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2的2次方的n次方费马费马是法国著名的数学家和法学家，他生活在17世纪的欧洲。
费马定理是他最著名的贡献之一，在数论领域起着至关重要的作用。
费马定理是指当n大于2时，2的2次方的n次方不能由整数表示。
费马定理的证明困扰了数学界几个世纪的时间，直到安德鲁·怀尔斯公布了自己的证明，才最终解决了这个难题。
虽然费马定理看起来简单，但它的证明涉及到一系列复杂的数学概念和定理，需要深入的数学知识和技巧。
在理解费马定理之前，我们先来看一下什么是指数。
指数表示一个数字作为乘积的次数。
例如，2的3次方表示2与自己相乘3次，即2乘以2乘以2，结果是8。
费马定理的问题在于找到一个整数解，使得2的2次方的n次方等于一个整数。
费马在17世纪提出了这个问题，并声称自己有一个完美的证明，但他没有公布出来，只在一封信中提到了这个结果。
这就是著名的费马猜想。
费马的猜想激发了众多数学家的兴趣和追求，成为了一个备受争议和挑战的问题。
数学家们花费了大量时间和精力去寻找费马定理的证明。
他们试图寻找一种通用的方法，来证明费马定理在所有情况下都成立。
然而，在几个世纪的努力中，他们都未能找到一个通用的解决办法。
直到20世纪，安德鲁·怀尔斯才解决了费马定理的证明。
怀尔斯使用了现代数学工具，尤其是代数几何和模运算理论，来解决这个问题。
他证明了费马定理在整数解上的正确性。
这意味着对于任何大于2的n，2的2次方的n次方都不能由整数表示。
费马定理的证明不仅仅是一个纯数学问题，它对数学的发展和应用产生了广泛的影响。
费马定理的证明为现代密码学的发展提供了基础。
密码学家利用数论的原理和方法，设计了一系列用于保护信息安全的算法和协议。
这些算法和协议在现代通信和电子商务中起着重要的作用。
费马定理的证明也促进了数学本身的进步。
它挑战了数学家们的思维方式和解决问题的能力，推动了数学理论的发展。
费马定理的证明表明数学不只是一门纯粹的学科，它与现实世界的问题紧密相连，具有实际应用的价值。
梅森公式
1. 简介
梅森公式（Mersenne formula），是指由法国数学家梅森（Marin Mersenne）在17世纪提出的一种用于生成素数的公式。
梅森公式的基本形式为2^n - 1，其中n是一个自然数。
如果2^n - 1是一个素数，则称之为梅森素数。
梅森公式产生的素数被广泛应用在密码学、计算机科学、通信领域等。
由于其计算简单、结构规律清晰，梅森公式较早被发现，至今为止已知的最大梅森素数为2^82,589,933 - 1。
本文将介绍梅森公式的原理、应用以及一些相关的数学定理。
2. 梅森公式的原理
梅森公式是基于二进制表示的思想，通过将2的幂次方相减得到一个整数，并判断该整数是否为素数。
其基本形式为：
M(n) = 2^n - 1
其中，M(n)为梅森素数。
梅森公式的原理是因为2^n - 1可以通过一种高效的算法进行计算，被称为。
阿姆斯特朗公理
【实用版】
目录
1.阿姆斯特朗公理的定义和背景
2.阿姆斯特朗公理的数学意义
3.阿姆斯特朗公理的证明方法
4.阿姆斯特朗公理的应用领域
5.阿姆斯特朗公理的影响和价值
正文
阿姆斯特朗公理，又称阿姆斯特朗恒等式，是由英国数学家阿姆斯特朗（G.F.B.阿姆斯特朗）于 1939 年提出的一个数学公理。
这个公理在数论领域有着广泛的应用，尤其是在素数分布、循环数论等方面有着重要的意义。
阿姆斯特朗公理的定义如下：设 p 是一个质数，a 是欧拉函数，φ(p) 是欧拉函数在模 p 意义下的值，那么 a^φ(p) ≡ 1 (mod p)。
简单来说，阿姆斯特朗公理描述了模 p 意义下的 a 的幂次与φ(p) 的关系。
阿姆斯特朗公理的数学意义主要体现在以下几个方面：首先，它将模运算与欧拉函数联系起来，为数论研究提供了一个新的视角；其次，阿姆斯特朗公理是许多数论定理的基础，如著名的“a 的 n 次幂与φ(p) 互质”的结论；最后，阿姆斯特朗公理在循环同余、伽罗华理论等领域也有重要应用。
在证明阿姆斯特朗公理时，通常采用归纳法和欧拉函数的性质。
具体地，首先验证基础情况，然后通过归纳假设推导出结论。
阿姆斯特朗公理的证明过程相对简单，但它的结论却具有深刻的意义。
阿姆斯特朗公理在许多应用领域都发挥着重要作用。
例如，在密码学中，它可以用于设计具有较高安全性的加密算法；在计算机科学中，它可以帮助研究计算机算法的效率；在数论领域，它为许多重要问题的解决提供了关键思路。
总之，阿姆斯特朗公理是一个具有重要意义的数学公理。
它不仅丰富了数论的研究内容，还为许多实际应用问题的解决提供了有力支持。
数学史话之业余数学之王费马在接下来的几天，我们会不断遇见一个个如雷贯耳的大神，不管他们的职业是律师、哲学家还是物理学家，但是最终，他们都是数学家，这其中就包括我们今天要说的业余数学之王--费马。
费马人们知道费马一般都是先知道他的费马大定理：对于任意n>2，方程x^n+y^n=z^n没有满足xyz≠0整数解。
这个定理自从费马大约在1637年写在了一本书上之后（原文是：不可能把一个数的立方分解成两个数的立方和，把一个数的四次方分解成两个数的四次方之和，或者更一般地说，把大于2的任意次幂的数分解成两个同次幂数的和：我已经发现了一个真正奇妙的证明，但是这个空白太窄了，写不下），经过了300多年，无数数学家的努力，终于在1995年由英国数学家安德鲁·怀尔斯证明出来了（过程极其复杂，有兴趣的读者可以自行查阅）。
怀尔斯和费马大定理费马于1601年出生在法国南部，年少时先后在奥尔良大学和图卢兹大学学习法律，毕业后成为了一名律师，后来又成为了议员和参议员。
最终在1665年1月12日，在处理完卡特雷城的一个案子后的两天，他在该城去世，享年65岁。
这就是费马作为一个普通人的一生，并没有什么值得炫耀的地方。
图卢兹然而，费马作为一个业务数学家的一生，却要波澜壮阔得多了。
首先，费马独立于勒奈·笛卡儿发现了解析几何的基本原理。
1629年以前，费马便着手重写公元前三世纪古希腊几何学家阿波罗尼奥斯失传的《平面轨迹》一书。
他用代数方法对阿波罗尼奥斯关于轨迹的一些失传的证明作了补充，对古希腊几何学，尤其是阿波罗尼奥斯圆锥曲线论进行了总结和整理，对曲线作了一般研究。
并于1630年用拉丁文撰写了仅有八页的论文《平面与立体轨迹引论》。
《平面与立体轨迹引论》中道出了费马的发现。
他指出："两个未知量决定的一个方程式，对应着一条轨迹，可以描绘出一条直线或曲线。
"费马的发现比勒奈·笛卡儿发现解析几何的基本原理还早七年。
2的2次方的n次方费马（原创实用版）目录1.费马与 2 的 2 次方的 n 次方的研究2.费马的数学成就3.2 的 2 次方的 n 次方的公式及其解释4.费马大定理的提出与解决正文一、费马与 2 的 2 次方的 n 次方的研究费马，全名皮埃尔·德·费马，是法国著名的数学家和律师。
