2007年高考试题—数学文(广东卷)(精品解析)

2007年高考数学试题(广东卷)与评析和教学启示广州市从化中学宋发奎自2004年广东省自主命题以来，广东高考数学试题从04、05年的探索期到06年的适应期，07年迎来了她的成熟期和创新期。

看完全卷，使人眼前一亮，改革步伐之快让人耳目一新，是近几年来难得的好卷。

这份试卷可用“试题新颖，难度略降，紧扣课标，考查能力”来概括，命题风格向上海高考题靠近。

以下谈谈试卷特点和对今后教学的启示。

一、试题特点1．试题新颖，考查能力全卷新颖题很多，如第4题是一道分段函数图像题，既考查了函数的图像也间接考查了分段函数的解析式，定义域、值域，同时还是一道实际应用题。

第6题是统计与算法相结合的好题，同时也是图表信息题，要求学生从图表中获取信息。

第7题是一个优化问题，是线性规划的变种题，线性规划已经考过多年，确实要变一变，今年的优化问题，课本中找不到同类型的练习题，此题考查学生分析问题解决问题的能力。

第8题是“新定义”问题，考查学生的阅读理解能力、自学能力、知识迁移能力，06年也有些题，但今年此题更好，只需运用一般与特殊的关系，不难选出正确答案。

第12题是填空题中的“爬坡题”，是一道立体几何中的计数问题，同时也是一个归纳推理问题，比06年的“垒球”问题难度稍小一些，这样更合理。

第一大题是三角求值题，为送分题。

已知条件为：在直角坐标系中，给定三点的坐标，求一个角的三角函数值问题，考查余弦定理。

既容易又不落俗套。

第二大为《统计》中的求线性回归方程问题，在全国首创，新课标增加了统计的内容，此题体现了新课标的要求，考查了新课标要求的运算能力和数据处理能力。

这种题型出乎许多老师的意外，试题并不难，只相当于课本例题，高三复习一般都很少把其作为重点来复习，正因为如此，这道题就考平时学习的基本功了。

第18题为解析几何题，难度比０６年明显下降，这也体现了新课程的特点，在新课程中增加了许多学习内容，当然传统的重点内容如三角、解析几何的学习时间比以前减少，要求也有所降低。

