北京市西城区2016-2017学年度第二学期期末考试高一数学试卷

北京市西城区2015-2016学年下学期高一年级期末考试数学试卷试卷满分：150分 考试时间：120分钟一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1.已知数列}{n a 满足21+=+n n a a ，且21=a ，那么5a ＝（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 112. 如果0<<b a ，那么下列不等式正确的是（ ） A. 2a ab > B. 22b a < C.b a 11< D. ba 11-<- 3. 在掷一个骰子的试验中，事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件B A 发生的概率为（ ）A.31 B. 21 C. 32 D. 654. 下图是100名学生某次数学测试成绩（单位：分）的频率分布直方图，则测试成绩在区间[50，70）中的学生人数是（ ）A. 30B. 25C. 22D. 205. 执行如图所示的程序框图，若输入A 的值为2，则输出的i 值为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 66. 在不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤20,20y x 表示的平面区域内任取一个点),(y x P ，使得1≤+y x 的概率为（ ）A.21 B. 41 C. 81 D. 121 7. 若关于x 的不等式a xx ≥+4对于一切),0(+∞∈x 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A. ]5,(-∞B. ]4,(-∞C. ]2,(-∞D. ]1,(-∞ 8. 在△ABC 中，若C bacos <，则△ABC 为（ ） A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等边三角形9. 某货运员拟运送甲、乙两种货物，每件货物的体积、重量、可获利润如下表所示：体积（升/件）重量（公斤/件）利润（元/件）甲 20108乙10 20 10在一次运输中，货物总体积不超过110升，总重量不超过100公斤，那么在合理的安排下，一次运输获得的最大利润为（ ）A. 65元B. 62元C. 60元D. 56元 10. 设R b a ∈,，给出下列判断：①若111=-ab ，则1≤-b a ； ②若133=-b a ，则1≤-b a ；③若b a ,均为正数，且122=-b a ，则1≤-b a ；④若b a ,均为正数，且1=-b a ，则1≥-b a 。

北京市西城区2016— 2017学年度第二学期期末试卷高二数学（理科）2017.7试卷满分：150分考试时间：120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9. 曲线1y x=在2x =处切线的斜率为______. 10. 4)12(xx -展开式中的常数项是_______.（用数字作答） 11. 离散型随机变量ξ的分布列为:且2=ξE ，则1p =_________；2p = _________.12. 某班举行的联欢会由5个节目组成，节目演出顺序要求如下: 节目甲不能排在第一个，并且节目甲必须和节目乙相邻，则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有_____种．13. 若函数32()f x ax ax x =-+在区间(1,0)-上恰有一个极值点，则a 的取值范围是_____．14. 已知，对于任意x ∈R ，e xax b ≥+均成立.①若e a =，则b 的最大值为__________；②在所有符合题意的b a ,中，a b -的最小值为_________．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分）在数列{}n a 中，11=a ，121++=+n n a nn a ，其中1,2,3,n =.(Ⅰ) 计算2a ，3a ，4a ，5a 的值；(Ⅱ) 根据计算结果，猜想{}n a 的通项公式，并用数学归纳法加以证明.16．（本小题满分13分）甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为21与p ，且乙投球2次均未命中的概率为161. (Ⅰ)求甲投球2次，至少命中1次的概率；(Ⅱ)若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中3次的概率.17．（本小题满分13分）已知函数32()3f x x ax =+.(Ⅰ) 若1-=a ，求)(x f 的极值点和极值； (Ⅱ) 求)(x f 在[0,2]上的最大值.18．（本小题满分13分）一个袋中装有黑球，白球和红球共n (*n ∈N )个,这些球除颜色外完全相同. 已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是52. 现从袋中任意摸出2个球. (Ⅰ) 用含n 的代数式表示摸出的2球都是黑球的概率，并写出概率最小时n 的值.（直接写出n 的值）(Ⅱ) 若15=n ，且摸出的2个球中至少有1个白球的概率是74，设X 表示摸出的2个球中红球的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望. 19．（本小题满分14分）已知函数2()f x ax bx =+和x x g ln )(=.(Ⅰ) 若1==b a ，求证：()f x 的图象在()g x 图象的上方；(Ⅱ) 若()f x 和()g x 的图象有公共点P ，且在点P 处的切线相同，求a 的取值范围. 20．（本小题满分14分）已知函数()(1)e xf x x =-.（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）证明：当0>a 时，方程()f x a =在区间(1,)+∞上只有一个解；（Ⅲ）设()()ln(1)h x f x a x ax =---，其中0>a .若()0h x ≥恒成立，求a 的取值范围.北京市西城区2016 — 2017学年度第二学期期末试卷高二数学（理科）参考答案及评分标准2017.7一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. A ；2.D ；3. C ；4. B ；5. C ；6. D ；7. C ；8. B . 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 41-； 10. 24； 11. ,4211； 12. 42； 13. 1(,)5-∞-； 14. 0；1e-.注：一题两空的题目，第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 15.（本小题满分13分）解： (Ⅰ) 根据已知，24a =；99a =；416a =；525a =. …………… 4分 (Ⅱ)猜想2n a n =. …………… 6分证明：① 当1=n 时，由已知11=a ；由猜想，2111a ==，猜想成立. …………… 8分②假设当k n =（k ∈*N ）时猜想成立，即2k a k =， ……………10分则1+=k n 时， 221)1(1212+=+⨯+=++=+k k kk a k k a k k . 所以，当1n k =+时，猜想也成立. ……………12分 由①和②可知，2n a n =对任意的*n ∈N 都成立. ……………13分 16.（本小题满分13分）解：(Ⅰ)设“甲投球一次命中”为事件A ， 则11(),()22P A P A ==. …………… 2分 故甲投球2次至少命中1 次的概率为31()1()()4P A A P A P A -⋅=-=. …………5分(Ⅱ) 设“乙投球一次命中”为事件B .由题意得1()(1)(1)16P B B p p ⋅=--=， ……………7分解得43=p 或45(舍去)， 所以31(),()44P B P B ==. ……………8分甲、乙两人各投球2次共命中3次有两种情况：甲中两次，乙中一次；甲中一次，乙中两次. ……………9分甲中两次，乙中一次的概率为1211313()()()()2224432P A P A C P B P B =⨯⨯⨯⨯=.…11分 甲中一次，乙中两次的概率为1211339()()()()2224432C P A P A P B P B =⨯⨯⨯⨯=.…12分事件“甲中两次，乙中一次”与“甲中一次，乙中两次”是互斥的，所以，所求事件概率为93332328+=. 所以甲、乙两人各投2次，共命中3次的概率为38. ……………13分 17.（本小题满分13分）解：(Ⅰ) 当1-=a 时，32()3f x x x =-，2()36f x x x '=-. ……………2分令2()360f x x x '=-=，得0x =或2x =.(f '……………4分所以，函数)(x f 的极大值点为0x =，极大值为0；极小值点为2x =，极小值为4-.……………6分(Ⅱ) 2()363(2)f x x ax x x a '=+=+. ……………7分①当0a =时，()0f x '≥（仅当0x =时，()0f x '=），函数)(x f 是增函数，)(x f 在[0,2]上的最大值为(2)8128f a =+=. ……………8分②当0a >时，在区间(0,)+∞上()0f x '>，函数)(x f 是增函数.)(x f 在[0,2]上的最大值为(2)812f a =+. ……………10分③当0a <时，()f x '与()f x 在区间(0,)+∞上的情况如下：……………11分此时，(0)0f =，(2)812f a =+. 当8120a +>，即203a -<<时，)(x f 在[0,2]上的最大值为(2)812f a =+. 12分当8120a +≤，即23a ≤-时，)(x f 在[0,2]上的最大值为(0)0f =. ………13分 综上，当23a ≤-时，)(x f 在[0,2]上的最大值为0；当23a >-时，)(x f 在[0,2]上的最大值为812a +.18.（本小题满分13分） 解：(Ⅰ) 依题意有n 52个黑球. 记“摸出的2球都是黑球”为事件A ， 则225222(1)41055()(1)2525n n C n n n P A C n n n --===--. ……………4分()P A 最小时5=n . ……………5分(Ⅱ) 依题意有21565⨯=个黑球. ……………6分 设袋中白球的个数为x (个)，记“从袋中任意摸出两个球至少得到一个白球”为事件B ，则2152154()17xC P B C -=-=，整理得2291200x x -+=，解得5x =或24x =（舍）. ……………8分 所以袋中红球的个数为4(个).随机变量X 的取值为0,1,2. ……………9分21121511(0)21C P X C ===；1141121544(1)105C C P X C ===；242152(2)35C P X C ===. X…………12分数学期望114428012211053515EX =⨯+⨯+⨯=. ……………13分 19.（本小题满分14分）解：(Ⅰ) 当1==b a 时，2()f x x x =+.设2()ln h x x x x =+-，0x >. ……………1分则2121(21)(1)()21x x x x h x x x x x +--+'=+-==， ……………2分所以，在区间1(0,)2上()0h x '<，()h x 是减函数；在区间1(,)2+∞上()0h x '>，()h x 是增函数. ……………4分所以，()h x 的最小值为1()2h =31ln 42-，又31ln 042->，所以()0h x >恒成立. 即()f x 的图象在()g x 图象的上方. ……………5分(Ⅱ) 设00(,)P x y ，其中00x >.由已知()2f x ax b '=+，1()g x x'=. 因为在点P 处的切线相同， 所以2000000012,,ln ax b y ax bx y x x +==+=. ……………7分 消去0,b y 得200ln 10ax x +-=.根据题意，方程200ln 10ax x +-=有解. ……………8分设2()ln 1F x ax x =+-，则()F x 在(0,)+∞上有零点.2121()2ax F x ax x x+'=+=， 当0a ≥时，()0F x '>，函数()F x 在(0,)+∞上单调递增. 当1a ≥时，(1)10F a =-≥，110F =+-=≤，()F x 有零点. 当01a ≤<时，(1)10F a =-≤，22(e )e 10F a =+>，()F x 有零点. …11分 当0a <时，令()0F x '=，解得x =(F '与在区间上的情况如下：令302≥，得 312ea ≥-. 此时(1)10F a =-<.所以()F x 有零点. ……………13分 综上，所求a 的取值范围为31[,)2e -+∞. ……………14分20.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知()e (1)e e xxxf x x x '=+-=. ……………2分所以，在区间(,0)-∞上()0f x '<，函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，在区间(0,)+∞上()0f x '>，函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增. ……………4分 （Ⅱ）设()()(1)e xg x f x a x a =-=--，0a >. ……………5分()e x g x x '=，由（Ⅰ）知，函数()g x 在区间(0,)+∞上单调递增.且(1)0g a =-<，11(1)e(e 1)0a a g a a a a +++=-=->.所以，()g x 在区间(1,)+∞上只有一个零点，方程()f x a =在区间(1,)+∞上只有一个解. ……………8分 （Ⅲ）设()()ln(1)h x f x a x ax =---，0>a ，()h x 定义域为}1|{>x x ，()e (e )[(1)e ]111x x x a a x h x x a x x a x x x '=--=-=-----， ……………9分 令()0h x '=，则(1)e 0xx a --=，由（Ⅱ）知，()(1)e xg x x a =--在区间(1,)+∞上只有一个零点，是增函数， 不妨设()g x 的零点为0x ，则00(1)e 0xx a --=， ……………11分 所以，()h x '与()h x 在区间(0,)+∞上的情况如下：所以，函数()h x 的最小值为0()h x ，00000()(1)e ln(1)x h x x a x ax =----，由00(1)e 0xx a --=，得001e x a x -=，所以00000()e ln ln e e x x x a ah x a ax a a a =⋅--=-. ……………13分依题意0()0h x ≥，即ln 0a a a -≥，解得0e a <≤，所以，a 的取值范围为(0,e]. ……………14分。

