2018届吉林省实验中学高三上学期第四次阶段检测文科数学试题及答案 精品

吉林省实验中学2018—2018年度高三上学期第四次阶段检测数学（文）试题命题人：梁清华 审题人：刘乙第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合2{|21},{|10}x A x B x x -=<=-≥，则AB 等于 （ ） A.{|1}x x ≤ B.{|12}x x ≤< C.{|01}x x <≤ D.{|01}x x <<2.已知复数z 满足2(3)(1i z i i+=+为虚数单位），则复数z 所对应的点所在象限为 （ ） A ．第一象限 B ． 第二象限 C ． 第三象限 D ．第四象限3.下列说法正确的是 （ ） A. 命题“R x ∈∃使得0322<++x x ”的否定是：“032,2>++∈∀x x R x ” B. “1>a ”是“)1,0(log )(≠>=a a x x f a 在),0(+∞上为增函数”的充要条件 C. “p q ∧为真命题”是“q p ∨为真命题”的必要不充分条件 D. 命题p ：“2cos sin ,≤+∈∀x x R x ”，则⌝p 是真命题 4．等差数列{}n a 中，564a a +=，则10122log (222)aaa⋅⋅⋅⋅= （ ） A ．10 B ．20 C ．40 D ．2+log 255.一个长方体截去两个三棱锥,得到的几何体如图1所示,则该几何体的三视图为（ ）A B C D6.如果)(x f '是二次函数, 且 )(x f '的图象开口向上,顶点坐标为(1,3), 那么曲线)(x f y =上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是 （ ）A ．]3,0(πB ．)2,3[ππC ．]32,2(ππD ．),3[ππ7.直线l ：2x my =+与圆M ：22220x x y y +++=相切，则m 的值为 ( )A.1或－6B.1或－7C.－1或7D.1或17-8.设b a ,是两条直线，βα,是两个平面，则下列4组条件中：①,α⊂a b ∥β，βα⊥； ②βαβα⊥⊥⊥,,b a ；③,α⊂a β⊥b ，α∥β； ④α⊥a ，b ∥β，α∥β. 能推得b a ⊥的条件有（ ）组. A ． 1 B ．2C ．3D ．49. 变量x ，y 满足约束条件22,24,41x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩则目标函数33z x y =-+的取值范围是 ( )A ．3[,9]2B ．[32-，6] C ．[－2，3] D ．[1，6] 10.设函数()|sin(2)|3f x x π=+，则下列关于函数()f x 的说法中正确的是 （ ）A. ()f x 是偶函数B. ()f x 最小正周期为πC. ()f x 图象关于点(,0)6π-对称 D. ()f x 在区间7[,]312ππ上是增函数 11.若a ,b ,c 均为单位向量，a · b 21-=，c=x a + y b ),(R y x ∈，则y x +的最大值是 ( ) A ．21 12.已知定义在R 上的函数()y f x =对任意的x 都满足(1)()f x f x +=-，当11x -≤＜ 时，3()f x x =，若函数()()log a g x f x x =-至少6个零点，则a 取值范围是（ ）A.10,5,5+∞（]（）B.10,[5,5+∞（））C.11,]5,775（（）D.11,[5,775（））第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，12(2)n n a S n -=≥，,则n a = . 14. 已知矩形ABCD 中，AB =2，AD =1，E 、F 分别为BC 、CD 的中点，则=⋅+)( .15.设ΔABC 的三边长分别为,,a b c ，ΔABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa b c++；类比这个结论可知：四面体P －ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球的半径为R ，四面体P －ABC 的体积为V ，则R ＝ .16. 把一个半径为 532cm 的金属球熔成一个圆锥，使圆锥的侧面积为底面积的3倍，则这个圆锥的高为 .三、解答题：本大题共6道题，共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分12分）已知向量)cos 3,cos (sin x x x m ωωω+=，)sin 2,sin (cos x x x n ωωω-=，（其中0>ω），函数n m x f ⋅=)(，若)(x f 相邻两对称轴间的距离为2π. (I)求ω的值，并求)(x f 的最大值及相应x 的集合；(Ⅱ)在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 所对的边，ABC ∆的面积35=S ，b =4， 1)(=A f ，求边a 的长.18．(本题满分12分)数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n a 是n S 和1的等差中项，等差数列{}n b 满足11b a =，43b S =. (I)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； (Ⅱ)设11n n n c b b +=，数列{}n c 的前n 项和为n T ，证明：1132n T ≤<.19．