实验四插值法

插值法实验报告插值法实验报告一、引言插值法是一种常用的数值分析方法，用于通过已知数据点的函数值来估计在其他位置的函数值。

它在科学计算、图像处理、工程设计等领域有广泛的应用。

本实验旨在通过实际操作，深入理解插值法的原理和应用。

二、实验目的1. 掌握拉格朗日插值法和牛顿插值法的原理和计算方法；2. 通过实验比较不同插值方法的精度和效率；3. 分析插值法在实际问题中的应用。

三、实验步骤1. 收集实验数据：在实验室内设置几个测量点，记录它们的坐标和对应的函数值；2. 使用拉格朗日插值法计算其他位置的函数值：根据已知数据点，利用拉格朗日插值公式计算其他位置的函数值；3. 使用牛顿插值法计算其他位置的函数值：根据已知数据点，利用牛顿插值公式计算其他位置的函数值；4. 比较不同插值方法的精度和效率：通过计算误差和运行时间，比较拉格朗日插值法和牛顿插值法的性能差异；5. 分析插值法在实际问题中的应用：结合实验结果，探讨插值法在实际问题中的优势和局限性。

四、实验结果与分析1. 拉格朗日插值法的计算结果：根据已知数据点，利用拉格朗日插值公式计算其他位置的函数值；2. 牛顿插值法的计算结果：根据已知数据点，利用牛顿插值公式计算其他位置的函数值；3. 误差分析：比较插值结果与真实函数值之间的误差，分析误差的来源和影响因素；4. 运行时间分析：比较不同插值方法的运行时间，分析其效率和适用场景。

五、实验结论1. 拉格朗日插值法和牛顿插值法都是常用的插值方法，它们在不同场景下有各自的优势；2. 插值法在实际问题中的应用需要考虑数据的分布、函数的性质和计算效率等因素；3. 本实验结果表明，拉格朗日插值法和牛顿插值法在精度和效率上存在差异，具体选择哪种方法应根据实际需求进行权衡。

六、实验总结通过本次实验，我们深入了解了插值法的原理和应用。

实验结果表明，插值法在科学计算和工程设计中具有重要的作用。

在实际应用中，我们需要根据具体问题的要求和数据的特点选择合适的插值方法，以达到更好的效果。

1 实验四 插值方法
一. 目的和意义 1. 学会常用的插值方法求函数的近似表达式，以解决实际问题. 2. 明确插值多项式和分段插值多项式各自的优缺点. 3. 熟悉插值方法的程序编制. 二. 问题 对给定的一元函数y = f (x)的n + 1个节点值yk = f (xk ), k = 0, 1, · · · , n, 试 用Lagrange公式求其插值多项式或分段线性插值多项式。 (1) 数据为 xk yk 0.4 0.41075 0.55 0.57815 0.65 0.69675 0.80 0.90 0.95 1.00 1.05 1.25382
n

n
x − xi yk xk − xi
Ln (x) =
k=0

i=0,i=k
编写出插值多项式程序。
2 2. 给出插值多项式或分段线性插值多项式的表达式。 3. 画出L5 (x)和L6 (x)的图形。 4. 对此插值问题用Newton插值方法。Newton插值多项式如下： Nn (x) = f (x0 ) + f [x0 , x1 ](x − x0 ) + f [x0 , x1 , x2 ](x − x0 )(x − x1 ) + · · · + f [x0 , x1 , x2 , · · · , xn ](x − x0 )(x − x1 ) · · · (x − xn−1 ). 求出ak = f [x0 , x1 , x2 , · · · , xk ], k = 0, 1, · · · , n的值。 四. 实验步骤 1. 进入Matlab开发环境. 2. 根据实验内容和要求编写程序. 3. 调试程序. 4. 运行程序. 5. 生成报告.
求5次Lagrange多项式L5 (x)和分段线性插值多项式，计算f (0.596)和f (0.99)。 (2) 数据为 xk yk 1 0.368 2 0.135 3 0.050 4 0.018 5 0.007 6 0.002 7 0.001

实验四、插值法插值法是函数逼近的一种重要方法，它是数值积分、微分方程数值解等数值计算的基础与工具，其中多项式插值是最常用和最基本的方法。

拉格朗日插值多项式的优点是表达式简单明确，形式对称，便于记忆，它的缺点是如果想要增加插值节点，公式必须整个改变，这就增加了计算工作量。

而牛顿插值多项式对此做了改进，当增加一个节点时只需在原牛顿插值多项式基础上增加一项，此时原有的项无需改变，从而达到节省计算次数、节约存储单元、应用较少节点达到应有精度的目的。