北京市西城区2016-2017学年度第二学期期末试卷八 年 级 数 学试卷满分：100分，考试时间：100分钟一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1. 函数11y x =+中，自变量x 的取值范围是（ ）.A. x ≠1-B. x ≠1C. x ＞1-D. x ≥1- 2. 一次函数+3y x =的图象不经过．．．的象限是（ ）. A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限4. 如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 的交点为O ，点E 为BC 边的中点，30OCB ∠=︒，如果OE =2，那么对角线BD 的长为（ ）.A. 4C. 8D. 105. 如果关于x 的方程220x x k --=有两个相等的实数根，那么以下结论正确的是（ ）．A. 1k =-B. 1k =C. k ＞1-D. k ＞16. 下列命题中，不正确．．．的是（ ）. A. 平行四边形的对角线互相平分B. 矩形的对角线互相垂直且平分C. 菱形的对角线互相垂直且平分D. 正方形的对角线相等且互相垂直平分7. 北京市6月某日10个区县的最高气温如下表：(单位：℃)则这10个区县该日最高气温的中位数是（ ）.A. 32 C. 308. 如图，在Rt△ABC 中，∠ACB =90°，∠ABC =30°，将△ABC绕点C顺时针旋转α角（0°<α<180°）至△A ′B ′C ，使得点A ′恰好落在AB 边上，则α等于（ ）.A. 150°B. 90°C. 60°D. 30°9. 教育部发布的统计数据显示，近年来越来越多的出国留学人员学成后选择回国发展，留学回国与出国留学人数“逆差”逐渐缩小.2014年各类留学回国人员总数为万人，而2016年各类留学回国人员总数为万人．如果设2014年到2016年各类留学回国人员总数的年平均增长率为x，那么根据题意可列出关于x的方程为（）.A. 36.48(1)=43.25xx++ B. 36.48(12)=43.25C. 2x36.48(1)=43.25-36.48(1)=43.25+ D. 2x路径长为x，△ADE的面积为y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（）.二、填空题（本题共26分，其中第18题5分，其余每小题3分）11. 如果关于x的方程2320-++=有一个根为0，那么m的值等于 .x x m12. 如果平行四边形的一条边长为4cm，这条边上的高为3cm，那么这个平行四边形的面积等于2cm.13. 在平面直角坐标系xOy中，直线24=-+与x轴的交点坐标为，y x与y轴的交点坐标为，与坐标轴所围成的三角形的面积等于 .14.如图，在Y ABCD中，CH⊥AD于点H，CH与BD的交点为E.如果1=70ADC∠∠，那么=∠°．ABC∠︒，=3215.如图，函数2=-的图象交于点P，那y kx=+与函数1y x b么点P的坐标为_______，关于x的不等式12->+的解集kx x b是．16. 写出一个一次函数的解析式，满足以下两个条件：①y随x的增大而增大；②它的图象经过坐标为(0,2)-的点. 你写出的解析式为 .17. 如图，正方形ABCD的边长为2cm，正方形AEFG的边长为1cm.正方形AEFG绕点A旋转的过程中，线段CF的长的最小值为_______cm.18. 利用勾股定理可以在数轴上画出表示图，并保留画图痕迹：第一步：（计算）=，使其中a，b都为正整数.你取的正整数a=____，b= ；以第一步中你所取的正整数a，b为两条直第二步：∠︒，则斜边OFOEF=90请在下面的数轴上画图：（第二步不要求尺规作图，不要求写画法）M，并描述第三步：第三步．．．的画图步骤：.三、解答题（本题共44分，第19、20、22题各5分，第21、23、24题各7分，第25题8分）19. 解方程：2610--=.x x20．如图，在四边形ABCD中，AD21.《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有户不知高广，竿不知长短.横之不出四尺，纵之不出二尺，斜之适出注.问户斜几何.注释：横放，竿比门宽长出四尺；竖放，竿比门高长出二尺；斜放恰好能出去.解决下列问题：（1）示意图中，线段CE的长为尺，线段DF的长为尺；（2）求户斜多长.22. 2016年9月开始，初二年级的同学们陆续到北京农业职业技术学院进行了为期一周的学农教育活动.丰富的课程开阔了同学们的视野，其中“酸奶的制作”课程深受同学们喜爱.学农1班和学农2班的同学们经历“煮奶—降温—发酵—后熟”四步，制作了“凝固型”酸奶.现每班随机抽取10杯酸奶做样本（每杯100克），记录制作时所添加蔗糖克数如表1、表2所示.表 1 学农1班所抽取酸奶添加蔗糖克数统计表（单位:克）表 2 学农2班所抽取酸奶添加蔗糖克数统计表（单位:克）据研究发现，若蔗糖含量在5%~8%，即100克酸奶中，含糖5~8克的酸奶口感最佳.两班所抽取酸奶的相关统计数据如表3所示.表3 两班所抽取酸奶的统计数据表根据以上材料回答问题：（1）表3中，x=：（2）根据以上信息，你认为哪个学农班的同学制作的酸奶整体．．口感较优？请说明理由.23. （1）阅读以下内容并回答问题：小雯用这个方法进行了尝试，点(1,2)A -向上平移3个单位后的对应点A '的坐标为 ，过点A '的直线的解析式为 .（2）小雯自己又提出了一个新问题请全班同学一起解答和检验此方法，请你也试试看：将直线2y x =-向右平移1个单位，平移后直线的解析式为 ，另外直接将直线2y x =-向 （填“上”或“下”）平移 个单位也能得到这条直线.（3）请你继续利用这个方法解决问题：对于平面直角坐标系xOy 内的图形M ，将图形M 上所有点都向上平移3个单位，再向右平移1个单位，我们把这个过程称为图形M 的一次．．“斜平移”. 求将直线2y x =-进行两次．．“斜平移”后得到的直线的解析式.（3）解：24.（1）画图－连线－写依据：先分别完成以下画图．．（不要求尺规作图），再与判断四边形DEMN形状的相应结论连线．．，并写出判定依据（只将最后一步判定特殊平行．．．．．．．．．．四边形的依据．．．．．．填在横线上）.①如图1，在矩形ABEN中，D为对角线的交点，过点N画直线NP∥DE，过点E画直线EQ∥DN，NP与EQ的交点为点M，得到四边形DEMN；②如图2，在菱形ABFG中，顺次连接四边AB，BF，FG，GA的中点D，E，M，N，得到四边形DEMN.（2）请从图1、图2的结论中选择一个进行证明.证明：25. 如图所示，在平面直角坐标系x O y中，B，C两点的坐标分别为(4,0)B，(4,4)C，CD⊥y轴于点D，直线l 经过点D.（1）直接写出点D的坐标；（2）作CE⊥直线l于点E，将直线CE绕点C逆时针旋转45°，交直线l于点F，连接BF.①依题意补全图形；②通过观察、测量，同学们得到了关于直线BF与直线l的位置关系的猜想，请写出你的猜想；③通过思考、讨论，同学们形成了证明该猜想的几种思路：思路1：作CM⊥CF，交直线l于点M，可证△CBF≌△CDM，进而可以得出45∠=︒，从而证明结论.CFB思路2：作BN⊥CE，交直线CE于点N，可证△BCN≌△CDE，进而证明四边形BFEN为矩形，从而证明结论.……请你参考上面的思路完成证明过程.（一种方法即可）解：（1）点D的坐标为.（2）①补全图形.②直线BF与直线l的位置关系是.③证明：北京市西城区2016-2017学年度第二学期期末试卷八 年 级 数 学 附 加 题试卷满分：20分一、填空题（本题6分）1. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点1(2,2)A 在直线y x =上，过点1A 作11A B ∥y 轴，交直线12y x =于点1B ，以1A 为直角顶点，11A B 为直角边，在11A B 的右侧作等腰直角三角形111A B C ；再过点1C 作22A B ∥y轴，分别交直线y x =和12y x =于2A ，2B 两点，以2A 为直角顶点，22A B 为直角边，在22A B 的右侧作等腰直角三角形222A B C ，…，按此规律进行下去，点1C 的横坐标为 ，点2C 的横坐标为 ，点 n C 的横坐标为 ．（用含n 的式子表示，n 为正整数）二、操作题（本题6分）2．如图，在由边长都为1个单位长度的小正方形组成的66⨯正方形网格中，点A ，B ，P 都在格点上．请画出以AB 为边的格点四边形（四个顶点都在格点的四边形），要求同时满足以下条件： 条件1：点P 到四边形的两个顶点的距离相等； 条件2：点P 在四边形的内部或其边上； 条件3：四边形至少一组对边平行．（1）在图①中画出符合条件的一个Y ABCD ， 使点P 在所画四边形的内部； （2）在图②中画出符合条件的一个四边形ABCD ，使点P 在所画四边形的边上；（3）在图③中画出符合条件的一个四边形ABCD，使∠D=90°，且∠A≠90°．三、解答题（本题8分）3.如图，在平面直角坐标系xOy中，动点A(a,0)在x轴的正半轴上，定点B(m, n)在第一象限内（m＜2≤a）.在△OAB外作正方形ABCD和正方形OBEF，连接FD，点M为线段FD的中点.作BB1⊥x轴于点B1，作FF1⊥x轴于点F1.（1）填空：由△≌△，及B(m, n)可得点F的坐标为，同理可得点D的坐标为；（说明：点F，点D的坐标用含m，n，a的式子表示）（2）直接利用（1）的结论解决下列问题：①当点A在x轴的正半轴上指定范围内运动时，点M总落在一个函数图象上，求该函数的解析式（不必写出自变量x的取值范围）；②当点A在x轴的正半轴上运动且满足2≤a≤8时，求点M所经过的路径的长.解：①②北京市西城区2016-2017学年度第二学期期末试卷八年级数学参考答案及评分标准一、选择题（本题共30分，每小题3分）题号12345678910答案A D B C A B A C C D二、填空题（本题共26分，其中第18题5分，其余每小题3分）11. 2-. 12. 12. 13. (2,0)，(0,4)，4.（各1分）14. 60. 15.(1,2)-（2分），x＜1（1分）.16. 答案不唯一，如2=-等.（只满足一个条件的y x得2分）17. 2.18. 第一步：a= 4 ，b= 2 （或a= 2 ，b= 4 ）；…………2分第二步：如图1. ……………………………………… 3分第三步：如图1，在数轴上画出点M. ………………………………………………………4分第三步的画图步骤：以原点O为圆心，OF长为半径作弧，弧与数轴正半轴的交点即为点M. ………………………………………………………………………………………… 5分说明：其他正确图形相应给分，如2OE =，4EF =.三、解答题（本题共44分，第19、20、22题各5分，第21、23、24题各7分，第25题8分）19. （本题5分） 解：1a =，6b =-，1c =-. …………………………………………………………………… 1分224(6)41(1)40b ac ∆=-=--⨯⨯-=＞0. …………………………………………………2分 方程有两个不相等的实数根x = ……………………………………………………………………… 3分(6)6322--±±===所以原方程的根为13x =+，23x =-………………………………………… 5分20．（本题5分）解：（1）如图2．∵ △ABC 中，AB=10，BC=6，AC =8，∴222AC BC AB. ……………………… 1分+=∴△ABC是直角三角形，=90∠︒.……2分ACB（2）∵AD==90∠∠︒…………………………………………………………… 3分CAD ACB∵在Rt△ACD中，=90∠︒，AC=AD=8，CAD∴CD=…………………………………………………………… 4分=………… 5分21．（本题7分）解：（1）4，2．…………………………………………………………………………………2分（2）设户斜x尺．…………………………………… 3分则图3中BD=x，BC BE CE x=-=-，（x＞4）4=-=-．（x＞2）2CD CF DF x又在Rt△BCD中，=90∠︒，BCD由勾股定理得222BC CD BD．+=所以222(4)+(2)=x x x--．………………… 4分整理，得212200x x-+=．因式分解，得(10)(2)=0x x--．解得110x=，22x=．……………………………………………………………… 5分因为x＞ 4 且x＞2，所以2x=舍去，10x=．…………………………………… 6分答：户斜为10尺．…………………………………………………………………… 7分22．（本题5分）解：（1）6．…………………………………………………………………………………………1分（2）学农2班的同学制作的酸奶整体口感较优．………………………………………… 2分理由如下：所抽取的样本中，两个学农班酸奶口感最佳的杯数一样，每杯酸奶中所添加蔗糖克数的平均值基本相同，学农2班的方差较小，更为稳定．……………………5分23．（本题7分）解：（1）(1,1)，y x=-+．…………………………………………………………………… 2分23（2）22=-+，上，2．（各1y x 分）…………………………………………………………5分（3）直线2=-上的点(1,2)A-进行一次“斜平移”后的对应点的坐标为y x(2,1)，进行两次“斜平移”后的对应点的坐标为(3,4)．设经过两次“斜平移”后得到的直线的解析式为2=-+．y x b 将(3,4)点的坐标代入，得234-⨯+=．b解得10b=．所以两次“斜平移”后得到的直线的解析式为210=-+.y x……………………… 7分说明：其他正确解法相应给分.24．（本题7分）解：（1）见图4，图5，连线、依据略. ……………………………5分（两个画图各1分，连线1分，两个依据各1分，所写依据的答案不唯一）（2）①如图4.∵ NP ∥DE ，EQ ∥DN ，NP 与EQ 的交点为点M ，∴ 四边形DEMN 为平行四边形.∵ D 为矩形ABEN 对角线的交点，∴ AE=BN ，12DE AE =，12DN BN =.∴ DE= DN .∴ 平行四边形DEMN 是菱形.……………………………………………………… 7分②如图6，连接AF ，BG ，记交点为H .∵ D ，N 两点分别为AB ，GA 边的中点，∴ DN ∥BG ，12DN BG =.同理，EM ∥BG ，12EM BG =，DE ∥AF ，12DE AF =.∴ DN ∥EM ，DN =EM .∴ 四边形DEMN 为平行四边形.∵ 四边形ABFG 是菱形，∴ AF ⊥BG .∴90∠=︒.AHB∴118090∠=︒-∠=︒.AHB∴2180190∠=︒-∠=︒.∴平行四边形DEMN是矩形. ………………………………………………………7分25．（本题8分）解：（1）(0,4).……………………………………………………………………………………1分（2）①补全图形见图7.……………………………………………………………………… 2分②BF⊥直线l.…………………………………………………………………………… 3分③法1：证明：如图8，作CM⊥CF，交直线l于点M．∵(4,0)D，C，(0,4)B，(4,4)∴==4BCD∠=︒．==，90OB BC DC OD∵CE⊥直线l，CM⊥CF，45∠=︒，ECF可得△CEF，△CEM 为等腰直角三角形，=45∠∠=︒，CMD CFECF=CM．①∵=90∠︒-∠，DCM DCFBCF DCF∠︒-∠，=90∴=∠∠．②BCF DCM又∵CB=CD，③∴△CBF≌△CDM．…………………………………………………………6分∴∠∠=︒．……………………………………………………7分CFB CMD=45∴=90∠∠+∠=︒．BFE CFB CFE∴BF⊥直线l．………………………………………………………………8分法2：证明：如图9，作BN⊥CE，交直线CE于点N．∵(4,0)D，C，(0,4)B，(4,4)∴==4BCD∠=︒．==，90OB BC CD OD∵CE⊥直线l，BN⊥CE，∴90BNC CED∠=∠=︒．①∴1390∠+∠=︒．∠+∠=︒，2390∴12∠=∠．②又∵CB=DC，③∴△BCN≌△CDE．………………6分∴BN= CE．又∵45∠=︒，ECF可得△CEF为等腰直角三角形，EF = CE．∴BN= EF．又∵180BNE NED∠+∠=︒，∴BN∥FE．∴四边形BFEN为平行四边形．又∵90CEF∠=︒，∴平行四边形BFEN为矩形．…………………………………………………7分∴=90BFE∠︒．∴BF⊥直线l．……………………………………………………………… 8分北京市西城区2016-2017学年度第二学期期末试卷八年级数学附加题参考答案及评分标准一、填空题（本题6分）1.解：3，92，322n⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭.（各2分）二、操作题（本题6分）2. 解：（1）答案不唯一，如：或其他.（2）答案不唯一，如：或其他.（3）说明：每图2分，答案不唯一时，其他正确答案相应给分.三、解答题（本题8分）3.解：（1）如图 1.由△OFF≌1△1BOB ，及B (m, n )可得点F 的坐标为(,)n m -，同理可得点D 的坐标为(,)a n a m +-. （全等1分，两个坐标各1分）…………………3分（2）①设点M 的坐标为(,)M x y .∵ 点M 为线段FD 的中点，(,)F n m -，(,)D a n a m +-，可得点M 的坐标为(,)22a a . …………………………………………………… 5分 ∴ ,2.2a x a y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去a ，得y x =.所以，当点A 在x 轴的正半轴上指定范围内运动时，相应的点M 在运动时总落在直线y x =上，即点M 总落在函数y x =的图象上. ………………………6分②如图2，当点A 在x 轴的正半轴上运动且满足2≤a ≤8时，点A 运动的路径为线段12A A ，其中1(2,0)A ，2(8,0)A ，相应地，点M 所经过的路径为直线y x =上的一条线段12M M ，其中1(1,1)M ，2(4,4)M .……………………………… 7分 而12M M =∴ 点M 所经过的路径的长为……………………………………………8分。

