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第3讲 解直角三角形1．(2014年某某某某)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若sin A ＝35，则cos B 的值是( )A.45B.35C.34D.432．(2013年某某某某)如图539，若∠A ＝60°，AC ＝20 m ，则BC 大约是(结果精确到0.1 m)( )A ．34.64 mB ．34.6 mC ．28.3 mD ．17.3 m图539 图5310 图53113．(2013年某某某某)如图5310，已知l 1∥l 2∥l 3，相邻两条平行直线间的距离相等．若等腰直角三角形ABC 的三个顶点分别在这三条平行直线上，则sin α的值是( )A.13B.617C.55D.10104．(2014年某某某某)如图5311，小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5∶12，的山坡上走1300 m ，此时小明看山顶的角度为60°，则山高为( )A ．(600－250 5)mB ．(600 3－250)mC ．(350＋350 3)mD ．(500 3)m 5．(2014年某某某某)我们把“按照某种理想化的要求(或实际可应用的标准)来反映或概括地表现一类或一种事物关系结构的数学形式”看作是数学中的一个“模式”(我国著名数学家徐利治提出)．如图5312,5313是一个典型的图形模式，用它可测顶部可能达不到的建筑物的高度，用它可测河宽，用它可解决数学中的一些问题，等等．(1)如图5312，若BB 1＝30 m ，∠B 1＝22°，∠ABC ＝30°，求AC (精确到1)； (参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.92，tan22°≈0.40， 3 ≈1.73)图5312(2)如图5313，若∠ABC＝30°，BB1＝AB，计算tan15°的值(保留准确值)；图5313(3)直接写出tan7.5°的值．(注：若出现双重根式a＋b c，则无需化简)6．(2014年某某某某)如图5314，某水上乐园有一个滑梯AB，高度AC为6 m，倾斜角为60°，暑期将至，为改善滑梯AB的安全性能，把倾斜角由60°减至30°.(1)求调整后的滑梯AD的长度；(2)调整后的滑梯AD比原滑梯AB增加多少米？(精确到0.1 m)(参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45)图53147．(2013年某某某某)如图5315，在东西方向的海岸线MN上有A，B两艘船，均收到已触礁搁浅的船P的求救信号．已知船P在船A的北偏东58°方向，船P在船B的北偏西35°方向，AP的距离为30海里．(1)求船P到海岸线MN的距离；(精确到0.1 海里)(2)若船A ，船B 分别以20 海里/时，15 海里/时的速度同时出发，匀速直线前往救援， 试通过计算判断哪艘船先到达船P 处．图5315A 级 基础题1．(2013年某某某某)如图5316，在直角坐标系中，P 是第一象限内的点，其坐标是(3，m )，且OP 与x 轴正半轴的夹角α的正切值是43，则sin α的值为( )A.45B.54C.35D.53图5316 图53172．(2014年某某某某)如图5317，已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，tan A ＝12，则BC 的长是( )A ．2B ．8C ．2 5D ．5 53．(2013年某某某某)式子2cos30°－tan45°－1－tan60°2的值是( )A ．2 3－2B ．0C ．2 3D ．24．(2013年某某某某)如图5318，将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一X 宽为3 cm 的矩形纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，则三角板最大边的长为( )A ．3 cmB ．6 cmC ．3 2 cmD ．6 2 cm图5318 图5319 图53205．(2014年某某巴彦淖尔)如图5319，从热气球C 处测得地面两点A ，B 的俯角分别为30°，45°，如果此时热气球C 处的高度CD 为80 m ，点A ，D ，B 在同一直线上，则A ，B 两点的距离是( )A ．160 mB ．80 3 mC ．100 3 mD ．80(1＋3) m6．(2014年某某某某)在直角三角形ABC 中，已知∠C ＝90°，∠A ＝40°，BC ＝3，则AC ＝( )A ．3sin40° B．3sin50° C．3tan40° D．3tan50°7．(2013年某某某某) 如图5320，小敏同学想测量一棵大树的高度．她站在B 处仰望树顶，测得仰角为30°，再往大树的方向前进4 m ，测得仰角为60°.已知小敏同学身高(AB )为1.6 m ，则这棵树的高度为(结果精确到0.1 m ，3≈1.73)( )A ．3.5 mB ．3.6 mC ．4.3 mD ．5.1 m8．(2014年某某某某)在△ABC 中，如果∠A ，∠B 满足|tan A －1|＋⎝ ⎛⎭⎪⎫cos B －122＝0，那么∠C ＝________.9．(2013年某某某某)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝43，BC ＝8，则△ABC 的面积为__________．10．(2013年某某龙东)等腰△ABC 底角的余弦是23，一边长为12，则等腰△ABC 的面积为________．11．(2014年某某资阳)如图5321，湖中的小岛上有一标志性建筑物，其底部为A .某人在岸边的B 处测得A 在B 的北偏东30°的方向上，然后沿岸边直行4公里到达C 处，再次测得A 在C 的北偏西45°的方向上(其中A ，B ，C 在同一个平面上)．求这个标志性建筑物的底部A 到岸边BC 的最短距离．图532112．(2013年某某某某)天封塔历史悠久，是某某著名的文化古迹．如图5322，从位于天封塔的观测点C测得两建筑物底部A，B的俯角分别为45°和60°，若此观测点离地面的高度CD为51 m，A，B两点在CD的两侧，且点A，D，B在同一水平直线上，求A，B之间的距离．(结果保留根号)图5322B级中等题△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为( )图5323A.13B.12C.22D．314．(2014年某某莱芜)如图5324，一堤坝的坡角∠ABC＝62°，坡面长度AB＝25 m(图为横截面)，为了使堤坝更加牢固，一施工队欲改变堤坝的坡面，使得坡面的坡角∠ADB＝50°，则此时应将坝底向外拓宽多少米？(结果保留到0.01 m)(参考数据：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan50°≈1.20)图5324C级拔尖题15．(2014年某某某某)在一次科技活动中，小明进行了模拟雷达扫描实验．如图5325，表盘是△ABC，其中AB＝AC，∠BAC＝120°.在点A处有一束红外光线AP，从AB开始，绕点A逆时针匀速旋转，每秒钟旋转15°，到达AC后立即以相同旋转速度返回AB，到达AB后立即重复上述旋转过程．小明通过实验发现，光线从AB处旋转开始计时，旋转1 s，此时光线AP交BC于点M，BM的长为(20 3－20)cm.(1)求AB的长；(2)从AB处旋转开始计时，若旋转6 s，此时光线AP与BC边的交点在什么位置；若旋转2014 s，交点又在什么位置，请说明理由．图5325第3讲解直角三角形【真题·南粤专练】4．B 解析：如图65，∵BE∶AE＝5∶12，52＋122＝13，∴BE∶AE∶AB＝5∶12∶13.图65∵AB＝1300，∴AE＝1200，BE＝500.设EC＝x，∵∠DBF＝60°，∴DF＝3x.又∵∠DAC＝30°，∴AC＝3CD.即1200＋x＝3(500＋3x)．解得x＝600－250 3.∴DF ＝3x ＝600 3－750. ∴CD ＝DF ＋CF ＝600 3－250.5．解：(1)在Rt △ABC 中，BC ＝AC tan ∠ABC ＝ACtan30°.在Rt △AB 1C 中，B 1C ＝AC tan ∠B 1＝ACtan22°.∵B 1C －BC ＝BB 1＝30， ∴AC tan22°－ACtan30°AC ≈39(m) .(2)∵B 1B ＝AB ，∴∠AB 1B ＝∠B 1AB .又∵∠ABC ＝30°，且∠ABC ＝∠AB 1B ＋∠B 1AB ， ∴∠AB 1B ＝15°.令AC ＝a ，则AB ＝2a ，BC ＝3a . ∴tan15°＝tan ∠AB 1C ＝AC B 1C ＝AC B 1B ＋BC＝2－ 3. (3)tan7.5°＝122＋3＋2＋3.6．解：(1)在Rt △ADC 中，∠C ＝90°， ∠ADC ＝30°，AC ＝6， ∴AD ＝2AC ＝12.答：调整后的滑梯AD 的长度为12 m.(2)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝60°，AC ＝6， sin ∠ABC ＝ACAB， ∴AB ＝ACsin60°＝6×23＝6.92(m)．∴AD －AB ＝12－6.92≈5.1(m)．答：调整后的滑梯AD 比原滑梯AB 增加5.1 m. 7．解：(1)如图66，过点P 作PD ⊥AB 于点D .图66由题意，得∠PAB ＝90°－58°＝32°， ∠PBD ＝90°－35°＝55°，AP ＝30.在Rt △ADP 中，sin ∠PAD ＝PD AP. 得PD ＝AP ·sin∠PAD ＝30·sin32°≈15.9(海里)． 答：船P 到海岸线MN 的距离约为． (2)在Rt △BDP 中，sin ∠PBD ＝PD BP. 即BP ＝PDsin ∠PBD ≈19.4.∵3020>,15)，∴B 船先到达P 处． 【演练·巩固提升】10．18 5或32 511．解：过A 作AD ⊥BC 于D ，则AD 的长度即是A 到岸边BC 的最短距离． 在Rt △ACD 中，∠ACD ＝45°，设AD ＝x ，则CD ＝x . 在Rt △ABD 中，∠ABD ＝60°.由tan ∠ABD ＝AD BD ，得BD ＝x tan60°＝33x .又BC ＝4，即BD ＋CD ＝33x ＋xx ＝6－2 3. 答：小岛上标志性建筑物的底部A 到岸边BC 的最短距离为(6－2 3)公里． 12．解：由题意，得∠ECA ＝45°，∠FCB ＝60°. ∵EF ∥AB ，∴∠CAD ＝∠ECA ＝45°，∠CBD ＝∠FCB ＝60°. ∵∠ADC ＝∠CDB ＝90°， 且在Rt △CDB 中，tan ∠CBD ＝CD BD， ∴BD ＝51tan60°＝17 3(m)．∵AD ＝CD ＝51，∴AB ＝AD ＋BD ＝(51＋17 3)(m)． 答：A ，B 之间的距离为(51＋17 3) m. 13．A14．解：如图67，过点A 作BC 的垂线交BC 于点E . 在Rt △ABE 中，AB ＝25，∠ABC ＝62°，∴AE ＝25sin62°＝22(m)，BE ＝25cos62°＝11.75(m)． 在Rt △ADE 中，DE ＝AEtan50°＝221.20≈18.33(m)．∴DB ＝DE －BE ＝18.33－11.75＝6.58(m)． 答：应将坝底向外拓宽6.58 m.图67图6815．解：(1)如图68，过A 作AD ⊥BC ，垂足为D . ∵AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，∴∠BAD ＝∠CAD ＝60°，∠ABD ＝30°.∵∠BAM ＝15°，∴∠MAD ＝45°.则设AD ＝MD ＝x ， 在△ABD 中，tan ∠ABD ＝ADBD＝x20 3－20＋x＝33. 解得x ＝20.∴AB ＝2AD ＝40. 答：AB 的长为40 cm.(2)∵120°15°＝8(s)，则AP 从AB 旋转到AC 需8 s.∴当光线旋转6 s 时，如图69，设AP 交BC 于点N ， 此时，∠BAN ＝15°×6＝90°. 在Rt △ABN 中，BN ＝ABcos ∠ABN ＝80 33.∴当光线旋转6 s 时，与BC 的交点N 在距点B 80 33cm 处．图69 图70如图70，设光线AP 旋转2014 s 后与BC 的交点为Q .由题意知，光线从边AB 开始到第一次回到AB 处需2×8＝16(s)，2014＝125×16＋14， 即AP 旋转2014 s 与旋转14 s 时和BC 的交点是同一点Q .易知，CQ ＝BN ＝80 33，BC ＝2AB cos30°＝40 3.∴BQ ＝BC －CQ ＝40 3－80 33＝40 33(cm)．∴光线AP 旋转2014 s 后，与BC 的交点Q 在距点B 40 33 cm 处．。
第4讲圆第1课时圆的基本性质1．(2014年某某)如图4410，已知⊙O的半径为5，弦AB的长为8，那么圆心O到AB 的距离为________．图4410图44112．(2014年某某某某)如图4411，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB＝20°，则∠AOD＝( )A．160° B．150° C．140° D．120°3．(2013年某某某某)如图4412，▱ABCD的顶点A，B，D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，∠ADC＝54°，连接AE，则∠AEB的度数为( )A．36° B．46° C．27° D．63°图4412图4413图44144．(2013年某某某某)如图4413，圆心角∠AOB＝30°，弦CA∥OB，延长CO，与圆交于点D，则∠BOD＝________.5．(2013年某某某某)如图4414，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，⊙P与x轴交于O，A两点，点A的坐标为(6,0)，⊙P的半径为13，则点P的坐标为____________．6．(2014年某某某某)如图4415，⊙O的直径为10 cm，弦AB＝8 cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度X围．图4415A 级 基础题1．(2014年某某某某)从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是( )A B C D2．(2014年某某某某)如图4416，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，则下列结论正确的是( )A ．DE ＝BE B.BC ＝BDC ．△BOC 是等边三角形D ．四边形ODBC 是菱形图4416 图4417 图44183．(2013年某某某某)某某是著名的桥乡，如图4417，圆拱桥的拱顶到水面的距离CD 为8 m ，桥拱半径OC 为5 m ，则水面宽AB 为( )A ．4 mB ．5 mC ．6 mD ．8 m4．(2014年某某某某)如图4418，在⊙O 中，AB 是直径，BC 是弦，点P 是BC 上任意一点．若AB ＝5，BC ＝3，则AP 的长不可能为( )A ．3B ．4 C.92D ．55．(2013年某某红河州)如图4419，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，弦BD 平分∠ABC ，则下列结论错误的是( )A ．AD ＝DC B. AD ＝DCC ．∠ADB ＝∠ACBD ．∠DAB ＝∠CBA图4419 图4420 图44216．(2014年某某某某)如图4420，在⊙O 中，OD ⊥BC ，∠BOD ＝60°，则∠CAD 的度数等于( )A．15° B．20° C．25° D．30°7．(2013年某某某某)如图4421，OC是⊙O的半径，AB是弦，且OC⊥AB，点P在⊙O 上，∠APC＝26°，则∠BOC＝____________.8．如图4422，将半径为2 cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB 的长为________cm.图44229．证明圆周角的推论：直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．10．(2014年某某某某)如图4423，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O 上，MD恰好经过圆心O，连接MB.