他在数学领域有着举足轻重的地位，尤其在数论、解析几何和微积分等领域取得了卓越的成就。
在费马的研究中，有一个引人入胜的问题，即 2 的 2 次方的 n 次方。
二、费马的数学成就费马在数学领域的成就有很多，其中最著名的是费马大定理。
费马大定理是指在自然数 n>2 时，不存在整数 x、y、z 使得 x^n + y^n = z^n 成立。
这个定理在提出后长达 358 年未被证明，直到 1994 年英国数学家安德鲁·怀尔斯成功证明，才为这个悬案画上句号。
三、2 的 2 次方的 n 次方的公式及其解释费马还研究了 2 的 2 次方的 n 次方的问题。
这个问题可以用公式表示为：2^(2^n) = (2^(2^(n-1)))^2。
这个公式的含义是，一个数的 2 次方再乘以自身，等于该数的 2 次方的 n-1 次方再乘以自身。
这个公式展示了幂运算的性质，为指数运算提供了基本的理论依据。
四、费马大定理的提出与解决费马大定理最初是由费马在 17 世纪提出的。
他在研究过程中，意识到这个定理可能是正确的，但由于没有找到证明方法，所以他将其记录在一本笔记本中，并注明：“我已经找到了一个真正美妙的证明，但是这边太小写不下。
”直到 1994 年，英国数学家安德鲁·怀尔斯经过漫长的努力，终于证明了费马大定理。
怀尔斯利用了代数几何和数论的方法，将费马大定理与椭圆曲线联系起来，从而成功解决了这个悬而未决的问题。
费马大定理的证明使怀尔斯荣获了 1996 年的菲尔兹奖，该奖项被誉为数学界的诺贝尔奖。
总的来说，费马在数学领域的研究为后世留下了宝贵的财富。
费马帕斯卡定理费马帕斯卡定理可以说是数论的一个重要的分支，它提供了一种用于确定一个整数是否是某个数的平方数的方法，使数学家们能够解决复杂问题，同时也使数学发展受益良多。
它是由意大利数学家费马于1796年提出来的。
费马帕斯卡定理说，当且仅当一个整数n被4整除，并且存在一个整数x，使得n = x2 + 4x + 4，时，n可以被表示为某个数的平方。
值得一提的是，费马帕斯卡定理本质上是一个拉格朗日方程的解，这意味着它可以被用来解决一类类似的强非线性方程组。
它也为数论和计算机算法提供了一种有效的检查整数是否是某个数的平方数的方法。
此外，费马帕斯卡定理也有利于研究可以被表示为两个数字乘积的素数。
一般来说，在某种意义上，费马帕斯卡定理涉及到素数和二次形式的素性。
费马帕斯卡定理的应用十分广泛，从数论到几何，从抽象代数到编码学，几乎所有的计算机应用都可以从费马帕斯卡定理中受益。
例如，它被用于像RSA加密算法这样的算法，该算法将安全性和隐私性技术应用于电子商务，数字货币和网络安全。
总之，费马帕斯卡定理在数学和科学发展史中发挥了重要作用，它被认为是一个非常有用的结果，它能够帮助数学家正确地检查整数是否是某个数的平方数，同时也为数论，几何，抽象代数，编码学，电子商务，网络安全和数字货币等领域的发展做出了重要贡献。
费马帕斯卡定理的研究初衷是在1796年由意大利数学家费马所提出的。
费马帕斯卡定理是由两个变量构成，其中一个变量表示可以表示为某个数的平方数，另一个变量表示不能被表示为某个数的平方数。
费马帕斯卡定理表明，当一个整数n被4整除，并且存在一个整数x，使得n = x2 + 4x + 4时，n可以被表示为某个数的平方。
费马帕斯卡定理的研究也影响了拉格朗日方程的研究，该方法可以用于解决一类类似的强非线性方程组。
相关的数论，几何和抽象代数研究也受到这一定理的影响。
另外，此定理也为计算机算法提供了一种有效的检查整数是否是某个数的平方数的方法，它也有利于研究可以被表示为两个数字乘积的素数。
斯图尔特定理
赫尔曼·艾斯图尔特定理：“对任意自然数n，都有n^2+n+41是一个质数。
”
赫尔曼·艾斯图尔特是一位杰出的德国数学家，他在计算机科学和数论方面开
创了前所未有的思想和成就。
他最著名的贡献之一就是“艾斯图尔特定理”。
艾斯图尔特定理是一个有趣的数学定理，它告诉我们，任何自然数的平方加上
自然数在加上41之后，都会得到一个质数。
这个定理表明，无论你选择多少，只
要它是自然数，它的平方加上它本身加上41之后的结果都是质数。
实际上，艾斯图尔特定理的数学推导非常困难，因为它需要应用巴尔扎克定理
进行复杂的证明。
“艾斯图尔特定理”也是一个可以用程序来验证的定理，它几乎可以验证任何给定的自然数是否满足定理。
另外，艾斯图尔特定理也有其它重要应用。
可以通过检查是否满足定理来确定
某个给定的自然数是否是质数，这可以帮助我们确定大型数字的质数性质。
实际上，艾斯图尔特定理仍然是一个令人惊叹的数学定理，它是数学家花了几
个世纪来寻找的，并仍然能有助于我们找到质数。
这个定理表明，这个古老的定理仍然是现代数学的一个坚实的基石，它仍然有很多的实际价值。
第1讲 幂的运算1. 掌握正整数幂的运算性质（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法）；2. 能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算.知识点01同底数幂的乘法+⋅=m n m n a a a (其中,m n 都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式. （2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即mnpm n pa a a a++⋅⋅=（,,m n p 都是正整数）.（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。
即m nm n a a a +=⋅（,m n 都是正整数）.【知识拓展1】计算：（1）234444⨯⨯； （2）3452622a a a a a a ⋅+⋅-⋅；（3）11211()()()()()nn m n m x y x y x y x y x y +-+-+⋅+⋅+++⋅+．【即学即练1】计算：（1）5323(3)(3)⋅-⋅-； （2）221()()ppp x x x +⋅-⋅-（p 为正整数）；知识精讲目标导航（3）232(2)(2)n⨯-⋅-（n 为正整数）．【即学即练2】计算：(1)35(2)(2)(2)b b b +⋅+⋅+； (2)23(2)(2)x y y x -⋅- ．【知识拓展2】已知2220x +=，求2x 的值．知识点02幂的乘方()=m nmna a(其中,m n 都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.要点诠释：（1）公式的推广：(())=m n pmnpa a (0≠a ，,,m n p 均为正整数)（2）逆用公式： ()()nmmnm n a aa ==，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.