北京市首师大附中2020～2021年初二八年级(上册)数学创新人才选拔试卷 PDF版无答案

2020-2021北京市首都师范大学附属中学初二数学上期中第一次模拟试题含答案一、选择题1．下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个2．如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1=∠2=44°，则∠B为（）A．66°B．104°C．114°D．124°3．若关于x的方程333x m mx x++--=3的解为正数，则m的取值范围是（）A．m＜92B．m＜92且m≠32C．m＞﹣94D．m＞﹣94且m≠﹣344．如图是三个等边三角形随意摆放的图形，则∠1＋∠2＋∠3等于（）A．90°B．120°C．150°D．180°5．已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA，过E作EF⊥AB，F为垂足．下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD=180°；③AD=AE=EC；④BA+BC=2BF；其中正确的是（）A ．①②③B ．①③④C ．①②④D ．①②③④6．如图，在△ABC 和△CDE 中，若∠ACB＝∠CED＝90°，AB ＝CD ，BC ＝DE ，则下列结论中不正确的是( )A ．△ABC≌△CDEB ．CE ＝AC C ．AB⊥CD D ．E 为BC 的中点7．如图，在等腰∆ABC 中，AB=AC ，∠BAC=50°，∠BAC 的平分线与AB 的垂直平分线交于点O 、点C 沿EF 折叠后与点O 重合，则∠CEF 的度数是（ ）A ．60°B ．55°C ．50°D ．45°8．如图，在ABC ∆中，64A ∠=︒，ABC ∠与ACD ∠的平分线交于点1A ，得1A ∠；1A BC ∠与1A CD ∠的平分线相交于点2A ，得2A ∠；……；1n A BC -∠与1n A CD -∠的平分线交于点n A ，要使n A ∠的度数为整数，则n 的最大值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7 9．已知三角形两边的长分别是3和7，则此三角形第三边的长可能是（ ） A ．1 B ．2 C ．8 D ．11 10．若x ﹣m 与x+3的乘积中不含x 的一次项，则m 的值为（ ） A ．3B ．1C ．0D ．﹣311．把代数式2x 2﹣18分解因式，结果正确的是（ ）A ．2（x 2﹣9）B ．2（x ﹣3）2C ．2（x +3）（x ﹣3）D ．2（x +9）（x ﹣9）12．如图，△ABC 中，∠B ＝60°，AB ＝AC ，BC ＝3，则△ABC 的周长为（ ）A ．9B ．8C ．6D ．12二、填空题13．某商人经营甲、乙两种商品，每件甲种商品的利润率为40％，每件乙种商品的利润率为60％，当售出的乙种商品比售出的甲种商品的件数多50％时，这个商人得到的总利润率为50％；那么当售出的甲、乙两种商品的件数相等时，这个商人的总利润率是____．(利润率=利润÷成本)14．如图，在ABC ∆中，B Ð与C ∠的平分线交于点P .若130BPC ∠=︒，则A ∠=______．15．使分式的值为0，这时x=_____．16．若226m n -=-，且3m n -=-，则m n + =____． 17．分解因式：2x 2﹣8=_____________18．若分式15x -有意义，则实数x 的取值范围是_______． 19．若2x+5y ﹣3=0，则4x •32y 的值为________．20．如图，△ABC 中．点D 在BC 边上，BD=AD=AC ，E 为CD 的中点．若∠CAE=16°，则∠B 为_____度．三、解答题21．解方程21212339x x x -=+-- 22．解方程：（1）2102x x-=- （2）2133193x x x +=-- 23．（1）如图1，点A 为线段BC 外一动点，且BC=a ，AB=b ，填空：当点A 位于 时，线段AC 的长取到最大值，则最大值为 ；（用含a 、b 的式子表示）．（2）如图2，若点A为线段BC外一动点，且BC=4，AB=2，分别以AB，AC为边，作等边ABD△和等边ACE△，连接CD，BE.①图中与线段BE相等的线段是线段，并说明理由；②直接写出线段BE长的最大值为．（3）如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，且PA=2，PM=PB，∠BPM=90°，请直接写出线段AM长的最大值为，及此时点P的坐标为．（提示：等腰直角三角形的三边长a、b、c满足a：b：c=1：1：2）24．已知 a m=2，a n=4，a k=32（a≠0）．（1）求a3m+2n﹣k的值；（2）求k﹣3m﹣n的值．25．先化简，再求值：22144(1)11x xx x-+-÷--，从1-，1，2，3中选择一个合适的数代入并求值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】试题分析：A选项既是轴对称图形，也是中心对称图形；B选项中该图形是轴对称图形不是中心对称图形；C选项中既是中心对称图形又是轴对称图形；D选项中是中心对称图形又是轴对称图形.故选B．考点: 1.轴对称图形；2.中心对称图形．2．C解析：C【解析】【分析】根据平行四边形性质和折叠性质得∠BAC=∠ACD=∠B′AC=12∠1，再根据三角形内角和定理可得.【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ACD=∠BAC，由折叠的性质得：∠BAC=∠B′AC，∴∠BAC=∠ACD=∠B′AC=12∠1=22°∴∠B=180°-∠2-∠BAC=180°-44°-22°=114°；故选C．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质，求出∠BAC的度数是解决问题的关键．3．B解析：B【解析】【分析】【详解】解：去分母得：x+m﹣3m=3x﹣9，整理得：2x=﹣2m+9，解得：x=292m-+，已知关于x的方程333x m mx x++--=3的解为正数，所以﹣2m+9＞0，解得m＜92，当x=3时，x=292m-+=3，解得：m=32，所以m的取值范围是：m＜92且m≠32．故答案选B．4．D解析：D【解析】【分析】先根据图中是三个等边三角形可知三角形各内角等于60°，用△ABC各内角的度数表示出∠1，∠2，∠3，再根据三角形内角和定理，即可得出结论．【详解】∵图中是三个等边三角形，∴∠1=180°−60°−∠ABC=120°−∠ABC，∠2=180°−60°−∠ACB=120°−∠ACB，∠3=180°−60°−∠BAC=120°−∠BAC，∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，∴∠1+∠2+∠3=360°−180°=180°，故选D．【点睛】本题主要考查等边三角形的性质定理，三角形内角和定理，熟练掌握上述定理，是解题的关键．5．D解析：D【解析】【分析】根据SAS证△ABD≌△EBC，可得∠BCE＝∠BDA，结合∠BCD＝∠BDC可得①②正确；根据角的和差以及三角形外角的性质可得∠DCE＝∠DAE，即AE＝EC，由AD＝EC，即可得③正确；过E作EG⊥BC于G点，证明Rt△BEG≌Rt△BEF和Rt△CEG≌Rt△AEF，得到BG＝BF和AF＝CG，利用线段和差即可得到④正确．【详解】解：①∵BD为△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠CBD，∴在△ABD和△EBC中，BD BCABD CBD BE BA⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABD≌△EBC（SAS），①正确；②∵BD为△ABC的角平分线，BD＝BC，BE＝BA，∴∠BCD＝∠BDC＝∠BAE＝∠BEA，∵△ABD≌△EBC，∴∠BCE＝∠BDA，∴∠BCE＋∠BCD＝∠BDA＋∠BDC＝180°，②正确；③∵∠BCE＝∠BDA，∠BCE＝∠BCD＋∠DCE，∠BDA＝∠DAE＋∠BEA，∠BCD＝∠BEA，∴∠DCE＝∠DAE，∴△ACE为等腰三角形，∴AE＝EC，∵△ABD≌△EBC，∴AD＝EC，∴AD＝AE＝EC．③正确；④过E作EG⊥BC于G点，∵E是∠ABC的角平分线BD上的点，且EF⊥AB，∴EF＝EG（角平分线上的点到角的两边的距离相等），∵在Rt△BEG和Rt△BEF中，BE BE EF EG=⎧⎨=⎩，∴Rt△BEG≌Rt△BEF（HL），∴BG＝BF，∵在Rt△CEG和Rt△AFE中，AE CE EF EG=⎧⎨=⎩，∴Rt△CEG≌Rt△AEF（HL），∴AF＝CG，∴BA＋BC＝BF＋FA＋BG−CG＝BF＋BG＝2BF，④正确．故选D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和全等三角形的对应边、对应角相等的性质，本题中熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应角、对应边相等的性质是解题的关键．6．D解析：D 【解析】 【分析】首先证明△ABC ≌△CDE ，推出CE=AC ，∠D=∠B ，由∠D+∠DCE=90°，推出∠B+∠DCE=90°，推出CD ⊥AB ，即可一一判断． 【详解】在Rt △ABC 和Rt △CDE 中，AB CDBC DE =⎧⎨=⎩， ∴△ABC ≌△CDE ， ∴CE =AC ，∠D =∠B ，90D DCE ∠+∠=o Q ， 90B DCE ∴∠+∠=o ，∴CD ⊥AB ，D ：E 为BC 的中点无法证明 故A 、B 、C.正确， 故选. D 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于基础题．7．C解析：C 【解析】 【分析】连接OB ，OC ，先求出∠BAO=25°，进而求出∠OBC=40°，求出∠COE=∠OCB=40°，最后根据等腰三角形的性质，问题即可解决． 【详解】如图，连接OB ，∵∠BAC=50°，AO 为∠BAC 的平分线，∴∠BAO=12∠BAC=12×50°=25°.又∵AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB=65°.∵DO 是AB 的垂直平分线，∴OA=OB ，∴∠ABO=∠BAO=25°，∴∠OBC=∠ABC−∠ABO=65°−25°=40°.∵AO 为∠BAC 的平分线，AB=AC ，∴直线AO 垂直平分BC ，∴OB=OC ，∴∠OCB=∠OBC=40°，∵将∠C 沿EF(E 在BC 上,F 在AC 上)折叠，点C 与点O 恰好重合，∴OE=CE.∴∠COE=∠OCB=40°；在△OCE中,∠OEC=180°−∠COE−∠OCB=180°−40°−40°=100°∴∠CEF=12∠CEO=50°.故选：C.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质的运用、垂直平分线性质的运用、折叠的性质，解答时运用等腰三角形的性质和垂直平分线的性质是解答的关键.8．C解析：C【解析】【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1+∠A1BC，根据角平分线的定义可得∠A1BC=12∠ABC，∠A1CD=12∠ACD，然后整理得到∠A1=12∠A，由∠A1CD=∠A1+∠A1BC，∠ACD=∠ABC+∠A，而A1B、A1C分别平分∠ABC和∠ACD，得到∠ACD=2∠A1CD，∠ABC=2∠A1BC，于是有∠A=2∠A1，同理可得∠A1=2∠A2，即∠A=22∠A2，因此找出规律．【详解】由三角形的外角性质得，∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1+∠A1BC，∵∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∴∠A1BC=12∠ABC，∠A1CD=12∠ACD，∴∠A1+∠A1BC=12（∠A+∠ABC）=12∠A+∠A1BC，∴∠A1=12∠A=12×64°=32°；∵A1B、A1C分别平分∠ABC和∠ACD，∴∠ACD=2∠A1CD，∠ABC=2∠A1BC，而∠A1CD=∠A1+∠A1BC，∠ACD=∠ABC+∠A，∴∠A=2∠A1，∴∠A1=12∠A，同理可得∠A1=2∠A2，∴∠A2=14∠A，∴∠A=2n∠A n，∴∠A n=(12)n∠A=642n，∵∠A n的度数为整数，∵n=6．故选C.【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图然后求出后一个角是前一个角的12是解题的关键．9．C解析：C【解析】【分析】根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可确定出第三边的范围，据此根据选项即可判断.【详解】设第三边长为x，则有7-3<x<7+3，即4<x<10，观察只有C选项符合，故选C.【点睛】本题考查了三角形三边的关系，熟练掌握三角形三边之间的关系是解题的关键. 10．A解析：A【解析】【分析】直接利用多项式乘以多项式运算法则计算，再根据条件可得3﹣m＝0，再解得出答案．【详解】解：（x﹣m）（x+3）＝x2+3x﹣mx﹣3m＝x2+（3﹣m）x﹣3m，∵乘积中不含x的一次项，∴3﹣m＝0，解得：m＝3，故选：A．【点睛】此题考查了多项式乘以多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．11．C解析：C【解析】试题分析：首先提取公因式2，进而利用平方差公式分解因式得出即可．解：2x2﹣18=2（x2﹣9）=2（x+3）（x﹣3）．故选C．考点：提公因式法与公式法的综合运用．12．A解析：A【解析】【分析】根据∠B＝60°，AB＝AC，即可判定△ABC为等边三角形，由BC＝3，即可求出△ABC的周长．【详解】在△ABC中，∵∠B＝60°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝60°，∴∠A＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴△ABC为等边三角形，∵BC＝3，∴△ABC的周长为：3BC＝9，故选A．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，属于基础题，关键是根据已知条件判定三角形为等边三角形．二、填空题13．48％【解析】【分析】根据题意可设甲乙的进价甲售出的件数为未知数根据售出的乙种商品比售出的甲种商品的件数多50时这个商人得到的总利润率为50得到甲乙进价之间的关系进而求得售出的甲乙两种商品的件数相等解析：48％【解析】【分析】根据题意可设甲，乙的进价，甲售出的件数为未知数，根据售出的乙种商品比售出的甲种商品的件数多50%时，这个商人得到的总利润率为50%得到甲乙进价之间的关系，进而求得售出的甲，乙两种商品的件数相等时，这个商人的总利润率即可．【详解】解：设甲进价为a元，则售出价为1.4a元；乙的进价为b元，则售出价为1.6b元；若售出甲x件，则售出乙1.5x件，即有0.40.6 1.50.51.5ax b xax bx+⨯=+，解得a=1.5b，∴售出的甲，乙两种商品的件数相等，均为y 时，这个商人的总利润率为： 0.40.60.40.6 1.248%2.5ay by a b b ay by a b b++===++. 故答案为：48%．【点睛】本题考查分式方程的应用；根据利润率得到相应的等量关系是解决本题的关键；设出所需的多个未知数并在解答过程中消去是解决本题的难点．14．80°【解析】【分析】根据三角形内角和可以求得∠PBC+∠PCB 的度数再根据角平分线的定义求出∠ABC+∠ACB 最后利用三角形内角和定理解答即可【详解】解：在△PBC 中∠BPC=130°∴∠PBC+解析：80°【解析】【分析】根据三角形内角和可以求得∠PBC+∠PCB 的度数，再根据角平分线的定义，求出∠ABC+∠ACB ，最后利用三角形内角和定理解答即可.【详解】解：在△PBC 中，∠BPC=130°，∴∠PBC+∠PCB=180°-130°=50°.∵PB 、PC 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，∴∠ABC+∠ACB=2（∠PBC+∠PCB ）=2×50°=100°，在△ABC 中，∠A=180°-（∠ABC+∠ACB ）=180°-100°=80°.故答案为80°.【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理和角平分线的定义，掌握三角形的内角和定理和角平分线的定义是解题的关键.15．1【解析】试题分析：根据题意可知这是分式方程x2-1x+1＝0然后根据分式方程的解法分解因式后约分可得x-1=0解之得x=1经检验可知x=1是分式方程的解答案为1考点：分式方程的解法 解析：1【解析】试题分析：根据题意可知这是分式方程，＝0，然后根据分式方程的解法分解因式后约分可得x-1=0，解之得x=1，经检验可知x=1是分式方程的解.答案为1.考点：分式方程的解法 16．2【解析】【分析】将利用平方差公式变形将m-n=3代入计算即可求出m+n 的值【详解】解：∵m2-n2=（m+n ）（m-n ）=6且m-n=3∴m+n=2【点睛】此题考查了利用平方差公式因式分解熟练掌握解析：2【解析】【分析】将22m n -利用平方差公式变形，将m-n=3代入计算即可求出m+n 的值。

2020-2021学年北京市西城区北京师范大学附属中学八上期中数学模拟试卷一、选择题（共10小题；共40分）1. 在下列“禁毒”“和平”“志愿者”“节水”这四个标志中，属于轴对称图形的是A. B.C. D.2. 下列说法正确的是A. 两个等腰直角三角形全等B. 面积相等的两个三角形全等C. 完全重合的两个三角形全等D. 所有的等边三角形全等3. 点关于轴对称的点的坐标为B. D.4. 如图所示，，，，点，，在同一条直线上，则图中的度数是A. B. C. D.5. 下列各式分解因式正确的是A.B.C.D.6. 如图，直线是四边形的对称轴，点是直线上的点，下列判断错误的是A. B.C. D.7. 到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的A. 三条中线的交点B. 三条高的交点C. 三条边的垂直平分线的交点D. 三条角平分线的交点8. 如图，中，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，交于点，连接．则的度数为A. B. C. D.9. 平面直角坐标系中，已知，，若在坐标轴上取点，使为等腰三角形，则满足条件的点的个数是A. B. C. D.10. 如图，，平分，且．若点，分别在，上，且为等边三角形，则满足上述条件的有A. 个B. 个C. 个D. 个以上二、填空题（共8小题；共32分）11. 已知一个等腰三角形的两边长分别为和，则该等腰三角形的周长是．12. 一个多边形的内角和等于它的外角和，这个多边形是边形．13. 如果，且，则的值是．14. 如图，在中，，，的垂直平分线交与点，交于点，则的周长是．15. 若等腰三角形的一个角等于，则它的底角为．16. 如图，中，，平分，，点，分别为，上的动点，则的最小值是．17. 已知，，则．18. 如图，过边长为的等边的边上一点，作于，为延长线上一点，当时，连接交边于，则的长为．三、解答题（共11小题；共77分）19. 因式分解：．20. 因式分解；．21. 如图，已知，，．（1）作关于轴的对称图形，写出点的坐标；（2）直线平行于轴，在直线上求作一点，使得的周长最小，请在图中画出点．22. 如图，长方形台球桌上有两个球，．（1）请画出一条路径，使得球撞击台球桌边反弹后，正好撞到球；（2）请画出一条路径，使得球撞击台球桌边，经过两次反弹后，正好撞到球．23. 如图，已知点，，，在一条直线上，，，．（1）求证：；（2）若，，求的长．24. 如图，已知中，，，是高，与相交于点．（1）求证：；（2）若，求的度数．25. 对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图，可以得到这个等式，请解答下列问题．（1）写出图中所表示的数学等式；（2）根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式；（3）利用（）中得到的结论，解决下面的问题：若，，则．（4）小明同学用图中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张长宽分别为，的长方形纸片拼出一个面积为的长方形，则．26. 我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形．（1）如图，在中，点，分别在，上，设，相交于点，若，，请你写出图中一个与相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形?（2）在中，如果是不等于的锐角，点，分别在，上，且．探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论．27. 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”.如：，，，因此，，都是“神秘数”．（1）请说明是否为“神秘数”；（2）下面是两个同学演算后的发现，请选择一个“发现”，判断真假，并说明理由．①小能发现：两个连续偶数和（其中取非负整数）构造的“神秘数”也是的倍数．②小仁发现：是“神秘数”．28. 在我们认识的多边形中，有很多轴对称图形．有些多边形，边数不同对称轴的条数也不同；有些多边形，边数相同但却有不同数目的对称轴．回答下列问题：（1）非等边的等腰三角形有条对称轴，非正方形的长方形有条对称轴，等边三角形有条对称轴；（2）观察下列一组凸多边形（实线画出），它们的共同点是只有条对称轴，其中图和图都可以看作由图修改得到的，仿照类似的修改方式，请你在图和图中，分别修改图和图，得到一个只有条对称轴的凸五边形，并用实线画出所得的凸五边形；（3）小明希望构造出一个恰好有条对称轴的凸六边形，于是他选择修改长方形，图中是他没有完成的图形，请用实线帮他补完整个图形；（4）请你画一个恰好有条对称轴的凸六边形，并用虚线标出对称轴．29. 几何探究题．（1）如图，点为线段外一动点，且，．填空：当点位于时，线段的长取到最大值，且最大值为（用含，的式子表示）．（2）如图，若点为线段外一动点，且，，分别以，为边，作等边和等边，连接，．①图中与线段相等的线段是线段，并说明理由；②直接写出线段长的最大值为．（3）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点为线段外一动点，且，，，请直接写出线段长的最大值为，及此时点的坐标为．（提示：等腰直角三角形的三边长，，满足）答案第一部分1. B2. C 【解析】A．如图：图中的两个等腰直角三角形不全等，故本选项错误；B．当一个三角形的底是，对应的高是，而另一个三角形的底是，对应的高是，两三角形的面积相等，但是两三角形不全等，故本选项错误；C．能够完全重合的两个三角形全等，故本选项正确；D．两个等边三角形的边不一定相等，故不一定全等，故本选项错误．3. B 【解析】点关于轴对称的点的坐标为：．4. D 【解析】，，，，．5. D【解析】A．，故此选项因式分解错误，不符合题意；B．，故此选项因式分解错误，不符合题意；C．，故此选项因式分解错误，不符合题意；D．，故此选项因式分解正确，符合题意．6. D 【解析】直线是四边形的对称轴，点是直线上的点，，，．7. D 【解析】角的平分线上的点到角的两边的距离相等，到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点．8. A9. C 【解析】如图，①以为圆心，为半径画圆，交坐标轴于点，，，，得到以为顶点等腰，，；②以为圆心，为半径画圆，交坐标轴于点，，，，得到以为顶点的等腰，，；③作垂直平分线，交轴于点，得到以为顶点的等腰，符合条件的点共个．10. D【解析】如图在，上截取，作．平分，，，，是等边三角形，，，，在和中，．，，是等边三角形，只要，就是等边三角形，故这样的三角形有无数个．第二部分11.12. 四【解析】多边形的外角和为，多边形的内角和等于它的外角和，则内角和为，根据多边的内角和公式，代入得：，解得，故为四边形．13.14.【解析】是的垂直平分线，．的周长为：．15.【解析】为三角形的顶角，底角为：．16.【解析】如图：过点作于点，与交于点．在中，，，平分，，，，，平分，点，分别为，的动点，的最小值是，最小值为：．17.【解析】，，，．【解析】过作交于．，是等边三角形，，，，．是等边三角形．．，．，，．在和中，，，，，，．第三部分19. ．20.21. （1）如图所示：．（2）如图所示：点即为所求．22. （1）如图，点即为所求．（2）如图，点，点即为所求．23. （1）在和中，，，．（2），．．．，．．．．24. （1），，，是的两条高线，，．（2），，，．25. （1）【解析】正方形的面积；大正方形的面积．（2）（3）【解析】（4）【解析】由题可知，所拼图形的面积为：，，，．．26. （1），，，，与相等的角是，，四边形是等对边四边形，证明如下：如图，作于点，作交延长线于点．，，，，，，，，，又，，，，四边形是等对边四边形．（2）存在等对边四边形，理由如下：如图，作于点，作交延长线于点．，，，，，，，，，，，又，，，，四边形是等对边四边形．27. （1）是“神秘数”，理由如下：，是“神秘数”．（2）当选择①时，，由和构造的“神秘数”是的倍数，且是奇数倍．当选择②时，是“神秘数”是假命题，理由：令，得，为须整数，不符合实际，舍去，是“神秘数"错误．28. （1）；；【解析】非等边的等腰三角形有条对称轴，非正方形的长方形有条对称轴，等边三角形有条对称轴．（2）恰好有条对称轴的凸五边形如图中所示．（3）恰好有条对称轴的凸六边形如图所示．（4）恰好有条对称轴的凸六边形如图所示．29. （1）的延长线上；【解析】点线段外一动点，且，，当点位于的延长线上时，线段的长取得最大值，且最大值为．（2）①理由：与等边三角形，，，，．，在与中，，．②【解析】② 线段长的最大值线段的最大值，由（）知，当线段的长取得最大值时，点在的延长线上，最大值为．（3）；或【解析】如图．将绕着点顺时针旋转得到，连接，则是等腰直角三角形．，．的坐标为，点的坐标为，，，．线段长的最大值线段长的最大值，当在线段的延长线时，线段取得最大值，最大值，，最大值为．如图，过作轴于．是等腰直角三角形，，，．如图中，根据对称性可知当点在第四象限时，时，也满足条件．综上所述，满足条件的点坐标或，的最大值为．。

