最新人教版高中数学选修2-2第一章《定积分在几何中的应用》课后训练1

定积分在几何中的应用课时演练·促提升A组1.如图,阴影部分的面积为()A.9B.C.D.解析:由求得两曲线交点为A(-2,-4),B(1,-1).结合图形可知阴影部分的面积为S=[-x2-(x-2)]d x=(-x2-x+2)d x=.答案:B2.若y=f(x)与y=g(x)是[a,b]上的两条光滑曲线的方程,则这两条曲线及直线x=a,x=b所围成的平面图形的面积为()A.[f(x)-g(x)]d xB.[g(x)-f(x)]d xC.|f(x)-g(x)|d xD.解析:因为f(x),g(x)两条曲线上下位置关系不确定,故选C.答案:C3.已知函数y=x2与y=kx(k>0)的图象所围成的封闭区域的面积为,则k=()A.3B.2C.1D.解析:由消去y得x2-kx=0,所以x=0或x=k,则所求区域的面积为S=(kx-x2)d x=,则k3=27,解得k=3.答案:A4.由曲线y=x2,y=x3围成的封闭图形面积S为()A. B. C. D.解析:作出曲线y=x2,y=x3的草图,所求面积即为图中阴影部分的面积.解方程组得曲线y=x2,y=x3交点的横坐标为x=0及x=1.因此,所求图形的面积为S=(x2-x3)d x=.答案:A5.由曲线y=x2+2与y=3x,x=0所围成的平面图形的面积为()A.4B.3C.2D.1解析:如图,由x2+2=3x,得x=1,或x=2,直线y=3x与抛物线y=x2+2的交点坐标为(1,3),(2,6), 所求的面积为S=(x2+2-3x)d x+(3x-x2-2)d x==1.答案:D6.曲线y=e x,y=e-x及x=1所围成的图形的面积为.解析:作出图形,如图所示.S=(e x-e-x)d x=(e x+e-x)=e+-(1+1)=e+-2.答案:e+-27.由正弦曲线y=sin x,x∈和直线x=π及x轴所围成的平面图形的面积等于.解析:如图,所围成的平面图形(阴影部分)的面积S=|sin x|d x=sin x d x-sin x d x=-cos x+cos x=2+1=3.答案:38.计算由抛物线y2=x与直线x-2y-3=0所围成的平面图形的面积.解法一:由得抛物线与直线的交点为P(1,-1),Q(9,3)(如图所示),所以S=-(-)]d x+d x=2d x+d x===10.解法二:抛物线和直线方程可改写为x=y2,x=2y+3,则S=(2y+3-y2)d y==10.9.计算由曲线y=x2+1,直线x+y=3以及两坐标轴所围成的图形的面积S.解:画出两函数的图象,如图所示:由又直线x+y=3与x轴交于点(3,0),∴S=(x2+1)d x+(3-x)d x==+1+.B组1.曲线y=sin x(0≤x≤π)与直线y=围成的封闭图形的面积为()A. B.2-C.2-D.解析:因为曲线y=sin x(0≤x≤π)与直线y=的交点的横坐标分别为x=及x=,所以所求图形的面积为d x=.答案:D2.由y=x2,y=,y=1所围成的图形的面积为()A. B. C.2 D.1解析:如图,y=1与y=x2交点A(1,1),y=1与y=交点B(2,1),由对称性可知面积S=2.答案:A3.已知函数f(x)=x3+ax2+bx(a,b∈R)的图象如图所示,它与直线y=0在原点处相切,此切线与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为,则a的值为.解析:f'(x)=3x2+2ax+b⇒f'(0)=b⇒b=0,令f(x)=0⇒x=-a(a<0),=S==⇒a=-3.答案:-34.椭圆=1围成的面积是.解析:设椭圆在第一象限内围成图形的面积为S1,则由对称性,得椭圆面积S=4S1.在第一象限内椭圆方程可化为y=,故S1=d x=d x.而d x表示以5为半径的圆的面积,如图.从而d x=π·52=.故S1==5π,从而S=20π.答案:20π5.求正弦曲线y=sin x与余弦曲线y=cos x与直线x=-,x=围成的图形的面积.解:如图,画出y=sin x与y=cos x在上的图象,它们共有三个交点,分别为.在上,cos x>sin x,在上,sin x>cos x.∴面积S=(cos x-sin x)d x+(sin x-cos x)d x=2(sin x-cos x)d x=-2(sin x+cos x)=4.6.求曲线y=x2和直线x=0,x=1,y=t2,t∈(0,1)所围成的图形(如图阴影部分)的面积的最小值.解:由定积分的性质与微积分基本定理,得S=S1+S2=(t2-x2)d x+(x2-t2)d x==t3-t3+-t2-t3+t3=t3-t2+,t∈(0,1),所以S'=4t2-2t,所以t=或t=0(舍去).当t变化时,S',S变化情况如下表tS'-0 +S↘极小值↗所以当t=时,S最小,且S min=.7.过原点的直线l与抛物线y=x2-4x所围成图形的面积为36,求l的方程.解:由题意可知直线的斜率存在,故设直线l的方程为y=kx, 则由(1)当k+4>0,即k>-4时,面积S=(kx-x2+4x)d x==k(k+4)2-(k+4)3+2(k+4)2=(k+4)3=36,∴k=2,故直线l的方程为y=2x.(2)当k+4<0,即k<-4时,S=(kx-x2+4x)d x==-=-(k+4)3=36,∴k=-10,∴直线l的方程为y=-10x.综上,所求直线l的方程为y=2x或y=-10x.。

