间接平差习题课

第五章 间接平差第一节 间接平差原理1在图5-1的水准网中，P 1，P 2及P 3点为待定点，测得各段水准路线高差为：h 1=+1.335m ，S 1=2kmh 2=+0.055m ，S 2=2kmh 3=-1.396m ，S 3=3km若令2km 路线上的观测高差为位权观测，试用间接平差法求高差的平差值。

2在三角形ABC 中（如图5-2），测得不等精度观测值如下：试按间接平差计算各角的平差值。

图5-1 图5-23在图5-3的单一符合水准路线中，A ，B 点为已知点，P 1，P 2点为待定点，观测高差为h 1，h 2，h 3，路线长度为S 1，S 2，S 3，设观测高差的权为P i =1/S i ，并令P 1，P 2点高程为未知参数，试按间接平差原理求待定点高程平差值。

4在图5-4，A ，B ，C ，D 点在同直线上为确定其间的三段距离，测出了距离AB ，BC ，CD ，AC 和BD ，相应的观测值为：l 1=200.000m ，l 2=200.000m ，l 3=200.080m ，l 4=400.040m ，l 5=400.000m ， 设它们不相关且等精度。

若分别选取取AB ，BC 及CD 三段距离为未知参数X 1，X 2和X 3，试按间接平差法求A ，D 两点间的距离平差值。

图5-3 图5-41,3.110251101='''=P β2,4.2813402,9.218088303202='''=='''=P P ββ AP P2 A AB1 12 23 h 15在图5-5的直角三角形ABC 中已知AB=100.000m （无误差），测得边长AC 和角A ，得观测值为l 1=115.470m ，l 2=29059’55”，其中误差设为m l 1=±5mm ，m l 2=±4”，试按间接平差法求三角形高BC 的平差值。

《测量平差》实习三
例题
实习三：间接平差方法应用
（一）、有关距离的平差：
1、在下图中，A、B、C三点在一直线上，测出了AB、BC及AC的距离，得４个独立观测值：Ｌ1=200.010m，Ｌ2=300.050m，Ｌ3=300.070m，Ｌ
4
=500.090m。

若令100m量距的权为单位权，试按条件平差法确定Ａ、C之间各段距离的平差值。

（二）、有关水准的平差
2、水准网图（1）的观测高差及水准路线长度见下表：按条件平差求：（1）高
差平差值ˆ
i
h；
（2）A点至E点平差后高差的中
误差ˆAE h
σ；（3）E点至C点平差后
高差的中误差ˆEC h
σ。

3、在下图的水准网中，观测高差及路线长度见下表：已知A,B点的高程
差法求:(1)各观测高差平差值;(2)平差后P1
到P2点间高差的中误差。

（三）、有关角度的平差
4、在下图左中，观测了测站O上的4个角度，得同精度观测值：
L1=30˚00΄20˝、L2=50˚00΄00˝、L3=20˚00΄00˝、L4=40˚00΄20˝，试按条件平差求：
（1）各角度的平差值及平差值协因数阵；（2）平差后∠AOC的权倒数。

5、在上图右的测角网中，A、B、C、D均为待定点，观测5个角度，得观测值：β1=40˚00΄20˝、β2=100˚00΄30˝、β3=50˚00΄20˝、β4=120˚00΄00˝、
β5=50˚00΄20˝，其中，A角为固定值90˚00΄00˝，按条件平差求各角平差值及其协
因数阵。

2．某单位购买了一台新水准仪，经过检测其精度知道，用该仪器单程测量1km 的高差中误 1. 间接平差公式汇编，设观测值的协因数阵为LL Q ，求未知参数平差值的协因数阵。

3．差是5mm 。

该单位接到一个工程任务，其中之一是需要在指定位置建立一个水准点，要求该水准点的高程中误差不大于10mm 。

经过勘查，距该水准点附近有两个高级已知水准点，一个相距约10km ，另外一个相距约20km ，现在两已知水准点之间经过新建的水准点布设一条附合路线，问用新购的水准仪进行单程测量是否满足精度要求。

