中南大学概率论第1章第8讲
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概率论第一章
第一章 随机事件与概率
第1页
概率论
7 August 2013
第一章 随机事件与概率
第2页
参考书目（侧重于理论）
概率论基础（第二版），李贤平，高等教
育出版社，1997
7 August 2013
第一章 随机事件与概率
第3页
参考书目（侧重于计算）
概率论与数理统计，李贤平、沈崇圣，复
旦大学出版社，2003 概率论与数理统计（第三版），盛骤、谢 式千、潘承毅，高等教育出版社，2001 概率论与数理统计（第二版），王松桂， 科学出版社，2006
第18页
事件的表示
在试验中，A中某个样本点出现了， 就说 A 出现了、发生了，记为A. 维恩图 ( Venn ). 事件的三种表示 用语言、用集合、用随机变量.
7 August 2013
第一章 随机事件与概率
第19页
1.1.5 事件间的关系
包含关系： A B, A 发生必然导致 B 发生.
7 August 2013
第一章 随机事件与概率
第4页
参考书目（通俗读物）
机会的数学，陈希孺，清华大学出版社，
2000
黑天鹅：如何应对不可知的未来，塔勒布
（美），中信出版社，2008
7 August 2013
第一章 随机事件与概率
第5页
概率论起源： 合理分配赌金问题
有一笔赌金， 甲乙两个人竞赌， 输赢的概 率都一样，都是1/2， 谁先能够连赢累计 达到6盘，就获得这笔赌金。 但是一个特 别的原因， 赌博突然终止了， 那个时候 甲赢了5局， 乙赢了2局， 问这笔赌金应 该如何分配？
1.1.1 随机现象：自然界中的有两类现象 1. 确定性现象
第1页
概率论
7 August 2013
第一章 随机事件与概率
第2页
参考书目（侧重于理论）
概率论基础（第二版），李贤平，高等教
育出版社，1997
7 August 2013
第一章 随机事件与概率
第3页
参考书目（侧重于计算）
概率论与数理统计，李贤平、沈崇圣，复
旦大学出版社，2003 概率论与数理统计（第三版），盛骤、谢 式千、潘承毅，高等教育出版社，2001 概率论与数理统计（第二版），王松桂， 科学出版社，2006
第18页
事件的表示
在试验中，A中某个样本点出现了， 就说 A 出现了、发生了，记为A. 维恩图 ( Venn ). 事件的三种表示 用语言、用集合、用随机变量.
7 August 2013
第一章 随机事件与概率
第19页
1.1.5 事件间的关系
包含关系： A B, A 发生必然导致 B 发生.
7 August 2013
第一章 随机事件与概率
第4页
参考书目（通俗读物）
机会的数学，陈希孺，清华大学出版社，
2000
黑天鹅：如何应对不可知的未来，塔勒布
（美），中信出版社，2008
7 August 2013
第一章 随机事件与概率
第5页
概率论起源： 合理分配赌金问题
有一笔赌金， 甲乙两个人竞赌， 输赢的概 率都一样，都是1/2， 谁先能够连赢累计 达到6盘，就获得这笔赌金。 但是一个特 别的原因， 赌博突然终止了， 那个时候 甲赢了5局， 乙赢了2局， 问这笔赌金应 该如何分配？
1.1.1 随机现象：自然界中的有两类现象 1. 确定性现象
概率第1章
OPTION 中的一个样本点出现, 故 是必然事件.
05 每次试验中一定不发生的事件称为不可能事件.空集 中不包含任何样本点, 因此是不可
能事件. OPTION
同济大学数学系 & 人民邮电出版社
三、随机事件
例 2 抛掷一枚均匀的骰子的样本空间为 1,2,L ,6
第1章 随机事件与概率 10
随机事件 A=“出现 6 点”=6 ； 随机事件 B=“出现偶数点”=2, 4,6； 随机事件 C=“出现的点数不超过 6” 1,2,L ,6= ，即一定会发生的必然事件；
E2 ABC ；
3
三个事件都不出现（记为 E3 ）；
E3 ABC ；
4
三个事件中至少有一个出现（记为 E4 ）； E4 A B C ；
5
三个事件中至少有两个出现（记为 E5 ）； E5 AB U AC U BC ；
6
至多一个事件出现（记为 E6 ）；
E6 ABC U ABC U ABC U ABC ；
第1章 随机事件与概率 22
P A 0.2, P B 0.3, PC 0.4, P AB 0 P BC =P AC 0.1,
则， A, B, C 至少发生一个的概率是多少？
同济大学数学系 & 人民邮电出版社
目录/Contents
第1章 随机事件与概率 23
1.1
随机事件及其运算
1.2 概率的定义及其性质
i 1
则称 P( A) 为事件 A 的概率.
同济大学数学系 & 人民邮电出版社
1.2 概率的定义及其性质
第1章 随机事件与概率 20
由概率的三条公理，可以推导出概率的一些性质.
性质1 P() 0
性质2 有限可加性
05 每次试验中一定不发生的事件称为不可能事件.空集 中不包含任何样本点, 因此是不可
能事件. OPTION
同济大学数学系 & 人民邮电出版社
三、随机事件
例 2 抛掷一枚均匀的骰子的样本空间为 1,2,L ,6
第1章 随机事件与概率 10
随机事件 A=“出现 6 点”=6 ； 随机事件 B=“出现偶数点”=2, 4,6； 随机事件 C=“出现的点数不超过 6” 1,2,L ,6= ，即一定会发生的必然事件；
E2 ABC ；
3
三个事件都不出现（记为 E3 ）；
E3 ABC ；
4
三个事件中至少有一个出现（记为 E4 ）； E4 A B C ；
5
三个事件中至少有两个出现（记为 E5 ）； E5 AB U AC U BC ；
6
至多一个事件出现（记为 E6 ）；
E6 ABC U ABC U ABC U ABC ；
第1章 随机事件与概率 22
P A 0.2, P B 0.3, PC 0.4, P AB 0 P BC =P AC 0.1,
则， A, B, C 至少发生一个的概率是多少？
同济大学数学系 & 人民邮电出版社
目录/Contents
第1章 随机事件与概率 23
1.1
随机事件及其运算
1.2 概率的定义及其性质
i 1
则称 P( A) 为事件 A 的概率.