第一章导数及其应用3. 1变化率与导数练习（P6）在第3 h和5 h时，原油温度的瞬时变化率分别为1和3.它说明在第3 h附近，原油温度大约以1 C/ h的速度下降；在第 5 h时，原油温度大约以 3 C/ h的速率上升.练习（P8）函数h（t ）在t - t3附近单调递增，在t~t4附近单调递增.并且，函数h（t ）在t4附近比在t3附近增加得慢•［说明：体会“以直代曲”的思想练习（P9）因此，物体在第5 s 时的瞬时速度为10 m / s ,它在第5 s 的动能Ek =—1 3X 102 = 150 J. 2 4、设车轮转动的角度为'，时间为t ，则'"kt 2（「0）.由题意可知，当 t -0.8时，.-2 '-.所以k ^2^ ，于是'心二"斫t 2 .8 8函数r (V )根据图象，估算出 r (0.6) 0.3, r (1.2) 0.2说明：如果没有信息技术，教师可以将此图直接提供给学生，然后让学生根据导数的几何意 义估算两点处的导数. 习题1.1 A 组(P10 )1、在t 处，虽然W (t ) W (t0 10 2 0)，然w W 1(t 0 ^W 1(t^ t )4t W 2 (t 0 r W 2 (t(f t ).所以，企业甲比企业乙治理的效率高 .说明：平均变化率的应用，体会平均变化率的内涵2、h -h(1t )一 h ⑴…St 33,所以, t ； th ⑴二 3.3这说明运动员在t Ms 附近以3.3 m /s 的速度下降3、物体在第 5 s 的瞬时速度就是函数 s （t ）在「5时的导数t ) s ( 5i t 10，所以, ts (5) 二 10 .（0 V 5）的图象为-s( 5车轮转动开始后第3.2 s 时的瞬时角速度就是函数 「⑴在t 另.2时的导数A ( 3. 2+U ) &(3幵2) 25- 八一 -t 20，所以 一 (3.2)_ 20..处t 8因此，车轮在开始转动后第3.2 s 时的瞬时角速度为 20 s -1 .说明：第2,3,4题是对了解导数定义及熟悉其符号表示的巩固 5、由图可知，函数f (x)在x - 5处切线的斜率大于零，所以函数在x =.「5附近单调递增.同理可得，函数f ( x)在x - -4，-2，0，2附近分别单调递增，几乎没有变化，单调递减，单调 递减. 说明：“以直代曲”思想的应用6、第一个函数的图象是一条直线，其斜率是一个小于零的常数，因此，其导数 f (x)的图象如图(1)所示；第二个函数的导数 f ( X )恒大于零，并且随着x 的增加，f ( x)的值也在增加；对于第三个函数，当X 小于零时，f ( x)小于零，当x 大于零时，f ( x)大于零，并且随着 x 的增加，f ( x)的值也在增加.以下给出了满足上述条件的导函数图象中的一种说明：由给出的 v( t)的信息获得s(t )的相关信息，并据此画出 s(t )的图象的大致形状.这个说明：本题意在让学生将导数与曲线的切线斜率相联系 习题3.1 B 组(P11)1、高度关于时间的导数刻画的是运动变化的快慢，即速度; 速度变化的快慢，根据物理知识，这个量就是加速度 速度关于时间的导数刻画的是2、过程基于对导数内涵的了解，以及数与形之间的相互转换3、由(1)的题意可知，函数f ( x)的图象在点(1, 5)处的切线斜率为_1，所以此点附近曲线呈下降趋势.首先画出切线的图象，然后再画出此点附近函数的图象点处函数图.同理可得(2)( 3 )某象的大致形状.下面是一种参考答案.1、 f ( x) -2x -7，所以，f (2) 3, f (6) - 5.2、 (1)y 1 - (2) y — 2e x ；xln 2(3) y 二 10 x 4-6x ;(4) y 二-3sin x -1x(5) y 二 _ _ sin ；(6y 「— 13 32心-1习题1.2 A 组(P18)S S(r 阳播;r ) S(r ) r , 所以，S (r )-1、«— •一 nrr A 1A rr2、T h (t) -9.8t 6.5 .十3f ■=1 J 33、 r (V )3 '4 V 24、 (1) y - 3x 21 ;(2) y - i 说明：这是一个综合性问题，包含了对导数内涵、导数几何意义的了解，以及对以直代曲思 想的领悟.本题的答案不唯一. 1 . 2导数的计算 练习(P18)xln 2(3) 4cos x ;nx n=e xIim(2 低 r + A r ) = 2i r .r 0"x n e x;(5)f (x)6y =—x 3cosx _cos x；( 4)sin 2 xy ^99(x 学 1)98 ；-2'x ;(6)e8 2 2x .由 f (x o ) ~ 4 有 4~ 8y 2si n(2 x 5)4 xcos(2x 5)2 2x o ，解得 x o 一 3' 2 .7、 y 1.8、 ( 1)氨气的散发速度 A (t ) ~500 In0.8340.834：(2) A (7) 一 25.5，它表示氨气在第 7天左右时，以25.5克/天的速率减少(3)y -sin x 的导数为y - cos x .就越来越逼近函数y cos x .-0时，x-0.所以函数图象与x轴交于点P(0,0).x，所以y e y所以，曲线在点P处的切线的方程为d (t) - -4sin t .所以，上午6:00时潮水的速度为0.42 m / h ;上午9:00时潮水的速度为0.63 m / h;中午12:00时潮水的速度为1 . 3导数在研究函数中的应用练习(P26)0.83 m/h ;下午6:00时潮水的速度为 1.24 m /h.1、亠44 ,所以*f ( X)-2x1时，函数f ( X)二X21时，函数 f ( X尸X2所以 f (X) -e x 1 .时，函数 f ( x)- -e x时，函数 f ( x)- -e x(1)因为f ( x)_x2— 2x-2 .-2 x 4单调递增;当f (x) 0 ,即x2x 4单调递减.x单调递增;-x单调递减.(2)因为f ( x) v e x x ,当 f (x) 0，即x,所以f ( x)二3 3x2.jf,当 f (x) 0，即x :当 f (x) 0，即x(3)因为f ( x) =3x x3当f (X) 0 ,即一1 X 1时，函数f (x) -3x x3单调递增;3(4)因为f ( x) 一x3一x2…x，所以f ( x) — 3x2一2x 一1.1当f(X)0，即X —•或x . 1时，函数f ( X)- X3 - X2- X单调递增;3当f (x).0,即—1 x 1时，函数f ( x) _ x 3x 2x 单调递减轧_ M w亠 _ _32、 絆- 匕・ ------ ・---- V* a Pi［砾號\: 注：图象形状不唯一.bx c(a - 0)，所以 f ( x)- 2ax b .(2) 当 a <0 时，因此函数f ( x) ~2x 3 - 6x 2 7在(0, 2)内是减函数练习(P29)1、X 2 , X 4是函数y 一 f ( x)的极值点，其中x x 2是函数 y — f (x)的极大值点，x " x 4是函数y — f ( x)的极小值点. 2、( 1)因为 f ( x)— 6 x 2 x 2，所以 f ( x) -12x 1 .令 f (x) 12- x-1 £，得 x 尸■ 1 .121当x 严一时，f (x)0， f ( x)单调递增；当x 凉；1时，f (x):0， f ( x)单调递减.12 12所以，当x -r 时，f (x)有极小值，并且极小值为f (r i 6(r)2-”r -.3、因为 f (x)ax 2 (1 )当 a 「0 时，即x —b时，2a即x — 时，f (x) 0， f (x) 0，函数 函数f ( x) = ax 2bx 2f ( x) _ ax bx• c(a - 0)单调递增; c( a 二0)单调递减.f(x) 0 ， 函数2f ( x) _ ax bxf (x)0， 4、证明：因为f ( x) 2x 3即x 弓一“b 时， 2a 即x b 时，2a6x 27，所以'f (x)—6x 2c( a-0)单调递增; 函数 2f ( x)ax bxc(a 辱0)单调递减.12x .当 x (0, 2)时，f ( x) £x 2 12 x : 0，12 12 12 12 24 (2) 因为f ( x) — x327x，所以f ( x) — 3x227 .令f (x) 3x2一27 一0，得x 一：3 .下面分两种情况讨论：①当f (；)讥，即x V—3或x --3时；②当f "(x) V 0，即3 V X* 3时.if当x变化时，f (x)，f (x)变化情况如下表：因此，当x壬鼻3时，f ( x)有极大值，并且极大值为54 ;当x - 3时，f (x)有极小值，并且极小值为—54 .(3) 因为f ( x) -6 12x x3，所以f ( x) - 12 3x2.令f (x) 12 - 3x2-0，得x -匚2 .下面分两种情况讨论：①当f ( x) ■ 0，即卩2 x :: 2时；②当f(X)： 0，即x匚2或x「2时. 当x变化时，f (x)， f (x)变化情况如下表:因此，当S2时，f ( x)有极小值，并且极小值为=10 ；当x -2时，f ( x)有极大值，并且极大值为22(4) 因为f ( x)_3x_x3，所以f( x)— 3 3x2.令f (x) 3二3x2二0，得x 1 .下面分两种情况讨论：①当f ( 1)哀・0，即卩彳东＜1时；②当f '( x)弋0，即x V F或x洁1时. 当x变化时，f (x)，f (x)变化情况如下表:因此，当x二-1时，f ( x)有极小值，并且极小值为"2 ；当x _1时，f (x)有极大值，并且极大值为2练习(P31 )11(1 )在［0, 2］上，当x _ 时，f ( X )_6X 2_X _2有极小值，并且极小值为f ()1212又由于 f (0)冃一2 , f (2)- 20 .因此，函数f ( x) 6x 2x 2在［0, 2］上的最大值是20、最小值是 _49・24(2)在［-4,4］上，当x "=-3时，f (x)x^ - 27x 有极大值，并且极大值为 f ( 3): 当x 二3时，f (x) m x 3- 27 x 有极小值，并且极小值为f ⑶--又由于 f ( V) — 44， f (4)戸—』44.又由于f (丄__，f ⑶_15 .3271 55因此，函数f ( x) -6 12x _x 3在［—,3］上的最大值是 22、最小值是.327在［2,3］上，函数f (x) -3x - x 3无极值. 因为 f (2) - 2，f (3) - 18 .因此，函数f ( x) =3x_x 3在［2,3］上的最大值是 一2、最小值是一18习题1.3 A 组(P31)_ 49 24-54 ； 54 ；二 22 .因此，函数f ( x) - X 3-- 27 x 在卜4,4］上的最大值是 54、最小值是 54 .1,3］上，当x -2时，f ( x)二6 12x _ X 3有极大值，并且极大值为f (2)31 551、( 1)因为f (刈二一2 x 1，所以f ( x)二一2 0 .因此，函数f ( x)二「2x 1是单调递减函数.(2) 因为f ( x) = x cos x ，x (0, —)，所以f (x) = 1 sin x 0 ，x (0, —).2 2 因此，函数f ( x) - x cos x在(0, — )上是单调递增函数.2(3) 因为f ( x) 一-2x^4，所以f (x) 2一：0 .因此，函数 f ( x) -2x 4是单调递减函数.(4) 因为f ( x) -2 x3” 4x，所以f ( x)— 6x2 40 .因此，函数f ( x) - 2x3 4x是单调递增函数.2、( 1)因为f ( x)— x2• 2x 4，所以f ( x) —2x 2 .当f (x) 0 ,即x萨一1时，函数f (x)尸x2 1 2x 4单调递增当 f (x) f (x) - x22x i 4单调递减(2)因为f ( x)-2x2 - 3x^3，所以f (x) -4x - 3 .当f (x) 0，即x 3时，函数f ( x) - 2x2 _ 3x 3单调递增4当f (x) 0，即x 3时，函数f ( x) _2x2 3x 3单调递减4(3)因为f ( x)-3x x3，所以f ( x) 3 - 3x2 0 .因此，函数f ( x) _3x x3是单调递增函数.(4)因为f ( x) =x3 +x2 - x，所以f "( x) =3x2±2x -1.1当f (x) 0，即x^»1或x 时，函数f ( x) _ x3 x2一_ x单调递增.31当f (x) 0,即_1 x.：时，函数f ( x)=x3^x2= x单调递减.33、 ( 1)图略. (2)加速度等于0.4、 ( 1 )在X2处，导函数yf ( x)有极大值；(2)在x - X1和x—X4处，导函数y 一f (x)有极小值；(3)在x - X3处，函数y 一 f ( x)有极大值；(4)在x 一X5处，函数y— f ( x)有极小值.5、 ( 1)因为f ( x) -6 X2 x 2，所以f ( x) 12x 1 .令f (x) 12 x 1 -0，得x =「「1 .12当x啊■-时，f ( X) 0，f ( x)单调递增；12当x •-汁时，f ( x) 0， f ( x)单调递减.12所以，x 一十时，f (x)有极小值，并且极小值为 f ( 4)U夢6 (—1)2 F■12 12 12 12(2)因为f ( x) -x312x，所以f (x) 3x2 12.令f (x) "3x2 12 一0，得x「2 .下面分两种情况讨论：①当f ( x) - 0，即x 2或x 2时；②当f ( x) 0，即2 : x 2时.当x变化时，f (x) , f (x)变化情况如下表:因此，当x 一—2时，f ( x)有极大值，并且极大值为16; 当x -2时，f ( x)有极小值，并且极小值为-16 .(3)因为f ( x) -6 -12x x3，所以f ( x)— -12 3x2.令f (x) ^「12 3x2口0，得x 2 .下面分两种情况讨论：①当f ( x) • 0，即x二2或x 2时；②当f ( x) 一0，即卩2二x ： 2时.当x变化时，f (x)，f (x)变化情况如下表:因此，当x - 2时，f ( x)有极大值，并且极大值为22 ；当x 一2时，f ( x)有极小值，并且极小值为-10 .(4)因为f ( x) -48x x3，所以f (x) - 48 3x2.令f (x)二48— 3x2二0，得x「二4 .下面分两种情况讨论：①当f ( x) 0，即x ： -2或x 2时；②当f ( xp 0，即—2 x 2时. 当x变化时，f (x)，f (x)变化情况如下表:因此，当x _ 4时，f ( x)有极小值，并且极小值为128 ;当x -4时，f ( x)有极大值，并且极大值为 128.(1 )在［_1,1］上，当x =「丄 时，函数f (x) 6x 2+x 42有极小值，并且极小值为1247 24由于 f ( 1)一7 , f (1) 一 9 ,247所以，函数f ( x) _6x 2 x- 2在［_1,1］上的最大值和最小值分别为 9，24(2)在［3,3］上，当x »2时，函数f ( x) -x 312x 有极大值，并且极大值为16;当x =2时，函数f ( x) - X 3=12X 有极小值，并且极小值为-16 .由于 f ( —3) 一9 , f (3) - —9 ,所以，函数f ( x) - x 3-12x 在［-3,3］上的最大值和最小值分别为16， 16 .1 1(3)在［_ ,1］上，函数 f ( x) 6 12x. x 3在［—,1］上无极值.32693由于 f ( 1)，f (1)_ 5， 3271所以，函数f ( x) - 6 —12x ；方x 3在［,1］上的最大值和最小值分别为 326927(4 )当x 4时，f ( x)有极大值，并且极大值为128..由于 f ( 一3) 一 -117 , f (5) - 115 ,所以，函数f ( x) =48x_x 3在［-3,5］上的最大值和最小值分别为 128， 117 .习题3.3 B 组(P32)1、( 1 )证明：设 f ( x) _sin x x ， x (0,).因为 f ( X )- cos x 1 0， x (0,)所以f ( x) -sin x _x 在(0^ )内单调递减因此 f ( x) — sin x x ： f (0)一0， x (0/ )，即 sin x x ， x (0,). 图略(2)证明：设 f ( x) - x x 2， x (0,1). 因为 f ( x) — 1 2x ，x (0,1)所以，当x (0, 1 )时，f (x) _1_2x 0 , f (x)单调递增，2f ( x)r x x2嚣f (0) - 0 ;,1)时，f ( x) _ 1 _ 2x 0 , f ( x)单调递减，f (X)EX-X2 f (1尸0 ;1又f(__) 0 .因此，x _x20 , x (0,1).2 4()一x_1 一，x - 0 .x e x因为f ( x) - e x 1, x - 0所以，当x 0时，f ( x) - e x T 0 , f (x)单调递增，f (x)二e x 1 x f (0)二0 ；当x 0时，f ( x) i e x 1 0 , f (x)单调递减，f (x) = e x-1 - x > f (0)=0 ;综上，e x-1 x , x - 0 . |图略(4)证明：设 f (x) J|n x - x , x 0 .因为 f ( x) - 11，X = 0x所以，当0-C X V1时，f Yx) z斗一1刃，f ( x)单调递增，xf ( x)二In x i x f (1)二一1 0 ；当x 1 时，f ( x)--1-1 0，f ( x)单调递减，xf ( x) — In x x ： f (1) —10 ；当x "1时，显然In1 : 1 . 因此，In x x .由(3)可知，e x x 1 x，x 0 . 图略(3 )证明：设. 综上，In x x e x，x 0 图略2、( 1)函数f ( x) 一ax3 bx2 cx d的图象大致是个“双峰”图象，类似“”或的形状.若有极值，则在整个定义域上有且仅有一个极大值和一个极小值，从图象上能大致估计它的单调区间.(2)因为f ( x) -ax3 bx2 cx d，所以f ( x)」3ax2 2bx c .下面分类讨论：当a -0时，分a 0和a 0两种情形:①当a 0 ,且b? -3ac 0时，设方程f ( x) 一3ax2 2bx c "0的两根分别为x i, X2，且x i ' X2 ,当f (x) -3ax2 2bx 0，即x x i 或x X2 时，函数f (x) - ax3 ' bx2 ex ' d 单调递增;当f (x) _3ax2 2bx c 0，即x i，x X2 时，函数f ( x)「「ax3 bx2 ex d 单调递减.当a 0，且b23ac-0 时，此时f ( x) =3ax2 ' 2bx ' c 0，函数f ( x)二ax3 ' bx2 c^ d 单调递增②当a 0，且b2- 3ac 0时，设方程f ( x) 一3ax2 2bx c 0的两根分别为x i, X2，且x i x2，当f (x) =3ax2 2bx c ' 0，即x i x ； X2 时，函数f ( x)二ax3 bx2 cx d 单调递增;当f (x)…3ax22bx c 0，即x ：x i 或x X2 时，函数f (x) ax 3bx2 cx d 单调递减当 a 0，且b23ac—0 时，此时f ( x) "3ax2 ' 2bx ' c 0，函数f ( x) 一ax3 bx2 c^ d 单调递减i . 4生活中的优化问题举例习题i.4 A组(P37 )i、设两段铁丝的长度分别为x , l x，则这两个正方形的边长分别为x , L A，两个正方1- 4 4形的面积和为S f (x) - (-"X )2( - x)2 -亍(2 x2- 2lx T 2 ) , 0二x "1 .4 4 i6令 f ( x)二0，即4x 21 =0, x =十.2当X 和，1厂时，f '(X)W0 ；当X J )时，f ( X) 0 >2 2因此，X --是函数f ( X)的极小值点，也是最小值点.2所以，当两段铁丝的长度分别是-时，两个正方形的面积和最小2、如图所示，由于在边长为a的正方形铁片的四角截去四个边长为x的小正方形，做成一个无盖方盒，所以无盖方盒的底面为正方形，且边长为 a 2x，高为x .(i )无盖方盒的容积V ( x)」(a 一2x)2 x , 0 • x ' a .2(2)因为V (x) 4x 3 _4ax2 a2 x ,(第2 题)Rh42R 0222222 8 n i i a i )当R—+ 2V x 2 m 2 (x所以 V ( x)二 12x 2 8ax a 2 . 2—2第一章课后习题解答 沖j一 T令 f (x) 0，得 x - a i ， 1 'n可以得到，x- a i 是函数f ( x)的极小值点，也是最小值点 5、设矩形的底宽为 x m ，则半圆的半径为 (第 3 题).此时，h VR 2所以，当罐咼与底面直径相等时，所用材料最省 =r z rf - 24、证明：由于 f ( x) =( x ai)，所以f (x)n i in i i这个结果说明，用 n 个数据的平均值 1-n a i 表示这个物体的长度是合理的，m ，半圆的面积为 63、如图，设圆柱的高为.-.h ，底半径为R , 则表面积S 2 Rh 2 R 2I ----- ---23 V 2R . 这就是最小二乘法的基本原理 71二厂 ----------R 2 h ，得 h V 2 'R—兀 ---------------------+ TT o — S(R) 2 R V 2 R 2 R 22V 2 R 2, R 0 . R —当R因此，二 VR 3 ；-是函数S(R)的极小值点，也是最小值点由V 因此，令 S(R)R_ 0，解得 R _ I VS(R)V ］时)时，S(R)令V (x)0 ,得x a (舍去)，或 x a .26a a a」当 x (0,)时，V (x) 0 ;当x e (- 一 )时，V ( x/0 .66 2因此，xa是函数V ( x)的极大值点，也是最大值点6 —所以，当x a 时，无盖方盒的容积最大.r °2a x矩形的面积为ax 2 m 2，矩形的另一边长为 — ) m8x 8因此铁丝的长为 I (x)冷 _xx Na -— 二(「•： =) x_2a, 0 x 8a2 x 4 4 x'■ ~令 I ( x) ] 2a _0，得 x_ 8a(负值舍去).4 x 2 丫4 械因此，所以，当底宽为8a m 时，所用材料最省.56、利润L 等于收入R 减去成本C ，而收入R 等于产量乘单价. 由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式，再用导数求最大利润.1 彳收入 R _q p 一 q (25 _ q) - 25q_ 1q 2，8 8利润 L _ R =C _(25q =1 q 2)_ (100 4q)q 221q =100， 0 : q 厂 200 .8 8求导得L * =+ 214令 L —0，即卩—1 q 21 0， q _84 .4当 q (0,84)时，L 0 ；当 q (84,200)时，L 0 ；因此，q 84是函数L 的极大值点，也是最大值点所以，产量为 84时，利润L 最大，当 x (0, 8a )时，V 4仕I ( x). 0 .x_ 8a 是函数I (x)的极小值点，也是最小值点I 4习题1.4 B组(P37)1、设每个房间每天的定价为x元，那么宾馆利润L (x)二(50 -x—)( x 20)二一1 X2 70x 1360，180 x : 680 .10 10令L (x) 1 x 70- 0，解得x -350 .5当x (180,350)时，L ( x) 0 ;当乂(350,680)时，L ( x) 0.因此，x ~ 350是函数L( x)的极大值点，也是最大值点所以，当每个房间每天的定价为350元时，宾馆利润最大2、设销售价为x元/件时，利润L (x) =( x_a)(c #C b ~x x4)_p( x _ a)(5 —呂x) , a”.F~l«^T.b b 4令L (x) _ _ 8c x 4ac 5bc ― 0，解得x _ 4a 5b .当x _4a 5b是函数L（ x）的极大值点，也是最大值点84a所以，销售价为4a 5b元/件时，可获得最大利润81 . 5定积分的概念练习（P42）说明：进一步熟悉求曲边梯形面积的方法和步骤，体会“以直代曲”和“逼近”的思想练习（P45）1、S i S i --v()『二t - [ - ( ' ) 2& 2] -1 —-( i)2 1爼■nn n于是S L工/：.,s i達？止S ii T 行n[_(i )2 1 i卜n n-()2-1n n1 23 [1 22'n1 n(n 1)(23n1 1 土一占(1 )(13取极值，得n s - limn—九i 叶)] n说明：进一步体会22 kkm.3说明：进一步体会和步骤.练习（P48）x3dx 4.“以不变代变“以不变代b b⑴/ 4a」*5b 口」当x (a, )时，L (x)88r/ +5b 5b □斗0 ;当x ( 4a ,)时，8 4L ( x) 0 .从几何上看，表示由曲线 y x 3与直线x0 , x 2 , y 0所围成的曲边梯形的面积n nnnr 2^ ii'三£ v( ) ti Tn2]n(^_-1 )2」 （』）n n nn 2 ]2n 1)21 ) !n2n1 1-lim •「[-(1 -n • 厂13 n”和“ '逼近” 的思想 ”和“ '逼近” 的思想，21 n 1)(1 )2ni =1,2, ” ；»n .熟悉求变速直线运动物体路程的方法说明：进一步熟悉定积分的定义和几何意义习题1.5 A 组（P50 ）1、（ 1） (x 1)dx100i 1)1]10.495 ；1 2-H -- --t -------- =■i 11001002 500(2)(x __1)dx ■ -[(1i _1k_1]1 — 0.499 ；1i 怎5005002 10001(3)(X _1)dx-[(1i 」)」.<■ 1 -0.4995 .1i 110001000说明：体会通过分割、近似替换、求和得到定积分的近似值的方法 2、距离的不足近似值为：18 V 12 17 13 V 0 1 40（ m ）;距离的过剩近似值为： 271 18 1 12 V 7 V3 1 - 67 （ m ）3、证明：令f （ x ）匸1 .用分点a 二x o * X 1作和式i1i1y x 3所围成的曲边梯形的面积的相反数（2）根据定积分的性质，得1 qx 3dx1由于在区间［1,0］上x 30，在区间［0,1］仔x 3dx1> 上x 31x 3 dx1 1 0 .4£，所以定积分 1x 3dx 等于位于x 轴上方的将区间 ［a, b ］等分成 n个小区间，在每个小区间［X i 1 , x i ］上任取一点 i (i 1,2, , n)X i 1 X i X n — b从而「b. ； b -a 1dx i im b - a ，a 7冕斗n说明：进一步熟悉定积分的概念 4、根据定积分的几何意义，-1 x 2 dx 表示由直线沪0，x=，尸0以及曲线所围成的曲边梯形的面积，即四分之一单位圆的面积，因此(1)x 3 dx4<由于在区间［1,0］上x 30，所以定积分[ ~ =—"—x 3 dx 表示由直线 x 0 ， x 1 ， y1二0和曲说明：在（3）中，由于x 3在区间［1,0］上是非正的，曲边梯形面积减去位于 x 轴下方的曲边梯形面积 . I 0 3x 3dx1上x 3（3）根据定积分的性质，得2 x 3dx1一 空由于在区间［1,0］ 上 x 30，在区间［0, 2］曲边梯形面积减去位于 X 轴下方的曲边梯形面积2 — — ' — ---------------------------------x 3dx1 4 15 04 4）_2，所以定积分 1x 3dx 等于位于x 轴上方的在区间 ［0, 2］上是非负的，如果直接利用定义把区间［1,2］分成n 等份来求这个定积分，那么和式中既有正项又有负项，而且无法抵「X - il - (i 1)1-1 .n则细棒的质量挡一些项，求和会非常麻烦 .利用性质3可以将定积分2 0x 3dx 化为x 3dx.12x 3dx ，这样，x 3在区间［1,0］和区间［0, 2］ 上的符号都是不变的，再利用定积分的定义，容易求出r °x 3dx ，12;x 3dx ，进而得到定积分2I x 3dx 的值.由此可见，利用定积分的性质可以化简运算--1在（2）（ 3）中，被积函数在积分区间上的函数值有正有负，通过练习进一步体会定积分 的几何意义.习题1.5 B 组（P50 ）1、 该物体在t - 0到t - 6 （单位： 说明：根据定积分的几何意义， 的路程.2、 （ 1） v — 9.81t .s ）之间走过的路程大约为 145 m.通过估算曲边梯形内包含单位正方形的个数来估计物体走过（2）过剩近似值:丄1…9.81- 空-88.29 ( m )； 2 24 2不足近似值:8i 1 1 1 8 7 '9.81 ---------- 「一 9.81 一 ： ------- 68.67------------------ ( m )4(3)9.81tdt49.81tdt 二 78.48( m ).■ 0（1）分割在区间［0, l ］上等间隔地插入 l［0,-］， n 记第i 个区间为［（i-1）| , -iL ］nn -1个分点，将它分成 n 个小区间:l 2l［--,—］，,,，n n (i -1,2, n ) ［4n^）L,i ］，n把细棒在小段 [0, l ]， n[l , 2l]，,,， n nA —心[(n 2)l ,l ]上质量分别记作: n m 1, m 2 , , m n ，（2）近似代替（i -x很小时，在小区间［'1）1 , il ］上，可以认为线密度n n化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于任意一点当n 很大，即'(x) - x 2的值变值（-i ）s 卩［（F 1）l-』］处的函数n ni 2.于是，细棒在小段［,』］上质量 m^ （ i 厂x i 2」（i 「1,2, n ）.n nn(3)求和得细棒的质量m i 、2 _!_.i 1 i n(4)取极限n 细棒的质量m ^!im r.n_]* •i2 L，所以m l2x dx ..。

