2013年杨浦区高三数学一模答案

专题九 复数2013年2月（黄浦区2013届高三一模 理科）16．若cos isin z θθ=+（R θ∈，i 是虚数单位），则|22i |z --的最小值是 （ ）A ．22B ．2C ．122+D ．122-16．D（青浦区2013届高三一模）17．已知复数i z 210+=在复平面上对应点为0P ，则0P 关于直线zi z l =--22:的对称点的复数表示是……………………………………………………………………………（ .B ）．A .i - .B iC .i -1D .i +1（崇明县2013届高三一模）16、下面是关于复数21z i=-+的四个命题： ①2z =； ②22z i =； ③z 的共轭复数为1i +； ④z 的虚部为1-．其中正确的命题……………………………………………………………………………（ ）A ．②③B ．①②C ．②④D ．③④16、C（金山区2013届高三一模）6．若复数(1+2i)(1+a i)是纯虚数，(i 为虚数单位)，则实数a 的值是 ．6．21（崇明县2013届高三一模）1、设复数(2)117z i i -=+（i 为虚数单位），则z = . 1、3+5i（宝山区2013届期末） 1.在复数范围内，方程210x x ++=的根是．12-± （宝山区2013届期末）4.已知复数(2)x yi -+(,x y R ∈)的模为,则yx的最大值是 . 3（长宁区2013届高三一模）6、（理）已知z ∈C ，z 为z 的共轭复数，若10110i 0zz z =（i 是虚数单位），则z = ． 6、（理）0，i -（杨浦区2013届高三一模 理科）2．若复数iiz -=1 (i 为虚数单位) ，则=z . 2．2；（松江区2013届高三一模 理科）20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分已知z C ∈，且满足2()52z z z i i ++=+． （1）求z ；（2）若m R ∈，w zi m =+，求证：w 1≥．20．解：（1）设(,)z a bi a b R =+∈，则222z a b =+，()2z z i ai += …………2分 由22252a b ai i ++=+得22522a b a ⎧+=⎨=⎩……………………………4分解得12a b =⎧⎨=⎩ 或 12a b =⎧⎨=-⎩……………………………… 5分∴12z i =+或12z i =-……………………………… 7分 （2）当12z i =+时，(12)2w zi m i i m i m =+=++=-++=1≥…………………… 10分当12z i =-时，(12)2w zi m i i m i m =+=-+=++=1≥………………………13分∴w 1≥ ……………………………14分 （浦东新区2013届高三一模 理科）21．（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知复数122sin ,1(2cos )z z i θθ==+，[,]32ππθ∈.（1）若12z z ⋅为实数，求角θ的值；（2）若复数12,z z 对应的向量分别是,a b ，存在θ使等式()()0a b a b λλ→→→→+⋅+=成立， 求实数λ的取值范围. 解：（1）[]i i z z )cos 2(1)3sin 2(21θθ+-=⋅(2sin )(2sin 2i R θθθ=++∈， (2)分232sin =∴θ，……………………………………………………………………4分 又πθπ≤≤232，πθ322=∴，即3πθ=.……………………………………6分（2）228a b +=，………………………………………………………………………8分2sin a b θθ⋅=-，………………………………………………………10分)()(→→→→+⋅+b a b a λλ0)1()(222=⋅+++=→→→→b a b a λλ.得0)cos 32sin 2)(1(82=-++θθλλ，整理得)3sin(122πθλλ--=+.……12分 因为]6,0[3ππθ∈-，所以]21,0[)3sin(∈-πθ. 只要012212≤+≤-λλ即可，………………13分解得32--≤λ或032≤≤+-λ.……………………………………………14分（嘉定区2013届高三一模 理科）19．（本题满分12分）设复数i a z ⋅++-=)cos 1(2)sin 4(22θθ，其中R ∈a ，),0(πθ∈，i 为虚数单位．若z 是方程0222=+-x x 的一个根，且z 在复平面内对应的点在第一象限，求θ与a 的值．19．（本题满分12分）方程0222=+-x x 的根为i x ±=1．………………（3分）因为z 在复平面内对应的点在第一象限，所以i z +=1，………………（5分）所以⎩⎨⎧=+=-1)cos 1(21sin 422θθa ，解得21cos -=θ，因为),0(πθ∈，所以32πθ=，……（8分）所以43sin 2=θ，所以4sin 4122=+=θa ，故2±=a ．…………（11分）所以3πθ2=，2±=a ．…………（12分）。

2012学年静安、杨浦、青浦、宝山区高三年级高考模拟考试数学试卷（文科） 2013.04.一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知全集R U =，集合{}0322>--=x x x A ，则=A C U . 2．若复数z 满足)2(z i z -=（i 是虚数单位），则=z . 3．已知直线012=++y x 的倾斜角大小是θ，则=θ2tan .4．若关于y x 、的二元一次方程组⎩⎨⎧=-+-=+-04)12(03y x m y mx 有唯一一组解，则实数m 的取值范围是 .5．已知函数)(x f y =和函数)1(log 2+=x y 的图像关于直线=-y x 则函数)(x f y =的解析式为 .6．已知双曲线的方程为1322=-y x 离为 .7．函数xx xx x f cos sin sin cos )(=的最小正周期=T .8．若⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥621y x y x ，则目标函数y x z +=2的最小值为 .9．执行如图所示的程序框图，若输入p 的值是7，则输出S 的值是 . [来源:学|科|网Z|X|X|K]10．已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm ，如果圆锥的体积恰好也与球的体积相等，那么这个圆锥的母线长为 cm ．11．某中学在高一年级开设了4门选修课，每名学生必须参加这4门选修课中的一门，对于该年级的甲乙2名学生，这2名学生选择的选修课相同的概率是 (结果用最简分数表示)．12．各项为正数的无穷等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1lim1=+∞→n nn S S ，则其公比q 的取值范围是 .13．已知函数x x x f =)(.当[]1,+∈a a x 时，不等式)(4)2(x f a x f >+恒成立，则实数a 的取值范围是 .14．函数)(x f y =的定义域为[)(]1,00,1 -，其图像上任一点),(y x P 满足122=+y x ．① 函数)(x f y =一定是偶函数；② 函数)(x f y =可能既不是偶函数，也不是奇函数； ③ 函数)(x f y =可以是奇函数；④ 函数)(x f y =如果是偶函数，则值域是[)1,0或(]0,1-； ⑤ 函数)(x f y =值域是()1,1-，则)(x f y =一定是奇函数． 其中正确命题的序号是 （填上所有正确的序号）．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分. 15．已知),2(ππα∈，53sin =α，则)4tan(πα-的值等于………………………（ ）（A ）71. （B ）71- . （C ）7 . （D ）7-.16．一个空间几何体的正视图、侧视图为两个边长是1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，则这个几何体的表面积等于…（ ）（A ） 22+. （B ）23+. （C ）24+. （D ）6.17． 若直线2=+by ax 通过点)sin ,(cos ααM ，则 ………………………………（ ）（A ） 422≤+b a . （B ）422≥+b a （C ）41122≤+b a . （D ）41122≥+ba .18．某同学为了研究函数)10()1(11)(22≤≤-+++=x x x x f 的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD 和BEFC ，点P 是边BC 上的一个动点，设x CP =，则PF AP x f +=)(．那么，可推知方程222)(=x f 解的个数是………………………………………………………（ ）（A ）0. （B ）1. （C ）2. （D ）4.三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（本题满分12分）本题共有2小题，第1小题满分7分 ．如图，设计一个正四棱锥形冷水塔，高是85.0是5.1米．（1）求这个正四棱锥形冷水塔的容积；（2）制造这个水塔的侧面需要多少平方米钢板？ (精确到01.0米2)20．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 ．如图所示，扇形AOB ，圆心角AOB 的大小等于3，半径为2，在半径OA 上有一动点C ，过点C 作平行于OB 的直线交弧AB 于点P ． （1）若C 是OA 的中点，求PC ；（2）设θ=∠COP ，求△POC 周长的最大值及此时θ的值．21．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知椭圆141222=+Γy x ：.（1）直线AB 过椭圆Γ的中心交椭圆于B A 、两点，C 是它的右顶点，当直线AB 的斜率为1时，求△ABC 的面积；（2）设直线2+=kx y l ：与椭圆Γ交于Q P 、两点，且线段PQ 的垂直平分线过椭圆Γ与y 轴负半轴的交点D ，求实数k 的值．22．（本题满分16分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分. 已知函数a x x f +=2)(．（1）若函数))((x f f y =的图像过原点，求)(x f 的解析式； （2）若12)()(++=bx x f x F 是偶函数，在定义域上ax x F ≥)(恒成立，求实数a 的取值范围；（3）当1=a 时，令)())(()(x f x f f x λϕ-=，问是否存在实数λ，使)(x ϕ在()1,-∞-上是减函数，在()0,1-上是增函数？如果存在，求出λ的值；如果不存在，请说明理由．23．（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且21=a ，3)1(1++=+n n S na n n ．从}{n a 中抽出部分项,,,,21n k k k a a a ,)(21 <<<<n k k k 组成的数列}{n k a 是等比数列，设该等比数列的公比为q ， 其中*1,1N n k ∈=．（1）求2a 的值；（2）当q 取最小时，求}{n k 的通项公式； （3）求n k k k +++ 21的值．四区联考2012学年度第二学期高三数学一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．]3,1[-； 2．2； 3．34； 4．31≠m ； 5．12-=x y ； 6．1；7．π；8．4；9．6463；10．17；11．414214=C ；12．(]1,0；13．(1,)+∞；14．②③⑤二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15． D ； 16．B ； 17． B ；18．C三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .[来源:学*科*网]19．（本题满分12分）本题共有2小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分 ．解：（1）如图正四棱锥底面的边长是5.1米，高是85.0米sh V 31=36375.085.05.15.131m =⨯⨯⨯= 所以这个四棱锥冷水塔的容积是36375.0m ． (2)如图，取底面边长的中点E ，连接SE ，222275.085.0+=+=EO SO SESE ⨯⨯⨯=5.1214S 侧22240.375.085.05.1214m ≈+⨯⨯⨯=答：制造这个水塔的侧面需要3.40平方米钢板．20．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 ．解:（1）在△POC 中，32π=∠OCP ，1,2==OC OP 由32cos 2222πPC OC PC OC OP ⋅-+=得032=-+PC PC ，解得2131+-=PC ． （2）∵CP ∥OB ，∴θπ-=∠=∠3POB CPO ，在△POC 中，由正弦定理得θsin sin CPPCO OP =∠，即θπsin 32sin 2CP = ∴θsin 34=CP ,又32sin )3sin(πθπCP OC =-)3sin(34θπ-=∴OC ． 记△POC 的周长为)(θC ，则2)3sin(34sin 342)(+-+=++=θπθθOC CP C1sin2223πθθθ⎫⎛⎫++=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭∴6πθ=时，)(θC2+.21．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．解：(1)依题意，32=a，)0,32(C，由221124x yy x⎧+=⎪⎨⎪=⎩，得y=[来源:学科网]设),(11yxA),(22yxB，32=OC∴63232212121=⨯⨯=-⋅=∆yyOCSABC；(2)如图，由2221124y kxx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(31)120k x kx++=，0)12(2≥=∆k依题意，0k≠，设1122()()P x y Q x y，，，，线段PQ的中点00()H x y，，则12026231x x kxk+-==+，0022231y kxk=+=+，D(02)-，，由1-=⋅PQD Hkk，得2222311631k kkk++⋅=--+，∴k=22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.解:（1）aaaxxxffy+++==2242))((过原点，02=+aa10-==⇒aa或得2)(xxf=或1)(2-=xxf（2）12)(2+++=bxaxxF是偶函数，0=∴b即2)(2++=axxF，Rx∈又axxF≥)(恒成立即2)1(222+≤-⇒≥++xxaaxax当1=x时Ra∈⇒当1>x 时，213)1(122+-+-=-+≤x x x x a ，232+≤a当1<x 时，213)1(122+-+-=-+≥x x x x a ， 232+-≥a综上： 232232+≤≤+-a [来源:学#科#网Z#X#X#K]（3）)())(()(x f x f f x λϕ-=)2()2(24λλ-+-+=x x)(x ϕ∴是偶函数，要使)(x ϕ在()1,-∞-上是减函数在()0,1-上是增函数， 即)(x ϕ只要满足在区间()+∞,1上是增函数在()1,0上是减函数． 令2x t =，当()1,0∈x 时()1,0∈t ；()+∞∈,1x 时()+∞∈,1t ，由于()+∞∈,0x 时，2x t =是增函数记)2()2()()(2λλϕ-+-+==t t t H x ，故)(x ϕ与)(t H 在区间()+∞,0上有相同的增减性，当二次函数)2()2()(2λλ-+-+=t t t H 在区间()+∞,1上是增函数在()1,0上是减函数，其对称轴方程为1=t 4122=⇒=--⇒λλ． 23．（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分. 解：（1）令1=n 得321112⋅+=⋅a a ，即3212=-a a ；又21=a 382=⇒a （2）由3212=-a a 和⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-++=-+3)1()1(,3)1(11n n S a n n n S na n n n n 32)1(1n a a n na nn n +=--⇒+321=-⇒+n n a a ，所以数列}{n a 是以2为首项，32为公差的等差数列，所以)2(32+=n a n ． [来源:学&科&网] 解法一：数列}{n a 是正项递增等差数列，故数列}{nk a 的公比1>q ，若22=k ，则由382=a 得3412==a a q ，此时932)34(223=⋅=k a ，由)2(32932+=n 解得*310N n ∉=，所以22>k ，同理32>k ；若42=k ，则由44=a 得2=q ，此时122-⋅=n k n a 组成等比数列，所以)2(32221+=⋅-m n ，2231+=⋅-m n ，对任何正整数n ，只要取2231-⋅=-n m ，即n k a 是数列}{n a 的第2231-⋅-n 项．最小的公比2=q ．所以2231-⋅=-n n k ．………（10分） 解法二: 数列}{n a 是正项递增等差数列，故数列}{n k a 的公比1>q ，设存在 ,,,,21n k k k a a a )(21 <<<<n k k k 组成的数列}{nk a 是等比数列，则3122k k k a a a ⋅=，即()()232)2(322)2(32322322+=+⇒+⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+k k k k 因为1*232>∈k N k k 且、所以22+k 必有因数3，即可设N t t t k ∈≥=+,2,322，当数列}{n k a 的公比q 最小时，即42=k ，2=⇒q 最小的公比2=q ．所以2231-⋅=-n n k ．（3）由（2）可得从}{n a 中抽出部分项 ,,,,21n k k k a a a )(21 <<<<n k k k 组成的数列}{n k a 是等比数列，其中11=k ，那么}{n k a 的公比是322+=k q ，其中由解法二可得N t t t k ∈≥-=,2,232．)2(32)32(312+=+⋅=-n n k k k a n 2)32(312-+⋅=⇒-n n k k 2)3223(31-+-⋅=⇒-n n t k 231-⋅=⇒-n n t k ，N t t ∈≥,2所以3232)1(31221--⋅=-++++=+++-n t n t t t k k k n n n。

专题十二 应用题2013年2月（杨浦区2013届高三一模 理科）12．如图，已知边长为8米的正方形钢板有一个角锈蚀， 其中4AE =米，6CD =米. 为了合理利用这块钢板,将在五边 形ABCDE 内截取一个矩形块BNPM ，使点P 在边DE 上. 则矩形BNPM 面积的最大值为____ 平方米 . 12． 48；（松江区2013届高三一模 理科）21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v （单位：千克/年）是养殖密度x （单位：尾/立方米）的函数．当x 不超过4（尾/立方米）时，v 的值为2（千克/年）；当420x ≤≤时，v 是x 的一次函数；当x 达到20（尾/立方米）时，因缺氧等原因，v 的值为0（千克/年）。

（1）当020x <≤时，求函数()v x 的表达式；（2）当养殖密度x 为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）()()f x x v x =⋅可以达到最大，并求出最大值．21．解：（1）由题意：当04x <≤时，()2v x =； …………………………2分 当420x <≤时，设()b ax x v +=，显然()b ax x v +=在[4,20]是减函数，由已知得20042a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得1852a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ …………………………4分故函数()x v =**2,04,15,420,82x x N x x x N ⎧<≤∈⎪⎨-+≤≤∈⎪⎩ …………………………6分 （2）依题意并由（1）可得()=x f *2*2,04,15,420,.82x x x N x x x x N ⎧<≤∈⎪⎨-+≤≤∈⎪⎩………8分 当04x ≤≤时，()x f 为增函数，故()max (4)f x f ==428⨯=； …………10分当420x ≤≤时，()22221511100(20)(10)82888f x x x x x x =-+=--=--+，()max (10)12.5f x f ==． …………………………12分所以，当020x <≤时，()x f 的最大值为12.5．当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值约为12.5千克/立方米．（浦东新区2013届高三一模 理科）20．（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）世博中学为了落实上海市教委推出的“阳光运动一小时”活动，计划在一块直角三角形ABC 的空地上修建一个占地面积为S 的矩形AMPN 健身场地，如图点M 在AC 上，点N 在AB 上，且P 点在斜边BC 上，已知 60=∠ACB 且30||=AC 米，=AM x ，]20,10[∈x . （1）试用x 表示S ，并求S 的取值范围； （2）设矩形AMPN 健身场地每平方米的造价为Sk37，再把矩形AMPN 以外（阴影部分）铺上草坪， 每平方米的造价为Sk12（k 为正常数），求总造价T 关于S 的函数)(S f T =； 试问如何选取||AM 的长使总造价T 最低（不要求求出最低造价）. 解：（1）在PMC Rt ∆中，显然x MC -=30||， 60=∠PCM ，∴)30(3tan ||||x PCM MC PM -=∠⋅=，………………2分矩形AMPN 的面积)30(3||||x x MC PM S -=⋅=，[10,20]x ∈…4分于是32253200≤≤S 为所求.……………………………6分（2） 矩形AMPN 健身场地造价=1T S k 37 ……………………7分 又ABC ∆的面积为3450，即草坪造价=2T )3450(12S Sk-，……………8分 由总造价21T T T +=，∴)3216(25SS k T +=，32253200≤≤S .…10分 36123216≥+SS ，……………………………………………………11分 当且仅当SS 3216=即3216=S 时等号成立，……………………………12分 此时3216)30(3=-x x ，解得12=x 或18=x ，所以选取||AM 的长为12米或18米时总造价T 最低.………………………14分NNPMDCBANPM D C BA （黄浦区2013届高三一模 理科）21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．如图所示，ABCD 是一个矩形花坛，其中AB = 6米，AD = 4米．现将矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花园AMPN ，要求：B 在AM 上，D 在AN 上，对角线MN 过C 点， 且矩形AMPN 的面积小于150平方米．（1）设AN 长为x 米，矩形AMPN 的面积为S 平方米，试用解析式将S 表示成x 的函数，并写出该函数的定义域；（2）当AN 的长度是多少时，矩形AMPN 的面积最小?并求最小面积．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分． 解：（1）由△NDC ∽△NAM ，可得DN DCNA AM=， ∴46x x AM -=，即64x AM x =-，……………………3分 故264x S AN AM x =⋅=-， ………………………5分由261504x S x =<-且4x >，可得2251000x x -+<，解得520x <<，故所求函数的解析式为264x S x =-，定义域为(5,20)． …………………………………8分（2）令4x t -=，则由(5,20)x ∈，可得(1,16)t ∈，故2266(4)166(8)4x t S t x t t +===++- …………………………10分8)96≥=， …………………………12分当且仅当16t t=，即4t =时96S =．又4(1,16)∈，故当4t =时，S 取最小值96．故当AN 的长为8时，矩形AMPN 的面积最小，最小面积为96平方米． …………14分（长宁区2013届高三一模）21、（本题满分14分）（理）经过统计分析，公路上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数，当公路上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20200x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数. (1)当0200x ≤≤时，求函数()v x 的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过公路上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）()()f x x v x =可以达到最大，并求出最大值.（精确到1辆/小时）（文）某工厂生产一种产品的原材料费为每件40元，若用x 表示该厂生产这种产品的总件数，则电力与机器保养等费用为每件0.05x 元，又该厂职工工资固定支出12500元。