同济大学数学系 & 人民邮电出版社
1.2 概率的定义及其性质
第1章 随机事件与概率 20
由概率的三条公理，可以推导出概率的一些性质.
性质1 P() 0
性质2 有限可加性
中南大学随机过程第一章
F(x)
pk
(x) 0, 其它
p2 p1
'(x)(x)
x1 x2
xk
2020/7/15
胡朝明
53－11
例
设R.V.X的分布律为：
X
0
1
2
P
3/10
6/10
1/10
求X的分布律和分布函数。
解：
33
1
f( x ) k 1 p k ( x x k ) 1 ( x 0 ) 5 ( x 1 ) 1 ( x 0 2 )
事件仍然相互独立。
4. 设A1,A2,…,An相互独立，则 n
P (A 1 A 2 A n)1 P (A i)
i1
2020/7/15
胡朝明
53－6
七、全概率公式与贝叶斯公式
设事件组B1,B2,…,Bn两两互不相容，即BiBj
＝Φ(1≤i≠j≤n)，且
n
＝ΩB，i P(Bi)>0，i=1,
2,…,n，则对任意事件Ai 1，有
如果一个函数f(x)具有性质1)、2)，则它一定是某个R.V.X的概率密度。
3) 4)
在f(x)的连续点处，F’(x)＝f(x)； 连续型R.V.X取某个值的概率为0，即
5)
P{X=x}＝0，x(-∞,+∞)； 连续型R.V.X落在区间的概率，与区间的开、闭无关，即
2020/7/15
胡朝明
53－5
六、随机事件独立性的性质
1. A与B相互独立A与B相互独立
A与B相互独立
A与B相互独立
2. A与B相互独立P(B|A)＝P(B) (P(A)>0)
P(A|B)＝P(A) (P(B)>0)
概率论第1讲-PPT精选
9•9+9•9+9•9=243
16 2020/8/1
二, 组合 设有n个不同的元素, 从它们中间任取r 个(0 < r n)构成一组. 这里, 不考虑这r 个元素的次序, 只研究有多少种不同的 取法, 这就是组合问题. 称每一个取得的 组为一个组合. 对于所有不同的组合的 种数, 通常把它记作
n r
一, 排列 从n个不同的元素中, 任意取出r个不同 的元素(0 < r n)按照一定的顺序排成一 列, 这样的一列元素叫做从n个不同元素 中取r个不同元素组成的一种排列. 对于 所有不同排列的种数1
先设0<r<n, 每一种排列由在r个有次序 位置上各放上一个元素所组成. 第一个 位置上的元素有n种不同的取法; 在它取 定之后, 第二个位置上的元素只有n-1种 不同的取法; 前两个元素取定之后, 第三 个位置上的元素只有n-2种不同的取法; 依次类推, 第r个位置上的元素只有nr+1种不同的取法, 因此按乘法原理, 所 求排列种数为
A={e1,e2,...}
21 2020/8/1
集合的元素可以是任意种类的对象: 点, 数, 函数, 事件, 人等等. 例如, (1) 全体自然数组成的集合A, 表示为:
A={1,2,...}; (2)在给定直线上全体点组成的集合; (3)平面上区域D中所有点组成的集合; (4)数轴上所有区间组成的一个集合; (5)定义域为区间(a,b)的所有连续函数; (6)某地区所有学龄前儿童组成的一个集 合.
第一章 预备知识 第一节 排列与组合
3 2020/8/1
乘法原理: 如果一个过程可以分成两个 阶段进行, 第一个阶段有m种不同的做法, 第二个阶段有n种不同的做法, 且第一个 阶段的任一种做法都可以与第二个阶段 的任一种做法配成整个过程的一种做法, 那末整个过程应该有mn种的做法.
16 2020/8/1
二, 组合 设有n个不同的元素, 从它们中间任取r 个(0 < r n)构成一组. 这里, 不考虑这r 个元素的次序, 只研究有多少种不同的 取法, 这就是组合问题. 称每一个取得的 组为一个组合. 对于所有不同的组合的 种数, 通常把它记作
n r
一, 排列 从n个不同的元素中, 任意取出r个不同 的元素(0 < r n)按照一定的顺序排成一 列, 这样的一列元素叫做从n个不同元素 中取r个不同元素组成的一种排列. 对于 所有不同排列的种数1
先设0<r<n, 每一种排列由在r个有次序 位置上各放上一个元素所组成. 第一个 位置上的元素有n种不同的取法; 在它取 定之后, 第二个位置上的元素只有n-1种 不同的取法; 前两个元素取定之后, 第三 个位置上的元素只有n-2种不同的取法; 依次类推, 第r个位置上的元素只有nr+1种不同的取法, 因此按乘法原理, 所 求排列种数为
A={e1,e2,...}
21 2020/8/1
集合的元素可以是任意种类的对象: 点, 数, 函数, 事件, 人等等. 例如, (1) 全体自然数组成的集合A, 表示为:
A={1,2,...}; (2)在给定直线上全体点组成的集合; (3)平面上区域D中所有点组成的集合; (4)数轴上所有区间组成的一个集合; (5)定义域为区间(a,b)的所有连续函数; (6)某地区所有学龄前儿童组成的一个集 合.
第一章 预备知识 第一节 排列与组合
3 2020/8/1
乘法原理: 如果一个过程可以分成两个 阶段进行, 第一个阶段有m种不同的做法, 第二个阶段有n种不同的做法, 且第一个 阶段的任一种做法都可以与第二个阶段 的任一种做法配成整个过程的一种做法, 那末整个过程应该有mn种的做法.