一、实验目的1、理解插值的基本概念，掌握各种插值方法，包括拉格朗日插值和牛顿插值等，注意其不同特点；2、通过实验进一步理解并掌握各种插值的基本算法。

二、Matlab 命令和程序命令 poly ：创建一个向量，其分量为一个多项式的系数，该多项式具有给定的根。

命令polyval:求多项式的值，命令 conv : 创建一个向量，其分量为一个多项式的系数，该多项式是另外两个多项式的积polyval(C,2)>> P=poly(2)P=1 -2Q=poly(3)Q=1 -3>> conv(P,Q)ans=1 -5 6>> polyval(P,2)ans=1、拉格朗日插值( 基于N+1个点 ，计算0(()()nn k k k L x f x l x ==∑）拉格朗日多项式)function [C,L]=lagran(X,Y)%input --X is a vector that contains a list of abscissas% Y is a vector that contains a list of ordinates%output--C is a matrix that contains the coefficient of the lagrane % interplatory polynomial% -- L is a matrix that contains the Lagrange coefficent polynomials w=length(X);n=w-1;L=zeros(w,w);%Form the Lagrange coefficient polynomialsfor k=1:n+1V=1;for j=1:n+1if k~=jV=conv(V,poly(X(j)))/(X(k)-X(j));endendL(k,:)=V;end%Determine the coefficiants of the Lagrange interpolating polynomial C=Y*L;2、牛顿插值function [C,D,Newton]=newpoly(X,Y,p)%Input -X is a vector that contains a list of abscissas% -Y is a vector that contains a list of ordinates% -p is the%Output -C is a vector that contains the coefficents of% the Newton interpolatory polynomia% -D is the divided-difference table% -Newton is the value of Newton interplatory polynomia in pn=length(X);D=zeros(n,n);D(:,1)=Y';%Use formula to form the divided-difference tablefor j=2:nfor k=j:nD(k,j)=(D(k,j-1)-D(k-1,j-1))/(X(k)-X(k-j+1));endend%Determine the coefficient fo the newton interpolating polynomialC=D(n,n);for k=(n-1):-1:1C=conv(C,poly(X(k)));m=length(C);C(m)=C(m)+D(k,k);End%Determine the value of the newton interpolating polynomial at pNewton=D(n,n);for k=(n-1):-1:1Newton=Newton*(p-X(k))+D(k,k);End三、实验任务1、已知函数表x 0.56160 0.56280 0.56401 0.56521iy 0.82741 0.82659 0.82577 0.82495i用二次拉格朗日插值多项式求5635x时的函数近似值。

《计算方法》实验四插值法
一、实验目的：
掌握拉格朗日插以及多项式插值的震荡问题
二、实验任务：
考虑一个固定的区间上用插值逼近一个函数。

显然拉格朗日插值中使用的节点越多，插值多项式的次数就越高。

我们自然关心插值多项式的次数增加时，是否也更加靠近被逼近的函数。

龙格（Runge）给出一个例子是极著名并富有启发性的。

设区间[-1,1]上函数
三、实验内容：
考虑区间[-1,1]的一个等距划分，分点为
则拉格朗日插值多项式为
其中的是n次拉格朗日插值基函数。

四、上机习题：
（1）选择不断增大的分点数目n=2,3….，画出原函数f(x)及插值多项式函数在[-1，1]上的图像，比较并分析实验结果。

（2）选择其他的函数，例如定义在区间[-5，5]上的函数
重复上述的实验看其结果如何。

（3）区间[a,b]上切比雪夫点的定义为
以为插值节点构造上述各函数的拉格朗日插值多项式，比较其结果。

i 0 i j
n
x x
j
x xi
i
将 l j ( x)代入
P P
n
( x) l j ( x) y
j 0
n
j
中得
n
( x)
j 0 n
n
( x x0)(x x1)...(x x j 1)(x x j 1)...(x xn ) ( x j x0)( x j x1)...(x j x j 1)( x j x j 1)...(x j xn )y
于是
(x-x1)(x-x2) (x-x0)(x-x2) (x-x0)(x-x1) P2(x)=-----------------y0 + -----------------y1 + ------------------y2 ...(6) (x0-x1)(x0-x2) (x1-x0)(x1-x2) (x2-x0)(x2-x1)
而ai(i=0,1,2,…,n)的系数行列式是Vandermonde行 列式
1 V( x0 , x1 ,...,x n ) 1 ... 1
n i 1
x x x x
0 1
2 0 2
... ... ... ...
1
x x x
n 0 n
1
...
n
...
2 n
...
n n
x x
i
=
( x x )
0.01892 =0.314567+ ——— (0.0167) =0.330365 . 0.02
其截断误差得
其中 M 2