杨浦区2012学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷(理) 2013.1考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上．2．本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟．一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 若函数()xx f 3=的反函数为()x f1-，则()=-11f．2．若复数iiz -=1 (i 为虚数单位) ，则=z . 3．抛物线x y 42=的焦点到准线的距离为 .4. 若线性方程组的增广矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛211321，则该线性方程组的解是 ．5．若直线l :012=--x y ，则该直线l 的倾斜角是 .6. 若7)(a x +的二项展开式中，5x 的系数为7，则实数=a ．7. 若圆椎的母线cm 10=l ,母线与旋转轴的夹角030=α,则该圆椎的侧面积为 2cm . 8. 设数列}{n a (n ∈*N )是等差数列.若2a 和2012a 是方程03842=+-x x 的两根，则数列}{n a 的前2013 项的和=2013S ______________．9. 下列函数：① xx f 3)(=, ②3)(x x f =, ③x x f 1ln)(= ， ④ ⑤1)(2+-=x x f 中,既是偶函数，又是在区间()∞+,0上单调递减函数为 （写出符合要求的所有函数的序号）.10.将一颗质地均匀的骰子连续投掷两次，朝上的点数依次为b 和c ，则函数c bx x x f ++=2)(2图像与x 轴无公共点的概率是____ ___ .11.若函数1)23(log )(+-=xa x f (1,0≠>a a )的图像过定点P ,点Q 在曲线022=--y x 上运动,则线段PQ 中点M 轨迹方程是 ． 12．如图，已知边长为8米的正方形钢板有一个角锈蚀， 其中4AE =米，6CD =米. 为了合理利用这块钢板,将在五边 形ABCDE 内截取一个矩形块BNPM ，使点P 在边DE 上.2cos )(x x f π=A MEPDCBNF则矩形BNPM 面积的最大值为____ 平方米. 13 在ABC ∆中，若4π=∠A ，7)tan(=+B A ，23=AC ，则ABC ∆的面积为___________． 14．在平面直角坐标系xOy 中，直线mx y 23+=与圆222n y x =+相切，其中m n ∈*N 、，10≤-<n m ．若函数()n m x f x -=+1的零点()1,0+∈k k x ，Z k ∈，则=k ________．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15． “3=a ”是“函数22)(2+-=ax x x f 在区间[)+∞,3内单调递增”的………（ ）)(A 充分非必要条件． )(B 必要非充分条件． )(C 充要条件． )(D 既非充分又非必要条件．16．若无穷等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项为1，公比为23-a ，且a S n n =∞→lim ，(n ∈*N )，则复数ia z +=1在复平面上对应的点位于 ………（ ） )(A 第一象限． )(B 第二象限． )(C 第三象限． )(D 第四象限．18. 已知数列{}n a 是各项均为正数且公比不等于1的等比数列（n ∈*N ）. 对于函数()y f x =，若数列{}ln ()n f a 为等差数列，则称函数()f x 为“保比差数列函数”. 现有定义在(0,)+∞上的如下函数：①1()f x x=， ②2()f x x =， ③()e x f x =， ④()f x x =，则为“保比差数列函数”的所有序号为 ………（ ）)(A ①②． )(B ③④． )(C ①②④． )(D ②③④ ．三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分 ．如图，在三棱锥ABC P -中，⊥PA 平面ABC ，AB AC ⊥，4==BC AP ，︒=∠30ABC ,E D 、分别是AP BC 、的中点，（1）求三棱锥ABC P -的体积；（2）若异面直线AB 与ED 所成角的大小为θ，求θtan 的值.PABCDE20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分 ．已知 x x x f 2sin 22sin 3)(-=，（1）求)(x f 的最小正周期和单调递减区间；（2）若⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈3,6ππx ，求)(x f 的最大值及取得最大值时对应的x 的取值．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 ．已知函数)0(121)(>-=x x x x f 的值域为集合A ，（1）若全集R U =，求A C U ； （2）对任意⎥⎦⎤⎝⎛∈21,0x ，不等式()0≥+a x f 恒成立，求实数a 的范围； （3）设P 是函数()x f 的图像上任意一点，过点P 分别向直线x y =和y 轴作垂线，垂足分别为A B 、，求⋅的值．23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.对于实数x ，将满足“10<≤y 且y x -为整数”的实数y 称为实数x 的小数部分，用记号x 表示，对于实数a ，无穷数列{}n a 满足如下条件：⎪⎩⎪⎨⎧=≠==+.0,0,0,1,11n n n n a a a a a a 其中⋅⋅⋅=,3,2,1n . （1）若2=a ，求数列{}n a ；（2）当41>a 时，对任意的n ∈*N ，都有a a n =，求符合要求的实数a 构成的集合A ． （3）若a 是有理数，设qpa =（p 是整数，q 是正整数，p 、q 互质），问对于大于q 的任意正整数n ，是否都有0=n a 成立，并证明你的结论．杨浦区2012学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷(理)参考答案一．填空题:1. 0；2．2；3．2；4. ⎩⎨⎧==11y x （向量表示也可）；5．2arctan ；6. 33±；7. π50；8. 2013；9.③⑤；10.367；11. x x y 222-=；12． 48；13． 221；14． 0； 二、选择题:15．)(A ；16．)(D ；17．)(B ；18. )(C ．三、解答题19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分 ． (1)由已知得，,32,2==AB AC ………2分 所以 ，体积33831==∆--PA S V ABC ABC P ………5分 (2)取AC 中点F ，连接EF DF ,，则DF AB //， 所以EDF ∠就是异面直线AB 与ED 所成的角θ. ………7分由已知，52,32,2=====PC AB AD EA AC ，EF DF EF AB ⊥∴⊥,Θ. ………10分在EFD Rt ∆中，5,3==EF DF ，所以，315tan =θ. ………12分 (其他解法，可参照给分)20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分 ． 解：（1）因为x x x f 2sin 22sin 3)(-=12cos 2sin 3-+=x x ………2分1)62sin(2-+=πx ………4分所以,，即函数的最小正周期为 ………5分 πππππk x k 2236222+≤+≤+，)(,326Z k k x k ∈+≤≤+ππππ 所以)(x f 的单调递减区间为)(],32,6[Z k k k ∈++ππππ………7分 （2）因为36ππ≤≤-x ，得65626πππ≤+≤-x ， 所以有1)62sin(21≤+≤-πx ………8分 由2)62sin(21≤+≤-πx ，即11)62sin(22≤-+≤-πx ………10分所以，函数的最大值为1.………12分 此时，因为65626πππ≤+≤-x ，所以，262ππ=+x ，即6π=x . ………14分 21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 ．22T ππ==()f x π()f x方法2、(可参照方法1给分)(1)由已知得，0>x Θ ，则22)(≥+=xx x f ………1分 当且仅当xx 2=时，即2=x 等号成立， [)∞+=∴,22M ………3分所以，()22,∞-=M C U ………4分 (2)由题得 ⎪⎭⎫⎝⎛+-≥x x a 2 ………5分 函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=x x y 2在⎥⎦⎤⎝⎛∈21,0x 的最大值为29- ………9分 29-≥∴a ………10分(3)设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+002,x x x P ，则直线PA 的方程为()0002x x x x y --=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-，即0022x x x y ++-=， ………11分 由⎪⎩⎪⎨⎧++-==0022xx x y xy 得)1,1(0000x x x x A ++ ………13分又⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+002,0x x B ， ………14分 所以)1,1(00x x -=，)0,(0x -=，故1)(100-=-=⋅x x ………16分23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分. 解：（1）11a ==，21111a a ==， ………2分12-=k a ，则121211-=+==+kk a a所以1n a . ………4分 （2）1a a a ==，所以114a <<，所以14a1<<， ①当112a <<，即12a 1<<时，211111a a a a a===-=，所以210a a +-=，解得a =1(1)2a =，，舍去）. ………6分②当1132a <≤，即123a <≤时，211112a a a a a===-=，所以2210a a +-=，解得1a ==（111(]32a =∉，，舍去）. ………7分 ③当1143a <≤，即134a <≤时，211113a a a a a===-=，所以2310a a +-=，解得a =（11(]43a =，，舍去）. ………9分综上，{a =，1=，a =}. ………10分 （3）成立. ………11分 （证明1）由a 是有理数，可知对一切正整数n ，n a 为0或正有理数，可设nnn q p a =（n p 是非负整数，n q 是正整数，且nnq p 既约）. ………12分①由111q p q pa ==，可得q p <≤10； ………13分 ②若0≠n p ，设βα+=n n p q （n p <≤β0，βα,是非负整数）则nn n p p q βα+= ，而由n n n q p a =得n n n p q a =1 nn n n n p p q a a β===+11，故β=+1n p ，n n p q =+1，可得n n p p <≤+10 ………14分 若0=n p 则01=+n p ， ………15分 若q a a a a ,,,,321⋅⋅⋅均不为0，则这q 正整数互不相同且都小于q ，但小于q 的正整数共有1-q 个，矛盾. ………17分 故q a a a a ,,,,321⋅⋅⋅中至少有一个为0，即存在)1(q m m ≤≤，使得0=m a .从而数列{}n a 中m a 以及它之后的项均为0，所以对不大q 于的自然数n ，都有0=n a . （证法2，数学归纳法） ………18分（其它解法可参考给分）。

杨浦区2012学年度第一学期高三年级学业质量调研2013.1.5一．填空题:1. 0；2．2；3．2；4. ⎩⎨⎧==11y x （向量表示也可）；5．2arctan ；6. 33±；7. π508. 2013；9.（文）1=x 或1=y ；（理）③⑤；10. (文) 92 (理) 367；11. x x y 222-= 12． 48；13．(文) 1- (理)221；14．(文) )1,0( (理) 0； 二、选择题:15．)(A ；16．)(D ；17．)(B ；18. )(C ．三、解答题19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分 ． (1)由已知得，,32,2==AB AC ………2分 所以 ，体积33831==∆--PA S V ABC ABC P ………5分 (2)取AC 中点F ，连接EF DF ,，则DF AB //，所以EDF ∠就是异面直线AB 与ED 所成的角θ. ………7分 由已知，52,32,2=====PC AB AD EA AC ，EF DF EF AB ⊥∴⊥, . ………10分在EFD Rt ∆中，5,3==EF DF ，所以，315tan =θ. ………12分 (其他解法，可参照给分)20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分 ．(文)解：（1）因为π()cos()410f αα=-=，则sin )210αα+=， 所以 7cos sin 5αα+=. ………3分 平方得，22sin 2sin cos cos αααα++=4925， ………5分 所以 24sin 225α=. ………7分 （2）因为()π()2g x f x f x ⎛⎫=⋅+⎪⎝⎭=ππcos()cos()44x x -⋅+=(cos sin )(cos sin )22x x x x +⋅-………9分 =221(cos sin )2x x - =1cos 22x . ………11分当ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，π2π2,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦. ………12分 所以，当0x =时，()g x 的最大值为12； ………13分 当π3x =时，()g x 的最小值为14-. ………14分 (理)解：（1）因为x x x f 2sin 22sin 3)(-=12cos 2sin 3-+=x x ………2分1)62sin(2-+=πx ………4分所以,22T ππ==，即函数()f x 的最小正周期为π ………5分 πππππk x k 2236222+≤+≤+，)(,326Z k k x k ∈+≤≤+ππππ 所以)(x f 的单调递减区间为)(],32,6[Z k k k ∈++ππππ………7分 （2）因为36ππ≤≤-x ，得65626πππ≤+≤-x ， 所以有1)62sin(21≤+≤-πx ………8分 由2)62sin(21≤+≤-πx ，即11)62sin(22≤-+≤-πx ………10分所以，函数()f x 的最大值为1. ………12分此时，因为65626πππ≤+≤-x ，所以，262ππ=+x ，即6π=x . ………14分21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 ． (文)（1）解：设椭圆C 的半焦距是c .依题意，得 1c =. ………1分由题意得 a c 24=，2=a2223b a c =-=. ………4分 故椭圆C 的方程为 22143x y +=. ………6分 （2）解：当MN x ⊥轴时，显然00y =. ………7分当MN 与x 轴不垂直时，可设直线MN 的方程为(1)(0)y k x k =-≠.由 22(1),3412,y k x x y =-⎧⎨+=⎩消去y 整理得 0)3(48)43(2222=-+-+k x k x k . ………9分设1122(,),(,)M x y N x y ，线段MN 的中点为33(,)Q x y ，则 2122834k x x k +=+. (10)分所以 212324234x x k x k +==+，3323(1)34ky k x k -=-=+. 线段MN 的垂直平分线方程为)434(1433222k k x k k k y +--=++. 在上述方程中令0=x ，得k kkk y 4314320+=+=. ………12分当0k <时，34k k +≤-0k >时，34k k+≥所以00y ≤<，或00y <≤. ………13分 综上，0y的取值范围是[,1212-. ………14分方法2、(可参照方法1给分)(1)由已知得，0>x ，则22)(≥+=xx x f ………1分 当且仅当xx 2=时，即2=x 等号成立， [)∞+=∴,22M ………3分所以，()22,∞-=M C U ………4分 (2)由题得 ⎪⎭⎫⎝⎛+-≥x x a 2 ………5分 函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=x x y 2在⎥⎦⎤⎝⎛∈21,0x 的最大值为29- ………9分 29-≥∴a (10)分(3)设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+0002,x x x P ，则直线PA 的方程为()0002x x x x y --=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-， 即0022x x x y ++-=， ………11分 由⎪⎩⎪⎨⎧++-==0022xx x y xy 得)1,1(0000x x x x A ++ (13)分又⎪⎪⎭⎫⎝⎛+002,0x x B ， ………14分 所以)1,1(00x x PA -=，)0,(0x PB -=，故1)(100-=-=⋅x x PB PA ………16分23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.（文）（1）因为点1,+n n P P 都在直线b kx y +=上， 所以k x x S S nn nn =--++11，得n n kx x k =-+1)1(， ………2分其中0111≠-=kx ． ………3分 因为常数0≠k ，且1≠k ，所以11-=+k kx x n n 为非零常数． 所以数列{}n x 是等比数列． ………4分（2）由n n x y 21log =，得6821-=⎪⎭⎫⎝⎛=n y n nx ， ………7分所以81=-k k ，得78=k ． ………8分 由n P 在直线上，得b kx S n n +=， ………9分令1=n 得7871785111--=-=-=x x S b ． ………10分（3）由n n x y 21log =知1>n x 恒成立等价于0<n y ．因为存在t 、∈s n *N ，t s ≠使得点()s y t ,和点()t y s ,都在直线12+=x y 上．由12+=t y s 与12+=s y t 做差得：)(2s t y y t s -=-． ………12分易证{}n y 是等差数列，设其公差为d ，则有d t s y y t s )(-=-，因为t s ≠，所以02<-=d ，又由2)(2++=+s t y y t s ，而4)(22)2)(1()2)(1(111++-=--++--+=+t s y t y s y y y t s得2)(24)(221++=++-s t t s y 得 01)(21>-+=t s y 即：数列是首项为正，公差为负的等差数列，所以一定存在一个最小自然数M ， (16)分使，⎩⎨⎧<≥+001M M y y , 即⎩⎨⎧<-+-+≥--+-+0)2(1)(20)2)(1(1)(2M t s M t s 解得2121++≤<-+t s M t s因为*∈N M ，所以t s M +=，即存在自然数M ，其最小值为t s +，使得当M n > 时，1>n x 恒成立． ………18分 （理）解：（1）11a ==，21111a a ====， ………2分12-=k a ，则121211-=+==+kk a a所以1n a . ………4分（2）1a a a ==，所以114a <<，所以14a1<<， ①当112a <<，即12a 1<<时，211111a a a a a===-=，所以210a a +-=，解得a =（1(1)2a =，，舍去）. (6)分②当1132a <≤，即123a <≤时，211112a a a a a===-=，所以2210a a +-=，解得1a ==（111(]32a =∉，，舍去）. ………7分 ③当1143a <≤，即134a <≤时，211113a a a a a===-=，所以2310a a +-=，解得32a -=（311(]243a -=，，舍去）. ………9分综上，{a =1=-a }. ………10分 （3）成立. ………11分 （证明1）由a 是有理数，可知对一切正整数n ，n a 为0或正有理数，可设nnn q p a =（n p 是非负整数，n q 是正整数，且nnq p 既约）. ………12分 ①由111q p q pa ==，可得q p <≤10； ………13分 ②若0≠n p ，设βα+=n n p q （n p <≤β0，βα,是非负整数）则nn n p p q βα+= ，而由n n n q p a =得n n n p q a =1 nn n n n p p q a a β===+11，故β=+1n p ，n n p q =+1，可得n n p p <≤+10 ………14分 若0=n p 则01=+n p ， ………15分 若q a a a a ,,,,321⋅⋅⋅均不为0，则这q 正整数互不相同且都小于q ，但小于q 的正整数共有1-q 个，矛盾. ………17分 故q a a a a ,,,,321⋅⋅⋅中至少有一个为0，即存在)1(q m m ≤≤，使得0=m a .从而数列{}n a 中m a 以及它之后的项均为0，所以对不大q 于的自然数n ，都有0=n a . （证法2，数学归纳法） ………18分（其它解法可参考给分）。

2012学年静安、杨浦、青浦宝山区高三年级高考模拟考试数学试卷（文科） 2013.04.一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知全集R U =，集合{}0322>--=x x x A ，则=A C U . 2．若复数z 满足)2(z i z -=（i 是虚数单位），则=z . 3．已知直线012=++y x 的倾斜角大小是θ，则=θ2tan . 4．若关于y x 、的二元一次方程组⎩⎨⎧=-+-=+-04)12(03y x m y mx 有唯一一组解，则实数m 的取值范围是 .5．已知函数)(x f y =和函数)1(log 2+=x y 的图像关于直线0=-y x 则函数)(x f y =的解析式为 .6．已知双曲线的方程为1322=-y x 7．函数xx xx x f cos sin sin cos )(=的最小正周期=T .8．若⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥621y x y x ，则目标函数y x z +=2的最小值为 .9．执行如图所示的程序框图，若输入p 的值是7，则输出S 的值是 .10．已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm ，如果圆锥的体积恰好也与球的体积相等，那么这个圆锥的母线长为 cm ．11．某中学在高一年级开设了4门选修课，每名学生必须参加这4门选修课中的一门，对于该年级的甲乙2名学生，这2名学生选择的选修课相同的概率是 (结果用最简分数表示)． 12．各项为正数的无穷等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1lim1=+∞→n nn S S ， 则其公比q 的取值范围是 .13．已知函数x x x f =)(.当[]1,+∈a a x 时，不等式)(4)2(x f a x f >+恒成立，则实数a 的取值范围是 .14．函数)(x f y =的定义域为[)(]1,00,1 -，其图像上任一点),(y x P 满足122=+y x ．① 函数)(x f y =一定是偶函数；② 函数)(x f y =可能既不是偶函数，也不是奇函数； ③ 函数)(x f y =可以是奇函数；④ 函数)(x f y =如果是偶函数，则值域是[)1,0或(]0,1-； ⑤ 函数)(x f y =值域是()1,1-，则)(x f y =一定是奇函数． 其中正确命题的序号是 （填上所有正确的序号）．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分. 15．已知),2(ππα∈，53sin =α，则)4tan(πα-的值等于………………………（ ） （A ）71. （B ）71- . （C ）7 . （D ）7-. 16．一个空间几何体的正视图、侧视图为两个边长是1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，则这个几何体的表面积等于…（ ） （A ） 22+. （B ）23+. （C ）24+. （D ）6.17． 若直线2=+by ax 通过点)sin ,(cos ααM ，则 ………………………………（ ） （A ） 422≤+b a . （B ）422≥+b a . （C ）41122≤+b a . （D ）41122≥+b a . 18．某同学为了研究函数)10()1(11)(22≤≤-+++=x x x x f 的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD 和BEFC ，点P 是边BC 上的一个动点，设x CP =，则PF AP x f +=)(．那么，可推知方程222)(=x f 解的个数是………………………………………………………（ ） （A ）0. （B ）1. （C ）2. （D ）4.三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（本题满分12分）本题共有2小题，第1小题满分5分，第2如图，设计一个正四棱锥形冷水塔，高是85.0米，底面的边长是5.1（1）求这个正四棱锥形冷水塔的容积；（2）制造这个水塔的侧面需要多少平方米钢板？ (精确到01.0米2)20．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 ．如图所示，扇形AOB ，圆心角AOB 的大小等于3π，半径为2，在半径OA 上有一动点C ， 过点C 作平行于OB 的直线交弧AB 于点P ． （1）若C 是OA 的中点，求PC ；（2）设θ=∠COP ，求△POC 周长的最大值及此时θ的值．21．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知椭圆141222=+Γy x ：. （1）直线AB 过椭圆Γ的中心交椭圆于B A 、两点，C 是它的右顶点，当直线AB 的斜率为1时，求△ABC 的面积；（2）设直线2+=kx y l ：与椭圆Γ交于Q P 、两点，且线段PQ 的垂直平分线过椭圆Γ与y 轴负半轴的交点D ，求实数k 的值．22．（本题满分16分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知函数a x x f +=2)(．（1）若函数))((x f f y =的图像过原点，求)(x f 的解析式； （2）若12)()(++=bx x f x F 是偶函数，在定义域上ax x F ≥)(恒成立，求实数a 的取值范围； （3）当1=a 时，令)())(()(x f x f f x λϕ-=，问是否存在实数λ，使)(x ϕ在()1,-∞-上是减函数，在()0,1-上是增函数？如果存在，求出λ的值；如果不存在，请说明理由．23．（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且21=a ，3)1(1++=+n n S na n n ．从}{n a 中抽出部分项 ,,,,21n k k k a a a ,)(21 <<<<n k k k 组成的数列}{n k a 是等比数列，设该等比数列的公比为q ，其中*1,1N n k ∈=． （1）求2a 的值；（2）当q 取最小时，求}{n k 的通项公式； （3）求n k k k +++ 21的值．四区联考2012学年度第二学期高三数学一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．]3,1[-； 2．2； 3．34； 4．31≠m ； 5．12-=x y ； 6．1； 7．π；8．4；9．6463；10．17；11．414214=C ；12．(]1,0；13．(1,)+∞；14．②③⑤二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分. 15． D ； 16．B ； 17． B ；18．C三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .19．（本题满分12分）本题共有2小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分 解：（1）如图正四棱锥底面的边长是5.1米，高是85.0米sh V 31=36375.085.05.15.131m =⨯⨯⨯=所以这个四棱锥冷水塔的容积是36375.0m ． (2)如图，取底面边长的中点E ，连接SE ，222275.085.0+=+=EO SO SESE ⨯⨯⨯=5.1214S 侧22240.375.085.05.1214m ≈+⨯⨯⨯=答：制造这个水塔的侧面需要3.40平方米钢板．20．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 ．解:（1）在△POC 中，32π=∠OCP ，1,2==OC OP 由32cos 2222πPC OC PC OC OP ⋅-+=得032=-+PC PC ，解得2131+-=PC ． （2）∵CP ∥OB ，∴θπ-=∠=∠3POB CPO ，在△POC 中，由正弦定理得θsin sin CPPCO OP =∠，即θπsin 32sin 2CP =∴θsin 34=CP ,又32sin )3sin(πθπCP OC =-)3sin(34θπ-=∴OC ． 记△POC 的周长为)(θC ，则2)3sin(34sin 342)(+-+=++=θπθθOC CP C1sin 2223πθθθ⎫⎛⎫++=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭∴6πθ=时，)(θC2+. 21．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 ．解：(1)依题意，32=a ，)0,32(C ， 由221124x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，得y =设),(11y x A ),(22y x B ，32=OC∴63232212121=⨯⨯=-⋅=∆y y OC S ABC ； (2)如图，由2221124y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(31)120k x kx ++=，0)12(2≥=∆k 依题意，0k ≠，设1122()()P x y Q x y ，，，，线段PQ 的中点00()H x y ，，则12026231x x k x k +-==+，0022231y kx k =+=+，D (0 2)-，， 由1-=⋅PQ D H k k ，得2222311631k k k k ++⋅=--+，∴k =22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.解:（1）a a ax x x f f y +++==2242))(( 过原点，02=+a a10-==⇒a a 或 得2)(x x f =或1)(2-=x x f（2）12)(2+++=bx a x x F 是偶函数，0=∴b 即2)(2++=a x x F ，R x ∈ 又ax x F ≥)(恒成立即2)1(222+≤-⇒≥++x x a ax a x 当1=x 时R a ∈⇒当1>x 时，213)1(122+-+-=-+≤x x x x a ，232+≤a当1<x 时，213)1(122+-+-=-+≥x x x x a ， 232+-≥a综上： 232232+≤≤+-a （3）)())(()(x f x f f x λϕ-=)2()2(24λλ-+-+=x x)(x ϕ∴是偶函数，要使)(x ϕ在()1,-∞-上是减函数在()0,1-上是增函数，即)(x ϕ只要满足在区间()+∞,1上是增函数在()1,0上是减函数．令2x t =，当()1,0∈x 时()1,0∈t ；()+∞∈,1x 时()+∞∈,1t ，由于()+∞∈,0x 时，2x t =是增函数记)2()2()()(2λλϕ-+-+==t t t H x ，故)(x ϕ与)(t H 在区间()+∞,0上有相同的增减性，当二次函数)2()2()(2λλ-+-+=t t t H 在区间()+∞,1上是增函数在()1,0上 是减函数，其对称轴方程为1=t 4122=⇒=--⇒λλ． 23．（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分. 解：（1）令1=n 得321112⋅+=⋅a a ，即3212=-a a ；又21=a 382=⇒a （2）由3212=-a a 和⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-++=-+3)1()1(,3)1(11n n S a n n n S na n n nn 32)1(1n a a n na n n n +=--⇒+321=-⇒+n n a a ， 所以数列}{n a 是以2为首项，32为公差的等差数列，所以)2(32+=n a n ．解法一：数列}{n a 是正项递增等差数列，故数列}{n k a 的公比1>q ，若22=k ，则由382=a 得3412==a a q ，此时932)34(223=⋅=k a ，由)2(32932+=n 解得*310N n ∉=，所以22>k ，同理32>k ；若42=k ，则由44=a 得2=q ，此时122-⋅=n k n a 组成等比数列，所以)2(32221+=⋅-m n ，2231+=⋅-m n ，对任何正整数n ，只要取2231-⋅=-n m ，即n k a 是数列}{n a 的第2231-⋅-n 项．最小的公比2=q ．所以2231-⋅=-n n k ．………（10分）解法二: 数列}{n a 是正项递增等差数列，故数列}{n k a 的公比1>q ，设存在,,,,21n k k k a a a )(21 <<<<n k k k 组成的数列}{n k a 是等比数列，则3122k k k a a a ⋅=，即()()232)2(322)2(32322322+=+⇒+⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+k k k k 因为1*232>∈k N k k 且、所以22+k 必有因数3，即可设N t t t k ∈≥=+,2,322，当数列}{n k a 的公比q 最小时，即42=k ，2=⇒q 最小的公比2=q ．所以2231-⋅=-n n k ．（3）由（2）可得从}{n a 中抽出部分项 ,,,,21n k k k a a a )(21 <<<<n k k k 组成的数列}{n k a 是等比数列，其中11=k ，那么}{n k a 的公比是322+=k q ，其中由解法二可得N t t t k ∈≥-=,2,232． )2(32)32(312+=+⋅=-n n k k k a n 2)32(312-+⋅=⇒-n n k k 2)3223(31-+-⋅=⇒-n n t k 231-⋅=⇒-n n t k ，N t t ∈≥,2所以3232)1(31221--⋅=-++++=+++-n t n t t t k k k n n n。