概率论第一章
例如：在检查某些圆柱形产品时， 例如：在检查某些圆柱形产品时，如果规定只有它的长度及直径 都合格时才算产品合格，那么“产品合格” 直径合格” 都合格时才算产品合格，那么“产品合格”与“直径合格”、 长度合格”等事件有着密切联系。 “长度合格”等事件有着密切联系。
下面我们讨论事件之间的关系与运算
1、包含关系
⑶ 两个特殊事件
必然事件U ★ 必然事件U ★ 不可能事φ 不可能事φ
3、随机试验
如果一个试验可能的结果不止一个， 如果一个试验可能的结果不止一个，且事先不能肯定 会出现哪一个结果，这样的试验称为随机试验。 会出现哪一个结果，这样的试验称为随机试验。
例如, 掷硬币试验 例如, 寿命试验 测试在同一工艺条件下生产 掷骰子试验 掷一枚硬币，观察出正还是反. 掷一枚硬币，观察出正还是反 出的灯泡的寿命. 出的灯泡的寿命 掷一颗骰子， 掷一颗骰子，观察出现的点数
第一章 随机事件及其概率
随机事件及样本空间 频率与概率 条件概率及贝努利概型
§1 随机事件及样本空间
一、随机事件及其有关概念
1、随机事件的定义
试验中可能出现或可能不出现的情况叫“随机事件” 试验中可能出现或可能不出现的情况叫“随机事件”, 简称“事件” 记作A 简称“事件”。记作A、B、C等任何事件均可表示为样本空 间的某个子集。称事件A发生当且仅当试验的结果是子集A 间的某个子集。称事件A发生当且仅当试验的结果是子集A中 的元素。 的元素。
例如，一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球。 例如，一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球。 10个大小 将球编号为1 10。把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球。 将球编号为1－10。把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球。
因为抽取时这些球是完全平等的， 因为抽取时这些球是完全平等的， 我们没有理由认为10个球中的某一个会 我们没有理由认为10个球中的某一个会 10 比另一个更容易取得。也就是说，10个 比另一个更容易取得。也就是说，10个 球中的任一个被取出的机会是相等的， 球中的任一个被取出的机会是相等的， 均为1/10 1/10。 均为1/10。
下面我们讨论事件之间的关系与运算
1、包含关系
⑶ 两个特殊事件
必然事件U ★ 必然事件U ★ 不可能事φ 不可能事φ
3、随机试验
如果一个试验可能的结果不止一个， 如果一个试验可能的结果不止一个，且事先不能肯定 会出现哪一个结果，这样的试验称为随机试验。 会出现哪一个结果，这样的试验称为随机试验。
例如, 掷硬币试验 例如, 寿命试验 测试在同一工艺条件下生产 掷骰子试验 掷一枚硬币，观察出正还是反. 掷一枚硬币，观察出正还是反 出的灯泡的寿命. 出的灯泡的寿命 掷一颗骰子， 掷一颗骰子，观察出现的点数
第一章 随机事件及其概率
随机事件及样本空间 频率与概率 条件概率及贝努利概型
§1 随机事件及样本空间
一、随机事件及其有关概念
1、随机事件的定义
试验中可能出现或可能不出现的情况叫“随机事件” 试验中可能出现或可能不出现的情况叫“随机事件”, 简称“事件” 记作A 简称“事件”。记作A、B、C等任何事件均可表示为样本空 间的某个子集。称事件A发生当且仅当试验的结果是子集A 间的某个子集。称事件A发生当且仅当试验的结果是子集A中 的元素。 的元素。
例如，一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球。 例如，一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球。 10个大小 将球编号为1 10。把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球。 将球编号为1－10。把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球。
因为抽取时这些球是完全平等的， 因为抽取时这些球是完全平等的， 我们没有理由认为10个球中的某一个会 我们没有理由认为10个球中的某一个会 10 比另一个更容易取得。也就是说，10个 比另一个更容易取得。也就是说，10个 球中的任一个被取出的机会是相等的， 球中的任一个被取出的机会是相等的， 均为1/10 1/10。 均为1/10。
概率论课件第8讲
正态分布的边缘分布仍为正态分布
fX (x)
fY ( y)
1
e
(
x1 212
)2
,
x
2 1
1
e
(
y2
2
2 2
)2
,
y
2 2
在这一讲中，我们与一维情形相对照， 介绍了二维随机变量的联合分布、边缘分布.
请注意联合分布和边缘分布的关系:
由联合分布可以确定边缘分布; 但由边缘分布一般不能确定联合分布.
(
x,
y
)
cy(
2 0
x ), ,
0 x 1,0 y x 其它
求 (1) c的值； （2）两个边缘密度。
解：(1)
f ( x,x)dy]dx
0
c
1
[
x2
(2
x)
/
2]dx
=5c/24=1,
0
y=x
1
x
c =24/5
f
(
x,
y)
cy(2
f (x, y)dy
1 r 2 x2
dy
r r 2 x2
2
2
r2 x2
r 2
故X的边缘密度函数为
r xr
f
X
(x)
2
r2 x2
r 2
0
r xr 其他
由对称性可得Y的边缘密度函数为
fY
(
x)
2
r2 y2
r 2
0
r yr 其他
(5) 若二维随机变量（X,Y）具有概率密度
(4) P{X 2 Y};
e(x y) , x 0, y 0
f (x, y)
第一章-概率论的基础知识
组合（不放回抽样）：从含有n个元素的集合中 随机抽取k个，共有
n A n! k Cn k k ! k !(n k )!
k n
种取法.