(1)若CD＝16，BE＝4，求⊙O的直径；(2)若∠M＝∠D，求∠D的度数．图442311．如图4424，A，P，B，C是半径为8的⊙O上的四点，且满足∠BAC＝∠APC＝60°.(1)求证：△ABC是等边三角形；(2)求圆心O到BC的距离OD.图4424B级中等题12．如图4425，AB是⊙O的直径，点C，D是圆上两点，∠AOC＝100°，则∠D＝________.图442513．(2014年某某某某)已知点A，B，C，D是⊙O上的四点．(1)如图4426(1)，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证：AC⊥BD；(2)如图4426(2)，若AC⊥BD，垂足为P，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径．(1) (2)图4426C级拔尖题14．(2013年某某某某)如图4427，在平面直角坐标系中，直线l经过原点O，且与x 轴正半轴的夹角为30°，点M在x轴上，⊙M半径为2，⊙M与直线l相交于A，B两点．若△ABM为等腰直角三角形，则点M的坐标为______________．图4427第2课时与圆有关的位置关系1．(2011年某某)如图4435，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC.若∠A＝40°，则∠C＝________.图4435图44362．(2013年某某某某)如图4436，在△ABC中，AB＝2，AC＝2，以点A为圆心，1为半径的圆与边BC相切于点D，则∠BAC的度数是____________．3．(2014年某某某某)如图4437，在△ABO中，OA＝OB，C是边AB的中点，以O为圆心的圆过点C.(1)求证：AB与⊙O相切；(2)若∠AOB＝120°，AB＝4 3，求⊙O的面积．图44374．(2014年某某某某)如图4438，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O 与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于E.(1)求证：点E是边BC的中点；(2)求证：BC2＝BD·BA；(3)当以点O，D，E，C为顶点的四边形是正方形时，求证：△ABC是等腰直角三角形．图4438A级基础题1．若⊙O的半径为4 cm，点A到圆心O的距离为3 cm，则点A与⊙O的位置关系是( ) A．点A在圆内 B．点A在圆上C．点A在圆外 D．不能确定2．(2013年某某黔东南州)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3 cm，BC＝4 cm，以C为圆心，r为半径作圆．若圆C与直线AB相切，则r的值为( )A．2 cm B．2.4 cm C．3 cm D．4 cm3．如图4439，△ABC内接于⊙O.若∠OAB＝28°，则∠C的大小是( )A．56° B．62° C．28° D．32°图4439图44404．(2013年某某)如图4440，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点G，直线EF与⊙O相切于点D，则下列结论中不一定正确的是( )A．AG＝BG B．AB∥EFC．AD∥BC D．∠ABC＝∠ADC5．(2014年某某某某)如图4441，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D，CD 与AB的延长线交于点C，∠A＝30°.给出下面3个结论：①AD＝CD；②BD＝BC；③AB＝2BC，其中正确结论的个数是( )A．3个 B．2个 C．1个 D．0个图4441图44426．如图4442，正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为( ) A．2 B．3 C. 3 D．2 37．(2014年某某某某)如图4443，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O 于点D，连接BD，∠C＝40°.则∠ABD的度数是( )A．30° B．25° C．20° D．15°图4443图44448．(2014年某某某某)如图4444，AB是⊙O的直径，BD，CD分别是过⊙O上点B，C 的切线，且∠BDC＝110°.连接AC，则∠A的度数是________°.9．(2012年某某某某)平面上有⊙O及一点P，点P到⊙O上一点的距离最长为6 cm，最短为2 cm，则⊙O的半径为________．10.(2014年某某随州)如图4445，在⊙O中，点C为AB的中点，∠ACB＝120°，OC 的延长线与AD交于点D，且∠D＝∠B.(1)求证：AD与⊙O相切；(2)若点C到弦AB的距离为2，求弦AB的长．图4445B级中等题11．如图4446，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，以AB为直径的⊙O交AC 于点D，点E是BC的中点，连接ED，并延长交BA的延长线于点F.(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)求DB的长．图4446C级拔尖题12．(2013年某某某某)如图4447，AB，CD是⊙O的直径，点E在AB的延长线上，FE ⊥AB，BE＝EF＝2，FE的延长线交CD的延长线于点G，DG＝GE＝3，连接FD.(1)求⊙O的半径；(2)求证：DF是⊙O的切线．图4447第3课时与圆有关的计算1．(2011年某某某某)已知正六边形的边心距为3，则它的周长是( )A．6 B．12 C．6 3 D．12 32．(2014年某某某某)已知圆柱体的底面半径为3 cm，高为4 cm，则圆柱体的侧面积为( )A．24π cm2 B．36π cm2 C．12 cm2 D．24 cm23．(2014年某某某某)如图4453，AC⊥BC，AC＝BC＝4，以BC为直径作半圆，圆心为O，以点C为圆心，BC为半径作弧AB，过点O作AC的平行线，交两弧于点D，E，则阴影部分的面积是________．图4453图44544．(2013年某某)如图4454，三个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分面积的和是________．(结果保留π)5．(2013年某某某某)如图4455，圆锥的侧面展开图是一个半圆，求母线AB与高AO 的夹角．图44556.(2013年某某某某)如图4456，在矩形ABCD中，AB＝2DA，以点A为圆心，AB为半径的圆弧交DC于点E，交AD的延长线于点F，设DA＝2.(1)求线段EC的长；(2)求图中阴影部分的面积．图44567．(2014年某某某某)如图4457，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，线段AB 为半圆O 的直径，将Rt △ABC 沿射线AB 方向平移，使斜边与半圆O 相切于点G ，得△DEF ，DF 与BC 交于点H .(1)求BE 的长；(2)求Rt △ABC 与△DEF 重叠(阴影)部分的面积．图4457A 级 基础题1．(2013年某某资阳)一个正多边形的每个外角都等于36°，那么它是( ) A ．正六边形 B ．正八边形 C ．正十边形 D ．正十二边形2．(2013年某某潜江)如果一个扇形的弧长是43π，半径是6，那么此扇形的圆心角为( )A ．40° B．45° C．60° D．80°3．(2013年某某某某)如图4458，已知▱ABCD 的对角线BD ＝4 cm ，将▱ABCD 绕其对称中心O 旋转180°，则点D 所转过的路径长为( )A ．4π cm B．3π cm C．2π cm D ．π cm图4458 图44594．如图4459，一枚直径为4 cm 的圆形古钱币沿着直线滚动一周，圆心移动的距离是( )A．2π cm B．4π cm C．8π cm D．16π cm5．(2014年某某某某)圆锥体的底面半径为2，侧面积为8π，则其侧面展开图的圆心角为( )A．90° B．120° C．150° D．180°6．(2013年某某某某)如图4460，扇形AOB的半径为1，∠AOB＝90°，以AB为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为( )A.14π B．π－12C.12D.14π＋12图4460图4461图44627．(2013年某某某某)如图4461，⊙O的外切正六边形ABCDEF的边长为1，则图中阴影部分的面积为( )A.34－π8B.34－π6C.33－π8D.33－π68．(2014年某某某某)如图4462，AB是⊙O的直径，分别以OA，OB为直径作半圆．若AB＝4，则阴影部分的面积是________．9．(2014年某某贵港)如图4463，在菱形ABCD中，AB＝2 3，∠C＝120°，以点C 为圆心的EF与AB，AD分别相切于点G，H，与BC，CD分别相交于点E，F.若用扇形CEF作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高是________．图4463图446410．(2013年某某某某)如图4464，在△ABC中，BC＝4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F，且∠EAF＝80°，则图中阴影部分的面积是________．11．(2014年某某某某)如图4465，已知在Rt△ABC中，∠B＝30°，∠ACB＝90°，延长CA到O，使AO＝AC，以O为圆心，OA长为半径作⊙O交BA延长线于点D，连接CD.(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若AB＝4，求图中阴影部分的面积．图4465B级中等题12．(2014年某某某某)一X圆心角为45°的扇形纸板和圆形纸板按如图4466所示方式分别剪成一个正方形，边长都为1，则扇形和圆形纸板的面积比是( )图4466A．5∶4 B．5∶2 C.5∶2 D.5∶ 213．(2013年某某某某)直角三角形两直角边长分别是3 cm和4 cm，以该三角形的边所在直线为轴旋转一周所得到的几何体的表面积是__________________cm2.(结果保留π) 14．(2013年某某某某)如图4467，AB是⊙O的直径，C是半圆O上的一点，AC平分∠DAB，AD⊥CD，垂足为D，AD交⊙O于E，连接CE.(1)判断CD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；(2)若E是AC的中点，⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积．图446715．(2014年某某某某)如图4468，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∠APB＝60°，连接AO，BO.(1)AB所对的圆心角∠AOB＝________；(2)求证：PA＝PB；(3)若OA＝3，求阴影部分的面积．图4468C级拔尖题16．(2013年某某某某)如图4469，在正八边形ABCDEFGH中，四边形BCFG的面积为20 cm2，则正八边形的面积为______ cm2.图4469第4讲圆第1课时圆的基本性质【真题·南粤专练】1．3 2.C 3.A 4.30° 5.(3,2)6．解：如图21，过点O作OE⊥AB于点E，连接OB.图21∵AB ＝8，∴AE ＝BE ＝12AB ＝4.∵⊙O 的直径为10 cm ， ∴OB ＝12×10＝5(cm)．∴OE ＝OB 2－BE 2＝52－42＝3(cm)．∵垂线段最短，半径最长，∴3 cm≤OP ≤5 cm. 【演练·巩固提升】1．B 2.B 3.D 4.A 5.D 6.D 7.52° 8.2 39．证明：已知如图22，AB 是圆O 的直径，C 是圆上一点，连接OC .图22求证：∠ACB ＝90°. 证明：∵OC ＝OA ＝OB ， ∴∠A ＝∠ACO ，∠BCO ＝∠B . ∵∠A ＋∠B ＋∠ACB ＝180°， ∴∠A ＋∠B ＋∠ACO ＋∠BCO ＝180°. ∴2(∠ACO ＋∠BCO )＝2∠ACB ＝180°. ∴∠ACB ＝90°，即直径所对的圆周角是直角． 反之△ABC 是圆O 的内接三角形，∠ACB ＝90°. 设点O 是斜边AB 上的中点，连接OC ， ∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， ∴OC ＝OA ＝OB .∵点O 到圆上三点的距离相等，三个点确定一个圆， ∴点O 是圆心，∴AB 是圆O 的直径． ∴90°圆周角所对的弦是直径．10．解：(1)∵AB ⊥CD ，CD ＝16，∴CE ＝DE ＝8.设OB ＝x ，又∵BE ＝4， ∴x 2＝(x －4)2＋82.解得x ＝10. ∴⊙O 的直径是20.(2)∵∠M ＝12∠BOD ，∠M ＝∠D ，∴∠D ＝12∠BOD .∵AB ⊥CD ，∴∠D ＋∠BOD ＝3∠D ＝90°. ∴∠D ＝30°.11．解：(1)∵∠BAC ＝∠APC ＝60°， 又∵∠APC ＝∠ABC ，∴∠ABC ＝60°. ∵∠ACB ＝180°－∠BAC －∠ABC ＝60°. ∴△ABC 是等边三角形． (2)如图23，连接OB .∵△ABC 为等边三角形，⊙O 为其外接圆， ∴O 为△ABC 的外心．∴BO 平分∠ABC . ∴∠OBD ＝30°.∴OD ＝12OB ＝12×8＝4.图2312．40°13．(1)证明：∵∠ADC ＝∠BCD ＝90°， ∴AC ，BD 是⊙O 的直径．∴∠DAB ＝∠ABC ＝90°.∴四边形ABCD 是矩形． ∵AD ＝CD ，∴四边形ABCD 是正方形．∴AC ⊥BD .(2)解：如图24，连接DO ，并延长交⊙O 于点E ，连接CE ，BE . ∵DE 是直径，∴∠DCE ＝∠DBE ＝90°.∴EB ⊥DB . 又∵AC ⊥BD ，∴BE ∥AC .∴CE ＝AB .∴CE ＝AB . 根据勾股定理，得CE 2＋DC 2＝AB 2＋DC 2＝DE 2＝20. ∴DE ＝2 5.∴OD ＝5，即⊙O 的半径为 5.图24 图2514．(2 2，0)或(－2 2，0) 解析：如图25，过点M 作MC ⊥l ，垂足为C .∵△MAB 是等腰直角三角形，∴MA ＝MB .∴∠BAM ＝∠ABM ＝45°.∵MC ⊥直线l ，∴∠BAM ＝∠CMA ＝45°.∴AC ＝CM . 在Rt △ACM 中，AC 2＋CM 2＝AM 2. ∴2CM 2CM ＝ 2.在Rt △OCM 中，∠＝30°，∴CM ＝12OM .∴OM ＝2CM ＝2 2.∴M (2 2，0)．根据对称性，在负半轴的点M (－2 2，0)也满足条件． 故点M 的坐标为(2 2，0)或(－2 2，0)．第2课时 与圆有关的位置关系【真题·南粤专练】 1．25° 2.105°3．(1)证明：连接OC .在△ABO 中，OA ＝OB ，C 是边AB 的中点，∴OC ⊥AB .∵以O 为圆心的圆过点C ，∴AB 与⊙O 相切．(2)解：∵OA ＝OB ，∠AOB ＝120°，∴∠A ＝∠B ＝30°. ∵AB ＝4 3，C 是边AB 的中点，∴AC ＝12AB ＝2 3.∴OC ＝AC ·tan∠A ＝2 3×33＝2. ∴⊙O 的面积为：π×22＝4π. 4．证明：(1)如图28，连接OD .图28∵DE为切线，∴∠EDC＋∠ODC＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠ECD＋∠OCD＝90°.又∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD.∴∠EDC＝∠ECD.∴ED＝EC.∵AC为直径，∴∠ADC＝90°.∴∠BDE＋∠EDC＝90°，∠B＋∠ECD＝90°.∴∠B＝∠BDE.∴ED＝EB.∴EB＝EC，即点E为边BC的中点．(2)∵AC为直径，∴∠ADC＝90°.∴∠CDB＝∠ACB＝90°.又∵∠B＝∠B，∴△ACB∽△CDB.∴ABBC＝BCBD.∴BC2＝BD·BA.(3)当四边形ODEC为正方形时，∠OCD＝45°.∵AC为直径，∴∠ADC＝90°.∴∠CAD＝∠ADC－∠OCD＝90°－45°＝45°.∴Rt△ABC为等腰直角三角形．【演练·巩固提升】9．4 cm或2 cm10．(1)证明：如图29，连接OA.图29 ∵CA＝CB，∴CA＝CB.又∵∠ACB＝120°，∴∠B＝30°.∴∠O＝2∠B＝60°.∵∠D＝∠B＝30°，∴∠OAD＝180°－(∠O＋∠D)＝90°.∴OA ⊥AD . ∴AD 与⊙O 相切．