重点高中提前招生模拟考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一.选择题（本大题共12小题,每小题3分,共36分.在每小题所给出的四个选项中,只有一项是正确的,请用2B 铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑．．．．．．．．．．．．．.．） 1.16的平方根是（ ）A.4B.－4C.±4D.±82.下列运算正确的是（ ）A ．743)(x x =B ．532)(x x x =⋅-C ．34)(x x x -=÷- D. 23x x x += 3.下列美丽的图案,既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个 4.如图,桌面上有一个一次性纸杯,它的俯视图应是（ ）5.某学习小组为了解本城市500万成年人中大约有多少人吸烟,随机调查了50个成年人,结果其中有10个成年人吸烟.对于这个数据收集与处理的问题,下列说法正确的是（ ）A.该调查的方式是普查B.本地区只有40个成年人不吸烟C.样本容量是50D.本城市一定有100万人吸烟6 杭州银泰百货对上周女装的销售情况进行了统计，如下表所示：A B C D经理决定本周进女装时多进一些红色的，可用来解释这一现象的统计知识是（ ） A ．平均数B ． 众数C ．中位数D ．方差7.两圆的半径分别为3和7,圆心距为7,则两圆的位置关系是（ ） A. 内切 B.相交 C.外切 D.外离8.在△ABC 中,D 、E 分别是边AB 、AC 的中点,若BC ＝5,则DE 的长是（ ） A.2.5B.5C.10D.159.如右图,一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过A 、B 两点, 则不等式kx ＋b < 0的解集是（ ） A.x ＜0 B. 0＜ x ＜１ C.x ＜１ D. x ＞１10.某剧场为希望工程义演的文艺表演有60元和100元两种票价,某团体需购买140张,其中票价为100元的票数不少于票价为60元的票数的两倍,则购买这两种票最少共需要（ ）A.12120元B.12140元C.12160元D.12200元 11.若2-=+b a ，且a ≥2b ，则（ ）A.a b 有最小值21 B.a b有最大值1 C.b a 有最大值2 D.b a 有最小值98- 12.在矩形ABCD 中，有一个菱形BFDE （点E ，F 分别在线段AB ，CD 上），记它们的面积分别为ABCD S 和BFDE S ，现给出下列命题： ①若232+=BFDE ABCD S S ，则33tan =∠EDF ； ②若EF BD DE ⋅=2,则DF=2AD.则（ ）A. ①是真命题，②是真命题B. ①是真命题，②是假命题C. ①是假命题，②是真命题D. ①是假命题，②是假命题二.填空题（本大题共6小题,每小题4分,共计24分.请把答案直接填写在答题．．卡相应位置．．．．．上.） 13.函数2+=x y 中,自变量x 的取值范围是 .14.农科院对甲、乙两种甜玉米各10块试验田进行试验后,得到甲、乙两个品种每公顷的平均产量相同,而甲、乙两个品种产量的方差分别为,,则产量较为稳定的品种是_____________（填“甲”或“乙”）.15.如图,早上10点小东测得某树的影长为2m,到了下午5时又测得该树的影长为8m,若两次日照的光线互相垂直,则树的高度约为_________m.16.已知圆锥的底面半径为1cm,母线长为1cm,则它的侧面积是 cm 2. 17.如图,在平面直角坐标系中,A ⊙与y A ⊙于M 、N 两点,若点M 的坐标是(42)--，,则弦M N 的长为 .18.如图,已知△OP 1A 1△、A 1P 2A 2、△A 2P 3A 3……均为等腰直角三角形,直角顶点P 1、P 2 、P 3……在函数4y x=（x ＞0）图象上,点A 1、A 2、A 3……在x轴的正半轴上,则点P 2011的横坐标为 .三.解答题（本大题共10小题,共90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19.(本题满分16分)20.01S ≈甲20.002S ≈乙10下午5时早上10时第15题第17题（1）计算:︒-+---30cos 4)21(|1|123（2）化简2)1(111-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛--+x x x x x20.(本小题满分12分）有A 、B 两个黑布袋,A 布袋中有两个完全相同的小球,分别标有数字1和2;B 布袋中有三个完全相同的小球,分别标有数字2-,3-和－4.小明从A 布袋中随机取出一个小球,记录其标有的数字为x,再从B 布袋中随机取出一个小球,记录其标有的数字为y,这样就确定点Q 的一个坐标为(x,y ). （1）用列表或画树状图的方法写出点Q 的所有可能坐标; （2）求点Q 落在直线y =2x --上的概率.21.(本题满分12分）如图,一辆汽车在一个十字路口遇到红灯刹车停下,汽车里的驾驶员看地面的斑马线前后两端的视角分别是∠DCA ＝30°和∠DCB ＝60°,如果斑马线的宽度是AB ＝3米,驾驶员与车头的距离是0.8米,这时汽车车头与斑马线的距离x 是多少?22.(本题满分12分）已知:如图,AB 是⊙O 的直径,C 、D 为⊙O 上两点,CF ⊥AB 于点F ,CE ⊥AD 的延长线于点E ,且 CE ＝CF . （1）求证:CE 是⊙O 的切线;（2）若AD ＝CD ＝6,求四边形ABCD 的面积.23.(本题满分12分）已知在图1、2、3中AC 均平分∠MAN.⑴ 在图1中,若∠MAN =120°,∠ABC =∠ADC =90°,我们可得结论:AB +AD =AC ; 在图2中,若∠MAN =120°,∠ABC +∠ADC =180°,则上面的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由; （2）在图3中:（只要填空,不需要证明）.①若∠MAN =60°,∠ABC +∠ADC =180°,则AB +AD = AC ;②若∠MAN =α（0°＜α＜180°）,∠ABC +∠ADC =180°,则AB +AD = AC （用含α的三角函数表示）.24.(本题满分12分）有六个学生分成甲、乙两组（每组三个人）,分乘两辆出租车同时从学校出发去距学校60km 的博物馆参观,10分钟后到达距离学校12km 处有一辆汽车出现故障,接着正常行驶的一辆车先把第一批学生送到博物馆再回头接第二批学生,同时第二批学生步行12km 后停下休息10分钟恰好与回头接他们的小汽车相遇,当第二批学生到达博物馆时,恰好已到原计划时间.设汽车载人和空载时的速度分别保持不变,学生步行速度不变,汽车离开学校的路程s （千米）与汽车行驶时间t （分钟）之间的函数关系如图,假设学生上下车时间忽略不计. (1)汽车载人时的速度为_______km/min;第一批学生到达博物馆用了_____分钟;AM NBD CCABBNNMMD D AC第23题图1 第23题图2第23题图3原计划从学校出发到达博物馆的时间是______分钟; (2)求汽车在回头接第二批学生途中（即空载时）的速度；(3)假设学生在步行途中不休息且步行速度每分钟减小0.04km,汽车载人时和空载时速度不变,问能否经过合理的安排,使得学生从学校出发全部到达目的地的时间比原计划时间早10分钟？如果能,请简要说出方案,并通过计算说明;如果不能,简要说明理由.25.(本题满分14分）如图,Rt △AOB 中,∠A ＝90°,以O 为坐标原点建立直角坐标系,使点A 在x 轴正半轴上,OA ＝2,AB ＝8,点C 为AB 边的中点,抛物线的顶点是原点O ,且经过C 点.（1）填空:直线OC 的解析式为 _______ ; 抛物线的解析式为 _______ ;（2）现将该抛物线沿着线段OC 移动,使其顶点M 始终在线段OC 上（包括端点O 、C ）,抛物线与y 轴的交点为D ,与AB 边的交点为E ;①是否存在这样的点D ,使四边形BDOC 为平行四边形？如存在,求出此时抛物线的解析式;如不存在,说明理由;②设△BOE 的面积为S ,求S 的取值范围.数学参考答案及评分意见一．选择题：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C B C B C B B A D C CA二．填空题（本大题共6小题，每小题4分，共计24分.）13.x ≥-2 14.甲15.4 16.π 17.3 18.2011220102+三.解答题:19.(本题满分16分) （1）︒-+---30cos 4)21(|1|123＝23－1＋8－23………………………………6分=7……………………………………………………8分（2）2)1(111-÷⎪⎭⎫⎝⎛--+x x x x x ＝)1(122---x x x x ×)1(-x ………………………………5分＝xx-1………………………………8分20.(本小题满分12分）（1）………………………………6分或…………………………6分 在直线y =2x --上的点Q（2）落有:(1,-3);(2,-4)∴P=62=31………………………………12分 21.解：如图,∵CD ∥AB,∴∠CAB=30°,∠CBF=60°; ……………………2分∴∠BCA=60-30=30°,即∠BAC=∠BCA; ………………………………4分 ∴BC=AB=3米; ………………………………6分Rt △BCF 中,∠CBF=3米,∠CBF=60°; ………………………………8分 ∴BF= BC=1.5米; ………………………………10分 故x=BF-EF=0.7米. ………………………………12分 22.（1）连结OC .∵CF ⊥AB ,CE ⊥AD ,且CE=CF ∴∠CAE =∠CAB ∵ OC =OA ∴ ∠CAB ＝∠O CA ∴∠CAE ＝∠O CA∴∠O CA ＋∠ECA ＝∠CAE ＋∠ECA ＝90°……………………4分 又∵OC 是⊙O 的半径∴CE 是⊙O 的切线………………………………6分 （2）∵AD =CD∴∠DAC =∠DCA =∠CAB ∴DC //AB ∵∠CAE ＝∠O CA ∴OC//AD∴四边形AOCD 是平行四边形∴OC =AD =6，AB ＝12重点高中提前招生模拟考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．不等式的解集是（）A．﹣＜x≤2 B．﹣3＜x≤2 C．x≥2 D．x＜﹣32．一个质地均匀的正方体骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，将骰子抛掷两次，掷第一次，将朝上一面的点数记为x，掷第二次，将朝上一面的点数记为y，则点（x，y）落在直线y=﹣x+5上的概率为（）A．B．C．D．3．如图所示，在正方形铁皮中，剪下一个圆和一个扇形，使余料尽量少．用圆做圆锥的底面，用扇形做圆锥的侧面，正好围成一个圆锥，若圆的半径为r，扇形的半径为R，那么（）A．R=2r B．R=r C．R=3r D．R=4r4．如图所示，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的恒等式为（）A．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2B．（a+b）2=a2+2ab+b2C．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）D．a2+ab=a（a+b）5．若直线x+2y=2m与直线2x+y=2m+3（m为常数）的交点在第四象限，则整数m的值为（）A．﹣3，﹣2，﹣1，0 B．﹣2，﹣1，0，1 C．﹣1，0，1，2 D．0，1，2，3 二、填空题（每小题4分，共24分）6．定义新运算：a⊕b=，则函数y=3⊕x的图象大致是．7．|π﹣3.14|+sin30°+3.14﹣8=．8．函数y=的自变量x的取值范围是．9．将边长为a的正三角形各边三等分，以这六个分点为顶点构成一个正六边形，则这个正六边形的面积为．10．如图，AB是⊙O的直径，C，D为⊙0上的两点，若∠CDB=30°，则∠ABC的度数为，cos∠ABC=．11．已知实数x，y满足x2+3x+y﹣3=0，则x+y的最大值为．12．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，它有一定的规律．若把第一个数记为a1，第二数记为a2，…，第n个数记为a n．计算a2﹣a1，a3﹣a2，a4﹣a3，…，由此推算a10﹣a9=，a2012=．三．解答题：（共52分）13．先化简：÷﹣，然后在0，1，2，3中选一个你认为合格的a值，代入求值．1012•桃源县校级自主招生）关于x的一元二次议程x2﹣x+p+1=0有两个实数根x1，x2．（1）求p的取值范围．（2）[1+x1（1﹣x2）][1+x2（1﹣x1）]=9，求p的值．15．某服装厂批发应夏季T恤衫，其单价y（元）与批发数量x（件）（x为正整数）之间的函数关系如图所示，（1）直接写出y与x的函数关系式；（2）一个批发商一次购进250件T恤衫，所花的钱数是多少元？（其他费用不计）；（3）若每件T恤衫的成本价是20元，当100＜x≤400件，（x为正整数）时，求服装厂所获利润w （元）与x（件）之间的函数关系式，并求一次批发多少件时所获利润最大，最大利润是多少？16．如图，抛物线y=ax2+c（a＞0）经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底AD在x轴上，A点到原点的距离为2，梯形的高为3，C点到y轴的距离为1，（1）求抛物线的解析式；（2）点M为y轴上的任意一点，求点M到A，B两点的距离之和的最小值及此时点M的坐标；（3）在第（2）的结论下，抛物线上的P的使S△PAD=S△ABM成立，求点P的坐标．1012•桃源县校级自主招生）如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线y=﹣+b交折线OAB于点E．记△ODE的面积为S．（1）当点E在线段OA上时，求S与b的函数关系式；并求出b的范围；（2）当点E在线段AB上时，求S与b的函数关系式；并求出b的范围；（3）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA1B1C1，试探究OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题1．不等式的解集是（）A．﹣＜x≤2 B．﹣3＜x≤2 C．x≥2 D．x＜﹣3考点：解一元一次不等式组．分析：先解不等式组中的每一个不等式的解集，再利用求不等式组解集的口诀“大小小大中间找”来求不等式组的解集．解答：解：由①得：x＞﹣3，由②得：x≤2，所以不等式组的解集为﹣3＜x≤2．故选B．点评：解不等式组是考查学生的基本计算能力，求不等式组解集的时候，可先分别求出组成不等式组的各个不等式的解集，然后借助数轴或口诀求出所有解集的公共部分．2．一个质地均匀的正方体骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，将骰子抛掷两次，掷第一次，将朝上一面的点数记为x，掷第二次，将朝上一面的点数记为y，则点（x，y）落在直线y=﹣x+5上的概率为（）A．B．C．D．考点：列表法与树状图法；一次函数图象上点的坐标特征．分析：列举出所有情况，看落在直线y=﹣x+5上的情况占总情况的多少即可．解答：解：共有36种情况，落在直线y=﹣x+5上的情况有（1，4）（2，3）（3，2）（4，1）4种情况，概率是，故选C．1 2 3 4 5 61 （1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）2 （2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）3 （3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）（3，6）4 （4，1）（4，2）（4，3）（4，4）（4，5）（4，6）5 （5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）（5，6）6 （6，1）（6，2）（6，3）（6，4）（6，5）（6，6）点评：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=，注意本题是放回实验．3．如图所示，在正方形铁皮中，剪下一个圆和一个扇形，使余料尽量少．用圆做圆锥的底面，用扇形做圆锥的侧面，正好围成一个圆锥，若圆的半径为r，扇形的半径为R，那么（）A．R=2r B．R=r C．R=3r D．R=4r考点：圆锥的计算；弧长的计算．专题：压轴题．分析：让扇形的弧长等于圆的周长即可．解答：解：根据扇形的弧长等于圆的周长，∴扇形弧长等于小圆的周长，即：=2πr，解得R=4r，故选D．点评：考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长．4．如图所示，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的恒等式为（）A．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2B．（a+b）2=a2+2ab+b2C．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）D．a2+ab=a（a+b）考点：平方差公式的几何背景．专题：计算题．分析：可分别在正方形和梯形中表示出阴影部分的面积，两式联立即可得到关于a、b的恒等式．解答：解：正方形中，S阴影=a2﹣b2；梯形中，S阴影=（2a+2b）（a﹣b）=（a+b）（a﹣b）；故所得恒等式为：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．故选：C．点评：此题主要考查的是平方差公式的几何表示，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．5．若直线x+2y=2m与直线2x+y=2m+3（m为常数）的交点在第四象限，则整数m的值为（）A．﹣3，﹣2，﹣1，0 B．﹣2，﹣1，0，1 C．﹣1，0，1，2 D．0，1，2，3考点：两条直线相交或平行问题．专题：计算题；压轴题．分析：由直线x+2y=2m与直线2x+y=2m+3（m为常数）的交点在第四象限，则交点坐标的符号为（+，﹣），解关于x、y的方程组，使x＞0，y＜0，即可求得m的值．解答：解：由题意得，解得，∵直线x+2y=2m与直线2x+y=2m+3（m为常数）的交点在第四象限，∴，解得：﹣3，又∵m的值为整数，∴m=﹣2，﹣1，0，1，故选B．点评：考查了平面直角坐标系中点的符号，是一道一次函数综合性的题目，是中档题．二、填空题（每小题4分，共24分）6．定义新运算：a⊕b=，则函数y=3⊕x的图象大致是．考点：一次函数的图象；反比例函数的图象．专题：新定义．分析：根据题意可得y=3⊕x=，再根据反比例函数的性质可得函数图象所在象限和形状，进而得到答案．解答：解：由题意得y=3⊕x=，当x≥3时，y=2；当x＜3且x≠0时，y=﹣，图象如图：，故答案为：点评：此题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．7．|π﹣3.14|+sin30°+3.14﹣8=π．考点：实数的运算；特殊角的三角函数值．专题：计算题．分析：原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果．解答：解：原式=π﹣3.14++3.14﹣=π，故答案为：π点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．8．函数y=的自变量x的取值范围是x＜﹣1或x≥4．考点：函数自变量的取值范围．分析：根据被开方数为非负数和分母不能为0计算即可．解答：解：由题意得，x2﹣3x﹣4≥0，x+1≠0，解得，x＜﹣1或x≥4，故答案为：x＜﹣1或x≥4．点评：本题考查的是函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．9．将边长为a的正三角形各边三等分，以这六个分点为顶点构成一个正六边形，则这个正六边形的面积为a2．考点：正多边形和圆．分析：由于正三角形各边三等分，就把整个三角形平均分成9个小正三角形，以这六个分点为顶点构成一个正六边形正好相当于6个小正三角形的面积．解答：解：如图所示：∵新的正六边形有三个顶点在正三角形的三边上，且是三边的等分点，∴连接正三角形的顶点与它对边的中点，可以看出新的正六边形的面积是六个小正三角形的面积之和，∵边长为a的正三角形各边三等分，∴小正三角形的边长为a，∴每个小正三角形的面积是×a×=a×a=a2，∴新的正六边形的面积=a2×6=a2；故答案为：a2．点评：此题考查了正三角形的性质、正三角形面积的计算方法；熟练掌握正三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．10．如图，AB是⊙O的直径，C，D为⊙0上的两点，若∠CDB=30°，则∠ABC的度数为60°，cos∠ABC=．考点：圆周角定理；特殊角的三角函数值．分析：由于AB是⊙O的直径，由圆周角定理可知∠ACB=90°，则∠A和∠ABC互余，欲求∠ABC需先求出∠A的度数，已知了同弧所对的圆周角∠CDB的度数，则∠A=∠CDB，由此得解．解答：解：连接AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，即∠A+∠ABC=90°；又∵∠A=∠CDB=30°，∴∠ABC=90°﹣∠A=60°，∴cos∠ABC=．故答案为：60°．点评：此题主要考查了圆周角定理及其推论，半圆（弧）和直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，还考查了三角函数，掌握圆周角定理是解题的关键．11．已知实数x，y满足x2+3x+y﹣3=0，则x+y的最大值为4．考点：二次函数的应用．专题：压轴题．分析：将函数方程x2+3x+y﹣3=0代入x+y，把x+y表示成关于x的函数，根据二次函数的性质求得最大值．解答：解：由x2+3x+y﹣3=0得y=﹣x2﹣3x+3，把y代入x+y得：x+y=x﹣x2﹣3x+3=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4≤4，∴x+y的最大值为4．故答案为：4．点评：本题考查了二次函数的性质及求最大值的方法，即完全平方式法．12．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，它有一定的规律．若把第一个数记为a1，第二数记为a2，…，第n个数记为a n．计算a2﹣a1，a3﹣a2，a4﹣a3，…，由此推算a10﹣a9=10，a2012=2025078．考点：规律型：数字的变化类．分析：先计算a2﹣a1=3﹣1=2；a3﹣a2=6﹣3=3；a4﹣a3=10﹣6=4，则a10﹣a9=10，a2=1+2，a3=1+2+3，a4=1+3+4，即第n个三角形数等于1到n的所有整数的和，然后计算n=2012的a的值．解答：解：∵a2﹣a1=3﹣1=2；a3﹣a2=6﹣3=3；a4﹣a3=10﹣6=4，∴a10﹣a9=10∵a2=1+2，a3=1+2+3，a4=1+2+3+4，…∴a2012=1+2+3+4+…+2012==2025078．故答案为：10，2025078．点评：本题考查了规律型：数字的变化类，通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况是解答此题的关键．三．解答题：（共52分）13．先化简：÷﹣，然后在0，1，2，3中选一个你认为合格的a值，代入求值．考点：分式的化简求值．分析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选出合适的x的值代入进行计算即可．解答：解：原式=•+a=a+a=2a．当a=2时，原式=4a．点评：本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．1012•桃源县校级自主招生）关于x的一元二次议程x2﹣x+p+1=0有两个实数根x1，x2．（1）求p的取值范围．（2）[1+x1（1﹣x2）][1+x2（1﹣x1）]=9，求p的值．考点：根的判别式；根与系数的关系．分析：（1）根据题意得出△≥0，求出即可；（2）根据根与系数的关系得出x1+x2=1，x1•x2=p+1，整理后得出（1﹣x1•x2）2+（x1+x2）（1﹣x1•x2）+x1•x2=9，代入求出即可．解答：解：（1）△=（﹣1）2﹣4（p+1）=﹣3﹣4p，当﹣3﹣4p≥0，即p≤﹣时，方程有两个实数根，即p的取值范围是p≤﹣；（2）根据根与系数的关系得：x1+x2=1，x1•x2=p+1，∵[1+x1（1﹣x2）][1+x2（1﹣x1）]=9，∴（1﹣x1•x2）2+（x1+x2）（1﹣x1•x2）+x1•x2=9，∴[1﹣（p+1）]2+1×[1﹣（p+1）]+（p+1）=9，解得：p±2，∵p≤﹣，∴p=﹣2．点评：本题考查了根与系数的关系，根的判别式的应用，能正确利用知识点进行计算是解此题的关键，题目比较典型．15．某服装厂批发应夏季T恤衫，其单价y（元）与批发数量x（件）（x为正整数）之间的函数关系如图所示，（1）直接写出y与x的函数关系式；（2）一个批发商一次购进250件T恤衫，所花的钱数是多少元？（其他费用不计）；（3）若每件T恤衫的成本价是20元，当100＜x≤400件，（x为正整数）时，求服装厂所获利润w （元）与x（件）之间的函数关系式，并求一次批发多少件时所获利润最大，最大利润是多少？考点：二次函数的应用．分析：（1）由题意设出一次函数的解析式，再根据点在直线上待定系数法求出函数解析式；（2）列出总利润的函数表达式，转化为求函数最值问题，最后求出最大利润；（3）根据利润=单件利润×批发数量，列出二次函数表达式，再运用二次函数性质解决最值问题．解答：解：（1）当0≤x＜100时，y=60；当x≥100时，设y=kx+b，由图象可以看出过（100，60），（400，40），则，，∴y=；（2）∵250＞100，∴当x=250件时，y=﹣×250+=50元，∴批发商一次购进250件T恤衫，所花的钱数是：50×250=12500元；（3）W=（﹣x+﹣20）×x=﹣x2+x=﹣（x﹣350）2+，∴当一次性批发350件时，所获利润最大，最大利润是元．点评：本题考查了待定系数法求函数关系式以及运用函数的性质解决问题，根据题意列出函数表达式是解决问题的关键．16．如图，抛物线y=ax2+c（a＞0）经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底AD在x轴上，A点到原点的距离为2，梯形的高为3，C点到y轴的距离为1，（1）求抛物线的解析式；（2）点M为y轴上的任意一点，求点M到A，B两点的距离之和的最小值及此时点M的坐标；（3）在第（2）的结论下，抛物线上的P的使S△PAD=S△ABM成立，求点P的坐标．考点：二次函数综合题．分析：（1）易知A（﹣2，0），C（1，﹣3），将A、C两点的坐标代入y=ax2+c，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）由于A、D关于抛物线对称轴即y轴对称，那么连接BD，BD与y轴的交点即为所求的M点，可先求出直线BD的解析式，即可得到M点的坐标；（3）设直线BC与y轴的交点为N，那么S△ABM=S梯形AONB﹣S△BMN﹣S△AOM，由此可求出△ABM和△PAD的面积；在△PAD中，AD的长为定值，可根据其面积求出P点纵坐标的绝对值，然后代入抛物线的解析式中即可求出P点的坐标．解答：解：（1）由题意可得：A（﹣2，0），C（1，﹣3），∵抛物线y=ax2+c（a＞0）经过A、C两点，∴，解得，∴抛物线的解析式为：y=x2﹣4；（2）由于A、D关于抛物线的对称轴（即y轴）对称，连接BD，则BD与y轴的交点即为M点；设直线BD的解析式为：y=kx+b（k≠0），∵B（﹣1，﹣3），D（2，0），∴，解得，∴直线BD的解析式为y=x﹣2，当x=0时，y=﹣2，∴点M的坐标是（0，﹣2）；（3）设BC与y轴的交点为N，则有N（0，﹣3），∵M（0，﹣2），B（﹣1，﹣3），∴MN=1，BN=1，ON=3，∴S△ABM=S梯形AONB﹣S△BMN﹣S△AOM=（1+2）×3﹣×1×1﹣×2×2=2，∴S△PAD=S△ABM=2．∵S△PAD=AD•|y P|=2，AD=4，∴|y P|=1．当P点纵坐标为1时，x2﹣4=1，解得x=±，∴P1（，1），P2（﹣，1）；当P点纵坐标为﹣1时，x2﹣4=﹣1，解得x=±，∴P3（，﹣1），P4（﹣，﹣1）；故存在符合条件的P点，且P点坐标为：P1（，1），P2（﹣，1），P3（，﹣1），P4（﹣，﹣1）．点评：此题是二次函数的综合题型，其中涉及到二次函数解析式的确定、函数图象交点及图形面积的求法，轴对称的性质等．当所求图形不规则时，一般要将不规则图形转换为几个规则图形面积的和差来求．1012•桃源县校级自主招生）如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线y=﹣+b 交折线OAB于点E．记△ODE的面积为S．（1）当点E在线段OA上时，求S与b的函数关系式；并求出b的范围；（2）当点E在线段AB上时，求S与b的函数关系式；并求出b的范围；（3）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA1B1C1，试探究OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由．考点：一次函数综合题．专题：压轴题．分析：（1）要表示出△ODE的面积，要分两种情况讨论，①如果点E在OA边上，只需求出这个三角形的底边OE长（E点横坐标）和高（D点纵坐标），代入三角形面积公式即可；（2）如果点E在AB边上，这时△ODE的面积可用长方形OABC的面积减去△OCD、△OAE、△BDE的面积；（3）重叠部分是一个平行四边形，由于这个平行四边形上下边上的高不变，因此决定重叠部分面积是否变化的因素就是看这个平行四边形落在OA边上的线段长度是否变化．解答：解：（1）∵四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），∴B（3，1），若直线经过点A（3，0）时，则b=若直线经过点B（3，1）时，则b=若直线经过点C（0，1）时，则b=1①若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1＜b≤，如图1，此时E（2b，0）∴S=OE•CO=×2b×1=b；（2）若直线与折线OAB的交点在BA上时，即＜b＜，如图2此时E（3，），D（2b﹣2，1），∴S=S矩﹣（S△OCD+S△OAE+S△DBE）=3﹣[（2b﹣2）×1+×（5﹣2b）•（﹣b）+×3（b﹣）]=b﹣b2，∴S=；（3）如图3，设O1A1与CB相交于点M，OA与C1B1相交于点N，则矩形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积．由题意知，DM∥NE，DN∥ME，∴四边形DNEM为平行四边形根据轴对称知，∠MED=∠NED，又∠MDE=∠NED，∴∠MED=∠MDE，∴MD=ME，∴平行四边形DNEM为菱形．过点D作DH⊥OA，垂足为H，由题易知，D（2b﹣2，1），对于y=﹣+b，令y=0，得x=2b，则E（2b，0），∴DH=1，HE=2b﹣（2b﹣2）=2，设菱形DNEM的边长为a，则在Rt△DHN中，由勾股定理知：a2=（2﹣a）2+12，∴a=，∴S四边形DNEM=NE•DH=．∴矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为．点评：本题是一个动态图形中的面积是否变化的问题，看一个图形的面积是否变化，关键是看决定这个面积的几个量是否变化，本题题型新颖，是个不可多得的好题，有利于培养学生的思维能力，但难度较大，具有明显的区分度．重点高中提前招生模拟考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．不等式的解集是（）A．﹣＜x≤2 B．﹣3＜x≤2 C．x≥2 D．x＜﹣32．一个质地均匀的正方体骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，将骰子抛掷两次，掷第一次，将朝上一面的点数记为x，掷第二次，将朝上一面的点数记为y，则点（x，y）落在直线y=﹣x+5上的概率为（）A．B．C．D．3．如图所示，在正方形铁皮中，剪下一个圆和一个扇形，使余料尽量少．用圆做圆锥的底面，用扇形做圆锥的侧面，正好围成一个圆锥，若圆的半径为r，扇形的半径为R，那么（）A．R=2r B．R=r C．R=3r D．R=4r4．如图所示，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的恒等式为（）A．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2B．（a+b）2=a2+2ab+b2C．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）D．a2+ab=a（a+b）5．若直线x+2y=2m与直线2x+y=2m+3（m为常数）的交点在第四象限，则整数m的值为（）A．﹣3，﹣2，﹣1，0 B．﹣2，﹣1，0，1 C．﹣1，0，1，2 D．0，1，2，3 二、填空题（每小题4分，共24分）6．定义新运算：a⊕b=，则函数y=3⊕x的图象大致是．7．|π﹣3.14|+sin30°+3.14﹣8=．8．函数y=的自变量x的取值范围是．9．将边长为a的正三角形各边三等分，以这六个分点为顶点构成一个正六边形，则这个正六边形的面积为．10．如图，AB是⊙O的直径，C，D为⊙0上的两点，若∠CDB=30°，则∠ABC的度数为，cos∠ABC=．11．已知实数x，y满足x2+3x+y﹣3=0，则x+y的最大值为．。