(1) 摸球问题 例1:设盒中有4个白球，2个红球，现从盒中
任抽2个球，分别在放回抽样与不放回抽样的
情况下求
(1)取到两只白球的概率。
AB
“A发生必导致B发生”。
2.和事件： (p4) AB
AB发生“事件A与B 至少有一个发生”
i 2’n个事件A1, A2,…, An至少有一个发生 A发生 i 1
n
3. 积事件(p4) :AB＝AB
A与B同时发生 AB发生
3’n个事件A1, A2,…, An同时发生 A1A2…An发生
容的事件，即AiAj＝，(ij), i , j＝1, 2, …, 有
P( A1 A2 … )＝ P(A1) ＋P(A2)+…. 则称P(A)为事件A的概率。( p8) 称为概率的公理化定义
概率的性质 P(8-9) (1) P() 0 (2) 有限可加性：设A1，A2，…，An , 是n个两两互 不相容的事件，即AiAj＝ ，(ij), i , j＝1, 2, …, n , 则有 P( A1 A2 … An)＝ P(A1) ＋P(A2)+… +P(An); (3) 单调不减性：若事件AB，则 P(A)≥P(B) A S , P( A) 1
解：
P( A B) 0.6 ,
求 P( AB )
P( AB) P( A B) P( A) P( AB)
P( A) [ P( A) P( B) P( A B)]
0.4 (0.4 0.3 0.6) 0.3
概率论知识梳理
个事件的概率的途径又多了一条。其实全概率公式精华之处并不在其本身，而
是推导过程以及思想。
18. 贝叶斯公式： P(Bi A)
p(A Bi )P Bi
n
，贝叶斯公式主要是根据结果反求
P(A Bj )P Bj
j 1
导致这个结果的某种情形的可能性。贝叶斯公式和全概率公式复习起来光看概
念没什么用，要借助几个较难的例题和做一些往届考题，这样效率会高很多。
是它本身，而是： P(A B C) P(A) P(A B) P(A B C) 。
更加重要的是当事件数量更多的时候如何处理。一句话总结：加多了减，减多 了加。 11. 概率的减法公式： P(A－B)＝P(A) －P(AB) P(A-B)=P(A)-P(AB)，当 B A 时， P(A-B)=P(A)-P(B)，当 A=Ω时，P( B )=1- P(B)。
19. 事件的独立性：简而言之“你关我屁事！”，更重要的是多个事件的情形。
描述性定义：
数学定义：
设 A，B 为两个事件，如果其中任何 P( AB) P( A)P(B)
一个事件发生的概率不受另外一个事 特别注意：
件发生与否的影响（我发生也好，不 概率为 1 或者 0 的事件与任何事件独立。
发生也好，都不受你任何影响，你关 考试题型：
率论的学习，因而在接触这个概念的时候就应该去努力弄懂，弄透彻它。很多书上 有这么一句话：随机变量就是其值会随机而定的变量。有些孩子一看就发宝气了， 我当然知道它是变量呀！其实是抓错了重点，关键在于“随机”二字。我们过去说 的变量往往指不固定的量，虽然不固定，但往往遵循一个确切的法则（取值在内定 义域）。这里的随机变量也是如此，它不太有规律可循，但既然是出现在概率论这个 大背景下，它也不可能算是一匹脱缰的野马。从另一个角度解读这个概念：随机试 验的结果经常是数量，或者可以数量化表示，但是这些数量与以往用来表示时间， 位移等的变量有很大的不同，这就是其取值的变化完全取决于随机试验的结果，因 而是不可以完全预言的，这种随机取值的变量就是随机变量。说白了，随机变量就 是这样的一个家伙：你无法确切的知道他是什么，但是你能知道他很可能会是什么？
是推导过程以及思想。
18. 贝叶斯公式： P(Bi A)
p(A Bi )P Bi
n
，贝叶斯公式主要是根据结果反求
P(A Bj )P Bj
j 1
导致这个结果的某种情形的可能性。贝叶斯公式和全概率公式复习起来光看概
念没什么用，要借助几个较难的例题和做一些往届考题，这样效率会高很多。
是它本身，而是： P(A B C) P(A) P(A B) P(A B C) 。
更加重要的是当事件数量更多的时候如何处理。一句话总结：加多了减，减多 了加。 11. 概率的减法公式： P(A－B)＝P(A) －P(AB) P(A-B)=P(A)-P(AB)，当 B A 时， P(A-B)=P(A)-P(B)，当 A=Ω时，P( B )=1- P(B)。
19. 事件的独立性：简而言之“你关我屁事！”，更重要的是多个事件的情形。
描述性定义：
数学定义：
设 A，B 为两个事件，如果其中任何 P( AB) P( A)P(B)
一个事件发生的概率不受另外一个事 特别注意：
件发生与否的影响（我发生也好，不 概率为 1 或者 0 的事件与任何事件独立。
发生也好，都不受你任何影响，你关 考试题型：
率论的学习，因而在接触这个概念的时候就应该去努力弄懂，弄透彻它。很多书上 有这么一句话：随机变量就是其值会随机而定的变量。有些孩子一看就发宝气了， 我当然知道它是变量呀！其实是抓错了重点，关键在于“随机”二字。我们过去说 的变量往往指不固定的量，虽然不固定，但往往遵循一个确切的法则（取值在内定 义域）。这里的随机变量也是如此，它不太有规律可循，但既然是出现在概率论这个 大背景下，它也不可能算是一匹脱缰的野马。从另一个角度解读这个概念：随机试 验的结果经常是数量，或者可以数量化表示，但是这些数量与以往用来表示时间， 位移等的变量有很大的不同，这就是其取值的变化完全取决于随机试验的结果，因 而是不可以完全预言的，这种随机取值的变量就是随机变量。说白了，随机变量就 是这样的一个家伙：你无法确切的知道他是什么，但是你能知道他很可能会是什么？
概率论第一章ppt课件
i1
i1
13
3. 积（交）事件 : 事件A与事件B同时发生，记
作 AB 或AB。
推广：n个事件A1, A2,…, An同时发生，记作
n
n
A1A2…An或 A i 或 A i
i1
i1
14
4. 差事件： A－B称为A与B的差事件, 表示事件 A发生而事件B不发生
15
5. 互不相容事件（也称互斥的事件）： 即事件 A与事件B不能同时发生。AB＝ 。
A 1 “: 至少有一人命中目标 A 2 “: 恰有一人命中目标” A 3 “: 恰有两人命中目标” A 4 “: 最多有一人命中目标 A 5 “: 三人均命中目标” A 6 “: 三人均未命中目标”
”:
ABC
: ABCABCABC
: AC BABC ABC
”: BCACAB
:
ABC
:
ABC
21
小结
P Ak
k 1
k
k 1 k!
e
1 e
．
本题可采用另外一种解法． A A0 { 该地一年内
未发生交通事故} ，于是
P(A) 1 P(A) 1 P( A0) 1 e ．
33
小结
• 本节课主要讲授： 1.概率的统计定义； 2.概率的公理化定义； 3.概率的性质（重点）。
34
§1.3 古典概型与几何概型
验，简称试验。随机试验常用E表示。
7
1.1.3 随机事件与样本空间
❖样本空间: 试验的所有可能结果所组成的集合称为 试验E的样本空间, 记为Ω. ❖样本点: 试验的每一个可能出现的结果（样本空 间中的元素）称为试验E的一个样本点, 记为ω.
