2020届高三数学选填题标准练(六)

2020年高考数学选择、填空题专项训练(共40套)三基小题训练一一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.函数y =2x +1的图象是 （ ）2.△ABC 中，cos A =135，sin B =53,则cos C 的值为 （ ）A.6556B.－6556C.－6516D. 65163.过点（1，3）作直线l ，若l 经过点（a ,0）和(0,b )，且a ,b ∈N *，则可作出的l 的条数为（ ）A.1B.2C.3D.多于34.函数f (x )=log a x (a ＞0且a ≠1)对任意正实数x ,y 都有 （ ）A.f (x ·y )=f (x )·f (y )B.f (x ·y )=f (x )+f (y )C.f (x +y )=f (x )·f (y )D.f (x +y )=f (x )+f (y )5.已知二面角α—l —β的大小为60°，b 和c 是两条异面直线，则在下列四个条件中，能使b 和c 所成的角为60°的是（ ）A.b ∥α,c ∥βB.b ∥α,c ⊥βC.b ⊥α,c ⊥βD.b ⊥α,c ∥β6.一个等差数列共n 项，其和为90，这个数列的前10项的和为25，后10项的和为75，则项数n 为 （ ）A.14B.16C.18D.207.某城市的街道如图，某人要从A 地前往B 地，则路程最短的走法有 （ ）A.8种B.10种C.12种D.32种8.若a ,b 是异面直线，a ⊂α,b ⊂β,α∩β=l ，则下列命题中是真命题的为（ ）A.l 与a 、b 分别相交B.l 与a 、b 都不相交C.l 至多与a 、b 中的一条相交D.l 至少与a 、b 中的一条相交9.设F 1，F 2是双曲线42x －y 2=1的两个焦点，点P 在双曲线上，且1PF ·2PF =0，则|1PF |·|2PF |的值等于（ ） A.2B.22C.4D.810.f (x )=(1+2x )m +(1+3x )n (m ,n ∈N *)的展开式中x 的系数为13，则x 2的系数为（ ）A.31B.40C.31或40D.71或8011.从装有4粒大小、形状相同，颜色不同的玻璃球的瓶中，随意一次倒出若干粒玻璃球（至少一粒），则倒出奇数粒玻璃球的概率比倒出偶数粒玻璃球的概率（ ）A.小B.大C.相等D.大小不能确定12.如右图，A 、B 、C 、D 是某煤矿的四个采煤点，l 是公路，图中所标线段为道路，ABQP 、BCRQ 、CDSR 近似于正方形.已知A 、B 、C 、D 四个采煤点每天的采煤量之比约为5∶1∶2∶3，运煤的费用与运煤的路程、所运煤的重量都成正比.现要从P 、Q 、R 、S 中选出一处设立一个运煤中转站，使四个采煤点的煤运到中转站的费用最少，则地点应选在（ ）A.P 点B.Q 点C.R 点D.S 点二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上）13.抛物线y 2=2x 上到直线x －y +3=0距离最短的点的坐标为_________.14.一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2，3，6，这个长方体对角线的长是_________.15.设定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x +1)+f (x )=1,且当x ∈［1,2］时，f (x )=2－x ,则f (8.5)=_________.16.某校要从甲、乙两名优秀短跑选手中选一名选手参加全市中学生田径百米比赛，该校预先对这两名选手测试了8次，测试成绩如下：第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次 甲成绩（秒） 12.1 12.2 13 12.5 13.1 12.5 12.4 12.2 乙成绩（秒）1212.412.81312.212.812.312.5根据测试成绩，派_________（填甲或乙）选手参赛更好，理由是____________________. 答案：一、1.A 2.D 3.B 4.B 5.C 6.C 7.B 8.D 9.A 10.C 11.B 12.B二、13.（21，1） 14.6 15. 21三基小题训练二一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如图，点O 是正六边形ABCDEF 的中心，则以图中点 A 、B 、C 、D 、E 、F 、O 中的任意一点为始点，与始点不 同的另一点为终点的所有向量中，除向量OA 外，与向量OA 共线的向量共有（ ）A ．2个B ． 3个C ．6个D ． 7个2．已知曲线C ：y 2=2px 上一点P 的横坐标为4,P 到焦点的距离为5,则曲线C 的焦点到准线的距离为 ( )A ． 21B ． 1C ． 2D ． 43．若(3a 2 －312a ) n 展开式中含有常数项，则正整数n 的最小值是 （ ）A ．4B ．5C ． 6D ． 84． 从5名演员中选3人参加表演，其中甲在乙前表演的概率为 （ ）A ． 203B ． 103C ． 201D ． 1015．抛物线y 2=a(x+1)的准线方程是x=－3，则这条抛物线的焦点坐标是（ ） A.（3，0） B.（2，0） C.（1，0） D.（-1，0）6．已知向量ｍ＝（a ，b ），向量ｎ⊥ｍ，且｜ｎ｜＝｜ｍ｜，则ｎ的坐标可以为（ ） A.（a ，－b ） B.（－a ，b ） C.（b ，－a ） D.（－b ，－a ）7. 如果S =｛x ｜x =2n +1,n ∈Z ｝,T =｛x ｜x =4n ±1,n ∈Z ｝,那么A.S TB.T SC.S=TD.S ≠T8．有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有 （ ）A ．36种B ．48种C ．72种D ．96种9．已知直线l 、m ，平面α、β，且l ⊥α,m β.给出四个命题：（1）若α∥β,则l ⊥m ; (2)若l ⊥m ,则α∥β;(3)若α⊥β,则l ∥m ;(4)若l ∥m ,则α⊥β,其中正确的命题个数是( )A.4B.1C.3D.2EF DOC BA10．已知函数f(x)＝log 2(x 2－ax ＋3a)在区间[2，＋∞)上递增，则实数a 的取值范围是（ ）A.(－∞，4)B.(－4，4]C.(－∞，－4)∪[2，＋∞)D.[－4，2)11．4只笔与5本书的价格之和小于22元，而6只笔与3本书的价格之和大于24元，则2只笔与3本书的价格比较（ ）A ．2只笔贵B ．3本书贵C ．二者相同D ．无法确定12．若α是锐角，sin(α－6π)=31,则cos α的值等于 A.6162- B. 6162+ C. 4132+ D. 3132-二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．答案填在题中横线上． 13．在等差数列｛a n ｝中，a 1=251,第10项开始比1大，则公差d 的取值范围是___________.14．已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1，底面边长与侧棱长的比为2∶1，则直线AB 1与CA 1所成的角为 。

