2.1.2数列的递推公式(小结练习)

4.1.2 数列的递推公式知识点一数列的递推公式如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式．数列递推公式与通项公式的关系：递推公式表示a n 与它的前一项a n －1(或前n 项)之间的关系，而通项公式表示a n 与n 之间的关系． 要点二 a n 与S n 的关系1．前n 项和S n ：把数列{a n }从第1项起到第n 项止的各项之和，称为数列{a n }的前n 项和，记作S n ，即S n ＝12n a a a +++ 2．a n 与S n 的关系：a n ＝11,1,2n n S n S S n -=⎧⎨-≥⎩【基础自测】1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)根据通项公式可以求出数列的任意一项．( ) (2)有些数列可能不存在最大项．( ) (3)递推公式是表示数列的一种方法．( ) (4)所有的数列都有递推公式．( ) 【答案】（1）√（2）√（3）√（4）×2．数列{a n }中，a n ＋1＝a n ＋2－a n ，a 1＝2，a 2＝5，则a 5＝( ) A ．－3 B ．－11 C ．－5 D ．19 【答案】D【解析】a 3＝a 2＋a 1＝5＋2＝7，a 4＝a 3＋a 2＝7＋5＝12，a 5＝a 4＋a 3＝12＋7＝19，故选D. 3．数列{a n }中，a n ＝2n 2－3，则125是这个数列的第几项( ) A ．4 B ．8 C ．7 D ．12 【答案】B【解析】令2n 2－3＝125得n ＝8或n ＝－8(舍)，故125是第8项．故选B. 4．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2，则a n ＝________. 【答案】2n －1【解析】当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝n 2－n 2＋2n －1＝2n －1.当n ＝1时，a 1＝S 1＝1满足上式，所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.题型一 数列中项与项数关系的判断(1)写出数列的一个通项公式，并求出它的第20项；(2)判断42和10是不是该数列中的项？若是，指出是数列的第几项，若不是，请说明理由．【解析】(1)由于22＝8，所以该数列前4项中，根号下的数依次相差3，所以它的一个通项公式为a n ＝3n －1；a 20＝3×20－1＝59.(2)令3n －1＝42，两边平方得3n ＝33，解得n ＝11，是正整数令3n －1＝10，两边平方得n ＝1013，不是整数．∴42是数列的第11项，10不是数列中的项． 【方法归纳】(1)由通项公式写出数列的指定项，主要是对n 进行取值，然后代入通项公式，相当于函数中，已知函数解析式和自变量的值求函数值．(2)判断一个数是否为该数列中的项，其方法是可由通项公式等于这个数求方程的根，根据方程有无正整数根便可确定这个数是否为数列中的项．(3)在用函数的有关知识解决数列问题时，要注意它的定义域是N *(或它的有限子集{1,2,3，…，n })这一约束条件．【跟踪训练1】已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n 2－28n . (1)写出此数列的第4项和第6项；(2)问－49是否是该数列的一项？如果是，应是哪一项？68是否是该数列的一项呢？ 【解析】(1)a 4＝3×42－28×4＝－64， a 6＝3×62－28×6＝－60.(2)由3n 2－28n ＝－49解得n ＝7或n ＝73(舍去)，所以－49是该数列的第7项．由3n 2－28n ＝68解得n ＝－2或n ＝343，所以68不是该数列的一项．题型二 已知S n 求a n例2 设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝2n 2－30n .求a n . 【解析】当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－30n －[2(n －1)2－30(n －1)]＝4n －32 当n ＝1时，a 1＝S 1＝－28，适合上式， 所以a n ＝4n －32.借助a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，(n ＝1)S n －S n －1(n ≥2)【变式探究1】将本例中的“S n ＝2n 2－30n ”换为“S n ＝2n 2－30n ＋1”，求a n . 【解析】当n ＝1时，a 1＝S 1＝2×1－30×1＋1＝－27. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－30n ＋1－[2(n －1)2－30(n －1)＋1] ＝4n －32.验证当n ＝1时，上式不成立∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－27，n ＝14n －32，n ≥2.方法归纳已知数列{a n }的前n 项和公式S n ，求通项公式a n 的步骤： (1)当n ＝1时，a 1＝S 1.(2)当n ≥2时，根据S n 写出S n －1，化简a n ＝S n －S n －1.(3)如果a 1也满足当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1的通项公式，那么数列{a n }的通项公式为a n ＝S n －S n －1；如果a 1不满足当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1的通项公式，那么数列{a n }的通项公式要分段表示为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1S n －S n －1，n ≥2.【跟踪训练2】已知数列：a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 3，求a n .【解析】当n ≥2时，由a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 3，得a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －2a n －1＝n －13，两式相减得3n －1a n ＝n 3－n －13＝13，则a n ＝13n .当n ＝1时，a 1＝13，满足a n ＝13n ，所以a n ＝13n .题型三 由数列递推公式求通项公式【例3】已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则a n ＝________.【答案】n (n ＋1)2【解析】∵a n ＋1＝a n ＋n ＋1，a 1＝1，∴a n ＋1－a n ＝n ＋1， ∴a n －a n －1＝n ，a n －1－a n －2＝n －1，…，a 2－a 1＝2 以上式子相加得： a n －a 1＝2＋3＋…＋n∴a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.变形为：a n ＋1－a n ＝n ＋1，照此递推关系写出前n 项中任意相邻两项的关系，这些式子两边分别相加可求． 【变式探究2】若将“a n ＋1＝a n ＋n ＋1”改为“a n ＋1＝nn ＋1a n”，则a n ＝________.【答案】1n【解析】∵a n ＋1＝n n ＋1a n ，a 1＝1，∴a n ＋1a n ＝nn ＋1，∴a n a n －1＝n －1n ，a n －1a n －2＝n －2n －1，…，a 2a 1＝12，以上式子两边分别相乘得：a n a 1＝n －1n ×n －2n －1×…×12＝1n∴a n ＝1n a 1＝1n .【方法归纳】由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为a n ＋1＝a n ＋f (n )或a n ＋1＝g (n )·a n ，则可以分别通过累加法或累乘法求得通项公式，即：(1)累加法：当a n ＝a n －1＋f (n )时，常用a n ＝a n －a n －1＋a n －1－a n －2＋…＋a 2－a 1＋a 1求通项公式．(2)累乘法：当a n a n －1＝g (n )时，常用a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1求通项公式．【跟踪训练3】在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ，则a n ＝( ) A ．2＋ln n B ．2＋(n －1)ln n C ．2＋n ln n D ．1＋n ＋ln n 【答案】A【解析】∵在数列{a n }中，a n ＋1－a n ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ＝ln n ＋1n∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝ln n n －1＋ln n －1n －2＋…＋ln 21＋2＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫n n －1·n －1n －2·…·21＋2＝2＋ln n .故选A.【易错辨析】数列中忽视n 的限制条件致误【例4】设S n 为数列{a n }的前n 项和，log 2(S n ＋1)＝n ＋1，则a n ＝________.【答案】⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝12n ，n ≥2【解析】由log 2(S n ＋1)＝n ＋1得S n ＋1＝2n ＋1，∴S n ＝2n ＋1－1当n ≥2时a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－1－2n ＋1＝2n .当n ＝1时，a 1＝S 1＝3.经验证不符合上式．∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝12n ，n ≥2.【易错警示】1. 出错原因忽视n ＝1的情况致错，得到错误答案：a n ＝2n . 2. 纠错心得已知a n 与S n 的关系求a n 时，常用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)来求a n ，但一定要注意n ＝1的情况.一、单选题1．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，2(1)nn S a n n =+-，（*n N ∈），若()22112n S S S n n+++--2013=，则n 的值为（ ）． A ．1007 B ．1006 C ．2012 D ．2014【答案】A 【分析】根据数列n a 与n S 的关系证得数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，以2为公差的等差数列，利用等差数列的前n 项和公式求出题中的式子，化简计算即可. 【解析】2(1)nn S a n n=+-， 12(1)(2)nn n S S S n n n-∴-=+-， 整理可得，1(1)2(1)n n n S nS n n ---=-， 两边同时除以(1)n n -可得12(2)1n n S S n n n --=-，又111S = ∴数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，以2为公差的等差数列，2321(1)23nS S S S n n∴++++-- 2(1)12(1)2n n n n -=⨯+⨯-- 22(1)n n =--21n =-，由题意可得，212013n -=， 解得1007n =． 故选：A ．2．南宋数学家杨辉在《解析九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列，如数列1，3，6，10，前后两项之差得到新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第19项为（ ） A ．171 B ．190 C ．174 D ．193【答案】C 【分析】根据题意可得数列3，4，6，9，13，18，24，⋯，满足：11(2)n n a a n n --=-，13a =，从而利用累加法即可求出n a ，进一步即可得到19a 的值． 【解析】3,4,6,9,13,18,24,后项减前项可得1,2,3,4,5,6,所以()1112,3n n a a n n a --=-≥=， 所以()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+()()1213n n =-+-+++()()()111133,222n n n n n -+⋅--=+=+≥.所以19191831742a ⨯=+=. 故选：C3．在数列{}n a 中，11a =，121nn n a a +-=-，则9a =（ ）A ．512B ．511C ．502D ．503【答案】D 【分析】利用累加法先求出通项即可求得答案. 【解析】因为11a =，121nn n a a +-=-，所以()()()121321n n n a a a a a a a a -=+-+-++-=()()()21211(21)21211222(1)2n n n n n --+-+-++-=++++--=-，所以9929503a =-=.故选：D. 4．数列23，45，69，817，1033，…的一个通项公式为（ ）A ．221n n n a =+ B ．2221n n n a +=+ C ．1121n n n a ++=-D ．