人教版高中数学精品资料1.7.2 定积分在物理中的应用课时演练·促提升A组1.物体以速度v(t)=2-t做直线运动,则它在t=1到t=3这段时间的路程为()A.0B.1C.D.解析:当t∈[1,2]时v(t)≥0,t∈[2,3]时v(t)≤0,故路程为|2-t|d t=(2-t)d t+(t-2)d t=1.答案:B2.做直线运动的质点在任意位置x处,所受力F(x)=1+e x,则质点沿着与F(x)相同的方向,从点x1=0处运动到点x2=1处,力F(x)所做的功是()A.1+eB.eC. D.e-1解析:W=(1+e x)d x=(x+e x)=e.答案:B3.以40 m/s的初速度竖直向上抛一物体,t s时的速度v=40-10t2(m/s),则此物体达到最高时的高度为()A. mB. mC. mD. m解析:由v=40-10t2=0得t2=4,∴t=2.∴h=(40-10t2)d t==80-(m).故选A.答案:A4.一物体在力F(x)=15-3x2(力的单位:N,位移的单位:m)作用下沿与力F(x)成30°角的方向由x=1 m直线运动到x=2 m处,作用力F(x)所做的功W为()A. JB.2 JC.4 JD. J解析:W=F(x)cos 30°d x=(15-3x2)d x=(15x-x3)[(30-8)-(15-1)]=4(J).答案:C5.一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度v(t)=7-3t+(t的单位:s,v的单位:m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位:m)是()A.1+25ln 5B.8+25lnC.4+25ln 5D.4+50ln 2解析:由v(t)=0得7-3t+=0,又t>0,所以t=4,所求距离s=v(t)d t=d t==7×4-×42+25ln 5=4+25ln 5.故选C.答案:C6.质点运动的速度是(18t-3t2)m/s,质点在[0,8]时间段内所通过的路程为m,位移为m.解析:v=18t-3t2>0时0<t<6,即在[0,8]内[6,8]时间段内v≤0.故路程s=(18t-3t2)d t-(18t-3t2)d t=(9t2-t3)-(9t2-t3)=108-(-44)=152(m),位移s'=(18t-3t2)d t=(9t2-t3)=64(m).答案:152647.已知作用于某一质点的力F(x)=(单位:N),力F从x=0处运动到x=2处(单位:m)所做的功是.解析:力F所做的功W=x d x+(x+1)d x=x2=3(J).答案:3 J8.物体A以速度v A=3t2+1(米/秒)在一直线上运动,同时物体B以速度v B=10t(米/秒)在同一直线上与物体A同方向运动,问多长时间物体A比B多运动5米?此时,物体A,B运动的路程各是多少? 解:依题意知,物体A,B分别做变速直线运动和匀速直线运动.A从开始到t秒后所走的路程为s A=v A d t=(3t2+1)d t=t3+t;B从开始到t秒后所走的路程为s B=v B d t=10t d t=5t2.由题意得s A=s B+5,即t3+t=5t2+5,得t=5(秒).此时,s A=53+5=130(米),s B=5×52=125(米).答:5秒后物体A比B多运动5米,此时,物体A,B运动的路程分别是130米和125米.9.物体按规律x=4t2(m)做直线运动,设介质的阻力与速度的大小成正比,且速度的大小为10 m/s时,阻力为2 N,求物体从x=0到x=4,阻力所做的功的大小.解:∵v=x't=8t=4(m/s),F(x)=kv=4k(N),当v=10时,F(x)=2,∴k=.∴F(x)=.故阻力所做的功为W=d x=(J).B组1.一物体从A处向B处运动,速度为1.4t m/s(t为运动的时间),到B处时的速度为35 m/s,则AB间的距离为()A.120 mB.437.5 mC.360 mD.480 m解析:从A处到B处所用时间为25 s.所以|AB|=1.4t d t=0.7t2=437.5(m).答案:B2.如图,弹簧一端固定,另一端与一质点相连.弹簧劲度系数为k,则质点由x0运动至x1时弹簧弹性力所做的功为()A. B.C. D.解析:∵弹簧弹性力F(x)=-kx,∴W=F(x)d x=(-kx)d x=-.答案:A3.有一质量非均匀分布的细棒,已知其线密度为ρ(x)=x2(取细棒所在的直线为x轴,细棒的一端为原点),棒长为l,则细棒的质量m=.解析:m=ρ(x)d x=x2d x=x3l3.答案:l34.把一个带+q电量的点电荷放在r轴上坐标原点处,形成一个电场,已知在该电场中,距离坐标原点为r处的单位电荷受到的电场力由公式F=k(其中k为常数)确定.在该电场中,一个单位正电荷在电场力的作用下,沿着r轴的方向从r=a处移动到r=b(a<b)处,则电场力对它所做的功为.解析:W=d r=-k=k-k.答案:k5.A,B两站相距7.2 km,一辆电车从A站开往B站,电车开出t s后到达途中C点,这一段的速度为1.2t m/s,到C点的速度为24 m/s,从C点到B站前的D点以等速行驶,从D点开始刹车,经t s后,速度为(24-1.2t) m/s,在B站恰好停车,试求:(1)A,C间的距离;(2)B,D间的距离.解:(1)设A到C的时间为t1 s,则1.2t=24,解得t1=20,则AC=1.2t d t=0.6t2=240(m).即A,C间的距离为240 m.(2)设D到B的时间为t2 s,则24-1.2t2=0,解得t2=20,则DB=(24-1.2t)d t=(24t-0.6t2)=240(m).即B,D间的距离为240 m.6.如图,在某一温度下,直径为0.2 m,高为0.8 m上端为活塞的圆柱体内某气体的压强p(N/m2)与体积V(m3)的函数关系式为p=,而正压力F(N)与压强p(N/m2)的函数关系为F=pS,其中S(m2)为受力面积.设温度保持不变,要使气体的体积缩小为原来的一半,求活塞克服气体压力做多少功?解:设活塞运动的距离为x m,则活塞受到的压强为:p=,从而活塞受到的压力为:F=pS=×0.01π=,活塞克服气体压力所做的功为:W=d x=[-80ln(0.8-x)]=80ln 2.故活塞克服气体压力做功为80 ln 2 J.。

高中数学选修2-2知识点总结第一章 导数及其应用1. 平均变化率 xf x f x y x x ∆-∆+=∆∆)()(00 2. 导数（或瞬时变化率） x x f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim)(0000导函数(导数)： xx f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim )(03. 导数的几何意义：函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f '(x 0)就是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝f '(x 0)．4. 导数的运算：(1)几种常见函数的导数：①(C )′＝0(C 为常数)； ②(x α)′＝1x αα-(x ＞0，Q α∈)； ③(sin x )′＝cos x ； ④(cos x )′＝－sin x ； ⑤(e x )′＝e x ； ⑥(a x )′＝a x ln a (a ＞0，且a ≠1)； ⑦xx 1)(ln =； ⑧1(log )ln a x x a =(a ＞0，且a ≠1)．(2)导数的运算法则：①[u (x )±v (x )]′＝u ′(x )±v ′(x )； ②[u (x )v (x )]′＝u ′(x )v (x )＋u (x )v ′(x )； ③)0)(()()()()()(])()([2=/'-'='⋅x v x v x v x u x v x u x v x u . 5. 设函数()u x ϕ=在点x 处有导数()x u x ϕ'='，函数()y f u =在点x 的对应点u 处有导数()u y f u '='，则复合函数(())y f x ϕ=在点x 处也有导数，且x u x u y y '''⋅= 或(())()()x f x f u x ϕϕ'='⋅'。

高中数学学习资料金戈铁骑整理制作2014 年新田一中选修2-2 课后作业（十一）班级 ___________姓名___________学号___________ 11．由 y＝x， x＝ 1， x＝ 2，y＝0 所围成的平面图形的面积为()．A．ln 2B．ln 2－ 1C． 1＋ ln 2D． 2ln 22．在下面所给图形的面积S 及相应表达式中，正确的有()．A．①③B．②③C．①④D．③④3 ．由曲线 y ＝x 2 与直线 y ＝2x 所围成的平面图形的面积为 ()．168 4 2A. 3B. 3C.3D. 34 ．由曲线 ＝2x2，及 x ＝0，x ＝3， y ＝ 0 所围成图形的面积为 ________．y π 3π5．直线 x ＝2，x ＝ 2 ， y ＝0 及曲线 y ＝ cos x 所围成图形的面积 ________．6．抛物线 y ＝－ x 2＋4x － 3 及其在点 A(1,0)和点 B(3,0)处的切线所围成图形的面积为 ________．7．已知函数 f(x)＝3x 2＋2x ＋1，若f(x)dx ＝ 2f(a)成立，则 a 的值为 ________．8．直线 y ＝kx 分抛物线 y ＝x －x 2与 x 轴所围成图形为面积相等的两部分，求 k 值及直线方程．．已知函数x 3，x ∈[0，1] ， f(x)＝ 求曲线 y ＝ f(x)与 x 轴、直线 x ＝0、x ＝29x ， x ∈ [1，2]，所围成的图形的面积．11．由 y＝x， x＝ 1， x＝ 2，y＝0 所围成的平面图形的面积为()．A．ln 2B．ln 2－1C．1＋ln 2D．2ln2剖析画出曲线 y＝1及直线x ＝，＝，＝，x(x>0)1x 2 y0则所求面积 S 为以下列图阴影部分面积．＝ln 2－ln 1 ＝ln 2.应选 A.答案A2．在下面所给图形的面积S 及相应表达式中，正确的有()．A．①③B．②③C．①④D．③④答案D3．由曲线 y＝x2与直线 y＝2x 所围成的平面图形的面积为()．168A. 3B.342C.3D.3剖析画出曲线 y＝ x2和直线 y＝2x，则所求面积 S 为图中阴影部分的面积．y＝2x，x＝0，x＝2，解方程组y＝x2，得y＝0或y＝4.∴A(2,4)，O(0,0)．＝－8－ 0＝4433.应选 C.答案C ．由曲线＝2x 2，及 x＝0，x＝3， y＝ 0 所围成图形的面积为 ________．4y剖析由题意画草图：答案18π3π5．直线 x＝2，x＝2， y＝0 及曲线 y＝ cos x 所围成图形的面积 ________．剖析由题意画草图：由图形面积为答案26．求由曲线 y ＝ x 3及直线 y ＝2x 所围成的图形面积．解 由y ＝ x 3，解得 1＝0，x 2＝ 2，x 3＝－ 2.xy ＝ 2x ，交点为 (－ 2，－ 2 2)，(0,0)，( 2，2 2)．所求面积 S 为：综合提高 限时 25分钟7．若 y ＝ f(x)与 y ＝g(x)是 [a ，b]上的两条圆滑曲线的方程，则这两条曲线及直线x ＝a ，x ＝b 所围成的平面地域的面积为( )．剖析当 f(x)＞g(x)时，所求面积为；当 f(x)≤g(x)时，所求面积为 .综上，所求面积为.答案C8．曲线 y ＝x 2＋2x 与直线 x ＝－ 1，x ＝1 及 x 轴所围图形的面积为()．8A ．2B.342 C.3D.32 4＝3＋3＝2.答案A9．抛物线 y ＝－ x 2＋4x － 3 及其在点 A(1,0)和点 B(3,0)处的切线所围成图形的面积为 ________．剖析 由 y ′ ＝－ 2x ＋4 得在点 A 、B 处切线的斜率分别为 2 和－ 2，则两直线方程分别为 y ＝2x － 2 和 y ＝－ 2x ＋6，y ＝2x － 2， 由得两直线交点坐标为 C(2,2)，y ＝－ 2x ＋6，∴ S ＝ S △ ABC －(－ x 2＋4x － 3)dx1 1 3234 2＝ 2×2×2－ －3x ＋2x －3x1 ＝2－3＝3.答案2310．已知函数 f(x)＝3x 2＋2x ＋1，若f(x)dx ＝2f(a)成立，则 a 的值为 ________．所以 2(3a 2＋2a ＋1)＝4，即 3a 2＋2a － 1＝ 0，1解得 a ＝－ 1 或 a ＝3.1答案－1 或3．直线 ＝kx 分抛物线2 与 x 轴所围成图形为面积相等的两部分，求 k11 yy ＝ x － x值及直线方程．y ＝ kx ，x ＝ 0， x ＝1－k ， 解 由得或(0<k<1)y ＝ x － x 2，y ＝ 0，y ＝ k －k 2.1－k 21 3 1－ k1 1 1 123即2 x －3x＝2 2x－3x 0.31 ，∴1－k ＝6123134∴ (1－k) ＝ 2， k ＝ 1－ 2 .∴直线方程为 y ＝3 4 x.1－2． 创新拓展 已知函数x 3， x ∈ [0，1] ，) f(x)＝求曲线 y ＝f(x)与 x 轴、直线 x12 (x ，x ∈[1， 2]，＝ 0、 x ＝2 所围成的图形的面积．。

高中数学学习材料（灿若寒星 精心整理制作）1.7 定积分的简单应用一、选择题1．由直线0,e,2y x y x ===及曲线xy 2=所围成的封闭的图形的面积为（） A ．2ln 23+ B ．3 C ．22e 3- D ．e2.定积分的值是（）A ．B ．C ．2D ．3．如图，抛物线的方程是21y x =-，则阴影部分的面积是（ ）A.220()1x dx -⎰ B.|220()1x dx -⎰| 0|sin cos |x x dx π⎰-22+22-22C.220||1x dx ⎰－ D.122201)(11()x dx x dx ⎰⎰－＋－ 4．如图，阴影区域是由函数cos y x =的一段图象与x 轴围成的封闭图形，那么这个阴影区域的面积是（）A. 1B. 2C. π2D. π 5．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251t+(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是 ( ) A ．1＋25ln 5 B ．8＋25ln 113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2 6．设，则的值为（） A. B. C. D. 二、填空题7．若，则的值是______． 8．如图阴影部分是由曲线21,y y x x ==与直线2,0x y ==围成，则其面积为________．()[)[]221,1,11,1,2x x f x x x ⎧-∈-⎪=⎨-∈⎪⎩()21f x dx -⎰423π+32π+443π+34π+11(2)3ln 2(1)a x dx a x+=+>⎰a三、解答题9．一质点做直线运动，其瞬时加速度的变化规律为()2cos a t A t ω=-，在t =0时，v (0)=0，s (0)=A ，其中A 、ω为常数，求质点的位移方程.10．已知()y f x =是二次函数，方程()0f x =有两个相等的实根，且()22f x x '=+（1）求()f x 的解析式．（2）求曲线()y f x =与曲线241y x x =--+所围成的图形的面积．。