2020年上海市浦东新区高三练习数学试卷（理科）一. 填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．函数1lg )(-=x x f 的定义域为 . ),1(+∞2．若行列式124012x -=，则x = . 23．若椭圆的一个焦点与圆2220x y x +-=的圆心重合，且经过)0,5(，则椭圆的标准方程为 . 22154x y += 4．若集合{}1A x x x =<∈R ，，{}2B y y x x ==∈R ，，则I A =B C R .()1,0-5．已知一个关于x y 、的二元一次方程组的增广矩阵是⎪⎪⎭⎫⎝⎛-210211，则+=x y . 6 6．已知b n n an n =++∞→)1(lim （其中b a ,为常数），则=+22b a . 1 7．样本容量为200的频率分布直方图如图所示. 根据样本的频率分布直方图估计,样本数据落在[6,10)内的频数为 648． ()51x +展开式中不含．．3x 项的系数的和为 . 229．在ABC ∆中，若1AB =，5BC =,且552sin=A ，则sin C = . 25410成绩（分） 50 61 73 85 90 94 人数221212则总体标准差的点估计值为 （结果精确到11．甲乙射击运动员分别对一目标射击一次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，则两人中至少有1人射中的概率为 . 0.9812．在极坐标系中，定点π1,2A ⎛⎫⎪⎝⎭，动点B 在曲线θρcos 2=上移动，当线段AB 最短时，点B 的极径为 22-13．在平面直角坐标系中，定义1212(,)d P Q x x y y =-+-为两点11(,)P x y ,22(,)Q x y 之间的“折线距离”。

则原点)0,0(O 与直线052=-+y x 上一点),(y x P 的“折线距离”的最小值是52. 14．如图放置的边长为1的正方形ABCD 沿x 轴滚动，设顶点(,)A x y 的轨迹方程是()y f x =，则()y f x =在其两个相邻零点间的图像与x 轴所围区域的面积 为 . π+1AA 1 DC BD 1 C 1B 1EFPQ• • ••二. 选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案,选对得5分，答案代号必须填在答题纸上．注意试题题号与答题纸上相应编号一一对应,不能错位. 二. 选择题15．右图给出了一个程序框图，其作用是输入x 的值，输出相应的y 值．若要使输入的x 值与输出的y 值相等，则这样的x 值有 （ ） （B ）2个. （C ）3个. （D ）4个.16．若ABC ∆的面积333ABC S ∆∈⎣⎦，且3AB BC ⋅=u u u r u u u r ，则AB u u u r 与BC uuur 夹角的取值范围是 （ ）（A ）[,]32ππ. （B ）[,]43ππ. （C ）[,]64ππ. （D ）[,]63ππ. 17．如图，正方体1111的棱长为6，动点E F 、在棱11A B 上，动点P Q 、分别在棱AB CD 、上，若2EF =,DQ x =，，则四面体的体积 （ ）（A ）与y x ,都无关. （B ）与x 有关，与y 无关.（D ）与x 无关，与y 有关.18．已知关于x 的方程20ax bx c ++=r r r r ，其中a r 、b r 、c r都是非零r r （ ）（A ）至多有一个解 （B ）至少有一个解 （D ）可能有无数个解 三、解答题 19．（本题满分12分）第一题满分6分，第二题满分6分． 已知虚数ααsin cos 1i z +=， ββsin cos 2i z +=，（1）若55221=-z z ，求)cos(βα-的值； （2）若21,z z 是方程0232=+-c x x 的两个根，求实数c 的值。

2020年全国高考数学试题汇编选择填空压轴题一、选择题（本大题共11小题，共54.0分）1.2020年3月14日是全球首个国际圆周率日(πDay).历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似，数学家阿尔⋅卡西的方法是：当正整数n充分大时，计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形(各边均与圆相切的正6n边形)的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔⋅卡西的方法，π的近似值的表达式是()A. 3n(sin30°n +tan30°n) B. 6n(sin30°n+tan30°n)C. 3n(sin60°n +tan60°n) D. 6n(sin60°n+tan60°n)2.设集合A={(x,y)|x−y≥1，ax+y>4，x−ay≤2}，则()A. 对任意实数a，(2,1)∈AB. 对任意实数a，(2,1)∉AC. 当且仅当a<0时，(2,1)∉AD. 当且仅当a≤32时，(2,1)∉A3.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080，则下列各数中与MN最接近的是()(参考数据：lg3≈0.48)A. 1033B. 1053C. 1073D. 10934.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：x2+y2=1+|x|y就是其中之一(如图).给出下列三个结论：①曲线C恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点)；②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过√2；③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3．其中，所有正确结论的序号是()A. ①B. ②C. ①②D. ①②③5.袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半，甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个放入乙盒，否则就放入丙盒，重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则()A. 乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B. 乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C. 乙盒中红球不多于丙盒中红球D. 乙盒中黑球与丙盒中红球一样多6. 若2a +log 2a =4b +2log 4b ，则( )A. a >2bB. a <2bC. a >D. a <7. 已知函数f(x)={x 3,x ≥0,−x,x <0.若函数g(x)=f(x)−|kx 2−2x|(k ∈R)恰有4个零点，则k 的取值范围是( ) A. (−∞,−12)∪(2√2,+∞) B. (−∞,−12)∪(0,2√2) C. (−∞,0)∪(0,2√2)D. (−∞,0)∪(2√2,+∞)8. 已知A ，B ，C 为球O 的球面上的三个点，⊙O 1为▵ABC 的外接圆.若⊙O 1的面积为4π，AB =BC =AC =OO 1，则球O 的表面积为( )A. 64πB. 48πC. 36πD. 32π9. 0−1周期序列在通信技术中有着重要应用，若序列a 1a 2…a n …满足a i ∈(0,1)(i =1,2,…)，且存在正整数m ，使得a i+m =a i (i =1,2,…)成立，则称其为0−1周期序列，并称满足a i+m =a i (i =1,2,…)的最小正整数m 为这个序列的周期．