12222n n n a ++=+【答案】A 【分析】根据数列中项的规律可总结得到通项公式. 【解析】1221321⨯=+，2422521⨯=+，3623921⨯=+，48241721⨯=+，510253321⨯=+， ∴一个通项公式为：221n nna =+. 故选：A.5．下列命题不正确的是（ ）A 的一个通项公式是n aB ．已知数列{},3n n a a kn =-，且711a =，则1527a =C ．已知数列{}n a 的前n 项和为()*,25n n n S S n N =-∈，那么123是这个数列{}n a 的第7项D ．已知()*1n n a a n n N +=+∈，则数列{}n a 是递增数列【答案】C 【分析】A：根据被开方数的特征进行判断即可；B：运用代入法进行求解判断即可；C：根据前n项和与第n项之间的关系进行求解判断即可；D：根据递增数列的定义进行判断即可.【解析】对于A31⇒⨯na⇒=A正确；对于B，3na kn=-，且7151122327na k a n a=⇒=⇒=-⇒=，B正确；对于C，()*25nnS n N=-∈，13a=-，当2,n n N*≥∈时，111222n n nn n na S S---=-=-=，12127n-=，无正整数解，所以123不是这个数列{}n a的第7项，C错误；对于D．由()*11,0n n n na a n n N a a n++=+∈-=>，易知D正确，故选：C．6．已知数列{}n a的前n项和2nS n=，则数列11n na a+⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前99项和为（）A．1168B．1134C．198199D．99199【答案】D【分析】先根据11,2,1n nnS S naS n--≥⎧=⎨=⎩，求出21na n=-，然后利用裂项相消求和法即可求解.【解析】解：因为数列{}n a的前n项和2nS n=，2121nS n n-=-+，两式作差得到21(2)na n n=-≥，又当1n=时，21111a S===，符合上式，所以21na n=-，111111(21)(21)22121n na a n n n n+⎛⎫==-⎪-+-+⎝⎭，所以12233411111n na a a a a a a a+++++=111111111111233557212122121n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以12233499100111199992991199a a a a a a a a ++++==⨯+. 故选：D.7．数列{}n a 中的前n 项和22nn S =+，数列{}2log n a 的前n 项和为n T ，则20T =（ ）.A ．190B ．192C ．180D ．182【答案】B 【分析】根据公式1n n n a S S -=-计算通项公式得到14,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩，故2,11,2n n b n n =⎧=⎨-≥⎩，求和得到答案.【解析】当1n =时，111224a S ==+=；当2n ≥时，()11112222222n n n n n n n n a S S ----=-=+-+=-=，经检验14a =不满足上式，所以14,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩， 2log n n b a =，则2,11,2n n b n n =⎧=⎨-≥⎩，()201911921922T ⨯+=+=. 故选：B.8．已知数列{}n a 满足11a =，()()()11*12n n n n a a a a n N n n ++-=∈++，则10a 的值为（ ）A ．1231B ．2231C ．1D ．2【答案】B 【分析】首先根据已知条件得到1111112n n a a n n +-=-++，再利用累加法求解即可. 【解析】 因为()()()*1112n n n n a a n n n N a a ++++=∈-，所以()()()*11112nn n n a a n N a a n n ++-=∈++， 所以()()111111212n n n n a a a a n n n n ++-==-++++，即1111112n n a a n n +-=-++，当2n ≥时，11221111111n n n n a a a a a a ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111111123n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+- ⎪⎪+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭-⎝⎭， 1111121n a a n -=-+，解得()11131122122n n n a n n +=-+=≥++ 当1n =时，上式成立，故2231n n a n +=+，故102022230131a +==+. 故选：B二、多选题9．数列{a n }的前n 项和为S n ，()*111,2N n n a a S n +==∈，则有（ ）A ．S n ＝3n －1B ．{S n }为等比数列C ．a n ＝2·3n －1D ．21,123,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩【答案】ABD 【分析】根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得n a ，进而求得n S 以及判断出{}n S 是等比数列.【解析】依题意()*111,2N n n a a S n +==∈，当1n =时，2122a a ==， 当2n ≥时，12n n a S -=，11222n n n n n a a S S a +--=-=，所以13n n a a +=，所以()2223232n n n a a n --=⋅=⋅≥，所以21,123,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩. 当2n ≥时，1132n n n a S -+==；当1n =时，111S a ==符合上式，所以13n n S -=.13n nS S +=，所以数列{}n S 是首项为1，公比为3的等比数列. 所以ABD 选项正确，C 选项错误.故选：ABD10．已知数列{}n a 的前n 项和22n n nS +=，数列{}n b 满足1n n b a =，若n b ，2n b +，n k b +（k *∈N ，2k >）成等差数列，则k 的值不可能是（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．10【答案】AD 【分析】利用n a 与n S 的关系，求得n a ，进而求得n b ，然后根据n b ，2n b +，n k b +（k *∈N ，2k >）成等差数列，得到n 与k 的关系，进而求得答案.【解析】当1n =时，11212a S ===，当2n ≥时，()()2211122n n n n n n n a S S n --+++=-=-=，故n a n =（N n *∈），11n n b a n ==（N n *∈）．因为n b ，2n b +，n k b +（N k *∈，2k >）成等差数列，所以22n n n k b b b ++=+，即2112n n n k=+++，所以48422n k n n ==+--，（2k >，N k *∈），从而2n -的取值为1，2，4，8，则对应的k 的值为12，8，6，5，所以k 的值不可能是4，10， 故选:AD ．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、填空题11．数列{}n a 的前n 项的和231n S n n =++，n a =________．【分析】利用2n 时，1n n n a S S -=-求n a ，同时注意11a S =． 【解析】解析：由题可知，当2n 时，1n n n a S S -=-22313(1)(1)1n n n n ⎡⎤=++--+-+⎣⎦62n =-，当1n =时，113115a S ==++=，故答案为：5,162,2n n n =⎧⎨-⎩．12．设数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n －3，则a n ＝________.【答案】【解析】解析 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n －3)－[2(n －1)－3]＝2，又a 1＝S 1＝2×1－3＝－1，故a n ＝13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若n n a b S +=，2414a a =，则数列{}n a 的通项公式为___________. 【答案】212n -⎛⎫ ⎪⎝⎭或212n -⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】 由n n a b S +=可得数列{}n a 是公比为12的等比数列，然后根据2414a a =求出21a =即可. 【解析】因为n n a b S +=，所以当1n =时，1112b a S a +==，即12b a = 当2n ≥时，11n n b a S --+=，然后可得10n n n a a a --+=，即()1122n n a a n -=≥ 所以数列{}n a 是公比为12的等比数列 所以21124b a a ==，4111816a a b ==， 因为22411644a ab ==，所以4b =±， 当4b =时， 21a =，2221122n n n a a --⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当4b =-时， 21a =-，2221122n n n a a --⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：212n -⎛⎫ ⎪⎝⎭或212n -⎛⎫- ⎪⎝⎭四、解答题 14．已知数列{}n a 的前n 项和()2*2n S n kn k N =-+∈，且n S 的最大值为4．（1）求常数k 及n a ；（2）设()17n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】（1）2k =，25n a n =-+ （2）2(1)n n T n =+ 【分析】（1）由于()222*2()n S n kn n k k k N =-+=--+∈，则可得24k =，从而可求出2k =，然后利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出n a ， （2）由（1）可得11121n b n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，然后利用裂项相消求和法求解即可 （1）因为()222*2()n S n kn n k k k N =-+=--+∈，所以当n k =时，n S 取得最大值2k ， 所以24k =，因为*k N ∈，所以2k =，所以24n S n n =-+，当1n =时，11143a S ==-+=，当2n ≥时，2214[(1)4(1)]25n n n a S S n n n n n -=-=-+---+-=-+，13a =满足上式，所以25n a n =-+（2）由（1）可得()()11111177252(1)21n n b n a n n n n n n ⎛⎫====- ⎪-+-++⎝⎭， 所以1111111112222321n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+⨯- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 111212(1)n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭ 15．已知数列{}n a 满足()23*1232222n n a a a a n n N ++++=∈，求数列{}n a 的通项公式．【答案】12n na =【分析】 先根据前n 项和与通项的关系得12n n a =，再检验1n =时也满足条件即可求得答案. 【解析】因为23*1232222()n n a a a a n n N ++++=∈①， 所以()2311231222212n n a a a x a n n --++++=-≥②， ①-②得21(2)n n a n =≥，即 12n n a =, 当1n =时，112a =，满足12n n a =， 所以12n na = 16．已知数列{}n a 的前n 项和112n n S ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求数列{}n a 的通项公式． 【答案】312122n n n a n ⎧=⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩ 【分析】根据n S 与n a 的关系式，求解数列的通项公式即可.需要注意验证首项.【解析】()111111222n n n n S S n --⎛⎫⎛⎫=+∴=+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭①②-①②得()122n n a n ⎛⎫=-≥ ⎪⎝⎭ 根据题意，1111311222a S ⎛⎫==+=≠- ⎪⎝⎭ 所以数列的通项公式为312122n n n a n ⎧=⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩。