1．7 定积分的简单应用 1．7.1 定积分在几何中的应用教材分析这一节的教学要求就是让学生在充分认识导数与积分的概念、计算、几何意义的基础上，掌握用积分解决实际问题的基本思想和方法．在学习过程中，了解导数与积分的工具性作用，从而进一步认识到数学知识的实用价值以及数学在实际应用中的强大作用．在整个高中数学体系中，这部分内容也是学生在高等学校进一步学习数学的基础．课时分配 1课时．教学目标 知识与技能目标应用定积分解决平面图形的面积问题． 过程与方法目标1．能够初步掌握应用定积分解决实际问题的基本思想和方法； 2．强化数形结合和化归思想的思维意识． 情感、态度与价值观1．激发学生的求知欲，培养学生对学习的浓厚兴趣；2．培养学生严谨的科学思维习惯和方法；培养学生勇于探索和实践的精神； 3．培养将数学知识应用于生活的意识． 重点难点 重点：应用定积分解决平面图形的面积，使学生在解决问题的过程中体验定积分的价值． 难点：如何恰当选择积分变量和确定被积函数．教学过程引入新课提出问题1：(1)求曲边梯形的方法；(2)定积分的几何意义；(3)微积分基本定理． 活动设计：以教师提问学生回答的形式回顾前面的知识． 设计意图这些知识是本节课定积分应用的理论基础．提出问题2：通过学习前面的知识，我们知道了定积分的哪些应用？ 活动设计：让学生观察国家大剧院的图片，使其明确大剧院边缘的玻璃形状属于曲边梯形，要计算其面积可以通过计算曲边梯形的面积实现．设计意图通过具体的实例，将定积分与现实生活相联系，激发学生的学习兴趣． 探究新知提出问题1：计算由抛物线y ＝x 2在[0,1]上与x 轴在第一象限围成图形的面积S 1；计算由抛物线y 2＝x 在[0,1]上与x 轴在第一象限围成图形的面积S 2.活动设计：让学生自己动手画图，找出所围图形，思考解决问题的方法．活动成果：通过画出图象，根据定积分的几何意义，可知面积S 1＝∫10x 2dx ＝x 33|10＝13，面积S 2＝∫10xdx ＝2x 323|10＝23. 设计意图这个问题把课本例1所求面积进行适当的分割，降低难度的同时，突出应用定积分解决平面图形面积问题的重要性，突破如何把平面图形的面积问题化归为定积分问题．提出问题2：计算由两条抛物线y 2＝x 和y ＝x 2所围成图形的面积S.活动设计：先让学生独立思考，然后小组交流，教师巡视指导，并注意与学生交流． 活动成果：两条抛物线所围成图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到．先由方程组⎩⎨⎧y ＝xy ＝x 2⇒ x ＝0或x ＝1，得到两曲线的交点为(0,0)、(1,1)，再由定积分的几何意义可知，面积S ＝∫10xdx －∫10x 2dx ，所以S ＝∫10(x －x 2)dx ＝23x 32|10－x 33|10＝13.提出问题3：求两曲线围成的平面图形面积的一般步骤是什么？活动设计：学生独立思考，自由发言．活动结果：1.作出示意图(找到所求平面图形)； 2．求交点坐标(确定积分上、下限)； 3．确定被积函数； 4．列式求解． 设计意图让学生明确求两曲线围成的平面图形面积的方法和步骤． 理解新知提出问题1：计算由直线y ＝x －4，曲线y ＝2x 以及x 轴所围图形的面积S.先画出图象，你发现此题与例1有什么不同？活动设计：学生独立思考．活动成果：此题需把所求图形的面积分成两部分来求． 设计意图此题是例1的深入和扩展，让学生独立思考，培养他们解决问题的能力． 提出问题2：你能仿照例1，自己完成这个问题的解答吗？活动设计：学生独立完成，再将一学生的做题步骤进行投影，然后共同分析．活动成果：作出直线y ＝x －4，曲线y ＝2x 的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．解方程组⎩⎨⎧y ＝2x ，y ＝x －4，得直线y ＝x －4与曲线y ＝2x 的交点的坐标为(8,4)．直线y ＝x －4与x 轴的交点坐标为(4,0)．因此，所求图形的面积为S 1＋S 2＝∫402xdx ＋[∫842xdx －∫84(x －4)dx]＝223 32x |40＋223 32x |84－12(x －4)2|84＝403. 设计意图学生运用新知识解决问题，可以获得极大的成就感，既激发了学习兴趣，又加强了学生应用数学知识的意识．提出问题3：还有其他解法吗？活动设计：分小组讨论，让学生交流自己的想法．活动成果：方法一：将所求平面图形面积看成一个曲边梯形与一个三角形的面积之差．S ＝∫802xdx －12×4×4. 方法二：将所求平面图形的面积看成位于y 轴右边的一个梯形与一个曲边梯形的面积之差，因此取y 为积分变量，还需把函数y ＝x －4变形为x ＝y ＋4，函数y ＝2x 变形为x ＝y 22.S＝12×(4＋8)×4－∫40y 22dy. 设计意图考虑到学生思维方式的不同，所以对问题解决的方法可能会有所不同．有可能直接面积相减，也有可能把所求面积分两部分相加．学生通过体会不同方法的区别及联系，加强对重难点的理解．提出问题4：根据对以上问题的分析，你能再详细叙述求曲边梯形的面积的步骤，以及解决此类问题应注意什么吗？活动设计：让学生独立思考，再找几个学生叙述，然后教师补充总结． 活动成果：具体步骤：(1)画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；(2)对每个曲边梯形确定其范围，从而确定积分的上、下限； (3)确定被积函数；(4)求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和．①由一条曲线y ＝f(x)(其中f(x)>0)与直线x ＝a ，x ＝b(a<b)以及x 轴所围成的曲边梯形的面积：S ＝∫b a f(x)dx ；②由一条曲线y ＝f(x)(其中f(x)<0)与直线x ＝a ，x ＝b(a<b)以及x 轴所围成的曲边梯形的面积：S ＝|∫b a f(x)dx|＝－∫ba f(x)dx ；③由两条曲线y ＝f(x)，y ＝g(x)(f(x)≥g(x))与直线x ＝a ，x ＝b(a<b)所围成的曲边梯形的面积：S ＝∫b a |f(x)－g(x)|dx.注意的问题：选择最优化的积分变量；根据图形特点选择最优化的解题方法． 设计意图让学生进一步理解定积分的几何意义，同时体会如何用定积分解决同类问题． 运用新知例1计算由y ＝x －4与y 2＝2x 所围图形的面积． 解：作出草图，所求面积为图中阴影部分的面积．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －4，y 2＝2x 得到交点坐标为(2，－2)及(8,4)．∴S ＝12×(2＋8)×6－∫4－2(12y 2)dy ＝18. 例2计算由曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 围成的图形面积．解：由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝2－x ，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝－13x ，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2－x ，y ＝－13x ， 得交点坐标为(1,1)，(0,0)，(3，－1)．∴S ＝∫10[x －(－13x)]dx ＋∫31[(2－x)－(－13x)]dx ＝∫10(x ＋13x)dx ＋∫31[(2－x)＋13x]dx ＝(23x 23＋16x 2)|10＋(2x －12x 2＋16x 2)|31 ＝23＋16＋(2x －13x 2)|31＝56＋(6－13×9－2＋13)＝136. 巩固练习计算由曲线y ＝sinx ，y ＝cosx 及x ＝0，x ＝π2所围平面图形的面积．解：法一：S ＝S 1＋S 2，其中S 1＝∫π40(cosx －sinx)dx ＝∫π40cosxdx －∫π40sinxdx ＝sinx|π40＋cosx|π4＝sin π4－sin0＋cosπ4－cos0＝2－1，S 2＝∫π2π4(sinx －cosx)dx ＝∫π2π4sinxdx －∫π2π4cosxdx ＝－cosx|π2π4－sinx|π2π4＝－cos π2＋cosπ4－sin π2＋sin π4＝2－1，所以S ＝S 1＋S 2＝2(2－1)．法二：根据图形的对称性，S ＝2(S 1－S 2)，其中 S 1＝∫π20sinxdx ＝－cosx|π20＝－cos π2＋cos0＝1，S 2＝2∫π40sinxdx ＝－2cosx|π40＝－2cos π4＋2cos0＝2－2，所以S ＝2(S 1－S 2)＝2[1－(2－2)]＝2(2－1)．变练演编有一直线与抛物线y ＝x 2相交于A 、B 两点，AB 与抛物线所围成图形的面积恒等于43，求线段AB 的中点P 的轨迹方程．解：设抛物线y ＝x 2上的两点为A(a ，a 2)，B(b ，b 2)，不妨设b>a ，直线AB 与抛物线所围成图形的面积为S ，则S ＝∫b a [(a ＋b)x －ab －x 2]dx ＝(a ＋b 2x 2－abx －13x 3)|b a ＝16(b －a)3. 当S ＝43，即16(b －a)3＝43时，有b －a ＝2.(*)设AB 的中点P(x ，y)，则x ＝a ＋b 2，y ＝a 2＋b 22.由(*)得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋1，y ＝a 2＋2a ＋2，消去a 得y ＝x 2＋1.这就是所求的P 点的轨迹方程． 达标检测1．由y ＝sinx ，y ＝cosx ，x ＝0，x ＝π所围成的图形面积可表示为( )A ．∫π0(sinx －cosx)dx B ．∫π40(cosx －sinx)dx ＋∫ππ4(sinx －cosx)dxC ．∫π0(cosx －sinx)dxD ．∫π20(cosx －sinx)dx ＋∫ππ2(sinx －cosx)dx2．求直线y ＝2x ＋3与抛物线y ＝x 2所围成的图形面积． 3．求曲线y ＝e x 与直线x ＝0，y ＝e 所围成的图形面积．4．求曲线y ＝sinx(x ∈[0，2π3])与直线x ＝0，x ＝2π3，x 轴所围成的图形面积．答案：1.B 2.323；3.1；4.32.课堂小结1．知识收获：用定积分求曲边梯形面积问题：(1)画图确定图形范围；(2)确定被积函数和积分区间；(3)写出平面图形面积的积分表达式，计算定积分，求出面积．2．方法收获：归纳方法、数形结合方法． 3．思维收获：数形结合的思想． 布置作业课本习题1.7A 组第1题，B 组第1题． 补充练习 基础练习1．曲线y ＝x 2与直线y ＝x ＋2所围成的图形的面积等于__________．2．由y ＝sinx ，y ＝cosx ，x ＝0，x ＝π4所围成的图形面积等于__________．3．求由抛物线y ＝－x 2＋4x －3及其在点M(0，－3)和N(3,0)处的两条切线所围成的图形的面积．拓展练习 4．在曲线y ＝x 2(x ≥0)上的某点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围成图形的面积为112，试求：切点A 的坐标以及切线方程． 5．一桥拱的形状为抛物线，已知该抛物线拱的高为3，宽为10，求抛物线拱的面积S. 答案：1.922.2－13.9.4．如图，由题意，可设切点坐标为A(x 0，x 20)，则切线方程为y ＝2x 0x －x 20，且切线与x轴的交点坐标为B(x 02，0)．则由题意可知有S ＝∫x 020x 2dx ＋∫x 0x 02(x 2－2x 0x ＋x 20)dx ＝x 3012＝112，则x 0＝1，所以所求切点坐标与切线方程分别为A(1,1)，y ＝2x －1.5．20.设计说明通过具体实例创设问题情境，让学生体验到数学在现实生活中无处不在，从而激发他们的学习热情，引导他们积极主动地参与到学习中来；通过问题探究的形式，形成教师与学生的互动，同时提高学生分析问题、解决问题的能力；教师对学生主要出现的不同解法进行投影分析，并进行比较，学生体会这些方法的区别及联系，突破本节课的重难点．巩固练习，目的在于巩固解题方法，由一题多解锻炼学生的发散思维．备课资料 平地上有一条小沟，沟沿是两条长100 m 的平行线段，沟宽AB 为2 m ，与沟沿垂直的平面与沟的交线是一段抛物线，抛物线的顶点为O ，对称轴与地面垂直，沟深1.5 m ，沟中水深1 m.(1)求水面宽．(2)如图所示形状的几何体称为柱体，已知柱体的体积为底面积乘以高，则沟中的水有多少立方米？解：(1)如图建立直角坐标系xOy ，设抛物线方程为y ＝ax 2(a>0)，则由抛物线过点B(1，32)，可得a ＝32.于是抛物线方程为y ＝32x 2. 当y ＝1时，x ＝±63，由此知水面宽为263m.(2)柱体的底面积 S ＝2∫630(1－32x 2)dx ＝2(∫630dx －32∫630x 2dx) ＝2(x|630－32·13x 3|630)＝469(m 2)． ∴柱体体积为100×469＝40069(m 3)，即沟中的水有40069m 3.(设计者：孙娜)。

