2021届高三数学一轮复习第4单元训练卷三角函数(理科) B卷(详解)

2021年高考数学一轮复习 第四章 单元测试卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求) 1．sin210°cos120°的值为( ) A.14 B ．－34C ．－32D.34答案 A2．已知sin2α>0，且cos α<0，则角α的终边位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 C解析 ∵cos α<0，sin2α＝2sin αcos α>0，∴sin α<0.∴α为第三象限角．故选C. 3．若角α的终边落在直线x ＋y ＝0上，则sin α1－sin 2α＋1－cos 2αcos α的值等于( ) A ．2 B ．－2 C ．－2或2 D ．0答案 D解析 原式＝sin α|cos α|＋|sin α|cos α，又角α的终边落在直线x ＋y ＝0上，∴|sin α|＝|cos α|且sin α与cos α互为相反数，∴sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝0.4．已知sin(π3－x )＝35，则cos(x ＋π6)＝( ) A.35 B.45 C ．－35D ．－45答案 A 解析 cos(x ＋π6)＝cos[π2－(π3－x )]＝sin(π3－x )＝35，选A. 5．若sin α>tan α>1tan α(－π2<α<π2)，则α的取值范围是( ) A ．(－π2，－π4)B ．(－π4，0) C ．(0，π4)D ．(π4，π2) 答案 B解析 由sin α>tan α知，在－π2<α<π2的条件下，α的取值范围是－π2<α<0.又在(－π2，0)区间内，使tan α>1tan α成立的是α∈(－π4，0)，故选B. 6．已知sin2α＝13，则cos 2(α－π4)＝( )A ．－13B ．－23C.13D.23答案 D解析 cos 2(α－π4)＝1＋cos 2α－π22＝1＋cos π2－2α2＝1＋sin2α2＝23.7．若将y ＝sin4x 的图像向左平移π12个单位长度，得y ＝sin(4x ＋φ)的图像，则φ等于( )A ．－π12B ．－π3C.π3D.π12答案 C8．已知f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的部分图像如图所示，则f (x )的表达式为( )A ．f (x )＝2sin(32x ＋π4)B ．f (x )＝2sin(32x ＋5π4)C ．f (x )＝2sin(43x ＋2π9)D ．f (x )＝2sin(43x ＋2518π)答案 B解析 由图像知34T ＝56π－(－π6)＝π⇒T ＝43π.∴ω＝2πT ＝2π×34π＝32.又(56π，2)为五点作图法中的第二个关键点， ∴32×56π＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z . ∴φ＝－34π＋2k π，k ∈Z .∴f (x )＝2sin(32x －34π＋2k π)＝2sin(32x ＋54π)．9．将函数y ＝sin(6x ＋π4)图像上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移π8个单位，得到的函数的一个对称中心是( )A ．(π2，0)B ．(π4，0) C ．(π9，0)D ．(π16，0) 答案 A解析 将函数y ＝sin(6x ＋π4)图像上各点的横坐标伸长到原来的3倍，得到函数y ＝sin(2x ＋π4)的图像，再向右平移π8个单位，得到函数f (x )＝sin[2(x －π8)＋π4]＝sin2x 的图像，而f (π2)＝0，故选A.10．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a cos A ＝b sin B ，则sin A cos A ＋cos 2B ＝( ) A ．－12B.12 C ．－1 D ．1答案 D解析 ∵a cos A ＝b sin B ，∴sin A cos A ＝sin 2B . ∴sin A cos A ＋cos 2B ＝sin 2B ＋cos 2B ＝1.11．设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图像向右平移π3个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于( )A.13 B ．3 C ．6 D ．9答案 C解析 由题意可知，nT ＝π3(n ∈N *)，∴n ·2πω＝π3(n ∈N *)．∴ω＝6n (n ∈N *)，∴当n ＝1时，ω取得最小值6.12．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，－π<φ≤π.若f (x )的最小正周期为6π，且当x ＝π2时，f (x )取得最大值，则( )A ．f (x )在区间[－2π，0]上是增函数B ．f (x )在区间[－3π，－π]上是增函数C ．f (x )在区间[3π，5π]上是减函数D ．f (x )在区间[4π，6π]上是减函数 答案 A解析 ∵T ＝6π，∴ω＝2πT ＝2π6π＝13.又∵f (π2)＝2sin(13×π2＋φ)＝2sin(π6＋φ)＝2， ∴π6＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，即φ＝π3＋2k π，k ∈Z . 又∵－π<φ≤π，∴φ＝π3.∴f (x )＝2sin(x 3＋π3)．∴f (x )的单调递增区间为[－52π＋6k π，π2＋6k π]，单调递减区间为[π2＋6k π，72π＋6k π]，k ∈Z .观察各选项，故选A.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．已知cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114且α∈(0，π2)，α＋β∈(π2，π)，则cos β的值为________．答案 12解析 ∵α∈(0，π2)，α＋β∈(π2，π)，cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，∴sin α＝1－cos 2α＝1－172＝437， sin(α＋β)＝1－cos 2α＋β＝1－－11142＝5314. ∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝(－1114)×17＋5314×437＝12. 14．在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，tan A ＝2，则sin A ＝________；a ＝________.答案255，210 解析 ∵tan A ＝sin A cos A ＝2，∴sin A ＝25 5.又∵b ＝5，B ＝π4，根据正弦定理，得a ＝b sin Asin B＝5×25522＝210.15．已知tan 2θ＝2tan 2φ＋1，则cos2θ＋sin 2φ的值为________． 答案 0解析 由tan 2θ＝2tan 2φ＋1，得cos2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝－tan 2φtan 2φ＋1. ∴cos2θ＋sin 2φ＝－tan 2φtan 2φ＋1＋sin 2φ＝－sin 2φ＋sin 2φ＝0. 16．下面有五个命题：①函数y ＝sin 4x －cos 4x 的最小正周期是π； ②终边在y 轴上的角的集合是{α|α＝k π2，k ∈Z }；③在同一坐标系中，函数y ＝sin x 的图像和函数y ＝x 的图像有三个公共点； ④把函数y ＝3sin(2x ＋π3)的图像向右平移π6得到y ＝3sin2x 的图像； ⑤函数y ＝sin(x －π2)在[0，π]上是减函数． 其中，真命题的编号是________．(写出所有真命题的编号) 答案 ①④解析 考查①y ＝sin 2x －cos 2x ＝－cos2x ，所以最小正周期为π. ②k ＝0时，α＝0，则角α终边在x 轴上．③由y ＝sin x 在(0,0)处切线为y ＝x ，所以y ＝sin x 与y ＝x 图像只有一个交点． ④y ＝3sin(2x ＋π3)图像向右平移π6个单位得y ＝3sin[2(x －π6)＋π3]＝3sin2x .⑤y ＝sin(x －π2)＝－cos x 在[0，π]上为增函数． 综上知①④为真命题．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分) 已知α为第三象限角，f (α)＝sinα－π2cos 3π2＋αtan π－αtan －α－πsin －α－π.(1)化简f (α)；(2)若f (α)＝45，求tan2α的值．答案 (1)f (α)＝－cos α (2)247解析 (1)f (α)＝－cos αsin α－tan α－tan αsin α＝－cos α.(2)由f (α)＝45，得cos α＝－45.又因为α为第三象限角，所以sin α<0，所以sin α＝－1－cos 2α＝－35.所以tan α＝sin αcos α＝34，故tan2α＝2tan α1－tan 2α＝247. 18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝3sin2x －2sin(π2＋x )cos(π－x )．(1)求函数f (x )的单调递增区间； (2)若f (α2－π12)＝32，α是第二象限角，求cos(2α＋π3)的值． 答案 (1)[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z ) (2)7＋3516解析 (1)f (x )＝3sin2x －2cos x (－cos x )＝3sin2x ＋2cos 2x ＝3sin2x ＋cos2x ＋1＝2sin(2x ＋π6)＋1， 由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )．故函数f (x )的单调增区间为[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )．(2)∵f (α2－π12)＝2sin α＋1＝32，∴sin α＝14. ∵α是第二象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－154. ∴sin2α＝－158，cos2α＝78.∴cos(2α＋π3)＝cos2αcos π3－sin2αsin π3＝78×12－(－158)×32＝7＋3516. 19．(本小题满分12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且2cos A cos C (tan A tan C －1)＝1. (1)求B 的大小； (2)若a ＋c ＝332，b ＝3，求△ABC 的面积． 答案 (1)π3 (2)5316解析 (1)由2cos A cos C (tan A tan C －1)＝1，得 2cos A cos C (sin A sin Ccos A cos C－1)＝1.∴2(sin A sin C －cos A cos C )＝1. ∴cos(A ＋C )＝－12.∴cos B ＝12.又0<B <π，∴B ＝π3. (2)由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12.∴a ＋c2－2ac －b22ac＝12.又a ＋c ＝332，b ＝3， ∴274－2ac －3＝ac ，∴ac ＝54. ∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12×54×32＝5316.20．(本小题满分12分)设函数f (x )＝2sin x cos x －cos(2x －π6)． (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)画出函数f (x )在区间[0，π]上的图像； (3)当x ∈[0，2π3]时，求函数f (x )的最大值及取得最大值时的x 的值． 答案 (1)π (2)略 (3)x ＝5π12时f (x )最大值为1 解析 (1)∵f (x )＝2sin x cos x －cos(2x －π6) ＝sin2x －(cos2x cosπ6＋sin2x sin π6) ＝12sin2x －32cos2x ＝sin(2x －π3)， ∴f (x )＝sin(2x －π3)．∴函数f (x )的最小正周期为π. (2)列表，描点，作图．(3)∵x ∈[0，2π3]，∴2x －π3∈[－π3，π]． ∴当2x －π3＝π2，即x ＝5π12时，函数f (x )取得最大值1.21．(本小题满分12分)如图所示，在四边形ABCD 中，AC ＝CD ＝12AB ＝1，AB →·AC →＝1，sin ∠BCD ＝35.(1)求BC 边的长；(2)求四边形ABCD 的面积． 解析 (1)∵AC ＝CD ＝12AB ＝1，∴AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos∠BAC ＝2cos ∠BAC ＝1.∴cos ∠BAC ＝12，∴∠BAC ＝60°.在△ABC 中，由余弦定理，有BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos∠BAC ＝22＋12－2×2×1×12＝3，∴BC ＝ 3.(2)由(1)知，在△ABC 中，有AB 2＝BC 2＋AC 2. ∴△ABC 为直角三角形，且∠ACB ＝90°. ∴S △ABC ＝12BC ·AC ＝12×3×1＝32.又∠BCD ＝∠ACB ＋∠ACD ＝90°＋∠ACD ， sin ∠BCD ＝35，∴cos ∠ACD ＝35.从而sin ∠ACD ＝1－cos 2∠ACD ＝45.∴S △ACD ＝12AC ·CD ·sin∠ACD ＝12×1×1×45＝25.∴S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD ＝32＋25＝4＋5310. 22．(本小题满分12分)如图所示，扇形AOB ，圆心角AOB 等于60°，半径为2，在弧AB 上有一动点P ，过P 引平行于OB 的直线和OA 交于点C ，设∠AOP ＝θ，求△POC 面积的最大值及此时θ的值．答案 θ＝30°时△POC 面积最大值为32解析 ∵CP ∥OB ，∴∠CPO ＝∠POB ＝60°－θ. ∴∠OCP ＝120°.在△POC 中，由正弦定理，得OP sin ∠PCO ＝CPsin θ.∴2sin120°＝CP sin θ，∴CP ＝43sin θ.又OCsin 60°－θ＝2sin120°，∴OC ＝43sin(60°－θ)．因此△POC 的面积为S (θ)＝12CP ·OC sin120°＝12·43sin θ·43sin(60°－θ)×32＝43sin θsin(60°－θ)＝43sin θ(32cos θ－12sin θ)＝23[cos(2θ－60°)－12]，θ∈(0°，60°)．故当θ＝30°时，S (θ)取得最大值为33.1．已知α∈(π2，π)，sin α＝35，则tan(α＋π4)等于( )A.17 B ．7 C ．－17D ．－7答案 A解析 ∵α∈(π2，π)，sin α＝35，∴cos α＝－45，tan α＝－34.∴tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α＝17.2．函数y ＝2sin(π3－x )＋cos(π6＋x )(x ∈R )的最小值等于( ) A ．－3 B ．－2 C ．－1 D ．－ 5 答案 A 解析 y ＝2sin(π3－x )＋cos(π6＋x )＝2cos[π2－(π3－x )]＋cos(π6＋x )＝2cos(π6＋x )＋cos(π6＋x )＝3cos(π6＋x )．当x ＝56π＋2k π，k ∈Z 时，y min ＝－3.3．已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间[－π3，π4]上的最小值是－2，则ω的最小值等于( ) A.23 B.32 C ．2 D ．3答案 B解析 方法一：画图知[－π3，π4]内包含最小值点，∴T 4≤π3，即π2ω≤π3，∴ω≥32.方法二：∵f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间[－π3，π4]上的最小值是－2时，ωx ＝2k π－π2，x ＝2k πω－π2ω(k ∈Z )， ∴－π3≤2k πω－π2ω≤π4，得⎩⎪⎨⎪⎧ω≥8k －2，ω≥－12k ＋32⇒ω≥32.36875 900B 逋27499 6B6B 歫n19993 4E19 丙u40001 9C41 鱁34727 87A7 螧33303 8217 舗31602 7B72 筲 29647 73CF 珏228754 7052 灒31155 79B3 禳。

