厦门大学2017年数学专业考研复试笔试题

1. 计算曲线积分22(),LI x y ds =+⎰其中L 是中心在(,0)R 、半径为R 的上半圆周.解 由于上半圆周的参数方程为(1cos )sin x R t y R t =+⎧⎨=⎩(0),t π≤≤ 所以 I 22()Lx y ds =+⎰22220[(1cos )sin ]R t R t π=++⎰302(1cos )R t dt π=+⎰302[sin ]R t t π=+32.R π=2.计算半径为R , 中心角为2α的圆弧L 对于它的对称轴的转动惯量I (设线密度1ρ=).解 取坐标系,则2.LI y ds =⎰为计算方便, 利用L 的参数方程cos ,x R t =sin y R t =().t αα-≤≤故 2LI y ds =⎰22sin R ααθ-=⎰32sin R tdt αα-=⎰3sin 222R t t αα-⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦ 3(2sin 2)2R αα=-3(sin cos ).R ααα=- 3. 计算Lyds ⎰, 其中积分弧段L 是由折线OAB 组成, 而(1,0),A (1,2).B解 在OA 上，0,y =,ds dx = 所以 0.OAyds =⎰在AB 上，1,x =,ds dy =所以AByds ⎰2ydy =⎰ 2.=从而OAByds ⎰OAAByds yds =+⎰⎰02=+ 2.=4.LI xds =⎰，其中L 是圆221x y +=中(0,1)A 到11(,)22B -之间的一段劣弧； 解 L AB =的参数方程为：cos ,sin x y θθ==()42ππθ-≤≤，于是2422cos (sin )cos I d ππθθθθ-=-+⎰241cos (1)2d ππθθ-==+⎰． 5.(1)Lx y ds ++⎰，其中L 是顶点为(0,0),(1,0)O A 及(0,1)B 所成三角形的边界；解 L 是分段光滑的闭曲线，如图9－2所示，根据积分的可加性，则有(1)Lx y ds ++⎰(1)OAx y ds =++⎰(1)ABx y ds +++⎰ (1)BOx y ds +++⎰，由于OA :0y =，01x ≤≤，于是2222()()10dx dy ds dx dx dx dx dx=+=+=，故 13(1)(01)2x y ds x dx ++=++=⎰⎰OA， 而:AB 1y x =-,01x ≤≤，于是2222()()1(1)2dx dy ds dx dx dx dx dx=+=+-=． 故10(1)[(1)1]222ABx y ds x x dx ++=+-+=⎰⎰，同理可知:BO 0x =（01y ≤≤），2222()()01dx dy ds dy dy dy dy dy=+=+=，则 103(1)[01]2BO x y ds y dy ++=++=⎰⎰．xyo(1,0)A (0,1)B xyoABC综上所述33(1)322Lx y ds -+=+=+⎰ 6.2 Lx yzds ⎰，其中L 为折线段ABCD ，这里(0,0,0)A ，(0,0,2),B (1,0,2),C(1,2,3)D ；解 如图所示， 2222 LABBCCDx yzds x yzds x yzds x yzds =++⎰⎰⎰⎰．线段AB 的参数方程为 0,0,2(01)x y z t t ===≤≤ds =2dt ==， 故12 000220ABx yzds t dt =⋅⋅⋅=⎰⎰．线段BC 的参数方程为,0,2(01)x t y z t ===≤≤，则 ,ds dt == 故122 0020BCx yzds t dt =⋅⋅⋅=⎰⎰，线段CD 的参数方程为1,2,2x y t z t ===+(01)t ≤≤，则ds ==， 故11222 0 012(2) (2)CD x yzds t t t t dt =⋅⋅+=+=⎰⎰所以 2222 L AB BC CD x yzds x yzds x yzds x yzds =++=⎰⎰⎰⎰ 7. 设一段曲线ln (0)y x a x b =<≤≤上任一点处的线密度的大小等于该点横坐标的平方，求其质量．解 依题意曲线的线密度为2x ρ=，故所求质量为2LM x ds =⎰，其中:ln (0)L y x a x b =<≤≤．则L 的参数方程为ln x xy x =⎧⎨=⎩ (0)a x b <≤≤， 故ds ===，所以3221[(1)]3b a aM x ==+⎰3322221[(1)(1)]3b a =+-+． 习题9.21 设L 为xOy 面内一直线=y b （b 为常数），证明(,)0=⎰LQ x y dy 。

第1篇一、面试题目1. 请简述数学分析中极限的定义和性质。

解析：数学分析中，极限是指当自变量x趋向于某一点a时，函数f(x)的值趋向于某一点L。

具体来说，如果对于任意给定的正数ε，都存在一个正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε，则称函数f(x)当x趋向于a时极限为L，记作lim(x→a)f(x)=L。

2. 请解释数学中的导数的概念及其几何意义。

解析：导数是描述函数在某一点处的局部变化率。

对于函数y=f(x)，在点x0处的导数表示为f'(x0)。

几何意义上，导数表示曲线在该点的切线斜率。

3. 请简述多元函数偏导数的概念及其几何意义。

解析：多元函数偏导数是指多元函数在某一点处，仅考虑一个变量变化时，函数的导数。

对于多元函数z=f(x,y)，在点(x0,y0)处的偏导数表示为f_x'(x0,y0)和f_y'(x0,y0)。

几何意义上，偏导数表示曲线在该点的切线斜率。

4. 请解释定积分的概念及其物理意义。

解析：定积分是指将一个函数在一个区间上的无穷小分割，然后求和并取极限的过程。

物理意义上，定积分可以表示曲线下方的面积、物理量在某段时间内的累积量等。

5. 请简述多元函数的积分概念及其物理意义。

解析：多元函数的积分是指将一个多元函数在一个区域上的无穷小分割，然后求和并取极限的过程。

物理意义上，多元函数的积分可以表示空间曲面的面积、物理量在某区域内的累积量等。

6. 请解释数学中的级数收敛的概念。

解析：级数收敛是指一个无穷级数的各项之和趋向于某个确定的值。

如果对于任意给定的正数ε，都存在一个正整数N，使得当n>N时，级数的部分和S_n与该确定值L之差的绝对值小于ε，则称该级数收敛。

7. 请简述线性代数中矩阵的概念及其运算。

解析：矩阵是一种由数字组成的矩形阵列，表示线性变换、线性方程组等。

矩阵的运算包括加法、数乘、乘法等。

8. 请解释线性代数中行列式的概念及其性质。

一、填空：（每小题4分，共20分） 1、22(21)t t ∆-+= 。

2、微分方程25cos2x y y y e x '''-+=待定特解的形式为 。

3、已知12t t y C C a =+是差分方程21320t t t y y y ++-+=的通解，则a = 。

4、级数21(2)(1)9nnnn x n ∞=--⋅∑的收敛域为 。

5、微分方程20ydx xdy y xdx -+=的通解为 。

二、判断下列级数的敛散（每小题5分，共10分）：1、1!n n n n ∞=∑2、nn ∞=三、求下列方程的通解或特解：（每小题7分，共28分）1、求微分方程()0ydx y x dy +-= 满足(0)1y = 的特解。