第一章 导数及其应用1.7 定积分的简单应用定积分在物理中的应用A 级 基础稳固一、选择题1．一物体在力 F (x)＝ 4x －1( 单位： N) 的作用下，沿着与力F 同样的方向，从 x ＝ 1 处运动到 x ＝ 3 处 (单位： m)，则力 F 所做的功是 ()A ．8 JB ．10 JC ．12 JD ．14 J分析： W ＝ ∫ 13(4x － 1)dx ＝ (2x 2－ x)|13＝ 14(J)． 答案： D2．以初速 40 m/s 竖直向上抛一物体，t s 时辰的速度2，则此物体达到最高时v ＝ 40－ 10t 的高度为 ()16080 A. 3mB. 3 m4020 C. 3mD. 3 m分析：由 v ＝ 40－ 10t 2＝ 0 得 t 2＝ 4， t ＝ 2.所以 h ＝ ∫ 02 －2＝ 40t －10t 3 |02＝ 80－80＝160．(4010t )dt333 (m)答案： A3．一物体沿直线以v ＝1＋ t m/s 的速度运动，该物体运动开始后10 s 内所经过的行程是 ()2 233A. 1(11 － 1)(m)B.1(10 － 1)(m)333 3 121 2C.(11 － 1)(m)D. (10 － 1)(m)33331022 1012∫3(11 － 1)(m) ．分析： s ＝ 0 1＋ tdt ＝ 3(1＋ t) |0 ＝ 答案： C4．质点做直线运动，其速度v(t)＝ t 2－ 2t ＋ 1(单位： m/s)，则它在第 2 秒内所走的行程为()21A.3(m)B.3(m)1 C.4(m)1 D. 2(m)分析：因为v(t)＝ t2－ 2t＋ 1≥0，所以它在第 2 秒内所走的行程为s＝∫21v( t)dt＝∫21(t2－ 2t＋1)dt＝13t3－ t2＋ t |12＝13(m)．答案： B25 5．一辆汽车在高速公路上行驶，因为碰到紧迫状况而刹车，以速度v( t)＝ 7－ 3t＋1＋t(t的单位： s， v 的单位： m/s)行驶至停止，在此时期汽车持续行驶的距离(单位： m) 是 ()11A． 1＋ 25ln 5B． 8＋ 25ln 3C． 4＋ 25ln 5D． 4＋ 50ln 2分析：令 7－3t＋25＝ 0，解得 t＝－8＋(舍去 )或 t＝ 4.t31则∫ 42532＋25ln（＋）|47－3t＋1＋t dt＝7t－2t1t0＝4＋ 25ln 5.答案： C二、填空题6．将一弹簧压缩 2 厘米，需要8 牛顿的力，将它从自然长度压缩10 厘米，做的功为________．分析：设力 F (x)＝ kx，由题意： 8＝ k·0.02，所以 k＝ 400，所以 F (x)＝ 400 x.所以 W＝∫00.1400xdx＝200x2|00.1＝ 2(J)．答案： 2J7．已知质点的速度v＝ 10t，则从 t＝ t1到 t＝ t2质点的均匀速度为________．－s＝5(t2＋ t1)．分析：由 s＝10tdt＝ 5t2＝ 5(t22－ t12)，得均匀速度为 v ＝t2－ t1答案： 5(t2＋ t1)8．有一动点 P 沿 x 轴运动，在时间t 时的速度为 v(t)＝ 8t－ 2t2(速度的正方向与x 轴正方向一致 )．则点 P从原点出发，当t＝ 6时，点 P 走开原点的行程和位移分别是________，________．分析：由 v(t)＝ 8t－ 2t2≥ 0，得 0≤t≤4，即当 0≤t≤4时， P 点向 x 轴正方向运动，当 t＞ 4时，P 点向 x 轴负方向运动．故t＝ 6时，点 P 走开原点的行程为s＝∫04(8t－ 2t2)dt－∫46(8t－ 2t2)dt ＝ 4t－ t|0－ 4t－ t |4＝128当＝时，点的位移为＝∫0－＝ 4t － t|0＝ 0.2234223662223633 3 .t 6P s(8t2t )dt3128答案：0三、解答题9．在底面积为 S 的圆柱形容器中盛有必定量的气体，在等温条件下，因为气体的膨胀，把容器中的一个活塞 (面积为 S)从点 a 处推到 b 处，计算在挪动过程中，气体压力所做的功．解：力 F 对物体所做的功为W＝ F ·s，由物理学知识易得压强 p 与体积 V 的乘积是常数 k，即 PV＝ k，又因为 V＝ x·s(x 指活塞与底的距离 )，所以 p＝k＝k. V xS所以作用在活塞上的力所以气体压力所做的功为F ＝ p·S＝k· s＝k.x· s xb k b＝klnW＝∫a dx＝ kln x|axb.a10．一物体做变速直线运动，其v－ t 曲线以下图，求该物体在t＝1s 到 t＝ 6 s 之间的2运动行程．解：由题意，得v(t)＝2t， 0≤ t≤1，2， 1≤ t≤ 3，13t＋ 1， 3≤ t≤ 6，所以该物体在t＝12s 到 t＝ 6 s 之间的运动行程为＝v(t)dt ＝2tdt＋∫ 13＋∫361t＋1＝s2dt3dt2312649(m)．t＋ 2t|1＋t ＋ t|3＝46B 级能力提高1．若力 F 和物体挪动方向同样，并且与物体地点 x 有以下关系： F (x)＝|x|， x≤ 0，那x2＋ 1， x＞ 0，么力 F 使物体从 x＝－ 1 点运动到 x＝ 1 点所做的功为 ()1311A．2J B.6 J C.6 J D．3J1012＋ 1)dx＝分析：∫1F (x)dx＝∫－ 1|x|dx＋∫ 0(x－∫－01(－x)dx＋∫12＋－12 －0＋1 3＋x |1＝110(x1)dx x |1x0236答案： C2．一物体在变力 F(x)＝ 5－ x2 (力单位： N ，位移单位： m) 作用下，沿与 F(x)成 30°方向做直线运动，则由x＝ 1 运动到 x＝ 2 时 F (x)做的功为 ()23A. 3 JB. 3J43C.3J D．2 3J分析： W＝∫23∫221F (x)cos 30°dx＝21(5－x )dx＝313237432 5x－3x|1＝25－3＝3(J)．答案： C3．物体 A 以速度 v＝ 3t2＋1 在向来线上运动，在此直线上与物体 A 出发的同时，物体B 在物体 A 是正前面 5m 以 v＝ 10t 的速度与 A 同向运动，问两物体何时相遇？相遇时物体A 所走过的行程是多少(时间单位： s 速度单位： m/s)?解：设 A 追上 B 时，所用的时间为t0，依题意有 s A＝ s B＋ 5，即(3t2＋ 1)dt＝10tdt＋ 5，3222，所以 t0＋ t0＝ 5t0＋ 5，即 t0(t0＋ 1)＝ 5(t0＋ 1)得 t0＝ 5，所以 s A＝ 53＋ 5＝ 130.所以，两物体 5 s 时相遇，相遇时物体 A 所走过的行程是130 m.。

1.7.2定积分在物理中的应用课时演练·促提升A组1.物体以速度v(t)=2-t做直线运动,则它在t=1到t=3这段时间的路程为()A.0B.1C.D.解析:当t∈[1,2]时v(t)≥0,t∈[2,3]时v(t)≤0,故路程为|2-t|d t=(2-t)d t+(t-2)d t=1.答案:B2.做直线运动的质点在任意位置x处,所受力F(x)=1+e x,则质点沿着与F(x)相同的方向,从点x1=0处运动到点x2=1处,力F(x)所做的功是()A.1+eB.eC. D.e-1解析:W=(1+e x)d x=(x+e x)=e.答案:B3.以40 m/s的初速度竖直向上抛一物体,t s时的速度v=40-10t2(m/s),则此物体达到最高时的高度为()A. mB. mC. mD. m解析:由v=40-10t2=0得t2=4,∴t=2.∴h=(40-10t2)d t==80-(m).故选A.答案:A4.一物体在力F(x)=15-3x2(力的单位:N,位移的单位:m)作用下沿与力F(x)成30°角的方向由x=1 m直线运动到x=2 m处,作用力F(x)所做的功W为()A. JB.2 JC.4 JD. J解析:W=F(x)cos 30°d x=(15-3x2)d x=(15x-x3)[(30-8)-(15-1)]=4(J).答案:C5.一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度v(t)=7-3t+(t的单位:s,v的单位:m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位:m)是()A.1+25ln 5B.8+25lnC.4+25ln 5D.4+50ln 2解析:由v(t)=0得7-3t+=0,又t>0,所以t=4,所求距离s=v(t)d t=d t==7×4-×42+25ln 5=4+25ln 5.故选C.答案:C6.质点运动的速度是(18t-3t2)m/s,质点在[0,8]时间段内所通过的路程为m,位移为m.解析:v=18t-3t2>0时0<t<6,即在[0,8]内[6,8]时间段内v≤0.故路程s=(18t-3t2)d t-(18t-3t2)d t=(9t2-t3)-(9t2-t3)=108-(-44)=152(m),位移s'=(18t-3t2)d t=(9t2-t3)=64(m).答案:152647.已知作用于某一质点的力F(x)=(单位:N),力F从x=0处运动到x=2处(单位:m)所做的功是.解析:力F所做的功W=x d x+(x+1)d x=x2=3(J).答案:3 J8.物体A以速度v A=3t2+1(米/秒)在一直线上运动,同时物体B以速度v B=10t(米/秒)在同一直线上与物体A同方向运动,问多长时间物体A比B多运动5米?此时,物体A,B运动的路程各是多少?解:依题意知,物体A,B分别做变速直线运动和匀速直线运动.A从开始到t秒后所走的路程为s A=v A d t=(3t2+1)d t=t3+t;B从开始到t秒后所走的路程为s B=v B d t=10t d t=5t2.由题意得s A=s B+5,即t3+t=5t2+5,得t=5(秒).此时,s A=53+5=130(米),s B=5×52=125(米).答:5秒后物体A比B多运动5米,此时,物体A,B运动的路程分别是130米和125米.9.物体按规律x=4t2(m)做直线运动,设介质的阻力与速度的大小成正比,且速度的大小为10 m/s时,阻力为2 N,求物体从x=0到x=4,阻力所做的功的大小.解:∵v=x't=8t=4(m/s),F(x)=kv=4k(N),当v=10时,F(x)=2,∴k=.∴F(x)=.故阻力所做的功为W=d x=(J).B组1.一物体从A处向B处运动,速度为1.4t m/s(t为运动的时间),到B处时的速度为35 m/s,则AB间的距离为()A.120 mB.437.5 mC.360 mD.480 m解析:从A处到B处所用时间为25 s.所以|AB|=1.4t d t=0.7t2=437.5(m).答案:B2.如图,弹簧一端固定,另一端与一质点相连.弹簧劲度系数为k,则质点由x0运动至x1时弹簧弹性力所做的功为()A. B.C. D.解析:∵弹簧弹性力F(x)=-kx,∴W=F(x)d x=(-kx)d x=-.答案:A3.有一质量非均匀分布的细棒,已知其线密度为ρ(x)=x2(取细棒所在的直线为x轴,细棒的一端为原点),棒长为l,则细棒的质量m=.解析:m=ρ(x)d x=x2d x=x3l3.答案:l34.把一个带+q电量的点电荷放在r轴上坐标原点处,形成一个电场,已知在该电场中,距离坐标原点为r处的单位电荷受到的电场力由公式F=k(其中k为常数)确定.在该电场中,一个单位正电荷在电场力的作用下,沿着r轴的方向从r=a处移动到r=b(a<b)处,则电场力对它所做的功为.解析:W=d r=-k=k-k.答案:k5.A,B两站相距7.2 km,一辆电车从A站开往B站,电车开出t s后到达途中C点,这一段的速度为1.2t m/s,到C点的速度为24 m/s,从C点到B站前的D点以等速行驶,从D点开始刹车,经t s后,速度为(24-1.2t) m/s,在B站恰好停车,试求:(1)A,C间的距离;(2)B,D间的距离.解:(1)设A到C的时间为t1 s,则1.2t=24,解得t1=20,则AC=1.2t d t=0.6t2=240(m).即A,C间的距离为240 m.(2)设D到B的时间为t2 s,则24-1.2t2=0,解得t2=20,则DB=(24-1.2t)d t=(24t-0.6t2)=240(m).即B,D间的距离为240 m.6.如图,在某一温度下,直径为0.2 m,高为0.8 m上端为活塞的圆柱体内某气体的压强p(N/m2)与体积V(m3)的函数关系式为p=,而正压力F(N)与压强p(N/m2)的函数关系为F=pS,其中S(m2)为受力面积.设温度保持不变,要使气体的体积缩小为原来的一半,求活塞克服气体压力做多少功?解:设活塞运动的距离为x m,则活塞受到的压强为:p=,从而活塞受到的压力为:F=pS=×0.01π=,活塞克服气体压力所做的功为:W=d x=[-80ln(0.8-x)]=80ln 2.故活塞克服气体压力做功为80 ln 2 J.。

第一章导数及其应用1.7 定积分的简单应用定积分在几何中的应用A 级基础稳固一、选择题1．曲线 y ＝ x 3 与直线 y ＝ x 所围成的图形的面积等于()131 3A ∫ － 1(x － x )dxB.∫ －1(x － x)dx133C ． 2∫ 0(x － x )dxD ． 2∫ － 1(x － x )dx分析：由图象可知，当 x ∈ (0， 1)时， y ＝ x 的图象在 y ＝ x 3 图象的上方，依据对称性知，选项 C 正确．答案： C2．由曲线 y ＝ x 2－ 1、直线 x ＝ 0、 x ＝ 2 和 x 轴围成的关闭图形的面积是()A.∫ 02(x 2－ 1)dxB ． |∫02 (x 2－ 1)dx|C.∫ 02 |x 2－ 1|dx122 2D.∫ 0(x －∫－ 1)dx1)dx ＋ 1(x分析： y ＝ |x 2－ 1|将 x 轴下方暗影反折到 x 轴上方，其定积分为正，选项 C 正确．答案： C3.如下图，由曲线y ＝x 2 和直线 x ＝ 0，x ＝ 1， y ＝ t 2， t ∈ (0， 1)所围成的图形 (暗影部分 )的面积的最小值为 ()21A.3B.3C. 1D. 1 24分析：由题图知，S ＝ ∫ 0t (t 2 － x2)dx ＋∫ t1(x2－ t2)dx＝4 t 3－ t 2＋1， S ′＝ 4t 2－ 2t ，令 S ′＝ 0，3 3 得 ＝或 ＝ 1， ＝4 3－ t 2＋ 1在1 单一递减，在 1， 1 单一递加，当 t ＝ 1时， S 获得最小t 03 ，2223t2值 1，应选 D. 4答案： D4．若 ∫ 1a2x ＋ 1dx ＝ 3＋ ln 2 且 a ＞ 1，则实数 a 的值是 ()xA ．2B ．3C ．5D ．6a12a22分析： ∫ 1 2x ＋ x dx ＝ (x ＋ ln x)|1＝ a ＋ ln a － (1＋ ln 1)＝3＋ ln 2 ，a ＞ 1，因此 a ＋ ln a ＝ 4＋ ln 2＝ 22＋ ln 2，解得 a ＝ 2.答案： A5．设函数 f(x)＝ x m ＋ ax 的导函数 f ′(x)＝ 2x ＋ 1，则 ∫ 21f( － x)dx 的值等于 ( )5 1 2 1A.6B.2C.3D.6分析：由 f( x)＝ x m ＋ax 求导得， f ′ (x)＝ mx m － 1＋a ，又 f ′(x)＝ 2x ＋ 1，因此 m ＝2， a ＝ 1，因此 f(－ x)＝ x 2－ x ，因此 ∫ 21f(－ x)dx ＝∫ 21(x 2－ x)dx ＝ 13x 3－ 12x 2 |21＝ 56.答案： A二、填空题π 3π 及曲线 y ＝ cos x 所围成图形的面积 ________．6．直线 x ＝ ， x ＝， y ＝ 022分析：由题意作出图形如下图，由图形面积为答案： 27．曲线 y ＝ x 2＋ 2x 与直线 x ＝－ 1， x ＝ 1 及 x 轴所围图形的面积为 ________．分析： S ＝－ ∫ 0－1(x 2＋ 2x)dx ＋ ∫01(x 2＋ 2x)dx ＝－1x 3＋ x 2 |0＋ 1x 3＋ x 2 |1＝2＋ 4＝ 2.3－13033答案： 2218．曲线 y ＝ x 与直线 y ＝ 2x 所围图形的面积为 ________．y 2＝ x ，1分析：如下图，由1 得交点坐标为O(0， 0)， A(4，2)，因此 S ＝ ∫4－ x dxx2y ＝ 2x＝312 44 2 2＝| 3.3x － 4x答案：43三、解答题9．设 y ＝ f( x)是二次函数，方程 f(x)＝ 0 有两个相等的实根，且f ′(x)＝ 2x ＋ 2.(1)求 y ＝ f(x)的表达式；(2)求 y ＝ f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积．解： (1) 由于 y ＝ f(x)是二次函数，且 f ′(x)＝ 2x ＋ 2，因此设 f(x)＝ x 2＋ 2x ＋ c.又 f(x)＝ 0 有两个等根，因此 4－ 4c ＝ 0，得 c ＝ 1，因此 f(x)＝ x 2＋ 2x ＋ 1.(2)y ＝ f( x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积为∫－1(x 2＋ 2x ＋ 1)dx ＝ 1x 3＋ x 2＋ x |0－1＝1.33x 3， x ∈ [0， 1），10．已知函数 f(x)＝求曲线 y ＝ f(x)与 x 轴、直线 x ＝ 0、x ＝ 2 所围成的x ， x ∈ [1， 2]，图形的面积．解：作出函数图象如下图，S ＝∫ 20f(x)dx ＝ ∫10f(x)dx ＋∫ 21f(x)dx ＝ ∫ 10x 3dx ＋4 1＋ 2＝ x |∫4 1 xdx 0322 25 ＋ 4 23 x |1＝－ 123 .B 级 能力提高1．由直线 x ＝－ 2， x ＝ 2， y ＝0 及曲线 y ＝ x 2－ x 所围成的平面图形的面积为 ( )A. 16B. 17C. 8D. 5 3 3 3 3分析：如下图，所求面积S 为图中暗影部分的面积．因此0 2 1 2 2 2－ x)dx ＝ S ＝∫ － 2(x － x)dx ＋ |∫ 0(x － x)dx|＋ ∫ 1( x 1 3 1 2 0x － x |－2＋3 2 1 3 1 x 2 1 1 3 1 2 2| x － 2|0|＋ 3x － x |1＝3 2 0－ －8－2 ＋| 1－1|＋33 28 11 17 3－2－ 3－2 ＝3.答案： B2．抛物线 y ＝－ x 2＋ 4x － 3 及其在点 A(1， 0)和点 B(3 ，0)处的切线所围成图形的面积为________分析：由 y ′＝－ 2x ＋ 4 得在点 A 、B 处切线的斜率分别为 2 和－ 2，则两直线方程分别为y＝ 2x － 2 和 y ＝－ 2x ＋6，y ＝ 2x － 2， C(2， 2)，由 得两直线交点坐标为y ＝－ 2x ＋ 6因此＝△－ ∫ 32－1××－－13 ＋ 2x 2 34 ＝ 21(－ x＋ 4x＝x－ 3x | ＝ － .S S ABC3)dx2 231232 3答案：23223．若函数 f(x)＝ max{ x ， x }，求∫f(x)dx.－解：如下图，f(x)＝ max{ x ， x 2}＝2 ，－ 2≤x ≤0，xx ，0＜ x ＜ 1， 因此 ∫ －2 2f(x)dx ＝x 2， 1≤ x ≤ 2212 2∫ － 2x dx ＋ ∫ 0xdx ＋ ∫ 1x dx ＝13 01 2 11 3 2113 x |－2＋x |0＋x |1＝2 .2 3。