R1 ( x)
// 1
M
2

第1篇一、实验目的1. 理解并掌握插值法的基本原理和常用方法。

2. 学习使用拉格朗日插值法、牛顿插值法等数值插值方法进行函数逼近。

3. 分析不同插值方法的优缺点，并比较其精度和效率。

4. 通过实验加深对数值分析理论的理解和应用。

二、实验原理插值法是一种通过已知数据点来构造近似函数的方法。

它广泛应用于科学计算、工程设计和数据分析等领域。

常用的插值方法包括拉格朗日插值法、牛顿插值法、样条插值法等。

1. 拉格朗日插值法拉格朗日插值法是一种基于多项式的插值方法。

其基本思想是：给定一组数据点，构造一个次数不超过n的多项式，使得该多项式在这些数据点上的函数值与已知数据点的函数值相等。

2. 牛顿插值法牛顿插值法是一种基于插值多项式的差商的插值方法。

其基本思想是：给定一组数据点，构造一个次数不超过n的多项式，使得该多项式在这些数据点上的函数值与已知数据点的函数值相等，并且满足一定的差商条件。

三、实验内容1. 拉格朗日插值法（1）给定一组数据点，如：$$\begin{align}x_0 &= 0, & y_0 &= 1, \\x_1 &= 1, & y_1 &= 4, \\x_2 &= 2, & y_2 &= 9, \\x_3 &= 3, & y_3 &= 16.\end{align}$$（2）根据拉格朗日插值公式，构造插值多项式：$$P(x) = \frac{(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)(x_0-x_3)}y_0 + \frac{(x-x_0)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)(x_1-x_3)}y_1 + \frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_3)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)(x_2-x_3)}y_2 + \frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)}{(x_3-x_0)(x_3-x_1)(x_3-x_2)}y_3.$$（3）计算插值多项式在不同点的函数值，并与实际值进行比较。

插值法数学计算方法插值法是一种数学计算方法，用于在已知数据点的基础上，通过构建一条插值曲线来估计未知数据点的值。

插值法可以应用于各种数学问题中，例如逼近函数、插值多项式、差值等。

本文将详细介绍插值法的原理和常见的插值方法。

一、插值法的原理插值法的基本思想是通过已知数据点的函数值来构建一个函数表达式，该函数可以通过插值曲线来估计任意点的函数值。

根据已知数据点的数量和分布，插值法可以采用不同的插值方法来构建插值函数。

插值法的原理可以用以下几个步骤来描述：1.收集已知数据点：首先，需要收集一组已知的数据点。

这些数据点可以是实际测量得到的，也可以是其他方式获得的。

2.选择插值方法：根据问题的特性和数据点的分布，选择适合的插值方法。

常见的插值方法包括拉格朗日插值法、牛顿插值法、埃尔米特插值法等。

3.构建插值函数：通过已知数据点，利用选择的插值方法构建插值函数。

这个函数可以拟合已知数据点，并通过插值曲线来估计未知数据点。

4.估计未知数据点：利用构建的插值函数，可以估计任意点的函数值。

通过插值曲线，可以对未知数据点进行预测，获得相应的数值结果。

二、常见的插值方法1.拉格朗日插值法：拉格朗日插值法基于拉格朗日多项式，通过构建一个具有多项式形式的插值函数来逼近已知数据点。

插值函数可以通过拉格朗日基函数计算得到，式子如下：P(x) = ∑[f(xi) * l(x)], i=0 to n其中，P(x)表示插值函数，f(xi)表示已知数据点的函数值，l(x)表示拉格朗日基函数。