2.1.2递推公式作业1、数列 ,9910,638,356,154,32中第8项是 （ ）A.19514 B.25516C. 32318 D.399202、已知数列{}n a 满足()nn n n a a a 111-+=--且11=a ，则=35a a （ ）A.1516 B.34 C.158 D.383、数列{}n a 中，已知()*1221,2,1N n a a a a a n n n ∈-===++，则=2002a （ ） A. 1 B. 1- C. 2- D. 24、已知()*1133,21N n a a a a n n n ∈+==+，则=na（ ） A. 52+n B.42+n C.53+n D. 43+n5、数列{}n a 满足341+=-n n a a 且01=a ，则此数列第5项是 （ ） A. 15 B. 255 C. 16 D. 636、数列{}n a 中，02,311=-=+n n a a a ，数列{}n b 的通项n b 满足关系式 ()()*1Nn b a nn n ∈-=，则=nb。

7、设数列{}n a 满足11=a ，()1111>+=-n a a n n ，写出这个数列的前5项。

8、设数列{}n a 满足51=a ，n n a a 31=+，写出这个数列的前5项并归纳猜想通项公式。

9、数列{}n a 中，nn n a a a a a +==+12,11，写出这个数列的前4项，并根据前4项观察规律，写出数列的一个通项公式。

10、设数列{}n a 满足11=a ，13321++=-+n n a a n n ，写出这个数列的前5项并归纳通项公式。

11、已知数列{}n a 满足q pa a a n n +==+11,1，且15,342==a a ，求q p ,的值。

参考答案：1、 B2、 B3、 B4、 C5、B6、12131-⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-=n n a7、58,35,23,2,154321=====a a a a a8、405,135,45,154321====a a a a 135-⨯=n n a 9、aa a aa a aa a aa 718314122321+=+=+==()aa a n n n 121211-+=--10、125,64,27,8,154321=====a a a a a 3n a n = 11、解：由已知可得q pa a +=12，即3=+q p()q pq a p q q pa p q pa a ++=++=+=22234即1532=++q pq p联立方程组⎩⎨⎧=++=+15332q pq p q p 解得⎩⎨⎧=-=63q p 或⎩⎨⎧==12q p。

数列递推关系数列递推关系是数学中一个重要的概念，它描述了数列中的每个元素与它的前一个或前几个元素的关系。

在数学和应用数学中，数列递推关系被广泛用于解决各种问题，比如计算机科学、物理学、经济学等领域。

数列递推关系有两种形式：线性递推和非线性递推。

线性递推是指数列中的每个元素都是前几个元素的线性组合。

比如斐波那契数列就是一个著名的线性递推数列，它的每个元素都是前两个元素的和。

非线性递推则指数列中的每个元素与它前几个元素之间存在非线性关系，比如几何数列和指数数列。

线性递推关系可以通过数学公式来描述，比如斐波那契数列的公式为An = An-1 + An-2，其中An表示数列中第n个元素，An-1表示第n-1个元素，An-2表示第n-2个元素。

这个公式表达了斐波那契数列中每个元素与前两个元素之间的关系。

非线性递推关系则无法用简单的公式来表示，通常需要通过递归或迭代的方式来计算。

比如几何数列的递推关系为An = An-1 * r，其中r为公比，表示数列中每个元素与前一个元素的比值。

这个递推关系说明了几何数列中每个元素与前一个元素之间的关系。

数列递推关系在实际问题中的应用非常广泛。

比如在计算机科学中，递推关系常被用于算法设计和性能分析。

在物理学中，递推关系可以描述连续物理系统的运动规律。

在经济学中，递推关系可以解释市场供求关系和经济变量之间的相互作用。

总之，数列递推关系是数学中一个重要的概念，它描述了数列中每个元素与它的前一个或前几个元素的关系。

它可以通过线性递推和非线性递推两种形式来表示。

数列递推关系在各个学科中都有广泛的应用，对于理解和解决实际问题都具有重要意义。

(1)“基础”——数列{an}的第 1 项或前几项; (2)递推关系——数列{an}的任一项 an 与它的前一项 an-1(或前几项)之 间的关系,并且这个关系可以用一个公式来表示.如果两个条件缺一个,数列 就不能确定. 2.数列递推公式的主要题型: (1)根据数列的递推公式和第 1 项(或其他项)求数列的前几项; (2)根据数列的递推公式求数列的通项公式.
第2课时 数列的递推公式
课程目标
1.理解数列的函数特性,掌握判断数列增减性 的方法. 2.知道递推公式是给出数列的一种形式. 3.能够根据递推公式写出数列的前几项.
学习脉络
递推公式 如果已知数列{an}的首项(或前几项),且任一项 an 与它的前一项 an-1(或
前几项)间的关系可用一个公式来表示,那么这个公式叫做数列{an}的递推 公式.用递推公式给出数列的方法叫做递推法.
又 a1=1,∴an=2n-1(n≥2).当 n=1 时,a1=1 也满足上式,故数列{an}的一个
通项公式为 an=2n-1,an+1-an=2(n+1)-1-(2n-1)=2>0,∴an+1>an.
∴数列{an}是单调递增数列.
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J 基础知识 ICHU ZHISHI
Z S 重点难点 HONGDIAN NANDIAN
探究四
探究一 判断数列的单调性
数列的单调性一般要通过比较 an+1 与 an 的大小来判断,具体为: an+1-an>0⇔an+1>an⇔数列{an}单调递增;
an+1-an<0⇔an+1<an⇔数列{an}单调递减.
探究一
探究二
探究三
探究四