定积分在几何中的应用（测试题解析版）1.（5分）在下面所给图形的面积S及相应表达式中，正确的有( )S＝ʃa b[f(x)－g(x)]d x S＝ʃ80(22x－2x＋8)d x①②S＝ʃ41f(x)d x－ʃ74f(x)d x S＝ʃa0[g x －f x ]d x＋ʃb a[f x －g x ]d x③④A．①③ B．②③ C．①④ D．③④【答案】 D2．（5分）若y＝f(x)与y＝g(x)是[a，b]上的两条光滑曲线的方程，则这两条曲线及直线x＝a，x＝b所围成的平面区域的面积为( )A．∫b a[f(x)－g(x)]d xB．∫b a[g(x)－f(x)]d xC．∫b a|f(x)－g(x)|d x∫b a[f x －g x ]d xD.||【答案】 C【解析】当f(x)＞g(x)时，所求面积为∫b a[f(x)－g(x)]d x；当f(x)≤g(x)时，所求面积为∫b a[g(x)－f(x)]d x.综上，所求面积为∫b a|f(x)－g(x)|d x.3．（5分）由y=，x=1，x=2，y=0所围成的平面图形的面积为( )A.ln2B.ln2-1C.1+ln2D.2ln2【答案】 A.【解析】 画出曲线y=(x>0)及直线x=1，x=2，y=0，则所求面积S 为如图所示阴影部分面积.所以S=dx=lnx =ln2-ln1=ln2.4．（5分）直线x=-1，x=1，y=0与偶函数y=f(x)的图象围成平面图形的面积表示为 ①f(x)dx ；②f(|x|)dx ；③|f(x)|dx ；④2|f(x)|dx.其中，正确表示的个数为( ) A.0 B.1C.2D.3【答案】C5.（5分）用max{a ，b}表示a ，b 两个数中的最大数，设f(x)=max{x 2，}，那么由函数y=f(x)的图象、x 轴、直线x=和直线x=2所围成的封闭图形的面积是( ) A.B.C.D.【答案】A.【解析】由题设知：f(x)=所以S=dx+x 2dx=+x3=.6．（5分）设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， x ∈[0，1]，2－x ， x ∈ 1，2]，则ʃ20f (x )d x 等于( )A.34B.45C.56D ．不存在 【答案】 C【解析】 数形结合，如图，ʃ20f(x)d x＝ʃ10x2d x＋ʃ21(2－x)d x＝13x3|10＋(2x－12x2)|21＝13＋(4－2－2＋12)＝56.7．（5分）从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x，y)，则点M取自阴影部分的概率为________.【答案】8．（5分）从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x，y)，则点M取自阴影部分的概率为________．【答案】1 3【解析】根据题意得：S阴＝ʃ103x2d x＝x3|10＝1，则点M取自阴影部分的概率为S阴S矩＝13×1＝13.9.（5分）求曲线y＝6－x和y＝8x，y＝0围成图形的面积．【解析】作出直线y＝6－x，曲线y＝8x的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．解方程组⎩⎨⎧y ＝6－xy ＝8x得直线y ＝6－x 与曲线y ＝8x 交点的坐标为(2,4)，直线y ＝6－x 与x 轴的交点坐标为(6,0)．因此，所求图形的面积S ＝S 1＋S 2＝ʃ28x d x ＋ʃ62(6－x )d x ＝8×23|20＋(6x －12x 2)|62＝163＋[(6×6－12×62)－(6×2－12×22)]＝163＋8＝403. 10．（5分）设点P 在曲线y ＝x 2上，从原点向A (2,4)移动，如果直线OP ，曲线y ＝x 2及直线x ＝2所围成的面积分别记为S 1、S 2.(1)当S 1＝S 2时，求点P 的坐标；(2)当S 1＋S 2有最小值时，求点P 的坐标和最小值．S 2＝ʃ2t (x 2－tx )d x ＝83－2t ＋16t 3.因为S 1＝S 2，所以t ＝43，点P 的坐标为(43，169)．(2)S ＝S 1＋S 2＝16t 3＋83－2t ＋16t 3＝13t 3－2t ＋83，S ′＝t 2－2，令S ′＝0得t 2－2＝0. 因为0<t <2，所以t ＝2，因为0<t <2时，S ′<0；2<t <2时，S ′>0. 所以，当t ＝2时，S 1＋S 2有最小值83－423， 此时点P 的坐标为(2，2)．32x。

前一节学习了应用定积分求比较复杂的平面图形的面积、求变速直线运动物体的路程以及求变力所作的功等，我们了解了应用定积分解决实际问题的基本思想方法.新课导入 这些平面图形面积问题在几何中用初等数学方法能解决吗？ )(x f y a 0xyb通过定积分的学习，掌握了微积分的基本思想和方法就能得到一些具有特殊曲边的图形的面积，并得出平面图形面积的计算公式.1.7.1定积分在几何中的应用第一步：将所求量 分为部分量之和，即: ; 第二步：求出每个部分量的近似值，∑nii=1F =ΔF ()⋅⋅⋅i i i ΔF =f(ξ)Δx i =1,2,,n ,用定积分概念解决实际问题的四个步骤：第三步：写出整体量 的近似值，∑n i i i i=1F =ΔF f(ξ)Δx (i =1,2,L,n);≈第四步：取 时的 则得 {}λ=max Δx 0→()∑ni i i=1f ξΔx ()()∑⎰n b i i a λ0i=1F =lim f ξΔx =f x dx →教学目标知识与能力能利用定积分的几何意义，借助图形直观，把平面图形进行适当分割从而把求平面图形面积的问题转化为求曲边梯形面积的问题.过程与方法掌握定积分的概念、几何意义和性质.掌握“分割、近似代替、求和、取极限”的方法.培养逻辑思维能力和进行知识迁移的能力.情感态度与价值观激发学习定积分的热情. 强化参与意识.培养严谨的学习态度.教学重难点重点结合案例加深理解定积分的概念.难点结合案例加深理解定积分的几何意义和性质.平面图形的面积直角坐标系设平面图形由上下两条曲线y=f上(x)与y=f下(x)及左右两条直线x=a与x=b所围成.[f 上(x )- f 下(x )]dx , 它也就是面积元素.因此平面图形的面积为在点x 处面积增量的近似值为dx x f x f S ba ⎰-=)]()([下上.讨论：由左右两条曲线x=j左(y)与x=j右(y)及上下两条直线y=d与y=c所围成的平面图形的面积如何表示为定积分？面积为 面积元素为[j 右(y )-j 左(y )]dy , ⎰-=d cdy y y S )]()([左右ϕϕ.提示：例1计算两条抛物线在第一象限所围图形的面积 .首先根据题意画出曲线的草图，在图中找出所求面积的区域，图形结合，直观解题；其次，为了确定出被积函数和积分的上、下限，我们需要求出两条曲线的交点的横坐标.从图中可以看出，所求图形的面积可以为两个曲边梯形面积的差，进而可用定积x x+dx分求面积S.解: 方程组：得交点的横坐标 (0,0),(1,1)因此，所求图形的面积为⎰⎰OABC OABD 112313120S =S -S =xdx -x dx21=x -x 33211=-=333曲梯形曲梯形x x +dx例2计算抛物线y2=、直线2xy=x-4和x轴所围成的图形的面积S.首先画出草图，并设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯形的面积问题.其次，确定被积函数和积分的上、下限.y =2x1S 2S 由图可知，我们需要把所求图形的面积分成两部分 .需要求出直线y=x-4 与曲线 的交点的横坐标，直线 y=x-4 与x 轴的交点.12S 和S y =2xy =2x1S 2S 得直线y=x-4与曲线y=交点的坐标为(8,4).直线y=x-4与x 轴的交点为(4,0).2x 解：所求面积为图中阴影部分的面积. 解方程组y =2x,y =x -4因此，所求图形面积为 ()()⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰124884433248822044S =S +S =2xdx +2xdx -x -4dx 22221=x+x -x -433240=3计算由曲线 和 所围成的图形的面积. 3y =x 6x 2y =x 首先画出草图，并设法把所求图形的面积问题转化为求两部分的面积问题.其次，确定被积函数和积分的上、下限.例32x y=xxy63-=1S2S由图可知，我们需要把所求图形的面积分成两部分 .需要求出曲线、曲线两个交点.12S和S2y=x3y=x-6x得两曲线的交点的坐标为(0,0),(-2,4),(3,9). 解：所求面积为图中阴影部分的面积.解方程组 23y =x ,y =x -6x 2x y =x x y 63-=1S 2S选x 为积分变量x ∈[-2,3]∈(1)x [-2,0],321dA =(x -6x-x )dx ∈(2)x [0,3],232dA =(x -x +6x)dx于是所求面积 21A A A +=⎰⎰033223-20A =(x -6x -x )dx +(x -x +6x)dx 253=.12平面图形的面积求法小结：（1）画图（2）确定图形范围，通过解方程组确定上下限（3）确定被积函数（注意上下位置）（4）写出平面图形面积的积分表达式（5）利用微积分基本定理求出面积求由 相交围成的平面图形的面积12y =f(x),y =g(x)若函数相交, 则两条曲线所围形的面积为显然在具体的题目中,需要首先把函数的图形画出来,然后才写出具体的面积表达式.12y =f(x),y =g(x)⎰⎰b b a a S =g(x)dx -f(x)dx曲边扇形面积元素 21dA =[φ(θ)]d θ2曲边扇形的面积公式 ⎰β2α1A =[j(θ)]d θ.2极坐标方程的情形 xo βθ=θd αθ=θθθd +)(θϕ=r 设由曲线及射线 围成一曲边扇形，求其面积.这里 在 上连续，且 . ()r =φθθ=αθ=β、[]αβ，()φθ()φθ0≥因为曲线关于x 轴对称，所以只须考虑第一象限中的情况. 求曲线围成的图形的面积.2(2cos )(0)a a ρθ=+>例4取 为积分变量,则设区间，所对应的曲边扇形的面积为 则面积元素 就是用区间所对应的扇形面积代替曲边扇形的面积 .θ[0,π].θ[0,π],∈∀∈θ[θ,θ+d θ][θ,θ+d θ],A ∆1dA解：(1) 确定积分变量和积分区间:取 为积分变量， (2) 求微元：任取 则面积元素 就是区间 所对应的扇形面积, (3) 求定积分： 第一象限图形的面积表示为 θθ[0,π]∈θ[0,π],∈[θ,θ+d θ][0,π],∈1dA [θ,θ+d θ]211dA =ρd θ.2ππ2221001A =ρd θ=2a (2+cos θ)d θ2⎰⎰π2220 =a (4+4cos θ+cos θ)d θ=9πa ⎰则所求的几何面积为 21A =2A =18πa●直角坐标方程给出的平面图形的面积一般以直角坐标为积分变量；●极坐标方程给出的平面图形的面积一般以由极坐标为积分变量；●曲边梯形的面积的计算一般以由直角坐标为积分变量；曲边扇形的面积的计算一般以由极坐标为积分变量.课堂小结课堂练习设函数 ，若 ，则 的值为__________. ()()2f x =ax +c a 0≠()()⎰1000f x dx =f x ,0x 1≤≤0x 1、求由所围成图形的面积.2x-y =0,y =x -2x 分析：在直角坐标系下,由给定曲线所围成的几何图形.如图所示. 如果取x 为积分变量, 则设区间所对应的曲边梯形面积 为 则面积元素 就是在 上以“以直代曲”所形成的矩形面积. ΔA,[x,x +dx]dA[x,x +dx]x [0,3] 2、设某种产品的总产量 的变化率为 ,求 (1)这段时间内该产品的总产量的增加值;(2) 总产量函数 .R2g(t)=100+2t -t 1t 3≤≤R(t)3、计算阿基米德螺线 对应 θ 从 0 变到 2π 所围图形面积 .xa π2o 阿基米德螺线4、课堂答案 ()()⎛⎫ ⎪⎝⎭⎰⎰11200310200f x dx =ax +c dx 1a =ax +cx =+c 333=ax +c x =3∴1、解：(1) 确定积分变量和积分区间：由于曲线和 的交点为 和 . 取x 为积分变量, 则 )0,0()3,3([0,3].x ∈x x y 22-=0=-y x 所求的几何图形的面积表示为320(3)A x x dx =-+⎰3209(3).2A x x dx =-+=⎰2、解：总产量的变化率为 ,故 这段时间内该产品的总产量的增加值为'R (t)=g(t)1≤t ≤3⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰⎰332112231ΔR =g(t)dt =(100+2t -t )dt t 1=100t +t -=205333、x a π2o θdθ4、θθd 222a a +=解:θθθd )()(22r r s d '+=θθd 12+=a θθπd 1202⎰+=∴a s ⎢⎣⎡+=212θθa ⎥⎦⎤+++21ln 21θθ02π1、课后练习答案 o x y 2y =x y =2x +3-1 3 解: 方程组： 得交点的坐标(-1,1),(3,9) 因此，所求图形的面积为()()⎛⎫ ⎪⎝⎭⎰⎰332-1-12333-1-1S =2x +3dx -x dx1132=x +3x -x =(9+9-9)-1-3+=333y =2x +32、解：交点的横坐标(0,e),(1,e) y=e o x y x y =e y=1 x=1 上矩形下1x 010S =S -S =e -e =e -e =1因此，所求图形的面积直线y=e 和x=1围成的矩形面积减去曲线下方面积.（下方面积容易求）。

