函数21()ln ,2f x x ax x a R =-+∈ (1)若(1)0f =，求函数 ()f x 的单调递减区间;(2)若关于x 的不等式()1f x ax ≤-恒成立，求整数 a 的最小值:4.（扬州市2015届高三上期末）已知函数2(),()xf x eg x ax bx c ==++。
高考压轴题：导数题型及解题方法一．切线问题题型1 求曲线)(x f y =在0x x =处的切线方程。
方法：)(0x f '为在0x x =处的切线的斜率。
题型2 过点),(b a 的直线与曲线)(x f y =的相切问题。
方法：设曲线)(x f y =的切点))(,(00x f x ，由b x f x f a x -='-)()()(000求出0x ，进而解决相关问题。
注意：曲线在某点处的切线若有则只有一，曲线过某点的切线往往不止一条。
例 已知函数f （x ）=x 3﹣3x ．（1）求曲线y=f （x ）在点x=2处的切线方程；（答案：0169=--y x ）（2）若过点A )2)(,1(-≠m m A 可作曲线)(x f y =的三条切线，求实数m 的取值范围、 （提示：设曲线)(x f y =上的切点（)(,00x f x ）；建立)(,00x f x 的等式关系。
将问题转化为关于m x ,0的方程有三个不同实数根问题。
（答案：m 的范围是()2,3--）练习 1. 已知曲线x x y 33-=（1）求过点（1，-3）与曲线x x y 33-=相切的直线方程。
答案：（03=+y x 或027415=--y x ）（2）证明：过点（-2,5）与曲线x x y 33-=相切的直线有三条。
2.若直线0122=--+e y x e 与曲线x ae y -=1相切，求a 的值. （答案：1）题型3 求两个曲线)(x f y =、)(x g y =的公切线。
方法：设曲线)(x f y =、)(x g y =的切点分别为（)(,11x f x ）。
（)(,22x f x ）；进而求出切线方程。
解决问题的方法是设切点，用导数求斜率，建立等式关系。
例 求曲线2x y =与曲线x e y ln 2=的公切线方程。
（答案02=--e y x e ）练习 1.求曲线2x y =与曲线2)1(--=x y 的公切线方程。
导数高考题分析之2015年全国Ⅱ理数：绝对值不等式经典构造、讨论函数导数研究函数性质和证明不等式问题，一直都是以高考压轴题的地位出现，也是大家的噩梦，但其实这类问题最大的敌人是自己心中的畏惧，接下来如果看到一个导数题，不要说话，努力灭它.下面的专题以高考压轴题为例，一天一个的去消灭它们，希望能在解题的过程中再次学习，归纳总结，大家多多指点.今天的问题是：2015年全国Ⅱ理数第一问:研究单调性；第二问：绝对值不等式，构造函数.【小结】此题是利用函数导数研究函数单调性问题，并且考查双变量不等式恒成立,考查学生的抽象概括、运算求解、推论论证、分类讨论及化归与转化思想.第一问单调性的考查还是先求导，但是导函数的正负讨论需要学生有敏锐的观察能力和数学素养.第二问考查函数值的绝对值差，等价转化为函数最大最小值的差，然后构造函数求解.学习时间的长短并不重要，重要的是效率高考得分策略：细节决定命运，细节改变命运（1）内紧外松（2）一慢一快，相得益彰，即审题慢，解题快（3）确保运算准确，立足一次成功（4）做快不等于做对，准确放第一位（5）书写规范（6）抓紧时间，不为难题纠缠（7）控制节奏（8）执过索因，逆向思考，正难则反（9）面对难题，讲究策略，争取得分（10）用好开考前5分钟教育就是当学的东西全都忘了的时候，仍保留下来的东西数学是研究现实中数量关系和空间形式的科学数学不仅是一种方法、一门艺术或一种语音，数学是一种精神，一种理性的精神教育是一个圆形概念，方方面面都要兼顾到每天都要加油哦作者简介：廖邦亮，男，中学一级教师，湖南师范大学计算数学研究生，现就职于广东河源市河源中学，任教高中数学。
2015年高考数学陕西卷理科压轴题的由来、另解与变式罗增儒（陕西师范大学数学与信息科学学院）2015 年高考数学陕西卷理科压轴题是： 例1 设()n f x 是等比数列21,,,,n x x x 的各项和，其中0x >，n ∈N ，2n ≥．（Ⅰ）证明：函数()()2n n F x f x =-在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有一个零点（记为n x ），且11122n n n x x +=+；（5分） （Ⅱ）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为()n g x ，比较()n f x 与()n g x 的大小，并加以证明．（7分） 本例是在数列与函数交汇处设计试题，综合考查等比数列、等差数列的通项公式、前项和公式及相应不等关系；广泛覆盖函数的导数公式，用导数研究函数的零点（二分法）、单调性和极值等十多个知识点．主要考查了推理论证能力、运算求解能力，可以体现函数与方程的数学思想、化归与转化的数学思想、数形结合的数学思想、有限与无限的数学思想等．