对于周期为m 的0−1序列a 1a 2…a n …，C(k)=1m ∑a i a i+k (k =1,2,…,m −1)m i=1是描述其性质的重要指标．下列周期为5的0−1序列中，满足C(k)≤15(k =1,2,3,4)的序列是( )A. 11010…B. 11011…C. 10001…D. 11001…10. 已知<，<.设a =3，b =5，c =8，则( )A. a <b <cB. b <a <cC. b <c <aD. c <a <b11. 某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段，表中为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊．在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则( )A. 2号学生进入30秒跳绳决赛B. 5号学生进入30秒跳绳决赛C. 8号学生进入30秒跳绳决赛D. 9号学生进入30秒跳绳决赛二、不定项选择题（本大题共1小题，共5.0分）12. 信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X 所有可能的取值为1，2，，n ，且P(X =i)=>0(i =1,2，，n)，=1，定义X 的信息熵H(X)=−( )A. 若n =1，则H (x )=0B. 若n =2，则H(x)随着的增大而增大C. 若=(i =1,2，，n)，则H(x)随着n 的增大而增大D. 若n =2m ，随机变量Y 的所有可能取值为1，2，，m ，且P(Y =j)=+(j =1,2，，m)则H(X)H(Y)三、填空题（本大题共12小题，共60.0分）13.为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量W与时间t的关系为W=f(t)，用−f(b)−f(a)b−a的大小评价在[a,b]这段时间内企业污水治理能力的强弱．已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示．给出下列四个结论：①在[t1,t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；③在t3时刻，甲，乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在[0,t1]，[t1,t2]，[t2,t3]这三段时间中，在[0,t1]的污水治理能力最强．其中所有正确结论的序号是______．14.某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店①第一天售出但第二天未售出的商品有______种；②这三天售出的商品最少有______种．15.某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：(i)男学生人数多于女学生人数；(ii)女学生人数多于教师人数；(iii)教师人数的两倍多于男学生人数．①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为______．②该小组人数的最小值为______．16.李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为________．17.已知椭圆M：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，双曲线N：x2m2−y2n2=1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为__________；双曲线N的离心率为________．18.三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中A i的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点B i的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，3．(1)记Q i为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是______ ；(2)记p i为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p2，p3中最大的是______ ．19.设函数f(x)={x 3−3x,x≤a−2x,x>a．①若a=0，则f(x)的最大值为______；②若f(x)无最大值，则实数a的取值范围是______．20.如图，在三棱锥P−ABC的平面展开图中，AC=1，AB=AD=，AB AC，AB AD，CAE=，则FCB=__________．21.设有下列四个命题：P1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．P2：过空间中任意三点有且仅有一个平面．P3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．P4：若直线l⊂平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l．则下述命题中所有真命题的序号是________．①p1∧p4②p1∧p2③¬p2∨p3④¬p3∨¬p422.关于函数f(x)=x+有如下四个命题：f(x)的图像关于y轴对称．f(x)的图像关于原点对称，f(x)的图像关于直线x=对称．f(x)的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________．23. 如图，在四边形ABCD 中，∠B =60°，AB =3，BC =6，且AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−32，则实数λ的值为______，若M ，N 是线段BC 上的动点，且|MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，则DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为______．24. 数列{a n }满足a n+2+(−1)n a n =3n −1，前16项和为540，则a 1=____．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查数学中的文化，考查圆的内接和外切多边形的边长的求法，考查运算能力，属于基础题．设内接正6n边形的边长为a，外切正6n边形的边长为b，运用圆的性质，结合直角三角形的锐角三角函数的定义，可得所求值．【解答】解：如图，设内接正6n边形的边长为a，外切正6n边形的边长为b，可得a=2sin360°12n =2sin30°n，b=2tan360°12n =2tan30°n，则2π≈6na+6nb2=6n(sin30°n+tan30°n)，即π≈3n(sin30°n +tan30°n)，故选：A．2.【答案】D【解析】【分析】本题考查元素与集合的关系，考查运算求解能力，是中档题．根据题意，取特例判断求解即可．