(2)解：设OC 交AB 于点E ， 由题意，得OC ⊥AB .∴CE ＝2. 在Rt △BCE 中，BE ＝CEtan ∠B＝2×33＝2 3.∴AB ＝2BE ＝4 3. 11．(1)证明：连接OD ，OE . ∵CE ＝BE ，OA ＝OB ，∴OE ∥AC ， ∴∠ADO ＝∠DOE ，∠CAO ＝∠EOB .∵OA ＝OD ，∴∠DAO ＝∠ADO .∴∠DOE ＝∠EOB . ∵OD ＝OB ，OE ＝OE ，∴△DOE ≌△BOE (SAS)． ∴∠EDO ＝∠ABC ＝90°.∴DE 是⊙O 的切线． (2)解：∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°. 在Rt △ABC 中，AC ＝AB 2＋BC 2＝62＋82＝10. ∴DB ＝6×810＝4.8.12．(1)解：设⊙O 的半径为r .∵BE ＝2，DG ＝3，∴OE ＝2＋r ，OG ＝3＋r . ∵EF ⊥AB ，∴∠AEG ＝90°.在Rt △OEG 中，根据勾股定理，得OE 2＋EG 2＝OG 2. ∴(2＋r )2＋32＝(3＋r )2.解得r ＝2.(2)证明：∵EF ＝2，EG ＝3，∴FG ＝EF ＋EG ＝3＋2＝5. ∵DG ＝3，OD ＝2，∴OG ＝DG ＋OD ＝3＋2＝5＝FG . ∵DG ＝EG ，∠G ＝∠G ，∴△DFG ≌△EOG (SAS)． ∴∠FDG ＝∠OEG ＝90°.∴DF ⊥OD . ∴DF 是⊙O 的切线．第3课时 与圆有关的计算【真题·南粤专练】 1．B 2.A 3.5π3－2 34.3π8解析：图中三块阴影部分都是扇形，且半径相等．由平行线内错角相等和正方形的对角线的性质可知，三个扇形的圆心角的度数之和为135°，所以图中阴影部分面积的和为135·π·1360＝3π8.5．解：∵2πr ＝πl ，∴l ＝2r .∴sin ∠BAO ＝r l ＝12.∴∠BAO ＝30°.∴母线AB 与高AO 的夹角为30°. 6．解：(1)∵在矩形ABCD 中，AB ＝2DA ， ∴AE ＝2AD ，且∠ADE ＝90°. 又∵DA ＝2，∴AE ＝AB ＝4. ∴DE ＝AE 2－AD 2＝16－4＝2 3. ∴EC ＝DC －DE ＝4－2 3. (2)S 阴影＝S 扇形AEF －S △ADE ＝60×π×42360－12×2×2 3＝83π－2 3.图307．解：(1)连接OG ，如图30. ∵∠BAC ＝90°，AB ＝4，AC ＝3，∴BC ＝AB 2＋AC 2＝5.由平移，得AD ＝BE ，DF ＝AC ＝3，EF ＝BC ＝5， ∠EDF ＝∠BAC ＝90°.∵EF 与半圆O 相切于点G ，∴OG ⊥EF .∵AB ＝4，线段AB 为半圆O 的直径，∴OB ＝OG ＝2. ∵∠GEO ＝∠DEF ，∴Rt △EOG ∽Rt △EFD .∴OE EF ＝OG DF ，即OE 5＝23.解得OE ＝103.∴BE ＝OE －OB ＝103－2＝43.(2)BD ＝DE －BE ＝4－43＝83.∵DF ∥AC ，∴DH AC ＝BD AB ，即DH 3＝834.解得DH ＝2.∴S 阴影＝S △BDH ＝12BD ·DH ＝12×83×2＝83.即Rt △ABC 与△DEF 重叠(阴影)部分的面积为83.【演练·巩固提升】8．2π 9.2 2 10.4－89π11．(1)证明：如图31，连接OD ，∵∠BCA ＝90°，∠B ＝30°，∴∠OAD ＝∠BAC ＝60°. ∵OD ＝OA ，∴△OAD 是等边三角形． ∴AD ＝OA ＝AC ，∠ODA ＝∠O ＝60°. ∴∠ADC ＝∠ACD ＝12∠OAD ＝30°.∴∠ODC ＝60°＋30°＝90°，即OD ⊥DC . ∵OD 为半径，∴CD 是⊙O 的切线．(2)解：∵AB ＝4，∠ACB ＝90°，∠B ＝30°， ∴AC ＝OA ＝OD ＝12AB ＝2.由勾股定理，得CD ＝OC 2－OD 2＝42－22＝2 3. ∴S 阴影＝S △ODC －S 扇形AOD＝12×2×2 3－60π×22360＝2 3－23π.图31 图3212．A 13.24π，36π或845π 14．解：(1)CD 与⊙O 相切，理由如下：如图32，连接AC .∵AC 为∠DAB 的平分线，∴∠DAC ＝∠BAC .∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠OCA .∴∠DAC ＝∠OCA .∴OC ∥AD .∵AD ⊥CD ，∴OC ⊥CD .∴CD 与⊙O 相切．(2)如图32，连接EB ，交OC 于点F .∵E 是AC 的中点，∴AE ＝EC .∴AE ＝EC .∴∠EAC ＝∠ECA .∵∠EAC ＝∠CAO ，∴∠ECA ＝∠CAO .∴EC ∥AO .由(1)知，AE ∥OC ，∴四边形AOCE 是平行四边形．∵AE ＝EC ，∴四边形AOCE 是菱形．由AB 为直径，得∠AEB ＝90°.∴EB ∥CD ，F 为EB 的中点．∴OF 为△ABE 的中位线．∴OF ＝12AE ＝12，即CF ＝DE ＝12. 在Rt △OBF 中，根据勾股定理，得EF ＝FB ＝DC ＝32. ∵E 是AC 的中点，∴AE ＝EC .∴AE ＝EC .∴弓形AE 与弓形EC 面积相等．则S 阴影＝S △DEC ＝12×12×32＝38. 15．(1)解：120°(2)证明：如图33，连接OP .在Rt △OAP 和Rt △OBP 中，⎩⎪⎨⎪⎧ OA ＝OB ，OP ＝OP .∴Rt △OAP ≌Rt △OBP (HL)．∴PA ＝PB .(3)解：∵Rt △OAP ≌Rt △OBP ，∴∠OPA ＝∠OPB ＝12∠APB ＝30°. 在Rt △OAP 中，OA ＝3.∴OP ＝6.∴由勾股定理，得AP ＝3 3.∴S △OPA ＝12×3×3 3＝9 32. ∴S 阴影＝2×9 32－120π×32360＝9 3－3π.图33 图3416．40 解析：如图34，连接AD ，HE ，则△ABO ，△CDP ，△EFN ，△HGM 均为全等的等腰直角三角形，四边形BCPO ，四边形GFNM 为全等的矩形．设正八边形的边长为a cm ，则OA ＝OB ＝22aAD ＝2a ＋a (cm)．∴S 矩形ADEH ＝S 矩形BCFG ＝a (2a ＋a )＝20(cm 2)，即a 2＋2a 2＝20(cm 2)．而(S △ABO ＋S △CDP ＋S △EFN ＋S △HGM )＋S矩形BCPO ＋S 矩形GFNM ＝a 2＋2×22a ·a ＝a 2＋2a 2＝20(cm 2)．故正八边形的面积为20＋20＝40(cm 2)．。
第五章图形与变换第1讲图形的轴对称、平移与旋转1．(2013年某某)下列图形中，不是轴对称图形的是( )A BC D2．(2014年某某)在下列交通标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )A B C D3．(2013年某某某某)如图5111，在6×6方格中，将图(1)中的图形N平移后的位置如图(2)，则图形N的平移方法中，正确的是( )A．向下移动1格 B．向上移动1格 C．向上移动2格 D．向下移动2格图5111图5112图51134．(2014年某某某某)如图5112，把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D.若∠A′DC＝90°，则∠A＝________.5．(2014年某某)如图5113，△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△AB′C′.若∠BAC ＝90°，AB＝AC＝2，则图中阴影部分的面积等于________．6．(2013年某某某某)在格纸上按以下要求作图，不写作法．(1)在图5114中作出“小旗子”向右平移6格后的图案；(2)在图5114中作出“小旗子”绕O点按逆时针方向旋转90°后的图案．图51147．(2013年某某某某)如图5115，在平面直角坐标系中，A(－2,2)，B(－3，－2)．(1)若点C与点A关于原点O对称，则点C的坐标为________；(2)将点A向右平移5个单位得到点D，则点D的坐标为________；(3)由点A，B，C，D组成的四边形ABCD内(不包括边界)任取一个横、纵坐标均为整数的点，求所取的点横、纵坐标之和恰好为零的概率．图51158．(2012年某某某某)如图5116，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点C与点A重合，折痕交AD于点E，交BC于点F，连接AF，CE.(1)求证：四边形AFCE为菱形；(2)设AE＝a，ED＝b，DC＝c.请写出一个a，b，c三者之间的数量关系式．图5116A级基础题1．(2013年某某呼和浩特)观察图5117所示的图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的有( )图5117A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．(2013年某某某某)将点A(3,2)沿x轴向左平移4个单位长度得到点A′，点A′关于y轴对称的点的坐标是( )A．(－3,2) B．(－1,2) C．(1,2) D．(1，－2)3．(2014年某某某某)如图5118，在△ABC中，∠CAB＝70°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′的度数是( )A．70° B．35° C．40° D．50°图5118图5119图5120 4．(2014年某某德阳)如图5119，边长为2的正三角形ABO的边OB在x轴上，将△ABO绕原点O逆时针旋转30°得到三角形OA1B1，则点A1的坐标为( ) A．(3，1) B．(3，－1) C．(1，－3) D．(2，－1)5．(2014年某某某某)将两个斜边长相等的三角形纸片如图5120①放置，其中∠ACB ＝∠CED＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°.把△DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1，如图5120②.连接D1B，则∠E1D1B的度数为( )A．10° B．20° C．7.5° D．15°6．(2012年某某某某)把一X正方形纸片按如图5121(1)(2)所示对折两次后，再按如图5122(3)所示挖去一个三角形小孔，则展开后的图形是( )图5121A B C D7．(2014年某某某某)如图5122，△A′B′C′是△ABC经过某种变换后得到的图形．如果△ABC中有一点P的坐标为(a,2)，那么变换后它的对应点Q的坐标为________．图5122图51238．(2013年某某)如图5123，在四边形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上，将△BMN 沿MN翻折，得△FMN.若MF∥AD，FN∥DC，则∠B＝________.9．(2013年某某某某)菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图5124，A(0,6)，D(4,0)，将菱形ABCD先向左平移5个单位长度，再向下平移8个单位长度，然后在坐标平面内绕点O旋转90°，则边AB中点的对应点的坐标为______________．图512410．(2013年某某某某)以图5125(1)(以O为圆心，半径为1的半圆)作为“基本图形”，分别经历如下变换，能得到图5125(2)的有____________．图5125①只要向右平移1个单位；②先以直线AB为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位；③先绕着点O旋转180°，再向右平移1个单位；④绕着OB的中点旋转180°即可．11．(2013年某某龙东)方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图5126.(1)将△ABC向上平移3个单位，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；(2)作出△A1B1C1关于y轴的对称图形△A2B2C2；(3)将△ABC绕点O顺时针旋转90°，请画出旋转后的△A3B3C3，求点B在旋转过程中所经过的路径长(结果保留π)．图5126B级中等题12．(2014年某某宿迁)如图5127，已知△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，∠BAD ＝∠BCE＝90°，点M为DE的中点．过点E作与AD平行的直线交射线AM于点N.(1)当A，B，C三点在同一直线上时[如图5127(1)]，求证：M为AN的中点；(2)将图5127(1)中△BCE绕点B旋转，当A，B，E三点在同一直线上时[如图5127(2)]，求证：△CAN为等腰直角三角形．(1) (2)图5127C级拔尖题13．(2013年某某六盘水)(1)观察发现．如图5128，若点A，B在直线m的同侧，在直线m上找一点P，使AP＋BP的值最小，做法如下：作点B关于直线m的对称点B′，连接AB′，与直线m的交点就是所求的点P.线段AB′的长度即为AP＋BP的最小值．图5128图5129如图5129，在等边三角形ABC中，AB＝2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP＋PE的值最小，做法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE 交AD于一点，则这就是所求的点P.故BP＋PE的最小值为______________．(2)实践运用．如图5130，已知⊙O的直径CD为2，AC的度数为60°，点B是AC的中点，在直径CD上作出点P，使BP＋AP的值最小，则BP＋AP的最小值为________________．图5130(3)拓展延伸．如图5131，点P是四边形ABCD内一点，分别在边AB，BC上作出点M，N，使PM＋PN 的值最小．(保留作图痕迹，不写作法)图5131第五章图形与变换第1讲图形的轴对称、平移与旋转【真题·南粤专练】1．C 2.C 3.D 4.55° 5.2－16．解：(1)(2)如图55.图55 图567．解：(1)(2，－2) (2)(3,2)(3)如图56，四边形ABCD内(不包括边界)任取一个横、纵坐标均为整数的点有15个．其中横、纵坐标之和恰好为零的有3个．所以所取的点横、纵坐标之和恰好为零的概率是315＝15.8．(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠AEF＝∠EFC.由折叠的性质，得∠AEF＝∠CEF，AE＝CE，AF＝CF.∴∠EFC＝∠CEF.∴CF＝CE.∴AF＝CF＝CE＝AE.∴四边形AFCE为菱形．(2)解：a，b，c三者之间的数量关系式为：a2＝b2＋c2.理由：由折叠的性质，得CE＝AE.∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝90°.∵CE＝AE＝a，ED＝b，DC＝c，在Rt△DCE中，CE2＝CD2＋DE2.∴a ，b ，c 三者之间的数量关系式为：a 2＝b 2＋c 2.【演练·巩固提升】5．D 解析：由题意可知，∠CD 1E 1＝∠D ＝30°，∠D 1CE 1＝∠DCE ＝90°－30°＝60°. ∵把△DCE 绕点C 顺时针旋转15°得到△D 1CE 1，∴∠BCE 1＝15°，∴∠D 1CB ＝60°－15°＝45°. 在△ACB 与△D 1BC 中，⎩⎪⎨⎪⎧ AB ＝CD 1，∠ABC ＝∠D 1CB ＝45°，CB ＝BC .∴△ACB ≌△D 1BC (SAS)．∴∠CD 1B ＝∠A ＝45°.∴∠E 1D 1B ＝∠CD 1B －∠CD 1E 1＝45°－30°＝15°.故选D.6．C 7.(a ＋5，－2) 8.95°9．(－5,7)或(5，－7) 10.②③④11．解：(1)图略． (2)图略． (3)图略．点B 在旋转过程中所经过的路径长为： 90π·17180＝172π. 12．证明：(1)∵点M 为DE 的中点，∴DM ＝ME .∵AD ∥EN ，∴∠ADM ＝∠NEM .又∵∠DMA ＝∠EMN ，∴△DMA ≌△EMN .∴AM ＝MN ，即M 为AN 的中点．(2)由(1)中△DMA ≌△EMN 可知，DA ＝EN .又∵DA ＝AB ，∴AB ＝NE .∵∠ABC ＝∠NEC ＝135°，BC ＝CE ，∴△ABC ≌△NEC .∴AC ＝，∠ACB ＝∠NCE .∵∠BCE ＝∠B ＋∠NCE ＝90°，∴∠B ＋∠ACB ＝90°，∴∠A ＝90°.∴△CAN 为等腰直角三角形．13．解：(1) 3(2) 2 解析：如图57，作B 点关于CD 的对称点E ，连接AE ，交CD 于点P .连接OA ，OB，OE，PA，PB，∵AC的度数为60°，且点B是AC的中点，∴∠BOC＝∠AOB＝30°.∵点B与点E关于CD对称，∴∠COE＝∠BOC＝30°.∴∠AOE＝3×30°＝90°.∵⊙O的直径CD为2，∴OA＝OE△AOE中，AE＝OA2＋OE2＝12＋12＝ 2.∴BP＋AP＝EP＋AP＝AE＝ 2.(3)如图58.图57 图58。