8
例1-2：
中南大学概率论与数理统计
可得随机变量 X(e),
0, X (e) 1,
2,
e e1, e e2, e e3, e e4 .
实例5 设盒中有5个球 (2白3黑), 从中任抽3个,则
X (e) 抽得的白球数,
是一个随机变量. 且 X(e) 的所有可能取值为: 0, 1, 2.
实例6 设某射手每次射击打中目标的概率是0.8, 现该射手射了30次, 则
X (e) 射中目标的次数, 是一个随机变量. 且 X(e) 的所有可能取值为:
0, 1, 2, 3, , 30.
实例7 设某射手每次射击打中目标的概率是0.8, 现该射手不断向目标射击 , 直到击中目标为止,则
X (e) 所需射击次数, 是一个随机变量. 且 X(e) 的所有可能取值为:
实例1 随机变量 X 为“灯泡的寿命”. 则 X 的取值范围为 [0, ).
实例2 随机变量 X 为“测量某零件尺寸时的测量 误差”. 则 X 的取值范围为 (a, b) .
三、小结
1. 概率论是从数量上来研究随机现象内在规 律性的，因此为了方便有力的研究随机现象， 就 需将随机事件数量化，把一些非数量表示的随机 事件用数字表示时， 就建立起了随机变量的概 念． 因此随机变量是定义在样本空间上的一种特 殊的函数．
随机变量随着试验的结果不同而取不同的值, 由于试验的各个结果的出现具有一定的概率, 因 此随机变量的取值也有一定的概率规律.
(3)随机变量与随机事件的关系
随机事件包容在随机变量这个范围更广的概 念之内.或者说 : 随机事件是从静态的观点来研究 随机现象,而随机变量则是从动态的观点来研究随 机现象.
第一节 随机变量
一、随机变量的引入 二、随机变量的概念 三、小结
概率论第一章PPT课件
2021/3/24
-
10
费尔马的解法
费尔马注意到，如果继续赌下去，最多只要再赌4轮便可 决出胜负，如果用“甲”表示甲方胜，用“乙”表示乙方胜， 那么最后4轮的结果，不外乎以下16种排列。
甲甲甲甲 甲甲甲乙 甲甲乙甲 甲乙甲甲 乙甲甲甲 乙甲甲乙
甲甲乙乙 甲乙甲乙 甲乙乙甲 乙乙甲甲 乙甲乙甲
甲乙乙乙 乙甲乙乙 乙乙甲乙 乙乙乙甲 乙乙乙乙
2021/3/24
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8
直到1654年，一位经验丰富的法国赌徒默勒以自己的 亲身经历向帕斯卡请教“赌金分配问题“，求助其对这种现 象作出解释，引起了这位法国天才数学家的兴趣，帕斯卡接 受了这些问题，但他没有立即去解决它，而是把它交给另一 位法国数学家费尔马。之后，他们频频通信，互相交流，围 绕着赌博中的数学问题开始了深入细致的研究。这些问题后 来被来到巴黎的荷兰科学家惠更斯获悉，回荷兰后，他也开 始就这方面展开研究。
若每次试验中，事件A与事件B不能同时发生， 即A∩B= 。则称事件A与事件B互斥或互不相 容。
有时，我们也称满足以上三个特点的试验为随机 试验。
2021/3/24
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20
§1.1.2 样本空间 随机事件
一、样本空间
随机试验E的所有可能的结果组成的集合称为E的 样本空间，记为Ω。Ω的每个元素，即Ω的每一个可能 的结果，称为E的一个样本点或基本事件。
指的是基本 结果
2021/3/24
样本点
-
21
特征：条件不能完全决定结果。
确定性现象与随机现象的共同特点是事物本身的含 义确定。随机现象与模糊现象的共同特点是不确定性， 随机现象的不确定性是指试验的结果不确定，而模糊现 象的不确定性有两层含义，一是指事物本身的定义不确 定，二是结果不确定。
《概率论》第1章
有限可加性
若 A B, 则
P( ) P( B) P( A) P( B) P( A)
事件解释 为区域
S
B
A
第一章
概率解释为 区域面积
概率论的基本概念
§2 随机事件的概率
0 P( A) 1
P( A) 1 P( A) 由定义 A S B1 对任何事件 有 (加法公式) P( A) P( SA ) ,
随机事件
6/12
将一枚硬币连抛三次,观察正面 H、反面 T 的出现 则样本空间为
S { TTT , TTH , THT , HTT , THH , HTH , HHT , HHH}
记事件
A1 { 至少出现一次正面 }
A2 { 三次都是反面 } A3 { 第一次出现正面 }
A4 { 第一次出现反面 }
P( A1A2 ) P( A2 A3) P( A1A3) P( A1A2 A3 )
第一章 概率论的基本概念
§2 随机事件的概率 对于 n 个事件，有
P( A1 A2 An )
n
13/14
减二
P( Ai ) P( Ai A j ) i 1
1 i j n
1/13
第一章
概率论的基本概念
2/15
试验可以在相同的条件下重复进行 试验的结果可能不止一个，但试验前知道所 有可能的全部结果 在每次试验前无法确定会出现那个结果 具有上述特征的试验称为随机试验 ,简称试验
第一章
概率论的基本概念
§1
随机事件 样本空间 S 样本点 A S 中的子集
3/12
试验 E 的全部结果 基本结果 随机事件 事件 A发生
概率论第一章
n
I Ai = A1 I A2 I L I An = { A1 , A2 , ... An同 时 发 生}
i =1 ∞
I Ai = A1 I A2 I L = { A1 , A2 , ...同时 发 生}
i =1
—刘 赪—
第一章 随机事件与概率
事件间的关系及运算-3
4 差事件：A-B={e|e∈A且e∉B} 当且仅当A发生，B不发生时， 事件A-B发生
称
fn
( A)
=
n( A) n
为事件A的频率.