2.牛顿插值法：牛顿插值法基于牛顿差商公式，通过构建一个递归的差商表来逼近已知数据点。

插值函数可以通过牛顿插值多项式计算得到，式子如下：P(x) = f(x0) + ∑[(f[x0, x1, ..., xi] * (x - x0) * (x - x1)* ... * (x - xi-1)] , i=1 to n其中，P(x)表示插值函数，f[x0, x1, ..., xi]表示xi对应的差商。

武汉理工大学学生实验报告书实验课程名称数值分析开课学院计算机科学与技术学院指导老师姓名学生姓名学生专业班级2010—2010学年第一学期实验课程名称：数值分析第二部分：实验调试与结果分析（可加页）一、调试过程（包括调试方法描述、实验数据记录，实验现象记录，实验过程发现的问题等）（1）用拉格朗日插值法计算时，输入及运行结果如下：拉格朗日插值法牛顿插值法（2）利用二次插值计算时，输入及运行结果如下：拉格朗日插值法牛顿插值法（3）用艾尔米特插值法计算时,f(x)的插值多项式H5(x)=(1+4*x)*(x-0.5)*(x-0.5)*(x-2)*(x-2)+(3.90807-6.03838*x)*(x-2)*(x-2)*x*x+(2.34573-4.16674*x)*x*x*(x-0.5)*(x-0.5)（4）各插值算法的精度差异比较经过比较，拉格朗日插值法要比牛顿插值法算法的计算量多一些，拉格朗日插值法后一次计算时用到了前一次计算的结果，提高了运算的效率，但拉格朗日插值法在构造艾尔米特插值法时很方便，将坐标点和对应的导数结合起来的精度比线性插值的精度又要高一些。

但从实验数据来看，在坐标不是很多的情况下，已知的点越多精度也就相对较高。

对于实验要求的第二组数据用拉格朗日插值法（或者牛顿插值法）实验结果如下：一下分别是二阶、三阶、四阶、五阶插值得到的结果以上只是实验结果的一部分，改变插值的位置时，得到的实验结果精度也是有所不同的。

由以上结果分析可知，插值次数并不是越多越好，多了反而会让结果更加偏离真实结果，这充分说明了高次插值存在“病态性质”，在已知点很多的情况下应该采用分段低次插值，将拉格朗日插值法和牛顿插值法运用到分段低次插值法当中，这样得到的结果可能胡更加精确。

在对精度要求较高时,这种处理方法可能受到质疑, 2.3456789介于2.34与2.35之间,不适于用Φ(2.35)作为近 似值.于是改进,函数值取二者的中点,即
Φ(2.3456789)≈[(Φ(2.34)+Φ(2.35))]/2=0.990485
对已知的红点按一定的规律插入的兰色点 . 这个规律叫做插值函数
插值函数一般是已知函数的线性组合或者称为
加权平均。插值操作在工程实践和科学实验中有着 非常广泛而又十分重要的应用。例如，信息技术中 的图像重建、图像放大中为避免图像的扭曲失真的 而做的插值补点、建筑工程的外观设计、物理、化 学工程实验数据与模型的分析、天文观测数据、地 理信息数据的处理（如天气预报）以及社会经济现 象的统计分析等等。
本章主要介绍插值的思想、方法和技术；如何 利用MATLAB软件作插值计算；针对实际问题，进 行建模、求解与分析；最后给出实验题目。
4.2.1 引例1:函数查表问题 标准正态分布函数值Φ(2.3456789)等于多少？
一般是通过查表的方法.先对自变量作近似, 2.3456789≈2.35,再查表得到Φ(2.35)=0.99061,所以 (2.Байду номын сангаас456789)≈Φ (2.35)=0.99061.
导言 在工程实践和科学实验中，常常需要从
一组实验观测数据 ( xi , yi ), i= 0,1,…,n,...
中揭示出自变量x与因变量y之间的解析关 系.
一般可以用一个近似的函数关系式y=f(x)来处理这 一问题。给出函数关系式的方法，因观测数据与要求的 不同而异，通常可以采用两种方法：曲线拟合和插值。
拟合主要是考虑到观测数据受随机误差的影响， 寻求整体误差最小、较好地反映观测数据的近似函 数，并不保证或追求所得到的函数一定满足yi=f(xi)。 侧重于从整体上把握问题， 拟合的方法将在第五章

插值法和拟合实验报告一、实验目的1.通过实验了解插值法和拟合法在数值计算中的应用；2.掌握拉格朗日插值法、牛顿插值法和分段线性插值法的原理和使用方法；3.学会使用最小二乘法进行数据拟合。