第1讲角、相交线和平行线1．(2013年某某某某)如图418，两平行直线a，b被直线l所截，且∠1＝60°，则∠2的度数为( )A．30° B．45° C．60° D．120°图418图4192．(2014年某某某某)如图419，能判定EB∥AC的条件是( )A．∠C＝∠ABE B．∠A＝∠EBD C．∠C＝∠ABC D．∠A＝∠ABE3．(2013年某某某某)命题“对顶角相等”的条件是__________________．4．(2013年某某某某)点P在线段AB的垂直平分线上，PA＝7，则PB＝__________.5．(2013年某某某某)若∠α＝42°，则∠α的余角的度数是____________．6．(2012年某某某某)已知∠ABC＝30°，BD是∠ABC的平分线，则∠ABD＝__________.7．(2014年某某某某)已知命题：“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等．”写出它的逆命题：________________________________________，该逆命题是________命题(填“真”或“假”)．8．(2014年某某某某)已知a，b，c为平面内三条不同直线，若a⊥b，c⊥b，则a与c 的位置关系是________．A级基础题1．(2013年某某)已知∠A＝65°，则∠A的补角等于( )A．125° B．105° C．115° D．95°2．如图4110，三条直线相交于一点O，其中AB⊥CO，则∠1与∠2( )A．互为补角 B．互为余角 C．相等 D．互为对顶角图4110图4111 图4112图41133．(2013年某某某某)如图4111，点O在直线AB上，射线OC平分∠DOB.若∠COB＝35°，则∠AOD＝( )A．35° B．70° C．110° D．145°4. (2013年某某永州)如图4112，下列条件中能判断直线l1∥l2的是( )A．∠1＝∠2 B．∠1＝∠5 C．∠1＋∠3＝180° D．∠3＝∠55．如图4113，已知直线a∥b，∠1＝40°，∠2＝60°，则∠3＝( )A．100° B．60° C．40° D．20°6．(2012年某某内江)如图4114，a∥b，∠1＝65°，∠2＝140°，则∠3＝( )图4114A．100° B．105° C．110° D．115°7．下列说法正确的是( )A．同位角相等 B．在同一平面内，若a⊥b，b⊥c，则a⊥cC．相等的角是对顶角 D．在同一平面内，若a∥b，b∥c，则a∥c8．(2013年某某某某)如图4115，若∠1＝40°，∠2＝40°，∠3＝116°30′，则∠4＝________.图4115图4116图4117图41189．(2013年某某)如图4116，AB∥CD，BC∥DE.若∠B＝50°，则∠D的度数是__________．10．(2012年某某某某)如图4117，AB∥CD，AD与BC交于点E，EF是∠BED的平分线．若∠1＝30°，∠2＝40°，则∠BEF＝________.11．如图4118，已知∠1＝∠2，∠B＝40°，则∠3＝________.12．(2013年某某某某)如图4119，已知∠ACD＝70°，∠ACB＝60°，∠ABC＝50°.求证：AB∥CD.图411913．证明角平分线的性质定理的逆定理：角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上．B级中等题14．(2013年某某某某)直线上有2013个点，我们进行如下操作：在每相邻两点之间插入1个点，经过3次这样的操作后，直线上有__________个点．15．如图4120，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为F.(1)求证：CD与EF平行；(2)如果∠1＝∠2，且∠3＝115°，求∠ACB的度数．图4120C级拔尖题16．已知O为直线AB上的一点，OC⊥OE于点O，射线OF平分∠AOE.(1)如图4121(1)，判断∠COF和∠BOE之间的数量关系，并说明理由；(2)若将∠COE绕点O旋转至图4121(2)的位置，试问(1)中∠COF和∠BOE之间的数量关系是否发生变化？若不发生变化，请你加以证明．若发生变化，请你说明理由；(3)若将∠COE绕点O旋转至图4121(3)的位置，继续探究∠COF和∠BOE之间的数量关系，并加以证明．(1) (2) (3)图4121第四章 图形的认识第1讲 角、相交线和平行线【真题·南粤专练】1．C 2.D 3.两个角是对顶角 4.7 5.48° 6.15° 7．如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等；假8．平行【演练·巩固提升】8．63°30′ 9.130° 10.35° 11.40°12．证明：∵∠ACD ＝70°，∠ACB ＝60°，∴∠BCD ＝130°.∵∠ABC ＝50°，∴∠BCD ＋∠ABC ＝180°.∴AB ∥CD .13．证明：已知如图10，点P 在∠AOB 内，PD ＝PE ，PD ⊥AO ，PE ⊥OB .求证：点P 在∠AOB 的平分线上．图10证明：∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，∴∠PDO ＝∠PEO ＝90°.在Rt △PDO 和Rt △PEO 中，⎩⎪⎨⎪⎧ PD ＝PE ，OP ＝OP ，∴△PDO ≌△PEO (HL)．∴∠1＝∠2，即点P 在∠AOB 的平分线上．14．16 097 解析：从最简单的入手，当直线上只有2个点时，按要求可以插入1个点；当直线上只有3个点时，按要求可以插入2个点；当直线上只有4个点时，按要求可以插入3个点，…，直线上有2013个点，按要求操作后：(1)1次操作后共有点：2013＋2012＝4025(个)；(2)2次操作后共有点：4025＋4024＝8049(个)；(3)3次操作后共有点：8049＋8048＝16 097(个)．15．(1)证明：∵CD ⊥AB ，∴∠CDB ＝90°.∵EF ⊥AB ，∴∠EFB ＝90°.∴∠CDB ＝∠EFB .∴CD ∥EF .(2)解：∵CD ∥EF ，∴∠2＝∠BCD .∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠BCD .∴DG ∥BC .∴∠ACB ＝∠3＝115°.16．解：(1)∠BOE ＝2∠COF .理由如下：∵∠COE ＝90°，∴∠BOE ＝90°－∠AOC .∵∠COF ＝90°＋∠AOC 2－∠AOC ＝90°－∠AOC 2， ∴∠BOE ＝2∠COF .(2)不发生变化．证明如下：∵∠COE ＝90°，∴∠COF ＝90°－∠EOF .∵∠BOE ＝180°－2∠EOF ，∴∠BOE ＝2∠COF .(3)∠BOE ＋2∠COF ＝360°.证明如下：∵∠COE ＝90°，∴∠COF ＝90°＋∠EOF .∵∠BOE ＝90°＋∠BOC ＝90°＋90°－2∠EOF ＝180°－2∠EOF ，∴∠BOE ＋2∠COF ＝360°.。
![最新2015年《南方新中考》数学 第一部分 第一章 第3讲 第2课时 因式分解[配套课件]](https://uimg.taocdn.com/89cc302d5901020207409c1b.webp)
第1讲抽样与数据分析1．(2014年某某某某)下列调查中，适合用普查方式的是( )A．调查某某市市民的吸烟情况B．调查某某市电视台某节目的收视率C．调查某某市市民家庭日常生活支出情况D．调查某某市某校某班学生对“文明某某”的知晓率2．(2013年某某某某)数字1,2,5,3,5,3,3的中位数是( )A．1 B．2 C．3 D．53．(2013年某某某某)小李和小林练习射箭，射完10箭后两人的成绩如图616，通常新手的成绩不太稳定，根据图中的信息，估计这两人中的新手是__________．图6164．(2014年某某某某)甲、乙两组数据(单位：cm)如下表：甲组173172174174173173172173172174 乙组173172174171173175175173171173众数平均数方差甲组乙组(2)5．(2014年某某某某)2014年3月31日是全国中小学生安全教育日，某校全体学生参加了“珍爱生命，预防溺水”专题活动，学习了游泳“五不准”，为了解学生对“五不准”的知晓情况，随机抽取了200名学生做调查，请根据下面两个不完整的统计图(如图617)解答问题：(1)求在这次调查中，“能答5条”人数的百分比和“仅能答3条”的人数；(2)若该校共有2000名学生，估计该校能答3条以上(含3条)“五不准”的人数．对“五不准”知晓情况的统计图对“五不准”知晓情况的统计图图6176.(2014年某某某某)关于体育选考项目统计表，统计图如图618：项目频数频率A 80bB cC 20D 40合计 a 1图618(1)求出表中a，b，c的值，并将条形统计图补充完整．表中a＝________，b＝________，c＝__________.(2)如果有3万人参加体育选考，会有多少人选择篮球？7．(2013年某某某某)2013年3月28日是全国中小学生安全教育日，某学校为加强学生的安全意识，组织了全校1500名学生参加安全知识竞赛，从中抽取了部分学生成绩(得分取正整数，满分为100分)进行统计．请根据尚未完成的频率分布表和频数分布直方图(如图619)，解答下列问题：频率分布表分数段频数频率164050m24n图619(1)这次抽取了__________名学生的竞赛成绩进行统计，其中：m＝__________，n＝________；(2)补全频数分布直方图；(3)若成绩在70分以下(含70分)的学生为安全意识不强，有待进一步加强安全教育，则该校安全意识不强的学生约有多少人？A级基础题1．(2013年某某某某)合作交流是学习教学的重要方式之一，某校九年级每个班合作学习小组的个数分别是：8,7,7,8,9,7，这组数据的众数是( )A．7 B．7.5 C．8 D．92．(2014年某某内江)下列调查：①调査本班同学的视力；②调查一批节能灯管的使用寿命；③为保证“神舟9号”的成功发射，对其零部件进行检查；④对乘坐某班次客车的乘客进行安检．其中适合采用抽样调查的是( )A．① B．② C．③ D．④3．(2013年某某某某)气候宜人的省级度假胜地吴川吉兆，测得一至五月份的平均气温分别为17,17,20,22,24(单位：℃)，这组数据的中位数是( )A．24 B．22 C．20 D．174．(2014年某某维吾尔族自治区)某学校教研组对八年级360名学生就“分组合作学习”方式的支持程度进行了调查，随机抽取了若干名学生进行调查，并制作统计图(图6110)．据此统计图估计该校八年级支持“分组合作学习”方式的学生数约为( )(含非常喜欢和喜欢两种情况)( )A．216人 B．252人 C．288人 D．324人图6110图61115．(2014年某某某某)为了解某一路口某一时段的汽车流量，小明同学10天中在同一时段统计通过该路口的汽车数量(单位：辆)，将统计结果绘制成如图6111所示的折线统计图：由此估计一个月(30天)该时段通过该路口的汽车数量超过200辆的天数为( ) A．9天 B．10天 C．12天 D．15天6．(2013年某某某某)某校体育组为了解学生喜欢的体育项目，从全校同学中随机抽取了若干名同学进行调查，每位同学从乒乓球、篮球、羽毛球、排球、跳绳中选择一项最喜欢的项目，并将调查的结果绘制成如图6112所示的两幅统计图．根据统计图，解答下列问题：(1)这次被调查的共有多少名同学？并补全条形统计图；(2)若全校有1200名同学，估计全校最喜欢篮球和排球的共有多少名同学？图6112B级中等题7．(2012年某某某某)某校学生来自甲、乙、丙三个地区，其人数比为2∶3∶5，如图6113所示的扇形图表示上述分布情况．已知来自甲地区的为180人，则下列说法不正确的是( )图6113A．扇形甲的圆心角是72°B．学生的总人数是900人C．丙地区的人数比乙地区的人数多180人D．甲地区的人数比丙地区的人数少180人8．(2013年某某某某)青少年“心理健康”问题越来越引起社会的关注，某中学为了解学校600名学生的心理健康状况，举行了一次“心理健康”知识测试，并随机抽取了部分学生的成绩(得分取正整数，满分为100分)作为样本，绘制了下面未完成的频率分布表和频率分布直方图(如图6114)．请回答下列问题：分组频数频率4141610合计图6114(1)填写频率分布表中的空格，并补全频率分布直方图；(2)若成绩在70分以上(不含70分)为心理健康状况良好，同时，若心理健康状况良好的人数占总人数的70%以上，就表示该校学生的心理健康状况正常，否则就需要加强心理辅导．请根据上述数据分析该校学生是否需要加强心理辅导，并说明理由．9．(2013年某某威海)某单位招聘员工，采取笔试与面试相结合的方式进行，两项成绩的原始分均为100分．前6名选手的得分如下表：序号项目12345 6笔试成绩/分859284908480面试成绩/分908886908085综合成绩的满分仍为100分)．(1)这6名选手笔试成绩的中位数是________，众数是________；(2)现得知1号选手的综合成绩为88分，求笔试成绩和面试成绩各占的百分比；(3)求出其余5名选手的综合成绩，并以综合成绩排序确定前2名人选．C级拔尖题10．(2014年某某某某)某教研机构为了解在校初中生阅读数学教科书的现状，随机抽取某校部分初中学生进行了调查．依据相关数据绘制成以下不完整的统计图表(如图6115)，请根据图表中的信息解答下列问题：某校初中生阅读数学教科书情况统计图表图6115类别人数/人占总人数比例重视 a一般57不重视 b c说不清楚9(1)求样本容量及表格中a，b，c的值，并补全统计图；(2)若该校共有初中生2300名，请估计该校“不重视阅读数学教科书”的初中生人数；(3)①根据上面的统计结果，谈谈你对该校初中生阅读数学教科书的现状的看法及建议；②如果要了解全省初中生阅读数学教科书的情况，你认为应该如何进行抽样？第六章统计与概率第1讲抽样与数据分析【真题·南粤专练】4．解：(1)填表：众数平均数方差甲组173173乙组173173(2)因为两组数据的平均数相同，且甲组数据的方差小，所以甲组数据较稳定．5．解：(1)40÷200＝20%,200×40%＝80(人)，∴“能答5条”人数的百分比是20%，“仅能答3条”的人数是80人.(2)2000×(1－5%－10%)＝1700(人)，∴该校能答3条以上(含3条)“五不准”的人数有1700人.6．解：(1)a＝20÷0.1＝200, c＝200×0.3＝60, b＝80÷200＝0.4，故答案为：200,0.4,60.补全条形统计图如图73.图73(2)30 000×0.4＝12 000(人)．答：3万人参加体育选考，会有12 000人选择篮球．(2)如图74.图74(3)1500×(0.2＋0.08)＝420(人)． 【演练·巩固提升】6．解：(1)30÷15%＝200(人)． 答：被调查的共有200名学生． 补全条形统计图如图75.图75(2)1200×40＋12200×100%＝312(人)．答：全校有1200名同学，估计全校最喜欢篮球和排球的共有312名同学． 7．D8．解：(1)频率分布表如下：分组频数 频率 4 14 16 610 合计50补全条形统计图如图图76(2) 该校学生需要加强心理辅导，理由：根据题意，得70分以上的人数为16＋6＋10＝32(人)，∵心理健康状况良好的人数占总人数的百分比为3250×100%＝64%＜70%， ∴该校学生需要加强心理辅导．9．解：(1)84.5 84(2)设笔试成绩和面试成绩各占的百分比分别是x ，y ，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，85x ＋90y ＝88.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0.4，y ＝0.6.笔试成绩和面试成绩各占的百分比分别是40%,60%.(3)2号选手的综合成绩是92×0.4＋88×0.6＝89.6(分)；3号选手的综合成绩是84×0.4＋86×0.6＝85.2(分)；4号选手的综合成绩是90×0.4＋90×0.6＝90(分)；5号选手的综合成绩是84×0.4＋80×0.6＝81.6(分)；6号选手的综合成绩是80×0.4＋85×0.6＝83(分)．则综合成绩排序前两名人选是4号和2号．10．解：(1)由统计表可知，样本容量为57÷0.38＝150(人)．∴a ＝150×0.3＝45，c ＝1－0.3－0.38－0.06＝0.26，b ＝150×0.26＝39.补全统计图如图77.图77(2)2300×0.26＝598(人)，∴可估计该校“不重视阅读数学教科书”的初中生人数约为598人．(3)①从该校初中生重视阅读数学教科书的人数比例来看，该校初中生对阅读数学教科书的重视程度不够，建议数学教师在课内外加强引导学生阅读数学教科书，逐步提高学生数学阅读能力，重视数学教材在数学学习过程中的作用；②考虑到样本具有的随机性、代表性和广泛性，要了解全省初中生阅读数学教科书的情况，抽样时要选择城市、乡镇不同层次的学校．。