2012学年静安、杨浦、青浦、宝山区高三年级高考模拟考试数学试卷（理科） 2013.04.一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知全集R U =，集合{}0322>--=x x x A ，则=A C U . 2．若复数z 满足)2(z i z -=（i 是虚数单位），则=z . 3．已知直线012=++y x 的倾斜角大小是θ，则=θ2tan . 4．若关于y x 、的二元一次方程组⎩⎨⎧=-+-=+-04)12(03y x m y mx 有唯一一组解，则实数m 的取值范围是 .5．已知函数)(x f y =和函数)1(log 2+=x y 的图像关于直线则函数)(x f y =的解析式为 .6．已知双曲线的方程为1322=-y x7．函数xx x x x x x f sin cos sin 2)cos(cos sin )(--+=π的最小正周期=T 8．若nx )21(+展开式中含3x 项的系数等于含x 项系数的89．执行如图所示的程序框图，若输入p 的值是7，则输出S 10．已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm ，如果圆锥的体积恰好也与球的体积相等，那么这个圆锥的母线长为 cm ．11．某中学在高一年级开设了4门选修课，每名学生必须参加这4门选修课中的一门，对于该年级的甲、乙、丙3名学生，这3名学生选择的选修课互不相同的概率是 (结果用最简分数表示)． 12．各项为正数的无穷等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1lim1=+∞→n nn S S ， 则其公比q 的取值范围是 .13．已知两个不相等的平面向量，(≠)满足|β|＝2，且与β－的夹角为120°，则|α|的最大值是 .14．给出30行30列的数表A ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1074216183150117216342720131832721159150201510511713951，其特点是每行每列都构成 等差数列，记数表主对角线上的数10743421101，，，，， 按顺序构成数列{}n b ，存在正整数)1(t s t s <<、使t s b b b ,,1成等差数列，试写出一组),(t s 的值 .二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分. 15．已知),2(ππα∈，53sin =α，则)4tan(πα-的值等于………………………（ ）（A ）71． （B ）71- ． （C ） 7． （D ）7-．16．已知圆C 的极坐标方程为θρsin a =，则“2=a ”是“圆C 与极轴所在直线相切”的 ………………………………………………………………………………（ ）（A ）充分不必要条件．（B ）必要不充分条件．（C ）充要条件．（D ）既不充分又不必要条件． 17．若直线2=+by ax 经过点)sin ,(cos ααM ，则 …………………………（ ）（A ） 422≤+b a ． （B ） 422≥+b a ． （C ）41122≤+b a ． （D ）41122≥+b a ． 18． 已知集合{})(),(x f y y x M ==，若对于任意M y x ∈),(11，存在M y x ∈),(22，使得02121=+y y x x 成立，则称集合M 是“Ω集合”. 给出下列4个集合：① ⎭⎬⎫⎩⎨⎧==x y y x M 1),( ② {}2),(-==xe y y x M ③ {}x y y x M cos ),(== ④ {}x y y x M ln ),(==其中所有“Ω集合”的序号是……………………………………………………（ ） （A ）②③ ． （B ）③④ ． （C ）①②④． （D ）①③④．三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（本题满分12分）本题共有2小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，F E ,分别为CD B A ,11的中点．（1）求直线EC 与平面11BCC B 所成角的大小； （2）求二面角B AF E --的大小．20．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 ．如图所示，扇形AOB ，圆心角AOB 的大小等于3π，半径为2，在半径OA 上有一动点C ， 过点C 作平行于OB 的直线交弧AB 于点P ．（1）若C 是半径OA 的中点，求线段PC 的大小；（2）设θ=∠COP ，求△POC 面积的最大值及此时θ的值．21．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分 ．已知函数a x x f +=2)(． （1）若12)()(++=bx x f x F 是偶函数，在定义域上ax x F ≥)(恒成立，求实数a 的取值范围； （2）当1=a 时，令)())(()(x f x f f x λϕ-=，问是否存在实数λ，使)(x ϕ在()1,-∞-上是减函数，在()0,1-上是增函数？如果存在，求出λ的值；如果不存在，请说明理由．22．（本题满分16分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知点)0,1(A ，1P 、2P 、3P 是平面直角坐标系上的三点，且1AP 、2AP 、3AP 成等差数列， 公差为d ，0≠d ．（1）若1P 坐标为()1,1-，2d =，点3P 在直线3180x y --=上时，求点3P 的坐标； （2）已知圆C 的方程是222)3()3(r y x =-+-)0(>r ，过点A 的直线交圆于31P P 、两点，2P 是圆C 上另外一点，求实数d 的取值范围；（3）若1P 、2P 、3P 都在抛物线24y x =上，点2P 的横坐标为3，求证：线段13PP 的垂直平分线与x 轴的交点为一定点，并求该定点的坐标．23．（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足a a =1 (3≠a )，n n n S a 31+=+，设n n n S b 3-=，*∈N n ． （1）求证：数列{}n b 是等比数列；（2）若1+n a ≥n a ，*∈N n ，求实数a 的最小值；（3）当4=a 时，给出一个新数列{}n e ，其中⎩⎨⎧≥==2,1,3n b n e nn ，设这个新数列的前n 项和为n C ，若n C 可以写成p t (*∈N p t ,且1,1>>p t )的形式，则称n C 为“指数型和”．问{}n C 中的项 是否存在“指数型和”，若存在，求出所有“指数型和”；若不存在，请说明理由．四区联考2012学年度第二学期高三数学参考答案及评分标准 2013.04一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．]3,1[-； 2．2； 3．34； 4．31≠m ； 5．12-=x y ； 6．1； 7．π；8．5；9．6463；10．17；11．834334=P ；12．(]1,0；13．334；14．)25,17(．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分. 15． D ； 16． A ； 17． B ；18． A三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .19．（本题满分12分）本题共有2小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分 ． （1）解法一：建立坐标系如图平面11BCC B 的一个法向量为)0,1,0(1=n 因为)2,1,2(E )0,2,0(C ，)2,1,2(--=∴， 可知直线EC 的一个方向向量为)2,1,2(--=∴．设直线EC 与平面11BCC B 成角为θ，与1n 所成角为ϕ，则31191cos sin =⨯===ϕθ31a r c s i n B C C B 11成角大小为与平面故EC解法二：⊥1EB 平面11BCC B ，即C B 1为EC 在平面11BCC B 内的射影， 故1ECB ∠为直线EC 与平面11BCC B 所成角，在C EB Rt 1∆中，22,1EB 11==C B ,42221tan 111===∠C B EB ECB 故 42arctanBCC B 11成角大小为与平面故EC （2）解法一：建立坐标系如图．平面ABCD 的一个法向量为)1,0,0(1=n设平面AEF 的一个法向量为),,(2z y x n =，因为)0,1,2(-=，)2,1,0(= 所以⎩⎨⎧=+=+-0202z y y x ，令1=x ，则1,2-==z y )1,2,1(2-=⇒n661411cos =++-==θ由图知二面角B AF E --为锐二面角，故其大小为66arccos．解法二：过E 作平面ABC 的垂线，垂足为E '，E EG '∠即为所求AB E ∈'，过E '作AF 的垂线设垂足为G ，ADF ∆∽AGE ∆521='⇒=''E G AF AD E A E G 即52='E G 在Q E E Rt '∆中5tan =''='∠E G E E E EG所以二面角B AF E --的大小为5arctan ．20．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 ．解:（1）在△POC 中，32π=∠OCP ，1,2==OC OP 由32cos 2222πPC OC PC OC OP ⋅-+=得032=-+PC PC ，解得2131+-=PC ． （2）∵CP ∥OB ，∴θπ-=∠=∠3POB CPO ，在△POC 中，由正弦定理得θsin sin CPPCO OP =∠，即θπsin 32sin 2CP = ∴θsin 34=CP ,又32sin )3sin(θCP OC =-)3sin(34θπ-=∴OC ． 解法一：记△POC 的面积为)(θS ，则32sin 21)(πθOC CP S ⋅=， 23)3sin(34sin 3421⨯-⋅⋅=θπθ)3sin(sin 34θπθ-⋅=)sin 21cos 23(sin 34θθθ-=θθθ2sin 32cos sin 2-= 332cos 332sin -+=θθ33)62(sin 332-+=πθ∴6πθ=时，)(θS 取得最大值为33. 解法二：212432cos 22-=⋅-+=PC OC PC OC π即422=⋅++PC OC PC OC ，又PC OC PC OC PC OC ⋅≥⋅++322即43≤⋅PC OC当且仅当PC OC =时等号成立, 所以3323342132sin 21=⨯⨯≤⋅=πOC CP SPC OC = ∴6πθ=时，)(θS 取得最大值为33. 21．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 ．解:（1）12)(2+++=bx a x x F 是偶函数，0=∴b 即2)(2++=a x x F ，R x ∈ 又ax x F ≥)(恒成立即2)1(222+≤-⇒≥++x x a ax a x 当1=x 时R a ∈⇒当1>x 时，213)1(122+-+-=-+≤x x x x a ，232+≤a当1<x 时，213)1(122+-+-=-+≥x x x x a ， 232+-≥a综上： 232232+≤≤+-a （2）)())(()(x f x f f x λϕ-=)2()2(24λλ-+-+=x x)(x ϕ∴是偶函数，要使)(x ϕ在()1,-∞-上是减函数在()0,1-上是增函数，即)(x ϕ只要满足在区间()+∞,1上是增函数在()1,0上是减函数．令2x t =，当()1,0∈x 时()1,0∈t ；()+∞∈,1x 时()+∞∈,1t ，由于()+∞∈,0x 时，2x t =是增函数记)2()2()()(2λλϕ-+-+==t t t H x ，故)(x ϕ与)(t H 在区间()+∞,0上有相同的增减性，当二次函数)2()2()(2λλ-+-+=t t t H 在区间()+∞,1上是增函数在()1,0上 是减函数，其对称轴方程为1=t 4122=⇒=--⇒λλ． 22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分. 解（1）11AP =，所以35AP =，设()3,Px y 则()221253180x y x y ⎧-+=⎪⎨--=⎪⎩，消去y ，得211300x x -+=，…（2分） 解得15x =，26x =,所以3P 的坐标为()5,3-或()6,0（2）由题意可知点A 到圆心的距离为13)03()13(22=-+-=t …（6分）（ⅰ）当130<<r 时，点()1,0A 在圆上或圆外，31132P P AP AP d =-=， 又已知0≠d ，r P P 2031≤≤，所以 0<≤-d r 或 r d ≤<0 （ⅱ）当13≥r 时，点()1,0A 在圆内，所以13213132max=--+=r r d，又已知0≠d ，13220≤<d ，即013<≤-d 或130≤<d结论：当130<<r 时，0<≤-d r 或 r d ≤<0；当13≥r 时，013<≤-d 或130≤<d（3）因为抛物线方程为x y 42=，所以()1,0A 是它的焦点坐标，点2P 的横坐标为3，即82=AP设()111,P x y ，()333,P x y ，则111+=x AP ，133+=x AP ，1322AP AP AP +=， 所以13226x x x +==直线13PP 的斜率3131314y y k x x y y -==-+，则线段13PP 的垂直平分线l 的斜率314l y y k +=- 则线段13PP 的垂直平分线l 的方程为()3131324y y y yy x ++-=-- 直线l 与x 轴的交点为定点()5,023．（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分. 解：（1）⇒+=+n n n S a 31n n n S S 321+=+，n n n S b 3-=，*∈N n ，当3≠a 时，1111323333n n n n n n n nn n n b S S b S S ++++-+-==--=2，所以{}n b 为等比数列． 3311-=-=a S b ，12)3(-⨯-=n n a b ． （2） 由（1）可得12)3(3-⨯-=-n n n a S *-∈≥-=N n n S S a n n n ,2,1212)3(3221≥=⎩⎨⎧⨯-+⨯=--n n a a a n n n ； n n a a ≥+1，2112>⎩⎨⎧>>+n a a a a n n ，9-≥a 所以9-≥a ，且3≠a ．所以a 的最小值为 （3）由（1）当4=a 时，12-=n n b当2≥n 时，n n C 2423++++= 12+=n，31=C ，所以对正整数n 都有12+=n n C ． 由12+=n pt，n p t 21=-，(*∈N p t ,且1,1>>p t )，t 只能是不小于3的奇数．①当p 为偶数时，n p p pt t t 2)1)(1(122=-+=-，因为12+p t和12-p t 都是大于1的正整数，所以存在正整数h g ,，使得gp t 212=+，h p t 212=-，222=-h g ,2)12(2=--h g h ，所以22=h 且112=--h g 2,1==⇒g h ，相应的3=n ，即有233=C ，3C 为“指数型和”；②当p 为奇数时，)1)(1(112-++++-=-p p t t t t t ，由于121-++++p t t t 是p 个奇数之和，仍为奇数，又1-t 为正偶数，所以n p tt t t 2)1)(1(12=++++-- 不成立，此时没有“指数型和”．。

2013年上海市普通高等学校春季招生考试数 学 试 卷考试注意： 1.答卷前，考生务必将姓名、高考座位号、校验码等填写清楚。

2.本试卷共有31道试题，满分150分。

考试时间120分钟。

3.请考生用钢笔或圆珠笔按要求在试卷相应位置上作答。

一. 填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，要求直接填写结果，每题填对得3分，否则一律得0分。

1. 函数2log (2)y x =+的定义域是2. 方程28x=的解是 3. 抛物线28y x =的准线方程是 4. 函数2sin y x =的最小正周期是5. 已知向量(1 )a k =，，(9 6)b k =- ，。

若//a b ，则实数 k = 6. 函数4sin 3cos y x x =+的最大值是 7. 复数23i +（i 是虚数单位）的模是8. 在ABC ∆中，角 A B C 、、所对边长分别为 a b c 、、，若5 8 60a b B ===，，，则b= 9. 在如图所示的正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1A B 与1B C 所成角的大小为 10. 从4名男同学和6名女同学中随机选取3人参加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的 概率为 （结果用数值表示）。

11. 若等差数列的前6项和为23，前9项和为57，则数列的前n 项和n =S 12. 36的所有正约数之和可按如下方法得到： 因为2236=23⨯，所以36的所有正约数之和为22222222(133)(22323)(22323)(122)133)91++++⨯+⨯++⨯+⨯=++++=（参照上述方法，可求得2000的所有正约数之和为二．选择题（本大题满分36分）本大题共有12题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的。

考生必须把真确结论的代码写在题后的括号内，D 1C 1B 1A 1D C AB选对得3分，否则一律得0分。

13.展开式为ad-bc 的行列式是（ ）（A ）a bd c (B)acb d(C)a d bc(D)b a dc14.设-1()f x为函数()f x = ）(A) 1(2)2f-= (B) 1(2)4f -= (C) 1(4)2f-= (D) 1(4)4f -=15.直线2310x y -+=的一个方向向量是（ ）(A) (2 3)-， (B) (2 3)， (C) (3 2)-， (D) (3 2)， 16函数12()f x x-=的大致图像是（）17.如果0a b <<，那么下列不等式成立的是（ ） (A)11a b < (B) 2ab b < (C) 2ab a -<- (D) 11a b-<- 18.若复数12 z z 、满足21z z =，则12 z z 、在复数平面上对应的点12 Z Z 、（ ） (A) 关于x 轴对称 (B)关于y 轴对称(C) 关于原点对称 (D)关于直线y x =对称 19. 10(1)x +的二项展开式中的一项是（ ）（A ）45x （B ）290x （C ） 3120x （D ）4252x 20.既是偶函数又在区间(0 )π，上单调递减的函数是（ ）（A ）sin y x = （B ）cos y x = （C ）sin 2y x = （D ）cos 2y x = 21．若两个球的表面积之比为1:4，则这两个球的体积之比为（ ） （A ）1:2 （B ）1:4 （C ）1:8 （D ）1:16 22.设全集U R =，下列集合运算结果为R 的是（ ） （A ）u Z N ð （B ）u N N ð （C ）()u u ∅痧 （D ）{0}u ð23.已知 a b c R ∈、、，“240b ac -<”是“函数2()f x ax bx c =++的图像恒在x 轴上方”的（ ）（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件 24.已知 A B 、为平面内两定点，过该平面内动点M 作直线AB 的垂线，垂足为N .若2MN AN NB λ=⋅，其中λ为常数，则动点M 的轨迹不可能是（ ）（A ）圆 （B ） 椭圆 （C ） 抛物线 （D ）双曲线三、解答题（本大题满分78分）本大题共有7题，解答下列各题必须写出必要的步骤。

专题十二项式定理
2013年2月
（杨浦区2013届高三一模理科）6. 若的二项展开式中，的系数为，则实数．6. ；
（松江区2013届高三一模理科）10．若二项式展开式中项的系数是7，则= ▲．10．
（浦东新区2013届高三一模理科）10．二项式的展开式前三项系数成等差数列，则.
（黄浦区2013届高三一模理科）5．的展开式中的系数是（用数字作答）．5．36；
（宝山区2013届期末）9．二项式展开式中的常数项是 (用具体数值表示)
（长宁区2013届高三一模）4、展开式中含项的系数为. 4、1 （崇明县2013届高三一模）6、展开式中的系数是.（用数字作答）6、10
（金山区2013届高三一模）7．在的二项展开式中，常数项等于．(用数值表示) 7．–160。

杨浦区2012学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷(理)考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上．2．本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟． 1. 若函数()xx f 3=的反函数为()x f1-，则()=-11f．【答案】0由31x=得，0x =，即1(1)0f-=。

2．若若复数iiz -=1 (i 为虚数单位) ，则=z . 【答案】2因为1111i z i i i-==-=--，则2z =。

3．抛物线x y 42=的焦点到准线的距离为 . 【答案】2由抛物线的方程可知24p =，所以2p =，即抛物线的焦点到准线的距离为2.4. 若线性方程组的增广矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛211321，则该线性方程组的解是 ． 【答案】11x y =⎧⎨=⎩ 由题意可知对应的线性方程组为232x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩。

所以该线性方程组的解是11x y =⎧⎨=⎩。

5．若直线l :012=--x y ，则该直线l 的倾斜角是 . 【答案】tan 2arc由210y x --=得21y x =+，所以直线的斜率为tan 2k α==，所以tan 2arc α=，即直线的倾斜角为tan 2arc 。

6. 若7)(a x +的二项展开式中，5x 的系数为7，则实数=a ．【答案】33±二项展开式的通项公式为717k k kk T C x a -+=，由75k -=得2k =，所以25237T C x a =，即5x 的系数为2227217C a a ==，所以213a =，所以33a =±。

7. 若圆椎的母线cm 10=l ,母线与旋转轴的夹角030=α,则该圆椎的侧面积为2cm .【答案】50π因为线与旋转轴的夹角030=α，设底面圆的半径为r ，则010sin 305r ==。

所以底面圆的周长210c r ππ==，所以该圆锥的侧面积1110105022lc ππ=⨯⨯=。

专题四 数列汇编2013年3月（杨浦区2013届高三一模 文科）16．若无穷等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项为1，公比为23-a ，且a S n n =∞→lim ，(n ∈*N )，则复数ia z +=1在复平面上对应的点位于 ………（ ）)(A 第一象限． )(B 第二象限． )(C 第三象限． )(D 第四象限． 16．)(D ；（闵行区2013届高三一模 文科）18．数列{}n a 满足121a a ==，122cos()3n n n n a a a n N π*++++=∈，若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则2012S 的值为 [答] ( )（A ）672- （B ）671- （C ）2012 （D ）672 （文）数列{}n a 满足121a a ==，122cos()3n n n n a a a n N π*++++=∈，若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则2013S 的值为 [答] ( ) （A ）2013 （B ）671 （C ）671- （D ）6712- 18．D ．（虹口区2013届高三一模）18、数列}{n a 满足⎩⎨⎧=-==kn a k n n a k n 2,12,当当，其中*∈N k ，设n n a a a a n f 21221)(++++=-Λ，则)2012()2013(f f -等于( )．.A 20122 .B 20132 .C 20124 .D 2013418、C ；（奉贤区2013届高三一模）17、（理）已知是等差数列的前n 项和，且，有下列四个命题，假命题．．．的是（ ） A ．公差； B ．在所有0<n S 中，13S 最大； C ．满足0>n S 的n 的个数有11个； D ．76a a >；17． 理（奉贤区2013届高三一模）17、（文）已知是等差数列的前n 项和，且65S S <，876S S S >=，则下列结论错误的是 （ ）A ．6S 和7S 均为n S 的最大值.B ．07=a ；n S *{}()n a n N ∈675S S S >>0d <n S *{}()n a n N ∈C ．公差；D ．59S S >； 文（金山区2013届高三一模）10．A 、B 、C 三所学校共有高三学生1500人，且A 、B 、C 三所学校的高三学生人数成等差数列，在一次联考后，准备用分层抽样的方法从所有高三学生中抽取容量为120的样本，进行成绩分析，则应从B 校学生中抽取_________人． 10．40 （浦东新区2013届高三一模 文科）17．若1x ，2x ，3,x L ，2013x 的方差为3，则13x ，23x ，33,x L ，20133x 的方差为（ D ）()A 3 ()B 9 ()C 18 ()D 27（普陀区2013届高三一模 文科）6. 若等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，1442=+a a ，770S =，则数列}{n a 的通项公式为 . 6.32n a n =-（*N n ∈）（杨浦区2013届高三一模 文科）8. 设数列}{n a (n ∈*N )是等差数列.若2a 和2012a 是方程03842=+-x x 的两根，则数列}{n a 的前2013 项的和=2013S ______________．8. 2013；（浦东新区2013届高三一模 文科）14．1,2,3,4,5共有5!种排列12345,,,,a a a a a ，其中满足“对所有1,2,3,4,5k =都有2k a k ≥-”的不同排列有 54 种.（奉贤区2013届高三一模）14、（理）设函数()2cos f x x x =-，{}n a 是公差为8π的等差数列，125()()()5f a f a f a π++⋅⋅⋅+=，则=-5123)]([a a a f ．14．理21613π（杨浦区2013届高三一模 文科）18. 已知数列{}n a 是各项均为正数且公比不等于1的等比数列（n ∈*N ）. 对于函数()y f x =，若数列{}ln ()n f a 为等差数列，则称函数()f x 为“保比差数列函数”. 现有定义在(0,)+∞上的如下函数：①1()f x x=， ②2()f x x =， ③()e x f x =， ④()f x =0d <序号为 ………（ ）)(A ①②． )(B ③④． )(C ①②④． )(D ②③④ ．18. )(C ．（嘉定区2013届高三一模 文科）4．一组数据8，9，x ，11，12的平均数是10，则这组数据的方差是_________． 4．2（浦东新区2013届高三一模 文科）7．等差数列{}n a 中，67812a a a ++=，则该数列的前13项的和13S = 52 .（黄浦区2013届高三一模 文科）4．若数列{}n a 的通项公式为3n a n =+(*)N n ∈，则12lim 4n n n a a n++∞+=→ ．4．12； （静安区2013届高三一模 文科）11． （文）数列{}n a 的前n 项和为22n S n =（*N n ∈），对任意正整数n ，数列{}n b 的项都满足等式022121=+-++n n n n n a b a a a ，则n b = .11．（文）141422-+=n n b n ； （闵行区2013届高三一模 文科）14． （文）如下图，对大于或等于2的正整数m 的n 次幂进行如下方式的“分裂”(其中* m n N ∈、)：例如27的“分裂”中最小的数是1，最大的数是13；若3m 的“分裂”中最小的数是211，则m = .14．文15．（嘉定区2013届高三一模 文科）5．在等差数列}{n a 中，101-=a ，从第9项开始为正数， 则公差d 的取值范围是__________________．5．⎥⎦⎤⎝⎛710,45 （静安区2013届高三一模 文科）2．等比数列{}n a （*N n ∈）中，若1612=a ，215=a ，则=12a . 2．64；312253329742512339733112943252727791113135（静安区2013届高三一模 文科）16．（文）等差数列}{n a 中，已知10573a a =，且01<a ，则数列}{n a 前n 项和n S （*N n ∈）中最小的是（ ）(A) 7S 或8S (B) 12S (C)13S (D)14S （文）同理15 16．（文）C ；（嘉定区2013届高三一模 文科）14．在数列}{n a 中，若存在一个确定的正整数T ，对任意*N ∈n 满足n T n a a =+，则称}{n a 是周期数列，T 叫做它的周期．已知数列}{n x 满足11=x ，a x =2（1≤a ），||12n n n x x x -=++，当数列}{n x 的周期为3时，则}{n x 的前2013项的和=2013S ________． 14．1342（静安区2013届高三一模 文科）3． （文）求和：nnn n n n C C C C 32793321++++Λ= .（*N n ∈）（文）14-n（金山区2013届高三一模）14．若实数a 、b 、c 成等差数列，点P (–1, 0)在动直线l ：ax+by+c =0上的射影为M ，点N (0, 3)，则线段MN 长度的最小值是 ． 14．24-（虹口区2013届高三一模）9、在等比数列{}n a 中，已知3221=a a ，243=a a ，则=+++∞→)(lim 21n n a a a Λ ． 9、16±；（青浦区2013届高三一模）8．若三个互不相等的实数成等差数列，适当交换这三个数的位置后变成一个等比数列，则此等比数列的公比为 （写出一个即可）．21-2或-．（奉贤区2013届高三一模）6、设无穷等比数列{}n a 的前n 项和为S n ，首项是1a ，若∞→n limS n ＝11a ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛∈22,01a ，则公比q 的取值范围是 ． 6．⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21 （崇明县2013届高三一模）13、数列{}n a 满足1(1)21n n n a a n ++-=-，则{}n a 的前60项和等于 . 13、1830（虹口区2013届高三一模）12、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若0211=-++-m m m a a a ，3812=-m S ，则=m ．12、10；（长宁区2013届高三一模）7、从数列中可以找出无限项构成一个新的等比数列，使得该新数列的各项和为，则此数列的通项公式为7、n n b 81=（宝山区2013届期末）11.若数列{}n a 的通项公式是13(2)n n n a --+=+-，则)(lim 21n n a a a +++∞→Λ=_______.76（崇明县2013届高三一模）9、数列{}n a 的通项公式是1(1,2)11(2)3n nn n a n ⎧=⎪⎪+=⎨⎪>⎪⎩，前n 项和为n S ，则lim n n S →∞= . 9、89（长宁区2013届高三一模）3、已知口袋里装有同样大小、同样质量的16个小球，其中8个白球、8个黑球，则从口袋中任意摸出8个球恰好是4白4黑的概率为 . （结果精确到001.0） 3、381.0（宝山区2013届期末）15.现有8个人排成一排照相，其中甲、乙、丙三人两两不相邻的排法的种数为……（ C ）（A ）3353P P ⋅ （B ）863863P P P -⋅ （C ）3565P P ⋅ （D ）8486P P -（青浦区2013届高三一模）20．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知数列{}n a 满足)(233,2*111N n a a a n n n n ∈-+==++．（1）设nnn n a b 32-=证明：数列{}n b 为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．解：（1）n n n n n n n n a a b b 32321111---=-++++Θ13232233111=----+=+++nnn n n n n n a a ，……2分)}(21{*N n n ∈}{n b 71}{n b}{n b ∴为等差数列．又0=1b ，1-=∴n b n ．……………………………………………4分()n n n n a 231+⋅-=∴．………………………………………………………………………6分（2）设nn n T 3)1(313021⋅-++⋅+⋅=Λ，则 31323)1(3130+⋅-++⋅+⋅=n n n T Λ．11123)1(31)31(93)1(332+-+⋅----=⋅--++=-∴n n n n n n n T Λ． (10)分493)32(23)1(439111+⋅-=⋅-+-=∴+++n n n n n n T ．()()412332222312++-=++++=∴++n n nn n n T S Λ． …………………………14分（金山区2013届高三一模）23．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）已知数列{a n }满足761-=a ，12110n n a a a a +++++-λ=L (其中λ≠0且λ≠–1，n ∈N*)，n S 为数列{a n }的前n 项和．(1) 若3122a a a ⋅=，求λ的值；(2) 求数列{a n }的通项公式n a ； (3) 当13λ=时，数列{a n }中是否存在三项构成等差数列，若存在，请求出此三项；若不存在，请说明理由．23．解：(1) 令1=n ，得到λ712=a ，令2=n ，得到237171λλ+=a 。