秘密★启用前2007年广州市普通高中学生学业水平测试数 学（文科）本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页.满分100分. 考试用时120分钟. 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上.用2B 铅笔将答题卡上试卷类型（A ）涂黑.在答题卡右上角的“试室号”栏填写本科目试室号，在“座位号列表”内填写座位号，并用2B 铅笔将相应的信息点涂黑.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上.3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+第一部分 选择题（共30分）一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．（1）已知全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,3,5,A = 则C UA =（A ）{}2,4 （B ）{}1,3,5 （C ） {}1,2,3,4,5 （D ）∅（2）函数()ln 2y x =-的定义域是（A ）[)1,+∞ （B ）(),2-∞（C ）()1,2（D ）[)1,2（3）已知m +i 1n =-i ，其中,m n 是实数，i 是虚数单位，则m n +=（A ）-1 （B ）0（C ）1（D ）2（4）已知3,,sin ,25πθπθ⎛⎫∈= ⎪⎝⎭则tan θ=（A ）34-（B ）43- （C ）34 （D ）43（5）已知向量a 表示“向东航行1km”，向量b 表示“向南航行1km”，则向量a +b 表示 （A ）向东南航行2km （B（C ）向东北航行2km （D（6）在下列命题中, 错误的是 （A ）如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合 （B ）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行 （C ）如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线垂直（D ）如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行（7）直线34140x y +-=与圆()()22114x y -++=的位置关系是（A ）相交且直线过圆心 （B ）相切（C ）相交但直线不过圆心 （D ）相离（8）已知命题p ∶x ≥1，命题q ∶x 2≥x ，则p 是q 的 （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（9）不等式x 2– y 2≥0所表示的平面区域（阴影部分）是（A ） （B ） （C ） （D ）（10）已知空间直角坐标系O xyz -中有一点()1,1,2A --，点B 是xOy 平面内的直线 1x y +=上的动点，则,A B 两点的最短距离是（A（B）2（C ）3 （D ）172第二部分 非选择题（共70分）二、填空题：本大题共5小题，其中（11）～（13）是必做题，（14）～（15）是选做题，要求每位考生只从（14）、（15）题中任选一题作答. 每小题3分，满分12分. 第（13）小题的第一个空1分、第二个空2分．(11) 已知向量a (),1m =，向量b ()1,2=-，若a ⊥b ，则实数m 的值是 . (12) 某班50名学生的一次数学质量测验成绩的频率分布直方图如图所示，则成绩不低于70分的学生人数是 .（13） 已知函数 则()1f = ，()32log 2f += .（14）如图,平行四边形ABCD 中, ::AE EB m n =,若AEF ∆的面积等于a cm 2,则CDF ∆的面积 等于 cm 2.（15）把参数方程sin cos sin 2x y θθθ=-⎧⎨=⎩(θ为参数)化为普通方程是 .三、解答题：本大题共6小题，共58分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程. （16）（本小题满分8分）已知函数()1cos 2f x x x =+(x ∈R ). （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期; （Ⅱ）求函数()f x 的最大值和最小值.（17）（本小题满分10分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S , 已知335,9a S ==. （Ⅰ）求首项1a 和公差d 的值; （Ⅱ）若100n S =，求n 的值.EBCD FA0.0100.0120.0360.0240.018（18）（本小题满分10分）同时掷两颗质地均匀的骰子(六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6的正方体)， 两颗骰子向上的点数之和记为ξ. （Ⅰ）求5ξ=的概率()5P ξ=; （Ⅱ）求5ξ<的概率()5P ξ<.（19）（本小题满分10分）如图，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形, PA ⊥平面ABCD , 点F 为PC 的中点. （Ⅰ）求证://PA 平面BDF ; （Ⅱ）求证:平面PAC ⊥平面BDF .（20）（本小题满分10分） 已知a ∈R ,函数()3211232f x x ax ax =-++(x ∈R ). （Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的单调递增区间;（Ⅱ）函数()f x 是否在R 上单调递减，若是，求出a 的取值范围；若不是，请说明理由;（Ⅲ）若函数()f x 在[]1,1-上单调递增，求a 的取值范围.（21）（本小题满分10分）如图，已知椭圆C :22221x y a b+=(0)a b >>的离心率为45，左、右焦点分别为1F 和2F ，椭圆C 与x 轴的两交点分别为A 、B ，点P 是椭圆上一点（不与点A 、B 重合），且∠APB =2α，∠F 1PF 22β=.（Ⅰ）若45β=，三角形F 1PF 2的面积 为36，求椭圆C 的方程； （Ⅱ）当点P 在椭圆C 上运动时，试证明 tan tan 2βα⋅是定值.AFPDCB2007年广州市普通高中学生学业水平测试数学（文科）试题参考答案及评分标准一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题3分，满分30分．二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共5小题，其中（11）～（13）是必做题，（14）～（15）是选做题，要求每位考生只从（14）、（15）题中任选一题作答.每小题3分，满分12分. 第（13）小题的第一个空1分、第二个空2分．（11）2 （12）35 （13）3；6 （14）21n a m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（15）21,x y x ⎡=-∈⎣三、解答题(16)(本小题满分8分) 解：(Ⅰ) ()1cos 2f x x x =+ sin cos cos sin66x x ππ=+s i n ()6xπ=+. …… 2分∴函数()f x 的最小正周期为2π. …… 4分(Ⅱ)当sin()16x π+=时，函数()f x 的最大值为1. …… 6分当sin()16x π+=-时，函数()f x 的最小值为1-. …… 8分(17) （本小题满分10分） 解: (Ⅰ)335,9a S ==,1125,339.a d a d +=⎧∴⎨+=⎩ …… 4分解得11,2.a d =⎧⎨=⎩ …… 6分(Ⅱ)由100n S =,得()121002n n n -+⨯=, …… 8分 解得10n =或10n =-(舍去).10n ∴=. …… 10分 (18) （本小题满分10分）解: (Ⅰ):显然，ξ的取值有11种可能，它们是2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12. …… 4分点数和为5出现4次,∴()415369P ξ===. 答：5ξ=的概率是19. …… 6分(Ⅱ)点数和为2出现1次, 点数和为3出现2次, 点数和为4出现3次,∴()5P ξ<()()()12312343636366P P P ξξξ==+=+==++=. …… 9分 答：5ξ<的概率是16. …… 10分 （19）（本小题满分10分）（Ⅰ）证明: 连结AC ，BD 与AC 交于点O ，连结OF . ABCD 是菱形,O ∴是AC 的中点.点F 为PC 的中点,//OF PA ∴. …… 2分OF ⊂平面,BDF PA ⊄平面BDF ,∴//PA 平面BDF . …… 4分 (Ⅱ)证明: PA ⊥平面ABCD ,AC ⊂平面ABCD , PA AC ∴⊥.OAFPDCB//,OF PA OF AC ∴⊥.ABCD 是菱形,AC BD ∴⊥. …… 6分 OF BD O =，AC ∴⊥平面BDF . …… 8分 AC ⊂平面PAC ,∴平面PAC ⊥平面BDF . …… 10分 (20) （本小题满分10分） 解: (Ⅰ) 当1a =时,()3211232f x x x x =-++, 2()2f x x x '∴=-++. …… 2分令()0f x '>,即220x x -++>, 即220x x --<，解得12x -<<.∴函数()f x 的单调递增区间是()1,2-. …… 4分(Ⅱ) 若函数()f x 在R 上单调递减,则()0f x '≤对x ∈R 都成立,即220x ax a -++≤对x ∈R 都成立, 即220x ax a --≥对x ∈R 都成立.280a a ∴∆=+≤, …… 6分 解得80a -≤≤.∴当80a -≤≤时, 函数()f x 在R 上单调递减. …… 7分(Ⅲ) 解法一：函数()f x 在[]1,1-上单调递增,()0f x '∴≥对[]1,1x ∈-都成立,∴220x ax a -++≥对[]1,1x ∈-都成立.()22a x x ∴+≥对[]1,1x ∈-都成立,即22x a x +≥对[]1,1x ∈-都成立. …… 8分令()22x g x x =+, 则()()()()222224()22x x x x x g x x x +-+'==++. 当10x -<≤时，()0g x '<；当01x <≤时，()0g x '>.()g x ∴在[]1,0-上单调递减,在[]0,1上单调递增.()()111,13g g -==，()g x ∴在[]1,1-上的最大值是()11g -=.1a ∴≥. …… 10分解法二：函数()f x 在[]1,1-上单调递增,()0f x '∴≥对[]1,1x ∈-都成立,∴220x ax a -++≥对[]1,1x ∈-都成立.即220x ax a --≤对[]1,1x ∈-都成立. …… 8分令()22g x x ax a =--，则()()1120,1120.g a a g a a =--≤⎧⎪⎨-=+-≤⎪⎩ 解得1,31.a a ⎧≥⎪⎨⎪≥⎩ 1a ∴≥. …… 10分（21） (本小题满分10分) 解：（Ⅰ）由于三角形F 1PF 2为直角三角形，则2221212PF PF F F +=，即22121212()2PF PF PF PF F F +-=，三角形F 1PF 2的面积为36，∴121362PF PF =，即1272PF PF =， ∴2222722a c -⨯=（）（），即2222272a c -=⨯（）（）， ∴236b =. …… 2分椭圆C 的离心率为45，则21625c a =2，即221625a b a -=2，∴2100a =.∴椭圆C 的方程为22110036x y +=． …… 4分 （Ⅱ）不妨设点P (,)x y 在第一象限，则在三角形12PF F 中，2221212122cos2F F PF PF PF PF β=+-， 222121212()2(1+cos2)F F PF PF PF PF β=+-，即2212442(1cos2)c a PF PF β=-+，∴2221222221cos 22cos cos b b b PF PF βββ===+. ∴12F F PS ∆=2221221sin 2sin sin 2tan 22cos cos b b PF PF b ββββββ===. 12122F F P S c y cy ∆=⨯⨯=， ∴2tan b cy β=，即2tan cybβ=. …… 6分作PC x ⊥轴，垂足为C .tan AC a x APC PC y +∠==，tan CB a xCPB PC y-∠==，∴2222222tan 2tan()1a x a xay y y APC CPB a x x y a y α+-+=∠+∠==-+--.22221x y a b +=， ∴22222a y x a b=-.∴2222222222tan 2(1)aya ab a x y ac y ybα===+---. …… 8分 ∴22tan tan 2c e aβα⋅==--. 离心率45e =， ∴5tan tan 22βα⋅=-. ∴tan tan 2βα⋅是定值, 其值为52-. ……10分。