（使用间接平差解答）。

3．最简单形式的单导线严密平差问题：等精度观测三个角，测角中误差"5=βσ，观测了两条边，cm cm S S 0.2,5.221==σσ，使用间接平差列观测方程并线性化。

4. 在直角多边形中（如图），测得三边之长为21L L 、及3L ，试列出该图的误差方程式。

5．在三角形ABC中，测得不等精度观测值如下：，1,3.11205111="'︒=P β2,9.21088822="'︒=P β，2,4.28314033="'︒=P β，若选取直接观测值的平差值为未知参数，试按照间接平差计算各角的平差值。

6．如图所示的直角三角形ABC 中，已知AB=100.00m （无误差），测得边长AC 和角度A ，得观测值为ml 470.1151=，,5559292"'︒=l 其中误差分别为,51mm l ±=σ,42"±=l σ试按间接平差法求三角形ABC中的平差值。

7. 图4.3中,C B A 、、是已知点, 21P P 、为待定点,网中观测了12个角度和6条边长。

已知测角中误差为5.1''±，边长测量中误差为0.2±cm ，起算数据及观测值分别列表于表4.1和表4.2。

平差理论及平差基习题集1、在间接平差中，参数X 与平差值L 是否相关？试证明。

答：-111^^2^^^1()(()0T B T T T T T N B PlV B BNbb B Pl L BNbb B E lL L v x xQ x L Q x v Nbb B PQu BNbb P E σ-1-------===-=-=+=+∴==-=σ 2、已知独立观测值L 1、L 2的方差M 1和M 2，求函数211212Y L L L =+的方差。

答：211212112221211212()()Y Y Y L L L L L dL L dL M L L M L M σ=+=++=++3、在相同观测条件下观测A 、B 两个角度，设∠A 观测4测回的权为1，则对∠B 观测9个回合的权是多少？ 答：2021==114A P σσ20σ221941149LB P σ=== 4、已知观测值向量L21的协方差阵为DLL=3112⎡⎤⎢⎥⎣⎦,又知协因数Q12=1-5，试求观测值。

答：111222200211221202011111220122-1===-13=-1-1=529315513125532LL L L L QL L QL L D Q QL L QL L QL L QL l DL PLL QLL P P σσσσσ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=⎡⎤⎢⎥⎛⎫⎡⎤====⎢⎥ ⎪⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦==5 、已求得控制网中P 点误差椭圆参数υE=157°30′、E=1.57dm 和F=1.02dm,已知PB 边坐标方位角αPB=217°30′，SPB=5KM,B 为已知点，求方位角中误差^PA σα和边长相对误差^PAPA S S σ。

6、设某平差问题是按条件平差方法进行的，其法方程为：1210-260-246K K -⎡⎤⎡⎤⎡⎤-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦,求联系数12K K ;求单位权方差20σ。

平差理论及平差基习题集1、在间接平差中，参数X 与平差值L 是否相关？试证明。

答：-111^^2^^^1()(()0T B T T T T T N B PlV B BNbb B Pl L BNbb B E lL L v x xQ x L Q x v Nbb B PQu BNbb P E σ-1-------===-=-=+=+∴==-=σ 2、已知独立观测值L 1、L 2的方差M 1和M 2，求函数211212Y L L L =+的方差。

答：211212112221211212()()Y Y Y L L L L L dL L dL M L L M L M σ=+=++=++3、在相同观测条件下观测A 、B 两个角度，设∠A 观测4测回的权为1，则对∠B 观测9个回合的权是多少？ 答：2021==114A P σσ20σ221941149LB P σ=== 4、已知观测值向量L21的协方差阵为DLL=3112⎡⎤⎢⎥⎣⎦,又知协因数Q12=1-5，试求观测值。