2021年高考数学一轮复习第四章三角函数层级快练19文1．给出下列四个命题：①－3π4是第二象限角；②4π3是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 C解析 ①中－3π4是第三象限角，故①错．②，4π3＝π＋π3，从而4π3是第三象限角正确．③，－400°＝－360°－40°，从而③正确．④，－315°＝－360°＋45°，从而④正确． 2．下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是( )A ．2k π＋45°(k∈Z )B ．k ·360°＋94π(k∈Z )C ．k ·360°－315°(k∈Z )D ．k π＋5π4(k∈Z )答案 C解析 与9π4的终边相同的角可以写成2k π＋9π4(k∈Z )，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C 正确．3．(xx·湖北襄阳联考)角α的终边在第一象限，则sin α2|sin α2|＋cosα2|cos α2|的取值集合为( )A ．{－2，2}B ．{0，2}C ．{2}D ．{0，－2，2}答案 A解析 因为角α的终边在第一象限，所以角α2的终边在第一象限或第三象限，所以sinα2|sin α2|＋cosα2|cos α2|＝±2.故选A.4．若点P 从(1，0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1按逆时针方向运动23π弧长到达Q 点，则Q 的坐标为( ) A ．(－12，32)B ．(－32，－12) C ．(－12，－32)D ．(－32，12) 答案 A解析 Q(cos 2π3，sin 2π3)，即Q(－12，32)．5．已知tan α＝33，且α∈[0，3π]，则α的所有不同取值的个数为( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 答案 B 解析 ∵tan α＝33，且α∈[0，3π]，∴α的可能取值分别是π6，7π6，13π6，∴α的所有不同取值的个数为3.6．集合{α|k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z }中的角所表示的范围(阴影部分)是( )答案 C解析 当k ＝2n 时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2(n∈Z )，此时α的终边和π4≤α≤π2的终边一样．当k ＝2n ＋1时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2(n∈Z )，此时α的终边和π＋π4≤α≤π＋π2的终边一样．7．(xx·贵州遵义联考)已知倾斜角为α的直线过x 轴一点A(非坐标原点O)，直线上有一点P(cos130°，sin50°)，且∠APO＝30°，则α＝( ) A ．100° B ．160° C ．100°或160° D ．130°答案 C解析 因为P(cos130°，sin50°)即P(cos130°，sin130°)，所以∠POx＝130°.因此α＝130°＋30°或130°－30°，即α＝160°或100°.故选C.8．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是( ) A ．2 B ．2sin1 C.2sin1D ．sin2 答案 C解析 ∵2R sin1＝2，∴R ＝1sin1，l ＝|α|R＝2sin1，故选C. 9．(xx·湖北重点中学联考)sin3，sin1.5，cos8.5的大小关系为( ) A ．sin1.5<sin3<cos8.5 B ．cos8.5<sin3<sin1.5 C ．sin1.5<cos8.5<sin3 D ．cos8.5<sin1.5<sin3答案 B解析 因为0<sin3＝sin(π－3)<sin1.5，cos8.5＝cos(8.5－2π)<0，所以cos8.5<sin3<sin1.5.故选B.10．在△ABC 中，若sinA ·cosB ·tanC<0，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．不能确定答案 B解析 ∵△ABC 中每个角都在(0，π)内，∴sinA>0. ∵sinA ·cosB ·tanC<0，∴cosB ·tanC<0. 若B ，C 同为锐角，则cosB ·tanC>0. ∴B ，C 中必定有一个钝角． ∴△ABC 是钝角三角形．故选B.11．－2 017°角是第________象限角，与－2 017°角终边相同的最小正角是________，最大负角是________． 答案 二，143°，－217°解析 ∵－2 017°＝－6×360°＋143°，∴－2 017°角的终边与143°角的终边相同．∴－2 017°角是第二象限角，与－2 017°角终边相同的最小正角是143°.又是143°－360°＝－217°，故与－2 017°终边相同的最大负角是－217°.12．有下列各式：①sin1125°；②tan 3712π·sin 3712π；③sin4tan4；④sin|－1|，其中为负值的个数是________． 答案 2解析 确定一个角的某一三角函数值的符号关键要看角在哪一象限，确定一个式子的符号，则需观察构成该式的结构特点及每部分的符号．对于①，因为 1 125°＝1 080°＋45°，所以1 125°是第一象限角，所以sin1 125°>0；对于②，因为3712π＝2π＋1312π，则3712π是第三象限角，所以tan 3712π>0；sin 3712π<0，故tan 3712π·sin 3712π<0；对于③，因4弧度的角在第三象限，则sin4<0，tan4>0，故sin4tan4<0；对于④，因π4<1<π2，则sin|－1|>0，综上，②③为负数．13．(xx·沧州七校联考)若600°角的终边上有一点P(－4，a)，则a 的值为________． 答案 －4 3解析 tan600°＝tan(360°＋240°)＝tan240°＝tan(180°＋60°)＝tan60°＝3＝a－4，∴a ＝－4 3. 14．若0≤θ≤2π，则使tan θ≤1成立的角θ的取值范围是________． 答案 [0，π4]∪(π2，54π]∪(32π，2π]15．函数y ＝lg(sinx －cosx)的定义域为________． 答案 {x|π4＋2k π<x<5π4＋2k π，k ∈Z }解析 利用三角函数线．如图，MN 为正弦线，OM 为余弦线，要使sinx>cosx ，只需π4<x<5π4(在[0，2π]上)．所以定义域为{x|π4＋2k π<x<5π4＋2k π，k ∈Z }．16．若α的终边落在x ＋y ＝0上，求出在[－360°，360°]之间的所有角α. 答案 －225°，－45°，135°，315°解析 令－360°≤135°＋k·180°≤360°，k ∈Z∴k ∈{－2，－1，0，1}．∴相应的角为－225°，－45°，135°，315°.17．在直角坐标系xOy 中，若角α的始边为x 轴的非负半轴，终边为射线l ：y ＝22x (x≥0)，求s in(α＋π6)的值．答案1＋266解析 由射线l 的方程为y ＝22x ， 可得sin α＝223，cos α＝13.故sin (α＋π6)＝223×32＋13×12＝1＋266.1．(数学文化原创题)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表．其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝12(弦×矢＋矢2)．弧田(如图)，由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差．现有圆心角为2π3，弦长等于9米的弧田． (1)计算弧田的实际面积；(2)按照《九章算术》中的弧田面积的经验公式计算所得结果与(1)中计算的弧田实际面积相差多少平方米？(结果保留两位小数)答案 (1)9π－2734(平方米) (2)1.52(平方米)解析 (1)扇形半径r ＝33，扇形面积等于12θ·r 2＝12×2π3×(33)2＝9π(平方米)，弧田面积＝12θr 2－12r 2sin 2π3＝9π－2734(平方米)．(2)圆心到弦的距离等于12r ，所以矢长为12r ，按照上述弧田面积经验公式计算得12(弦×矢＋矢2)＝12×(9×332＋274)＝274(3＋12)，9π－2734×2－278≈1.52(平方米)．。