2007年广州市普通高中毕业班综合测试(一)数 学(文 科)本试卷分选择题和非选择题两部分,共4页 满分150分. 考试用时120分钟. 注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上用2B 铅笔将答题卡上试卷类型(A)涂黑在答题卡右上角的“试室号”栏填写本科目试室号,在“座位号列表”内填写座位号,并用2B 铅笔将相应的信息点涂黑2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能答在试卷上3 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答的答案无效4.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将试卷和答题卡一并交回 参考公式:如果事件A 、B 互斥,那么P (A +B )=P (A )+P (B )第一部分 选择题(共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.1. 已知i 是虚数单位, 复数()21i +=A. 2iB. －2iC. 22i +D. 22i -2. 已知∈m R , 向量(),1m =a ,若2=a ,则m =A. 1B.C. 1±D. 3. 函数()()sin cos f x x x x =-∈R 的最小正周期是A. 2πB. πC. 2πD. 3π4. 如图1所示,U 是全集,AB 、是U 的子集,则阴影 部分所表示的集合是A. AB B. ()UBA ð C. AB D. ()UAB ð5. 如果一个椭圆的长轴长是短轴长的两倍,那么这个椭圆的离心率为 A.45 B. 23 C.22D.216. 如图2所示的算法流程图中(注:“1=A ”也可写成“1:=A ”或“1←A ”,均表示赋值语句),第3个输出的数是A.1B.32 C. 2 D. 527. 某市A 、B 、C 三个区共有高中学生20000人, 其中A 区高中学生7000人,现采用分层抽样的方法从这三个区所有高中学生中抽取一个容量为 600人的样本进行学习兴趣调查,则A 区应抽取 A. 200人 B. 205人C. 210人D. 215人 8. 下列函数中,既是偶函数又在()0,+∞上单调递增的是 图2 A. 3y x = B. cos y x = C. 21y x=D . ln y x =9. 如果一个几何体的三视图如图3所示(单位长度:cm), 则此几何体的表面积是A. (80+cm 2B. (96+cm 2C. 96 cm 2D. 112 cm 2图310. 如图4所示,面积为S 的平面凸四边形的第i 条边的边长记为()1,2,3,4i a i =,此四边形内任一点P 到第i 条边的距离记为()1,2,3,4i h i =,若31241234a a a a k ====,则()412i i Sih k ==∑.类比以上性质,体积为V 的三棱锥的第i 个面的面积记为()1,2,3,4i S i =, 此三棱锥内任一点Q 到第i 个面的距离记为()1,2,3,4i H i =,若31241234S S S S K ====, 则()41i i iH ==∑ A.4V K B. 3V K C. 2V K D. VK图4 第二部分 非选择题(共100分)二、填空题:本大题共5小题,其中11～13题是必做题,14～15题是选做题.每小题5分,满分20分. 11.命题“若0,m > 则方程20x x m +-=有实数根”的逆命题是 .12. 双曲线的中心在坐标原点,离心率等于2, 一个焦点的坐标为()0,2,则此双曲线的方程是 .13.不等式组20,20,220,x y x y x y -+≥⎧⎪++≥⎨⎪--≤⎩所确定的平面区域记为D .若点(),x y 是区域D 上的点,则2x y +的最大值是 ; 若圆:O 222x y r +=上的所有点都在区域D 上,则圆O 的面积的最大值是▲选做题:在下面两道小题中选做一题,两道都选的只计算第14题的得分.14. 如图5所示,圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ,4,8CD BD ==,则圆O 的半径等于 .15. 在极坐标系中,圆2ρ=上的点到直线()6sin 3cos =+θθρ 图5的距离的最小值是 .三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程. 16.(本小题满分12分)已知3sin 5θ=,0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,求tan θ和cos 2θ的值. 17.(本小题满分14分)如图6所示,在长方体1111ABCD A BC D -中,11,2AB BC BB ===, 连结C A 1 、BD .(Ⅰ)求证:1AC ⊥BD ； (Ⅱ)求三棱锥BCD A -1的体积. 图6 18.(本小题满分14分)函数()2xf x =和3()g x x =的图像的示意图如图7所示, 设两函数的图像交于点11(,)A x y ,22(,)B x y ,且12x x <. (Ⅰ)请指出示意图中曲线1C ,2C 分别对应哪一个函数? (Ⅱ)若1[,1]x a a ∈+,2[,1]x b b ∈+,且a ,b {}1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12∈,指出a ,b 的值,并说明理由； 图7 (Ⅲ)结合函数图像的示意图,判断(6)f ,(6)g ,(2007)f ,(2007)g 的大小,并按从小到大的顺序排列.19.(本小题满分12分)某工厂日生产某种产品最多不超过30件,且在生产过程中次品率p 与日产量x (*x ∈N )件间的关系为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<+≤<+=.3015,3000300,150,200202x x x x p每生产一件正品盈利2900元,每出现一件次品亏损1100元.(Ⅰ)将日利润y (元)表示为日产量x (件)的函数； (Ⅱ)该厂的日产量为多少件时,日利润最大？ (100%,1p =⨯=-次品个数注：次品率正品率产品总数p )20.(本小题满分14分)已知圆C :222210x y x y +--+=,直线l :y kx =,且l 与圆C 相交于P 、Q 两点,点()0,M b ,且MP MQ ⊥.(Ⅰ)当1b =时,求k 的值； (Ⅱ)当31,2b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,求k 的取值范围. 21.(本小题满分14分)设n S 是数列{}n a 的前n 项和,对任意n ∈N *总有()10,1n n S qa q q =+>≠,,m k ∈N *, 且m k ≠.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式n a ； (Ⅱ)试比较m k S +与()2212m k S S +的大小； (Ⅲ)当1q >时,试比较2m kS +与2211m kS S +的大小.2007年广州市普通高中毕业班综合测试(一)数学(文科)试题参考答案及评分标准一、选择题二、填空题: 本大题主要考查基本知识和基本运算. 本大题共5小题,其中11～13题是必做题,14～15题是选做题. 每小题5分,满分20分. 第13小题的第一个空2分、第二个空3分.11.若方程20x x m +-=有实数根, 则0m > 12.2213y x -= 13.14；45π 14. 5 15. 1 三、解答题16. 本小题主要考查三角函数的诱导公式及和(差)角公式等基础知识,考查运算能力.满分12分. 解:3sin 5θ=且0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,4cos 5θ∴===. ……4分sin 3tan cos 4θθθ∴==, ……8分 2cos 212sin θθ=-23712525⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭. ……12分17. 本小题主要考查空间线面关系,考查空间想象能力和推理运算能力.满分14分. (Ⅰ)证明:连AC .∵AB BC =,∴BD AC ⊥. …… 2分∵1A A ⊥底面ABCD ,∴1BD A A ⊥. …… 4分 ∵⊂A A 1平面⊂AC AC A ,1平面AC A 1,A AC A A = 1,∴1BD A AC ⊥平面. …… 6分∴1BD AC ⊥. ……8分 (Ⅱ)解:⊥A A 1 平面BCD ,∴1311AA S V BCD BCD A ∙=∆- ……11分 2112131⨯⨯⨯⨯=31=. …… 14分18. 本小题主要考查函数的概念、性质和图像及其应用,考查综合运用数学知识分析和解决问题能力. 满分14分. 解:(Ⅰ)1C 对应的函数为3()g x x =,2C 对应的函数为()2x f x =. ……4分 (Ⅱ)1a =,9b =. ……6分 理由如下:令3()()()2x x f x g x x ϕ=-=-,则1x ,2x 为函数()x ϕ的零点, 由于(1)10ϕ=>,(2)40ϕ=-<,93(9)290ϕ=-<,103(10)2100ϕ=->, 则方程()()()x f x g x ϕ=-的两个零点1x ∈(1,2),2x ∈(9,10),因此整数1a =,9b =. ……9分 (Ⅲ)从图像上可以看出,当12x x x <<时,()()f x g x <,∴(6)f <(6)g . …11分 当2x x >时,()()f x g x >,∴(2007)g <(2007)f , ……13分(6)g <(2007)g ,∴(6)f <(6)g <(2007)g <(2007)f .……14分19. 本小题主要考查函数和导数的应用,考查综合运用数学知识分析和解决实际问题能力.满分12分.解:(Ⅰ)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<⨯+⨯-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-≤<⨯+⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=.3015,30003001100300030012900,150,200201100200201290022x x x x x x x x x x y ⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤<-=.3015,342500,150,20250032x x x x x x ……4分 (Ⅱ)当150≤<x 时,222212520212520202500⎪⎭⎫⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=x x x y .∴当15=x 时, y 取得最大值33000(元). ……6分当3015≤<x 时,2'42500x y -=. 令'0y =,得25=x . 当2515<<x 时,'0y >；当3025≤<x 时,'0y <.3342500x x y -=∴在区间(]25,15上单调递增,在区间[]30,25上单调递减. ……8分 故当25=x 时,y 取得最大值是312500025342525003=⨯-⨯ (元). ……10分312500033000< ,∴当25=x 时,y 取得最大值3125000(元).答: 该厂的日产量为25件时, 日利润最大. ……12分20. 本小题主要考查直线和圆的位置关系,考查综合运用数学知识分析和解决问题能力. 满分14分. 解: (Ⅰ)圆C :()()22111x y -+-=,当1b =时,点()0,M b 在圆C 上,当且仅当直线l 经过圆心C 时, 满足MP MQ ⊥. ……2分 圆心C 的坐标为()1,1, 1k ∴=. ……4分(Ⅱ)由()()22,11 1.y kx x y =⎧⎪⎨-+-=⎪⎩消去y 得:()()2212110k x k x +-++=. ① 设()()1122,,,P x y Q x y ,()121222211,11k x x x x k k+∴+==++. …… 6分 MP MQ ⊥,0=∙∴.()()0,,2211=-∙-∴b y x b y x , 即()()02121=--+b y b y x x .1122,y kx y kx ==,()()12120kx b kx b x x ∴--+=, 即()()22121210k x x kb x x b +-++= . ……8分()()22222111011k k kb b k k +∴+-+=++, 即()2221111k k b b k b b++==++. 令()1f b b b =+, 则()'211f b b =-.当31,2b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时, ()'211f b b =->0. ()f b ∴在区间31,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增.∴当31,2b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()132,6f b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. ……11分 ()22113216k k k +∴<<+.即()()()()222121,13211.6k k k k k k ⎧+>+⎪⎨+<+⎪⎩解得1,66k k k>⎧⎪⎨>+<-⎪⎩ 16k ∴<<6k >……13分由①式得()()2221410k k∆=+-+>⎡⎤⎣⎦, 解得0k >.16k ∴<<6k >k ∴的取值范围是(()1,6623,++∞.…14分21. 本小题主要考查数列的概念和不等式等知识,考查综合运用数学知识分析和解决问题能力.满分14分. 解:(Ⅰ)当1n =时,1111a S qa ==+,∴≠,1q 111a q=-. ……1分 1n n S qa =+, ①111n n S qa ++∴=+. ②②-①得11n n n n S S qa qa ++-=-,11n n n a qa qa ++∴=-.()111,1,1n n n n qq a qa q a a q ++∴-=≠∴=-. ……3分 ∴数列{}n a 是首项为11q -,公比为1qq -的等比数列.∴1111n n q a q q -⎛⎫=⨯ ⎪--⎝⎭. ……4分(Ⅱ)由(Ⅰ)得1111111n nn n qq q S qa q q q -⎛⎫⎛⎫=+=⨯+=- ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭. ……5分令1qt q =-, 则1m k m k S t ++=- ,22221,1m k m k S t S t =-=-. ()()()()22221111122m km k m k m k S S S t t t ++⎡⎤∴-+=---+-⎣⎦ ……7分 ()22122m k m kt t t +⎡⎤=+-⎣⎦()2102m k t t =-≥.m k S +∴≥()2212m k S S +.……9分 (Ⅲ)当1q >时,11>-=q qt , m k ≠,22m k t t ∴≠,2210,10,10m k m k t t t +-<-<-<.22221111m k m k S S S S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-+=-+->= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ……11分0<()()()222222221111m k m km k m k t t tt t t ++--=-++<-()21m k t +=-. ()()()22211111mkm kttt +∴>---. ……13分22112m k S S ⎛⎫∴-+> ⎪⎝⎭221m km kS t++==--..11222km km S S S +>∴+. ……14分。