2、求差分方程1363tt t y y +-=通解。

3、设()f x 二阶可导，并且()20()()(1)x t f x f u du dt x =+-⎰⎰，求()f x 。

4、求微分方程28cos y a y bx ''+= 的通解，其中,a b 为正常数。

四、计算下列各题：（每小题7分，共28分）1、求曲面积分()()()y z dydz z x dzdx x y dxdy ∑-+-+-⎰⎰其中∑为錐面(02)z z =≤≤的下侧。

2、将函数21()32f x x x =++展开成4x -（）的幂级数。

3、求幂级数11(1)2n nn n x -∞=+∑的和函数，并求数项级数1(1)2n n n ∞=+∑的和。

4、设二阶连续导函数()f x 使曲线积分[2()3()5]()x LI f x f x e ydx f x dy ''=-+++⎰与路径无关，且有1(0)0,(0)4f f '==，试求曲线积分 (1,2)(0,0)[2()3()5]()x f x f x e ydx f x dy ''-+++⎰的值。

2017年全国硕士研究生入学统一考试数学三真题及答案解析一、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分）（1）若函数⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=0,,0,cos 1)(x b x axxx f 在0=x 处连续，则（ ） )(A 21=ab 。

)(B 21-=ab 。

)(C 0=ab 。

D (2=ab 。

【答案】)(A【解】aax x f x 21cos 1lim)00(0=-=++→，b f f =-=)00()0(，因为)(x f 在0=x 处连续，所以)00()0()00(-==+f f f ，从而21=ab ，应选)(A 。

（2）二原函数)3(y x xy z--=的极值点为（ ）)(A )0,0(。

)(B )3,0(。

)(C )0,3(。

)(D )1,1(。

【答案】)(D【解】由⎪⎩⎪⎨⎧=--='=--='023,02322x xy x z y xy y z yx 得⎩⎨⎧==0,0y x ⎩⎨⎧==1,1y x ⎩⎨⎧==3,0y x ⎩⎨⎧==0,3y x y z xx 2-=''，y x z xy 223--=''，x z yy 2-=''，当)0,0(),(=y x 时，092<-=-B AC ，则)0,0(不是极值点；当)1,1(),(=y x 时，032>=-B AC 且02<-=A ，则)1,1(为极大点，应选)(D 。

（3）设函数)(x f 可导，且0)()(>'⋅x f x f ，则（ ）)(A )1()1(->f f 。

)(B )1()1(-<f f 。

)(C |)1(||)1(|->f f 。

)(D |)1(||)1(|-<f f 。

【答案】)(C 【解】若0)(>x f ，则0)(>'x f ，从而0)1()1(>->f f ；若0)(<x f ，则0)(<'x f ，从而0)1()1(<-<f f ，故|)1(||)1(|->f f ，应选)(C 。

2017年全国硕士研究生入学统一考试数学三真题及答案解析一、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分）（1）若函数⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=0,,0,cos 1)(x b x axxx f 在0=x 处连续，则（ ） )(A 21=ab 。

)(B 21-=ab 。

)(C 0=ab 。

D (2=ab 。

【答案】)(A【解】aax x f x 21cos 1lim)00(0=-=++→，b f f =-=)00()0(，因为)(x f 在0=x 处连续，所以)00()0()00(-==+f f f ，从而21=ab ，应选)(A 。

（2）二原函数)3(y x xy z--=的极值点为（ ）)(A )0,0(。

)(B )3,0(。

)(C )0,3(。

)(D )1,1(。

【答案】)(D【解】由⎪⎩⎪⎨⎧=--='=--='023,02322x xy x z y xy y z yx 得⎩⎨⎧==0,0y x ⎩⎨⎧==1,1y x ⎩⎨⎧==3,0y x ⎩⎨⎧==0,3y x y z xx 2-=''，y x z xy 223--=''，x z yy 2-=''，当)0,0(),(=y x 时，092<-=-B AC ，则)0,0(不是极值点；当)1,1(),(=y x 时，032>=-B AC 且02<-=A ，则)1,1(为极大点，应选)(D 。

（3）设函数)(x f 可导，且0)()(>'⋅x f x f ，则（ ）)(A )1()1(->f f 。

)(B )1()1(-<f f 。

)(C |)1(||)1(|->f f 。

)(D |)1(||)1(|-<f f 。

【答案】)(C 【解】若0)(>x f ，则0)(>'x f ，从而0)1()1(>->f f ；若0)(<x f ，则0)(<'x f ，从而0)1()1(<-<f f ，故|)1(||)1(|->f f ，应选)(C 。

2017年厦门大学考研（教育学综合）真题试卷(总分：48.00，做题时间：90分钟)一、简答题(总题数：10，分数：20.00)1.书院和科举的关系。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：书院属于学校系统中的高级私学，与科举是相互促进、相互制约的关系。

(1)相互促进：唐朝时期科举制促进了当时私学的发展，从而使高级私学在唐末发展为书院的萌芽；书院产生以后，培养了大量人才参加科举的选拔。

(2)相互制约：书院和整个学校系统的兴衰直接影响着科举取士的质量和数量；科举制的标准和方法制约着书院学习的内容与方法。

(3)当统治者过于偏重科举时，会使得书院乃至整个学校系统沦为科举的附庸，虽然出现了诂经精舍、学海堂、漳南书院等对科举制的反抗，但最终并未改变书院的命运。

(4)需要说明的是，决定书院发展的终极因素，是封建社会的政治、经济、文化，而科举制只是一个辅助因素，并非科举制的产生导致了书院或学校教育的衰落。

)解析：2.民国时期的教育设计改革。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：新文化运动以来，西方国家的教学法逐渐传入中国，推动了当时的教育设计改革。

(1)设计教学法。

这是由美国教育家克伯屈提出来的。

其内容包括：①放弃固定的课程体制，取消分科教学，取消教材；②分为四种类型：生产者的设计、消费者的设计、问题的设计、练习的设计；③包括四个步骤：决定目的、制定计划、实施计划、评判结果。

