第七章气体一维高速流动

cdρ dV = ρ + dρ （7-1） 由于压缩波很薄，作用在该波上的摩擦力可以忽略不计。 于是对于控制面，根据动量定理，沿气体流动的方向，质 量为cρA 的气体的动量变化率等于作用在该气体上的压力 之和，即 [−(c − dV ) − (−c)] cρAdt = [( p + dp) − p]A dt 或 1 dV = dp （7-2） cρ
二 微弱扰动波的空间传播
前面讨论了微弱扰动波的一维传播，下面进一步讨论 微弱扰动波在空间流场中的传播。 为了便于分析问题，假设流场中某点有一固定的扰动源， 每隔1s发生一次微弱扰动，现在分析前3s产生的微弱扰动 波在空间的传播情况。由于不论流场是静止的还是运动的， 是亚声速的还是超声速的，都将对微弱扰动波在空间的传 播情况产生影响，所以下面分四种情况来讨论。 1．静止流场(V=0) 在静止流场中，扰动源产生的微弱扰动波以声速c向四周 传播，形成以扰动源所在位置为中心的同心球面波，微弱 扰动波在3s末的传播情况如图7-2(a)所示。如果不考虑微弱 扰动波在传播过程中的损失，随着时间的延续，扰动必将 传遍整个流场。也就是说，微弱扰动波在静止气体中的传 播是无界的。
由于微弱扰动波的传播过程进行得很迅速，与外界来 不及进行热交换，而且其中的压强、密度和温度变化极为 微小，所以这个传播过程可以近似地认为是一个可逆的绝 热过程，即等熵过程。假定气体是热力学中的完全气体， p ρ γ =常数和完全气体状态方 则根据等熵过程关系式 程 p = ρRT ，可得 dp p =γ = γ RT dρ ρ 代入式（7-3），得
返回(1)
(2)
图7-2 微弱扰动波在静止气体中的传播
返回(3)
(4)
3．声速流场（v=c） 在声速流场中，扰动源产生的微弱扰动波在3s末的传 播情况如图7-2(c)所示。由图可见，由于V=c，所以扰动波 已不能逆流向上游传播，所有扰动波面是与扰动源相切的 一系列球面。随着时间的延续，球面扰动波不断向外扩大， 但无论它怎样扩大，也只能在扰动源所在的垂直平面的下 游半空间内传播，永远不可能传播到上游半空间。也就是 说，微弱扰动波在声速气流中的传播是有界的。 4．超声速流场（v>c） 在超声速流场中，扰动源产生的微弱扰动波在3s末的 传播情况如图7-2(d)所示。由图可见，由于v>c，所以相 对气流传播的扰动波不仅不能向上游传播，反而被气流带 向扰动源的下游，所有扰动波面是自扰动源点出发的圆锥 面的一系列内切球面，这个圆锥面就是马赫锥。随着时间 的延续，球面扰动波不断向外扩大，但也只能在马赫锥内 传播，永远不会传播到马赫锥以外的空间。也就是说，微 弱扰动波在超声速气流中的传播也是有界的，界限就是马 赫锥。
化简后，得
cρAdt = (c − dV )(ρ + dρ) Adt
由式（7-1）和式（7-2）得
d 由于是微弱扰动，ρ 远小于 ρ ，即
dρ dp c 2 = 1 + d ρρ dρ
ρ
<< 1 ，所以
c =
d p d ρ
（7-3）
式（7-3）与物理学中计算声音在弹性介质中传播速度 （即声速）的拉普拉斯公式完全相同。可见气体中微弱扰 动波的传播速度就是声速。 在式（7-3）的推导过程中，并未对介质提出特殊要求，故 该式既适用于气体，也适用于液体，乃至适用于一切弹性 连续介质。不同介质的压缩性不同，压缩性小的扰动波传 播速度高，压缩性大的扰动波传播速度低，因此声速值反 映了流体可压缩性的大小。 式(7-3)是声速的通用表达式，要计算某种流体中具有的声 dp 速值，尚需确定dp 和 dρ的关系，以求出 d ρ 的值。
(7-7)
也可以把连续性方程写成微分形式，即对式(7-7)取对数后 微分，得
dρ dV dA + + =0 ρ V A
(7-8)
2．能量方程 由于气体的密度很小，所以质量力可以忽略不计。气 v 体是一维定常流动，并令u = V ， = w = 0 ，则欧拉运动微 分方程可写成 dV 1 dp V =− dx ρ dx 或 1 VdV + dp = 0 ρ （7-9） 将式（7-9）沿流管（或流线）进行积分，得
V2 ∫ ρ + 2 = 常数 dp
对于等熵流动，将等熵过程关系式
γ
p V
p
ρ
γ
= 常数，代入上式，
得完全气体一维定常等熵流动的能量方程为 2 显然，这个方程只能用于可逆的绝热流动。
γ −1 ρ
+ 2 = 常数
（7-10）
热力学第一定律用于流体流动的能量关系式为
dq = dh + VdV
d 在绝热流动的条件下， q = 0 ，上式可写成 h +VdV = 0 ，积 d 分可得能量方程的另一表达式 V 2 h + = 常数 （7-11） 2 这个方程可用于可逆的绝热流动，也可用于不可逆的绝热 流动，即式（7-11）在熵有增加（有摩擦或其他不可逆因 素）的绝热流动中也是正确的。因为在与外界无热交换的 绝热过程中，消耗于抵抗摩擦所作的功完全转换为热能， 该热能重又加入气流中，使气流中的熵增加。所以在绝热 流动中总能量不变，摩擦损失的存在只会使气流中不同形 式的能量重新分配，即一部分机械能不可逆地转化为热能， 因而能量方程（7-11）的形式不变。