1.5.3 定积分的概念练习1．下列结论中成立的个数是( )①130d x x ⎰＝3311ni i nn -⋅∑；②13d x x ⎰＝31(1)1lim nn i i n n→∞--⋅∑； ③130d x x ⎰＝3311lim nn i i nn →∞-⋅∑.A ．0B ．1C ．2D ．32．已知d t x x ⎰＝2，则0d tx x -⎰等于( )A ．0B ．2C ．－1D ．－23．设a ＝113d x x ⎰，b ＝120d x x ⎰，c ＝130d x x ⎰，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c ＞a ＞bB ．a ＞b ＞cC ．a ＝b ＞cD ．a ＞c ＞b4．已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示)，那么对于图中给定的t 0和t 1，下列判断中一定正确的是()A ．在t 1时刻，甲车在乙车前面B ．t 1时刻后，甲车在乙车后面C ．在t 0时刻，两车的位置相同D ．t 0时刻后，乙车在甲车前面5．根据定积分的定义，230d x x ⎰不等于( )A ．3122lim (1)nn i i n n →∞-⎡⎤-⋅⎢⎥⎣⎦∑B ．311lim nn i i n n →∞-⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭∑C ．3122lim nn i i n n →∞-⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭∑D ．32211lim nn i i n n →∞-⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭∑6．不用计算，根据图形，用不等号连结下列各式． (1)1d x x ⎰__________1d x x ⎰(如图所示)；(2)x ⎰__________22d x ⎰(如图所示)．7．已知1201d 3x x =⎰，2207d 3x x =⎰，则220(+1)d x x ⎰＝__________.8．利用定积分的几何意义，计算：1x ⎰＝__________.9．利用定积分的几何意义求2222()d sin f x x ππ--+⎰⎰ x cos x d x ，其中f (x )＝21310x x x x -⎧⎨-<⎩≥0.﹐﹐﹐ 10．用定积分表示极限lim n →∞参考答案1. 答案：C 由定积分的定义，易知②③正确，①错误，故选C.2. 答案：D ∵f (x )＝x 在[－t ，t ]上是奇函数， ∴d 0ttx x -=⎰.而00d d d t tttx x x x x x --=+⎰⎰⎰，又d t x x ⎰＝2，∴0d tx x -⎰＝－2.故选D.3. 答案：B 根据定积分的几何意义，易知13d x x ⎰＜12d x x ⎰＜113d x x ⎰，即a ＞b ＞c ，故选B.4. 答案：A 由图象可知，曲线v 甲比v 乙在0～t 0,0～t 1与t 轴所围成图形的面积大，则在t 0，t 1时刻，甲车均在乙车前面，故选A.5. 答案：B 将[0,2]等分为n 个小区间2(1)2,i i nn -⎡⎤⎢⎥⎣⎦(i ＝1,2，…，n )，若取ξi ＝2(1)i n -，则23d x x ⎰＝312(1)2lim nn i i n n →∞=-⎡⎤⋅⎢⎥⎣⎦∑，若取ξi ＝2i n ，则3230122d lim n n i i x x n n →∞=⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭∑⎰； 将[0,2]等分成2n 个小区间1,i i n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦(i ＝1，2，…，2n )，则Δx ＝1n ，取ξi ＝1n ，则230d x x ⎰＝3211lim nn i i n n →∞=⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭∑.故选B. 6. 答案：(1)＞ (2)＜7. 答案：143由定积分的性质，可得220(1)d x x +⎰＝22200d 1d x x x +⎰⎰，而由已知，有220d x x ⎰＝122201178d d 333x x x x +=+=⎰⎰，又由定积分的几何意义知201d x ⎰＝1×2＝2，故22(1)d x x +⎰＝814233+=. 8.答案：232π-由定积分的几何意义知，所求积分是图中阴影部分的面积．S＝114162π⨯-⨯＝232π-. 9. 分析：利用定积分的性质及其几何意义求解． 解：202222222()d sin cos d (31)d (21)d sin cos d f x x x x x x x x x x x x ππππ----+=-+-+⎰⎰⎰⎰⎰.∵y ＝sin x cos x 为奇函数，∴22sin cos d x x x ππ-⎰＝0.利用定积分的几何意义，如图，∴271(31)d 282x x -+-=-⨯=-⎰， 2031(21)d 122x x +-=⨯=⎰. ∴2222()d sin cos d f x x x x x ππ--+⎰⎰＝2－8＋0＝－6.10．分析：解答本题的关键是将此极限式变形成为1limnn i b an →∞=-∑f (ξi )的形式，则由定积分的定义，即得1limnn i b a n →∞=-∑f (ξi )＝()d b a f x x ⎰.解法一：lim n →∞＝222112lim ln 111n n n n n n →∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦… ＝lim n →∞ 211ln 1n i i n n =⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑ ＝lim n →∞ 12ln 12lim n n i i n n →∞=⎛⎫+= ⎪⎝⎭∑ 11ln 1n i i n n =⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑＝212ln d x x ⎰.解法二：lim n →∞ln ＝lim n →∞ 222112ln 111n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦… ＝lim n →∞ 211ln 1n i i n n =⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑＝lim n →∞ 12ln 1n i i n n =⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑ ＝2lim n →∞ 11ln 1n i i n n =⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑＝12ln(1)d x x +⎰.。

第一章导数及其应用1.5定积分的观点定积分的观点A 级基础稳固一、选择题1．已知∫a b f(x)dx＝ 6，则∫a b6f(x)dx＝ ()A． 6B． 6(b－ a)C． 36D．不确立b b∫分析： a6f(x)dx＝6∫ a f(x)dx＝6×6＝36.答案： Csin x， x∈（ 0，π]，1f(x)dx＝()2．设 f(x)＝则∫－1e x， x∈（－∞， 0]，11xA.∫－1sin xdxB.∫－1e dx01x0x1C.∫－1sin xdx＋∫0e dxD.∫－1e dx＋∫0sin xdx分析：由定积分的性质知选项 D 正确．答案： D3．以下式子中不建立的是()分析：由定积分的几何意义知∫ π∫0πcos xdx＝0，所以C不建立．0 sin xdx＞0，答案： C4．由函数 y＝－ x 的图象 (图略 )，直线 x＝ 1、x＝ 0、y＝ 0 所围成的图形的面积可表示为()A.∫10(－ x)dx0B.∫10|－ x|dx1分析：由定积分的几何意义可知，所求图形面积S＝－∫ 1(－x)dx＝∫ 1|－x|dx.00答案： B5．以下命题不正确的选项是()A．若 f(x)是连续的奇函数，则a∫a f(x)dx＝0－B．若 f(x)是连续的偶函数，则a a∫－a f(x)dx＝2∫ 0f( x)dxC．若 f(x)在上连续且恒正，则∫a b f(x)dx＞ 0D．若 f(x)在上连续且∫a b f(x)dx＞ 0，则 f( x)在上恒正分析：对于选项 A，由于 f(x)是奇函数，所以图象对于原点对称，所以x 轴上方的面积和x 轴下方的面积相等，故积分是0，所以 A 正确；对于选项B，由于 f(x)是偶函数，所以图象对于 y 轴对称，故图象都在x 轴下方 (或上方 )且面积相等，故 B 正确； C 明显正确； D 选项中f (x) 也能够小于 0，但一定有大于0 的部分，且 f (x)＞ 0的曲线围成的面积比 f(x)＜ 0 的曲线围成的面积大．答案： D二、填空题6． (2015 湖·南卷 )∫02( x－ 1)dx＝ ________．分析：由定积分的几何意义可得∫2(x－1)dx＝0.答案： 07.∫13|x－ 2|dx＝ ________．分析：依据定积分的几何意义，所求定积分表示的是y＝ |x－ 2|和 x＝ 3， x＝1 及 y＝ 0 所围成的图形的面积，即图中暗影部分面积．所以，∫31|x－ 2|dx＝12× 1× 1＋12× 1× 1＝ 1.答案： 18．用定积分表示以下暗影部分的面积(不要求计算 )：图①图②图③(1)S1＝ ________________(图① )；(2)S2＝ ________________(图② )；(3)S3＝ ________________(图③ )．答案：三、解答题2 49．已知 ∫ 0e xdx ＝ e ， ∫0e x 3dx ＝ e ，求以下定积分：2 4 (1)∫ e 0(2x ＋ x 3)dx ； (2)∫ e 0(2x3 －x ＋ 1)dx.4e3ee32e解： (1) ∫ 0(2x ＋ x )dx ＝ 2∫ 0xdx ＋ ∫ 0x dx ＝ e ＋ .e3－x ＋ 1)dx ＝ 2∫e 3e ee 4 e 2(2)∫0(2x0x dx － ∫ 0xdx ＋∫01dx ＝－＋ e.2 210．用定积分的几何意义求1－ x 2 dx.解：由 y ＝ 1－x 2 可知， x 2＋ y 2＝ 1(y ≥0)的图象如图，由定积分的几何意义知1－ x 2dx 等于圆心角为 120 °的弓形 CED 的面积与矩形ABCD 的面积之和．弓形 CED 面积为 S 1＝1 2 21 π 32× π· 1 －2× 1× 1× sin π＝ －，334矩形 ABCD 面积为 S ＝ 2× 3× 1＝ 3，222 2所以2π 3 ＋ 3 π 3 1－ x dx ＝ －2 ＝ ＋ 4.34 3B 级 能力提高1．已知 t ＞0，若 ∫ 0t (2x － 2)dx ＝8，则 t ＝ ( )A ．1B ．2C ．3D ．4分析：作出函数 f(x)＝2x － 2 的图象与 x 轴交于点 A(1， 0)，与 y 轴交于点 B(0，－ 2)，易求得 S △ OAB ＝ 1，t1∫由于 0(2x － 2)dx ＝8，且 ∫ 0(2x － 2)dx ＝－ 1，所以 t ＞ 1，11× (t － 1)(2t － 2)＝ (t － 1) 2＝ 9，所以 t ＝ 4.所以 S △ AEF ＝|AE ||EF |＝22答案： D2．已知 f(x)是一次函数，其图象过点1∫(3， 4)且 0f(x)dx ＝ 1，则 f(x)的分析式为 ________． 分析：设 f( x)＝ ax ＋ b(a ≠0)，由于 f(x)图象过 (3， 4)点，所以 3a ＋ b ＝ 4.① 又 ∫ 1∫ 11∫10f(x)dx ＝ ∫10bdx ＝ 2a ＋ b ＝ 1.② 0(ax ＋ b)dx ＝ a 0 xdx ＋62①②联立方程组，解得 a ＝ 5，b ＝ 5.6 2所以 f(x)＝ 5x ＋5.62答案： f(x)＝ x ＋23 ． 利 用 定 积 分 的 几 何 意 义 ， 求 ∫ － 2 f(x)dx ＋sin xcos xdx ， 其 中 f (x) ＝2x － 1（ x ≥0）， 3x － 1（ x ＜ 0） .2解：∫－ 2f(x)dx ＋sin xcos xdx ＝∫ － 2(3x － 1)dx ＋∫20(2x － 1)dx ＋sin xcos xdx ，由于 y ＝ sin xcos x 为奇函数，所以sin xcos xdx＝ 0.利用定积分的几何意义，如下图，所以∫0－2(3x－1)dx＝－7＋1× 2＝－ 8；2∫20(2x－ 1)dx＝3＋21× 1＝ 2.所以∫2－2f(x)dx＋sin xcos xdx＝－ 6.。

1.7.1 定积分在几何中的应用~ 1.7.2 定积分在物理中的应用A 级 基础巩固一、选择题1.如图所示，阴影部分的面积是 ( )A ．23B ．2－3C ．323D ．3532．一物体以速度v ＝(3t 2＋2t )m/s 做直线运动，则它在t ＝0s 到t ＝3s 时间段内的位移是 ( ) A ．31m B ．36m C ．38mD ．40m3．利用定积分的几何意义，可求得⎠⎛－339－x 2d x ＝ ( )A ．9πB ．92πC ．94πD ．32π4．直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为 ( ) A ．22 B ．42 C ．2D ．45．一列车沿直线轨道前进，刹车后列车速度为v (t )＝27－0.9t ，则列车刹车后前进多少米才能停车？ ( ) A ．405 B ．540 C ．810D ．9456．若某产品一天内的产量(单位：百件)是时间t 的函数，若已知产量的变化率为a ＝36t，那么从3小时到6小时期间内的产量为 ( ) A ．12B ．3－322C ．6＋32D ．6－32二、填空题7．由曲线y 2＝2x ，y ＝x －4所围图形的面积是_______.8．由两条曲线y ＝x 2，y ＝14x 2与直线y ＝1围成平面区域的面积是 .三、解答题9．计算曲线y ＝x 2－2x ＋3与直线y ＝x ＋3所围图形的面积.10．一质点在直线上从时刻t ＝0(s)开始以速度v ＝t 2－4t ＋3(单位：m/s)运动．求： (1)在t ＝4s 的位置； (2)在t ＝4s 内运动的路程．B 级 素养提升一、选择题1．若⎠⎛1a (2x ＋1x )d x ＝3＋ln2且a >1，则实数a 的值是 ( )A ．2B ．3C ．5D ．62．如图，在边长为e(e 为自然对数的底数)的正方形区域的A 处与C 处各有一个通信基站，其信号覆盖范围分别为如图所示的阴影区域，该正方形区域内无其它信号来源且这两个基站工作正常，若在该正方形区域内随机选择一个地点，则该地点无信号的概率为 ( )A ．2e 2B ．1－2e 2C ．1eD ．1－1e二、填空题3．如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为 .4．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程为y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝__ __.三、解答题5．设f (x )是二次函数，其图象过点(0,1)，且在点(－2，f (－2))处的切线方程为2x ＋y ＋3＝0. (1)求f (x )的表达式；(2)求f (x )的图象与两坐标轴所围成图形的面积；(3)若直线x ＝－t (0<t <1)把f (x )的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t 的值．6．如图，设点P 在曲线y ＝x 2上，从原点向A (2,4)移动，记直线OP 与曲线y ＝x 2所围成图形的面积为S1，直线OP、直线x＝2与曲线y＝x2所围成图形的面积为S2.(1)当S1＝S2时，求点P的坐标；(2)当S1＋S2取最小值时，求点P的坐标及此最小值．——★参考答案★——A 级 基础巩固一、选择题 1.[答案]C[解析]S ＝⎠⎛－31(3－x 2－2x )d x即F (x )＝3x －13x 3－x 2，则F (1)＝3－1－13＝53，F (－3)＝－9－9＋9＝－9.∴S ＝F (1)－F (－3)＝53＋9＝323.故应选C ．2．[答案]B[解析]S ＝⎠⎛03(3t 2＋2t )d t ＝(t 3＋t 2)| 3＝33＋32＝36(m)，故应选B ． 3． [答案]B[解析]由定积分的几何意义知，⎠⎛－339－x 2d x 表示圆x 2＋y 2＝9位于x 轴上方部分(即半圆)的面积， ∴⎠⎛－339－x 2d x ＝12×π×32＝9π2.4．[答案]D[解析]如图所示由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝4x ，y ＝x 3.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝8，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－8. ∴第一象限的交点坐标为(2,8)由定积分的几何意义得，S ＝⎠⎛02(4x －x 3)d x ＝(2x 2－x44)|20＝8－4＝4.5．[答案]A[解析]停车时v (t )＝0，则27－0.9t ＝0，∴t ＝30s ，s ＝⎠⎛030v (t )d t ＝⎠⎛030(27－0.9t )d t ＝(27t －0.45t 2)|300＝405. 6．[答案]D[解析] ⎠⎛3636t dt ＝6t | 63＝6－32，故应选D ． 二、填空题 7．[答案]18[解析]如图，为了确定图形的范围，先求出这两条曲线交点的坐标，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝x －4，得交点坐标为(2，－2)，(8,4)．因此所求图形的面积S ＝⎠⎛－24(y ＋4－y 22)d y取F (y )＝12y 2＋4y －y 36，则f ′(y )＝y ＋4－y 22，从而S ＝F (4)－F (－2)＝18.8．[答案]43[解析]解法1：如图，y ＝1与y ＝x 2交点A (1,1)，y ＝1与y ＝x 24交点B (2,1)，由对称性可知面积S ＝2(⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12d x －⎠⎛0214x 2d x )＝43.解法2：同解法1求得A (1,1)，B (2,1)． 由对称性知阴影部分的面积 S ＝2·[⎠⎛01(x 2－14x 2)d x ＋⎠⎛12(1－14x 2)d x ]＝2·[14x 3|10＋(x －112x 3)|21]＝2×(14＋512)＝43.解法3：同解法1求得A (1,1)B ，(2,1)，C (－1,1)，D (－2，1)． S ＝⎠⎛－22(1－14x 2)d x －⎠⎛－11(1－x 2)d x＝(x －112x 3)|2－2－(x －13x 3)|1－1 ＝83－43＝43. 解法4: 同解法1求得A (1,1)，B (2,1)，取y 为积分变量， 由对称性知，S ＝2⎠⎛01(2y －y )d y＝2⎠⎛1y d y ＝2×(23y 32 |10)＝43.三、解答题9．解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋3，y ＝x 2－2x ＋3，解得x ＝0及x ＝3.从而所求图形的面积 S ＝⎠⎛03[(x ＋3)－(x 2－2x ＋3)]d x＝⎠⎛03(－x 2＋3x )d x＝⎝⎛⎭⎫－13x 3＋32x 2| 30＝92. 10． 解：(1)在时刻t ＝4时该点的位置为⎠⎛04(t 2－4t ＋3)d t ＝(13t 3－2t 2＋3t )|40＝43(m)， 即在t ＝4s 时刻该质点距出发点43m.(2)因为v (t )＝t 2－4t ＋3＝(t －1)(t －3)， 所以在区间[0,1]及[3,4]上的v (t )≥0，在区间[1,3]上，v (t )≤0，所以t ＝4s 时的路程为S ＝⎠⎛01(t 2－4t ＋3)d t ＋|⎠⎛13(t 2－4t ＋3)d t |＋⎠⎛34(t 2－4t ＋3)d t ＝(13t 3－2t 2＋3t )|10＋|(13t 3－2t 2＋3t )|31|＋(13t 3－2t 2＋3t )|43 ＝43＋43＋43＝4(m) 即质点在4s 内运动的路程为4m.B 级 素养提升一、选择题 1．[答案]A[解析]⎠⎛1a (2x ＋1x )d x ＝(x 2＋ln x )|a 1＝a 2＋ln a －(1＋ln1)＝3＋ln2，a >1， ∴a 2＋ln a ＝4＋ln2＝22＋ln2，解得a ＝2，故选A ． 2．[答案]B[解析]由题意得：S 阴＝2⎠⎛01(e －e x )d x ＝2(e x －e x )|10＝2，由几何概型得所求概率P ＝1－S 阴S 正＝1－2e 2. 二、填空题 3．[答案]16[解析]本题考查了定积分的计算与几何概型．联立⎩⎨⎧ y ＝xy ＝x解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0y ＝0，或者⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1，∴O (0,0)，B (1,1)，∴S 阴影＝⎠⎛01(x －x )d x ＝(23x 32－x 22)|10＝23－12＝16，∴P ＝S 阴影S 正方形＝161＝16.4．[答案]3[解析]∵切点M 在切线y ＝12x ＋2上，∴f (1)＝12×1＋2＝52，又切线斜率k ＝12，∴f ′(1)＝12，∴f (1)＋f ′(1)＝52＋12＝3.三、解答题5．解：(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ， ∵其图象过点(0,1)，∴c ＝1，又∵在点(－2，f (－2))处的切线方程为2x ＋y ＋3＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧f (－2)＝1，f ′(－2)＝－2.∵f ′(x )＝2ax ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ·(－2)2＋b ·(－2)＋1＝1，2a ·(－2)＋b ＝－2.∴a ＝1，b ＝2，故f (x )＝x 2＋2x ＋1.(2)依题意，f (x )的图象与两坐标轴所围成的图形如图中阴影部分所示，故所求面积S ＝⎠⎛－10(x 2＋2x ＋1)d x ＝(13x 3＋x 2＋x )|0－1＝13. (3)依题意，有12S ＝⎠⎛－t0(x 2＋2x ＋1)d x ＝(13x 3＋x 2＋x )|0－t ＝16， 即13t 3－t 2＋t ＝16， ∴2t 3－6t 2＋6t －1＝0，∴2(t －1)3＝－1， ∴t ＝1－132.6．解：(1)设点P 的横坐标为t (0<t <2)，则点P 的坐标为(t ，t 2)，直线OP 的方程为y ＝tx . S 1＝⎠⎛0t (tx －x 2)d x ＝16t 3，S 2＝⎠⎛t2(x 2－tx )d x ＝83－2t ＋16t 3，因为S 1＝S 2，所以16t 3＝83－2t ＋16t 3，解得t ＝43，故点P 的坐标为(43，169)．(2)令S ＝S 1＋S 2，由(1)知，S ＝16t 3＋83－2t ＋16t 3＝13t 3－2t ＋83，则S ′＝t 2－2，令S ′＝0，得t 2－2＝0，因为0<t <2，所以t ＝2， 又当0<t <2时，S ′<0；当2<t <2时，S ′>0；故当t ＝2时，S 1＋S 2有最小值，最小值为83－423，此时点P 的坐标为(2，2)．。