4.4三角函数的图像与性质中心考点·精确研析考点一三角函数的定义域、值域( 最值 )1. 函数 y=的定义域为.2.(2019 ·全国卷Ⅰ ) 函数f(x)=sin-3cos x的最小值为.3. 函数 f(x)=1-3sin的值域为.【分析】 1. 要使函数存心义, 一定使 sin x-cos x≥ 0.利用图像,在同一坐标系中画出[0,2 π] 上 y=sin x和y=cos x的图像.在[0,2π ]内,知足sin x=cos x的x为,, 再联合正弦、余弦函数的周期是2π , 因此原函数的定义域为.答案 :2.f(x)=sin-3cos x=-cos 2x-3cos x=-2cos2x-3cos x+1=-2+,因为 -1≤ cos x ≤ 1, 因此当 cos x=1时 ,f(x)min=-4,故函数 f(x) 的最小值为 -4.答案 :-43. 因为 -1 ≤sin≤ 1,因此 -3≤ -3sin≤ 3,因此 -2≤ 1-3sin≤ 4,因此函数f(x)=1-3sin的值域为[-2,4].答案 :[-2,4]1.求三角函数的定义域的本质解简单的三角不等式, 常借助三角函数线或三角函数的图像求解.2.求解三角函数的值域 ( 最值 ) 常有三种种类(1)形如 y=asin x+bcos x+c的三角函数化为y=Asin( ωx+φ)+c 的形式 , 再求值域 ( 最值 ).(2)形如 y=asin 2x+bsin x+c的三角函数 , 可先设 sin x=t, 化为对于 t 的二次函数求值域 ( 最值 ).(3)形如 y=asin xcos x+b(sin x±cos x)+c的三角函数 , 可先设 t=sin x±cos x, 化为对于 t 的二次函数求值域 ( 最值 ).【秒杀绝招】图像性质解T1,sin x-cos x=sin≥ 0,将x-视为一个整体, 由正弦函数y=sin x 的图像与性质知 2kπ≤ x-≤π +2kπ(k∈ Z),解得2kπ+ ≤ x≤2kπ+(k ∈ Z).因此定义域为.特别值法解T2, 易知 f(x)≥ -4,又x=0时,f(x)=-4,因此f(x)的最小值为-4.考点二三角函数的单一性【典例】 1.(2018 ·全国卷Ⅱ ) 若 f(x)=cos x-sin x在[0,a]上是减函数,则a的最大值是()A. B. C. D.π2. 函数 f(x)=sin的单一递减区间为.【解题导思】序号联想解题看到“ f(x)=cos x-sin x 在 [0,a]上是减函数”想到化简f(x)分析式,[0,a]是某个减区间的子1集2看到“ f(x)=sin”想到运用引诱公式转变为f(x)=-sin【分析】 1. 选 C.f(x)=cos x-sin x=cos在上单一递减,因此 [0,a] ?, 故 0<a≤.2.f(x)=-sin, 欲求 f(x)单一递减区间, 只要求 y=sin的单一递加区间.由 2kπ -≤ 2x-≤ 2kπ + (k∈ Z),得kπ -≤ x≤kπ +(k ∈ Z). 因此 f(x) 的单一递减区间为(k ∈ Z).答案 :(k ∈ Z)【思想多变】若 f(x)=cos x-sin x在[-a,a]上是减函数,则a的最大值是()A. B. C. D.π【分析】选 A.f(x)=cos x-sin x=cos在上单一递减,因此[-a,a]?,故 -a ≥ -且a≤, 解得 0<a≤.1.求三角函数单一区间的方法第一化简成 y=Asin( ωx+φ)( ω>0) 的形式 , 再求 y=Asin( ωx+φ) 的单一区间 , 只要把ωx+φ看作一个整体代入y=sin x 的相应单一区间内即可 .2.已知单一区间求参数的三种方法子集法求出原函数的相应单一区间, 由已知区间是该区间的子集, 列不等式 ( 组 ) 求解求补由所给区间求出整体角的范围, 由该范围是某相应正、余弦函数的某个单一区间的子集, 列不集法等式(组)求解周期由所给区间的两个端点到其相应付称中心的距离不超出周期列不等式( 组 ) 求解性法1.(2020 ·侯马模拟 ) 已知函数f(x)=cos(x+θ)(0<θ<π)在x=时获得最小值,则f(x)在[0,π]上的单一递加区间是()A. B.C. D.【分析】选 A. 因为 0<θ<π, 因此< +θ<, 又因为 f(x)=cos(x+θ)在x=时获得最小值,因此+θ=π, θ=, 因此 f(x)=cos. 由 0≤x≤π , 得≤ x+≤. 由π≤ x+≤, 得≤ x ≤π , 因此 f(x)在[0,π]上的单一递加区间是.2. 若函数 f(x)=sinωx(ω>0)在区间上单一递加,在区间上单一递减,则ω=.【分析】因为f(x)=sinωx(ω>0)过原点,因此当0≤ω x≤, 即 0≤ x≤时,y=sinωx是增函数;当≤ωx≤, 即≤ x≤时,y=sinωx是减函数.由已知= , 因此ω= .答案 :考点三三角函数的周期性、奇偶性、对称性命1. 考什么 : (1) 周期性 , 奇偶性、对称性等 .题(2) 考察逻辑推理 , 数学运算等中心修养 , 以及转变与化归的思想 .精 2.怎么考 : 与引诱公式、三角恒等变换联合考察求周期,参数等 .解 3.新趋向 : 以考察与引诱公式、三角恒等变换联合为主.读求周期的三种方法(1)利用周期函数的定义 :f(x+T)=f(x).学(2) 利用公式 :y=Asin( ωx+φ) 和y=Acos(ωx+φ) 的最小正周期为,y=tan( ωx+φ) 的最小正周霸好期为.方(3) 利用图像 : 图像重复的x 轴上一段的长度.法①正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期, 相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期 .②正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.周期性【典例】1.(2019 ·全国卷Ⅱ ) 若 x1= ,x 2=是函数f(x)=sinωx(ω>0)两个相邻的极值点, 则ω=()A.2B.C.1D.2.(2019·北京高考 ) 函数 f(x)=sin22x 的最小正周期是.【分析】 1. 选 A. 因为 x1= ,x 2=是函数两个相邻的极值点, 故= - = , 因此 T=π, 即ω ==2.2.f(x)=(1-cos 4x),最小正周期T= =.答案 :波及三角函数的性责问题有哪些注意事项?提示 :(1)考虑利用三角恒等变换将函数化为一个角的一种函数形式.①y=Asin( ω x+φ ) 的周期为.② y=Atan( ω x+φ ) 的周期为.③y=|sin x| 的周期为π .④y=|tan x| 的周期为π .奇偶性、对称性【典例】 (2019 ·全国卷Ⅱ ) 以下函数中, 以为周期且在区间单一递加的是()A.f(x)=|cos 2x|B.f(x)=|sin 2x|C.f(x)=cos|x|D.f(x)=sin|x|【分析】选 A. 分别画出函数的图像可得选项 A 的周期为, 选项 B 的周期为, 而选项 C 的周期为2π, 选项D不是周期函数. 联合图像的起落状况可得 A 正确 .1. 函数 y=sin 2x+cos 2x的最小正周期为()A. B. C.π D.2π【分析】选 C.y=sin 2x+cos 2x=2sin,T==π.2.(2020 ·渭南模拟 ) 同时拥有以下性质:“①最小正周期是π;②图像对于直线x=对称;③在上是增函数 ; ④图像的一个对称中心为”的一个函数是()A.y=sinB.y=sinC.y=sinD.y=sin【分析】选 C. 因为最小正周期是π ,清除A选项;当x=时,对于B, y=sin=0, 对于D,y=sin= , 因为图像对于直线x=对称,因此清除B、D 选项 , 对于C,sin=1,sin=0, 且在上是增函数,故C知足条件.3.(2018 ·江苏高考 ) 已知函数y=sin(2x+ φ)的图像对于直线x=对称,则φ 的值是.【分析】正弦函数的对称轴为+kπ(k ∈ Z), 故把 x=代入得+φ= +kπ(k ∈ Z),φ=- +kπ(k ∈ Z), 因为 - <φ< , 因此 k=0, φ=-.答案 :-1. 函数 f(x)=cos(ωx+φ)的部分图像如下图, 则 f(x)的单一递减区间为()A.,k ∈ ZB.,k ∈ZC.,k ∈ZD.,k ∈Z【分析】选 D. 由五点法作图知,解得因此 f(x)=cos, 令 2kπ <π x+ <2kπ +π ,k ∈Z, 解得 2k- <x<2k+,k∈ Z. 因此 f(x)的单一递减区间为,k ∈ Z.【一题多解】选 D. 由图像知T=2×=2, 当 x== 时 ,f(x)获得最小值,因为T=2,因此当x=-1=-时取到最大值 . 因此 f(x)的一个单一递减区间为,f(x) 单一递减区间为,k ∈ Z.2.(2020 ·洛阳模拟 ) 已知函数 f(x)=sin(sin x)+cos(sin x),x ∈ R,则以下说法正确的选项是()A. 函数 f(x)是周期函数且最小正周期为πB. 函数 f(x)是奇函数C. 函数 f(x)在区间上的值域为 [1,]D. 函数 f(x)在区间上是增函数【分析】选 C. 对于 A,f(x+π)=sin[sin(x+π )]+cos[sin(x+π )]=sin(-sin x)+cos(-sin x)=-sin(sin x)+cos(sin x)≠ f(x),A错误;对于B,f(-x)=sin[sin(-x)]+cos[sin(-x)]=-sin(sin x)+cos(sin x)≠ -f(x),B 错误 ; 对于 C, 令 t=sin x,则t∈ [0,1],y=sin t+cos t=sin∈[1,],C 正确 ;对于 D,f(x)=sin, 令 t=sin x+,则 t=sin x+在上单一递加,t ∈, 但外层函数y=sin t 在上其实不拥有单一性, 因此 D错误 .。

第四章三角函数、解三角形第一讲三角函数的基本概念、同角三角函数的基本关系与诱导公式练好题·考点自测1.已知下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关;③若sin α=sin β，则α与β的终边相同；④若cos θ<0,则θ是第二或第三象限的角.其中正确的个数是（）A.1B.2 C。

3 D。

42。

sin 2·cos 3·tan 4的值（）A。

小于0 B。

大于0C。

等于0 D.不存在3.已知点P(cos 300°,sin 300°)是角α终边上一点,则sin α—cos α= （）A.√32+12B。

-√32+12C。

√32−12D。

-√32−124.[2019全国卷Ⅰ,7，5分]tan 255°= （）A.-2—√3B。

—2+√3C。

2—√3 D.2+√35.[2020全国卷Ⅱ，2,5分］［理]若α为第四象限角,则 （ ) A 。

cos 2α>0 B 。

cos 2α〈0 C 。

sin 2α>0 D.sin 2α<06。

已知sin α+cos α=12，α∈(0,π),则1-tanα1+tanα= ( )A.—√7B.√7C.√3 D 。

-√3图4-1—17。

[2019北京,8,5分］如图4—1-1，A ，B 是半径为2的圆周上的定点,P 为圆周上的动点，∠APB 是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为 （ ） A 。

4β+4cos β B.4β+4sin β C.2β+2cos β D.2β+2sin β8.[2018全国卷Ⅰ，11，5分］已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合,终边上有两点A （1，a ）,B （2,b )，且cos 2α=23，则｜a -b ｜=（ ）A.15B .√55C 。

2√55D.1拓展变式1.在一块顶角为120°、腰长为2的等腰三角形厚钢板废料OAB 中用电焊切割成扇形，现有如图4-1—3所示两种方案,既要充分利用废料,又要切割时间更短，则方案更优.2.（1）［2021洛阳市联考］已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴非负半轴重合，终边与直线y=3x重合,且sin α<0，P（m，n）是角α终边上一点，且｜OP｜=√10(O为坐标原点）,则m-n 等于（）A.2B.-2C.4 D。

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必修4三角函数综合测试题及答案详解一、选择题1．下列说法中，正确的是( ）A ．第二象限的角是钝角B ．第三象限的角必大于第二象限的角C ．－831°是第二象限角D ．－95°20′，984°40′,264°40′是终边相同的角2．若点(a ，9)在函数y ＝3x 的图象上，则tan 错误!的值为（ )A ．0 B.错误! C ．1 D.错误!3．若|cos θ|＝cos θ，｜tan θ|＝－tan θ，则θ2的终边在（ ） A ．第一、三象限B ．第二、四象限C ．第一、三象限或x 轴上D ．第二、四象限或x 轴上4．如果函数f (x )＝sin （πx ＋θ）（0〈θ〈2π)的最小正周期是T ,且当x ＝2时取得最大值，那么（ )A ．T ＝2，θ＝π2B ．T ＝1，θ＝πC ．T ＝2,θ＝π D．T ＝1，θ＝错误!5．若sin 错误!＝－错误!，且π<x <2π，则x 等于（ ）A.错误!πB.错误!πC.错误!π D 。

错误!π 6．已知a 是实数，而函数f (x )＝1＋a sin ax 的图象不可能是（ )7．将函数y ＝sin x 的图象向左平移φ(0≤φ<2π）个单位长度后，得到y ＝sin 错误!的图象，则φ＝( )A 。

2021高考数学一轮复习第4章三角函数与解三角形第4讲三角函数的图象与性质分层演练文一、选择题1．下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( ) A ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝sin x ＋cos x解析：选A.y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，最小正周期T ＝2π2＝π，且为奇函数，其图象关于原点对称，故A 正确；y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x ，最小正周期为π，且为偶函数，其图象关于y 轴对称，故B 不正确；C 、D 均为非奇非偶函数，其图象不关于原点对称，故C 、D 不正确．2．函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为( ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－332，332D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－332，3 解析：选 B.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，故3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3，即现在函数f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3.3．若函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω∈N *)图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，则ω的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选B.由题意知πω6＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )⇒ω＝6k ＋2(k ∈Z )，又ω∈N *，因此ωmin ＝2，故选B.4．函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2内的图象是( )解析：选D.y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧2tan x ，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π，2sin x ，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2.结合选项图形知，D 正确．5．(2020·惠州第三次调研)函数y ＝cos 2x ＋2sin x 的最大值为( ) A ．34 B ．1 C ．32D ．2解析：选C.y ＝cos 2x ＋2sin x ＝－2sin 2x ＋2sin x ＋1.法一：设t ＝sin x (－1≤t ≤1)，则原函数能够化为y ＝－2t 2＋2t ＋1＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋32，因此当t ＝12时，函数取得最大值32.法二：设t ＝sin x (－1≤t ≤1)，则原函数能够化为y ＝－2t 2＋2t ＋1，y ′＝－4t ＋2.当12≤t ≤1时，y ′≤0；当－1≤t ≤12时，y ′≥0. 当t ＝12时y 取得最小值，y min ＝－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋2×12＋1＝32，选C.6．(2020·广州综合测试(一))已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π)是奇函数，直线y ＝2与函数f (x )的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为π2，则( )A ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递减B ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，3π8上单调递减C ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递增D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，3π8上单调递增 解析：选D.f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)＝2sin(ωx ＋φ＋π4)，因为0＜φ＜π且f (x )为奇函数，因此φ＝3π4，即f (x )＝－2sin ωx ，又直线y ＝2与函数f (x )的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为π2，因此函数f (x )的最小正周期为π2，由2πω＝π2，可得ω＝4，故f (x )＝－2sin 4x ，由2k π＋π2≤4x ≤2k π＋3π2，k ∈Z ，即k π2＋π8≤x ≤k π2＋3π8，k ∈Z ，令k ＝0，得π8≤x ≤3π8，现在f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，3π8上单调递增，故选D.二、填空题7．已知函数f (x )＝－2sin(2x ＋φ)(|φ|＜π)，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝－2，则f (x )的单调递减区间是________．解析：当x ＝π8时，f (x )有最小值－2，因此2×π8＋φ＝－π2＋2k π，即φ＝－34π＋2k π，k ∈Z ，又因为|φ|＜π， 因此φ＝－34π.因此f (x )＝－2sin(2x －34π)．由－π2＋2k π≤2x －34π≤π2＋2k π，得π8＋k π≤x ≤58π＋k π，k ∈Z ， 因此函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8＋k π，58π＋k π，k ∈Z .答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8＋k π，58π＋k π，k ∈Z8．若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0且|φ|＜π2)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上是单调减函数，且函数值从1减少到－1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4等于________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧π6ω＋φ＝π2＋2k π2π3ω＋φ＝3π2＋2k π，k ∈Z ，解之得ω＝2，φ＝π6＋2k π，又因为|φ|＜π2，因此φ＝π6.因此f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4＋π6＝cos π6＝32. 答案：329．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)和g (x )＝3·cos(2x ＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的取值范畴是________．解析：由两三角函数图象的对称中心完全相同，可知两函数的周期相同，故ω＝2，因此f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6， 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－π6≤2x －π6≤5π6， 因此－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，故f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，310．(2020·石家庄质量检测(一))若函数f (x )＝3sin(2x ＋θ)＋cos(2x ＋θ)(0＜θ＜π)的图象关于⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0对称，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6上的最小值是________． 解析：f (x )＝3sin(2x ＋θ)＋cos(2x ＋θ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋θ＋π6，则由题意，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2sin (π＋θ＋π6)＝0，又0＜θ＜π，因此θ＝5π6，因此f (x )＝－2sin 2x ，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上是减函数，因此函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝－2sin π3＝－3.答案：－ 3 三、解答题11．(2021·高考北京卷)已知函数f (x )＝3cos(2x －π3)－2sin x cos x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求证：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )≥－12. 解：(1)f (x )＝32cos 2x ＋32sin 2x －sin 2x ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin(2x ＋π3)．因此f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)证明：因为－π4≤x ≤π4，因此－π6≤2x ＋π3≤5π6.因此sin(2x ＋π3)≥sin(－π6)＝－12.因此当x ∈[－π4，π4]时，f (x )≥－12.12．(2021·高考北京卷)已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx (ω＞0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)求f (x )的单调递增区间．解：(1)因为f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝2sin(2ωx ＋π4)，因此f (x )的最小正周期T ＝2π2ω＝πω. 依题意，πω＝π，解得ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝2sin(2x ＋π4)．函数y ＝sin x 的单调递增区间为[2k π－π2，2k π＋π2](k ∈Z )．由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z )．因此f (x )的单调递增区间为[k π－3π8，k π＋π8](k ∈Z )．。