北京市西城区2017 —2018学年度第二学期期末试卷高一数学2018.7试卷满分：150分考试时间：120分钟A卷[立体几何初步与解析几何初步] 本卷满分：100分一项是符合要求的.关于y轴对称，则直线的方程为（）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上. 11.已知点(,2)A m -，(3,0)B ，若直线AB 的斜率为12，则m =_____. 12.若直线1:280l ax y +-=与直线2:0l x y -=平行，则a =______.13.已知某三棱柱的三视图如图所示，那么该三棱柱最大侧面的面积为______.14.已知直线y kx k =+过定点，则定点的坐标为______.15.在直三棱柱111ABC A B C -中，D 为1AA 中点，点P 在侧面11BCC B 上运动，当点P 满足 条件_______________时，1//A P 平面BCD . （答案不唯一，填一个满足题意的条件即可）16. 如图，矩形ABCD 中AB 边与x 轴重合，(2,2)C ，(1,2)D -. BC 反射到CD 上，再经CD 反射到AD 上点Q 处. ①若OP 的斜率为12，则点Q 的纵坐标为______； ②若点Q 恰为线段AD 中点，则OP 的斜率为______.A DA ′三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，且2P A A D ==，点E 为线段PD 的中点. （Ⅰ）求证：//PB 平面AEC ； （Ⅱ）求证：AE ⊥平面PCD ； （Ⅲ）求三棱锥A PCE -的体积.18．（本小题满分12分）已知直线:8l y x =-+与x 轴相交于点A ，点B 坐标为(0,4)-，过点B 作直线l 的垂线，交直线l 于点C .记过A 、B 、C 三点的圆为圆M . （Ⅰ）求圆M 的方程；（Ⅱ）求过点C 与圆M 相交所得弦长为8的直线方程.19．（本小题满分12分）如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点E 是棱AB 上的动点，F 是棱1CC 上一点，1:1:2CF FC =. （Ⅰ）求证：111B D A F ⊥；（Ⅱ）若直线1A F ⊥平面11B D E ，试确定点E 的位置，并证明你的结论；（Ⅲ）设点P 在正方体的上底面1111A B C D 上运动，求总能使BP 与1A F 垂直的点P 所形成的轨迹的长度．（直接写出答案）ABCDPEB 卷 [学期综合]本卷满分：50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中横线上. 1．在区间[2,4]-内随机选取一个实数x ，则[1,3]x ∈的概率为_____．2．如图所示，茎叶图记录了甲、乙两组各四名工人1天加工的零件数，且甲、乙两组工人平均每人加工零件的个数相同，则m =_____；甲、乙两组工人加工零件数方差较大的一组的方差为______.3．从1,2,3,4这四个数中一次随机选取两个数，所取两个数之和不小于5的概率为_____． 4．一艘货船以15km /h 的速度向东航行，货船在A 处看到一个灯塔P 在北偏东60方向上，行驶4小时后，货船到达B 处，此时看到灯塔P 在北偏东15方向上，这时船与灯塔的距离为_____km ．5．在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知△ABC 面积S 满足12S ≤≤，且1sin sin sin 8A B C =. 给出下列结论： ①16abc ≥； ②228a b ab +>； ③32ab <； 其中正确结论的序号是_____．（写出所有正确结论的序号）DBCA 1B 1C 1D 1A EF甲0 乙 9 8 1 9 2 1 2 0 0 m二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 6．（本小题满分8分）在某地区高二年级的一次英语口语测试中，随机抽取M 名同学的成绩，数据的分组统计表如下：（Ⅰ）求出表中,,,m n M N 的值；（Ⅱ）根据上表，请在答题纸中给出的坐标系中完整画出频率分布直方图；（Ⅲ）若该地区高二年级学生有5000人，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计这次测试中该地区高二年级学生的平均分数及分数在区间(60,90]内的学生人数．7．（本小题满分10分）在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c.b =4B π=. （Ⅰ）若3a =，求sin A 及sin C 的值； （Ⅱ）若△ABC 的面积等于1，求a 的值．8．（本小题满分12分）已知圆22:(3)25C x y +-=与x 轴的负半轴相交于点M . （Ⅰ）求点M 的坐标及过点M 与圆C 相切的直线方程；（Ⅱ）一般把各边都和圆相切的三角形叫做圆的外切三角形.记圆C 的外切三角形为△DEF ，且(5,2)D --，(,2)(5)E t t ->.试用t 表示△DEF 的面积；（Ⅲ）过点M 作,MA MB 分别与圆相交于点,A B ，且直线,MA MB 关于x 轴对称，试问直线AB 的斜率是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由.北京市西城区2017— 2018学年度第二学期期末试卷高一数学参考答案及评分标准2018.7 A 卷[立体几何初步与解析几何初步] 满分100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1.C2.A3. B4.C5.B6. A7. A8.D9.D 10.C.PC′B ′A′PC ′ B ′A ′P二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 11.1-12.2-14. (1,0)-15.P 是1CC 中点，等16.33,25注：第16题每空两分.三、解答题：本大题共3小题，共36分. 17.（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：连结BD ，交AC 于点O ，连结OE . 因为O 是正方形ABCD 对角线交点，所以O 为BD 中点， 由已知E 为线段PD 的中点，所以//PB OE .…………………2分 又OE ⊂平面ACE ，PB ⊄平面ACE ， 所以//PB 平面ACE .…………………5分（Ⅱ）证明：因为PA AD =，E 为线段PD 的中点， 所以AE PD ⊥，…………………6分 因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA CD ⊥，…………………7分 在正方形ABCD 中，CD AD ⊥， 又PA AD A =I ，所以CD ⊥平面PAD ，…………………8分 又AE ⊂平面PAD ，所以CD AE ⊥，…………………9分 又PD CD D =I ，所以AE ⊥平面PCD ，…………………10分（Ⅲ）因为AE ⊥平面PCD ，所以三棱锥A PCE -的体积.13PCE V S AE =⋅V 11112232323PE CD AE =⨯⋅⋅=⨯. …………………12分18.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由已知(8,0)A ，依题意，圆M 的圆周角90ACB ∠=，A BCDPEO所以过A 、B 、C 三点的圆M 即为以AB 为直径的圆.…………………3分 所以，圆M 的圆心为AB 的中点(4,2)-.因为AB =M的半径为5分所以圆M 的方程为22(4)(2)20x y -++=. …………………6分（Ⅱ）因为所求直线与圆M 相交所得弦长为8，由垂径定理，圆M2.…………………7分 易知，直线6x =满足题意.…………………8分 由已知，直线:4AC y x =-，解4,8y x y x =-⎧⎨=-+⎩得点C 的坐标为(6,2)C . …………………9分设斜率存在且满足题意的直线方程为2(6)y k x -=-，即620kx y k --+=. 则圆心(4,2)-到直线620kx y k --+==，……10分2=，解得34k =. …………………11分 所以，所求直线方程为6x =和34100x y --=. …………………12分19.（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：连结11A C .1111A B C D 是正方形，所以1111B D A C ⊥. …………………1分在正方体1111ABCD A B C D -中，1CC ⊥平面1111A B C D ， 所以111CC B D ⊥， …………………2分 又1111CC A C C =I ，所以11B D ⊥平面11A C C ， …………………3分 因为1A F ⊂平面11A C C ，所以11B D ⊥1A F . …………………4分 （Ⅱ）当:1:2AE EB =时，直线1A F ⊥平面11D B E .…5分证明如下：DBC A 1B 1C 1D 1AEF G H过点F 在平面11BCC B 作//FG BC 交1BB 于点G ， 连结1A G ，交1B E 于点H ，因为1:1:2CF FC =，所以1:1:2BG GB =，在11Rt A B G △与1Rt B BE △中，1B G BE =，111A B B B =， 所以111A B G B BE ≅△△，111B A G BB E ∠=∠.又111190B A G A GB ∠+∠=，所以11190BB E A GB ∠+∠=. 所以190B HG ∠=o ，11A G B E ⊥.…………………7分 在正方体1111ABCD A B C D -中，CB ⊥面11ABB A ， 所以FG ⊥面11ABB A ， 所以1FG B E ⊥， 又1A G FG G =I ，所以1B E ⊥面1A FG ，…………………8分 所以1B E ⊥1A F .又11B D ⊥1A F ，1111B D B E B =I ，所以直线1A F ⊥平面11B D E .…………………9分. …………………12分B 卷 [学期综合] 满分50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 1.13 2.1，2.5 3.234.②③. 注：第5题少选得2分，多选、错选不得分.第2题每空2分. 二、解答题：本大题共3小题，共30分. 6.（本小题满分8分） 解：（Ⅰ）1N =. 因为20.02M=，所以100M =． 从而100(23123815)30m =-++++=， 0.30mn M==．…………………4分 （Ⅱ）直方图如下：分数…………………6分（Ⅲ）平均分约为450.02550.04650.12750.38850.30950.1578.6⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．该地区高二年级同学分数在区间(60,90]内的人数约为5000(0.120.380.30)4000⨯++=（人）． …………………8分7.（本小题满分10分）解：（Ⅰ）在△ABC 中，3a =，b 4B π=，sin sin a bA B=.所以sin sin4a A B b π==. …………………2分当A 为锐角时，cos A sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+…………………3分== …………………4分当A 为钝角时，cos A =，sin C =. …………………5分（Ⅱ）△ABC 的面积1sin 244ABC S ac ∆π==，1=. …………① …………………7分 在ABC ∆中，2222cos 4b ac ac π=+-， (9)分所以225a c =+. …………②由①得c =22854a a=+-， 所以42980a a -+=.解得1a =或a =. …………………10分8.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）点M 的坐标为(4,0)-. …………………1分直线CM 的斜率3030(4)4CM k -==--，…………………2分 所以过点M 圆C 的切线斜率43k =-， 所以，过点M 的切线方程为40[(4)]3y x -=---，即43160x y ++=. …………3分 （Ⅱ）已知(5,2)D --，所以直线DF 方程为5x =-.设直线EF 的斜率为k ，则直线EF 方程为()2y k x t =--，即20kx y kt ---=.5=，所以22(25)100t k tk -+=，解得0k =（舍）或21025t k t -=-， …………………5分 所以直线EF 方程为210()225t y x t t -=---. 当5x =-时，210810(5)2525t t y t t t -+=---=--.…………………6分 所以810(5,)5t F t +--， 所以△DEF 的面积18105(5)(5)(2)255DEF t t t S t t t ∆++=⋅+⋅+=--，（5t >）.…………7分 （Ⅲ）解法一（解析法）：设点(,),(,)A A B B A x y B x y ，设直线MA 的方程为：4x my =-. 由224,(3)25x my x y =-⎧⎪⎨+-=⎪⎩得22(1)(86)0m y m y +-+=. 所以28601A m y m ++=+，2861A m y m +=+. …………8分 所以2861B m y m -+=+，…………………9分 所以2161A B m y y m -=+. 又直线MB 的方程为4x my =--，所以4A A x my =-，4B B x my =--，212()1A B A B A B m x x my my m y y m -=+=+=+.…………………11分 所以直线AB 的斜率2216411231A B AB A B m y y m k m x x m -+===-+. 即直线AB 的斜率为定值，其值为43. …………………12分注：其他解法相应给分. 解法二（几何法）：如图，设圆与x 轴的正半轴相交于点M '.由,MA MB 关于x 轴对称可知，AMM BMM ''∠=∠， 所以M '为»AB 的中点，连结CM '，则CM AB '⊥， 因为直线CM '的斜率303044CM k '-==--， 所以43AB k =. 即直线AB 的斜率为定值，其值为43. 附：B 卷5. 略解：因为1sin sin sin 8A B C =， 所以111sin sin sin 888ab bc ca A B C ab bc ca ⋅⋅=⨯⋅⋅； 所以222364a b c S =. 因为12S ≤≤，所以2221864a b c ≤≤，8abc ≤≤所以①不正确.因为22()8a b ab ab a b abc +=+>≥. 所以②正确. 因为1sin sin sin 8A B C =，所以1sin 8C >，所以111sin 282ab C ab >⨯， 所以16ab S <，所以32ab <.所以③正确.。

北京市西城区2017 - 2018学年度第二学期期末考试高一数学试卷北京市西城区2017-2018学年度第二学期期末试卷高一数学2018.7 A卷 [立体几何初步与解析几何初步] 本卷满分：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1.已知点 M(-1,2)，N(3,0)，则点 M 到点 N 的距离为（）。

A) 2 (B) 4 (C) 5 (D) 2√52.直线 x-y-3=0 的倾斜角为（）。

A) 45 (B) 60 (C) 120 (D) 1353.直线 y=2x-2 与直线 l 关于 y 轴对称，则直线 l 的方程为（）。

A) y=-2x+2 (B) y=-2x-2 (C) y=2x+2 (D) y=1/x-14.已知圆 M: x^2+y^2=1 与圆 N: (x-2)^2+y^2=9，则两圆的位置关系是（）。

A) 相交 (B) 相离 (C) 内切 (D) 外切5.设m,n 为两条不重合的直线，α,β 为两个不重合的平面，m,n 既不在α 内，也不在β 内。

则下列结论正确的是（）。

A) 若m//α，n//α，则 m//n。

B) 若 m//n，n//α，则m//α。

C) 若 m⊥α，n⊥α，则 m⊥n。

D) 若 m⊥α，m⊥β，则α⊥β。

6.若方程 x^2+y^2-4x+2y+5k=0 表示圆，则实数 k 的取值范围是（）。

A) (-∞,1) (B) (-∞,1] (C) [1,+∞) (D) R7.圆柱的侧面展开图是一个边长为 2 的正方形，那么这个圆柱的体积是（）。

A) π (B) π/2 (C) 2π (D) π/28.方程 x=1-y^2 表示的图形是（）。

A) 两个半圆 (B) 两个圆 (C) 圆 (D) 半圆9.如图，四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是梯形，XXX。

若平面 PAD 平面 PBC∥l，则（）。

北京市西城区2015 — 2016学年度第一学期期末试卷高一数学2016.1试卷满分：150分考试时间：120分钟A卷[必修模块4] 本卷满分：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. 11. sin45π= _____. 12. 如图所示，D 为ABC △中BC 边的中点，设AB =a ，AC =b ， 则BD =_____.（用a ，b 表示）13. 角α终边上一点的坐标为(1,2)，则tan 2α=_____. 14. 设向量(0,2),a b ==，则,a b 的夹角等于_____. 15. 已知(0,)α∈π，且cos sin8απ=-，则α=_____. 16. 已知函数()sin f x x ω=（其中0ω>）图象过(,1)π-点，且在区间(0,)3π上单调递增，则ω的值为_______.三、解答题：本大题共3小题，共36分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.ABCD17．（本小题满分12分）已知2απ∈π(,)，且3sin 5α=. （Ⅰ）求tan()4απ-的值；（Ⅱ）求sin2cos 1cos 2ααα-+的值．18．（本小题满分12分）如图所示，C B ，两点是函数()sin(2)3f x A x π=+（0>A ）图象上相邻的两个最高点，D 点为函数)(x f 图象与x 轴的一个交点. （Ⅰ）若2=A ，求)(x f 在区间[0,]2π上的值域；（Ⅱ）若CD BD ⊥，求A 的值．19．（本小题满分12分）如图，在ABC △中，1AB AC ==，120BAC ∠=. （Ⅰ）求AB BC ⋅的值；（Ⅱ）设点P 在以A 为圆心，AB 为半径的圆弧BC 上运动，且AP x AB y AC =+，其中,x y ∈R . 求xy 的最大值.ACPB 卷 [学期综合] 本卷满分：50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 把答案填在题中横线上. 1．设U =R ，{|0}A x x =>，{|1}B x x =>，则U A B =ð_____．2．2log =_____，31log 23+=_____．3．已知函数()f x =1,2, 1.x x x x ⎧-⎪⎨⎪<⎩≥1,且()(2)0f a f +=，则实数a = _____．4．已知函数)(x f 是定义在R 上的减函数，如果()(1)f a f x >+在[1,2]x ∈上恒成立，那么实数a 的取值范围是_____．5． 通过实验数据可知，某液体的蒸发速度y (单位：升/小时)与液体所处环境的温度x (单位：℃)近似地满足函数关系e kx b y +=（e 为自然对数的底数，,k b 为常数). 若该液体在0℃的蒸发速度是0.1升/小时，在30℃的蒸发速度为0.8升/小时，则该液体在20℃的蒸发速度为_____升/小时．二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 6．（本小题满分10分）已知函数26()1xf x x =+. （Ⅰ）判断函数)(x f 的奇偶性，并证明你的结论； （Ⅱ）求满足不等式(2)2x x f >的实数x 的取值范围． 7．（本小题满分10分）设a 为实数，函数2()2f x x ax =-．（Ⅰ）当1a =时，求()f x 在区间[0,2]上的值域；（Ⅱ）设函数()()g x f x =，()t a 为()g x 在区间[0,2]上的最大值，求()t a 的最小值. 8．（本小题满分10分）设函数()f x 定义域为[0,1]，若()f x 在*[0,]x 上单调递增，在*[,1]x 上单调递减，则称*x 为函数()f x 的峰点，()f x 为含峰函数．（特别地，若()f x 在[0,1]上单调递增或递减，则峰点为1或0）对于不易直接求出峰点*x 的含峰函数，可通过做试验的方法给出*x 的近似值. 试验原理为：“对任意的1x ，2(0,1)x ∈，12x x <，若)()(21x f x f ≥，则),0(2x 为含峰区间，此时称1x 为近似峰点；若12()()f x f x <，则)1,(1x 为含峰区间，此时称2x 为近似峰点”．我们把近似峰点与*x 之间可能出现．．．．的最大距离称为试验的“预计误差”，记为d ，其值为=d }}1,m ax {},,m ax {m ax {212121x x x x x x ---（其中},max{y x 表示y x ,中较大的数）． （Ⅰ）若411=x ，212=x ．求此试验的预计误差d ． （Ⅱ）如何选取1x 、2x ，才能使这个试验方案的预计误差达到最小？并证明你的结论（只证明1x 的取值即可）．（Ⅲ）选取1x ，2(0,1)x ∈，12x x <，可以确定含峰区间为2(0,)x 或1(,1)x . 在所得的含峰区间内选取3x ，由3x 与1x 或3x 与2x 类似地可以进一步得到一个新的预计误差d '．分别求出当411=x 和125x =时预计误差d '的最小值．（本问只写结果，不必证明）。