课时提升卷(十二)定积分在几何中的应用（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.直线x=-1,x=1,y=0与偶函数y=f(x)的图象围成平面图形的面积表示为①f(x)dx;②f(|x|)dx;③|f(x)|dx;④2|f(x)|dx.其中,正确表示的个数为( )A.0B.1C.2D.32.由直线x=-,x=,y=0与曲线y=cosx所围成的封闭图形的面积为( )A.1B.C.D.3.曲线y=x3与y=围成平面图形的面积为( )A.1B.C.D.4.由曲线y=x2+2与y=3x,x=0,x=2所围成的平面图形的面积为( )A.1B.2C.3D.45.已知a=(sinx,cosx),b=(cosx,sinx),f(x)=a·b,则直线x=0,x=,y=0以及曲线y=f(x)围成平面图形的面积为( )A. B. C. D.二、填空题(每小题8分,共24分)6.(2012·山东高考)设a>0,若曲线y=与直线x=a,y=0所围成封闭图形的面积为a2,则a= .7.已知函数f(x)=x2+1的定义域为[a,b](a<b),值域为[1,5],则点(a,b)的运动轨迹与两坐标轴围成的图形的面积为.8.如图,在一个长为π,宽为2的矩形OABC内,曲线y=sinx(0≤x≤π)与x轴围成如图所示的阴影部分,向矩形OABC内随机投一点(该点落在矩形OABC内任何一点是等可能的),则所投的点落在阴影部分的概率是.三、解答题(9～10题各14分,11题18分)9.已知f(x)为一次函数,且f(x)=x f(x)dx+1,(1)求f(x)解析式.(2)求直线y=f(x)与曲线y=xf(x)围成平面图形的面积.10.(2013·沈阳高二检测)求曲线y=x2和直线x=0,x=1,y=t2,t∈(0,1)所围成的图形(如图阴影部分)的面积的最小值.11.(能力挑战题)如图,一桥拱的形状为抛物线,已知该抛物线形桥拱的高为常数h,宽为常数b.求抛物线桥拱的面积.答案解析1.【解析】选C.由于偶函数y=f(x)的图象关于y轴对称,当f(x)≥0时,平面图形的面积为f(x)dx=2f(x)dx;当f(x)<0时,平面图形的面积为-f(x)dx=-2f(x)dx.故③④正确.2.【解题指南】利用偶函数的定积分的几何意义计算面积.【解析】选B.所求图形的面积是cosxdx=2sinx=.3.【解析】选A.曲线y=x 3与y=的交点为(-1,-1),(0,0),(1,1),两曲线围成平面图形的面积为S=2(-x 3)dx=2=1.4.【解题指南】求出函数图象的交点坐标,利用定积分与微积分基本定理求解.【解析】选A.由x2+2=3x,得x=1,x=2,直线y=3x与抛物线y=x2+2的交点坐标为(1,3),(2,6),所求的面积为S=(x2+2-3x)dx+(3x-x2-2)dx=+=1.5.【解题指南】求出函数解析式,确定积分区间,利用定积分的几何意义计算面积.【解析】选C.由a=(sinx,cosx),b=(cosx,sinx),得f(x) =a·b=2sinxcosx=sin2x,当x∈时,sin2x≥0;当x∈时,sin2x<0.由定积分的几何意义,直线x=0,x=,y=0以及曲线y=f(x)围成平面图形的面积为sin2xdx-sin2xdx=-cos2x+cos2x=1+=.【变式备选】已知a=(cosx,sinx),b=(cosx,-sinx),f(x)=a·b,则直线x=0,x=,y=0以及曲线y=f(x)围成平面图形的面积为( )A. B. C. D.【解析】选C.由a=(cosx,sinx),b=(cosx,-sinx),得f(x)=a·b=cos2x-sin2x=cos2x,当x∈时,cos2x≥0;当x∈时,cos2x<0.由定积分的几何意义,直线x=0,x=,y=0以及曲线y=f(x)围成平面图形的面积为cos2xdx-cos2xdx=sin2x-sin2x=-+=.6.【解题指南】本题考查利用定积分求封闭图形的面积,求出y=的原函数即可得到面积.【解析】求曲线y=与直线x=a,y=0所围成封闭图形的面积,即dx==-0=a 2,解得a=.答案:7.【解析】对于函数f(x)=x2+1,当x=±2时,y=5.故根据题意得a,b的取值范围为:-2≤a≤0且b=2或a=-2且0≤b≤2.所以点(a,b)的运动轨迹与两坐标轴围成的图形是一个边长为2的正方形,面积为4.答案:48.【解析】因为sinxdx=-cosx=-cosπ+cos0=2,又S矩形=2π,所以所投的点落在阴影部分的概率是P==.答案:9.【解析】(1)设一次函数f(x)=kx+b(k≠0),由f(x)=x f(x)dx+1得kx+b=x(kx+b)dx+1=x·+1=(2k+2b)x+1, 所以b=1,k=2k+2b,即k=-2b=-2,所以f(x)=-2x+1.(2)由消去y,得2x2-3x+1=0,解得x1=,x2=1,大致图象如图,所求平面图形的面积为S=[(-2x2+x)-(-2x+1)]dx=(-2x2+3x-1)dx==.10.【解题指南】将阴影部分的面积表示为定积分,建立面积的目标函数求最小值.【解析】由定积分与微积分基本定理,得S=S1+S2=(t2-x2)dx+(x2-t2)dx=+=t3-t3+-t2-t3+t3=t3-t2+,t∈(0,1),所以S′=4t2-2t,所以t=或t=0(舍去).当t变化时,S′,S变化情况如下表:tS′- 0 +S ↓极小值↑所以当t=时,S最小,且S min=.【拓展提升】复杂图形面积的两个求解策略(1)由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形,在不同的区间内位于上方和下方的函数有所变化,通过解方程组求出曲线的不同的交点坐标,可以将积分区间进行细化分段,然后根据图象对各个区段分别求面积进而求和.(2)若积分变量选取x运算较为复杂,可以选y为积分变量,同时更改积分的上、下限.11.【解题指南】建立平面直角坐标系确定抛物线方程,求由曲线围成的平面图形面积.【解析】以抛物线的顶点为原点建立坐标系,如图建立平面直角坐标系.设抛物线方程为y=-ax2(a>0),将抛物线上一点代入方程,则有-h=-a,解得a=,所以抛物线方程为y=-x2.则有S=2dx=2=2=bh.。

课后训练1．做变速直线运动的物体，初速度为30 m/s ，t s 后的速度v ＝30－1.5t－，则该物体停止时，运动的路程是( )A ．1009m B ．81 m C ．11 500 m D ．1150081m2．一物体在变力F (x )＝2x 2－1作用下沿直线由x ＝1运动到x ＝3，则力F (x )所做的功等于( )A ．15B ．463 C ．24 D ．4333．一列车沿直线轨道前进，刹车后列车速度v (t )＝27－0.9t ，则列车从刹车到停车所前进的路程为( )A ．405B ．540C ．810D ．9454．若变力F (x )＝236x，一个物体在其作用下，沿着x 轴(平面直角坐标系)的正方向从x ＝8运动到x ＝18处，则F (x )所做的功为( )A ．8B ．6.5C ．4.5D ．2.55．以初速度40 m/s 竖直向上抛一物体，若t s 时刻的速度v ＝40－10t 2，则此物体达到最高时的高度为( )A ．1603m B ．803m C ．403m D ．203m6．如果某物体以初速度v (0)＝1，加速度a (t )＝6t 做直线运动，则质点在t ＝2时的瞬时速度为( )A ．5B ．7C ．9D ．13 7．如图所示，一物体沿斜面在拉力F 的作用下由A 经B ，C 运动到D ，其中AB ＝50 m ，BC ＝40 m ，CD ＝30 m ，变力15,090,420,90120x x F x ⎧+≤≤⎪=⎨⎪<≤⎩(F 的单位：N ，x 的单位：m)，在AB段运动时F 与运动方向成30°角，在BC 段运动时F 与运动方向成45°角，在CD 段运动时F与运动方向相同，则该物体由A 运动到D 变力F 所做的功是__________．(精确到1 J)8．一辆汽车的速度—时间曲线如图所示，求该汽车在这一分钟内行驶的路程．9．一物体在力()10, 02, 34,2xF xx x ≤≤⎧=⎨+>⎩(单位：N)的作用下沿与力相同的方向，从x ＝0处运动到x＝4(单位：m)处，求力F(x)做的功．10．A，B两站相距7.2 km，一辆电车从A站开往B站，电车开出t s后到达途中C点，这一段速度为1.2t(m/s)，到C点时速度达到24 m/s，从C点到B站前的D点以匀速行驶，从D点开始刹车，经t s后，速度为(24－1.2t) m/s．在B点恰好停车，试求：(1)A，C间的距离；(2)B，D间的距离；(3)电车从A站到B站所需的时间．参考答案1答案：D 解析：设物体经过t s 后停止，由30－1.5t－0，得1009t =．运动路程为s ＝10090⎰(30－1.5t－)d t＝10032920383043t t t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭＝1150081(m)．2答案：B 解析：F (x )所做的功W ＝31⎰(2x 2－1)d x ＝33124633x x ⎛⎫-=⎪⎝⎭． 3答案：A 解析：停车时车速为0，由27－0.9t ＝0，解得t ＝30，于是列车前进的路程为s ＝30⎰(27－0.9t )d t ＝(27t －0.45t 2)300＝405．4答案：D 解析：力F (x )所做的功W ＝188⎰F (x )d x＝188236d x x ⎰＝1883692=2.52x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭． 所以力F (x )所做的功为2.5．5答案：A 解析：此物体达到最高时，速度为0，由40－10t 2＝0得t ＝2，即物体经过2 s 达到最高，此时物体达到的高度为h ＝20⎰v (t )d t ＝20⎰(40－10t 2)d t ＝320101604033t t ⎛⎫-=⎪⎝⎭(m)． 6答案：D 解析：∵v (2)－v (0)＝2⎰a (t )d t ＝20⎰6t d t ＝3t 220＝12，∴v (2)＝v (0)＋12＝1＋12＝13．7答案：1 724 J 解析：在AB 段运动时F 在运动方向上的分力F 1＝F cos 30°， 在BC 段运动时F 在运动方向上的分力F 2＝F cos 45°． 由变力做功公式，得：5090050115cos 30d 5cos 45d 203044W x x x x ⎛⎫⎛⎫=+︒++⋅︒+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰250290050112020+60022x x x x ⎫⎫++⎪⎪⎝⎭⎝⎭1 724(J)≈． 8答案：解：从该汽车的速度—时间曲线可以看出，该汽车做变速运动，其速度—时间的函数关系如下：v ＝v (t )＝3,020,250,2040,10,4060.t t t t t ⎧≤<⎪⎪-≤<⎨⎪≤≤⎪⎩所以该汽车在这一分钟内所行驶的路程为s ＝60⎰v (t )d t ＝2003d 2t ⎰＋4020⎰(50－t )d t ＋6040⎰10d t ＝220240600204031501042t t t t ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭＝900(m)． 答：该汽车在一分钟内所行驶的路程为900 m ． 9答案：解：W ＝40⎰F (x )d x ＝20⎰10d x ＋42⎰(3x ＋4)d x＝224023104462xx x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭(J)， 即从x ＝0处运动到x ＝4处，力F (x )做的功为46 J ．10答案：解：设A 到C 经过t 1 s ，由1.2t 1＝24，得t 1＝20(s )， 所以AC ＝200⎰1.2t d t ＝0.6t 2200＝240(m)．答案：设从D →B 经过t 2 s ，由24－1.2t 2＝0，得t 2＝20(s )，所以DB ＝200⎰(24－1.2t )d t＝240(m)．答案：CD ＝7 200－2×240＝6 720(m)．从C 到D 的时间为t 3＝672024＝280(s )． 于是所求时间为20＋280＋20＝320(s )．答：A ，C 间距离为240 m ，B ，D 间距离为240 m ，电车从A 站到B 站所需时间为320 s ．。