浦东新区2012学年度第一学期期末质量测试（一模）高三数学试卷（理科） 2013.1一、填空题（本大题共有14题，满分56分）只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．若集合},0{m A =，}2,0{=B ，}2,1,0{=B A Y ，则实数=m 1 .2．已知二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 的增广矩阵是⎪⎪⎭⎫⎝⎛-311111，则此方程组的解是 21x y =⎧⎨=⎩. 3．函数)2(log 2-=x y 的定义域为 ),3[+∞ . 4．已知,x y R ∈，且41x y +=，则x y ⋅的最大值为 116. 5．函数1y x =0≥x ）的反函数是 2(1)y x =-（1≥x ） .6．函数()2sin sin 44f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期为 π . 7．等差数列{}n a 中，67812a a a ++=，则该数列的前13项和13S = 52 . 8．已知数列{}n a 是无穷等比数列，其前n 项和是n S ，若232a a +=，341a a +=，则lim n n S →∞的值为316. 9．若一个圆锥的轴截面是边长为4cm 的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为 8π 2cm . 10．二项式2nx x ⎛+ ⎝的展开式前三项系数成等差数列，则n = 8 . 11．已知甲射手射中目标的频率为0.9，乙射手射中目标的频率为0.8，如果甲乙两射手的射击相互独立，那么甲乙两射手同时瞄准一个目标射击，目标被射中的频率为 0.98 .12．已知向量a r 与向量b r ，2a =u u r ，3b =u u r ，a r 、b r 的夹角为60︒，当12,02m n ≤≤≤≤时，ma nb +r r的最大值为 219 .13．动点P 在边长为1的正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上从B 向1D 移动，点P 作垂直于面11BB D D 的直线与正方体表面交于,M N ，,BP x MN y ==，则函数()y f x =的解析式为263,0,3226322,,332x x y x x ⎧⎡⎤∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎛⎤⎪-∈ ⎥⎪ ⎝⎦⎩或|3622|2x --]3,0[∈x 给分. 14．1,2,,n L 共有!n 种排列12,,,n a a a L （2,n n N *≥∈），其中满足“对所有1,2,,k n =L 都有2k a k ≥-”的不同排列有 223n -⋅ 种.二、选择题（本大题共有4题，满分20分）15．已知△ABC 两内角A 、B 的对边边长分别为a 、b ，则“B A =”是“cos cos a A b B = ”的 （ A ）()A 充分非必要条件 ()B 必要非充分条件 ()C 充要条件 ()D 非充分非必要条件16．已知函数241)(+=xx f ，若函数1()4y f x m =+-为奇函数，则实数m 为 （ C ） ()A 12- ()B 0 ()C 12()D 117． 若1x ，2x ，3,x L ，2013x 的方差为3，则13(2)x -，23(2)x -，33(2),x -L ，20133(2)x -的方差为 （ D ）()A 3 ()B 9 ()C 18 ()D 27 18．定义域为[],a b 的函数()y f x =图象的两个端点为,A B ，向量(1)ON OA OB λλ=+-u u u r u u u r u u u r，AA 1B 1c 1BC(,)M x y 是()f x 图象上任意一点，其中[](1),0,1x a b λλλ=+-∈. 若不等式MN k ≤恒成立，则称函数()f x 在[],a b 上满足“k 范围线性近似”，其中最小的正实数k 称为该函数的线性近似阀值．下列定义在[]1,2上函数中，线性近似阀值最小的是 （ D ） ()A 2y x = ()B 2y x =()C sin 3y x π= ()D 1y x x=-三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 19．（本小题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分） 如图，直三棱柱111ABC A B C -中，12AB AC AA ===,45ABC ︒∠=. （1）求点A 到平面1A BC 的距离； （2）求二面角1A A C B --的大小.解：（1）2,45,90AB AC ABC BAC ︒︒==∠=∴∠=Q ，143A ABCV -∴=. 11122,23A BC A B BC AC S ∆===∴=Q …3分 设点A 到平面距离为h ，由11123,3A BC A ABC h S V h ∆-⋅=∴=.∴点A 到平面距离为23. ……6分 （2）设1A C 的中点为M ，连结,BM AM .1111,,,BA BC AA AC BM AC AM AC ==∴⊥⊥Q . AMB ∴∠是二面角1A A C B --的平面角.………………………8分tan 2,arctan 2AMB AMB ∠=∴∠=∴二面角1A A C B --的大小为arctan 2.………………………………12分20．（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）世博中学为了落实上海市教委推出的“阳光运动一小时”活动，计划在一块直角三角形ABC 的空地上修建一个占地面积为S 的矩形AMPN 健身场地，如图点M 在AC 上，点N 在AB 上，且P 点在斜边BC 上，已知ο60=∠ACB 且30||=AC 米，=AM x ，]20,10[∈x . （1）试用x 表示S ，并求S 的取值范围； （2）设矩形AMPN 健身场地每平方米的造价为Sk37，再把矩形AMPN 以外（阴影部分）铺上草坪， 每平方米的造价为Sk12（k 为正常数），求总造价T 关于S 的函数)(S f T =； 试问如何选取||AM 的长使总造价T 最低（不要求求出最低造价）.解：（1）在PMC Rt ∆中，显然x MC -=30||，ο60=∠PCM ，∴)30(3tan ||||x PCM MC PM -=∠⋅=，………………2分矩形AMPN 的面积)30(3||||x x MC PM S -=⋅=，[10,20]x ∈…4分于是32253200≤≤S 为所求.……………………………6分NP（2） 矩形AMPN 健身场地造价=1T S k 37 ……………………7分 又ABC ∆的面积为3450，即草坪造价=2T )3450(12S Sk-，……………8分 由总造价21T T T +=，∴)3216(25SS k T +=，32253200≤≤S .…10分 36123216≥+SS Θ，……………………………………………………11分 当且仅当SS 3216=即3216=S 时等号成立，……………………………12分 此时3216)30(3=-x x ，解得12=x 或18=x ，所以选取||AM 的长为12米或18米时总造价T 最低.………………………14分21．（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知复数122sin 1(2cos )z z i θθ==+，[,]32ππθ∈.（1）若12z z ⋅为实数，求角θ的值；（2）若复数12,z z 对应的向量分别是,a b r r，存在θ使等式()()0a b a b λλ→→→→+⋅+=成立，求实数λ的取值范围. 解：（1）[]i i z z )cos 2(1)3sin 2(21θθ+-=⋅(2sin )(2sin 2i R θθθ=++∈， (2)分232sin =∴θ，……………………………………………………………………4分 又πθπ≤≤232，πθ322=∴，即3πθ=.……………………………………6分（2）228a b +=r r ，………………………………………………………………………8分2sin a b θθ⋅=-r r，………………………………………………………10分)()(→→→→+⋅+b a b a λλ0)1()(222=⋅+++=→→→→b a b a λλ.得0)cos 32sin 2)(1(82=-++θθλλ，整理得)3sin(122πθλλ--=+.……12分 因为]6,0[3ππθ∈-，所以]21,0[)3sin(∈-πθ. 只要012212≤+≤-λλ即可，………………13分解得32--≤λ或032≤≤+-λ.……………………………………………14分22．（本小题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分） 定义数列}{n x ，如果存在常数p ，使对任意正整数n ，总有1()()0n n x p x p +--<成立， 那么我们称数列}{n x 为“-p 摆动数列”．（1）设12-=n a n ，nn q b =（01<<-q ），*∈N n ，判断数列}{n a 、}{n b 是否为“-p 摆动数列”，并说明理由；（2）已知“-p 摆动数列”}{n c 满足111+=+n n c c ，11=c ，求常数p 的值； （3）设(1)(21)nn d n =-⋅-，且数列}{n d 的前n 项和为n S ，求证：数列}{n S 是“-p 摆动数列”，并求出常数p 的取值范围.解：（1）假设数列}{n a 是“-p 摆动数列”，即存在常数p ，总有1212+<<-n p n 对任意n 成立，不妨取1=n 时则31<<p ，取2=n 时则53<<p ，显然常数p 不存在， 所以数列}{n a 不是“-p 摆动数列”； ……………………………………………2分 由n n q b =，于是0121<=++n n n q b b 对任意n 成立，其中0=p .所以数列}{n b 是“-p 摆动数列”. ………………………………………………4分 （2）由数列}{n c 为“-p 摆动数列”， 11=c 212=⇒c ， 即存在常数121<<p ，使对任意正整数n ，总有0))((1<--+p c p c n n 成立； 即有0))((12<--++p c p c n n 成立.则0))((2>--+p c p c n n ，………………6分 所以p c p c p c n >⇒⇒>>⇒>-1231Λ.……………………………………7分 同理p c p c p c n <⇒⇒<⇒<242Λ.…………………………………………8分 所以122-<<n n c p c ⇒121211--<+n n c c ，解得21512->-n c 即215-≤p .…9分 同理n n c c 2211>+，解得2152-<n c ；即215-≥p . 综上215-=p .……………11分（3）证明：由)12()1(-⋅-=n d n n n S nn ⋅-=⇒)1(，…………………………………13分 显然存在0=p ，使对任意正整数n ，总有0)1()1(121<+⋅-=++n n S S n n n 成立， 所以数列}{n S 是“-p 摆动数列”； …………………………………………………14分 当n 为奇数时n S n -=递减，所以11-=≤S S n ，只要1->p 即可 当n 为偶数时n S n =递增，22=≥S S n ，只要2<p 即可综上21<<-p ，p 的取值范围是)2,1(-.………………………………………16分 （取)2,1(-中的任意一个值，并给予证明均给分） 如取21=p 时，]21)1()1][(21)1[()21)(21(11-+---=--++n n S S n n n n41)1(21)1(41)1(21)1()1(12+-++-=+-++⋅-=+n n n n n n n .因为4341)1(2141≤+-≤-n ，2)1(-≤+-n n ，存在21=p ，使0)21)(21(1<--+n n S S 成立.所以数列}{n S 是“-p 摆动数列”.23．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分10分）设函数12,02()12(1),12x x T x x x ⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤≤⎪⎩（1）求函数⎪⎭⎫ ⎝⎛=)2sin(x T y π和⎪⎭⎫⎝⎛=)(2sin x T y π的解析式； （2）是否存在非负实数a ，使得()()aT x T a x =恒成立，若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由；（3）定义1()(())n n T x T T x +=，且1()()T x T x = ()n N *∈① 当10,2n x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()n y T x =的解析式； 已知下面正确的命题：当11,22nn i i x -+⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦(121)n i N i *∈≤≤-，时，都有-1()()2n n n i T x T x =-恒成立.② 对于给定的正整数m ，若方程()m T x k x =恰有2m 个不同的实数根，确定k 的取值范围； 若将这些根从小到大排列组成数列{}n x ()12m n ≤≤，求数列{}n x 所有2m 项的和.解：（1）函数152sin 44+4+4+2233sin()21522sin 4+4+233x x k k k k k Zy T x x x k k k Zπππ⎧⎛⎫⎡⎫⎛⎤∈∈ ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎭⎝⎦⎡⎤==⎨⎢⎥⎣⎦⎛⎫⎡⎤⎪-∈∈ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦⎩U ，，，函数()()()[]1sin 20,22sin ()=sin 0,121sin 2-2,122x x y T x x x x x ππππ⎧⎡⎫∈⎪⎪⎢⎪⎣⎭⎛⎫==∈⎨⎪⎝⎭⎡⎤⎪∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩ ……4分 （2）12,02()12(1),12ax x y aT x a x x ⎧≤<⎪⎪==⎨⎪-≤≤⎪⎩，12,02()12(1),12ax ax y T ax ax ax ⎧≤<⎪⎪==⎨⎪-≤≤⎪⎩……6分当0a =时，则有(())()0a T x T ax ==恒成立.当0a >时，当且仅当1=a 时有(())()()a T x T ax T x ==恒成立.综上可知当0a =或1a =时，(())()a T x T ax =恒成立；………………………8分（3）① 当10,2n x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，对于任意的正整数11j N i n *∈≤≤-，，都有1022jx ≤≤ 故有2112()(2)(2)(2)(2)2jn n n n n n j y T x T x T x T x T x x ----========L L …13分② 由①可知当10,2n x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，有()2nn T x x =，根据命题的结论可得， 当1202,,2222n n n n x ⎡⎤⎡⎤∈⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦时，有110102,,22222n n n n n x -⎡⎤⎡⎤-∈⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故有1111()()=2()2222nn n n n n T x T x x x --=--=-+. 因此同理归纳得到，当1,22n n i i x +⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦(021)ni N i ∈≤≤-，时， 211()(1)(2)=2221n i nn nx i i T x x i x i i ⎧-⎪=---+⎨-++⎪⎩，是偶数，是奇数……………………15分 对于给定的正整数m ，1,22m m i i x +⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦(021)mi N i ∈≤≤-，时， 解方程()mT x kx =得，()121(1)2(1)2i m i i x k++--=--，要使方程()m T x kx =在[]0,1x ∈上恰有2m个不同的实数根，对于任意021mi N i ∈≤≤-，，必须()121(1)122(1)22i m m im i ii k ++--+<<--恒成立， 解得2(0,)21mmk ∈-, 若将这些根从小到大排列组成数列{}n x ， 由此可得()121(1)2(1)2n nm nn x k+-+-=+- ()12mn N i *∈≤≤，.……………………17分 故数列{}n x 所有2m项的和为：12212m m S x x x x -=+++L024(22)246222m m m m k k ++++-++++=+-+L L 122(42)4m m m k k --=-.……18分。