二、数列的递推公式与通项公式、前n 项和公式一、知识点回顾：1、递推公式定义：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。

2、数列前n 项和S n 与通项a n 的关系式：a n =⎩⎨⎧--11s s s n n 12=≥n n 。

在数列｛a n ｝中，前n 项和S n 与通项公式a n 的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握之。

注意：（1）用1--=n n n S S a 求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（2n ≥，当1n =时，11S a =）；若a 1 适合由a n 的表达式，则a n 不必表达成分段形式，可化统一为一个式子。

（2）一般地当已知条件中含有n a 与n S 的混合关系时，常需运用关系式1--=n n n S S a ，先将已知条件转化为只含n a 或n S 的关系式，然后再求解。

3、数列的通项的求法：⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。

⑵已知n S （即12()n a a a f n +++= ）求n a ，用作差法：{11,(1),(2)n nn S n a S S n -==-≥。

一般地当已知条件中含有n a 与n S 的混合关系时，常需运用关系式1--=n n n S S a ，先将已知条件转化为只含n a 或n S 的关系式，然后再求解。

⑶已知12()n a a a f n = 求n a ，用作商法：(1),(1)(),(2)(1)n f n f n a n f n =⎧⎪=⎨≥⎪-⎩。

⑷若1()n n a a f n +-=求n a 用累加法：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-++- 1a +(2)n ≥。

⑸已知1()n n a f n a +=求n a ，用累乘法：121121n n n n n a a aa a a a a ---=⋅⋅⋅⋅ (2)n ≥。

2.1.2数列的递推关系一、内容和内容解析数列是除数、形、三角、函数外又一个重要的数学概念，是数学发展的又一个重要主题.在第一节课的学习中学生已初步接触数列，了解了数列的基本概念，可以发现，数列的简单表示呼应数列是一种特殊函数，类比给出了三种不同的表示法：通项公式、列表法、图象法，而递推公式也是数列的一种表示方法.上一节课学生已经学习了用通项公式来表示数列，这一节课的重点是让学生进一步了解数列的另一种表示方法，即数列的递推关系.递推关系是数列所特有的表示方法，它表示的是数列的某一项和它的前一项或前若干项之间的关系，它紧密的联系着数列的通项，体现着数列项与项之间的某种关系.数列的递推关系同其通项公式的特点类似，即有些数列的递推关系是不唯一的，可以有不同形式.同函数一样，我们还可以根据数列的递推关系研究数列的性质，包括单调性、周期性等等.通过对数列递推关系的进一步研究，可以更好的体会到所有的事物虽在不断变化着，但在这纷繁的变幻中，许多现象的变化是有规律可循的，我们可以用递推的思想去研究这些变化.二、学生认知基础分析1．学生已有的经验和基础．(1)学生已经学习了函数的知识以及数列的基本概念及其简单表示，为这节课的学习奠定了一定的基础.而且学生在小学时就有了对数列知识的启蒙，比如根据前几项找一列数的规律，通过一列数写出某一项等等，这都蕴含着数列概念及表示法的萌芽和基础．(2)学生已经有用具有代表性的元素来代替任意的、无穷多的元素以及用代表性元素表示两者或多者之间关系的经验．(3)学生具有学习用递推关系表示一列数的心理需求.2．学生可能遇到的问题与困难．(1)对一列具有复杂规律的数难以直接寻求它们之间的关系.(2)对数列递推关系的理解只停留在表面，难以通过抽象的概念应用到实际问题中.(3)不善于把所有的数学知识形成一个自我的体系，不擅长联系旧知来学习新知，对数学概念的理解停留在表面.(4)由于数学思想的形成需要经历萌芽期、明朗期、成熟期，因此学生难以在一节课或几节课内深刻理解数列的精神实质.三、目标和目标解析结合教学指导意见和教学实际，制定教学目标如下：1.知识与技能：经历通过递推关系写通项公式、通过数列前几项写递推关系以及根据数列递推关系寻找数列的性质，掌握数列递推关系的基础知识和基本技能.2.数学思考：数学是一个融会贯通的整体，学会从函数的角度认识数列，学会独立思考，体会数学的基本思想和思维方式.3.问题解决：通过例题解析，初步学会从数学的角度发现问题和提出问题，了解并掌握数列简单表示方法的概念以及数列递推关系的应用.4.情感态度：通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，调动学生的主动性和积极性，给学生成功的体验，激发学生学习的兴趣；培养学生合情推理探索数学规律的数学思想，强化数学应用意识.四、教学重点、难点重点：数列递推公式的认识与递推公式的应用难点：通过数列递推公式写数列通项公式及研究数列性质五、教学过程设计（一）复习引入，提出课题上一节课我们学习了数列的基本概念，我们把按照一定顺序排列的一列数称为数列，记为{}n a.把表示{}n a的第n项与序号n之间的关系式称为数列的通项公式.（1）在上图四个三角形图案中，着色的小三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项公式.1a类比于函数，我们把这种数列的表示方法称为解析式法.=n3-n同样，除了解析式法，还可以用列表法、图象法来表示数列.列表法问题：写数列通项公式时，你最先发现这个数列的规律是？后一项是前一项的3倍，即)2(31≥=-n a a n n .我们把这种项与项之间的等式关系称为数列递推关系，它也是数列的一种表示方法.[设计意图] 通过具体例题回顾上一节的知识，从函数的角度类比数列的几种简单表示方法，引出新课内容.（二）分组练习，交流分享分组：分成四个小组，各自完成一道习题，相互交流讨论并选出一名发言人汇报讨论结果.巡视、点拨：了解学生的答题情况，对讨论过程中个别疑难处进行指导.1.根据数列的递推关系，写出数列的前五项并猜想这个数列的通项公式.（1）已知;2,111+==+n n a a a（2）已知;21,211n n a a a ==+ （3）已知);2(1,111≥+==-n a n n a a n n （4）已知.23,5,31221n n n a a a a a -===++[设计意图] 通过练习1让学生进一步体会根据数列的递推关系可以把数列的每一项都表示出来，利用分组练习充分发挥学生合作交流的能力，让学生“动n a 13-k起来”，让课堂“活起来”.2.（1）下面四个图形中的点数依次构成数列的前四项，请写出它的一个递推关系.（2）下图中的三个正方形块中，着色正方形的个数依次构成一个数列的前3项，请写出它的一个递推关系.（3）已知数列的前四项分别为：1,2,6,15，请写出它的一个递推关系.[设计意图] 以图形的形式展现数列的前几项，寻找图形之间的关系从而写出数列的递推关系.以丰富的形式提高学生学习探究的兴趣，激发学生的求知欲.（三）例题解析，思维提升例1.已知正项数列{}n a 满足22,111+==+n n n a a a a . ①求;,,432a a a ②能否判断{}n a 的单调性？可否求证？[设计意图] 数列的递推关系的应用，先尝试通过递推关系写出前几项猜想数列的单调性，再根据数列的递推关系引导学生利用作差法、作商法求证猜想.通过这个例子培养学生大胆猜想，严谨求证的数学能力.例2.已知数列{}n a 满足,11,211n n a a a -==+则)(2016=a .2.A 21.B2.-C 1.-D [设计意图] 数列的递推关系的应用，让学生先通过递推关系写出数列的前几项发现规律，然后猜想第2016项，体会由数列的递推关系判断数列的周期性.找规律找周期性这类问题是学生从小学就开始接触的，这种熟悉的问题更易让学生动手尝试，从而达到知识拓展、思维提升的目的.归纳小结：数列递推关系的应用：①写出数列的通项公式；②判断数列的单调性；③周期性.（板书）[设计意图] 通过教师适当的点拨和小结，让学生站在更高层次去理解数学本质.（四）联系自然，课外拓展1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144…提问：你能发现这个数列的规律吗？如果用n a 表示第n 个月的兔子的总对数，可以看出，)3(21≥+=--n a a a n n n这是一个由递推关系给出的数列，我们把这个数列称为斐波那契数列.拓展1：带小花的大向日葵的管状小花排列成两组交错的螺旋，通常顺时针的螺旋有34条，逆时针的螺旋有55条，恰为斐波那契数列的相邻两项，这样的螺旋被称为“斐波那契螺旋”，蒲公英和松塔就是以“斐波那契螺旋”的形式排列种子或鳞片的.拓展2：把相邻两项的比值看做一个新的数列，即⋯⋯+,,,2113,138,85,53,32,21,111n n a a当n 趋向于无穷大时，其比值趋向于618.0215≈-，即黄金比值. 故斐波那契螺旋又称为黄金螺旋.拓展3：神奇的是，飓风的卫星云图和银河的形状都与黄金螺旋有着惊人的相似之处.包括在建筑上，美术上甚至在音乐上都体现了它的美妙之处.[设计意图] 数学来源于生活，数学是有用的，数学的美妙也体现在生活中的方方面面.让学生从更多角度认识数列的递推关系.（五）归纳总结，作业布置提问：通过今天这节课你收获了什么？[设计意图]通过学生的总结，培养学生的归纳总结能力和语言表达能力．分层布置作业必做题：书P34，第4,5,6题.选做题（探究提升）：阅读了解斐波那契数列相关内容，体会数列的递推关系的应用.。