【知识拓展1】计算：（1）2()m a ； （2）34[()]m -； （3）32()m a-．【即学即练1】计算：（1）23[()]a b --； （2）32235()()2y y y y +-；（3）22412()()m m x x -+⋅； （4）3234()()x x ⋅．【知识拓展2】已知25mx =，求6155m x -的值．【即学即练1】已知2a x =，3b x =．求32a bx +的值．【即学即练2】已知84=m ，85=n ，求328+m n的值．【即学即练3】已知435,25ab m n ==，请用含m 、n 的代数式表示43625a b +.【即学即练4】已知2139324n n ++=，求n 的值；【即学即练5】已知322,3m m a b ==，则()()()36322mm m ma b a b b +-⋅＝ ．知识点03积的乘方法则()=⋅n n n ab a b (其中n 是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.要点诠释：（1）公式的推广：()=⋅⋅nnnnabc a b c (n 为正整数).（2）逆用公式：()nn na b ab =逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：1010101122 1.22⎛⎫⎛⎫⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【知识拓展1】指出下列各题计算是否正确，指出错误并说明原因：（1）22()ab ab =； （2）333(4)64ab a b =； （3）326(3)9x x -=-．【即学即练1】计算：（1）24(2)xy - （2）24333[()]a a b -⋅-【即学即练2】下列等式正确的个数是( )． ①()3236926x yx y -=- ②()326m m a a -= ③()36933a a =④()()57355107103510⨯⨯⨯=⨯ ⑤()()1001001010.520.522-⨯=-⨯⨯A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【知识拓展2】计算：1718191(3)(2)6⎛⎫-⨯-⨯- ⎪⎝⎭.知识点04 同底数幂的除法同底数幂的除法法则同底数幂相除，底数不变，指数相减，即mnm na a a-÷=（a ≠0，m n 、都是正整数，并且m n >）要点诠释：（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算.（2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式. （3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质. （4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式. 零指数幂任何不等于0的数的0次幂都等于1.即01a =（a ≠0）要点诠释：底数a 不能为0，00无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积.因此常数项也叫0次单项式.【知识拓展1】计算：（1）83x x ÷； （2）3()a a -÷； （3）52(2)(2)xy xy ÷； （4）531133⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【即学即练1】计算下列各题：（1）5()()x y x y -÷- （2）125(52)(25)a b b a -÷-（3）6462(310)(310)⨯÷⨯ （4）3324[(2)][(2)]x y y x -÷-【知识拓展2】已知32m =，34n =，求129m n+-的值．【即学即练1】已知2552m m⨯=⨯，求m 的值．1.已知(-x )a +2⋅ x 2a ⋅ (-x )3= x 32 ， a 是正整数，求a 的值．2.已知n 为正整数，化简： (-x 2 )n+ (-x n )2．3.已知： 3x +1 ⋅ 2x - 3x ⋅ 2x +1 = 216 ，试求 x 的值．能力拓展4.已知35m =，45381m n -=，求201620151n n ⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭的值．5.如果整数x y z 、、满足151627168910xy z⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，求2x y z y +-的值．6.已知()231x x +-=，求整数x ．题组A 基础过关练一、单选题1．（2022·全国·七年级）化简1x y +-（）的结果是（ ）A ．11x y --+B ．1xy C ．11x y+D ．1x y+ 2．（2022·全国·七年级）计算52x x ÷结果正确的是（ ）. A ．3B ．3xC ．10xD ．25x3．（2021·甘肃白银·七年级期末）花粉的质量很小，一粒某种植物花粉的质量约为0.000036mg ，那么0.000036mg 用科学记数法表示为（ ） A ．53.610mg -⨯ B ．63.610mg -⨯C ．73.610mg -⨯D ．83.610mg -⨯二、填空题4．（2022·黑龙江杜尔伯特·七年级期末）若am ＝10，an ＝6，则am +n ＝_____．分层提分5．（2022·全国·七年级）计算34x x x ⋅+的结果等于________． 6．（2022·黑龙江杜尔伯特·七年级期末）22013•（12）2012＝_____． 7．（2021·上海虹口·七年级期末）计算：23(3)a =_______．8．（2022·全国·七年级）若0(3)1x -=，则x 的取值范围是________． 9．（2022·全国·七年级）计算：0113()22-⨯+-=______．三、解答题10．（2022·全国·七年级）计算：（1）35(2)(2)(2)b b b +⋅+⋅+； （2）23(2)(2)x y y x -⋅- ．11．（2018·全国·七年级课时练习）1千克镭完全蜕变后，放出的热量相当于3.75×105千克煤放出的热量，据估计地壳里含1×1010千克镭，试问这些镭完全蜕变后放出的热量相当于多少千克煤放出的热量？12．（2020·浙江杭州·模拟预测）计算题（结果用幂的形式表示）：（1）2322⨯ （2）()32x （3）()()322533-⋅13．（2021·上海普陀·七年级期末）计算：2110213(2020)34π---⎛⎫⎛⎫⨯+-÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．