八年级（上）月考数学试卷（ 10 月份）题号 一 二 三 四 总分得分一、选择题（本大题共 10 小题，共 30.0 分）1. 以下计算正确的选项是（）A. a3+a2=a5B. a3?a2=a5C. (2a2)3=6a6D. a6÷ a2=a32.如图， △ABC 与 △A ′B ′C ′对于直线 l 对称，则 ∠B 的度数为（）A. 100 °B. 90°C. 50°D. 30°3.七巧板是一种传统智力游戏， 是中国古代办感人民的发明， 用七块板可拼出很多风趣的图形．在下边这些用七巧板拼成的图形中，能够看作轴对称图形的（不考虑拼接线）有（）A. 5个xy ）5 20B. 4 个C. 3 个D.2个a aa ≠1 x y4. 已知（a=a，且 应知足（）?（ ＞ ），那么、A. x+y=15B. xy=4C. x+y=4D. y=x45. 以下说法中正确的选项是（）A. 点 A 和点 B 位于直线 l 的双侧，假如 A 、B 到 l 的距离相等，那么它们对于直线l 对称B. 两个全等的图形必定对于某条直线对称C. 假如三角形中有一边的长度是另一边长度的一半，则这条边所对的角是30°D. 等腰三角形必定是轴对称图形，对称轴有 1条或许 3条6. 若（ a-2 2）） +|b-3|=0 ，则以 a 、 b 为边长的等腰三角形的周长为（A. 6B. 7C. 8D. 7 或 87. 若 x+n 与 x+2 的乘积中不含 x 的一次项，则 n 的值为（）A.-2B. 2C. 0D. 18. 如图， BM 是 △ABC 的角均分线， D 是 BC 边上的一点，连结 AD ，使 AD =DC ，且∠BAD =120 °，则 ∠AMB=（）A. 30°B. 25°C. °D. 20°3×3点可能是（）A.点AB.点BC.点CD.点D10.如图，已知：∠MON =30 °，点 A1、 A2、A3、在射线 ON 上，点 B1、 B2、 B3、在射线OM 上，△A1B1A2、△A2B2 A3、△A3B3 A4、均为等边三角形，若 OA1=1，则△A9B9A10的边长为（）A. 32B. 64C. 128D. 256二、填空题（本大题共 6 小题，共18.0 分）11.32016×(13) 2015=______．12.汶川大地震事后，某中学的同学用下边的方法检测教室的房梁能否水平：在等腰直角三角尺斜边中点拴一条线绳，线绳的另一端挂一个铅锤，把这块三角尺的斜边贴在房梁上，结果线绳经过三角尺的直角极点，同学们确信房梁是水平的，原因是 ______．13.如图，在△ABC，∠C=90 °，∠ABC=40 °，按以下步骤作图：①以点 A 为圆心，小于 AC 的长为半径．画弧，分别交AB、AC 于点 E、F；②分别以点E、 F 为圆心，大于12 EF 的长为半径画弧，两弧订交于点G；③作射线 AG，交 BC 边于点 D，则∠ADC 的度数为 ______．14.如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以 B，C 为圆心，以大于12 BC 的长为半径作弧，两弧订交于两点M， N；②作直线 MN 交 AB 于点 D，连结 CD．若 CD=AC ，∠A=50°，则∠ACB=______．15.如图，在△ABC 中， AB=4， AC=6，∠ABC 和∠ACB的均分线交于 O 点，过点 O 作 BC 的平行线交 AB 于 M点，交 AC 于 N 点，则△AMN 的周长为 ______．16.已知 92m×27m-1 =311，则 m=______．三、计算题（本大题共 4 小题，共24.0 分）18.计算2 2 3（ 1）（ -2a ）（ 3ab -5ab）（ 2）（ 5x+2y）?（ 3x-2y）19.已知（x+my）（x+ny）=x2+2xy-6y2，求-（m+n）?mn的值．20. 阅读资料小明碰到这样一个问题：求计算（x+2 ）（ 2x+3）（ 3x+4）所得多项式的一次项系数．小明想经过计算（ x+2 ）（ 2x+3 ）（ 3x+4）所得的多项式解决上边的问题，但感觉有些繁琐，他想探访一下，能否有相对简短的方法．他决定从简单状况开始，先找（x+2）（ 2x+3）所得多项式中的一次项系数．经过察看发现：也就是说，只需用 x+2 中的一次项系数 1 乘以2x+3 中的常数项3，再用 x+2 中的常数项 2 乘以 2x+3 中的一次项系数2，两个积相加1×3+2×2=7 ，即可获得一次项系数．持续上边的方法，求计算（x+2）（ 2x+3）（ 3x+4）所得多项式的一次项系数．可以先用 x+2 的一次项系数1，2x+3 的常数项 3，3x+4 的常数项4，相乘获得 12；再用2x+3 的一次项系数2，x+2 的常数项 2，3x+4 的常数项4，相乘获得 16；而后用3x+4 的一次项系数 3 ，x+2 的常数项 2，2x+3 的常数项 3，相乘获得 18．最后将 12，16，18 相加，获得的一次项系数为46．参照小明思虑问题的方法，解决以下问题：（ 1）计算（ 2x+1）（ 3x+2）所得多项式的一次项系数为______．（2）计算（ x+1 ）（3x+2）（ 4x-3）所得多项式的一次项系数为______．（3）若计算（ x2+x+1）（ x2-3x+a）（2x-1）所得多项式的一次项系数为0，则 a=______．四、解答题（本大题共7 小题，共56.0 分）21.平面直角坐标系中有一点 A（ 1， 1）对点 A 进行以下操作：第一步，作点 A 对于 x 轴的对称点A1，延伸线段AA1到点 A2，使得 2A1A2=AA1；第二步，作点A2对于 y 轴的对称点A3，延伸线段A2A3到点 A4，使得 2A3A4=A2 A3；第三步，作点A4对于 x 轴的对称点A5，延伸线段A4A5到点 A6，使得 2A5A6=A4 A5；则点 A2的坐标为 ______ ，点 A2015的坐标为 ______；若点 A n的坐标恰巧为（ 4m，4n）（ m、n 均为正整数），请写出 m 和 n 的关系式 ______．22.如图，将长方形纸片ABCD 对折后再睁开，获得折痕EF ，M 是 BC 上一点，沿着AM 再次折叠纸片，使得点 B 恰巧落在折痕EF 上的点 B′处，连结AB′、 BB′．判断△AB′B 的形状为 ______；若 P 为线段 EF 上一动点，当PB+PM 最小时，请描绘点P 的地点为 ______．23.如图，在△ABC 中，AB=AC，D 为 BC 的中点， DE⊥AB， DF ⊥AC，垂足分别为 E、 F ，求证： DE=DF ．ABC在平面直角坐标系XOY中，此中A 1 2B 3 1C 424. 已知如图，△（，），（，），（，3），试解答以下各题：（ 1）作出△ABC 对于 y 轴对称的△A′B′C′，并写出△A′B′C′三个极点的坐标；A′（______）； B′（ ______）； C′（ ______）．（2）在 x 轴上画出点 P，使 PA+PC 最小．25.如图，在△ABC 中， AB＞ AC， AD 均分∠BAC（ 1）尺规作图：在 AD 上标出一点 P，使得点 P 到点 B 和点C的距离相等（不写作法，但一定保存作图印迹）；（2）过点 P 作 PE⊥AB 于点 E，PF ⊥AC 于点 F，求证：BE=CF；（3）若 AB=a， AC=b，则 BE=______， AE=______ ．26.如图，CN 是等边△ABC 的外角∠ACM 内部的一条射线，点 A 对于 CN 的对称点为 D，连结 AD ， BD， CD，此中 AD， BD 分别交射线 CN 于点 E， P．（1）依题意补全图形；（2）若∠ACN =α，求∠BDC 的大小（用含α的式子表示）；（3）用等式表示线段 PB，PC 与 PE 之间的数目关系，并证明．27.在等边△ABC 外作射线 AD ，使得 AD 和 AC 在直线 AB 的双侧，∠BAD=α（ 0°＜α＜ 180 °），点 B 对于直线 AD 的对称点为 P，连结 PB，PC ．（1）依题意补全图 1；（2）在图 1 中，求△BPC 的度数；（3）直接写出使得△PBC 是等腰三角形的α的值．答案和分析1.【答案】 B【分析】解：A 、a 3+a 2，没法计算，故此选项错误 ；B 、a 3?a 2=a 5，正确；2 36选项错误；C 、（2a ）=8a ，故此D 、a 6÷a 2=a 4，故此选项错误 ；应选：B ．直接利用同底数 幂的乘除运算法 则以及积的乘方运算法 则分别计算得出答案．本题主要考察了同底数 幂的乘除运算和 积的乘方运算，正确掌握运算法 则是解题重点．2.【答案】 A【分析】解：∵△ABC 与△A ′B ′关C ′于直线 l 对称，∴∠C=∠C ′ =30．°∴∠B=180 °-∠A- ∠C=180 °-50 °-30 °=100 °．应选：A ．依照轴对称的性质可获得 ∠C=∠C ′，而后依照三角形的内角和定理求解即可．本题主要考察的是轴对称的性质、三角形的内角和定理，娴熟掌握有关知 识是解题的重点．3.【答案】 B【分析】解：第一个图形不是轴对称图形，第二个图形是轴对称图形，第三个图形是轴对称图形，第四个图形不是轴对称图形，第六个图形是轴对称图形，综上所述，是轴对称图形的有 4 个．应选：B．依据轴对称图形的观点对各图形剖析判断即可得解．本题考察了轴对称图形的观点，轴对称图形的重点是找寻对称轴，图形两部分折叠后可重合，本题要注意不考虑拼接线．4.【答案】C【分析】x y 5 20解：∵（a ?a ）=a（a＞0，且a≠1），x+y 5 20∴（a）=a，∴x+y=4 ；应选：C．依据幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法把要求的式子进行整理，即可得出答案．本题考察了幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法，娴熟掌握运算法则是解题的重点．5.【答案】D【分析】解：A 、如图，点 A 和点 B 位于直线 l 的双侧，假如 A 、B 到 l 的距离相等，但 A 、B 不对于直B、两个图形全等，这两个图形不必定对于某条直线对称；故 B 不正确；C、以下图，D 为 AB 的中点，以 A 为圆心，以 AD 为半径画圆，A 到圆上各点的距离都是AB 的一半，即 AC= AB ，因此假如三角形中有一边的长度是另一边长度的一半，能够有无数种状况，即这条边所对的角不确立；故 C 不正确；D、等腰三角形必定是轴对称图形，对称轴有 1 条或许 3 条；故 D正确；应选：D．A 、经过绘图发现，A 和B 不必定对于直线 l 对称；B、两个全等形的地点不确立，因此不必定对于某条直线对称；C、绘图说明，切合条件的三角形不独一；D、假如这个等腰三角形是特别的等边三角形，则对称轴有3条，不然是1条．本题考察了轴对称的性质，等腰三角形和全等图形的定义，解题的重点是熟练掌握对称轴的性质，学会利用轴对称解决问题，属于中考常考题型．6.【答案】D【分析】2解：∵（a-2）+|b-3|=0，∴a-2=0，b-3=0，解得 a=2，b=3，①当腰是 2，底边是 3 时，三边长是 2，2，3，此时切合三角形的三边关系定理，即等腰三角形的周长是 2+2+3=7；即等腰三角形的周 长是 3+3+2=8．应选：D ．先依据非 负数的性质获得 a 、b 的长，再分为两种状况：① 当腰是 2，底边是 3时，② 当腰是 3，底边是 2 时，求出即可．本题考察了非负数的性质、等腰三角形的性质和三角形的三 边关系定理的 应用，注意本题要分为两种状况 议论．7.【答案】 A【分析】解：∵（x+n ）（x+2）=x 2+2x+nx+2n=x 2+（2+n ）x+2n ，又 ∵x+n 与 x+2 的乘积中不含 x 的一次项，∴2+n=0， ∴n=-2；应选：A ．依据多项式乘以多 项式的法例，可表示为（a+b ）（m+n ）=am+an+bm+bn ，再根据 x+n 与 x+2 的乘积中不含 x 的一次项，得出 2+n=0，求出 n 的值即可．本题主要考察多项式乘以多 项式的法例．注意不要漏项，漏字母，有同类项的归并同 类项．8.【答案】 A【分析】解：∵BM 均分 ∠ABC ， ∴∠ABM= ∠CBM ， ∵AD=DC ，∴∠DAC= ∠C ，在 △ABC 中，∠ABC+ ∠BAC+ ∠C=180°，即 2∠CBM+ ∠BAD+2 ∠C=180°，且∠BAD=120° ∴∠CBM+ ∠C=30°， ∴∠AMB= ∠CBM+ ∠C=30°， 应选：A ．由角均分 线可知 ∠ABM= ∠CBM ，由DA=DC 可得 ∠C=∠DAC ，再利用外角性质和三角形内角和可求得 ∠CBM+ ∠C ，即∠AMB 的度数．本题主要考察等腰三角形的性质及三角形内角和定理、外角的性质，掌握等边平等角是解题的重点，注意方程思想的应用．9.【答案】D【分析】解：以下图：原点可能是 D 点．应选：D．直接利用已知网格联合三个点中存在两个点对于一条坐标轴对称，可得出原点地点．本题主要考察了对于坐标轴对称点的性质，正确成立坐标系是解题重点．10.【答案】D【分析】解：∵△A1B1A 2是等边三角形，∴A 1B1=A 2B1，∠3=∠4=∠12=60°，∴∠2=120 °，∵∠MON=30°，∴∠1=180 °-120 -°30 =30° °，又∵∠3=60°，∴∠5=180 °-60 °-30 °=90 °，∵∠MON= ∠1=30 °，∴OA1=A1B1=1，∴A 2B1=1，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴∠11=∠10=60 °，∠13=60 °，∵∠4=∠12=60 °，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴∠1=∠6=∠7=30 °，∠5=∠8=90 °，∴A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3，∴A3B3=4B1A2=4，A4B4=8B1A2=8，∴△A n B n A n+1 的边长为 2n-1，∴△A 9B 9A 10 的边长为 29-1=28=256．应选：D ．据等腰三角形的性 质以及平行 线的性质得出 A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3，以及A 2B 2=2B 1A 2，得出A 3B 3=4B 1A 2=4，A 4B 4=8B 1A 2=8，A 5B 5=16B 1A 2 从而得出答案．本题考察的是等边三角形的性 质以及等腰三角形的性 质，依据已知得出A 3B 3=4B 1A 2，A 4B 4=8B 1A 2，A 5B 5=16B 1A 2 从而发现规律是解题重点．【答案】 311.【分析】解：320162015 2015× =3×（3× ） =3．故答案为：3．依据幂的乘方和 积的乘方的运算法 则求解．本题考察了幂的乘方和 积的乘方，解答本题的重点是掌握幂的乘方和 积的乘方的运算法 则．12.【答案】 等腰三角形的底边上的中线、底边上的高重合【分析】解：∵△ABC 是个等腰三角形， ∴AC=BC ，∵点 O 是 AB 的中点， ∴AO=BO ， ∴OC ⊥AB ．故答案为：等腰三角形的底边上的中线、底边上的高重合．依据 △ABC 是个等腰三角形可得 AC=BC ，再依据点 O 是 AB 的中点，即可得出 OC ⊥AB ，而后即可得出结论 ．本题主要考察了学生平等腰三角形的性 质的理解和掌握，本题与实质生活联系亲密，表现了从数学走向生活的指 导思想，从而达到学致使用的目的．13.【答案】 65°【分析】解：解法一：连结 EF．∵点 E、F 是以点 A 为圆心，小于 AC 的长为半径画弧，分别与 AB 、AC 的交点，∴AF=AE ；∴△AEF 是等腰三角形；又∵分别以点 E、F 为圆心，大于E F 的长为半径画弧，两弧订交于点 G；∴AG 是线段 EF的垂直均分线，∴AG 均分∠CAB ，∵∠ABC=40°∴∠CAB=50°，∴∠CAD=25°；在△ADC 中，∠C=90°，∠CAD=25°，∴∠ADC=65°（直角三角形中的两个锐角互余）；解法二：依据已知条件中的作图步骤知，AG 是∠CAB 的均分线，∵∠CAB=50°，∴∠CAD=25°；在△ADC 中，∠C=90°，∠CAD=25°，∴∠ADC=65°（直角三角形中的两个锐角互余）；故答案是：65°．依据已知条件中的作图步骤知，AG 是∠CAB 的均分线，依据角均分线的性质解答即可．本题综合考察了作图--复杂作图，直角三角形的性质．依据作图过程推知 AG 是∠CAB 均分线是解答此题的重点．14.【答案】105°【分析】解：以下图：∵MN 垂直均分 BC，∴CD=BD ，∴∠DBC=∠DCB∵CD=AC ，∠A=50 °，∴∠CDA= ∠A=50 °，∵∠CDA= ∠DBC+ ∠DCB ，∴∠DCB=∠DBC=25°，故答案为：105°．依据要求先画出 图形，利用等腰三角形的性 质以及三角形外角定理求出∠CDB 和 ∠ACD 即可．本题考察基本作图、垂直均分线的性质、三角形的外角定理、等腰三角形的性质等知识，解题的重点是灵巧应用这些性质解决问题，属于中考常考题型．15.【答案】 10【分析】解：∵BO 为∠ABC 的均分线，CO 为 ∠ACB 的均分线，∴∠ABO= ∠CBO ，∠ACO=∠BCO ， ∵MN ∥BC ，∴∠MOB= ∠OBC ，∠NOC=∠BCO ， ∴∠ABO= ∠MOB ，∠NOC=∠ACO ， ∴MB=MO ，NC=NO ，∴MN=MO+NO=MB+NC ， AB=4 AC=6， ∵ ，∴△AMN 周长为 AM+MN+AN=AM+MB+AN+NC=AB+AC=10，故答案为：10利用角均分 线及平行线性质，联合等腰三角形的判断获得MB=MO ，NC=NO ，将三角形 AMN 周长转变，求出即可．本题考察了等腰三角形的性 质，以及平行线的性质，娴熟掌握各自的性 质是解本题的重点．16.【答案】 2【分析】【剖析】本题考察了同底数 幂的乘法，解答本题的重点在于先将 92m ×27m-1=311变形为 34m ×33m-3=311，而后联合同底数 幂乘法的运算法 则进行求解．【解答】解：∵92m ×27m-1=311，∴34m ×33m-3=311，∴4m+3m-3=11，∴m=2．故答案为 2．17.【答案】解： 3（ x 2） 3?x 3- （x 3 ）3+（- x ）2 ?x 9÷x 2， 639292=3 x ?x -x +x ?x ÷x ，=3 x 9． 【分析】本题主要考察幂的乘方，同底数幂的除法，同底数幂的乘法，娴熟掌握运算性质是解题的重点．依据幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减；归并同类项，只需把系数相加减，字母和字母的指数不 变，计算即可．18.【答案】 解：（ 1）（ -2a 2 ）（ 3ab 2-5ab 3） =-6a 3b 2+10a 3b 3；（ 2）（ 5x+2 y ） ?（ 3x-2y ）2 2=15x -10xy+6xy-4y ） 22=15x -4xy-4y ． 【分析】（1）依据单项式乘多项式的计算法例计算即可求解；（2）依据多项式乘多项式的计算法例计算即可求解．考察了单项式乘多项式，多项式乘多项式，重点是娴熟掌握计算法例正确进行计算．19.【答案】 解： ∵（ x+my ）（ x+ny ）=x 2+nxy+mxy+mny 2=x 2+（ m+n ）xy+mny 2，而（ x+my ）（ x+ny ） =x 2+2 xy-6y 2， ∴m+n=2， mn=-6，∴-（ m+n ）?mn=-2 ×（ -6） =12 ．【分析】先利用多 项式乘法获得（x+my ）（x+ny ）=x 2+（m+n ）xy+mny 2，再与已知条件对比获得 m+n=2，mn=-6，而后利用整体代入的方法 计算 -（m+n ）?mn 的值．本题考察 了多项 式乘多项 式：多项式与多项 式相乘，先用一个多 项式的每一项乘此外一个多 项式的每一 项，再把所得的积相加．20.【答案】 7 -7 -3 -15【分析】解：（1）（2x+1）（3x+2）所得多项式的一次 项系数为 2×2+1×3=7，故答案为：7；（2）（x+1）（3x+2）（4x-3）所得多项式的一次 项系数为 1×2×（-3）+1×3×（-3）+1×2×4=-7，故答案为：-7；2 2）（ ）所得多项式的一次 项系数为 ××（） ×（）×（3）（x+x+1 ）（x -3x+a 2x-11 a -1 +1 -3 （-1）+1×a ×2=a+3，由题意知 a+3=0，解得：a=-3，故答案为：-3；（4）由x 4+ax 2+bx+2 中 4次项系数为 1、常数项为 2 可设另一个因式 为 x 2+mx+2，则（x 2-3x+1 2 4 2）（x+mx+2 ）=x +ax +bx+2， ∴，解得：，∴2a+b=-12-3=-15，故答案为：-15．（1）依据两多项式常数项与一次项系数乘积的和即为所得多项式一次项系数可得；（2）依据三个多项式中两个多 项式的常数 项与另一个多 项式一次项系数的乘积即为所求可得；（3）由两个常数项与一个一次项系数的乘 积 即为所求可得；（4）由x 4+ax 2+bx+2 中 4次项系数为 1、常数项为 2 可设另一个因式 为 x 2+mx+2，依据三次 项系数为 0、二次项系数为 a 、一次项系数为 b 列出方程 组求出 a 、b本题主要考察多项式乘多项式，解题的重点是娴熟掌握多项式乘多项式的运算法例：多项式与多项式相乘，先用一个多 项式的每一 项乘此外一个多 项式的每一项，再把所得的积相加．21.【答案】 （ 1，-2）（2503 ， 2504） m=n【分析】解：由题意得，A 1（1，-1），A 2（1，-2），A 3（-1，-2），A 4（-2，-2），A 5（-2，2），A 6（-2，4），A 7（2，4），A 8（4，4），∵2015 ÷8=251 余 7，∴点 A 2015 为第 252 循环组的第一象限的倒数第二个点，∴A 2015（2503，2504），点 A n 的坐 标 恰巧 为 m n ）（m 、n 均 为 请 （4 ，4 正整数）， 写出 m 和 n 的关系式 m=n ．503 504故答案为：（1，-2）；2（ ，2 ），m=n ．依据对于 x 轴对称的点的横坐 标相等，纵坐标互为相反数，可得 A 1，依据2A 1A 2=AA 1，可得 A 1 是 AA 2 的中点，可得答案；依据对于 y 轴对称的点的横坐 标互为相反数，纵坐标相等，可得 A 3，依据计算，2m-2 ，-22m-22m-2 ，-2 2m-1），可发现规律：每8 次变换一循环：第m 循环组：（2 ）（2（-22m-2，-22m-1）（-22m-1，-22m-1）（-22m-1，22m-1）（-22m-1，22m）倒数第二个是2m-12m2m2m（2，2 ），最后一个是（2 ，2 ）．本 题 考 查 了坐 标 与 图 形 变 化，利用坐 标变 化 规 律：第 m 循 环组 22m-2 -22m-2 ） ：（ ，2m-2，-2 2m-12m-2 ，-2 2m-1 2m-1 ，-2 2m-1 ）（-2 2m-1，2 2m-12m-1 ，22m（2），-（2 ）（-2）（-2 ）倒数第而个是（2 2m-1 2m2m ，2 2m 题 键 ． ，2 ），最后一个是（2 ）是解 关 22.【答案】 等边三角形AM 与 EF 的交点【分析】解：由第一次折叠，可得 EF 垂直均分 AB ，∴AB=AB'=BB' ，∴△ABB' 是等边三角形；∵点 B与点 A 对于 EF对称，∴AP=BP，∴PB+PM=AP+PM ，∴当 A ，P，M 在同向来线上时，PB+PM 最小值为 AM 的长，∴点 P 的地点为 AM 与 EF 的交点，故答案为：等边三角形，AM 与 EF 的交点．依据折叠的性质，即可获得 AB=AB'=BB' ，从而得出△ABB' 是等边三角形，依据当 A ，P，M 在同向来线上时，PB+PM 最小值为 AM 的长，即可获得点 P 的地点为 AM 与 EF 的交点．本题主要考察了折叠的性质以及等边三角形的判断，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，地点变化，对应边和对应角相等．23.【答案】证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，又∵DE ⊥AB， DF ⊥AC，∴∠BED=∠CFD =90 °，∵点D为BC中点，∴DB =DC ，∴在△DBE 和△DCF 中∠ B=∠ C∠ BED=∠ CFDDB=DC，∴△DBE≌DCF （AAS），∴DE =DF ．【分析】依据等腰三角形的性质得出∠B=∠C，依据全等三角形的判断和性质得出 DE=DF 即可；本题考察全等三角形的判断和性质，重点是依据等腰三角形的性质得出∠B=∠C．24.【答案】-1，2-3， 1-4， 3【分析】解：（1）以下图：A′（-1，2）；B′（-3，1）；C′（-4，3）（2）以下图：点P 即为所求．（1）直接利用对于 y 轴对称点的性质得出对应点地点从而得出答案；（2）利用轴对称求最短路径求法得出答案．本题主要考察了轴对称变换以及利用轴对称求最短路线，正确得出对应点位置是解题重点．25.【答案】a-b2a+b2【分析】解：（1）① 作线段 BC 的垂直均分线交 AD 于 P．点 P 就是所求的点．（2）连结 PB、PC．∵∠PAB=∠PAF，PE⊥AB ，PF⊥AC ，∴PE=PF，在 Rt△PEB 和 Rt△PFC 中，，∴△PEB≌△PFC，∴BE=CF．（3）设 BE=CF=x，在 Rt∴△PAE 和 Rt△PAF 中，，∴△PAE≌△PAF，∴AE=AF ，∴AB-BE=AC+CF ，∴a-x=b+x，∴x=，故答案为，．线线与 AD 的交点即为所求．（1）作段 BC 的垂直均分（2）只需证明△PEB≌△PFC 即可．（3）只需证明△PAE≌△PAF，推出 AE=AF ，设 BE=CF=x，则有 a-x=b+x，解方程即可解决问题．本题考察基本作图、全等三角形的判断和性质、线段垂直均分线的性质．角均分线的性质等知识，解题的重点是灵巧应用所学知识解决问题，学会把问题转变为方程去解决，属于中考常考题型．26.【答案】（1）如右图所示，（2）解：∵点 A 与点 D 对于 CN 对称，∴CN 是 AD 的垂直均分线，∴CA=CD ．∵∠ACN=α，∴∠ACD=2∠ACN=2α．∵等边△ABC，∴CA=CB =CD ，∠ACB=60 °．∴∠BCD=∠ACB +∠ACD =60 ° +2．α∴∠BDC=∠DBC =12 （ 180 °-∠BCD） =60 °-α．（3）结论： PB=PC+2PE．本题证法不独一，如：证明：在PB 上截取 PF 使 PF=PC，如右图，连结CF．∵CA=CD ，∠ACD =2 α∴∠CDA=∠CAD =90 °-α．∵∠BDC=60 °-α，∴∠PDE=∠CDA -∠BDC=30 °．∴PD =2PE．∵∠CPF=∠DPE =90 °-∠PDE =60 °．∴△CPF 是等边三角形．∴∠CPF=∠CFP =60 °．∴∠BFC=∠DPC =120 °．∴在△BFC 和△DPC 中，∠CFB=∠ CPD∠ CBF=∠ CDPCB=CD∴△BFC ≌△DPC．∴BF=PD=2PE．∴PB=PF+BF=PC+2PE．【分析】（2）依据对称得：CN 是 AD 的垂直均分线，则 CA=CD ，依据等腰三角形的性质和等边三角形可得结论；（3）作协助线，在PB 上截取 PF 使 PF=PC，如右图，连结 CF．先证明△CPF 是等边三角形，再证明△BFC≌△DPC，则 BF=PD=2PE．依据线段的和可得结论．本题是三角形综合题，主要考察了对称的性质，三角形的内角和定理，等边三角形的性质，三角形全等的性质和判断，第三问作出协助线建立等边三角形是解本题的重点．27.【答案】解：（1）图形以下图：（2）点 B 对于直线 AD 的对称点为 P，∴AP=AB，∴∠PAD=∠BAD ，∵△ABC 是等边三角形，∴∠BAC=60 °， AB=AC ，∴AP=AC，∴∠APC=∠PAD =60 °，∴2∠APC+2 ∠PAD+∠BAC=180 °，∴∠APC+∠PAD =60 °，∴∠BPC=30 °；（3）①如图 2-1 中，当 BP=BC 时，α=∠BAD=30°．②如图 2-2 中，当 PB=PC 时，α=∠BAD =75 °．③如图 2-3 中，当 CP=BC 时，α=∠BAD =120 °④如图 2-4 中，当 BP=PC 时，α=∠BAD =165 °综上所述α的值为：30°，75°，120°，165°．【分析】（1）依据题意画出图形即可；（2）点B 对于直线 AD 的对称点为 P，获得AP=AB ，依据等腰三角形的性质得到∠PAD=∠BAD ，依据三角形的内角和即可获得结论；（3）依据等腰三角形的性质分四种情况画出图形分别求解即可；本题考察了轴对称的性质，等边三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键，学会用分类议论的思想解决问题，属于中考常考题型．。