数列的递推公式和通项公式总结一、数列的概念1.数列：按照一定顺序排列的一列数。

2.项：数列中的每一个数。

3.项数：数列中数的个数。

4.首项：数列的第一项。

5.末项：数列的最后一项。

6.公差：等差数列中，相邻两项的差。

7.公比：等比数列中，相邻两项的比。

二、数列的递推公式1.等差数列的递推公式：an = a1 + (n-1)d–an：第n项–a1：首项2.等比数列的递推公式：an = a1 * q^(n-1)–an：第n项–a1：首项3.斐波那契数列的递推公式：an = an-1 + an-2–an：第n项–an-1：第n-1项–an-2：第n-2项三、数列的通项公式1.等差数列的通项公式：an = a1 + (n-1)d–an：第n项–a1：首项2.等比数列的通项公式：an = a1 * q^(n-1)–an：第n项–a1：首项3.斐波那契数列的通项公式：an = (1/√5) * [((1+√5)/2)^n - ((1-√5)/2)^n]–an：第n项四、数列的性质1.收敛性：数列的各项逐渐接近某个固定的数。

2.发散性：数列的各项无限增大或无限减小。

3.周期性：数列的各项按照一定周期重复出现。

五、数列的应用1.数学问题：求数列的前n项和、某项的值、数列的收敛性等。

2.实际问题：人口增长、贷款利息计算、等差数列的求和等。

六、数列的分类1.有限数列：项数有限的数列。

2.无限数列：项数无限的数列。

3.交错数列：正负交替出现的数列。

4.非交错数列：同号连续出现的数列。

5.常数数列：所有项都相等的数列。

6.非常数数列：各项不相等的数列。

综上所述，数列的递推公式和通项公式是数列学中的重要知识点，通过这些公式，我们可以求解数列的各种问题。

同时，了解数列的性质和分类，有助于我们更好地理解和应用数列。

习题及方法：1.习题一：已知等差数列的首项为3，公差为2，求第10项的值。

答案：a10 = 3 + (10-1) * 2 = 3 + 18 = 21解题思路：利用等差数列的递推公式an = a1 + (n-1)d，将给定的首项和公差代入公式，求得第10项的值。

【解析】∵f(1)＝2，f(n＋1)＝fn2＋1(n∈N*)， 5
∴f(2)＝f12＋1＝32，f(3)＝f22＋1＝22＝54， f(4)＝f32＋1＝54＋2 1＝98.
【答案】98
4．已知数列{an}，a1＝1，an·an－1＝n－1(n≥2)，则aa86＝________. 【解析】解法一：∵a1＝1，an·an－1＝n－1(n≥2)， ∴a2＝a11＝1，a3＝a22＝2，a4＝a33＝32，a5＝a44＝83， a6＝a55＝185，a7＝a66＝156，a8＝a77＝3156. ∴aa68＝185·1365＝67.
2.1.2 数列的递推公式（选学）
情境引入导学
某餐厅供应 1 000 名学生用餐，每星期一有 A、B 两种菜可供 选择，调查资料显示星期一选 A 菜的学生中有 20%在下周一选 B 菜，而选 B 菜的学生中有 30%在下周一选 A 菜．用 An、Bn 分别表 示在第 n 个星期一选 A 菜、B 菜的学生数，试写出 An 与 An－1 的关 系及 Bn 与 Bn－1 的关系．
解：∵4an＋1－anan＋1＋2an＝9(n∈N＋)， ∴an＋1(4－an)＋2an＝9. ∴an＋1(4－an)＝9－2an. ∴an＋1＝94－－2aann.
∴a2＝94－－2aa11＝9－4－2×1 1＝73，a3＝94－－2aa22＝9－4－2×73 73＝153， a4＝94－－2aa33＝9－4－2×153153＝179. 故这个数列的前 4 项为 1，73，153，179， 可归纳出通项公式 an＝62nn－－51.
命题方向2：递推公式在实际问题中的应用
例 2：某人上一段 11 级的楼梯，如果一步可上一级，也可上 两级，则他共有多少种不同的上楼梯的方法？