答：111222200211221202011111220122-1===-13=-1-1=529315513125532LL L L L QL L QL L D Q QL L QL L QL L QL l DL PLL QLL P P σσσσσ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=⎡⎤⎢⎥⎛⎫⎡⎤====⎢⎥ ⎪⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦==5 、已求得控制网中P 点误差椭圆参数υE=157°30′、E=1.57dm 和F=1.02dm,已知PB 边坐标方位角αPB=217°30′，SPB=5KM,B 为已知点，求方位角中误差^PA σα和边长相对误差^PAPA S S σ。

6、设某平差问题是按条件平差方法进行的，其法方程为：1210-260-246K K -⎡⎤⎡⎤⎡⎤-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦,求联系数12K K ;求单位权方差20σ。

误差理论与测量平差基础习题集（2）第七章间接平差§ 7-1间接平差原理7.1.01 在间接平差中，独立参数的个数与什么量有关？误差方程和法方程的个数是多少？7.1.02 在某平差问題中，如果多余现测个数少于必要观测个数，此时间接平差中的法方程和条件平差中的法方程的个数哪一个少，为什么？7.1.03 如果某参数的近似值是根据某些现测值推算而得的，那么这些观测值的误差方程的常数项都会等于零吗？7.1.04 在图7-1所示的闭合水准网中，A为已知点（H=10.000m）P1，巨为高程未知点，测得离差及水准路线长度为：h1= 1.352m,S 1=2km h2 =-0.531m，S2 = 2km,h 3 = - 0.826m,S 3 = 1km。

试用间接平差法求各髙差的平差值。

7.1.05 在三角形（图7-2）中，以不等精度测得a =78o 23' 12"，P a=1;B = 85 o 30 '06 " ，R =2;Y =16o 06'32"，P Y =1;S =343o 53'24", P s=1;试用间接平差法求各内角的平差值。

7. 1.06 设在单一附合水准路线（图7-3）中已知A,B两点高程为f H B，路线长为ffi7 IS i, S2,观测高差为h i h2，试用间接平差法写出P点高程平差值的公式7. 1.07在测站0点观测了6个角度（如图7-4所示）,得同精度独立观测值L i=32o 25'18", L 2 =61o 14'36",L a=94o 09'40",L 4 172010'17"L5=93o 39'48", L 6=155o 24'20"已知A方向方位角a A =21o 10'15"，试按间接平差法求各方向方位角的平差值。

Ch07 间接平差__例题例7.1.1 平差原理在一个三角形中，等精度独立观测了三个角，观测值分别为L 1、L 2和L 3。

求此三角形各内角的最或然值。

若能选取两个内角L 1、L 2的平差值【最或然值】作为参数1ˆX 、2ˆX ，则可以建立参数与观测值之间的函数关系式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+--=+=+=+180ˆˆˆˆ2133222111X X v L X v L X v L 称为观测方程 可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+--=-=-=3213222111180ˆˆˆˆL X X v L X v L X v 称为误差方程为了计算方便和计算数值的稳定性，通常引入未知参数的近似值，这一点在实际计算中是非常重要的，令i ii x X X ˆˆ0+= x X X ˆˆ0+=，则上式可写成如下形式： ⎪⎩⎪⎨⎧-++---=--=--=)180(ˆˆ)(ˆ)(ˆ020132130222201111X X L x x v X L x v X L x v 称为误差方程 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=111001B ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-++--=18002013022011X X L X L X L l ，l x B V -=ˆ 也可以称为某种意义上的条件方程（包含改正数、观测值和参数，“条件个数=观测值个数”），每个条件方程中仅只含有一个观测值，且系数为1。

单纯为消除矛盾，1v 、2v 、3v 可有多组解，为此引入最小二乘原则：231][i i v vv ∑==min =PV V T 可求得唯一解。

因此，间接平差是选取与观测值有一定关系的独立未知量作为参数，建立参数与观测值之间的函数关系，按最小二乘原则，求解未知参数的最或然值，再根据观测值与参数间的函数关系，求出观测值的最或然值，故又称为参数平差。