第2讲一次函数1．(2013年某某某某)一次函数y＝(m＋2)x＋1，若y随x的增大而增大，则m的取值X围是____________．2．(2013年某某某某)已知函数y＝3x的图象经过点A(－1，y1)，B(－2，y2)，则y1______y2(填“＞”“＜”或“＝”)．3．(2014年某某某某)已知函数y＝ax＋b经过点(1,3)，(0，－2)，求a－b＝( ) A．－1 B．－3 C．3 D．74．(2014年某某某某)已知正比例函数y＝kx(k<0)的图象上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2，则下列不等式中恒成立的是( )A．y1＋y2>0 B．y1＋y2<0 C．y1－y2>0 D．y1－y2<05．(2013年某某某某)周末，小明骑自行车从家里出发到野外郊游．从家出发1小时后到达南亚所(景点)，游玩一段时间后按原速前往湖光岩．小明离家1小时50分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往湖光岩，如图325是他们离家的路程y(单位：千米)与小明离家时间x(单位：时)的函数图象．(1)求小明骑车的速度和在南亚所游玩的时间；(2)若妈妈在出发后25分钟时，刚好在湖光岩门口追上小明，求妈妈驾车的速度及CD 所在直线的函数解析式．图325A级基础题1．(2013年某某某某)下列函数中，y随x的增大而减小的函数是( )A ．y ＝2x ＋8B ．y ＝－2＋4xC ．y ＝－2x ＋8D ．y ＝4x2．(2014年某某)若点A (－2，m )在正比例函数y ＝－12x 的图象上，则m 的值是( )A.14 B ．－14C ．1D ．－1 3．一次函数y ＝2x ＋3的图象交y 轴于点A ，则点A 的坐标为( ) A ．(0,3) B ．(3,0) C ．(1,5) D ．(－1.5,0)4．(2014年某某某某)“黄金1号”玉米种子的价格为5元/千克，如果一次购买种子2千克以上，超过2千克部分的种子的价格打6折，设购买种子数量为x 千克，付款金额为y 元，则y 与x 的函数关系的图象大致是( )A B C D5．(2013年某某某某)已知一次函数y ＝x －2，当函数值y ＞0时，自变量x 的取值X 围在数轴上表示正确的是( )A B C D6．(2013年某某某某育才二中一模)若一次函数y ＝kx ＋b 的函数值y 随x 的增大而减小，且图象与y 轴的负半轴相交，那么对k 和b 的符号判断正确的是( )A ．k >0，b >0B ．k >0，b <0C ．k <0，b >0D ．k <0，b <07．(2014年某某市)如图326是反比例函数y ＝kx(k 为常数，k ≠0)的图象，则一次函数y ＝kx －k 的图象大致是( )图326A B C D8．(2014年某某某某)已知一次函数y＝(1－m)x＋m－2，当m________时，y随x的增大而增大．9．(2014年某某模拟)已知一次函数y＝kx－4，当x＝2时，y＝－3.(1)求一次函数的解析式；(2)将该函数的图象向上平移6个单位，求平移后的图象与x轴交点的坐标．10．(2013年某某某某)某市出租车计费方法如图327，x(单位：km)表示行驶里程，y(单位：元)表示车费，请根据图象回答下面的问题：(1)出租车的起步价是多少元？当x＞3时，求y关于x的函数关系式；(2)若某乘客有一次乘出租车的车费为32元，求这位乘客乘车的里程．图327B级中等题11．(2014年某某某某)一次越野跑中，当小明跑了1600米时，小刚跑了1400米，小明、小刚在此后所跑的路程y(单位：米)与时间t(单位：秒)之间的函数关系如图328，则这次越野跑的全程为________米．图328图32912．(2013年某某某某)A，B两点在一次函数图象上的位置如图329，两点的坐标分别为A(x＋a，y＋b)，B(x，y)，下列结论正确的是( )A．a＞0 B．a＜0 C．b＝0 D．ab＜013．(2013年某某某某)为了响应国家节能减排的号召，鼓励市民节约用电，某市从2012年7月1日起，居民用电实行“一户一表”的“阶梯电价”．分三个档次收费，第一档是用电量不超过180千瓦时实行“基本电价”，第二、三档实行“提高电价”，具体收费情况如图3210所示的折线图，请根据图象回答下列问题；(1)当用电量是180千瓦时，电费是__________元；(2)第二档的用电量X围是__________千瓦时；(3)“基本电价”是__________元/千瓦时；(4)小明家8月份的电费是328.5元，这个月他家用电多少千瓦时？图3210C级拔尖题14．(2014年某某某某君里模拟)若点(a，b)在一次函数y＝2x－3图象上，则代数式3b －6a＋1的值是______．15．(2013年某某某某)为了节约资源，科学指导居民改善居住条件，小王向房管部门提出了一个购买商品房的政策性方案.(1)若某三口之家欲购买120平方米的商品房，求其应缴纳的房款；(2)设该家庭购买商品房的人均面积为x 平方米，缴纳房款y 万元，请求出y 关于x 的函数关系式；(3)若该家庭购买商品房的人均面积为50平方米，缴纳房款为y 万元，且57＜y ≤60 时，求m 的取值X 围．第2讲 一次函数【真题·南粤专练】 1．m5．解：(1)由图象知，小明1小时骑车20千米，所以小明骑车的速度为：201＝20 (千米/时)．图象中线段AB 表明小明游玩的时间段，所以小明在南亚所游玩的时间为2－1＝1(时)．(2)由题意和图象，得小明从南亚所出发到湖光岩门口所用的时间为：15060＋2560－2＝14(时)，所以从南亚所出发到湖光岩门口的路程为20×14＝5(千米)．于是从家到湖光岩门口的路程为：20＋5＝25(千米)．故妈妈驾车的速度为25÷2560＝60(千米/时)．设CD 所在直线的函数解析式为y ＝kx ＋b ，由题意知，点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫94，25，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫116，0，则⎩⎪⎨⎪⎧94k ＋b ＝25，116k ＋b ＝0.解得 ⎩⎪⎨⎪⎧k ＝60，b ＝－110.则CD 所在直线的函数解析式为y ＝60x －110. 【演练·巩固提升】1．C 2.C 3.A 4.B 5.B 6.D 7.B 8.<1 9．解：(1)由已知，得－3＝2k －4，解得k ＝12.∴一次函数的解析式为y ＝12x －4.(2)将直线y ＝12x －4向上平移6个单位后得到的直线是y ＝12x ＋2.∵当y ＝0时，x ＝－4，∴平移后的图象与x 轴交点的坐标是(－4,0)． 10．解：(1)由图象，得出租车的起步价是8元． 设当x ＞3时，y 与x 的函数关系式为y ＝kx ＋b ，由函数图象，得⎩⎪⎨⎪⎧8＝3k ＋b ，12＝5k ＋b .解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝2.故y 与x 的函数关系式为y ＝2x ＋2. (2)当y ＝32时，32＝2x ＋2，x ＝15. 答：这位乘客乘车的里程是15 km.11．2200 解析：根据图象分别设两函数解析式为y 1＝k 1x ＋1400，y 2＝k 2x ＋1600.再由图知，当x ＝100时，y 1＝y 2，当x 1＝200，x 2＝300时，y 1＝y 2.于是，可得到⎩⎪⎨⎪⎧100k 1＋1400＝100 k 2＋1600，①200k 1＋1400＝300 k 2＋1600.②从而求出⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝4，k 2＝2，即得到两函数解析式为y 1＝4x ＋1400，y 2＝2x ＋1600.最后，把x ＝200代入y 1＝4x ＋1400或x ＝300代入y 2＝2x ＋1600得到答案．12．B13．解：(1)108 (2)180＜x(4)由图可知，小明家的用电量在450～540千瓦时之间， 故设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b ，由图象，得⎩⎪⎨⎪⎧364.5＝540k ＋b ，283.5＝450k ＋b .解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝0.9，b ＝－121.5.∴yx －121.5.当y ＝328.5时，x ＝500. 答：这个月他家用电500千瓦时．14．－8 解析：把(a ，b )代入函数式中，即b ＝2a －3，则b －2a ＝－3.∴3b －6a ＋1＝3(b －2a )＋1＝－8.15．解：(1)由题意，得三口之家的人均住房面积为：1203＝40(平方米)， 三口之家应缴购房款为：0.3×3×30＋0.5×3×10＝42(万元)． (2)由题意，得①当0≤x ≤30时，y ＝0.3×3xx ； ②当30＜x ≤m 时，y ＝0.3×3×30＋0.5×3×(xx －18；③当x ＞m 时，y ＝0.3×3×30＋0.5×3(m －30)＋0.7×3×(x －mx －m －18. ∴y ＝错误! (3)由题意，得①当50≤m ≤60时，y ＝1.5×50－18＝57(舍)； ②当45≤m ＜50时，y ＝2.1×50－m －18＝87－m . ∵57＜y ≤60，∴57＜87－m ≤60.∴45≤m ＜50. 综上所述，得45≤m ＜50.。
第2讲三角形第1课时三角形1．(2014年某某某某)如图429，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，∠B＝∠DEF，添加图429下列哪一个条件无法证明△ABC≌△DEF( )A．AC∥DF B．∠A＝∠D C．AC＝DF D．∠ACB＝∠F2．(2014年某某)如图4210，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点．若BC＝6，则DE＝________ .图4210图42113．(2014年某某某某)如图4211，把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D.若∠A′DC＝90°，则∠A＝________ .4．(2013年某某某某)如图4212，已知EC＝AC，∠BCE＝∠DCA，∠A＝∠E，求证：BC＝DC.图42125．(2013年某某某某)课本指出：公认的真命题称为公理，除了公理外，其他的真命题(如推论、定理等)的正确性都需要通过推理的方法证实．(1)叙述三角形全等的判定方法中的推论AAS；(2)证明推论AAS.[要求：叙述推论用文字表达；用图形(如图4213)中的符号表达已知、求证，证明的各步骤要注明依据]图42136．(2013年某某某某)如图4214，已知在矩形ABCD中，F是BC上的一点，且AF＝BC , DE⊥AF，垂足是E，连接DF.求证：(1)△ABF≌△DEA；(2)DF是∠EDC的平分线．图4214A级基础题1．(2013年某某某某)如图4215，∠1＝100°，∠C＝70°，则∠A的大小是( ) A．10° B．20° C．30° D．80°图4215图4216图4217图4218 2．(2013年某某某某)下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是( )A．1,2,6 B．2,2,4 C．1,2,3 D．2,3,43．(2012年某某某某)如图4216，将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C.若∠A＝40°，∠B′＝110°，则∠BCA′的度数是( )A．110° B．80° C．40° D．30°4．(2014年某某某某)如图4217，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，以B为圆心，BC的长为半径画圆弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD＝( )A．30° B．45° C．60° D．90°5．王师傅用四根木条钉成一个四边形木架，如图4218.要使这个木架不变形，他至少还要再钉上几根木条( )A．0根 B．1根 C．2根 D．3根6．(2012年某某某某)不一定在三角形内部的线段是( )A．三角形的角平分线 B．三角形的中线 C．三角形的高 D．三角形的中位线7．(2013年某某某某)如图4219，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，还需要添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组是( )A．BC＝EC，∠B＝∠E B．BC＝EC, AC＝DCC．BC＝DC，∠A＝∠D D．∠B＝∠E，∠A＝∠D图4219图4220图4221 8．(2012年某某某某)用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图4220，则能说明∠AOC＝∠BOC的依据是( )A．SSS B．ASAC．AAS D．角平分线上的点到角两边的距离相等9．(2014年某某)一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为( )A．17 B．15 C．13 D．13或1710．如图4221，折叠直角三角形纸片的直角，使点C落在AB上的点E处．已知BC ＝12，∠B＝30°，则DE的长是( )A．6 B．4 C．3 D．211.(2013年某某某某)将一副三角板拼成如图4222所示的图形，过点C作CF平分∠DCE，交DE于点F.(1)求证：CF∥AB；(2)求∠DFC的度数．图422212．(2013年某某某某)如图4223，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE＝BD，连接AE，DE，DC.(1)求证：△ABE≌△CBD；(2)若∠CAE＝30°，求∠BDC的度数．图4223B级中等题13．(2012年某某)如图4224，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E，F 分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝30°，则∠PFE的度数是( )A．15° B．20° C．25° D．30°图4224图422514．(2013年某某某某)如图4225，D，E分别是△ABC边AB，BC上的点，AD＝2BD，BE＝CE，设△ADC的面积为S1，△ACE的面积为S2.若S△ABC＝6，则S1－S2的值为________．C级拔尖题15．(2014年某某某某)在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线MN过点A，且MN∥BC，以点B为一锐角顶点作Rt△BDE，∠BDE＝90°，且点D(不与点A重合)在直线MN上，如图4226(1)，DE与AC交于点P，易证：BD＝DP.(无需写证明过程)(1)在图4226(2)中，DE与CA的延长线交于点P，BD＝DP是否成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由；(2)在图4226(3)中，DE与AC的延长线交于点P，BD与DP是否相等？请直接写出你的结论，无需证明．图4226第2课时等腰三角形与直角三角形1．(2012年某某某某)等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为( )A．16 B．18 C．20 D．16或202．