2020-2021北京师范大学第一附属中学初二数学上期末一模试卷带答案一、选择题1．如图，已知圆柱底面的周长为4 dm,圆柱的高为2 dm ，在圆柱的侧面上，过点A 和点C 嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长的最小值为（ ）A ．45 dmB ．22 dmC ．25 dmD ．42 dm 2．下列因式分解正确的是( ) A ．()2211x x +=+B ．()22211x x x +-=-C ．()()22x 22x 1x 1=-+-D ．()2212x x x x -+=-+ 3．斑叶兰被列为国家二级保护植物，它的一粒种子重约0.0000005克．将0.0000005用科学记数法表示为（ ）A ．5×107B ．5×10﹣7C ．0.5×10﹣6D ．5×10﹣64．下列运算正确的是( )A ．a 2+2a ＝3a 3B ．(﹣2a 3)2＝4a 5C ．(a+2)(a ﹣1)＝a 2+a ﹣2D ．(a+b)2＝a 2+b 2 5．若2310a a -+=，则12a a +-的值为（ ） A ．51+ B ．1 C ．-1 D ．-56．如图①，在边长为a 的正方形中剪去一个边长为b (b <a )的小正方形，把剩下部分拼成一个梯形(如图②)，利用这两个图形的面积，可以验证的等式是( )A ．a 2＋b 2＝(a ＋b )(a －b )B ．(a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2C ．(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2D ．a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )7．下列计算正确的是（ ）A 235+=B ．a a a +=222C ．(1)x y x xy +=+D ．236()mn mn = 8．如果2x +ax+1 是一个完全平方公式，那么a 的值是（）A ．2B ．－2C ．±2D ．±19．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD 是斜边AB 上的高，AD ＝3 cm ，则AB 的长度是( )A ．3cmB ．6cmC ．9cmD ．12cm 10．下列计算正确的是（ ） A ．2a a a += B ．33(2)6a a = C ．22(1)1a a -=- D ．32a a a ÷=11．如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依序为2、3、4、6，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任两螺丝的距离之最大值为何？A ．5B ．6C ．7D ．10 12．下列运算正确的是（ ） A ．236326a a a -⋅=-B ．()632422a a a ÷-=-C ．326()a a -=D ．326()ab ab =二、填空题13．如图所示，在Rt △ABC 中，∠A=30°，∠B=90°，AB=12，D 是斜边AC 的中点，P 是AB 上一动点，则PC +PD 的最小值为_____．14．如图，小新从A 点出发，沿直线前进50米后向左转30°，再沿直线前进50米，又向左转30°，…照这样下去，小新第一次回到出发地A 点时，一共走了__米．15．如图，在△ABC 中,AB = AC,BC = 10,AD 是∠BAC 平分线，则BD = ________.16．若a m =5，a n =6，则a m+n =________．17．中国女药学家屠呦呦获2015年诺贝尔医学奖，她的突出贡献是创制新型抗疟药青蒿素和双氢青蒿素，这是中国医学界迄今为止获得的最高奖项．已知显微镜下的某种疟原虫平均长度为0.0000015米，该长度用科学记数法表示为 ．18．计算：()201820190.1258-⨯=________.19．分式293x x --当x __________时,分式的值为零. 20．如图，△ABC 中边AB 的垂直平分线分别交BC 、AB 于点D 、E ， AE=3cm ，△ADC•的周长为9cm ，则△ABC 的周长是____ ___三、解答题21．如图，在等边ABC V 中，点D 是AB 边上一点，连接CD ，将线段CD 绕点C 按顺时针方向旋转60o 后得到CE ，连接AE .求证://AE BC .22．已知：如图，//AD BC ，DB 平分ADC ∠,CE 平分BCD ∠，交AB 于点E ，BD 于点O ，求证：点O 到EB 与ED 的距离相等.23．某商店在2014年至2016年期间销售一种礼盒．2014年，该商店用3500元购进了这种礼盒并且全部售完；2016年，这种礼盒的进价比2014年下降了11元/盒，该商店用2400元购进了与2014年相同数量的礼盒也全部售完，礼盒的售价均为60元/盒．（1）2014年这种礼盒的进价是多少元/盒？（2）若该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率相同，问年增长率是多少？24．已知：如图，AB∥CD，E是AB的中点，CE=DE．求证：（1）∠AEC=∠BED；（2）AC=BD．25．如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，求证：AB∥DE．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】【分析】要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可．【详解】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度．∵圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm，∴AB=2dm，BC=BC′=2dm，∴AC2=22+22=4+4=8，∴2dm，∴这圈金属丝的周长最小为2．故选D．本题考查了平面展开-最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．2．C解析：C【解析】【分析】依据因式分解的定义以及提公因式法和公式法，即可得到正确结论．【详解】解：D 选项中，多项式x 2-x+2在实数范围内不能因式分解；选项B ，A 中的等式不成立；选项C 中，2x 2-2=2（x 2-1）=2（x+1）（x-1），正确．故选C ．【点睛】本题考查因式分解，解决问题的关键是掌握提公因式法和公式法的方法．3．B解析：B【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．4．C解析：C【解析】【分析】根据整式的混合运算法则与完全平方公式进行判断即可.【详解】解：A.a 2与2a 不是同类项，不能合并，故本选项错误；B.326 (2a )4a -=，故本选项错误；C.()()2a 2a 1a a 2+-=+-，正确； D.222 (a b)a 2ab b +=++，故本选项错误.故选C.【点睛】本题主要考查了整式的混合运算与完全平方公式，属于基础题，熟练掌握其知识点是解此题的关键.5．B【解析】【分析】先将2310a a -+=变形为130a a -+=，即13a a +=，再代入求解即可. 【详解】∵2310a a -+=，∴130a a -+=，即13a a +=， ∴12321a a+-=-=.故选B. 【点睛】本题考查分式的化简求值，解题的关键是将2310a a -+=变形为13a a+=. 6．D解析：D【解析】【分析】根据左图中阴影部分的面积是a 2-b 2，右图中梯形的面积是12（2a+2b ）（a-b ）=（a+b ）（a-b ），利用面积相等即可解答．【详解】∵左图中阴影部分的面积是a 2-b 2，右图中梯形的面积是12（2a+2b ）（a-b ）=（a+b ）（a-b ），∴a 2-b 2=（a+b ）（a-b ）．故选D ．【点睛】此题主要考查的是平方差公式的几何表示，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键． 7．C解析：C【解析】解：A 、不是同类二次根式，不能合并，故A 错误；B ．23a a a += ，故B 错误；C ．1x y x xy +=+（） ，正确； D ．2326mn m n =（），故D 错误．故选C ．8．C解析：C【分析】【详解】解：根据完全平方公式可得：a=±2×1=±2．考点：完全平方公式．9．D解析：D【解析】【分析】先求出∠ACD=30°，然后根据30°所对的直角边等于斜边的一半解答．【详解】在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的高，∴∠ADC=90°，∴∠ACD+∠DCB=90°，∠B+∠DCB=90°，∴∠ACD=∠B=30°．∵AD=3cm．在Rt△ACD中，AC=2AD=6cm，在Rt△ABC中，AB=2AC=12cm，∴AB的长度是12cm．故选D．【点睛】本题主要考查直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质．10．D解析：D【解析】【分析】根据合并同类项运算法则和积的乘方法则、完全平方公式以及同底数幂的除法法则逐项计算即可．【详解】解：A，a+a=2a≠a2，故该选项错误；B，（2a）3=8a3≠6a3，故该选项错误C，（a﹣1）2=a2﹣2a+1≠a2﹣1，故该选项错误；D，a3÷a=a2，故该选项正确，故选D．点睛：本题考查了完全平方公式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法等运算法则，熟练掌握这些法则是解此题的关键.解析：C【解析】依题意可得，当其中一个夹角为180°即四条木条构成三角形时，任意两螺丝的距离之和取到最大值，为夹角为180°的两条木条的长度之和．因为三角形两边之和大于第三边，若长度为2和6的两条木条的夹角调整成180°时，此时三边长为3,4,8，不符合；若长度为2和3的两条木条的夹角调整成180°时，此时三边长为4,5,6，符合，此时任意两螺丝的距离之和的最大值为6；若长度为3和4的两条木条的夹角调整成180°时，此时三边长为2,6,7，符合，此时任意两螺丝的距离之和的最大值为7；若长度为4和6的两条木条的夹角调整成180°时，此时三边长为2,3,10，不符合．综上可得，任意两螺丝的距离之和的最大值为7，故选C12．C解析：C【解析】【分析】根据单项式的乘法和除法法则，以及幂的乘方法则即可作出判断．【详解】A、-3a2•2a3=-6a5，故A错误；B、4a6÷（-2a3）=-2a3，故B错误；C、（-a3）2=a6，故C正确；D、（ab3）2=a2b6，故B错误；故选：C．【点睛】本题考查了单项式的乘法、除法以及幂的乘方，正确理解幂的运算法则是关键．二、填空题13．12【解析】【分析】作C关于AB的对称点E连接ED易求∠ACE=60°则AC=AE且△ACE为等边三角形CP+PD=DP+PE为E与直线AC之间的连接线段其最小值为E到AC的距离=AB=12所以最小解析：12【解析】【分析】作C关于AB的对称点E，连接ED，易求∠ACE=60°，则AC=AE，且△AC E为等边三角形，CP+PD=DP+PE为E与直线AC之间的连接线段，其最小值为E到AC的距离=AB=12，所以最小值为12.【详解】作C关于AB的对称点E，连接ED，∵∠B=90°，∠A=30°，∴∠ACB=60°，∵AC=AE，∴△ACE为等边三角形，∴CP+PD=DP+PE为E与直线AC之间的连接线段，∴最小值为C'到AC的距离=AB=12，故答案为12【点睛】本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．14．600【解析】【分析】【详解】解：根据题意可知：小新从A点出发沿直线前进50米后向左转30º再沿直线前进50米又向左转30º……照这样下去小新第一次回到出发地A点时小新走的路线围成一个正多边形且这个解析：600【解析】【分析】【详解】解：根据题意可知：小新从A点出发，沿直线前进50米后向左转30º，再沿直线前进50米，又向左转30º，……照这样下去,小新第一次回到出发地A点时,小新走的路线围成一个正多边形,且这个多边形的外角等于30º，所以这个正多边形的边数是12，小新一共走了12×50=600米，故答案为：600．15．5【解析】【分析】由等腰三角形三线合一的性质得出AD⊥BCBD=CD=BC=5【详解】解：∵AB=ACAD是∠BAC平分线∴AD⊥BCBD=CD=BC=5故答案为：5【点睛】本题考查了等腰三角形的性解析：5【解析】【分析】由等腰三角形三线合一的性质得出AD⊥BC，BD=CD=12BC=5.【详解】解：∵AB=AC，AD是∠BAC平分线，∴AD⊥BC，BD=CD=12BC=5.故答案为：5.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解决问题的关键．16．【解析】【分析】根据同底数幂乘法性质am·an=am+n即可解题【详解】解：am+n=am·an=5×6=30【点睛】本题考查了同底数幂乘法计算属于简单题熟悉法则是解题关键解析：【解析】【分析】根据同底数幂乘法性质a m·a n=a m+n,即可解题.【详解】解：a m+n= a m·a n=5×6=30.【点睛】本题考查了同底数幂乘法计算,属于简单题,熟悉法则是解题关键.17．5×10-6【解析】试题分析:绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示一般形式为a×10﹣n与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定解解析：5×10-6【解析】试题分析:绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．解：0.0000015=1.5×10﹣6，故答案为1.5×10﹣6．考点：科学记数法—表示较小的数．18．8【解析】【分析】根据同底数幂的乘法底数不变指数相加可化成指数相同的幂的乘法根据积的乘方可得答案【详解】原式=(−0125)2018×820188=(−0125×8)20188=8故答案为：8【点睛解析：8【解析】【分析】根据同底数幂的乘法底数不变指数相加，可化成指数相同的幂的乘法，根据积的乘方，可得答案．【详解】原式= (−0.125)2018×82018⨯8= (−0.125×8)2018⨯8=8，故答案为：8.【点睛】本题考查的知识点是幂的乘方与积的乘方及同底数幂的乘方，解题的关键是熟练的掌握幂的乘方与积的乘方及同底数幂的乘方.19．=-3【解析】【分析】根据分子为0分母不为0时分式的值为0来解答【详解】根据题意得：且x-30解得：x=-3故答案为：=-3【点睛】本题考查的是分式值为0的条件易错点是只考虑了分子为0而没有考虑同时解析：= -3【解析】【分析】根据分子为0，分母不为0时分式的值为0来解答.【详解】根据题意得：290x-=且x-3 0解得：x= -3故答案为：= -3.【点睛】本题考查的是分式值为0的条件，易错点是只考虑了分子为0而没有考虑同时分母应不为0.20．15cm【解析】【分析】【详解】在△ABC中边AB的垂直平分线分别交BCAB 于点DEAE=3cmAE=BEAD=BD△ADC•的周长为9cm即AC+CD+AD=9则△ABC的周长= AB+BC+AC=解析：15cm【解析】【分析】【详解】在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点D、E，AE=3cm，AE=BE，AD=BD，△ADC•的周长为9cm，即AC+CD+AD=9，则△ABC的周长=AB+BC+AC=AE+BE+BD+CD+AC=AE+BE+AD+CD+AC=6+9=15cm【点睛】本题考查垂直平分线，解答本题的关键是掌握垂直平分线的概念和性质，运用其来解答本题三、解答题21．见解析【解析】【分析】根据等边三角形的性质得出60AC BC B ACB =∠=∠=︒，，根据旋转的性质得出60CD CE DCE =∠=︒，，根据SAS 推出BCD ACE ≅n n ，根据全等得出60B EAC ∠=∠=︒，根据平行线的判定定理即可证得答案.【详解】等边ABC V 中，∴60AC BC B ACB =∠=∠=︒，，∵线段CD 绕点C 按顺时针方向旋转60o 后得到CE ，∴60CD CE DCE =∠=︒，，∴DCE ACB ∠=∠，即1223∠+∠=∠+∠, ，∴13∠=∠，在BCD n 与ACE n 中，13BC AC CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴BCD ACE ≅n n (SAS)∴60B EAC ∠=∠=︒，∴EAC ACB ∠=∠∴//AE BC【点睛】本题考查了平行线的判定、等边三角形的性质以及旋转的性质，利用全等三角形的证明是解题的关键.22．见解析.【解析】【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠DOC=90°，进一步得到()CDO CBO ASA ∆≅∆，得出DO=BO,则CE 是BD 的垂直平分线，根据等腰三角形的三线合一的性质得出EC 平分∠BED ，从而得证．【详解】证明：∵AD ∥BC ，∴∠ADC+∠BCD=180°，∵DB 平分∠ADC ，CE 平分∠BCD ，∴∠ODC+∠OCD=11802︒⨯=90°， ∴∠DOC=90°， 又CE 平分∠BCD ，CO=CO,易证()CDO CBO ASA ∆≅∆∴DO=BO,∴CE 是BD 的垂直平分线，∴EB=ED ，又∠DOC=90°，∴EC 平分∠BED ，∴点O 到EB 与ED 的距离相等．【点睛】本题考查的是平行线的性质、角平分线的性质，全等三角形的判定，掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键．23．（1）35元/盒；（2）20%．【解析】【分析】【详解】试题分析：（1）设2014年这种礼盒的进价为x 元/盒，则2016年这种礼盒的进价为（x ﹣11）元/盒，根据2014年花3500元与2016年花2400元购进的礼盒数量相同，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设年增长率为m ，根据数量=总价÷单价求出2014年的购进数量，再根据2014年的销售利润×（1+增长率）2=2016年的销售利润，即可得出关于m 的一元二次方程，解之即可得出结论．试题解析：（1）设2014年这种礼盒的进价为x 元/盒，则2016年这种礼盒的进价为（x ﹣11）元/盒，根据题意得：3500240011x x =-，解得：x=35，经检验，x=35是原方程的解． 答：2014年这种礼盒的进价是35元/盒．（2）设年增长率为m ，2014年的销售数量为3500÷35=100（盒）． 根据题意得：（60﹣35）×100（1+a ）2=（60﹣35+11）×100，解得：a=0.2=20%或a=﹣2.2（不合题意，舍去）．答：年增长率为20%．考点：一元二次方程的应用；分式方程的应用；增长率问题．24．见解析【解析】（1）根据CE=DE 得出∠ECD=∠EDC，再利用平行线的性质进行证明即可；（2）根据SAS 证明△AEC 与△BED 全等，再利用全等三角形的性质证明即可． 证明：（1）∵AB∥CD，∴∠AEC=∠ECD，∠BED=∠EDC，∵CE=DE，∴∠ECD=∠EDC，∴∠AEC=∠BED；（2）∵E是AB的中点，∴AE=BE，在△AEC和△BED中，AE=BE，∠AEC=∠BED，EC=ED，∴△AEC≌△BED（SAS），∴AC=BD．25．详见解析.【解析】【分析】利用SSS证明△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质可得∠B=∠DEF，再由平行线的判定即可得AB∥DE．【详解】证明：由BE＝CF可得BC＝EF，又AB＝DE，AC＝DF，故△ABC≌△DEF（SSS），则∠B=∠DEF，∴AB∥DE．考点：全等三角形的判定与性质.。

2020-2021北京师范大学第一附属中学初二数学上期中一模试卷带答案一、选择题1．若一个凸多边形的内角和为720°，则这个多边形的边数为( )A ．4B ．5C ．6D ．72．如图2，AB=AC ，BE ⊥AC 于E ，CF ⊥AB 于F ，BE ，CF 交于D ，则以下结论：①△ABE ≌△ACF ；②△BDF ≌△CDE ；③点D 在∠BAC 的平分线上．正确的是（ ）A ．①B ．②C ．①②D ．①②③3．已知：如图，BD 为△ABC 的角平分线，且BD=BC ，E 为BD 延长线上的一点，BE=BA ，过E 作EF ⊥AB ，F 为垂足．下列结论：①△ABD ≌△EBC ；②∠BCE+∠BCD=180°；③AD=AE=EC ；④BA+BC=2BF ；其中正确的是（ ）A ．①②③B ．①③④C ．①②④D ．①②③④4．如图，在ABC ∆中，90A ∠=o ，30C ∠=o ，AD BC ⊥于D ，BE 是ABC ∠的平分线，且交AD 于P ，如果2AP =，则AC 的长为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．85．为改善城区居住环境,某市对4000米长的玉带河进行了绿化改造.为了尽快完成工期，施工队每天比原计划多绿化10米,结果提前2天完成.若原计划每天绿化x 米,则所列方程正确的是（ ）A ．40004000210x x -=+ B ．40004000210x x -=+ C ．40004000210x x -=-D ．40004000210x x -=- 6．下列各式能用平方差公式计算的是( ) A ．(3a+b)(a-b)B ．(3a+b)(-3a-b)C ．(-3a-b)(-3a+b)D ．(-3a+b)(3a-b)7．已知2410x x --=，则代数式22(3)(1)3x x x ---+的值为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．1-8．下列图形中，周长不是32 m 的图形是( )A ．B ．C ．D ．9．如图，把一张矩形纸片ABCD 沿EF 折叠后，点A 落在CD 边上的点A′处，点B 落在点B′处，若∠2=40°，则图中∠1的度数为（ ）A ．115°B ．120°C ．130°D ．140°10．如图所示，在平行四边形ABCD 中，分别以AB 、AD 为边作等边△ABE 和等边△ADF，分别连接CE ，CF 和EF ，则下列结论，一定成立的个数是（ ）①△CDF≌△EBC；②△CEF 是等边三角形；③∠CDF＝∠EAF；④CE∥DFA ．1B ．2C ．3D ．411．若二次三项式2249x mxy y ++是一个完全平方式，则m 的可能值是（ ）A ．6±B ．12C ．6D ．12±12．新能源汽车环保节能，越来越受到消费者的喜爱.各种品牌相继投放市场.一汽贸公司经销某品牌新能源汽车.去年销售总额为5000万元，今年1~5月份，每辆车的销售价格比去年降低1万元.销售数量与去年一整年的相同.销售总额比去年一整年的少20%，今年1~5月份每辆车的销售价格是多少万元?设今年1~5月份每辆车的销售价格为x 万元.根据题意，列方程正确的是( )A ．B ．C ．D ．二、填空题13．如图，∠MON=30°，点A 1，A 2，A 3，…在射线ON 上，点B 1，B 2，B 3，…在射线OM 上，△A 1B 1A 2，△A 2B 2A 3，△A 3B 3A 4…均为等边三角形．若OA 1=1，则△A n B n A n+1的边长为______．14．如果等腰三角形两边长是6cm 和3cm ，那么它的周长是_____cm ．15．在代数式11,,52x x x +中，分式有_________________个． 16．关于x 的分式方程22kx 3x 1x 1x 1+=--+会产生增根，则k ＝_____． 17．若直角三角形的一个锐角为50°，则另一个锐角的度数是_____度． 18．清明节期间，初二某班同学租一辆面包车前去故宫游览，面包车的租金为600元，出发时又增加了5名同学，且租金不变，这样每个同学比原来少分摊了10元车费，若设实际参加游览的同学，一共有x 人则可列分式方程________．19．如图，△ABC 中，AB=BC ，∠ABC=90°，F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，且AE=CF ，若∠BAE=25°，则∠ACF=__________度．20．若11x y+=2，则22353x xy y x xy y -+++=_____ 三、解答题21．仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式2x 4x m -+有一个因式是()x 3+，求另一个因式以及m 的值． 解：设另一个因式为()x n +，得()()2x 4x m x 3x n -+=++则()22x 4x m x n 3x 3n -+=+++ {n 34m 3n +=-∴=．解得：n 7=-，m 21=- ∴另一个因式为()x 7-，m 的值为21-问题：仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式22x 3x k +-有一个因式是()2x 5-，求另一个因式以及k 的值．22．某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需要时间与原计划生产450台机器所需时间相同．（1）现在平均每天生产多少台机器；（2）生产3000台机器，现在比原计划提前几天完成．23．先化简，再求值：（1﹣11a -）÷2244a a a a-+-，其中a=2+2． 24．解方程：．25．如图，作业本上有这样一道填空题，其中有一部分被墨水污染了，若该题化简的结果为1x 3+．(1)求被墨水污染的部分；(2)原分式的值能等于17吗？为什么？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】设这个多边形的边数为n ，根据多边形的内角和定理得到(n ﹣2)×180°=720°，然后解方程即可．【详解】设这个多边形的边数为n，由多边形的内角和是720°，根据多边形的内角和定理得（n－2）180°=720°．解得n=6.故选C.【点睛】本题主要考查多边形的内角和定理，熟练掌握多边形的内角和定理是解答本题的关键. 2．D解析：D【解析】【分析】从已知条件进行分析，首先可得△ABE≌△ACF得到角相等，边相等，运用这些结论，进而得到更多的结论，最好运用排除法对各个选项进行验证从而确定最终答案．【详解】∵BE⊥AC于E，CF⊥AB于F∴∠AEB=∠AFC=90°，∵AB=AC，∠A=∠A，∴△ABE≌△ACF（①正确）∴AE=AF，∴BF=CE，∵BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，∠BDF=∠CDE，∴△BDF≌△CDE（②正确）∴DF=DE，连接AD∵AE=AF，DE=DF，AD=AD，∴△AED≌△AFD，∴∠FAD=∠EAD，即点D在∠BAC的平分线上（③正确）．故答案选D．考点：角平分线的性质；全等三角形的判定及性质．3．D解析：D【解析】【分析】根据SAS证△ABD≌△EBC，可得∠BCE＝∠BDA，结合∠BCD＝∠BDC可得①②正确；根据角的和差以及三角形外角的性质可得∠DCE＝∠DAE，即AE＝EC，由AD＝EC，即可得③正确；过E作EG⊥BC于G点，证明Rt△BEG≌Rt△BEF和Rt△CEG≌Rt△AEF，得到BG＝BF和AF＝CG，利用线段和差即可得到④正确．【详解】解：①∵BD为△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠CBD，∴在△ABD和△EBC中，BD BCABD CBD BE BA⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABD≌△EBC（SAS），①正确；②∵BD为△ABC的角平分线，BD＝BC，BE＝BA，∴∠BCD＝∠BDC＝∠BAE＝∠BEA，∵△ABD≌△EBC，∴∠BCE＝∠BDA，∴∠BCE＋∠BCD＝∠BDA＋∠BDC＝180°，②正确；③∵∠BCE＝∠BDA，∠BCE＝∠BCD＋∠DCE，∠BDA＝∠DAE＋∠BEA，∠BCD＝∠BEA，∴∠DCE＝∠DAE，∴△ACE为等腰三角形，∴AE＝EC，∵△ABD≌△EBC，∴AD＝EC，∴AD＝AE＝EC．③正确；④过E作EG⊥BC于G点，∵E是∠ABC的角平分线BD上的点，且EF⊥AB，∴EF＝EG（角平分线上的点到角的两边的距离相等），∵在Rt△BEG和Rt△BEF中，BE BE EF EG=⎧⎨=⎩，∴Rt△BEG≌Rt△BEF（HL），∴BG＝BF，∵在Rt△CEG和Rt△AFE中，AE CE EF EG=⎧⎨=⎩，∴Rt△CEG≌Rt△AEF（HL），∴AF＝CG，∴BA＋BC＝BF＋FA＋BG−CG＝BF＋BG＝2BF，④正确．故选D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和全等三角形的对应边、对应角相等的性质，本题中熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应角、对应边相等的性质是解题的关键．4．C解析：C【解析】【分析】易得△AEP的等边三角形，则AE=AP=2，在直角△AEB中，利用含30度角的直角三角形的性质来求EB的长度，然后在等腰△BEC中得到CE的长度，则易求AC的长度【详解】解：∵△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，∴∠ABC=60°．又∵BE是∠ABC的平分线，∴∠EBC=30°，∴∠AEB=∠C+∠EBC=60°，∠C=∠EBC，∴∠AEP=60°，BE=EC．又AD⊥BC，∴∠CAD=∠EAP=60°，则∠AEP=∠EAP=60°，∴△AEP的等边三角形，则AE=AP=2，在直角△AEB中，∠ABE=30°，则EB=2AE=4，∴BE=EC=4，∴AC=CE+AE=6．故选：C．【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质、角平分线的性质以及等边三角形的判定与性质．利用三角形外角性质得到∠AEB=60°是解题的关键．5．A【解析】【分析】原计划每天绿化x 米，则实际每天绿化(x+10)米，根据结果提前2天完成即可列出方程.【详解】原计划每天绿化x 米，则实际每天绿化(x+10)米，由题意得，40004000210x x -=+， 故选A.【点睛】本题考查了分式方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键.6．C解析：C【解析】【分析】利用平方差公式的逆运算判断即可.【详解】解：平方差公式逆运算为：()()22a b a b a b +-=- 观察四个选项中，只有C 选项符合条件.故选C.【点睛】此题重点考查学生对平方差公式的理解，掌握平方差公式的逆运算是解题的关键.7．A解析：A【解析】【分析】先将原代数式进行去括号化简得出242x x -+，然后根据2410x x --=得出241x x -=，最后代入计算即可.【详解】由题意得：22(3)(1)3x x x ---+=242x x -+，∵2410x x --=，∴241x x -=，∴原式=242x x -+=1+2=3.故选：A.【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，整体代入是解题关键. 8．B解析：B【解析】根据所给图形，分别计算出它们的周长，然后判断各选项即可．【详解】A. L=(6+10)×2=32，其周长为32.B. 该平行四边形的一边长为10，另一边长大于6，故其周长大于32.C. L=(6+10)×2=32，其周长为32.D. L=(6+10)×2=32，其周长为32.采用排除法即可选出B故选B.【点睛】此题考查多边形的周长，解题在于掌握计算公式.9．A解析：A【解析】解：∵把一张矩形纸片ABCD 沿EF 折叠后，点A 落在CD 边上的点A ′处，点B 落在点B ′处，∴∠BFE =∠EFB '，∠B '=∠B =90°．∵∠2=40°，∴∠CFB '=50°，∴∠1+∠EFB '﹣∠CFB '=180°，即∠1+∠1﹣50°=180°，解得：∠1=115°，故选A ．10．C解析：C【解析】【分析】利用“边角边”证明△CDF 和△EBC 全等，判定①正确；同理求出△CDF 和△EAF 全等，根据全等三角形对应边相等可得CE CF EF ＝＝，判定△ECF 是等边三角形，判定②正确；利用“8字型”判定③正确；若CE DF P ，则C 、F 、A 三点共线，故④错误；即可得出答案．【详解】在ABCD Y 中，ADC ABC ∠∠＝，AD BC ＝，CD AB ＝，∵ABE ADF V V 、都是等边三角形，∴AD DF ＝，AB EB ＝，60DFAADF ABE ∠∠∠︒＝＝＝， ∴DF BC ＝，＝CD BE ，∴60CDF ADC ∠∠︒＝﹣，60EBC ABC ∠∠︒＝﹣，∴CDF EBC ∠∠＝，在CDF V 和EBC V 中，DF BC CDF EBC CD EB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴CDF EBC SAS V V ≌（），故①正确； 在ABCD Y 中，设AE 交CD 于O ，AE 交DF 于K ，如图：∵AB CD ∥，∴60DOA OAB ∠∠︒＝＝，∴DOA DFO ∠∠＝，∵OKD AKF ∠∠＝，∴ODF OAF ∠∠＝，故③正确；在CDF V 和EAF △中，CD EA CDF EAF DF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴CDF EAF SAS V V ≌（）， ∴EF CF ＝，∵CDF EBC ≌△△，∴CE CF ＝，∴EC CF EF ＝＝，∴ECF △是等边三角形，故②正确；则60CFE ∠︒＝，若CE DF P 时，则60DFE CEF ∠∠︒＝＝，∵60DFA CFE ∠︒∠＝＝，∴180CFE DFE DFA ∠+∠+∠︒＝，则C 、F 、A 三点共线已知中没有给出C 、F 、A 三点共线，故④错误；综上所述，正确的结论有①②③．故选：C ．【点睛】本题主要考查三角形全等的判定与性质，解题的关键是能通过题目所给的条件以及选用合适的判定三角形全等的方法证明．11．D解析：D【解析】【分析】根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m 的值．【详解】∵2222=(2)223(3)49x xy x m x y y y ±⨯⨯+++，∴12mxy xy =±，解得m=±12． 故选：D ．【点睛】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要． 12．A解析：A【解析】【分析】首先根据所设今年每辆车的价格，可表示出去年的价格，同样根据销售总额的关系可表示出今年的销售总额，然后再根据去年和今年1~5月份销售汽车的数量相同建立方程即可得解.