这种方法发挥了儿童的主动性和积极性，尊重儿童心理发展规律，培养了儿童的合作精神，但是容易忽略系统知识的学习。

2017全国研究生入学考试考研数学三试题本试卷满分150，考试时间180分钟一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.（1）若函数0,(),0,x f x b x >=⎪≤⎩在0x =，处连续，则（ ）（A ）12ab =（B ）12ab =-（C ）0ab =（D ）2ab =（2）二元函数(3)z xy x y =--的极值点是（ ） （A ）(0,0)（B ）(0,3)（C ）(3,0)（D ）(1,1)（3）设函数()f x 可导，且()()0f x f x '>，则（ ） （A ）(1)(1)f f >- （B ）(1)(1)f f <-（C ）(1)(1)f f >- （D ）(1)(1)f f <-（4）设级数211sin ln 1n k nn ∞=⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∑收敛，则k =（ ） （A ）1（B ）2（C ）1-（D ）2-（5）设α是n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则 （A ）TE αα-不可逆 （B ）TE αα+不可逆（C ）2T E αα+不可逆（D ）2TE αα-不可逆（6）设矩阵200021001A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，210020001B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，100020002C ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则 （A ）A 与C 相似，B 与C 相似（B ）A 与C 相似，B 与C 不相似 （C ）A 与C 不相似，B 与C 相似（D ）A 与C 不相似，B 与C 不相似（7）设,,A B C 为三个随机事件，且A 与C 相互独立，B 与C 相互独立，则A B ⋃与C 相互独立的充要条件是（A ）A 与B 相互独立（B ）A 与B 互不相容（C ）AB 与C 相互独立（D ）AB 与C 互不相容（8）设12,(2)n X X X n ≥为来自总体(,1)N μ的简单随机样本，记11ni i X X n ==∑，则下列结论中不正确的是 （A ）21()nii Xμ=-∑服从2χ分布（B ）212()n X X -服从2χ分布（C ）21()nii XX =-∑服从2χ分布（D ）2()n X μ-服从2χ分布二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上.（9）3(sin x dx ππ-=⎰_______。

刚上大学的时候，我的家人希望我能考研，因为我的本科学校很普通。

当时，我并没有想过。

直到这几年的学习，出于自身对专业课的兴趣越来越浓厚，想要继续深入系统的学习，而我们本科对专业课的学习知识一点皮毛，是远远不够的！怀着专业的热爱，我毅然决定考研，在大三上册就开始准备复习。

充满信心地去下定决心做一件事情是做好它的前提，最开始自己像一只无头苍蝇一般，没有方向。

只能靠自己慢慢摸索，查资料、看考研经验分享、问学长学姐，虽然这个过程很繁琐，但是我已经下定决心考研，所以无所畏惧！对于考研来说最关键的就是坚持。

一年的考研时间，我想，对于这个词，我是有很多话要说的。

我以为自己是个能坚持的人，但是考研这一年来，真正让我体会到了坚持的不易！正如很多研友的分享所说，考研谁不是一边想放弃一边又咬牙坚持着，那些坚持到最后的人，都会迎来他们的曙光。

文章可能有点长，末尾我也加了一些真题和资料的下载方式，大家放心阅读即可。

厦门大学数学的初试科目为：(101)思想政治理论(201)英语一(616)数学分析和(825)高等代数参考书目为：1、《数学分析》（上、百下）作者：复旦大学欧阳光中等，高等教育出版社。

2、《数学分析》（上、下）作者：陈纪修於崇华金路，高等教育出版社。

3、《高等代度数》作者：北京大学几何与代数教研室代数小组，高等教育出版社。

4、《高等代数》作者：姚慕生，复旦大学数学知系主编，复旦大学出版社。

先说说英语复习心得一.词汇词汇的复习流程其实都比较熟悉了，就是反复记忆。

考研要求掌握5500的词汇量，这是一个比较大的工，我建议考研词汇复习的参考书至少要有两本，一本是比较流行的按乱序编排的书，另一本是按考试出现频率编排的书，也就是所谓的分级词汇或分频词汇，我使用的是木糖的单词和真题，很精练，适合后期重点巩固使用，工作量也不是很大。

为什么要使用分级词汇书呢，因为我们掌握词汇是服务于阅读的，题做多了就会发现，考研阅读考来考去大部分也就是那2000多个词，到后期一定要发现规律，把握重点。

第1篇一、数学分析1. 请解释实数的完备性及其意义。

2. 证明：若数列{an}单调有界，则{an}收敛。

3. 设函数f(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，且f'(x)≠0，证明：存在一点ξ∈(a, b)，使得f'(ξ)=f(b)-f(a)/(b-a)。

4. 证明：若函数f(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，且f'(x)≤0，则f(x)在[a, b]上单调递减。

5. 设函数f(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，且f'(x)≠0，证明：存在一点ξ∈(a, b)，使得f'(ξ)=f(b)-f(a)/(b-a)。

6. 证明：若函数f(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，且f'(x)≤0，则f(x)在[a, b]上单调递减。

7. 设函数f(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，且f'(x)≠0，证明：存在一点ξ∈(a, b)，使得f'(ξ)=f(b)-f(a)/(b-a)。

8. 证明：若函数f(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，且f'(x)≤0，则f(x)在[a, b]上单调递减。

9. 设函数f(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，且f'(x)≠0，证明：存在一点ξ∈(a, b)，使得f'(ξ)=f(b)-f(a)/(b-a)。

10. 证明：若函数f(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，且f'(x)≤0，则f(x)在[a, b]上单调递减。

二、高等代数1. 请解释行列式的定义及其性质。

2. 证明：若矩阵A可逆，则|A|≠0。

3. 设矩阵A为n阶方阵，求证：A的行列式|A|等于其特征值的乘积。

4. 证明：若矩阵A为n阶方阵，且|A|=0，则A不可逆。

5. 设矩阵A为n阶方阵，求证：A的行列式|A|等于其特征值的乘积。

数学专业复试题及答案大全一、选择题1. 极限的定义是：A. 函数在某一点处的值B. 函数在某一点处的导数C. 函数在某一点处的无穷小D. 函数在某一点处的无穷小的比值答案：D2. 微分方程dy/dx = x^2 + y^2的解是：A. y = x^3 + CB. y = x^2 + CC. y = x^2 + CxD. y = Cx^2 + x答案：A3. 矩阵的秩是指：A. 矩阵的行数B. 矩阵的列数C. 矩阵中线性无关的行或列的最大数目D. 矩阵中元素的个数答案：C4. 欧拉公式e^(ix) = cos(x) + i*sin(x)中的i是：A. 虚数单位B. 复数单位C. 矩阵单位D. 向量单位答案：A5. 以下哪个命题是真命题？A. 所有实数都可以表示为有理数B. 所有实数都可以表示为无理数C. 存在无理数不能表示为有理数D. 所有实数都可以表示为整数答案：C二、填空题6. 函数f(x) = x^2 - 4在x = ______ 时取得极小值。

答案：27. 一个圆的半径为r，其面积S可以表示为 S = ______。

答案：πr^28. 集合{1, 2, 3}和{2, 3, 4}的交集是 ______。

答案：{2, 3}9. 若函数f(x)在区间(a, b)内单调递增，则f(x)在该区间的导数______。

答案：恒大于等于010. 欧拉恒等式e^(iπ) + 1 = 0中，π是 ______。

答案：圆周率三、解答题11. 证明：对于任意正整数n，n^5 - n 能被30整除。

证明：首先考虑n的奇偶性。

当n为奇数时，n^5 - n = n(n^4 - 1) = n(n^2 + 1)(n^2 - 1)= n(n^2 + 1)(n + 1)(n - 1)，其中n、n+1、n-1均为连续整数，根据连续整数的性质，至少有一个是5的倍数，另外两个是2的倍数，所以n^5 - n能被30整除。

当n为偶数时，n^5 - n = n(n^4 - 1) = 2n(n^2 + 1)(n^2 - 1) = 2n(n^2 + 1)(n + 1)(n - 1)，同理，其中至少有一个是5的倍数，另外两个是2的倍数，所以n^5 - n也能被30整除。