广东高考文科数学近7年试题分类汇编1.集合与简易逻辑(2007年高考广东卷第1小题)已知集合1{10{0}1M x x N x x=+>=>-，，则M N =（C ）A ．{11}x x -<≤B ．{1}x x >C ．{11}x x -<<D ．{1}x x -≥(2008年高考广东卷第1小题)第二十九届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行，若集合A={参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B={参加北京奥运会比赛的男运动员}，集合C={参加北京奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是（D ） A. A B ⊆B. B C ⊆C. B ∪C = AD. A ∩B = C(2009年高考广东卷第1小题).已知全集U=R ，则正确表示集合M= {－1，0，1} 和N= { x |x 2+x=0} 关系的韦恩（V enn ）图是 【答案】B【解析】由N= { x |x 2+x=0}{1,0}-得N M ⊂,选B.(2010年高考广东卷第1小题)若集合A =｛0，1，2，3｝，B =｛1，2，4｝，则集合A B =( A.)A ．｛0，1，2，3，4｝B ．｛1，2，3，4｝C ．｛1，2｝D ．｛0｝(2010年高考广东卷第8小题) “x >0”是成立的( A.)A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．非充分非必要条件D ．充要条件 (2011年高考广东卷第2小题)已知集{}{}22(,),1,(,),1A x y x y x y B x y x y x y =+==+=为实数，且为实数，且，则A B 的元素个数为(C)A ．4 B.3 C.2 D. 1(2012年高考广东卷第2小题)2．设集合{}1,2,3,4,5,6U =,{}1,3,5M =，则U C M =(A) A ．{}2,4,6 B ．{}1,3,5 C ．{}1,2,4 D ．U (2013年高考广东卷第1题)1．已知集合{}220,S x x x x R=+=∈，{}220,T x xx x R=-=∈，则ST =（ A ）A.{0}B.{0,2}C.{-2,0}D. {-2,0,2} 2.复数(2007年高考广东卷第2小题)若复数(1)(2)bi i ++是纯虚数（i 是虚数单位，b 是实数），则b =（ D ） A ．2-B ．12-C ．12D ．2(2008年高考广东卷第2小题)已知0<a <2，复数z = a + i （i 是虚数单位），则|z|的取值范围是（ B ）A. （1，5）B. （1，3）C. （1D. （1(2009年高考广东卷第2小题)下列n 的取值中，使ni =1(i 是虚数单位）的是 A.n=2 B .n=3 C .n=4 D .n=5 【答案】C 【解析】因为41i =,故选C.(2011年高考广东卷第1小题)设复数z 满足iz = 1，其中i 为虚数单位，则z = (A) A ．- i B ．i C ．- 1 D ．1 (2012年高考广东卷第1小题) 1．设i 为虚数单位，则复数34ii+=(D) A ．43i -- B ．43i -+ C ．43i + D ．43i - （2013年高考广东卷第3题）3.若i(x+yi)=3+4i,x,y ∈R,则x+yi 的模是（ D ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3.向量(2007年高考广东卷第4小题)若向量a b ，满足1a b ==，a 与b 的夹角为60°，则a a a b +=··（ B ）Ａ．12Ｂ．32Ｃ．1 Ｄ．2(2008年高考广东卷第3小题)已知平面向量a =（1，2），b =（－2，m ），且a ∥b ，则2a + 3b =（B ） A. （－5，－10） B . （－4，－8） C. （－3，－6） D. （－2，－4）(2009年高考广东卷第3小题)已知平面向量a =,1x （） ，b =2,x x （－）， 则向量+a b （ ）A 平行于x 轴 B.平行于第一、三象限的角平分线 C.平行于y 轴 D.平行于第二、四象限的角平分线【解析】+a b 2(0,1)x =+,由210x +≠及向量的性质可知,C 正确.(2010年高考广东卷第5小题)若向量a =（1,1），b =（2,5），c =(3,x )满足条件 (8a －b )·c=30，则x = (C) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3(2011年高考广东卷第3小题)已知向量(1,2),(1,0),(3,4)a b c ===．若λ为实数,()//,a b c λλ+=则 (B) A ．14 B.12C.1D. 2 (2012年高考广东卷第3小题)若向量(1,2),(3,4)AB BC ==，则AC =(A) A ． (4,6) B ． (4,6)-- C ． (2,2)-- D ． (2,2)(2012年高考广东卷第10小题) 对任意两个非零的平面向量,αβ，定义αβαβββ⋅=⋅．若平面向量,a b 满足0a b ≥>，a 与b 的夹角0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且αβ和βα都在集合|2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中，则a b =(D)A ．52 B ． 32 C ． 1 D ． 12（2013年高考广东卷）10.设a 是已知的平面向量且a ≠0。