【详解】∵今年1~5月份每辆车的销售价格为x 万元，∴去年每辆车的销售价格为（x+1）万元， 则有故选A.【点睛】此题主要考查分式方程的应用，解题的关键是找出题中去年和今年的关系. 二、填空题13．2n-1【解析】【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3以及A2B2=2B1A2得出A3B3=4B1A2=4A4B4=8B1A2=8A5B5=16B1A2…进而得解析：2n-1【解析】【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3，以及A 2B 2=2B 1A 2，得出A 3B 3=4B 1A 2=4，A 4B 4=8B 1A 2=8，A 5B 5=16B 1A 2…进而得出答案．【详解】∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，∴∠2=120°，∵∠MON=30°，∴∠1=180°-120°-30°=30°，又∵∠3=60°，∴∠5=180°-60°-30°=90°，∵∠MON=∠1=30°，∴OA1=A1B1=1，∴A2B1=1，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，∵∠4=∠12=60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，∴A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3，∴A3B3=4B1A2=4，A4B4=8B1A2=8，A5B5=16B1A2=16，以此类推：△A n B n A n+1的边长为 2n-1．故答案是：2n-1．【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出A3B3=4B1A2，A4B4=8B1A2，A5B5=16B1A2进而发现规律是解题关键．14．15【解析】【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为6cm和3cm而没有明确腰底分别是多少所以要进行讨论还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形【详解】当腰为3cm时3+3=6不能构成三角形因此这种解析：15【解析】【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为6cm和3cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【详解】当腰为3cm时，3+3=6，不能构成三角形，因此这种情况不成立．当腰为6cm时，6-3＜6＜6+3，能构成三角形；此时等腰三角形的周长为6+6+3=15cm．故填15．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．15．1【解析】【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母如果含有字母则是分式如果不含有字母则不是分式【详解】解：是整式是分式是整式即分式个数为1故答案为：1【点睛】本题主要考查分式的定义注意数字不是字解析：1【解析】【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．【详解】解：15x是整式，1x是分式，2x是整式，即分式个数为1，故答案为：1【点睛】本题主要考查分式的定义，注意数字不是字母，判断分母的关键是分母中有字母. 16．﹣4或6【解析】【分析】根据增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根把增根代入化为整式方程的方程即可求出k的值【详解】方程两边都乘（x+1）（x﹣1）得2（x+1）+kx＝3（x﹣解析：﹣4或6【解析】【分析】根据增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根，把增根代入化为整式方程的方程即可求出k的值．【详解】方程两边都乘（x+1）（x﹣1），得2（x+1）+kx＝3（x﹣1），即（k﹣1）x＝﹣5，∵最简公分母为（x+1）（x﹣1），∴原方程增根为x＝±1，∴把x＝1代入整式方程，得k＝﹣4．把x＝﹣1代入整式方程，得k＝6．综上可知k＝﹣4或6．故答案为﹣4或6.本题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．17．40°【解析】【分析】根据直角三角形两锐角互余解答【详解】∵一个锐角为50°∴另一个锐角的度数=90°-50°=40°故答案为：40°解析：40°．【解析】【分析】根据直角三角形两锐角互余解答．【详解】∵一个锐角为50°，∴另一个锐角的度数=90°-50°=40°．故答案为：40°．18．【解析】【分析】关键描述语是：每个同学比原来少分摊了10元车费；等量关系为：原有的同学每人分担的车费－实际每人分担的车费＝20；据此列出分式方程即可【详解】解：设实际参加游览的同学一共有人由题意得：解析：60060010 5x x-= -【解析】【分析】关键描述语是：“每个同学比原来少分摊了10元车费”；等量关系为：原有的同学每人分担的车费－实际每人分担的车费＝20；据此列出分式方程即可．【详解】解：设实际参加游览的同学一共有x人，由题意得：600600105x x-=-，故答案为：600600105x x-=-．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到相应的等量关系是解决问题的关键．19．70【解析】【分析】先利用HL证明△ABE≌△CBF可证∠BCF=∠BAE=25°即可求出∠ACF=45°+25°=70°【详解】∵∠ABC=90°AB=AC∴∠CBF=180°-∠ABC=90°∠解析：70【解析】【分析】先利用HL证明△ABE≌△CBF，可证∠BCF=∠BAE=25°，即可求出∠ACF=45°+25°=70°.∵∠ABC=90°，AB=AC ，∴∠CBF=180°-∠ABC=90°，∠ACB=45°，在Rt △ABE 和Rt △CBF 中，AB CB AE CF =⎧⎨=⎩， ∴Rt △ABE ≌Rt △CBF(HL)，∴∠BCF=∠BAE=25°，∴∠ACF=∠ACB+∠BCF=45°+25°=70°，故答案为70.【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.20．【解析】【分析】由=2得x+y=2xy 整体代入所求的式子化简即可【详解】=2得x+y=2xy 则==故答案为【点睛】本题考查了分式的基本性质解题关键是用到了整体代入的思想 解析：311【解析】【分析】 由11x y+=2，得x+y=2xy ，整体代入所求的式子化简即可． 【详解】11x y+=2，得x+y=2xy 则22353x xy y x xy y -+++=22325xy xy xy xy ⋅-⋅+=331111xy xy =， 故答案为311. 【点睛】 本题考查了分式的基本性质，解题关键是用到了整体代入的思想．三、解答题21．()4,x +【解析】【分析】根据例题中的已知的两个式子的关系，二次三项式2x 4x m -+的二次项系数是1，因式是()x 3+的一次项系数也是1，利用待定系数法求出另一个因式.所求的式子22x 3x k +-的二次项系数是2，因式是()2x 5-的一次项系数是2，则另一个因式的一次项系数一定是1，利用待定系数法，就可以求出另一个因式．【详解】解：设另一个因式为()x a +，得()()22x 3x k 2x 5x a +-=-+则()222x 3x k 2x 2a 5x 5a +-=+-- {2a 535a k -=∴-=-解得：a 4=，k 20=故另一个因式为()x 4+，k 的值为20【点睛】正确读懂例题，理解如何利用待定系数法求解是解本题的关键．22．(1) 现在平均每天生产200台机器．(2) 现在比原计划提前5天完成．【解析】【分析】（1）因为现在生产600台机器的时间与原计划生产450台机器的时间相同．所以可得等量关系为：现在生产600台机器时间=原计划生产450台时间，由此列出方程解答即可； （2）由（1）中解得的数据，原来用的时间-现在用的时间即可求得提前时间.【详解】解：（1）设现在平均每天生产x 台机器，则原计划可生产（x-50）台． 依题意得：60045050x x =-， 解得：x=200． 检验x=200是原分式方程的解.（2）由题意得3000300020050200--=20-15=5(天) ∴现在比原计划提前5天完成.【点睛】 此题考查分式方程的实际运用，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键.23．原式=2a a -+1． 【解析】分析：先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a 的值代入计算可得． 详解：原式=211(2)(11(1)a a a a a a ---÷---）=22(1)•1(2)a a a a a ---- =2a a -当原式1=． 点睛：本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式混合运算顺序和运算法则．24．无解．【解析】试题分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．试题解析：去分母得：15x-12=4x+10-3x+6，移项合并得：14x=28，解得：x=2，经检验x=2是增根，分式方程无解．考点：解分式方程．25．(1)x-4；(2)不能，见解析.【解析】试题分析：（1）设被墨水污染的部分是A ，计算即可得到结论；（2）令1137x =+，解得x =4，而当x =4时，原分式无意义，所以不能． 试题解析：解：（1）设被墨水污染的部分是A ，则2443193(3)(3)3x A x x x x x x A x ---÷=⋅=--+-+，解得：A = x -4； （2）不能，若1137x =+，则x =4，由原题可知，当x =4时，原分式无意义，所以不能．。

北京首都师范大第二附属中学2024届八年级数学第一学期期末达标检测模拟试题 请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题(每小题3分,共30分)1．如图，将一张长方形纸片对折，再对折，然后沿第三个图中的虚线剪下，将纸片展开，得到一个四边形，这个四边形的面积是（ ）A ．28cmB ．216cmC ．218cmD ．220cm2．化简2x x x 11x+--的结果是 A ．x +1 B ．x 1- C ．x - D ．x3．如图，小明从A 地出发，沿直线前进15米后向左转18°，再沿直线前进15米，又向左转18°⋯⋯，照这样走下去，他第一次回到出发地A 地时，一共走的路程是（ ）A ．200米B ．250米C ．300米D ．350米4．一根蜡烛长30cm ，点燃后每小时燃烧5cm ，燃烧时蜡烛剩余的长度h （cm ）和燃烧时间t （小时）之间的函数关系用图像可以表示为中的（ ）A ．B ．C ．D．5．一个三角形的两边长分别为2和5，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最大值是()A．11B．12C．13D．146．如图，在中，，是的角平分线交于点，于点，下列四个结论中正确的有（）①②③④A．个B．个C．个D．个7．下面计算正确的是（）A．2a+3b＝5ab B．a2+a3＝a5C．（﹣2a3b2）3＝﹣8a9b6D．a3•a2＝a68．如图，在三角形ABC中，已知AB=AC，D为BC边上的一点，且AB=BD，AD=CD，则∠ABC等于（）A．36°B．38°C．40°D．45°9．若k90k+1（k是整数），则k=（）A．6 B．7 C．8 D．910．a，b是两个连续整数，若a11b，则a+b的值是（）A．7 B．9 C．21 D．25二、填空题(每小题3分,共24分)11．已知x ay b=⎧⎨=⎩是方程组23327x yx y+=-⎧⎨-=⎩的解，则5a﹣b的值是_____．12．计算(x－a)(x+3)的结果中不含x的一次项，则a的值是________．13．如图，在ABC ∆中，30B ∠=︒，点D 是BC 的中点，DE BC ⊥交AB 于E ，点O 在DE 上，OA OC =，1OD =，25OE =，则AE =_________．14．在平面直角坐标系中，已知一次函数y =x −1的图象经过P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2）两点，若x 1＜x 2，则y 1_____y 2（填“＞”，“＜”或“=”）15．在实数范围内规定一种新的运算“☆”，其规则是：a ☆b=3a+b ，已知关于x 的不等式：x ☆m>1的解集在数轴上表示出来如图所示．则m 的值是________ ．16．已知点A （l ，－2），若A 、B 两点关于x 轴对称，则B 点的坐标为_______17．若分式2x x +在实数范围内有意义，则x 的取值范围是______． 18．如图，直角坐标系中，直线2y x =+和直线y ax c =+相交于点(),3P m ，则方程组2y x y ax c =+⎧⎨=+⎩的解为__________．三、解答题(共66分)19．（10分）如图1，ABC 是直角三角形，90C ∠=︒，CAB ∠的角平分线AE 与AB 的垂直平分线DE 相交于点E ．（1）如图2，若点E 正好落在边BC 上．①求B 的度数；②证明：3BC DE =．（2）如图3，若点E 满足C 、E 、D 共线．线段AD 、DE 、BC 之间是否满足AD DE BC +=，若满足请给出证明；若不满足，请说明理由．20．（6分）（1）解方程：()()31112x x x x -=--+； （2）先化简2728333x x x x x -⎛⎫+-÷ ⎪--⎝⎭,再从04x ≤≤中选一个适合的整数代人求值． 21．（6分）先化简：222122(1)1211x x x x x x x x ++-+÷+--+-，然后从22x -<≤的范围内选取一个合适的整数为x 的值代入求值．22．（8分）如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC=BC ，点D 在斜边AB 上，且AD=AC ，过点B 作BE ⊥CD 交直线CD 于点E ．（1）求∠BCD 的度数；（2）求证：CD=2BE ．23．（8分）计算：（1）()320422018(3)-++-·(-3)-2 （2）(2)(2)(1)(5)y y y y +---+24．（8分）ABC 在直角坐标系中如图所示，请写出点、、A B C 的坐标.25．（10分）下面有4张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，请在方格纸中分别画出符合要求的图形，所画图形各顶点必须与方格纸中小正方形的顶点重合，具体要求如下：（1）画一个直角边长为4，面积为6的直角三角形．（2）画一个底边长为4，面积为8的等腰三角形．（3）画一个面积为5的等腰直角三角形．（4）画一个边长为22，面积为6的等腰三角形．26．（10分）如图，四边形ABCD中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，∠B=90°，求证：∠A+∠C=180°.参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、B【分析】在直角三角形BAC中，先求出AB长，四边形的面积即为图中阴影部分三角形面积的4倍，求出阴影部分三角形面积即可求解．【题目详解】再Rt△BAC中2222(25)24AB BC AC=-=-=∴S△ABC=11244 22AB AC⨯⨯=⨯⨯=∴S四边形=4 S△ABC=16 故选：B【题目点拨】本题考查了图形的折叠问题，发挥空间想象力，能够得出S四边形=4 S△ABC是解题的关键．2、D【解题分析】试题分析：()22x x1x x x xxx11x x1x1--+===----．故选D．3、C【分析】由题意可知小明所走的路线为一个正多边形，根据多边形的外角和进行分析即可求出答案．【题目详解】解：正多边形的边数为：360°÷18°=20，∴路程为：15×20=300（米）.故选：C．【题目点拨】本题主要考查多边形的外角和定理，熟练掌握任何一个多边形的外角和都是360°是解题的关键．4、B【分析】根据蜡烛剩余的长度=总长度-燃烧的长度就可以得出函数的解析式，由题意求出自变量的取值范围就可以得出函数图象．【题目详解】解：由题意，得y=30-5t，∵y≥0，t≥0，∴30-5t≥0，∴t≤6，∴0≤t≤6，∴y=30-5t是降函数且图象是一条线段．故选B．【题目点拨】本题考查一次函数的解析式的运用，一次函数的与实际问题的关系的运用，一次函数的图象的运用，自变量的取值范围的运用，解答时求出函数解析式及自变量的范围是关键．5、C【分析】根据三角形的三边关系求出第三边长的取值范围，再结合已知条件求出第三边长的最大整数值，即可求出三角形的周长最大值．【题目详解】解：∵一个三角形的两边长分别为2和5∴5－2＜第三边长＜5＋2解得：3＜第三边长＜7∵第三边长为整数，∴第三边长可以为4、5、6∴第三边长的最大值为6∴三角形的周长最大值为2＋5＋6=13故选C．【题目点拨】此题考查的是根据三角形的两边长，求第三边的取值范围和求三角形的周长，掌握三角形的三边关系和三角形的周长公式是解决此题的关键．6、C【分析】根据角平分线性质，即可得到DE=DC；根据全等三角形的判定与性质，即可得到BE=BC，△BDE≌△BDC．【题目详解】解：∵∠ACB=90°，BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB，∴DE=DC，故①正确；又∵∠C=∠BEC=90°，BD=BD，∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL），故④正确；∴BE=BC，故②正确；∵Rt△ADE中，AD＞DE=CD，∴AD=DC不成立，故③错误；故选C．【题目点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．7、C【分析】分别根据合并同类项的法则，积的乘方运算法则以及同底数幂的乘法法则逐一判断即可．【题目详解】解：2a与3b不是同类项，所以不能合并，故选项A不合题意；a2与a3不是同类项，所以不能合并，故选项B不合题意；（-2a3b2）3=-8a9b6，正确，故选项C符合题意；a3•a2=a5，故选项D不合题意．故选：C．【题目点拨】本题主要考查了合并同类项，幂的乘方与积的乘方及同底数幂的乘法，熟记幂的运算法则是解答本题的关键． 8、A【解题分析】试题分析：根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C ，根据三角形外角的性质得到∠ADB=2∠C=2∠B ，于是得到∠BDA=∠BAD=2∠B ，在△ABD 中利用三角形内角和定理可求出∠B ．解：∵AB=AC ，∴∠B=∠C ，∵CD=DA ，∴∠C=∠DAC ，∵BA=BD ，∴∠BDA=∠BAD=2∠C=2∠B ，又∵∠B+∠BAD+∠BDA=180°，∴5∠B=180°，∴∠B=36°，故选A ．考点：等腰三角形的性质．9、D【分析】找到90.【题目详解】本题考查二次根式的估值．∵8190100<<，∴910<，∴9k =．一题多解：可将各个选项依次代入进行验证．如下表：【题目点拨】本题考查二次根式的估算，找到被开方数左右两边相邻的两个平方数是关键.10、A的范围，即可得出a 、b 的值，代入求出即可．【题目详解】解：∵3＜4，∴a ＝3，b ＝4，∴a ＋b ＝7，故选：A ．【题目点拨】的范围，难度不是很大．二、填空题(每小题3分,共24分)11、1【分析】把x a y b =⎧⎨=⎩代入方程组，得23327a b a b +=-⎧⎨-=⎩①②，两个方程相加，即可求解． 【题目详解】把x a y b =⎧⎨=⎩代入方程组23327x y x y +=-⎧⎨-=⎩，得：23327a b a b +=-⎧⎨-=⎩①②， ①+②得：5a ﹣b =1．故答案为：1．【题目点拨】本题主要考查二元一次方程组的解的定义，掌握方程的解的定义和加减消元法，是解题的关键．12、3【分析】先根据多项式乘以多项式法则展开，合并同类项，令x 的一次项系数为0，列出关于a 的方程，求出即可．【题目详解】解：()2()=(333)x a x a x a x +--+－, ∵不含x 的一次项，∴3－a =0,∴a=3,故答案为：3.【题目点拨】本题考查了多项式乘以多项式法则，理解多项式中不含x 的一次项即x 的一次项的系数为0是解题的关键．不要忘记合并同类项.13、92【分析】根据直角三角形的性质得到BE=2DE=2（1+2.5）=7，过O 作OF ⊥AB 于F ，根据等腰三角形的性质得到BF=AF ，根据直角三角形的性质即可得到结论．【题目详解】解：∵1OD =,25OE =∴DE=1+2.5=3.5∵DE ⊥BC ，∠B=30°，∴BE=2DE=7，过O 作OF ⊥AB 于F ，∵点D 是BC 的中点，DE BC ⊥∴OC=OB ，∠BDE=90°，∵OC=OA ，∴OB=OA ，∴BF=AF ，∵30B ∠=︒∴∠FEO=60°， ∴∠EOF=30°，∴EF=12OE=54， ∴BF=BE-EF=7-54=234 ， ∴AF=BF=234，∴AE=AF-EF=92． 故答案为：92 ． 【题目点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．14、＜【分析】根据k=1结合一次函数的性质即可得出y=x ﹣1为单调递增函数，再根据x 1＜x 1即可得出y 1＜y 1，此题得解．【题目详解】∵一次函数y=x ﹣1中k=1，∴y 随x 值的增大而增大．∵x 1＜x 1，∴y 1＜y 1．故答案为＜．15、-2【分析】根据新运算法则得到不等式31x m +>，通过解不等式即可求m 的取值范围，结合图象可以求得m 的值．【题目详解】∵x ☆ 31m x m =+>， ∴13m x ->， 根据图示知，已知不等式的解集是1x >， ∴113m -=， 故答案为：2m =-．【题目点拨】本题主要考查了数轴上表示不等式的解集及解不等式，本题的关键是理解新的运算方法．16、（1，2）【题目详解】关于x 轴对称，则两个点的横坐标不变，纵坐标互为相反数，故B 点的坐标为（1，2）.17、x ≠－2【解题分析】根据分式有意义的条件进行求解即可.【题目详解】由题意得：x+2≠0，解得：x ≠-2，故答案为：x ≠-2.【题目点拨】本题考查了分式有意义的条件，熟知“分式的分母不为0”时分式有意义是解题的关键.18、13x y =⎧⎨=⎩ 【分析】根据题意，将(),3P m 代入2y x =+中求出m 即可得到方程组的解.【题目详解】将(),3P m 代入2y x =+中得32m =+，则1m =∴()1,3P∵直线2y x =+和直线y ax c =+相交于点(),3P m∴2y x y ax c =+⎧⎨=+⎩的解为13x y =⎧⎨=⎩.故答案为：13x y =⎧⎨=⎩. 【题目点拨】本题主要考查了一次函数图像的交点与二元一次方程组的关系，熟练掌握相关知识是解决本题的关键.三、解答题(共66分)19、（1）①30；②见解析；（2）满足，证明见解析【分析】（1）①由角平分线与垂直平分线的性质证明：CAE DAE B ∠=∠=∠，再利用三角形的内角和定理可得答案；②先利用角平分线的性质证明：EC ED =，再利用30B ∠=︒， 证明2BE DE =， 从而可得结论；（2）过点E 作EF AC ⊥于点F ，证明：EF CF =，再证明()Rt ADE Rt AFE HL ≌，可得AD AF =，再利用线段的和差可得答案．【题目详解】（1）①解：∵AE 平分CAB ∠∴CAE BAE ∠=∠又∵ED 是AB 的垂直平分线∴EA EB =∴B DAE ∠=∠，∴CAE DAE B ∠=∠=∠又∵90C ∠=︒ ∴190303B ∠=⨯︒=︒； ②证明：∵AE 平分CAB ∠，且EC AC ⊥，ED AB ⊥∴EC ED =，在Rt EDB 中，30B ∠=︒∴2BE DE =，3BC BE CE BE DE DE =+=+=；（2）解：线段AD 、DE 、BC 之间满足AD DE BC +=，证明如下：过点E 作EF AC ⊥于点F ，∵ED 是AB 的垂直平分线，且C 、E 、D 共线∴CD 也是AB 的垂直平分线∴CA CB =又90ACB ∠=︒∴ABC 是等腰直角三角形．∴45ACD ∠=︒∴CEF △是等腰直角三角形．∴EF CF =∵AE 平分CAB ∠，且EF AC ⊥，ED AB ⊥∴EF ED =∴ED FC =，在Rt ADE △和Rt AFE 中EF ED AE AE =⎧⎨=⎩∴()Rt ADE Rt AFE HL ≌∴AD AF =，∴BC AC AF FC AD DE ==+=+．【题目点拨】本题考查的是三角形的内角和定理，角平分线的性质，垂直平分线的性质，直角三角形全等的判定与性质，含30的直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．20、（1）原方程无解；（2）42x x +，52． 【分析】(1)先去分母,再解整式方程,再验根;(2)根据分式运算法则先化简,再代入已知条件中的值计算.【题目详解】()1解：()()31112x x x x -=--+方程两边同时乘以()()12x x -+,得()()()2312x x x x +=-+-.解得 1.x =检验:当1x =时, ()()120x x -+=,所以, 1.x =不是原方程的解,原方程无解.()2解：2728333x x x x x -⎛⎫+-÷ ⎪--⎝⎭ 229728333x x x x x x ⎛⎫--=-÷ ⎪---⎝⎭()()()443324x x x x x x +--=-- 42x x += 当1x =时,原式145212+=⨯ 【题目点拨】 考核知识点:分式化简求值.掌握分式运算法则是关键.21、241x x -+，当2x =时，原式＝0. 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时根据除法法则变形，约分得到最简结果，将适合的x 的值代入计算即可求出值．【题目详解】原式=211(1)2(1)1(1)(1)(1)x x x x x x x x x ++---⋅+-++- =22(1)21(1)1x x x x x x -⋅--++ =2(1)211x x x --++ =241x x -+， ∵满足22x -≤≤的整数有±2，±1，0，而x=±1，0时，原式无意义，∴x=±2，当x=2时，原式=224021⨯-=+，当x=－2时，原式=2(2)4821⨯--=-+．22、（1）22.5°；（2）见解析【分析】（1）首先根据等腰直角三角形求出,A B ∠∠的度数，然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和求出,ACD ADC ∠∠的度数，最后余角的概念求值即可；（2）作AF ⊥CD 交CD 于点F ，首先根据等腰三角形三线合一得出CF=FD=12CD ，∠FAD=12∠CAB=22.5°，进一步可证明△AFD ≌△CEB ，则有BE=DF ，则结论可证．【题目详解】（1）∵∠ACB=90°，AC=BC ，∴∠A=∠B=45°，∵AD=AC ，∴∠ACD=∠ADC=180-452︒︒=67.5°， ∴∠BCD=90°-67.5°=22.5°；（2）证明：作AF ⊥CD 交CD 于点F ，∵AD=AC ，∴CF=FD=12CD ，∠FAD=12∠CAB=22.5°， ∵∠ADC=67.5°，∴∠BDE=67.5°，∴∠DBE=90°-67.5°=22.5°，∴∠CBE=45°+22.5°=67.5°，在△AFD 和△CEB 中，AFD CEB ADF CBE AD CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AFD ≌△CEB ，∴BE=DF ，∴CD=2BE ．【题目点拨】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定及性质，掌握这些性质及定理是解题的关键．23、（1）-54；（2）-4y+1【分析】（1）根据有理数幂的乘方、0指数幂、同底数幂乘法的运算法则计算即可；（2）先利用平方差公式及多项式乘以多项式法则展开，再合并同类项即可.【题目详解】（1）原式＝32(4)1(3)-++-＝6419-++＝54-（2）原式＝()22445y y y --+-＝y 2-4-y 2-4y+5＝41y -+【题目点拨】本题考查有理数幂的乘方、0指数幂、同底数幂乘法的运算及整式的运算，熟练掌握运算法则是解题关键. 24、22112)2(()()A B C ---，，，，，. 【分析】根据平面直角坐标系的特点写出点A 、B 、C 的坐标；【题目详解】解：由平面直角坐标系可得：A(2,2)，B(-1,1)，C(-2,-2)；故答案为A(2,2)，B(-1,1)，C(-2,-2).【题目点拨】本题考查了平面直角坐标系点的坐标，解题的关键是熟练掌握基本知识.25、（1）画图见解析；（2）画图见解析；（3）画图见解析；（4）画图见解析.【解题分析】（1）利用三角形面积求法以及直角三角形的性质画即可；（2）利用三角形面积求法以及等腰三角形的性质画出即可．（3）利用三角形面积求法以及等腰直角三角形的性质画出即可；（4）利用三角形面积求法以及等腰三角形的性质画出即可．【题目详解】解：（1）如图（1）所示：（2）如图（2）所示：（3）如图（3）所示；（4）如图（4）所示．【题目点拨】此题主要考查了等腰三角形的性质、等腰直角三角形的性质以及作图；熟练掌握等腰三角形的性质是关键．26、见解析【分析】连接AC．首先根据勾股定理求得AC的长，再根据勾股定理的逆定理求得∠D=90°，进而求出∠A+∠C=180°【题目详解】证明：连接AC.∵AB=20，BC=15，∠B=90°，∴由勾股定理,得AC2=202+152=625又CD=7，AD=24，∴CD2+AD2=625，∴AC2=CD2+AD2∴∠D=90°，∴∠A+∠C=360°−180°=180°【题目点拨】本题考查了勾股定理的逆定理、勾股定理、多边形内角与外角，借助辅助线方法是解决本题的关键。