Ø 频率f n(A)会稳定于某一常数(稳定值).
Ø 用频率的稳定值作为该事件的概率.
—刘 赪—
第一章 随机事件与概率
确定概率的古典方法
1° 样本空间中的元素个数只有有限个，可记为
Ω ={e1,e2,…,en} 2° 每个基本事件ei出现的可能性相等，i=1,2,…,n,
Ex 4. 若在区间( 0, 1) 内任取两个数，则两数之和
小于 6/5 的概率是多少？
-- 刘 赪 --
SWJTU
第三节
第一章
概率的性质
SWJTU
6 PDF 文件使用 "pdfFactory" 试用版本创建
概率的基本性质 -1
1 P(φ) = 0
∑ ( ) 2
P
5 P( A) + P( A) = 1
6 P(A∪B)≤ P(A)+P(B) 且有概率的加法公式 P(A∪B)= P(A)+P(B)-P(AB)
-- 刘 赪 --
SWJTU
Ø 概率的加法公式可以推广到更多事件的情形： P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(CA)+P(ABC)
I Ai = A1 I A2 I L I An = { A1 , A2 , ... An同 时 发 生}
i =1 ∞
I Ai = A1 I A2 I L = { A1 , A2 , ...同时 发 生}
i =1
—刘 赪—
第一章 随机事件与概率
事件间的关系及运算-3
4 差事件：A-B={e|e∈A且e∉B} 当且仅当A发生，B不发生时， 事件A-B发生
称
fn
( A)
=
n( A) n
为事件A的频率.
Ø 频率f n(A)会稳定于某一常数(稳定值).
Ø 用频率的稳定值作为该事件的概率.
—刘 赪—
第一章 随机事件与概率
确定概率的古典方法
1° 样本空间中的元素个数只有有限个，可记为
Ω ={e1,e2,…,en} 2° 每个基本事件ei出现的可能性相等，i=1,2,…,n,
Ex 4. 若在区间( 0, 1) 内任取两个数，则两数之和
小于 6/5 的概率是多少？
-- 刘 赪 --
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第三节
第一章
概率的性质
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6 PDF 文件使用 "pdfFactory" 试用版本创建
概率的基本性质 -1
1 P(φ) = 0
∑ ( ) 2
P
5 P( A) + P( A) = 1
6 P(A∪B)≤ P(A)+P(B) 且有概率的加法公式 P(A∪B)= P(A)+P(B)-P(AB)
-- 刘 赪 --
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Ø 概率的加法公式可以推广到更多事件的情形： P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(CA)+P(ABC)
概率论第一章
若随着试验次数的增大，事件A出现的频率在[0,1]上的某个 确定的数p附近摆动，则称p为事件A的概率，记为P(A). 频率性质：
(1) 0 f ( A) 1; (2) f () 1, f () 0; (3) 若A, B互斥, 则 f ( A B) f ( A) f ( B).
推广：(两两互斥事件组) 设 A1 , A2 ,..., An ,... 是样本空间中有限个 或可列个事件，若满足 Ai Aj ,(i j ) ，则称 A1 , A2 ,..., An ,... 是两两互斥的，或称其是两两互斥事件组。 (7) 互逆(对立)事件：若 AB 且A B ，则称A,B为互逆 事件，或称A与B互相对立。逆事件可表示为： A A (8) 完备事件组：设事件组 A1 , A2 ,..., An 为两两互斥事件组，且 A1 A2 ... An ，则称 A1 , A2 ,..., An 是一个完备事件组。 划分 剖分 分解 事件间的运算规律： 与集合运算相似 交换律 结合律 分配律
2. 设 X 是一个随机变量,C 是常数, 则有
E( X C) E( X ) C
3. 设 X 是一个随机变量,C 是常数, 则有
E (CX ) CE ( X )
例如 E ( X ) 5, 则 E ( 3 X ) 3 E ( X ) 3 5 15.
对偶律 自反律
例4 一射手连续向某个目标射击三次，事件 Ai 表示该射手第i次射 击时击中目标，使用文字叙述下列事件：
A1 A2
A2 A1 A2 A3
A1 A2 A3
前两次至少有一次击中目标 第二次没有击中目标 三次射击至少有一次击中目标 三次射击都击中目标
(1) 0 f ( A) 1; (2) f () 1, f () 0; (3) 若A, B互斥, 则 f ( A B) f ( A) f ( B).
推广：(两两互斥事件组) 设 A1 , A2 ,..., An ,... 是样本空间中有限个 或可列个事件，若满足 Ai Aj ,(i j ) ，则称 A1 , A2 ,..., An ,... 是两两互斥的，或称其是两两互斥事件组。 (7) 互逆(对立)事件：若 AB 且A B ，则称A,B为互逆 事件，或称A与B互相对立。逆事件可表示为： A A (8) 完备事件组：设事件组 A1 , A2 ,..., An 为两两互斥事件组，且 A1 A2 ... An ，则称 A1 , A2 ,..., An 是一个完备事件组。 划分 剖分 分解 事件间的运算规律： 与集合运算相似 交换律 结合律 分配律
2. 设 X 是一个随机变量,C 是常数, 则有
E( X C) E( X ) C
3. 设 X 是一个随机变量,C 是常数, 则有
E (CX ) CE ( X )
例如 E ( X ) 5, 则 E ( 3 X ) 3 E ( X ) 3 5 15.