【解答】解：当a=−1时，集合A={(x,y)|x−y≥1，ax+y>4，x−ay≤2}={(x,y)|x−y≥1，−x+y>4，x+ y≤2}，显然(2,1)不满足，−x+y>4，x+y≤2，所以A不正确；当a=4时，集合A={(x,y)|x−y≥1，ax+y>4，x−ay≤2}={(x,y)|x−y≥1，4x+y>4，x−4y≤2}，可知：此时(2,1)∈A，所以B不正确；当a=1时，集合A={(x,y)|x−y≥1，ax+y>4，x−ay≤2}={(x,y)|x−y≥1，x+y>4，x−y≤2}，显然此时(2,1)∉A，所以C不正确；故选：D．3.【答案】D【解析】【分析】本题考查指数形式与对数形式的互化，属于基础题．根据对数的性质：T=a log a T，可得：3=10lg3≈100.48，将M也化为10为底的指数形式，进而可得结果．【解答】解：由题意：M≈3361，N≈1080，根据对数性质有：3=10lg3≈100.48，∴M≈3361≈(100.48)361≈10173，∴MN ≈101731080=1093．故选D．4.【答案】C【解析】【分析】本题考查了方程与曲线，属中档题．将x换成−x方程不变，所以图形关于y轴对称，根据对称性讨论y轴右边的图形可得．【解答】解：将x换成−x方程不变，所以图形关于y轴对称，当x=0时，代入得y2=1，∴y=±1，即曲线经过(0,1)，(0,−1)，当x>0时，方程变为y2−xy+x2−1=0，所以由△=x2−4(x2−1)≥0，解得x∈(0,2√33]，所以x只能取整数1，当x=1时，y2−y=0，解得y=0或y=1，即曲线经过(1,0)，(1,1)，根据对称性可得曲线还经过(−1,0)，(−1,1)，故曲线一共经过6个整点，故①正确，当x>0时，由x2+y2=1+xy得x2+y2−1=xy≤x2+y22，(当x=y时取等)，∴x2+y2≤2，∴√x2+y2≤√2，即曲线C上y轴右边的点到原点的距离不超过√2，根据对称性可得：曲线C上任意一点到原点的距离都不超过√2，故②正确，×2×1=1，在x轴上方图形面积大于矩形面积=1×2=2，x轴下方的面积大于等腰直角三角形的面积=12因此曲线C所围成的“心形”区域的面积大于2+1=3，故③错误，故选C．5.【答案】B【解析】【分析】本题考查了推理与证明，重点是找到切入点逐步进行分析，对学生的逻辑思维能力有一定要求，属于中档题．取出的两球有四种情况，分别分析三个盒子中球的关系即可得出结果．【解答】解：取两个球共有4种情况：①红+红，则乙盒中红球数加1个；②黑+黑，则丙盒中黑球数加1个；③红+黑(红球放入甲盒中)，则乙盒中黑球数加1个；④黑+红(黑球放入甲盒中)，则丙盒中红球数加1个．设一共有球2a个，则a个红球，a个黑球，甲中球的总个数为a，其中红球x个，黑球y个，x+y=a．则乙中有x个球，其中k个红球，j个黑球，k+j=x；丙中有y个球，其中l个红球，i个黑球，i+l=y；黑球总数a=y+i+j，又x+y=a，故x=i+j由于x=k+j，所以可得i=k，即乙中的红球等于丙中的黑球．故选B．6.【答案】B【解析】【分析】本题考查指数及对数的运算性质，指数及对数函数的单调性，属中档题．【解答】解：根据指数及对数的运算性质，4b+2log4b=22b+log2b，∵log2(2b)=log2b+1>log2b，∴22b+log2(2b)>22b+log2b=2a+log2a，根据函数f(x)=2x+log2x是定义域上的增函数，由f(2b)>f(a)，得a<2b，故答案为B．7.【答案】D【解析】【分析】本题考查函数的零点，参数的取值范围，关键利用分类讨论思想，分析函数的交点，属于难题．问题转化为f(x)=|kx2−2x|有四个根，⇒y=f(x)与y=ℎ(x)=|kx2−2x|有四个交点，再分三种情况当k=0时，当k<0时，当k>0时，讨论两个函数四否能有4个交点，进而得出k的取值范围．【解答】解：若函数g(x)=f(x)−|kx2−2x|(k∈R)恰有4个零点，则f(x)=|kx2−2x|有四个根，即y=f(x)与y=ℎ(x)=|kx2−2x|有四个交点，当k=0时，y=f(x)与y=|−2x|=2|x|图象如下：两图象有2个交点，不符合题意，当k<0时，y=|kx2−2x|与x轴交于两点x1=0，x2=2k(x2<x1)图象如图所示，两图象有4个交点，符合题意，当k>0时，y=|kx2−2x|与x轴交于两点x1=0，x2=2k(x2>x1)在[0,2k)内两函数图象有两个交点，所以若有四个交点，只需y=x3与y=kx2−2x在(2k,+∞)还有两个交点，即可，即x3=kx2−2x在(2k,+∞)还有两个根，即k=x+2x 在(2k,+∞)还有两个根，函数y=x+2x≥2√2，(当且仅当x=√2时，取等号)，所以0<2k<√2，且k>2√2，所以k>2√2，综上所述，k的取值范围为(−∞,0)∪(2√2,+∞)．故选：D．8.【答案】B【解析】【分析】本题考查球的结构与性质，球的表面积公式，属中档题．【解答】解：由圆O1的面积为4π=πr2，故圆O1的半径ρ=2，∵AB=BC=AC=OO1，则三角形ABC是正三角形，由正弦定理：ABsin60∘=2r=4，得AB=OO1=2√3，由R2=r2+OO12，得球O的半径R=4，表面积为4πR2=64π，故答案为A．9.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查新定义类型的问题，属于较难题．【解答】解：对于A选项，C(1)=15∑a i5i=1a i+1=15(1+0+0+0+0)=15，C(2)=15∑a i5i=1a i+2=15(0+1+0+1+0)=25>15，不满足，排除；对于B选项，C(1)=15∑a i5i=1a i+1=15(1+0+0+1+1)=35>15，不满足，排除；对于C选项，C(1)=15∑a i5i=1a i+1=15(0+0+0+0+1)=15，C(2)=15∑a i5i=1a i+2=15(0+0+0+0+0)=0，C(3)=15∑a i5i=1a i+3=15(0+0+0+0+0)=0，C(4)=15∑a i5i=1a i+4=15(1+0+0+0+0)=15，满足；对于D选项，C(1)=15∑a i5i=1a i+1=15(1+0+0+0+1)=25>15，不满足，排除；故选C．10.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查对数与对数函数，借助中间值比较大小．【解答】解：a=log53=ln 3ln 5，b=log85=ln 5ln 8，c=log138=ln 8ln 13，a−b=ln 3ln 5−ln 5ln 8=ln 3⋅ln 8−(ln 5)2ln 5⋅ln 8<(ln 3+ln 82)2−(ln 5)2ln 5⋅ln 8=(ln 24+ln 25)(ln 24−ln 25)4ln 5⋅ln 8<0；c−45=ln 8ln 13−45=5ln 8−4ln 135ln 13=ln 85−ln 1345ln 13>0；b−45=ln 5ln 8−45=5ln 5−4ln 85ln 8=ln 55−ln 845ln 13<0;综上所述，a<b<45<c,即a<b<c,故选A．11.【答案】B【解析】解：∵这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，故编号为1，2，3，4，5，6，7，8的学生进入立定跳远决赛，又由同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则3，6，7号同学必进入30秒跳绳决赛，剩下1，2，4，5，8号同学的成绩分别为：63，a，60，63，a−1有且只有3人进入30秒跳绳决赛，故成绩为63的同学必进入30秒跳绳决赛，故选：B根据已知中这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，逐一分析四个答案的正误，可得结论．