题组B 能力提升练1．（2022·全国·七年级）计算：（1）234444⨯⨯； （2）3452622a a a a a a ⋅+⋅-⋅；（3）11211()()()()()n n m n m x y x y x y x y x y +-+-+⋅+⋅+++⋅+．2．（2021·上海市民办新竹园中学七年级期中）计算：121432413()()()922x z y z y x------÷-⋅-3．（2022·全国·七年级）规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作23，读作“2的3次商”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）4，读作“﹣3的4次商”，一般地，把n aa a a a÷÷÷÷个（a ≠0）记作an ，读作“a 的n 次商”．【初步探究】（1）直接写出计算结果：23＝ ，（﹣3）4＝ ； （2）关于除方，下列说法错误的是 ；A ．任何非零数的2次商都等于1；B ．对于任何正整数n ，（﹣1）n ＝﹣1；C ．34＝43；D ．负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数．【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？例如：2411112222222222⎛⎫=÷÷÷=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭．（3）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式．（﹣3）4＝ ；517⎛⎫⎪⎝⎭＝ ．（4）想一想：将一个非零有理数a 的n 次方商an 写成幂的形式等于 ． （5）算一算：2453111152344⎛⎫⎛⎫⎛⎫÷-⨯-+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭= ．4．（2021·江苏·苏州市工业园区第一中学七年级阶段练习）已知10×102＝1000＝103， 102×102＝10000＝104， 102×103＝100000＝105．（1）猜想106×104＝ ，10m ×10n ＝ ．（m ，n 均为正整数） （2）运用上述猜想计算下列式子：①（1.5×104）×（1.2×105）； ②（﹣6.4×103）×（2×106）．5．（2022·全国·七年级）阅读，学习和解题． (1)阅读和学习下面的材料:学习以上解题思路和方法，然后完成下题: 比较34040，43030，52020的大小． (2)阅读和学习下面的材料:学习以上解题思路和方法，然后完成下题:已知am ＝2，an ＝3，求a 2m +3n 的值．(3)计算:(－16)505×(－0.5)2021．题组C 培优拔尖练一、单选题1．（2021·江苏·宜兴市实验中学七年级期中）计算100501111122222⋅⋅⋅-⋅⋅⋅个个其结果用幂的形式可表示为（ ） A ．25033333⋅⋅⋅个 B ．26033333⋅⋅⋅个 C ．27033333⋅⋅⋅个 D ．28033333⋅⋅⋅个2．（2022·全国·七年级）观察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2；…已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，若2100＝S ，用含S 的式子表示这组数据的和是（ ） A ．2S 2﹣SB ．2S 2+SC ．2S 2﹣2SD ．2S 2﹣2S ﹣2二、填空题3．（2019·浙江·温州市第二十三中学七年级期中）已知整数a b c d 、、、满足a b c d ＜＜＜且234510000a b c d =，则432a b c d +++的值为_____．4．（2021·北京八十中七年级期中）已知一列数：-2，4，-8，16，-32，64，-128，……，将这列数按如右图所示的规律排成一个数阵，其中，4在第一个拐弯处，-8在第二个拐弯处，-32在第三个拐弯处，-128在第四个拐弯处，……，则第六个拐弯处的数是________，第一百个拐弯处的数是___________．三、解答题5．（2019·甘肃·甘州中学七年级阶段练习）已知（﹣13xyz ）2M ＝13x 2n+2y n+3z 4÷5x 2n ﹣1y n+1z ，自然数x ，z 满足123x z -⋅＝72，且x ＝z ，求M 的值．6．（2021·全国·七年级专题练习）阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J ．Napier ，1550年-1617年），纳皮尔发明对数是在指数概念建立之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Euler ，1707年-1783年）才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若(0,1)x a N a a =≠＞，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =．比如指数式4216=可以转化为24log 16=，对数式52log 25=可以转化为2525=．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：a log(?)log M N M =+log (0,a 1,0,N 0)a N a M ≠＞＞＞．理由如下：设a log M m =，a log N n =，所以m M a =，n N a =，所以m n m n MN a a a +==，由对数的定义得a log ()m n M N +=+，又因为a log log a m n M N +=+，所以log ()log log a a a MN M N =+．解决以下问题： （1）将指数35125=转化为对数式： ．（2）仿照上面的材料，试证明：log log -log (0,1,0,0)a a a M M N a a M N N=≠＞＞＞ （3）拓展运用：计算333log 2log 18-log 4+= ．7．（2019·江苏·汇文实验初中七年级阶段练习）（1）填空：21﹣20＝______＝2(_____)22﹣21＝_____＝2(______)23﹣22＝______＝2(______)…（2）探索（1）中式子的规律，试写出第n 个等式，并说明第n 个等式成立； （3）计算20+21+22+ (22019)8．