厦门大学数理统计考研复试经验复试部分第一、英文口试我本科上过口语课所以口语还不错，然后也准备了一些topic。

尤其是我一紧张说话会特别快，显得很流利···所以口试我是不担心的···老师听完自我介绍，和我聊了一下家乡，未来的计划，为什么选统计，都是很常见的话题，聊了两三分钟就和我说可以了。

老师人都很好，所以不要害怕，大胆地说。

第二、中英文献互译英译中大家应该都没什么问题，论坛里也有一些很棒的同学整理了题目，但是中译英就有点问题吧，我专业课不考经济学，所以我很多经济学名词也只在以前学宏微观的时候接触过，忘的差不多了，加之我初试的感觉不是很好，没怎么准备，所以今年的套利啊什么的专业名词就没翻出来，但文章是尽力去翻了。

第三、中文专业和综合素质面试数理统计是单独面试，在一个办公室里，一个人对着六七个老师，进去先用英文自我介绍，然后抽题，我抽到的是一个多重共线性的检验与修正，我本科计量学的还不错，但是面试前没看计量就直接去了，凭着一点仅存的记忆，我大概说了是要用逐步回归的修正的，然后和老师说明了一下我计量部分的内容真的不太记得清了，但可能因为我本科是统计的吧，所以我接下来被问到的很多问题仍然是和计量相关的，问题有：回归的基本假定是什么，说一下最小二乘估计，说一下beta^hat的估计表达式，什么是R方，什么是修正的R方，变量越多R方越大吗，修正的R方与R方的关系，什么是极大似然估计，极大似然估计有什么性质，什么是相合性，正态分布的极大似然估计的解析式是什么，它是无偏的吗···然后还问了研究方向和用R做过什么项目，碰到答不上来的题目时候也觉得挺尴尬的。

总之，虽然老师人都很好，但中文面完感觉也没有底，看到最后的结果上了挺开心的，大概就是这样。

最后说一些和室友聊天的时候想到的东西，就是今年能考上，真的是因为题目简单，但是对于那些从三月份甚至更早就开始复习了的同学，不管题目难或者简单，他们都可以考到好的分数，这和我是完全不一样的，所以希望有考数统打算的学弟学妹不管初试还是复试都好好对待，不管能走到哪一步，但都要去试，早点开始准备，加油。