二、实验仪器和材料1.一台计算机；2. Matlab或其他适合的计算软件。

三、实验原理1.插值法插值法是一种在给定的数据点之间“插值”的方法，即根据已知的数据点，求一些点的函数值。

常用的插值法有拉格朗日插值法、牛顿插值法和分段线性插值法。

-拉格朗日插值法：通过一个n次多项式，将给定的n+1个数据点连起来，构造出一个插值函数。

-牛顿插值法：通过递推公式，将给定的n+1个数据点连起来，构造出一个插值函数。

-分段线性插值法：通过将给定的n+1个数据点的连线延长，将整个区间分为多个小区间，在每个小区间上进行线性插值，构造出一个插值函数。

2.拟合法拟合法是一种通过一个函数，逼近已知的数据点的方法。

常用的拟合法有最小二乘法。

-最小二乘法：通过最小化实际观测值与拟合函数的差距，找到最优的参数，使得拟合函数与数据点尽可能接近。

四、实验步骤1.插值法的实验步骤：-根据实验提供的数据点，利用拉格朗日插值法、牛顿插值法、分段线性插值法，分别求出要插值的点的函数值；-比较三种插值法的插值结果，评价其精度和适用性。

2.拟合法的实验步骤：-根据实验提供的数据点，利用最小二乘法，拟合出一个合适的函数；-比较拟合函数与实际数据点的差距，评价拟合效果。

五、实验结果与分析1.插值法的结果分析：-比较三种插值法的插值结果，评价其精度和适用性。

根据实验数据和插值函数的图形，可以判断插值函数是否能较好地逼近实际的曲线。

-比较不同插值方法的计算时间和计算复杂度，评价其使用的效率和适用范围。

2.拟合法的结果分析：-比较拟合函数与实际数据点的差距，评价拟合效果。

可以使用均方根误差（RMSE）等指标来进行评价。

-根据实际数据点和拟合函数的图形，可以判断拟合函数是否能较好地描述实际的数据趋势。

n=3时 n=9时 n=15时
二、分段多项式插值 由于高次插值多项式的振荡缺陷，促使人们转而寻求简单的低 次多形式插值。分段插值的基本思想是将插值区间划分为若干 个小区间，然后在每个小区间上做满足一定条件的低阶插值。 1、分段线性插值 设函数f(x)在n+1个节点x0,x1,…,xn处的函数值已知， 为 y0,y1,…,yn 。 要求一个分段( 共 n段)线性函数q(x)，使其满足： q(xi)=yi, i=0,1,…,n. 这n+1个点 x0,x1,…,xn 称为节点，q(x) 称为插值基函数 y
实验四、插值方法
一、插值思想简介
二、一维插值 三、二维插值 四、利用matlab进行插值计算 五、建模实例
一、插值思想简介
插值：最初来源于天体计算的需要，比如，人们得到了
若干观测值，即某个星球在若干已知时刻的位置，需要计 算星球在另一些时刻的位置。所谓插值，就是在若干已知 的函数值之间插入计算一些未知的函数值。
三次样条函数 记为S(x), 它是定义在区间[a, b] 上的函数， 满足以下两个条件： 1). S(x) 在每一个小区间[xi-1,xi]上是一个三次多项式函数 ； 2). 在整个区间[a,b]上，其二阶导数存在且连续。 即在每个节点处 的二阶导数连续。
问题：给定函数f(x)在n+1个节点x0,x1,…,xn处的函数值为 y0,y1,…,yn 。求一个三次样条函数S (x)，使其满足：S (xi)=yi,i=0,1,…,n. 如何确定三次样条函数在每一个小区间上的三次多项式函数的系数？
例如，在工程实践和科学实验中，常常需要从一组实验观测数据 (xi,yi) ,i=0,1,…，揭示自变量x与因变量y之间的关系，一般可以用 一个近似的函数关系式：y=f(x)来表示。函数f(x)的产生办法因观 测数据与要求的不同而异。