(本题满分12分)如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，1AB AC AA ==，且E 是BC 中点.（I ）求证：1//A B 平面1AEC ； （Ⅱ）求证：1B C ⊥平面1AEC .20．(本题满分12分)已知椭圆C :22221x y a b+=(0a b >>)的右焦点为F (2,0),且过点P直线l 过点F 且交椭圆C 于A 、B 两点.(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)若线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点为M (1,02),求直线l 的方程.21. (本题满分12分)已知函数ln ()(e x x kf x k +=为常数，e=2.71828…是自然对数的底数)，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的EC 1B 1A 1CBA切线与x 轴平行.(Ⅰ)求()f x 的单调区间；(Ⅱ)设()()g x xf x '=，其中()f x '为()f x 的导函数.证明：对任意20,()1e x g x -><+.请考生在题（22）（23）（24）中任选一题作答，如果多做，则按所做的的第一题计分．做题时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 22.(本题满分10分)选修4—1几何证明选讲:如图，圆1O 与圆2O 相交于A 、B 两点，AB 是圆2O 的直径，过A 点作圆1O 的切线交圆2O 于点E ，并与BO 1的延长线交于点P ，PB 分别与圆1O 、圆2O 交于C ，D 两点。

求证：(Ⅰ)PA ·PD =PE ·PC ； (Ⅱ)AD=AE .23.(本题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程已知圆锥曲线C ：⎩⎨⎧==θθsin 3cos 2y x θ(为参数）和定点)3,0(A ,21,F F 是此圆锥曲线的左、右焦点。

(Ⅰ)以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线2AF 的极坐标方程；(Ⅱ)经过点1F ，且与直线2AF 垂直的直线l 交此圆锥曲线于M 、N 两点，求||||||11NF MF -的值.24．(本题满分10分)选修4—5:不等式选讲已知函数()|1|f x x =-。

(Ⅰ)解不等式()(4)8f x f x ++≥；(Ⅱ)若||1,||1a b <<，且0a ≠，求证：()||()b f ab a f a>.吉林省实验中学2018—2018年度高三上学期第四次阶段检测(文科)答案13．21(1)23(2)n n n -=⎧⎨⋅≥⎩ 14. 29- 15．12343VS S S S +++ 16．20cm 三．解答题（本大题共6小题，共计70分）17.解：(I)x x x x x f ωωωωcos sin 32sin cos )(22+-=x x ωωsin 32cos += )62sin(2πω+=x ………………………3分由题意可得π=T ，∴1=ω，∴)62sin(2)(π+=x x f ……………4分当1)62sin(=+πx 时，)(x f 的最大值为2，此时x 的集合是⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k x x ,6|ππ……………6分 （Ⅱ）21)62sin(1)62sin(2)(=+∴=+=ππA A A f π<<A 0 3,6562πππ=∴=+∴A A …………………8分5353sin 21===c bc S π…………10分由余弦定理得：a 2=16+25－2×4×5cos3π=21 21=∴a ……………12分18. (I)∵n a 是n S 和1的等差中项，∴21n n S a =-当1n =时，11121a S a ==-，∴11a = 当2n ≥时，111(21)(21)22n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-， ∴12n n a a -= ，即 12nn a a -= ………………… 3分∴数列{}n a 是以11a =为首项，2为公比的等比数列，∴12n n a -=，21n n S =- ………………… 5分 设{}n b 的公差为d ，111b a ==，4137b d =+=，∴2d = ∴1(1)221n b n n =+-⨯=- ………………… 6分 （Ⅱ）111111()(21)(21)22121n n n c b b n n n n +===--+-+ ………………… 7分 ∴11111111(1...)(1)2335212122121n n T n n n n =-+-++-=-=-+++ ……………9分 ∵*n N ∈,∴11112212n T n ⎛⎫=-<⎪+⎝⎭………………… 10分 ()()111021212121n n n n T T n n n n ---=-=>+-+- ∴数列{}n T 是一个递增数列 ∴113n T T ≥=. 