2021年高考数学一轮复习《三角函数》精选练习一、选择题1.若函数f(x)=ax ＋b 的零点是2，那么函数g(x)=bx 2-ax 的零点是( )A ．0，2B ．0，0.5C ．0，-0.5D ．2，-0.52.若函数f(x)=ax ＋1在区间(-1，1)上存在一个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(-∞，1)C ．(-∞，-1)∪(1，＋∞)D ．(-1，1) 3.函数f(x)=3x＋x 2-2的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 4.函数f(x)=e x ＋2x-3的零点所在的一个区间为( )A ．(-1，0)B ．0，0.5 C.0.5，1 D ．1，1.5 5.函数f(x)=3x |ln x|－1的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 6.下列函数中，在(－1，1)内有零点且单调递增的是( )A ．y=log 0.5xB ．y=2x－1 C ．y=x 2－0.5 D ．y=－x 37.一个扇形的弧长与面积的数值都是6，则这个扇形的圆心角的弧度数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 8.点P(cos 2 019°，sin 2 019°)所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 9.-510°是( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限10.某扇形的面积为1cm 2，它的周长为4cm ，那么该扇形圆心角的度数为（ ）A.2°B.2C.4°D.4 11.如果弓形的弧所对的圆心角为3π，弓形的弦长为4 cm ，则弓形的面积是（ ） A.(344-9π)cm 2 B.(344-3π)cm 2 C.(348-3π)cm 2 D.(328-3π)cm 212.已知角θ的始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点M(－3，4)，则cos 2θ－sin 2θ＋tanθ的值为( )A ．－12175 B.12175 C ．－7975 D.797513.已知角α终边上一点P 的坐标是(2sin 2，－2cos 2)，则sin α等于( )A ．sin 2B ．－sin 2C ．cos 2D ．－cos 214.已知tan(α-π)=0.75，且α∈[23,2ππ]，则sin(2πα+)=( ) A.0.8 B.-0.8 C.0.6 D.-0.6 15.计算：0190sin 160sin 2350cos --=( )16.若(),2,53cos παππα<≤=+则()πα2sin --的值是（ ） A.3/5 B.-3/5 C.4/5 D.-4/517.在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点为坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终边经过点P(3,4)，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－2 019π2=( ) A ．－45 B ．－35 C.35 D.4518.已知倾斜角为α的直线l 与直线x ＋2y －3=0垂直，则)222017cos(απ-的值为( ) A.0.8 B.－0.8 C.2 D.-0.5 19.)2cos()2sin(21++-ππ等于（ ）A.sin2－cos2B.cos2－sin2C.±(sin2－cos2)D.sin2+cos220.已知函数f(x)=asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，且f(4)=3，则f(2018)的值为( )A ．－1B ．1C ．3D ．－3 21.已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12=13，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋17π12等于( ) A.13 B.223 C ．－13 D ．－223 22.log 2⎝⎛⎭⎪⎫cos 7π4的值为( )A ．－1B ．－12 C.12 D.2223.将函数f(x)=sin 2x 图象上的所有点向右平移π4个单位长度后得到函数g(x)的图象．若g(x)在区间[0，a]上单调递增，则a 的最大值为( ) A.π8 B.π4 C.π6 D.π224.关于函数y=tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，下列说法正确的是( ) A ．是奇函数 B ．在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π3上单调递减C.⎝⎛⎭⎪⎫π6，0为其图象的一个对称中心 D ．最小正周期为π25.若函数y=3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫4π3，0对称，则|φ|的最小值为( )A.π6 B ．π4 C.π3 D ．π226.已知函数f(x)=cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－cos 2x ，其中x∈R，给出下列四个结论：①函数f(x)是最小正周期为π的奇函数； ②函数f(x)图象的一条对称轴是直线x=2π3；③函数f(x)图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0；④函数f(x)的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤kx ＋π6，k π＋2π3，k ∈Z.则正确结论的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 27.函数y=sin x ＋cos x 的最小值和最小正周期分别是( )A.-2，2πB.-2,2πC.-2，πD.-2，π 28.y=|cos x|的一个单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2 B ．[0，π] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π29.设函数f(x)=3sin ωx＋cos ωx(ω>0)，其图象的一条对称轴在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3内，且f(x)的最小正周期大于π，则ω的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 B ．(0,2) C ．(1,2) D ．[1,2) 30.已知函数f(x)=2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，则以下判断中正确的是( ) A ．函数f(x)的图象可由函数y=2cos 2x 的图象向左平移π8个单位长度得到B ．函数f(x)的图象可由函数y=2cos 2x 的图象向左平移π4个单位长度得到C ．函数f(x)的图象可由函数y=2sin 2x 的图象向右平移3π8个单位长度得到D ．函数f(x)的图象可由函数y=2sin 2x 的图象向左平移3π4个单位长度得到31.已知函数f(x)=Asin(ωx＋φ)( ω>0，－π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则φ的值为( )A ．－π3 B.π3 C ．－π6 D.π632.将函数y=f(x)=2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向左平移π12个单位长度，再把所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y=g(x)的图象，则下面对函数y=g(x)的叙述正确的是( )A ．函数g(x)=2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3B ．函数g(x)的周期为πC ．函数g(x)的一个对称中心为点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0D ．函数g(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3上单调递增33.已知函数f(x)=2sin(ωx＋φ)( ω>0，φ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π )的部分图象如图所示，其中f(0)=1，|MN|=52，将f(x)的图象向右平移1个单位长度，得到函数g(x)的图象，则g(x)的解析式是( )A ．g(x)=2cos π3xB ．g(x)=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋2π3C ．g(x)=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3x ＋π3 D ．g(x)=－2cos π3x34.已知函数f(x)=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx＋π3(ω>0)图象的最高点与相邻最低点的距离是17，若将y=f(x)的图象向右平移16个单位长度得到y=g(x)的图象，则函数y=g(x)图象的一条对称轴方程是( )A ．x=56B ．x=13C ．x=12 D ．x=0二、填空题35.函数f(x)=3x －7＋ln x 的零点位于区间(n ，n ＋1)(n∈N)内，则n=________． 36.已知α是第二象限角，则α3是第________象限角.37.已知()()()()29cos sin 4cos sin 3=+---++απαααπ，则αtan = ． 38.已知向量a=(sin θ,-2)与b=(1,cos θ)互相垂直，其中θ∈(20π，)，则cos θ=________．39.已知θ是第三象限角，且sinθ-2cosθ=-25，则sinθ＋cosθ=________.40.已知函数f(x)=sin(ωx＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ≤π2的图象上的一个最高点和与它相邻的一个最低点的距离为22，且图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12，则函数f(x)=____________.答案解析41.答案为：C ； 42.答案为：C ；解析：由题意知，f(-1)f(1)<0，即(1-a)(1＋a)<0，解得a<-1或a>1. 43.答案为：C ；解析：函数f(x)=3x＋x 2-2的零点个数即为函数y=3x与函数y=2-x 2的图象的交点个数， 由图象易知交点个数为2，则f(x)=3x＋x 2-2的零点个数为2，故选C. 44.答案为：C ； 45.答案为：B ；解析：选B.函数f(x)=3x|ln x|－1的零点即3x|ln x|－1=0的解，即|ln x|=⎝ ⎛⎭⎪⎫13x的解， 作出函数g(x)=|ln x|和函数h(x)=⎝ ⎛⎭⎪⎫13x的图象，由图象可知，两函数图象有两个公共点， 故函数f(x)=3x|ln x|－1有2个零点．46.答案为：B ；解析：选B.函数y=log 12x 在定义域上单调递减，y=x 2－12在(－1，1)上不是单调函数，y=－x 3在定义域上单调递减，均不符合要求．对于y=2x－1， 当x=0∈(－1，1)时，y=0且y=2x－1在R 上单调递增．故选B. 47.答案为：C ； 48.答案为：C ；49.[答案] C [解析] -510°=-720°＋210°，∴-510°角与210°角终边相同，故选C. 50.B 51.C 52.答案为：A解析：由已知得|OM|=5，因而cosθ=－35，sinθ=45，tanθ=－43，则cos 2θ－sin 2θ＋tanθ=925－1625－43=－12175.故选A.53.答案为：D ； 54.B. 55.D. 56.C57.答案为：C ；解析：∵角α的终边经过点P(3,4)，∴sin α=45，cos α=35.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－2 019π2=sin ( α－2 020π2＋π2 )=sin ( α＋π2 )=cos α=35.故选C. 58.A ． 59.A60.答案为：C ；解析：∵f(4)=asin(4π＋α)＋bcos(4π＋β)=asinα＋bcosβ=3，∴f(2018)=asin(2018π＋α)＋bcos(2018π＋β)=asinα＋bcosβ=3.故选C. 61.答案为：A ；解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋17π12=cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12=13.故选A. 62.答案为：B ；解析：log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 7π4=log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π4=log 222=－12.故选B.63.答案为：D ；f(x)的图象向右平移π4个单位长度得到g(x)=sin [ 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4 ]=-cos 2x 的图象．根据余弦函数的图象可知，当0≤2x≤π，即0≤x≤π2时，g(x)单调递增，故a 的最大值为π2. 64.答案为：C ；函数y=tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3是非奇非偶函数，A 错；函数y=tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3上单调递增，B 错；最小正周期为π2，D 错；由2x －π3=kπ2，k ∈Z ，得x=kπ4＋π6，k ∈Z.当k=0时，x=π6，所以它的图象关于⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称．65.答案为：A.解析：由题意得3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×4π3＋φ=3cos(2π3＋φ＋2π)=3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ=0，∴2π3＋φ=kπ＋π2，k ∈Z ，∴φ=k π－π6，k ∈Z. 取k=0，得|φ|的最小值为π6. 66.答案为：C.解析：f(x)=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－cos 2x=cos 2xcos π3－sin 2xsin π3－cos 2x=－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，不是奇函数，故①错误；当x=2π3时f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3=－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋π6=1，故②正确；当x=5π12时f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12=－sin π=0，故③正确；令2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3，k ∈Z ，故④正确．综上，正确的结论个数为3. 67.A68.答案为：D ；将y=cos x 的图象位于x 轴下方的部分关于x 轴对称向上翻折，x 轴上方(或x 轴上)的图象不变，即得y=|cos x|的图象(如图)．故选D.69.答案为：C ；由题意f(x)=3sin ωx＋cos ωx=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx＋π6(ω>0)．令ωx＋π6=π2＋kπ，k ∈Z ， 得x=π3ω＋kπω，k ∈Z.∵函数图象的一条对称轴在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3内，∴π6<π3ω＋kπω<π3，k ∈Z ，∴3k ＋1<ω<6k＋2，k ∈Z. 又∵f(x)的最小正周期大于π，∴2πω>π，解得0<ω<2.∴ω的取值范围为(1,2)．故选C.70.答案为:A;解析：因为f(x)=2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以函数f(x)的图象可由函数y=2cos 2x 的图象向左平移π8个单位长度得到，故选A.71.答案为:B;解析：由题意，得T 2=π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6=π2，所以T=π，由T=2πω，得ω=2，由图可知A=1，所以f(x)=sin(2x ＋φ)．又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ=0，－π2<φ<π2，所以φ=π3.72.答案为：C.解析：将函数f(x)=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向左平移π12个单位，可得函数y=2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π6=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象；再把所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y=g(x)=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3的图象，故g(x)的周期为2π4=π2，排除A ，B.令x=－π12，求得g(x)=0，可得g(x)的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0，故C 满足条件． 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3上，4x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，5π3，函数g(x)没有单调性，故排除D.73.答案为:A ；解析：设函数f(x)的最小正周期为T.由题图及|MN|=52，得T 4=32，则T=6，ω=π3.又由f(0)=1，φ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π得sin φ=12，φ=5π6.所以f(x)=2sin ( π3x ＋5π6 ).则g(x)=2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3x －1＋5π6=2cos π3x.故选A.74.答案为:B ；解析：函数f(x)=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx＋π3的最大值为2，由172－42=1可得函数f(x)的周期T=2×1=2，所以ω=π，因此f(x)=2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx＋π3.将y=f(x)的图象向右平移16个单位长度得到的图象对应的函数解析式为g(x)=2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π⎝ ⎛⎭⎪⎫x －16＋π3=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx＋π6，当x=13时，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫13=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π6=2， 为函数的最大值，故直线x=13为函数y=g(x)图象的一条对称轴．故选B.75.答案为：2；解析：因为f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(2)=－1＋ln 2＜0，f(3)=2＋ln 3＞0，所以函数f(x)的零点位于区间(2，3)内，故n=2.76.[答案] 一或第二或第四 [解析] 将平面直角坐标系中的每一个象限进行三等分，从x 轴右上方开始在每一等份中依次标数字1、2、3、4，如图所示.∵α第二象限角，∴图中标有数字2的位置即为α3角的终边所在位置，故α3是第一或第二或四象限角. 77.答案为：0.2; 78.答案：55. 79.答案为：-3125；解析：观察得sinθ=45，cosθ=35满足方程，但此时θ是第一象限角，不合题意．由⎩⎪⎨⎪⎧sinθ－2cosθ＝－25，sin 2θ＋cos 2θ＝1，得5cos 2θ-85cosθ-2125=0，解得cosθ=35或-725.因为θ是第三象限角，所以cosθ=-725，从而sinθ=-2425，所以si nθ＋cosθ=-3125.80.答案为：sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2x ＋π6； 解析：依题意得22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫πω2=22，ω>0，所以ω=π2，所以f(x)=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋φ.因为该函数图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12，所以sin(π＋φ)=－12，即sin φ=12. 因为－π2≤φ≤π2，所以φ=π6，所以f(x)=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π6.。