专题三 解析几何2013年2月（杨浦区2013届高三一模 理科）17．若1F 、2F 为双曲线C : 1422=-y x 的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，∠21PF F =︒60，则P 到x 轴的距离为 ………（ ）)(A． )(B ． )(C ． )(D ． 17．)(B ；（青浦区2013届高三一模）15．设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的虚轴长为2，焦距为32，则双曲线的渐近线方程为………………………………………………（ D ）．A . x y 2±= .B x y 2±=C . x y 21±= D . x y 22±=（嘉定区2013届高三一模 理科）9．点M 是曲线1212+=x y 上的一个动点，且点M 为线段OP 的中点，则动点P 的轨迹方程为__________________． 9．2412+=x y （崇明县2013届高三一模）17、等轴双曲线C ：222x y a -=与抛物线216y x =的准线交于,A B 两点，AB =，则双曲线C 的实轴长等于……………………………………………………………………（ ）AB ．C ．4D ．817、C（黄浦区2013届高三一模 理科）13．已知F 是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，O 是双曲线C 的中心，直线y =是双曲线C 的一条渐近线．以线段OF 为边作正三角形MOF ，若点M 在双曲线C上，则m 的值为 ． 13．3+；（松江区2013届高三一模 理科）7．抛物线的焦点为椭圆14522=+y x 的右焦点，顶点在椭圆的中心，则抛物线方程为 ▲ 7．24y x =（虹口区2013届高三一模）14、设点P 在曲线22+=x y 上，点Q 在曲线2-=x y 上，则PQ 的最小值等于 ． 14、427； （松江区2013届高三一模 理科）14．定义变换T 将平面内的点(,)(0,0)P x y x y ≥≥变换到平面内的点Q ．若曲线0:1(0,0)42x yC x y +=≥≥经变换T 后得到曲线1C ，曲线1C 经变换T 后得到曲线2C ，依次类推，曲线1n C -经变换T 后得到曲线n C ，当*n N ∈时，记曲线n C 与x 、y 轴正半轴的交点为(,0)n n A a 和(0,)n n B b ．某同学研究后认为曲线n C 具有如下性质： ①对任意的*n N ∈，曲线n C 都关于原点对称； ②对任意的*n N ∈，曲线n C 恒过点(0,2)；③对任意的*n N ∈，曲线n C 均在矩形n n n OA D B （含边界）的内部，其中n D 的坐标为(,)n n n D a b ；④记矩形n n n OA D B 的面积为n S ，则lim 1n n S →∞=其中所有正确结论的序号是 ▲ ． 14． ③④（杨浦区2013届高三一模 理科）3．抛物线x y 42=的焦点到准线的距离为 . 3．2；（黄浦区2013届高三一模 理科）11．已知抛物线22(0)y px p =>上一点(1,)M m 到其焦点F 的距离为5，该抛物线的顶点到直线MF 的距离为d ，则d 的值为 ．11．165；（奉贤区2013届高三一模）13、（文）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点，AB =；则C 的实轴长为____________．文4（青浦区2013届高三一模）3．抛物线22x y =的焦点坐标是____)81,0( ．（奉贤区2013届高三一模）14、（文）椭圆()01342222>=+a ay a x 的左焦点为F ，直线x m =与椭圆相交于点A 、B ，当FAB ∆的周长最大时，FAB ∆的面积是____________． 文23a（杨浦区2013届高三一模 理科）5．若直线l :012=--x y ，则该直线l 的倾斜角是 . 5．2arctan ；（金山区2013届高三一模）11．双曲线C ：x 2 – y 2 = a 2的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2=16x 的准线交于A 、B 两点，34||=AB ，则双曲线C 的方程为__________．11．14422=-y x（虹口区2013届高三一模）4、双曲线1322=-y x 的两条渐近线的夹角大小等于 ． 4、3π；（嘉定区2013届高三一模 理科）21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知椭圆C ：12222=+b y a x （0>>b a ）经过)1,1(与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,26两点，过原点的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，椭圆C 上一点M 满足||||MB MA =．（1）求椭圆C 的方程；（2）求证：222||2||1||1OM OB OA ++21．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） （1）将)1,1(与⎪⎪⎭⎫⎝⎛23,26代入椭圆C 的方程，得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+143231112222b ab a ，…………（2分） 解得32=a ，232=b ．…………（5分）所以椭圆C 的方程为132322=+y x ．…………（6分）（2）由||||MB MA =，知M 在线段AB 的垂直平分线上，由椭圆的对称性知A 、B 关于原点对称．①若点A 、B 在椭圆的短轴顶点上，则点M 在椭圆的长轴顶点上，此时2112211||2||1||122222222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=++b a a b b OM OB OA ．……（1分） 同理，若点A 、B 在椭圆的长轴顶点上，则点M 在椭圆的短轴顶点上，此时2112211||2||1||122222222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=++b ab a a OM OB OA ．……（2分） ②若点A 、B 、M 不是椭圆的顶点，设直线l 的方程为kx y =（0≠k ）， 则直线OM 的方程为x ky 1-=．设),(11y x A ，),(22y x M ， 由⎪⎩⎪⎨⎧=+=132322y x kx y ，解得221213k x +=，2221213k k y +=，……（4分） 所以2221212221)1(3||||k k y x OB OA ++=+==，同理可得2222)1(3||kk OM ++=， 所以2)1(3)2(2)1(321)1(321||2||1||1222222222=++++++++=++k k k k k k OM OB OA ．……（7分） 综上，222||2||1||1OM OB OA ++为定值2．…………（8分）（黄浦区2013届高三一模 理科）22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．给定椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，称圆心在原点O C的“准圆”．已知椭圆C 的一个焦点为F ，其短轴的一个端点到点F ． （1）求椭圆C 和其“准圆”的方程；（2）若点A 是椭圆C 的“准圆”与x 轴正半轴的交点，,B D 是椭圆C 上的两相异点，且BD x ⊥轴，求AB AD ⋅的取值范围；（3）在椭圆C 的“准圆”上任取一点P ，过点P 作直线12,l l ，使得12,l l 与椭圆C 都只有一个交点，试判断12,l l 是否垂直？并说明理由．22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．解：（1）由题意知c =a ==，可得1b =，故椭圆C 的方程为2213x y +=，其“准圆”方程为224x y +=． ………………4分（2）由题意，可设(,),(,)B m n D m n -(m <<，则有2213m n +=，又A 点坐标为(2,0)，故(2,),(2,)AB m n AD m n =-=--，故2222(2)44(1)3m AB AD m n m m ⋅=--=-+--2244343()332m m m =-+=-, …………………………8分又m <<，故243()[0,732m -∈+，所以AB AD ⋅的取值范围是[0,7+． …………………………10分 （3）设(,)P s t ，则224s t +=．当s =时，1t =±，则12,l l 其中之一斜率不存在，另一斜率为0，显然有12l l ⊥．当s ≠(,)P s t 且与椭圆有一个公共点的直线l 的斜率为k ， 则l 的方程为()y t k x s -=-，代入椭圆C 方程可得223[()]3x kx t ks ++-=，即222(31)6()3()30k x k t ks x t ks ++-+--=，由222236()4(31)[3()3]0k t ks k t ks ∆=--+--=， …………………………13分 可得222(3)210s k stk t -++-=，其中230s -≠， 设12,l l 的斜率分别为12,k k ，则12,k k 是上述方程的两个根，故22122211(4)133t s k k s s ---===---，即12l l ⊥．综上可知，对于椭圆C 上的任意点P ，都有12l l ⊥． …… …………………………16分（虹口区2013届高三一模）21、（本题满分14分）已知圆:O 422=+y x ． （1）直线1l ：0323=-+y x 与圆O 相交于A 、B 两点，求AB ； （2）如图，设),(11y x M 、),(22y x P 是圆O 上的两个动点，点M 关于原点的对称点为1M ，点M 关于x 轴的对称点为2M ，如果直线1PM 、2PM 与y 轴分别交于),0(m 和),0(n ，问n m ⋅是否为定值？若是求出该定值；若不是，请说明理由．21、（14分）解：（1）圆心)0,0(O 到直线0323=-+y x 的距离3=d ．圆的半径2=r ，∴2222=-=d r AB ．………………4分 （2）),(11y x M ，),(22y x P ，则),(111y x M --，),(112y x M -，42121=+y x ，42222=+y x ．………………8分1PM ：))(())((212212y y x x x x y y -+=-+，得121221x x y x y x m +-=．2PM ：))(())((212212y y x x x x y y --=-+，得121221x x y x y x n ---=．…………12分∴4)4()4(212222212122212222212122=----=--=⋅x x x x x x x x y x y x n m ………………14分（金山区2013届高三一模）22．（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左、右焦点分别为F 1、F 2，线段OF 1、OF 2的中点分别为B 1、B 2，且△AB 1B 2是面积为4的直角三角形．过Ｂ1作直线l 交椭圆于P 、Q 两点．(1) 求该椭圆的标准方程；(2) 若22QB PB ⊥，求直线l 的方程；(3) 设直线l 与圆O ：x 2+y 2=8相交于M 、N 两点，令|MN |的长度为t ，若t ∈[4,，求△B 2PQ 的面积S 的取值范围．22．解：（1）设所求椭圆的标准方程为)0(12222>>=+b a by a x ,右焦点为)0,(2c F .因△AB 1B 2是直角三角形，又|AB 1|=|AB 2|，故∠B 1AB 2=90º，得c =2b …………1分 在Rt △AB 1B 2中，1224AB B S b ∆==，从而20222=+=c b a .………………3分因此所求椭圆的标准方程为：221204x y += …………………………………………4分(2)由(1)知1(2,0),(2,0)B B -,由题意知直线l 的倾斜角不为0,故可设直线l 的方程为：2x my =-,代入椭圆方程得()2254160m y my +--=,…………………………6分设P (x 1, y 1)、Q (x 2, y 2)，则y 1、y 2是上面方程的两根，因此12245my y m +=+，516221+-=⋅m y y ，又()()2112222,,2,B P x y B Q x y =-=-，所以212122)2)(2(y y x x Q B P B +--=⋅2216645m m -=-+………………………………8分由21PB QB ⊥，得22B P B Q ⋅=0，即216640m -=，解得2m =±；所以满足条件的直线有两条,其方程分别为：x +2y +2=0和x –2y +2=0……………………10分 (3) 当斜率不存在时，直线:l 2-=x ，此时4||=MN ，5516=S ………………11分 当斜率存在时，设直线:l )2(+=x k y ，则圆心O 到直线的距离1|2|2+=k k d ，因此t=721482||22≤+-=k k MN ，得312≥k ………………………………………13分联立方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=++=,1420),2(22y x x k y 得0164)51(222=--+k ky y k ，由韦达定理知， 22212215116,514kk y y k k y y +-=+=+，所以222421)51(454||k k k y y ++=-，因此1214||2S y y =⋅⋅-=.设28153u k u =+≥，，所以S =，所以)5516,35[∈S …15分 综上所述：△B 2PQ 的面积]5516,35[∈S ……………………………………………16分（宝山区2013届期末）22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分． 设抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，经过点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点． (1)若2p =，求线段AF 中点M 的轨迹方程； (2) 若直线AB 的方向向量为(1,2)n =，当焦点为1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭时，求OAB ∆的面积； (3) 若M 是抛物线C 准线上的点，求证：直线MA 、MF 、MB 的斜率成等差数列． 解：(1) 设00(,)A x y ，(,)M x y ，焦点(1,0)F ，则由题意00122x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即00212x x y y =-⎧⎨=⎩……………………………………2分所求的轨迹方程为244(21)y x =-，即221y x =-…………………………4分(2) 22y x =，12(,0)F ，直线12()212y x x =-=-，……………………5分由2221y x y x ⎧=⎨=-⎩得，210y y --=， 2511212=-+=y y kAB ……………………………………………7分d =……………………………………………8分 4521==∆AB d S OAB ……………………………………………9分 (3)显然直线MA 、MB 、MF 的斜率都存在，分别设为123k 、k 、k ． 点A 、B 、M 的坐标为11222pA(x ,y )、B(x ,y )、M(-,m)． 设直线AB ：2p y k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，代入抛物线得2220p y y p k --=，……………………11分 所以212y y p =-，……………………………………………12分 又2112y px =，2222y px =，因而()22211112222y p p x y p p p +=+=+，()24222212211222222y p p p p p x y p p py y +=+=+=+ 因而()()()22121112122222111222222p y m p y m y y m y m m k k p p p p y p p y p x x ⎛⎫-- ⎪---⎝⎭+=+=+=-++++ (14)分 而30222m mk p p p -==-⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故1232k k k +=．……………………………………………16分（崇明县2013届高三一模）23、（本题18分，第(1)小题6分；第(2)小题12分） 如图，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>> 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，过1F 的直线交椭圆于,A B 两点，2ABF ∆的周长为8，且12AF F ∆面积最大时，12AF F ∆为正三角形．（1）求椭圆E 的方程；（2）设动直线:l y kx m =+与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线4x =相交于点Q ．试探究：① 以PQ 为直径的圆与x 轴的位置关系？② 在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出M 的坐标；若不存在，说明理由．23、解：（122=4,=3b ∴a ，椭圆E 的方程为22+=143x y（2）①由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得方程222(43)84120k x kmx m +++-=由直线与椭圆相切得220,0,430.m k m ≠∆=⇒-+=求得43(,)k P m m -，(4,4)Q k m +，PQ 中点到x 轴距离 223(2)22m d k m=++ 2222212()(1)0(4302)2kPQ d k m m k m-=->-+=⇒≠。

上海市杨浦区2013—2014学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷（理科） 2014.1.2考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上．2．本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1. 计算：=+∞→133lim n nn ．2．若直线013=--x y 的倾斜角是θ,则=θ (结果用反三角函数值表示).3．若行列式124012x -=，则x = .4．若全集U R =，函数21x y =的值域为集合A ，则=A C U .5．双曲线2221(0)y x b b-=>的一条渐近线方程为3y x =，则b =________.6．若函数()23-=xx f 的反函数为()x f1-，则()=-11f．7. 若将边长为cm 1的正方形绕其一条边所在直线旋转一周，则所形成圆柱的体积 等于 ()3cm .8. 已知函数()lg f x x =，若()1f ab =，则22()()f a f b += _________.9. 已知函数()1cos sin )(2-+=x x x f ωω的最小正周期为π，则=ω _________．10. 某公司一年购买某种货物600吨，每次都购买x 吨，运费为3万元/次，一年的总存储费 用为2x 万元，若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买 吨．11. 已知复数i -=2ω（i 为虚数单位），复数25-+=ωωz ，则一个以z 为根的实系数一元二次方程是________.12． 若21()n x x+的二项展开式中，所有二项式系数和为64，则该展开式中的常数项为 ．13．设a ，b 随机取自集合{1,2,3}，则直线30ax by ++=与圆221x y +=有公共点的 概率是 ．14．已知函数()21(0)xf x a a =⋅+≠，定义函数(),0,()(),0.f x x F x f x x >⎧=⎨-<⎩给出下列命题：①()()F x f x =； ②函数()F x 是奇函数；③当0a <时，若0mn <，0m n +>，总有()()0F m F n +<成立，其中所有正确命题的序号是 .二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15. 若空间三条直线c b a 、、满足b a ⊥，c b //，则直线a 与c ………（ ）.)(A 一定平行 )(B 一定相交 )(C 一定是异面直线 )(D 一定垂直16．“21<-x 成立”是“01<-x x成立”的 ………（ ）. )(A 充分非必要条件． )(B 必要非充分条件． )(C 充要条件． )(D 既非充分又非必要条件． 17. 设锐角ABC ∆的三内角A 、B 、C 所对边的边长分别为a 、b 、c ，且 1=a ，A B 2=, 则b 的取值范围为 ………（ ）. )(A ()3,2 ． )(B ()3,1 ．)(C()2,2 ． )(D ()2,0 ．18．定义一种新运算：,(),()b a b a b a a b ≥⎧⊗=⎨<⎩，已知函数24()(1)log f x x x =+⊗，若函数()()g x f x k =-恰有两个零点，则k 的取值范围为 ………（ ）. )(A (]1,2 ． )(B (1,2) ． )(C (0,2) ． )(D (0,1) ．三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分 ．已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为a . （1）求异面直线B A 1与C B 1所成角的大小； （2）求四棱锥ABCD A -1的体积.20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分 ． 已知向量()1,2x m =，()ax a n 21,-=，其中0>a .函数()n m x g ⋅=在区间[]3,2∈x 上有最大值为4,设()()xx g x f =.(1)求实数a 的值； (2)若不等式()033≥-xxk f 在[]1,1-∈x 上恒成立，求实数k 的取值范围.21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分9分 ． 某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中AC 、BD 是过抛物线Γ焦点F 的两条弦，且其焦点)1,0(F ，0=⋅BD AC ，点E 为y 轴上一点，记α=∠EFA ，其中α为锐角． (1) 求抛物线Γ方程；(2) 如果使“蝴蝶形图案”的面积最小，求α的大小？22． （本题满分16分）本题共有3个小题，第（1）小题满分10分，第①问5分,第②问5分，第（2）小题满分6分.已知椭圆Γ：2214x y +=.(1) 椭圆Γ的短轴端点分别为B A ,(如图)，直线BM AM ,分别与椭圆Γ交于F E ,两点，其中点⎪⎭⎫⎝⎛21,m M 满足0m ≠，且3m ≠±.①证明直线F E 与y 轴交点的位置与m 无关； ②若∆BME 面积是∆AMF 面积的5倍，求m 的值；(2)若圆ψ:422=+y x .21,l l 是过点)1,0(-P 的两条互相垂直的直线,其中1l 交圆ψ于T 、R 两点,2l 交椭圆Γ于另一点Q .求TRQ ∆面积取最大值时直线1l 的方程.23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分13分，第①问5分,第②问8分.设n S 是数列{}n a 的前n 项和，对任意*N n ∈都有()()p a a b kn S n n +++=12成立， (其中k 、b 、p 是常数) ．（1）当0k =，3b =，4p =-时，求n S ； （2）当1k =，0b =，0p =时，①若33a =，915a =，求数列{}n a 的通项公式；②设数列{}n a 中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“Ω数列”. 如果212a a -=，试问：是否存在数列{}n a 为“Ω数列”，使得对任意*N n ∈，都有0n S ≠，且12311111111218n S S S S <++++< ．若存在，求数列{}n a 的首项1a 的所 有取值构成的集合；若不存在，说明理由．杨浦区2013—2014学年度第一学期高三模拟测试 2014.1.2一．填空题（本大题满分56分） 1. 1 ； 2.3arctan ； 3.2； 4. ()0,∞- ； 5.3 ； 6. 1 ； 7. π； 8. 2；9. 理1±； 10. 30 ； 11. 01062=+-x x ； 12. 理15 ；13.理95， 14.理②、③，二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题 15. D ； 16. B ； 17. A ； 18.理B ；三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题 19. 【解】（1）因为 D A C B 11//，∴直线B A 1与D A 1所成的角就是异面直线B A 1与C B 1所成角. ……2分又BD A 1∆为等边三角形，∴异面直线B A 1与C B 1所成角的大小为︒60. ……6分（2）四棱锥ABCD A -1的体积=V 323131a a a =⨯⨯ ……12分 .20. 【解】（1）由题得 ()a x a ax ax n m x g -+-=-+=⋅=1)1(2122……4分又0>a 开口向上，对称轴为1=x ，在区间[]3,2∈x 单调递增，最大值为4,()()43m ax ==∴g x g 所以，1=a ……7分（2）由（1）的他，()21)(-+==xx x x g x f ……8分令xt 3=,则⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈3,31t 以()033≥-xx k f 可化为kt t f ≥)(,即tt f k )(≤恒成立, ……9分2)11()(-=t t t f 且⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈3,311t ,当11=t ,即1=t 时tt f )(最小值为0, ……13分 0≤∴k ……14分21. 【解】理科 （1） 由抛物线Γ焦点)1,0(F 得,抛物线Γ方程为y x 42= ……5分 （2） 设m AF =，则点)1cos ,sin (+-ααm m A ……6分 所以，)cos 1(4)sin (2ααm m +=-，既04cos 4sin 22=--ααm m ……7分解得 αα2sin )1(cos 2+=AF ……8分 同理： αα2cos )sin 1(2-=BF ……9分αα2cos )sin 1(2+=DF ……10分 αα2sin )cos 1(2-=CF ……11分 “蝴蝶形图案”的面积2)cos (sin cos sin 442121αααα-=⋅+⋅=+=∆∆DF CF BF AF S S S CFD AFB 令 ⎝⎛⎥⎦⎤∈=21,0,cos sin t t αα, [)+∞∈∴,21t ……12分则121141422-⎪⎭⎫⎝⎛-=-=t t t S , 21=∴t 时,即4πα=“蝴蝶形图案”的面积为8……14分22. 【解】理科解：（1）①因为)1,0(),1,0(-B A ,M (m ,12)，且0m ≠， ∴直线AM 的斜率为k 1=m 21-,直线BM 斜率为k 2=m23, ∴直线AM 的方程为y =121+-x m,直线BM 的方程为y =123-x m , ……2分由⎪⎩⎪⎨⎧+-==+,121,1422x m y y x 得()22140m x mx +-=， 240,,1m x x m ∴==+22241,,11m m E m m ⎛⎫-∴ ⎪++⎝⎭由⎪⎩⎪⎨⎧-==+,123,1422x m y y x 得()229120m x mx +-=， 2120,,9m x x m ∴==+222129,99m m F m m ⎛⎫-∴ ⎪++⎝⎭； ……4分 据已知，20,3m m ≠≠，∴直线EF 的斜率22222222219(3)(3)194124(3)19m m m m m m k m m m m m m---+-++===---++23,4m m +-∴直线EF 的方程为 2222134141m m m y x m m m -+⎛⎫-=-- ⎪++⎝⎭,令x =0,得,2=y ∴ EF 与y 轴交点的位置与m 无关. ……5分 ②1||||sin 2AMF S MA MF AMF ∆=∠,1||||sin 2BME S MB ME BME ∆=∠,AMF BME ∠=∠, 5AMF BME S S ∆∆=,∴5||||||||MA MF MB ME =，∴5||||||||MA MB ME MF =, ……7分∴225,41219m m m mm m m m =--++ 0m ≠，∴整理方程得22115119m m =-++，即22(3)(1)0m m --=， 又有3m ≠±，∴230m -≠， 12=∴m ，1m ∴=±为所求. ……10分(2) 因为直线12l l ⊥,且都过点(0,1)P -,所以设直线1:110l y kx kx y =-⇒--=, 直线21:10l y x x ky k k=--⇒++=, ……12分所以圆心(0,0)到直线1:110l y kx kx y =-⇒--=的距离为211d k=+,所以直线1l 被圆224x y +=所截的弦222143242kk d TR ++=-=；由22222048014x ky k k x x kx x y ++=⎧⎪⇒++=⎨+=⎪⎩,所以 482+-=+k kx x P Q 所以 418)4(64)11(222222++=++=k k k k k QP ……14分 所以 13131613232341334324348212222=≤+++=++==∆k k k k TR QP S TRQ当22213510432243k k k k +=⇒=⇒=±+时等号成立, 此时直线110:12l y x =±- ……16分 23【解】 （理科）解：（1）当0k =，3b =，4p =-时，由()()p a a b kn S n n +++=12得 n n S a a 24)(31=-+ ① 用1n +去代n 得，11124)(3++=-+n n S a a ， ②②—①得，113()2n n n a a a ++-=，13n n a a +=， ……2分 在①中令1n =得，11a =，则n a ≠0，∴13n na a +=，∴数列{}n a 是以首项为1，公比为3的等比数列，∴n S =312n - …….5分（2）当1k =，0b =，0p =时，112()2()n n n a a a a a +=++ ， ③用1n +去代n 得，11121(1)()2()n n n n a a a a a a ++++=+++ ， ④ ④—③得， 11(1)0n n n a na a +--+=， ⑤ …….7分 用1n +去代n 得，211(1)0n n na n a a ++-++=， ⑥⑥—⑤得，2120n n n na na na ++-+=，即211n n n n a a a a +++-=-， …….8分 ∴数列{}n a 是等差数列.∵33a =，915a =， ∴公差93293a a d -==-，∴23n a n =- ……10分易知数列{}n a 是等差数列，∵212a a -=，∴12(1)n a a n =+-. 又{}n a 是“Ω数列”，得：对任意*,N m n ∈，必存在*N p ∈使1112(1)2(1)2(1)a n a m a p +-++-=+-，得12(1)a p m n =--+，故1a 是偶数， …….12分 又由已知，111111218S <<，故1181211a << 一方面，当1181211a <<时，1(1)n S n n a =+-0>，对任意*N n ∈， 都有123111111112n S S S S S ++++≥> .…….13分 另一方面，当12a =时，(1)n S n n =+，1111n S n n =-+，则1231111111n S S S S n ++++=-+ ， 取2n =，则1211121113318S S +=-=>，不合题意. …….14分 当14a =时，(3)n S n n =+，1111()33n S n n =-+，则 1231111111111()183123n S S S S n n n ++++=-+++++ 1118<， …….15分 当16a ≥时，1(1)n S n n a =+-(3)n n >+，1111()33n S n n <-+， 123111*********()18312318n S S S S n n n ++++<-++<+++ ， …….16分 又1181211a <<，∴14a =或16a =或18a =或110a = …….17分 所以，首项1a 的所有取值构成的集合为{}10,8,6,4 …… 18分（其他解法,可根据【解】的评分标准给分）。