北京首都师范大学第二附属中学2020-2021学年八年级上学期期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下面四个图形中为轴对称图形的是（ ）．A ．B ．C ．D ．2．下列3根小木棒能摆成三角形的是（ ）．A ．5cm ，6cm ，13cmB ．3cm ，3cm ，4cmC ．4cm ，3cm ，7cmD ．2cm ，3cm ，6cm3．下列运算正确的是（ ）．A ．236a a a ⋅=B ．352()a a =C ．624a a a ÷=D ．235(2)8b b = 4．已知点1(,3)P a ，2(2,)P b 关于x 轴对称，则a 的值为（ ）．A ．3-B ．2C ．3D ．2- 5．已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为（ ） A ．8或10 B ．8 C ．10 D ．6或12 6．如图，已知AB AD =，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ABC ADC ∆∆≌的是（ ）A ．CB CD = B ．BAC DAC ∠=∠ C ．BCA DCA ∠=∠D ．90B D ∠=∠=︒ 7．已知3a b -=，2ab =，则22a ab b -+的值为（ ）．A ．11B ．13C ．9D ．88．图（1）是一个长为2m ，宽为2n （m ＞n ）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（ ）A ．2mnB ．（m+n ）2C ．（m-n ）2D ．m 2-n 29．如图，在ABC △中，AB AC =，D 、E 是ABC △内两点，AD 平分BAC ∠，60EBC E ∠=∠=︒，若6BE =，2DE =，则BC 的长度是（ ）．A ．7B ．8C ．9D ．10二、填空题 10．分解因式：a x 2﹣a y 2= ．11．若0(2)1x -=有意义，则x __________．12．等腰三角形的一个外角度数为100°，则顶角度数为_____．13．若294x kx ++是一个完全平方式，则k 的值为__________．14．如图，钝角三角形纸片ABC 中，110BAC ∠=︒，D 为AC 边的中点．现将纸片沿过点D 的直线折叠，折痕与BC 交于点E ，点C 的落点记为F ，若点F 恰好在BA 的延长线上，则ADF ∠=__________．三、解答题15．下面是“已知底边及底边上的高线作等腰三角形”的尺规作图过程．已知：线段a ．求作：等腰ABC ∆，使,AB AC BC a ==，BC 边上的高为2a ．作法：如图，（1）作线段BC a =；（2）作线段BC 的垂直平分线DE 交BC 于点F ；（3）在射线FD 上顺次截取线段FG GA a ==，连接,AB AC ．所以ABC ∆即为所求作的等腰三角形．请回答：得到ABC ∆是等腰三角形的依据是：①_____：②_____．16．计算：(3)(21)x x +-．17．因式分解：222269x y xy y -+．18．先化简，再求值 x 2(x-1)- x(x 2+x-1)，其中x=12. 19．如图，已知：在△AFD 和△CEB 中，点A 、E 、F 、C 在同一直线上，AE=CF ，∠B=∠D ，AD ∥BC ．求证：AD=BC ．20．已知平面直角坐标系中，点(3,3)A --，(2,2)B --．（1）请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系．（2）请直接写出点C 的坐标为__________．（3）请画出ABC △关于y 轴对称的111A B C △，并直接写出1A 、1B 、1C 的坐标．21．如图，点D 在△ABC 的AB 边上，且∠ACD=∠A（1）作△BDC 的平分线DE ，交BC 于点E （用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）的条件下，判断直线DE 与直线AC 的位置关系（不要求证明）.22．如图，在ABC △中，AB AC =，BD 、CE 是腰AB 、AC 上的高，交于点O ． （1）求证：OB OC =．（2）若65ABC ∠=︒，求COD ∠的度数．23．阅读下列材料：利用完全平方公式，可以将多项式2(0)ax bx c a ++≠变形为2()a x m n ++的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式2ax bx c ++的配方法． 运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式．例如：222211111124112422x x x x ⎛⎫⎛⎫++=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2112524x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭1151152222x x ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ (8)(3)x x =++根据以上材料，解答下列问题：（1）用配方法及平方差公式把多项式2340x x --进行分解因式．（2）求证：x ，y 取任何实数时，多项式222416x y x y +--+的值总为正数． 24．如图1，2OA =，4OB =，以A 点为顶点、AB 为腰在第三象限作等腰Rt ABC ．（1）求C 点的坐标．（2）如图2，P 为y 轴负半轴上一个动点，当P 点沿y 轴负半轴向下运动时，以P 为顶点，PA 为腰作等腰Rt APD ，过D 作DE x ⊥轴于E 点，求OP DE -的值．25．已知：在ABC △中，60ABC ∠<︒，CD 平分ACB ∠交AB 于点D ，点E 在线段CD 上（点E 不与点C 、D 重合），且2EAC EBC ∠=∠． （1）如图1，若27EBC ∠=︒，且EB EC =，则DEB ∠=__________︒，AEC ∠=__________︒．（2）如图2，①求证：AE AC BC +=．②若30ECB ∠=︒，且AC BE =，求EBC ∠的度数．参考答案1．C【解析】解：A 是中心对称图形，不是轴对称图形，故A 错误；B 是中心对称图形，不是轴对称图形，故B 错误；C 是轴对称图形，故C 正确；D 是中心对称图形，不是轴对称图形，故D 错误．故选C ．2．B【解析】解：A ．5613+<，不能构成三角形，故A 错误；B ．334+>，能构成三角形，故B 正确；C ．437+=，不能构成三角形，故C 错误；D ．26+3<，不能构成三角形，故D 错误．故选B ．3．C【解析】解：A ．235a a a ⋅=，故A 错误；B ．236()a a =，故B 错误；C ．624a a a ÷=，故C 正确；D ．236(2)8b b =，故D 错误．故选C ．4．B【解析】解：∵1(,3)P a ，2(2,)P b 关于x 轴对称，∴2a =．故选B ．5．C【解析】试题分析：①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、4，∵2+2=4，∴不能组成三角形，②2是底边时，三角形的三边分别为2、4、4，能组成三角形，周长=2+4+4=10， 综上所述，它的周长是10．故选C ．考点：1．等腰三角形的性质；2．三角形三边关系；3．分类讨论．6．C【分析】由图形可知AC=AC ，结合全等三角形的判定方法逐项判断即可．【详解】解：在△ABC 和△ADC 中∵AB=AD ，AC=AC ，A 、添加CB CD =，根据SSS ，能判定ABC ADC ∆∆≌，故A 选项不符合题意； B 、添加BAC DAC ∠=∠，根据SAS 能判定ABC ADC ∆∆≌，故B 选项不符合题意； C ．添加BCA DCA ∠=∠时，不能判定ABC ADC ∆∆≌，故C 选项符合题意；D 、添加90B D ∠=∠=︒，根据HL ，能判定ABC ADC ∆∆≌，故D 选项不符合题意； 故选：C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题关键，即SSS 、SAS 、ASA 、AAS 和HL ．7．A【解析】解：2222()2()9211a ab b a b ab ab a b ab -+=-+-=-+=+=．故选A ．8．C【详解】解：由题意可得，正方形的边长为（m+n ），故正方形的面积为（m+n ）2．又∵原矩形的面积为4mn ，∴中间空的部分的面积=（m+n ）2-4mn=（m-n ）2． 故选C ．9．B【解析】解：延长AD 交BC 于点F ，延长ED 交BC 于点G ．∵AB AC =，AD 平分BAC ∠，∴AF BC ⊥，BF FC =，∴90DFC ∠=︒. ∵60E EBC ∠=∠=︒，∴60EGB ∠=︒，∴6EB EG BG ===．∵2DE =，∴4DG =．∵90DFG ∠=︒，60DGF ∠=︒，∴30FDG ∠=︒，∴122FG DG ==，∴4BF BG FG =-=，∴28BC BF ==．故选B ．点睛：此题主要考查了等腰三角形的性质和等边三角形的性质，能求出FG 的长是解决问题的关键．10．a(x+y)(x －y)【解析】试题分析：应先提取公因式a ，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．原式=a(x 2−y 2)=a(x+y)(x －y)．考点：提公因式法与公式法的综合运用．11．2≠【解析】解：∵0(2)1x -=，有意义，∴20x -≠，∴2x ≠．故答案为：≠2．12．80︒或20︒【解析】解：若顶角的外角是100︒，则顶角是80︒．若底角的外角是100︒，则底角是80︒，顶角是20︒．故答案为80°或20°． 13．12±【解析】解：∵294x kx ++是一个完全平方式，∴2294(32)x kx x ++=±，∴12k =±．故答案为：±12．14．40︒【解析】解：∵D 是AC 的中点，∴AD CD DF ==．∵110BAC ∠=︒，∴70FAD ∠=︒，∴18027040FDA ∠=︒-⨯︒=︒．故答案为：40°． 点睛：本题考查了折叠问题．得到所求角所在的三角形的形状是解决本题的突破点． 15．（1）线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；（2）有两条边相等的三角形是等腰三角形.【分析】根据题意可知：DE 垂直平分BC ，根据线段垂直平分线定理得到AB=AC ，进而得到三角形ABC 是等腰三角形，将定理填入题中即可.【详解】根据题意知，∵DE 垂直平分BC ，∴AB AC =，∴ABC ∆是等腰三角形，其依据是：①线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；②有两条边相等的三角形是等腰三角形，故答案为线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等、有两条边相等的三角形是等腰三角形．【点睛】本题考查线段垂直平分线定理以及等腰三角形的判定，熟练掌握相关性质定理是解题关键. 16．2253x x +-【解析】试题分析：根据多项式乘法法则计算即可．试题解析：解：原式2263x x x =-+-2253x x =+-．17．22(3)y x -【解析】试题分析：提公因式后再用公式法分解即可．试题解析：解：原式22(69)y x x =-+22(3)y x =-．18．-2x 2+x,0.【分析】先去括号，再化简，最后代入求值.【详解】解：原式=x 3-x 2-x 3-x 2+x=x 3-x 3-x 2-x 2+x=-2x 2+x当x=时【点睛】本题考查的是多项式，熟练掌握计算法则是解题的关键.19．证明见解析．【分析】因为AE=CF ，所以AE+EF=CF+EF ，即AF=CE ，因为AD ∥BC ，所以∠A=∠C ，再有∠B=∠D ，根据“AAS”即得△AFD ≌△BEC ，于是AD=CB ．【详解】解：AE=CF ，AE+EF=CF+EF ，即AF=CE ，AD ∥BC ，∠A=∠C ，在△AFD 与△BEC 中A CB D AF CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△AFD ≌△BEC ，∴AD=CB ．【点睛】本题考查的是平行线的性质、全等三角形的判定与性质．20．（1）见解析；（2）(1,0)C ；（3）见解析，1(3,3)A ，1(2,2)B -1(1,0)C -【解析】试题分析：（1）根据A 点坐标建立平面直角坐标系即可；（2）根据点C 在坐标系中的位置写出其坐标即可；（3）分别作出各点关于y 轴的对称点，再顺次连接即可．试题解析：解：（1）如图；（2）由图可知，(1,0)C ．（3）如图，111A B C △即为所求，1(3,3)A ，1(2,2)B -1(1,0)C -．21．（1）作图见解析；（2）DE∥AC.【解析】【分析】(1)、根据角平分线的画法画出角平分线；(2)、根据角平分线的性质和三角形外角的性质得出DE 和AC 平行.【详解】解：(1)、如图所示：（2）DE∥AC∵DE 平分∠BDC， ∴∠BDE=12∠BDC， ∵∠ACD=∠A，∠ACD+∠A=∠BDC， ∴∠A=12∠BDC， ∴∠A=∠BDE，∴DE∥AC．(2)、DE∥AC.考点：(1)、角平分线的画法；(2)、角平分线的性质.22．（1）见解析；（2）50COD =︒∠【解析】试题分析：（1）首先根据等腰三角形的性质得到∠ABC =∠ACB ，然后证明△BEC ≌△CDB ，得到∠ECB =∠DBC ，从而得证；（2）首先求出∠A 的度数，得到∠ACE 的度数，进而求出∠COD 的度数．试题解析：解：（1）∵AB =AC ，∴∠ABC =∠ACB ．∵BD 、CE 是△ABC 的两条高线，∴∠BEC =∠BDC =90°．在△BEC 和△CDB 中，∵∠BEC =∠CDB ，∠EBC =∠DCB ，BC =CB ，∴△BEC ≌△CDB ，∴∠DBC =∠ECB ，∴OB =OC ．（2）∵∠ABC =65°，AB =AC ，∴∠A =180°-2×65°=50°，∴∠ACE =90°－∠A =40°，∴∠CO D =90°－∠ACE =90°－40°=50°．23．（1）(5)(8)x x +-；（2）见解析【解析】试题分析：（1）根据配方法配方，再运用平方差公式分解因式即可；（2）根据配方法把x 2+y 2-4x -6y +15变形成（x -2）2+（y -3）2+2，再根据平方的非负性，可得答案．试题解析：解：（1）22223334034022x x x x ⎛⎫⎛⎫--=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2316924x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 3133132222x x ⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ (5)(8)x x =+-．（2）证明：222416x y x y +--+ 22(21)(44)11x x y y =-++-++22(1)(2)11x y =-+-+．∵2(1)0x -≥，2(2)0y -≥，∴22(1)(2)110x y -+-+>．故x ，y 取任何实数时，多项式222416x y x y +--+的值总为正数． 24．（1）点C 的坐标为(6,2)--；（2）2OP DE -=【解析】试题分析：（1）如图1，过C 作CM ⊥x 轴于M 点，则可以求出△MAC ≌△OBA ，可得CM =OA =2，MA =OB =4，即可得到结论；（2）如图2，过D 作DQ ⊥OP 于Q 点，则DE =OQ ，利用三角形全等的判定定理可得△AOP ≌△PQD ，进一步可得PQ =OA =2，即OP -DE =2．试题解析：解：（1）如图1，过C 作CM ⊥x 轴于M 点．∵∠MAC +∠OAB =90°，∠OAB +∠OBA =90°，∴∠MAC =∠OBA ．在△MAC 和△OBA 中，∵∠CMA =∠AOB =90°，∠MAC =∠OBA ，AC =AB ， ∴△MAC ≌△OBA (AAS)，∴CM =OA =2，MA =OB =4，∴OM =OA +AM =2+4=6，∴点C 的坐标为(-6，-2)．（2）如图2，过D 作DQ ⊥OP 于Q 点，则DE =OQ ，∴OP -DE =OP -OQ =PQ ．∵∠APO +∠QPD =90°，∠APO +∠OAP =90°，∴∠QPD =∠OAP ．在△AOP 和△PQD 中，∵∠AOP =∠PQD =90°，∠OAP =∠QPD ，AP =PD ，∴△AOP ≌△PQD (AAS)，∴PQ =OA =2，即OP -DE =2．点睛：本题重点考查了三角形全等的判定定理，两个三角形全等共有四个定理，即AAS 、ASA 、SAS 、SSS ，直角三角形可用HL 定理，关键还要巧妙作出辅助线，再结合坐标轴才能解出，本题难度较大．25．（1）54︒，99︒；（2）①见解析；②20EBC ∠=︒【解析】试题分析：（1）由等腰三角形的性质得到∠EBC=∠ECB=27°，根据角平分线的性质得到∠DEB=∠EBC+∠ECB=54°，再由角平分线的性质得到∠ACD=∠ECB=27°，因为∠EAC=2∠EBC=54°，求得∠AEC=180°-27°-54°=99°；（2）在CB上截取CF，使CF=CA，连接EF，构造全等三角形，由全等三角形的性质推出AE=FE，再根据FB=FE，得到AE=FB，即可得出AE+AC=FB+FC=BC；（3）在CB上截取CF，使CF=CA，连接EF，连接AF，由∠ECB=30°，得到∠ACB=60°，于是推出△AFC是等边三角形，通过三角形全等得到∠EBC=∠F AE，由∠F AC=60°，得到∠EAC=2∠EBC=2∠F AE，于是得出∠EBC的度数．试题解析：解：（1）∵EB=EC，∴∠EBC=∠ECB=27°，∴∠DEB=∠EBC+∠ECB=54°．∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠ECB=27°．∵∠EAC=2∠EBC=54°，∴∠AEC=180°-27°-54°=99°．故答案为：54°，99°．（2）①证明：如图1，在BC上取一点M，使BM=ME，∴∠MBE=∠MEB．∵∠EAC=2∠MBE，∠EMC=∠MBE+∠MEB=2∠MBE，∴∠EAC=∠EMC．在△ACE与△MCE中，∵∠CAE=∠CME，∠ACE=∠MCE，CE=CE，∴△ACE≌△MCE(AAS)，∴AE=ME， AC =CM，∴AE=BM，∴BC=BM+CM=AE+AC．②如图2在BC上取一点M，使BM=ME，连接AM．∵∠ECB=30°，∴∠ACB=60°，由①可知，△AMC是等边三角形（M点与B点重合），∴AM=AC=BE．在△EMB与△MEA中，∵AE=BM，EM=EM，AM=BE，∴△EMB≌△MEA，∴∠EBC=∠MAE．∵∠MAC=60°，∠EAC=2∠EBC=2∠MAE，∴∠MAE=20°，∠EAC=40°，∴∠EBC=20°．点睛：本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等边三角形的性质，外角的性质的综合应用，正确作出辅助线，构造全等三角形和等边三角形是解题的关键．。

2020-2021北京师范大学第二附属中学初二数学上期末试卷含答案一、选择题1．张老师和李老师同时从学校出发，步行15千米去县城购买书籍，张老师比李老师每小时多走1千米，结果比李老师早到半小时，两位老师每小时各走多少千米？设李老师每小时走x 千米，依题意，得到的方程是（ ）A ．1515112x x -=+B ．1515112x x -=+C ．1515112x x -=-D ．1515112x x -=- 2．下列运算正确的是( )A ．a 2+2a ＝3a 3B ．(﹣2a 3)2＝4a 5C ．(a+2)(a ﹣1)＝a 2+a ﹣2D ．(a+b)2＝a 2+b 2 3．计算：（4x 3﹣2x ）÷（﹣2x ）的结果是（ ） A ．2x 2﹣1B ．﹣2x 2﹣1C ．﹣2x 2+1D ．﹣2x 2 4．若（x ﹣1）0＝1成立，则x 的取值范围是（ ）A ．x ＝﹣1B ．x ＝1C ．x≠0D ．x≠1 5．如图，在△ABC 中，CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，DE AC ⊥于点E ，DF BC ⊥于点F ，且BC=4，DE=2，则△BCD 的面积是（ ）A ．4B ．2C ．8D ．6 6．已知11m n -=1，则代数式222m mn n m mn n --+-的值为（ ） A ．3B ．1C ．﹣1D ．﹣3 7．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60o ，则顶角的度数为（ ） A ．30oB ．30o 或150oC ．60o 或150oD ．60o 或120o 8．下列各图中a 、b 、c 为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC 全等的是（ ）A ．甲和乙B ．乙和丙C ．甲和丙D ．只有丙 9．下列计算正确的是（ ） A 235+=B ．a a a +=222 C ．(1)x y x xy +=+ D ．236()mn mn =10．如图，若x 为正整数，则表示()2221441x x x x +-+++的值的点落在（ ）A．段①B．段②C．段③D．段④11．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形.下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（）A．A B．B C．C D．D12．已知a是任何实数，若M＝（2a﹣3）（3a﹣1），N＝2a（a﹣32）﹣1，则M、N的大小关系是（）A．M≥NB．M＞NC．M＜ND．M，N的大小由a的取值范围二、填空题13．若一个多边形的内角和是900º，则这个多边形是边形．14．∠A=65º，∠B=75º，将纸片一角折叠，使点C•落在△ABC外，若∠2=20º，则∠1的度数为_______.15．如图，五边形ABCDE的每一个内角都相等，则外角CBF∠__________．16．如图，AC=DC，BC=EC，请你添加一个适当的条件：______________，使得△ABC≌△DEC．17．若分式242x x -+的值为0，则x ＝_____． 18．因式分解：3a 2﹣27b 2＝_____．19．如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为m 的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形，若拼成的矩形一边长为4，则另一边长为20．一个正多边形的内角和为540︒，则这个正多边形的每个外角的度数为______．三、解答题21．先化简，再求值：（a ﹣2b ）（a+2b ）﹣（a ﹣2b ）2+8b 2，其中a=﹣2，b=12． 22．如图，//AB CD ，直线EF 分别交AB 、CD 于E 、F 两点，BEF ∠的平分线交CD 于点G ，若72EFG ∠=o ，求EGF ∠的度数．23．先化简，再求值：224144124x x x x x-++÷-，其中14x =-. 24．2018年8月中国铁路总公司宣布，京津高铁将再次提速，担任此次运营任务是最新的复兴号动车组，提速后车速是之前的1.5倍，100千米缩短了10分钟，问提速前后的速度分别是多少千米每小时?25．因式分解：（1）()()36x m n y n m ---；（2）()222936x x +-【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】【分析】设小李每小时走x 千米，则小张每小时走（x+1）千米，根据题意可得等量关系：小李所用时间-小张所用时间=半小时，根据等量关系列出方程即可．【详解】解：设小李每小时走x 千米，依题意得：1515112x x -=+ 故选B ．【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系列出方程．2．C解析：C【解析】【分析】根据整式的混合运算法则与完全平方公式进行判断即可.【详解】解：A.a 2与2a 不是同类项，不能合并，故本选项错误；B.326 (2a )4a -=，故本选项错误；C.()()2a 2a 1a a 2+-=+-，正确； D.222 (a b)a 2ab b +=++，故本选项错误.故选C.【点睛】本题主要考查了整式的混合运算与完全平方公式，属于基础题，熟练掌握其知识点是解此题的关键.3．C解析：C【解析】【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．【详解】解：（4x 3﹣2x ）÷（﹣2x ）=﹣2x 2+1．故选C ．此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握运算法则是解题关键.4．D解析：D【解析】试题解析：由题意可知：x-1≠0，x≠1故选D.5．A解析：A【解析】【分析】根据角平分线的性质定理可得DF=DE；最后根据三角形的面积公式求解即可．【详解】：∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC，∴DF=DE=2，∴1•124242BCDS BC DF=⨯=⨯⨯=V；故答案为：A．【点睛】此题主要考查了角平分线的性质和应用，解答此题的关键是要明确：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．6．D解析：D【解析】【分析】由11m n-=1利用分式的加减运算法则得出m-n=-mn，代入原式=222m mn nm mn n--+-计算可得．【详解】∵11m n-=1，∴n mmn mn-=1，则n mmn-=1，∴mn=n-m，即m-n=-mn，则原式=()22m n mnm n mn---+=22mn mnmn mn---+=3mnmn-=-3，【点睛】本题主要考查分式的加减法，解题的关键是掌握分式的加减运算法则和整体代入思想的运用．7．B解析：B【解析】【分析】等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60o，则顶角的度数为【详解】解：如图1，∵∠ABD=60°，BD是高，∴∠A=90°-∠ABD=30°；如图2，∵∠ABD=60°，BD是高，∴∠BAD=90°-∠ABD=30°，∴∠BAC=180°-∠BAD=150°；∴顶角的度数为30°或150°．故选：B．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想与数形结合思想的应用．8．B解析：B【解析】分析：根据三角形全等的判定方法得出乙和丙与△ABC全等，甲与△ABC不全等．详解：乙和△ABC全等；理由如下：在△ABC和图乙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：SAS，所以乙和△ABC全等；在△ABC和图丙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：AAS，所以丙和△ABC全等；不能判定甲与△ABC全等；点睛：本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．9．C解析：C【解析】解：A 、不是同类二次根式，不能合并，故A 错误；B ．23a a a += ，故B 错误；C ．1x y x xy +=+（） ，正确； D ．2326mn m n =（），故D 错误．故选C ．10．B解析：B【解析】【分析】将所给分式的分母配方化简，再利用分式加减法化简，根据x 为正整数，从所给图中可得正确答案．【详解】 解∵2222(2)1(2)1441(2)1x x x x x x x ++-=-=+++++1111x x x -=++． 又∵x 为正整数，∴121x x ≤+＜1，故表示22(2)1441x x x x +-+++的值的点落在②． 故选B ．【点睛】本题考查了分式的化简及分式加减运算，同时考查了分式值的估算，总体难度中等．11．C解析：C【解析】试题分析：根据轴对称图形的定义可知，只有选项C 是轴对称图形，故选C.12．A解析：A【解析】【分析】将M,N 代入到M-N 中，去括号合并得到结果为（a ﹣1）2≥0，即可解答【详解】∵M ＝（2a ﹣3）（3a ﹣1），N ＝2a （a ﹣32）﹣1，＝（2a﹣3）（3a﹣1）﹣2a（a﹣32）+1，＝6a2﹣11a+3﹣2a2+3a+1＝4a2﹣8a+4＝4（a﹣1）2∵（a﹣1）2≥0，∴M﹣N≥0，则M≥N．故选A．【点睛】此题考查整式的混合运算，解题关键是在于把M,N代入到M-N中计算化简得到完全平方式为非负数，从而得到结论.二、填空题13．七【解析】【分析】根据多边形的内角和公式列式求解即可【详解】设这个多边形是边形根据题意得解得故答案为【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式熟记公式是解题的关键解析：七【解析】【分析】根据多边形的内角和公式()2180n-⋅︒，列式求解即可.【详解】设这个多边形是n边形，根据题意得，()2180900n-⋅︒=︒，解得7n=.故答案为7.【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键.14．100°【解析】【分析】先根据三角形的内角和定理可出∠C=180°-∠A-∠B=180°-65°-75°=40°；再根据折叠的性质得到∠C′=∠C=40°再利用三角形的内角和定理以及外角性质得∠3+解析：100°【解析】【分析】先根据三角形的内角和定理可出∠C=180°-∠A-∠B=180°-65°-75°=40°；再根据折叠的性质得到∠C′=∠C=40°，再利用三角形的内角和定理以及外角性质得∠3+∠2+∠5+∠C′=180°，∠5=∠4+∠C=∠4+40°，即可得到∠3+∠4=80°，然后利用平角的定义即可求出∠1．【详解】如图，∵∠A=65°，∠B=75°，∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-65°-75°=40°；又∵将三角形纸片的一角折叠，使点C 落在△ABC 外，∴∠C′=∠C=40°，而∠3+∠2+∠5+∠C′=180°，∠5=∠4+∠C=∠4+40°，∠2=20°，∴∠3+20°+∠4+40°+40°=180°，∴∠3+∠4=80°，∴∠1=180°-80°=100°．故答案是：100°．【点睛】考查了折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等．也考查了三角形的内角和定理以及外角性质．15．【解析】【分析】多边形的外角和等于360度依此列出算式计算即可求解【详解】360°÷5=72°故外角∠CBF 等于72°故答案为：【点睛】此题考查了多边形内角与外角关键是熟悉多边形的外角和等于360度解析：72︒【解析】【分析】多边形的外角和等于360度，依此列出算式计算即可求解．【详解】360°÷5=72°．故外角∠CBF 等于72°．故答案为：72︒．【点睛】此题考查了多边形内角与外角，关键是熟悉多边形的外角和等于360度的知识点．16．CE=BC 本题答案不唯一【解析】再加利用SSS 证明≌故答案为解析：C E =BC ．本题答案不唯一．【解析】AC DC =，BC EC =，再加AB DE =，利用SSS,证明ABC V ≌DEC V ．故答案为AB DE =.17．x=2【解析】分析:根据分式值为0的条件:分子为0分母不等于0可得即可解得详解:因为分式的值为0所以解得:所以故答案为:点睛:本题主要考查分式值为0的条件解决本题的关键是要熟练运用分式值为0的条件列解析：x=2【解析】分析:根据分式值为0的条件:分子为0,分母不等于0,可得24020x x ⎧-=⎨+≠⎩,即可解得 2x =.