2007年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(文科)本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时l20分钟。

参考公式：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+． 用最小二乘法求线性同归方程系数公式一、选择题：本大题共l0小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中。

只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合M={x|10x +>}，N={x|101x>-}，则M ∩N= A ．{x|-1≤x ＜0} B ．{x |x>1} C ．{x|-1＜x ＜0} D ．{x |x ≥-1}2．若复数(1)(2)bi i ++是纯虚数(i 是虚数单位，b 是实数)，则b = A ．-2 B ．12-C. D ．2 3．若函数3()f x x =(x R ∈)，则函数()y f x =-在其定义域上是 A ．单调递减的偶函数 B.单调递减的奇函数 C ．单凋递增的偶函数 D.单涮递增的奇函数4．若向量a 、b 满足|a |=|b |=1，a 与b 的夹角为60︒，则a a +a b =A ．12 B ．32C. 12+ D ．25．客车从甲地以60km ／h 的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以 80km ／h 的速度匀速行驶l 小时到达丙地。

下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达 丙地所经过的路程s 与时间t 之间关系的图象中，正确的是6若l 、m 、n 是互不相同的空间直线，n 、口是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是 A ．若//,,l n αβαβ⊂⊂，则//l n B ．若,l αβα⊥⊂，则l β⊥ C. 若,l n m n ⊥⊥，则//l m D ．若,//l l αβ⊥，则//αβ 7．图l 是某县参加2007年高考的 学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记 为1A 、2A 、…、m A (如2A 表示身高(单位：cm )在[150， 155)内的学生人数)．图2是统计 图l 中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计 身高在160～180cm (含 160cm ，不含180cm )的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是A ．9i <B ．8i <C ．7i <D ．6i <8．在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是A ．310 B ．15 C ．110 D ．1129．已知简谐运动()2sin()()32f x x ππϕϕ=+<的图象经过点(0，1)，则该简谐运动的最小正周期T 和初相ϕ分别为A ．6,6T πϕ==B ．6,3T πϕ==C ．6,6T ππϕ==D ．6,3T ππϕ==10．图3是某汽车维修公司的维修点环形分布图公司在年初分配给A 、B 、C 、D 四个维修点某种配件各50件．在使用前发现需将A 、B 、C 、D 四个维修点的这批配件分别调整为40、45、54、61件，但调整只能在 相邻维修点之间进行．那么要完成上述调整，最少的调动件次(n 件 配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n )为 A ．18 B ．17 C ．16 D ．15二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．11．在平面直角坐标系xoy 中，已知抛物线关于x 轴对称，顶点在原点O ，且过点P(2，4)，则该抛物线的方程是 ．12．函数()ln (0)f x x x x =>的单调递增区间是 ．13．已知数列{n a }的前n 项和29n S n n =-，则其通项n a = ；若它的第k 项满足58k a <<，则k = ．14．(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，直线l 的方程为sin 3ρθ=，则点(2,)6π到直线l 的距离为 ．15．(几何证明选讲选做题)如图4所示，圆O 的直径AB=6，C 为圆周 上一点，3BC =过C 作圆的切线l ，过A 作l 的垂线AD ，垂足为D ， 则∠DAC= ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．(本小题满分14分)已知ΔABC 三个顶点的直角坐标分别为A(3，4)、B(0，0)、C(c ，0)． (1)若AB ·AC=0，求c 的值；(2)若5c =，求sin ∠A 的值． 17．(本小题满分12分)已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形，正视图(或称主 视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视 图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形． (1)求该几何体的体积V ； (2)求该几何体的侧面积S 18(本小题满分12分)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生 产能耗y (吨标准煤)的几组对照数据 (1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法于x 的线性回归方程y bx a =+；求出y 关(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性 同归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤? (参考数值：3 2.543546 4.566.5⨯+⨯+⨯+⨯=) 19(本小题满分14分)在平面直角坐标系xoy 中，已知圆心在第二象限、半径为2／2的圆C 与直线y x =相切于坐标原点O ．椭圆22219x y a +=与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10． (1)求圆C 的方程；(2)试探究圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF 的长．若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 20．(本小题满分14分)已知函数2()1f x x x =+-，α、β是方程()0f x =的两个根(αβ>)，()f x '是f(x)的导数设11a =，1()()n n n n f a a a f a +=-'，(1,2,)n =. (1)求α、β的值；(2)已知对任意的正整数n 有n a α>,记ln n n n a b a βα-=-,(1,2,)n =.求数列{n b }的前n 项和n S ． 21．(本小题满分l4分)已知a 是实数，函数2()223f x ax x a =+--．如果函数()y f x =在区间[1,1]-上有 零点，求a 的取值范围．2007年普通高考广东(文科数学)试卷(A 卷)参考答案一选择题: 1-10 CDBBC DBAAC二填空题: 11. 28y x = 12. 1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭13. 2n-10 ; 8 14. 2 15. 30︒三解答题:16.解: (1) (3,4)AB =-- (3,4)A C c =-- 由 3(3)16253AB AC c c =--+=-= 得 253c =(2) (3,4)AB =-- (2,4)AC =-17解: 由已知可得该几何体是一个底面为矩形,高为4,顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥V-ABCD ;(1) ()1864643V =⨯⨯⨯= (2) 该四棱锥有两个侧面V AD. VBC 是全等的等腰三角形,且BC 边上的高为1h == 另两个侧面V AB. VCD 也是全等的等腰三角形,AB 边上的高为25h ==因此112(685)4022S =⨯⨯⨯⨯=+18解: (1) 散点图略 (2)4166.5i ii X Y ==∑ 4222221345686ii X==+++=∑ 4.5X = 3.5Y =266.54 4.5 3.566.563ˆ0.7864 4.58681b -⨯⨯-===-⨯- ; ˆˆ 3.50.7 4.50.35a Y bX =-=-⨯= 所求的回归方程为 0.70.35y x =+ (3) 100x =, 1000.35y =+预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低9070.3519.65-=(吨)19解:(1) 设圆C 的圆心为 (m, n)则 222m nn =-⎧⎪⎨=⎪⎩ 解得22m n =-⎧⎨=⎩所求的圆的方程为 22(2)(2)8x y ++-=(2) 由已知可得 210a = 5a =椭圆的方程为221259x y += ,右焦点为 F( 4, 0) ;假设存在Q 点()2,2θθ-++使QF OF =,整理得sin 3cos θθ=+ 代入 22sin cos 1θθ+= 得:210cos 70θθ++= ,cos 11010θ--==<-因此不存在符合题意的Q 点. 20解:(1) 由 210x x +-=得x =(2) ()21f x x '=+ 221112121n n n n n n n a a a a a a a ++-+=-=++ ∴ 12n n b b += 又111l nl 4a b a βα-===- ∴数列{}n b 是一个首项为公比为2的等比数列; 21解: 若0a = , ()23f x x =- ,显然在上没有零点, 所以 0a ≠令 ()248382440a a a a ∆=++=++= 得a =当a =时, ()y f x =恰有一个零点在[]1,1-上; 当 ()()()()11150f f a a -=--< 即 15a << 时, ()y f x =也恰有一个零点在[]1,1-上; 当 ()y f x =在[]1,1-上有两个零点时, 则()()208244011121010a a a a f f >⎧⎪∆=++>⎪⎪-<-<⎨⎪≥⎪⎪-≥⎩ 或()()208244011121010a a a a f f <⎧⎪∆=++>⎪⎪-<-<⎨⎪≤⎪⎪-≤⎩解得5a ≥或32a --<因此a 的取值范围是 1a > 或32a -≤2008年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，满分50分。

2007年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(文科)本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时l20分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点 涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色宁迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号(或题组号)对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+． 如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P A B P A P B ⋅=⋅．用最小二乘法求线性同归方程系数公式一、选择题：本大题共l0小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中。

只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合M={x|10x +>}，N={x|101x>-}，则M ∩N= A ．{x|-1≤x ＜1} B ．{x |x>1} C ．{x|-1＜x ＜1} D ．{x |x ≥-1}【解析】通过解不等式我们得到M=(-1，+∞)，N=(-∞，1)，因而M ⋂N=(-1，1)，故选C 。

答案：C 2．若复数(1)(2)bi i ++是纯虚数(i 是虚数单位，b 是实数)，则b = A ．-2 B ．12-C. 12D ．2 【解析】(1+bi)(2+i)=2-b+(1+2b)i ，而复数(1+bi)(2+i)是纯虚数，那么由2-b=0且1+2b ≠0得b=2，故选D 。

2007年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(文科)本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时l20分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用28铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2．选择题每小题选出答案后，用28铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色宁迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用28铅笔填涂选做题的题号(或题组号)对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：锥体的体积公式y=sh，其中s是锥体的底面积，h是锥体的高．如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)．用最小二乘法求线性同归方程系数公式一、选择题：本大题共l0小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中。