北京市西城区2017 —2018学年度第二学期期末试卷高一数学2018.7试卷满分：150分考试时间：120分钟A卷[立体几何初步与解析几何初步] 本卷满分：100分一项是符合要求的.关于y轴对称，则直线的方程为（）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上. 11.已知点(,2)A m -，(3,0)B ，若直线AB 的斜率为12，则m =_____. 12.若直线1:280l ax y +-=与直线2:0l x y -=平行，则a =______.13.已知某三棱柱的三视图如图所示，那么该三棱柱最大侧面的面积为______.14.已知直线y kx k =+过定点，则定点的坐标为______.15.在直三棱柱111ABC A B C -中，D 为1AA 中点，点P 在侧面11BCC B 上运动，当点P 满足 条件_______________时，1//A P 平面BCD . （答案不唯一，填一个满足题意的条件即可）16. 如图，矩形ABCD 中AB 边与x 轴重合，(2,2)C ，(1,2)D -. BC 反射到CD 上，再经CD 反射到AD 上点Q 处. ①若OP 的斜率为12，则点Q 的纵坐标为______； ②若点Q 恰为线段AD 中点，则OP 的斜率为______.A DA ′三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，且2P A A D ==，点E 为线段PD 的中点. （Ⅰ）求证：//PB 平面AEC ； （Ⅱ）求证：AE ⊥平面PCD ； （Ⅲ）求三棱锥A PCE -的体积.18．（本小题满分12分）已知直线:8l y x =-+与x 轴相交于点A ，点B 坐标为(0,4)-，过点B 作直线l 的垂线，交直线l 于点C .记过A 、B 、C 三点的圆为圆M . （Ⅰ）求圆M 的方程；（Ⅱ）求过点C 与圆M 相交所得弦长为8的直线方程.19．（本小题满分12分）如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点E 是棱AB 上的动点，F 是棱1CC 上一点，1:1:2CF FC =. （Ⅰ）求证：111B D A F ⊥；（Ⅱ）若直线1A F ⊥平面11B D E ，试确定点E 的位置，并证明你的结论；（Ⅲ）设点P 在正方体的上底面1111A B C D 上运动，求总能使BP 与1A F 垂直的点P 所形成的轨迹的长度．（直接写出答案）ABCDPEB 卷 [学期综合]本卷满分：50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中横线上. 1．在区间[2,4]-内随机选取一个实数x ，则[1,3]x ∈的概率为_____．2．如图所示，茎叶图记录了甲、乙两组各四名工人1天加工的零件数，且甲、乙两组工人平均每人加工零件的个数相同，则m =_____；甲、乙两组工人加工零件数方差较大的一组的方差为______.3．从1,2,3,4这四个数中一次随机选取两个数，所取两个数之和不小于5的概率为_____． 4．一艘货船以15km /h 的速度向东航行，货船在A 处看到一个灯塔P 在北偏东60方向上，行驶4小时后，货船到达B 处，此时看到灯塔P 在北偏东15方向上，这时船与灯塔的距离为_____km ．5．在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知△ABC 面积S 满足12S ≤≤，且1sin sin sin 8A B C =. 给出下列结论： ①16abc ≥； ②228a b ab +>； ③32ab <； 其中正确结论的序号是_____．（写出所有正确结论的序号）DBCA 1B 1C 1D 1A EF甲0 乙 9 8 1 9 2 1 2 0 0 m二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 6．（本小题满分8分）在某地区高二年级的一次英语口语测试中，随机抽取M 名同学的成绩，数据的分组统计表如下：（Ⅰ）求出表中,,,m n M N 的值；（Ⅱ）根据上表，请在答题纸中给出的坐标系中完整画出频率分布直方图；（Ⅲ）若该地区高二年级学生有5000人，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计这次测试中该地区高二年级学生的平均分数及分数在区间(60,90]内的学生人数．7．（本小题满分10分）在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c.b =4B π=. （Ⅰ）若3a =，求sin A 及sin C 的值； （Ⅱ）若△ABC 的面积等于1，求a 的值．8．（本小题满分12分）已知圆22:(3)25C x y +-=与x 轴的负半轴相交于点M . （Ⅰ）求点M 的坐标及过点M 与圆C 相切的直线方程；（Ⅱ）一般把各边都和圆相切的三角形叫做圆的外切三角形.记圆C 的外切三角形为△DEF ，且(5,2)D --，(,2)(5)E t t ->.试用t 表示△DEF 的面积；（Ⅲ）过点M 作,MA MB 分别与圆相交于点,A B ，且直线,MA MB 关于x 轴对称，试问直线AB 的斜率是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由.北京市西城区2017— 2018学年度第二学期期末试卷高一数学参考答案及评分标准2018.7 A 卷[立体几何初步与解析几何初步] 满分100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1.C2.A3. B4.C5.B6. A7. A8.D9.D 10.C.PC′B ′A′PC ′ B ′A ′P二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 11.1-12.2-13.14. (1,0)-15.P 是1CC 中点，等16.33,25注：第16题每空两分.三、解答题：本大题共3小题，共36分. 17.（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：连结BD ，交AC 于点O ，连结OE . 因为O 是正方形ABCD 对角线交点，所以O 为BD 中点， 由已知E 为线段PD 的中点，所以//PB OE .…………………2分 又OE ⊂平面ACE ，PB ⊄平面ACE ， 所以//PB 平面ACE .…………………5分（Ⅱ）证明：因为PA AD =，E 为线段PD 的中点， 所以AE PD ⊥，…………………6分 因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA CD ⊥，…………………7分 在正方形ABCD 中，CD AD ⊥， 又PA AD A =I ，所以CD ⊥平面PAD ，…………………8分 又AE ⊂平面PAD ，所以CD AE ⊥，…………………9分 又PD CD D =I ，所以AE ⊥平面PCD ，…………………10分（Ⅲ）因为AE ⊥平面PCD ，所以三棱锥A PCE -的体积.13PCE V S AE =⋅V 11112232323PE CD AE =⨯⋅⋅=⨯. …………………12分18.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由已知(8,0)A ，依题意，圆M 的圆周角90ACB ∠=，A BCDPEO所以过A 、B 、C 三点的圆M 即为以AB 为直径的圆.…………………3分 所以，圆M 的圆心为AB 的中点(4,2)-.因为AB =M的半径为5分所以圆M 的方程为22(4)(2)20x y -++=. …………………6分 （Ⅱ）因为所求直线与圆M 相交所得弦长为8，由垂径定理，圆M2.…………………7分 易知，直线6x =满足题意.…………………8分 由已知，直线:4AC y x =-，解4,8y x y x =-⎧⎨=-+⎩得点C 的坐标为(6,2)C . …………………9分 设斜率存在且满足题意的直线方程为2(6)y k x -=-，即620kx y k --+=. 则圆心(4,2)-到直线620kx y k --+==，……10分2=，解得34k =. …………………11分 所以，所求直线方程为6x =和34100x y --=. …………………12分19.（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：连结11A C .1111A B C D 是正方形，所以1111B D A C ⊥. …………………1分在正方体1111ABCD A B C D -中，1CC ⊥平面1111A B C D ， 所以111CC B D ⊥， …………………2分 又1111CC A C C =I ，所以11B D ⊥平面11A C C ， …………………3分 因为1A F ⊂平面11A C C ，所以11B D ⊥1A F . …………………4分 （Ⅱ）当:1:2AE EB =时，直线1A F ⊥平面11D B E .…5分证明如下：过点F 在平面11BCC B 作//FG BC 交1BB 于点G ， 连结1A G ，交1B E 于点H ，DBC A 1B 1C 1D 1AEF G H因为1:1:2CF FC =，所以1:1:2BG GB =，在11Rt A B G △与1Rt B BE △中，1B G BE =，111A B B B =， 所以111A B G B BE ≅△△，111B A G BB E ∠=∠.又111190B A G A GB ∠+∠=，所以11190BB E A GB ∠+∠=. 所以190B HG ∠=o ，11A G B E ⊥.…………………7分 在正方体1111ABCD A B C D -中，CB ⊥面11ABB A ， 所以FG ⊥面11ABB A ， 所以1FG B E ⊥， 又1A G FG G =I ，所以1B E ⊥面1A FG ，…………………8分 所以1B E ⊥1A F .又11B D ⊥1A F ，1111B D B E B =I ，所以直线1A F ⊥平面11B D E .…………………9分. …………………12分B 卷 [学期综合] 满分50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 1.13 2.1，2.5 3.234.②③. 注：第5题少选得2分，多选、错选不得分.第2题每空2分. 二、解答题：本大题共3小题，共30分. 6.（本小题满分8分） 解：（Ⅰ）1N =. 因为20.02M=，所以100M =． 从而100(23123815)30m =-++++=， 0.30mn M==．…………………4分 （Ⅱ）直方图如下：分数…………………6分（Ⅲ）平均分约为450.02550.04650.12750.38850.30950.1578.6⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．该地区高二年级同学分数在区间(60,90]内的人数约为5000(0.120.380.30)4000⨯++=（人）． …………………8分7.（本小题满分10分）解：（Ⅰ）在△ABC 中，3a =，b 4B π=，sin sin a bA B=.所以sin sin4a A B b π==. …………………2分当A 为锐角时，cos A =sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+…………………3分=…………………4分当A 为钝角时，cos A =，sin C =. …………………5分（Ⅱ）△ABC 的面积1sin 24ABC S ac ∆π==，1=. …………① …………………7分 在ABC ∆中，2222cos4b ac ac π=+-， …………………9分所以225a c =+. …………②由①得c =22854a a=+-， 所以42980a a -+=.解得1a =或a =. …………………10分8.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）点M 的坐标为(4,0)-. …………………1分直线CM 的斜率3030(4)4CM k -==--，…………………2分 所以过点M 圆C 的切线斜率43k =-， 所以，过点M 的切线方程为40[(4)]3y x -=---，即43160x y ++=. …………3分 （Ⅱ）已知(5,2)D --，所以直线DF 方程为5x =-.设直线EF 的斜率为k ，则直线EF 方程为()2y k x t =--，即20kx y kt ---=.5=，所以22(25)100t k tk -+=，解得0k =（舍）或21025t k t -=-， …………………5分 所以直线EF 方程为210()225t y x t t -=---. 当5x =-时，210810(5)2525t t y t t t -+=---=--.…………………6分 所以810(5,)5t F t +--， 所以△DEF 的面积18105(5)(5)(2)255DEF t t t S t t t ∆++=⋅+⋅+=--，（5t >）.…………7分 （Ⅲ）解法一（解析法）：设点(,),(,)A A B B A x y B x y ，设直线MA 的方程为：4x my =-. 由224,(3)25x my x y =-⎧⎪⎨+-=⎪⎩得22(1)(86)0m y m y +-+=. 所以28601A m y m ++=+，2861A m y m +=+. …………8分 所以2861B m y m -+=+，…………………9分 所以2161A B m y y m -=+. 又直线MB 的方程为4x my =--，所以4A A x my =-，4B B x my =--，212()1A B A B A B m x x my my m y y m -=+=+=+.…………………11分所以直线AB 的斜率2216411231A B AB A B m y y m k m x x m -+===-+. 即直线AB 的斜率为定值，其值为43. …………………12分 注：其他解法相应给分.解法二（几何法）：如图，设圆与x 轴的正半轴相交于点M '.由,MA MB 关于x 轴对称可知，AMM BMM ''∠=∠， 所以M '为»AB 的中点，连结CM '，则CM AB '⊥， 因为直线CM '的斜率303044CM k '-==--， 所以43AB k =. 即直线AB 的斜率为定值，其值为43. 附：B 卷5. 略解：因为1sin sin sin 8A B C =， 所以111sin sin sin 888ab bc ca A B C ab bc ca ⋅⋅=⨯⋅⋅； 所以222364a b c S =. 因为12S ≤≤，所以2221864a b c ≤≤，8abc ≤≤所以①不正确.因为22()8a b ab ab a b abc +=+>≥. 所以②正确. 因为1sin sin sin 8A B C =，所以1sin 8C >，所以111sin 282ab C ab >⨯， 所以16ab S <，所以32ab <.所以③正确.。

北京市西城区2015 — 2016学年度第二学期期末试卷高一数学参考答案及评分标准2016.7一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1.C ；2.D ；3. C ；4.B ；5. C ；6. C ；7. B ；8. A ；9.B ； 10. C . 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.11. {01}x x <<； 12. 92,2.8； 13.5,10；14. 15.710； 16.115123，.注：一题两空的题目，第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 17.（本小题满分13分）解:（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d .因为3547+=+a a a ,所以112637+=++a d a d . ……………3分 因为11a =,所以36d =,即2=d , ……………5分 所以1(1)21=+-=-n a a n d n . ……………6分 （Ⅱ）因为11=a ,21=-n a n ,所以212nn a a S n n +==, ……………8分 由不等式 32<-n n S a ，得 23(21)2n n <--, ……………10分 所以2650-+<n n ,解得15n <<, ……………12分 因为*n ∈N ,所以n 的值为2,3,4. ……………13分 18.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）在ABC ∆中，sin sin a cA C=， ……………3分 所以sin sin aA C c=，所以62sin sin 143A π==……………5分（Ⅱ）因为1sin 2ABC S ab C ∆=, ……………7分所以1622b =⨯⨯， 解得2b =. ……………9分 又因为2222cos c a b ab C =+-， ……………11分 所以21436226()522c =+-⨯⨯⨯-=，所以c =. ……………13分19.（本小题满分13分）解:（Ⅰ）由题可知,第2组的频数为0.3510035⨯=人， ……………2分第3组的频率为300.300100=. ……………4分 所以①处的数据为35,②处的数据为0.300. ……………5分 （Ⅱ）因为第3,4,5组共有60名学生,所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生,每组学生人数分别为:第3组:306360⨯=人；第4组:206260⨯=人；第5组:106160⨯=人. 所以第3,4,5组分别抽取3人,2人,1人. ……………8分（注：第（Ⅰ）（Ⅱ）问仅写出正确答案，没有过程，各扣掉1分）（Ⅲ）设第3组3位同学为1A ,2A ,3A ,第4组2位同学为1B ,2B ,第5组1位同学为1C ,则从6位同学中抽两位同学的情况分别为:12(,)A A ,13(,)A A ,11(,)A B ,12(,)A B ,11(,)A C ,23(,)A A ,21(,)A B ,22(,)A B , 21(,)A C ,31(,)A B ,32(,)A B ,31(,)A C ,12(,)B B ,11(,)B C ,21(,)B C .共有15种可能 . ……………10分 其中第4组的两位同学至少有一位同学被选中的情况分别为:11(,)A B ,12(,)A B ,21(,)A B ,22(,)A B ,31(,)A B ,32(,)A B ,11(,)B C ,21(,)B C , 12(,)B B .共有9种可能. ……………12分 所以，第4组中至少有一名学生被抽中的概率为93155=. 答：第4组中至少有一名学生被抽中的概率为35. ……………13分解：（Ⅰ）当1=m 时，函数2()24f x x x =--在(2,1)-上是减函数，在(1,2)上是增函数. ……………2分 又(2)4f -=，(1)5f =-，(2)4f =-，所以，()f x 在区间[2,2]-上的最大值和最小值分别为4和5-. ……………4分 （Ⅱ）不等式()1f x >-，即2(13)30mx m x +-->，当0=m 时，解得3x >. ……………5分当0m ≠时，(3)(1)0x mx -+=的两根为3和1m-， ……………6分 当0>m 时， 13m -<，不等式的解集为1{3}x x x m <->或. ……………7分 当0<m 时，1313()m m m+--=，所以，当13m <-时，13m-<，不等式的解集为1{3}x x m -<<.……………8分当13m =-时，不等式的解集为∅. ……………9分 当103m -<<时，13m<-，不等式的解集为1{3}x x m <<-. ……10分综上，当0>m 时，解集为1{3}x x x m<->或；当0=m 时，解集为{3}x x >；当103m -<<时，解集为1{3}x x m <<-；当13m =-时，解集为∅；当13m <-时，解集为1{3}x x m-<<. （Ⅲ）因为0m <，所以2()(13)4f x mx m x =+--是开口向下的抛物线.抛物线的对称轴为13311222m x m m-=-=->， ……………11分 若存在0(1,)x ∈+∞，使得0()0>f x ，则2(13)160m m -+>， ……………12分 即291010m m ++>，解得1m <-或109m -<<. 综上，m 的取值范围是1(, 1 )(,0)9-∞--． ……………13分解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d .由55S =，可得155()52a a +=， ……………1分 由347,,a a a 成等比数列，可得2111(3)(2)(6)a d a d a d +=++， ……………2分所以12121,230,a d a d d +=⎧⎨+=⎩解得11,0,a d =⎧⎨=⎩（舍）或13,2.a d =-⎧⎨=⎩……………3分所以数列{}n a 的通项公式为25n a n =-. ……………4分（Ⅱ）解250n -<可得52n <，所以数列{}n a 中10a <，20a <，其余各项均大于零. ……………6分所以12100123100a a a a a a a +++=--+++L L……………7分12310098()2a a a a =--++ 9831(1195)96082=+++=. ……………9分 （Ⅲ）设2522n n n na n c -==， 11252(1)592222n n n n nn n nc c -------=-=， ……………10分令10n n c c -->，得92n <. 所以1234456,c c c c c c c <<<>>>L ……………11分又由252n nn c -=，知10c <，20c <，其余各项均大于零. ……………12分 在(1)n n n t c =-中，10t >，20m t >（*2,m m ≥∈N ），且468t t t >>>L ……13分计算得146337,,21664t t t ===， 所以，λ的取值范围是73{,}6416λλλ≤<∈R . ……………14分 22.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为12n n S a a =-，*n ∈N ，所以，1112n n S a a --=-，所以，当2n ≥时，1111(2)(2)n n n n S S a a a a ---=---， ……………2分 整理得12n n a a -=， 又0n a >，所以12nn a a -=，数列{}n a 是公比为2的等比数列， ……………3分 所以数列{}n a 的通项公式12n n a -=. ……………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，{}n a 是公比为2的等比数列，设其首项为1a .①若5m a 为,p q a a 的等差中项，则25⨯=+m p q a a a ， ……………5分 所以11111125222---⨯=+m p q a a a ，所以11225p m q m ----+=，又m p q <<，*,,m p q ∈N ，所以1121,24p m q m ----==，所以1,3=+=+p m q m . ……………7分②若p a 为5,m q a a 的等差中项，则25=+p m q a a a ， 所以11111122522---=+p m q a a a ，所以112522--=⨯+p m q ，所以1225-+--=p m q m ，等式左边为偶数，右边为奇数，等式不成立. ……………8分 ③若q a 为5,m p a a 的等差中项，则25=+q m p a a a ，同理也不成立. 综上，1,3=+=+p m q m . ……………9分（Ⅲ）由112-=⋅n n a a ，得112-==⋅n n n t r a .所以100100=t r 或100100=-t r ， ……………10分 若100100=-t r ，不妨设1001000,0t r ><，则298991001299100111112222T t t t t a a a a a =++++≥--⋅-⋅--⋅+⋅L L9929899991111112(1222)2212a a a a a -=-+++++⋅=-⨯+⋅=-L . ……11分则298991001299100111112222R r r r r a a a a a =++++≤+⋅+⋅++⋅-⋅L L9929899991111112(1222)2212a a a a a -=++++-⋅=⨯-⋅=--L . ……12分由已知10a >，所以100100<R T ，与已知不符，所以100100=t r . ……………13分 所以9999=R T ，同上可得9999=t r . 如此下去，9898=t r ，…，11=t r .即对于任意的正整数(1100)≤≤k k ，均有=k k t r . ……………14分。