结构上，第（Ⅰ）问与第（Ⅱ）问是并联关系，解答互不影响，赋分与预估难度正相关；第（Ⅱ）问的设计还有探究性．本文在探讨试题更多解法的同时，将揭示题目的由来与变式，希望对数学解题和数学命题都有启示． 1 关于第（Ⅰ）问1．1 第（Ⅰ）问的求解第（Ⅰ）问其实是两道小题，第一小题只须对函数()()2n n F x f x =-验证两点： 其一、验证当0x >时，()n F x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增．这由幂函数x ，2x ，…，n x 在0x >时均为增函数即可得，故()n F x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内至多有一个零点（一一对应）． 其二、验证()()1111210n F n =+++-=->，且21111112022222nnn F ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++-=-<⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，从而，函数()n F x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内必有零点（二分法）． 所以，函数()()2n n F x f x =-在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有一个零点． 第二小题只是函数零点概念的数学翻译，由()0n n F x =，有()11201n nnx x +--=-， 变形得 11122n n n x x +=+． 说明1：本小题比较常规，但对()n f x 的认识、表达和使用都存在陷阱： （1）关于()n f x 的认识.题干说“()n f x 是等比数列21,,,,n x x x 的各项和”时，它已经对“数列部分和”进行了着眼点的转移，即已经把公比看作自变量、把部分和看作公比x 与项数n 的二元函数了.当着眼于x 时，把项数n 固定，()n f x 是x 的函数；当着眼于n 时，把公比x 固定，()n f x 是n 的函数.这里有函数与方程的思想，如果拘泥于数列的公比x 与项数n 均为常数，必然影响思路.（2）关于()n f x 的表达．()n f x 是等比数列21,,,,n x x x 的1n +项之和，可以表达为()21n n f x x x x =++++， ①或 ()11, 11, 11n n n x f x x x x++=⎧⎪=⎨-≠⎪-⎩ ②但对表达式②，有众多考生误解为n 项之和()11nn x f x x-=-（1x ≠时），等于做了另一道题，导致“会而不对”（方法会，但得分甚少，甚至不得分）．其实，论证零点n x 满足11122n n n x x +=+时，式中的1n x +等于给出了提示（由()11n n x f x x-=-不能得出正确结论），当然，如果把()n f x 改写为()1n f x +，可能提示的效果会更明显一些．这是一个陷阱.（3）关于()n f x 的使用．数列的部分和()n f x 有两个表达式，验证()10n F >必须用表达式①（式②没有意义了），验证102n F ⎛⎫<⎪⎝⎭时却要用到②式；而用“求导法”验证()n F x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数时，也是用①式比较方便，先求和再求导就麻烦了（隐含失分或潜在丢分）．两个表达式的恰当选用在第（Ⅱ）问中也有体现，是贯穿全题的又一个陷阱.说明2：有的考生先求出()1211n n x x F x x+-+-=-，然后讨论()121n h x x x +=-+-在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有一个零点，这样做，验证增函数和计算12h ⎛⎫ ⎪⎝⎭没有困难，但计算()1h 就有问题了.把()n F x 变为()h x 不是等价变形，总体看，这个处理有策略性错误． 1．2 第（Ⅰ）问的由来记得1981年吉林大学招收硕士研究生有一道题目（见文[1]P ．27）：例2 证明：对每个正整数n ，方程21n x x x +++=在闭区间[]0,1上必有而且只有一根．记此根为n x ，求lim n n x →∞．对比今年的高考题可以看到，题干是相同的，只是省去了考研题的求极限过程，但精密了零点的区间范围．我们说，对此类多项式方程有更一般性结论如下：例3 对于实系数方程11100nn n x a xa x a --++++=，（Ⅰ）若00a <，则方程至少有一个实根； （Ⅱ）若n 为奇数，则方程至少有一个实根；（Ⅲ）若n 为偶数，且00a <，则方程至少有两个实根． 证明 仅证（Ⅲ），读者可以类似地证明（Ⅰ）、（Ⅱ）．