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第五章 数列、推理与证明第1讲 数列的概念与简单表示法知匪训练1. 设数列｛a n ｝的前n 项和S= n 2,则的值为（）A. 15 B . 16 C . 49 D . 642. 在数列｛a n ｝中，已知a 1 = 1,且当n 》2时，a •比•…A. 3B. 61C. 35D. 3 16 153.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，如图图 X5-1-1他们研究过图X5-1-1（1）中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形， 将其称为三角形数；类似地，称图 X5-1-1（2）中的1,4,9,16，…，这样的数为正方形数•下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）A. 289 B . 1024 C . 1225 D . 1378 a n + 1 — 14.已知数列｛ a n ｝满足a 1= 2, a n =，其前n 项积为T n ,则抵仃=（）a n + 1 十 I1 1A. 2 B . — 2 C . 2 D . — 2 5 . （2015年辽宁大连模拟）在数列｛a n ｝中，a 1 = 2, a n +1= a n +In ［十三j,贝U a n =（ ）A . 2 + ln nB . 2 + （ n — 1）ln n C. 2 + n ln n D . 1 + n + ln n16 . （2014年新课标n ）若数列｛a n ｝满足a n +1= ----- , a 8= 2,贝U a = _________ .1 — a n*7.已知数列｛a n ｝满足：a 4n —3= 1, a 4n — 1 = 0, a 2n = a n , n € N ，贝U ________________________ 32009= ,酝仏=11~4 a n = n 2,贝U a 3 + 空=( X5-1-1.&已知递增数列｛a n｝的通项公式为a n= n2+ kn十2,则实数k的取值范围为_____________ .2 19 . （2013年新课标I ）若数列｛a n｝的前n项和S=-a n+ -，则数列｛a n｝的通项公式是a n3 310 . （2016年上海）无穷数列｛a n｝由k个不同的数组成，S为｛a n｝的前n项和.若对任意n€ N*, S€ ｛2,3｝，贝U k的最大值为______ .着底B华a n最大?11.已知数列｛a n｝的通项公式为a n= （n+ 1）哼）（n€ N），则当n为多大时,V1/n+ 212. （2012年大纲）已知数列｛a n｝中，a i= 1，前n项和S= 丐~乩（1）求a2，a3 ；⑵求｛a n｝的通项公式.第2讲等差数列1.（2017年江西南昌二模）已知数列｛a n ｝为等差数列，其前n 项和为S, 2a 7 - a 8= 5,则 S i =（）A. 110 B . 55C. 50 D .不能确定 2. 设｛a n ｝是首项为a 1，公差为—1的等差数列，S 为其前n 项和，若S, $, 9成等比 数列，贝U a 1 =（ ）A. 2 B . — 2 1 —2S 为等差数列｛a n ｝的前n 项和，若a 1+ a ?+恥的值是一个确定的常数，则下列① a 21 :② a 7；③ $3；④ S 4；⑤ S 3— S 5.其结果为确定常数的是（ ） A.②③⑤B .①②⑤ C.②③④D .③④⑤4. （2017年新课标川）等差数列｛a n ｝的首项为1，公差不为0.若a 2, a 3, a 6成等比数列， 则数列｛a n ｝前6项的和为（ ）A.— 24 B . — 3 C . 3 D . 3 5. （2017年湖北七市4月联考）在我国古代著名的数学专著 《九章算术》里有一段叙述： 今有良马与驽马发长安至齐， 齐去长安一千一百二十五里， 良马初日行一百零三里， 日增十 三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：几日相 逢？（ ）A. 9 日 B . 3 日 C . 16 日 D . 12 日6. 已知等差数列｛a n ｝的公差为d,关于x 的不等式|x 2 + ja — 2 X + c >0的解集是[0,22], 则使得数列｛a n ｝的前n 项和最大的正整数 n 的值是（）A. 11 B . 11 或 12 C. 12 D . 12 或 13*17 . （2017年广东揭阳一模）已知数列｛刘对任意的n € N 都有a n +1= a n — 2a n +心，若a=-, 贝 Ha8 = ___________ .3 .已知数列｛a n ｝的通项公式为 a n = 2n — 10（n € N ），则| a^ + | a 2| +…+ |=_______________________________ .車底盘华9 . （2016年新课标n ）在等差数列｛a n ｝中，a 3+ a 4=4, a s + a ?= 6. （1） 求数列｛a n ｝的通项公式；1 C.2 D .3.已知各式：（2）设b n= [ a n]，求数列｛b n｝的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9] =0, [2.6] = 2.10. (2014 年大纲)数列｛a n｝满足a i= 1, a2= 2, a n+2= 2a n+1 —a n + 2.(1)设b n = a n + 1 —a n，证明｛b n｝是等差数列；⑵求｛a n｝的通项公式.11. (2014年新课标I )已知数列｛a n｝的前n项和为S, a1= 1, a n丰0, a n a n+ 1=入S—1, 其中入为常数.(1) 证明：a n + 2 —a n =入；(2) 是否存在入，使得｛a n｝为等差数列？并说明理由.第3讲等比数列1.对任意的等比数列｛a n ｝，下列说法一定正确的是 （）A. a i , a 3, a 9成等比数列 B . a 2, a 3, a 6成等比数列C. a 2, a 4, a 8成等比数列 D . a 3, a 6, a 9成等比数列2.（2016年河北衡水模拟）各项均为正数的等比数列｛a n ｝的前n 项和为S,若S= 2, Sn=14，贝 U S 4n =（ ）A. 80 B . 30 C . 26 D . 1623.（2013年新课标I ）设首项为1,公比为3的等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,则（）A. S = 2a n — 1 B . S = 3a n — 2C. S n = 4 — 3a n D . S= 3 — 2a nn — 1a4 . （2017年广东深圳一模）已知等比数列｛a n ｝的前n 项和为S= a-3+ b,则-=（ ）A. — 3 B . — 1 C . 1 D . 3315 . （2016年河南模拟）已知等比数列｛a n ｝的首项为，公比为—2，其前n 项和为S n ,则 S 的最大值为（ ）6 . （2017年北京）若等差数列｛叭和等比数列｛b n ｝满足a 1 = b 1 = — 1, a 4 = b 4 = 8,则g =7 . （2017年江西南昌二模）在等比数列｛a n ｝中，a 1= 1,前n 项和为S,满足S — 4S 6 + 3S 5 = 0,贝U S = .& （2017年广东深圳第二次调研）《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典 名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自 半，问何日相逢，各穿几何？ ”题意是“有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙， 大老鼠第一天进 一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.”如果墙足够厚， S n 为前n 天两只老鼠打洞长度之和，则 S= ___________ 尺.3 A.4 B. C.19 . （2016年新课标I ）已知｛a n｝是公差为3的等差数列，数列｛b n｝满足b= 1, b =石,3 a n b n+1 + b n+1 = nb n.（1）求｛a n｝的通项公式；（2）求｛b n｝的前n项和.10. (2016年新课标川)已知数列｛a n｝的前n项和$= 1 +入a n，其中入丰0. (1)证明｛a n｝是等比数列，并求其通项公式；⑵若S =32求入.11. (2017年广东广州一模)已知数列｛a n｝的前n项和为S,且S = 2a n—2( n€ N).(1) 求数列｛a n｝的通项公式；(2) 求数列｛S｝的前n项和T n.第4讲数列的求和 知能训练 1. （2017年辽宁鞍山一中统测）数列｛a n ｝的通项公式为 a n = 4nri ，则数列｛a n ｝的前n 项和Si =( 2n A. 2 n + 1 2n B. 2n + 1 n C. D. 4n + 1 4n + 12. 若数列｛a n ｝的通项公式是 a n =（ — 1）n•（3n — 2），贝U a + a 2+・・・+ ae =（ ）A. 15 B . 12 C . — 12 D . — 15 3. 已知等差数列｛a n ｝满足a 1>0, 5a 8= sa®则当前n 项和S 取最大值时，n =（ ）A. 20 B . 21 C . 22 D . 2324. 已知数列｛a n ｝的前n 项和S= n — 6n ,则数列｛| a n |｝的前n 项和T n 等于（ ） 2 2 A. 6n — n B . n — 6n + 18j- 2 r 2 6n — n , 1< n w 3, 6n — n , 1< n w 3, C 「2 D. 2n — 6n + 18, n > 3 n — 6n , n >3 5 . （2016年湖北七校2月联考）中国古代数学著作 《算法统宗》中有这样一个问题： “ 百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请 公仔细算相还.”其意思为：有一个人走 378里路，第一天健步行走， 从第二天起脚痛每天 走的路程为前一天的一半，走了 6天后到达目的地，请问第二天走了 （ ） A. 192 里 B . 96 里 C . 48 里 D . 24 里 6 . (2015 年江苏)已知数列｛◎｝满足 a 1 = 1,且 a n +1 — a n = n + 1( n € N), 10项和为 7.如图X5-4-1 ,它满足：①第n 行首尾两数均为n ；②图中的递推关系类似杨辉三角, 则第n（n 》2）行的第2个数是_____________________ . 2 2 3 4 34 7 7 45 11 14 11 5 图 X5-4-1 & （2017年安徽合肥第二次质检）已知数列｛a n ｝的前n 项和为S,若S = 2a n —2：贝U S 9 . （2016年浙江金华模拟）设数列｛a n ｝的前n 项和S 满足6S + 1 = 9a n （n € N*）. （1）求数列｛a n ｝的通项公式；1⑵若数列｛b n ｝满足b n =，求数列｛b n ｝的前n 项和T n .a n10. (2017年广东佛山二模)已知｛a n｝是等差数列，｛b n｝是各项均为正数的等比数列, 且b i = a i = 1, b3= a4, b i + b+ b s= a s+ a4.⑴求数列｛a n｝, ｛b n｝的通项公式；(2)设C n = a n b n，求数列｛C n｝11. (2017年广东湛江二模)观察下列三角形数表，数表(1)是杨辉三角数表，数表是与数表(1)有相同构成规律(除每行首末两端的数外)的一个数表.1 12 2…"■第一行1 2 1 3 4 3 •…”第二行1 3 3 1 4 7 7 414641 5 11 11 11 51 N m 1 N+1仏■ +■-第”行数表〔1) 数表〔2)对于数表(2)，设第n行第二个数为a n.( n€ N*)(女口a1 = 2, a2= 4, a3= 7){a n}(1) 归纳出a n与a n-1( n》2, n€ N)的递推公式(不用证明)，并由归纳的递推公式求出的通项公式a n；(2) 数列｛b n｝满足：(a n—1) • b n= 1 ,求证：6+匕鸟+…十b n<2.第5讲合情推理和演绎推理知能训练1 •在平面几何中有如下结论： 正三角形ABC 勺内切圆面积为 S ,外接圆面积为S 2,则君 =£推广到空间可以得到类似结论；已知正四面体 P -ABC 勺内切球体积为 V ,外接球体积为V ，则V =() 2. (2017年广东惠州三模)我国南北朝时期的数学家祖暅提出体积的计算原理 (祖暅原 理)：“幕势既同，则积不容异” •“势”即是高，“幕”是面积•意思是：如果两等高的 几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等， 那么这两个几何体的体积相等.类比祖暅原理， 如图X5-5-1 ,在平面直角坐标系中，图X5-5-1(1)是一个形状不规则的封闭图形， 图X5-5-1(2)是一个上底为1的梯形，且当实数t 取［0,3］上的任意值时，直线 y = t 被图X5-5-1(1)和图3. (2017年北京)某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件:① 男学生人数多于女学生人数； ② 女学生人数多于教师人数； ③ 教师人数的两倍多于男学生人数.(1)若教师人数为4，则女学生人数的最大值为 _________________ ⑵该小组人数的最小值为 _____________ . 4. 观察下列等式： 12= 112— 22=- 3 12— 22 + 32 = 612— 22 + 32 — 42 =— 10照此规律，第n 个等式为 __________________________________________ . 5.如图X5-5-2，在平面上，用一条直线截正方形的一个角，则截下的一个直角三角形 按如图X5-5-2(1)所标边长，由勾股定理，得 c 2= a 2+ b 2.设想把正方形换成正方体，把截线换成如图X5-5-2(2)所示的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥OABC若用S 1, Sa , S 3表示三个侧面面积，S 4表示截面面积，则可以类比得到的结论是1 A.8 B.1 C.64 D. 1 27b图X5-5-2n 1n2 n 6.已知 cos =-, cos • cos =3 2 5 5式，可猜想出的一般结论是 ________________________________________ .7. (2017年东北三省四市一联)在某次数学考试中，甲、乙、丙三名同学中只有一个人 得了优秀.当他们被问到谁得到了优秀时，丙说“甲没有得优秀”，乙说“我得了优秀”， 甲说“丙说的是真话”. 事实证明，在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得优秀的同学是 ___________ .类比等差数列｛a n ｝的上述结论，对于等比数列 ｛b n ｝( b>0, n € N *)，若b m = c , b n = d (n — m>2, m n € N)，则可以得到 b m+ n= ______________________ . 9.某同学在一次研究性学习中发现，以下 5个式子的值都等于同一个常数.① sin 1 213°+ cos 217°— sin 13 ° cos17°;22② sin 15°+ cos 15°— sin15 ° cos15°; ③ sin 218°+ cos 212°— sin 18 ° cos12°;22④ sin ( —18° ) + cos 48°— sin( — 18° )cos48 ° ; ⑤ sin 2( — 25° ) + cos 255°— sin( — 25° )cos55 ° .(1) 试从上述5个式子中选择一个，求出这个常数；(2) 根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论.110. ----------------------------------------------------------------------------- 在等差数列｛a n ｝中，a 1 + a 2= 5, a 3= 7,记数列= ---------------------------------------------- 的前n 项和为S .a n a n + 1(1) 求数列｛a n ｝的通项公式；(2) 是否存在正整数 m n,且1<n <n ,使得S , S m S 成等比数列？若存在，求出所有 符合条件的m n 的值；若不存在，请说明理由.1 n2 n3 n 1 ,cos • cos • cos =-4 7 7 7 8 …，根据以上等&已知数列｛列为等差数列，若 a m = a ,*a n =b (n — 1, m n € N)，贝U a m+ n = nb — ma n — m •第6讲直接证明与间接证明知能训练1 •用反证法证明命题“设 a , b 为实数，则方程 x 2+ ax + b = 0至少有一个实根”时, 要作的假设是( )A. 方程x + ax + b = 0没有实根B. 方程x 2 + ax + b = 0至多有一个实根C. 方程x 2 + ax + b = 0至多有两个实根D. 方程x 2 + ax + b = 0恰好有两个实根2.分析法又称执果索因法， 若用分析法证明：“设a >b >c ,且a + b + c = 0,求证 b 2— ac <.3a ”索的因应是()A. a — b >0 B . a — c >0C. (a — b )( a — c )>0 D . (a — b )( a — c )<03. 在△ ABC 中，三个内角 A, B, C 的对边分别为 a , b , c ,且A B , C 成等差数列，a , b , c 成等比数列，则△ ABC 的形状为 __________ 三角形.4. _____________________________________________ 用反证法证明命题： 若整系数一元二次方程 ax 2+ bx + c = 0( a ^ 0)存在有理数根，则 a , b , c 中至少有一个是偶数.下列假设正确的是 ________________________________________________________ .① 假设a , b , c 都是偶数；② 假设a , b , c 都不是偶数；③ 假设a , b , c 至多有一个偶数； ④ 假设a , b , c 至多有两个偶数.5.凸函数的性质定理：如果函数 f (x )在区间D 上是凸函数，那么对于区间 D 内的任意在区间(0 , n )上是凸函数，则在△ ABC 中, sin A + sin B+ sin C 的最大值为 _______________6. a ,3是两个不同的平面， m n 是平面a 及B 之外的两条不同的直线，给出下列 四个论断：①m ± n ；②a 丄3 :③门丄3;④mL a .以其中的三个论断作为条件，余下一个 论断作为结论，写出你认为正确的一个命题7.请将错误的一个改正为 __________________ .8. _______________________________ 已知集合｛a , b , c ｝ = ｛0,1,2｝，且下列三个关系：① a z 2；②b = 2；③c ^0有且只 有一个正确，则 100a + 10b + c = .9.已知等差数列｛a n ｝的公差d >0,设｛a n ｝的前n 项和为S , a 1= 1, S 2 • S 3 = 36.x i , X 2,f X 1 + f X 2 +•••+ f X n ,X n ,有X i + X 2+…+ x n.已知函数 y = sin x(1) 求d及S;(2) 求m k( m k € N*)的值，使得a m+ a m+1+ a计2+ — + a m+ k= 65 成立.10. （2016年湖北武汉调研）已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S, a 3 = 5, 64.⑴求数列｛a n ｝的通项公式；亠、 1 1 2 *⑵求证：n 》2, n € N ）.数学归纳法和能训练左边计算所得的式子是（A. C.4+ 2用数学归纳法证明等式： 1 + 2+ 3 +…+ n 2= n 2 n ( n € N*)，则从n = k 至U n = k + 11. 从“n =用数学归纳法证明：(n +1)( n + 2)•(k ”至n = k +1”左端需乘的代数式是( A. 2k + 1 B . 2(2 k + 1)2k + 12k + 3n *n + n ) = 2 x 1X 3x-x (2 n —1)( n € N), )2•用数学归纳法证明:2 21 +2 +••• + 2n2 .22 + 12 =〜3，第二步证明由“ k到k +1”时，左边应加(k 2 B . (k + 1)2 k 2+ (k + 1)2+ k 2 A. C. 2 2(k + 1) + k 3. 用数学归纳法证明1 + a + a +…+ a =. n + 1 n 1 — a *(a z 1, n € N)时，当验证 n = 1时, 1 — a1 B . 1+ a2 2 41 + a + a D . 1 + a + a + a 4.时，左边应添加的项为()2A. k + 12B. (k+ 1)k+ 4+ k+ 2C. ------------- 2--------------2 2 2 2D. (k +1) + (k + 2) + (k + 3) +•••+ ( k+ 1)5•用数学归纳法证明1 + 2+ 22+…+ 25n「III是31的整数倍时，当n= 1时，上式等于()2A. 1+ 2 B . 1+ 2 + 2C. 1 + 2 + 22+ 23 D . 1 + 2 + 22+ 23+ 246•用数学归纳法证明1+ 2+ 3 +…+ 2n= 2n「1+ 22n「1(n€ N+)时，假设当n= k时命题成立，则当n= k+ 1时，左端增加的项数是()kA. 1 项B . k—1 项C . k 项D . 2 项7•用数学归纳法证明“ n3+(n+ 1)3+ (n+ 2) 3( n€ N*)能被9整除”，利用归纳法假设证明当n= k+ 1时，只需展开()3 3A. (k+ 3) B . (k + 2)3 3 3C. (k+ 1) D . (k + 1) + (k + 2)1 1 1 13&用数学归纳法证明不等式T + +…+n>24的过程中，由k推导到k + 1时,n+ 1 n + 2 n+ n 24不等式左边增加的式子是着底珂华2 2 2 n n + ] 29.是否存在常数a, b, c,使等式1X2 + 2X3 +…+ n(n+ 1)= -------------------- 乜--- (an + bn + c）对一切正整数n都成立？证明你的结论.III 1(3) 2^ W X n W 2^^.10 . (2017 年浙江)已知数列｛X n｝满足：X1= 1 , X n= X n+1 + ln (1 + X n+1)(n€ N). 证明：当n€ N*时，(1) 0 V X n+ 1< X n ；X n X n +1(2) 2 X n + 1 —X n W —；14第五章 数列、推理与证明第1讲 数列的概念与简单表示法1. A 解析：a 8= S s — S 7= 8 — 7 = 64 — 49= 15.2. B13. C 解析：第n 个三角形数可表示为2门(n + 1)，第n 个四边形数可表示为则有a 2= — 3, a s =— 2, a 4 = 3, a 5= 2.故数列｛a n ｝是以4为周期的周期数列，且aaa s a 。
第五章 数 列第1课时 数列的概念及其简单表示法一、 填空题1. 数列23，－45，67，－89，…的第10项是________．答案：－2021解析：所给数列呈现分数形式，且正负相间，求通项公式时，我们可以把符号、分母、分子每一部分进行分解，就很容易归纳出数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n ＋1·2n 2n ＋1，故a 10＝－2021.2. 已知数列{a n }满足a n ＋2＝a n ＋1－a n ，且a 1＝2，a 2＝3，则a 2 016的值为________． 答案：－1解析：由题意，得a 3＝a 2－a 1＝1，a 4＝a 3－a 2＝－2，a 5＝a 4－a 3＝－3，a 6＝a 5－a 4＝－1，a 7＝a 6－a 5＝2，∴ 数列{a n }是周期为6的周期数列．而2 016＝6×336，∴ a 2 016＝a 6＝－1.3. 数列7，9，11，…，2n －1的项数是_________. 答案：n －3解析：易知a 1＝7，d ＝2，设项数为m ，则2n －1＝7＋(m －1)×2，m ＝n －3.4. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ≠0(n∈N *)，又a n a n ＋1＝S n ，则a 3－a 1＝________． 答案：1解析：因为a n a n ＋1＝S n ，所以令n ＝1得a 1a 2＝S 1＝a 1，即a 2＝1.令n ＝2，得a 2a 3＝S 2＝a 1＋a 2，即a 3＝1＋a 1，所以a 3－a 1＝1.5. 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋1，则{a n }的通项公式为__________．答案：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4（n ＝1），2n ＋1（n≥2）解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝4；当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1，∴ a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4（n ＝1），2n ＋1（n≥2）.6. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －1(n ∈N *)，则a 5＝__________． 答案：16解析：当n ＝1时，S 1＝2a 1－1，∴ a 1＝1；当n≥2时，S n ＝2a n －1，S n －1＝2a n －1－1，则有 a n ＝2a n －2a n －1，∴ a n ＝2a n －1.∴ {a n }是等比数列，且a 1＝1，q ＝2，故a 5＝a 1×q 4＝24＝16.7. 若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式a n ＝________．答案：(－2)n －1解析：当n ＝1时，a 1＝1；当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝23a n －23a n －1，则a n a n －1＝－2，得a n ＝(－2)n －1.8. 设数列{a n }满足a 1＝a ，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋1(n∈N *)．若数列{a n }是常数列，则a ＝________.答案：－2解析：因为数列{a n }是常数列，所以a ＝a 2＝a 21－2a 1＋1＝a 2－2a ＋1，即a(a ＋1)＝a 2－2，解得a ＝－2.9. 数列{a n }的前n 项积为n 2，那么当n≥2时，a n ＝________．答案：n2（n －1）2解析：设数列{a n }的前n 项积为T n ，则T n ＝n 2，当n≥2时，a n ＝T n T n －1＝n 2（n －1）2.10. 数列{a n }满足：a 1＝1，且对任意的m ，n ∈N *都有a n ＋m ＝a n ＋a m ＋nm ，则a 100＝________． 答案：5 050解析：令m ＝1，则a n ＋1＝a n ＋1＋n ⇒a n ＋1－a n ＝n ＋1⇒a 100＝(a 100－a 99)＋(a 99－a 98)＋…＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＋a 1＝100＋99＋…＋2＋1＝5 050.二、 解答题11. 数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2－7n ＋6. (1) 这个数列的第4项是多少？(2) 150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？ (3) 该数列从第几项开始各项都是正数？解：(1) 当n ＝4时，a 4＝42－4×7＋6＝－6.(2) 令a n ＝150，即n 2－7n ＋6＝150，解得n ＝16或n ＝－9(舍去)，即150是数列的第16项．(3) 令a n ＝n 2－7n ＋6＞0，解得n ＞6或n ＜1(舍)，∴ 从第7项起各项都是正数．12. 已知数列{a n }满足前n 项和S n ＝n 2＋1，数列{b n }满足b n ＝2a n ＋1，且前n 项和为T n .设c n ＝T 2n ＋1－T n .(1) 求数列{b n }的通项公式； (2) 判断数列{c n }的增减性．解：(1) a 1＝2，a n ＝S n －S n －1＝2n －1(n≥2)，∴ b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧23（n ＝1），1n（n≥2）.(2) ∵ c n ＝b n ＋1＋b n ＋2＋…＋b 2n ＋1＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＋1， ∴ c n ＋1－c n ＝12n ＋2＋12n ＋3－1n ＋1＝12n ＋3－12n ＋2＝－1（2n ＋3）（2n ＋2）<0， ∴ c n ＋1<c n .∴ 数列{c n }为递减数列．13. 已知数列{a n }中，a n ＝1＋1a ＋2（n －1）(n∈N *，a ∈R ，且a≠0)．(1) 若a ＝－7，求数列{a n }中的最大项和最小项的值；(2) 若对任意的n∈N *，都有a n ≤a 6成立，求a 的取值范围．解：(1) ∵ a n ＝1＋1a ＋2（n －1）(n∈N *，a ∈R ，且a≠0)，又a ＝－7，∴ a n ＝1＋12n －9(n∈N *)．结合函数f(x)＝1＋12x －9的单调性，可知1>a 1>a 2>a 3>a 4，a 5>a 6>a 7>…＞a n >1(n∈N *)，∴ 数列{a n }中的最大项为a 5＝2，最小项为a 4＝0.(2) a n ＝1＋1a ＋2（n －1）＝1＋12n －2－a 2，对任意的n∈N *，都有a n ≤a 6成立，结合函数f(x)＝1＋12x －2－a2的单调性，可知5<2－a2<6，即－10<a<－8，即a 的取值范围是(－10，－8)．第2课时 等 差 数 列一、 填空题1. 在等差数列{a n }中，a 5＝33，公差d ＝3，则201是该数列的第________项． 答案：61解析：∵ a n ＝a 5＋(n －5)d ，∴ 201＝33＋3(n －5)，n ＝61.2. 已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，则a 20＝________． 答案：1解析：∵ a 1＋a 3＋a 5＝105，即3a 3＝105，解得a 3＝35，同理a 2＋a 4＋a 6＝99，得a 4＝33.∵ d＝a 4－a 3＝33－35＝－2，∴ a 20＝a 4＋(20－4)d ＝33＋16×(－2)＝1.3. 在等差数列{a n }中，已知a 2＋a 8＝11，则3a 3＋a 11的值为__________．答案：22解析：3a 3＋a 11＝a 3＋a 3＋a 3＋a 11＝a 3＋a 2＋a 4＋a 11＝a 3＋a 2＋a 7＋a 8＝2(a 2＋a 8)＝11×2＝22. 4. 若等差数列{a n }的前5项和S 5＝25，且a 4＝3，则a 7＝________． 答案：－3解析：S 5＝25⇒5（a 1＋a 5）2＝25⇒a 3＝5，所以d ＝a 4－a 3＝－2，a 7＝a 4＋(7－4)d ＝3－6＝－3.5. 在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n ＝8时，S n 取最大值，则d 的取值范围是________．答案：－1<d<－78解析：由题意得，a 8>0，a 9<0，所以7＋7d>0，7＋8d<0，即－1<d<－78.6. 若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9＞0，a 7＋a 10＜0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大． 