北京市西城区2016—2017学年度第二学期期末试卷高二数学（理科）2017.7试卷满分：150分考试时间：120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9. 曲线1y x=在2x =处切线的斜率为______. 10. 4)12(xx -展开式中的常数项是_______.（用数字作答） 11. 离散型随机变量ξ的分布列为且=ξE 1_________；2 _________.12. 某班举行的联欢会由5个节目组成，节目演出顺序要求如下 节目甲不能排在第一个，并且节目甲必须和节目乙相邻，则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有_____种．13. 若函数32()f x ax ax x =-+在区间(1,0)-上恰有一个极值点，则a 的取值范围是_____．14. 已知，对于任意x ∈R ，e x ax b ≥+均成立.①若e a =，则b 的最大值为__________；②在所有符合题意的b a ,中，a b -的最小值为_________．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分）在数列{}n a 中，11=a ，121++=+n n a nn a ，其中1,2,3,n =.(Ⅰ) 计算2a ，3a ，4a ，5a 的值；(Ⅱ) 根据计算结果，猜想{}n a 的通项公式，并用数学归纳法加以证明.16．（本小题满分13分）甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为21与p ，且乙投球2次均未命中的概率为161. (Ⅰ)求甲投球2次，至少命中1次的概率；(Ⅱ)若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中3次的概率.17．（本小题满分13分）已知函数32()3f x x ax =+.(Ⅰ) 若1-=a ，求)(x f 的极值点和极值； (Ⅱ) 求)(x f 在[0,2]上的最大值.18．（本小题满分13分）一个袋中装有黑球，白球和红球共n (*n ∈N )个,这些球除颜色外完全相同. 已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是52. 现从袋中任意摸出2个球. (Ⅰ) 用含n 的代数式表示摸出的2球都是黑球的概率，并写出概率最小时n 的值.（直接写出n 的值）(Ⅱ) 若15=n ，且摸出的2个球中至少有1个白球的概率是74，设X 表示摸出的2个球中红球的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望.19．（本小题满分14分）已知函数2()f x ax bx =+和x x g ln )(=.(Ⅰ) 若1==b a ，求证：()f x 的图象在()g x 图象的上方；(Ⅱ) 若()f x 和()g x 的图象有公共点P ，且在点P 处的切线相同，求a 的取值范围.20．（本小题满分14分）已知函数()(1)e xf x x =-.（Ⅰ）求()f x 的单调区间； （Ⅱ）证明：当0>a时，方程()f x a =在区间(1,)+∞上只有一个解；（Ⅲ）设()()ln(1)h x f x a x ax =---，其中0>a .若()0h x ≥恒成立，求a 的取值范围.北京市西城区2016 — 2017学年度第二学期期末试卷高二数学（理科）参考答案及评分标准2017.7一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. A ；2.D ；3. C ；4. B ；5. C ；6. D ；7. C ；8. B . 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 41-； 10. 24； 11. ,4211； 12. 42； 13. 1(,)5-∞-； 14. 0；1e-.注：一题两空的题目，第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 15.（本小题满分13分）解： (Ⅰ) 根据已知，24a =；99a =；416a =；525a =. …………… 4分 (Ⅱ)猜想2n a n =. (6)分证明：① 当1=n 时，由已知11=a ；由猜想，2111a ==，猜想成立. …………… 8分②假设当k n =（k ∈*N ）时猜想成立，即2k a k =， (10)分则1+=k n 时， 221)1(1212+=+⨯+=++=+k k kk a k k a k k . 所以，当1n k =+时，猜想也成立. ……………12分由①和②可知，2n a n =对任意的*n ∈N 都成立. (13)分16.（本小题满分13分）解：(Ⅰ)设“甲投球一次命中”为事件A ，则11(),()22P A P A ==. …………… 2分故甲投球2次至少命中1 次的概率为31()1()()4P A A P A P A -⋅=-=. …………5分 (Ⅱ) 设“乙投球一次命中”为事件B . 由题意得1()(1)(1)16P B B p p ⋅=--=， ……………7分 解得43=p 或45(舍去)， 所以31(),()44P B P B ==. ……………8分甲、乙两人各投球2次共命中3次有两种情况：甲中两次，乙中一次；甲中一次，乙中两次. ……………9分甲中两次，乙中一次的概率为1211313()()()()2224432P A P A C P B P B =⨯⨯⨯⨯=.…11分 甲中一次，乙中两次的概率为1211339()()()()2224432C P A P A P B P B =⨯⨯⨯⨯=.…12分事件“甲中两次，乙中一次”与“甲中一次，乙中两次”是互斥的，所以，所求事件概率为93332328+=.所以甲、乙两人各投2次，共命中3次的概率为38. ……………13分 17.（本小题满分13分）解：(Ⅰ) 当1-=a 时，32()3f x x x =-，2()36f x x x '=-. ……………2分令2()360f x x x '=-=，得0x =或2x =.()f x '与()f x 在R 上的情况如下： (4)分所以，函数)(x f 的极大值点为0x =，极大值为0；极小值点为2x =，极小值为4-. (6)分(Ⅱ) 2()363(2)f x x ax x x a '=+=+. ……………7分①当0a =时，()0f x '≥（仅当0x =时，()0f x '=），函数)(x f 是增函数，)(x f 在[0,2]上的最大值为(2)8128f a =+=. (8)分②当0a >时，在区间(0,)+∞上()0f x '>，函数)(x f 是增函数.)(x f 在[0,2]上的最大值为(2)812f a =+. (10)分③当0a <时，()f x '与()f x 在区间(0,)+∞上的情况如下： (11)分此时，(0)0f =，(2)812f a =+. 当8120a +>，即203a -<<时，)(x f 在[0,2]上的最大值为(2)812f a =+. 12分当8120a +≤，即23a ≤-时，)(x f 在[0,2]上的最大值为(0)0f =. ………13分综上，当23a ≤-时，)(x f 在[0,2]上的最大值为0；当23a >-时，)(x f 在[0,2]上的最大值为812a +. 18.（本小题满分13分） 解：(Ⅰ) 依题意有n 52个黑球. 记“摸出的2球都是黑球”为事件A ， 则225222(1)41055()(1)2525n n C n n n P A C n n n --===--. ……………4分()P A 最小时5=n . (5)分(Ⅱ) 依题意有21565⨯=个黑球. ……………6分设袋中白球的个数为x (个)，记“从袋中任意摸出两个球至少得到一个白球”为事件B ，则2152154()17xC P B C -=-=，整理得2291200x x -+=，解得5x =或24x =（舍）. ……………8分所以袋中红球的个数为4(个).随机变量X 的取值为0,1,2. ……………9分21121511(0)21C P X C ===；1141121544(1)105C C P X C ===；242152(2)35C P X C ===. X 的分布列为：…………12分数学期望114428012211053515EX =⨯+⨯+⨯=. ……………13分19.（本小题满分14分）解：(Ⅰ) 当1==b a 时，2()f x x x =+.设2()ln h x x x x =+-，0x >. ……………1分则2121(21)(1)()21x x x x h x x x x x+--+'=+-==， (2)分所以，在区间1(0,)2上()0h x '<，()h x 是减函数；在区间1(,)2+∞上()0h x '>，()h x 是增函数. ……………4分所以，()h x 的最小值为1()2h =31ln 42-，又31ln 042->，所以()0h x >恒成立. 即()f x 的图象在()g x 图象的上方. ……………5分(Ⅱ) 设00(,)P x y ，其中00x >.由已知()2f x ax b '=+，1()g x x'=. 因为在点P 处的切线相同， 所以2000000012,,ln ax b y ax bx y x x +==+=. ……………7分消去0,b y 得200ln 10ax x +-=.根据题意，方程200ln 10ax x +-=有解. (8)分设2()ln 1F x ax x =+-，则()F x 在(0,)+∞上有零点. 2121()2ax F x ax x x+'=+=， 当0a ≥时，()0F x '>，函数()F x 在(0,)+∞上单调递增.当1a ≥时，(1)10F a =-≥，110F =+=≤，()F x 有零点.当01a ≤<时，(1)10F a =-≤，22(e )e 10F a =+>，()F x 有零点. …11分当0a <时，令()0F x '=，解得x =. ()F x '与()F x 在区间(0,)+∞上的情况如下：此时(1)10F a =-<.所以()F x 有零点. ……………13分综上，所求a 的取值范围为31[,)2e-+∞. ……………14分20.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知()e (1)e e x x x f x x x '=+-=. ……………2分所以，在区间(,0)-∞上()0f x '<，函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，在区间(0,)+∞上()0f x '>，函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增. (4)（Ⅱ）设()()(1)e xg x f x a x a =-=--，0a >. ……………5分()e x g x x '=，由（Ⅰ）知，函数()g x 在区间(0,)+∞上单调递增.且(1)0g a =-<，11(1)e (e 1)0a a g a a a a +++=-=->.所以，()g x 在区间(1,)+∞上只有一个零点，方程()f x a =在区间(1,)+∞上只有一个解. ……………8分（Ⅲ）设()()ln(1)h x f x a x ax =---，0>a ，()h x 定义域为}1|{>x x ，()e (e )[(1)e ]111x x x a a x h x x a x x a x x x '=--=-=-----， ……………9分 令()0h x '=，则(1)e 0xx a --=，由（Ⅱ）知，()(1)e xg x x a =--在区间(1,)+∞上只有一个零点，是增函数， 不妨设()g x 的零点为0x ，则00(1)e 0xx a --=， ……………11分所以，()h x '与()h x 在区间(0,)+∞上的情况如下：0，00000()(1)e ln(1)x h x x a x ax =----，由00(1)e 0x x a --=，得001e x a x -=， 所以00000()e ln ln e ex x x a a h x a ax a a a =⋅--=-. ……………13分依题意0()0h x ≥，即ln 0a a a -≥，解得0e a <≤，所以，a 的取值范围为(0,e]. (14)。

北京市西城区2017—2018学年度第二学期期末试卷高一数学2018.7试卷满分：150分考试时间：120分钟A卷[立体几何初步与解析几何初步] 本卷满分：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上. 11.已知点(,2)A m -，(3,0)B ，若直线AB 的斜率为12，则m =_____. 12.若直线1:280l ax y +-=与直线2:0l x y -=平行，则a =______.13.已知某三棱柱的三视图如图所示，那么该三棱柱最大侧面的面积为______.14.已知直线y kx k =+过定点，则定点的坐标为______.15.在直三棱柱111ABC A B C -中，D 为1AA 中点，点P 在侧面11BCC B 上运动，当点P 满足 条件_______________时，1//A P 平面BCD . （答案不唯一，填一个满足题意的条件即可）16. 如图，矩形ABCD 中AB 边与x 轴重合，(2,2)C ，(1,2)D -BC 反射到CD 上，再经CD 反射到AD 上点Q 处.①若OP 的斜率为12，则点Q 的纵坐标为______；②若点Q 恰为线段AD 中点，则OP 的斜率为______.C ′B ′A ′D′C 1′A 1′B 1′三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，且2PA AD ==，点E 为线段PD 的中点. （Ⅰ）求证：//PB 平面AEC ； （Ⅱ）求证：AE ⊥平面PCD ； （Ⅲ）求三棱锥A PCE -的体积.18．（本小题满分12分）已知直线:8l y x =-+与x 轴相交于点A ，点B 坐标为(0,4)-，过点B 作直线l 的垂线，交直线l 于点C .记过A 、B 、C 三点的圆为圆M . （Ⅰ）求圆M 的方程；（Ⅱ）求过点C 与圆M 相交所得弦长为8的直线方程.19．（本小题满分12分）如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点E 是棱AB 上的动点，F 是棱1CC 上一点，1:1:2CF FC =. （Ⅰ）求证：111B D A F ⊥；（Ⅱ）若直线1A F ⊥平面11B D E ，试确定点E 的位置，并证明你的结论；（Ⅲ）设点P 在正方体的上底面1111A B C D 上运动，求总能使BP 与1A F 垂直的点P 所形成的轨迹的长度．（直接写出答案）D BCA 1B 1C 1D 1AEFA BCDPEB 卷 [学期综合]本卷满分：50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中横线上. 1．在区间[2,4]-内随机选取一个实数x ，则[1,3]x ∈的概率为_____．2．如图所示，茎叶图记录了甲、乙两组各四名工人1天加工的零件数，且甲、乙两组工人平均每人加工零件的个数相同，则m =_____；甲、乙两组工人加工零件数方差较大的一组的方差为______.3．从1,2,3,4这四个数中一次随机选取两个数，所取两个数之和不小于5的概率为_____． 4．一艘货船以15km /h 的速度向东航行，货船在A 处看到一个灯塔P 在北偏东60o 方向上，行驶4小时后，货船到达B 处，此时看到灯塔P 在北偏东15o 方向上，这时船与灯塔的距离为_____km ．5．在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知△ABC 面积S 满足12S ≤≤，且1sin sin sin 8A B C =. 给出下列结论：①16abc ≥； ②228a b ab +>； ③32ab <； 其中正确结论的序号是_____．（写出所有正确结论的序号）二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 6．（本小题满分8分）在某地区高二年级的一次英语口语测试中，随机抽取M 名同学的成绩，数据的分组统计表如下：（Ⅰ）求出表中,,,m n M N 的值；（Ⅱ）根据上表，请在答题纸中给出的坐标系中完整画出频率分布直方图；（Ⅲ）若该地区高二年级学生有5000人，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计这次测试中该地区高二年级学生的平均分数及分数在区间(60,90]内的学生人数．甲乙9 8 1 92 1 2 0 0 m7．（本小题满分10分）在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c.b =4B π=. （Ⅰ）若3a =，求sin A 及sin C 的值； （Ⅱ）若△ABC 的面积等于1，求a 的值．8．（本小题满分12分）已知圆22:(3)25C x y +-=与x 轴的负半轴相交于点M . （Ⅰ）求点M 的坐标及过点M 与圆C 相切的直线方程；（Ⅱ）一般把各边都和圆相切的三角形叫做圆的外切三角形.记圆C 的外切三角形为△DEF ，且(5,2)D --，(,2)(5)E t t ->.试用t 表示△DEF 的面积；（Ⅲ）过点M 作,MA MB 分别与圆相交于点,A B ，且直线,MA MB 关于x 轴对称，试问直线AB 的斜率是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由.北京市西城区2017— 2018学年度第二学期期末试卷高一数学参考答案及评分标准2018.7A 卷[立体几何初步与解析几何初步] 满分100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1.C2.A3. B4.C5.B6. A7. A8.D9.D 10.C.二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 11.1-12.2-14. (1,0)-15.P 是1CC 中点，等16.33,25注：第16题每空两分.三、解答题：本大题共3小题，共36分. 17.（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：连结BD ，交AC 于点O ，连结OE .因为O 是正方形ABCD 对角线交点，所以O 为BD 中点， 由已知E 为线段PD 的中点， 所以//PB OE .…………………2分 又OE ⊂平面ACE ，PB ⊄平面ACE ，所以//PB 平面ACE .…………………5分 （Ⅱ）证明：因为PA AD =，E 为线段PD 的中点，所以AE PD ⊥，…………………6分 因为PA ⊥平面ABCD ， 所以PA CD ⊥，…………………7分 在正方形ABCD 中，CD AD ⊥， 又PA AD A =I ，所以CD ⊥平面PAD ，…………………8分又AE ⊂平面PAD ，所以CD AE ⊥，…………………9分 又PD CD D =I ，所以AE ⊥平面PCD ，…………………10分（Ⅲ）因为AE ⊥平面PCD ，所以三棱锥A PCE -的体积.13PCE V S AE =⋅V 11112232323PE CD AE =⨯⋅⋅=⨯=. …………………12分18.（本小题满分12分）ABCDPEO解：（Ⅰ）由已知(8,0)A ，依题意，圆M 的圆周角90ACB ∠=o ，所以过A 、B 、C 三点的圆M 即为以AB 为直径的圆.…………………3分 所以，圆M 的圆心为AB 的中点(4,2)-.因为AB ==M的半径为5分所以圆M 的方程为22(4)(2)20x y -++=. …………………6分（Ⅱ）因为所求直线与圆M 相交所得弦长为8，由垂径定理，圆M2=.…………………7分 易知，直线6x =满足题意.…………………8分 由已知，直线:4AC y x =-，解4,8y x y x =-⎧⎨=-+⎩得点C 的坐标为(6,2)C . …………………9分设斜率存在且满足题意的直线方程为2(6)y k x -=-，即620kx y k --+=. 则圆心(4,2)-到直线620kx y k --+==10分2=，解得34k =. …………………11分 所以，所求直线方程为6x =和34100x y --=. …………………12分19.（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：连结11A C .1111A B C D 是正方形，所以1111B D A C ⊥. …………………1分在正方体1111ABCD A B C D -中，1CC ⊥平面1111A B C D ， 所以111CC B D ⊥， …………………2分 又1111CC A C C =I ，所以11B D ⊥平面11A C C ， …………………3分 因为1A F ⊂平面11A C C ，所以11B D ⊥1A F . …………………4分 （Ⅱ）当:1:2AE EB =时，直线1A F ⊥平面11D B E .…5分证明如下：过点F 在平面11BCC B 作//FG BC 交1BB 于点G ， 连结1A G ，交1B E 于点H ，因为1:1:2CF FC =，所以1:1:2BG GB =，在11Rt A B G △与1Rt B BE △中，1B G BE =，111A B B B =，D BC A 1B 1C 1D 1AEF G H所以111A B G B BE ≅△△，111B A G BB E ∠=∠.又111190B A G A GB ∠+∠=o ，所以11190BB E A GB ∠+∠=o . 所以190B HG ∠=o ，11A G B E ⊥.…………………7分 在正方体1111ABCD A B C D -中，CB ⊥面11ABB A ， 所以FG ⊥面11ABB A ， 所以1FG B E ⊥， 又1A G FG G =I ，所以1B E ⊥面1A FG ，…………………8分 所以1B E ⊥1A F .又11B D ⊥1A F ，1111B D B E B =I ，所以直线1A F ⊥平面11B D E .…………………9分. …………………12分B 卷 [学期综合] 满分50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 1.13 2.1，2.5 3.234.②③. 注：第5题少选得2分，多选、错选不得分.第2题每空2分. 二、解答题：本大题共3小题，共30分. 6.（本小题满分8分） 解：（Ⅰ）1N =. 因为20.02M=，所以100M =． 从而100(23123815)30m =-++++=， 0.30mn M==．…………………4分 （Ⅱ）直方图如下：…………………6分（Ⅲ）平均分约为450.02550.04650.12750.38850.30950.1578.6⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．该地区高二年级同学分数在区间(60,90]内的人数约为5000(0.120.380.30)4000⨯++=（人）． …………………8分7.（本小题满分10分）解：（Ⅰ）在△ABC 中，3a =，b =4B π=，sin sin a b A B=.所以sin sin4a A B b π===. …………………2分当A 为锐角时，cos A =sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+…………………3分=…………………4分当A 为钝角时，cos A =，sin C =. …………………5分（Ⅱ）△ABC 的面积1sin 24ABC S ac ∆π=，1=. …………① …………………7分在ABC ∆中，2222cos 4b ac ac π=+-， …………………9分所以225a c =+. …………②由①得c a =，代入②得 22854a a=+-，所以42980a a -+=.解得1a =或a =. …………………10分8.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）点M 的坐标为(4,0)-. …………………1分直线CM 的斜率3030(4)4CM k -==--，…………………2分所以过点M 圆C 的切线斜率43k =-，所以，过点M 的切线方程为40[(4)]3y x -=---，即43160x y ++=. …………3分（Ⅱ）已知(5,2)D --，所以直线DF 方程为5x =-.设直线EF 的斜率为k ，则直线EF 方程为()2y k x t =--，即20kx y kt ---=.5=，所以22(25)100t k tk -+=，解得0k =（舍）或21025tk t -=-， …………………5分 所以直线EF 方程为210()225ty x t t -=---.当5x =-时，210810(5)2525t t y t t t -+=---=--.…………………6分 所以810(5,)5t F t +--，所以△DEF 的面积18105(5)(5)(2)255DEF t t t S t t t ∆++=⋅+⋅+=--，（5t >）.…………7分 （Ⅲ）解法一（解析法）：设点(,),(,)A A B B A x y B x y ，设直线MA 的方程为：4x my =-. 由224,(3)25x my x y =-⎧⎪⎨+-=⎪⎩得22(1)(86)0m y m y +-+=. 所以28601A m y m ++=+，2861A m y m +=+. …………8分 所以2861B m y m -+=+，…………………9分所以2161A B my y m -=+.又直线MB 的方程为4x my =--，所以4A A x my =-，4B B x my =--， 212()1A B A B A B mx x my my m y y m -=+=+=+.…………………11分所以直线AB 的斜率2216411231A B ABA B my y m k m x x m -+===-+.即直线AB 的斜率为定值，其值为43. …………………12分注：其他解法相应给分. 解法二（几何法）：如图，设圆与x 轴的正半轴相交于点M '.由,MA MB 关于x 轴对称可知，AMM BMM ''∠=∠，所以M '为»AB 的中点，连结CM '，则CM AB '⊥， 因为直线CM '的斜率303044CM k '-==--， 所以43AB k =.即直线AB 的斜率为定值，其值为43. 附：B 卷5. 略解：因为1sin sin sin 8A B C =， 所以111sin sin sin 888ab bc ca A B C ab bc ca ⋅⋅=⨯⋅⋅；所以222364a b c S =.因为12S ≤≤，所以2221864a b c ≤≤，8abc ≤≤所以①不正确.因为22()8a b ab ab a b abc +=+>≥. 所以②正确. 因为1sin sin sin 8A B C =，所以1sin 8C >，所以111sin 282ab C ab >⨯， 所以16ab S <，所以32ab <.所以③正确.。