设()1110n n n f x x a x a x a --=++++，则()000f a =<．下面证明存在120,0x x ><，使()10f x >且()20f x >.为此，对0x ≠，作变形()10111nn n n a a a f x x xx x --⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭． 对1k n ≤≤，当0n k a -=时，显然有12n k ka nx -≤；当0n k a -≠时，取 {}1120max 1,2,2,,2,n n x n a n a n a --≥，则111kx x ≥≥（k N +∈），有11122n k n k n k kn k a a a x n a nx ----≤≤=， 得10101111111111n n n n n na a a a a a x x x x x x ----+++≤+++11112222n nn ≤+++=，即 10111111122n n na a a x x x ---≤+++≤ 进而1011111112n n na a a x x x --≤++++． 因为n 为偶数，10n x >，得()101111111112nn n n n a a x a x f x x x x --⎛⎫≤++++= ⎪⎝⎭， 有 ()1102nx f x ≥>． 对10x >，因为n 为偶数，所以()10f x >且()10f x ->，得方程()0f x =在()1,0x -与()10,x 内各有实根，得方程至少有两个实根．例1可以认为是例3（Ⅲ）中111n a a -===，011,,12a x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭的特例.2 关于第（Ⅱ）问2．1 第（Ⅱ）问的由来与求解第（Ⅱ）问是一道老题目，可见于文[2]第534页第947题（或第850页第1528题）： 例4 一个首项与公比都是正数的等比数列，与一个等差数列的首项、末项及项数都分别相等，则这个等比数列的和不大于这个等差数列的和．对于例1就是()()n n f x g x ≤，即()()1112n nn x x x +++++≤． ③“参考答案”出于试题设计的初衷，三个解法都用到“求导”，而按照文[2]的思路，还可直接证明如下（对应“参考答案”给出三个非“求导”解法）：证明1 对2n ≥，由()()n n g x f x - ()()()1112n n n x x x ++=-+++()()()()01121112n n k n kk nk n k k x x x x x -=-=⎡⎤=+-+⎣⎦=--∑∑0≥，（当且仅当1x =时取等号），得()()n n f x g x ≤，当且仅当1x =时取等号．说明3：这个解法的特点是恒等变形，基本思路是转化为证明：等差数列与首尾等距离的两项和()1nx+不小于等比数列与首尾等距离的两项和()kn k xx -+．其几何意义可从图1获得启示，其实，图1还告诉我们，若取点()0,1A ，(),nB n a （0,1a a >≠），则区间[]0,n 上的线段AB在函数x y a =图象的上方（图1仅示意了1a >的情况）．也就是例1应有()n kn k kx xn-+≤，（k N +∈） ④这可以用n 维平均值不等式来证明：证明2 由平均值不等式，有 图1()()0n nn k n k kx g x n=-+=∑()000111n k k n n nnk nk nkk x x x nx -===++++++=≥=∑∑个个()n f x =，当且仅当1x =时取等号．说明4：这个解法的特点是转化为等差数列与等比数列的逐项比较（充分条件），与“参考答案”的解法2只有书写的不同，其更一般性结论有：例5 若首项与公比都是正数的等比数列n a ，与一个等差数列n b 的首项、末项及项数都分别相等，则n n a b ≤．例 6 设0a b >>，在,a b 间分别插入n 个数12,,,n x x x 和n 个数12,,,n y y y ，使12,,,,,n a x x x b 成等比数列，12,,,,,n a y y y b 成等比数列，求证：k k x y <，说明5：这个思路中的不等式④隐含着贝努利不等式（取1k =时）：对0x ≥，1n ≥，有()1nx nx n ≥--，当且仅当1x =时取等号.借助贝努利不等式，例1第（Ⅱ）问可用数学归纳法证明如下：证明3 （1）2n =时，()()222221112x f x x x x g x +=++≤++=，命题成立． （2）假设n k =时，()()k k f x g x ≤，则()()()111k k k f x xf x xg x +=+≤+ （0x >） ()()1112k k x x++=+()()12112k k x k x +++++=()()()1121122k k k x x k x k++++-++=-()()1212k k x +++≤（用到贝努利不等式）()1k g x +=，命题对1n k =+时成立．