（0.56521,0.82495用三次拉格朗日插值多项式求x=0.5635时函数近似值。
2）求满足插值条件的插值多项式及余项
x
1
2
F(x)
2
3
F'(x)
0
-1
4、题目：插值法
5、原理:
拉格郎日插值原理：
n次拉格朗日插值多项式为:
n=1时，称为线性插值，
Li(x)=yo(x-xi)/(xo-xi)+yi(x-xo)/(xi-Xo)=y°+(y仁x°)(x-xo)/(xi-x0)
3）上机调试程序，并试算各种方案，记录计算的结果（包括必要的中间结 果）;
4）分析和解释计算结果；
5）按照要求书写实验报告；
3、实验内容：
1）用拉格郎日插值公式确定函数值；对函数f（x）进行拉格郎日插值，并对f（x）
与插值多项式的曲线作比较。
已知函数表：
(0.56160,0.82741)、(0.56280,0.82659、(0.56401,0.82577、
i)三次拉格朗日插值多项式求x=0.5635时函数近似值
#i nclude"stdio.h"
#defi ne n 5
void mai n()
{
int i,j;
float x[n ],y[ n];
float xi;floa来自 a=i;float b=i;
float lx=O;
printf("\n请输入想要求解的X：\n x=");
#defi ne m 0
#defi ne n 1
float L0(float afloat x1,float x0)
{
return (a-x1)/(x0-x1);

插值法实验班别：学生姓名：学号：一、实验目的1.通过进行不同类型的插值，比较各种插值的效果，明确各种插值的优越性；2.通过比较不同次数的多项式拟合效果，了解多项式拟合的原理；3.利用matlab编程，学会matlab命令；4.掌握拉格朗日插值法和牛顿插值法；二、实验题目(1) 调用拉格朗日插值程序求拉格朗日插值4次多项式在0.45 0.5 0.60.8上的值，并画出原函数与拉格朗日插值4次多项式的图像进行比较。

(2) 调用牛顿插值程序求牛顿插值4次多项式，并求其在0.45 0.5 0.60.8上的值。

（3）选做：调用分段线性插值程序求其在0.45 0.5 0.6 0.8上的值，并画出原函数与分段线性插值多项式的图像进行比较。

三、实验原理1. 拉格朗日插值2. 牛顿插值的原理四、实验内容与结果1. 拉格朗日插值法（1）相关程序function yy=mlagr(x,y,xx)%用途：拉格朗日插值法求解%格式：yy=mlagr(x,y,xx), x是节点向量, y是节点对应的函%数值向量, xx是插值点(可以是多个), yp返回插值结果n=length(x); m=length(xx);yy=zeros(1,m); c1=ones(n-1,1); c2=ones(1,m);for i=1:nxp=x([1:i-1,i+1:n]);yy=yy+y(i)*prod((c1*xx-xp'*c2)./(x(i)-xp'*c2));End(原函数与拉格朗日插值4次多项式的图像进行比较的程序）x=[0.4 0.55 0.65 0.8 0.9];y=[0.41075 0.57815 0.69675 0.888111.02652];plot(x,y,'+');x=0.4:0.01:0.6;y0=sin(x); plot(x,y0,'*')（2）实验结果（3）>> x=[0.4 0.55 0.65 0.8 0.9];y=[0.41075 0.57815 0.69675 0.88811 1.02652];xx=[0.45 0.5 0.6 0.8]; yy=mlagr(x,y,xx)yy =0.4653 0.5211 0.6367 0.8881(原函数与拉格朗日插值4次多项式的图像进行比较)x=[0.4 0.55 0.65 0.8 0.9];y=[0.41075 0.57815 0.69675 0.88811 1.02652];plot(x,y,'+');x=0.4:0.01:0.6;y0=sin(x); plot(x,y0,'*')0.40.450.50.550.60.650.70.750.80.850.90.40.50.60.70.80.911.1（3）实验结果分析2. 牛顿插值法相关程序（1）相关程序%程序5.2--mnewp.mfunction yy=mnewp(x,y,xx)%用途：牛顿差值%格式：yy=mnewp(x,y,xx), x 是节点向量, y 是节点对应的函%数值向量, xx 是插值点(可以是多个), yy 返回插值结果n=length(x);syms t ;yy=y(1);y1=0; lx=1;for i=1:n-1for j=i+1:ny1(j)=(y(j-1)-y(j))/(x(j-i)-x(j)); %计算差商endc(i)=y1(i+1); lx=lx*(t-x(i));yy=yy+c(i)*lx; %计算牛顿插值多项式的值y=y1;endif nargin==3yy=subs(yy,'t',xx);elseyy=collect(yy);yy=vpa(yy,6);end（2）实验结果x=[0.4 0.55 0.65 0.8 0.9];y=[0.41075 0.57815 0.69675 0.88811 1.02652];xx=[0.45 0.5 0.6 0.8]; yy=mnewp(x,y,xx)yy =0.4653 0.5211 0.6367 0.8881（3）实验结果分析。