答案：8解析：由等差数列的性质，得a 7＋a 8＋a 9＝3a 8，a 8＞0，又a 7＋a 10＜0，所以a 8＋a 9＜0，所以a 9＜0，所以S 8＞S 7，S 8＞S 9，故数列{a n }的前8项和最大．7. 若一个等差数列{a n }的前3项和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有________项．答案：13解析：a 1＋a 2＋a 3＋a n －2＋a n －1＋a n ＝34＋146＝180，所以3(a 1＋a n )＝180，即a 1＋a n ＝60.由S n ＝390，知n （a 1＋a n ）2＝390，所以n×602＝390，解得n ＝13. 8. 记等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝2，且数列{S n }也为等差数列，则a 13的值为________． 答案：50解析：数列{S n }为等差数列，得S 1＋S 3＝2S 2，即2＋6＋3d ＝24＋d ，则d ＝4，a 13 ＝a 1＋12d ＝50.9. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3S 6＝13，则S 6S 12＝________．答案：310解析： 由等差数列的求和公式可得S 3S 6＝3a 1＋3d 6a 1＋15d ＝13，可得a 1＝2d ，且d≠0，所以S 6S 12＝6a 1＋15d 12a 1＋66d ＝27d 90d ＝310.10. 在等差数列{a n }中，a 2＝5，a 6＝21，记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，若S 2n ＋1－S n ≤m 15对n∈N *恒成立，则正整数m 的最小值为________．答案：5解析：由a 2＝5，a 6＝21易得等差数列{a n }的通项公式为a n ＝4n －3，所以1a n ＝14n －3.故S 2n ＋1－S n ＝1a 2n ＋1＋1a 2n＋1a 2n －1＋…＋1a n ＋2＋1a n ＋1. 设T n ＝S 2n ＋1－S n ，则T n ＋1＝S 2(n ＋1)＋1－S n ＋1＝S 2n ＋3－S n ＋1，所以T n ＋1－T n ＝(S 2n ＋3－S n ＋1)－(S 2n ＋1－S n )＝(S 2n ＋3－S 2n ＋1)－(S n ＋1－S n )＝1a 2n ＋3＋1a 2n ＋2－1a n ＋1＝14（2n ＋3）－3＋14（2n ＋2）－3－14（n ＋1）－3 ＝18n ＋9＋18n ＋5－14n ＋1<18n ＋2＋18n ＋2－14n ＋1＝28n ＋2－14n ＋1＝0. 所以T n ＋1－T n <0，即T n ＋1<T n .故T n ＝S 2n ＋1－S n 随n 的增大而减小，所以若S 2n ＋1－S n ≤m 15对n∈N *恒成立，即(S 2n＋1－S n )max ＝S 3－S 1＝1a 3＋1a 2＝19＋15＝1445≤m 15.由1445≤m 15得m≥143，所以正整数m 的最小值为5. 二、 解答题11. 在等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3. (1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值． 解：(1) 设等差数列{a n }的公差为d ，由a 1＝1，a 3＝－3，可得1＋2d ＝－3，解得d ＝－2. 从而a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n. (2) 由(1)可知a n ＝3－2n.所以S n ＝n[1＋（3－2n ）]2＝2n －n 2.由S k ＝－35，可得2k －k 2＝－35，即k 2－2k －35＝0，解得k ＝7或k ＝－5.又k∈N *，故k ＝7.12. 设a 1，d 为实数，首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 5S 6＋15＝0. (1) 若S 5＝5，求S 6及a 1； (2) 求d 的取值范围．解：(1) 由题意知S 6＝－15S 5＝－3，a 6＝S 6－S 5＝－8，所以⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋10d ＝5，a 1＋5d ＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝7，d ＝－3，因此S 6＝－3，a 1＝7.(2) 因为S 5S 6＋15＝0，所以(5a 1＋10d)(6a 1＋15d)＋15＝0，即2a 21＋9da 1＋10d 2＋1＝0.故(4a 1＋9d)2＝d 2－8，所以d 2≥8.故d 的取值范围是d≤－22或d≥2 2. 13. 在等差数列{a n }中，公差d ＞0，前n 项和为S n ，a 2·a 3＝45，a 1＋a 5＝18. (1) 求数列{a n }的通项公式．(2) 令b n ＝S n n ＋c(n∈N *)，是否存在一个非零常数c ，使数列{b n }也为等差数列？若存在，求出c 的值；若不存在，请说明理由．解：(1) 由题设，知{a n }是等差数列，且公差d ＞0，则由⎩⎪⎨⎪⎧a 2a 3＝45，a 1＋a 5＝18，得⎩⎪⎨⎪⎧（a 1＋d ）（a 1＋2d ）＝45，a 1＋（a 1＋4d ）＝18，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4. ∴ a n ＝4n －3(n∈N *)．(2) 由b n ＝S n n ＋c ＝n （1＋4n －3）2n ＋c ＝2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12n ＋c.∵ c ≠0，∴ 可令c ＝－12，得到b n ＝2n.∵ b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)－2n ＝2(n∈N *)， ∴ 数列{b n }是公差为2的等差数列．即存在一个非零常数c ＝－12，使数列{b n }也为等差数列．第3课时 等 比 数 列一、 填空题1. 等比数列{a n }的公比大于1，a 5－a 1＝15，a 4－a 2＝6，则a 3＝________． 答案：4解析：由a 5－a 1＝15，a 4－a 2＝6(q>1)，得q ＝2，a 1＝1，则a 3＝4.2. 设等比数列{a n }的公比q ＝12，前n 项和为S n ，则S 4a 4＝________．答案：15解析：S 4＝a 1（1－q 4）1－q ，a 4＝a 1q 3，所以S 4a 4＝1－q 4q 3（1－q ）＝15.3. 在各项均为正数的等比数列{a n }中，若log 2a 2＋log 2a 8＝1，则a 3a 7＝________． 答案：2解析：由log 2a 2＋log 2a 8＝1得log 2(a 2a 8)＝1，所以a 2a 8＝2，由等比数列性质可得a 3a 7＝a 2a 8＝2.4. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1，2a 2，a 3依次成等差数列，若a 1＝1，则S 5＝________ . 答案：31解析：因为4a 1，2a 2，a 3依次成等差数列，4a 2＝4a 1＋a 3，所以4a 1q ＝4a 1＋a 1q 2，所以q ＝2.又a 1＝1，所以S 5＝a 1（1－q 5）1－q＝31.5. 设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若a 5＋2a 10＝0，则S 20S 10的值是________．答案：54解析：当q ＝1时，a 5＝a 10＝0不合题意，∴ 公比q≠1.∴ q 5＝a 10a 5＝－12，因而S 20S 10＝1－q 201－q 10＝1＋q 10＝1＋14＝54.6. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯________盏．答案：3解析：设塔的顶层共有灯x 盏，则各层的灯数构成一个首项为x ，公比为2的等比数列，结合等比数列的求和公式有：x×（1－27）1－2＝381，解得x ＝3，即塔的顶层共有灯3盏．7. 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝7，S 6＝63，则a 7＋a 8＋a 9＝__________． 答案：448解析：由S 3＝7，S 6＝63，得a 1＋a 2＋a 3＝7，7＋a 4＋a 5＋a 6＝63，则a 4＋a 5＋a 6＝(a 1＋a 2＋a 3)q 3＝56，q 3＝8，a 7＋a 8＋a 9＝(a 4＋a 5＋a 6)q 3＝56×8＝448.8. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝2a 2＋3，S 3＝2a 3＋3，则公比q 的值为________． 答案：2解析：∵ S 2＝2a 2＋3，S 3＝2a 3＋3，∴ a 1＝a 1q ＋3，a 1(1＋q)＝a 1q 2＋3，∴ q 2－2q ＝0，q ≠0，则公比q ＝2.9. 在等比数列{a n }中，已知a 1＝1，a 4＝8，设S 3n 为该数列的前3n 项和，T n 为数列{a 3n }的前n 项和．若S 3n＝tT n ，则实数t 的值为________．答案：7解析： ∵a 4＝a 1q 3＝q 3＝8，∴ q ＝2，S 3n ＝1－23n1－2＝8n －1.由题意知，数列{a 3n }是首项为1，公比为8的等比数列，∴T n ＝1－8n1－8＝17(8n－1)．由S 3n ＝tT n ，得t ＝7.10. 在正项等比数列{a n }中，若a 4＋a 3－2a 2－2a 1＝6，则a 5＋a 6的最小值为________． 答案：48解析：设 a 2＋a 1＝x ，等比数列的公比为q ，则a 4＋a 3 ＝xq 2，a 5＋a 6 ＝xq 4.再由a 4＋a 3－2a 2－2a 1＝6，得 xq2＝6＋2x ，∴ x ＝6q 2－2＞0，q ＞1.∴ a 5＋a 6 ＝xq 4 ＝6q 4q 2－2＝6⎝⎛⎭⎪⎫q 2－2＋4q 2－2＋4≥6×(4＋4)＝48，当且仅当q2－2＝2时，等号成立，故a 5＋a 6的最小值为48.二、 解答题11. 已知{a n }是首项为a 1，公比q 为正数(q≠1)的等比数列，其前n 项和为S n ，且5S 2＝4S 4. (1) 求q 的值．(2) 设b n ＝q ＋S n ，请判断数列{b n }能否为等比数列？若能，请求出a 1的值；若不能，请说明理由． 解：(1) 由题意知，5S 2＝4S 4，∴ 5a 1（1－q 2）1－q ＝4a 1（1－q 4）1－q.∵ a 1≠0，q>0，且q≠1，∴ 4q 4－5q 2＋1＝0，解得q ＝12.(2) ∵ S n ＝a 1（1－q n）1－q ＝2a 1－a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，∴ b n ＝q ＋S n ＝12＋2a 1－a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.∴ 当且仅当12＋2a 1＝0，即a 1＝－14时，b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1为等比数列，∴ {b n }能为等比数列，此时a 1＝－14.12. 已知等差数列{a n }的公差d 不为0，且ak 1，ak 2，…，ak n ，…(k 1＜k 2＜…＜k n ＜…)成等比数列，公比为q.(1) 若k 1＝1，k 2＝3，k 3＝8，求a 1d的值；(2) 当a 1d为何值时，数列{k n }为等比数列．解：(1) 由已知可得a 1，a 3，a 8成等比数列，所以(a 1＋2d)2＝a 1(a 1＋7d)，整理可得，4d 2＝3a 1d.因为d≠0，所以a 1d ＝43.(2) 设数列{k n }为等比数列，则k 22＝k 1k 3.又ak 1，ak 2，ak 3成等比数列，所以[a 1＋(k 1－1)d][a 1＋(k 3－1)d]＝[a 1＋(k 2－1)d]2.整理，得a 1(2k 2－k 1－k 3)＝d(k 1k 3－k 22－k 1－k 3＋2k 2)．因为k 22＝k 1k 3，所以a 1(2k 2－k 1－k 3)＝d(2k 2－k 1－k 3)．因为2k 2≠k 1＋k 3，所以a 1＝d ，即a 1d＝1.当a 1d＝1时，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝nd ，所以ak n ＝k n d. 因为ak n ＝ak 1q n －1＝k 1dq n －1，所以k n ＝k 1q n －1.所以k n ＋1k n ＝k 1q nk 1qn －1＝q ，数列{k n }为等比数列．综上，当a 1d＝1时，数列{k n }为等比数列．13. (2017·苏州期中)已知等比数列{a n }的公比q>1，且满足a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项． (1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 若b n ＝a n log 12a n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求使S n ＋n·2n ＋1>62成立的正整数n 的最小值．解：(1) ∵ a 3＋2是a 2，a 4的等差中项， ∴ 2(a 3＋2)＝a 2＋a 4，代入a 2＋a 3＋a 4＝28，可得a 3＝8， ∴ a 2＋a 4＝20，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝8，a 1q ＋a 1q 3＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝32，q ＝12. ∵ q>1，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝2，∴ 数列{a n }的通项公式为a n ＝2n.(2) ∵ b n ＝a n log 12a n ＝2n log 122n ＝－n·2n，∴ S n ＝－(1×2＋2×22＋…＋n·2n) ①，2S n ＝－(1×22＋2×23＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1) ②，②－①得，S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n·2n ＋1＝2（1－2n）1－2－n·2n ＋1＝2n ＋1－2－n·2n ＋1.∵ S n ＋n·2n ＋1>62，∴ 2n ＋1－2>62，∴ n ＋1>6，n>5，∴ 使S n ＋n·2n ＋1>62成立的正整数n 的最小值为6.第4课时 数列的求和一、 填空题1. 在数列{a n }中，若a 1＝－2，且对任意的n∈N *有2a n ＋1＝1＋2a n ，则数列{a n }前10项的和为________．答案：52解析：由2a n ＋1＝1＋2a n 得a n ＋1－a n ＝12，所以数列{a n }是首项为－2，公差为12的等差数列，所以S 10＝10×(－2)＋10×（10－1）2×12＝52.2. 已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n－12，其前n 项和S n ＝32164，则项数n ＝________．答案：6解析：∵ a n ＝1－12n ，∴ S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－18＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＝n －(12＋14＋18＋…＋12n )＝n －12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝n －1＋12n .由S n ＝32164＝n －1＋12n ，可得出n ＝6.3. 数列112，314，518，7116，…，(2n －1)＋12n ，…的前n 项和S n ＝________．答案：n 2＋1－12n解析：该数列的通项公式为a n ＝(2n －1)＋12n ，则S n ＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋(12＋122＋…＋12n )＝n 2＋1－12n .4. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前100项和为________． 答案：100101解析：∵ a 5＝5，S 5＝15，∴ 5（a 1＋a 5）2＝15，则a 1＝1，∴ d ＝a 5－a 14＝1，∴ a n ＝n ，∴ 1a n a n ＋1＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1.设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和为T n ，则 T 100＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1100－1101＝1－1101＝100101.5. 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－6n ，则{|a n |}的前n 项和T n ＝__________．答案：⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 2（1≤n≤3），n 2－6n ＋18（n>3）解析：由S n ＝n 2－6n 得{a n }是等差数列，且首项为－5，公差为2，∴ a n ＝－5＋(n －1)×2＝2n －7，∴ 当n≤3时，a n <0；当n>3时，a n >0，∴ T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 2（1≤n≤3），n 2－6n ＋18（n>3）.6. 数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n －1·n ，则S 17＝________． 答案：9解析：S 17＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋15－16＋17＝1＋(－2＋3)＋(－4＋5)＋(－6＋7)＋…＋(－14＋15)＋(－16＋17)＝1＋1＋1＋…＋1＝9.7. 已知数列{a n }：12，13＋23，14＋24＋34，…，110＋210＋310＋…＋910，….若b n ＝1a n a n ＋1，那么数列{b n }的前n 项和S n ＝________．答案：4nn ＋1解析：∵ a n ＝1＋2＋3＋…＋n n ＋1＝n2，∴ b n ＝1a n a n ＋1＝4n （n ＋1）＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，∴ S n ＝4[⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1]＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝4n n ＋1.8. 已知数列{a n }满足a n ＋2＝－a n (n∈N ＋)，且a 1＝1，a 2＝2，则数列{a n }的前2 014项的和为________． 答案：3解析：∵ a n ＋2＝－a n ＝－(－a n －2)，n ＞2，∴ 数列{a n }是以4为周期的周期数列．S 2 014＝503(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋a 2 013＋a 2 014＝503(a 1＋a 2－a 1－a 2)＋a 503×4＋1＋a 503×4＋2＝a 1＋a 2＝3.9. 设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n∈N *)，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和为________．答案：2011解析：∵ a 1＝1，a n ＋1－a n ＝n ＋1，∴ a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n.将以上n －1个式子相加得a n－a 1＝2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）－22，即a n ＝n （n ＋1）2.令b n ＝1a n ，故b n ＝2n （n ＋1）＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，故S 10＝b 1＋b 2＋…＋b 10＝2×(1－12＋12－13＋…＋110－111)＝2011.二、 解答题10. 已知数列{a n }的通项a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6n －5（n 为奇数），2n （n 为偶数），求其前n 项和S n .解：奇数项组成以a 1＝1为首项，公差为12的等差数列，偶数项组成以a 2＝4为首项，公比为4的等比数列；当n 为奇数时，奇数项有n ＋12项，偶数项有n －12项，∴ S n ＝n ＋12（1＋6n －5）2＋4（1－4n －12）1－4＝（n ＋1）（3n －2）2＋4（2n －1－1）3；当n 为偶数时，奇数项和偶数项分别有n2项，∴ S n ＝n 2（1＋6n －5）2＋4（1－4n 2）1－4＝n （3n －2）2＋4（2n －1）3，∴ S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧（n ＋1）（3n －2）2＋4（2n －1－1）3（n 为奇数），n （3n －2）2＋4（2n－1）3（n 为偶数）. 11. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝2S 2＋4，a 5＝36. (1) 求a n ，S n ；(2) 设b n ＝S n －1(n∈N *)，T n ＝1b 1＋1b 2＋1b 3＋…＋1b n，求T n .解：(1) 因为S 3＝2S 2＋4，所以a 1－d ＝－4.因为a 5＝36，所以a 1＋4d ＝36，解得d ＝8，a 1＝4，所以a n ＝4＋8(n －1)＝8n －4，S n ＝n （4＋8n －4）2＝4n 2.(2) 因为b n ＝4n 2－1＝(2n －1)(2n ＋1)，所以1b n ＝1（2n －1）（2n ＋1）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，T n ＝1b 1＋1b 2＋1b 3＋…＋1b n＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1. 12. 已知数列{a n }是首项为a 1＝14，公比为q ＝14的等比数列，设b n ＋2＝3log 14a n (n∈N *)，数列{c n }满足c n ＝a n ·b n .(1) 求数列{b n }的通项公式； (2) 求数列{c n }的前n 项和S n .解：(1) 由题意，知a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14n(n∈N *)．又b n ＝3log 14a n －2，故b n ＝3n －2(n∈N *)．(2) 由(1)知a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ，b n ＝3n －2(n∈N *)，所以c n ＝(3n －2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n (n∈N *)，所以S n ＝1×14＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋7×⎝ ⎛⎭⎪⎫143＋…＋(3n －5)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1＋(3n －2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ，于是14S n ＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫143＋7×⎝ ⎛⎭⎪⎫144＋…＋(3n －5)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＋(3n －2)×(14)n ＋1，两式相减，得34S n ＝14＋3[(14)2＋(14)3＋…＋(14)n ]－(3n －2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＋1＝12－(3n ＋2)×(14)n ＋1，所以S n ＝23－3n ＋23×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n (n∈N *)．13. 在等差数列{a n }中，已知公差d ＝2，a 2是a 1与a 4的等比中项． (1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 设b n ＝a n （n ＋1）2，记T n ＝－b 1＋b 2－b 3＋b 4－…＋(－1)nb n ，求T n .解：(1) 由题意知(a 1＋d)2＝a 1(a 1＋3d)，即(a 1＋2)2＝a 1(a 1＋6)，解得a 1＝2， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n.(2) 由题意知b n ＝a n （n ＋1）2＝n(n ＋1)，则b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)，所以T n ＝－1×2＋2×3－3×4＋…＋(－1)nn ×(n ＋1)． 当n 为偶数时，T n ＝(－b 1＋b 2)＋(－b 3＋b 4)＋…＋(－b n －1＋b n )＝4＋8＋12＋…＋2n ＝n2（4＋2n ）2＝n （n ＋2）2，当n 为奇数时，T n ＝T n －1＋(－b n )＝（n －1）（n ＋1）2－n(n ＋1)＝－（n ＋1）22，所以T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－（n ＋1）22，n 为奇数，n （n ＋2）2，n 为偶数.第5课时 数列的综合应用一、 填空题1. 在等差数列{a n }中，满足3a 4＝7a 7，且a 1＞0，S n 是数列{a n }的前n 项和，若S n 取得最大值，则n ＝________． 答案：9解析：设公差d ，由题设知3(a 1＋3d)＝7(a 1＋6d)，得d ＝－433a 1＜0，解不等式a n ＞0，即a 1＋(n －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－433a 1＞0，解得n ＜374，则n≤9时，a n ＞0，同理可得n≥10时，a n ＜0，故当n ＝9时，S n 取得最大值．2. 在等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3，2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8＝________．答案：3＋2 2解析：∵ a 1，12a 3，2a 2成等差数列，∴ 2×12a 3＝a 1＋2a 2，即a 3＝a 1＋2a 2.设等比数列{a n }的公比为q 且q ＞0，则a 3＝a 1q 2，a 2＝a 1q ，∴ a 1q 2＝a 1＋2a 1q ，∴ q 2＝1＋2q ，解得q ＝1＋2或1－2(舍)，∴a 9＋a 10a 7＋a 8＝a 9（1＋q ）a 7（1＋q ）＝q 2＝(2＋1)2＝3＋2 2.3. 在数列{a n }中，S n 是其前n 项和，且S n ＝2a n ＋1，则数列的通项公式a n ＝________．答案：a n ＝－2n －1解析：依题意得S n ＋1＝2a n ＋1＋1，S n ＝2a n ＋1，两式相减得S n ＋1－S n ＝2a n ＋1－2a n ，即a n ＋1＝2a n .又S 1＝2a 1＋1＝a 1，所以a 1＝－1，所以数列{a n }是以a 1＝－1为首项，2为公比的等比数列，所以a n ＝－2n －1.4. 等差数列{a n }的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }前6项的和为________． 答案：－24解析：设等差数列的公差为d ，由a 2，a 3，a 6成等比数列可得a 23＝a 2a 6，即(1＋2d)2＝(1＋d)(1＋5d)，整理可得d 2＋2d ＝0.因为公差不为0，所以d ＝－2，数列的前6项和为S 6＝6a 1＋6×（6－1）2d ＝6×1＋6×（6－1）2×(－2)＝－24.5. 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3，S 9，S 6成等差数列，且a 2＋a 5＝4，则a 8的值为________． 答案：2解析：∵ 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3，S 9，S 6成等差数列，且a 2＋a 5＝4，∴ q ≠1，⎩⎪⎨⎪⎧2×a 1（1－q 9）1－q ＝a 1（1－q 3）1－q ＋a 1（1－q 6）1－q ，a 1q ＋a 1q 4＝4，解得a 1q ＝8，q 3＝－12，∴ a 8＝a 1q 7＝(a 1q)(q 3)2＝8×14＝2.6. 在等差数列{a n }中，已知首项a 1＞0，公差d ＞0.若a 1＋a 2≤60，a 2＋a 3≤100，则5a 1＋a 5的最大值为________． 答案：200解析：由a 1＋a 2≤60，a 2＋a 3≤100得2a 1＋d≤60，2a 1＋3d≤100，a 1＞0，d ＞0.由线性规划的知识得5a 1＋a 5＝6a 1＋4d ，过点(20，20)时，取最大值为200.7. 设正项数列{a n }的前n 项和是S n ，{a n }和{S n }都是等差数列，则S n ＋10a n的最小值是____________．答案：21解析：由题设知S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ＋d 2n 2.又S n 为等差数列，从而a 1＝d 2，从而a n ＝a 1＋(n －1)d ＝d ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12，S n ＝d 2n 2，∴ S n ＋10a n ＝d 2（n ＋10）2d ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12＝（n ＋10）22⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12＝（n ＋10）22n －1.令2n －1＝t(t≥1)，原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋12＋102t ＝14·⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋441t ＋42≥14·⎝ ⎛⎭⎪⎫2t·441t ＋42＝21，从而当t ＝21，即n ＝11时，原式取到最小值21. 8. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”问此人第4天和第5天共走了________里．答案：36解析：由题意知，此人每天走的里数构成公比为12的等比数列，设等比数列的首项为a 1，则有a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1261－12＝378，解得a 1＝192，所以a 4＝192×18＝24，a 5＝24×12＝12，a 4＋a 5＝24＋12＝36，所以此人第4天和第5天共走了36里．9. 已知{a n }，{b n }均为等比数列，其前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意的n∈N *，总有S n T n ＝3n＋14，则a 3b 3＝________． 