综上所述，1132n T ≤< ………………… 12分19. (Ⅰ) 解：(I) 连接A C 1交AC 1于点O ，连接EO因为1ACC A 1为正方形，所以O 为A C 1中点 又E 为CB 中点，所以EO 为1A BC ∆的中位线，所以1//EO A B ………………2分 又EO ⊂平面1AEC ，1A B ⊄平面1AEC所以1//A B 平面1AEC ……………4分 (Ⅱ)因为AB AC =，又E 为CB 中点，所以AE BC ⊥ …………5分 又因为在直三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥底面ABC ， 又AE ⊂底面ABC , 所以1AE BB ⊥,又因为1BB BC B =，所以AE ⊥平面11BCC B ，又1B C ⊂平面11BCC B ，所以AE ⊥1B C …………8分 在矩形11BCC B 中, 111tan tan CB C EC C ∠=∠=,所以111CB C EC C ∠=∠， 所以11190CB C EC B ∠+∠=，即11B C EC ⊥ ………………10分 又1AEEC E =，所以1B C ⊥平面11BCC B ……………12分20. (Ⅰ)设椭圆C 的方程为22221x y a b+=,则22224421a b a b⎧-=⎪⎨+=⎪⎩,解得28a =,24b =,所以椭圆C 的方程为22184x y +=. ……4分 (Ⅱ)当斜率不存在时,不符合题意,当斜率存在时设直线l 的方程为y =k (x －2),A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2),AB 的中点为N (x 0,y 0),由22184(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(12)8880k x k x k +-+-=, 因为4222644(12)(88)32(1)0k k k k ∆=-+-=+>,所以2122812k x x k +=+,所以212024212x x k x k+==+,0022(2)12ky k x k -=-=+, ……8分因为线段AB 的垂直平分线过点M(1,02), 所以1MN k k ⋅=-,即00112y k x ⋅=--,所以222224112122k k k k -=-+++, 解得,2k =±,所以直线l的方程为20x -=或20x -= ………………12分21. (Ⅰ) xe kx x x f --='ln 1)(由已知，101)1(=∴=-='k e k f ，……………………2分 xex x x f 1ln 1)(--='∴. 设,1ln 1)(--=x x x h 则,011)(2<--=xx x h 即)(x h 在),0(+∞上是减函数，………4分由0)1(=h 知，当10<<x 时，)(x h >0, 从而0)(>'x f ， 当1>x 时，)(x h <0, 从而0)(<'x f ，综上可知，()f x 的单调递增区间是(0,1), 单调递减区间是(1,+∞). ………6分 (Ⅱ) 由(1)可知, 当x ≥1时，()()g x xf x '=≤,102-+<e 故只需证明,1)(2-+<e x g 在10<<x 时成立. 当10<<x 时，,1>x e 且0)(>x g ，x x x exx x x g x--<--=∴ln 1ln 1)(………8分 设)1,0(,ln 1)(F ∈--=x x x x x ，则)2(ln )(F +-='x x 当20-<<e x 时，0)(F >'x ， 当12<<-x e时，0)(F <'x ，所以，当2-=e x 时，)(F x 取得最大值221)(--+=e e F ………………10分 所以，)()(x F x g <≤21-+e综上，对任意<>)(,0x g x 21-+e ………………………………………12分22. （Ⅰ）PE 、PB 分别是⊙2O 的割线，PBPD PE PA ⋅=⋅∴① …………2分又PA 、PB 分别是⊙1O 的切线与割线，PB PC PA ⋅=∴2② …………4分 由①，②得PC PE PD PA ⋅=⋅∴ …………5分 （Ⅱ）连接DE AC 、，设DE 与AB 相交与点F BC 是⊙1O 的直径，∴∠ 90=CABAC ∴是⊙2O 的切线. …………6分由（Ⅰ）知，ADE CAD DE AB ED AC PDPCPE PA ∠=∠⊥∴∴=,//, …………8分 AC 是⊙2O 的切线. AED CAD ∠=∠∴ AE AD =∴ …………10分23．（Ⅰ）C ：13422=+y x ，轨迹为椭圆，其焦点)0,1(),0,1(21F F - 32-=AF k )1(3:2--=x y AF即3cos 3sin :2=+θρθρAF即23)3sin(=+πθρ …………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）32-=AF k ，⊥l 2AF ,∴l 的斜率为33，倾斜角为 30，所以l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=t y t x 21231（t 为参数） 代入椭圆C 的方程中，得：036312132=--t t因为M 、N 在1F 的异侧13312||||||||2111=+=-t t NF MF …………10分 24.（Ⅰ）f (x )＋f (x ＋4)＝|x －1|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2，x ＜－3，4，－3≤x ≤1，2x ＋2，x ＞1．当x ＜－3时，由－2x －2≥8，解得x ≤－5； 当－3≤x ≤1时，f (x )≤8不成立； 当x ＞1时，由2x ＋2≥8，解得x ≥3．所以不等式f (x )≤4的解集为{x |x ≤－5，或x ≥3}． …………5分（Ⅱ）f (ab )＞|a |f (ba)即|ab －1|＞|a －b |． ……………6分因为|a |＜1，|b |＜1，所以|ab －1|2－|a －b |2＝(a 2b 2－2ab ＋1)－(a 2－2ab ＋b 2)＝(a 2－1)(b 2－1)＞0， 所以|ab －1|＞|a －b |．故所证不等式成立．……………10分。