只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合M={x|1 1+x>0}，N={x|>0}，则M∩N=A．{x|-1≤x＜0} B．{x |x>1}C．{x|-1＜x＜0} D．{x |x≥-1}2．若复数(1+bi)(2+i)是纯虚数(i是虚数单位，b是实数)，则b=A．-2 B． C. D．23．若函数f(x)=x3(x∈R)，则函数y=f(-x)在其定义域上是A．单调递减的偶函数 B.单调递减的奇函数C．单凋递增的偶函数 D．单涮递增的奇函数4．若向量a、b满足|a|=|b|=1，a与b的夹角为60。

，则a·a+a·b=5．客车从甲地以60km／h的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km／h的速度匀速行驶l小时到达丙地。

试卷类型：A2007年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）化 学本试卷共10页，29小题，满分150分。

考试分时120分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答案题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4.作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5.考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

可能用到的原子量：H1 C12 N14 O16 Na23 Mg24 Al27 S32 Cl35.5 K39 Ca40 Mn55 Fe56 Pt195 一、选择题（本题包括10小题，每小题3分，共30分。

每小题只有一个．．．．选项符合题意） 1.铋（Bi ）在医药方面都有重要应用。

下列关于Bi 20983和Bi 21083的说法正确的是（ ） A ．Bi 20983和Bi 21083都含有83个中子 B ．Bi 20983和Bi 21083互为同位素 C ．Bi 20983和Bi 21083的核外电子数不同D ．Bi 20983和Bi 21083分别含有126和127个质子2．下列可用于测定溶液pH 且精确度最高的是（ ） A ．酸碱指示剂 B ．pH 计 C ．精密pH 试纸 D ．广泛pH 试纸 3．下列叙述正确的是（ ）A ．48 g O 3气体含有6.02×1023个O 3分子B ．常温常压下，4.6 g NO 2气体含有1.81×1023个NO 2分子C ．0.5 mol ·L -1CuCl 2溶液中含有3.01×1023个Cu 2+D ．标准状况下，33.6 L H 2O 含有9.03×1023个H 2O 分子4．许多国家十分重视海水资源的综合利用。

2007年高考（广东卷)数学试题分析江门教研室 李义仁我们拟从《课标》看试题的科学内涵，从实验教材看解题的教学要求。

我们选用的试卷类型是：文B 理A 。

1．（文1）已知集合{}01|>+=x x M ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-=011|x x N ，则=N M A ．{}11|<≤-x x B ．{}11|<<-x x C ．{}1|>x x D ．{}1|-≥x x(理1)已知函数x x f -=11)(的定义为M ，)1ln()(x x g +=的定义域为N ，则=N MA ．{}1|->x xB ．{}11|<<-x xC ．{}1|<x xD ．φ它们都是求集合交的运算,理科题的内涵和解题要求略高于文科题。

文科题的难点在于确定集合N ,因为解分式不等式是初高中数学的盲点；理科题不需要解分式不等式，但要“会求一些简单函数的定义域”，尽管教材淡化了这方面的内容。

2．（文2、理2）若复数)2)(1(i bi ++是纯虚数（i 是虚数单位,b 是实数)，则=bA ．2-B ．21-C ．21 D ．2 本题考查复数概念、复数代数形式的四则运算。

3．（文3）若函数)()(3R x x x f ∈=，则函数)(x f y -=在其定义域上是A ．单调递减的偶函数B ．单调递增的偶函数C ．单调递减的奇函数D ．单调递增的奇函数（理3)若函数)(21sin )(2R x x x f ∈-=,则)(x f 是 A ．最小正周期为π的偶函数 B ．最小正周期为π的奇函数C ．最小正周期为π2的偶函数D ．最小正周期为2π的奇函数 它们都考查函数的基本性质，每个试题都涉及函数的简单运算，函数的两个基本性质.4．(文4）若向量 a 、 b 满足1| || |==b a ， a 与 b 的夹角为060,则=⋅+⋅b a a aA ．2B ．231+C ．23D ．21 （理10）若向量 a 、 b 满足1| || |==b a ， a 与 b 的夹角为0120，则=⋅+⋅b a a a ．它们都是考查向量的数量积运算。