答案：9解析：设{a n }，{b n }的公比分别为q ，q ′，∵ S n T n ＝3n ＋14， ∴ 当n ＝1时，a 1＝b 1.当n ＝2时，a 1＋a 1q b 1＋b 1q ′＝52.当n ＝3时，a 1＋a 1q ＋a 1q 2b 1＋b 1q ′＋b 1q ′2＝7，∴ 2q －5q′＝3，7q ′2＋7q′－q 2－q ＋6＝0，解得q ＝9，q ′＝3，∴ a 3b 3＝a 1q 2b 1q ′2＝9. 10. 现有一根n 节的竹竿，自上而下每节的长度依次构成等差数列，最上面一节长为10 cm ，最下面的三节长度之和为114 cm ，第6节的长度是首节与末节长度的等比中项，则n ＝________．答案：16解析：设每节竹竿的长度对应的数列为{a n }，公差为d(d ＞0)．由题意知a 1＝10，a n ＋a n －1＋a n －2＝114，a 26＝a 1a n .由a n ＋a n －1＋a n －2＝114，得3a n －1＝114，解得a n －1＝38，∴ (a 1＋5d)2＝a 1(a n －1＋d)，即(10＋5d)2＝10(38＋d)，解得d ＝2，∴a n －1＝a 1＋(n －2)d ＝38，即10＋2(n －2)＝38，解得n ＝16.二、 解答题11. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，且a 1，a 2＋5，a 3成等差数列．(1) 求a 1，a 2的值；(2) 求证：数列{a n ＋2n }是等比数列，并求数列{a n }的通项公式．(1) 解：由已知，得2a 1＝a 2－3 ①，2(a 1＋a 2)＝a 3－7 ②，又a 1，a 2＋5，a 3成等差数列，所以a 1＋a 3＝2a 2＋10 ③，解①②③，得a 1＝1，a 2＝5.(2) 证明：由已知，n ∈N *时，2(S n ＋1－S n )＝a n ＋2－a n ＋1－2n ＋2＋2n ＋1，即a n ＋2＝3a n ＋1＋2n ＋1，即a n ＋1＝3a n ＋2n (n≥2)，由(1)得，a 2＝3a 1＋2，∴ a n ＋1＝3a n ＋2n (n∈N *)，从而有a n ＋1＋2n ＋1＝3a n ＋2n ＋2n ＋1＝3a n ＋3×2n ＝3(a n ＋2n )．又a 1＋2＞0，∴ a n ＋2n ＞0，∴ a n ＋1＋2n ＋1a n ＋2n ＝3， ∴ 数列{a n ＋2n }是等比数列，且公比为3，∴ a n ＋2n ＝(a 1＋2)×3n －1＝3n ，即a n ＝3n －2n .12. 商学院为推进后勤社会化改革，与桃园新区商定，由该区向建设银行贷款500万元在桃园新区为学院建一栋可容纳一千人的学生公寓，工程于2017年初动工，年底竣工并交付使用，公寓管理处采用收费偿还建行贷款形式(年利率5%，按复利计算)，公寓所收费用除去物业管理费和水电费18万元，其余部分全部用于年底还建行贷款．(1) 若公寓收费标准定为每生每年800元，问到哪一年可偿还建行全部贷款？(2) 若公寓管理处要在2025年年底把贷款全部还清，则每生每年的最低收费标准是多少元(精确到元)？(参考数据：lg 1.734 3≈0.239 1，lg 1.05≈0.021 2，1.058≈1.477 4)解：(1) 设公寓投入使用后n 年可偿还全部贷款，则公寓每年收费总额为1 000×800＝800 000(元)＝80万元，扣除18万元，可偿还贷款62万元．依题意有62[1＋(1＋5%)＋(1＋5%)2＋…＋(1＋5%)n －1]≥500(1＋5%)n ＋1，化简得62(1.05n －1)≥25×1.05n ＋1，∴ 1.05n ≥1.734 3.两边取对数并整理得n ≥lg 1.734 3lg 1.05≈0.239 10.021 2≈11.28， ∴ 当取n ＝12时，即到2029年底可全部还清贷款．(2) 设每生每年的最低收费标准为x 元，因到2025年底公寓共使用了8年，依题意有⎝ ⎛⎭⎪⎫1 000x 10 000－18[1＋(1＋5%)＋(1＋5%)2＋…＋(1＋5%)7]≥500(1＋5%)9. 化简得(0.1x －18)×1.058－11.05－1≥500×1.059， 解得x≥992，∴ 每生每年的最低收费标准为992元．13. 已知数列{a n }，{b n }满足2S n ＝(a n ＋2)b n ，其中S n 是数列{a n }的前n 项和．(1) 若数列{a n }是首项为23，公比为－13的等比数列，求数列{b n }的通项公式； (2) 若b n ＝n ，a 2＝3，求数列{a n }的通项公式；(3) 在(2)的条件下，设c n ＝a n b n，求证：数列{c n }中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积． (1) 解：因为a n ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n －1＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n ， S n ＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n ， 所以b n ＝2S n a n ＋2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n －2⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n ＋2＝12. (2) 解：若b n ＝n ，则2S n ＝na n ＋2n ，所以2S n ＋1＝(n ＋1)a n ＋1＋2(n ＋1)，两式相减得2a n ＋1＝(n ＋1)a n ＋1－na n ＋2，即na n ＝(n －1)a n ＋1＋2.当n≥2时，(n －1)a n －1＝(n －2)a n ＋2，两式相减得(n －1)a n －1＋(n －1)a n ＋1＝2(n －1)a n ，即a n －1＋a n ＋1＝2a n .由2S 1＝a 1＋2，得a 1＝2，又a 2＝3，所以数列{a n }是首项为2，公差为3－2＝1的等差数列，故数列{a n }的通项公式是a n ＝n ＋1.(3) 证明：由(2)得c n ＝n ＋1n，对于给定的n∈N *，若存在k ，t ≠n ，k ，t ∈N *，使得c n ＝c k ·c t ， 只需n ＋1n ＝k ＋1k ·t ＋1t ，即1＋1n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋1k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1t ， 即1n ＝1k ＋1t ＋1kt ，则t ＝n （k ＋1）k －n， 取k ＝n ＋1，则t ＝n(n ＋2)，所以对数列{c n }中的任意一项c n ＝n ＋1n ，都存在c n ＋1＝n ＋2n ＋1和c n2＋2n ＝n 2＋2n ＋1n 2＋2n，使得c n ＝c n ＋1·c n2＋2n .。
第五章 数 列第一节数列的概念与简单表示法1．数列的有关概念n n 若数列{a n }的前n 项和为S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.5．数列的分类1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．( ) (2)1,1,1,1，…，不能构成一个数列．( )(3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．( )(4)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对∀n ∈N *，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n .( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝9＋12n ，则在下列各数中，不是{a n }的项的是( ) A ．21 B ．33 C ．152D ．153解析：选C 由9＋12n ＝152，得n ＝14312∉N *.3．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1＋1a n －1(n ≥2)，则a 4＝( ) A.32 B.53 C.74D.85 解析：选B 由题意知，a 1＝1，a 2＝1＋1a 1＝2，a 3＝1＋1a 2＝32，a 4＝1＋1a 3＝53.4．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －1＋2n (n ≥2)，则a 7＝( )A ．53B ．54C ．55D ．109解析：选C 由题意知，a 2＝a 1＋2×2，a 3＝a 2＋2×3，……，a 7＝a 6＋2×7，各式相加得a 7＝a 1＋2(2＋3＋4＋…＋7)＝55.5．数列1，23，35，47，59，…的一个通项公式a n ＝________.解析：由已知得，数列可写成11，23，35，…，故通项公式可以为a n ＝n 2n －1.答案：n2n －16．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －3，则数列{a n }的通项公式是________________． 解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－3＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n －3)－(2n －1－3)＝2n －2n －1＝2n －1.又a 1＝－1不适合上式，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，2n －1，n ≥2.答案：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，2n －1，n ≥2考点一 由a n 与S n 的关系求通项a n (基础送分型考点——自主练透)[考什么·怎么考]n n 1．已知S n ＝3n ＋2n ＋1，则a n ＝____________. 解析：因为当n ＝1时，a 1＝S 1＝6； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋2n ＋1)－[3n －1＋2(n －1)＋1]＝2·3n －1＋2，由于a 1不适合此式，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6，n ＝1，2·3n －1＋2，n ≥2.答案：⎩⎪⎨⎪⎧6，n ＝1，2·3n －1＋2，n ≥22．(2017·全国卷Ⅲ改编)设数列{a n}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)a n＝2n，则a n＝____________.解析：因为a1＋3a2＋…＋(2n－1)a n＝2n，故当n≥2时，a1＋3a2＋…＋(2n－3)a n－1＝2(n－1)．两式相减得(2n－1)a n＝2，所以a n＝22n－1(n≥2)．又由题设可得a1＝2，满足上式，从而{a n}的通项公式为a n＝22n－1(n∈N*)．答案：22n－1(n∈N*)[题型技法]已知Sn求a n的3步骤(1)先利用a1＝S1求出a1；(2)用n－1替换S n中的n得到一个新的关系，利用a n＝S n－S n－1(n≥2)便可求出当n≥2时a n的表达式；(3)注意检验n＝1时的表达式是否可以与n≥2的表达式合并．考法(二)由S n与a n的关系，求a n，S n3．设数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2(a n－1)(n∈N*)，则a n＝()A．2n B．2n－1C．2n D．2n－1解析：选C当n＝1时，a1＝S1＝2(a1－1)，可得a1＝2，当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝2a n－2a n－1，∴a n＝2a n－1，∴数列{a n}为首项为2，公比为2的等比数列，所以a n＝2n.4．(2015·全国卷Ⅱ)设S n是数列{a n}的前n项和，且a1＝－1，a n＋1＝S n S n＋1，则S n＝________.解析：∵a n＋1＝S n＋1－S n，a n＋1＝S n S n＋1，∴S n＋1－S n＝S n S n＋1.∵S n≠0，∴1S n－1S n＋1＝1，即1S n＋1－1S n＝－1.又1S1＝－1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n是首项为－1，公差为－1的等差数列．∴1S n＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，∴S n＝－1n.答案：－1n[题型技法]Sn与a n关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化． (1)利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)转化为只含S n ，S n －1的关系式，再求解． (2)利用S n －S n －1＝a n (n ≥2)转化为只含a n ，a n －1的关系式，再求解．考点二 由递推关系式求数列的通项公式 (基础送分型考点——自主练透)[考什么·怎么考]1．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝n －1n a n －1(n ≥2)，则数列{a n }的通项公式为__________． 解析：∵a n ＝n －1n a n －1(n ≥2)，∴a n －1＝n －2n －1a n －2，a n －2＝n －3n －2a n －3，…，a 2＝12a 1.以上(n －1)个式子相乘得 a n ＝a 1·12·23·…·n －1n ＝a 1n ＝1n .当n ＝1时，a 1＝1，上式也成立．∴a n ＝1n (n ∈N *)． 答案：a n ＝1n(n ∈N *)[方法点拨] 叠乘法求通项公式的4步骤方法(二) 叠加法求通项公式2．设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为________________．解析：由题意有a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n (n ≥2)． 以上各式相加，得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ＝(n －1)(2＋n )2＝n 2＋n －22.又∵a 1＝1，∴a n ＝n 2＋n2(n ≥2)．∵当n ＝1时也满足上式，∴a n ＝n 2＋n2(n ∈N *)．答案：a n ＝n 2＋n2(n ∈N *)[方法点拨] 叠加法求通项公式的4步骤方法(三) 构造法求通项公式3．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2，则数列{a n }的通项公式为________________． 解析：∵a n ＋1＝3a n ＋2，∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)， ∴a n ＋1＋1a n ＋1＝3， ∴数列{a n ＋1}为等比数列，公比q ＝3， 又a 1＋1＝2，∴a n ＋1＝2·3n －1，∴a n ＝2·3n －1－1(n ∈N *)．答案：a n ＝2·3n －1－1(n ∈N *)[方法点拨] 构造法求通项公式的3步骤[怎样快解·准解]1．正确选用方法求数列的通项公式(1)对于递推关系式可转化为a n ＋1a n＝f (n )的数列，并且容易求数列{f (n )}前n 项的积时，采用叠乘法求数列{a n }的通项公式．(2)对于递推关系式可转化为a n ＋1＝a n ＋f (n )的数列，通常采用叠加法(逐差相加法)求其通项公式．(3)对于递推关系式形如a n ＋1＝pa n ＋q (p ≠0,1，q ≠0)的数列，采用构造法求数列的通项． 2．避免2种失误(1)利用叠乘法，易出现两个方面的问题：一是在连乘的式子中只写到a 2a 1，漏掉a 1而导致错误；二是根据连乘求出a n 之后，不注意检验a 1是否成立．(2)利用构造法求解时应注意数列的首项的正确求解以及准确确定叠加、叠乘后最后一个式子的形式．考点三 数列的性质及应用 (重点保分型考点——师生共研)1．已知数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n，若a 1＝12，则a 2 018＝( )A ．－1 B.12 C ．1D ．2解析：选D 由a 1＝12，a n ＋1＝11－a n ，得a 2＝11－a 1＝2，a 3＝11－a 2＝－1，a 4＝11－a 3＝12，a 5＝11－a 4＝2，…， 于是可知数列{a n }是以3为周期的周期数列，因此a 2 018＝a 3×672＋2＝a 2＝2. 2．已知数列{a n }满足a n ＝n ＋13n －16(n ∈N *)，则数列{a n }的最小项是第________项．解析：因为a n ＝n ＋13n －16，所以数列{a n }的最小项必为a n <0，即n ＋13n －16<0,3n －16<0，从而n <163.又n ∈N *，所以当n ＝5时，a n 的值最小．答案：5[解题师说]1．解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值． 2．判断数列单调性的2种方法(1)作差比较法：比较a n ＋1－a n 与0的大小．(2)作商比较法：比较a n ＋1a n 与1的大小，注意a n 的符号．3．求数列最大项或最小项的方法(1)利用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≤a n ，a n ≥a n ＋1(n ≥2)找到数列的最大项；(2)利用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≥a n ，a n ≤a n ＋1(n ≥2)找到数列的最小项．[冲关演练]1．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋1(n ∈N *)，则a 2 018＝( )A ．1B ．0C ．2 018D ．－2 018解析：选B ∵a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋1＝(a n －1)2，∴a 2＝(a 1－1)2＝0，a 3＝(a 2－1)2＝1，a 4＝(a 3－1)2＝0，…，可知数列{a n }是以2为周期的数列，∴a 2 018＝a 2＝0，选B.2．等差数列{a n }的公差d <0，且a 21＝a 211，则数列{a n }的前n 项和S n 取得最大值时的项数n 的值为( )A ．5B ．6C ．5或6D ．6或7解析：选C 由a 21＝a 211，可得(a 1＋a 11)(a 1－a 11)＝0，因为d <0，所以a 1－a 11≠0，所以a 1＋a 11＝0， 又2a 6＝a 1＋a 11，所以a 6＝0. 因为d <0，所以{a n }是递减数列，所以a 1>a 2>…>a 5>a 6＝0>a 7>a 8>…，显然前5项和或前6项和最大，故选C.(一)普通高中适用作业A 级——基础小题练熟练快1．已知数列1,2，7，10，13，…，则219在这个数列中的项数是( ) A ．16 B ．24 C ．26D ．28解析：选C 因为a 1＝1＝1，a 2＝2＝4，a 3＝7，a 4＝10，a 5＝13，…，所以a n＝3n －2.令a n ＝3n －2＝219＝76，解得n ＝26.2．数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n (n ∈N *)，若p －q ＝5，则a p －a q ＝( ) A ．10 B ．15 C ．－5D ．20解析：选D 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－3n －[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5，当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1，符合上式，所以a n ＝4n －5，所以a p －a q ＝4(p －q )＝20.3．(2017·河南许昌二模)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋2－a n ＝6，则a 11的值为( )A ．31B ．32C ．61D ．62解析：选A ∵数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋2－a n ＝6，∴a 3＝6＋1＝7，a 5＝6＋7＝13，a 7＝6＋13＝19，a 9＝6＋19＝25，a 11＝6＋25＝31. 4．(2018·云南检测)设数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－bn ，若数列{a n }是单调递增数列，则实数b 的取值范围为( )A ．(－∞，－1]B ．(－∞，2]C ．(－∞，3)D.⎝⎛⎦⎤－∞，92 解析：选C 因为数列{a n }是单调递增数列，所以a n ＋1－a n ＝2n ＋1－b >0(n ∈N *)，所以b <2n ＋1(n ∈N *)，所以b <(2n ＋1)min ＝3，即b <3.5．(2018·湖南湘潭一中、长沙一中等六校联考)已知数列{a n }满足：∀m ，n ∈N *，都有a n ·a m ＝a n ＋m ，且a 1＝12，那么a 5＝( )A.132B.116C.14D.12解析：选A ∵数列{a n }满足：∀m ，n ∈N *，都有a n ·a m ＝a n ＋m ，且a 1＝12，∴a 2＝a 1a 1＝14，a 3＝a 1·a 2＝18，∴a 5＝a 3·a 2＝132. 6．数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *)，a 2＝2，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21为( )A ．5 B.72 C.92D.132解析：选B ∵a n ＋a n ＋1＝12，a 2＝2，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－32，n 为奇数，2， n 为偶数.∴S 21＝11×⎝⎛⎭⎫－32＋10×2＝72. 7．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋1(n ∈N *)，则a n ＝________. 解析：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝4≠2×1＋1，因此a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2n ＋1，n ≥2.答案：⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2n ＋1，n ≥28．已知数列{a n }为12，14，－58，1316，－2932，6164，…，则数列{a n }的一个通项公式是________．解析：各项的分母分别为21,22,23,24，…，易看出从第2项起，每一项的分子都比分母少3，且第1项可变为－2－32，故原数列可变为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…故其通项公式为a n ＝(－1)n·2n －32n ，n ∈N *.答案：a n ＝(－1)n·2n －32n ，n ∈N *9．数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＋S n －1＝2n －1(n ≥2，n ∈N *)，且S 2＝3，则a 1＋a 3的值为________．解析：∵S n ＋S n －1＝2n －1(n ≥2)，令n ＝2， 得S 2＋S 1＝3，由S 2＝3得a 1＝S 1＝0， 令n ＝3，得S 3＋S 2＝5，所以S 3＝2，则a 3＝S 3－S 2＝－1，所以a 1＋a 3＝0＋(－1)＝－1. 答案：－110．在一个数列中，如果∀n ∈N *，都有a n a n ＋1a n ＋2＝k (k 为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k 叫做这个数列的公积．已知数列{a n }是等积数列，且a 1＝1，a 2＝2，公积为8，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝________.解析：依题意得数列{a n }是周期为3的数列，且a 1＝1，a 2＝2，a 3＝4，因此a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝4(a 1＋a 2＋a 3)＝4×(1＋2＋4)＝28.答案：28B 级——中档题目练通抓牢1．若a 1＝12，a n ＝4a n －1＋1(n ≥2)，则a n >100时，n 的最小值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选C 由a 1＝12，a n ＝4a n －1＋1(n ≥2)得，a 2＝4a 1＋1＝4×12＋1＝3，a 3＝4a 2＋1＝4×3＋1＝13，a 4＝4a 3＋1＝4×13＋1＝53，a 5＝4a 4＋1＝4×53＋1＝213>100.2．(2018·咸阳模拟)已知正项数列{a n }中，a 1＋a 2＋…＋a n ＝n (n ＋1)2(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝nB ．a n ＝n 2C ．a n ＝n2D ．a n ＝n 22解析：选B ∵a 1＋a 2＋…＋a n ＝n (n ＋1)2， ∴a 1＋a 2＋…＋a n －1＝n (n －1)2(n ≥2)， 两式相减得a n ＝n (n ＋1)2－n (n －1)2＝n (n ≥2)， ∴a n ＝n 2(n ≥2)．又当n ＝1时，a 1＝1×22＝1，a 1＝1，适合上式，∴a n ＝n 2，n ∈N *.故选B.3．若数列{a n }满足：a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和数值最大时，n 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选B ∵a 1＝19，a n ＋1－a n ＝－3，∴数列{a n }是以19为首项，－3为公差的等差数列， ∴a n ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n . 设{a n }的前k 项和数值最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a k ≥0，a k ＋1≤0k ∈N *，∴⎩⎪⎨⎪⎧22－3k ≥0，22－3(k ＋1)≤0，∴193≤k ≤223， ∵k ∈N *，∴k ＝7.∴满足条件的n 的值为7.4．在数列{a n }中，a n >0，且前n 项和S n 满足4S n ＝(a n ＋1)2(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为________．解析：当n ＝1时，4S 1＝(a 1＋1)2，解得a 1＝1； 当n ≥2时，由4S n ＝(a n ＋1)2＝a 2n ＋2a n ＋1， 得4S n －1＝a 2n －1＋2a n －1＋1，两式相减得4S n －4S n －1＝a 2n －a 2n －1＋2a n －2a n －1＝4a n ，整理得(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0，因为a n >0，所以a n －a n －1－2＝0，即a n －a n －1＝2， 又a 1＝1，故数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列， 所以a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1. 答案：a n ＝2n －15.已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n ·2n ＋1，该数列的项排成一个数阵(如图)，则该数阵中的第10行第3个数为________．a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 ……解析：由题意可得该数阵中的第10行第3个数为数列{a n }的第1＋2＋3＋…＋9＋3＝9×102＋3＝48项，而a 48＝(－1)48×96＋1＝97，故该数阵中的第10行第3个数为97. 答案：976．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2＋kn ＋4.(1)若k ＝－5，则数列中有多少项是负数？n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值； (2)对于n ∈N *，都有a n ＋1>a n ，求实数k 的取值范围． 解：(1)由n 2－5n ＋4<0，解得1<n <4. 因为n ∈N *，所以n ＝2,3，所以数列中有两项是负数，即为a 2，a 3. 因为a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝⎛⎭⎫n －522－94， 由二次函数性质，得当n ＝2或n ＝3时，a n 有最小值，其最小值为a 2＝a 3＝－2. (2)由a n ＋1>a n ，知该数列是一个递增数列，又因为通项公式a n ＝n 2＋kn ＋4，可以看作是关于n 的二次函数，考虑到n ∈N *，所以－k 2<32，解得k >－3.所以实数k 的取值范围为(－3，＋∞)．7．已知二次函数f (x )＝x 2－ax ＋a (a >0，x ∈R)，有且只有一个零点，数列{a n }的前n 项和S n ＝f (n )(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设c n ＝1－4a n(n ∈N *)，定义所有满足c m ·c m ＋1<0的正整数m 的个数，称为这个数列{c n }的变号数，求数列{c n }的变号数．解：(1)依题意，Δ＝a 2－4a ＝0， 所以a ＝0或a ＝4. 又由a >0得a ＝4，所以f (x )＝x 2－4x ＋4. 所以S n ＝n 2－4n ＋4.当n ＝1时，a 1＝S 1＝1－4＋4＝1； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －5.所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －5，n ≥2.(2)由题意得c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，n ＝1，1－42n －5，n ≥2. 由c n ＝1－42n －5可知，当n ≥5时，恒有c n >0. 又c 1＝－3，c 2＝5，c 3＝－3，c 4＝－13，c 5＝15，c 6＝37，即c 1·c 2<0，c 2·c 3<0，c 4·c 5<0， 所以数列{c n }的变号数为3. C 级——重难题目自主选做1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(n ＋2)⎝⎛⎭⎫910n (n ∈N *)，则数列{a n }的最大项是( ) A ．a 6或a 7 B ．a 7或a 8 C ．a 8或a 9D ．a 7解析：选B 因为a n ＋1－a n ＝(n ＋3)⎝⎛⎭⎫910n ＋1－(n ＋2)⎝⎛⎭⎫910n ＝⎝⎛⎭⎫910n ·7－n 10，当n <7时，a n＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ；当n ＝7时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ；当n >7时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n ，则a 1<a 2<…<a 7＝a 8>a 9>a 10>…，所以此数列的最大项是第7项或第8项，即a 7或a 8.