详解:因为分式242x x -+的值为0, 所以24020x x ⎧-=⎨+≠⎩, 解得:2,2x x =±≠-,所以2x =.故答案为: 2x =.点睛:本题主要考查分式值为0的条件,解决本题的关键是要熟练运用分式值为0的条件列出方程和不等式进行求解.18．3（a+3b ）（a ﹣3b ）【解析】【分析】先提取公因式3然后再利用平方差公式进一步分解因式【详解】3a2-27b2=3（a2-9b2）=3（a+3b ）（a-3b ）【点睛】本题考查了提公因式法和公式法解析：3（a +3b ）（a ﹣3b ）．【解析】【分析】先提取公因式3，然后再利用平方差公式进一步分解因式．【详解】3a 2-27b 2，=3（a 2-9b 2），=3（a+3b ）（a-3b ）．【点睛】本题考查了提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．19．【解析】【分析】【详解】因为大正方形边长为小正方形边长为m 所以剩余的两个直角梯形的上底为m 下底为所以矩形的另一边为梯形上下底的和：+m= 解析：24m +【解析】【分析】【详解】因为大正方形边长为4m +，小正方形边长为m ，所以剩余的两个直角梯形的上底为m ，下底为4m +，所以矩形的另一边为梯形上、下底的和：4m ++m=24m +.20．72°【解析】设此多边形为n 边形根据题意得：180（n ﹣2）=540解得：n=5∴这个正多边形的每一个外角等于：360°÷5=72°故答案为：72°【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和的知识掌握解析：72°【解析】设此多边形为n 边形，根据题意得：180（n ﹣2）=540，解得：n=5，∴这个正多边形的每一个外角等于：360°÷5 =72°，故答案为：72°．【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和的知识，掌握多边形内角和定理：（n ﹣2）•180°，外角和等于360°是解题的关键.三、解答题21．4ab ，﹣4．【解析】【分析】原式利用平方差公式，以及完全平方公式进行展开，去括号合并得到最简结果，把a 与b 的值代入计算即可求出值．【详解】（a ﹣2b ）（a+2b ）﹣（a ﹣2b ）2+8b 2=a 2﹣4b 2﹣a 2+4ab ﹣4b 2+8b 2=4ab ，当a=﹣2，b=12时，原式=﹣4． 【点睛】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握乘法公式以及整式混合运算的运算顺序及运算法则是解本题的关键． 22．54o【解析】【分析】利用平行线的性质和角平分线的定义进行求解即可．【详解】解：∵AB//CD ，∠EFG=72°(已知) ， ∴∠BEF=180°-∠EFG=108°(两直线平行，同旁内角互补) ， ∵EG 平分∠BEF，∴∠BEG=12∠BEF=54° (角平分线定义) ， ∵AB//CD ， ∴∠EGF=∠BEG=54°(两直线平行，内错角相等)． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质以及角平分线的定义是解题的关键.23．42x x -+，14. 【解析】【分析】根据分式的除法法则把原式进行化简，再把x 的值代入进行计算即可．【详解】原式=()()22121212422()1()x x xxx x x +-⋅=--++，当x=−14时,原式=14. 【点睛】 此题考查分式的化简求值，解题关键在于掌握运算法则.24．提速前的速度为200千米/小时，提速后的速度为350千米/小时，【解析】【分析】设列车提速前的速度为x 千米每小时和列车提速后的速度为1.5千米每小时，根据关键语句“100千米缩短了10分钟”可列方程，解方程即可．【详解】设提速前后的速度分别为x 千米每小时和1.5x 千米每小时，根据题意得：100100101.560x x -= 解得：x=200，经检验：x=200是原方程的根，∴1.5x=300，答：提速前后的速度分别是200千米每小时和300千米每小时．【点睛】考查了分式方程的应用，解题关键是弄懂题意，找出等量关系，列出方程．25．（1）3()(2)m n x y -+；（2）22(3)(3)x x +-.【解析】【分析】（1）原式变形后，提取公因式即可；（2）原式先利用平方差公式进行因式分解，再利用完全平方公式分解即可.【详解】（1）原式3()6()x m n y m n =-+- 3()3()2m n x m n y =-⋅+-⋅ 3()(2)m n x y =-+ （2）原式()2229(6)x x =+- ()()229696x x x x =+++- 22(3)(3)x x =+-【点睛】此题考查了提公因式与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.。

北京市首师大附中第一分校2020-2021学年八年级（上）期中数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年02月04日～2022年02月20日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．在会徽的图案设计中，设计者常常利用对称性进行设计，下列四个图案是历届会徽图案上的一部份图形，其中不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．下列运算正确的是（）A．x2•x3=x6B．x2+x2=2x4C．（-3a3）•（-5a5）=15a8D．（-2x）2=﹣4x23．如图，已知△ABE≌△ACD，下列选项中不能被证明的等式是( )A．AD＝AE B．DB＝AE C．DF＝EF D．DB＝EC 4．下列各式中计算结果等于2x6的是（）A．2x7÷x B．（2x3）2C．x3+x3D．2x3•x25．已知等腰三角形中有一个角等于40︒，则这个等腰三角形的顶角的度数为A．40︒B．100︒C．40︒或70︒D．40︒或100︒6．在平面直角坐标系中，已知点A（2，m）和点B（n，﹣3）关于x轴对称，则m+n 的值是（）A．﹣1B．1C．5D．﹣57．如图，已知△ABC中，AC+BC=24，AO，BO分别是角平分线，且MN∥BA，分别交AC 于N，BC于M，则△CMN的周长为（）A ．12B ．24C ．36D ．不确定8．已知31416181279a b c ===，，，则a b c 、、的大小关系是（ ）A ．a b c ＞＞B ．a c b ＞＞C ．a b c ＜＜D ．b c a ＞＞ 9．如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝7，BC ＝5，分别以A ，B 为圆心，4为半径画弧交于两点，过这两点的直线交AC 于点D ，连接BD ，则△BCD 的周长为（ ）A ．10B ．12C ．14D ．1910．在平面直角坐标系xOy 中，点A （2，0），B （0，2），若点C 在x 轴上方，CO ＝CB ，且△AOC 为等腰三角形，则满足条件的点C 的个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6二、填空题11．已知10x ＝7，10y ＝21，则10x ﹣y ＝_____．12．如果3224()x a a a ⋅= ，则x=______________．13．已知等腰三角形的两边长分别为4和8，则它的周长是_______．14．如图，△ABC 是等边三角形，AD ⊥BC ，DE ⊥AB ，若AB ＝8cm ，BD ＝_____，BE ＝_____．15．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于 D 点．若 BD 平分∠ABC, 则∠A ＝________________ °．16．阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：已知：线段a，b．求作：等腰△ABC，使AB＝AC，BC＝a，BC边上的高为b．小涛的作图步骤如下：如图（1）作线段BC＝a；（2）作线段BC的垂直平分线MN交线段BC于点D；（3）在MN上截取线段DA＝b，连接AB，AC．所以△ABC即为所求作的等腰三角形．老师说：“小涛的作图步骤正确”．请回答：得到△ABC是等腰三角形的依据是：①_____；②_____．三、解答题17．计算（1）x•x3+x2•x2（2）（﹣a3）2•（﹣a2）3（3）[（x+1）（x+2）﹣2]÷x18．已知：如图，E为BC上一点，AC∥BD．AC=BE．BC=BD．求证：AB=DE．19．作图题：（不要求写作法）如图，△ABC在平面直角坐标系中，其中，点A，B，C 的坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣4，5），C（﹣5，2）．（1）作△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，其中，点A、B、C的对应点分别为A1、B1、C1；（2）写出点A1、B1、C1的坐标．20．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在C B边上，∠DAB=∠B，点E在AB 边上且满足∠CAB=∠BDE.求证： A E=BE.21．某地有两所大学和两条相交叉的公路，如图所示（点M，N表示大学，AO，BO表示公路）.现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等.你能确定仓库应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案；22．已知n2+n＝1，求（n+2）（n﹣2）+（n+3）（2n﹣3）的值．23．如图，∠AOB＝150°，OP平分∠AOB，PD⊥OB于点D，PC∥OB交OA于点C，若PD＝3，求OC的长．24．观察下列各式（x-1）（x+1）=x2-1（x-1）（x2+x+1）=x3-1（x-1）（x3+x2+x+1）=x4-1…①根据以上规律，则（x-1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）=______．②你能否由此归纳出一般性规律：（x-1）（x n+x n-1+…+x+1）=______．③根据②求出：1+2+22+…+234+235的结果．25．在我们认识的多边形中，有很多轴对称图形．有些多边形，边数不同对称轴的条数也不同；有些多边形，边数相同但却有不同数目的对称轴．回答下列问题：（1）非等边的等腰三角形有________条对称轴，非正方形的长方形有________条对称轴，等边三角形有___________条对称轴；（2）观察下列一组凸多边形（实线画出），它们的共同点是只有1条对称轴，其中图1-2和图1-3都可以看作由图1-1修改得到的，仿照类似的修改方式，请你在图1-4和图1-5中，分别修改图1-2和图1-3，得到一个只有1条对称轴的凸五边形，并用实线画出所得的凸五边形；（3）小明希望构造出一个恰好有2条对称轴的凸六边形，于是他选择修改长方形，图2中是他没有完成的图形，请用实线帮他补完整个图形；（4）请你画一个恰好有3条对称轴的凸六边形，并用虚线标出对称轴．26．在DEF 中，DE DF =，点B 在EF 边上，且60EBD ∠=︒，C 是射线BD 上的一个动点(不与点B 重合，且BC BE ≠)，在射线BE 上截取BA BC =，连接AC . ()1当点C 在线段BD 上时，①点C 与点D 重合，请根据题意补全图1，并直接写出线段AE 与BF 的数量关系为 ；②如图2，若点C 不与点D 重合，请证明AE BF CD =+;(2)当点C 在线段BD 的延长线上时，用等式表示线段,,AE BF CD 之间的数量关系(直接写出结果，不需要证明).27．已知：△ABC是等边三角形．（1）如图，点D在AB边上，点E在AC边上，BD＝CE，BE与CD交于点F．试判断BF与CF的数量关系，并加以证明；（2）点D是AB边上的一个动点，点E是AC边上的一个动点，且BD＝CE，BE与CD交于点F．若△BFD是等腰三角形，求∠FBD的度数．参考答案1．D【详解】A 、不是轴对称图形，故此选项正确；B 、是轴对称图形，故此选项错误；C 、是轴对称图形，故此选项错误；D 、是轴对称图形，故此选项错误；故选A ．2．C【解析】【分析】利用积的乘方、同底数幂的乘法、合并同类项、多项式乘多项式的法则计算即可．【详解】x 3x 2=x 3+2=x 5，A 错误；x 2+x 2=2x 2，B 错误；C 正确；（-2x ）2=4x 2，D 错误，故选C ．【点睛】本题考查的是积的乘方、同底数幂的乘法、合并同类项、多项式乘多项式，掌握相关的运算法则是解题的关键．3．B【解析】试题解析：∵△ABE ≌△ACD ，∴AB=AC ，AD=AE ，∠B=∠C ，故A 正确；∴AB-AD=AC-AE ，即BD=EC ，故D 正确；在△BDF 和△CEF 中B C BFD CFE BD CE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△BDF≌△CEF（ASA），∴DF=EF，故C正确；故选B．4．A【解析】【分析】根据单项式的除法、积的乘方、合并同类项、单项式的乘法把各项化简，即可作出判断. 【详解】A、原式＝2x6，符合题意；B、原式＝4x6，不符合题意；C、原式＝2x3，不符合题意；D、原式＝2x5，不符合题意，故选：A．【点睛】本题考查了整式的运算，熟练掌握单项式的除法、积的乘方、合并同类项、单项式的乘法运算法则是解答本题的关键.5．D【分析】由等腰三角形中有一个角等于40°，可分别从①若40°为顶角与②若40°为底角去分析求解即可求得答案．【详解】∵等腰三角形中有一个角等于40°，∴①若40°为顶角，则这个等腰三角形的顶角的度数为40°；②若40°为底角，则这个等腰三角形的顶角的度数为：180°-40°×2=100°．∴这个等腰三角形的顶角的度数为：40°或100°．故选：D．【点睛】考查了等腰三角形的性质．此题比较简单，解题的关键是掌握等边对等角的知识，掌握分类讨论思想的应用．6．C根据关于x 轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数，可得m 、n 的值，根据有理数的加法，可得答案．【详解】由点A （2，m ）和点B （n ，-3）关于x 轴对称，得n=2，m=3，则m+n=2+3=5，故选C ．【点睛】本题考查了关于x 轴对称的点的坐标，利用关于x 轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数得出m 、n 的值是解题关键．7．B【解析】试题分析：由AO ，BO 分别是角平分线求得∠1=∠2，∠3=∠4，利用平行线性质求得，∠1=∠6，∠3=∠5，利用等量代换求得∠2=∠6，∠4=∠5，即可解题．解：由AO ，BO 分别是角平分线得∠1=∠2，∠3=∠4，又∵MN ∥BA ，∴∠1=∠6，∠3=∠5，∴∠2=∠6，∠4=∠5，∴AN=NO ，BM=OM ．∵AC+BC=24，∴AC+BC=AN+NC+BM+MC=24，即MN+MC+NC=24，也就是△CMN 的周长是24．故选B ．点评：此题考查学生对等腰三角形的判定与性质和平行线行至的理解和掌握，此题主要求得△ANO △BMO 是等腰三角形，这是解答此题的关键．8．A【分析】先把a ，b ，c 化成以3为底数的幂的形式，再比较大小.【详解】解：3112412361122a 813b 3c 93a b c.，，，=====>>【点睛】此题重点考察学生对幂的大小比较，掌握同底数幂的大小比较方法是解题的关键.9．B【解析】【分析】由线段垂直平分线的性质，证得AD＝BD，继而可得△BCD的周长＝BC+AC．【详解】根据题意得：D在AB的垂直平分线上，∴AD＝BD，∵△ABC中，AB＝AC＝7，BC＝5，∴△BCD的周长为：BC+CD+BD＝BC+CD+AD＝BC+AC＝7+5＝12．故选：B．【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解答本题的关键，此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．10．C【解析】【分析】由CO＝CB，可知点C在线段OB的垂直平分线上.然后分OA＝AC、OA＝OC、OC＝AC三种情况画图判断即可．【详解】∵CO＝CB，∴点C在线段OB的垂直平分线上.∵△AOC为等腰三角形，∴满足OA＝AC的点有C1，C2，满足OA＝OC的点有C3，C4，满足OC＝AC的点有C5，∴如图所示，符合条件的点C的个数有5个．故选：C．【点睛】本题主要考查的是等腰三角形的定义、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．11．1 3【解析】【分析】逆用同底数幂的除法法则进行计算即可．【详解】∵10x＝7，10y＝21，∴10x﹣y＝10x÷10y＝7÷21＝13．故答案为：13．【点睛】本题主要考查的是同底数幂的除法，逆用同底数幂的除法法则是解题的关键．12．18【解析】【分析】先根据幂的乘方进行计算，再根据同底数幂的乘法得出方程6+x=24，求出即可．【详解】解：∵（a3）2•a x=a24，∴a6•a x=a24，∴6+x=24，∴x=18，故答案为：18．【点睛】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法的应用，解此题的关键是得出方程6+x=24．13．20【分析】分腰长为4或腰长为8两种情况，根据等腰三角形的性质求出周长即可得答案．【详解】当腰长是4cm时，三角形的三边是4、4、8，∵4+4=8，∴不满足三角形的三边关系，当腰长是8cm时，三角形的三边是8、8、4，∴三角形的周长是8+8+4=20．故答案为：20【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，进行分类讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．14．4cm 2cm【解析】【分析】根据等边三角形三线合一的性质可以求得BD＝12BC，根据∠B＝60°，可得∠BDE＝30°，根据30°角的性质可求得BE的长．【详解】∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴BD＝12 BC，∵AB＝8cm，∴BD＝4cm，∵等边三角形各内角为60°，∴∠BDE＝90°﹣60°＝30°，∴BE＝12BD＝12×4cm＝2cm．故答案为：4cm，2cm．【点睛】本题考查了等边三角形三线合一的性质，等边三角形各内角为60°的性质，本题中根据30°角的性质求BE的长是解题的关键．15．36．【解析】试题分析：∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC，∵AB的垂直平分线MN交AC于D点．∴∠A＝∠ABD，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∴∠C＝2∠A＝∠ABC，设∠A为x，可得：x+x+x+2x＝180°，解得：x＝36°，故答案为36．点睛：此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．根据垂直平分线的性质和等腰三角形的性质得出角相等，然后在一个三角形中利用内角和定理列方程即可得出答案．16．线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等有两条边相等的三角形是等腰三角形【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可判断AB＝AC，AD⊥BC，然后根据等腰三角形的定义可判断△ABC是等腰三角形．【详解】解：得到△ABC是等腰三角形的依据是：①线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；②有两条边相等的三角形是等腰三角形．故答案为：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；有两条边相等的三角形是等腰三角形．【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．17．(1) 2x4；(2) ﹣a12；(3) x+3【解析】【分析】（1）原式利用同底数幂的乘法法则计算，合并即可得到结果；（2）原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算，再利用单项式乘以单项式法则计算即可求出值；（3）原式中括号中利用多项式乘以多项式法则计算，合并后利用多项式除以单项式法则计算即可求出值．【详解】解：（1）原式＝x4+x4＝2x4；（2）原式＝a6•（﹣a6）＝﹣a12；（3）原式＝（x2+3x+2﹣2）÷x＝（x2+3x）÷x＝x+3．【点睛】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握同底数幂的除法、积的乘方、多项式的除法运算法则是解本题的关键．18．详见解析【分析】由AC、BD平行，可知∠ACB＝∠DBC，再根据已知条件，即可得到△ABC≌△EDB，即得结论AB＝DE．【详解】证明：∵AC∥BD，∴∠ACB＝∠DBC，∵AC＝BE，BC＝BD，∴△ABC≌△EDB，∴AB＝DE．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，涉及到平行线的性质知识点，比较简单．19．（1）作图见解析；（2）点A1、B1、C1的坐标分别为（2，1），（4，5），（5，2）．【解析】（1）根据轴对称的性质作图．（2）根据轴对称的性质定出坐标．20．见解析【解析】分析：由∠C=90°易得∠CAB+∠B=90°，结合∠CAB=∠BDE可得∠BDE +∠B=90°，由此可得∠DEB=90°，从而可得DE⊥AB，再由∠DAB=∠B证得AD=BD即可由等腰三角形的性质得到AE=BE.详解：∵∠C=90°，∴∠CAB+∠B=90°，∵∠CAB=∠BDE，∴∠BDE +∠B=90°，∴∠DEB=90°，∴DE⊥AB，∵∠DAB=∠B，∴DA=DB，∴AE=BE.点睛：由∠CAB=∠BDE结合∠CAB+∠B=90°证得∠BDE +∠B=90°，从而证得DE⊥AB是解答本题的关键.21．见解析【分析】作∠AOB的角平分线与线段MN的垂直平分线的交点即所求仓库的位置．【详解】如图所示：点P即为所求，【点睛】此题考查角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，作图—应用与设计作图，解题关键在于掌握作图法则.22．-10【解析】【分析】原式利用平方差公式，以及多项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把已知等式代入计算即可求出值．【详解】解：原式＝n2﹣4+2n2﹣3n+6n﹣9＝3n2+3n﹣13＝3（n2+n）﹣13，∵n2+n＝1，∴原式＝3×1﹣13＝﹣10．【点睛】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．23．OC=6【解析】【分析】作PE⊥OA于E，根据角平分线的性质得到PE＝PD，根据平行线的性质，角平分线的定义得到∠AOP＝∠CPO＝75°，根据直角三角形的性质计算即可．【详解】解：作PE⊥OA于E，∵OP平分∠AOB，PD⊥OB，PE⊥OA，∴PE＝PD＝3，∵∠AOB＝150°，OP平分∠AOB，∴∠AOP＝∠BOP＝75°，∵PC∥OB，∴∠CPO＝∠BOP＝75°，∴∠AOP＝∠CPO＝75°，∴CP＝CO，∠PCO＝30°，∴PC＝2PE＝6，∴OC＝6．【点睛】本题考查的是角平分线的性质，含30°角的直角三角形的性质，平行线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．24．(1)x7－1；(2)x n＋1－1；（3）236－1.【解析】【分析】①观察已知各式，得到一般性规律，化简原式即可；②原式利用①中得出的规律化简即可得到结果；③原式变形后，利用②中得出的规律化简即可得到结果．【详解】解：①根据题意得：（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）＝x7﹣1；②根据题意得：（x﹣1）（x n+x n﹣1+…+x+1）＝x n+1﹣1；③原式＝（2﹣1）（1+2+22+…+234+235）＝236﹣1．故答案为①x7﹣1；②x n+1﹣1；③236﹣1【点睛】本题考查了规律型---数字类规律与探究，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．25．（1）1，2，3；（2）答案见解析；（3）答案见解析；（4）答案见解析．【分析】（1）根据等腰三角形的性质、矩形的性质以及等边三角形的性质进行判断即可；（2）中图1-2和图1-3都可以看作由图1-1修改得到的，在图1-4和图1-5中，分别仿照类似的修改方式进行画图即可；（3）长方形具有两条对称轴，在长方形的右侧补出与左侧一样的图形，即可构造出一个恰好有2条对称轴的凸六边形；（4）在等边三角形的基础上加以修改，即可得到恰好有3条对称轴的凸六边形．【详解】解：（1）非等边的等腰三角形有1条对称轴，非正方形的长方形有2条对称轴，等边三角形有3条对称轴，故答案为1，2，3；（2）恰好有1条对称轴的凸五边形如图中所示．（3）恰好有2条对称轴的凸六边形如图所示．（4）恰好有3条对称轴的凸六边形如图所示．26．（1）①AE BF =；②证明见解析；（2）AE ＝BF−CD 或AE ＝CD−BF【分析】（1）①如图1，根据已知条件得到△ABC 是等边三角形，由等边三角形的性质得到AD ＝AB ＝BC ，∠DAB ＝∠ABC ＝60°，由邻补角的性质得到∠EAD ＝∠FBD ＝120°，推出△ADE ≌△BDF ，根据全等三角形的性质即可得到结论；②证明：在BE 上截取BG ＝BD ，连接DG ，得到△GBD 是等边三角形．同理，△ABC 也是等边三角形．求得AG ＝CD ，通过△DGE ≌△DBF ，得到GE ＝BF ，根据线段的和差即可得到结论；（2）如图3，连接DG ，由（1）知，GE ＝BF ，AG ＝CD ，根据线段的和差和等量代换即可得到结论；如图4，连接DG ，由（1）知，GE ＝BF ，AG ＝CD ，根据线段的和差和等量代换即可得到结论．【详解】（1）①如图1，∵BA ＝BC ，∠EBD ＝60°，∴△ABC 是等边三角形，∴AD ＝AB ＝BC ，∠DAB ＝∠ABC ＝60°，∴∠EAD ＝∠FBD ＝120°，∵DE ＝DF ，∴∠E ＝∠F ，在△AEC 与△BCF 中，E F EAD FBD AD BD ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△ADE ≌△BDF ，∴AE ＝BF ；故答案为：AE ＝BF ；②证明：在BE 上截取BG ＝BD ，连接DG ，∵∠EBD ＝60°，BG ＝BD ，∴△GBD 是等边三角形．同理，△ABC 也是等边三角形．∴AG ＝CD ，∵DE ＝DF ，∴∠E ＝∠F ．又∵∠DGB ＝∠DBG ＝60°，∴∠DGE ＝∠DBF ＝120°，在△DGE 与△DBF 中，E F EGD FBD DG BD ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△DGE ≌△DBF ，∴GE ＝BF ，∴AE ＝BF ＋CD ；（2）如图3，连接DG ，由（1）知，GE ＝BF ，AG ＝CD ，∴AE ＝EG−AG ；∴AE ＝BF−CD ，如图4，连接DG ，由（1）知，GE＝BF，AG＝CD，∴AE＝AG−EG；∴AE＝CD−BF．∴线段,,AE BF CD之间的数量关系为AE＝BF−CD或AE＝CD−BF.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．27．（1）BF=CF；理由见解析；（2）40°或20°【解析】试题分析：（1）由等边三角形的性质得出∠ABC=∠ACB=60°，由SAS证明△BCD≌△CBE，得出∠BCD=∠CBE，由等角对等边即可得出BF=CF．（2）设∠BCD=∠CBE=x，则∠DBF=60°-x，分三种情况：①若FD=FB，则∠FBD=∠FDB>∠A，证出∠FBD<60°，得出FD=FB的情况不存在；②若DB=DF，则∠FBD=∠BFD=2x，得出方程60°-x=2x，解方程即可得出结果；③若BD=BF，则∠BDF=∠BFD=2x，由三角形内角和定理得出方程，解方程即可得出结果．试题解析：（1）BF=CF；理由如下：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，在△BCD和△CBE中，BD CEABC ACB BC CB=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCD≌△CBE（SAS），∴∠BCD=∠CBE，∴BF=CF．（2）由（1）得：∠BCD=∠CBE，∠ACB=60°，设∠BCD=∠CBE=x，∴∠DBF=60°﹣x，若△BFD是等腰三角形，分三种情况：①若FD=FB，则∠FBD=∠FDB＞∠A，∴∠FBD=∠FDB＞60°，但∠FBD＞∠ABC，∴∠FBD＜60°，∴FD=FB的情况不存在；②若DB=DF，则∠FBD=∠BFD=2x，∴60°﹣x=2x，解得：x=20°，∴∠FBD=40°；③若BD=BF，如图所示：则∠BDF=∠BFD=2x，在△BDF中，∠DBF+∠BDF+∠BFD=180°，∴60°﹣x+2x+2x=180°，解得：x=40°，∴∠FBD=20°；综上所述：∠FBD的度数是40°或20°.点睛：此题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及全等三角形的判定和性质，对等腰三角形的边分情况讨论是解此题的关键.。