2017年考研数学(三)试卷答案速查一、选择题（1）A （2）D （3）C （4）C （5）A （6）B （7）C （8）B 二、填空题（9）3π2（10）122t t C t −+⋅ （11）1(1)e QQ −+−（12）e yxy （13）2 （14）92三、解答题 （15）23． （16（17）14． （18）11(1,)ln 22k ∈−． （19）略．（20）（Ⅰ）略．（Ⅱ）112111k ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭x （k 为任意常数）．（21）2=a ．（Ⅱ）0⎛ = ⎝Q ． （22）（Ⅰ）49. （Ⅱ）,01,()2,23,0,.Z z z f z z z <<⎧⎪=−<⎨⎪⎩其他（23）（Ⅰ）2212,0,()0,;其他z Z z f z σ−⎧>=⎩；（Ⅱ）ˆ2σ=；（Ⅲ）ˆσ=2017年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）参考答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上． （1）【答案】（A ）.【详解】因为()f x 在0x =连续，所以0lim ()lim ()(0)x x f x f x f +−→→==; 由20001112lim()lim lim ,2x x x f x ax ax a +++→→→−===0lim ()(0)x f x f b −→==； 得12b a =，即12ab =．故选（A ）．（2）【答案】（D ）.【详解】由(32)0,(32)0zy x y xz x x y y∂⎧=−−=⎪∂⎪⎨∂⎪=−−=∂⎪⎩得驻点(0,0),(0,3),(3,0),(1,1)；又222222,2,322z z zy x x y x y x y∂∂∂=−=−=−−∂∂∂∂； 利用极值的充分条件:当(,)(0,0)x y =时，290AC B −=−<，(0,0)不是极值点；(,)(0,3)x y =时，290AC B −=−<，(0,3)不是极值点； (,)(3,0)x y =时，290AC B −=−<，(3,0)不是极值点；(,)(1,1)x y =时，230AC B −=>，(1,1)是极值点;故选（D ）.（3）【答案】（C ）.【详解】由()()0f x f x '>，可判断2()f x 的单调性. 由于2(())2()()0f x f x f x ''=>，于是2()f x 在所考虑的区间上单调增加，因此，22(1)(1)f f >−,即(1)(1)f f >−，故选（C ）．（4）【答案】（C ）.【详解】因为331()111sin (())3!n o n n n =−+,221()111ln(1)(())2n o n n n−=++，所以332211111111sin ln(1)()()()62k o k o n n n n n n n n −−=−+−−++2211(1)()2k k o n n n=+−+，因为11n n∞=∑发散，211n n ∞=∑收敛，所以当10k +=，即1k =−时, 2111sin ln(1)()k O n n n −−=.故选（C ）.（5）【答案】（A ）．【详解】由条件知T1=αα，T αα为n 阶方阵，且T ()=αααα，T ()1r =αα，所以矩阵T αα的特征值为1和0（1n −重）. 则矩阵T−E αα特征值分别为10λ=，21n λλ===，所以T −E αα不可逆． 故选（A ）．（6）【答案】（B ）．【详解】A ,B 是上三角矩阵，C 是对角阵，特征值都是1,2,2．对于A 的二重特征值122,(2)312n r λλ==−−=−=A E （等于重数），故A 可相似对角化，相似于C ．对于B 的二重特征值122,(2)321n r λλ==−−=−=B E （小于重数），于是B 不可相似对角化，B 不相似于C ．故选（B ）．（7）【答案】（C ）.【详解】由独立性可知[()]()()P A B C P A B P C =;[()][()()]P A B C P AC BC =()()()P AC P BC P ACBC =+−()()()()(),P A P C P B P C P ABC =+−而()()[()()()]()P A B P C P A P B P AB P C =+−()()()()()()P A P C P B P C P AB P C =+−,从而有()()()P ABC P AB P C =. 故选（C ）.（8）【答案】（B ）． 【详解】（A ）选项(0,1)i X N μ−，所以221()()ni i X n μχ=−−∑；（B ）选项(0,2)n iX X N −，所以22()(1)2n i X X χ−，从而22()n i X X −不服从2χ分布； （C ）选项22221(1)()(1)1ni i n S X X n χ=−−=−∑；（D ）选项1(0,)X N n μ−，所以222()(1)X n X μχ⎛⎫⎪−=．故选（B ）．二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． （9）【答案】3π2.【详解】原式ππ3πsin d x x x −−=+⎰⎰π23110.22x −=+=⋅ππ=⋅π⎰（10）【答案】122t t C t −+⋅.【详解】易知对应的齐次方程的通解为2t C y C =，设非齐次方程的特解为*2t t y At =⋅，代入原方程解得12A =，所以通解为 *1()(2)2t t t C y y y t C t −=+=+⋅.（11）【答案】1(1)eQQ −+−.【详解】成本函数()()(1e )QC Q Q C Q Q −=⋅=+，所以d ()[(1e )]1(1)e d Q Q C Q Q Q Q−−'=+=+−. （12）【答案】e yxy .【详解】由题设可得(,)e ,(,)(1)e yyx y f x y y f x y x y ''==+.而(,)e d e ()yyf x y y x xyg y ==+⎰,d[e ()]d ()(,)(1)e d d yy x xy g y g y f x y x y y y+'==++;所以，d (),(),(,)e d y g y C g y C f x y xy C y===+，再由(0,0)0f =得(,)e y f x y xy =.（13）【答案】2．【详解】因为123,,ααα线性无关，则123(,,)ααα为可逆矩阵．于是123123(,,)[(,,)]()r r r ==A A A A A αααααα.对A 进行初等行变换，101011,000⎛⎫⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭A得()2r =A ，所以123,,A A A ααα的秩为2．（14）【答案】92.【详解】根据分布律的性质及期望的定义,可得11,21(2)130,2a b a b ⎧++=⎪⎪⎨⎪−⋅+⋅+⋅=⎪⎩解得 1,41;4a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 所以22222211199(2)13,24422EX DX EX E X =⋅−+⋅+⋅==−=.三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． （15）（本题满分10分）【解】对于分子，被积函数含有x ，首先利用换元法分离x ，e d e (d )e e d t x u x u xx t ux t tu u u u −−−=−−=⎰⎰⎰.所以原式03100022e d e 2lim e limlim 332x u x xx x x u u x xx +++−−→→→=⋅==⎰. （16）（本题满分10分）【详解】如右图所示，其积分区域为图中阴影部分；所以原式3242d d (1)xy x y x y +∞=++⎰324220001111d (414121y xy y x x y x x =+∞+∞==−=−++++⎰⎰012(2(arctan )4282x x +∞=−−=（17）（本题满分10分） 【解】由定积分定义得，21lim ln 1nn k k k nn →∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑1011lim ln(1)ln(1)d n n k k k x x x n n n →∞==+=+∑⎰ 2211120001111ln(1)d ln(1)d 2221x x x x x x x−+=+=+−+⎰⎰10111ln 21d 221x x x ⎛⎫=−−+ ⎪+⎝⎭⎰11200111ln 2(1)ln (1)242x x =−−−+ 1111ln 2ln 2.2424=+−=（18）（本题满分10分） 【解】构造函数11(),(0,1)ln(1)f x x x x=−∈+，则011lim (),(1)12ln 2x f x f +→==−； 22222211(1)ln (1)()(1)ln (1)(1)ln (1)x x x f x x x x x x x ++−'=−=++++； 设22()(1)ln (1)g x x x x =++−，则有2()ln (1)2ln(1)2g x x x x '=+++−，2ln(1)22[ln(1)]()20111x x x g x x x x++−''=+−=<+++，结合(0)(0)0g g '==，可以判断()0f x '<，()f x 单调减少，其值域为11(1,)ln 22−； 所以11(1,)ln 22k ∈−.（19）（本题满分10分）【证】（Ⅰ）由已知条件得11)1(−++=+n n n a na a n ，即1111n n n n a a a a n +−−=−−+. 因此112111011210()n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a +−+−−−−−−−=⋅⋅⋅⋅−−−−110(1)1()(1)(1)!(1)!n n a a n n +−=−=−++，其中01a =，10a =. 从而1111111(1)(1)(1)(1)!(1)!!n n n n n n a a a n n n +++−=−+=−+−+++11112111(1)(1)(1)(1)(1)!!2!!k n n n k a n n n k +++=−==−+−+++=+∑.因为1121e !n n k a k ++=<∑，所以收敛半径1lim 1n n n a R a →∞+==，故收敛半径不小于1. （Ⅱ）因为0()nn n S x a x∞==∑，则111()(1)n n n n n n S x na xn a x ∞∞−+=='==+∑∑，1110(1)()(1)(1)nn n n n n x S x n a x n a x ∞∞+++=='−=+−+∑∑.由于11(1)n n n n a na a +−+=+，因此111111(1)()(1)()nnn n n n n n n x S x a na x a x n a x xS x ∞∞∞+−+==='−=++−+=∑∑∑；即得到可分离变量的微分方程(1)()()x S x xS x '−=，解得e ()1xC S x x −=−.再结合初始条件0(0)1S a ==，得1C =−，所以e ()(11).1xS x x x−=−<<−（20）（本题满分11分）【解】（Ⅰ）由于3122=+ααα知123,,ααα线性相关，得0=A ，于是0是A 的特征值．设A 的特征值为1230,,λλλ=，由于它们两两不等，所以23,λλ都不为0,并且A 相似于230000000λλ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭．于是12000()00 2.00r r λλ⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭A（Ⅱ）由3122=+ααα，得1232++=ααα0，即T(1,2,1)−=A 0，则T(1,2,1)−是齐次方程=Ax 0的一个特解．因为()2r =A ，所以=Ax 0的基础解系只包含一个解向量，于是T(1,2,1)−构成=Ax 0的基础解系．T 123(1,1,1)=++=A αααβ，因此T(1,1,1)是非齐次方程=Ax β的一个特解．于是=Ax β的通解为：T T (1,1,1)(1,2,1),C C +−取任意常数．（21）（本题满分11分）【解】f 的二次型矩阵为21411141a −⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭A ，相似于矩阵12000.000λλ⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭B 故0==A B ．求出63a =−A ，得 2.a =得214111.412−⎛⎫⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭AA 的特征多项式为214606111111412412λλλλλλλλ−−−−−=−+−=−+−−−−−E A 600112412λλλ−=−+−−+2(6)(3)(6)(3)λλλλλλ=−+=−+； 求得A 的特征值为1236,3,0.λλλ==−=当16λ=时，(6)−=A E x 0的一个非零解T(1,0,1)−，单位化得T1=ξ； 当23λ=−时，(3)+=A E x 0的一个非零解T(1,1,1)−，单位化得T 2=ξ； 当30λ=时，(0)−=A E x 0的一个非零解T(1,2,1)，单位化得T 3.=ξ令正交矩阵123(,,)0⎛== ⎝Q ξξξ，则123(,,)f x x x 在正交变换=x Qy下化为221263.y y −（22）（本题满分11分） 【解】（Ⅰ）由122d 3EY y y y =⋅=⎰，得 {}23242d .39P Y EY P Y y y ⎧⎫===⎨⎬⎩⎭⎰ （Ⅱ） {}{}()F z P Z z P X Y z ==+{}{}0,2,P X X Y z P X X Y z ==++=+ {}{}{}{}022P X P Y z P X P Y z ==+=− {}{}112,22P Y z P Y z =+− 当0z <时，()0F z =；当01z <<时，201()2d 022z z F z y y =+=⎰；当11z <时，11()(10)22F z =+=； 当23z <时，220111(2)()2d 2222z z F z y y −−=+=+⎰；当3z 时，() 1.F z =即 ,01,()2,23,0,Z z z f z z z <<⎧⎪=−<⎨⎪⎩其他.（23）（本题满分11分） 【解】（Ⅰ）由题设知，21(,)X N μσ，则1(0,1)X N μσ−，{}{}111()Z F z P Z z P X z μ==−；当0z 时，1()0,Z F z = 当0z >时， {}{}111()Z F z P X z P z X z μμ=−=−−11121,X z z z P μσσσσ−−⎧⎫⎛⎫==Φ−⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭ 综上所述：2212,0,()0,0.z Z z f z z σ−⎧>=⎩（Ⅱ）由（Ⅰ）知，221210()()d d z ZE Z zf z z z σ−+∞+∞−∞==⎰⎰222220ed ,2z z σσσ−+∞⎛⎫== ⎪⎝⎭故σ的矩估计量为ˆ2σ=11.ni i Z X n μ==−∑（Ⅲ）似然函数221221π()()()e ,0,1,2,,,20,i ni i n nn Z i i i z L f z z i n σσσ=−−−=⎧⎪⎪==>=⎨⎪⎪⎩∑∏其他.取对数得 221π1ln ()ln ln ,222nii n L n zσσσ==−−−∑等式两边对σ求导，得231d ln ()1d n i i Ln z σσσσ==−+∑，令d ln ()0d Lσσ=，得σ=故σ的最大似然估计量为ˆσ=。