故选B.2．(2018·成都诊断)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝n 2n 2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，则a n ＝________.解析：由题意知a n a n －1＝n 2n 2－1＝n 2(n －1)(n ＋1)，所以a n ＝a 1×a 2a 1×a 3a 2×…×a na n －1＝1×2222－1×3232－1×…×n 2n 2－1＝22×32×42×…×n 2(2－1)×(2＋1)×(3－1)×(3＋1)×(4－1)×(4＋1)×…×(n －1)×(n ＋1) ＝22×32×42×…×n 21×3×2×4×3×5×…×(n －1)×(n ＋1)＝2nn ＋1.答案：2nn ＋1(二)重点高中适用作业A 级——保分题目巧做快做1．已知数列1,2，7，10，13，…，则219在这个数列中的项数是( ) A ．16 B ．24 C ．26D ．28解析：选C 因为a 1＝1＝1，a 2＝2＝4，a 3＝7，a 4＝10，a 5＝13，…，所以a n＝3n －2.令a n ＝3n －2＝219＝76，解得n ＝26.2.(2018·郑州模拟)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋2－a n ＝6，则a 11的值为( ) A ．31 B ．32 C ．61D ．62解析：选A ∵数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋2－a n ＝6， ∴a 3＝6＋1＝7，a 5＝6＋7＝13，a 7＝6＋13＝19， a 9＝6＋19＝25，a 11＝6＋25＝31.3．数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n (n ∈N *)，若p －q ＝5，则a p －a q ＝( ) A ．10 B ．15 C ．－5D ．20解析：选D 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－3n －[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5，当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1，符合上式，所以a n ＝4n －5，所以a p －a q ＝4(p －q )＝20.4．(2018·湖南湘潭一中、长沙一中等六校联考)已知数列{a n }满足：∀m ，n ∈N *，都有a n ·a m ＝a n ＋m ，且a 1＝12，那么a 5＝( )A.132B.116C.14D.12解析：选A ∵数列{a n }满足：∀m ，n ∈N *，都有a n ·a m ＝a n ＋m ，且a 1＝12，∴a 2＝a 1a 1＝14，a 3＝a 1·a 2＝18，∴a 5＝a 3·a 2＝132. 5．若数列{a n }满足：a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和最大时，n 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选B ∵a 1＝19，a n ＋1－a n ＝－3，∴数列{a n }是以19为首项，－3为公差的等差数列， ∴a n ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n . 设{a n }的前k 项和最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a k ≥0，a k ＋1≤0k ∈N *，∴⎩⎪⎨⎪⎧22－3k ≥0，22－3(k ＋1)≤0， ∴193≤k ≤223， ∵k ∈N *，∴k ＝7. ∴满足条件的n 的值为7.6.(2018·河北唐山一模)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝a 1(4n －1)3，若a 4＝32，则a 1＝________.解析：∵S n ＝a 1(4n －1)3，a 4＝32，∴S 4－S 3＝255a 13－63a 13＝32，∴a 1＝12. 答案：127．已知数列{a n }为12，14，－58，1316，－2932，6164，…，则数列{a n }的一个通项公式是________．解析：各项的分母分别为21,22,23,24，…，易看出从第2项起，每一项的分子都比分母少3，且第1项可变为－2－32，故原数列可变为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…故其通项公式为a n ＝(－1)n·2n －32n ，n ∈N *.答案：a n ＝(－1)n·2n －32n ，n ∈N *8．在一个数列中，如果∀n ∈N *，都有a n a n ＋1a n ＋2＝k (k 为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k 叫做这个数列的公积．已知数列{a n }是等积数列，且a 1＝1，a 2＝2，公积为8，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝________.解析：依题意得数列{a n }是周期为3的数列，且a 1＝1，a 2＝2，a 3＝4，因此a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝4(a 1＋a 2＋a 3)＝4×(1＋2＋4)＝28.答案：289.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－12n 2＋kn ，k ∈N *，且S n 的最大值为8.试确定常数k ，并求数列{a n }的通项公式．解：因为S n ＝－12n 2＋kn ＝－12(n －k )2＋12k 2，其中k 是常数，且k ∈N *，所以当n ＝k时，S n 取最大值12k 2，故12k 2＝8，k 2＝16，因此k ＝4，从而S n ＝－12n 2＋4n .当n ＝1时，a 1＝S 1＝－12＋4＝72；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝⎝⎛⎭⎫－12n 2＋4n －－12(n －1)2＋4(n －1)＝92－n . 当n ＝1时，92－1＝72＝a 1，所以a n ＝92－n .10．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2＋kn ＋4.(1)若k ＝－5，则数列中有多少项是负数？n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值； (2)对于n ∈N *，都有a n ＋1>a n ，求实数k 的取值范围． 解：(1)由n 2－5n ＋4<0，解得1<n <4. 因为n ∈N *，所以n ＝2,3，所以数列中有两项是负数，即为a 2，a 3. 因为a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝⎛⎭⎫n －522－94， 由二次函数性质，得当n ＝2或n ＝3时，a n 有最小值，其最小值为a 2＝a 3＝－2. (2)由a n ＋1>a n ，知该数列是一个递增数列，又因为通项公式a n ＝n 2＋kn ＋4，可以看作是关于n 的二次函数，考虑到n ∈N *，所以－k 2<32，解得k >－3.所以实数k 的取值范围为(－3，＋∞)． B 级——拔高题目稳做准做1.(2018·云南检测)设数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－bn ，若数列{a n }是单调递增数列，则实数b 的取值范围为( )A ．(－∞，－1]B ．(－∞，2]C ．(－∞，3)D.⎝⎛⎦⎤－∞，92 解析：选C 因为数列{a n }是单调递增数列，所以a n ＋1－a n ＝2n ＋1－b >0(n ∈N *)，所以b <2n ＋1(n ∈N *)，所以b <(2n ＋1)min ＝3，即b <3.2.已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n ＋2n ，且a 1＝33，则a nn 的最小值为( ) A ．21 B ．10 C.212D.172解析：选C 由已知条件可知，当n ≥2时， a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝33＋2＋4＋…＋2(n －1)＝n 2－n ＋33，又n ＝1时，a 1＝33满足此式． 所以a n n ＝n ＋33n －1.令f (n )＝a n n ＝n ＋33n －1，则f (n )在[1,5]上为减函数，在[6，＋∞)上为增函数． 又f (5)＝535，f (6)＝212，则f (5)>f (6)， 故f (n )＝a n n 的最小值为212.3.(2018·成都质检)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝n 2n 2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，则a n ＝________.解析：由题意知a n a n －1＝n 2n 2－1＝n 2(n －1)(n ＋1)，所以a n ＝a 1×a 2a 1×a 3a 2×…×a na n －1＝1×2222－1×3232－1×…×n 2n 2－1＝22×32×42×…×n 2(2－1)×(2＋1)×(3－1)×(3＋1)×(4－1)×(4＋1)×…×(n －1)×(n ＋1) ＝22×32×42×…×n 21×3×2×4×3×5×…×(n －1)×(n ＋1)＝2nn ＋1. 答案：2nn ＋14.已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n ·2n ＋1，该数列的项排成一个数阵(如图)，则该数阵中的第10行第3个数为________．a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 ……解析：由题意可得该数阵中的第10行第3个数为数列{a n }的第1＋2＋3＋…＋9＋3＝9×102＋3＝48项，而a 48＝(－1)48×96＋1＝97，故该数阵中的第10行第3个数为97. 答案：975．已知二次函数f (x )＝x 2－ax ＋a (a >0，x ∈R)，有且只有一个零点，数列{a n }的前n 项和S n ＝f (n )(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设c n ＝1－4a n(n ∈N *)，定义所有满足c m ·c m ＋1<0的正整数m 的个数，称为这个数列{c n }的变号数，求数列{c n }的变号数．解：(1)依题意，Δ＝a 2－4a ＝0，所以a ＝0或a ＝4. 又由a >0得a ＝4， 所以f (x )＝x 2－4x ＋4. 所以S n ＝n 2－4n ＋4.当n ＝1时，a 1＝S 1＝1－4＋4＝1； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －5.所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －5，n ≥2.(2)由题意得c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，n ＝1，1－42n －5，n ≥2. 由c n ＝1－42n －5可知，当n ≥5时，恒有c n >0. 又c 1＝－3，c 2＝5，c 3＝－3，c 4＝－13，c 5＝15，c 6＝37，即c 1·c 2<0，c 2·c 3<0，c 4·c 5<0， 所以数列{c n }的变号数为3.6.已知{a n }是公差为d 的等差数列，它的前n 项和为S n ，S 4＝2S 2＋4，在数列{b n }中，b n ＝1＋a na n.(1)求公差d 的值；(2)若a 1＝－52，求数列{b n }中的最大项和最小项的值；(3)若对任意的n ∈N *，都有b n ≤b 8成立，求a 1的取值范围． 解：(1)∵S 4＝2S 2＋4，∴4a 1＋3×42d ＝2(2a 1＋d )＋4，解得d ＝1. (2)∵a 1＝－52，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝－52＋(n －1)×1＝n －72，∴b n ＝1＋a n a n ＝1＋1a n＝1＋1n －72.∵函数f (x )＝1＋1x －72在⎝⎛⎭⎫－∞，72和⎝⎛⎭⎫72，＋∞上分别是单调减函数，∴b 3<b 2<b 1<1，当n ≥4时，1<b n ≤b 4，∴数列{b n }中的最大项是b 4＝3，最小项是b 3＝－1. (3)由b n ＝1＋1a n，得b n ＝1＋1n ＋a 1－1.又函数f (x )＝1＋1x ＋a 1－1在(－∞，1－a 1)和(1－a 1，＋∞)上分别是单调减函数，且x <1－a 1时，y <1；当x >1－a 1时，y >1.∵对任意的n ∈N *，都有b n ≤b 8， ∴7<1－a 1<8，∴－7<a 1<－6， ∴a 1的取值范围是(－7，－6)．第二节等差数列及其前n 项和1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n (a 1＋a n )2. 3．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．4．与等差数列各项的和有关的性质(1)若{a n }是等差数列，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也成等差数列，其首项与{a n }首项相同，公差是{a n }公差的12. (2)若{a n }是等差数列，S m ，S 2m ，S 3m 分别为{a n }的前m 项，前2m 项，前3m 项的和，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列．(3)关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质． ①若项数为2n ，则S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a na n ＋1. ②若项数为2n －1，则S 偶＝(n －1)a n ，S 奇＝na n ，S 奇－S 偶＝a n ，S 奇S 偶＝n n －1. (4)两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和S n ，T n 之间的关系为a n b n＝S 2n －1T 2n －1.1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( )(2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( )(3)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．( ) (4)已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则它的公差为－2.( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√2．在等差数列{}a n 中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．6解析：选B ∵{}a n 为等差数列，∴2a 4＝a 2＋a 6，∴a 6＝2a 4－a 2＝2×2－4＝0.3．(2017·全国卷Ⅲ)等差数列{a n }的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }前6项的和为( )A ．－24B ．－3C ．3D ．8 解析：选A 设等差数列{a n }的公差为d ， 因为a 2，a 3，a 6成等比数列，所以a 2a 6＝a 23， 即(a 1＋d )(a 1＋5d )＝(a 1＋2d )2. 又a 1＝1，所以d 2＋2d ＝0. 又d ≠0，则d ＝－2，所以{a n }前6项的和S 6＝6×1＋6×52×(－2)＝－24.4．已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，且a 1＝1，a 4＝4，则a 10＝( )A ．－45B ．－54C.413D.134解析：选A 设等差数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的公差为d ，由题意可知，1a 4＝1a 1＋3d ＝14，解得d ＝－14，所以1a 10＝1a 1＋9d ＝－54，所以a 10＝－45. 5．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 3＋a 9＝a 10－a 8，若a n ＝0，则n ＝________. 解析：因为a 3＋a 9＝a 10－a 8，所以a 1＋2d ＋a 1＋8d ＝a 1＋9d －(a 1＋7d )， 解得a 1＝－4d ，所以a n ＝－4d ＋(n －1)d ＝(n －5)d ， 令(n －5)d ＝0(d ≠0)，可解得n ＝5. 答案：56．在等差数列{a n }中，a n >0，a 7＝12a 4＋4，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 19＝________.解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由a 7＝12a 4＋4，得a 1＋6d ＝12(a 1＋3d )＋4，即a 1＋9d ＝8，所以a 10＝8，因此S 19＝19(a 1＋a 19)2＝19×a 10＝19×8＝152. 答案：152考点一 等差数列的基本运算 (基础送分型考点——自主练透)[考什么·怎么考]n 527A ．12 B ．13 C ．14D ．15解析：选B 设等差数列{a n }的公差为d ， 由S 5＝5(a 2＋a 4)2，得5(3＋a 4)2＝25，解得a 4＝7，所以7＝3＋2d ，解得d ＝2，所以a 7＝a 4＋3d ＝7＋3×2＝13.2．(2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选C 设等差数列{a n }的公差为d ，则由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 5＝24，S 6＝48，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＋a 1＋4d ＝24，6a 1＋6×52d ＝48，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋7d ＝24，2a 1＋5d ＝16，解得d ＝4. 3．(2018·福州质检)设等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 2＝－d ，若a k 是a 6与a k ＋6的等比中项，则k ＝( )A ．5B ．6C ．9D ．11解析：选C 因为a k 是a 6与a k ＋6的等比中项， 所以a 2k ＝a 6a k ＋6.又等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 2＝－d ， 所以[a 2＋(k －2)d ]2＝(a 2＋4d )[a 2＋(k ＋4)d ]， 所以(k －3)2＝3(k ＋3)，解得k ＝9，或k ＝0(舍去)，故选C.4．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 12＝－8，S 9＝－9，则S 16＝________. 解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， 由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 12＝a 1＋11d ＝－8，S 9＝9a 1＋9×82d ＝－9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝－1. ∴S 16＝16×3＋16×152×(－1)＝－72.答案：－72[怎样快解·准解]1．等差数列运算中方程思想的应用(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公差d ，然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解．(2)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．[易错提醒] 在求解数列基本量运算中，要注意公式使用时的准确性与合理性，更要注意运算的准确性．在遇到一些较复杂的方程组时，要注意整体代换思想的运用，使运算更加便捷．2．等差数列前n 项和公式的应用方法根据不同的已知条件选用两个求和公式，若已知首项和公差，则使用公式S n ＝na 1＋n (n －1)2d ；若已知通项公式，则使用公式S n ＝n (a 1＋a n )2，同时注意与性质“a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝…”的结合使用．考点二 等差数列的判定与证明 (重点保分型考点——师生共研)(2018·贵州适应性考试)已知数列{a n }满足a 1＝1，且na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n 2＋2n . (1)求a 2，a 3；(2)证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列，并求{a n }的通项公式．[思维路径](1)要求数列的项，可根据已知首项和递推关系式，令n ＝1,2可解得．(2)证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列，其关键应推出a n ＋1n ＋1－a n n 为常数，对所给条件进行必要的变形即可．解：(1)由已知，得a 2－2a 1＝4， 则a 2＝2a 1＋4，又a 1＝1，所以a 2＝6. 由2a 3－3a 2＝12，得2a 3＝12＋3a 2，所以a 3＝15.(2)证明：由已知na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n 2＋2n ， 得na n ＋1－(n ＋1)a n n (n ＋1)＝2，即a n ＋1n ＋1－a nn＝2，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项a 11＝1，公差d ＝2的等差数列．则a nn ＝1＋2(n －1)＝2n －1，所以a n ＝2n 2－n .[解题师说]等差数列的判定与证明方法用定义证明等差数列时，容易漏掉对起始项的检验，从而产生错解．比如，对于满足a n－a n－1＝1(n≥3)的数列{a n}而言并不能判定其为等差数列，因为不能确定起始项a2－a1是否等于1.[冲关演练]1．(2018·陕西质检)已知数列{a n}的前n项和S n＝an2＋bn(a，b∈R)且a2＝3，a6＝11，则S7等于()A．13B．49C．35 D．63解析：选B由S n＝an2＋bn(a，b∈R)可知数列{a n}是等差数列，所以S7＝7(a1＋a7)2＝7(a2＋a6)2＝49.2．已知数列{a n}中，a1＝2，a n＝2－1a n－1(n≥2，n∈N*)，设b n＝1a n－1(n∈N*)．求证：数列{b n}是等差数列．证明：∵a n＝2－1a n－1(n≥2)，∴a n＋1＝2－1a n.∴b n＋1－b n＝1a n＋1－1－1a n－1＝12－1a n－1－1a n－1＝a n－1a n－1＝1，∴{b n}是首项为b1＝12－1＝1，公差为1的等差数列．考点三等差数列的性质及前n项和的最值(重点保分型考点——师生共研)1．在等差数列{a n}中，a1＝29，S10＝S20，则数列{a n}的前n项和S n的最大值为() A．S15B．S16C．S15或S16D．S17解析：选A∵a1＝29，S10＝S20，∴10a1＋10×92d＝20a1＋20×192d，解得d＝－2，∴S n＝29n＋n(n－1)2×(－2)＝－n2＋30n＝－(n－15)2＋225.∴当n＝15时，S n取得最大值．2．(2018·石家庄一模)已知函数f(x)的图象关于直线x＝－1对称，且f(x)在(－1，＋∞)上单调，若数列{a n}是公差不为0的等差数列，且f(a50)＝f(a51)，则数列{a n}的前100项的和为❶❷() A．－200 B．－100C．－50 D．0[学审题]①由函数的对称性及单调性知f(x)在(－∞，－1)上也单调；②结合函数的性质知a50＋a51＝－2.解析：选B因为函数f(x)的图象关于直线x＝－1对称，又函数f(x)在(－1，＋∞)上单调，所以f(x)在(－∞，－1)上也单调，且数列{a n}是公差不为0的等差数列．又f(a50)＝f(a51)，所以a50＋a51＝－2，所以S100＝100(a1＋a100)2＝50(a50＋a51)＝－100.[解题师说]1．应用等差数列的性质解题的2个注意点(1)如果{a n}为等差数列，m＋n＝p＋q，则a m＋a n＝a p＋a q(m，n，p，q∈N*)．因此，若出现a m－n，a m，a m＋n等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与a m(或其他项)有关的条件；若求a m项，可由a m＝12(a m－n＋a m＋n)转化为求a m－n，a m＋n或a m＋n＋a m－n的值．(2)要注意等差数列通项公式及前n项和公式的灵活应用，如a n＝a m＋(n－m)d，d＝a n －a m n －m，S 2n －1＝(2n －1)a n ，S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (a 2＋a n －1)2(n ，m ∈N *)等．2．求等差数列前n 项和S n 最值的2种方法(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．(2)邻项变号法：①当a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧ a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ；②当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m .3．理清等差数列的前n 项和与函数的关系 等差数列的前n 项和公式为S n ＝na 1＋n (n －1)2d 可变形为S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ，令A ＝d2，B ＝a 1－d2，则S n ＝An 2＋Bn .当A ≠0，即d ≠0时，S n 是关于n 的二次函数，(n ，S n )在二次函数y ＝Ax 2＋Bx 的图象上，即为抛物线y ＝Ax 2＋Bx 上一群孤立的点．利用此性质可解决前n 项和S n 的最值问题．[冲关演练]1．(2018·岳阳模拟)在等差数列{a n }中，如果a 1＋a 2＝40，a 3＋a 4＝60，那么a 7＋a 8＝( ) A ．95 B ．100 C ．135D ．80解析：选B 由等差数列的性质可知，a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6，a 7＋a 8构成新的等差数列，于是a 7＋a 8＝(a 1＋a 2)＋(4－1)[(a 3＋a 4)－(a 1＋a 2)]＝40＋3×20＝100.2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1>0，a 3＋a 10>0，a 6a 7<0，则满足S n >0的最大自然数n 的值为( )A ．6B ．7C ．12D ．13解析：选C 因为a 1>0，a 6a 7<0，所以a 6>0，a 7<0，等差数列的公差小于零，又a 3＋a 10＝a 1＋a 12>0，a 1＋a 13＝2a 7<0，所以S 12>0，S 13<0，所以满足S n >0的最大自然数n 的值为12.3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知前6项和为36，最后6项的和为180，S n ＝324(n ＞6)，则数列{a n }的项数为________．解析：由题意知a 1＋a 2＋…＋a 6＝36，① a n ＋a n －1＋a n －2＋…＋a n －5＝180，②①＋②得(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a 6＋a n －5)＝6(a 1＋a n )＝216，∴a 1＋a n ＝36， 又S n ＝n (a 1＋a n )2＝324， ∴18n ＝324，∴n ＝18. 答案：18(一)普通高中适用作业A 级——基础小题练熟练快1．(2018·兰州诊断考试)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，a 8＋a 10＝28，则S 9＝( )A ．36B ．72C ．144D ．288解析：选B 法一：∵a 8＋a 10＝2a 1＋16d ＝28，a 1＝2， ∴d ＝32，∴S 9＝9×2＋9×82×32＝72.法二：∵a 8＋a 10＝2a 9＝28，∴a 9＝14， ∴S 9＝9(a 1＋a 9)2＝72. 2．(2018·安徽两校阶段性测试)若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 2＋S 3＝4，a 3＋S 5＝12，则a 4＋S 7的值是( )A ．20B ．36C ．24D ．72解析：选C 由a 2＋S 3＝4及a 3＋S 5＝12，得⎩⎪⎨⎪⎧ 4a 1＋4d ＝4，6a 1＋12d ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝0，d ＝1，∴a 4＋S 7＝8a 1＋24d ＝24.3．(2018·西安质检)已知数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －2.若a k ·a k ＋1<0，则正整数k ＝( )A ．21B ．22C ．23D ．24解析：选C 由3a n ＋1＝3a n －2⇒a n ＋1－a n ＝－23⇒{a n }是等差数列，则a n ＝473－23n .∵a k ·a k＋1<0，∴⎝⎛⎭⎫473－23k ⎝⎛⎭⎫453－23k <0，∴452<k <472，又∵k ∈N *，∴k ＝23.4．(2018·东北三校联考)已知数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列，且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，若b 3＝－2，b 2＝12，则a 8＝( )A ．0B ．－109C ．－181D ．121解析：选B 设等差数列{b n }的公差为d ，则d ＝b 3－b 2＝－14，因为a n ＋1－a n ＝b n ，所以a 8－a 1＝b 1＋b 2＋…＋b 7＝7(b 1＋b 7)2＝7b 4＝7×(－2－14)＝－112，又a 1＝3，所以a 8＝－109.5．(2018·云南11校跨区调研)在数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1＝3a n a n ＋3，则a 4＝( )A.34 B ．1 C.43D.32解析：选A 依题意得1a n ＋1＝a n ＋33a n ＝1a n ＋13，1a n ＋1－1a n ＝13，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1a 1＝13为首项、13为公差的等差数列，则1a n ＝13＋n －13＝n 3，a n ＝3n ，a 4＝34.6．(2018·东北四市高考模拟)已知数列{a n }满足a n ＋1－a n ＝2，a 1＝－5，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝( )A ．9B ．15C ．18D ．30解析：选C 由a n ＋1－a n ＝2可得数列{a n }是等差数列，公差d ＝2，又a 1＝－5，所以a n ＝2n －7，所以|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|＋|a 6|＝5＋3＋1＋1＋3＋5＝18.7．(2016·北京高考)已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若a 1＝6，a 3＋a 5＝0，则S 6＝________.解析：∵a 3＋a 5＝2a 4，∴a 4＝0. ∵a 1＝6，a 4＝a 1＋3d ，∴d ＝－2. ∴S 6＝6a 1＋6×(6－1)2d ＝6×6－30＝6.答案：68．等差数列{a n }中，已知a 5>0，a 4＋a 7<0，则{a n }的前n 项和S n 的最大值为________．解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＋a 7＝a 5＋a 6<0，a 5>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 5>0，a 6<0，∴S n 的最大值为S 5. 答案：S 59．若等差数列{a n }的前17项和S 17＝51，则a 5－a 7＋a 9－a 11＋a 13＝________. 解析：因为S 17＝a 1＋a 172×17＝17a 9＝51，所以a 9＝3. 根据等差数列的性质知a 5＋a 13＝a 7＋a 11， 所以a 5－a 7＋a 9－a 11＋a 13＝a 9＝3. 答案：310．在等差数列{a n }中，公差d ＝12，前100项的和S 100＝45，则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝________.解析：因为S 100＝1002(a 1＋a 100)＝45，所以a 1＋a 100＝910， a 1＋a 99＝a 1＋a 100－d ＝25，则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝502(a 1＋a 99)＝502×25＝10. 答案：10B 级——中档题目练通抓牢1．(2018·湖南五市十校联考)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n ＋1＝S n ＋a n ＋3，a 4＋a 5＝23，则S 8＝( )A ．72B ．88C ．92D ．98解析：选C 法一：由S n ＋1＝S n ＋a n ＋3，得a n ＋1－a n ＝3，故数列{a n }是公差为3的等差数列，又a 4＋a 5＝23＝2a 1＋7d ＝2a 1＋21，∴a 1＝1，S 8＝8a 1＋8×72d ＝92.法二：由S n ＋1＝S n ＋a n ＋3，得a n ＋1－a n ＝3，故数列{a n }是公差为3的等差数列，S 8＝8(a 1＋a 8)2＝8(a 4＋a 5)2＝92. 2．(2018·广东潮州二模)在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增一十三里；驽马初日行九十七里，日减半里，良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：几日相逢( )A ．8日B ．9日C ．12日D ．16日解析：选B 设n 日相逢，则依题意得103n ＋n (n －1)2×13＋97n ＋n (n －1)2×⎝⎛⎭⎫－12＝1125×2，整理得n 2＋31n －360＝0，解得n ＝9(负值舍去)，故选B.3．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，其中n ∈N *，则下列命题错误的是( ) A ．若a n >0，则S n >0 B ．若S n >0，则a n >0C ．若a n >0，则{S n }是单调递增数列D ．若{S n }是单调递增数列，则a n >0解析：选D 由等差数列的性质可得：∀n ∈N *，a n >0，则S n >0，反之也成立．a n >0，d >0，则{S n }是单调递增数列．因此A 、B 、C 正确．对于D ，{S n }是单调递增数列，则d >0，而a n >0不一定成立．4．在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前 n 项和为S n ，当且仅当n ＝8 时S n 取得最大值，则d 的取值范围为________．解析：由题意，当且仅当n ＝8时S n 有最大值， 可得⎩⎪⎨⎪⎧d <0，a 8>0，a 9<0，即⎩⎪⎨⎪⎧d <0，7＋7d >0，7＋8d <0，解得－1<d <－78.答案：⎝⎛⎭⎫－1，－78 5．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝________. 解析：因为等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，所以a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3，数列的公差d ＝1，a m ＋a m ＋1＝S m ＋1－S m－1＝5，即2a 1＋2m －1＝5， 所以a 1＝3－m . 由S m ＝(3－m )m ＋m (m －1)2×1＝0， 解得m ＝5. 答案：56．(2018·广西三市第一次联考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n －1(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 4a n ＋1，求{b n }的前n 项和T n . 解：(1)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1，当n ＝1时，a 1＝2－1＝1，满足a n ＝2n －1，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)由(1)得，b n ＝log 4a n ＋1＝n ＋12，。
单元评估检测(五) 第5章 数 列(120分钟 150分) (对应学生用书第235页)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 5＝25，则S 7＝( ) A ．41 B ．48 C ．49 D ．56[答案] C2．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝3n ＋a (n ∈N *)，则实数a 的值是( )A ．－3B ．3C ．－1D ．1[答案] C3．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且15S n ＝a n －1，则a 2等于( )【导学号：97190423】A ．－54B ．54C ．516D ．2516[答案] D4．(2018·太原模拟)在等比数列{a n }中，a 2＝2，a 4＝8，a n ＞0，则数列{log 2a n }的前n 项和为( )A ．n (n －1)2B ．(n －1)22C ．n (n ＋1)2D ．(n ＋1)22[答案] A5．已知在数列{a n }中，a n ＝－4n ＋5，等比数列{b n }的公比q 满足q ＝a n －a n－1(n ≥2)且b 1＝a 2，则|b 1|＋|b 2|＋|b 3|＋…＋|b n |＝( )A ．1－4nB ．4n －1C ．1－4n 3D ．4n －13[答案] B6．若{a n }是由正数组成的等比数列，其前n 项和为S n ，已知a 1a 5＝1则S 3＝7，则S 7＝( )A ．1516B ．78C ．12716D ．638[答案] C7．数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n ·(2n －1)cos n π2＋1，其前n 项和为S n ，则S 60＝( )A ．－30B ．－60C ．90D ．120 [答案] D8．如果数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝1，且a n －1－a n a n －1＝a n －a n ＋1a n ＋1(n ≥2)，则这个数列的第10项等于( )A ．1210 B ．129 C ．110 D ．15 [答案] D9．在△ABC 中，tan A 是以－4为第3项，－1为第7项的等差数列的公差，tan B 是以12为第3项，4为第6项的等比数列的公比，则该三角形的形状是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．等腰直角三角形D ．以上均错 [答案] B10．在各项都为正数的等比数列{a n }中，a 2a 4＝4，a 1＋a 2＋a 3＝14，则满足a n ·a n ＋1·a n ＋2＞19的最大正整数n 的值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6[答案] B11．若数列{a n }满足1a n ＋1－pa n＝0，n ∈N *，p 为非零常数，则称数列{a n }为“梦想数列”．已知正项数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 为“梦想数列”，且b 1b 2b 3…b 99＝299，则b 8＋b 92的最小值是( ) 【导学号：97190424】A ．2B ．4C ．6D ．8[答案] B12．(2017·淄博模拟)数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n ＋1－2，数列{b n }满足b n＝3n －1，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的前n 项和为( )A ．5－0B ．5－3n ＋52n C ．5－3n －52n D ．5－3n ＋52n －1[答案] B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．已知正项数列{a n }满足a 2n ＋1－6a 2n ＝a n ＋1a n .若a 1＝2，则数列{a n }的前n项和为________．[答案] 3n －114．设关于x 的不等式x 2－x ＜2nx (n ∈N *)的解集中整数的个数为a n ，数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 100的值为________．[答案] 10 10015．《张丘建算经》卷上第22题——“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同．已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加________尺．[答案] 162916．如图5-1所示是毕达哥拉斯的生长程序：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方形，…，如此继续，若共得到1 023个正方形，设初始正方形的边长为22，则最小正方形的边长为________.【导学号：97190425】图5-1[答案] 132三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(2018·承德模拟)已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝16(a 2n ＋3a n ＋2)，n ∈N *. 【导学号：97190426】(1)求数列{a n }的通项公式．(2)若ak n ∈{a 1，a 2，…，a n ，…}，且ak 1，ak 2，…，ak n ，…成等比数列，当k 1＝1，k 2＝4时，求k n .[解] (1)a n ＝3n －2，n ∈N * (2)k n ＝10n －1＋23，n ∈N *18．(本小题满分12分)设数列{b n }的前n 项和为S n ，且b n ＝2－2S n ；数列{a n }为等差数列，且a 5＝14，a 7＝20.(1)求数列{b n }的通项公式．(2)若c n ＝a n ·b n (n ∈N *)，求数列{c n }的前n 项和T n . [解] (1)b n ＝23n (2)T n ＝72－12·3n －2－3n －13n 19．(本小题满分12分)(2015·山东高考)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知2S n ＝3n ＋3.(1)求数列{a n }的通项公式．(2)若数列{b n }满足a n b n ＝log 3a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . [解] (1)a n ＝⎩⎨⎧3，n ＝1，3n －1，n ≥2.(2)T n ＝1312－⎝⎛⎭⎪⎫2n ＋14×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －120．(本小题满分12分)(2015·全国卷Ⅰ)S n 为数列{a n }的前n 项和．已知a n ＞0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3.(1)求{a n }的通项公式．(2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和．[解] (1)a n ＝2n ＋1(2){b n }的前n 项和T n ＝n3(2n ＋3)21．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的前3项和为6，前8项和为－4. (1)求数列{a n }的通项公式．(2)设b n ＝(4－a n )q n －1(q ≠0，n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和S n . [解] (1)a n ＝4－n(2)S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n (n ＋1)2，q ＝1，nq n ＋1－(n ＋1)q n ＋1(q －1)2，q ≠1.22．(本小题满分12分)(2017·石家庄模拟)在数列{a n }中，a 1＝12，其前n 项和为S n ，并且S n ＝a n ＋1－12(n ∈N *)．(1)求a n ，S n .(2)设b n ＝log 2(2S n ＋1)－2，数列{c n }满足c n ·b n ＋3·b n ＋4＝1＋(n ＋1)(n ＋2)·2b n ，数列{c n }的前n 项和为T n ，求使4T n ＞2n ＋1－1504成立的最小正整数n 的值．[解] (1)由S n ＝a n ＋1－12，得S n －1＝a n －12(n ≥2)，两式作差得：a n ＝a n ＋1－a n ，即2a n ＝a n ＋1(n ≥2)，所以a n ＋1a n＝2(n ≥2)，因为a 1＝S 1＝a 2－12，所以a 2＝1，所以a 2a 1＝2，所以数列{a n }是首项为12，公比为2的等比数列，则a n ＝12·2n －1＝2n －2，S n ＝a n ＋1－12＝2n －1－12.(2)b n ＝log 2(2S n ＋1)－2＝log 22n －2＝n －2， 所以c n ·b n ＋3·b n ＋4＝1＋(n ＋1)(n ＋2)·2b n ， 即c n (n ＋1)(n ＋2)＝1＋(n ＋1)(n ＋2)·2n －2， c n ＝1(n ＋1)(n ＋2)＋2n －2＝1n ＋1－1n ＋2＋2n －2， T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2＋(2－1＋20＋…＋2n －2)＝12－1n ＋2＋12(1－2n)1－2＝12－1n ＋2－12＋2n －1＝2n －1－1n ＋2.由4T n ＞2n ＋1－1504，得 4⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －1－1n ＋2＞2n ＋1－1504， 即4n ＋2＜1504，n ＞2 014. 所以使4T n ＞2n ＋1－1504成立的最小正整数n 的值为2 015.。
第四节 数列求和课时作业 A 组——基础对点练1．数列{1＋2n －1}的前n 项和为( )A ．1＋2nB ．2＋2nC ．n ＋2n－1D ．n ＋2＋2n解析：由题意得a n ＝1＋2n －1，所以S n ＝n ＋1－2n1－2＝n ＋2n－1.答案：C2．(2018·长沙模拟)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n·(3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10等于( ) A ．15 B ．12 C ．－12D ．－15解析：∵a n ＝(－1)n(3n －2)，∴a 1＋a 2＋…＋a 10＝－1＋4－7＋10－…－25＋28＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋(－25＋28)＝3×5＝15. 答案：A3．在数列{a n }中，a n ＋1－a n ＝2，S n 为{a n }的前n 项和．若S 10＝50，则数列{a n ＋a n ＋1}的前10项和为( ) A ．100 B ．110 C ．120D ．130解析：{a n ＋a n ＋1}的前10项和为a 1＋a 2＋a 2＋a 3＋…＋a 10＋a 10＋a 11＝2(a 1＋a 2＋…＋a 10)＋a 11－a 1＝2S 10＋10×2＝120，故选C. 答案：C4．已知函数y ＝log a (x －1)＋3(a >0，a ≠1)的图象所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{a n }的第二项与第三项，若b n ＝1a n a n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 10＝( )A.911B ．1011C ．1D ．1211解析：对数函数y ＝log a x 的图象过定点(1,0)，∴函数y ＝log a (x －1)＋3的图象过定点(2,3)，则a 2＝2，a 3＝3，故a n ＝n ，∴b n ＝1a n a n ＋1＝1n －1n ＋1，∴T 10＝1－12＋12－13＋…＋110－111＝1－111＝1011，故选B.答案：B5.12＋12＋38＋…＋n2n 的值为__________． 解析：设S n ＝12＋222＋323＋…＋n2n ，①得12S n ＝122＋223＋…＋n －12n ＋n2n ＋1，② ①－②得，12S n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1 ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12－n 2n ＋1，∴S n ＝2n ＋1－n －22n ＝2－n ＋22n . 答案：2－n ＋22n6．(2018·山西四校联考)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n(n ∈N *)，则S 2 016＝________. 解析：∵数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n①，∴n ＝1时，a 2＝2，n ≥2时，a n ·a n －1＝2n －1②，∵①÷②得a n ＋1a n －1＝2，∴数列{a n }的奇数项、偶数项分别成等比数列，∴S 2 016＝1－21 0081－2＋2×1－21 0081－2＝3×21 008－3.答案：3×21 008－37．数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)na n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为________． 解析：当n ＝2k (k ∈N *)时，a 2k ＋1＋a 2k ＝4k －1， 当n ＝2k －1(k ∈N *)时，a 2k －a 2k －1＝4k －3， ∴a 2k ＋1＋a 2k －1＝2， ∴a 2k ＋3＋a 2k ＋1＝2， ∴a 2k －1＝a 2k ＋3， ∴a 1＝a 5＝…＝a 61.∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 60＝(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 60＋a 61)＝3＋7＋11＋…＋(2×60－1)＝30×3＋1192＝30×61＝1 830.答案：1 8308．已知数列{a n }满足a 1＋2a 2＋…＋na n ＝(n －1)2n ＋1＋2，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝1log 2a n ·log 2a n ＋2，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求证：对任意的n ∈N *，T n ＜34.解析：(1)当n ＞1时，a 1＋2a 2＋…＋na n ＝(n －1)2n ＋1＋2， ① a 1＋2a 2＋…＋(n －1)a n －1＝(n －2)2n ＋2， ②①－②得na n ＝(n －1)2n ＋1－(n －2)2n ＝n ·2n，所以a n ＝2n，n ＞1. 当n ＝1时，a 1＝2， 所以a n ＝2n，n ∈N *.(2)证明：因为a n ＝2n，所以b n ＝1log 2a n ·log 2a n ＋2＝1nn ＋2＝12(1n －1n ＋2)． 因此T n ＝12(1－13)＋12(12－14)＋12(13－15)＋…＋12(1n －1－1n ＋1)＋12(1n －1n ＋2)＝12(1＋12－1n ＋1－1n ＋2) ＝34－12(1n ＋1＋1n ＋2)＜34， 所以，对任意的n ∈N *，T n ＜34.9．(2018·河南八市质检)已知递增的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 6＝64，且a 4，a 5的等差中项为3a 3.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝na 2n －1，求数列{b n }的前n 项和T n .解析：(1)设等比数列{a n }的公比为q (q >0)，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 5＝64a 1q 3＋a 1q 4＝6a 1q 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2q ＝2，所以a n ＝2n. (2)因为b n ＝na 2n －1＝n22n －1，所以T n ＝12＋223＋325＋427＋…＋n22n －1，14T n ＝123＋225＋327＋…＋n －122n －1＋n22n ＋1， 所以34T n ＝12＋123＋125＋127＋…＋122n －1－n22n ＋1＝121－14n 1－14－n22n ＋1＝23－4＋3n3×22n ＋1， 故T n ＝89－16＋12n 9×22n ＋1＝89－4＋3n 9×22n －1.B 组——能力提升练1．(2018·皖西七校联考)在数列{a n }中，a n ＝2n－12n ，若{a n }的前n 项和S n ＝32164，则n ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：由a n ＝2n－12n ＝1－12n 得S n ＝n －⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋…＋12n ＝n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ，则S n ＝32164＝n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ，将各选项中的值代入验证得n ＝6. 答案：D2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，当n ≥2时，a n ＋2S n －1＝n ，则S 2 017的值为( ) A ．2 017 B ．2 016 C ．1 009D ．1 007解析：因为a n ＋2S n －1＝n ，n ≥2，所以a n ＋1＋2S n ＝n ＋1，n ≥1，两式相减得a n ＋1＋a n ＝1，n ≥2.又a 1＝1，所以S 2 017＝a 1＋(a 2＋a 3)＋…＋(a 2 016＋a 2 017)＝1 009，故选C. 答案：C3．对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，{a n }的“差数列”的通项公式为2n，则数列{a n }的前2 016项和S 2 016＝( ) A ．22 017－2 B ．22 017－1 C ．22 017D ．22 017＋1解析：由题意知a n ＋1－a n ＝2n，则a n －a n －1＝2n －1，a n －1－a n －2＝2n －2，…，a 3－a 2＝22，a 2－a 1＝2，累加求和得a n －a 1＝2n －1＋2n －2＋…＋22＋2＝21－2n －11－2＝2n－2，n ≥2，又a 1＝2，所以a n ＝2n，则数列{ a n }的前2 016项和S 2 016＝21－22 0161－2＝22 017－2.答案：A4．设S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，S 1，S 2，S 4成等比数列，且a 3＝－52，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫12n ＋1a n 的前n 项和T n ＝( ) A ．－n2n ＋1B ．n2n ＋1 C ．－2n2n ＋1D ．2n 2n ＋1解析：设{a n }的公差为d ，因为S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋d ＝2a 1＋a 3－a 12＝32a 1－54，S 4＝3a 3＋a 1＝a 1－152，S 1，S 2，S 4成等比数列，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫32a 1－542＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－152a 1，整理得4a 21＋12a 1＋5＝0，所以a 1＝－52或a 1＝－12.当a 1＝－52时，公差d ＝0不符合题意，舍去；当a 1＝－12时，公差d ＝a 3－a 12＝－1，所以a n ＝－12＋(n －1)×(－1)＝－n ＋12＝－12(2n －1)，所以12n ＋1a n＝－22n －12n ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，所以其前n 项和T n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝－2n2n ＋1，故选C. 答案：C5．已知数列{a n }满足a n ＋1＝12＋a n －a 2n ，且a 1＝12，则该数列的前2 016项的和等于__________．解析：因为a 1＝12，又a n ＋1＝12＋a n －a 2n ，所以a 2＝1，从而a 3＝12，a 4＝1，即得a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝2k －1k ∈N *，1，n ＝2k k ∈N *，故数列的前2 016项的和等于S 2 016＝1 008×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＝1 512. 答案：1 5126．数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，且b n ＝a n cos 2n π3，记S n 为数列{b n }的前n 项和，则S 120＝________.解析：由na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)得a n ＋1n ＋1＝a n n ＋1，所以数列{a n n }是以1为公差的等差数列，且a 11＝1，所以a n n ＝n ，即a n ＝n 2，所以b n ＝n 2cos 2n π3，所以S 120＝－12×12－12×22＋32－12×42－12×52＋62－…＋1202＝－12(12＋22－2×32＋42＋52－2×62＋…－2×1202)＝－12 [(12＋22＋32＋…＋1202)－3×(32＋62＋92＋…＋1202)]＝12×3×9×(12＋22＋…＋402)－12×(12＋22＋32＋…＋1202) ＝12×3×9×40×41×816－12×120×121×2416＝7 280. 答案：7 2807．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }是等比数列，满足a 1＝3，b 1＝1，b 2＋S 2＝10，a 5－2b 2＝a 3.(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)若c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2S n，n 为奇数，b n ，n 为偶数，设数列{c n }的前n 项和为T n ，求T 2n .解析：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q . ∵a 1＝3，b 1＝1，b 2＋S 2＝10，a 5－2b 2＝a 3，∴⎩⎪⎨⎪⎧q ＋3＋3＋d ＝10，3＋4d －2q ＝3＋2d ，∴d ＝2，q ＝2. ∴a n ＝2n ＋1，b n ＝2n －1.(2)由(1)知，S n ＝n 3＋2n ＋12＝n (n ＋2)，∴c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1n －1n ＋2，n 为奇数，2n －1，n 为偶数.∴T 2n ＝(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1)＋(21＋23＋25＋…＋22n －1)＝2n 2n ＋1＋24n－13. 8．已知数列{a n }满足a 12＋a 222＋a 323＋…＋a n2n ＝n 2＋n .(1)求数列{a n }的通项公式； (2)若b n ＝－1na n2，求数列{b n }的前n 项和S n .解析：(1)a 12＋a 222＋a 323＋…＋a n2n ＝n 2＋n ①，∴当n ≥2时，a 12＋a 222＋a 323＋…＋a n －12n －1＝(n －1)2＋n －1 ②，①－②得，a n2n ＝2n (n ≥2)，∴a n ＝n ·2n ＋1(n ≥2)．当n ＝1时，a 12＝1＋1，a 1＝4也适合，∴a n ＝n ·2n ＋1.(2)由(1)得，b n ＝－1na n2＝n (－2)n ，∴S n ＝1×(－2)1＋2×(－2)2＋3×(－2)3＋…＋n ×(－2)n③，－2S n ＝1×(－2)2＋2×(－2)3＋3×(－2)4＋…＋(n －1)×(－2)n ＋n ×(－2)n ＋1④，③－④得，3S n ＝(－2)＋(－2)2＋(－2)3＋…＋(－2)n －n ×(－2)n ＋1＝－2[1－－2n]3－n ×(－2)n ＋1，∴S n ＝－3n ＋1－2n ＋1＋29.。