4.3 三角恒等变形中心考点·精确研析考点一三角函数式的化简求值1.(2020 ·阜阳模拟 ) 若 sin( α - β)sinβ- cos(α -β)cosβ=, 且α为第二象限角, 则 tan=()A.7B.C.-7D.-2.(2019 ·全国卷Ⅱ ) 已知α∈,2sin 2α=cos 2α+1, 则 sinα=()A. B. C. D.3.化简 :=.【分析】 1. 选 B. 由于 sin( α- β )sin β -cos(α- β )cos β = ,即 -cos( α - β +β )=-cosα = , 所以 cos α =- .又由于α为第二象限角, 所以 tan α =-,所以 tan== .2.选 B. 由 2sin2α=cos 2α +1 得 4sinα cosα =2cos 2α, 即 2sinα =cos α , 联合 sin 2α +cos 2α=1, 解得sin α =.3.原式 ====1.答案 :11.三角函数式的化简要按照“三看”原则2.三角函数式化简的方法弦切互化 , 异名化同名 , 异角化同角 , 降幂或升幂 .在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律, 根号中含有三角函数式时, 一般需要升次 .【一题多解】倍角降次解T3, 原式 =====1.三角形法解T2, 由于α∈, 所以 sinα>0,cosα>0,由2sin2α=cos 2α+1 得 4sinαcosα=2cos2α,即2sinα=cosα,tanα=, 画直角三角形如图,不如设角α对边为 1, 邻边为 2, 则斜边为,sinα=.考点二条件求值问题1.考什么 : (1) 给角求值 , 给值求值 , 给值求角等 .命题(2) 考察逻辑推理 , 数学运算等中心修养, 以及转变与化归的思想.精解读2.怎么考 : 引诱公式与三角函数性质联合考察求三角函数值, 角的值等 .条件求值的四个必备结论(1)降幂公式 :cos 2α=,sin2α=.学霸(2)升幂公式 :1+cos 2α=2cos 2α,1 -cos 2α=2sin 2α.好方法(3)公式变形 :tan α± tanβ=tan( α±β )(1 ?tanαtanβ).(4)协助角公式 :asin x+bcos x=sin(x+ φ)此中 sinφ=,cosφ=给角求值【典例】 (2019 ·沈阳四校联考 ) 化简 :-=.【分析】-====4.答案 :4给角求值怎样求解 ?提示 :(1)察看角 , 剖析角之间的差别 , 巧用引诱公式或拆分 .(2) 察看名 , 尽可能使函数一致名称 .(3) 察看构造 , 利用公式 , 整体化简 .给值求值【典例】 1.(2018 ·全国卷Ⅱ ) 已知 sin α+cos β=1,cos α+sinβ=0, 则 sin( α+β)=.2.(2018 ·全国卷Ⅱ ) 已知 tan= , 则 tanα=.【分析】 1. 由 sinα+cosβ=1 与 cos α+sin β=0分别平方相加得 sin2α+2sinαcosβ+cos2β+cos2α+2cosαsinβ+sin2β=1,即2+2sinαcosβ+2cos αsinβ=1,所以sin(α+β)= -.答案 :-2. 由于 tan=tan=,所以= , 解得 tanα=.答案 :给值求值问题怎样求解?提示 :(1)化简所求式子.(2)察看已知条件与所求式子之间的联系( 从三角函数名及角下手 ).(3)将已知条件代入所求式子 , 化简求值 .给值求角【典例】 (2020 ·长春模拟 ) 已知 sinα=,sin(α -β)= -,α, β均为锐角 , 则角β值是.【分析】由于α, β均为锐角 , 所以 -<α - β<.又 sin( α - β )=-, 所以 cos( α - β)=.又 sinα =, 所以 cosα=,sinβ =sin[α -(α -β )]=sinα cos(α -β )-cosα sin(α -β )=×-×=, 所以β =.答案 :怎样选用适合的三角函数求角?提示 :(1)已知正切函数值, 选正切函数 .(2) 已知正、余弦函数值, 选正弦或余弦函数. 若角的范围是, 选正、余弦函数皆可; 若角的范围是(0, π ), 选余弦函数较好; 若角的范围为, 选正弦函数较好.(3)由角的范围 , 联合所求三角函数值写出要求的角.1.(2020 ·滁州模拟 ) 若锐角α, β知足 tanα+tanβ=-tanαtanβ,则α+β=.【分析】由已知可得=, 即 tan( α+β)=. 又由于α+β∈ (0, π), 所以α+β= .答案 :2.(2019 ·福州模拟 ) 已知 A,B 均为钝角 ,sin 2+cos=, 且sin B=, 则 A+B= ()A. B. C. D.【分析】选 C. 由于 sin 2+cos=,所以+ cos A-sin A=,即-sin A=, 解得 sin A=.由于 A 为钝角 , 所以 cos A=-=-=-. 由 sin B=, 且 B 为钝角 ,得 cos B=-=-=-. 所以 cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B=×-×=. 又 A,B 都为钝角 , 即A,B∈, 所以 A+B∈ ( π ,2 π ), 所以 A+B=.3.(2020 ·佛山模拟 ) 已知 cos α=, α∈ (- π,0), 则 cos= ()A.-B.-C.D.【分析】选 A. 由于 cos α =, α∈ (- π ,0),所以 sinα =-=-,所以 cos=cos α cos +sinα sin=×+×=-.1.(2019 ·贵阳模拟 )sin 415° -cos 415°= ()A. B.- C. D.-【分析】选 D.sin 415° -cos 4 15°=(sin 215° -cos 215°)(sin215°+cos215°)=sin 215° -cos 215°=-cos 30°=-.2. 定义运算=ad-bc. 若 cos α = ,=,0< β<α <, 则β =.【分析】由已知得sinα cosβ -cosα sinβ=sin(α-β )=. 又0<β<α < , 所以 0<α - β< , 所以 cos( α - β )==, 而 cos α = , 所以sinα =, 于是 sinβ =sin[α -(α -β )]=sinα cos(α -β )-cos α sin( α - β )=×-×=, 所以β=.答案 :考点三三角恒等变换的综合应用【典例】 1. 如图 , 在矩形 OABC中 ,AB=1,OA=2, 以 B 为圆心 ,BA 为半径在矩形内部作弧, 点 P 是弧上一动点 ,PM ⊥ OA,垂足为 M,PN⊥OC,垂足为 N, 求四边形OMPN的周长的最小值.【分析】连结BP, 设∠ CBP=α,此中 0≤α <,则 PM=1-sin α ,PN=2-cos α,则周长 C=6-2(sinα +cosα)=6-2sin,故当α + = , 即α =时,周长C有最小值6-2.2.(2019 ·浙江高考 ) 设函数 f(x)=sin x,x∈ R.(1)已知θ∈ [0,2 π), 函数 f(x+ θ) 是偶函数 , 求θ的值 .(2) 求函数 y=+的值域.【解题导思】序号联想解题(1)看到“ f(x+ θ) 是偶函数” , 想到偶函数的性质 , 即 f(-x+ θ )=f(x+ θ )看到“求函数y=+的值域” ,想到先化简(2)y=+【分析】 (1) 由于 f(x+ θ )=sin(x+θ )是偶函数,所以,对随意实数x 都有sin(x+ θ )=sin(-x+θ ),即 sin xcosθ +cos xsinθ=-sin xcosθ +cos xsinθ ,故 2sin xcosθ =0,所以 cos θ =0.又θ∈ [0,2 π ), 所以θ =或.(2)y=+=sin 2+sin 2=+=1-=1-cos.所以 , 函数的值域是.1.三角函数应用题的办理方法(1)联合详细图形引进角为参数 , 利用三角函数的相关公式进行化简, 解决最优化问题 .(2)解决三角函数应用问题和解决一般应用性问题同样 , 先建模 , 再议论变量的范围 , 最后得出结论并回答下列问题 .2. 三角恒等变换在研究三角函数图像和性质中的应用(1) 图像变换问题: 先依据和角公式、倍角公式把函数表达式变成正弦型函数y=Asin+b 或余弦型函数y=Acos(ωx+φ)+b的形式,再进行图像变换.(2) 函数性责问题: 求函数周期、最值、单一区间的方法步骤①利用三角恒等变换及协助角公式把三角函数关系式化成y=Asin( ωx+φ)+b或y=Acos(ωx+φ)+b的形式 ;②利用公式T=( ω>0) 求周期 ;③依据自变量的范围确立ωx+φ的范围 , 依据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值, 此外求最值时 , 根据所给关系式的特色, 也可换元转变成求二次函数的最值;④依据正、余弦函数的单一区间列不等式求函数y=Asin( ωx+φ)+b或y=Acos(ωx+φ)+b的单一区间.1. 如图是半径为 1 的半圆 , 且四边形 PQRS是半圆的内接矩形, 设∠ SOP=α, 求α为什么值时矩形的面积最大,并求出最大值 .【分析】由于∠ SOP=α, 所以PS=sin α,SR=2cosα,故S矩形PQRS=SR· PS=2cos α· sinα=sin2α, 故当α=时,矩形的面积有最大值 1.- 9 -(1)求 f(x) 的最小正周期 .(2) 求 f(x) 在区间上的最大值和最小值.【分析】 (1) 由已知得f(x)=-=-cos 2x =sin 2x-cos 2x=sin.所以 f(x) 的最小正周期T==π .(2) 由 (1) 知 f(x)=sin.由于 -≤ x≤, 所以 -≤ 2x-≤,所以当 2x-=-,即 x=-时,f(x)有最小值-;当 2x-= , 即 x=时,f(x)有最大值.所以 f(x) 在上的最大值为, 最小值为 -.。