对上述三角形，引入最小二乘原则，要求：231][i i v vv ∑== min =PV V T ，设观测值为等精度独立观测，则有：min)]180(ˆˆ[)](ˆ[)](ˆ[][202013212022220111231=-++---+--+--==∑=X X L x x X L x X L x v vv i i min =PV V T按数学上求自由极值的方法对上式分别求偏导数并令等于零，可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++------=∂∂=-++------=∂∂0)]180(ˆˆ[2)](ˆ[2ˆ][0)]180(ˆˆ[2)](ˆ[2ˆ][020132102122020132101111X X L x x X L x x vv X X L x x X L x xvv 0=V B T=>⎩⎨⎧=-+-+++=-+-+++)2(01802ˆ2ˆ)1(01802ˆˆ23202012131020121L L X X x x L L X X x x 0=-l B Bx B T T（2）×2-(1)=>018023ˆ3321022=-+-++L L L X x=>60313231ˆˆ3212022+-+-==+L L L X X x =>60313132ˆˆ3211011+--==+L L L X X x l B B B x T T 1)(-=， l xB V -=ˆ 代入误差方程式，得到观测值的平差值【最或然值】⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++--=+--+-=+--=60323131ˆ60313231ˆ60313132ˆ321332123211L L L L L L L L L L L L V L L +=ˆ例7.1.2 水准网如图所示的水准网中，A 、B 、C 为已知水准点，高差观测值及路线长度如下： 1h = +1.003m ， 2h = +0.501m ， 3h = +0.503m ， 4h = +0.505m ； 1S =1km ， 2S =2km ， 3S =2km ，4S =1km 。

第十二章 工程控制网间接平差1．试述间接平差和条件平差的异同点。

2．平差中为什么要对平差模型、起算数据、定权的合理性等进行统计假设检验？如何进行检验? 3．除教科书上介绍的统计假设检验以外，你认为在平差中还应进行哪些检验，为什么？4．试推导按方向进行坐标平差时观测方向误差方程式的组成形式，并说明推导的思路和误差方程式的组成规律。

5．写出按角度进行坐标平差时误差方程式的组成形式，并说明测站点和照准点在不同情况下时误差方程式的具体形式。

6．按方向作坐标平差计算时，利用史赖伯约化法则进行约化计算的目的是什么？ 7．为什么要求坐标的近似值应尽量接近平差值，怎样计算才能满足此要求？ 8．证明：(1)在一个测站上自由项之和等于零，即[]01=nl 。

(2)在任意一个三角形中，各角自由项代数和等于该三角形闭合差的反号，即[]w l l -=-左右 。

9．史赖伯约化法则有哪些内容？其中第二法则的等价性是怎样证明的？ 10．为什么要用史赖伯法则对误差方程式进行约化，如何约化？ 11．约化误差方程式是否还具有误差方程式的原有属性，为什么？ 12．简要推导出一个测站上近似定向角Z K 及其改正数dZ k 的计算式。

13．解算法方程式求解未知数的方法一般有几种？利用权系数求解未知数有什么优点？它的原理是什么？14．什么叫权系数？怎样计算权系数？权系数有何作用？ 15．试述按方向进行坐标平差的计算步骤？16．测边网和边角网按坐标平差时怎样列立误差方程式？ 17．试述测边网和边角网坐标平差的步骤和方法。

18．两端测有连接角的线形锁可以采用以下三种平差方法： (1)严密乎差；(2)舍弃连接角，将三角形闭合差平均分配后便计算各点的坐标； (3)不舍弃连接角，作近似乎差。

你认为在等级控制网平差中应采用何种方法（简要说明理由）？19．边角网定权的方法有哪几种？各种方法有何优缺点？20．怎样确定导线网的边角权？它和边角同测网确定权的方法有何不同？21．在列出三角网的误差方程式的具体形式前有哪些辅助计算？每一项计算的具体要求是什么？ 22．水准网和三角高程网各是如何定权的？23．导线网相关间接平差法的基本概念是什么？试述相关观测值及其协因素阵计算公式的推导过程。