第二节 气体一维定常等熵流动
在讨论不可压缩流体流动时，应用连续性方程和伯努 利方程就可以对许多问题求解。但是对于可压缩流体—— 气体流动仅仅应用上面两个基本方程还不足以求解，因为 由于气体密度的变化必然会引起热力学状态发生相应的变 化。就是说在气流流动中，不仅它的力学状态在发生变化， 而且热力学状态也在随着改变。因此必须把热力学中的状 态方程和过程方程一并考虑，才能解决气体流动问题。 本节将只讨论气体的一维定常等熵流动，即假定气体 是完全气体，在流动过程中与外界无热交换，摩擦影响很 小可以忽略不计。在一般情况下还认为各参数仅在一个方 向上有显著的变化，而且变化是连续的、不随时间而变化， 这就是一维定常等熵流动。在许多实际流动问题中，例如 气体在喷管、扩压管和短叶栅中的流动都可以近似地认为 是一维定常等熵流动。
马赫锥的半顶角，即圆锥的母线与气流速度方向之间 的夹角，称为马赫角，用 θ 表示。由图7-2(d)可以容易地 看出，马赫角θ 与马赫数Ma 之间的关系为
c 1 sin θ = = V Ma
（7-6）
马赫角从90°[这时相当于扰动源以声速V=c流动的情况， 如图7-2(c)所示] 开始，随着马赫数的增大而逐渐减小。由 于圆锥顶就是扰动源，所以当物体以超声速运动时，它所 引起的扰动不能传到物体的前面。马赫锥外面的气体不受 扰动的影响，微弱扰动波的影响仅在马赫锥内部，即微弱 扰动波不能向马赫锥外传播。这就说明了，为什么以超声 速飞行的弹丸在附着于它头部的波未到达观察者的耳朵以 前听不到声音的原故。
2．亚声速流场(V<c)
在亚声速流场中，扰动源产生的微弱扰动波在3s 末的传播情况如图7-2(b)所示。由于扰动源本身以 速度运动，故微弱扰动波在各个方向上传播的绝对 速度不再是当地声速c，而是这两个速度的矢量 和。这样，球面扰动波在顺流和逆流方向上的传播 就不对称了。但是由于V<c，所以微弱扰动波仍能 逆流传播，相对气流传播的扰动波面是一串不同心 的球面波。如果不考虑微弱扰动波在传播过程中的 损失，随着时间的延续，扰动仍可以传遍整个流 场。也就是说，微弱扰动波在亚声速气流中的传播 也是无界的。
第七章
第一节 第二节 第三节 第四节
气体一维高速流动
微弱扰动波的传播 气体一维定常等熵流动 气体一维定常等熵变截面管流 正激波
前几章讨论的是不可压缩流体的流动，例如对于液体， 即使在较高的压强下密度的变化也很微小，所以在一般情况 下，可以把液体看成是不可压缩流体。对于气体来说，可压 缩的程度比液体要大得多。但是当气体流动的速度远小于在 该气体中声音传播的速度（即声速）时，密度的变化也很小。 例如空气的速度等于50m/s，这数值比常温20℃下空气中的 声速343m/s要小得多，这时空气密度的相对变化仅百分之一。 所以为简化问题起见，通常也可忽略密度的变化，将密度近 似地看作是常数，即在理论上把气体按不可压缩流体处理。 当气体流动的速度或物体在气体中运动的速度接近甚至超过 声速时，如果气体受到扰动，必然会引起很大的压强变化， 以致密度和温度也会发生显著的变化，气体的流动状态和流 动图形都会有根本性的变化，这时就必须考虑压缩性的影响。 气体动力学就是研究可压缩流体运动规律以及在工程实际中 应用的一门科学。本章中仅主要讨论气体动力学中一些最基 本的知识。
一、气体一维定常流动的基本方程
1．连续性方程 由于气体的密度在流动中是发生变化的，所以它的连续 性方程不能像不可压缩流体那样按体积流量来计算，而需 要用质量流量来计算，即气体在流管中流动时，每单位时 间内流过流管中任意两个有效截面的质量流量必定相等， 即
ρ 1V1 A1 = ρ 2V 2 A2 ρVA = 常数
c =
为绝热指数
γ
p
为热力学绝对温度，K
ρ
=ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
γ RT
（7-4）
为气体常数，J/(kg·K)
对于空气， γ = 1 . 4 ,
R= 287 J/(kg·K)。
由式（7-4）可知，气体中的声速随气体的状态参数 的变化而变化。于是在同一流场中，各点的状态参数若 不同，则各点的声速也不同。所以声速指的是流场中某 一点在某一瞬时的声速，称为当地声速。 在实际计算中，通常用气体速度 V与当地声速 c 的比值Ma 来作为判断气体压缩性对流动影响的一个标准，即 V Ma = （7-5） c Ma称为马赫数，是一个无量纲数，也是气体动力学中一 个重要参数。 我们常根据马赫数的大小,把气流分为亚声速流Ma<1， 跨声速流Ma ≈1，超声速流1< Ma <3和高超声速流 Ma >3等 几类。亚声速流动和超声速流动有许多显著的差别，我 们将在以后各节中逐一介绍。