12021年高三理数第一轮复习之第4章 三角函数与解三角形（理）：4.6 正弦定理和余弦定理基础巩固组1.(2019河北枣强中学期末)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,若b=3,c=2,cos A=13,则a=( )A.5B.√7C.4D.32.在△ABC 中,已知a cos A=b cos B ,则△ABC 的形状是( ) A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形3.(2019吉林白山期末)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若c=2b sin C ,B ≤π2,则B=( ) A.π6B.π4C.π3D.π24.(2019陕西渭南质量检测)在△ABC 中,AC=√7,BC=2,B=60°,则BC 边上的中线AD 的长为( ) A.1B.√3C.2D.√75.(2019吉林吉林市普通中学调研)△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且a sin A-c sin C=(a-b )sin B ,c=4,则△ABC 面积的最大值为( ) A.2√3B.4C.4√3D.8√36.(2019福建漳州二模)在△ABC 中,a=2,∠C=π4,tan B2=12,则△ABC 的面积等于 .27.若△ABC 的面积为√34(a 2+c 2-b 2),且∠C 为钝角,则∠B= ;ca 的取值范围是 .8.(2019广东茂名一模)《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题,今年超强台风“山竹”登陆时再现了这一现象(如图所示),不少大树被大风折断.某路边树干被台风吹断后(没有完全断开),树干与地面成75°角,折断部分与地面成45°角,树干底部与树尖着地处相距10米,则大树原来的高度是 米.(结果保留根号)9.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,AB 边上的高为h ,若c=2h ,则ab +ba 的取值范围是 .10.(2019广东省韶关一模)在△ABC 中,a ,b ,c 分别是内角A ,B ,C 的对边,且√3b cos A=sin A (a cos C+c cos A ).(1)求角A 的大小;(2)若a=2√3,△ABC 的面积为5√34,求△ABC 的周长.综合提升组11.(2019河北石家庄模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足a2-2a(sin B+√3cos B)+4=0, b=2√7,则△ABC的面积为()A.√2B.2√2C.√3D.2√312.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且(a2+b2-c2)·(a cos B+b cos A)=abc,若a+b=2,则c的取值范围为()2] D.(1,2]A.(0,2)B.[1,2)C.[12,13.(2019湖南湘西州期末)如图所示,为了测量某一隧道两侧A,B两地间的距离,某同学首先选定了不在直线AB上的一点C(△ABC中∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c),然后确定测量方案并测出相关数据,进行计算.现给出如下四种测量方案:①测量∠A,∠C,b;②测量∠A,∠B,∠C;③测量a,b,∠C;④测量∠A,∠B,a,则一定能确定A,B间距离的所有方案的序号为()A.①③B.①③④C.②③④D.①②④14.34如图,在△ABC 中,∠B=π3,D 为边BC 上的点,E 为AD 上的点,且AE=8,AC=4√10,∠CED=π4. (1)求CE 的长;(2)若CD=5,求cos ∠DAB 的值.创新应用组15.(2019河北衡水十三中质检)已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,且(a 2+b 2-c 2)·(a cos B+b cos A )=abc ,若△ABC 的外接圆半径为2√33,则△ABC 的周长的取值范围为( )A.(2,4]B.(4,6]C.(4,6)D.(2,6]16.(2019江西高安期末)某校运动会开幕式上举行升旗仪式,旗杆正好处在坡度15°的看台的某一列的正前方,从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°,第一排和最后一排的距离为5√6米(如图所示),旗杆底部与第一排在同一个水平面上.若国歌长度约为50秒,要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部,升旗手升旗的速度应为()(米/秒)A.110B.310C.12D.7105参考答案4.6正弦定理和余弦定理1.D由余弦定理可得a2=b2+c2-2bc cos A=9+4-2×3×2×13=9,解得a=3,故选D.2.D∵a cos A=b cos B,∴sin A cos A=sin B cos B,∴sin 2A=sin 2B,∴A=B,或2A+2B=180°,即A+B=90°,∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.故选D. 3.A因为c=2b sin C,所以sin C=2sin B sin C,所以sin B=12,则B=π6或5π6.因为B≤π2,所以B=π6,故选A.4.D由余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2AB·BC cos B,即AB2-2AB-3=0.∴AB=3.在△ABD中,由余弦定理可得AD2=AB2+BD2-2AB·BD cos B=7, ∴AD=√7.故选D.5.C∵a sin A-c sin C=(a-b)sin B,由正弦定理asinA =bsinB=csinC,得a2=(a-b)b+c2,6即a2+b2-c2=ab.由余弦定理得cos C=a2+b 2 -c22ab =12,结合0<C<π,得C=π3.∵c=4,∴由余弦定理可得16=a2+b2-ab≥2ab-ab=ab,当且仅当a=b等号成立,∴S△ABC=12ab sin C≤12×16×√32=4√3,即△ABC面积的最大值为4√3.故选C.6.8 7由tan B=2tan B21-tan2B2=2×121-14=43.∵sin2B+cos2B=1,∴sin B=45,cos B=35,∴sin A=sin(B+C)=sin B cos C+cos B sin C=√22×45+√22×35=7√210,由正弦定理可得asinA=bsinB,∴b=2×457√210=8√2,∴S△ABC=12ab sin C=12×2×8√27×√22=87.7.π3(2,+∞)由题意,得S△ABC=√34(a2+c2-b2)=12ac sin B,即√3(a2+c2-b2)2ac=sin B,∴√3cosB=sin B,∴tan B=√3.∴B=π3.∴A+C=2π3,C=2π3-A>π2,∴0<A<π6.78由正弦定理,得ca =sinC sinA=sin (2π3-A )sinA=sin 2π3cosA -cos 2π3sinA sinA=√32tanA +12. ∵0<A<π6,∴tan A ∈(0,√33).∴ca >√32×33+12=2,即c a∈(2,+∞). 8.5√2+5√6 设树根部为O ,折断处为A ,树梢为B ,则∠AOB=75°,∠ABO=45°,所以∠OAB=60°,OB=10.由正弦定理知AOsin45°=ABsin75°=10sin60°,所以OA=10√63(米),AB=15√2+5√63(米),∴OA+AB=5√2+5√6(米).9.[2,2√2] ∵12ab sin C=12ch ,c 2=a 2+b 2-2ab cos C ,∴ab=cℎsinC ,a 2+b 2=c 2+2ab cos C ,a b +ba=a 2+b2ab=c 2+2abcosCcℎsinC=sinC (c 2+2cℎsinC cosC )cℎ=csinC+2ℎcosCℎ=2(sin C+cos C ) =2√2sin (C +π4)≤2√2,又2√2sin C+π4=ab +ba≥2,当且仅当C=π4,a=b=1时,等号成立.∴a+b∈[2,2√2].10.解(1)∵√3b cos A=sin A(a cos C+c cos A),∴由正弦定理可得√3sin B cos A=sin A(sin A cos C+sin C cos A) =sin A sin(A+C)=sin A sin B,即√3sin B cos A=sin A sin B,∵sin B≠0,∴tan A=√3,∵A∈(0,π),∴A=π3 .(2)∵A=π3,a=2√3,△ABC的面积为5√34,∴12bc sin A=√34bc=5√34,∴bc=5,∴由余弦定理可得a2=b2+c2-2bc cos A,即12=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc=(b+c)2-15,解得b+c=3√3,∴△ABC的周长为a+b+c=2√3+3√3=5√3.11.D由题意知a2-2a(sin B+√3cos B)+4=0,可得a2-4a sin(B+π3)+4=0,由题意知此方程有解,则Δ=16sin2(B+π3)-16≥0,即sin2(B+π3)≥1.又因为0≤sin2(B+π3)≤1,9所以sin(B+π3)=1,即a=2,所以B+π3=π2,解得B=π6,在△ABC中,由余弦定理可得b2=a2+c2-2ac cos B, 即(2√7)2=22+c2-2×2c cosπ6,整理得c2-2√3c-24=0,解得c=4√3,或c=-2√3(舍去),所以三角形的面积S=12ac sin B=12×2×4√3sinπ6=2√3,故选D.12.B由题意可得a2+b 2 -c22ab ×acosB+bcosAc=12,且cos C=a2+b2-c22ab,acosB+bcosAc=sinAcosB+sinBcosAsinC =sinCsinC=1,据此可得cos C=12,即a2+b2-c22ab=12,a2+b2-c2=ab,据此有c2=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab=4-3ab≥4-3(a+b2)2=1,当且仅当a=b=1时等号成立.三角形满足两边之和大于第三边,则c<a+b=2,综上可得,c的取值范围为[1,2).13.B①由∠A,∠C可算出∠B,再根据正弦定理csinC =bsinB可计算出AB=c,②已知三角,没有已知边,无论用正弦定理还是余弦定理都算不出AB=c,③已知两边夹角,用余弦定理可计算出AB=c,④已知两角,可计算出第三角,再用正弦定理可解得AB=c,故选B.101114.解 (1)由题意可得∠AEC=π-π4=3π4,在△AEC 中,由余弦定理得AC 2=AE 2+CE 2-2AE·CE cos ∠AEC ,∴160=64+CE 2+8√2CE ,整理得CE 2+8√2CE-96=0,解得CE=4√2.(2)在△CDE 中,由正弦定理得CE sin∠CDE =CD sin∠CED ,即4√2sin∠CDE =5sin π4,∴5sin ∠CDE=4√2sin π4=4√2×√22=4,∴sin ∠CDE=45.∵点D 在边BC 上,∴∠CDE>∠B=π3,而45<√32,∴∠CDE 只能为钝角,∴cos ∠CDE=-35,∴cos ∠DAB=cos (∠CDE -π3)=cos ∠CDE cos π3+sin ∠CDE sin π3=-35×12+45×√32=4√3-310.15.B 因为(a 2+b 2-c 2)·(a cos B+b cos A )=abc ,所以2ab cos C·(sin A cos B+sin B cos A )=ab sin C ,2cos C·sin(A+B )=sin C ,2cos C=1,C=π3,c=2×2√33×sin π3=2.因此c 2=a 2+b 2-2ab cos C=a 2+b 2-ab=(a+b )2-3ab ≥(a+b )2-3×(a+b )24=(a+b)24.即(a+b )24≤22,a+b ≤4.因为a+b>c=2,所以a+b+c ∈(4,6],故选B .16.B 如图所示,依题意知∠AEC=45°,∠ACE=180°-60°-15°=105°, ∴∠EAC=180°-45°-105°=30°,由正弦定理知CEsin∠EAC =ACsin∠AEC,∴AC=5√6sin30°×sin 45°=10√3(米),∴在Rt△ABC中,AB=AC·sin ∠ACB=10√3×√32=15(米),∵国歌长度约为50秒,∴升旗手升旗的速度应为1550=310(米/秒).故选B.12。