第8课时数列的递推公式知识点一利用数列的递推公式求数列的项1．已知数列{a n}满足a n＝4a n－1＋3，且a1＝0，则此数列第5项是() A．15B．255C．16D．63答案B解析a2＝3，a3＝15，a4＝63，a5＝255．2．已知a1＝1，a n＋1＝a n3a n＋1，则数列{a n}的第4项是()A．116B．117C．110D．125答案C解析a2＝a13a1＋1＝13＋1＝14，a3＝a23a2＋1＝1434＋1＝17，a4＝a33a3＋1＝1737＋1＝110．3．已知数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝2a n－1(n∈N*)，则a1000＝()A．1B．1999C．1000D．－1答案A解析a1＝1，a2＝2×1－1＝1，a3＝2×1－1＝1，a4＝2×1－1＝1，…，可知a n＝1(n∈N*)．4．已知数列{a n}对任意的p，q∈N*满足a p＋q＝a p＋a q，且a2＝－6，那么a10等于()A．－165B．－33C．－30D．－21答案C解析由已知得a2＝a1＋a1＝2a1＝－6，∴a1＝－3．∴a10＝2a5＝2(a2＋a3)＝2a2＋2(a1＋a2)＝4a2＋2a1＝4×(－6)＋2×(－3)＝－30．5．已知数列{a n}，a n＝a n＋m(a＜0，n∈N*)，满足a1＝2，a2＝4，则a3＝________．答案2解析＝a ＋m ，＝a 2＋m ，＝－1，＝3，∴a n ＝(－1)n ＋3，∴a 3＝(－1)3＋3＝2．6．已知数列{a n }满足：a 4n －3＝1，a 4n －1＝0，a 2n ＝a n ，n ∈N *，则a 2011＝________；a 2018＝________．答案01解析∵a 2011＝a 503×4－1＝0，∴a 2018＝a 2×1009＝a 1009＝a 4×253－3＝1．7．数列{a n }满足递推公式a 1＝5，a n ＝nn ＋1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，则数列{a n }的前四项依次为________，它的通项公式为________．答案5，103，52，2a n ＝10n ＋1解析由a n a n －1＝nn ＋1(n ≥2，n ∈N *)，得a 2a 1＝23，a 3a 2＝34，…，a n a n －1＝n n ＋1(n ≥2，n ∈N *)，将以上各式两两相乘得a n a 1＝23·34·…·n n ＋1＝2n ＋1，所以a n ＝10n ＋1(n ≥2，n ∈N *)，又a 1＝5符合上式，所以其通项为a n ＝10n ＋1．所以a 1＝5，a 2＝103，a 3＝52，a 4＝2．8．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n －a n －1＝1n (n －1)(n ≥2)，求数列{a n }的通项公式．解累加法：a n －a n －1＝1n (n －1)＝1n －1－1n，a 2－a 1＝1－12，a 3－a 2＝12－13，a 4－a 3＝13－14，…，a n －a n －1＝1n －1－1n，累加可得a n－a1＝1－1 n．又a1＝1，所以a n＝2－1 n．9．在数列{a n}中，若a1＝2，且对所有n∈N*满足a n＝a n＋1＋2，则a2016＝________．易错分析本题求通项公式时采用累加法易漏掉a1错解a n＝－2n＋2致a2016＝－4030．答案－4028解析由题意知a n＋1－a n＝－2，所以a n＝(a n－a n－1)＋(a n－1－a n－2)＋(a n－2－a n－3)＋…＋(a2－a1)＋a1＝－2(n－1)＋2＝－2n＋4，所以a2016＝－2×2016＋4＝－4028．10．已知数列{a n}满足a1a2a3…a n＝n2(n∈N*)，求a n．易错分析本题易忽略式子a1a2a3…a n－1＝(n－1)2仅适用于n∈N*且n≥2时的情况，因此两式相除得到a n＝n2(n－1)2也仅适用于n≥2时的情况，从而错误断定a n＝n2(n－1)2是数列的通项．解当n＝1时，a1＝1．由条件知a1a2a3…a n＝n2(n∈N*)，当n≥2时a1a2a3…a n－1＝(n－1)2，两式相除得a n＝n2(n－1)2(n≥2，n∈N*)，故a n，n≥2，n∈N*.一、选择题1．已知a n＝3n－2，则数列{a n}的图象是() A．一条直线B．一条抛物线C．一个圆D．一群孤立的点答案D解析∵a n＝3n－2，n∈N*，∴数列{a n}的图象是一群孤立的点．2．在数列{a n}中，a1＝13，a n＝(－1)n·2a n－1(n≥2)，则a5等于()A．－163B．163C．－83D．83答案B解析∵a1＝13，a n＝(－1)n·2a n－1，∴a2＝(－1)2×2×13＝23，a3＝(－1)3×2×23＝－4 3，a4＝(－1)4×2×－43＝－8 3，a5＝(－1)5×2×－83＝16 3．3．函数f(x)满足f(1)＝1，f(n＋1)＝f(n)＋3(n∈N*)，则f(n)是()A．递增数列B．递减数列C．常数列D．不能确定答案A解析∵f(n＋1)－f(n)＝3(n∈N*)，∴f(2)>f(1)，f(3)>f(2)，f(4)>f(3)，…，f(n＋1)>f(n)，…．∴f(n)是递增数列．4．数列{a n}的构成法则如下：a1＝1，如果a n－2为自然数且之前未出现过，则用递推公式a n＋1＝a n－2，否则用递推公式a n＋1＝3a n，则a6＝() A．－7B．3C．15D．81答案C解析由a1＝1，a1－2＝－1∉N，得a2＝3a1＝3．又a2－2＝1＝a1，故a3＝3a2＝9．又a3－2＝7∈N，故a4＝a3－2＝7．又a4－2＝5∈N，则a5＝a4－2＝5．又a5－2＝3＝a2，所以a6＝3a5＝15．故选C．5．设数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝3，且2na n ＝(n －1)a n －1＋(n ＋1)a n ＋1，则a 20的值是()A ．415B ．425C ．435D ．445答案D解析由题知：a n ＋1＝2na n －(n －1)a n －1n ＋1，a 3＝2×2×3－13＝113，a 4＝2×3×113－2×34＝4，a 5＝2×4×4－3×1135＝215，a 6＝2×5×215－4×46＝266，故a n ＝5n －4n ．所以a 20＝5×20－420＝245＝445．故选D ．二、填空题6．在数列{a n }中，a n ＝2n ＋1，对于数列{b n }，b 1＝a 1，当n ≥2时，b n ＝ab n－1，则b 4＝________，b 5＝________．答案3163解析由a n ＝2n ＋1，知b 2＝ab 1＝a 3＝7，b 3＝ab 2＝a 7＝15，b 4＝ab 3＝a 15＝31，b 5＝ab 4＝a 31＝63．7．已知F (x )＝1是R 上的奇函数．a n ＝f (0)＋f (1)(n ∈N *)．则数列{a n }的通项公式为________．答案a n ＝n ＋1解析因为F (x )＋F (－x )＝0，所以x 2，即若a ＋b ＝1，则f (a )＋f (b )＝2．于是由a n ＝f (0)＋…＋f (1)(n ∈N *)，得2a n ＝[f (0)＋f (1)]…[f (1)＋f (0)]＝2n ＋2，所以a n ＝n ＋1．8．函数f (x )定义如下表，数列{x n }满足x 0＝5，且对任意的自然数均有x n ＋1＝f (x n )，则x 2019＝________．x 12345f (x )51342答案5解析由题意可得x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，…的值分别为2，1，5，2，1，…故数列{x n }为周期为3的周期数列．∴x 2019＝x 3×673＝x 3＝5．三、解答题9．数列{a n }中a 1＝1，对所有的n ≥2，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2．(1)求a 3，a 5；(2)探究256225是否为此数列中的项；若是，是第多少项？(3)试比较a n 与a n ＋1(n ≥2)的大小．解(1)∵对所有的n ≥2，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，∴a 1·a 2＝22，a 1·a 2·a 3＝32，a 1·a 2·a 3·a 4＝42，a 1·a 2·a 3·a 4·a 5＝52．∴a 3＝94，a 5＝2516．(2)∵a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，∴n ≥3时，a 1·a 2·a 3·…·a n －1＝(n －1)2，∴n ≥3时，∴a n ，且a 1＝1，a 2＝4，而256225＝，∴256225是数列中的项，是第16项．(3)∵a na n＋1＝>1，∴a n>a n＋1(n≥2)．10．已知数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝2a na n＋2n∈N*)，试探究数列{a n}的通项公式．解解法一：将n＝1，2，3，4依次代入递推公式得a2＝23，a3＝24，a4＝25，又a1＝2 2，∴可猜想a n＝2n＋1．应有a n＋1＝2n＋2，将其代入递推关系式验证成立，∴a n＝2n＋1．解法二：∵a n＋1＝2a na n＋2，∴a n＋1a n＝2a n－2a n＋1．两边同除以2a n＋1a n，得1a n＋1－1a n＝12．∴1a2－1a1＝12，1a3－1a2＝12，…，1a n－1a n－1＝12．把以上各式累加得1a n－1a1＝n－12．又a1＝1，∴a n＝2n＋1．故数列{a n}的通项公式为a n＝2n＋1(n∈N*)．。