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Copyright 2002-2020 Aspose Pty Ltd.数学、高中数学、数学课件、数学教学设计、数学试题、试卷数学、数学考试、奥数、会合、有理数、函数、不等式、解三角形北京市西城区 2016 - 2017 学年度第二学期期末试卷高一数学试卷满分： 150 分考试时间：120 分钟题号一二三本卷总分17 18 19 20 21 22分数一、选择题：本大题共10 小题，每题4 分，共 40 分 . 在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合要求的 .1. 已知数列 { a n } 知足 a1 3 , a n 1 2a n，那么 a4 （）（A）24 （B）18 （C）16 （D）122. 不等式1≤2的解集为（）x（A）[1, )（ B ）,1]( ,0) [1, )（C）( （D）[2,) 2 223. 履行如下图的程序框图，则输出的i 值为（）开始（A ）4（ B）5S= 0，i =0（C）6是（D） 7 S >20否i =i +1 输出 iS S 2i结束4. 设直线l经过两点A(2,1), B( 1,3) ，则直线l下方的半平面（含直线l ）能够用不等式表示为（）（ A ）2x 3 y 7≥0 （ B ）2 x 3 y 7≤0（ C）2x 3 y 1≥0 （ D）2 x 3 y 1≤0数学、高中数学、数学课件、数学教学设计、数学试题、试卷数学、数学考试、奥数、会合、有理数、函数、不等式、解三角形5. 在区间[ 1,3] 上随机取一个实数x，则 x 使不等式| x |≤2建立的概率为（）（A）1（B）1（C）1（D）3 4 3 2 46.下表是某校 120 名学生假期阅读时间 ( 单位 : 小时 ) 的频次散布表，现用分层抽样的方法从[10,15) ， [15,20) ， [20,25) ，[25,30) 四组中抽取20 名学生认识其阅读内容，那么从这四组中挨次抽取的人数是（）分组频数频次（ A）2，5，8，5[10,15) 12 （ B）2，5，9，4[15,20) 30 a （ C） 4， 10， 4，2[20,25) m （ D）4，10，3，3[25,30) n共计1207. 在 ABC 中，若 a 3 ，c 2 ， cosB 1，则ABC 的面积为（）3（ A） 3 （B）2 3（C）2 6（D）4 63 3 3 38. 以下茎叶图记录了甲、乙两个篮球队在 3 次不一样竞赛中的得分状况．乙队记录中有一个数字模糊，没法确认，假定这个数字拥有随机性，并在图中以m 表示．那么在 3 次竞赛中，乙队均匀得分超出甲队均匀得分的概率是（）（A）3（B）4甲队乙队5 5 8 7（C）7（D）93 2 8 0 3 m 10 10 99. 若对于 x 的不等式2x2≥a对于全部 x (1, ) 恒建立，则实数 a 的取值范围是x 1（）（A）( ,4] （B）[4, ) （C）( ,6] （ D）[6, )10. 在ABC 中，角A, B,C 对边的边长分别为a, b, c ，给出以下四个结论：1 1 1○1 以, ,为边长的三角形必定存在；○2 以 a , b , c 为边长的三角形必定存在；○3 以a2, b2, c2为边长的三角形必定存在；数学、高中数学、数学课件、数学教学设计、数学试题、试卷数学、数学考试、奥数、会合、有理数、函数、不等式、解三角形○a b b c c a为边长的三角形必定存在 .4 以 2 , 2 , 2那么，正确结论的个数为（）（A）0 （B）1 （ C）2 （D）3二、填空题：本大题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分 .把答案填在题中横线上 .11. 函数 f ( x) 4 x2 的定义域是 _______.12. 在等差数列 { a n } 中 , a2 a4 5 ，则 a3 _______.13. 随机抽取某班 6 名学生，丈量他们的身高（单位：cm），获取身高数据挨次为：162， 168 ，170， 171 ， 179， 182 ，那么此班学生均匀身高大概为cm；样本数据的方差为.y≤2 x,14. 设 x，y知足拘束条件x y≤1, 则 z x 3y 的最大值是_______.y 1≥0,15. 有 4 张卡片，上边分别写有0， 1，2， 3. 若从这 4 张卡片中随机拿出 2 张构成一个两位数，则此数为偶数的概率是_______.16. 在数列 { a n} 中，a3 12 ， a11 5 ，且随意连续三项的和均为11，则a2017 _______ ；设S n是数列 { a n } 的前n项和，则使得S n≤100建立的最大整数n _______ .三、解答题：本大题共 6 小题，共80 分 .解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分13 分）在等差数列 { a n } 中, a1 2 , a3a516 .（Ⅰ）求数列{ a n } 的通项公式；（Ⅱ）假如a2， a m， a2m成等比数列，求正整数m 的值.18．（本小题满分 13 分）北京是我国严重缺水的城市之一. 为了倡议“节俭用水，从我做起”，小明在他所在学校的2000 名同学中，随机检查了 40 名同学家庭中一年的月均用水量（单位：吨），并将月均用水量分 为 6 组： [2,4) ， [4,6) ， [6,8) ， [8,10) ， [10,12) ， [12,14] 加以统计，获取如下图的频次散布直方图 .（Ⅰ）给出图中实数a 的值；（Ⅱ）依据样本数据，预计小明所在学校2000 名同学家庭中 , 月均用水量低于8 吨的约有多少户；（Ⅲ）在月均用水量大于或等于10 吨的样本数据中，小明决定随机抽取 2 名同学家庭进行访谈，求这 2 名同学中恰有 1 人所在家庭的月均用水量属于[10,12)组的概率 .频次 组距a19．（本小题满分 13 分）246 8 101214月均用水量/吨在 ABC 中，角 A, B,C 的对边分别为a, b , c ，且 a2 , cosC1 .4（Ⅰ）假如 b3 , 求 c 的值；（Ⅱ）假如 c 2 6 ，求 sin B 的值 .20．（本小题满分 13 分）已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n n 2 4 n ，此中 n N * .（Ⅰ）求数列 { a n } 的通项公式；（Ⅱ）设 b n 2 a n 1 ，求数列 { b n } 的前 n 项和 T n ；（Ⅲ）若对于随意正整数n ，都有 1+1+ +1 ≤ ，务实数 的最小值 .a 1a 2a 2 a 3a nan 121．（本小题满分14 分）已知函数 f (x) ax2 (2a 1)x b ，此中 a ，b R.（Ⅰ）当 a 1 ， b 4 时，求函数 f ( x) 的零点；（Ⅱ）假如函数 f ( x) 的图象在直线y x 2 的上方，证明： b 2 ；（Ⅲ）当 b 2 时，解对于 x 的不等式 f (x) 0 ．22．（本小题满分14 分）在无量数列 { a n } 中， a1 p 是正整数，且知足 a n 1 an , 当 a n为偶数 , 2a n 5, 当 a n为奇数 .（Ⅰ）当 a3 9 时，给出p 的值；（结论不要求证明）（Ⅱ）设 p 7 ，数列 { a n } 的前 n 项和为S n，求S150；（Ⅲ）假如存在m N* ，使得 a m 1 ，求出切合条件的p 的全部值.北京市西城区 2016- 2017 学年度第二学期期末试卷高一数学参照答案及评分标准一、选择题：本大题共10 小题，每题 4 分，共40 分.1. A2. B3. B4. B5. D6. A7. C8. D9. C 10. C二、填空题：本大题共 6 小题，每题 5 分，共30分.11. [ 2,2] ；12. 5 ；13. 172， 45；214. 7 ；15. 5 ；16. 4， 29.3 9注：一题两空的题目，第一空 2 分，第二空 3 分 .数学、高中数学、数学课件、数学教学设计、数学试题、试卷数学、数学考试、奥数、会合、有理数、函数、不等式、解三角形三、解答：本大共6小，共80分.17.（本小分 13 分）（Ⅰ）解：等差数列 { a n } 的公差 d ,a3 a5 2a1 6d 16 , ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分又因 a1 2 ，解得 d 2 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分因此 a n a1 (n 1)d 2n . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分（Ⅱ）解：因 a2， a m， a2m 成等比数列，因此 a m2 a2 a2m，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分即 (2 m)2 4 4m ， m N ，解得 m 4 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13 分18.（本小分 13 分）（Ⅰ）解：因各的率之和1，因此月均用水量在区[10,12) 的率1 2 0.225) 2 0.1 ，因此，中数 a 0.1 2 0.050 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分（Ⅱ）解：由可知 , 本数据中月均用水量低于8 吨的率，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分因此小明所在学校 2000 名同学家庭中 , 月均用水量低于8 吨的有2000 1300 ( ). ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7分（Ⅲ）解：“ 2 名同学中恰有 1 人所在家庭的月均用水量属于[10,12) ” 事件A，由可知 , 本数据中月均用水量在[10,12) 的数 2 40 4 .四名同学家庭分a,b, c, d ,月均用水量在[12,14] 的数 2 40 2 .两名同学家庭分e, f,取的同学家庭的全部可能果：( a,b),( a, c),( a,d ),( a, e),( a, f ),( b,c),( b,d ), (b,e),( b, f ),( c,d ),( c,e),( c, f ),( d,e),( d , f ),( e, f ), 共15种，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分事件 A 的可能果：(a,e),( a, f ),( b, e),( b, f ), ( c, e),( c, f ),( d ,e),( d , f ), 共8种，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 11 分因此P(A)8. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13 分15数学、高中数学、数学课件、数学教学设计、数学试题、试卷数学、数学考试、奥数、会合、有理数、函数、不等式、解三角形19. （本小 分 13 分）（Ⅰ） 解：由余弦定理c 2 a 2 b 22ab cos C ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分得 c249223(1)16，4解得 c 4 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分（Ⅱ） 解：（方法一）由 cosC1 ， C (0, π)，得 sin C1 cos 2C15. ⋯⋯7分44由正弦定理ac，得 sin Aa sin C10 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分sin A sin Cc8因此 cos A1 sin2 A3 6 .8 因 A B Cπ，因此 sin Bsin( A C ) sin A cos C cos A sin C ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分10 13 615 10⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 13 分8 ()84.44（方法二）由 cosC1 ， C(0, π)，得 sin C1 cos2 C15 . ⋯⋯⋯⋯ 7 分44由余弦定理 c 2 a 2 b 22ab cos C ，得 24 4 b 22 2 b ( 1) ，4解得 b 4 ，或 b5（舍） .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分 由正弦定理bc，得 sin Bb sin C 10 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 13 分sin B sin Cc420. （本小 分 13 分）（Ⅰ） 解：当 n1 ， a 1 S 13 ； ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分 当 n ≥ 2 ， a n S n S n 12n 5 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分因 a 1 3 切合上式，因此 a n2n 5 (n N *) .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分 （Ⅱ） 解：由（Ⅰ），得b n22 n51 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分因此 T n b 1 b 2b n数学、高中数学、数学课件、数学教学设计、数学试题、试卷数学、数学考试、奥数、会合、有理数、函数、不等式、解三角形(2 3 1) (2 1 1) (22 n 51)(2 32 122 n 5 )n⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分2 3(1 4n )1 4n1 (4n 1) n .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分24（Ⅲ） 解：1 + 1 + + 11 1 1 11a 1a 2a 2 a 3a nan 1313 35(2 n 5)(2 n 3)2 1 [(1 1) ( 11)( 1 5 1 )]3 2 3 3 5 2n 2n 311，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 11 分6 4n6当 n1 ，1 = 1，（注：此 1 0）a 1 a 234n 6由 意，得 ≥ 1；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分3当 n ≥2 ，因1 0 ，4n 6因此1 + 1 + + 11 .a 1 a 2 a 2 a 3 a n a n 16因 于随意正整数n ，都有1 + 1 + + 1 ≤ ，a 1 a 2 a 2 a 3 a n a n 1因此的最小 1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 13 分321. （本小 分 14 分） （Ⅰ） 解：由 f (x)x 2 3x 4 0 ，解得 x4 ，或 x1 .因此函数 f (x) 有零点4 1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分和 .（Ⅱ） 解：（方法 1）因f ( x) 的 象在直 y x 2 的上方，因此 ax 2 (2a 1)x b x2 x R 恒建立 .即 ax 22ax b2 0 xR 恒建立.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分 因此当 x 0 上式也建立，代入得 b 2 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分（方法 2）因 f ( x)的 象在直 y x 2 的上方，因此 ax 2 (2a 1)x b x 2 x R恒建立 . 即 ax 22ax b2 0 xR 恒建立.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分当 a 0 ， 然 b 2 .当 a 0 ，由 意，得 a 0 ，且 (2 a)2 4a(b2) 0 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分4a( b2)4a 20 ，因此 4a(b 2) 0 ，即 b 2 .上， b2 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分 （Ⅲ） 解：由 意，得不等式ax 2 (2a 1)x 2 0 ，即 (ax 1)(x 2) 0 .⋯⋯⋯⋯ 9 分 当 a 0 ，不等式化 x 2 0 ，解得 x2 ；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分当 a 0，解方程 ( ax 1)(x 2) 0，得根2x 211， .xa因此，当 a0 ，不等式的解 ：x2 ，或 x 1； ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11 分a当 0a 11x 2 ；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分，不等式的解 ：a2当 a1 ，不等式的解集；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13 分2当 a1，不等式的解 ：2 x1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 14 分2.a上，当 a0 ，不等式的解集{ x | x2 ，或 x1} ；当 a，不等式的解集a{ x | x2}；当 0 a 1 ，不等式的解集{ x | 1 x2} ；当 a1 ，不等式的解集2a2；当 a1，不等式的解集{ x| 2 x1} .2a22. （本小 分 14 分）（Ⅰ） 解： p36 ，或 13.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分（Ⅱ） 解：由 意，a 1 7 ， 代入，得 a 2 12 ， a 3 6 ， a 43， a 58 ， a 6 4 ， a 7 2 ， a 8 1， a 9 6 ，因此数列 { a n } 中的，从第三起每隔 6 重复一次（注：a3 a9），⋯⋯⋯5分故 S150 a1 a2 24(a3 a4 a8 ) a3 a4 a5 a67 12 24(6 3 8 4 2 1) 6 3 8 4616 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分（Ⅲ）解：由数列{ a n } 的定，知a n N*.t 数列 { a n} 中最小的数，即t min{ a i i N*}，又因当 a n 偶数， a n 1 a n ，2因此 t 必奇数. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分a k t ， a k 1 t 5， a k 2 t 5，2因此 t≤t 5，解得 t ≤5 . 2因此 t {1,3,5} . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分假如 a k t 3 ，那么由数列 { a n } 的定，得 a k 1 8 ， a k 2 4 ， a k 3 2 ， a k 4 1，然与 t 3 { a n}中最小的数矛盾，因此 t 3 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分假如 a k t 5 ，当 k 1 ， p 5 ；当 k≥ 2 ，由数列 { a n } 的定，得a k 1能被5整除，⋯，得 a1 p 被5整除；因此当且当 a1 p 5r (r *5 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13 分N )，t与意不符 .因此当 a1 5r ( r N *)，数列{ a n}中最小的数t 1 ，即切合条件的p 的会合是 { r | r N* ，且 r 不可以被5整除}. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分。