第五章 数 列第1课时 数列的概念及其简单表示法一、 填空题1. 数列23，－45，67，－89，…的第10项是________．答案：－2021解析：所给数列呈现分数形式，且正负相间，求通项公式时，我们可以把符号、分母、分子每一部分进行分解，就很容易归纳出数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n ＋1·2n 2n ＋1，故a 10＝－2021.2. 已知数列{a n }满足a n ＋2＝a n ＋1－a n ，且a 1＝2，a 2＝3，则a 2 016的值为________． 答案：－1解析：由题意，得a 3＝a 2－a 1＝1，a 4＝a 3－a 2＝－2，a 5＝a 4－a 3＝－3，a 6＝a 5－a 4＝－1，a 7＝a 6－a 5＝2，∴ 数列{a n }是周期为6的周期数列．而2 016＝6×336，∴ a 2 016＝a 6＝－1.3. 数列7，9，11，…，2n －1的项数是_________. 答案：n －3解析：易知a 1＝7，d ＝2，设项数为m ，则2n －1＝7＋(m －1)×2，m ＝n －3.4. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ≠0(n∈N *)，又a n a n ＋1＝S n ，则a 3－a 1＝________． 答案：1解析：因为a n a n ＋1＝S n ，所以令n ＝1得a 1a 2＝S 1＝a 1，即a 2＝1.令n ＝2，得a 2a 3＝S 2＝a 1＋a 2，即a 3＝1＋a 1，所以a 3－a 1＝1.5. 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋1，则{a n }的通项公式为__________．答案：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4（n ＝1），2n ＋1（n≥2）解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝4；当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1，∴ a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4（n ＝1），2n ＋1（n≥2）.6. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －1(n ∈N *)，则a 5＝__________． 答案：16解析：当n ＝1时，S 1＝2a 1－1，∴ a 1＝1；当n≥2时，S n ＝2a n －1，S n －1＝2a n －1－1，则有 a n ＝2a n －2a n －1，∴ a n ＝2a n －1.∴ {a n }是等比数列，且a 1＝1，q ＝2，故a 5＝a 1×q 4＝24＝16.7. 若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式a n ＝________．答案：(－2)n －1解析：当n ＝1时，a 1＝1；当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝23a n －23a n －1，则a na n －1＝－2，得a n＝(－2)n －1.8. 设数列{a n }满足a 1＝a ，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋1(n∈N *)．若数列{a n }是常数列，则a ＝________.答案：－2解析：因为数列{a n }是常数列，所以a ＝a 2＝a 21－2a 1＋1＝a 2－2a ＋1，即a(a ＋1)＝a 2－2，解得a＝－2.9. 数列{a n }的前n 项积为n 2，那么当n≥2时，a n ＝________．答案：n2（n －1）2解析：设数列{a n }的前n 项积为T n ，则T n ＝n 2，当n≥2时，a n ＝T n T n －1＝n2（n －1）2.10. 数列{a n }满足：a 1＝1，且对任意的m ，n ∈N *都有a n ＋m ＝a n ＋a m ＋nm ，则a 100＝________． 答案：5 050解析：令m ＝1，则a n ＋1＝a n ＋1＋n ⇒a n ＋1－a n ＝n ＋1⇒a 100＝(a 100－a 99)＋(a 99－a 98)＋…＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＋a 1＝100＋99＋…＋2＋1＝5 050.二、 解答题11. 数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2－7n ＋6. (1) 这个数列的第4项是多少？(2) 150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？ (3) 该数列从第几项开始各项都是正数？解：(1) 当n ＝4时，a 4＝42－4×7＋6＝－6.(2) 令a n ＝150，即n 2－7n ＋6＝150，解得n ＝16或n ＝－9(舍去)，即150是数列的第16项．(3) 令a n ＝n 2－7n ＋6＞0，解得n ＞6或n ＜1(舍)，∴ 从第7项起各项都是正数．12. 已知数列{a n }满足前n 项和S n ＝n 2＋1，数列{b n }满足b n ＝2a n ＋1，且前n 项和为T n .设c n ＝T 2n ＋1－T n .(1) 求数列{b n }的通项公式； (2) 判断数列{c n }的增减性．解：(1) a 1＝2，a n ＝S n －S n －1＝2n －1(n≥2)，∴ b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧23（n ＝1），1n（n≥2）.(2) ∵ c n ＝b n ＋1＋b n ＋2＋…＋b 2n ＋1＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＋1， ∴ c n ＋1－c n ＝12n ＋2＋12n ＋3－1n ＋1＝12n ＋3－12n ＋2＝－1（2n ＋3）（2n ＋2）<0， ∴ c n ＋1<c n .∴ 数列{c n }为递减数列．13. 已知数列{a n }中，a n ＝1＋1a ＋2（n －1）(n∈N *，a ∈R ，且a≠0)．(1) 若a ＝－7，求数列{a n }中的最大项和最小项的值；(2) 若对任意的n∈N *，都有a n ≤a 6成立，求a 的取值范围．解：(1) ∵ a n ＝1＋1a ＋2（n －1）(n∈N *，a ∈R ，且a≠0)，又a ＝－7，∴ a n ＝1＋12n －9(n∈N *)．结合函数f(x)＝1＋12x －9的单调性，可知1>a 1>a 2>a 3>a 4，a 5>a 6>a 7>…＞a n >1(n∈N *)，∴ 数列{a n }中的最大项为a 5＝2，最小项为a 4＝0.(2) a n ＝1＋1a ＋2（n －1）＝1＋12n －2－a2，对任意的n∈N *，都有a n ≤a 6成立，结合函数f(x)＝1＋12x －2－a 2的单调性，可知5<2－a2<6，即－10<a<－8，即a 的取值范围是(－10，－8)．第2课时 等 差 数 列一、 填空题1. 在等差数列{a n }中，a 5＝33，公差d ＝3，则201是该数列的第________项． 答案：61解析：∵ a n ＝a 5＋(n －5)d ，∴ 201＝33＋3(n －5)，n ＝61.2. 已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，则a 20＝________． 答案：1 解析：∵ a 1＋a 3＋a 5＝105，即3a 3＝105，解得a 3＝35，同理a 2＋a 4＋a 6＝99，得a 4＝33.∵ d ＝a 4－a 3＝33－35＝－2，∴ a 20＝a 4＋(20－4)d ＝33＋16×(－2)＝1.3. 在等差数列{a n }中，已知a 2＋a 8＝11，则3a 3＋a 11的值为__________． 答案：22解析：3a 3＋a 11＝a 3＋a 3＋a 3＋a 11＝a 3＋a 2＋a 4＋a 11＝a 3＋a 2＋a 7＋a 8＝2(a 2＋a 8)＝11×2＝22.4. 若等差数列{a n }的前5项和S 5＝25，且a 4＝3，则a 7＝________． 答案：－3解析：S 5＝25⇒5（a 1＋a 5）2＝25⇒a 3＝5，所以d ＝a 4－a 3＝－2，a 7＝a 4＋(7－4)d ＝3－6＝－3.5. 在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n ＝8时，S n 取最大值，则d 的取值范围是________．答案：－1<d<－78解析：由题意得，a 8>0，a 9<0，所以7＋7d>0，7＋8d<0，即－1<d<－78.6. 若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9＞0，a 7＋a 10＜0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大．答案：8解析：由等差数列的性质，得a 7＋a 8＋a 9＝3a 8，a 8＞0，又a 7＋a 10＜0，所以a 8＋a 9＜0，所以a 9＜0，所以S 8＞S 7，S 8＞S 9，故数列{a n }的前8项和最大．7. 若一个等差数列{a n }的前3项和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有________项．答案：13 解析：a 1＋a 2＋a 3＋a n －2＋a n －1＋a n ＝34＋146＝180，所以3(a 1＋a n )＝180，即a 1＋a n ＝60.由S n ＝390，知n （a 1＋a n ）2＝390，所以n×602＝390，解得n ＝13.8. 记等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝2，且数列{S n }也为等差数列，则a 13的值为________．答案：50 解析：数列{S n }为等差数列，得S 1＋S 3＝2S 2，即2＋6＋3d ＝24＋d ，则d ＝4，a 13 ＝a 1＋12d ＝50.9. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3S 6＝13，则S 6S 12＝________．答案：310解析： 由等差数列的求和公式可得S 3S 6＝3a 1＋3d 6a 1＋15d ＝13，可得a 1＝2d ，且d≠0，所以S 6S 12＝6a 1＋15d 12a 1＋66d ＝27d 90d ＝310.10. 在等差数列{a n }中，a 2＝5，a 6＝21，记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，若S 2n ＋1－S n ≤m15对n∈N *恒成立，则正整数m 的最小值为________．答案：5解析：由a 2＝5，a 6＝21易得等差数列{a n }的通项公式为a n ＝4n －3，所以1a n ＝14n －3.故S 2n ＋1－S n ＝1a 2n ＋1＋1a 2n ＋1a 2n －1＋…＋1a n ＋2＋1a n ＋1.设T n ＝S 2n ＋1－S n ，则T n ＋1＝S 2(n ＋1)＋1－S n ＋1＝S 2n ＋3－S n ＋1，所以T n ＋1－T n ＝(S 2n ＋3－S n ＋1)－(S 2n ＋1－S n )＝(S 2n ＋3－S 2n ＋1)－(S n ＋1－S n )＝1a 2n ＋3＋1a 2n ＋2－1a n ＋1＝14（2n ＋3）－3＋14（2n ＋2）－3－14（n ＋1）－3 ＝18n ＋9＋18n ＋5－14n ＋1<18n ＋2＋18n ＋2－14n ＋1＝28n ＋2－14n ＋1＝0. 所以T n ＋1－T n <0，即T n ＋1<T n .故T n ＝S 2n ＋1－S n 随n 的增大而减小，所以若S 2n ＋1－S n ≤m15对n∈N *恒成立，即(S 2n ＋1－S n )max ＝S 3－S 1＝1a 3＋1a 2＝19＋15＝1445≤m 15.由1445≤m 15得m≥143，所以正整数m 的最小值为5.二、 解答题11. 在等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3. (1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值． 解：(1) 设等差数列{a n }的公差为d ，由a 1＝1，a 3＝－3，可得1＋2d ＝－3，解得d ＝－2. 从而a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n. (2) 由(1)可知a n ＝3－2n.所以S n ＝n[1＋（3－2n ）]2＝2n －n 2.由S k ＝－35，可得2k －k 2＝－35，即k 2－2k －35＝0，解得k ＝7或k ＝－5.又k∈N *，故k ＝7.12. 设a 1，d 为实数，首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 5S 6＋15＝0.(1) 若S 5＝5，求S 6及a 1； (2) 求d 的取值范围．解：(1) 由题意知S 6＝－15S 5＝－3，a 6＝S 6－S 5＝－8，所以⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋10d ＝5，a 1＋5d ＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝7，d ＝－3，因此S 6＝－3，a 1＝7.(2) 因为S 5S 6＋15＝0，所以(5a 1＋10d)(6a 1＋15d)＋15＝0，即2a 21＋9da 1＋10d 2＋1＝0.故(4a 1＋9d)2＝d 2－8，所以d 2≥8.故d 的取值范围是d≤－22或d≥2 2. 13. 在等差数列{a n }中，公差d ＞0，前n 项和为S n ，a 2·a 3＝45，a 1＋a 5＝18. (1) 求数列{a n }的通项公式．(2) 令b n ＝S n n ＋c(n∈N *)，是否存在一个非零常数c ，使数列{b n }也为等差数列？若存在，求出c 的值；若不存在，请说明理由．解：(1) 由题设，知{a n }是等差数列，且公差d ＞0，则由⎩⎪⎨⎪⎧a 2a 3＝45，a 1＋a 5＝18，得⎩⎪⎨⎪⎧（a 1＋d ）（a 1＋2d ）＝45，a 1＋（a 1＋4d ）＝18，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4.∴ a n ＝4n －3(n∈N *)．(2) 由b n ＝S n n ＋c ＝n （1＋4n －3）2n ＋c ＝2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12n ＋c.∵ c ≠0，∴ 可令c ＝－12，得到b n ＝2n.∵ b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)－2n ＝2(n∈N *)， ∴ 数列{b n }是公差为2的等差数列．即存在一个非零常数c ＝－12，使数列{b n }也为等差数列．第3课时 等 比 数 列一、 填空题1. 等比数列{a n }的公比大于1，a 5－a 1＝15，a 4－a 2＝6，则a 3＝________． 答案：4解析：由a 5－a 1＝15，a 4－a 2＝6(q>1)，得q ＝2，a 1＝1，则a 3＝4.2. 设等比数列{a n }的公比q ＝12，前n 项和为S n ，则S 4a 4＝________．答案：15解析：S 4＝a 1（1－q 4）1－q ，a 4＝a 1q 3，所以S 4a 4＝1－q 4q 3（1－q ）＝15.3. 在各项均为正数的等比数列{a n }中，若log 2a 2＋log 2a 8＝1，则a 3a 7＝________． 答案：2解析：由log 2a 2＋log 2a 8＝1得log 2(a 2a 8)＝1，所以a 2a 8＝2，由等比数列性质可得a 3a 7＝a 2a 8＝2.4. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1，2a 2，a 3依次成等差数列，若a 1＝1，则S 5＝________ .答案：31解析：因为4a 1，2a 2，a 3依次成等差数列，4a 2＝4a 1＋a 3，所以4a 1q ＝4a 1＋a 1q 2，所以q＝2.又a 1＝1，所以S 5＝a 1（1－q 5）1－q＝31.5. 设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若a 5＋2a 10＝0，则S 20S 10的值是________．答案：54解析：当q ＝1时，a 5＝a 10＝0不合题意，∴ 公比q≠1.∴ q 5＝a 10a 5＝－12，因而S 20S 10＝1－q 201－q 10＝1＋q 10＝1＋14＝54.6. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯________盏．答案：3 解析：设塔的顶层共有灯x 盏，则各层的灯数构成一个首项为x ，公比为2的等比数列，结合等比数列的求和公式有：x×（1－27）1－2＝381，解得x ＝3，即塔的顶层共有灯3盏．7. 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝7，S 6＝63，则a 7＋a 8＋a 9＝__________． 答案：448解析：由S 3＝7，S 6＝63，得a 1＋a 2＋a 3＝7，7＋a 4＋a 5＋a 6＝63，则a 4＋a 5＋a 6＝(a 1＋a 2＋a 3)q 3＝56，q 3＝8，a 7＋a 8＋a 9＝(a 4＋a 5＋a 6)q 3＝56×8＝448.8. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝2a 2＋3，S 3＝2a 3＋3，则公比q 的值为________．答案：2解析：∵ S 2＝2a 2＋3，S 3＝2a 3＋3，∴ a 1＝a 1q ＋3，a 1(1＋q)＝a 1q 2＋3，∴ q 2－2q ＝0，q ≠0，则公比q ＝2.9. 在等比数列{a n }中，已知a 1＝1，a 4＝8，设S 3n 为该数列的前3n 项和，T n 为数列{a 3n }的前n 项和．若S 3n ＝tT n ，则实数t 的值为________．答案：7解析： ∵a 4＝a 1q 3＝q 3＝8，∴ q ＝2，S 3n ＝1－23n1－2＝8n －1.由题意知，数列{a 3n }是首项为1，公比为8的等比数列，∴T n ＝1－8n1－8＝17(8n－1)．由S 3n ＝tT n ，得t ＝7.10. 在正项等比数列{a n }中，若a 4＋a 3－2a 2－2a 1＝6，则a 5＋a 6的最小值为________． 答案：48解析：设 a 2＋a 1＝x ，等比数列的公比为q ，则a 4＋a 3 ＝xq 2，a 5＋a 6 ＝xq 4.再由a 4＋a 3－2a 2－2a 1＝6，得 xq 2＝6＋2x ，∴ x ＝6q 2－2＞0，q ＞1.∴ a 5＋a 6 ＝xq 4＝6q 4q 2－2＝6⎝⎛⎭⎪⎫q 2－2＋4q 2－2＋4≥6×(4＋4)＝48，当且仅当q 2－2＝2时，等号成立，故a 5＋a 6的最小值为48.二、 解答题11. 已知{a n }是首项为a 1，公比q 为正数(q≠1)的等比数列，其前n 项和为S n ，且5S 2＝4S 4.(1) 求q 的值．(2) 设b n ＝q ＋S n ，请判断数列{b n }能否为等比数列？若能，请求出a 1的值；若不能，请说明理由．解：(1) 由题意知，5S 2＝4S 4，∴ 5a 1（1－q 2）1－q ＝4a 1（1－q 4）1－q.∵ a 1≠0，q>0，且q≠1，∴ 4q 4－5q 2＋1＝0，解得q ＝12.(2) ∵ S n ＝a 1（1－q n）1－q ＝2a 1－a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，∴ b n ＝q ＋S n ＝12＋2a 1－a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.∴ 当且仅当12＋2a 1＝0，即a 1＝－14时，b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1为等比数列，∴ {b n }能为等比数列，此时a 1＝－14.12. 已知等差数列{a n }的公差d 不为0，且ak 1，ak 2，…，ak n ，…(k 1＜k 2＜…＜k n ＜…)成等比数列，公比为q.(1) 若k 1＝1，k 2＝3，k 3＝8，求a 1d的值；(2) 当a 1d为何值时，数列{k n }为等比数列．解：(1) 由已知可得a 1，a 3，a 8成等比数列，所以(a 1＋2d)2＝a 1(a 1＋7d)，整理可得，4d 2＝3a 1d.因为d≠0，所以a 1d ＝43.(2) 设数列{k n }为等比数列，则k 22＝k 1k 3.又ak 1，ak 2，ak 3成等比数列，所以[a 1＋(k 1－1)d][a 1＋(k 3－1)d]＝[a 1＋(k 2－1)d]2.整理，得a 1(2k 2－k 1－k 3)＝d(k 1k 3－k 22－k 1－k 3＋2k 2)．因为k 22＝k 1k 3，所以a 1(2k 2－k 1－k 3)＝d(2k 2－k 1－k 3)．因为2k 2≠k 1＋k 3，所以a 1＝d ，即a 1d＝1.当a 1d＝1时，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝nd ，所以ak n ＝k n d. 因为ak n ＝ak 1q n －1＝k 1dq n －1，所以k n ＝k 1q n －1.所以k n ＋1k n ＝k 1q nk 1qn －1＝q ，数列{k n }为等比数列．综上，当a 1d＝1时，数列{k n }为等比数列．13. (2017·苏州期中)已知等比数列{a n }的公比q>1，且满足a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项．(1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 若b n ＝a n log 12a n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求使S n ＋n·2n ＋1>62成立的正整数n 的最小值．解：(1) ∵ a 3＋2是a 2，a 4的等差中项， ∴ 2(a 3＋2)＝a 2＋a 4，代入a 2＋a 3＋a 4＝28，可得a 3＝8， ∴ a 2＋a 4＝20，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝8，a 1q ＋a 1q 3＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝32，q ＝12. ∵ q>1，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝2，∴ 数列{a n }的通项公式为a n ＝2n.(2) ∵ b n ＝a n log 12a n ＝2n log 122n ＝－n·2n，∴ S n ＝－(1×2＋2×22＋…＋n·2n) ①，2S n ＝－(1×22＋2×23＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1) ②，②－①得，S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n·2n ＋1＝2（1－2n）1－2－n·2n ＋1＝2n ＋1－2－n·2n ＋1.∵ S n ＋n·2n ＋1>62，∴ 2n ＋1－2>62，∴ n ＋1>6，n>5，∴ 使S n ＋n·2n ＋1>62成立的正整数n 的最小值为6.第4课时 数列的求和 一、 填空题1. 在数列{a n }中，若a 1＝－2，且对任意的n∈N *有2a n ＋1＝1＋2a n ，则数列{a n }前10项的和为________．答案：52解析：由2a n ＋1＝1＋2a n 得a n ＋1－a n ＝12，所以数列{a n }是首项为－2，公差为12的等差数列，所以S 10＝10×(－2)＋10×（10－1）2×12＝52.2. 已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n－12n ，其前n 项和S n ＝32164，则项数n ＝________．答案：6解析：∵ a n ＝1－12n ，∴ S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－18＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＝n －(12＋14＋18＋…＋12n )＝n －12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝n －1＋12n .由S n ＝32164＝n －1＋12n ，可得出n ＝6. 3. 数列112，314，518，7116，…，(2n －1)＋12n ，…的前n 项和S n ＝________．答案：n 2＋1－12n解析：该数列的通项公式为a n ＝(2n －1)＋12n ，则S n ＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋(12＋122＋…＋12n )＝n 2＋1－12n .4. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前100项和为________．答案：100101解析：∵ a 5＝5，S 5＝15，∴ 5（a 1＋a 5）2＝15，则a 1＝1，∴ d ＝a 5－a 14＝1，∴ a n ＝n ，∴ 1a n a n ＋1＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1.设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和为T n ，则 T 100＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1100－1101＝1－1101＝100101.5. 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－6n ，则{|a n |}的前n 项和T n ＝__________．答案：⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 2（1≤n≤3），n 2－6n ＋18（n>3）解析：由S n ＝n 2－6n 得{a n }是等差数列，且首项为－5，公差为2，∴ a n ＝－5＋(n －1)×2＝2n －7，∴ 当n≤3时，a n <0；当n>3时，a n >0，∴ T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 2（1≤n≤3），n 2－6n ＋18（n>3）.6. 数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n －1·n ，则S 17＝________． 答案：9解析：S 17＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋15－16＋17＝1＋(－2＋3)＋(－4＋5)＋(－6＋7)＋…＋(－14＋15)＋(－16＋17)＝1＋1＋1＋…＋1＝9.7. 已知数列{a n }：12，13＋23，14＋24＋34，…，110＋210＋310＋…＋910，….若b n ＝1a n a n ＋1，那么数列{b n }的前n 项和S n ＝________．答案：4nn ＋1解析：∵ a n ＝1＋2＋3＋…＋n n ＋1＝n2，∴ b n ＝1a n a n ＋1＝4n （n ＋1）＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，∴ S n ＝4[⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1]＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝4n n ＋1. 8. 已知数列{a n }满足a n ＋2＝－a n (n∈N ＋)，且a 1＝1，a 2＝2，则数列{a n }的前2 014项的和为________．答案：3解析：∵ a n ＋2＝－a n ＝－(－a n －2)，n ＞2，∴ 数列{a n }是以4为周期的周期数列．S 2 014＝503(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋a 2 013＋a 2 014＝503(a 1＋a 2－a 1－a 2)＋a 503×4＋1＋a 503×4＋2＝a 1＋a 2＝3.9. 设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n∈N *)，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和为________．答案：2011解析：∵ a 1＝1，a n ＋1－a n ＝n ＋1，∴ a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n.将以上n－1个式子相加得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）－22，即a n ＝n （n ＋1）2.令b n ＝1a n，故b n ＝2n （n ＋1）＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，故S 10＝b 1＋b 2＋…＋b 10＝2×(1－12＋12－13＋…＋110－111)＝2011. 二、 解答题10. 已知数列{a n }的通项a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6n －5（n 为奇数），2n （n 为偶数），求其前n 项和S n .解：奇数项组成以a 1＝1为首项，公差为12的等差数列，偶数项组成以a 2＝4为首项，公比为4的等比数列；当n 为奇数时，奇数项有n ＋12项，偶数项有n －12项，∴ S n ＝n ＋12（1＋6n －5）2＋4（1－4n －12）1－4＝（n ＋1）（3n －2）2＋4（2n －1－1）3；当n 为偶数时，奇数项和偶数项分别有n2项，∴ S n ＝n 2（1＋6n －5）2＋4（1－4n 2）1－4＝n （3n －2）2＋4（2n －1）3，∴ S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧（n ＋1）（3n －2）2＋4（2n －1－1）3（n 为奇数），n （3n －2）2＋4（2n－1）3（n 为偶数）. 11. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝2S 2＋4，a 5＝36. (1) 求a n ，S n ；(2) 设b n ＝S n －1(n∈N *)，T n ＝1b 1＋1b 2＋1b 3＋…＋1b n，求T n .解：(1) 因为S 3＝2S 2＋4，所以a 1－d ＝－4.因为a 5＝36，所以a 1＋4d ＝36，解得d ＝8，a 1＝4，所以a n ＝4＋8(n －1)＝8n －4，S n ＝n （4＋8n －4）2＝4n 2.(2) 因为b n ＝4n 2－1＝(2n －1)(2n ＋1)，所以1b n ＝1（2n －1）（2n ＋1）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，T n ＝1b 1＋1b 2＋1b 3＋…＋1b n＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1.12. 已知数列{a n }是首项为a 1＝14，公比为q ＝14的等比数列，设b n ＋2＝3log 14a n (n∈N *)，数列{c n }满足c n ＝a n ·b n .(1) 求数列{b n }的通项公式； (2) 求数列{c n }的前n 项和S n .解：(1) 由题意，知a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14n (n∈N *)．又b n ＝3log 14a n －2，故b n ＝3n －2(n∈N *)．