(2012年某某某某)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点C到AB的距离是( )A.365B.1225C.94D.3 343．(2012年某某某某)如图4234，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3……在射线ON上，点B1，B2，B3……在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4……均为等边三角形．若OA1＝1，则△A6B6A7的边长为( )A．6 B．12 C．32 D．64图4234图4235图42364．(2014年某某某某)如图4235，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AC＝6，BC＝8，CD＝________.5．(2013年某某某某)如图4236，所有正三角形的一边都平行于x轴，一顶点在y 轴上，从内到外，它们的边长依次为2,4,6,8……顶点依次用A1，A2，A3，A4……来表示，其中A1A2与x轴，底边A1A2与A4A5，A4A5与A7A8……均相距一个单位，则顶点A3的坐标是__________，A92的坐标是____________．6．(2012年某某某某)如图4237，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于点O，AC＝BD.求证：(1)BC＝AD；(2)△OAB是等腰三角形．图42377．(2013年某某某某)用如图4238所示的两个直角三角形(部分边长及角的度数在图中已标出)，完成以下两个探究问题：(1) (2)图4238(1) (2)图4239探究一：将以上两个三角形按图4239(1)拼接(BC和ED重合)，在BC边上有一动点P.(1)当点P运动到∠CFB的平分线上时，连接AP，求线段AP的长；(2)当点P在运动的过程中出现PA＝FC时，求∠PAB的度数．探究二：如图4239(2)，将△DEF的顶点D放在△ABC的BC边上的中点处，并以点D 为旋转中心旋转△DEF，使△DEF的两直角边与△ABC的两直角边分别交于M，N两点，连接MN，在旋转△DEF的过程中，△AMN的周长是否存在最小值？若存在，求出它的最小值；若不存在，请说明理由．A级基础题1．(2013年某某)等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为( ) A．12 B．15 C．12或15 D．182．(2013年某某某某)如图4240，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是AC边上的高，则∠DBC的度数是( )A．18° B．24° C．30° D．36°图4240图4241图4242图4243图4244 3．(2014年某某某某)如图4241，在△ABC中，AB＝AC，且D为BC上一点，CD＝AD，AB＝BD，则∠B的度数为( )A．30° B．36° C．40° D．45°4．(2013年某某某某)如图4242，AB∥CD，点E在BC上，且CD＝CE，∠D＝74°，则∠B的度数为( )A．68° B．32° C．22° D．16°5．如图4243，等腰△ABC的底边BC＝16，底边上的高AD＝6，则腰AB的长为________．6．(2013年某某某某)如图4244，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线DE 交AC于点E，交BC的延长线于点F.若∠F＝30°，DE＝1，则BE的长是________．7．(2012年某某)如图4245，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以点A 为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，则BD＝________.图4245图4246图42478．如图4246，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点．若CD＝5 cm，则EF＝________ cm.9．(2013年某某某某)如图4247所示的是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别为2,5,1,2，则最大的正方形E的面积是________．10．证明等腰三角形的性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线相互重合．B级中等题11．(2013年某某某某)在如图4248所示的钢架中，焊上等长的13根钢条来加固．若AP1＝P1P2＝P2P3＝…＝P13P14＝P14A，则∠A的度数是__________．图4248图424912．(2013年某某襄阳)在一X直角三角形纸片中，分别沿两直角边上一点与斜边中点的连线剪去两个三角形，得到如图4249所示的直角梯形，则原直角三角形纸片的斜边长是______________．13．(2013年某某某某)如图4250，在△ABC中，AB＝BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD＝45°，AD与BE交于点F，连接CF.(1)求证：BF＝2AE;(2)若CD＝2，求AD的长．图4250C级拔尖题14．(2013年某某)某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：[操作发现]在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的外侧作等腰直角三角形，如图4251(1)，其中DF ⊥AB 于点F ，EG ⊥AC 于点G ，M 是BC 的中点，连接MD 和ME ，则下列结论：①AF ＝AG ＝12AB ；②MD ＝ME ；③整个图形是轴对称图形；④∠DAB ＝∠DMB .其中正确的是____________(填序号即可)．[数学思考]在任意△ABC 中，分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的外侧作等腰直角三角形，如图4251(2)，M 是BC 的中点，连接MD 和ME ，则MD 和ME 具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程．[类比探索]在任意△ABC 中，仍分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的内侧作等腰直角三角形，如图4251(3)，M 是BC 的中点，连接MD 和ME ，试判断△MED 的形状．答：____________________.(1) (2) (3)图4251第2讲 三角形 第1课时 三角形【真题·南粤专练】 1．C 2.3 3.55° 4．证明：∵∠BCE ＝∠DCA ， ∴∠BCE ＋∠ACE ＝∠DCA ＋∠ACE ， 即∠BCA ＝∠DCE . ∵AC ＝EC ，∠A ＝∠E ，∴△BCA ≌△DCE (ASA)．∴BC ＝DC .5．解：(1)两个角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等．(2)已知：在△ABC 和△DEF 中，∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E ，BC ＝EF .求证：△ABC ≌△DEF .证明：∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，∠D ＋∠E ＋∠F ＝180°(三角形内角和定理)， 又∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E (已知)，∴∠C ＝∠F (等式的性质)．在△ABC 和△DEF 中，∵∠B ＝∠E (已知)，BC ＝EF (已知)，∠C ＝∠F (已证)，∴△ABC ≌△DEF (ASA)．6．证明：(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝90°，AD ＝BC ，AD ∥BC .∴∠DAE ＝∠AFB .∵DE ⊥AF, ∴∠DEA ＝∠B ＝90°.∵AF ＝BC ，∴AF ＝AD .∴△ABF ≌△DEA .(2)证法一，由(1)知，△ABF ≌△DEA .∴DE ＝AB .∵四边形ABCD 是矩形，∴∠C ＝90°，DC ＝AB .∴DC ＝DE .∵∠DEA ＝90°，∴∠C ＝∠DEF ＝90°.∵DF ＝DF ，∴△DCF ≌△DEF (HL)．∴∠EDF ＝∠CDF .∴DF 是∠EDC 的平分线．证法二，由(1)知，△ABF ≌△DEA .∴BF ＝EA .∵AF ＝BC ，∴EF ＝CF .∵∠DEA ＝90°，∴∠C ＝∠DEF ＝90°.∴DF 是∠EDC 的平分线．【演练·巩固提升】11．(1)证明：由三角板的性质，可知：∠D ＝30°，∠3＝45°，∠DCE ＝90°.∵CF 平分∠DCE ，∴∠1＝∠2＝12∠DCE ＝45°. ∴∠1＝∠3.∴CF ∥AB .(2)解：由三角形内角和定理，得∠DFC ＝180°－∠1－∠D＝180°－45°－30°＝105°.12．(1)证明：∵∠ABC ＝90°，∴∠DBE ＝180°－∠ABC ＝90°.∴∠ABE ＝∠CBD .在△ABE 和△CBD 中，⎩⎪⎨⎪⎧ AB ＝CB ，∠ABE ＝∠CBD ，BE ＝BD ，∴△ABE ≌△CBD (SAS)．(2)解：∵AB ＝CB ，∠ABC ＝90°，∴△ABC 是等腰直角三角形．∴∠ECA ＝45°.∵∠CAE ＝30°，∠BEA ＝∠ECA ＋∠EAC ，∴∠BEA ＝45°＋30°＝75°.由(1)知，∠BDC ＝∠BEA .∴∠BDC ＝75°.15．解：(1)BD ＝DP 成立．证明：如图11，过点D 作DF ⊥MN ，交AB 的延长线于点F ，则△ADF 为等腰直角三角形．∴DA ＝DF .∵∠1＋∠ADB ＝90°，∠ADB ＋∠2＝90°，∴∠1＝∠2.在△BDF 与△PDA 中，∵∠1＝∠2，DF ＝DA ，∠DFB ＝∠DAP ＝45°，∴△BDF ≌△PDA (ASA)．∴BD ＝DP .图11 图12(2)BD ＝DP .证明：如图12，过点D 作DF ⊥MN ，交BA 的延长线于点F ，则△ADF 为等腰直角三角形．∴DA ＝DF .在△BDF 与△PDA 中，∠F ＝∠PAD ＝45°，DF ＝DA ，∠BDF ＝∠PDA .∴△BDF ≌△PDA (ASA)．∴BD ＝DP .第2课时 等腰三角形与直角三角形【真题·南粤专练】5．(0，3－1) (31，－31) 解析：由图知，A 3的纵坐标为：A 2A 3·sin 60°－1＝2×32－1＝3－1.∴A 3()0，3－1.而A 2的横坐标为：A 2A 3·sin 30°＝2×12＝1.由题意知，A 2的纵坐标为－1.∴A 2()1，－1.容易发现A 2，A 5，A 8，…，A 92这些点在第四象限，横纵坐标互为相反数， A 2，A 5，A 8，…，A 92的下标2,5,8，…，92，得规律：92＝3nn ＝31.∴A 92是第31个正三角形(从里往外)的右端点．∴A 92()31，－31.6．证明：(1)∵AC ⊥BC ，BD ⊥AD ，∴∠ADB ＝∠BCA ＝90°.在Rt △ABC 和Rt △BAD 中，∵AB ＝BA ，AC ＝BD ，∴Rt △ABC ≌Rt △BAD (HL)．∴BC ＝AD .(2)∵Rt △ABC ≌Rt △BAD ，∴∠CAB ＝∠DBA .∴OA ＝OB .∴△OAB 是等腰三角形．7．解：探究一：(1)如图13，过点A 作AG ⊥BC ，垂足为G .当点P 运动到∠CFB 的角平分线上时，则∠CFP ＝30°.∴CF ＝BC ·tan30°＝3×33＝3， CP ＝CF ·tan∠CFP ＝3×33＝1. 在Rt △BAC 中，∵∠ABC ＝45°，∴AG ＝BG ＝12BC ＝32. ∴GP ＝CG ＝CP ＝32－1＝12. 在Rt △AGP 中，AP ＝AG 2＋GP 2＝94＋14＝102.图13 图14 (2)如图14，以点A 为圆心，以FC ＝3为半径画弧，与BC 交于点P 1，P 2，则AP 1＝AP 2＝ 3.过点A 作AG ⊥BC ，垂足为G .在Rt △AP 1G 中，AP 1＝CF ＝3，AG ＝32， 则P 1G ＝AP 21－AG 2＝3－94＝32. ∴∠P 1AG ＝30°.∴∠P 1AB ＝45°－30°＝15°.同理，求得∠P 2AG ＝30°，∠P 2AB ＝45°＋30°＝75°.∴∠PAB 的度数为15°或75°.探究二：△AMN 的周长存在最小值．如图15，连接AD .图15∵△ABC 为等腰直角三角形，点D 为斜边BC 的中点，∴AD ＝CD ，∠C ＝∠MAD ＝45°.∵∠EDF ＝90°，∠ADC ＝90°，∴∠MDA ＝∠NDC .在△AMD 与△D 中，⎩⎪⎨⎪⎧ ∠MAD ＝∠C ，AD ＝CD ，∠MDA ＝∠NDC ，∴△AMD ≌△D (ASA)．∴AM ＝.设AM ＝x ，则＝x ，AN ＝AC －＝22BC －＝3 22－x . 在Rt △AMN 中，由勾股定理，得MN ＝AM 2＋AN 2＝x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3 22－x 2＝2x 2－3 2x ＋92＝2⎝⎛⎭⎪⎫x －3 242＋94. △AMN 的周长为：AM ＋AN ＋MN ＝3 22＋2⎝⎛⎭⎪⎫x －3 242＋94. 当x ＝3 24时，有最小值为3＋3 22. ∴△AMN 周长的最小值为3＋3 22. 【演练·巩固提升】10．证明：已知如图16，在△ABC 中，AB ＝AC ，作顶角A 的平分线交底边BC 于点D .图16求证：BD ＝CD ，AD ⊥BC .证明：在△BAD 与△CAD 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧ AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAD ，AD ＝AD ，∴△BAD ≌△CAD (SAS)．∴BD ＝CD ，∠ADB ＝∠ADC .又∵∠ADB ＋∠ADC ＝180°，∴∠ADB ＝∠ADC ＝90°.∴AD ⊥BC .这也就证明等腰三角形的顶角平分线AD 平分底边并且垂直底边BC .用类似的方法，还可以证明等腰三角形底边上的高平分顶角并且平分底边，等腰三角形底边上的中线平分顶角并且垂直底边．这也就证明了性质2.11．12° 解析：设∠A ＝x .∵AP 1＝P 1P 2＝P 2P 3＝…＝P 13P 14＝P 14A ，∴∠A ＝∠AP 2P 1＝∠AP 13P 14＝x .∴∠P 2P 1P 3＝∠P 13P 14P 12＝2x .∴∠P 3P 2P 4＝∠P 12P 13P 11＝3x ，…，∠P 7P 6P 8＝∠P 8P 9P 7＝7x.∴∠AP7P8＝7x，∠AP8P7＝7x.在△AP7P8中，∠A＋∠AP7P8＋∠AP8P7＝180°，即x＋7x＋7x ＝180°.∴x＝12°，即∠A＝12°.12．213或6 2 解析：如图17(1)，以点B为直角顶点，BD为斜边上的中线．在Rt△ABD中，可得BD＝13.∴原直角三角形纸片的斜边EF的长是213；如图17(2)，以点A为直角顶点，AC为斜边上的中线，在Rt△ABC中，可得AC＝3 2.∴原直角三角形纸片的斜边EF的长是6 2.(1) (2)图1713．(1)证明：∵AD⊥BC，∠BAD＝45°，∴∠ABD＝∠BAD＝45°.∴AD＝BD.∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠CAD＋∠ACD＝90°，∠CBE＋∠ACD＝90°.∴∠CAD＝∠CBE.又∵∠CDA＝∠BDF＝90°，∴△ADC≌△BDF(ASA)．∴AC＝BF.∵AB＝BC，BE⊥AC，∴AE＝EC，即AC＝2AE.∴BF＝2AE.(2)解：∵△ADC≌△BDF，∴DF＝CD＝ 2.∴在Rt△CDF中，CF＝DF2＋CD2＝2.∵BE⊥AC，AE＝EC，∴AF＝FC＝2.∴AD＝AF＋DF＝2＋ 2.14．解：[操作发现]①②③④[数学思考]MD＝ME，MD⊥ME.证明如下：图18①MD＝ME.如图18，分别取AB ，AC 的中点F ，G ，连接DF ，MF ，MG ，EG . ∵M 是BC 的中点，∴MF ∥AC ，MF ＝12AC . 又∵EG 是等腰直角三角形AEC 斜边上的中线，∴EG ⊥AC ，且EG ＝12AC . ∴MF ＝EG .同理，可证DF ＝MG .∵MF ∥AC ，∴∠MFA ＋∠BAC ＝180°.同理，可得∠MGA ＋∠BAC ＝180°.∴∠MFA ＝∠MGA .又∵EG ⊥AC ，∴∠EGA ＝90°.同理，可得∠DFA ＝90°.∴∠MFA ＋∠DFA ＝∠MGA ＋∠EGA ，即∠DFM ＝∠MGE .又MF ＝EG ，DF ＝MG ，∴△DFM ≌△MGE (SAS)．∴MD ＝ME .②MD ⊥ME .如图18，设MD 与AB 交于点H .∵AB ∥MG ，∴∠DHA ＝∠DMG .又∵∠DHA ＝∠FDM ＋∠DFH ，即∠DHA ＝∠FDM ＋90°.∵∠DMG ＝∠DME ＋∠GME ，∴∠DME ＝90°.即MD ⊥ME .[类比探索]等腰直角三角形。