本题考查的知识点是推理与证明，正确利用已知条件得到合理的逻辑推理过程，是解答的关键．12.【答案】AC【解析】【分析】本题考查离散型随机变量的应用，重点考查对新定义的理解，属于难题．【解答】解：A选项中，由题意知p1=1，此时H(X)=−1×log21=0，故A正确；B选项中，由题意知p1+p2=1，且p1∈(0,1)，H(X)=−p1log2p1−p2log2p2=−p1log2p1−(1−p1)log2(1−p1)，设f(x)=−xlog2x−(1−x)log2(1−x)，x∈(0,1)则f′(x)=−log2x−1ln2+log2(1−x)+1ln2=log2(1x−1)，当x∈(12,1)时，f′(x)<0，当x∈(0,12)时，f′(x)>0，故当p1∈(0,12)时，H(X)随着p1的增大而增大，当p1∈(12,1)时，H(X)随着p1的增大而减小，故B错误；C 选项中，由题意知H(X)=n ×(−1n )log 21n =log 2n ，故H(X)随着n 的增大而增大，故C 正确．D 选项中，由题意知H(Y)=−∑(p j +p 2m+1−j )m j=1log 2(p j +p 2m+1−j )，H(X)=−∑p j 2m j=1log 2p j =−∑(p j m j=1log 2p j +p 2m+1−j log 2p 2m+1−j )， H(X)−H(Y)=∑log 2(p j +p 2m+1−j )p j +p 2m+1−j m j=1−∑(log 2p j p j +log 2p 2m+1−jp 2m+1−j m j=1) =∑log 2(p j +p 2m+1−j )p j +p 2m+1−j p j p j p 2m+1−j p 2m+1−j m j=1=∑log 2(p j +p 2m+1−j )p j (p j +p 2m+1−j )p 2m+1−j p j p j p 2m+1−j p 2m+1−j m j=1=∑log 2(1+p 2m+1−j p j )p j (1+p j p 2m+1−j )p 2m+1−j m j=1>0,故D 错误，故答案为AC ．13.【答案】①②③【解析】解：设甲企业的污水排放量W 与时间t 的关系为W =f(t)，乙企业的污水排放量W 与时间t 的关系为W =g(t)．对于①，在[t 1,t 2]这段时间内，甲企业的污水治理能力为−f(t 2)−f(t 1)t 2−t 1， 乙企业的污水治理能力为−g(t 2)−g(t 1)t 2−t 1．由图可知，f(t 1)−f(t 2)>g(t 1)−g(t 2)，∴−f(t 2)−f(t 1)t 2−t 1>−g(t 2)−g(t 1)t 2−t 1，即甲企业的污水治理能力比乙企业强，故①正确；对于②，由图可知，f(t)在t 2时刻的切线的斜率小于g(t)在t 2时刻的切线的斜率，但两切线斜率均为负值， ∴在t 2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强，故②正确；对于③，在t 3时刻，甲，乙两企业的污水排放都小于污水达标排放量，∴在t 3时刻，甲，乙两企业的污水排放都已达标，故③正确；对于④，由图可知，甲企业在[0,t 1]，[t 1,t 2]，[t 2,t 3]这三段时间中，在[t 1,t 2]的污水治理能力最强，故④错误．∴正确结论的序号是①②③．故答案为：①②③．由两个企业污水排放量W 与时间t 的关系图象结合平均变化率与瞬时变化率逐一分析四个命题得答案． 本题考查利用数学解决实际生活问题，考查学生的读图视图能力，是中档题．14.【答案】16 29【解析】解：①设第一天售出商品的种类集为A ，第二天售出商品的种类集为B ，第三天售出商品的种类集为C ，如图，则第一天售出但第二天未售出的商品有19−3=16种；②由①知，前两天售出的商品种类为19+13−3=29种，第三天售出但第二天未售出的商品有18−4=14种，当这14种商品属于第一天售出但第二天未售出的16种商品中时，即第三天没有售出前两天的商品时，这三天售出的商品种类最少为29种．故答案为：①16；②29．①由题意画出图形得答案；②求出前两天所受商品的种数，由特殊情况得到三天售出的商品最少种数． 本题考查集合的包含关系及其应用，考查了集合中元素的个数判断，考查学生的逻辑思维能力，是中档题． 15.【答案】6 12【解析】解：①设男学生女学生分别为x ，y 人，若教师人数为4，则{x >yy >42×4>x，即4<y <x <8，即x 的最大值为7，y 的最大值为6，即女学生人数的最大值为6．②设男学生女学生分别为x ，y 人，教师人数为z ，则{x >yy >z 2z >x，即z <y <x <2z即z 最小为3才能满足条件，此时x 最小为5，y 最小为4，即该小组人数的最小值为12，故答案为：6，12①设男学生女学生分别为x ，y 人，若教师人数为4，则{x >yy >42×4>x，进而可得答案；②设男学生女学生分别为x，y人，教师人数为z，则{x>yy>z2z>x，进而可得答案；本题考查的知识点是推理和证明，简易逻辑，线性规划，难度中档．16.【答案】①130；②15．【解析】【分析】本题考查不等式在实际问题的应用，考查化简运算能力，属于中档题．①由题意可得顾客一次购买的总金额，减去x，可得所求值；②在促销活动中，设订单总金额为m元，讨论m的范围，可得(m−x)×80%≥m×70%，解不等式，结合恒成立思想，可得x的最大值．【解答】解：①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，可得60+80=140(元)，即有顾客需要支付140−10=130(元)；②在促销活动中，设订单总金额为m元，当0<m<120时，显然符合题意；当m≥120时，可得(m−x)×80%≥m×70%，即有x≤m8，可得x≤1208=15，则x的最大值为15元．故答案为：130；15．17.【答案】√3−1；2【解析】【分析】本题考查椭圆和双曲线的简单性质，考查计算能力，属于中档题．根据题意，可得正六边形的一个顶点(c2,√3c2)，代入椭圆方程，求出椭圆的离心率；再根据双曲线渐近线斜率求出双曲线离心率即可．【解答】解：椭圆M：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，双曲线N：x2m2−y2n2=1，若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，又椭圆的一个焦点为(c,0)，可得正六边形的一个顶点(c2,√3c2)，可得：c 24a 2+3c 24b 2=1，可得14e 2+34(1e 2−1)=1，可得e 4−8e 2+4=0，e ∈(0,1)， 解得e =√3−1．同时，双曲线的渐近线的斜率为√3，即n m =√3，可得：n 2m 2=3，即m 2+n 2m 2=4，可得双曲线的离心率为√m2+n 2m =2．故答案为：√3−1；2．18.【答案】Q 1；p 2【解析】【分析】本题考查的知识点是函数的图象，分析出Q i 和p i 的几何意义，是解答的关键．(1)若Q i 为第i 名工人在这一天中加工的零件总数，则Q i =A i +B i ，是A i B i 连线的中点的纵坐标的2倍，进而得到答案．