(2) 由(1)知a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ，b n ＝3n －2(n∈N *)，所以c n ＝(3n －2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n (n∈N *)，所以S n ＝1×14＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋7×⎝ ⎛⎭⎪⎫143＋…＋(3n －5)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1＋(3n －2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ，于是14S n ＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫143＋7×⎝ ⎛⎭⎪⎫144＋…＋(3n －5)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＋(3n －2)×(14)n ＋1，两式相减，得34S n ＝14＋3[(14)2＋(14)3＋…＋(14)n ]－(3n －2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＋1＝12－(3n ＋2)×(14)n ＋1，所以S n ＝23－3n ＋23×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n (n∈N *)．13. 在等差数列{a n }中，已知公差d ＝2，a 2是a 1与a 4的等比中项． (1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 设b n ＝a n （n ＋1）2，记T n ＝－b 1＋b 2－b 3＋b 4－…＋(－1)nb n ，求T n .解：(1) 由题意知(a 1＋d)2＝a 1(a 1＋3d)，即(a 1＋2)2＝a 1(a 1＋6)，解得a 1＝2， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n.(2) 由题意知b n ＝a n （n ＋1）2＝n(n ＋1)，则b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)，所以T n ＝－1×2＋2×3－3×4＋…＋(－1)nn ×(n ＋1)． 当n 为偶数时，T n ＝(－b 1＋b 2)＋(－b 3＋b 4)＋…＋(－b n －1＋b n )＝4＋8＋12＋…＋2n ＝n2（4＋2n ）2＝n （n ＋2）2，当n 为奇数时，T n ＝T n －1＋(－b n )＝（n －1）（n ＋1）2－n(n ＋1)＝－（n ＋1）22，所以T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－（n ＋1）22，n 为奇数，n （n ＋2）2，n 为偶数.第5课时 数列的综合应用一、 填空题1. 在等差数列{a n }中，满足3a 4＝7a 7，且a 1＞0，S n 是数列{a n }的前n 项和，若S n 取得最大值，则n ＝________．答案：9解析：设公差d ，由题设知3(a 1＋3d)＝7(a 1＋6d)，得d ＝－433a 1＜0，解不等式a n ＞0，即a 1＋(n －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－433a 1＞0，解得n ＜374，则n≤9时，a n ＞0，同理可得n≥10时，a n ＜0，故当n ＝9时，S n 取得最大值．2. 在等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3，2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8＝________．答案：3＋2 2解析：∵ a 1，12a 3，2a 2成等差数列，∴ 2×12a 3＝a 1＋2a 2，即a 3＝a 1＋2a 2.设等比数列{a n }的公比为q 且q ＞0，则a 3＝a 1q 2，a 2＝a 1q ，∴ a 1q 2＝a 1＋2a 1q ，∴ q 2＝1＋2q ，解得q ＝1＋2或1－2(舍)，∴a 9＋a 10a 7＋a 8＝a 9（1＋q ）a 7（1＋q ）＝q 2＝(2＋1)2＝3＋2 2.3. 在数列{a n }中，S n 是其前n 项和，且S n ＝2a n ＋1，则数列的通项公式a n ＝________．答案：a n ＝－2n －1解析：依题意得S n ＋1＝2a n ＋1＋1，S n ＝2a n ＋1，两式相减得S n ＋1－S n ＝2a n ＋1－2a n ，即a n ＋1＝2a n .又S 1＝2a 1＋1＝a 1，所以a 1＝－1，所以数列{a n }是以a 1＝－1为首项，2为公比的等比数列，所以a n ＝－2n －1.4. 等差数列{a n }的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }前6项的和为________．答案：－24解析：设等差数列的公差为d ，由a 2，a 3，a 6成等比数列可得a 23＝a 2a 6，即(1＋2d)2＝(1＋d)(1＋5d)，整理可得d 2＋2d ＝0.因为公差不为0，所以d ＝－2，数列的前6项和为S 6＝6a 1＋6×（6－1）2d ＝6×1＋6×（6－1）2×(－2)＝－24.5. 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3，S 9，S 6成等差数列，且a 2＋a 5＝4，则a 8的值为________．答案：2解析：∵ 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3，S 9，S 6成等差数列，且a 2＋a 5＝4，∴ q ≠1，⎩⎪⎨⎪⎧2×a 1（1－q 9）1－q ＝a 1（1－q 3）1－q ＋a 1（1－q 6）1－q ，a 1q ＋a 1q 4＝4，解得a 1q ＝8，q 3＝－12，∴ a 8＝a 1q 7＝(a 1q)(q 3)2＝8×14＝2.6. 在等差数列{a n }中，已知首项a 1＞0，公差d ＞0.若a 1＋a 2≤60，a 2＋a 3≤100，则5a 1＋a 5的最大值为________．答案：200解析：由a 1＋a 2≤60，a 2＋a 3≤100得2a 1＋d≤60，2a 1＋3d≤100，a 1＞0，d ＞0.由线性规划的知识得5a 1＋a 5＝6a 1＋4d ，过点(20，20)时，取最大值为200.7. 设正项数列{a n }的前n 项和是S n ，{a n }和{S n }都是等差数列，则S n ＋10a n的最小值是____________．答案：21解析：由题设知S n ＝⎝⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ＋d 2n 2.又S n 为等差数列，从而a 1＝d 2，从而a n ＝a 1＋(n －1)d ＝d ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12，S n ＝d 2n 2，∴ S n ＋10a n ＝d 2（n ＋10）2d ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12＝（n ＋10）22⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12＝（n ＋10）22n －1.令2n －1＝t(t≥1)，原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋12＋102t ＝14·⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋441t ＋42≥14·⎝ ⎛⎭⎪⎫2t ·441t ＋42＝21，从而当t ＝21，即n ＝11时，原式取到最小值21.8. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”问此人第4天和第5天共走了________里．答案：36解析：由题意知，此人每天走的里数构成公比为12的等比数列，设等比数列的首项为a 1，则有a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1261－12＝378，解得a 1＝192，所以a 4＝192×18＝24，a 5＝24×12＝12，a 4＋a 5＝24＋12＝36，所以此人第4天和第5天共走了36里．9. 已知{a n }，{b n }均为等比数列，其前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意的n∈N *，总有S n T n＝3n＋14，则a 3b 3＝________．答案：9解析：设{a n }，{b n }的公比分别为q ，q ′，∵ S n T n ＝3n＋14，∴ 当n ＝1时，a 1＝b 1.当n ＝2时，a 1＋a 1q b 1＋b 1q ′＝52.当n ＝3时，a 1＋a 1q ＋a 1q2b 1＋b 1q ′＋b 1q ′2＝7，∴ 2q －5q′＝3，7q ′2＋7q′－q 2－q ＋6＝0，解得q ＝9，q ′＝3，∴ a 3b 3＝a 1q 2b 1q ′2＝9.10. 现有一根n 节的竹竿，自上而下每节的长度依次构成等差数列，最上面一节长为10 cm ，最下面的三节长度之和为114 cm ，第6节的长度是首节与末节长度的等比中项，则n ＝________．答案：16解析：设每节竹竿的长度对应的数列为{a n }，公差为d(d ＞0)．由题意知a 1＝10，a n ＋a n －1＋a n －2＝114，a 26＝a 1a n .由a n ＋a n －1＋a n －2＝114，得3a n －1＝114，解得a n －1＝38，∴ (a 1＋5d)2＝a 1(a n －1＋d)，即(10＋5d)2＝10(38＋d)，解得d ＝2，∴a n －1＝a 1＋(n －2)d ＝38，即10＋2(n －2)＝38，解得n ＝16.二、 解答题11. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，且a 1，a 2＋5，a 3成等差数列． (1) 求a 1，a 2的值；(2) 求证：数列{a n ＋2n}是等比数列，并求数列{a n }的通项公式． (1) 解：由已知，得2a 1＝a 2－3 ①， 2(a 1＋a 2)＝a 3－7 ②，又a 1，a 2＋5，a 3成等差数列， 所以a 1＋a 3＝2a 2＋10 ③， 解①②③，得a 1＝1，a 2＝5.(2) 证明：由已知，n ∈N *时，2(S n ＋1－S n )＝a n ＋2－a n ＋1－2n ＋2＋2n ＋1，即a n ＋2＝3a n ＋1＋2n ＋1，即a n ＋1＝3a n ＋2n(n≥2)，由(1)得，a 2＝3a 1＋2，∴ a n ＋1＝3a n ＋2n (n∈N *)，从而有a n ＋1＋2n ＋1＝3a n ＋2n ＋2n ＋1＝3a n ＋3×2n ＝3(a n ＋2n)．又a 1＋2＞0，∴ a n ＋2n＞0，∴ a n ＋1＋2n ＋1a n ＋2n ＝3，∴ 数列{a n ＋2n}是等比数列，且公比为3，∴ a n ＋2n ＝(a 1＋2)×3n －1＝3n ，即a n ＝3n －2n. 12. 商学院为推进后勤社会化改革，与桃园新区商定，由该区向建设银行贷款500万元在桃园新区为学院建一栋可容纳一千人的学生公寓，工程于2017年初动工，年底竣工并交付使用，公寓管理处采用收费偿还建行贷款形式(年利率5%，按复利计算)，公寓所收费用除去物业管理费和水电费18万元，其余部分全部用于年底还建行贷款．(1) 若公寓收费标准定为每生每年800元，问到哪一年可偿还建行全部贷款？(2) 若公寓管理处要在2025年年底把贷款全部还清，则每生每年的最低收费标准是多少元(精确到元)？(参考数据：lg 1.734 3≈0.239 1，lg 1.05≈0.021 2，1.058≈1.477 4)解：(1) 设公寓投入使用后n 年可偿还全部贷款，则公寓每年收费总额为1 000×800＝800 000(元)＝80万元，扣除18万元，可偿还贷款62万元．依题意有62[1＋(1＋5%)＋(1＋5%)2＋…＋(1＋5%)n －1]≥500(1＋5%)n ＋1，化简得62(1.05n－1)≥25×1.05n ＋1，∴ 1.05n≥1.734 3.两边取对数并整理得 n ≥lg 1.734 3lg 1.05≈0.239 10.021 2≈11.28，∴ 当取n ＝12时，即到2029年底可全部还清贷款．(2) 设每生每年的最低收费标准为x 元，因到2025年底公寓共使用了8年，依题意有⎝ ⎛⎭⎪⎫1 000x 10 000－18[1＋(1＋5%)＋(1＋5%)2＋…＋(1＋5%)7]≥500(1＋5%)9.化简得(0.1x －18)×1.058－11.05－1≥500×1.059，解得x≥992，∴ 每生每年的最低收费标准为992元．13. 已知数列{a n }，{b n }满足2S n ＝(a n ＋2)b n ，其中S n 是数列{a n }的前n 项和．(1) 若数列{a n }是首项为23，公比为－13的等比数列，求数列{b n }的通项公式；(2) 若b n ＝n ，a 2＝3，求数列{a n }的通项公式；(3) 在(2)的条件下，设c n ＝a nb n，求证：数列{c n }中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积．(1) 解：因为a n ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n －1＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n ，S n ＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n ，所以b n ＝2S n a n ＋2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n －2⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n ＋2＝12.(2) 解：若b n ＝n ，则2S n ＝na n ＋2n ， 所以2S n ＋1＝(n ＋1)a n ＋1＋2(n ＋1)，两式相减得2a n ＋1＝(n ＋1)a n ＋1－na n ＋2，即na n ＝(n －1)a n ＋1＋2.当n≥2时，(n －1)a n －1＝(n －2)a n ＋2，两式相减得(n －1)a n －1＋(n －1)a n ＋1＝2(n －1)a n ， 即a n －1＋a n ＋1＝2a n .由2S 1＝a 1＋2，得a 1＝2，又a 2＝3，所以数列{a n }是首项为2，公差为3－2＝1的等差数列， 故数列{a n }的通项公式是a n ＝n ＋1.(3) 证明：由(2)得c n ＝n ＋1n，对于给定的n∈N *，若存在k ，t ≠n ，k ，t ∈N *，使得c n＝c k ·c t ，只需n ＋1n ＝k ＋1k ·t ＋1t ，即1＋1n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋1k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1t ，即1n ＝1k ＋1t ＋1kt ，则t ＝n （k ＋1）k －n ， 取k ＝n ＋1，则t ＝n(n ＋2)，所以对数列{c n }中的任意一项c n ＝n ＋1n ，都存在c n ＋1＝n ＋2n ＋1和c n2＋2n ＝n 2＋2n ＋1n 2＋2n，使得c n ＝c n ＋1·c n2＋2n .。
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第五单元数列小题必刷卷（八）数列题组一真题集训1。
［2017·浙江卷]已知等差数列｛a n}的公差为d,前n项和为S n,则“d>0”是“S4+S6〉2S5”的（）A。
充分不必要条件B。
必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.［2017·全国卷Ⅰ]记S n为等差数列{a n}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则{a n}的公差为（)A.1B.2C.4 D。
83.[2017·全国卷Ⅱ］我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增，共灯三百八十一,请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯()A.1盏 B。
3盏C.5盏D.9盏4。
［2017·全国卷Ⅲ]等差数列{a n}的首项为1,公差不为0。
若a2,a3,a6成等比数列,则{a n｝前6项的和为(）A。
-24 B。
—3C。
3 D.85.［2015·浙江卷］已知｛a n｝是等差数列，公差d不为零，前n项和是S n.若a3,a4，a8成等比数列,则（)A。
a1d>0，dS4〉0 B.a1d<0,dS4〈0C。
a1d>0，dS4<0 D。
a1d<0,dS4>06.［2013·全国卷Ⅰ]设△A n B n C n的三边长分别为a n，b n，c n，△A n B n C n的面积为S n，n=1,2，3，….若b1〉c1,b1+c1=2a1，a n+1=a n,b n+1=，c n+1=,则()A.｛S n}为递减数列B.｛S n}为递增数列C。
第五单元数列课时作业(二十八)第28讲数列的概念与简单表示法基础热身1.在数列中,a1=1,a n+1=2a n+1(n∈N*),则a4的值为()A.31B.30C.15D.632.[2017·天门三校月考]数列-1,4,-9,16,-25,…的一个通项公式为()A.a n=n2B.a n=·n2C.a n=·n2D.a n=·(n+1)23.数列0,2,6,14,30,…的第6项为()A.60B.62C.64D.944.[2017·吉林一中月考]数列{a n}的通项公式为a n=3n2-28n,则数列{a n}的最小项是第项.5.[2017·衡阳期末]在数列中,其前n项和为S n,且满足S n=n2+n(n∈N*),则a n= .能力提升6.[2017·保定二模]在数列中,其前n项和为S n,且S n=a n,则的最大项的值为()A.-3B.-1C.3D.17.在数列{a n}中a1=3,(3n+2)a n+1=(3n-1)a n (n≥1),则a n=()A.B.C.D.8.在数列{a n}中,a1=3,a2=6,a n+2=a n+1-a n,则a2018=()A.-6B.-3C.3D.69.[2017·郑州一中模拟]已知数列{a n}满足a n=8+(n∈N*).若数列{a n}的最大项和最小项分别为M和m,则M+m= ()A.B.C.D.10.已知数列,满足a1=b1=1,a n+1=a n+2b n,b n+1=a n+b n,则下列结论中正确的是()A.只有有限个正整数n使得a n<b nB.只有有限个正整数n使得a n>b nC.数列是递增数列D.数列是递减数列11.[2018·江西省宜春三中月考]设数列的前n项和为S n,若a1=1,a n+1=S n(n∈N*),则通项公式a n= .12.已知函数f=记a n=f(n∈N*),若是递减数列,则实数t的取值范围是.13.[2017·锦州质检]已知数列满足a1=1,a n-a n+1=,n∈N*,则a n= .14.(10分)[2018·六盘山高级中学月考]设等差数列{a n}的前n项和为S n,已知a3=24,S11=0.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)求数列{a n}的前n项和S n,并求使得S n取得最大值时n的值.15.(13分)[2017·信阳质检]已知数列满足a2=,且a n+1=3a n-1.(1)求数列的通项公式以及数列的前n项和S n的表达式;(2)若不等式≤m对任意的n∈N*恒成立,求实数m的取值范围.难点突破16.(12分)[2018·宜春三中月考]设a1=2,a2=4,数列{b n}满足b n+1=2b n+2,且a n+1-a n=b n.(1)求证:数列{b n+2}是等比数列;(2)求数列{a n}的通项公式.加练一课(四) 递推数列的通项的求法一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.[2017·遵义航天高级中学月考]数列满足a1=1,a n+1=2a n-1,则a n=()A.1B.2n-1C.nD.-12.已知数列{a n}对任意的p,q∈N*满足a p+q=a p+a q且a2=6,那么a10等于()A.165B.33C.30D.213.[2017·黄山二模]已知数列的前n项和为S n,且a1=2,a n+1=S n+1(n∈N*),则S5=()A.31B.42C.37D.474.若数列{a n}前8项的值各异,且a n+8=a n对任意的n∈N*都成立,则下列数列中可取遍{a n}前8项值的数列为()A.{a2k+1}B.{a3k+1}C.{a4k+1}D.{a6k+1}5.[2017·揭阳模拟]已知数列满足a1=1,a n+1=a n,则a n=()A. B.C.D.6.[2017·三明质检]已知数列的前n项和为S n,且a1=1,a n+1·a n=2n(n∈N*),则S2017=()A.3·21008-3B.22017-1C.22009-3D.21010-37.已知数列满足a1=1,a n+1=a n+,则a n=()A.B.C.D.8.已知数列满足a1=1,a n-a n+1=na n a n+1(n∈N*),则a n=()A.B.C.D.9.[2017·赣州期末]已知数列{a n}的前n项和为S n,若a n+1+(-1)n a n=n,则S40=()A.120B.150C.210D.42010.已知数列{a n}满足a1=2,且a n=(n≥2,n∈N*),则a n=()A.B.C.D.11.[2017·福州第一中学质检]已知数列满足a1=a2=,a n+1=2a n+a n-1(n∈N*,n≥2),则的整数部分是()A.0B.1C.2D.312.已知S n为数列的前n项和,且a n=a1=a(a∈R).给出下列3个结论:①数列一定是等比数列;②若S5<100,则a<18;③若a3,a6,a9成等比数列,则a=-.其中,所有正确结论的序号为 ()A.②B.②③C.①③D.①②③二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)13.若数列满足a1=1,a n+1=a n+2,则a10= .14.[2017·深圳调研]若数列,满足a1=b1=1,b n+1=-a n,a n+1=3a n+2b n,n∈N*,则a2017-a2016= .15.[2017·株洲一模]已知数列{a n}满足a1=1,a n=a1+2a2+3a3+…+(n-1)a n-1(n≥2),则数列{a n}的通项公式为a n= .16.[2018·南宁二中、柳州高中联考]已知数列2008,2009,1,-2008,…若这个数列从第二项起,每一项都等于它的前后两项之和,则这个数列的前2018项之和S2018= .课时作业(二十九)第29讲等差数列及其前n项和基础热身1.[2017·重庆诊断]设S n为等差数列的前n项和,a1=-2,S3=0,则的公差为()A.1B.2C.3D.42.在等差数列中,已知a1+a4+a7=39,a2+a5+a8=33,则a3+a6+a9=()A.30B.27C.24D.213.[2017·葫芦岛期末]已知S n为等差数列的前n项和,若a4+a9=10,则S12=()A.30B.45C.60D.1204.[2017·大理模拟]在等差数列中,若a3+a4+a5+a6+a7=45,那么a5= .5.在等差数列中,a3+a6=11,a5+a8=39,则公差d= .能力提升6.[2017·河南八市联考]在等差数列中,若a2+a4+a6=3,则a1+a3+a5+a7=()A.3B.4C.5D.67.[2017·杭州质检]设是等差数列,S n为其前n项和.若正整数i,j,k,l满足i+l=j+k(i ≤j≤k≤l),则()A.a i a l≤a j a kB.a i a l≥a j a kC.S i S l<S j S kD.S i S l≥S j S k8.已知等差数列的前n项和为S n,且a1+a5=-14,S9=-27,则使得S n取最小值时,n的值为()A.1B.6C.7D.6或79.[2017·长沙模拟]《九章算术》是我国古代第一部数学专著,全书收集了246个问题及解法,其中一个问题可用现代汉语描述为“现有一根九节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面四节容积之和为3升,下面三节容积之和为4升,求中间一节的容积为多少?”则该问题中第2节,第3节,第8节竹子的容积之和为()A.升B.升C.升D.升10.[2017·蚌埠质检]已知数列满足a1=0,数列为等差数列,且a n+1=a n+b n,b15+b16=15,则a31=()A.225B.200C.175D.15011.[2017·桂林、崇左、百色模拟]已知S n是等差数列的前n项和,若a1=-2017,-=6,则S2017= .12.[2017·浙江五校联考]已知数列,满足a1=2,b1=1,(n≥2,n∈N*),则(a1008+b1008)(a2017-b2017)= .13.(15分)[2017·北京海淀区期中]已知等差数列满足a1+a2=6,a2+a3=10.(1)求数列的通项公式;(2)求数列{a n+a n+1}的前n项和.14.(15分)[2017·安徽师大附中期中]已知正项数列的前n项和为S n,且是1与a n 的等差中项.(1)求数列的通项公式;(2)求数列的前n项和T n.难点突破15.(5分)[2017·太原期中]已知等差数列的前n项和为S n,且S3=9,a2a4=21,数列满足++…+=1-(n∈N*),若b n<,则n的最小值为()A.6B.7C.8D.916.(5分)[2017·石家庄一模]已知数列满足a1=-,a n+1b n=b n+1a n+b n,且b n=(n∈N*),则数列的前2n项和S2n取最大值时,n= .课时作业(三十)第30讲等比数列及其前n项和基础热身1.已知2是a与2-的等比中项,则a=()A.2-B.4(2-)C.2+D.4(2+)2.在等比数列{a n}中,a3=4,a6=,则公比q=()A. B.-C.2D.-23.[2017·常德一模]已知各项均为正数的等比数列的前n项和为S n,且S3=14,a3=8,则a6=()A.16B.32C.64D.1284.在等比数列中,公比q=,a3a5a7=64,则a4= .5.[2017·太原质检]设S n是等比数列的前n项和,若S2=2,S6=4,则S4= .能力提升6.[2017·绍兴柯桥区二模]已知等比数列的前n项和为S n,且满足a5=2S4+3,a6=2S5+3,则此数列的公比为()A.2B.3C.4D.57.[2017·衡阳联考]已知数列为等比数列,且a3=-4,a7=-16,则a5=()A.8B.-8C.64D.-648.已知等比数列满足log2a3+log2a10=1,且a5a6a8a9=16,则数列的公比为 ()A.2B.4C.±2D.±49.[2017·泉州模拟]已知数列为等比数列,a4+a7=2,a5·a6=-8,则a1+a10的值为 ()A.7B.5C.-7D.-510.已知各项均为正数的等比数列{a n}满足a7=a6+2a5,若存在两项a m,a n使得=4a1,则+的最小值为()A. B.C. D.11.[2017·大连模拟]已知等差数列{a n}的公差d≠0,且a3,a5,a15成等比数列,若a1=3,S n为数列{a n}的前n项和,则a n·S n的最小值为()A.0B.-3C.-20D.912.[2017·榆林一模]在等比数列{a n}中,a1=4,公比为q,前n项和为S n,若数列{S n+2}也是等比数列,则q= .13.已知是正项等比数列,a2=3,a6=,则a1a2+a2a3+…+a100a101= .14.(10分)[2017·上饶六校联考]已知数列的前n项和为S n,且a n+1=1+S n对一切正整数n恒成立.(1)试求当a1为何值时,数列是等比数列,并求出它的通项公式;(2)在(1)的条件下,当n为何值时,数列的前n项和T n取得最大值.15.(13分)[2018·广西钦州月考]已知数列的前n项和为S n,且S n=λ+(n-1)·2n,又数列满足a n·b n=n.(1)求数列的通项公式.(2)当λ为何值时,数列是等比数列?此时数列的前n项和为T n,若存在m∈N*,使得m<T n成立,求m的最大值.难点突破16.(12分)[2017·泸州诊断]设等比数列{a n}的前n项和为S n,已知a3=,S3=.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=log2,T n为数列{b n}的前n项和,求使T n=+105成立的n的值.课时作业(三十一)第31讲数列求和基础热身1.数列4,8,16,32,…的前n项和为()A.2n+1-2-n-1B.2n+2-2-n-3C.2n+1+2-n-1D.2n+1-2-n-1-12.[2018·山东临沂一中月考]若数列的通项公式是a n=(-1)n(3n-2),则a1+a2+…+a10=()A.15B.12C.-12D.-153.[2017·蚌埠第二中学月考]已知函数f=且a n=f+f,则a1+a2+a3+…+a8=()A.-16B.-8C.8D.164.已知数列的通项公式为a n=,则数列的前40项和为.5.[2017·呼和浩特调研]在等差数列中,a2=8,前6项和S6=66,设b n=,T n=b1+b2+…+b n,则T n= .能力提升6.[2017·湘潭模拟]已知T n为数列的前n项和,若n>T10+1013恒成立,则整数n的最小值为()A.1026B.1025C.1024D.10237.[2017·合肥调研]已知数列满足a1=2,4a3=a6,是等差数列,则数列{(-1)n a n}的前10项的和S10=()A.220B.110C.99D.558.[2017·临川实验学校一模]我国古代数学名著《九章算术》中有已知长方形面积求一边的算法(“少广”算法),该算法的前两步用现代汉语描述如下.第一步:构造数列1,,,,…,①.第二步:将数列①的各项乘,得到一个新数列a1,a2,a3,…,a n.则a1a2+a2a3+a3a4+…+a n-1a n等于()A.B.C.D.9.[2017·重庆第八中学月考]设数列的前n项和为S n,若a n+1=(-1)n-1a n+2n+1,则S32=()A.560B.360C.280D.19210.[2017·唐山一模]数列是首项为1,公差为1的等差数列,数列是首项为1,公比为2的等比数列,则数列的前n项和等于.11.[2017·陕西黄陵中学模拟]已知数列是公差为整数的等差数列,前n项和为S n,且a1+a5+2=0,2S1,3S2,8S3成等比数列,则数列的前10项和为.12.[2017·玉溪质检]已知数列满足a1=1,a2=2,a n+2=1+sin2a n+2cos2,则该数列的前20项和为.13.(15分)[2017·莆田一模]设数列的前n项和S n=2n+1-2,数列满足b n=+22n-1.(1)求数列的通项公式;(2)求数列的前n项和T n.14.(15分)[2017·佛山质检]已知数列满足a1=1,a n+1=a n+2,数列的前n项和为S n,且S n=2-b n.(1)求数列,的通项公式;(2)设c n=a n b n,求数列的前n项和T n.难点突破15.(5分)[2017·洛阳三检]已知数列{a n}的前n项和为S n,且满足a n+1=,若a1=2,则{log2a n}的前2017项的和为()A.1B.2C.-6D.-58616.(5分)[2017·抚州临川区模拟]在数列中,a1=2,n(a n+1-a n)=a n+1,n∈N*,若对于任意的a∈[-2,2],不等式<2t2+at-1恒成立,则t的取值范围为.课时作业(三十二)第32讲数列的综合问题基础热身1.[2017·河北五校一模]设等差数列的前n项和为S n,a2,a4是方程x2-x-2=0的两个根,则S5=()A.-B.-5C.5D.2.[2017·河南新乡一模]已知数列为等差数列,且满足=a3+a2015,其中点A,B,C 在一条直线上,点O为直线AB外一点,记数列的前n项和为S n,则S2017的值为()A.B.2017C.2018D.20153.[2017·宜宾二诊]数列的通项公式为a n=n cos2-sin2,其前n项和为S n,则S40为()A.10B.15C.20D.254.[2017·梅河口五中期末]已知数列满足a1=33,a n=n2-n+33,则取最小值时n= .5.现在传播信息的渠道有很多,可以通过广播、电视、网络等渠道进行传递.现有一人自编了一则健康有趣的笑话想通过QQ传递给好友进行分享,他立即通过QQ发给好友,用10秒钟发给了6个在线好友,接到信息的人同样用10秒钟将此信息发给不知此信息的6个在线好友,依此下去,则经过一分钟后有个人知道这条信息.能力提升6.