第2课时 数列的性质和递推公式一、数列与函数的关系数列可以看作是以正整数集N *(或它的有限子集{1，2，3，…，n })为定义域的函数a n ＝f (n )，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．二、数列的递推公式如果数列{a n }的第1项或前几项已知，并且数列{a n }的任一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式．递推公式也是数列的一种表示方法．1.数列的函数性质例1.已知函数f (x )＝2x －2－x ，数列{a n }满足f (log 2a n )＝－2n (n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)判断数列{a n }的增减性．变式2.判断下列数列的单调性：(1)在数列{a n }中，a n ＝－2n ＋3；(2)在数列{a n }中，a n ＝n 2＋2n －5.2.数列的递推公式例2.设数列{a n }满足⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，a n ＝1＋1a n －1(n >1，n ∈N *).写出这个数列的前5项．变式2.在数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＝3，a n ＋2＝3a n ＋1－2a n (n ≥1)，写出此数列的前6项．3.由数列的递推公式求数列的通项公式例3.(1)已知数列{a n }满足a 1＝－1，a n ＋1＝a n ＋1n （n ＋1），n ∈N *，求通项公式a n ； (2)设数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n a n －1(n ≥2)，求通项a n .变式3.已知数列{a n }满足a 1＝12，n n n n a a a a -=--11，求数列{a n }的通项公式．课堂练习：1．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是( )A ．a n ＋1＝a n ＋n ，n ∈N *B ．a n ＝a n －1＋n ，n ∈N *，n ≥2C ．a n ＋1＝a n ＋(n ＋1)，n ∈N *D ．a n ＝a n －1＋(n －1)，n ∈N *，n ≥22．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＋1＝0(n ∈N *)，则此数列的通项a n 等于( )A ．n 2＋1B ．n ＋1C ．1－nD ．3－n3．用火柴棒按下图的方法搭三角形：按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数a n 与所搭三角形的个数n 之间的关系式可以是______________．课时作业一、选择题1．已知a n ＋1－a n －3＝0，则数列{a n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．不能确定2．已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，则此数列的第4项是( )A ．1 B.12 C.34 D.583．数列{a n }中，a 1＝1，对所有的n ≥2，n ∈N *，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5等于() A.259 B.2516 C.6116 D.31154．已知a 1＝1，a n ＝a n －1＋3(n ≥2，n ∈N *)，则数列的通项公式为( )A ．a n ＝3n ＋1B ．a n ＝3nC ．a n ＝3n －2D ．a n ＝3(n －1)5．若a 1＝1，a n ＋1＝a n 3a n ＋1，则给出的数列{a n }的第4项是( )A.116B.117C.110D.1256．已知数列{a n }中，a n ＝－2n 2＋29n ＋3，则数列中最大项的值是( )A ．107B ．108C ．10818D ．109二、填空题7．已知数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2a n ，0≤a n <12，2a n －1，12≤a n <1.若a 1＝67，则a 2 017＝________.8．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎨⎧ 3n ＋1，n 为正奇数，4n －1，n 为正偶数，则它的前4项依次为________．9．已知数列{a n }满足：a n ≤a n ＋1，a n ＝n 2＋λn ，n ∈N *，则实数λ的最小值是________．10．根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，可以得出第n 个图中有________个点．三、解答题11．已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝23，1a n －2＋1a n ＝2a n －1(n ∈N *，n ≥3)，求a 3，a 4.12．根据下列条件，写出数列的前4项，并归纳猜想它的通项公式．(1)a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2n －1(n ∈N *)；(2)a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋a n n ＋1(n ∈N *)； (3)a 1＝－1，a n ＋1＝a n ＋1n (n ＋1)(n ∈N *)．。

2.1.2 数列的递推公式一、选择题1．在数列{n a }，则3a =（ ） A 、1 BC 、2D 、1.5 2．设已知数列{}n a 对任意的N n m ∈,，满足n m n m a a a +=+，且12=a ，那么10a 等于（ ）．A.3B.5C.7D.93．数列{}n a ，已知11a =，当2n ≥时121n n a a n -=+-，依次计算2a 、3a 、4a 后，猜想n a 的表达式是（ ）A ． 32n -B ． 2nC ． 13n -D ．43n -4．数列}{n a 中n n n a )1(-+=，则=+54a a （ ）Ａ．7 Ｂ．8 Ｃ．9 Ｄ．105．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝，则其前6项之和是( ) A ．16 B ．20 C ．33 D ．1206．若数列{}n a 的通项公式为1)21n ⋅，则{}n a （ ） A ．为递增数列B ．为递减数列C ．从某项后为递减数列D ．从某项后为递增数列7．观察下列等式，332123+=，33321236++=，33332123410+++=根据上述规律，333333123456+++++=（ ）A ．219B ．220C ．221D ．2228．（理）若数列}{n a 前8项的值各异，且n 8n a a =+对任意的N n ∈都成立，则下列数列中可取遍}{n a 前8项值的数列为（ ）A 、}{12+k aB 、}{13+k aC 、}{14+k a D 、}{16+k a 二、填空题9用数值表示) 10．已知数列{}n a ，对任意的,p q N *∈满足p q p q a a a +=⋅，且11a =-，那么9a 等于 11．若数列{}n a 中，13a =，14(2)n n a a n -+=≥，则2013a =________．12．已知数列{}n a 满足13a =，26a =，且21n n n a a a ++=-，则三、解答题13．已知数列{}n a 满足12n n a a n +-=+ （*n N ∈）且11a =（1）求234,,a a a 的值（2）猜想{}n a 的通项公式14．（本小题12分）在数列}{n a 中，，计算432,,a a a 并猜想数列}{n a 的通项公式；15．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，31=a ,满足)N (261*+∈-=n a S n n ，（1）求432,,a a a 的值；（2）猜想n a 的表达式。