北京市西城区2019 — 2018学年度第二学期期末试卷高一数学2018.7试卷满分：150分 考试时间：120分钟A 卷[立体几何初步及解析几何初步] 本卷满分：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.60直线2y =关于轴对称，则直线的方程为（）2x =-+2x =--22x +112x =-平面PBC （B ）//l BC 及直线AB 相交（是异面直线一定存在平面α，使直线一定存在平面二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.11.已知点(,2)A m -，(3,0)B ，若直线AB 的斜率为12，则m =_____.12.若直线1:280l ax y +-=及直线2:0l x y -=平行，则a =______.13.最大侧面的面积为______.14.已知直线y kx k =+过定点，则定点的坐标为15.在直三棱柱111ABC A B C -中，D 为1AA 中点，点P 在侧面11BCC B 上运动，当点P 满足条件_______________时，1//A P 平面BCD . （答案不唯一，填一个满足题意的条件即可） 俯视侧（左）D C 1A 1B 116. 如图，矩形ABCD 中AB 边及x 轴重合，(2,2)C ，(1,2)D -. 从原点O 射出的光线OP 经BC 反射到CD 上，再经CD 反射到AD 上点Q 处.①若OP 的斜率为12，则点Q 的纵坐标为______；②若点Q 恰为线段AD 中点，则OP 的斜率为______.三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，且2PA AD ==，点E 为线段PD 的中点.（Ⅰ）求证：//PB 平面AEC ； （Ⅱ）求证：AE ⊥平面PCD ；（Ⅲ）求三棱锥A PCE -的体积. 18．（本小题满分12分）已知直线:8l y x =-+及x 轴相交于点A ，点B 坐标为(0,4)-，过点B 作直线l 的垂线，交直线l 于点C.记过A 、B 、C 三点的圆为圆M . （Ⅰ）求圆M 的方程；（Ⅱ）求过点C 及圆M 相交所得弦长为8的直线方程. 19．（本小题满分12分） 如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点E 是棱AB 上的动点，F 是棱1CC 上一点，1:1:2CF FC =. （Ⅰ）求证：111B D A F ⊥；（Ⅱ）若直线1A F ⊥平面11B D E ，试确定点E 的位置，并证明你的结论；（Ⅲ）PB 卷AB C DPE一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中横线上.1．在区间[2,4]-内随机选取一个实数x ，则[1,3]x ∈的概率为_____． 2．如图所示，茎叶图记录了甲、乙两组各四名工人1天加工的零件数，且甲、乙两组工人平均每人加工零件的个数相同，则m =_____；甲、乙两组工人加工零件数方差较大的一组的方差为______.3．从1,2,3,4这四个数中一次随机选取两个数，所取两个数之和不小于5的概率为_____．4．一艘货船以15km /h 的速度向东航行，货船在A 处看到一个灯塔P 在北偏东60方向上，行驶4小时后，货船到达B 处，此时看到灯塔P 在北偏东15方向上，这时船及灯塔的距离为_____km ． 5．在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知△ABC 面积S 满足12S ≤≤，且1sin sin sin 8A B C =. 给出下列结论：其中正确结论的序号是_____．（写出所有正确结论的序号） 二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 6．（本小题满分8分）甲乙9 8 12 1 2在某地区高二年级的一次英语口语测试中，随机抽取M 名同学的成绩，数据的分组统计表如下：（Ⅰ）求出表中,,,m n M N 的值；（Ⅱ）根据上表，请在答题纸中给出的坐标系中完整画出频率分布直方图；（Ⅲ）若该地区高二年级学生有5000人，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计这次测试中该地区高二年级学生的平均分数及分数在区间(60,90]内的学生人数． 7．（本小题满分10分）在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c.b =4B π=.（Ⅰ）若3a =，求sin A 及sin C 的值；（Ⅱ）若△ABC 的面积等于1，求a 的值． 8．（本小题满分12分）已知圆22:(3)25C x y +-=及x 轴的负半轴相交于点M .（Ⅰ）求点M 的坐标及过点M 及圆C 相切的直线方程；（Ⅱ）一般把各边都和圆相切的三角形叫做圆的外切三角形.记圆C 的外切三角形为△DEF ，且(5,2)D --，(,2)(5)E t t ->.试用t 表示△DEF 的面积；（Ⅲ）过点M 作,MA MB 分别及圆相交于点,A B ，且直线,MA MB 关于x 轴对称，试问直线AB 的斜率是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由.北京市西城区2019— 2018高一数学参考答案及评分标准A 卷[立体几何初步及解析几何初步] 满分100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1.C2.A3. B4.C5.B6. A7. A8.D9.D 10.C.二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 11.1-12.2-14. (1,0)-15.P 是1CC 中点，等16.33,25注：第16题每空两分.三、解答题：本大题共3小题，共36分.17.（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：连结BD ，交AC 于点O ，连结OE .因为O 是正方形ABCD 对角线交点，所以O 为BD 中点， 由已知E 为线段PD 的中点，所以//PB OE .…………………2分又OE ⊂平面ACE ，PB ⊄平面ACE ，所以//PB 平面ACE .…………………5分（Ⅱ）证明：因为PA AD =，E 为线段PD 的中点，所以AE PD ⊥，…………………6分因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA CD ⊥，…………………7分 在正方形ABCD 中，CD AD ⊥， 又PA AD A =，所以CD ⊥平面PAD ，…………………8分又AE ⊂平面PAD ，所以CD AE ⊥，…………………9分 又PD CD D =，所以AE ⊥平面PCD ，…………………10分（Ⅲ）因为AE ⊥平面PCD ，所以三棱锥A PCE -的体积.13PCE V S AE =⋅11112232323PE CD AE =⨯⋅⋅=⨯. …………………12分18.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由已知(8,0)A ，依题意，圆M 的圆周角90ACB ∠=，所以过A 、B 、C 三点的圆M 即为以AB 为直径的圆.…………………3分所以，圆M 的圆心为AB 的中点(4,2)-. 因为AB =所以圆M 的半径为…………………5分A B CD PEO所以圆M的方程为22(4)(2)20x y -++=. …………………6分 （Ⅱ）因为所求直线及圆M 相交所得弦长为8，由垂径定理，圆M 的圆心到所求直线的距离为2=.…………………7分易知，直线6x =满足题意.…………………8分 由已知，直线:4AC y x =-，解4,8y x y x =-⎧⎨=-+⎩得点C的坐标为(6,2)C . (9)分设斜率存在且满足题意的直线方程为2(6)y k x -=-，即620kx y k --+=.则圆心(4,2)-到直线620kx y k --+=的距离为=10分令2=，解得34k =. (11)分所以，所求直线方程为6x =和34100x y --=. (12)分19.（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：连结11A C .1111A B C D 是正方形，所以1111B D A C ⊥. …………………1分在正方体1111ABCD A B C D -中，1CC ⊥平面1111A B C D ， 所以111CC B D ⊥， …………………2分又1111CC A C C =， 所以11B D ⊥平面11A C C ， …………………3分因为1A F ⊂平面11A C C ，DC A 1 B 1C 1D 1FG H所以11B D ⊥1A F . …………………4分 （Ⅱ）当:1:2AE EB =时，直线1A F ⊥平面11D B E .…5分证明如下：过点F 在平面11BCC B 作//FG BC 交1BB 于点G ， 连结1A G ，交1B E 于点H ，因为1:1:2CF FC =，所以1:1:2BG GB =，在11Rt A B G △及1Rt B BE △中，1B G BE =，111A B B B =， 所以111A B G B BE ≅△△，111B A G BB E ∠=∠.又111190B A G A GB ∠+∠=，所以11190BB E A GB ∠+∠=. 所以190B HG ∠=，11A G B E ⊥.…………………7分 在正方体1111ABCD A B C D -中，CB ⊥面11ABB A ， 所以FG ⊥面11ABB A ， 所以1FG B E ⊥， 又1A G FG G =，所以1B E ⊥面1A FG ，…………………8分 所以1B E ⊥1A F .又11B D ⊥1A F ，1111B D B E B =，所以直线1A F ⊥平面11B D E .…………………9分 （Ⅲ）3. …………………12分B 卷 [学期综合] 满分50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 1.132.1，2.53.234.②③.注：第5题少选得2分，多选、错选不得分.第2题每空2分. 二、解答题：本大题共3小题，共30分. 6.（本小题满分8分） 解：（Ⅰ）1N =. 因为20.02M=，所以100M =．从而100(23123815)30m =-++++=，0.30mn M==．…………………4分…………………6分 （Ⅲ分约为450.02550.04650.12750.38850.30950.1578.6⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．该地区高二年级同学分数在区间(60,90]内的人数约为5000(0.120.380.30)4000⨯++=（人）． …………………8分7.（本小题满分10分）解：（Ⅰ）在△ABC 中，3a =，b =4B π=，sin sin a b A B=. 所以sin sin 4a A B b π===. …………………2分当A 为锐角时，cos A =sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+…………………3分=…………………4分当A为钝角时，cos A =，sin C =. …………………5分（Ⅱ）△ABC 的面积1sin 24ABC S ac ∆π=， 所以1=. …………① …………………7分在ABC∆中，2222cos 4b ac ac π=+-， (9)分所以225a c =+. …………②由①得c 22854a a =+-， 所以42980a a -+=.576810分40 90解得1a =或a =. …………………10分8.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）点M的坐标为(4,0)-. (1)分直线CM 的斜率3030(4)4CMk -==--，…………………2分所以过点M 圆C 的切线斜率43k =-， 所以，过点M的切线方程为40[(4)]3y x -=---，即43160x y ++=. (3)分（Ⅱ）已知(5,2)D --，所以直线DF 方程为5x =-.设直线EF 的斜率为k ，则直线EF 方程为()2y k x t =--，即20kx y kt ---=.5=，所以22(25)100t k tk -+=，解得0k =（舍）或21025tk t -=-， …………………5分所以直线EF 方程为210()225t y x t t -=---.当5x =-时，210810(5)2525t t y t t t -+=---=-- (6)分所以810(5,)5t F t +--，所以△DEF的面积18105(5)(5)(2)255DEF t t t S t t t ∆++=⋅+⋅+=--，（5t >）.…………7分 （Ⅲ）解法一（解析法）：设点(,),(,)A A B B A x y B x y ，设直线MA 的方程为：4x my =-.由224,(3)25x my x y =-⎧⎪⎨+-=⎪⎩得22(1)(86)0m y m y +-+=. 所以28601A m y m ++=+，2861A m y m +=+. …………8分所以2861B m y m -+=+，…………………9分所以2161A B m y y m -=+. 又直线MB 的方程为4x my =--，所以4A A x my =-，4B B x my =--，212()1A B A B A B m x x my my m y y m -=+=+=+.…………………11分 所以直线AB 的斜率2216411231A B ABA B m y y m k m x x m -+===-+. 即直线AB 的斜率为定值，其值为43. …………………12分 注：其他解法相应给分.解法二（几何法）：如图，设圆及x 轴的正半轴相交于点M '.由,MA MB 关于x 轴对称可知，AMM BMM ''∠=∠，所以M '为AB 的中点，连结CM '，则CM AB '⊥，因为直线CM '的斜率303044CM k '-==--， 所以43AB k =.即直线AB 的斜率为定值，其值为43. 附：B 卷5. 略解：因为1sin sin sin 8A B C =， 所以111sin sin sin 888ab bc ca A B C ab bc ca ⋅⋅=⨯⋅⋅； 所以222364a b c S =.因为12S ≤≤，所以2221864a b c ≤≤，8abc ≤≤ 所以①不正确.因为22()8a b ab ab a b abc +=+>≥. 所以②正确. 因为1sin sin sin 8A B C =，所以1sin 8C >，所以111sin 282ab C ab >⨯， 所以16ab S <，所以32ab <.所以③正确.。

1 / 9北京市西城区2017 — 2018学年度第二学期期末试卷高一数学2018.7试卷满分：150分考试时间：120分钟A卷[立体几何初步与解析几何初步] 本卷满分：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1,2(3,0两点之间的距离为（2.直的倾斜角为（4612133.直与直关轴对称，则直的方程为（4已知与2，则两圆的位置关系是（）相）相）内）外5为两条不重合的直线为两个不重合的平面既不内，也不.则下列结论正确的是（）//，/）//，/），），6.若方表示圆，则实的取值范围是（,1,1[?7.圆柱的侧面展开图是一个边长为2的正方形，那么这个圆柱的体积是（）（A）2?（B）1?（C）22?（D）21?8.方程21xy??表示的图形是（）（A）两个半圆（B）两个圆（C）圆（D）半圆2 / 99.如图，四棱锥PABCD?的底面ABCD是梯形，//ABCD，若平面PAD I平面PBCl?，则（）（A）//lCD（B）//lBC（C）l与直线AB相交（D）l与直线AD相交10.已知,ab是异面直线. 给出下列结论：①一定存在平面?，使直线b?平面?，直线//a平面?；一定存在平，使直/平，直/平一定存在无数个平，使直与平交于一个定点，且直/平则所有正确结论的序号为（）①））②）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上. 11.已知点(,2)Am?，(3,0)B，若直线AB的斜率为12，则m?_____. 12.若直线1:280laxy???与直线2:0lxy??平行，则a?______.13.已知某三棱柱的三视图如图所示，那么该三棱柱最大侧面的面积为______.14.已知直线ykxk??过定点，则定点的坐标为______.15.在直三棱柱111ABCABC?中，D为1AA中点，点P在侧面11BCCB上运动，当点P满足条件_______________时，1//AP平面BCD. （答案不唯一，填一个满足题意的条件即可）16. 如图，矩形ABCD中AB边与x轴重合，(2,2)C，(1,2)D?. 从原点O射出的光线OP经BC反射到CD上，再经CD反射到AD上点Q处. ①若OP的斜率为12，则点Q的纵坐标为______；②若点Q恰为线段AD中点，则OP的斜率为______.三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）如图，在四棱锥PABCD?中，底面ABCD是正方形，PA?平面ABCD，且2PAAD??，点E 为线段PD的中点.（Ⅰ）求证：//PB平面AEC；（Ⅱ）求证：AE?平面PCD；（Ⅲ）求三棱锥APCE?的体积.18．（本小题满分12分）ABCDPEOxyDABCPQ正（主）视图2121俯视图侧（左）视图C′B′A′D′C1′A1′B1′D′B′A′PC′3 / 9已知直线:8lyx???与x轴相交于点A，点B坐标为(0,4)?，过点B作直线l的垂线，交直线l于点C.记过A、B、C三点的圆为圆M. （Ⅰ）求圆M的方程；（Ⅱ）求过点C与圆M相交所得弦长为8的直线方程. 19．（本小题满分12分）如图，已知正方体1111ABCDABCD?的棱长为1，点E是棱AB上的动点，F是棱1CC上一点，1:1:2CFFC?. （Ⅰ）求证：111BDAF?；（Ⅱ）若直线1AF?平面11BDE，试确定点E的位置，并证明你的结论；（Ⅲ）设点P在正方体的上底面1111ABCD上运动，求总能使BP与1AF垂直的点P所形成的轨迹的长度．（直接写出答案）B卷 [学期综合]本卷满分：50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中横线上. 1．在区间[2,4]?内随机选取一个实数x，则[1,3]x?的概率为_____．．2．如图所示，茎叶图记录了甲、乙两组各四名工人1天加工的零件数，且甲、乙两组工人平均每人加工零件的个数相同，则m?_____；甲、乙两组工人加工零件数方差较大的一组的方差为______.3．从1,2,3,4这四个数中一次随机选取两个数，所取两个数之和不小于5的概率为_____．．4．一艘货船以15km/h的速度向东航行，货船在A处看到一个灯塔P在北偏东60方向上，行驶4小时后，货船到达B处，此时看到灯塔P在北偏东15方向上，这时船与灯塔的距离为_____km．．5．在△ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc.已知△ABC面积S满足12S??，且1sinsinsin8ABC?. 给出下列结论：①16abc?；②228abab??；③32ab?；其中正确结论的序号是_____．．（写出所有正确结论的序号）二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 6．（本小题满分8分）题号一二本卷总分67 8 分数 D BCA1B1C1 D1A EF甲乙9 8 1 92 1 2 0 0 m4 / 9在某地区高二年级的一次英语口语测试中，随机抽取M名同学的成绩，数据的分组统计表如下：（Ⅰ）求出表中,,,mnMN的值；（Ⅱ）根据上表，请在答题纸中给出的坐标系中完整画出频率分布直方图；（Ⅲ）若该地区高二年级学生有5000人，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计这次测试中该地区高二年级学生的平均分数及分数在区间(60,90]内的学生人数．7．（本小题满分10分）在△ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc.5b?，4B??.（Ⅰ）若3a?，求sinA及sinC的值；（Ⅱ）若△ABC的面积等于1，求a的值．8．（本小题满分12分）已知圆22:(3)25Cxy???与x轴的负半轴相交于点M. （Ⅰ）求点M的坐标及过点M与圆C相切的直线方程；（Ⅱ）一般把各边都和圆相切的三角形叫做圆的外切三角形.记圆C的外切三角形为△DEF，且(5,2)D??，(,2)(5)Ett??.试用t表示△DEF的面积；（Ⅲ）过点M作,MAMB分别与圆相交于点,AB，且直线,MAMB关于x轴对称，试问直线AB的斜率是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由.北京市西城区2017— 2018学年度第二学期期末试卷高一数学参考答案及评分标准2018.7A卷[立体几何初步与解析几何初步] 满分100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1.C2.A3. B4.C5.B6. A7. A8.D9.D 10.C.二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.11.1?12.2?13.514. (1,0)?15.P是1CC中点，等16.33,25注：第16题每空两分.三、解答题：本大题共3小题，共36分.分组频数频率(40,50]20.02(50,60]30.03(60,70]120.12(70,80]380.38(80,90(90,100150.1合xyO M· C5 / 917.（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：连结BD，交AC于点O，连结OE.因为O是正方形ABCD对角线交点，所以O为BD中点，由已知E为线段PD的中点，所以//PBOE.…………………2分又OE?平面ACE，PB?平面ACE，所以//PB平面ACE (5)分（Ⅱ）证明：因为PAAD?，E为线段P的中点，所以AEPD?，…………………6分因为PA?平面ABCD，所以PACD?，…………………7分在正方形ABCD中，CDAD?，又PAADA?I，所以CD?平面PAD，…………………8分又AE?平面PAD，所以CDAE?，…………………9分又PDCDD?I，所以AE?平面PCD，…………………10分（Ⅲ）因为AE?平面PCD，所以三棱锥APCE?的体积.13PCE VSAE??V1111222232323PECDAE??????????. …………………12分18.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由已知(8,0)A，依题意，圆M的圆周角90ACB??，所以过A、B、C三点的圆M即为以AB为直径的圆.…………………3分所以，圆M的圆心为AB的中点(4,2)?.因为228445AB???，所以圆M的半径为25，…………………5分所以圆M的方程为22(4)(2)20xy????. …………………6分（Ⅱ）因为所求直线与圆M相交所得弦长为8，由垂径定理，圆M的圆心到所求直线的距离为20162??.…………………7分易知，直线6x?满足题意.…………………8分由已知，直线:4ACyx??，解4,8yxyx????????得点C的坐标为(6,2)C. …………………9分设斜率存在且满足题意的直线方程为2(6)ykx???，即620kxyk????. 则圆心(4,2)?到直线620kxyk????的距离为2242622411kkkkk???????，……10分ABCDPEO6 / 9令22421kk???，解得34k?. …………………11分所以，所求直线方程为6x?和34100xy???. …………………12分19.（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：连结11AC.1111ABCD是正方形，所以1111BDAC?. (1)分在正方体1111ABCDABCD?中，1CC?平面1111ABCD，所以111CCBD?，…………………2分又1111CCACC?I，所以11BD?平面11ACC，…………………3分因为1AF?平面11ACC，所以11BD?1AF. …………………4分（Ⅱ）当:1:2AEEB?时，直线1AF?平面11DBE.…5分证明如下：过点F在平面11BCCB作//FGBC交1BB于点G，连结1AG，交1BE于点H，因为1:1:2CFFC?，所以1:1:2BGGB?，在11RtABG△与1RtBBE△中，1BGBE?，111ABBB?，所以111ABGBBE?△△，111BAGBBE???.又111190BAGAGB????，所以11190BBEAGB????. 所以190BHG??o，11AGBE?.…………………7分在正方体1111ABCDABCD?中，CB?面11ABBA，所以FG?面11ABBA，所以1FGBE?，又1AGFGG?I，所以1BE?面1AFG，…………………8分所以1BE?1AF.又11BD?1AF，1111BDBEB?I，所以直线1AF?平面11BDE.…………………9分（Ⅲ）23. …………………1B卷[学期综合] 满分50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.1.132.1，2.53.234.3025.②③.注：第5题少选得2分，多选、错选不得分.第2题每空2分.D BC AB1C11 AEF GH7 / 9二、解答题：本大题共3小题，共30分. 6.（本小题满分8分）解：（Ⅰ）1N?. 因为20.02M?，所以100M?．从而100(23123815)30m???????，0.30mnM??．…………………4分（Ⅱ）直方图如下：…………………6分（Ⅲ）平均分约为450.0250.060.170.380.30950.1578.6????．该地区高二年级同学分数在区间(60,90]内的人数约为5000(0.120.380.30)4000????（人）．…………………8分7.（本小题满分10分）解：（Ⅰ）在△ABC中，3a?，5b?，4B??，sinsinabAB?.所以33sinsinsin104105aABb????. …………………2分当A为锐角时，10cos10A?，sinsin()sincoscossinCABABAB????…………………3分3102102251021025?????. …………………4分当A为钝角时，10cos10A??，sinC?55. …………………5分（Ⅱ）△ABC的面积12sin244ABC Sacac????，所以214ac?. …………①…………………7分在ABC?中，2222cos4bacac????，…………………9分所以2252acac???. …………②由①得22ca?，代入②得22854aa???，所以42980aa???.解得1a?或22a?. …………………10分8.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）点M的坐标为(4,0)?. …………………1分直线CM的斜率3030(4)4CM k?????，…………………2分50 70 60 80 100频组分0.0120.0.0020.003 40 0 900.0300.0158 / 9所以过点M圆C的切线斜率43k??，所以，过点M的切线方程为40[(4)]3yx?????，即43160xy???. …………3分（Ⅱ）已知(5,2)D??，所以直线DF方程为5x??.设直线EF的斜率为k，则直线EF方程为()2ykxt???，即20kxykt????.依题意2|32|1kk????，所以22(25)100tktk???，解得0k?（舍）或21025tkt???，…………………5分所以直线EF方程为210()225tyxtt?????.当5x??时，210810(5)2525ttyttt?????????.…………………6分所以810(5,)5tFt???，所以△DEF的面积18105(5)(5)(2)255DEF tttSttt???????????，（5t?）.…………7分（Ⅲ）解法一（解析法）：设点(,),(,)AABB AxyBxy，设直线MA的方程为：4xmy??. 由224,(3)25xmyxy??????????得22(1)(86)0mymy????. 所以28601A mym????，2861A mym???. …………8分所以2861B mym????，…………………9分所以2161AB myym???.又直线MB的方程为4xmy???，所以4AA xmy??，4BB xmy???，212()1ABABAB mxxmymymyym???????.…………………11分所以直线AB的斜率2216411231ABABAB myymkmxxm???????.即直线AB的斜率为定值，其值为43. (12)分注：其他解法相应给分. 解法二（几何法）：如图，设圆与x轴的正半轴相交于9 / 9点M?.由,MAMB关于x轴对称可知，AMMBMM?????，所以M?为?AB的中点，连结CM?，则CMAB??，因为直线CM?的斜率303044CM k??????，所以43AB k?.即直线AB的斜率为定值，其值为43. 附：B卷5. 略解：因为1sinsinsin8ABC?，所以111sinsinsin888abbccaABCabbcca??????；所以222364abcS?.因为12S??，所以2221864abc??，8162abc??.所以①不正确.因为22()8abababababc?????. 所以②正确. 因为1sinsinsin8ABC?，所以1sin8C?，所以111sin282abCab??，所以16abS?，所以32ab?.所以③正确.。