(2)若p i 为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p i 为A i B i 中点与原点连线的斜率；进而得到答案．【解答】解：(1)设A 1(x A 1,y A 1)，B 1(x B 1,y B 1)，线段A 1B 1的中点为E(x 1,y 1)，则Q 1=y A 1+y B 1=2y 1．因此，要比较Q 1，Q 2，Q 3的大小，只需比较线段A 1B 1，A 2B 2，A 3B 3中点纵坐标的大小，作图比较知Q 1最大．(2)若p i 为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p i 为A i B i 中点与原点连线的斜率，故p 1，p 2，p 3中最大的是p 2.故答案为：Q 1，p 2.19.【答案】2；(−∞,−1)【解析】【分析】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的最值，难度中档．①将a =0代入，求出函数的导数，分析函数的单调性，可得当x =−1时，f(x)的最大值为2；②根据y =x 3−3x 与y =−2x 有三个交点，结合f(x)无最大值，可得答案．【解答】解：①若a =0，则f(x)={x 3−3x,x ≤0−2x,x >0，则f′(x)={3x 2−3,x ≤0−2,x >0， 当x <−1时，f′(x)>0，此时函数为增函数，当x >−1时，f′(x)<0，此时函数为减函数，故当x =−1时，f(x)的最大值为2；②对于y =x 3−3x ，可知y′=3x 2−3，令y′=3x 2−3=0得x =±1，当x ∈(−∞,−1)∪(1,+∞)时，y′>0，函数单调递增；当x ∈(−1,1)时，y′<0，函数单调递减；且易知y =x 3−3x 与y =−2x 有三个交点，坐标为(0,0)，(1,−2)，(−1,2)，若f(x)无最大值，则a <−1，故答案为：2，(−∞,−1)．20.【答案】−14【解析】【分析】本题考查利用正余弦定理解三角形，属于中档题．【解答】解：由已知得BD =√2AB =√6，∵D 、E 、F 重合于一点，∴AE =AD =√3，BF =BD =√6，∴ △ACE 中，由余弦定理得，∴CE =CF =1，∴在△BCF 中，由余弦定理得．故答案为．21.【答案】①③④【解析】【分析】本题考查含逻辑联结词的命题真假的判断以及立体几何相关知识，属于中档题．【解答】解：对于p1：可设l1与l2，所得平面为α.若l3与l1相交，则交点A必在平面α内.同理l2与l3的交点B在平面α内，故直线AB在平面α内，即l3在平面α内，故p1为真命题．对于p2:过空间中任意三点，若三点共线，可形成无数个平面，故p2为假命题．对于p3:空间中两条直线的位置关系有平行，相交，异面，故p3为假命题．对于p4:若m⊥α，则m垂直于平面α内的所有直线，故m⊥l，故p4为真命题．综上可知，p1∧p4为真命题，¬p2∨p3为真命题，¬p3∨¬p4为真命题．故答案为①③④．22.【答案】②③【解析】【分析】本题主要考查了三角函数的图象与性质及函数的奇偶性、对称性等有关知识，属于中档题．根据函数奇偶性定义可判断出函数图象的对称性；通过函数图象关于直线对称可得等量关系，进而检验等式是否成立即可；特殊值法可判断出函数的最值．【解答】解：根据题意，易得函数定义域关于原点对称，f(−x)=sin(−x)+1sin(−x)=−(sinx+1sinx)=−f(x)，所以f(x)是奇函数，图象关于原点对称，故①错误，②正确；若函数f(x)关于直线x=π2对称，则有f(π2−x)=f(π2+x)，即sin(π2−x)+1sin(π2−x)=sin(π2+x)+1sin(π2+x)，通过化简可得等式成立.故③正确；当x=−π2时，f(−π2)=−2<2，故④错误．故答案为②③．23.【答案】16 132 【解析】【分析】 本题考查了向量在几何中的应用，考查了向量的共线和向量的数量积，以及二次函数的性质，属于中档题． 以B 为原点，以BC 为x 轴建立如图所示的直角坐标系，根据向量的平行和向量的数量积即可求出点D 的坐标，即可求出λ的值，再设出点M ，N 的坐标，根据向量的数量积可得关于x 的二次函数，根据二次函数的性质即可求出最小值．【解答】解：以B 为原点，以BC 为x 轴建立如图所示的直角坐标系，∵∠B =60°，AB =3，∴A(32,3√32)， ∵BC =6，∴C(6,0)，∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AD//BC ，设D(x 0,3√32)， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0−32,0)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−32,−3√32)， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−32(x 0−32)+0=−32，解得x 0=52， ∴D(52,3√32)， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,0)，∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =16BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴λ=16，∵|MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1， 设M(x,0)，则N(x +1,0)，其中0≤x ≤5，∴DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −52,−3√32)，DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −32,−3√32)， ∴DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −52)(x −32)+274=x 2−4x +212=(x −2)2+132，当x =2时取得最小值，最小值为132，第21页，共21页 故答案为：16，132． 24.【答案】7【解析】【分析】本题主要考查累加法求通项公式，等差数列的求和公式以及数列的递推关系，属较难题． 对n 取偶数，再结合条件可求得前16项中所有奇数项的和，对n 取奇数时，利用累加法求得a n+2的值，用其表示出前16项和可得答案．【解答】解：因为a n+2+(−1)n a n =3n −1，当n =2，6，10，14时，a 2+a 4=5，a 6+a 8=17， a 10+a 12=29，a 14+a 16=41因为前16项和为540，所以a 1+a 3+a 5+a 7+a 9+a 11+a 13+a 15=540−(5+17+29+41)， 所以a 1+a 3+a 5+a 7+a 9+a 11+a 13+a 15=448，当n 为奇数时，a n+2−a n =3n −1，所以a 3−a 1=2，a 5−a 3=8，a 7−a 5=14⋯a n+2−a n =3n −1，累加得a n+2−a 1=2+8+14+⋯3n −1=(2+3n−1)⋅n+122，∴a n+2=(3n+1)⋅(n+1)4+a 1，∴a 3=2+a 1，a 5=10+a 1，a 7=24+a 1，a 9=44+a 1，a 11=70+a 1，a 13=102+a 1， a 15=140+a 1，因为a 1+a 3+a 5+a 7+a 9+a 11+a 13+a 15=448，所以8a 1+392=448，所以a 1=7． 故答案为7．。