2017年考研数学三真题及解析一、选择题一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．分．1．若函数1cos ,0(),0xx f x ax b x ì->ï=íï£î在0x =处连续，则处连续，则 （A ）12ab =（B ）12ab =-（C ）0ab =（D ）2ab =【详解】0011cos12lim ()lim lim 2x x x x x f x ax ax a +++®®®-===，0lim ()(0)x f x b f -®==，要使函数在0x =处连续，必须满足1122b ab a =Þ=．所以应该选（A ） 2．二元函数(3)z xy x y =--的极值点是（的极值点是（ ）（A ）(0,0) （B ）03(,) （C ）30(,) （D ）11(,)【详解】2(3)32z y x y xy y xy y x ¶=---=--¶，232z x x xy y¶=--¶，2222222,2,32z z z z y x x xyx yy x¶¶¶¶=-=-==-¶¶¶¶¶¶解方程组22320320z y xy y x z x x xy y¶ì=--=ï¶ïí¶ï=--=¶ïî，得四个驻点．对每个驻点验证2AC B -，发现只有在点11(,)处满足230AC B -=>，且20A C ==-<，所以11(,)为函数的极大值点，所以应该选（D ）3．设函数()f x 是可导函数，且满足()()0f x f x ¢>，则，则（A ）(1)(1)f f >- （B ）11()()f f <- （C ）11()()f f >- （D ）11()()f f <-【详解】设2()(())g x f x =，则()2()()0g x f x f x ¢¢=>，也就是()2()f x 是单调增加函数．也就得到()()22(1)(1)(1)(1)f f f f >-Þ>-，所以应该选（C ）4． 若级数211sin ln(1)n k n n ¥=éù--êúëûå收敛，则k =（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）1- （D ）2-【详解】iv n ®¥时22221111111111sin ln(1)(1)22k k k o k o n n n n n n n n n æöæöæöæö--=---+=++ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø 显然当且仅当(1)0k +=，也就是1k =-时，级数的一般项是关于1n的二阶无穷小，级数收敛，从而选择（C ）．5．设a 为n 单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则阶单位矩阵，则（A ）TE aa -不可逆不可逆 （B ）TE aa +不可逆不可逆（C ）2TE aa +不可逆不可逆 （D ）2TE aa -不可逆不可逆【详解】矩阵Taa 的特征值为1和1n -个0，从而,,2,2T T T T E E E E aa aa aa aa -+-+的特征值分别为0,1,1,1 ；2,1,1,,1 ；1,1,1,1,1,1,,,1- ；3,1,1,,1 ．显然只有TE aa -存在零特征值，所以不可逆，应该选（A ）．6．已知矩阵200021001A æöç÷=ç÷ç÷èø，210020001B æöç÷=ç÷ç÷èø，100020002C æöç÷=ç÷ç÷èø，则，则（A ）,A C 相似，,B C 相似相似 （B ）,A C 相似，,B C 不相似不相似（C ）,A C 不相似，,B C 相似相似 （D ）,A C 不相似，,B C 不相似不相似【详解】矩阵,A B 的特征值都是1232,1l l l ===．是否可对解化，只需要关心2l =的情况．的情况．对于矩阵A ，0002001001E A æöç÷-=-ç÷ç÷èø，秩等于1 ，也就是矩阵A 属于特征值2l =存在两个线性无关的特征向量，也就是可以对角化，也就是~A C ．对于矩阵B ，010*******E B -æöç÷-=ç÷ç÷èø，秩等于2 ，也就是矩阵A 属于特征值2l =只有一个线性无关的特征向量，也就是不可以对角化，当然,B C 不相似故选择（B ）．7．设,A B ，C 是三个随机事件，且,A C 相互独立，,B C 相互独立，则A B 与C 相互独立的充分必要条件是（条件是（ ）（A ）,A B 相互独立相互独立 （B ）,A B 互不相容互不相容 （C ）,AB C 相互独立相互独立 （D ）,AB C 互不相容互不相容【详解】【详解】(())()()()()()()()()()P A B C P AC AB P AC P BC P ABC P A P C P B P C P ABC =+=+-=+-()()(()()())()()()()()()()P A B P C P A P B P AB P C P A P C P B P C P AB P C =+-=+-显然，A B 与C 相互独立的充分必要条件是()()()P ABC P AB P C =，所以选择（C ）．8．设12,,,(2)n X X X n ³ 为来自正态总体(,1)N m 的简单随机样本，若11ni i X X n==å，则下列结论中不正确的是（正确的是（ ）（A ）21()ni i X m =-å服从2c 分布分布 （B ）()2212n X X -服从2c 分布分布（C ）21()nii XX =-å服从2c 分布分布（D ）2()n X m -服从2c 分布分布 解：（1）显然22()~(0,1(0,1))()~1(1),),1,2,i i X N X i n m m c -Þ-= 且相互独立，所以21()nii X m =-å服从2()n c 分布，也就是（A ）结论是正确的；）结论是正确的；（2）222221(1)()(1)~(1)nii n SXXn S n c s=--=-=-å，所以（C ）结论也是正确的；）结论也是正确的；（3）注意221~(,)()~(0,1)()~(1)X N n X N n X nm m m c Þ-Þ-，所以（D ）结论也是正确的；）结论也是正确的；（4）对于选项（B ）：221111()~(0,2)~(0,1)()~(1)22nn n X XX X N N X X c --ÞÞ-，所以（B ）结论是错误的，应该选择（B ）二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）把答案填在题中横线上） 9．322(sin)x x dx pp p -+-=ò ．解：由对称性知332222(sin)22x x dx x dx ppp pp p -+-=-=òò． 10．差分方程122tt tyy+-=的通解为的通解为． 【详解】齐次差分方程120t tyy+-=的通解为2xy C =；设122t t tyy+-=的特解为2tt y at =，代入方程，得12a =；启航考研启航考研 只为一次考上研只为一次考上研所以差分方程122t t ty y+-=的通解为12 2.2tty C t =+11．设生产某产品的平均成本()1QC Q e -=+，其中产量为Q ，则边际成本为，则边际成本为 . 【详解】答案为1(1)QQ e -+-．平均成本()1QC Q e-=+，则总成本为()()QC Q QC Q Q Qe-==+，从而边际成本为，从而边际成本为()1(1).Q C Q Q e -¢=+-12．设函数(,)f x y 具有一阶连续的偏导数，且已知(,)(1)y ydf x y ye dx x y e dy =++，(0,0)0f =，则(,)f x y =【详解】(,)(1)()y y y df x y ye dx x y e dy d xye =++=，所以(,)yf x y xye C =+，由(0,0)0f =，得0C =，所以(,)yf x y xye =．13．设矩阵101112011A æöç÷=ç÷ç÷èø，123,,a a a 为线性无关的三维列向量，则向量组123,,A A A a a a 的秩为 ．【详解】对矩阵进行初等变换101101101112011011011011000A æöæöæöç÷ç÷ç÷=®®ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèø，知矩阵A 的秩为2，由于123,,a a a 为线性无关，所以向量组123,,A A A a a a 的秩为2．14．设随机变量X 的概率分布为{}122P X =-=，{}1P X a ==，{}3P X b ==，若0EX =，则DX = ．【详解】显然由概率分布的性质，知112a b ++= 12133102EX a b a b =-´+´+´=+-=，解得11,44a b ==29292EX a b =++=，229()2DX EX E X =-=．三、解答题三、解答题15．（本题满分10分）分） 求极限03lim xt x x te dt x+®-ò启航考研启航考研 只为一次考上研只为一次考上研【详解】令x t u -=，则,t x u dt du =-=-，xxtx ux te dt uedu --=òò33300002lim lim limlim 332xxxtxuu x x x x x x te dt eue du ue du xe xx x x ++++---®®®®-====òòò 16．