第三章函数第1讲函数与平面直角坐标系1．(2013年广东湛江)在平面直角坐标系中，点A(2，－3)在第()象限．()A．一B．二C．三D．四2．(2013年广东珠海)点(3,2)关于x轴的对称点为()A．(3，－2) B．(－3,2) C．(－3，－2) D．(2，－3)3．(2011年广东广州)当实数x的取值使得x－2有意义时，函数y＝4x＋1中y的取值范围是()A．y≥－7B．y≥9 C．y＞9D．y≤94．(2014年广东汕尾)汽车以60千米/时的速度在公路上匀速行驶，1小时后进入高速路，继续以100千米/时的速度匀速行驶，则汽车行驶的路程s(单位：千米)与行驶的时间t(单位：小时)的函数关系的大致图象是()A B C D5. (2012年广东珠海)如图3-1-7，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点B的坐标为(3,2)，OB与AC交于点P，点D，E，F，G分别是线段OP，AP，BP，CP的中点，则四边形DEFG的周长为________．图3-1-7图3-1-86．(2013年广东广州)如图3-1-8，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，⊙P与x轴交于O，A两点，点A的坐标为(6,0)，⊙P的半径为13，则点P的坐标为__________.7．(2013年广东梅州)如图3-1-9，在平面直角坐标系中，点A(－2,2)，B(－3，－2)．(1)若点C与点A关于原点O对称，则点C的坐标为____________；(2)将点A向右平移5个单位长度得到点D，则点D的坐标为____________；(3)由点A，B，C，D组成的四边形ABCD内(不包括边界)任取一个横、纵坐标均为整数的点，求所取的点横、纵坐标之和恰好为零的概率．图3-1-9A 级 基础题1．(2013年湖南株洲)在平面直角坐标系中，点(1,2)位于第______象限．2．(2013年江苏常州)已知点P (3,2)，则点P 关于y 轴的对称点P 1的坐标是________，点P 关于原点O 的对称点P 2的坐标是________．3．(2014年四川攀枝花)在函数y ＝x －2中，自变量x 的取值范围是________．4．(2014年云南昆明)如图3-1-10，在平面直角坐标系中，点A 坐标为(1,3)，将线段OA 向左平移2个单位长度，得到线段O ′A ′，则点A 的对应点A ′的坐标为________．5．(2013年云南曲靖)在平面直角坐标系中，将点P (－2,1)向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点P ′的坐标是( )A ．(2,4)B ．(1,5)C ．(1，－3)D ．(－5,5)6．(2014年湖南衡阳)小明从家出发，外出散步，到一个公共阅报栏前看了一会报后，继续散步了一段时间，然后回家，如图3-1-11，描述了小明在散步过程中离家的距离s (单位：米)与散步所用时间t (单位：分)之间的函数关系，根据图象，下列信息错误的是( )A ．小明看报用时8分钟B ．公共阅报栏距小明家200米C ．小明离家最远的距离为400米D ．小明从出发到回家共用时16分钟图3-1-10 图3-1-11 图3-1-127．(2014年湖南益阳)如图3-1-12，在平面直角坐标系xOy 中，半径为2的⊙P 的圆心P 的坐标为(－3,0)，将⊙P 沿x 轴正方向平移，使⊙P 与y 轴相切，则平移的距离为( )A ．1B ．1或5C ．3D ．58．函数y ＝3－x x ＋2的自变量x 的取值范围是______________． 9．(2013年四川绵阳)如图3-1-13，把“QQ”笑脸放在平面直角坐标系中，已知左眼A 的坐标是(－2,3)，嘴唇C 的坐标为(－1,1)，则将此“QQ”笑脸向右平移3个单位后，右眼B 的坐标是__________．图3-1-13B级中等题10．(2013年贵州遵义)已知点P(3，－1)关于y轴的对称点Q的坐标是(a＋b,1－b)，则a b的值为____________．11．(2014年青海西宁)如图3-1-14，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC 是矩形，点A，C的坐标分别为A(10,0)，C(0,4)，点D是OA的中点，点P为线段BC上的点．小明同学写出了一个以OD为腰的等腰三角形ODP的顶点P的坐标(3,4)，请你写出其余所有符合这个条件的点P坐标______________．图3-1-14图3-1-1512．(2013年黑龙江牡丹江)如图3-1-15，在△ABO中，AB⊥OB，OB＝3，AB＝1，把△ABO绕点O旋转150°后得到△A1B1O，则点A1的坐标为()A．(－1，－3)B．(－1，－3)或(－2,0)C．(－3，－1)或(0，－2)D．(－3，－1)13．(2014年北京)园林队在某公园进行绿化，中间休息了一段时间．已知绿化面积S(单位：平方米)与工作时间t(单位：小时)的函数关系的图象如图3-1-16，则休息后园林队每小时绿化面积为()图3-1-16A．40平方米B．50平方米C．80平方米D．100平方米C级拔尖题14．(2014年北京)在平面直角坐标系xOy中，对于点P(x，y)，我们把点P′(－y＋1，x＋1)叫做点P伴随点，已知点A1的伴随点为A2，点A2的伴随点为A3，点A3的伴随点为A4，这样依次得到点A1，A2，A3，…，A n，….若点A1的坐标为(3,1)，则点A3的坐标为__________，点A2014的坐标为__________；若点A1的坐标为(a，b)，对于任意正整数n，点A n均在x轴上方，则a，b应满足的条件为____________．第三章函数第1讲函数与平面直角坐标系【真题·南粤专练】1．D 2.A 3.B 4.C 5.5 6.(3,2)7．解：(1)(2，－2)(2)(3,2)(3)由(1)(2)，可知：A(－2,2)，B(－3，－2)，C(2，－2)，D(3,2)．∴在平行四边形ABCD 内横、纵坐标均为整数的点有15个．其中横、纵坐标和为零的点有3个，即(－1,1)，(0,0)，(1，－1)．∴p＝315＝1 5.【演练·巩固提升】1．一 2.(－3,2)(－3，－2) 3.x≥2 4.(－1,3)5．B 6.A7.B8.x≤3，且x≠－29．(3,3)10.2511.(2,4)或(8,4)12.B13.B14．(－3,1)(0,4)－1＜a＜1，且0＜b＜2解析：利用P(x，y)→P′(－y＋1，x＋1)坐标变换的关系得到A1(3,1)→A2(0,4)→A3(－3,1)→A4(0，－2)→A5(3,1)→……A1到A4是一个循环，第2014个点就是2014÷4，其余数为2，即A2014(0,4)．同理A1(a，b)→A2(－b＋1，a＋1)→A3(－a，－b＋2)→A4(b－1，－a＋1)→A5(a，b) →……不断循环下去，而对于任意A n都在x轴的上方，只能使任意点的纵坐标大于0，即满足b＞0，a＋1＞0，－b＋2＞0，－a＋1＞0，且它们同时成立，解不等式组便得到答案．。
第3讲整式与分式第1课时整式1．(2013年某某某某)多项式1＋2xy－3xy2的次数及最高次项的系数分别是( ) A．3，－3 B．2，－3 C．5，－3 D．2,32．(2013年某某某某)下列计算正确的是( )A．(a＋b)2＝a2＋b2 B．(ab)2＝ab2 C．(a3)2＝a5 D．a·a2＝a33．(2014年某某)计算3a－2a的结果正确的是( )A．1 B．a C．－a D．－5a4．(2014年某某某某)下列计算中，正确的是( )A．2a＋3b＝5ab B．(3a3)2＝6a6 C．a6＋a2＝a3 D．－3a＋2a＝－a5．(2014年某某)计算2x3÷x＝________.6．(2013年某某某某)已知a，b满足a＋b＝3，ab＝2，则a2＋b2＝______. 7．(2014年某某某某)填空：x2－4x＋3＝(x－________)2－1.8．(2013年某某某某)先化简，后求值：a2·a4－a8÷a2＋(a3)2，其中a＝－1.A级基础题1．(2014年某某株洲)计算：2m2·m8＝________.2．(2014年某某某某)化简－5ab＋4ab的结果是( )A．－1 B．a C．b D．－ab3．(2014年某某某某)下列运算，正确的是( )A．4a－2a＝2 B．a6÷a3＝a2C．(－a3b)2＝a6b2 D．(a－b)2＝a2－b24．(2013年某某某某)如果整式x n－2－5x＋2是关于x的三次三项式，那么n＝( ) A．3 B．4 C．5 D．65．(2014年某某某某)下列运算正确的是( ) A ．x 3·x 3＝2x 6B ．(－2x 2)2＝－4x 4C ．(x 3)2＝x 6D ．x 5÷x ＝x 56．(2013年某某凉山州)如果单项式－x a ＋1y 3与12y b x 2是同类项，那么a ，b 的值分别为( )A ．a ＝2，b ＝3B ．a ＝1，b ＝2C ．a ＝1，b ＝3D ．a ＝2，b ＝2 7．(2014年某某某某)计算(－a 2)3的结果是( ) A ．a 5B ．－a 5C ．a 6D ．－a 68．已知一个多项式与3x 2＋9x 的和等于3x 2＋4x －1，则这个多项式是( ) A ．－5x －1 B ．5x ＋1 C ．13x －1 D ．13x ＋19．(2014年某某某某)计算2x (3x 2＋1)，正确的结果是( ) A ．5x 3＋2x B ．6x 3＋1 C ．6x 3＋2x D ．6x 2＋2xB 级 中等题10．(2014年某某达州)已知实数a ，b 满足a ＋b ＝5，ab ＝3，则a －b ＝________. 11．(2013年)已知x 2－4x －1＝0，求代数式(2x －3)2－(x ＋y )(x －y )－y 2的值．12．若关于x 的多项式－5x 3－(2m －1)x 2＋(2－3n )x －1不含二次项和一次项，求m ，n 的值．13．(2014年某某某某)一个大正方形和四个全等的小正方形按图132①②两种方式摆放，则图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是________(用a ，b 的代数式表示)．图132C级拔尖题14．(2014年某某)已知x2－2x－3＝0，则2x2－4x的值为( )A．－6 B．6 C．－2或6 D．－2或3015．利民商店出售一种原价为a的商品，有如下几种方案：(1)先提价10%，再降价10%；(2)先降价10%，再提价10%；(3)先提价20%，再降价20%. 问用这三种方案调价的结果是否一样，最后是不是都恢复了原价？第2课时因式分解1．(2013年某某某某)下列各式由左边到右边的变形中，属于分解因式的是( ) A．a(x＋y)＝ax＋ay B．x2－4x＋4＝x(x－4)＋4C．10x2－5x＝5x(2x－1) D．x2－16＋6x＝(x＋4)(x－4)＋6x2．(2014年某某)把x3－9x分解因式，结果正确的是( )A．x(x2－9) B．x(x－3)2 C．x(x＋3)2 D．x(x＋3)(x－3)3．(2013年某某某某)分解因式：x2＋xy＝______________.4．(2013年某某某某)分解因式：x2－9＝____________.5．(2013年某某某某)分解因式：m2－2m＝______________.6．(2013年某某某某)分解因式：4x2－8x＋4＝__________.7．(2014年某某某某)分解因式：2x2－8＝__________.A级基础题1．(2014年某某)下列式子从左到右变形是因式分解的是( )A．a2＋4a－21＝a(a＋4)－21 B．a2＋4a－21＝(a－3)(a＋7)C．(a－3)(a＋7)＝a2＋4a－21 D．a2＋4a－21＝(a＋2)2－252．(2014年某某某某)下列因式分解中正确的个数为( )①x3＋2xy＋x＝x(x2＋2y)；②x2＋4x＋4＝(x＋2)2；③－x2＋y2＝(x＋y)(x－y)．A．3个 B．2个 C．1个 D．0个3．(2013年某某某某)下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是( )A．x2＋x＋1 B．x2＋2x－1 C．x2－1 D．x2－6x＋94．分解因式：m2－6m＋9＝____________.5．(2014年某某某某)分解因式：a3－a＝__________.6．(2014年某某某某)将多项式m2n－2mn＋n因式分解的结果是__________．7．(2014年某某黄冈)分解因式：(2a＋1)2－a2＝__________.8．(2013年某某某某)分解因式：3a2－12ab＋12b2＝____________.9．(2013年某某某某)若m＝2n＋1，则m2－4mn＋4n2的值是______________．10．若m2－n2＝6且m－n＝3，则m＋n＝__________.B级中等题11．若A＝101×9996×10 005，B＝10 004×9997×101，则A－B的值为( )A．101 B．－101 C．808 D．－80812．(2013年某某凉山州)已知(2x－21)(3x－7)－(3x－7)(x－13)可分解因式为(3x＋a)(x＋b)，其中a，b均为整数，则a＋3b＝________.C级拔尖题13．(2014年某某呼和浩特)把多项式6xy2－9x2y－y3因式分解，最后结果为__________．14．分解因式：x2－y2－3x－3y＝__________.第3课时分式1．(2013年某某某某)分式x2－4x＋2的值为0，则( )A．x＝－2 B．x＝±2 C．x＝2 D．x＝0 2．(2013年某某)从三个代数式①a2－2ab＋b2，②3a－3b，③a2－b2中任意选择两个代数式构造成分式，然后进行化简，并求当a ＝6，b ＝3时该分式的值．3．(2012年某某某某)化简：a ＋b ab －b ＋cbc.4．(2014年某某某某)化简：(a 2＋3a )÷a 2－9a －3.5．(2013年某某某某)按要求化简：2a －1＋a ＋31－a 2. ＝2a ＋2－a ＋3a ＋1a －1＝2a ＋2－a －3a ＋1a －1＝a －1a ＋1a －16.(2012年某某某某)先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1－x 2－x ÷(x ＋1)，其中x ＝ 2.7．(2012年某某某某)已知1a ＋1b＝5(a ≠b )，求a b a －b －ba a －b的值．8．(2014年某某) 先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1＋1x ＋1·(x 2－1)，其中x ＝3－13.A 级 基础题1．要使分式1x －1有意义，则x 的取值X 围应满足( ) A ．x ＝1 B ．x ≠0 C．x ≠1 D．x ＝02．(2013年某某黔西南州)分式x 2－1x ＋1的值为零，则x 的值为( )A ．－1B ．0C ．±1 D．13．(2013年某某滨州)化简a 3a，正确结果为( )A ．aB ．a 2C ．a －1D ．a －24．约分：56x 3yz 448x 5y 2z ＝________；x 2－9x 2－2x －3＝________.5．已知a －b a ＋b ＝15，则ab＝__________. 6．当x ＝______时，分式x 2－2x －3x －3的值为零．7．(2014年某某某某)计算：m 2m ＋1＋m ＋12m ＋1＝________.8．(2014年某某某某)先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ·a 2a 2－1，其中a ＝3.9．(2014年某某某某)先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －2＋2(x －2)＋(x －1)2，其中x ＝ 3.B 级 中等题10．(2014年某某株洲)先化简，再求值：4x －1·x 2－12－3(x －1)，其中x ＝2.11．