高考数学一轮复习 第四章 三角函数与解三角形4.5 三角函数的图象与性质考试要求 1.能画出三角函数的图象.2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值.3.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上，正切函数在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上的性质．知识梳理1．用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)．(2)在余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1)．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )函数y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x图象定义域 R R {x | x ≠k π ⎭⎬⎫＋π2 值域 [－1,1] [－1,1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间⎣⎡ 2k π－π2，⎦⎤2k π＋π2[2k π－π，2k π]⎝⎛ k π－π2，⎭⎫k π＋π2递减区间⎣⎡ 2k π＋π2，⎦⎤2k π＋3π2[2k π，2k π＋π]对称中心 (k π，0) ⎝⎛⎭⎫k π＋π2，0⎝⎛⎭⎫k π2，0对称轴方程 x ＝k π＋π2x ＝k π常用结论1．对称性与周期性(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是12个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期．(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期． 2．奇偶性若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω≠0)，则(1)f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π2＋k π(k ∈Z )．(2)f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z )． 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数．( × ) (2)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( × ) (3)y ＝sin|x |是偶函数．( √ )(4)若非零实数T 是函数f (x )的周期，则kT (k 是非零整数)也是函数f (x )的周期．( √ ) 教材改编题1．若函数y ＝2sin 2x －1的最小正周期为T ，最大值为A ，则( )A ．T ＝π，A ＝1B ．T ＝2π，A ＝1C ．T ＝π，A ＝2D ．T ＝2π，A ＝2 答案 A2．函数f (x )＝－2tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的定义域是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪x ≠π6B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪x ≠－π12 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪x ≠k π＋π6k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪x ≠k π2＋π6k ∈Z答案 D解析 由2x ＋π6≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π2＋π6，k ∈Z .3．函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递减区间是________． 答案 ⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z 解析 因为y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 令2k π≤2x －π3≤2k π＋π，k ∈Z ，求得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3，k ∈Z ，可得函数的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z .题型一 三角函数的定义域和值域例1 (1)函数y ＝1tan x －1的定义域为________．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠π4＋k π，且x ≠π2＋k π，k ∈Z 解析 要使函数有意义， 则⎩⎪⎨⎪⎧tan x －1≠0，x ≠π2＋k π，k ∈Z ，即⎩⎨⎧x ≠π4＋k π，k ∈Z ，x ≠π2＋k π，k ∈Z .故函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠π4＋k π，且x ≠π2＋k π，k ∈Z .(2)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1＋222，1解析 设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x ·cos x ，sin x cos x ＝1－t 22， 且－2≤t ≤ 2.∴y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1，t ∈[－2，2]． 当t ＝1时，y max ＝1； 当t ＝－2时，y min ＝－1＋222. ∴函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1＋222，1.教师备选1．函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________．答案 ⎣⎡⎦⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z ) 解析 要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象， 如图所示．在[0,2π]内，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z . 2．函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值是________． 答案 1解析 由题意可得 f (x )＝－cos 2x ＋3cos x ＋14＝－⎝⎛⎭⎫cos x －322＋1. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2， ∴cos x ∈[0,1]． ∴当cos x ＝32，即x ＝π6时，f (x )取最大值为1. 思维升华 (1)三角函数定义域的求法求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数的图象来求解． (2)三角函数值域的不同求法①把所给的三角函数式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式求值域． ②把sin x 或cos x 看作一个整体，转换成二次函数求值域． ③利用sin x ±cos x 和sin x cos x 的关系转换成二次函数求值域．跟踪训练1 (1)(2021·北京)函数f (x )＝cos x －cos 2x ，试判断函数的奇偶性及最大值( ) A ．奇函数，最大值为2 B ．偶函数，最大值为2 C ．奇函数，最大值为98D ．偶函数，最大值为98答案 D 解析 由题意，f (－x )＝cos (－x )－cos (－2x ) ＝cos x －cos 2x ＝f (x )， 所以该函数为偶函数，又f (x )＝cos x －cos 2x ＝－2cos 2x ＋cos x ＋1＝－2⎝⎛⎭⎫cos x －142＋98， 所以当cos x ＝14时，f (x )取最大值98.(2)函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x 2的定义域为________． 答案 ⎣⎡⎭⎫－3，－π2∪⎝⎛⎭⎫0，π2 解析 ∵函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x 2，∴应满足⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x >0，9－x 2≥0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k π<x <π2＋k π，－3≤x ≤3，其中k ∈Z ，∴－3≤x <－π2或0<x <π2，∴函数的定义域为⎣⎡⎭⎫－3，－π2∪⎝⎛⎭⎫0，π2.题型二 三角函数的周期性、奇偶性、对称性例2 (1)(2019·全国Ⅱ)下列函数中，以π2为周期且在区间⎝⎛⎭⎫π4，π2上单调递增的是( ) A ．f (x )＝|cos 2x | B ．f (x )＝|sin 2x |答案 A解析 A 中，函数f (x )＝|cos 2x |的周期为π2，当x ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2时，2x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，函数f (x )单调递增，故A 正确；B 中，函数f (x )＝|sin 2x |的周期为π2，当x ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2时，2x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，函数f (x )单调递减，故B 不正确；C 中，函数f (x )＝cos|x |＝cos x 的周期为2π，故C 不正确；D 中，f (x )＝sin|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ≥0，－sin x ，x <0，由正弦函数图象知，在x ≥0和x <0时，f (x )均以2π为周期，但在整个定义域上f (x )不是周期函数，故D 不正确．(2)函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋φ＋1，φ∈(0，π)，且f (x )为偶函数，则φ＝________，f (x )图象的对称中心为________． 答案5π6 ⎝⎛⎭⎫π4＋k π2，1，k ∈Z 解析 若f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋φ＋1为偶函数，则－π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ， 即φ＝5π6＋k π，k ∈Z ，又∵φ∈(0，π)， ∴φ＝5π6.∴f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＋1＝3cos 2x ＋1， 由2x ＝π2＋k π，k ∈Z 得x ＝π4＋k π2，k ∈Z ，∴f (x )图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫π4＋k π2，1，k ∈Z . 教师备选1．下列函数中，是周期函数的为( ) A ．y ＝sin|x |B ．y ＝cos|x |答案 B解析 ∵cos|x |＝cos x ，∴y ＝cos|x |是周期函数．其余函数均不是周期函数． 2．函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋φ，φ∈(0，π)，若f (x )为奇函数，则φ＝________. 答案 π3解析 若f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋φ为奇函数， 则－π3＋φ＝k π，k ∈Z ，即φ＝π3＋k π，k ∈Z ，又∵φ∈(0，π)， ∴φ＝π3.思维升华 (1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx 的形式，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx 的形式．(2)周期的计算方法：利用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)(ω>0)的周期为2πω，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0)的周期为πω求解．跟踪训练2 (1)(2021·全国乙卷)函数f (x )＝sin x 3＋cos x3最小正周期和最大值分别是( )A ．3π和 2B ．3π和2C ．6π和 2D ．6π和2答案 C解析 因为函数f (x )＝sin x 3＋cos x3＝2⎝⎛⎭⎫22sin x 3＋22cos x 3＝2⎝⎛⎭⎫sin x 3cos π4＋cos x 3sin π4 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋π4，所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π13＝6π，最大值为 2.(2)已知f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)是定义域为R 的奇函数，且当x ＝3时，f (x )取得最小值－3，当ω取得最小正数时，f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 022)的值为( ) A.32 B ．－6－3 3 C ．1 D ．－1答案 B解析 ∵f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)是定义域为R 的奇函数， ∴φ＝π2＋k π，k ∈Z ，则φ＝π2，则f (x )＝－A sin ωx .当x ＝3时，f (x )取得最小值－3， 故A ＝3，sin 3ω＝1， ∴3ω＝π2＋2k π，k ∈Z .∴ω的最小正数为π6，∴f (x )＝－3sin π6x ，∴f (x )的周期为12，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (12)＝0， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 022) ＝168×0＋f (1)＋f (2)＋…＋f (6) ＝－6－3 3.(3)(2022·郑州模拟)设函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋34，则下列叙述正确的是( ) A ．f (x )的最小正周期为2π B ．f (x )的图象关于直线x ＝π12对称 C ．f (x )在⎣⎡⎦⎤π2，π上的最小值为－54 D ．f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫2π3，0对称 答案 C解析 对于A ，f (x )的最小正周期为2π2＝π，故A 错误；对于B ，∵sin ⎝⎛⎭⎫2×π12－π3＝－12≠±1， 故B 错误；对于C ，当x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π时，2x －π3∈⎣⎡⎦⎤2π3，5π3， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－1，32， ∴2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋34∈⎣⎡⎦⎤－54，3＋34， ∴f (x )在⎣⎡⎦⎤π2，π上的最小值为－54，故C 正确； 对于D ，∵f ⎝⎛⎭⎫2π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫2×2π3－π3＋34＝34， ∴f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫2π3，34对称，故D 错误． 题型三 三角函数的单调性 命题点1 求三角函数的单调区间例3 函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3的单调递减区间为________．答案 ⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) 解析 f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3 ＝sin ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫2x －π3 ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z . 故所求函数的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )． 延伸探究 f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3在[0，π]上的单调递减区间为________． 答案 ⎣⎡⎦⎤0，5π12和⎣⎡⎦⎤11π12，π 解析 令A ＝⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z ， B ＝[0，π]，∴A ∩B ＝⎣⎡⎦⎤0，5π12∪⎣⎡⎦⎤11π12，π， ∴f (x )在[0，π]上的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤0，5π12和⎣⎡⎦⎤11π12，π. 命题点2 根据单调性求参数例4 (1)若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________.答案 32解析 ∵f (x )＝sin ωx (ω>0)过原点，∴当0≤ωx ≤π2， 即0≤x ≤π2ω时，y ＝sin ωx 单调递增； 当π2≤ωx ≤3π2， 即π2ω≤x ≤3π2ω时，y ＝sin ωx 单调递减． 由f (x )＝sin ωx (ω>0)在⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增， 在⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，知π2ω＝π3， ∴ω＝32. (2)已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是________． 答案 ⎣⎡⎦⎤12，54解析 由π2<x <π，ω>0， 得ωπ2＋π4<ωx ＋π4<ωπ＋π4， 因为y ＝sin x 的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋3π2，k ∈Z ， 所以⎩⎨⎧ ωπ2＋π4≥π2＋2k π，ωπ＋π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得4k ＋12≤ω≤2k ＋54，k ∈Z . 又由4k ＋12－⎝⎛⎭⎫2k ＋54≤0，k ∈Z ， 且2k ＋54>0，k ∈Z ， 解得k ＝0，所以ω∈⎣⎡⎦⎤12，54.教师备选(2022·定远县育才学校月考)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( ) A ．11 B ．9 C ．7 D ．1答案 B解析 因为x ＝－π4为f (x )的零点， x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴， 所以2n ＋14·T ＝π2(n ∈N )， 即2n ＋14·2πω＝π2(n ∈N )， 所以ω＝2n ＋1(n ∈N )，即ω为正奇数．因为f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调，则5π36－π18＝π12≤T 2， 即T ＝2πω≥π6， 解得ω≤12.当ω＝11时，－11π4＋φ＝k π，k ∈Z ， 因为|φ|≤π2， 所以φ＝－π4，此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫11x －π4. 当x ∈⎝⎛⎭⎫π18，5π36时，11x －π4∈⎝⎛⎭⎫13π36，46π36， 所以f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上不单调，不满足题意；当ω＝9时，－9π4＋φ＝k π，k ∈Z ， 因为|φ|≤π2， 所以φ＝π4， 此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫9x ＋π4. 