《数值计算法方法》实验指导书实验一插值法 (2)实验二曲线拟合的最小二乘法 (5)实验三矩阵的特征值和特征向量 (8)实验四数值积分 (11)实验一 插值法一、 实验目的1．掌握拉格朗日插值、牛顿插值、分段低次插值和样条插值的方法。

2．对四种插值结果进行初步分析。

二、 实验内容插值问题的提法是： 给定函数)(x f 在],[b a 中互异1+n 个点n x x x x ,,,,210 的函数值),,1,0()(n i x f y i i ==或nny y y y yx x x x x210210求函数)(x Φ使其在i x 处与i i y x f =)(相等。

称)(x Φ为)(x f 的插值函数，],[b a 为插值区间，i x 为插直节点，)(x f 为被插函数。

1． 拉格朗日插值插值基函数：)(,),(),(),(210x l x l x l x l n 为n 次多项式∏≠=+-+---=--------=nkj j jk j n k k k k k k n k k k x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x l ,0110110)())(()()())(()()(插值基函数的性质： （1）),,1,0(01)(n k ki k i x l i k =⎩⎨⎧≠== （2）（2）),,1,0()(n k x l k =为插值节点n x x x x ,,,,210 唯一确定的n 次多项式。

（3）拉格朗日插值所包含基函数个数与插值节点个数相同。

2． 牛顿插值线性插值可用插商形式表示为],[)()()()()(10000010101x x f x x x f x x x x y y x f x p -+=---+=由差商的定义知],[)()()(000x x f x x x f x f -+=],,[)(),(],[101100x x x f x x x x f x x f -+= …………],,,[)(],,,[],,,[01010n n n n x x x f x x x x x f x x x f -+=- 将上式依次代入得：+--+-+=],,[))((],[)()()(10101000x x x f x x x x x x f x x x f x f ],,,[)())((10110n n x x x f x x x x x x ----+ ],,,[)())((010n n x x x f x x x x x x ---+取 +--+-+=))(](,,[)](,[)()(102100100x x x x x x x f x x x x f x f x N n )())(](,,,[11010----+n n x x x x x x x x x f ],,,[)())(()(010n n n x x x f x x x x x x x R ---= ],,,[)(01n n x x x f x +=ω 所以 )()()(x R x N x f n n +=且 0],,,[)()(01==+n i i n i n x x x f x x R ω 3． 分段低次插值给定函数)(x f 在],[b a 中互异1+n 个点n x x x x ,,,,210 的函数值),,2,1(n i y i =，若要求)(x f 的近似函数)(x Φ，可求一分段函数，使其在每一小区间],[1i i x x -上为线性插值函数，即 ],[)()(111111i i ii i i i i i i x x x y x x x x y x x x x x L x -----∈--+--==Φ称为分段线性插值，即用折线代替曲线。

武汉理工大学学生实验报告书实验课程名称数值分析开课学院计算机科学与技术学院指导老师姓名学生姓名学生专业班级2010—2010学年第一学期实验课程名称：数值分析第二局部：实验调试与结果分析〔可加页〕一、调试过程〔包括调试方法描述、实验数据记录，实验现象记录，实验过程发现的问题等〕〔1〕用拉格朗日插值法计算时，输入及运行结果如下：拉格朗日插值法牛顿插值法〔2〕利用二次插值计算时，输入及运行结果如下：拉格朗日插值法牛顿插值法〔3〕用艾尔米特插值法计算时,f(x)的插值多项式H(x)=(1+4*x)*(x-0.5)*(x-0.5)*(x-2)*(x-2)+(3.90807-6.03838*x)*(x-2)*(x-2)*x*x+ 5(2.34573-4.16674*x)*x*x*(x-0.5)*(x-0.5)〔4〕各插值算法的精度差异比拟经过比拟，拉格朗日插值法要比牛顿插值法算法的计算量多一些，拉格朗日插值法后一次计算时用到了前一次计算的结果，提高了运算的效率，但拉格朗日插值法在构造艾尔米特插值法时很方便，将坐标点和对应的导数结合起来的精度比线性插值的精度又要高一些。