（本题满分10分）分） 计算积分3242(1)Dy dxdy x y ++òò，其中D 是第一象限中以曲线y x =与x 轴为边界的无界区域．轴为边界的无界区域．【详解】【详解】332422422424200220(1)(1)1(1)4(1)11121411282xDx y y dxdy dxdyxy x y d x y dx x y dxx x p +¥+¥+¥=++++++=++æöæö=-=-ç÷ç÷ç÷++èøèøòòòòòòò 17．（本题满分10分）分）求21lim ln 1nnk k k n n ®¥=æö+ç÷èøå 【详解】由定积分的定义【详解】由定积分的定义120111201lim ln 1lim ln 1ln(1)11ln(1)24nn n n k k k k k k x x dx n n n n n x dx ®¥®¥==æöæö+=+=+ç÷ç÷èøèø=+=ååòò 18．（本题满分10分）分） 已知方程11ln(1)k x x -=+在区间(0,1)内有实根，确定常数k 的取值范围．的取值范围．【详解】设11(),(0,1)ln(1)f x x x x =-Î+，则，则22222211(1)ln (1)()(1)ln (1)(1)ln (1)x x xf x x x x x x x ++-¢=-+=++++ 令22()(1)ln (1)g x x x x =++-，则2(0)0,(1)2ln 21g g ==-2()ln (1)2ln(1)2,(0)0g x x x x g ¢¢=+-+-=启航考研启航考研 只为一次考上研只为一次考上研2(ln(1))()0,(0,1)1x x g x x x+-¢¢=<Î+，所以()g x ¢在(0,1)上单调减少，上单调减少，由于(0)0g ¢=，所以当(0,1)x Î时，()0)0g x g ¢¢<=，也就是()g x ()g x ¢在(0,1)上单调减少，当(0,1)x Î时，()(0)0g x g <=，进一步得到当(0,1)x Î时，()0f x ¢<，也就是()f x 在(0,1)上单调减少．上单调减少．0011ln(1)1lim ()lim lim ln(1)ln(1)2x x x x x f x x x x x +++®®®æö-+=-==ç÷++èø，1(1)1ln 2f =-，也就是得到111ln 22k -<<． 19．（本题满分10分）分） 设011111,0,()(1,2,3),1n n n a a a na a n n +-===+=+ ，()S x 为幂级数0n n n a x ¥=å的和函数的和函数（1）证明nn n a x ¥=å的收敛半径不小于1． （2）证明(1)()()0((1,1))x S x xS x x ¢--=Î-，并求出和函数的表达式．，并求出和函数的表达式． 【详解】（1）由条件11111()(1)1n n n n n n a na a n a na a n +-+-=+Þ+=++ 也就得到11(1)()()n n n n n aa a a +-+-=--，也就得到111,1,2,1n n n n a a n a a n +--=-=-+ 1112110112101(1)(1)!n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a n ++--------=´´´=-----+也就得到111(1),1,2,(1)!n n n a a n n ++-=-=+111121121()()()(1)!n k n n n n n k a a a a a a a a k +++-==-+-++-+=-å111lim lim lim 12!3!!nn nn n nna e n r ®¥®¥®¥=£+++£= ，所以收敛半径1R ³ （2）所以对于幂级数nn n a x ¥=å， 由和函数的性质，可得11()n n n S x na x ¥-=¢=å，所以，所以11111101111111(1)()(1)(1)((1))()n n nn n n n n n n nn n n n nnn n n nn nn n n n n n x S x x na xna xna xn a x na x a n a na x a x a xx a x xS x ¥¥¥--===¥¥+==¥+=¥¥¥+-===¢-=-=-=+-=++-====ååååååååå也就是有(1)()()0((1,1))x S x xS x x ¢--=Î-．解微分方程(1)()()0x S x xS x ¢--=，得()1xCe S x x-=-，由于0(0)1S a ==，得1C =所以()1x e S x x-=-．20．（本题满分11分）分）设三阶矩阵()123,,A a a a =有三个不同的特征值，且3122.a a a =+ （1）证明：()2r A =；（2）若123,b a a a =+，求方程组Ax b =的通解．的通解．【详解】（1）证明：因为矩阵有三个不同的特征值，所以A 是非零矩阵，也就是()1r A ³．假若()1r A =时，则0r =是矩阵的二重特征值，与条件不符合，所以有()2r A ³，又因为31220a a a -+=，也就是123,,a a a 线性相关，()3r A <，也就只有()2r A =．（2）因为()2r A =，所以0Ax =的基础解系中只有一个线性无关的解向量．由于31220a a a -+=，所以基础解系为121x æöç÷=ç÷ç÷-èø； 又由123,b a a a =+，得非齐次方程组Ax b =的特解可取为111æöç÷ç÷ç÷èø；方程组Ax b =的通解为112111x k æöæöç÷ç÷=+ç÷ç÷ç÷ç÷-èøèø，其中k 为任意常数．为任意常数．21．（本题满分11分）分）设二次型222123123121323(,,)2282f x x x x x ax x x x x x x =-++-+在正交变换x Q y =下的标准形为221122y y l l +，求a 的值及一个正交矩阵Q ． 【详解】二次型矩阵21411141A a -æöç÷=-ç÷ç÷-èø因为二次型的标准形为221122y y l l +．也就说明矩阵A 有零特征值，所以0A =，故 2.a =114111(3)(6)412E A l l l l l l l ---=+=+---令0E A l -=得矩阵的特征值为1233,6,0l l l =-==．通过分别解方程组()0i E A x l -=得矩阵的属于特征值13l =-的特征向量111131x æöç÷=-ç÷ç÷èø，属于特征值特征值26l =的特征向量211021x -æöç÷=ç÷ç÷èø，30l =的特征向量311261x æöç÷=ç÷ç÷èø， 所以()12311132612,,036111326Q x x x æö-ç÷ç÷ç÷==-ç÷ç÷ç÷ç÷èø为所求正交矩阵．为所求正交矩阵． 22．（本题满分11分）分）设随机变量,X Y 相互独立，且X 的概率分布为{}10{2}2P X P X ====，Y 的概率密度为2,01()0,y y f y <<ì=íî其他．（1）求概率P Y EY £（）；（2）求Z X Y =+的概率密度．的概率密度． 【详解】（1）1202()2.3Y EY yf y dy y dy +¥-¥===òò所以{}23024239P Y EY P Y ydy ìü£=£==íýîþò（2）Z X Y =+的分布函数为的分布函数为{}{}{}{}{}{}{}[](),0,20,2,211{}2221()(2)2Z Y Y F z P Z z P X Y z P X Y z X P X Y z X P X Y z P X Y z P Y z P Y z F z F z =£=+£=+£=++£===£+=£-=£+£-=+-故Z X Y =+的概率密度为的概率密度为[]1()()()(2)2,012,230,Z Z f z F z f z f z z z z z ¢==+-££ìï=-£<íïî其他23．（本题满分11分）分）某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做了n 次测量，该物体的质量m 是已知的，设n 次测量结果12,,,n X X X 相互独立且均服从正态分布2(,).N m s 该工程师记录的是n 次测量的绝对误差,(1,2,,)i i Z X i n m =-= ，利用12,,,n Z Z Z 估计参数s ． （1）求i Z 的概率密度；的概率密度；（2）利用一阶矩求s 的矩估计量；的矩估计量； （3）求参数s 最大似然估计量．最大似然估计量． 【详解】（1）先求i Z 的分布函数为的分布函数为{}{}()i Z i i X z F z P Z z P X z P m m ss ì-ü=£=-£=£íýîþ 当0z <时，显然()0ZF z =； 当0z ³时，{}{}()21iZ i i X zz F z P Z z P X z P mm sssì-üæö=£=-£=£=F -íýç÷èøîþ；所以i Z 的概率密度为2222,0()()20,0z Z Z e z f z F z z s ps-ì³ï¢==íï<î．（2）数学期望222022()z i EZ z f z dz zedz s s -+¥+¥===òò，22p p12(2)ne ps å=21ln(222n s--å令3ln ()1d L n d s s s s =-+å211n i i z n ==å．。