(2014年某某某某)化简⎝⎛⎭⎪⎫1＋2x －1÷x ＋1x 2－2x ＋1的结果为________． 12．(2013年某某)若x ＋y ＝1，且x ≠0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2xy ＋y 2x ÷x ＋y x 的值为________．13．(2014年某某某某)先化简，再求值：⎝⎛⎭⎪⎫1－3x ＋2÷x －1x 2＋2x －x x ＋1，其中x 满足x 2－x －1＝0.C 级 拔尖题14．(2014年某某某某)已知a 2＋3ab ＋b 2＝0(a ≠0，b ≠0)，则代数式b a ＋a b的值等于________．15．先化简，再求值：ab ＋a b 2－1＋b －1b 2－2b ＋1，其中b －2＋36a 2＋b 2－12ab ＝0.第3讲 整式与分式 第1课时 整式【真题·南粤专练】x 28．解：原式＝a 6－a 6＋a 6＝a 6. 当a ＝－1时，原式＝1. 【演练·巩固提升】 1．2m 1010．±1311．解：原式＝3x 2－12x ＋9＝3(x 2－4x )＋9＝3＋9＝12. 12．解：2m －1＝0,2－3nm ＝12，n ＝23.13．ab15．解：方案(1)的调价结果为(1＋10%)(1－10%)a ＝a ； 方案(2)的调价结果为(1－10%)(1＋10%)a ＝a ； 方案(3)的调价结果为(1＋20%)(1－20%)a ＝a .由此可以得到方案(1)，(2)的调价结果是一样的，方案(3)的调价结果与(1)，(2)不一样．最后都没有恢复原价．第2课时 因式分解【真题·南粤专练】1．C 2.D 3.x (x ＋y ) 4.(x ＋3)(x －3) 5．m (m －2) 6.4(x －1)27.2(x －2)(x ＋2) 【演练·巩固提升】1．B 2.C 3.D 4.(m －3)2 5.a (a ＋1)(a －1)6．n (m －1)2 7.(3a ＋1)(a ＋1) 8.3(a －2b )211．D 12.－31 13.－y (3x －y )214.(x ＋y )(x －y －3)第3课时 分式【真题·南粤专练】 1．C2．解：选取①，②，得a 2－2ab ＋b 23a －3b ＝a －b 23a －b ＝a －b3.当a ＝6，b ＝3时，原式＝6－33＝1.(有6种情况，任选其一)3．解：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＋1a －⎝ ⎛⎭⎪⎫1c ＋1b ＝1a －1c＝c －a ac.4．解：原式＝a (a ＋3)÷a ＋3a －3a －3＝a (a ＋3)×a －3a ＋3a －3＝a .5．①去括号法则：若括号外是正因数，则去括号时括号里的各项都不变号，反之，都变号 ②1a ＋1③约分 ④分式的基本性质：分式的分子和分母都除以同一个非零的整式，分式的值不变6．解：原式＝x 2－1x x －1·1x ＋1＝x ＋1x －1x x －1·1x ＋1＝1x.当x ＝2时，原式＝12＝22. 7．解：∵1a ＋1b ＝5，∴a ＋bab＝ 5.∴a b a －b －b a a －b ＝a 2－b 2ab a －b＝a ＋b a －b ab a －b ＝a ＋bab＝ 5.8．解：原式＝2x ＋1＋x －1x ＋1x －1·(x 2－1)＝2x ＋2＋x －1＝3x ＋1. 当x ＝3－13时，原式＝ 3. 【演练·巩固提升】1．C 2.D 3.B 4.7z 36x 2y x ＋3x ＋1 5.328．解：原式＝a ＋1a ·a 2a 2－1＝a ＋1a ·a 2a ＋1a －1＝aa －1.当a ＝3时，原式＝33－1＝32.9．解：原式＝1＋2x －4＋x 2－2x ＋1＝x 2－2. 当x ＝3时，原式＝3－2＝1. 10．解：原式＝4x －1·x ＋1x －12－3x ＋3 ＝2x ＋2－3x ＋3＝5－x . 当x ＝2时，原式＝5－2＝3. 11．x 13．解：原式＝x ＋2－3x ＋2·x x ＋2x －1－xx ＋1＝x －1x ＋2·x x ＋2x －1－x x ＋1＝x －x x ＋1＝x 2x ＋1. ∵x 2－x －1＝0，∴x 2＝x ＋1.∴原式＝1.14．－3 解析：∵a 2＋3ab ＋b 2＝0，∴a 2＋b 2＝－3ab ，∴原式＝b 2＋a 2ab ＝－3ab ab＝－3.15．解：原式＝a b ＋1b ＋1b －1＋b －1b －12＝ab －1＋1b －1＝a ＋1b －1. 由b －2＋36a 2＋b 2－12ab ＝0，得b －2＋(6a －b )2＝0， ∴b ＝2,6a ＝b ，即a ＝13，b ＝2.∴原式＝13＋12－1＝43.。
第4讲二次函数1．(2014年某某某某)对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于(1,0)，(3,0)两点，则它的对称轴为________．2．(2014年某某某某)二次函数y＝ax2＋bx＋c图象如图347，下列正确的个数为( )①bc>0；②2a－3c<0；③2a＋b>0；④ax2＋bx＋c＝0有两个解x1，x2，x1>0，x2<0；⑤a＋b＋c>0；⑥当x>1时，y随x增大而减小．图347A．2个 B．3个 C．4个 D．5个3．(2014年某某某某)利用二次函数的图象估计一元二次方程x2－2x－1＝0的近似根．(精确到0.1)4．(2013年某某某某)如图348(1)，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(0,3)，B(3,0)，C(4,3) .(1) 求抛物线的函数表达式；(2) 求抛物线的顶点坐标和对称轴；(3) 把抛物线向上平移，使得顶点落在x轴上，直接写出两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S[图348(2)中阴影部分]．(1) (2) 图3485．(2013年某某某某)已知抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0，a ≠c )过点A (1,0)，顶点为B ，且抛物线不经过第三象限．(1)用a ，c 表示b ；(2)判断点B 所在象限，并说明理由；(3)若直线y 2＝2x ＋m 经过点B ，且与该抛物线交于另一点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫ca，b ＋8，求当x ≥1时，y 1的取值X 围．6．(2012年某某某某节选)如图349，抛物线y ＝ax 2＋32x ＋c 经过原点O 和点A (4,2)，与x 轴交于点C ，点M ，N 同时从原点O 出发，点M 以2个单位/秒的速度沿y 轴正方向运动，点N 以1个单位/秒的速度沿x 轴正方向运动，当其中一个点停止运动时，另一点也随之停止．(1)求抛物线的解析式和点C 的坐标；(2)在点M ，N 运动过程中，若线段MN 与OA 交于点G ，试判断MN 与OA 的位置关系，并说明理由．图349A级基础题1．(2013年某某某某)若二次函数y＝ax2的图象经过点P(－2,4)，则该图象必经过点( )A．(2,4) B．(－2，－4) C．(－4,2) D．(4，－2)2．(2014年某某)将抛物线y＝x2平移得到抛物线y＝(x＋2)2，则这个平移过程正确的是( )A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位C．向上平移2个单位 D．向下平移2个单位3．(2013年某某某某)如图3410，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，对称轴为直线x＝1，图象经过(3,0)，下列结论中，正确的一项是( )图3410A．abc＜0B．2a＋b＜0C．a－b＋c＜0D．4ac－b2＜04．(2014年某某某某)已知抛物线y＝ax2＋bx和直线y＝ax＋b在同一坐标系内的图象如下图，其中正确的是( )A B C D5．(2013年某某内江)若抛物线y＝x2－2x＋c与y轴的交点为(0，－3)，则下列说法不正确的是( )A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴是x＝1C．当x＝1时，y的最大值为－4 D．抛物线与x轴的交点为(－1,0)，(3,0) 6．(2013年某某某某)二次函数y＝ax2＋bx＋c图象上部分点的坐标满足下表：x …－3－2－101…y …－3－2－3－6－11…则该函数图象的顶点坐标为( )A．(－3，－3) B．(－2，－2) C．(－1，－3) D．(0，－6)7．(2014年某某某某禅城模拟)函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过原点，则c的值为__________．8．(2013年)请写出一个开口向上，并且与y轴交于点(0,1)的抛物线的解析式______________．9．(2013年某某某某)已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A(3,0)，B(－1,0)．(1)求抛物线的解析式；(2)求抛物线的顶点坐标．B级中等题10．(2014年某某某某)如图3411，已知二次函数y＝－x2＋2x，当－1<x<a时，y随x的增大而增大，则实数a的取值X围是( )图3411A．a>1 B．－1<a≤1 C．a>0 D．－1<a<111．(2014年某某某某宝安模拟)一个一次函数的图象与二次函数y＝－x2＋x的图象只有一个公共点，这时自变量x＝1.那么这个一次函数的表达式是____________．12．(2013年某某)已知二次函数y ＝x 2－2mx ＋m 2－1.(1)当二次函数的图象经过坐标原点O (0,0)时，求二次函数的解析式；(2)如图3412，当m ＝2时，该抛物线与y 轴交于点C ，顶点为D ，求C ，D 两点的坐标；(3)在(2)的条件下，x 轴上是否存在一点P ，使得PC ＋PD 最短．若点P 存在，求出点P 的坐标；若点P 不存在，请说明理由．图3412C 级 拔尖题13．(2014年某某某某)如图3413，已知抛物线y ＝38x 2－34x －3与x 轴的交点为A ，D (A在D 的右侧)，与y 轴的交点为C .(1)直接写出点A ，D ，C 的坐标；(2)若点M 在抛物线上，使得△MAD 的面积与△CAD 的面积相等，求点M 的坐标．图3413第4讲 二次函数【真题·南粤专练】1．x3．解：方程x 2－2x －1＝0的根是函数y ＝x 2－2x －1与x 轴交点的横坐标． 作出二次函数y ＝x 2－2x －1的图象，如图7.图7由图象可知，方程有两个根，一个在－1和0之间，另一个在2和3之间． 先求－1和0之间的根，当x ＝－0.4时，y ＝－0.04；当x ＝－0.5时，y ＝0.25. 因此，x ＝－0.4(或x ＝－0.5)是方程的一个近似根． 同理，x ＝2.4(或x ＝2.5)是方程的另一个近似根．4．解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A (0,3)，B (3,0)，C (4,3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝3，9a ＋3b ＋c ＝0，16a ＋4b ＋c ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4，c ＝3.∴抛物线的函数表达式为y ＝x 2－4x ＋3. (2)∵y ＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，∴抛物线的顶点坐标为(2，－1)，对称轴为直线x ＝2. (3)如图8，∵抛物线的顶点坐标为(2，－1)，∴PP ′＝1. 阴影部分的面积等于平行四边形A ′APP ′的面积， 平行四边形A ′APP ′的面积＝1×2＝2， ∴阴影部分的面积为2.图8 图95．解：(1)抛物线过点A (1,0)， 则有a ＋b ＋c ＝0，即b ＝－a －c . (2)点B 在第四象限．理由如下：∵x 1＝1，x 2＝c a，a ≠c ，∴抛物线与x 轴有两个交点． ∵抛物线不经过第三象限，∴a >0，且顶点在第四象限． ∴点B 在第四象限．(3)∵C ⎝ ⎛⎭⎪⎫c a，b ＋8，且在抛物线上，∴b ＋8＝0，b ＝－8，∴a ＋c ＝－b ＝8.则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫82a ，4ac －644a ，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ，0. 把点B ，C 的坐标代入y 2＝2x ＋m ， 得⎩⎪⎨⎪⎧8a ＋m ＝4ac －644a ，①2c a ＋m ＝0.②①－②，得8a －2c a ＝4ac －644a .化简，得c (a ＋2)＝24.又∵a ＋c ＝8，则有c (8－c ＋2)＝24. 解得c ＝4或c ＝6.当c ＝4时，a ＝8－ca ≠c ，故舍去； 当c ＝6时，a ＝8－c ＝2.画图易知(如图9)，点C 在点A 的右侧， ∴当x ≥1时，y 1≥4ac －b24a＝－2.6．解：(1)将点O (0,0)，点A (4,2)代入解析式得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，16a ＋32×4＋c ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，a ＝－14.∴抛物线的解析式为y ＝－14x 2＋32x .令y ＝0，则有0＝－14x 2＋32x .解得x 1＝0，x 2＝6. 故点C 的坐标为(6,0)． (2)MN ⊥OA .理由如下：过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，则OB ＝4，AB ＝2. 由已知，可得OM ON ＝OB AB ＝21.∴Rt △MON ∽Rt △OBA .∴∠NMO ＝∠AOB ，∠MNO ＝∠OAB . 又∵∠AOB ＋∠OAB ＝90°， ∴∠AOB ＋∠MNO ＝90°. ∴∠OGN ＝90°.∴MN ⊥OA . 【演练·巩固提升】7．0 8.y ＝2x 2＋x ＋1(满足a ＞0，c ＝1即可)9．解：(1)∵抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过点A (3,0)，B (－1,0)， ∴抛物线的解析式为y ＝－(x －3)(x ＋1)， 即y ＝－x 2＋2x ＋3.(2)∵y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4， ∴抛物线的顶点坐标为(1,4)． 10．B11．y ＝－x ＋1 (提示：设直线y ＝kx ＋b ，该直线与抛物线y ＝－x 2＋x 满足x ＝1，与判别式Δ＝0建立方程组即可求得)12．解：(1)将点O (0,0)代入，解得m ＝±1. 二次函数关系式为y ＝x 2＋2x 或y ＝x 2－2x . (2)当m ＝2时，y ＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1， ∴D (2，－1)．当x ＝0时，y ＝3，∴C (0,3)． (3)存在．连接C ，D 交x 轴于点P ，则点P 为所求． 由C (0,3)，D (2，－1)求得直线CD 为y ＝－2x ＋3. 当y ＝0时，x ＝32，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0.13．解：(1)∵y ＝38x 2－34x －3，∴当y ＝0时，38x 2－34x －3＝0.解得x 1＝－2，x 2x ＝0，y ＝－3.∴点A 坐标为(4,0)，点D 坐标为(－2,0)，点C 坐标为(0，－3)．(2)∵y ＝38x 2－34x －3，∴对称轴为直线x ＝342×38＝1.∵AD 在x 轴上，点M 在抛物线上，∴当△MAD 的面积与△CAD 的面积相等时，分两种情况：①点M 在x 轴下方时，根据抛物线的对称性，可知：点M 与点C 关于直线x ＝1对称， ∵C 点坐标为(0，－3)，∴M 点坐标为(2，－3)． ②点M 在x 轴上方时，根据三角形的等面积法，可知： 点M 到x 轴的距离等于点C 到x 轴的距离． 当y ＝3时，38x 2－34x －3＝3，解得x 1＝1＋17，x 2＝1－17.∴M 点坐标为(1＋17，3)或(1－17，3)．综上所述，所求M 点坐标为(2，－3)或(1＋17，3)或(1－17，3)．。