由数学归纳法得不等式③成立．说明6：对等比数列的部分和n S ，递推关系并不唯一：1n n n S S a -=+或11n n S a qS -=+等均很常见，要根据实际情况灵活选用（参见文[3] 第247页习题四第16题及第277页例5-4）.2．2 第（Ⅱ）问的变式（1）若对③式化简，有()()()2111n n x x n x +++≤++，即 ()()()21211n n x xx n x -++≤-+， ⑤得 21121n n x x x x n -+≥++-，（0x >）这是一道老题目，在文[3]第77页例2-7题叙述为：例7 已知,1,1n N n a +∈>>，求证21121n n a a a a n -+≥+++-. （2）若对③式取21n m =+，可化简得（即⑤式取21n m =+）()21221m m m xx x x ++≥+++，两边加上()22m m x x x +++，有()()()2212211m m m x x x m x x x +++++≥++++．因0x >，可变为2212211m mx x x m x x x m++++++≥+++， 即()()()()223211111m m x x x m mx x x x -+++++≥++++， 得 2232111m m x x m x x x m-++++≥+++． ⑥ 这又是一道老题目，在文[2]第535页第949题叙述为：例8 设0a >，且1a ≠，n N +∈，求证2232111n n a a n a a a n-++++≥+++．（3）若将⑥变形为2232111m m x x x x x m m-++++++≥+．则得又一道变式题：例9 求证：等比数列1，x ，2x ，⋅⋅⋅，2nx （0x >）的奇数项之和的算术平均数不小于偶数项之和的算术平均数．（4）由③有1121n nx x x n ++++≥+ 再应用平均值不等式立即可以推出（推论）： 例10 设0a b >>，在,a b 间分别插入n 个数12,,,n x x x ，使12,,,,,n a x x x b 成等2a b+<.（文[2]第534页第946题） 可见，压轴题的第（Ⅱ）问来源于经典数列题，但改用了导数的方法来处理（否则，不等式证明不属于必修内容，有超纲之嫌），它以数列为平台，以函数应用为重点，有明显的几何意义，可以有多种变式．参考文献[1]本社科学技术编辑室编．1981年全国重点高等院校硕士学位研究生入学试题及选解（数学）．吉林人民出版社．1982，7[2] 唐秀颖主编.数学解题辞典（代数）．上海辞书出版社．1985，11 [3] 罗增儒.数学解题学引论．陕西师范大学出版社．1997，6。
Go the distance导数压轴题题型归纳1. 高考命题回顾例1已知函数f(x)＝e x－ln(x ＋m)．（2013全国新课标Ⅱ卷）(1)设x ＝0是f(x)的极值点，求m ，并讨论f(x)的单调性； (2)当m≤2时，证明f(x)>0.例2已知函数f(x)＝x 2＋ax ＋b ，g(x)＝e x (cx ＋d)，若曲线y ＝f(x)和曲线y ＝g(x)都过点P(0，2)，且在点P 处有相同的切线y ＝4x+2（2013全国新课标Ⅰ卷） （Ⅰ）求a ，b ，c ，d 的值（Ⅱ）若x ≥－2时, ()()f x kg x ≤，求k 的取值范围。
例3已知函数)(x f 满足2121)0()1(')(x x f ef x f x +-=-（2012全国新课标）(1)求)(x f 的解析式及单调区间；(2)若b ax x x f ++≥221)(，求b a )1(+的最大值。
例4已知函数ln ()1a x bf x x x=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=。
（2011全国新课标） （Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x kf x x x>+-，求k 的取值范围。
例5设函数2()1xf x e x ax =---（2010全国新课标）(1)若0a =，求()f x 的单调区间；(2)若当0x ≥时()0f x ≥，求a 的取值范围例6已知函数f(x)＝(x 3+3x 2+ax+b)e －x . （2009宁夏、海南）(1)若a ＝b ＝－3,求f(x)的单调区间;(2)若f(x)在(－∞,α),(2,β)单调增加,在(α,2),(β,+∞)单调减少,证明β－α＞6.2. 在解题中常用的有关结论※3. 题型归纳①导数切线、定义、单调性、极值、最值、的直接应用例7（构造函数，最值定位）设函数()()21xf x x e kx =--(其中k ∈R ).(Ⅰ) 当1k =时,求函数()f x 的单调区间;(Ⅱ) 当1,12k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时,求函数()f x 在[]0,k 上的最大值M .