厦门大学2016-2017学年第2 学期高等数学A 期末考试试卷2016~2017学年第2 学期 考试科目：高等数学A 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟学号 姓名 年级专业一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．二元函数2ln(21)z y x =-+的定义域为 。

2. 设向量(2,1,2)a =，(4,1,10)b =-，c b a λ=-，且a c ⊥，则λ= 。

3．经过(4,0,2)-和(5,1,7)且平行于x 轴的平面方程为 。

4．设yz u x =，则du = 。

5．级数11(1)npn n ∞=-∑，当p 满足 条件时级数条件收敛。

二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．微分方程2()'xy x y y +=的通解是（ ）A ．2x y Ce =B ．22x y Ce =C ．22y y e Cx =D ．2y e Cxy = 2．求极限(,)(0,0)limx y →=（ ）A ．14 B ．12- C ．14- D ．123．直线:327x y zL ==-和平面:32780x y z π-+-=的位置关系是 （ ）A ．直线L 平行于平面πB ．直线L 在平面π上C ．直线L 垂直于平面πD ．直线L 与平面π斜交4．D 是闭区域2222{(,)|}x y a x y b ≤+≤，则Dσ= （ ）A ．33()2b a π-B ．332()3b a π-C ．334()3b a π-D ．333()2b a π-5．下列级数收敛的是 （ ）A ．11(1)(4)n n n ∞=++∑ B ．2111n n n ∞=++∑ C ．1121n n ∞=-∑ D．1n ∞=三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1. 求微分方程'x y y e +=满足初始条件0x =，2y =的特解。

2. 计算二重积分22Dx y dxdy x y++⎰⎰，其中22{(,)1,1}D x y x y x y =+≤+≥。

厦门大学实变函数试题一、（30）回答下列问题：（1）证明：() Ii i i I i i I i i B A B A ∈∈∈⊃⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛() I i i i I i i I i i B A B A ∈∈∈⊂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛举例说明上两式的包含关系不能改为相等关系。

（2）设)2,1,0( =n A n 是给定的集列，此集列的上限集n nA lim 与下限集n n A lim 是如何定义的？证明n n A lim ⊂n nA lim 。

又设A A n =4，B A n =+14，C A n =+24，D A n =+34(n=0,1,2…)。

求出n n A lim 与n nA lim 。

(3)设A ,B 是给定的集合，记(){}B y A x y x B A ∈∈=⨯,,，下列两式是否成立？（如成立请证明，如不成立请举反例）1) ()()()()D B C A D C B A ⨯=⨯⨯；2) ()()()()D B C A D C B A ⨯=⨯⨯。

(4)叙述实直线上开集、闭集、稠集、无处稠密集（疏朗集）的定义。

二、（20分）设 f 是定义在实直线R 上非负实值的勒贝格（Lebesgue ）可测函数，则存在定义在R 上的由勒贝格可测集的特征函数的线性组合所组成的函数列n S (即简单函数列),使得n S 在R 上点点收敛于f 且满足 ≤≤≤≤≤n S S S 210，若f 是有界的，则上述的收敛在R 上还是一致的。

三、(20分)设(R ,B ,μ)是测度空间，其中R 是实数集，B 是R 上的Borel 集全体，μ为定义在B 上的测度，且对每个有界的Borel 集E ，其测度)(E μ是有限的，定义a (t)=⎪⎩⎪⎨⎧<=>-000))0,([0)),0([t t t t t 当当当μμ，其中记[a ,b)={x ∈R|a ≤x <b}。

证明 (1) a (t)是定义在R 上的不减的左连续的实函数；(2) -∞>-∞→)(lim t a t ，当而且仅当+∞<-∞))0,((μ， +∞<+∞→)(lim t a t ，当而且仅当+∞<+∞)),0([μ；(3) a (t )在R 上连续当而且仅当对一切})({,x R x μ∈=0。