对偶律 自反律
例4 一射手连续向某个目标射击三次，事件 Ai 表示该射手第i次射 击时击中目标，使用文字叙述下列事件：
A1 A2
A2 A1 A2 A3
A1 A2 A3
前两次至少有一次击中目标 第二次没有击中目标 三次射击至少有一次击中目标 三次射击都击中目标
第1章 概率论8节
y),
g() y g(), 其它。
上
海 大
设 g′(x)<0 , 同上有
学 通
FY
(
y)
P{Y
y}
P{g( X
)
y}
P{X
h(
y)}
h( y)
f
( x)dx
信 学
故
fY
(
y)
f X [h( y)]h( y), 0,
g()其它y 。g,(),
(3)
院 合并（2）、（3）二式，则可证得：
fY
(
y)
学
通 信
Y1 g1 ( X1 , X 2 ,, X N )
学 院
Y2 YN
g2 ( X1 , X 2 ,, X N )
gN ( X1 , X 2 ,, X N )
B X
YC
f X ( x1 , x2 ,, xN )dx1dx2 dxN
B
fY ( y1 , y2 ,, yN )dy1dy2 dyN (4)
y) f
1 (x y)e(x y)dy 1 (1 x)ex , x 0
0
2 f (x,
y)dx
1
(1
2 y)e y ,
y0
( x,
y
)
，所以X2和Y
不是相互独立的。
令随机变量W=X，则有
X W YZ
W
J
x x
w z
y y
w z
1 0
1 1
1
f ( w ,z ) f ( x w , y z w ) J 1 ze z f ( z ), z 0
fX
[h( y)] 0,
h(
概率论第一章知识点总结
概率论第一章知识点总结
概率论第一章主要介绍了以下几个知识点：
1. 随机试验：指具有以下三个特征的试验：可以进行多次独立重复；每次试验只有两个可能结果中的一个发生；每次试验发生的概率相同。
2. 样本空间：随机试验的所有可能结果构成的集合称为样本空间，通常用S表示。
3. 事件：样本空间的任意子集称为事件，通常用A、B等大写字母表示。
4. 概率：事件A发生的概率定义为P(A)=n(A)/n(S)，其中n(A)表示事件A中元素的个数，n(S)表示样本空间中元素的个数。
5. 概率的性质：对于任意事件A和B，有以下性质：
(1) 0 ≤ P(A) ≤ 1
(2) P(S) = 1
(3) P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
(4) 若A和B互不相容（即A∩B=），则P(A∪B) = P(A) + P(B) 6. 条件概率：事件B在事件A发生的条件下发生的概率称为条件概率，记为P(B|A)，计算公式为P(B|A) = P(A∩B) / P(A)。
7. 乘法公式：对于任意事件A1，A2，…，An，有P(A1∩A2∩…∩An) = P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1∩A2)…P(An|A1∩A2∩…∩An-1)。
8. 全概率公式和贝叶斯公式：全概率公式和贝叶斯公式是基于条件概率的重要公式，用于计算复杂事件的概率。
其中全概率公式为：
P(B) = Σi=1,2,…,nP(Ai)P(B|Ai)，贝叶斯公式为：P(Aj|B) = P(Aj)P(B|Aj)/Σi=1,2,…,nP(Ai)P(B|Ai)。
概率论第一章基本概念
第一章 基本概念
绪言 §1.1 随机试验（ Random experiment）
§1.2 随机事件（ Random Events ） §1.3 事件的概率（ Probability ）
小结 课程要求 习题选讲 本章测验
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第一章 基本概念
本章主要讲述随机试验，样本空 间，随机事件，事件间的关系与运算， 频率，概率的统计定义，概率的性质， 古典概型。
E7：对目标进行射击，记录着弹点的位臵。
7 {( x, y ) | x, y D}
E8：掷两次骰子作为一次试验,观察两次试验结果。
第一次有6个可能的结果 第二次也有6个可能的结果
将两次试验结果排序, 则共有36种可能的结果:
8 {( x , y ) | x , y 1,2,3,4,5,6}
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具 体 例 子
１、进货问题 某商店某种商品销售的产品数量是不定的，该店需要在 月初进货，货多了有积压损失，货少了又有缺货损失，那么 每月进多少货合适？ ２、服务台设臵问题
一个随机服务系统，每天到来的顾客及服务时间是不确 定的，那么需要设臵多少服务台的规模才能使顾客等候不太 久？服务台的工作人员有合适的忙闲程度？ ３、保险问题
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何为随机现象？
人们通常将自然界或社会中出现的现象分成二类： 1、确定性的现象（必然现象）necessity, inevitability。 在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象.
2、非确性的现象（偶然现象） randomly, chance。
在一定条件下可能出现也可能不出现的现象。 上抛一枚硬币，出现正面向上； 某商店某天某商品的销售量为50件； 测试某厂某元件的寿命为1000小时（或尺寸大小）。
绪言 §1.1 随机试验（ Random experiment）
§1.2 随机事件（ Random Events ） §1.3 事件的概率（ Probability ）
小结 课程要求 习题选讲 本章测验
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第一章 基本概念
本章主要讲述随机试验，样本空 间，随机事件，事件间的关系与运算， 频率，概率的统计定义，概率的性质， 古典概型。
E7：对目标进行射击，记录着弹点的位臵。
7 {( x, y ) | x, y D}
E8：掷两次骰子作为一次试验,观察两次试验结果。
第一次有6个可能的结果 第二次也有6个可能的结果
将两次试验结果排序, 则共有36种可能的结果:
8 {( x , y ) | x , y 1,2,3,4,5,6}
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具 体 例 子
１、进货问题 某商店某种商品销售的产品数量是不定的，该店需要在 月初进货，货多了有积压损失，货少了又有缺货损失，那么 每月进多少货合适？ ２、服务台设臵问题
一个随机服务系统，每天到来的顾客及服务时间是不确 定的，那么需要设臵多少服务台的规模才能使顾客等候不太 久？服务台的工作人员有合适的忙闲程度？ ３、保险问题
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何为随机现象？
人们通常将自然界或社会中出现的现象分成二类： 1、确定性的现象（必然现象）necessity, inevitability。 在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象.