杨浦区2013学年度第一学期高三年级学业质量调研物理学科试卷本试卷分为第I卷(第1—5页)和第Ⅱ卷(第6—10页)两部分．全卷共10页．满分150分．考试时间120分钟第I卷(共56分)考生注意：1．答第I卷前．考生务必在答题卡上用钢笔或圆珠笔清楚填写姓名、准考证号．并用2B 铅笔正确涂写准考证号．2．第I卷(1-20小题)．由机器阅卷．答案必须全部涂写在答题纸上．考生应将代表正确答案的小方格用2B铅笔涂黑．注意试题题号和答题纸编号一一对应,不能错位．答案需要更改时，必须将原选项用橡皮擦去，重新选择．答案不能涂写在试卷上．涂写在试卷上一律不给分．一、（16分）单项选择题.本大题共8小题，每小题2分．每小题给出的四个答案中，只有一个是正确的．选对的得2分，选错的或不答的，得0分；选两个或两个以上的，得0分．1．历史上首先正确认识力和运动的关系，批驳“力是维持物体运动的原因”观点的物理学家是(A)阿基米德. (B)牛顿. (C)伽利略. (D)以上三个都不是.2．下列公式中，既适用于点电荷产生的静电场，也适用于匀强电场的有：①场强E=F/q,②场强E=U/d,③场强E=kQ/r2,④电场力做功W=Uq.(A)①③. (B)②③. (C)②④. (D)①④.3．关于产生摩擦力的条件，下列说法中正确的是(A)相互压紧的粗糙物体之间总有摩擦力存在.(B)相对运动的物体间一定有滑动摩擦力存在.(C)只有相互挤压和有相对运动的物体之间才有摩擦力的作用.(D)只有相互挤压和发生相对运动或有相对运动趋势的粗糙物体之间才有摩擦力的作用.4．关于力矩，下列说法中正确的是(A)力对物体的转动作用效果决定于力矩的大小和方向.(B)力不等于零时，力对物体一定产生转动作用.(C)力矩等于零时，力对物体也可以产生转动作用.(D)力矩的单位是“牛·米”，也可以写成“焦”.高三年级学业质量调研物理学科试卷保留版权第 1 页（共10页）5．有一质量均匀分布的圆形薄板，若将其中央挖掉一个小圆板，则薄板的余下部分(A)重力减小，重心随挖下的小圆板移走了.(B)重力和重心都没改变.(C)重力减小，重心位置没有改变.(D)重力减小，重心不存在了.6．关于磁感线的概念，下列说法中正确的是(A)磁感线是磁场中客观存在、肉眼看不见的曲线.(B)磁感线总是从磁体的N极指向磁体的S极.(C)磁感线上各点的切线方向与该点的磁场方向一致.(D)两个磁场叠加的区域，磁感线就有可能相交.7．下列说法中正确的是(A)电流的方向就是电荷移动的方向.(B)在一直流电源的外电路上，电流的方向是从电源正极流向负极.(C)电流都是由电子的移动形成的.(D)电流是有方向的量，所以是矢量.8．关于感应电流,下列说法中正确的是(A)只要闭合电路内有磁通量，闭合电路中就有感应电流产生.(B)穿过螺线管的磁通量发生变化时，螺线管内部就一定有感应电流产生.(C)线框不闭合时，即使穿过线圈的磁通量发生变化，线圈中也没有感应电流.(D)只要电路的一部分作切割磁感线运动，电路中就一定有感应电流.二、（24分）单项选择题.本大题共8小题，每小题3分.每小题给出的四个答案中，只有一个是正确的．选对的得3分，选错的或不答的，得0分；选两个或两个以上的，得0分.9．航天器正在远离星球的太空中航行，若航天器内的一个宇航员将一个铅球推向另一个宇航员，下列说法中不正确的是(A)铅球碰到宇航员后，宇航员不觉得痛．(B)铅球碰到宇航员后，可能会对宇航员造成伤害．(C)铅球推出后作匀速直线运动．(D)太空中宇航员拿着铅球不觉得费力．10.下列关于波的说法中正确的是(A)机械波中各质点振动的频率与波源的振动频率相同.(B)在机械波传播的过程中，机械能一定守恒.(C)有机械波一定有振动源，有振动源也一定有机械波.(D)声音在不同的介质中传播的速度是一样的.高三年级学业质量调研物理学科试卷保留版权第 2 页（共10 页）高三年级学业质量调研物理学科试卷 保留版权 第 3 页（共10 页）11．力F 1单独作用在物体A 上时产生的加速度为a 1=5m ／s 2，力F 2单独作用在物体A 上时产生的加速度为a 2=-1m ／s 2.那么，力F 1和F 2同时作用在物体A 上时产生的加速度a 的范围是(A )0≤a ≤6m ／s 2 .(B )4m ／s 2≤a ≤5m ／s 2.(C )4m ／s 2≤a ≤6m ／s 2.(D )0≤a ≤4m ／s 2.12．电荷是看不见的，但能被验电器检测出来是否存在．普通验电器顶部装有一个金属球，金属球与金属杆相连，在金属杆的底部是两片很薄的金属片．当验电器不带电荷时，金属片自然下垂．当一个带电体接触到金属球时，电荷能沿着金属棒传递，金属片就带有电荷．由于同时带有同一种电荷，两金属片相互排斥而张开．不管被检验的物体带负电还是正电，验电器的金属片都会张开．因此，这种验电器(A) 能用来直接判断电荷的正负． (B) 不能用来直接判断电荷的正负．(C) 不能用来间接判断电荷的正负． (D) 可以直接测量物体的带电量．13．如图所示，直线OAC 为某一直流电源的总功率P 随总电流I 变化的图线，抛物线OBC 为同一电源内部消耗的功率P r 随总电流I 变化的图线，则当通过电源的电流为1A 时，该电源的输出功率为(A )1W ． (B )3W ． (C )2W ． (D )2.5W ．14．无级变速是在变速范围内任意连续地变换速度，性能优于传统的档位变速器．很多种高档汽车都应用了无级变速．如图所示是截锥式无级变速模型示意图，两个锥轮中间有一个滚轮，主动轮、滚轮、从动轮之间靠着彼此之间的摩擦力带动．当位于主动轮与从动轮之间的滚轮从左向右移动时从动轮转速降低，滚轮从右向左移动时从动轮转速增加．当滚轮位于主动轮直径D 1，从动轮直径D 2的位置上时，则主动轮转速n 1，从动轮转速n 2之间的关系是（A ）n 2＝n 1D 2D 1（B ）n 2＝n 1D 1D 2（C ）n 2＝n 1D 1D 2（D ）n 2＝n 1D 12D 22主动轮 从动轮高三年级学业质量调研物理学科试卷 保留版权 第 4 页（共10 页）15．如图所示，甲、乙两个容器形状不同，现有两块完全相同的金属块用细线系着分别浸没入同样深度，这时两容器的水面相平齐，如果将金属块缓慢提升一段相同的位移，最后都停留在水面的上方，不计水的阻力，则(A )在甲容器中提升时，拉力做功较多． (B )在乙容器中提升时，拉力做功较多． (C )在两个容器中提升时，拉力做功相同．(D )做功多少无法比较16．如图所示，甲、乙两带电小球的质量均为m ，所带电量分别为＋q 和-q ，两球间用绝缘细线连接，甲球又用绝缘细线悬挂在天花板上，在两球所在空间有方向向左的匀强电场，电场强度为E ，平衡时细线都被拉紧.两根绝缘线张力大小为 (A )T 1=2mg ，()()222qE mg T +=． (B )T 1＞2mg ，()()222qE mg T +>． (C )T 1＜2mg ，()()222qE mg T +< (D )T 1=2mg ，()()222qE mg T +<．三、（16分）多项选择题 本大题共4小题，每小题4分．每小题给出的四个答案中，有二个或二个以上是正确的．把正确答案全选出来．每小题全部选对，得4分；选对但不全，得部分分；有错选的得0分．17．若两个共点力F 1、F 2的合力为F ，则有 (A )合力F 一定大于任何一个分力．(B )合力F 的大小可能等于F 1，也可能等于F 2． (C )合力F 有可能小于任何一个分力．(D )合力F 的大小随F 1、F 2间夹角的增大而增大．18．如图所示，一恒力F 通过一定滑轮拉物体沿光滑水平面前进了s ，在运动过程中，F 与水平方向保持θ角，则拉力F 对物体做的功为(A )Fscosθ． (B )2Fscosθ． (C )Fs (1+cosθ)． (D )22Fscos 2θ．19．如图所示，a、b、c、d虚线表示电场的一簇等势线，Array一个α粒子以一定的初速度进入电场后，只在电场力作用下沿实线轨迹运动，α粒子先后通过M点和N点.在这一过程中，电场力做负功，由此可判断出(A)N点的电势高于M点的电势．(B)α粒子在N点的电势能比在M点的电势能大．(C)α粒子在M点的速率小于在N点的速率．(D)α粒子在M点受到的电场力比在N点受到的电场力大．20．均匀带负电的塑料圆环绕垂直于圆环平面过圆心的轴旋转,在环的圆心处有一闭合小线圈,小线圈和圆环在同一平面,则(A)只要圆环在转动,小线圈内就一定有感应电流．(B)不管环怎样转动,小线圈内都没有感应电流．(C)圆环在作变速转动时,小线圈内一定有感应电流．(D)圆环作匀速转动时,小线圈内没有感应电流．高三年级学业质量调研物理学科试卷保留版权第 5 页（共10 页）杨浦区2013学年度第一学期高三年级学业质量调研物理学科试卷本试卷分为第I卷(第1—5页)和第Ⅱ卷(第6—10页)两部分．全卷共10页．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅱ卷(共94分)考生注意：1．第II卷(21--33题)由人工阅卷．答第Ⅱ卷前，考生务必在答题纸上用钢笔或圆珠笔清楚填写姓名、准考证号．将第II卷所有试题的答案写在答题纸上，用铅笔答题一律不给分.2．第30、31、32、33题要求写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤.只写出最后答案，而未写出主要演算过程的，不能得分.有关物理量的数值计算问题，答案中必须明确写出数值和单位.四、（20分）填空题.本大题共5小题，每小题4分. 答案写在答题纸指定位置，不要求写出演算过程.21．天文学中常用“光年(1．y．)”做距离的单位．1(l．y．)等于光在一年中传播的路程，1(l．y．)相当于米．离太阳最近的恒星是比邻星（半人马α），离我们4.0×1013km，它的光要经过年才能到达地球．22．图中实验装置A是固定在支架上的激光笔，B、C是平面镜，P是桌面，M是重物，该装置是用来观察桌面的，当重物M质量减少时，光点D将向（选填“左”或“右”）移动．23．由裸导体组成的水平线框如图所示，半径为r的圆内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B．电路的固定电阻为R，线框其余电阻不计．一根长度大于2r、电阻不计的裸导线MN以速度v在圆环上自左端向右端无摩擦地匀速滑动，试求MN从左端滑到右端的过程中，流过电阻R的电流平均值为，以及通过的电量为．高三年级学业质量调研物理学科试卷保留版权第 6 页（共10 页）高三年级学业质量调研物理学科试卷 保留版权 第 7 页（共10 页）24．一个正方形导线圈边长0.2m a =，共有N =100匝，其总电阻Ω=4r ，线圈与阻值Ω=16R 的外电阻连成闭合回路，线圈所在区域存在着匀强磁场，磁场方向垂直线圈所在平面，如图甲所示，磁场的大小随时间作周期性变化，如图乙所示，求： 0~0.01s 时间内通过电阻R 的电流大小 ；0~3s 内电阻R 所产生的焦耳热 ．25．如图所示，重G 的风筝用绳子固定于地面P 点，风的压力N 垂直作用于风筝表面AB ，并支持着风筝使它平衡.若测得绳子拉力为T ，绳与地面夹角为α，不计绳所受重力，求风筝与水平面所央的角φ的正切值tanφ= 及风对风筝的压力N = .五．（24分）实验题. 本大题共24小题．26．(4分)光电门传感器为门式结构，如图所示.A 管发射红外线，B 管接收红外线．A 、B 之间无挡光物体时，电路断开；有物体经过A 、B 之间时B 管挡被光，电路接通．计算机根据挡光物体的 和 ，自动算出物体的 ．27．(6分) 用DIS 研究加速度与作用力的关系．实验步骤如下： ①用天平测小车的质量．②测量钩码的重力（作为对小车的拉力）．③在轨道上放置小车并安装传感器，连接线路，将细线连接小车，跨过滑轮系住小钩码，释放小车测定加速度．④将上述测得的数据记录在表格中．⑤保持小车质量不变，改变钩码的大小重复实验． ⑥处理实验数据，归纳得出结论． 为了减小实验误差本实验应注意：① ， ② ， ③ ．B /T 1.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 t /s图乙图甲28．(6分) 图所示是饮水器的自动控制电路，左边是一个对水加热的容器，内有密封绝缘的电热丝发热器和接触开关S l，只要有水浸没S l，它就会导通．R x是一个热敏电阻，低温时呈现高电阻，达到高温时（如沸点）呈现低电阻（相当于短路）．右边P是一个“与”逻辑门，接在0~5 V电源之间，当A与C(0V)之间有高电压输入，同时B、C间也有高电压输入时，QC之间才有高电压输出（这里的高电压是接近5V的电压）．图中J是一个继电器，电磁线圈中有电流时吸动S2闭合，发热器工作，R y是一个可变电阻，低温时R x应远大于R y．请回答以下问题：(1)满足怎样的条件，发热器才能加热烧水？(2)在什么条件下，发热器停止烧水？(3)可变电阻R y的作用是什么？29．(8分)学校实验室只有一个量程为1mA，内电阻为1kΩ的电流表．某同学在实验时需要下列两种电表，问：(1)若要把这只量程为1mA的电流表改成量程为1A的电流表，应该连接一个怎样的电阻？怎样连接？请画出电路图．若用该改装的电流表与标准电流表进行测量比较，发现测量值偏大，则应该如何校正？(2)若要把这只量程为1mA的电流表改成量程为10V的电压表？应该连接一个怎样的电阻？怎样连接？请画出电路图．若用该改装的电压表与标准电压表进行测量比较，发现测量值偏大，则应该如何校正？高三年级学业质量调研物理学科试卷保留版权第 8 页（共10 页）六．（50分）计算题. 本大题共4小题．30．(10分)如图所示是一提升重物用的直流电动机的电Array路图．已知电动机的内阻R机=0.5Ω，电源电压U=4V，电压表的示数U=3V，电流表的示数I=0.1 A，g取10m／s2．求：(1)电动机的输入功率P入．(2)如果重物质量m=0.1 kg，在t=3 s内匀速上升65 cm．那么，这个直流电动机的效率是多少？31．(12分) 出租车上安装有速度表，计价器里安装有里程表和时间表，出租车载客后，从10时10分55秒开始做匀加速直线运动，到10时11分05秒时，速度表显示54 km/h．问：(1)这时出租车离出发点距离为多少千米？(2)若出租车继续驶上高速公路，且速度表显示108 km/h时开始做匀速直线运动，则当时间表显示10时12分35秒时，计价器里程表示数为多少千米？高三年级学业质量调研物理学科试卷保留版权第 9 页（共10 页）32．(14分)如图所示，在平直等宽的公路上，车首与前车尾相距为a的车队，沿公路中轴线以相同的速度v缓慢前进．一名执勤交警想以恒定的最小速率从公路边沿直线穿越公路．若汽车的宽度为b，车道宽度为c=1.8b．求：(1)该交警的最小穿越速率．(2)该交警以最小速率穿越公路所需要的时间．(3)开始穿越时，交警与汽车的相对位置．33.(14分) 为研究静电除尘，有人设计了一个盒状容器，容器侧面是绝缘的透明有机玻璃它的上下底面是面积S=0.04 m2的金属板，间距L=0.05 m，当连接到U=2500 V的高压电源正负两极时，能在两金属板间产生一个匀强电场，如图所示，现把一定量均匀分布的烟尘颗粒密闭在容器内，每立方米有烟尘颗粒1×l013个，假设这些颗粒都处于静止状态，每个颗粒带电量为q=+1.0×10-17 C，质量为m=2.0×10-15 kg，不考虑烟尘颗粒之间的相互作用和空气阻力，并忽略烟尘颗粒所受重力，求合上电键后：(1)经过多长时间烟尘颗粒可以被全部吸附？(2)除尘过程中电场对烟尘颗粒共做了多少功？(3)经过多长时间容器中烟尘颗粒的总动能达到最大？高三年级学业质量调研物理学科试卷保留版权第 10 页（共10 页）。