（2021·全国·七年级专题练习）观察下面三行单项式：x ，22x ，34x ，48x ，516x ，632x ，⋯；①2x -，24x ，38x -，416x ，532x -，664x ，⋯；②22x ，33x -，45x ，59x -，617x ，733x -，⋯；③根据你发现的规律，解答下列问题：（1）第①行的第8个单项式为_______；（2）第②行的第9个单项式为_______；第③行的第10个单项式为_______； （3）取每行的第9个单项式，令这三个单项式的和为A ．当12x =时，求15124A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．9．（2021·全国·七年级课时练习）探究：22﹣21=2×21﹣1×21=2( )23﹣22= =2( )，24﹣23= =2( )，……（1）请仔细观察，写出第4个等式；（2）请你找规律，写出第n 个等式；（3）计算：21+22+23+…+22019﹣22020．10．（2021·江苏连云港·七年级期中）阅读下列材料：小明为了计算22020202112222+++⋅⋅⋅++的值，采用以下方法：设22020202112222S +++⋅⋅⋅++=①则22021202222222S =++⋅⋅⋅++②②-①得，2022221S S S -==-．请仿照小明的方法解决以下问题：（1）220222++⋅⋅⋅+=______；（2）求2501111222+++⋅⋅⋅++=______； （3）求()()()2100222-+-+⋅⋅⋅+-的和；（请写出计算过程）（4）求2323n a a a na +++⋅⋅⋅+的和（其中0a ≠且1a ≠）．（请写出计算过程）。
费马帕斯卡定理
费马帕斯卡定理，又称费马小定理，是由德国数学家菲利普·马尔科夫·费马于1796年提出的。
它是有关整数的重要定理，说明了在正整数和素数之间存在着特殊的关系。
如果某个正整数是一个素数的幂次，那么它将和其他正整数形成一种特殊的等式关系。
费马帕斯卡定理有很多重要的应用，其中最重要的是费马平凡性定理。
这个定理指出，任何一个满足高等数学中的特殊形式的方程，都可以使用费马小定理来求解。
费马帕斯卡定理在研究素数性质及其产生方式上也有重要的应用。
费马帕斯卡定理的本质是：对于给定的正整数n，如果它
是一个素数的幂次，那么它满足下列等式：a^n ≡ a (mod n)
其中a是整数，n是正整数，且a与n互素。
费马帕斯卡定理的证明分为两步：首先，证明一个正整数
n是一个素数的幂次，那么它就满足上面的等式；其次，证明
一个正整数n满足上面的等式，那么它就是一个素数的幂次。
费马帕斯卡定理的应用极其广泛，它被广泛应用于加密学、数论、公共交通计算、素数分解等领域，并且在数学及应用数学中也有着重要的意义。
费尔玛猜想费尔马(Fermat)是17世纪最卓越的数学家之一，终身职业是律师，业余时间喜欢恬静生活，全部精力花费在钻研数学和物理上．他在数论、几何和概率论等学科都作出了重大的贡献．他没有正式发表过他的论文，他常把他的想法或结果写在私人通信里，让别人也去想，也去证明，或者他写在看过的丢番图(Diophantos)的算术一书的页边空白处．1637年他写下了下面这段话：“把一个立方数分成两个立方数的和，把一个四次方数分成两个四次方数的和，或更一般地，把任意一个n次方数分成两个n次方数的和．对这一事实，我已经找到了一个绝妙的证明．但这里空白太小，写不下．”这段叙述用数学式子来表示，就是当整数n＞2时，不定方程x n+y n=z n没有正整数解．这就是费尔马猜想．在数学上，已予证明的命题才称为“定理”，既然费尔马声称已为他的这个命题找到了一个绝妙的证明，而且由于他在数学上的卓著成就，人们相信他的话是真的，因此就称这个命题为“定理”．国外普遍称之为费尔马最后定理，而我国普遍称之为费尔马大定理．为什么这样叫呢？名称的来源很大可能是费尔马在数论中提出很多命题，后来的数学家经过长期努力，证明大部分是正确的，只有一个是错误的，到1840年为止，只有这个定理未被证明，所以称为最后定理．我国普遍叫这个猜想为费尔马大定理，是为了与他的下列小定理进行区分：“若p为素数，a与p互素，则a p-1≡1(mod p)．”这个小定理在研究二次同余式和素性判别法中现在仍起很大作用．他的遗著发表了，人们很想从中知道他怎样证明的，但也无影无踪．因此，给出这个证明，便是后代数学家义不容辞的任务．后来的历史表明，这个任务实在是太艰巨了．大批杰出的数学家为了寻求他的证明付出了无数的时间和精力，有的数学家还为此献出了毕生心血，都未能达到成功的终点．令数学家们感到安慰的是，在这漫长曲折的科学道路攀登中，有利于猜想成立的某些结论不停地在推进中(1977年Wagstaff在大型计算机帮助下当2＜p＜125000时费尔马猜想成立)，更值得高兴的是为了征服这一世界难题，创造出许多新的且有用的数学方法．求解方法对费尔马猜想的证明，实际上只需证明x4＋y4＝z4和x p＋y p=z p，p为奇素数都没有正整数解即可．n=4的情形，费尔马本人已经证明，因此剩下的只有n=p——奇素数的情形了，其证明是非常困难的．首先，1770年欧拉对于n=3情形的证明．后来有人发现，他的证明还不够完全．因为他曾引进一种形如的数.他发现这种数与整数有许多相似的性质.正由于这种相似性,就引唯一分解成为素数这一性质可推出整数有如下性质：互素的整数的乘积是一个立方数只有当每个整数因子是立方数才行．因为当时还不知道形的数中素数是什么．于是他用类比方法推广到这类数中去，就得到：若得证．后来人们稍加修改，实质上欧拉还算是证明了n=3的情形．欧拉的方法和技巧对以后的研究有很大的启发性．特别是通过类比大的想象力．为后来数学家引出正则素数概念，推进猜想的证明作出不小贡献．(1)代数数论的方法——库默(Kummer)的工作对证明费尔马猜想作出实质性贡献的是19世纪德国数学家库默．具体地说，库默的重要工作是分圆域，且用它的理论在证明费尔马猜想上作出重大贡献．多项式x p-1+x p-2+…+x+1的根．数域Q(η)叫做分圆域．可以证明z(η)由所有形如C0＋C1η＋…＋C p-2ηp－2的数组成，其中C0，C1，…，C p-2取有理整数．在z(η)中，费尔马方程x p+y p=z p可通过因式分解表示为(x＋y)(x＋ηy)(x+η2y)…(x＋ηp-1y)=z p这时要是唯一分解定理成立，问题就好办了．实际上z(η)中唯一分解定理并不对所有η都一定成立．为了弥补这一缺陷，库默引进了理想数．他利用理想数论知识证明了如下重要定理：“若p为正规素数时，则方程x p+y p=z p没有正整数解，其中x，y，z两两互素．”对于正规素数的个数是有限还是无限，是一个没有解决的问题．但给出一个素数p，我们有办法判断它是否为正规素数．定义贝努里数B m(m=1，2，…)为计算得一个数的分子，则p是正规素数．用这个方法断定，对于小于100的奇素数，除37，59，67外，都是正规素数．因此，由上面定理可知，对于小于100的奇素数p，费尔马猜想成立．