2020届高三数学6月统一练习（三模）考试试题（含解析）本试卷共5页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 集合，，若，则A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】，，且，解得，则，，.故选：C．考点：1.集合的运算；2.对数的计算．2. 若复数，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用复数的除法运算化简复数，再利用复数的模长公式可求得.【详解】，因此，.故选：C.【点睛】本题考查复数模长的计算，同时也考查了复数的除法运算，考查计算能力，属于基础题.3. 已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分别根据指数函数、对数函数的单调性分析函数值的范围即可.【详解】函数是单调递减函数，所以，函数是单调递增函数，所以，函数是单调递增函数，所以，即.故选：D.【点睛】本题主要考查了根据指数函数、对数函数的单调性比较大小的问题，属于基础题.4. 已知函数的图象沿轴向左平移2个单位后与函数的图象关于轴对称，若，则（）A. -2B. 2C.D.【答案】B【解析】【分析】由题意可得与函数的图象关于轴对称的函数，可得：，再向右平移2个单位可得，再由即可得解.【详解】先求与函数的图象关于轴对称的函数，可得：，再向右平移2个单位可得，所以，可得：，故选：B.【点睛】本题考查了函数的对称和平移，考查了指数的计算，解题方法是反向移动，属于基础题.5. 为了解某年级400名女生五十米短跑情况，从该年级中随机抽取8名女生进行五十跑测试，她们的测试成绩（单位：秒）的茎叶图（以整数部分为茎，小数部分为叶）如图所示.由此可估计该年级女生五十米跑成绩及格（及格成绩为9.4秒）的人数为（）A. 150B. 250C. 200D. 50【答案】B【解析】【分析】结合古典概型公式求出成绩合格的概率，再由频数=总数频率即可求解【详解】由茎叶图可知，成绩在9.4秒以内的都为合格，即合格率为，故估计该年级女生五十米跑成绩及格的人数为，故选：B【点睛】本题考查概率及频数的求解，属于基础题6. “”是“函数与函数为同一函数”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用诱导公式，结合充分条件与必要条件的定义，论证充分性与必要性是否成立即可.【详解】若，则，即函数与函数为同一函数，充分性成立；若函数与函数为同一函数，的值可以为，即两个函数数为同一函数不能推出，必要性不成立，所以，“”是“函数与函数为同一函数”的充分而不必要条件，故选：A.【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，以及充分条件与必要条件的定义，属于基础题.7. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是（）A. 6B. 12C. 24D. 36【答案】B【解析】【分析】由三视图可得原图，结合原图，利用四棱锥的体积公式即可得解.【详解】原图如图所示，可得，故选：B.【点睛】本题考查了三视图，考查了利用三视图画直观图，同时考查了锥体的体积公式，属于基础题.8. 等比数列中，且，，成等差数列，则的最小值为（）A. B. C. D. 1【答案】D【解析】【分析】首先设等比数列的公比为，根据，，成等差数列，列出等量关系式，求得，比较相邻两项的大小，求得其最小值.【详解】在等比数列中，设公比，当时，有，，成等差数列，所以，即，解得，所以，所以，，当且仅当时取等号，所以当或时，取得最小值1，故选：D.【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等比数列的通项公式，三个数成等差数列的条件，求数列的最小项，属于简单题目.9. 如图，四个棱长为的正方体排成一个正四棱柱，是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则集合中的元素个数（）A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】A【解析】【分析】本题首先可根据图像得出，然后将转化为，最后根据棱长为以及即可得出结果.【详解】由图像可知，，则，因为棱长为，，所以，，故集合中的元素个数为，故选：A【点睛】本题考查向量数量积的求解问题，关键是能够利用平面向量线性运算将所求向量数量积转化为已知模长的向量和有垂直关系向量的数量积的运算问题，考查了转化与化归的思想，考查集合中元素的性质，是中档题.10. 某校高一年级研究性学习小组利用激光多普勒测速仪实地测量复兴号高铁在某时刻的速度，其工作原理是：激光器发出的光平均分成两束射出，在被测物体表面汇聚，探测器接收反射光.当被测物体横向速度为零时，反射光与探测光频率相同.当横向速度不为零时，反射光相对探测光会发生频移，其中为测速仪测得被测物体的橫向速度，为激光波长，为两束探测光线夹角的一半，如图.若激光测速仪安装在距离高铁处，发出的激光波长为，测得某时刻频移为，则该时刻高铁的速度约等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先计算，再根据所给公式计算即可．【详解】，故，即，故．故选：A【点睛】本题主要考查三角函数的计算和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 抛物线的焦点到准线的距离是___________.【答案】【解析】【分析】由抛物线的解析式求出，即可求解【详解】由变形得，故抛物线焦点在的正半轴，，，故抛物线的焦点到准线的距离是故答案为：【点睛】本题考查由抛物线解析式求解基本量，属于基础题12. 的展开式中，的系数为．（用数字作答）【答案】10.【解析】解：因为由二项式定理的通项公式可知13. 已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围为___________.【答案】【解析】【分析】由，，可得：，求出函数的最大值即可.【详解】由，，可得：，，当时，，当时，，当且仅当时取等，所以，故答案为：.【点睛】本题考查了存在性问题，考查了参变分离求参数范围，同时考查了利用基本不等式求最值，属于基础题.14. 在平面直角坐标系中，以双曲线，的右焦点为圆心，以实半轴为半径的圆与其渐近线相交，则双曲线的离心率的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】根据圆与直线相交，得到圆心到直线的距离小于半径，求得结果.【详解】根据题意有圆与双曲线的渐近线相交，则有圆心到直线的距离，所以，因为，所以，所以，故答案为：.【点睛】该题考查的是有关双曲线的问题，涉及到的知识点有双曲线的离心率的范围的求解，直线与圆相交的特征，属于简单题目.15. 在一个不透明的口袋中装有大小、形状完全相同的9个小球，将它们分别编号为1，2，3，，9，甲、乙、丙三人从口袋中依次各抽出3个小球.甲说：我抽到了8号和9号小球；乙说：我抽到了8号和9号小球；丙说：我抽到了2号小球，没有抽到8号小球.