2012学年静安、杨浦、青浦宝山区高三年级高考模拟考试数学试卷（文科） 2013.04.（满分150分，答题时间120分钟）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知全集R U =，集合{}0322>--=x x x A ，则=A C U . 2．若复数z 满足)2(z i z -=（i 是虚数单位），则=z . 3．已知直线012=++y x 的倾斜角大小是θ，则=θ2tan . 4．若关于y x 、的二元一次方程组⎩⎨⎧=-+-=+-04)12(03y x m y mx 有唯一一组解，则实数m 的取值范围是 .5．已知函数)(x f y =和函数)1(log 2+=x y 的图像关于直线0=-y x 对称，则函数)(x f y =的解析式为 .6．已知双曲线的方程为1322=-y x ，则此双曲线的焦点到渐近线的距离为 . 7．函数xx x x x f cos sin sin cos )(=的最小正周期=T .8．若⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥621y x y x ，则目标函数y x z +=2的最小值为 .9．执行如图所示的程序框图，若输入p 的值是7，则输出S 的值是 .10．已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm ，如果圆锥的体积恰好也与球的体积相等，那么这个圆锥的母线长为 cm ． 11．某中学在高一年级开设了4门选修课，每名学生必须参加这4门选修课中的一门，对于该年级的甲乙2名学生，这2名学生选择的选修课相同的概率是 (结果用最简分数表示)．12．各项为正数的无穷等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1lim 1=+∞→n nn S S ， 则其公比q 的取值范围是 .13．已知函数x x x f =)(.当[]1,+∈a a x 时，不等式)(4)2(x f a x f >+恒成立，则实数a 的取值范围是 .14．函数)(x f y =的定义域为[)(]1,00,1 -，其图像上任一点),(y x P 满足122=+y x ．①函数)(x f y =一定是偶函数；②函数)(x f y =可能既不是偶函数，也不是奇函数； ③函数)(x f y =可以是奇函数；④函数)(x f y =如果是偶函数，则值域是[)1,0或(]0,1-； ⑤函数)(x f y =值域是()1,1-，则)(x f y =一定是奇函数． 其中正确命题的序号是 （填上所有正确的序号）．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分. 15．已知),2(ππα∈，53sin =α，则)4tan(πα-的值等于………………………（ ） （A ）71. （B ）71- . （C ）7 . （D ）7-. 16．一个空间几何体的正视图、侧视图为两个边长是1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，则这个几何体的表面积等于 ………………………………………………（ ） （A ） 22+. （B ）23+. （C ）24+.（D ）6.17． 若直线2=+by ax 通过点)sin ,(cos ααM ，则 ………………………………（ ）（A ） 422≤+b a . （B ）422≥+b a .（C ）41122≤+b a . （D ）41122≥+b a .18．某同学为了研究函数)10()1(11)(22≤≤-+++=x x x x f 的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD 和BEFC ，点P 是边BC 上的一个动点，设x CP =，则PF AP x f +=)(．那么，可推知方程222)(=x f 解的个数是………………………………………………………（ ）（A ）0. （B ）1. （C ）2. （D ）4.三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（本题满分12分）本题共有2小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分 ．如图，设计一个正四棱锥形冷水塔，高是85.0米，底面的边长是5.1米． （1）求这个正四棱锥形冷水塔的容积；（2）制造这个水塔的侧面需要多少平方米钢板？ (精确到01.0米2)20．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 ．如图所示，扇形AOB ，圆心角AOB 的大小等于3π，半径为2，在半径OA 上有一动点C ，过点C 作平行于OB 的直线交弧AB 于点P ． （1）若C 是OA 的中点，求PC ；（2）设θ=∠COP ，求△POC 周长的最大值及此时θ的值．21．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知椭圆141222=+Γy x ：. （1）直线AB 过椭圆Γ的中心交椭圆于B A 、两点，C 是它的右顶点，当直线AB 的斜率为1时，求△ABC 的面积；（2）设直线2+=kx y l ：与椭圆Γ交于Q P 、两点，且线段PQ 的垂直平分线过椭圆Γ与y 轴负半轴的交点D ，求实数k 的值．22．（本题满分16分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知函数a x x f +=2)(．（1）若函数))((x f f y =的图像过原点，求)(x f 的解析式；（2）若12)()(++=bx x f x F 是偶函数，在定义域上ax x F ≥)(恒成立，求实数a 的取值范围； （3）当1=a 时，令)())(()(x f x f f x λϕ-=，问是否存在实数λ，使)(x ϕ在()1,-∞-上是减函数，在()0,1-上是增函数？如果存在，求出λ的值；如果不存在，请说明理由．23．（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且21=a ，3)1(1++=+n n S na n n ．从}{n a 中抽出部分项 ,,,,21n k k k a a a ,)(21 <<<<n k k k 组成的数列}{n k a 是等比数列，设该等比数列的公比为q ，其中*1,1N n k ∈=．（1）求2a 的值；（2）当q 取最小时，求}{n k 的通项公式； （3）求n k k k +++ 21的值．四区联考2012学年度第二学期高三数学（文理）参考答案及评分标准 2013.04说明1．本解答列出试题一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分．2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后续部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，但是原则上不应超出后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分． 3．第19题至第23题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题分数． 4．给分或扣分均以1分为单位．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．]3,1[-； 2．2； 3．34； 4．31≠m ； 5．12-=xy ； 6．1； 7．（文、理）π；8．（文）4（理）5；9．6463；10．17；11．（文）414214=C （理）834334=P ；12．(]1,0；13．（文）(1,)+∞（理）334；14．（文）②③⑤（理）)25,17(． ② 二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15． D ； 16．（文）B （理）A ； 17． B ；18．（文）C （理）A三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .19．（本题满分12分）本题共有2小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分 ． (文)解：（1）如图正四棱锥底面的边长是5.1米，高是85.0米 sh V 31=36375.085.05.15.131m =⨯⨯⨯= 所以这个四棱锥冷水塔的容积是36375.0m ．(2)如图，取底面边长的中点E ，连接SE ，222275.085.0+=+=EO SO SESE ⨯⨯⨯=5.1214S 侧22240.375.085.05.1214m ≈+⨯⨯⨯=答：制造这个水塔的侧面需要3.40平方米钢板． （理）19．（1）（理）解法一：建立坐标系如图 平面11BCC B 的一个法向量为)0,1,0(1=n 因为)2,1,2(E )0,2,0(C ，)2,1,2(--=∴EC ， 可知直线EC 的一个方向向量为)2,1,2(--=∴．设直线EC 与平面11BCC B 成角为θ，与1n 所成角为ϕ，则31191cos sin =⨯===ϕθ31arcsin BCC B 11成角大小为与平面故EC19（1）解法二：⊥1EB 平面11BCC B ，即C B 1为EC 在平面11BCC B 内的射影，故1ECB ∠为直线EC 与平面11BCC B 所成角，在C EB Rt 1∆中，22,1EB 11==C B ,42221tan 111===∠C B EB ECB 故 42arctanBCC B 11成角大小为与平面故EC 19（2）（理科）解法一：建立坐标系如图．平面ABCD 的一个法向量为)1,0,0(1=n设平面AEF 的一个法向量为),,(2z y x n =，因为)0,1,2(-=AF ，)2,1,0(=AE 所以⎩⎨⎧=+=+-0202z y y x ，令1=x ，则1,2-==z y )1,2,1(2-=⇒n661411cos =++-==θ由图知二面角B AF E --为锐二面角，故其大小为66arccos．19（2）解法二：过E 作平面ABC 的垂线，垂足为E '，E EG '∠即为所求AB E ∈'，过E '作AF 的垂线设垂足为G ，ADF ∆∽AGE ∆521='⇒=''E G AF AD E A E G 即52='E G在Q E E Rt '∆中5tan =''='∠E G E E E EG所以二面角B AF E --的大小为5arctan ．20．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 ．解:（1）在△POC 中，32π=∠OCP ，1,2==OC OP 由32cos 2222πPC OC PC OC OP ⋅-+=得032=-+PC PC ，解得2131+-=PC ．（2）∵CP ∥OB ，∴θπ-=∠=∠3POB CPO ，在△POC 中，由正弦定理得θsin sin CPPCO OP =∠，即θπsin 32sin 2CP = ∴θsin 34=CP ,又32sin )3sin(πθπCP OC =-)3sin(34θπ-=∴OC ． （文）记△POC 的周长为)(θC ，则2)3sin(34sin 342)(+-+=++=θπθθOC CP C1sin 22223πθθθ⎛⎫⎛⎫++=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭∴6πθ=时，)(θC2. （理）解法一：记△POC 的面积为)(θS ，则32sin 21)(πθOC CP S ⋅=， 23)3sin(34sin 3421⨯-⋅⋅=θπθ)3sin(sin 34θπθ-⋅= )sin 21cos 23(sin 34θθθ-=θθθ2sin 32cos sin 2-= 332cos 332sin -+=θθ33)62(sin 332-+=πθ∴6πθ=时，)(θS 取得最大值为33. 解法二：212432cos 22-=⋅-+=PC OC PC OC π即422=⋅++PC OC PC OC ，又PC OC PC OC PC OC ⋅≥⋅++322即43≤⋅PC OC当且仅当PC OC =时等号成立, 所以3323342132sin 21=⨯⨯≤⋅=πOC CP SPC OC = ∴6πθ=时，)(θS 取得最大值为33. 21．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 ． （文）解：(1)依题意，32=a ，)0,32(C ，由221124x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，得y =设),(11y x A ),(22y x B ，32=OC∴63232212121=⨯⨯=-⋅=∆y y OC S ABC ； (2)如图，由2221124y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(31)120k x kx ++=，0)12(2≥=∆k 依题意，0k ≠，设1122()()P x y Q x y ，，，，线段PQ 的中点00()H x y ，，则12026231x x k x k +-==+，0022231y kx k =+=+，D (0 2)-，， 由1-=⋅PQ DH k k ，得2222311631k k k k ++⋅=--+，∴k = （理）解:（1）12)(2+++=bx a x x F 是偶函数，0=∴b即2)(2++=a x x F ，R x ∈ 又ax x F ≥)(恒成立即2)1(222+≤-⇒≥++x x a ax a x 当1=x 时R a ∈⇒当1>x 时，213)1(122+-+-=-+≤x x x x a ，232+≤a当1<x 时，213)1(122+-+-=-+≥x x x x a ， 232+-≥a综上： 232232+≤≤+-a （2）)())(()(x f x f f x λϕ-=)2()2(24λλ-+-+=x x)(x ϕ∴是偶函数，要使)(x ϕ在()1,-∞-上是减函数在()0,1-上是增函数，即)(x ϕ只要满足在区间()+∞,1上是增函数在()1,0上是减函数．令2x t =，当()1,0∈x 时()1,0∈t ；()+∞∈,1x 时()+∞∈,1t ，由于()+∞∈,0x 时，2x t =是增函数记)2()2()()(2λλϕ-+-+==t t t H x ，故)(x ϕ与)(t H 在区间()+∞,0上有相同的增减性，当二次函数)2()2()(2λλ-+-+=t t t H 在区间()+∞,1上是增函数在()1,0上是减函数，其对称轴方程为1=t 4122=⇒=--⇒λλ． 22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分. （文）解:（1）a a ax x x f f y +++==2242))(( 过原点，02=+a a10-==⇒a a 或 得2)(x x f =或1)(2-=x x f(2)(3)同理21（理）解（1）11AP =，所以35AP =，设()3,Px y 则()221253180x y x y ⎧-+=⎪⎨--=⎪⎩，消去y ，得211300x x -+=，…（2分） 解得15x =，26x =,所以3P 的坐标为()5,3-或()6,0（2）由题意可知点A 到圆心的距离为13)03()13(22=-+-=t …（6分）（ⅰ）当130<<r 时，点()1,0A 在圆上或圆外，31132P P AP AP d =-=， 又已知0≠d ，r P P 2031≤≤，所以 0<≤-d r 或 r d ≤<0 （ⅱ）当13≥r 时，点()1,0A 在圆内，所以13213132max=--+=r r d，又已知0≠d ，13220≤<d ，即013<≤-d 或130≤<d结论：当130<<r 时，0<≤-d r 或 r d ≤<0；当13≥r 时，013<≤-d 或130≤<d （3）因为抛物线方程为x y 42=，所以()1,0A 是它的焦点坐标，点2P 的横坐标为3，即82=AP设()111,P x y ，()333,P x y ，则111+=x AP ，133+=x AP ，1322AP AP AP +=，所以13226x x x +==直线13P P 的斜率3131314y y k x x y y -==-+，则线段13P P 的垂直平分线l 的斜率314ly y k +=- 则线段13P P 的垂直平分线l 的方程为()3131324y y y yy x ++-=-- 直线l 与x 轴的交点为定点()5,023．（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分. （文）解：（1）令1=n 得321112⋅+=⋅a a ，即3212=-a a ； 又21=a 382=⇒a （2）由3212=-a a 和⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-++=-+3)1()1(,3)1(11n n S a n n n S na n n nn32)1(1na a n na n n n +=--⇒+321=-⇒+n n a a ，所以数列}{n a 是以2为首项，32为公差的等差数列，所以)2(32+=n a n ． 解法一：数列}{n a 是正项递增等差数列，故数列}{n k a 的公比1>q ，若22=k ，则由382=a 得3412==a a q ，此时932)34(223=⋅=k a ，由)2(32932+=n 解得*310N n ∉=，所以22>k ，同理32>k ；若42=k ，则由44=a 得2=q ，此时122-⋅=n k n a 组成等比数列，所以)2(32221+=⋅-m n ，2231+=⋅-m n ，对任何正整数n ，只要取2231-⋅=-n m ，即n k a 是数列}{n a 的第2231-⋅-n 项．最小的公比2=q ．所以2231-⋅=-n n k ．………（10分）解法二: 数列}{n a 是正项递增等差数列，故数列}{n k a 的公比1>q ，设存在,,,,21n k k k a a a )(21 <<<<n k k k 组成的数列}{n k a 是等比数列，则3122k k k a a a ⋅=，即()()232)2(322)2(32322322+=+⇒+⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+k k k k因为1*232>∈k N k k 且、所以22+k 必有因数3，即可设N t t t k ∈≥=+,2,322，当数列}{n k a 的公比q最小时，即42=k ，2=⇒q 最小的公比2=q ．所以2231-⋅=-n n k ． （3）由（2）可得从}{n a 中抽出部分项 ,,,,21n k k k a a a )(21 <<<<n k k k 组成的数列}{n k a 是等比数列，其中11=k ，那么}{n k a 的公比是322+=k q ，其中由解法二可得N t t t k ∈≥-=,2,232． )2(32)32(312+=+⋅=-n n k k k a n 2)32(312-+⋅=⇒-n n k k 2)3223(31-+-⋅=⇒-n n t k 231-⋅=⇒-n n t k ，N t t ∈≥,2所以3232)1(31221--⋅=-++++=+++-n t n t t t k k k nn n（理）解：（1）⇒+=+nn n S a 31n n n S S 321+=+，n n n S b 3-=，*∈N n ，当3≠a 时，1111323333n n n n n n n nn n n b S S b S S ++++-+-==--=2，所以{}n b 为等比数列． 3311-=-=a S b ，12)3(-⨯-=n n a b ． （2） 由（1）可得12)3(3-⨯-=-n n n a S*-∈≥-=N n n S S a n n n ,2,1212)3(3221≥=⎩⎨⎧⨯-+⨯=--n n a a a n n n ； n n a a ≥+1，2112>⎩⎨⎧>>+n a a a a n n ，9-≥a所以9-≥a ，且3≠a ．所以a 的最小值为（3）由（1）当4=a 时，12-=n n b当2≥n 时，n n C 2423++++= 12+=n，31=C ， 所以对正整数n 都有12+=nn C ．由12+=n pt，n p t 21=-，(*∈N p t ,且1,1>>p t )，t 只能是不小于3的奇数．①当p 为偶数时，n p p pt t t 2)1)(1(122=-+=-，因为12+p t 和12-p t 都是大于1的正整数，所以存在正整数h g ,，使得g p t 212=+，h p t 212=-，222=-h g ,2)12(2=--h g h ，所以22=h 且112=--h g 2,1==⇒g h ，相应的3=n ，即有233=C ，3C 为“指数型和”；②当p 为奇数时，)1)(1(112-++++-=-p ptt t t t ，由于121-++++p t t t 是p 个奇数之和，仍为奇数，又1-t 为正偶数，所以n p t t t t 2)1)(1(12=++++-- 不成立，此时没有“指数型和”．2012学年静安、杨浦、青浦宝山区高三年级高考模拟考试数学试卷（文科） 2013.04.（满分150分，答题时间120分钟）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知全集R U =，集合{}0322>--=x x x A ，则=A C U . 2．若复数z 满足)2(z i z -=（i 是虚数单位），则=z . 3．已知直线012=++y x 的倾斜角大小是θ，则=θ2tan .4．若关于y x 、的二元一次方程组⎩⎨⎧=-+-=+-04)12(03y x m y mx 有唯一一组解，则实数m 的取值范围是 .5．已知函数)(x f y =和函数)1(log 2+=x y 的图像关于直线0=-y x 对称，则函数)(x f y =的解析式为 .6．已知双曲线的方程为1322=-y x ，则此双曲线的焦点到渐近线的距离为 . 7．函数xx x x x f cos sin sin cos )(=的最小正周期=T .8．若⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥621y x y x ，则目标函数y x z +=2的最小值为 .9．执行如图所示的程序框图，若输入p 的值是7，则输出S 的值是 .10．已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm ，如果圆锥的体积恰好也与球的体积相等，那么这个圆锥的母线长为 cm ．11．某中学在高一年级开设了4门选修课，每名学生必须参加这4门选修课中的一门，对于该年级的甲乙2名学生，这2名学生选择的选修课相同的概率是 (结果用最简分数表示)． 12．各项为正数的无穷等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1lim 1=+∞→n nn S S ， 则其公比q 的取值范围是 .13．已知函数x x x f =)(.当[]1,+∈a a x 时，不等式)(4)2(x f a x f >+恒成立，则实数a 的取值范围是 .14．函数)(x f y =的定义域为[)(]1,00,1 -，其图像上任一点),(y x P 满足122=+y x ．①函数)(x f y =一定是偶函数；②函数)(x f y =可能既不是偶函数，也不是奇函数； ③函数)(x f y =可以是奇函数；④函数)(x f y =如果是偶函数，则值域是[)1,0或(]0,1-； ⑤函数)(x f y =值域是()1,1-，则)(x f y =一定是奇函数． 其中正确命题的序号是 （填上所有正确的序号）．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分. 15．已知),2(ππα∈，53sin =α，则)4tan(πα-的值等于………………………（ ） （A ）71. （B ）71- . （C ）7 . （D ）7-. 16．一个空间几何体的正视图、侧视图为两个边长是1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，则这个几何体的表面积等于 ………………………………………………（ ） （A ） 22+. （B ）23+. （C ）24+. （D ）6.17． 若直线2=+by ax 通过点)sin ,(cos ααM ，则 ………………………………（ ） （A ） 422≤+b a . （B ）422≥+b a . （C ）41122≤+b a . （D ）41122≥+ba . 18．某同学为了研究函数)10()1(11)(22≤≤-+++=x x x x f 的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD 和BEFC ，点P 是边BC 上的一个动点，设x CP =，则PF AP x f +=)(．那么，可推知方程222)(=x f 解的个数是………………………………………………………（ ） （A ）0. （B ）1. （C ）2. （D ）4.三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（本题满分12分）本题共有2小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分 ．如图，设计一个正四棱锥形冷水塔，高是85.0米，底面的边长是5.1米． （1）求这个正四棱锥形冷水塔的容积；（2）制造这个水塔的侧面需要多少平方米钢板？ (精确到01.0米2)20．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 ．如图所示，扇形AOB ，圆心角AOB 的大小等于3π，半径为2，在半径OA 上有一动点C ，过点C 作平行于OB 的直线交弧AB 于点P ． （1）若C 是OA 的中点，求PC ；（2）设θ=∠COP ，求△POC 周长的最大值及此时θ的值．21．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知椭圆141222=+Γy x ：. （1）直线AB 过椭圆Γ的中心交椭圆于B A 、两点，C 是它的右顶点，当直线AB 的斜率为1时，求△ABC 的面积；（2）设直线2+=kx y l ：与椭圆Γ交于Q P 、两点，且线段PQ 的垂直平分线过椭圆Γ与y 轴负半轴的交点D ，求实数k 的值．22．（本题满分16分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知函数a x x f +=2)(．（1）若函数))((x f f y =的图像过原点，求)(x f 的解析式； （2）若12)()(++=bx x f x F 是偶函数，在定义域上ax x F ≥)(恒成立，求实数a 的取值范围； （3）当1=a 时，令)())(()(x f x f f x λϕ-=，问是否存在实数λ，使)(x ϕ在()1,-∞-上是减函数，在()0,1-上是增函数？如果存在，求出λ的值；如果不存在，请说明理由．23．（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且21=a ，3)1(1++=+n n S na n n ．从}{n a 中抽出部分项 ,,,,21n k k k a a a ,)(21 <<<<n k k k 组成的数列}{n k a 是等比数列，设该等比数列的公比为q ，其中*1,1N n k ∈=．（1）求2a 的值；（2）当q 取最小时，求}{n k 的通项公式； （3）求n k k k +++ 21的值．四区联考2012学年度第二学期高三数学（文理）参考答案及评分标准 2013.04说明1．本解答列出试题一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分．2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后续部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，但是原则上不应超出后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分． 3．第19题至第23题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题分数． 4．给分或扣分均以1分为单位．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．]3,1[-； 2．2； 3．34； 4．31≠m ； 5．12-=xy ； 6．1； 7．（文、理）π；8．（文）4（理）5；9．6463；10．17；11．（文）414214=C （理）834334=P ；12．(]1,0；13．（文）(1,)+∞（理）334；14．（文）②③⑤（理）)25,17(． ② 二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15． D ； 16．（文）B （理）A ； 17． B ；18．（文）C （理）A三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .19．（本题满分12分）本题共有2小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分 ． (文)解：（1）如图正四棱锥底面的边长是5.1米，高是85.0米 sh V 31=36375.085.05.15.131m =⨯⨯⨯= 所以这个四棱锥冷水塔的容积是36375.0m ．(2)如图，取底面边长的中点E ，连接SE ，222275.085.0+=+=EO SO SESE ⨯⨯⨯=5.1214S 侧22240.375.085.05.1214m ≈+⨯⨯⨯=答：制造这个水塔的侧面需要3.40平方米钢板． （理）19．（1）（理）解法一：建立坐标系如图 平面11BCC B 的一个法向量为)0,1,0(1=n 因为)2,1,2(E )0,2,0(C ，)2,1,2(--=∴EC ， 可知直线EC 的一个方向向量为)2,1,2(--=∴．设直线EC 与平面11BCC B 成角为θ，与1n 所成角为ϕ，则31191cos sin =⨯===ϕθ31arcsin BCC B 11成角大小为与平面故EC19（1）解法二：⊥1EB 平面11BCC B ，即C B 1为EC 在平面11BCC B 内的射影，故1ECB ∠为直线EC 与平面11BCC B 所成角，在C EB Rt 1∆中，22,1EB 11==C B ,42221tan 111===∠C B EB ECB 故 42arctanBCC B 11成角大小为与平面故EC 19（2）（理科）解法一：建立坐标系如图．平面ABCD 的一个法向量为)1,0,0(1=n设平面AEF 的一个法向量为),,(2z y x n =，因为)0,1,2(-=AF ，)2,1,0(=AE 所以⎩⎨⎧=+=+-0202z y y x ，令1=x ，则1,2-==z y )1,2,1(2-=⇒n661411cos =++-==θ由图知二面角B AF E --为锐二面角，故其大小为66arccos．19（2）解法二：过E 作平面ABC 的垂线，垂足为E '，E EG '∠即为所求AB E ∈'，过E '作AF 的垂线设垂足为G ，ADF ∆∽AGE ∆521='⇒=''E G AF AD E A E G 即52='E G在Q E E Rt '∆中5tan =''='∠E G E E E EG所以二面角B AF E --的大小为5arctan ．20．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 ．解:（1）在△POC 中，32π=∠OCP ，1,2==OC OP 由32cos 2222πPC OC PC OC OP ⋅-+=得032=-+PC PC ，解得2131+-=PC ．（2）∵CP ∥OB ，∴θπ-=∠=∠3POB CPO ，在△POC 中，由正弦定理得θsin sin CPPCO OP =∠，即θπsin 32sin 2CP = ∴θsin 34=CP ,又32sin )3sin(πθπCP OC =-)3sin(34θπ-=∴OC ． （文）记△POC 的周长为)(θC ，则2)3sin(34sin 342)(+-+=++=θπθθOC CP C1sin 2223πθθθ⎫⎛⎫++=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭∴6πθ=时，)(θC2.（理）解法一：记△POC 的面积为)(θS ，则32sin 21)(πθOC CP S ⋅=， 23)3sin(34sin 3421⨯-⋅⋅=θπθ)3sin(sin 34θπθ-⋅= )sin 21cos 23(sin 34θθθ-=θθθ2sin 32cos sin 2-= 332cos 332sin -+=θθ33)62(sin 332-+=πθ∴6πθ=时，)(θS 取得最大值为33. 解法二：212432cos 22-=⋅-+=PC OC PC OC π即422=⋅++PC OC PC OC ，又PC OC PC OC PC OC ⋅≥⋅++322即43≤⋅PC OC当且仅当PC OC =时等号成立, 所以3323342132sin 21=⨯⨯≤⋅=πOC CP SPC OC = ∴6πθ=时，)(θS 取得最大值为33. 21．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 ． （文）解：(1)依题意，32=a ，)0,32(C ，由221124x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，得y =设),(11y x A ),(22y x B ，32=OC∴63232212121=⨯⨯=-⋅=∆y y OC S ABC ； (2)如图，由2221124y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(31)120k x kx ++=，0)12(2≥=∆k 依题意，0k ≠，设1122()()P x y Q x y ，，，，线段PQ 的中点00()H x y ，，则12026231x x k x k +-==+，0022231y kx k =+=+，D (0 2)-，，由1-=⋅PQ DH k k ，得2222311631k k k k ++⋅=--+，∴3k =± （理）解:（1）12)(2+++=bx a x x F 是偶函数，0=∴b即2)(2++=a x x F ，R x ∈ 又ax x F ≥)(恒成立即2)1(222+≤-⇒≥++x x a ax a x 当1=x 时R a ∈⇒当1>x 时，213)1(122+-+-=-+≤x x x x a ，232+≤a当1<x 时，213)1(122+-+-=-+≥x x x x a ， 232+-≥a综上： 232232+≤≤+-a （2）)())(()(x f x f f x λϕ-=)2()2(24λλ-+-+=x x)(x ϕ∴是偶函数，要使)(x ϕ在()1,-∞-上是减函数在()0,1-上是增函数，即)(x ϕ只要满足在区间()+∞,1上是增函数在()1,0上是减函数．令2x t =，当()1,0∈x 时()1,0∈t ；()+∞∈,1x 时()+∞∈,1t ，由于()+∞∈,0x 时，2x t =是增函数记)2()2()()(2λλϕ-+-+==t t t H x ，故)(x ϕ与)(t H 在区间()+∞,0上有相同的增减性，当二次函数)2()2()(2λλ-+-+=t t t H 在区间()+∞,1上是增函数在()1,0上是减函数，其对称轴方程为1=t 4122=⇒=--⇒λλ． 22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.（文）解:（1）a a ax x x f f y +++==2242))(( 过原点，02=+a a10-==⇒a a 或 得2)(x x f =或1)(2-=x x f(2)(3)同理21（理）解（1）11AP =，所以35AP =，设()3,Px y则()221253180x y x y ⎧-+=⎪⎨--=⎪⎩，消去y ，得211300x x -+=，…（2分） 解得15x =，26x =,所以3P 的坐标为()5,3-或()6,0（2）由题意可知点A 到圆心的距离为13)03()13(22=-+-=t …（6分）（ⅰ）当130<<r 时，点()1,0A 在圆上或圆外，31132P P AP AP d =-=， 又已知0≠d ，r P P 2031≤≤，所以 0<≤-d r 或 r d ≤<0 （ⅱ）当13≥r 时，点()1,0A 在圆内，所以13213132max=--+=r r d，又已知0≠d ，13220≤<d ，即013<≤-d 或130≤<d结论：当130<<r 时，0<≤-d r 或 r d ≤<0；当13≥r 时，013<≤-d 或130≤<d （3）因为抛物线方程为x y 42=，所以()1,0A 是它的焦点坐标，点2P 的横坐标为3，即82=AP设()111,P x y ，()333,P x y ，则111+=x AP ，133+=x AP ，1322AP AP AP +=， 所以13226x x x +==直线13P P 的斜率3131314y y k x x y y -==-+，则线段13P P 的垂直平分线l 的斜率314ly y k +=- 则线段13P P 的垂直平分线l 的方程为()3131324y y y yy x ++-=-- 直线l 与x 轴的交点为定点()5,023．（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分. （文）解：（1）令1=n 得321112⋅+=⋅a a ，即3212=-a a ； 又21=a 382=⇒a （2）由3212=-a a 和⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-++=-+3)1()1(,3)1(11n n S a n n n S na n n nn32)1(1na a n na n n n +=--⇒+321=-⇒+n n a a ，所以数列}{n a 是以2为首项，32为公差的等差数列，所以)2(32+=n a n ． 解法一：数列}{n a 是正项递增等差数列，故数列}{n k a 的公比1>q ，若22=k ，则由382=a 得3412==a a q ，此时932)34(223=⋅=k a ，由)2(32932+=n 解得*310N n ∉=，所以22>k ，同理32>k ；若42=k ，则由44=a 得2=q ，此时122-⋅=n k n a 组成等比数列，所以)2(32221+=⋅-m n ，2231+=⋅-m n ，对任何正整数n ，只要取2231-⋅=-n m ，即n k a 是数列}{n a 的第2231-⋅-n 项．最小的公比2=q ．所以2231-⋅=-n n k ．………（10分）解法二: 数列}{n a 是正项递增等差数列，故数列}{n k a 的公比1>q ，设存在,,,,21n k k k a a a )(21 <<<<n k k k 组成的数列}{n k a 是等比数列，则3122k k k a a a ⋅=，即()()232)2(322)2(32322322+=+⇒+⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+k k k k 因为1*232>∈k N k k 且、所以22+k 必有因数3，即可设N t t t k ∈≥=+,2,322，当数列}{n k a 的公比q最小时，即42=k ，2=⇒q 最小的公比2=q ．所以2231-⋅=-n n k ． （3）由（2）可得从}{n a 中抽出部分项 ,,,,21n k k k a a a )(21 <<<<n k k k 组成的数列}{n k a 是等比数列，其中11=k ，那么}{n k a 的公比是322+=k q ，其中由解法二可得N t t t k ∈≥-=,2,232． )2(32)32(312+=+⋅=-n n k k k a n 2)32(312-+⋅=⇒-n n k k 2)3223(31-+-⋅=⇒-n n t k 231-⋅=⇒-n n t k ，N t t ∈≥,2所以3232)1(31221--⋅=-++++=+++-n t n t t t k k k nn n（理）解：（1）⇒+=+nn n S a 31n n n S S 321+=+，n n n S b 3-=，*∈N n ，当3≠a 时，1111323333n n n n n n n nn n n b S S b S S ++++-+-==--=2，所以{}n b 为等比数列．3311-=-=a S b ，12)3(-⨯-=n n a b ．（2） 由（1）可得12)3(3-⨯-=-n n n a S*-∈≥-=N n n S S a n n n ,2,1212)3(3221≥=⎩⎨⎧⨯-+⨯=--n n a a a n n n ； n n a a ≥+1，2112>⎩⎨⎧>>+n a a a a n n ，9-≥a所以9-≥a ，且3≠a ．所以a 的最小值为（3）由（1）当4=a 时，12-=n n b当2≥n 时，n n C 2423++++= 12+=n，31=C ，所以对正整数n 都有12+=nn C ．由12+=n p t ，n p t 21=-，(*∈N p t ,且1,1>>p t )，t 只能是不小于3的奇数．①当p 为偶数时，n p p pt t t 2)1)(1(122=-+=-，因为12+p t 和12-p t 都是大于1的正整数，所以存在正整数h g ,，使得gp t 212=+，h p t 212=-，222=-h g ,2)12(2=--h g h ，所以22=h 且112=--hg 2,1==⇒g h ，相应的3=n ，即有233=C ，3C 为“指数型和”；②当p 为奇数时，)1)(1(112-++++-=-p p t t t t t ，由于121-++++p t t t 是p 个奇数之和，仍为奇数，又1-t 为正偶数，所以n p t t t t 2)1)(1(12=++++-- 不成立，此时没有“指数型和”．。