北京市西城八中2016-2017学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）考试时间120分钟，满分150分一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在括号里）1．已知:1231p x -<-<，:(3)0q x x -<，则p 是q 的（）条件． A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要 D ．既不充分也不必要 【答案】A【解析】解：∵1230x -<-<，可得12x <<，设集合A 为{}|12x x <<， 又∵(3)0x x -<，可得03x <<，设集合B 为{}|03x x <<， 则A B Ü，可得p 是q 的充分不必要条件．2．下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（）．A ．ln(2)y x =+B ．1y x =-+C ．12xy =D ．1y x x=+【答案】A【解析】解：A 项、ln(2)y x =+在(2,)-+∞上为增函数，符合题目要求． 故选A ．3．将函数sin(2)y x ϕ=+的图像沿x 轴向左平移π8个单位，得到一个偶函数的图像，则ϕ的一个可能取值为（）．A ．3π4B ．π3C ．π4D ．π6【答案】C【解析】解：∵sin(2)y x ϕ=+左移π8个单位，函数变为ππsin 2sin 284y x x ϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，∵πsin 24y x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭是偶函数，取x 为x -，则ππsin 2sin 244x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫++=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴ππ22π()44x x k k ϕϕ++-++=∈Z ， ∴π2π2k ϕ=-，取1k =，得π4ϕ=，即ϕ一个可能取值为π4． 故选C ．4．在二项式521x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，含4x 的项的系数是（）．A ．10-B ．5-C ．10D ．5【答案】C【解析】解：521x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开项215535155C ()()(1)C k k k k k k k T x x x ----+=-=-，令354k -=，可得3k =，∴553355(1)C (1)C 10k k---=-=．故选C ．5．将4名学生分到两个班级，每班至少1人，不同的方法有（）种．A ．25B ．16C ．14D ．12【答案】C【解析】解：4名学生中有2名学生分在一个班的种数为24C 6=，有3名学生分在一个班有3242C A 8⋅=种结果，∴6814+=种，共有14种结果． 故选C ．6．右图是求样本1x ，2x ，，10x 平均数x 的程序框图，图中空白框中应填入的内容的（）．A ．n S S x =+B ．10nx S S =+ C ．S S n =+D ．xS S n=+【答案】A【解析】解：该程序的作用是求样本1x ，210x x ，平均数x ，∵“输出x ”的前一步是“Sx n=”， ∴循环体的功能是累加个样本的值，应为n S S x =+． 故选A ．7．将正整数1，2，3，4，5，6，7随机分成两组，使得每组至少有一个数，则两组中各数之和相等的概率是（）．A ．221B ．463C ．121D ．263【答案】B【解析】解：将正整数1，2，3，4，5，6，7随机分成两组，使得每组至少有一个数，共有分法：123777C C C 63++=种，其中满足两组中各数之和相等的分法如下4种，①1，2，4，7；3，5，6． ②1，3，4，6；2，5，7． ③1，6，7；2，3，4，5． ④1，2，5,6；3，4，7． ∴两组中各数之和相等的概率463P =． 故选B ．8．已知集合{}230123|222A x x a a a a =+⨯+⨯+⨯，其中{}0,1(0,1,2,3)k a k ∈=，且30a ≠，则A中所有元素之和是（）．A ．120B ．112C ．92D ．84【答案】C【解析】解：根据集合A 的形式，可以把0a ，1a ，2a ，3a 看做四位二进制数，四位二进制共可以表示0至15， ∵30a ≠，∴可表示8至15的数字，由等差数列求和可得891592++=． 故选C ．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上） 9．在ABC △中，若2a =，cos A =，1cos 4B =-，b =__________．【解析】解：∵cos A =，sin A = 1cos 4B =-，215sin 1cos B B -由正弦定理sin sin a bA B=，∴sin 2sin a B b A ===．10．在等比数列{}n a 中，若2420a a +=，4660a a +=，则b =__________．【答案】【解析】解：设等比数列{}n a 中公比为q ， ∵242462420(=60a a a a q a a +=⎧⎪⎨+=+⎪⎩）， ∴23q =，∴q =11．已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60︒，那么||a b +=__________．【解析】解：∵222||()||||2cos ,a b a b a b a b a b +=+=++⋅⋅<>12．设函数2,(),x x af x x x a <⎧=⎨⎩≥，对任意实数b ，关于x 的方程()0f x b -=总有实数根，则a 的取值范围是__________． 【答案】[0,1]【解析】解：∵对任意实数b ，关于x 的方程()0f x b -=总有实数根， 即对任意实数b 函数()f x 的图像与直线y b =总有交点， 奇函数()f x 的值域为R ，在同一坐标系中画出y x =与2y x =的图像，由图可得，当[0,1]a ∈时，函数()f x 的值域为R ， ∴[0,1]a ∈．13．若422345123345(1)x mx a x a x a x a x a x a x -=+++++，其中26a =-，则实数m =__________． 12345a a a a a ++++=__________．【答案】32；116【解析】解：由题意4(1)mx -的展开式的通项为14()C r r rr T m x +=-，令1r =得24a m =-， ∵26a =-，∴64m -=-，解得32m =， 在展开式中令1x =得412345312a a a a a ⎛⎫-=++++ ⎪⎝⎭，即12345116a a a a a =++++．14．设M 为不等式组40400x y x y y +-⎧⎪-+⎨⎪⎩≤≥≥所表示的平面区域，N 为不等式组04t x t y t -⎧⎨-⎩≤≤≤≤所表示的平面区域，其中[0,4]t ∈，在M 内随机取一点A ，记点A 在N 内的概率为P ． （1）若1t =，则P =__________． （2）P 的最大值是__________． 【答案】38；12【解析】解：由题意可得，当1t =时，如图，233448P =⨯=，如图，当2(4)t t -取得最大值时，P 最大，最大值为12．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分）设ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且4cos 5B =，2b =． （1）若53a =，求角A 的度数．（2）求ABC △面积的最大值．【答案】（1）30︒． （2）3．【解析】（1）∵4cos 5B =，3sin 5B ，由正弦定理sin sin a bA B=， ∴5131sin sin 3252a A Bb ==⨯⨯=，∴30A =︒．（2）∵2224cos 25a c b B ac +-==， ∴22845a c ac +-=，∵222a c ac +≥， ∴8245ac ac -≤，∴10ac ≤，当且仅当a c == 1sin 32S ABC ac B =△≤，∴ABC △的面积的最大值为3．16．（本小题满分13分）已知函数2()(1)cos f x x x =+．（1）求函数()f x 的定义域及其单调减区间． （2）求函数()f x 的值域．【答案】（1）定义域为π|π,2x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ，单调递减区间为π2π,ππ63k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ．（2）13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．【解析】解：（1）∵2()(1)cos f x x x =21cos x ⎛= ⎝2cos cos x x x =11cos2222x x =+ππ1sin cos2cos sin2662x x =++π1sin 262x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，∵ππ32π2π2π262k x k +++≤≤ π42π2π+2k π33k x +≤≤ π2πππ63k x k ++≤≤，即()f x 单调递减区间为π2π,ππ63k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ，∵tan x 中ππ2x k ≠+，k ∈Z ， ()f x 定义域为π|π,2x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ．（2）∵πsin 2[1,1]6x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，∴13(),22f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．17．（本小题满分14分）一名学生骑自行车上学，从他家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是13．求：（1）这名学生在途中遇到2次红灯次数的概率． （2）这名学生在首次停车前经过了3个路口的概率． （3）这名学生至少遇到一次红灯的概率． 【答案】（1）80243．（2）827．（3）211243． 【解析】解：（1）设事件A 为在途中遇到2次红灯，251122280()=C 33333243P A ⨯⨯⨯⨯⨯=．（2）设首次停车前经过3个路口，为事件B ， 说明前3个交通岗都是绿灯， 328()327P B ⎛⎫== ⎪⎝⎭．（3）设至少遇到一次红灯为事件C ，则其互斥事件为全遇到绿灯，设互斥事件为D ， ∴()1()P C P D =-5221113243⎛⎫=-= ⎪⎝⎭．18．（本小题满分13分）一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为1，2，3，4，5，6． （1）若从袋中每次随机抽取1个球，有放回的抽取2次,求取出的两个球编号之和为6的概率． （2）若从袋中每次随机抽取2个球，有放回的抽取3次，求恰有2次抽到6号球的概率． （3）若一次从袋中随机抽取3个球，求球的最大编号为4的概率． 【答案】（1）536．（2）29．（3）12． 【解析】解：（1）设先后两次从袋中取出球的编号为m ，n ， 则两次取球的编号的一切可能结果(m,)n 有6636⨯=种，其中和为6的结果有(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，共5种， 则所求概率为536P =． （2）每次从袋中随机抽取2个球，抽到编号为6的球的概率12C 1C 3b b P ==， ∴3次抽取中，恰有2次抽到6号球的概率为2223122C (1)3339P P ⎛⎫⎛⎫-=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（3）若3个球中最大编号为4，说明一定抽到4，剩下两个在1，2，3中任选2个，所求概率2336C 1C 2P ==，19．（本小题满分14分）设m ∈R ，不等式2(31)2(1)0mx m x m -+++>的解集记为集合P ． （1）若{}|12P x x =-<<，求m 的值． （2）当0m >时，求集合P ．（3）若{}|32x x P -<<⊆，求m 的取值范围． 【答案】见解析．【解析】解：（3）依题意，当(3,2)x ∈-时，不等式2(31)2(1)0mx m x m -+++>恒成立， 当0m =时，原不等式化为20x -+>，即{}|2P x x =<，符合题意， 当0m >时，由（2）知01m <<时，符合题意， 当0m <时，∵1112m m m+=+<， ∴12m P xx m ⎧+⎫=<<⎨⎬⎩⎭， 此时一定有13m m +-≤成立，解得104m -<≤， 综上，若{}|32x x P -<<⊆，1,14m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．20．（本小题满分13分）已知每项均为正整数的数列1:A a ，2a ，3a ，4a ，，n a ，其中等于i 的项有k 个(1,2,3)i =，设12(1,2,3)j j b k k k j =+++=，12()(1,2,3)m g m b b b nm m =+++-=．（1）设数列:1A ，2，1，4，求(1)g ，(2)g ，(3)g ，(4)g ，(5)g ． （2）若数列A 满足12100n a a a n +++-=，求函数()g m 的最小值．【答案】（1）(1)2g =-；(2)3g =-；(3)4g =-；(4)4g =-；(5)4g =-． （2）100-．【解析】解：（1）根据题目中定义，12k =，21k =，30k =，41k =，0(5,6,7)j k j ==，12b =，2213b =+=，32103b =++=，44b =，4(5,6,7)m b m ==， 1(1)412g b =-⨯=-，12(2)423g b b =+-⨯=-， 123(3)b 434g b b =++-⨯=-， 1234(4)444g b b b b =+++-⨯=-， 12345(5)454g b b b b b =++++-⨯=-．（2）∵1(1)()m g m g m b n ++-=-，由“数列A 含有n 项”及bj 的含义知1m b n +≤， ∴(1)()0g m g m +-≤， 即()(1)g m g m +≥， 又∵设整数{}12max ,n M a a a =，当m M ≥时，必有m b n =，∴(1)(2)(1)()(1)g g g M g M g M -==+≥≥≥， ∴()g m 最小值为(1)g M -， ∵1231(1)(1)M g M b b b b n M --=++++--1231()()()()M b n b n b n b n -=-+-+-++-- 11 - 2334()()()M M M k k k k k k k =----+----++- 23[2(1)]M k k M k =-+++- 12312(23)()M M k k k Mk k k k =-++++++++ 12()n M a a a b =-++++，∵123100n a a a a n ++++-=．(1)100g M -=-， ∴()g m 最小值为100-．。