数列递推公式的九种方法1.等差数列递推公式：在等差数列中，相邻两项之间存在相同的差。

如果已知等差数列的首项为a1，公差为d，可以求得递推公式为an = a1 + (n-1)d，其中n为第n项。

2.等比数列递推公式：在等比数列中，相邻两项之间的比值相同。

如果已知等比数列的首项为a1，公比为r，可以求得递推公式为an = a1 * r^(n-1)，其中n为第n项。

3. 几何数列递推公式：几何数列是一种特殊的等比数列，其公比是常数项。

如果已知几何数列的首项为a1，公比为r，可以求得递推公式为an = a1 * r^(n-1)，其中n为第n项。

4. 斐波那契数列递推公式：斐波那契数列是一种特殊的数列，每一项都是前两项的和。

斐波那契数列的递推公式为an = an-1 + an-2，其中n为第n项，a1和a2为前两项。

5. 回型数列递推公式：回型数列是一种特殊的数列，它的每一项都是由周围的四个数字决定的。

回型数列的递推公式为an = an-1 + 8 * (n-1)，其中n为第n项，a1为第一项。

6. 斯特恩-布洛特数列递推公式：斯特恩-布洛特数列是一种特殊的数列，它的每一项都是由前一项和当前项之和的约数个数决定的。

斯特恩-布洛特数列的递推公式为an = 2 * an-1 - an-2，其中n为第n项，a1和a2为前两项。

7. 阶乘数列递推公式：阶乘数列是一种特殊的数列，它的每一项都是前一项的阶乘。

阶乘数列的递推公式为an = n * (n-1) * ... * 3 * 2 * 1，其中n为第n项，a1为第一项。

8. 斯特林数列递推公式：斯特林数列是一种特殊的数列，它的每一项都是由前一项和当前项之积的和决定的。

斯特林数列的递推公式为an = an-1 * n + 1，其中n为第n项，a1为第一项。

9. 卡特兰数列递推公式：卡特兰数列是一种特殊的数列，它的每一项都是由前一项和当前项之和的乘积决定的。

卡特兰数列的递推公式为an = (4*n - 2) / (n + 1) * an-1，其中n为第n项，a1为第一项。

都有
a1 a2 an n2
（1）求a3+a5；
（2）256 是此数列中的项吗？
225
解法1：（1）因为
a1 a2
an n2
a1 a2 an1 (n 1)2
所以，两式相除得
n≥2，n∈N+，
an
a1 a2 a1 a2
an n2 an1 (n 1)2
所以
a3
9 4
,
(n
n2 1)2
则 16 n
15 n 1
解得n=16.
所以 256 225
是此数列中的一项。
高考链接
已知数列{an}中，a1=0，a2=2，且an+1+an1=2（an+1）（n≥2），求通项公式。 解：由已知，an+1- an = an -an-1+2（n≥2），构 造新数列bn=an+1-an，则bn=bn-1+2，即数列{bn} 为公差d=2,首项b1=2的等差数列。即bn=2n， 从而an+1-an =2n。再用例3的累加法求出结果得 an=n(n-1)。
n
1 +
1
思考与讨论
本章图中的左图说明，一对小兔子（一雄一 雌）一个月后长成一对成年兔，有一个月后生出 一对小兔子（一雄一雌）；在过一个月小兔子长 成成年兔。同时，成年兔生出一对兔子，在过一 个月小兔子长成成年兔，一次规律，每过一个月 小兔子长成成年兔，成年兔生出一对小兔子。假 定每次生出的小兔子都是一雄一雌，并且排除兔 子发生死亡的情况，这样每个兔子的对数，依次 可以排成一个数列，请写出此数列的前六项，你 能通过递推公式表示这个数列吗？
（2）a1=1，
an+1

3.1.3 二倍角的正弦、余弦、
正切公式 目标引航
自主预习
课堂互动
典型考题
随堂练习
12345
4.已知数列{an}满足 a1=2,a2=5,a3=23,且 an+1=αan+β,则 α,β 的值分别
为
.
解析:∵an+1=αan+β,
∴
a a
2 3
= =
αa1 αa2
+ +
β, β,
即
52αα++ββ==253,, 解得
α = 6, β = -7.
答案:6,-7
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、
正切公式 目标引航
自主预习
课堂互动
典型考题
随堂练习
12345
5.数列{an}中,a1=1,an+1=2+a1n,试写出 a2,a3,a4,a5. 解:a2=2+a11=2+11=3.
a3=2+a12=2+13 = 73. a4=2+a13=2+37 = 177. a5=2+a14=2+177 = 4117.
正切公式 目标引航
自主预习
题型一
题型二
题型三
课堂互动
典型考题
随堂练习
由递推公式写出通项公式的步骤:
(1)先根据递推公式写出数列的前几项(至少是前 3 项); (2)根据写出的前几项,观察归纳其特点,并把每一项统一形式; (3)写出一个通项公式.
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、
正切公式 目标引航
自主预习
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、
正切公式 目标引航

数列通项公式的求法类型1 递推公式为)(1n f a a n n +=+解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。

例1. 已知数列{}n a 满足211=a ，nn a a n n ++=+211，求n a 。

解：由条件知：111)1(1121+-=+=+=-+n nn n nn a a n n分别令)1(,,3,2,1-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累加之，即)()()()(1342312--+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-+-n n a a a a a a a a )111()4131()3121()211(n n --+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-+-=所以na a n 111-=-211=a ，nn a n 1231121-=-+=∴类型2 （1）递推公式为n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。

例2. 已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 11+=+，求n a 。

解：由条件知11+=+n n a a nn ，分别令)1(,,3,2,1-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累乘之，即1342312-∙⋅⋅⋅⋅⋅⋅∙∙∙n n a a a a a a a a nn 1433221-⨯⋅⋅⋅⋅⋅⋅⨯⨯⨯=na a n 11=⇒又321=a ，na n 32=∴（2）．由n n a n f a )(1=+和1a 确定的递推数列{}n a 的通项可如下求得：由已知递推式有1)1(--=n n a n f a ， 21)2(---=n n a n f a ，∙∙∙，12)1(a f a =依次向前代入，得1)1()2()1(a f n f n f a n ⋅⋅⋅--=，简记为111))((a k f a n k n -=∏= )1)(,1(01=∏≥=k f n k ，这就是叠（迭）代法的基本模式。

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预课当解习堂导讲检学义测∵a1＝0，an＋1＝an＋栏CON(目T2EnN索T－S PA引1G)E， ∴a2＝a1＋(2×1－1)＝0＋1＝1； a3＝a2＋(2×2－1)＝1＋3＝4； a4＝a3＋(2×3－1)＝4＋5＝9； a5＝a4＋(2×4－1)＝9＋7＝16. 故该数列的一个通项公式是an＝(n－1)2.
1 2
2
.
2.1.2 数列的递推公式(选学)
挑重当战点堂自难训我点练，点个体点个验落击成实破功
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预课当(2习堂)这导讲检个学义测数列从第几项开始及其栏以目后索各引项均小于
解 ∵bn＝n－21n＝12(n－12)2C－ON18TE，NTS PAGE
1
010挑重当0？战点堂自难训我点练，点个体点个验落击成实破功
2.1.2 数列的递推公式(选学)
11
预课当习堂导讲检学义测
解
an＝aan－n 1·aann－ －12·…栏C·OaaN目32TE·Naa索T21S·PaA引G1E
＝(12)n－1·(12)n－2·…·(12)2·(12)1·1
(n 1)n
＝(12)1＋2＋…＋(n－1)＝
1 2
2
，
(n 1)n
∴an＝
答案 数列的项与对应的序号能构成函数关系.数列的一般形式可 以写成：a1，a2，a3，…，an，….除了列举法外，数列还可以用公 式法、列表法、图象法来表示.
2.1.2 数列的递推公式(选学)
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预课当[预习堂导讲检习学义测导引] 1.递推公式
栏目索引
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挑重当战点堂自难训我点练，点个体点个验落击成实破功
2.1.2 数列的递推公式(选学)
挑战自我，点点落实 重点难点，个个击破 当堂训练，体验成功

地出现 2,12,-1 这三个数,也就是说 a1=a4,a2=a5,…,an=an+3,….
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1.1.1 正弦定理
探究一
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反思感悟由递推公式写出数列的项的方法 1.根据递推公式写出数列的前几项,首先要弄清楚公式中各部分 的关系,然后依次代入计算即可. 2.解答这类问题时还需注意:若知道的是首项,通常将所给公式整 理成用前面的项表示后面的项的形式. 3.若知道的是末项,通常将所给公式整理成用后面的项表示前面 的项的形式.
递推公式转化为通项公式进行研究.
(1)解法一:(累加法)∵a1=1,an+1-an=2, ∴a2-a1=2,a3-a2=2,a4-a3=2,…,an-an-1=2,将这些式子的两边分别相
加得(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an-an-1)=2(n-1),即an-a1=2(n-1).
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1.1.1 正弦定理
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1.下列说法错误的是( ) A.递推公式也是数列的一种表示方法 B.an=an-1,a1=1(n≥2)是递推公式 C.给出数列的方法只有图象法、列表法、通项公式 D.an=2an-1,a1=2(n≥2)是递推公式 解析:通过图象、列表、通项公式我们可以确定一个数列,另外根 据递推公式和数列的第一项,我们也可以确定数列,它也是给出数 列的一种方法.an=an-1(n≥2)与an=2an-1(n≥2),这两个关系式虽然比 较特殊,但都表示的是数列中的任意项与它的前后项间的关系,且 都已知a1,所以都是递推公式. 答案:C