但从实验数据来看，在坐标不是很多的情况下，的点越多精度也就相对较高。

对于实验要求的第二组数据用拉格朗日插值法〔或者牛顿插值法〕实验结果如下：一下分别是二阶、三阶、四阶、五阶插值得到的结果以上只是实验结果的一局部，改变插值的位置时，得到的实验结果精度也是有所不同的。

由以上结果分析可知，插值次数并不是越多越好，多了反而会让结果更加偏离真实结果，这充分说明了高次插值存在“病态性质〞，在点很多的情况下应该采用分段低次插值，将拉格朗日插值法和牛顿插值法运用到分段低次插值法当中，这样得到的结果可能胡更加精确。

对于分段低次插值本实验没有给出实验结果，但从实践上来看，分段低次插值的精度要比线性插值精度高，但当插值阶数比拟少的时候没有必要采用分段低次插值。

二、实验小结、建议及体会各种插值法都有自己的利与弊，拉格朗日插值法运算过程相对复杂，但当和导数结合起来，组成抛物插值的时候，精度就可以提高很多。

数值计算插值法实验报告
一、实验目标
本实验的目标是学习和掌握插值法的基本原理，通过实际操作，验证插值法的有效性，并利用插值法解决实际问题。

二、实验原理
插值法是一种数学方法，用于通过已知的离散数据点，构造一个连续的函数来近似地表示未知的函数值。

常用的插值法包括线性插值、多项式插值、样条插值等。

其中，多项式插值是一种常用的方法，其基本思想是选择一个多项式来逼近已知的数据点，从而得到未知点的近似值。

三、实验步骤
1.准备数据：收集一组已知的数据点，并将其整理成表格形式。

2.选择插值方法：根据实际情况选择适当的插值方法，如线性插值、多项式插值或样条插值等。

3.计算插值函数：根据选择的插值方法，利用已知的数据点计算插值函数的系数。

4.验证插值函数：利用已知的数据点对插值函数进行验证，检查其精度和误差。

5.应用插值函数：利用插值函数计算未知点的近似值，并将结果与实际值进行比较。

四、实验结果及分析
下面是本次实验的结果及分析：
1.已知数据点：。

拉格朗日四点插值公式拉格朗日四点插值公式是数学中一个相当有趣且实用的工具。

它就像是一把神奇的钥匙，可以帮助我们在数学的世界里打开一些神秘的大门。

先来说说什么是插值。

想象一下，你有几个离散的点，就好像是地图上几个孤立的坐标点，而插值就是要通过这些点画出一条连续的曲线，或者找到一个合适的函数来描述它们之间的关系。

拉格朗日四点插值公式就是针对四个点的情况。

比如说，有四个点分别是(1, 2)，(2, 5)，(3, 7)，(4, 10)，我们想找到一个函数，能让这四个点都在这个函数上。

那拉格朗日四点插值公式到底长啥样呢？它看起来有点复杂，但别怕，咱们一点点来。

假设这四个点是$(x_1,y_1)$，$(x_2,y_2)$，$(x_3,y_3)$，$(x_4,y_4)$，拉格朗日四点插值公式就是：\[P(x) = y_1 \frac{(x - x_2)(x - x_3)(x - x_4)}{(x_1 - x_2)(x_1 - x_3)(x_1 - x_4)} + y_2 \frac{(x - x_1)(x - x_3)(x - x_4)}{(x_2 - x_1)(x_2 - x_3)(x_2 - x_4)} + y_3 \frac{(x - x_1)(x - x_2)(x - x_4)}{(x_3 - x_1)(x_3 - x_2)(x_3 - x_4)} + y_4 \frac{(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)}{(x_4 - x_1)(x_4 - x_2)(x_4 - x_3)}\]是不是看着有点晕？其实啊，咱们可以把它拆分开来理解。

就拿前面提到的那四个点(1, 2)，(2, 5)，(3, 7)，(4, 10)来实际算一算。

先算第一项：\[y_1 \frac{(x - x_2)(x - x_3)(x - x_4)}{(x_1 - x_2)(x_1 -x_3)(x_1 - x_4)} = 2 \frac{(x - 2)(x - 3)(x - 4)}{(1 - 2)(1 - 3)(1 - 4)}\]这一项计算起来可能有点繁琐，但耐心点，一步一步来。