2013年上海市杨浦区高考数学一模试卷（文科）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）若函数f（x）=3x的反函数为f﹣1（x），则f﹣1（1）=．2．（4分）若复数z=（i为虚数单位），则|z|=．3．（4分）抛物线y2=4x的焦点到准线的距离是．4．（4分）若线性方程组的增广矩阵为，则该线性方程组的解是．5．（4分）若直线l：y﹣2x﹣1=0，则该直线l的倾斜角是．6．（4分）若（x+a）7的二项展开式中，x5的系数为7，则实数a=．7．（4分）若圆椎的母线l=10cm，母线与旋转轴的夹角α=30°，则该圆椎的侧面积为cm2．8．（4分）设数列{a n}（n∈N*）是等差数列．若a2和a2012是方程4x2﹣8x+3=0的两根，则数列{a n]的前2013项的和S2013=．9．（4分）若直线l过点（1，﹣1），且与圆x2+y2=1相切，则直线l的方程为．10．（4分）将一颗质地均匀的骰子连续投掷两次，朝上的点数依次为b和c，则b≤2且c≥3的概率是．11．（4分）若函数f（x）=+1 （a＞0，a≠1）的图象过定点P，点Q在曲线x2﹣y﹣2=0上运动，则线段PQ中点M轨迹方程是．12．（4分）如图，已知边长为8米的正方形钢板有一个角锈蚀，其中AE=4米，CD=6米．为了合理利用这块钢板，将在五边形ABCDE内截取一个矩形块BNPM，使点P在边DE上．则矩形BNPM面积的最大值为平方米．13．（4分）设△ABC的内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且acosB﹣bcosA=C，则tanAcotB的值是．14．（4分）已知函数，若函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，则实数m的取值范围是．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15．（5分）“a=3”是“函数f（x）=x2﹣2ax+2在区间[3，+∞）内单调递增”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件16．（5分）若无穷等比数列{a n}的前n项和为S n，首项为1，公比为a﹣，且，（n∈N*），则复数z=在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限17．（5分）已知F1、F2为双曲线C：的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则P到x轴的距离为（）A．B．C．D．18．（5分）已知数列{a n}是各项均为正数且公比不等于1的等比数列．对于函数y=f（x），若数列{lnf（a n）}为等差数列，则称函数f（x）为“保比差数列函数”．现有定义在（0，+∞）上的如下函数：①，②f（x）=x2，③f（x）=e x，④，则为“保比差数列函数”的所有序号为（）A．①②B．③④C．①②④D．②③④三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥AB，AP=BC=4，∠ABC=30°，D、E分别是BC、AP的中点，（1）求三棱锥P﹣ABC的体积；（2）若异面直线AB与ED所成角的大小为θ，求tanθ的值．20．（14分）（文）已知函数f（x）=cos（x﹣），（1）若f（a）=，求sin2α的值；（2）设g（x）=f（x）•f（x+2π），求g（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．21．（14分）已知椭圆C：+=1的两个焦点分别是F1（﹣1，0）、F2（1，0），且焦距是椭圆C上一点p到两焦点F1，F2距离的等差中项．（1）求椭圆C的方程；（2）设经过点F2的直线交椭圆C于M，N两点，线段MN的垂直平分线交y 轴于点Q（x0，y0），求y0的取值范围．22．（16分）已知函数f（x）=（x＞0）的值域为集合A，（1）若全集U=R，求C U A；（2）对任意x∈（0，]，不等式f（x）+a≥0恒成立，求实数a的范围；（3）设P是函数f（x）的图象上任意一点，过点P分别向直线y=x和y轴作垂线，垂足分别为A、B，求•的值．23．（18分）设数列{x n}满足x n≠1且（n∈N*），前n项和为S n．已知点p1（x1，S1），P2（x2，s2），…P n（x n，s n）都在直线y=kx+b上（其中常数b，k且k ≠1，b≠0），又y n=log．（1）求证：数列{x n]是等比数列；（2）若y n=18﹣3n，求实数k，b的值；（3）如果存在t、s∈N*，s≠t使得点（t，y t）和点（s，y t）都在直线y=2x+1上．问是否存在正整数M，当n＞M时，x n＞1恒成立？若存在，求出M的最小值，若不存在，请说明理由．2013年上海市杨浦区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）若函数f（x）=3x的反函数为f﹣1（x），则f﹣1（1）=0．【考点】4R：反函数．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】由指数函数的反函数为同底的对数函数即可求出．【解答】解：∵函数f（x）=3x的反函数为f﹣1（x）=log3x，∴f﹣1（1）=log31=0．故答案为0．【点评】熟练求出原函数的反函数是解题的关键．2．（4分）若复数z=（i为虚数单位），则|z|=．【考点】A8：复数的模．【专题】11：计算题．【分析】对复数分子与分母同时求模即可．【解答】解：|z|===．故答案为：．【点评】本题考查复数模的求法，考查计算能力．3．（4分）抛物线y2=4x的焦点到准线的距离是2．【考点】K8：抛物线的性质．【专题】11：计算题．【分析】根据抛物线的方程求得抛物线的焦点坐标和准线的方程，进而利用点到直线的距离求得焦点到准线的距离．【解答】解：根据题意可知焦点F（1，0），准线方程x=﹣1，∴焦点到准线的距离是1+1=2故答案为2．【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了学生对抛物线标准方程的理解和运用．属基础题．4．（4分）若线性方程组的增广矩阵为，则该线性方程组的解是（向量表示也可）．【考点】OP：逆矩阵与二元一次方程组．【专题】11：计算题．【分析】首先应理解方程增广矩阵的涵义，由增广矩阵写出原二元线性方程组，根据方程解出x，y，即可【解答】解：由二元线性方程组的增广矩阵为可得到二元线性方程组的表达式解得：故答案为：．【点评】本题的考点是二元一次方程组的矩阵形式，主要考查二元线性方程组的增广矩阵的含义，计算量小，属于较容易的题型．5．（4分）若直线l：y﹣2x﹣1=0，则该直线l的倾斜角是arctan2．【考点】I2：直线的倾斜角；IG：直线的一般式方程与直线的性质．【专题】5B：直线与圆．【分析】得到直线的斜率，根据直线斜率与倾斜角的关系得出tanα的值，利用反三角函数定义得出α的值即可．【解答】解：设直线l：y﹣2x﹣1=0的倾斜角为α，∵直线l：y﹣2x﹣1=0的斜率为2，∴tanα=2，又α∈（0，π），∴α=arctan2，∴该直线的倾斜角是arctan2，故答案为：arctan2【点评】本题考查直线的一般式方程，直线斜率与倾斜角的关系，反三角函数，熟练掌握直线斜率与倾斜角的关系是解本题的关键．6．（4分）若（x+a）7的二项展开式中，x5的系数为7，则实数a=±．【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题．【分析】根据题意，由二项式定理可得（x+a）7的展开试的通项，分析可得T3=C72•x5•a2，即x5的系数为C72a2，结合题意可得C72a2=7，解可得答案．【解答】解：根据题意，（x+a）7的展开试的通项为T r+1=C7r•x7﹣r•a r，令r=2，可得T3=C72•x5•a2，即x5的系数为C72a2，又由题意，其二项展开式中x5的系数为7，有C72a2=7，解可得，a=±；故答案为±．【点评】本题考查二项式定理的应用，要牢记二项展开式的通项的形式．7．（4分）若圆椎的母线l=10cm，母线与旋转轴的夹角α=30°，则该圆椎的侧面积为50πcm2．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】先利用圆锥的轴截面的性质求出底面的半径r，进而利用侧面积的计算公式计算即可．【解答】解：如图所示：在Rt△POB中，r==5，∴该圆椎的侧面积S=π×5×10=50π．故答案为50π．【点评】熟练掌握圆锥的轴截面的性质和侧面积的计算公式是解题的关键．8．（4分）设数列{a n}（n∈N*）是等差数列．若a2和a2012是方程4x2﹣8x+3=0的两根，则数列{a n]的前2013项的和S2013=2013．【考点】83：等差数列的性质；85：等差数列的前n项和．【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列．【分析】由方程的根与系数关系可求，a2+a2012，然后由等差数列的性质可知，a1+a2013=a2+a2012，代入等差数列的求和公式【解答】解：由题意可得，a2+a2012=2由等差数列的性质可知，a1+a2013=a2+a2012=2∴=2013故答案为：2013【点评】本题主要考查了等差数列性质及等差数列的求和公式的简单应用，属于基础试题9．（4分）若直线l过点（1，﹣1），且与圆x2+y2=1相切，则直线l的方程为x=1或y=﹣1．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【专题】11：计算题；5B：直线与圆．【分析】先设出直线方程，根据直线与圆相切的性质：圆心到直线的距离等于圆的半径可求【解答】解：当直线的斜率存在时，设过点（1，﹣1）的直线方程为y+1=k（x ﹣1）即kx﹣y﹣k﹣1=0由直线与圆相切的性质可知，圆心到该直线的距离d=解可得，k=0，此时直线方程为y=﹣1当直线的斜率不存在时，直线为x=1也满足题意综上可得，直线L的方程为x=1或y=﹣1故答案为：x=1或y=﹣1【点评】本题主要考查了直线与圆相切的性质的应用，点到直线的距离公式的应用，属于基础试题10．（4分）将一颗质地均匀的骰子连续投掷两次，朝上的点数依次为b和c，则b≤2且c≥3的概率是．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】5I：概率与统计．【分析】列出投掷一颗骰子两次正面向上所出现点数的所有可能情况，求出总种数N，然后找出第一次正面向上点数小于等于2且第二次正面向上点数大于等于3的情况种数n，则要求解的概率p=．【解答】解：将一颗质地均匀的骰子连续投掷两次，朝上的点数依次为b和c，则两次朝上点数的情况如下表：共计有36种情况，满足b≤2且c≥3的种数有（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6）共8种，所以将一颗质地均匀的骰子连续投掷两次，朝上的点数依次为b和c，则b≤2且c≥3的概率p=．故答案为．【点评】本题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了有重复排列问题，解答此题的关键是列出一颗质地均匀骰子投掷两次正面向上的所有可能情况，做到不重不漏，此题是中低档题．11．（4分）若函数f（x）=+1 （a＞0，a≠1）的图象过定点P，点Q在曲线x2﹣y﹣2=0上运动，则线段PQ中点M轨迹方程是y=2x2﹣2x．【考点】J3：轨迹方程．【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】令3x﹣2=1，得到f（x）= 1 （a＞0，a≠1）的图象过定点P（1，1），设Q（q，2﹣2），中点M（x，y），由中点坐标公式能求出线段PQ中点M轨迹方程．【解答】解：当3x﹣2=1，即x=1时，f（x）=log a1+1=1，所以f（x）= 1 （a＞0，a≠1）的图象过定点P（1，1），设Q（q，q2﹣2），中点M（x，y）x=，q=2x﹣1，y====2x2﹣2x．故线段PQ中点M轨迹方程是y=2x2﹣2x．故答案为：y=2x2﹣2x．【点评】本题考查结段的中点的轨迹方程的求法，解题时要认真审题，注意对数函数的性质和中点坐标公式的合理运用．12．（4分）如图，已知边长为8米的正方形钢板有一个角锈蚀，其中AE=4米，CD=6米．为了合理利用这块钢板，将在五边形ABCDE内截取一个矩形块BNPM，使点P在边DE上．则矩形BNPM面积的最大值为48平方米．【考点】5C：根据实际问题选择函数类型．【专题】15：综合题；51：函数的性质及应用．【分析】利用三角形的相似，可得函数的解析式及定义域，表示出面积，利用配方法，可得矩形BNPM面积的最大值．【解答】解：作PQ⊥AF于Q，所以PQ=8﹣y，EQ=x﹣4，在△EDF中，=，所以=．所以y=﹣x+10，定义域为{x|4≤x≤8}．设矩形BNPM的面积为S，则S（x）=xy=x（10﹣）=﹣（x﹣10）2+50．所以S（x）是关于x的二次函数，且其开口向下，对称轴为x=10所以当x∈[4，8]，S（x）单调递增．所以当x=8米时，矩形BNPM面积取得最大值48平方米．故答案为：48．【点评】本题考查函数解析式的确定，考查配方法求函数的最值，考查学生的计算能力，属于中档题．13．（4分）设△ABC的内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且acosB﹣bcosA=C，则tanAcotB的值是4．【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】56：三角函数的求值．【分析】利用正弦定理与三角形的内角和，以及两角和的正弦函数展开，即可求tanAcotB的值．【解答】解：△ABC中，由正弦定理可得sinAcosB﹣sinBcosA=sinC=sin （A+B）=sinAcosB+cosAsinB，化简可得sinAcosB=4cosAsinB，故tanAcotB=4，故答案为4．【点评】本题主要考查正弦定理的应用，两角和差的正弦公式的应用，考查计算能力，属于中档题．14．（4分）已知函数，若函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，则实数m的取值范围是（0，1）．【考点】3B：分段函数的解析式求法及其图象的作法；53：函数的零点与方程根的关系．【专题】31：数形结合．【分析】将方程的零点问题转化成函数的交点问题，作出函数的图象得到m的范围．【解答】解：令g（x）=f（x）﹣m=0，得m=f（x）作出y=f（x）与y=m的图象，要使函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，则y=f（x）与y=m的图象有3个不同的交点，所以0＜m＜1，故答案为：（0，1）．【点评】本题考查等价转化的能力、利用数学结合解题的数学思想方法是重点，要重视．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15．（5分）“a=3”是“函数f（x）=x2﹣2ax+2在区间[3，+∞）内单调递增”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】29：规律型．【分析】先求出函数f（x）=x2﹣2ax+2的单调增区间，然后由题意知[3，+∞）是它单调增区间的子区间，利用对称轴与区间的位置关系即可求出a的范围，再根据充分必要条件进行求解；【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣2ax+2在区间[3，+∞）内单调递增，可得f（x）的对称轴为x=﹣=a，开口向上，可得a≤3，∴“a=3”⇒“函数f（x）=x2﹣2ax+2在区间[3，+∞）内单调递增”，∴“a=3”是“函数f（x）=x2﹣2ax+2在区间[3，+∞）内单调递增”的充分而不必要条件，故选：A．【点评】此题主要考查二次函数的性质及其对称轴的应用，以及充分必要条件的定义，是一道基础题；16．（5分）若无穷等比数列{a n}的前n项和为S n，首项为1，公比为a﹣，且，（n∈N*），则复数z=在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】8J：数列的极限；A4：复数的代数表示法及其几何意义．【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列．【分析】利用无穷等比数列的求和公式，求出a的值，再化简复数，即可求得结论．【解答】解：∵无穷等比数列{a n}的前n项和为S n，首项为1，公比为a﹣，且，（n∈N*），∴∴2a2﹣5a+2=0∴a=2或a=∴a﹣=或a﹣=﹣1∵|a﹣|＜1∴a=2∴z===∴复数z=在复平面上对应的点位于第四象限故选：D．【点评】本题考查无穷等比数列的求和公式，考查数列的极限，考查复数的几何意义，属于中档题．17．（5分）已知F1、F2为双曲线C：的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则P到x轴的距离为（）A．B．C．D．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先利用双曲线的定义及余弦定理，求得P到焦点的距离，再利用双曲线的第二定义，即可求得结论．【解答】解：不妨设点P（x0，y0）在双曲线的右支上，且|PF1|=m，|PF2|=n，则∴n2+4n﹣4=0，∴n=2﹣2由双曲线的第二定义可得，∴n=﹣2∴﹣2=2﹣2∴∴y0=故选：B．【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的定义，考查学生的计算能力，属于基础题．18．（5分）已知数列{a n}是各项均为正数且公比不等于1的等比数列．对于函数y=f（x），若数列{lnf（a n）}为等差数列，则称函数f（x）为“保比差数列函数”．现有定义在（0，+∞）上的如下函数：①，②f（x）=x2，③f（x）=e x，④，则为“保比差数列函数”的所有序号为（）A．①②B．③④C．①②④D．②③④【考点】8B：数列的应用．【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列．【分析】设数列{a n}的公比为q（q≠1），利用保比差数列函数的定义，验证数列{lnf（a n）}为等差数列，即可得到结论．【解答】解：设数列{a n}的公比为q（q≠1）①由题意，lnf（a n）=ln，∴lnf（a n+1）﹣lnf（a n）=ln﹣ln=ln=﹣lnq是常数，∴数列{lnf（a n）}为等差数列，满足题意；②由题意，lnf（a n）=ln，∴lnf（a n+1）﹣lnf（a n）=ln﹣ln=lnq2=2lnq是常数，∴数列{lnf（a n）}为等差数列，满足题意；③由题意，lnf（a n）=ln，∴lnf（a n+1）﹣lnf（a n）=ln﹣ln=a n+1﹣a n不是常数，∴数列{lnf（a n）}不为等差数列，不满足题意；④由题意，lnf（a n）=ln，∴lnf（a n+1）﹣lnf（a n）=ln﹣ln=lnq是常数，∴数列{lnf（a n）}为等差数列，满足题意；综上，为“保比差数列函数”的所有序号为①②④故选：C．【点评】本题考查新定义，考查对数的运算性质，考查等差数列的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥AB，AP=BC=4，∠ABC=30°，D、E分别是BC、AP的中点，（1）求三棱锥P﹣ABC的体积；（2）若异面直线AB与ED所成角的大小为θ，求tanθ的值．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题；5G：空间角．【分析】（1）三棱锥P﹣ABC中，由PA⊥平面ABC，AC⊥AB，AP=BC=4，∠ABC=30°，D、E分别是BC、AP的中点，知AC=2，AB=2，由此能求出三棱锥P﹣ABC的体积．（2）取AC中点F，连接DF，EF，则AB∥DF，所以∠EDF就是异面直线AB 与ED所成的角θ，由此能求出tanθ．【解答】解：（1）三棱锥P﹣ABC中，∵PA⊥平面ABC，AC⊥AB，AP=BC=4，∠ABC=30°，D、E分别是BC、AP 的中点，∴AC=2，AB=2，…（2分）=•PA=．…（5分）所以，体积V P﹣ABC（2）取AC中点F，连接DF，EF，则AB∥DF，所以∠EDF就是异面直线AB与ED所成的角θ．…（7分）由已知，AC=EA=AD=2，AB=2，PC=2，∵AB⊥EF，∴DF⊥EF．…（10分）在Rt△EFD中，DF=，EF=，所以，tanθ=．…（12分）【点评】本题考查三棱锥的体积的求法，考查异面直线所成角的正切值的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．20．（14分）（文）已知函数f（x）=cos（x﹣），（1）若f（a）=，求sin2α的值；（2）设g（x）=f（x）•f（x+2π），求g（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．【考点】GS：二倍角的三角函数；HW：三角函数的最值．【专题】56：三角函数的求值．【分析】（1）由f（a）=cos（α﹣）=，化简可得sinα+cosα=，平方可得sin2α的值．（2）利用二倍角公式、两角和差的余弦公式化简g（x）的解析式为cos2x，再根据x的范围求得求g（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．【解答】解：（1）因为f（a）=cos（α﹣）=，化简可得sinα+cosα=．…（3分）平方得，1+sin2α=，…（5分）所以，sin2α=．…（7分）（2）因为g（x）=f（x）•f（x+2π）=cos（x﹣）cos（x+）=（cosx+sinx）•（cosx﹣sinx）=（cos2x﹣sin2x）=cos2x．…（11分）当x∈[﹣，]时，2x∈[﹣，]．…（12分）所以，当2x=0，即x=0时，g（x）取得最大值为；…（13分）当2x=，即x=时，g（x）取得最小值为﹣．…（14分）【点评】本题主要考查二倍角公式、两角和差的余弦公式的应用，余弦函数的定义域和值域，属于中档题．21．（14分）已知椭圆C：+=1的两个焦点分别是F1（﹣1，0）、F2（1，0），且焦距是椭圆C上一点p到两焦点F1，F2距离的等差中项．（1）求椭圆C的方程；（2）设经过点F2的直线交椭圆C于M，N两点，线段MN的垂直平分线交y 轴于点Q（x0，y0），求y0的取值范围．【考点】K3：椭圆的标准方程；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】15：综合题；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）先确定椭圆C的半焦距，再利用焦距是椭圆C上一点p到两焦点F1，F2距离的等差中项，求出a的值，从而可得椭圆的标准方程；（2）分类讨论，设出直线方程代入椭圆方程，确定线段MN的垂直平分线方程，可得Q的纵坐标，利用基本不等式，即可求得y0的取值范围．【解答】解：（1）设椭圆C的半焦距是c．依题意，得c=1．…（1分）由题意焦距是椭圆C上一点p到两焦点F1，F2距离的等差中项，得4c=2a，∴a=2∴b2=a2﹣c2=3．…（4分）故椭圆C的方程为．…（6分）（2）解：当MN⊥x轴时，显然y0=0．…（7分）当MN与x轴不垂直时，可设直线MN的方程为y=k（x﹣1）（k≠0）．代入椭圆方程，消去y整理得（3+4k2）x2﹣8k2 x+4（k2﹣3）=0．…（9分）设M（x1，y1），N（x2，y2），线段MN的中点为Q（x3，y3），则x1+x2=．…（10分）所以x3=，y3=k（x3﹣1）=，∴线段MN的垂直平分线方程为y+=﹣（x﹣）．在上述方程中令x=0，得y0==．…（12分）当k＜0时，≤﹣4；当k＞0时，．所以≤y0＜0，或0＜y0≤．…（13分）综上，y0的取值范围是[，]．…（14分）【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．22．（16分）已知函数f（x）=（x＞0）的值域为集合A，（1）若全集U=R，求C U A；（2）对任意x∈（0，]，不等式f（x）+a≥0恒成立，求实数a的范围；（3）设P是函数f（x）的图象上任意一点，过点P分别向直线y=x和y轴作垂线，垂足分别为A、B，求•的值．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；O1：二阶矩阵．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】（1）根据二阶矩阵运算的法则化得f（x）的解析式，再利用基本不等式得集合A，由补集的含义即可写出答案；（2）由题得a≥﹣（x+），只须求出a大于等于函数y=﹣（x+）在（0，]的最大值，再利用函数的单调性得出函数y=﹣（x+）在（0，]的最大值，即可实数a的范围；（3）先设P（x0，x0+），写出直线PA的方程，再与直线y=x的方程联立，得A点的坐标，最后利用向量数量积的坐标运算计算即得答案．【解答】解：（1）由已知得，x＞0，则f（x）=x+≥2…（1分）当且仅当x=时，即x=等号成立，∴A=[2，+∞）…（3分）所以，C U A=（﹣∞，2）…（4分）（2）由题得a≥﹣（x+）…（5分）函数y=﹣（x+）在（0，]的最大值为﹣…（9分）∴a≥﹣…（10分）（3）设P（x0，x0+），则直线PA的方程为y﹣（x0+）=﹣（x﹣x0），即y=﹣x+2x0+…（11分）由得A（x0+，2x0+）…（13分）又B（0，x0+），…（14分）所以=（，﹣），=（﹣x0，0），故=（﹣x0）=﹣1 …（16分）【点评】本题考查二阶矩阵、补集的含义、平面向量数量积的运算等，考查运算能力，属于基础题．23．（18分）设数列{x n}满足x n≠1且（n∈N*），前n项和为S n．已知点p1（x1，S1），P2（x2，s2），…P n（x n，s n）都在直线y=kx+b上（其中常数b，k且k ≠1，b≠0），又y n=log．（1）求证：数列{x n]是等比数列；（2）若y n=18﹣3n，求实数k，b的值；（3）如果存在t、s∈N*，s≠t使得点（t，y t）和点（s，y t）都在直线y=2x+1上．问是否存在正整数M，当n＞M时，x n＞1恒成立？若存在，求出M的最小值，若不存在，请说明理由．【考点】87：等比数列的性质；8I：数列与函数的综合．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】（1）由a n+1=S n+1﹣S n着手考虑，把点P n、P n+1的坐标代入直线y=kx+b，然后两式相减得x n+1与x n的关系式，即可得到结论；（2）由（1）知{x n}是等比数列，则根据条件消去y n得x n与n的关系式，此时与等比数列通项x n=x1q n﹣1相比较，易得x1与q，进而可求得k与b．（3）由{x n}是等比数列且y n=log0.5x n可得数列{y n}为等差数列；当n＞M时，x n ＞1恒成立问题应利用y n=log0.5x n转化为y n＜0恒成立的问题，列不等式组，解出M，即可得到结论．【解答】（1）证明：∵点P n（x n，S n），P n+1（x n+1，S n+1）都在直线y=kx+b上，∴S n=kx n+b，S n+1=kx n+1+b两式相减得S n+1﹣S n=kx n+1﹣kx n，即x n+1=kx n+1﹣kx n，∵常数k≠0，且k≠1，∴=（非零常数）∴数列{x n]是等比数列；（2）解：由y n=log0.5x n，得x n=（）yn=8n﹣6，∴=8，得k=．又P n在直线上，得S n=kx n+b，令n=1得b=S1﹣x1=﹣x1=﹣；（3）解：∵y n=log0.5x n，∴当n＞M时，x n＞1恒成立等价于y n＜0恒成立．∵存在t，s∈N*，使得（t，y s）和（s，y t）都在y=2x+1上，∴y s=2t+1 ①，y t=2s+1 ②．①﹣②得：y s﹣y t=2（t﹣s），∵s≠t，∴{y n}是公差d=﹣2＜0的等差数列①+②得：y s+y t=2（t+s）+2，又y s+y t=y1+（s﹣1）•（﹣2）+y1+（t﹣1）•（﹣2）=2y1﹣2（s+t）+4由2y1﹣2（s+t）+4=2（t+s）+2，得y1=2（t+s）﹣1＞0，即：数列{y n}是首项为正，公差为负的等差数列，所以一定存在一个最小自然数M，使，即解得t+s﹣＜M≤t+s+．∵M∈N*，∴M=t+s．即存在自然数M，其最小值为t+s，使得当n＞M时，x n＞1恒成立．【点评】本题考查等比数列的证明，考查等差数列，考查存在性问题，考查学生分析解决问题的能力，难度较大．。