函数例11（零点存在性定理应用）已知函数()ln ,().xf x xg x e ==⑴若函数φ (x ) = f (x )－11x x ，求函数φ (x )的单调区间； ⑵设直线l 为函数f (x )的图象上一点A (x 0，f (x 0))处的切线，证明：在区间(1,+∞)上存在唯一的x 0，使得直线l 与曲线y =g (x )相切．例12（最值问题，两边分求）已知函数1()ln 1af x x ax x-=-+-()a ∈R .Go the distance⑴当12a ≤时，讨论()f x 的单调性； ⑵设2()2 4.g x x bx =-+当14a =时，若对任意1(0,2)x ∈，存在[]21,2x ∈，使12()()f x g x ≥，求实数b 取值范围.例13（二阶导转换）已知函数x x f ln )(=⑴若)()()(R a x ax f x F ∈+=，求)(x F 的极大值；⑵若kx x f x G -=2)]([)(在定义域内单调递减，求满足此条件的实数k 的取值范围.例14（综合技巧）设函数1()ln ().f x x a x a R x =--∈⑴讨论函数()f x 的单调性；⑵若()f x 有两个极值点12,x x，记过点11(,()),A x f x 22(,())B x f x 的直线斜率为k ,问：是否存在a ，使得2k a =-？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.②交点与根的分布例15（切线交点）已知函数()()323,f x ax bx x a b R =+-∈在点()()1,1f 处的切线方程为20y +=．⑴求函数()f x 的解析式；⑵若对于区间[]2,2-上任意两个自变量的值12,x x 都有()()12f x f x c -≤，求实数c 的最小值；⑶若过点()()2,2M m m ≠可作曲线()y f x =的三条切线，求实数m 的取值范围．例16（根的个数）已知函数x x f =)(，函数x x f x g sin )()(+=λ是区间[-1，1]上的减函数.（I ）求λ的最大值；（II ）若]1,1[1)(2-∈++<x t t x g 在λ上恒成立，求t 的取值范围；（Ⅲ）讨论关于x 的方程mex x x f x+-=2)(ln 2的根的个数．例17（综合应用）已知函数.23)32ln()(2x x x f -+=⑴求f (x )在[0,1]上的极值；⑵若对任意0]3)(ln[|ln |],31,61[>+'+-∈x x f x a x 不等式成立，求实数a 的取值范围；⑶若关于x 的方程b x x f +-=2)(在[0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b 的取值范围.③不等式证明例18(变形构造法)已知函数1)(+=x ax ϕ，a 为正常数．⑴若)(ln )(x x x f ϕ+=，且a29=，求函数)(x f 的单调增区间；Go the distance⑵在⑴中当0=a 时，函数)(x f y =的图象上任意不同的两点()11,y x A ，()22,y x B ，线段AB 的中点为),(00y x C ，记直线AB 的斜率为k ，试证明：)(0x f k '>．⑶若)(ln )(x x x g ϕ+=，且对任意的(]2,0,21∈x x ，21x x ≠，都有1)()(1212-<--x x x g x g ，求a的取值范围．例19(高次处理证明不等式、取对数技巧)已知函数)0)(ln()(2>=a ax x x f .（1）若2)('x x f ≤对任意的0>x 恒成立，求实数a 的取值范围；（2）当1=a 时，设函数x x f x g )()(=，若1),1,1(,2121<+∈x x e x x ，求证42121)(x x x x +<例20（绝对值处理）已知函数c bx ax x x f +++=23)(的图象经过坐标原点，且在1=x 处取得极大值．（I ）求实数a 的取值范围；（II ）若方程9)32()(2+-=a x f 恰好有两个不同的根，求)(x f 的解析式；（III ）对于（II ）中的函数)(x f ，对任意R ∈βα、，求证：81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f ．例21（等价变形）已知函数x ax x f ln 1)(--=()a ∈R ．（Ⅰ）讨论函数)(x f 在定义域内的极值点的个数；（Ⅱ）若函数)(x f 在1=x 处取得极值，对x ∀∈),0(+∞,2)(-≥bx x f 恒成立，求实数b 的取值范围；（Ⅲ）当20e y x <<<且e x ≠时，试比较xyx y ln 1ln 1--与的大小．例22（前后问联系法证明不等式）已知217()ln ,()(0)22f x x g x x mx m ==++<，直线l 与函数(),()f x g x 的图像都相切，且与函数()f x 的图像的切点的横坐标为1。