2020-2021学年北京人大附中八年级（上）期中数学试卷1.若式子(x−2)0有意义，则实数x的取值范围是()A. x≠2B. x=2C. x≠0D. x=02.下列运算正确的是()A. a3⋅a2=a6B. a6÷a3=a2C. (a3)2=a6D. (ab)3=ab33.正五边形的内角和是()A. 180°B. 360°C. 540°D. 720°4.如图，AB和CD相交于点O，∠A=∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是()A. ∠B=∠DB. ∠1=∠A+∠DC. ∠2>∠DD. ∠C=∠D5.2020年5月1日起，《北京市生活垃圾管理条例》实施，规定产生生活垃圾的单位和个人是生活垃圾分类投放的责任主体，应当按照厨余垃圾、可回收物、有害垃圾、其他垃圾的分类，分别投入相应标识的收集容器.下列四个图案分别是厨余垃圾、可回收物、有害垃圾、其他垃圾的标识．这四个图案中，是轴对称图形的是()A. ①②③④B. ①③④C. ①③D. 只有①是6.如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=120°，过点B作BD⊥BC，交AC于点D，若AD=1，则CD的长度为()A. 1B. 2C. 3D. 47.已知a2−5=2a，代数式(a−2)2+2(a+1)的值为()A. −11B. −1C. 1D. 118.如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，EF是BC的垂直平分线，P是直线EF上的一动点，则PA+PB的最小值是()A. 6B. 8C. 10D. 149.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(4,−3)，点P在x轴上，且使△AOP为等腰三角形，符合题意的点P的个数为()A. 2B. 3C. 4D. 510.已知点A是直线l外的一个点，点B，C，D，E是直线l上不重合的四个点，再添加①AB=AC；②AD=AE；③BD=CE中的两个作为题设，余下的一个作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为()A. 0B. 1C. 2D. 311.如图中四边形均为长方形，根据图形，写出一个正确的等式：______．12.计算：(12a3−6a2+3a)÷3a=______．13.等腰三角形的两边长分别为5和8，则这个等腰三角形的周长是______ ．14.如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做到一个测量工件内槽宽的工具(长钳)，在图中，要测量工件内槽宽AB，只要测______就可以了．15.如图，有一张长方形纸板，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，制成一个高为a的长方体形状无盖纸盒，如果纸盒的容积为6a2b，底面长方形的一边长为b，则底面长方形的另一边长为______ ．16.已知x+y=5，xy=2，则x2+y2的值为______ ．17.如图，四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，AC平分∠DAB，CM⊥AB于点M，若AM=4cm，BC=2.5cm，则四边形ABCD的周长为______ cm．18.给出如下定义：点P是△ABC内部一点，如果存在过点P的直线可以将△ABC分成面积相等的两部分，则称该点为△ABC的“中立点”，下列四个结论中：①当点P在△ABC的一条中线上时，该点为△ABC的“中立点”；②△ABC的“中立点”的个数为有限个；③△ABC的“中立点”有无数个，但不是△ABC内部所有的点；④△ABC内部所有的点都是△ABC的“中立点”．所有正确结论的序号是______ ．19.计算：(1)(−2a)2⋅a3b2．(2)(x+y)(x−3y)+2x(y−x)．20.先化简，再求值：4(x+1)2−(2x+5)(2x−5)，其中x=−7．821.如图，点B，F，C，E在一条直线上，BC=EF，AC//DF，AC=DF.求证：∠A=∠D．22.下面是小明设计“作三角形一边上的高”的尺规作图过程．已知：△ABC求作：△ABC的边BC上的高AD．作法：(1)分别以点B和点C为圆心，BA，CA为半径作弧，两弧相交于点E；(2)作直线AE交BC边于点D．所以线段AD就是所求作的高．根据小明设计的尺规作图过程，(1)使用直尺和圆规，补全图形(保留作图痕迹)；(2)完成下面的证明．证明：连接BE，CE∵BA=______ ．∴点B在线段AE的垂直平分线上(______ )，(填推理的依据)同理可证，点C也在线段AE的垂直平分线上．∴BC垂直平分AE.(______ )，(填推理的依据)∴AD是△ABC的高．23.在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2020年11月份的日历，我们任意用一个2×2的方框框出4个数，将其中4个位置上的数交叉相乘，再用较大的数减去较小的数，你发现了什么规律？(1)图中方框框出的四个数，按照题目所说的计算规则，结果为______ ．(2)换一个位置试一下，是否有同样的规律？如果有，请你利用整式的运算对你发现的规律加以证明；如果没有，请说明理由．24.如图，△ABC中，AB=3，AC=4，AD为中线，求中线AD的取值范围．25.如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD是高，E是AB上一点，连接DE，过点D作DF⊥DE，交AC于点F，连接EF，交AD于点G．(1)若AB=6，AE=2，求线段AF的长；(2)求证：∠AGF=∠AED．26.已知多项式x+2与另一个多项式A的乘积为多项式B．(1)若A为关于x的一次多项式x+a，B中x的一次项系数为0，直接写出a的值；(2)若B为x3+px2+qx+2，求2p−q的值．(3)若A为关于x的二次多项式x2+bx+c，判断B是否可能为关于x的三次二项式，如果可能，请求出b，c的值；如果不可能，请说明理由．27.阅读以下材料，并解决问题：小明遇到一个问题：在平面直角坐标系xOy中，点A(1,4)，B(5,2)，求△OAB的面积．小明用割补法解决了此问题，如图，过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N，则S△OAB=S△OAM+S梯形AMNB−S△OBN=12×1×4+12(2+4)(5−1)−12×5×2=9．解决问题后小明又思考，如果将问题一般化是否会有好的结论.于是它首先研究了点A，B在第一象限内的一种情形：如图，点A(x1,y1)，B(x2,y2)，其中x1<x2，y1>y2．(1)请你帮助小明求出这种情形下△OAB的面积.(用含x1，x2，y1，y2的式子表示)(2)小明继续研究发现，只要将(1)中求得的式子再取绝对值就可以得到第一象限内任意两点A，B(点O，A，B不共线)与坐标原点O构成的三角形△OAB的面积公式，请利用此公式解决问题：已知点A(a,a+2)，B(x,y)在第一象限内，探究是否存在点B，使得对于任意的a>0，都有S△OAB=2？若存在，求出点B的坐标；若不存在，说明理由．28.已知，线段AB及过点A的直线l，如图.线段AC与线段AB关于直线l对称，连接BC交直线l于点D，以AC为边作等边△ACE，使点E与点B在直线l同侧，连接BE并延长交直线l于点F．(1)根据题意将如图补全；(2)设∠BAD=α(30°<α<60°)．①求∠ABE的度数.(用含α的式子表示)②用等式表示线段FA，FE与FD的数量关系，并证明．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵式子(x−2)0有意义，∴实数x的取值范围是：x−2≠0，解得：x≠2．故选：A．直接利用零指数幂的定义分析得出答案．此题主要考查了零指数幂的定义，正确把握相关定义是解题关键．2.【答案】C【解析】解：A.a3⋅a2=a5，故本选项不合题意；B.a6÷a3=a3，故本选项不合题意；C.(a3)2=a6，故本选项符合题意；D.(ab)3=a3b3，故本选项不合题意．故选：C．分别根据同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，幂的乘方与积的乘方运算法则逐一判断即可．本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．3.【答案】C【解析】解：多边形的内角和为(n−2)⋅180°=(5−2)×180°=540°．故选：C．利用多边形的内角和为(n−2)⋅180°即可解决问题．本题利用多边形的内角和公式即可解决问题．4.【答案】D【解析】解：∵∠A+∠AOD+∠D=180°，∠C+∠COB+∠B=180°，∠A=∠C，∠AOD=∠BOC，∴∠B=∠D，∵∠1=∠2=∠A+∠D，∴∠2>∠D，故选项A，B，C正确，故选：D．利用三角形内角和定理证明∠B=∠D，再利用三角形的外角的性质判定B，C正确即可．本题考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，属于中考常考题型．5.【答案】B【解析】解：①是轴对称图形；②不是轴对称图形；③是轴对称图形；④是轴对称图形．所以是轴对称图形的是①③④．故选：B．根据轴对称图形的概念求解．本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．6.【答案】B【解析】解：∵BD⊥BC，∴∠CBD=90°，∴∠ABD=∠ABC−∠CBD=120°−90°=30°，∵AB=BC，∠ABC=120°，∴∠A=∠C=30°，∴∠A=∠ABD，∴DB=AD=1，在Rt△CBD中，∵∠C=30°，∴CD=2BD=2．故选：B．由BD⊥BC，推出∠CBD=90°，所以∠ABD=∠ABC−∠CBD=120°−90°=30°，由AB=BC，∠ABC=120°，推出∠A=∠C=30°，所以∠A=∠ABD，DB=AD=1，在Rt△CBD中，由30°角所对的直角边等于斜边的一半，进而得出CD=2BD=2．本题考查了等腰三角形与含30度角直角三角形的性质，正确理解在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．7.【答案】D【解析】【分析】本题考查整式的化简求值，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．根据整式的运算法则先化简代数式，再整体代入即可求出答案．【解答】解：由题意可知：a2−2a=5，原式=a2−4a+4+2a+2=a2−2a+6=5+6=11．故选D．8.【答案】B【解析】解：如图，连接BE，∵EF是BC的垂直平分线，∴BE=CE，根据两点之间线段最短，PA+PB=PA+PC=AC，最小，此时点P与点E重合．所以PA+PB的最小值即为AC的长，为8．所以PA+PB的最小值为8．故选：B．根据线段的垂直平分线的性质可得BE=EC，根据两点之间线段最短即可求解．本题考查了轴对称−最短路线问题，解决本题的关键是利用线段的垂直平分线的性质．9.【答案】C【解析】解：如图所示：点P在x轴上，且使△AOP为等腰三角形，符合题意的点P的个数共4个，故选：C．以O为圆心，AO长为半径画圆可得与x轴有2个交点，再以A为圆心，AO长为半径画圆可得与x轴有1个交点，然后再作AO的垂直平分线可得与x轴有1个交点．此题主要考查了等腰三角形的判定，关键是考虑全面，作图不重不漏．10.【答案】B【解析】解：命题1：若AB=AC，AD=AE，则BD=CE，此命题为真命题；命题2：若AB=AC，BD=CE，则AD=AE，此命题为假命题；命题3：若AD=AE，BD=CE，则AB=AC，此命题为假命题．故选：B．写出所组成的三个命题，然后根据等腰三角形的判断与性质对各命题进行判断．本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．11.【答案】am+bm+cm=m(a+b+c)【解析】解：由题意可得：am+bm+cm=m(a+b+c)．故答案为：am+bm+cm=m(a+b+c)．直接利用矩形面积求法结合提取公因式法分解因式即可．此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确利用矩形面积求出是解题关键．12.【答案】4a2−2a+1【解析】解：(12a3−6a2+3a)÷3a=4a2−2a+1．故填：4a2−2a+1．根据多项式除单项式的法则，先用多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加，直接计算即可．本题主要考查多项式除单项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．13.【答案】18或21【解析】解：5是腰长时，三角形的三边分别为5、5、8，能组成三角形，周长=5+5+8=18，5是底边长时，三角形的三边分别为5、8、8，能组成三角形，周长=5+8+8=21，综上所述，这个等腰三角形的周长是18或21．故答案为：18或21．分5是腰长和底边长两种情况讨论求解．本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，难点在于要分情况讨论．14.【答案】A′B′【解析】解：答：只要测量A′B′．理由：连接AB，A′B′，如图，∵点O分别是AC、BB′的中点，∴OA=OA′，OB=OB′．在△AOB和△A′OB′中，OA=OA′，∠AOB=∠A′OB′(对顶角相等)，OB=OB′，∴△AOB≌△A′OB′(SAS)．∴A′B′=AB．答：需要测量A′B′的长度，即为工件内槽宽AB，故答案为：A′B′让我们了解测量两点之间的距离，只要符合全等三角形全等的条件之一SAS，只需要测量易测量的边A′B′上．测量方案的操作性强．本题考查全等三角形的应用．在实际生活中，对于难以实地测量的线段，常常通过两个全等三角形，转化需要测量的线段到易测量的边上或者已知边上来，从而求解．15.【答案】6a【解析】解：6a26÷a÷b=6a．则底面长方形的另一边长为6a．故答案为：6a．用容积除以高得到底面长方形的面积，再除以底面长方形的一边长为b，可得底面长方形的另一边长．本题主要考查了整式的除法的应用，正确使用长方体的体积公式是解题的关键．16.【答案】21【解析】解：∵x+y=5，xy=2，∴x2+y2=(x+y)2−2xy=52−2×2=25−4=21．故答案为：21．将x2+y2变形为(x+y)2−2xy，然后将x+y=5，xy=2代入求解即可．本题考查了完全平方公式，解答本题的关键在于熟练掌握完全平方公式：(a±b)2= a2±2ab+b2．17.【答案】13【解析】解：过C作CE⊥AD的延长线于点E，∵AC平分∠BAD，∴∠EAC=∠MAC，∵CE⊥AD，CM⊥AB，∴∠AEC=∠AMC=90°，CE=CM，在Rt△AEC和Rt△AMC中，{AC=ACCE=CM，∴Rt△AEC≌Rt△AMC(HL)，∴AE=AM=4cm，∵∠ADC+∠B=180°，∠ADC+∠EDC=180°，∴∠EDC=∠MBC，在△EDC和△MBC中，{∠DEC=∠CMB ∠EDC=∠MBC CE=CM，∴△EDC≌△MBC(AAS)，∴ED=BM，BC=CD=2.5cm，∴四边形ABCD的周长为AB+AD+BC+CD=AM+BM+AE−DE+2BC=2AM+ 2BC=8+5=13(cm)．故答案为：13．过C作CE⊥AD的延长线于点E，由条件可证△AEC≌△AMC，得到AE=AM.证明△ECD≌△MBC，由全等的性质可得DE=MB，BC=CD，则问题可得解．本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握常用的判定方法为：SAS，SSS，AAS，ASA 是解决问题的关键．18.【答案】①④【解析】解：①∵三角形的中线平分三角形的面积，∴当点P在△ABC的一条中线上时，该点为△ABC的“中立点”；故结论①正确；②由①可知：三角形三条中线上的点(除顶点外)都是△ABC的“中立点”，所以△ABC 的“中立点”的个数为无限个；故结论②错误；③根据②可知：△ABC的“中立点”有无数个，是△ABC内部所有的点；故结论③错误；④△ABC内部所有的点都是△ABC的“中立点”．故结论④正确．综上所述，正确的结论是：①④．故答案为：①④．对于结论①②，根据三角形的中线平分三角形的面积可判断；对于结论③④，根据△ABC的“中立点”的定义可判断．本题考查三角形面积的运用和△ABC的“中立点”的理解和运用，需仔细分析题意，利用所给结论，结合三角形中线平分三角形面积即可解决问题．19.【答案】解：(1)原式=4a2⋅a3b2=4a5b2；(2)原式=x2−3xy+xy−3y2+2xy−2x2=−x2−3y2．【解析】(1)先计算乘方，再计算乘法即可；(2)先利用单项式乘多项式、多项式乘多项式法则计算，再合并同类项即可．本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是掌握整式的混合运算顺序和运算法则．20.【答案】解：原式=4(x2+2x+1)−(4x2−25)=4x2+8x+4−4x2+25=8x+29，当x=−78时，原式=8×(−78)+29=22．【解析】直接利用整式的混合运算法则计算进而把已知代入得出答案．此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．21.【答案】证明：∵AC//DF，∴∠ACB=∠DFE，在△ABC和△DEF中，{AC=DF∠ACB=∠DFE BC=EF，∴△ABC≌△DEF(SAS)，∴∠A=∠D．【解析】由平行线的性质得出∠ACB=∠DFE，根据SAS可得出结论．本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型．22.【答案】BE与线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上两点确定一条直线【解析】解：(1)如图，AD为所作；(2)连接BE，CE，如图，∵BA=BE，∴点B在线段AE的垂直平分线上(与线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上)，同理可证，点C也在线段AE的垂直平分线上．∴BC垂直平分AE(两点确定一条直线)，∴AD是△ABC的高．故答案为BE；与线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线．(1)利用几何语言画出对应的几何图形；(2)利用作法得到BA=BE，则根据线段的垂直平分线的性质定理的逆定理得到点B、点C也在线段AE的垂直平分线上，从而得到BC垂直平分AE．本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线).也考查了线段垂直平分线的性质．23.【答案】7【解析】解：(1)10×4−3×11=40−33=7，故答案为：7；(2)设方框框出的四个数分别为a，a+1，a+7，a+8，则(a+1)(a+7)−a(a+8)=a2+8a+7−a2−8a=7．(1)根据题意列出算式10×4−3×11，再进一步计算即可；(2)设方框框出的四个数分别为a，a+1，a+7，a+8，列出算式(a+1)(a+7)−a(a+8)，再进一步计算即可得．本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是根据题意列出算式，并熟练掌握整式的混合运算顺序和运算法则．24.【答案】解：延长AD至点E，使DE=AD，连接CE，∵AD是中线，∴BD=CD，在△ABD和△ECD中，{AD=DE∠ADB=∠CDE BD=CD，∴△ABD≌△CDE(SAS)，∴AB=EC=4，在△ACE中，AC−CE<AE<AC+CE，∴4−3<2AD<4+3，∴1<2AD<7，∴12<AD<72．【解析】延长AD至点E，使DE=AD，连接CE，证明△ABD≌△CDE(SAS)，得出AB= EC=4，由三角形三边关系可得出答案．本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．25.【答案】(1)解：∵△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD是高，∴BD=CD=AD=12BC，∠B=∠C=45°，∠BAD=∠CAD=12∠BAC=45°，∵DF⊥DE，∴∠EDF =∠ADC =90°，∴∠ADE =∠CDF ，在△ADE 和△CDF 中，{∠ADE =∠CDFAD =CD ∠BAD =∠C，∴△ADE≌△CDF(ASA)，∴AE =CF =2，∵AC =AB =6，∴AF =AC −CF =6−2=4；(2)证明：由(1)得：△ADE≌△CDF ，∴DE =DF ，又∵∠EDF =90°，∴△DEF 是等腰直角三角形，∴∠DEF =∠DFE =45°，∵∠AGF =∠DAE +∠AEG =45°+∠AEG ，∠AED =∠DEF +∠AEG =45°+∠AEG ， ∴∠AGF =∠AED ．【解析】(1)证△ADE≌△CDF(ASA)，得AE =CF =2，即可得出答案；(2)由全等三角形的性质得DE =DF ，则△DEF 是等腰直角三角形，得∠DEF =∠DFE =45°，再由三角形的外角性质即可得出结论．本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．26.【答案】解：(1)根据题意可知：B =(x +2)(x +a)=x 2+(a +2)x +2a ，∵B 中x 的一次项系数为0，∴a +2=0，解得a =−2．(2)设A 为x 2+tx +1，则(x +2)(x 2+tx +1)=x 3+px 2+qx +2，∴{p =t +2q =2t +1， ∴2p −q =2(t +2)−(2t +1)=3；(3)B 可能为关于x 的三次二项式，理由如下：∵A 为关于x 的二次多项式x 2+bx +c ，∴b ，c 不能同时为0，∵B =(x +2)(x 2+bx +c)=x 3+(b +2)x 2+(2b +c)x +2c ．当c =0时，B =x 3+(b +2)x 2+2bx ，∵b 不能为0，∴只能当b +2=0，即b =−2时，B 为三次二项式，为x 3−4x ；当c ≠0时，B =x 3+(b +2)x 2+(2b +c)x +2c ．只有当{b +2=02b +c =0，即{b =−2c =4时，B 为三次二项式，为x 3+8． 综上所述：当{b =−2c =0或{b =−2c =4时，B 为三次二项式．【解析】(1)根据题意列出B =(x +2)(x +a)=x 2+(a +2)x +2a ，根据B 中x 的一次项系数为0，进而可得a 的值；(2)根据B 为x 3+px 2+qx +2，可以设A 为x 2+tx +1，根据多项式x +2与另一个多项式A 的乘积为多项式B ，即可用含t 的式子表示出p 和q ，进而可得2p −q 的值；(3)根据A 为关于x 的二次多项式x 2+bx +c ，可得b ，c 不能同时为0，分两种情况：当c =0时，B =x 3+(b +2)x 2+2bx ，当c ≠0时，B =x 3+(b +2)x 2+(2b +c)x +2c.可得b 和c 的值．本题考查了多项式乘多项式、整式的加减，解决本题的关键是掌握整式的加减．27.【答案】解：(1)S △OAB =S △AOM +S 梯形AMNBA −S △OBN =12x 1y 1+12(y 2+y 1)(x 2−x 1)−12x 2y 2=12(x 2y 1−x 1y 2)；(2)存在，理由：由(1)知，S △OAB =12|x 2y 1−x 1y 2|，∵对于任意的a >0都有S △OAB =2，其中A(a,a +2)，B(x,y)(x >0,y >0)， 即12|x(a +2)−ay|=2，即(x −y)a =4−2x 或−4−2x ，∴{x −y =04−2x =0或{x −y =0−4−2x =0， 解得{x =2y =2或{x =−2y =−2， ∵点B 在第一象限，故点B(2,2)．【解析】(1)由S△OAB=S△AOM+S梯形AMNBA−S△OBN即可求解；(2)由(1)知，S△OAB=12|x2y1−x1y2|，而对于任意的a>0都有S△OAB=2，则12|x(a+2)−ay|=2，即可求解．本题为四边形综合题，主要考查的是用割补法求面积，这种阅读型题目，通常按照题设的顺序求解，一般容易解答．28.【答案】解：(1)图形如图所示：(2)①∵线段AC与线段AB关于直线l对称，∴AC=AB，AD垂直平分线段BC，∴∠CAD=∠BAD=α，∵△ACE是等边三角形，∴AC=AE=CE，∠EAC=∠AEC=60°，∴AB=AE，∠BAE=2α−60°，∴∠ABE=∠AEB=12(180°−2α+60°)=120°−α．②结论：FA=EF+2DF．理由：在FA上截取FG，使得FG=EF，连接EG，FC．∵∠ABE=120°−α，∠BAD=α，∴∠AFB=180°−∠ABE−∠BAD=60°，∵FG=EF，∴△EFG是等边三角形，∴EG=EF=FG，∠GEF=60°，∴∠AEC=∠GEF，∴∠AEC=∠GEF，∴∠AEG=∠CEF，在△AEG和△CEF中，{EA=EC∠AEG=∠CEF EG=EF，∴△AEG≌△CEF(SAS)，∴AG=CF，∴FA=FG+AG=FG+CF，∵AD垂直平分BC，∴FC=FB，∠CDF=90°，∴∠CFB=∠ADB=60°，∴∠FCD=30°，∴FC=2FD，∴FA=EF+2FD．【解析】(1)根据要求作出图形即可．(2)①利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求解即可．②结论：FA=EF+2DF.在FA上截取FG，使得FG=EF，连接EG，FC.证明△AEG≌△CEF(SAS)，推出AG=CF，推出FA=FG+AG=FG+CF，再证明∠DCF=30°，推出CF=2DF，可得结论．本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．。

2020-2021学年北京市海淀区首都师大附中八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题所列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）1．（3分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）若分式的值为0，则x的值为（）A．3B．﹣3C．3或﹣3D．03．（3分）若一个等腰三角形的两条边长分别为2和4，则该三角形的周长为（）A．8B．10C．12D．8或104．（3分）下列计算正确的是（）A．（a2b）2＝a2b2B．a6÷a2＝a3C．（3xy2）2＝6x2y4D．（﹣m）7÷（﹣m）2＝﹣m55．（3分）若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为（）A．6B．7C．8D．96．（3分）已知x2﹣mx+9是某个整式的平方的展开式，则m的值为（）A．3B．±3C．6D．±67．（3分）如图，∠ACD＝120°，AB＝BC＝CD，则∠A等于（）A．10°B．15°C．20°D．30°8．（3分）小明把一副含45°，30°的直角三角板如图摆放，其中∠C＝∠F＝90°，∠A ＝45°，∠D＝30°，则∠α+∠β等于（）A．180°B．210°C．360°D．270°9．（3分）如图，在△ABC中，内角∠BAC与外角∠EBC的平分线相交于点P，BE＝BC ，D在AC延长线上，PG∥AD交BC于F，交AB于G，连接CP．下列结论：①∠ACB ＝2∠APB；②S△P AC：S△P AB＝PC：PB；③BP垂直平分CE；④∠PCF＝∠CPF．其中正确的有（）A．①②④B．①③④C．②③④D．①③10．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，点P是边AC上一定点，此时分别在边AB，BC上存在点M，N使得△PMN周长最小且为等腰三角形，则此时的值为（）A．1B．2C．3D．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11．（3分）点A（3，﹣2）关于x轴对称的点的坐标是．12．（3分）因式分解a3b﹣ab＝．13．（3分）若代数式的值为整数，则整数x的值为．14．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE，分别交AB，AC于点D，E，若AD＝3，BC＝5，则△BEC的周长为．15．（3分）如图，∠BAC＝90°，AB＝AC，l是∠BAC内过顶点A的一条射线，作BD⊥l ，CE⊥l，垂足分别为D，E，将△ADB和△AEC分别沿直线AB，AC翻折得到△AMB 和△ANC，已知MN＝10，DE＝4，则BM的长度是．16．（3分）如图，在等边△ABC中，BC＝2，D是AB的中点，过点D作DF⊥AC于点F ，过点F作EF⊥BC于点E，则BE的长为．17．（3分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，2），B（0，4），在坐标轴上找一点P，使得△ABP是等腰三角形，则这样的点P共有个．18．（3分）请你运用所学知识找到破译的“密钥”．目前已破译出“达才”的对应口令是“成德”．根据你发现的“密钥”，破译出“求实”的对应口令是．三、解答题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）19．（4分）计算：．20．（4分）解方程：﹣1＝．21．（4分）已知5x2﹣x﹣1＝0，求代数式（3x+2）（3x﹣2）+x（x﹣2）的值．22．（4分）先化简，再求值：（2﹣）÷，其中x＝2．23．（4分）当m为何值时，关于x的方程﹣＝的解为负数？四、解答题（本大题共5小题，第24-25小题，每小题4分，第26-28小题，每小题4分，共26分）24．（4分）如图，已知等边三角形ABC，延长BA至点D，延长AC至点E，使AD＝CE ，连接CD，BE．求证：△ACD≌△CBE．25．（4分）尺规作图：如图，在△ABC中，（1）作△ABC的角平分线AM；（2）作AC边的中线BN．26．（6分）若一个整数能表示成a2+b2（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”．因为5＝22+12．再如，M＝x2+2xy+2y2＝（x+y）2+y2（x，y 是整数），所以M也是“完美数“．（1）请你再写一个小于10的“完美数”，并判断29是否为“完美数”；（2）已知S＝x2+4y2+4x﹣12y+k（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由．（3）如果数m，n都是“完美数”，试说明mn也是“完美数”．27．（6分）已知∠AOB＝30°，P为射线OB上一点，M为射线OA上一动点，连接PM ，满足∠OMP为钝角，将线段PM绕点P顺时针旋转150°，得到线段PN，连接ON．（1）依题意补全图1；（2）求证：∠OMP＝∠OPN；（3）在射线MA上取点D，点M关于点D的对称点为E，连接EP，当∠PDO＝°时，使得对于任意的点M，总有ON＝EP，并证明．28．（6分）在平面直角坐标系中，对任意的点P（x，y），定义P的绝对坐标|P|＝|x|+|y|．任取点A（x1，y1），B（x2，y2），记A'（x1，y2），B'（x2，y1），若此时|A|2+|B|2≤|A'|2+|B'|2成立，则称点A，B相关．（1）分别判断下面各组中两点是相关点的是；①A（﹣2，1），B（3，2）；②C（4，﹣3），D（2，4）．（2）（ⅰ）对于点P（x，y），其中﹣6≤x≤6，﹣6≤y≤6，其中x，y是整数．则所有满足条件的P点有个；（ⅱ）求所有满足（ⅰ）条件的所有点中与点E（3，3）相关的点的个数；（ⅲ）对于满足（ⅰ）条件的所有点中取出n个点，满足在这n个点中任意选择A，B 两点，点A，B都相关，求n的最大值．2020-2021学年北京市海淀区首都师大附中八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。