当x ∈⎝⎛⎭⎫π18，5π36时，9x ＋π4∈⎝⎛⎭⎫3π4，3π2， 此时f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调递减，符合题意．故ω的最大值为9.思维升华 (1)已知三角函数解析式求单调区间求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．(2)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．跟踪训练3 (1)(2021·新高考全国Ⅰ)下列区间中，函数f (x )＝7sin ⎝⎛⎭⎫x －π6的单调递增区间是( )A.⎝⎛⎭⎫0，π2 B.⎝⎛⎭⎫π2，π C.⎝⎛⎭⎫π，3π2 D.⎝⎛⎭⎫3π2，2π答案 A解析 令－π2＋2k π≤x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π3＋2k π≤x ≤2π3＋2k π，k ∈Z .取k ＝0，则－π3≤x ≤2π3.因为⎝⎛⎭⎫0，π2⎣⎡⎦⎤－π3，2π3，所以区间⎝⎛⎭⎫0，π2是函数f (x )的单调递增区间． (2)(2022·开封模拟)已知函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3 (ω>0)在区间⎝⎛⎭⎫－π6，π3上单调递增，则ω的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，12 B.⎣⎡⎦⎤12，1 C.⎝⎛⎦⎤13，23D.⎣⎡⎦⎤23，2答案 A解析 当－π6<x <π3时， －πω6＋π3<ωx ＋π3<πω3＋π3， 当x ＝0时，ωx ＋π3＝π3. 因为函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)在区间⎝⎛⎭⎫－π6，π3上单调递增， 所以⎩⎨⎧ －πω6＋π3≥－π2，πω3＋π3≤π2，解得ω≤12， 因为ω>0，所以ω的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，12. 课时精练1．y ＝|cos x |的一个单调递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤－π2，π2 B ．[0，π]C.⎣⎡⎦⎤π，3π2 D.⎣⎡⎦⎤3π2，2π 答案 D 解析 将y ＝cos x 的图象位于x 轴下方的部分关于x 轴对称向上翻折，x 轴上方(或x 轴上)的图象不变，即得y ＝|cos x |的图象(如图)．故选D.2．函数f (x )＝2sin π2x －1的定义域为( ) A.⎣⎡⎦⎤π3＋4k π，5π3＋4k π(k ∈Z ) B.⎣⎡⎦⎤13＋4k ，53＋4k (k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤π6＋4k π，5π6＋4k π(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤16＋4k ，56＋4k (k ∈Z ) 答案 B解析 由题意，得2sin π2x －1≥0， π2x ∈⎣⎡⎦⎤π6＋2k π，5π6＋2k π(k ∈Z )， 则x ∈⎣⎡⎦⎤13＋4k ，53＋4k (k ∈Z )． 3．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋5π12cos ⎝⎛⎭⎫x －π12是( ) A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为2π的非奇非偶函数D ．最小正周期为π的非奇非偶函数答案 D解析 由题意可得f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋5π12cos ⎝⎛⎭⎫x －π12 ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋5π12cos ⎝⎛⎭⎫x ＋5π12－π2 ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋5π12， ∴f (x )＝12－12cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π6， 故f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，由函数奇偶性的定义易知，f (x )为非奇非偶函数． 4．函数f (x )＝sin x ＋x cos x ＋x 2在[－π，π]的图象大致为( )答案 D解析 由f (－x )＝sin －x ＋－x cos －x ＋－x2 ＝－sin x －x cos x ＋x 2＝－f (x )，得f (x )是奇函数，其图象关于原点对称，排除A ； 又f ⎝⎛⎭⎫π2＝1＋π2⎝⎛⎭⎫π22＝4＋2ππ2>1， f (π)＝π－1＋π2>0，排除B ，C. 5．关于函数f (x )＝sin 2x －cos 2x ，下列命题中为假命题的是( )A ．函数y ＝f (x )的周期为πB ．直线x ＝π4是y ＝f (x )图象的一条对称轴 C ．点⎝⎛⎭⎫π8，0是y ＝f (x )图象的一个对称中心D ．y ＝f (x )的最大值为 2答案 B解析 因为f (x )＝sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4， 所以f (x )的最大值为2，故D 为真命题；因为ω＝2，故T ＝2π2＝π，故A 为真命题； 当x ＝π4时，2x －π4＝π4，终边不在y 轴上，故直线x ＝π4不是y ＝f (x )图象的一条对称轴， 故B 为假命题；当x ＝π8时，2x －π4＝0，终边落在x 轴上， 故点⎝⎛⎭⎫π8，0是y ＝f (x )图象的一个对称中心，故C 为真命题．6．(2022·广州市培正中学月考)关于函数f (x )＝sin|x |＋|sin x |，下列叙述正确的是( )A ．f (x )是奇函数B ．f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递增C ．f (x )的最大值为2D ．f (x )在[－π，π]上有4个零点答案 C解析 f (－x )＝sin|－x |＋|sin(－x )|＝sin|x |＋|sin x |＝f (x )，f (x )是偶函数，A 错误；当x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，f (x )＝sin x ＋sin x ＝2sin x ，单调递减，B 错误；f (x )＝sin|x |＋|sin x |≤1＋1＝2，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝2，C 正确；在[－π，π]上，当－π<x <0时，f (x )＝sin(－x )＋(－sin x )＝－2sin x >0，当0<x <π时，f (x )＝sin x ＋sin x ＝2sin x >0，f (x )的零点只有π，0，－π共三个，D 错误．7．写出一个周期为π的偶函数f (x )＝________.(答案不唯一) 答案 cos 2x8．(2022·上外浦东附中检测)若在⎣⎡⎦⎤0，π2内有两个不同的实数值满足等式cos 2x ＋3sin 2x ＝k ＋1，则实数k 的取值范围是________．答案 0≤k <1解析 函数f (x )＝cos 2x ＋3sin 2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π6时， f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6单调递增； 当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，π2时，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6单调递减， f (0)＝2sin π6＝1， f ⎝⎛⎭⎫π6＝2sin π2＝2， f ⎝⎛⎭⎫π2＝2sin 7π6＝－1，所以在⎣⎡⎦⎤0，π2内有两个不同的实数值满足等式cos 2x ＋3sin 2x ＝k ＋1， 则1≤k ＋1<2，所以0≤k <1.9．已知函数f (x )＝4sin ωx sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3－1(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω及f (x )的单调递增区间；(2)求f (x )图象的对称中心．解 (1)f (x )＝4sin ωx ⎝⎛⎭⎫12sin ωx ＋32cos ωx －1 ＝2sin 2ωx ＋23sin ωx cos ωx －1 ＝1－cos 2ωx ＋3sin 2ωx －1 ＝3sin 2ωx －cos 2ωx＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6. ∵最小正周期为π，∴2π2ω＝π， ∴ω＝1，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， 令－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ， 解得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z ， ∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π6＋k π，π3＋k π (k ∈Z )．(2)令2x －π6＝k π，k ∈Z ， 解得x ＝π12＋k π2，k ∈Z ，∴f (x )图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫π12＋k π2，0，k ∈Z .10．(2021·浙江)设函数f (x )＝sin x ＋cos x (x ∈R )．(1)求函数y ＝⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫x ＋π22的最小正周期； (2)求函数y ＝f (x )f ⎝⎛⎭⎫x －π4在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值． 解 (1)因为f (x )＝sin x ＋cos x ，所以f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2 ＝cos x －sin x ，所以y ＝⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫x ＋π22＝(cos x －sin x )2 ＝1－sin 2x .所以函数y ＝⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫x ＋π22的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)f ⎝⎛⎭⎫x －π4＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π4 ＝2sin x ，所以y ＝f (x )f ⎝⎛⎭⎫x －π4 ＝2sin x (sin x ＋cos x ) ＝2(sin x cos x ＋sin 2x ) ＝2⎝⎛⎭⎫12sin 2x －12cos 2x ＋12 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋22. 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4， 所以当2x －π4＝π2，即x ＝3π8时， 函数y ＝f (x )f ⎝⎛⎭⎫x －π4在⎣⎡⎦⎤0，π2上取得最大值，且y max ＝1＋22.11．(2022·苏州模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，则下列结论不正确的是( ) A ．x ＝－π6是函数f (x )的一个零点 B ．函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－5π12，π12上单调递增 C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π12对称 D ．函数f ⎝⎛⎭⎫x －π3是偶函数 答案 D解析 对于A 选项，因为f ⎝⎛⎭⎫－π6＝sin 0＝0， 故x ＝－π6是函数f (x )的一个零点，A 对； 对于B 选项，当－5π12≤x ≤π12时， －π2≤2x ＋π3≤π2， 所以函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－5π12，π12上单调递增，B 对； 对于C 选项，因为对称轴满足2x ＋π3＝π2＋k π，k ∈Z ， 解得x ＝π12＋k π2，k ∈Z ，当k ＝0时，x ＝π12，C 对； 对于D 选项，令g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x －π3＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π3＋π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 则g ⎝⎛⎭⎫π6＝0，g ⎝⎛⎭⎫－π6＝sin ⎝⎛⎭⎫－2π3≠0， 故函数f ⎝⎛⎭⎫x －π3不是偶函数，D 错． 12．(2022·厦门模拟)已知函数f (x )＝cos 2⎝⎛⎭⎫x －π6－cos 2x ，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )的最大值为3－12B ．f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫7π6，0对称C ．f (x )的图象的对称轴方程为x ＝5π12＋k π2(k ∈Z ) D ．f (x )在[0,2π]上有2个零点答案 C解析 f (x )＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2x －π32－cos 2x ＝12＋12⎝⎛⎭⎫12cos 2x ＋32sin 2x －cos 2x ＝34sin 2x －34cos 2x ＋12＝32sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋12， 则f (x )的最大值为1＋32，A 错误； 易知f (x )图象的对称中心的纵坐标为12， B 错误；令2x －π3＝π2＋k π(k ∈Z )， 得x ＝5π12＋k π2(k ∈Z )， 此即f (x )图象的对称轴方程，C 正确；由f (x )＝32sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋12＝0， 得sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝－33， 当x ∈[0,2π]时，2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，11π3， 作出函数y ＝sin x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，11π3的图象，如图所示．所以方程sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝－33在[0,2π]上有4个不同的实根， 即f (x )在[0,2π]上有4个零点，D 错误．13．(2022·绵阳中学实验学校模拟)已知sin x ＋cos y ＝14，则sin x －sin 2y 的最大值为______． 答案 916解析 ∵sin x ＋cos y ＝14，sin x ∈[－1,1]， ∴sin x ＝14－cos y ∈[－1,1]， ∴cos y ∈⎣⎡⎦⎤－34，54， 即cos y ∈⎣⎡⎦⎤－34，1， ∵sin x －sin 2y ＝14－cos y －(1－cos 2y ) ＝cos 2y －cos y －34＝⎝⎛⎭⎫cos y －122－1， 又cos y ∈⎣⎡⎦⎤－34，1，利用二次函数的性质知，当cos y ＝－34时， (sin x －sin 2y )max ＝⎝⎛⎭⎫－34－122－1＝916. 14．(2022·苏州八校联盟检测)已知f (x )＝sin x ＋cos x ，若y ＝f (x ＋θ)是偶函数，则cos θ＝________.答案 ±22解析 因为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4， 所以f (x ＋θ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋θ＋π4， 又因为y ＝f (x ＋θ)是偶函数，所以θ＋π4＝π2＋k π，k ∈Z ， 即θ＝π4＋k π，k ∈Z ， 所以cos θ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋k π＝±22.15．(2022·江西九江一中模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)，若方程f (x )＝0在[0,2π]上有且仅有6个根，则实数ω的值可能为( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 B解析 令f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＝0， 则ωx ＋π3＝k π，k ∈Z ， 所以x ＝－π3ω＋k πω，k ∈Z ， 所以当x ≥0时，函数f (x )的第一个零点为x 1＝－π3ω＋πω＝2π3ω，第六个零点为x 6＝－π3ω＋6πω＝17π3ω，第七个零点为x 7＝－π3ω＋7πω＝20π3ω， 因为方程f (x )＝0在[0,2π]上有且仅有6个根等价于函数y ＝f (x )在[0,2π]上有且仅有6个零点，所以17π3ω≤2π<20π3ω， 所以176≤ω<103. 16．已知f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＋2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4·cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－12. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)若函数y ＝|f (x )|－m 在区间⎣⎡⎦⎤－5π24，3π8上恰有两个零点x 1，x 2. ①求m 的取值范围；②求sin(x 1＋x 2)的值．解 (1)f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＋2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4·cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－12＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π42＋22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2－12 ＝12－24cos 2x ＋24sin 2x ＋22cos 2x －12＝24sin 2x ＋24cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 结合正弦函数的图象与性质， 可得当－π2＋2k π≤2x ＋π4≤π2＋2k π(k ∈Z )， 即－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π(k ∈Z )时，函数单调递增， ∴函数y ＝f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－3π8＋k π，π8＋k π(k ∈Z )． (2)①令t ＝2x ＋π4，当x ∈⎣⎡⎦⎤－5π24，3π8时，t ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π，12sin t ∈⎣⎡⎦⎤－14，12， ∴y ＝⎪⎪⎪⎪12sin t ∈⎣⎡⎦⎤0，12(如图)．∴要使y ＝|f (x )|－m 在区间⎣⎡⎦⎤－5π24，3π8上恰有两个零点，m 的取值范围为14<m <12或m ＝0. ②设t 1，t 2是函数y ＝⎪⎪⎪⎪12sin t －m 的两个零点⎝⎛⎭⎫即t 1＝2x 1＋π4，t 2＝2x 2＋π4， 由正弦函数图象性质可知t 1＋t 2＝π，即2x 1＋π4＋2x 2＋π4＝π. ∴x 1＋x 2＝π4，∴sin(x 1＋x 2)＝22.。