2007年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数 学(文科)参考公式：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+．用最小二乘法求线性回归方程系数公式1221ni ii nii x y nx yb xnx==-=-∑∑，a y bx =-．一、选择题：本大题共l0小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={x|10x +>}，N={x|101x>-}，则M ∩N= A ．{x|-1≤x ＜1} B ．{x|x >1} C ．{x|-1＜x ＜1} D ．{x|x ≥-1}2．若复数(1)(2)bi i ++是纯虚数(i 是虚数单位，b 是实数)，则b = A ．-2 B ．12-C.21D ．2 3．若函数3()f x x =(x R ∈)，则函数()y f x =-在其定义域上是A ．单调递减的偶函数B .单调递减的奇函数C ．单凋递增的偶函数 D.单调递增的奇函数4．若向量a 、b 满足|a |=|b |=1，a 与b 的夹角为60︒，则a a +a b = A ．12 B ．32 C. 12+．2 5．客车从甲地以60km ／h 的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km ／h 的速度匀速行驶l 小时到达丙地.下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s 与时间t 之间关系的图象中，正确的是6．若l 、m 、n 是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是 A ．若//,,l n αβαβ⊂⊂，则//l n B ．若,l αβα⊥⊂，则l β⊥ C. 若,l n m n ⊥⊥，则//l m D ．若,//l l αβ⊥，则αβ⊥ 7．图l 是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右 的各条形表示的学生人数依次记 为1A 、2A 、…、10A (如2A 表示身高(单位：cm )在[150，155) 内的学生人数)．图2是统计图l 中身高在一定范围内学生人数的 一个算法流程图．现要统计身高 在160～180cm (含160cm ，不 含180cm )的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是A ．9i <B ．8i <C ．7i <D ．6i <8．在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是 A ．310 B ．15 C ．110 D ．1129．已知简谐运动()2sin()()32f x x ππϕϕ=+<的图象经过点(0，1)，则该简谐运动的最小正周期T 和初相ϕ分别为 A ．6,6T πϕ==B ．6,3T πϕ==C ．6,6T ππϕ==D ．6,3T ππϕ==10．图3是某汽车维修公司的维修点环形分布图.公司在年初分配给A 、B 、C 、D 四个维修点某种配件各50件．在使用前发现需将A 、B 、C 、 D 四个维修点的这批配件分别调整为40、45、54、61件，但调整只能 在相邻维修点之间进行.那么要完成上述调整，最少的调动件次(n 件 配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n )为A ．18B ．17C ．16D ．15二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．11．在平面直角坐标系xoy 中，已知抛物线关于x 轴对称，顶点在原点O ，且过点P(2，4)，则该抛物线的方程是 ．12．函数()ln (0)f x x x x =>的单调递增区间是 ．13．已知数列{n a }的前n 项和29n S n n =-，则其通项n a = ；若它的第k 项满足58k a <<，则k = ．14．(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，直线l 的方程为sin 3ρθ=，则点(2,)6π到直线l 的距离为 ．15．(几何证明选讲选做题)如图4所示，圆O 的直径AB=6， C 为圆周上一点，3BC =.过C 作圆的切线l ，过A 作l 的 垂线AD ，垂足为D ，则∠DAC= ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．(本小题满分14分)已知ΔABC 三个顶点的直角坐标分别为A(3，4)、B(0，0)、C(c ，0)． (1)若0AB AC =，求c 的值；(2)若5c =，求sin ∠A 的值．17．(本小题满分12分)已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视 图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形． (1)求该几何体的体积V ； (2)求该几何体的侧面积S.18.(本小题满分12分)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对照数据.(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆy bxa =+； (3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性同归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤? (参考数值：3 2.543546 4.566.5⨯+⨯+⨯+⨯=)19.(本小题满分14分)在平面直角坐标系xoy 中，已知圆心在第二象限、半径为22的圆C 与直线y x =相切于坐标原点O ．椭圆22219x y a +=与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10． (1)求圆C 的方程；(2)试探究圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF 的长．若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．20．(本小题满分14分)已知函数2()1f x x x =+-，α、β是方程()0f x =的两个根(αβ>)，()f x '是)(x f 的导数.设11a =，1()()n n n n f a a a f a +=-'(1,2,)n =. (1)求α、β的值；(2)已知对任意的正整数n 有n a α>,记ln n n n a b a βα-=-(1,2,)n =.求数列{n b }前n 项和n S .21．(本小题满分l4分)已知a 是实数，函数2()223f x ax x a =+--．如果函数()y f x =在区间[1,1]-上有零点，求a 的取值范围．2007年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学(文科)试题参考答案一、选择题: CDBBC DBAAC二、填空题: 11. 28y x = 12. 1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 13. 2n -10； 8 14. 2 15. 30︒三、解答题:16.解: (1) (3,4)AB =--, (3,4)AC c =--,由 3(3)162530AB AC c c =--+=-= 得 253c =. (2) (3,4)AB =--, (2,4)AC =-, cos5AB AC A AB AC∠===sin 5A ∠==. 17．解: 由已知可得该几何体是一个底面为矩形,高为4,顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥V-ABCD.(1) ()1864643V =⨯⨯⨯=. (2) 该四棱锥有两个侧面V AD,VBC 是全等的等腰三角形,且BC 边上的高为1h ==另两个侧面V AB,VCD 也是全等的等腰三角形,AB 边上的高为 25h ==.因此 112(685)4022S =⨯⨯⨯⨯=+18解: (1) 散点图略. (2)4166.5i ii X Y ==∑, 4222221345686ii X==+++=∑, 4.5X =, 3.5Y =,266.54 4.5 3.566.563ˆ0.7864 4.58681b -⨯⨯-===-⨯-, ˆˆ 3.50.7 4.50.35a Y bX =-=-⨯=. 所求的回归方程为 0.70.35y x =+.(3) 100x =, 700.3570.35y =+=.预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低9070.3519.65-=(吨). 19解:(1) 设圆C 的圆心为)0)(,(>n n m .则 222m nn =-⎧⎪⎨=⎪⎩解得22m n =-⎧⎨=⎩所求的圆的方程为 22(2)(2)8x y ++-=.(2) 由已知可得210a =,5a =.椭圆的方程为221259x y +=,右焦点为 F(4, 0). 假设存在Q 点(,)x y 使QF OF =, 则F 在OQ 的中垂线上，又O 、Q 在圆C 上，所以O 、Q 关于直线CF 对称.直线CF 的方程为340x y +-=，设Q （x,y ），则334022yx x y ⎧=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩，解得45125x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以存在点Q 412(,)55，使Q 到椭圆的右焦点F 的距离等于线段OF 的长.20解:(1) 由 210x x +-=得x =α∴=β=.(2) ()21f x x '=+, 221112121n n n n n n n a a a a a a a ++-+=-=++.(22112211.n n n n n n n nn a a a a a a a a βαβα++++++-==-⎛⎫ ⎪⎛⎫-== ⎪-⎝⎭∴ 12n n b b +=, 又1111ln4ln2a b a βα-+===-∴数列{}n b 是一个首项为 14ln2公比为2的等比数列.∴)()4ln1212421ln 122n n n S -+==--. 21解1: 若0a =,()23f x x =-, 显然在[1,1]-上没有零点, 所以 0a ≠. 令 ()248382440a a a a ∆=++=++=, 得a =当a =, ()y f x =恰有一个零点在[]1,1-上； 当()()()()11150f f a a -=--≤,即15a ≤≤时,()y f x =也有零点在[]1,1-上； 当 ()y f x =在[]1,1-上有两个零点时, 则()()208244011121010a a a a f f >⎧⎪∆=++>⎪⎪-<-<⎨⎪≥⎪⎪-≥⎩或()()208244011121010a a a a f f <⎧⎪∆=++>⎪⎪-<-<⎨⎪≤⎪⎪-≤⎩解得5a ≥或32a -<. 因此，a 的取值范围是 1a ≥ 或a ≤. 解2：a =0时，不符合题意，所以a ≠0.又2()223f x ax x a =+--=0在[-1，1]上有解2(21)32x a x ⇔-=-在[-1，1]上有解 212132x a x -⇔=-在[-1，1]上有解，问题转化为求函数22132x y x -=-在[-1，1]上的值域. 设t=3-2x ，x ∈[-1，1]，则t ∈[1,5]，21(3)217(6)22t y t t t --=⋅=+-，设2277(),'()t g t t g t t t -=+=，t ∈时，'()0g t <，g(t)单调递减，t ∈时，'()g t >0,g(t)单调递增，∴y的取值范围是3,1]，∴2()223f x ax x a =+--=0在[-1，1]上有解⇔1a∈3,1]1a ⇔≥或a ≤.。