2、非确性的现象（偶然现象） randomly, chance。
在一定条件下可能出现也可能不出现的现象。 上抛一枚硬币，出现正面向上； 某商店某天某商品的销售量为50件； 测试某厂某元件的寿命为1000小时（或尺寸大小）。
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解: 引进事件： H j {报名表是第地区的}；( j 1,2,3) Ai ={第次抽到的是男生表} (i 1,2,3) .由条件知：
P(H1)
P(H 2 )
P(H 3 )
1， 3
P( A1
|
H1)
7 10
，P(
A1
|
H2)
8 15
，P(
A1
|
H3)
20 ． 25
由全概率公式，得
P( A1)
3 j1
P(H
j
)
P( A1
|
H
j
)
1 3
3 10
7 15
5 25
29 ． 90
易见
P( A1A｜2 H1)
37 10 9
7 30
;
P( A1A｜2 H 2 )
78 15 14
8 30
;
P( A1A｜2 H3 )
5 20 25 24
5 30
由全概率公式
P(A2 )
3 j1
P(H
j
)
概率论
概率统计课程组
第一章 习题课
例1 假设有三箱同类型号零件，里面分别装 有50件，30件和40件，而一等品分别有20件， 12件及24件。现在任选一箱从中随机地先后 各抽取一个零件（第一次取到的零件不放 回），试求先取的零件是一等品的概率，并 计算两次都取出一等品的概率。
解：设 B1, B2 , B3 分别表示第一、二次选出的是装 有一等品为20，12，24件的箱子，A1, A2 分别表 示第一次、二次取出的为一等品，依题意，有
•
5、知人者智，自知者明。胜人者有力 ，自胜 者强。 20.12.1 020.12. 1004:1 9:4304: 19:43D ecembe r 10, 2020
•
6、意志坚强的人能把世界放在手中像 泥块一 样任意 揉捏。 2020年 12月10 日星期 四上午 4时19 分43秒0 4:19:43 20.12.1 0
解：设B={飞机被击落}， Ai={飞机被i人击中}, i=1,2,3
由全概率公式
P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2) + P(A3)P(B |A3)
=0.36×0.2+0.41 ×0.6+0.14 ×1 =0.458
即飞机被击落的概率为0.458.
例3 假设有来自三个地区的各10名、15名 和25名考生的报名表，其中女生的报名表 分别为3份、7份和5份．现随机地取出一个 地区的报名表,并从中先后随意取出两份． (1) 求先抽出的一份是女生表的概率； (2) 已知后抽出的一份是男生表，求先抽出 的一份是女生表的概率．
与其余二事件的交独立． 证明 (1) 必要性 设事件A、B、C 独立， 则一定两两独立；此外，由 P(A[BC])P(ABC)=P(A)P(B)P(C) =(A)P(BC) ， 可见A与BC独立．同样可以证明，B与AC 独立，C与AB独立．
(2) 充分性 事件 A, B, C 两两独立且其中任何
一个事件与其余二事件的交独立．由两两独立， 知
P( AB) P( A)P(B)，P( AC) P( A)P(C)，P(BC) P(B)P(C)．
由于A与BC独立，可见
P( ABC) P( A[BC]) P( A)P(BC) P( A)P(B)P(C)
从而事件 A, B,C 独立．
休息片刻继续
•
1、有时候读书是一种巧妙地避开思考 的方法 。20.1 2.1020. 12.10Thursday, December 10, 2020
•
2、阅读一切好书如同和过去最杰出的 人谈话 。04:1 9:4304: 19:4304 :1912/ 10/2020 4:19:43 AM
•
3、越是没有本领的就越加自命不凡。 20.12.1 004:19: 4304:1 9Dec-20 10-Dec-20
•
4、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的 错儿。 04:19:4 304:19: 4304:1 9Thursday, December 10, 2020
• 10、你要做多大的事情，就该承受多大的压力。12/10/
2020 4:19:43 AM04:19:432020/12/10
• 11、自己要先看得起自己，别人才会看得起你。12/10/
谢 谢 大 家 2020 4:19 AM12/10/2020 4:19 AM20.12.1020.12.10
• 12、这一秒不放弃，下一秒就会有希望。10-Dec-2010 December 202020.12.10
P( A2
|
H
j
)
1 3
7 10
8 15
20 25
61； 90
P( A1A2 )
3 j1
P(H
j
)
P( A1A2
|
H
j
)
1 3
7 30
8 30
5 30
2． 9
由条件概率的定义，得
P( A1
|
A2 )
P( A1A2 ) P( A2 )
2 61
9 90
20 61
例4 设 A, B,C 事件的概率相等且相互独 立，P( ABC) 7 8 ，求 P( A) ．
•
7、最具挑战性的挑战莫过于提升自我 。。20 20年12 月上午 4时19 分20.12. 1004:1 9December 10, 2020
•
8、业余生活要有意义，不要越轨。20 20年12 月10日 星期四 4时19 分43秒0 4:19:43 10 December 2020
•
9、一个人即使已登上顶峰，也仍要自 强不息 。上午 4时19 分43秒 上午4时 19分04 :19:432 0.12.10
3
P( A1) P(Bi )P( A1 | Bi ) i 1
1 20 19 1 12 11 1 24 23 0.22 3 50 49 3 30 29 3 40 39
3
P( A1A2 ) P(Bi )P( A1A2 | Bi ) i 1
例 2 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7. 飞 机被一人击中而击落的概率为0.2,被两人 击中而击落的概率为0.6, 若三人都击中, 飞机必定被击落, 求飞机被击落的概率.
解 设 p P(A) P(B) P(C)．由加法公式和事件 A, B,C 独立，有
7 P(A B C) 1 P(ABC ) 8
1 P( A)P(B )P(C ) 1 (1 p)3，
P( A) 1 2
例5 证明事件 A, B,C 独立的充分和必要条 件是，它们两两独立且其中任何一个事件