这里，我们不要小看这一成果，只要回顾在库默以前证明费尔马猜想的缓慢进度(从1676年～1839年的163年间只证得n=7情形)，就可看出这个结果在当时是多么了不起的成就．(2)代数几何的方法——法尔廷斯(Faltings)的工作本世纪80年代开始，向费尔马猜想展开了新的一轮进攻．那是1983年西德29岁的年轻数学家法尔廷斯一举证明了代数几何领域中的所谓“莫德尔(Mordell)猜想”．为证明费尔马猜想又迈进了重要的一步．什么是莫德尔猜想？它与费尔马猜想有什么关系？莫德尔猜想：设F(x，y)是两个变量x，y的有理系数多项式，那么，当曲线F(x，y)=0的亏格不小于2时，方程F(x，y)=0至多有有限组有理解．令F(x，y，z)为n次齐次多项式，其中n为f(x，y)的次数，并使F(x，y，1)＝f(x，y)，则f(x，y)的亏格g为当f(x，y)没有奇点时取等号．费尔马多项式x n＋y n-1没有奇点，当n≥4时，费尔马多项式满足得推论：x n+y n=z n最多只有有限多组互素的正整数解．如果我们再能进一步证明这有限多个正整数解为空集，那么这个费尔马猜想就得证了．这一令数学界欢欣鼓舞的结论使人们见到了穿破愁云的希望之光．法尔廷斯也因这一杰出成果获得数学界的最高奖——菲尔兹(Fields)奖．通过费尔马猜想与莫德尔猜想之间的联系，使我们看到，考虑猜想之间的联系是解决猜想的一个重要思维途径．数学家认为，沿法尔廷斯方法去证费尔马猜想虽迈出重要一步，要达到终点还有一段很长的路．要获得成功常常需要数学家用深邃的洞察力寻求数学各分支间出人意料的奇妙联系．1955年、1971年，日本数学家Taniyama、Shimura提出一个猜想：椭圆曲线都是模曲线——简称“T—S猜想”．椭圆曲线是由方程y2=x3＋ax＋b定义的曲线；能用模函数来参数化的椭圆曲线叫模曲线。
ackermann模型的公式Ackermann模型是一种用于计算机科学和数学中的递归函数。
它由德国数学家Wilhelm Ackermann在1928年引入，用于研究递归函数的增长速度。
Ackermann模型的公式定义如下：A(m,n) =n+1, 当m=0时A(m-1,1), 当m>0且n=0时A(m-1,A(m,n-1)), 当m>0且n>0时在Ackermann模型中，m和n是两个非负整数参数。
这个模型的定义是递归的，即在计算A(m,n)时会调用A函数本身。
Ackermann模型的特点是其增长速度非常快，随着参数m和n的增大，计算的时间复杂度呈指数级增长。
这是因为在每一步计算中，都要调用A函数本身，并且调用次数与参数m和n的值有关。
尽管Ackermann模型的计算速度很慢，但它在计算机科学中仍然具有重要的意义。
它被广泛用于研究递归函数的性质和计算理论的基础。
Ackermann模型的性质使得它成为研究计算复杂性和可计算性的重要工具。
尽管Ackermann模型的计算速度很慢，但它在计算机科学中仍然具有重要的意义。
它被广泛用于研究递归函数的性质和计算理论的基础。
Ackermann模型的性质使得它成为研究计算复杂性和可计算性的重要工具。
Ackermann模型的计算过程可以用递归的方式描述。
在每一步计算中，根据公式的定义，会有三种情况需要考虑。
如果m=0，那么结果就是n+1。
如果m>0且n=0，那么结果是A(m-1,1)。
如果m>0且n>0，那么结果是A(m-1,A(m,n-1))。
为了更好地理解Ackermann模型，我们可以通过几个具体的例子来演示它的计算过程。
考虑计算A(0,0)。
根据公式的定义，此时m=0，n=0。
根据第一种情况，结果是0+1=1。
接下来，考虑计算A(1,1)。
根据公式的定义，此时m=1，n=1。
根据第三种情况，结果是A(0,A(1,0))。
黑龙江佳木斯市2024高三冲刺（高考数学）苏教版能力评测(拓展卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知函数是奇函数，且，则的值为（）A．2B．C．6D．第(2)题复数的虚部是（）A．B．1C．D．2第(3)题用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面（抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲而叫抛物面）的反射后，集中于它的焦点．用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线放在平面直角坐标系中，对称轴与轴重合，顶点与原点重合，如图，若抛物线的方程为，平行于轴的光线从点射出，经过上的点反射后，再从上的另一点射出，则（）A．6B．8C．D．29第(4)题已知长方体的一条棱长为2，体积为16，则其外接球表面积的最小值为（）A．B．C．D．第(5)题、是抛物线上关于直线对称的两点，则A．B．C．D．第(6)题已知正项等比数列满足，则的最小值是（）A．4B．9C．6D．8第(7)题质数（prime number）又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数，数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”.如：3和5，5和7……，在1900年的国际数学大会上，著名数学家希尔伯特提出了23个问题，其中第8个就是大名鼎鼎的孪生素数猜想：即存在无穷多对孪生素数.我国著名数学家张益唐2013年在《数学年刊》上发表论文《素数间的有界距离》，破解了困扰数学界长达一个半世纪的难题，证明了孪生素数猜想的弱化形式.那么，如果我们在不超过的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件，这两个数都是素数；事件：这两个数不是孪生素数，则（）A．B．C．D．第(8)题已知在长方体中，，点，，分别在棱，和上，且，，，则平面截长方体所得的截面形状为（）A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知为两个平面，且是两条不重合的直线，则下列结论正确的是（）A．存在，使得B．存在，使得C．对任意，存在，使得D．对任意，存在，使得第(2)题瑞士数学家欧拉(E uler)1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知△ABC的顶点A(－4,0)，B(0,4)，其欧拉线方程为x－y＋2＝0，则顶点C的坐标可以是（）A．(2,0)B．(0,2)C．(－2,0)D．(0,－2)第(3)题函数是取整函数，也被称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，例如：，.若在函数的定义域内，均满足在区间上，是一个常数，则称为的取整数列，称为的区间数列.下列说法正确的是（）A．的区间数列的通项B．