[2018·鞍山第一中学一模]设{a n}是首项为a1,公差为-2的等差数列, S n为其前n项和,若S1,S2,S4成等比数列,则a1=()A.8B.-8C.1D.-17.[2017·湖南五市十校联考]已知等差数列的前n项和为S n,且a1<0,若存在自然数m ≥3,使得a m=S m,则当n>m时,S n与a n的大小关系是()A.S n<a nB.S n≤a nC.S n>a nD.大小不能确定8.[2018·河南名校联考]已知公比不为1的等比数列{a n}的前n项和为S n,a1a2a3a4a5=,且a2,a4,a3成等差数列,则S5=()A.B.C. D.9.[2017·黄山二模]对正整数n,设曲线y=(2-x)x n在x=3处的切线与y轴交点的纵坐标为a n,则数列的前n项和等于 ()A.-3B.C.D.10.[2017·太原三模]已知数列的前n项和为S n,点(n,S n+3)(n∈N*)在函数y=3×2x的图像上,等比数列满足b n+b n+1=a n(n∈N*),其前n项和为T n,则下列结论正确的是()A.S n=2T nB.T n=2b n+1C.T n>a nD.T n<b n+111.[2017·资阳二模]我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题:“今有蒲(水生植物名)生一日,长三尺;莞(植物名,俗称水葱、席子草)生一日,长一尺.蒲生日自半,莞生日自倍.问几何日而长等?”其大意是:今有蒲生长1日,长为3尺;莞生长1日,长为1尺.今后蒲的生长逐日减半,莞的生长逐日增加1倍.若蒲、莞长度相等,则所需的时间约为日.(结果保留一位小数,参考数据:lg 2≈0.30,lg 3≈0.48)12.[2017·淮北第一中学三模]若数列满足-=d(n∈N*,d为常数),则称数列为“调和数列”,已知正项数列为“调和数列”,且b1+b2+…+b9=90,则b4b6的最大值是.13.(15分)[2017·长沙十校二联]设是公比大于1的等比数列,S n为其前n项和,已知S3=7,a1+3,3a2,a3+4构成等差数列.(1)求数列的通项公式;(2)令b n=a n+ln a n,求数列的前n项和T n.14.(15分)已知数列的首项a1=4,当n≥2时,a n-1a n-4a n-1+4=0,数列满足b n=(n∈N*).(1)求证:数列是等差数列,并求的通项公式;(2)若c n=·(na n-6),对任意n∈N*,都有c n+t≤2t2,求实数t的取值范围.难点突破15.(5分)设等比数列{a n}的公比为q,其前n项之积为T n,并且满足条件:a1>1,a2015a2016>1,<0.给出下列结论:(1)0<q<1;(2)a2015a2017-1>0;(3)T2016的值是T n中最大的;(4)使T n>1成立的最大自然数等于4030.其中正确的结论为()A.(1)(3)B.(2)(3)C.(1)(4)D.(2)(4)16.(5分)[2017·湖南永州三模]已知数列的前n项和S n=·n,若对任意的正整数n,有(a n+1-p)(a n-p)<0恒成立, 则实数p的取值范围是.课时作业(二十八)1.C[解析] 由题意,得a2=2a1+1=3,a3=2a2+1=7,a4=2a3+1=15,故选C.2.B[解析] 易知数列-1,4,-9,16,-25,…的一个通项公式为a n=·n2,故选B.3.B[解析] 观察数列,得出规律:a2-a1=21,a3-a2=22,a4-a3=23,a5-a4=24,因此a6-a5=25,所以a6=62,故选B.4.5[解析] 因为a n=3n2-28n=3n-2-,且n∈N*,所以当n=5时,a n取得最小值.5.2n [解析] 当n≥2时,a n=S n-S n-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n.当n=1时,a1=S1=2,满足上式.故a n=2n.6.C[解析] 当n≥2时,S n=a n,S n-1=a n-1.两式作差可得a n=S n-S n-1=a n-a n-1,则==1+,据此可得,当n=2 时,取到最大值3.7.A[解析]∵(3n+2)a n+1=(3n-1)a n,∴a n+1=a n,∴a n=··…··a1=××…×××3=,故选A.8.D[解析] 根据题意可知a1=3,a2=6,a n+2=a n+1-a n,那么a3=a2-a1=3,a4=a3-a2=-3,a5=a4-a3=-6,a6=a5-a4=-3,a7=a6-a5=3,a8=a7-a6=6,…,可知数列{a n}的周期为6,那么a2018=a336×6+2=a2=6,故选D.9.D[解析] ∵a n=8+,∴a n+1=8+,∴a n+1-a n=-==.∴当1≤n≤4时,a n+1>a n,即a5>a4>a3>a2>a1;当n≥5时,a n+1<a n,即a5>a6>a7>….因此数列先递增后递减,∴当n=5时,a5=为最大项,即M=,又当n→∞时,a n→8,a1=,∴最小项为,即m=,∴m+M=+=.故选D.10.D[解析] 根据题意可构造数列{a n-b n},则a n+1-b n+1=a n+2b n-a n-b n=(1-)a n-(1-)b n=(1-)(a n-b n).因为a1=b1=1,所以a1-b1=1-,所以{a n-b n}是以1-为首项,1-为公比的等比数列,故a n-b n=(1-)n,所以A,B不正确.因为{a n-b n}的公比为1-,其绝对值小于1,所以{|a n-b n|}为递减数列,所以C不正确.-=·|a n-b n|,易知数列,为递增数列,故为递减数列,又{|a n-b n|}为递减数列,故-为递减数列,D正确.11.a n=[解析] 由a n+1=S n①,可得a n=S n-1(n≥2)②,①-②得a n+1-a n=S n-S n-1=a n(n≥2),即=2(n≥2),又a2=S1=1,所以=1≠2,则数列{a n}从第二项起是以1为首项2为公比的等比数列,所以a n=12.[解析] 因为是递减数列,数列{a n}从a4项开始用式子(t-13)计算,所以只要t-13<0,即t<13即可.因为a1,a2,a3通过x2-3tx+18计算,所以根据二次函数的性质,应该有>且a3>a4,即t>且9-9t+18>t-13,解得<t<4.综上,t的取值范围是<t<4.13.[解析] 由a n-a n+1=可得-==2-,利用累加法可得-+-+…+-=2-+2-+…+21-,即-=21-,可得=3-=,即a n=.14.解:(1)设等差数列{a n}的公差为d,由可得解得所以数列{a n}的通项公式为a n=48-8n.(2)由(1)知S n=-4n2+44n=-4n-2+121,因为n∈N*,所以当n=5或6时,S n取得最大值.15.解:(1)因为a2=,所以由a2=3a1-1可求得a1=.因为a n+1=3a n-1,所以a n+1-=3a n-,所以数列a n-是以1为首项,以3为公比的等比数列.所以a n-=3n-1,即a n=+3n-1.故S n=+=.(2)依题意,≤m,即+≤m对任意的n∈N*恒成立.设c n=+,则易知数列是递减数列,所以=c1=1.综上,可得m≥1.故所求实数m的取值范围是[1,+∞).16.解:(1)证明:由题知==2,∵b1=a2-a1=4-2=2,∴b1+2=4,∴数列{b n+2}是以4为首项以2为公比的等比数列.(2)由(1)可得b n+2=4·2n-1,故b n=2n+1-2.∵a n+1-a n=b n,∴a2-a1=b1,a3-a2=b2,a4-a3=b3,…,a n-a n-1=b n-1,累加得a n-a1=b1+b2+b3+…+b n-1=(22-2)+(23-2)+(24-2)+…+(2n-2) =-2(n-1)=2n+1-2n-2,则a n=2n+1-2n.加练一课(四)1.A[解析] ∵a n+1=2a n-1,∴a n+1-1=2(a n-1).∵a1-1=0,∴a n-1=0,即a n=1,故选A.2.C[解析] a4=a2+a2=12,a6=a4+a2=18,a10=a6+a4=30.故选C.3.D[解析] 由a n+1=S n+1①,可得a n=S n-1+1(n≥2)②,①-②得a n+1=2a n,又∵a2=S1+1=3,a1=2,∴S5=2+=47,故选D.4.B[解析] 因为数列{a n}前8项的值各异,且a n+8=a n对任意的n∈N*都成立,所以该数列为周期为8的周期数列.为使数列中可取遍{a n}前8项的值,必须保证项数被8除的余数可以取到0,1,2,3,4,5,6,7.经验证A,C,D都不可以,因为它们的项数全部由奇数组成,被8除的余数只能是奇数,故选B.5.B[解析] 由条件知=,分别令n=1,2,3,…,(n-1)(n≥2),可得=,=,=,…,=,累乘得···…·=××……××,即=.又∵a1=1,∴a n=,故选B.6.D[解析] ∵数列满足a1=1,a n+1·a n=2n(n∈N*),∴a2·a1=2,解得a2=2.由题得=,即=2,∴数列{a n}的奇数项与偶数项分别成等比数列,首项分别为a1=1,a2=2,公比都为2,则S2017=(a1+a3+…+a2017)+(a2+a4+…+a2016)=+=21010-3,故选D.7.C[解析] 由条件知a n+1-a n==-.分别令n=1,2,3,…,(n-1),代入上式得到(n-1)个等式,这些等式累加可得(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(a n-a n-1)=(-1)+(-)+(-)+…+(-),即a n-a1=-1.又因为a1=1,所以a n=,故选C.8.D[解析] 因为a n-a n+1=na n a n+1,所以=-=n,所以=-+-+…+-+=(n-1)+(n-2)+…+3+2+1+=+1=,则a n=.9.D[解析] 由已知得a3+a1=(a3+a2)-(a2-a1)=1,同理可得a5+a7=1,…,a37+a39=1,又a2+a4=(a3+a2)+(a4-a3)=2+3=5,a6+a8=13,…,a38+a40=77,∴S40=(a1+a3+…+a39)+(a2+a4+…+a40)=10×1+(5+13+…+77)=10+410=420,故选D.10.C[解析] 由a n=,得=+,于是-1=-1(n≥2,n∈N*).又-1=-,∴数列-1是以-为首项,为公比的等比数列,故-1=-(n≥2,n∈N*),当n=1时,a1=2满足上式,则-1=-,∴a n=(n∈N*),故选C.11.B[解析]∵a1=,a2=,a n+1=2a n+a n-1,∴=1,a3=2a2+a1=,∴=·=-=-,=-+-+…+-=-=4-=2-<2,又∵=>1,∴1<<2,则的整数部分是1,故选B.12.B[解析] 根据题意,数列满足a n=且a1=a,则a2=a1+1=a+1,a3=a2+1=a+2,a4=a3+1=a+3,a5=a4+1=a+4,a6=2a5=2a+8,a7=2a6,…对于①,当a=-4时,a6=2a+8=0,此时数列不是等比数列,故①错误;对于②,若S5<100,则有S5=(a1+a2+…+a5)=5(a+2)<100,则有a<18,故②正确;对于③,根据题意,a3=a+2,a6=2a+8,a9=24a5=16×(a+4),若a3,a6,a9成等比数列,则有(2a+8)2=(a+2)×16×(a+4),且a6=2a+8≠0,解得a=-,故③正确.故选B.13.19[解析] 因为a n+1=a n+2,所以a n+1-a n=2,所以数列是首项为1,公差为2的等差数列,所以a10=1+(10-1)×2=19.14.22017[解析] 由题得,a2=3a1+2b1=5,当n≥2时,a n+1=3a n+2b n=3a n-2a n-1,所以a n+1-a n=2(a n-a n-1),又a2-a1=4,所以数列{a n-a n-1}是首项为4,公比为2的等比数列,所以a2017-a2016=4×22016-1=22017.15.[解析] 当n≥2时,由已知得a n+1=a1+2a2+3a3+…+(n-1)a n-1+na n,用此等式减去已知等式,得a n+1-a n=na n,即a n+1=(n+1)a n,又a2=a1=1,∴a1=1,=1,=3,=4,…,=n,将以上n个式子相乘,得a n=(n≥2).当n=1时,a1=1不满足上式,则a n=16.4017[解析] 设该数列为{a n},则a1=2008,a2=2009,a3=1,a4=-2008,由题意得a5=-2009,a6=-1,a7=2008,…所以a n+6=a n,即数列是以6为周期的数列,又a1+a2+a3+a4+a5+a6=0, ∴S2018=336(a1+a2+a3+a4+a5+a6)+(a1+a2)=4017.课时作业(二十九)1.B[解析] 设等差数列{a n}的公差为d,由题设可得3×(-2)+·d=0,解得d=2,故选B.2.B[解析] 根据等差数列的性质可得,等差数列第1,4,7项的和,第2,5,8项的和与第3,6,9项的和成等差数列,所以a3+a6+a9=2×33-39=27,故选B.3.C[解析] S12==6×(a4+a9)=60,故选C.4.9[解析] 根据等差数列的性质可知a3+a4+a5+a6+a7=5a5=45,所以a5=9.5.7[解析] 由(a5+a8)-(a3+a6)=39-11=4d=28,得d=7.6.B[解析] 由a2+a4+a6=3得a4=1,则a1+a3+a5+a7=4a4=4,故选B.7.A[解析] 设等差数列{a n}的公差为d.可以令i=1,j=2,k=3,l=4,则a i a l-a j a k=a1a4-a2a3=a1(a1+3d)-(a1+d)(a1+2d)=-2d2≤0,S1S4-S2S3=a1(4a1+6d)-(2a1+d)(3a1+3d)=-2-3a1d-3d2=-2a1+d2-d2≤0,故只有A选项正确.8.B[解析] 设等差数列{a n}的公差为d,由题意,得解得则a n=2n-13.令解得≤n≤.因为n∈N*,所以n=6,即当n=6时,S n 取得最小值,故选B.9.A[解析] 设最上面一节竹子的容积为a1,则依题意可知根据等差数列的性质可知a1+a2+a3+a4=2(a2+a3)=3,a7+a8+a9=3a8=4,则有a2+a3=,a8=,所以a2+a3+a8=+=,故选A.10.A[解析] 设等差数列{b n}的公差为d,则由题设可得b n=a n+1-a n=b1+(n-1)d,则a2-a1=b1,a3-a2=b1+d,a4-a3=b1+2d,…,a31-a30=b1+29d,累加得a31-a1=30b1+(1+2+…+29)d=30b1+d,即a31=15(2b1+29d),又b15+b16=2b1+29d=15,所以a31=15(2b1+29d)=15×15=225,故选A.11.-2017[解析] ∵S n是等差数列的前n项和,∴是等差数列,设其公差为d.∵-=6,∴6d=6,d=1.∵a1=-2017,∴=-2017,∴=-2017+(n-1)×1=-2018+n,∴S201 7=(-2018+2017)×2017=-2017.12.[解析] 由题意可得,当n≥2时,a n+b n=a n-1+b n-1+2,a n-b n=a n-1-b n-1=(a n-1-b n-1),所以数列{a n+b n}是以a1+b1=3 为首项,2为公差的等差数列,数列{a n-b n}是以a1-b1=1 为首项,为公比的等比数列,所以(a1008+b1008)(a2017-b2017)=(3+2×1007)×1×=.13.解:(1)设等差数列的公差为d,因为a1+a2=6,a2+a3=10,所以a3-a1=4,所以2d=4,d=2.又a1+a2=a1+a1+d=6,所以a1=2,所以a n=a1+(n-1)d=2n.(2)记b n=a n+a n+1,所以b n=2n+2(n+1)=4n+2,又b n+1-b n=4(n+1)+2-4n-2=4,所以数列是首项为6,公差为4的等差数列,其前n项和S n===2n2+4n.14.解:(1)由题意知2=1+a n,即4S n=(1+a n)2.当n=1时,可得a1=1.当n≥2时,有4S n-1=(a n-1+1)2,又4S n=(a n+1)2,两式相减得(a n+a n-1)(a n-a n-1-2)=0,∵a n>0,∴a n-a n-1=2,则数列{a n}是以1为首项,2为公差的等差数列,即a n=2n-1.(2)==-,∴T n=1-+-+…+-=1-=.15.C[解析] 设等差数列{a n}的公差为d.∵S3=a1+a2+a3=3a2=9,a2a4=21,∴a2=3,a4=7,d=2,a n=2n-1.设T n=++…+=++…+=1-,则T n+1=++…++=1-,两式作差得T n+1-T n==-=,所以b n+1=,则b n=.当b n<,即<时,得n的最小值为8,故选C.16.8[解析] 由题知当n为奇数时,b n=-2,当n为偶数时,b n=3.又a2b1=b2a1+b1,可得a2=.当n=2k时,有a2k+1b2k=b2k+1a2k+b2k,即3a2k+1=-2a2k+3①.当n=2k-1时,有a2k b2k-1=b2k a2k-1+b2k-1,即-2a2k=3a2k-1-2②.当n=2k+1时,有a2k+2b2k+1=b2k+2a2k+1+b2k+1,即-2a2k+2=3a2k+1-2③.由①③可得a2k+2-a2k=-,由①②可得a2k+1-a2k-1=,则数列,都是等差数列,首项分别为a2=,a1=-,公差分别为-,.则S2n=(a1+a3+a5+…+a2n-1)+(a2+a4+…+a2n)=na1+×+na2+×=-+n.则当n=8时,S2n取得最大值.课时作业(三十)1.D[解析] 由题意,得(2-)a=22,解得a=4(2+),故选D.2.A[解析] 由题意得,q3===,则q=,故选A.3.C[解析] 设等比数列{a n}的公比为q(q>0),由S3=14,a3=8,得可得a1=2,q=2,所以a6=a1q5=2×25=64,故选C.4.8[解析] 因为a3a5a7=64,所以=64,解得a5=4,故a4==8.5.1+[解析] 由等比数列的性质知S2,S4-S2,S6-S4也成等比数列,所以(S4-S2)2=S2·(S6-S4),即(S4-2)2=2·(4-S4),解得S4=1+或S4=1-(舍).6.B[解析] 由a5=2S4+3,a6=2S5+3可得a6-a5=2a5,则=3,故选B.7.B[解析] 设等比数列{a n}的公比为q.∵数列{a n}为等比数列,且a3=-4,a7=-16,∴=a3·a7=(-4)×(-16)=64,又a5=a3q2=-4q2<0,∴a5=-8.故选B.8.A[解析] 设等比数列{a n}的公比为q.由log2a3+log2a10=1得log2a3a10=1,即a3a10=2.∵a5a6a8a9=16,∴(a5a8)(a6a7)q2=16,∴q2=4.由真数大于零得q>0,∴q=2.故选A.9.C[解析] 由等比数列的性质可知a5·a6=a4·a7=-8,又a4+a7=2,故a4,a7是一元二次方程x2-2x-8=0的两个根,解得a4=-2,a7=4或a4=4,a7=-2,故a1=1,q3=-2,a10=-8或a1=-8,q3=-,a10=1,所以a1+a10=-7.10.A[解析] 由各项均为正数的等比数列{a n}满足a7=a6+2a5,可得a1q6=a1q5+2a1q4,∴q2-q-2=0,∴q=2.∵=4a1,∴q m+n-2=16,∴2m+n-2=24,∴m+n=6,∴+=(m+n)+=5++≥(5+4)=,当且仅当=时等号成立,故+的最小值等于.11.B[解析] ∵等差数列{a n}的公差d≠0,且a3,a5,a15成等比数列,a1=3,∴(3+4d)2=(3+2d)(3+14d),解得d=-2或d=0,∵d≠0,∴d=-2,则a n=3+(n-1)×(-2)=5-2n,S n=3n+×(-2)=4n-n2,a n·S n=(5-2n)(4n-n2)=2n3-13n2+20n.设f(x)=2x3-13x2+20x,则f'(x)=6x2-26x+20,令f'(x)=0,得x1=1,x2=,则f(x)在1,上单调递减,在,+∞上单调递增.结合f(x)的单调性可知,当n=3时,a n·S n取得最小值2×33-13×32+20×3=-3.故a n·S n的最小值为-3.故选B.12.3[解析] 由数列{S n+2}也是等比数列可得S1+2,S2+2,S3+2成等比数列,则(S2+2)2=(S1+2)(S3+2),即(4+4q+2)2=(4+2)(4+4q+4q2+2),解得q=3或q=0(舍去).13.24(1-4-100)[解析] 由题得等比数列的公比q===,所以a1=6,显然数列也是等比数列,其首项为a1a2=18,公比q'==q2==,于是a1a2+a2a3+…+a100a101==24(1-4-100).14.解:(1)由a n+1=1+S n得当n≥2时,a n=1+S n-1,两式相减得a n+1=2a n.因为数列{a n}是等比数列,所以a2=2a1,又因为a2=1+S1=1+a1,所以a1=1,则a n=2n-1.(2)易得数列是一个递减数列,所以lg>lg>lg>…>lg>0>lg>…由此可知当n-1=8,即n=9时,数列的前n项和T n取得最大值.15.解:(1)当n=1时,a1=S1=λ.当n≥2 时,a n=S n-S n-1=(n-1)·2n-(n-2)·2n-1=n·2n-1.故数列的通项公式为a n=(2)由a n·b n=n,可得b n=因为数列为等比数列,所以首项b1=满足n≥2的情况,故λ=1.则T n=b1+b2+…+b n==21-.因为T n+1-T n=>0,所以T n是递增的,故T n≥1且T n<2.又存在m∈N*,使得m<T n成立,则m的最大值为1.16.解:(1)设等比数列{a n}的公比为q,由a3=,S3=,得a1q2=,a1(1+q+q2)=,解得a1=6,q=-或a1=,q=1.则数列{a n}的通项公式为a n=或a n=6×.(2)当a n=时,b n=log2=log2=2,所以T n=2n.由T n=+105,得2n=+105,所以n=70.当a n=6×时,b n=log2=log2=2n,故数列{b n}是首项为2,公差为2的等差数列,所以T n=n2+n.由T n=+105,得n2+n=+105,所以n=10或n=-(舍).综上知,n=70或10.课时作业(三十一)1.B[解析] 由题知,所给数列的通项公式为a n=2n+1+,则前n项和S n=+=2n+2-2-n-3.故选B.2.A[解析] a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9+a10=-1+4-7+10-13+16-19+22-25+28=5×3=15,故选A.3.C[解析] 当n为奇数时,n+1为偶数,则a n=n2-(n+1)2=-2n-1,所以a1+a3+a5+a7=-(3+7+11+15)=-36.当n为偶数时,n+1为奇数,则a n=-n2+(n+1)2=2n+1,则a2+a4+a6+a8=5+9+13+17=44.所以a1+a2+…+a8=-36+44=8,故选C.4.[解析] a n==(-),则数列的前40项和S40=[(-)+(-)+…+(-)]=(-)=.5.[解析] 设等差数列{a n}的公差为d,由题意得解得则a n=2n+4,因此b n==-,∴T n=-+-+…+-=-=.6.C[解析] 因为=1+,所以T n=n+1-,T10+1013=11-+1013=1024-,又n>T10+1013,所以整数n的最小值为1024.故选C.7.B[解析] 设数列的公差为d,则解得d=2,所以=a1+(n-1)d=2n,a n=2n2,所以S10=-a1+a2-a3+a4-…-a9+a10=-2×12+2×22-2×32+2×42-…-2×92+2×102=2[(22-12)+(42-32)+…+(102-92)]=2[(2-1)×(1+2)+(4-3)×(3+4)+…+(10-9)×(9+10)]=2×(1+2+…+10)=110,故选B.8.C[解析] 新数列为1×,×,×,…,×,所以a1a2+a2a3+a3a4+…+a n-1a n=+++…+=1-+-+-+…+-=1-=.故选C.9.A[解析] 依题意有a2-a1=3,a3+a2=5,a4-a3=7,a5+a4=9,a6-a5=11,a7+a6=13,a8-a7=15,…,由此可得a1+a3=2,a5+a7=2,…,a2+a4=12,a6+a8=28,…,所以S32=(a1+a3+…+a31)+(a2+a4+…+a32)=8×2+8×12+×16=560,故选A.10.(n-1)2n+1[解析] 由题意得a n=n,b n=2n-1,则a n b n=n·2n-1,则数列的前n项和S n=1·20+2·21+3·22+…+n·2n-1①,所以2S n=1·21+2·22+3·23+…+(n-1)·2n-1+n·2n②.①-②得-S n=1+21+22+…+2n-1-n·2n=-n·2n,整理得S n=(n-1)·2n+1.11.-[解析] 设等差数列{a n}的公差为d,因为a1+a5+2=0,所以2a1+4d+2=0,a1=-1-2d.因为2S1,3S2,8S3成等比数列,所以16S1S3=9,即16(-1-2d)(-3-3d)=9(-2-3d)2.因为d为整数,所以解得d=-2,则a1=3,所以a n=3-2(n-1)=5-2n.则==-,所以数列的前10项和为×-+×-+…+×-=×-=-.12.1133[解析] 当n为奇数时,a n+2=2a n,故奇数项是以a1=1为首项,2为公比的等比数列;当n为偶数时,a n+2=a n+2,故偶数项是以a2=2为首项,2为公差的等差数列,所以前20项中的奇数项和S奇==210-1=1023,前20项中的偶数项和S偶=10×2+×2=110,所以S20=1023+110=1133.13.解:(1)当n=1时,a1=S1=2.由S n=2n+1-2得S n-1=2n-2(n≥2),∴a n=S n-S n-1= 2n+1-2n=2n(n≥2).当n=1时,a1=2满足上式,∴a n=2n(n∈N*).(2)b n=+22n-1=+22n-1=-+22n-1,则T n=1-+-+…+-+(2+23+25+…+22n-1)=1-+=+-.14.解:(1)因为a1=1,a n+1-a n=2,所以是首项为1,公差为2的等差数列, 所以a n=1+(n-1)×2 =2n-1.当n=1时,b1=S1=2-b1,所以b1=1.当n≥2时,S n=2-b n①,S n-1=2-b n-1②,由①-②得b n=-b n+b n-1,即=.所以是首项为1,公比为的等比数列,故b n=.(2)由(1)知c n=a n b n=,则T n=+++…+③,T n=++…++④,③-④得T n=+++…+-=1+1++…+-= 1+-=3-, 所以T n=6-.15.A[解析] 由a1=2,a n+1=,得a2=-3,a3=-,a4=,a5=2,a6=-3,…,由此可得数列{a n}是以4为周期的周期数列,且a1a2a3a4=1,所以{a n}的前2017项的积为a1a2a3a4…a2017=1×1×1×…×a1=2,所以{log2a n}的前2017项的和为log2a1+log2a2+…+log2a2017=log2(a1a2…a2017)=1,故选A.16.(-∞,-2]∪[2,+∞)[解析] 由题设可得a n+1-a n=a n+,即a n+1=a n+,即=+,所以-=-.令n=1,2,3,…,n可得-=-,-=-,-=-,…,-=-,累加得-=1-,则=3-<3,所以2t2+at-1≥3,即2t2+at-4≥0.令F(a)=2t2+at-4,a∈[-2,2],则即解得t≥2或t≤-2.课时作业(三十二)1.D[解析] 根据韦达定理可得a2+a4=1,所以S5===,故选D.2.A[解析] 因为点A,B,C在一条直线上,所以a3+a2015=1,则S2017===,故选A.3.C[解析] 由a n=n cos2-sin2,得a1=0,a2=-2,a3=0,a4=4,a5=0,a6=-6,a7=0,…则a2n-1=0,a2n=(-1)n·2n,则S40=(a1+a3+…+a39)+(a2+a4+…+a40)=-2+4-6+8-…+40=2×10=20,故选C.4.8[解析] =n+-,其中n+≥2=,当且仅当n=即n=时取等号.易知8<<9,且<,∴取最小值时n=8.5.55 987[解析] 经过10秒钟后知道这条信息的人数为1+6,经过20秒钟后知道这条信息的人数为1+6+62,经过30秒钟后知道这条信息的人数为1+6+62+63,则经过x个10秒钟后知道这条信息的人数为1+6+62+…+6x,所以经过一分钟即经过60秒钟后知道此信息的人数为1+6+62+…+66=55 987.6.D[解析] 因为S1,S2,S4成等比数列,所以=S1·S4,即(2a1-2)2=a1(4a1-12),解得a1=-1,故选D.7.C[解析] 由题意得公差d>0,且a m>0,所以当n>m时,S n-a n=S n-S m+a m-a n=a m+a m+1+…+a n-1>0,所以S n>a n,故选C.8.D[解析] 设等比数列{a n}的公比为q,则由a2,a4,a3成等差数列得,2a2q2=a2+a2q,即2q2-q-1=0,解得q=-或q=1(舍去).由a1a2a3a4a5===得a3==a1q2,所以a1=1,S5==,故选D.9.C[解析] y'=2nx n-1-(n+1)x n,所以曲线y=(2-x)x n在x=3处的切线的斜率为-n-13n,所以切线方程为y=-n-13n(x-3)-3n.令x=0,得a n=(n+2)·3n,则=3n,所以数列的前n 项和S n==,故选C.10.D[解析] 由题意可得S n+3=3×2n,S n=3×2n-3,由等比数列前n项和的特点可得数列是首项为3,公比为2的等比数列,数列{a n}的通项公式为a n=3×2n-1.设等比数列{b n}的公比为q,则b1q n-1+b1q n=3×2n-1,解得b1=1,q=2,数列的通项公式为b n=2n-1,由等比数列的求和公式有T n=2n-1.则有S n=3T n,T n=2b n-1,T n<a n,T n<b n+1.故选D.11.2.6[解析] 设蒲每日的生长的长度组成等比数列,其中a1=3,公比为,其前n项和为A n.莞每日生长的长度组成等比数列,其中b1=1,公比为2,其前n项和为B n.则A n=,B n=.令A n=B n,得2n+=7,解得2n=6 或2n=1 (舍去).则n==1+≈2.6,故所需的时间约为2.6日.12.100[解析] 因为数列是“调和数列”,所以b n+1-b n=d,即数列是等差数列,所以b1+b2+…+b9==90,则b4+b6=20,所以b4b6≤=100,当且仅当b4=b6=10时等号成立,因此b4b6的最大值为100.13.解:(1)设数列的公比为q(q>1).由已知,得即由q>1,解得故数列的通项公式为a n=2n-1.(2)由(1)得b n=2n-1+(n-1)ln 2,所以T n=(1+2+22+…+2n-1)+[0+1+2+…+(n-1)]ln 2=+ln 2=2n-1+ln 2.14.解:(1)当n≥2时,b n-b n-1=-=,∵a n-1a n-4a n-1+4=0,∴b n-b n-1==-,∴是等差数列.∴b n=b1+(n-1)=-.(2)∵b n==-,∴a n=+2,∴c n=(2n-4).设f(x)=,则f'(x)=,∴函数f(x)在-∞,+2上单调递增,在+2,+∞上单调递减,∴数列{c n}当1≤n≤3时递增,当n≥4时递减且c n>0,∴-1≤c n≤.设y=c n+t-2t2,则y=c n+t-2t2是关于c n的一次函数,且函数单调递增,∴当c n=时,y≤0即可满足要求,∴+t-2t2≤0,解得t≤-或t≥.5.C[解析] 由<0可知a2015<1或a2016<1.如果a2015<1,那么a2016>1,若a2015<0,则q<0;又∵a2016=a1q2015,∴a2016应与a1异号,即a2016<0,这与假设矛盾,故q>0.若q≥1,则a2015>1且a2016>1,与推出的结论矛盾,故0<q<1,故(1)正确.又a2015a2017=<1,故(2)错误.由结论(1)可知a2015>1,a2016<1,故数列从第2016项开始小于1,则T2015最大,故(3)错误.由结论(1)可知数列从第2016项开始小于1,而T n=a1a2a3…a n,故当T n=(a2015)n时,求得T n>1对应的自然数为4030,故(4)正确.16.(-3,1)[解析] 当n=1时,a1=S1=1.当n≥2时,a n=S n-S n-1=n-(n-1)=(-1)n-1(2n-1).由对任意正整数n,有(a n+1-p)(a n-p)<0恒成立,得[(-1)n(2n+1)-p][(-1)n-1(2n-1)-p]<0①.当n是奇数时,①式化为[p+(2n+1)][p-(2n-1)]<0,解得-(2n+1)<p<2n-1.又该不等式对任意正奇数n都成立,取n=1,可得-3<p<1.当n是偶数时,①式化为[p-(1+2n)][p+(2n-1)]<0,解得1-2n<p<2n+1,又该不等式对任意正偶数n都成立,取n=2,可得-3<p<5.综上所述,-3<p<1.。