的取整数列的通项C．的取整数列的通项D．若，则数列的前项和三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题写出一个，使得函数的图象关于点对称，则可以为__________．第(2)题的展开式中，的系数是的系数与的系数的等差中项.若实数，那么___________.第(3)题为应对新冠疫情，许多企业在非常时期转产抗疫急需物资，某工厂转产甲、乙、丙、丁四种不同型号的防疫物资，产量分别为件.为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽.取件进行检验，则应从甲种型号的产品中抽取____________件.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知为的切线，与交于，弦经过点.求证：平分.第(2)题已知数列是等差数列，且，，分别是公比为2的等比数列中的第3，4，6项.(1)求数列和的通项公式；(2)若数列通项公式为，求的前100项和.第(3)题设函数，其中a为常数．对于给定的一组有序实数，若对任意、，都有，则称为的“和谐数组”．(1)若，判断数组是否为的“和谐数组”，并说明理由；(2)若，求函数的极值点；(3)证明：若为的“和谐数组”，则对任意，都有．第(4)题已知圆：，圆：，动圆与圆外切并且与圆内切.(1)求动圆圆心E的轨迹方程；(2)过点的直线与动圆圆心E的轨迹相交于A，B两点，在平面直角坐标系xOy中，是否存在与M不同的定点N，使得恒成立？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.第(5)题的内角A，，所对的边分别为，，，已知，．(1)若，求；(2)若，是的中点，求的长．。
哥德巴赫猜想python哥德巴赫猜想是一个数学问题，它的核心思想是：任何一个大于2的偶数都可以表示成两个质数之和。
这个猜想被提出了几百年，但一直没有得到证明。
直到20世纪初，一位名叫拉马努金的印度天才数学家给出了一个证明方法，但这个方法非常复杂，难以理解。
直到现在，哥德巴赫猜想仍然是一个未解决的问题。
Python作为一种高级编程语言，在数学领域中有着广泛的应用。
下面我们将介绍如何使用Python来探索哥德巴赫猜想。
1. 哥德巴赫猜想的背景哥德巴赫猜想最早由德国数学家克里斯蒂安·哥德巴赫于1742年提出。
他认为任何一个大于2的偶数都可以表示成两个质数之和。
这个问题在当时引起了广泛关注，并被称为“最古老、最简单、最美丽”的未解决问题之一。
2. Python实现哥德巴赫猜想Python作为一种高级编程语言，可以用来实现哥德巴赫猜想。
下面我们将介绍一些Python代码来探索这个问题。
首先，我们需要编写一个函数来判断一个数是否为质数。
质数是指只能被1和自身整除的正整数。
以下是一个简单的Python代码：```pythondef is_prime(n):if n <= 1:return Falsefor i in range(2, int(n**0.5)+1):if n % i == 0:return Falsereturn True```接下来，我们可以编写一个函数来找出所有小于等于n的质数。
以下是一个简单的Python代码：```pythondef primes(n):primes_list = []for i in range(2, n+1):if is_prime(i):primes_list.append(i)return primes_list```然后，我们可以编写一个函数来检查哥德巴赫猜想是否成立。
以下是一个简单的Python代码：```pythondef goldbach_conjecture(n):prime_list = primes(n)for prime in prime_list:if n - prime in prime_list:return Truereturn False```最后，我们可以编写一个程序来测试哥德巴赫猜想。
fermat定理Fermat定理，又称Fermat小定理，是法国数学家费马（Pierre de Fermat）研究出来的一个著名的数论定理，它给出了一个整数的最大平方因子之和的上限，也是现代数论中最基本且重要的定理之一。
费马最初在1637年提出了Fermat定理，但这个定理直到18th世纪末才得到证明。
费马曾在他的一本书中写道“我发现了一条非常有趣的定理，但我无法证明”。
这就是费马小定理。
具体来说，Fermat定理表示，任何一个大于2的正整数n，都有一个整数解，这个整数的最大平方因子之和的上限是2^(n-2)，即2的(n-2)次幂。
例如，如果n = 4，则最大平方因子之和的上限是2^(4-2) = 4，因此，有效地将n等于4分解为两个平方数之和的最大值是4。
由此可见，Fermat定理说明了某些正整数的最大平方因子之和的上限。
费马小定理的运用非常广泛，它对密码学有重要意义，由此而发展出了RSA加密算法，用于加密数字信息，这是现今最流行的加解密技术之一。
此外，Fermat定理也在高等数学和计算机科学研究中有重要的意义。
在证明Fermat定理之前，费马有一个更强大的定理，也就是费马大定理（Fermat’s Last Theorem），它是一个相当复杂的猜想，表明对于n>2的任何正整数n，都不存在任何非零整数（a,b,c）满足方程式a^n + b^n = c^n。
直到1995年，美国数学家安德鲁萨拉斯（Andrew Wiles）证明了这个定理。
Fermat定理的本身推广到了其他类型的数学定理，其中最重要的是高斯费马定理，有着极重要的意义。
高斯费马定理（Gauss-Fermat theorem）指出一个正整数n，可以被写为一个平方因子加上（n+1）个原始质数的平方因子。
这个定理同样引入了许多数学和计算机科学研究中极其重要的理论，甚至可以被用于实际应用。
有关Fermat定理的研究可以说是一个宝藏，它揭示了许多有趣的数学定理，并且它的无限表达令人叹为观止。
阿萨姆定理阿萨姆定理是一个重要的数学定理，对于初学者来说可能显得有些抽象和难以理解。
但是通过生动的例子和全面的解析，我们可以更好地理解和应用这一定理。
本文将以简洁明快的语言介绍阿萨姆定理，帮助读者更好地理解和应用它。
阿萨姆定理，也被称为费马定理，是一个关于立方和的数学定理，由法国数学家费尔马在17世纪末提出。
该定理表述为：对于任意大于2的正整数n，不存在整数解使得a^n + b^n = c^n成立。
换句话说，不存在三个整数a、b和c，使得a、b、c的n次方之和等于另一个正整数的n次方。
为了更好地理解这个定理，我们以n=2的情况为例。
当n=2时，阿萨姆定理可以简化为勾股定理。
我们都知道，在一个直角三角形中，较短的两边的平方和等于斜边的平方。
这种关系可以用公式a^2 + b^2 = c^2来表示，其中a和b为两条较短的边长，c为斜边长。
阿萨姆定理告诉我们，类似于直角三角形中的关系，对于指数大于2的任意整数n，不存在整数解使得a^n + b^n = c^n成立。
这个定理的证明一直是数学界的难题，直到1994年著名数学家安德鲁·怀尔斯提出了一种通用形式的证明方法，被称为怀尔斯证明。
阿萨姆定理在数论和代数等领域具有广泛的应用。
它的应用范围包括密码学、编码理论和电子商务等。
由于在计算机科学和信息安全领域有着重要的应用，阿萨姆定理也成为了计算机科学专业中必修的数学课程。
阿萨姆定理虽然抽象，但对于数学爱好者和专业人士来说却是一块宝藏。
通过深入研究这一定理，我们可以了解到数学的奥秘和无限的魅力。
阿萨姆定理的扩展和变种问题也是数学竞赛和学术研究的重要方向之一。
为了更好地理解和掌握阿萨姆定理，学生们可以通过解决一些相关的习题和问题来提高自己的数学能力。
同时，我们也应该重视数学的逻辑思维和问题解决能力的培养，这对于掌握阿萨姆定理及其相关的数学概念至关重要。
总之，阿萨姆定理作为一个重要的数学定理，在数学领域有着广泛的应用和研究价值。
世界上题目最长的数学题
（最新版）
目录
1.世界上题目最长的数学题的背景和历史
2.题目的内容和难度
3.该题目的解决历程和影响
正文
1.世界上题目最长的数学题的背景和历史
“世界上题目最长的数学题”通常指的是“费马大定理”(Fermat"s Last Theorem)。
这个定理最初是由法国数学家皮埃尔·德·费马 (Pierre de Fermat) 在 17 世纪提出的。
费马在数学领域中有很多贡献，但是这个定理的提出却引起了数百年的数学探索和研究。
2.题目的内容和难度
费马大定理的表述非常简单：对于任何大于 2 的整数 n，方程 x^n + y^n = z^n 没有正整数解。
也就是说，费马大定理陈述的是一个看似简单的数学问题，但实际上却极为困难。
这个问题的难度在于，它需要数学家们使用高深的数学知识和技巧才能解决。
3.该题目的解决历程和影响
费马大定理的解决历程非常漫长。
费马本人曾经在书中写下这个定理的证明，但是却没有留下具体的证明过程。
数学家们花费了数百年的时间来尝试解决这个问题，但是一直无法找到确凿的证据来证明它。
直到 1994 年，英国数学家安德鲁·怀尔斯 (Andrew Wiles) 才成功地证明了费马大定理。
怀尔斯使用了许多现代数学工具和方法，其中包括代数几何、调和分析等等。
他的证明被广泛接受，并被认为是数学史上最伟大的成就之一。
费马大定理的证明对于数学领域产生了深远的影响。
它不仅解决了一个长期悬而未决的数学问题，而且推动了数学的发展，开创了新的数学领域和方法。
论文翻译
By 姜新韵3090104480 一种有效的计算2^m个因子交叉影响的实验被一个名叫Y ATES 的人介绍并广泛的为人所知。
3的m次方的推广被Box 等人的人给出。
Good总结了这些方法并给出了针对每一中类型一个精确的算法。
在他们全面的总结中，Good的方法对于某些问题时使用的，那些问题必须用一个可以分解成m个稀有矩阵的n*n矩阵乘以一个n向量的很有效，其中m与logN成正比。
它所产生的过程，其所需要的操作次数不再于N的平方成比例而与NlogN成比例。
这个方法在这里被应用于复数傅里叶序列的计算。
当数据个数是，或者可以被设定为一个合成度很高合数时，这些方法非常有效。
这里提出的计算方法是由上述演变而来，并且以一种不一样的形式表示。
这种方法更多的关注于N的选择。
这也显示了，在使用二进制的时候，我们能得到十分特殊的优势，只需要N列数据储存来实现整个计算过程。
考虑如下复数傅里叶序列
（1）
其中所给傅里叶系数A(k)为复数，W是
（2）
一个直接使用(1)的计算需要N^2次操作，其中"操作"在本文中指一次复数乘法与一次复数加法。
这里描述的算法在此申明所给复数傅里叶幅度数组并在少于2NlogN次操作数内得到结果且不需要比已经要求的数列A更多的数据储存。
要延伸这个算法，假设N是一个合数，即N=r1*r2,将（1）中的系数表示如下：
（3）
于是有
（4）
因为
（5）
内部和仅仅决定于j0和k0，并且可以定义为一个新的数组
（6）
结果可写作
（7）
在数组A1中有N个元素，每个都需要r1次操作，共需要Nr1次操作才能获得A1.类似的，需要N2次操作来用A1计算X。
因此，（6）（7）所给出的两步算法总共需要
(8)
次操作。
很容易看出，连续应用以上从（6）的以上过程，是如何给出一个m步的算法，需要（9）
次操作，其中
（10）
如果，其中，那么，除非
，当时。
总体来说，用尽可能多的分解因数可以提供（9）的最小值，但是用二的因数可以以对的形式结合而不造成任何损失。
如果我们能选择N使之有尽量多的约数，我们可能有很多
获益。
如果所有都等于r，那么有（10）我们可知
（11）
操作的总次数为
（12）
如果，那么我们发现
（13）
于是
是以下各量的加权平均数。
其值如下所示：
形式上，的用法是最有效率的，但是其收益仅仅比2或者4时高6%，二后者还有其他优势。
如果有必要，rj增大10到会增加计算量，但是增加量不会超过50%。
由此可得，我
们可以在一定的百分比的范围内，得到任何给定的大数的N的“高度复合”数值。
在有可能的情况下，N=r^m，其中r=2或4提供了一个对于使用二进制的电脑很重要的，
在寻址方面与相乘方面两方面上的优势。
r=2的算法有一下表示系数的形式延伸而来
（14）
此处jv和kv等于0或1，是二进制表示中各自字节位置的j或k。
所有的数组会被写作他们系数的二进制数的函数。
根据上述原则，（1）被写为
（15）
其中k=0，1因为
（16）
（15）最内层的和，仅仅之决定于j0，km-2....k0可以写作
（17）
继续看到下一个最内层和，以及其后面的，使用
（18）
得到连续数组
（19)
当l=1,2,....m时.
写出和式所得
（20）
根据编号的管理，其所储存的位置的地址索引为
（21）
从（20）中可以看出，。
平行计算是可行的，因为（20）所描述的操作可以被所有j0，....，kl-2和k0,...,km-l-1自发的执行。
在某些应用中，用（20）来一句Al-2表示Al是很方便的，giving what is equivalent to.....
计算的最后一列数组给出了所求的傅里叶和，
（22）
以这样的次序，X的下标的反转二进制数一定与Am的下标相同。
在某些应用中，其中傅里叶和要被求值两次，以上过程可以被编程，这样就不需要位的
反转。
例如，考虑差分方程的求解
（23）
现有的方法可以首先应用于使用下面的式子用来计算F（j）的傅里叶幅度
（24）
则，其解的热傅里叶幅度为
（25）
BkAk数组顺序为位反转，但是由于（20）的大幅度调制，Ak可以用于得出有正确标定指数的解。
一个在IBM7094上使用的电脑程序已经被开发出来了，它可以使用上述方法计算三位傅里叶和。
计算三位数组的计算时间如下所示：。