已知甲、乙、丙三人抽到的3个小球的编号之和都相等，且甲、乙、丙三人都只说对了一半.给出下列四各结论：①甲抽到的3个小球的编号之和一定为15；②乙有可能抽到了2号小球；③丙有可能抽到了8号小球；④3号，5号和7号小球一定被同一个人抽到.其中，所有正确结论的序号是__________.【答案】①②④【解析】【分析】所有编号之和为，由甲、乙、丙三人每人抽到的3个小球的编号之和为15，在此条件下进行分析判断，即可得解.【详解】编号为1，2，3，，9的小球所有编号之和为，由甲、乙、丙三人抽到的3个小球的编号之和都相等，则每人抽到的3个小球编号之和为15，故①正确，依题意，由甲和乙的表述可知，甲和乙一人抽到了编号为8的小球，一人抽到了编号为9的小球，则丙所述没有抽到8号小球是正确的，故乙没有抽到2号小球，若甲抽到了编号为9的小球，乙抽到了编号为8的小球，设甲抽到的另外两个小球的编号分别为，乙抽到的另外两个小球的编号分别为，则，所以的取值只有1和5，2和4两种情况，当甲抽到的编号为1和5的小球时，乙只能抽到编号为3和4的小球，此时丙只能抽到编号为2，6，7，与条件矛盾，所以甲抽到编号为2与4的小球，则乙抽到编号为1和6的小球，所以甲抽到编号为2，4，9的小球，乙抽到编号为1，6，8的小球，丙则抽到编号为3，5，7的小球同理，也可以是甲抽到编号为1，6，8的小球，乙抽到编号为2，4，9的小球，而丙则抽到编号为3，5，7的小球，故②正确，③错误，④正确，故答案为：①②④【点睛】本题考查了命题的真假和逻辑关系，考查了逻辑推理能力和思维判断能力，考查了分类讨论思想，属于较难题.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16. 在中，，，_________.求的值.从①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】选①：5；选②：5或3；选③：或.【解析】【分析】如果选①：利用正弦定理求出，再求出，利用正弦定理得解；如果选②：先求出，再利用余弦定理求出；如果选③：先求出，再利用余弦定理求解.【详解】如果选①：因为，，，所以在中，由正弦定理得.所以.故.，所以.又因为，所以.所以.在中，.所以.如果选②：因为，，，所以，由正弦定理得：.故，由余弦定理可得：，，解得或3.如果选③：，则，则，所以.当时，，；当时，，所以或.【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形面积公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.17. 如图，在多面体中，平面平面.四边形为正方形，四边形为梯形，且，，，.（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见详解；（2）【解析】【分析】（1）由，平面平面，利用面面垂直的性质定理可得平面，再利用线面垂直的性质定理即可证出.（2）取上的点，使得，证明且，过作于，则平面，连接，则为直线与平面所成角，求解三角形即可得出答案.【详解】（1）证明：四边形为正方形，，平面平面，且平面平面，平面，则.（2）取上的点，使得，则且，且，则四边形为平行四边形，则且，由，，可得，过作于，则平面，连接，则为直线与平面所成角，在中，求得，直线与平面所成角的正弦值为 .【点睛】本题考查了面面垂直的性质定理、线面垂直的性质定理、线面角，考查了逻辑推理能力，属于基础题.18. 国家环境标准制定的空气质量指数（简称AQI）与空气质量等级对应关系如下表：300以上下表是由天气网获得的全国东西部各6个城市在某一个月内测到的数据的平均值：（1）从表中东部城市中任取一个，空气质量为良的概率是多少？（2）环保部门从空气质量“优”和“轻度污染”的两类城市随杋选取3个城市组织专家进行调研，记选到空气质量“轻度污染”的城市个数为，求的分布列和数学期望.（3）设东部城市的AQI数值的方差为，如果将合肥纳入东部城市，则纳入后AQI数值的方差为，判断和的大小.（只需写出结论）附：方差计算公式.【答案】（1）；（2）分布列见解析，；（3）.【解析】【分析】（1）利用古典概型的概率计算公式即可求解.（2）空气质量“优”和“轻度污染”的两类城市的个数，利用组合数以及古典概型的概率计算公式即可列出分布列，由分布列即可求出期望.（3）利用方差的意义以及计算公式即可判断.【详解】（1）东部城市共个，空气质量为良有个，东部城市中任取一个，空气质量为良的概率.（2）空气质量“优”的城市有个，“轻度污染”的城市有个，根据题意的所有可能取值为，，，，的分布列为：所以.（3）如果将合肥纳入东部城市，可得【点睛】本题考查了离散型随机变量的分布列、数学期望、方差，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.19. 已知函数（其中为常数）.（1）若且直线与曲线相切，求实数的值；（2）若在上的最大值为，求的值.【答案】（1）2；（2）2.【解析】【分析】（1）代入，得到，求出导函数，设出切点坐标可得切线方程，与已知切线比较可得答案；（2）求出导函数，讨论导函数的正负情况，根据在的单调性求出最大值等于，从而求出.【详解】（1）时，，设切点为，则切线方程为点代入，化简解得.（2），①当即时，在上恒成立，故在单调递增，在的最大值为，故，满足；②当即时，在上恒成立，故在单调递减，在的最大值为，故，不满足，舍去；③当即时，由得，时，时，即在上单调递增，在上单调递减，故的最大值为，即，所以，不满足，舍去，综上所述，.【点睛】本题考查了导数的切线方程，考查了利用导数的单调性求得最值从而得到的问题.20. 椭圆的离心率是，过点作斜率为的直线，椭圆与直线交于，两点，当直线垂直于轴时，.（1）求椭圆的方程；（2）当变化时，在轴上是否存在点，使得是以为底的等腰三角形，若存在，求出的取值范围，若不存在说明理由.【答案】（1）；（2）存在，.【解析】【分析】（1）由椭圆的离心率可得，再代入点即可得解；（2）联立方程组，结合韦达定理可得的中点，由直线方程转化条件为，结合基本不等式即可得解.【详解】（1）因为椭圆的离心率为，所以，整理得，故椭圆的方程为，由已知得椭圆过点，所以，解得，所以椭圆的方程为；（2）由题意得直线的方程为，设，，的中点，由，消去整理得，，则，，所以，∴，所以点坐标为，假设在轴上存在点，使得是以为底的等腰三角形，则点为线段的垂直平分线与轴的交点.①当时，则过点且与垂直的直线方程，令，则，若，则，当且仅当时，等号成立，所以，所以；若，则，当且仅当时，等号成立，所以，，所以；②当时，则有.所以存在点满足条件，且的取值范围是.【点睛】本题考查了椭圆方程的求解及直线与椭圆的综合应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.21. 在平面直角坐标系中，对于任意相邻三点都不共线有序整点列（整点即横纵坐标都是整数的点）与，其中，若同时满足：①两点列的起点和终点分别相同；②线段，其中，则称与互为正交点列.（1）试判断与是否互为正交点列，并说明理由.（2）求证：不存在正交点列；（3）是否存在无正交点列的有序整数点列？并证明你的结论.【答案】（1）互为正交点列，答案见解析；（2）证明见解析；（3）存在，证明见解析.【解析】【分析】（1）根据定义判断即可；（2）点列，，，是点列，，，的正交点列，进而根据正交点列的定义，得到假设不成立，进而说明：，，，不存在正交点列；（3）有序整点列，，，，是点列，，，，的正交点列，利用正交点列的定义，构造方程组，进而根据方程组有解得答案．【详解】解：（1）有序整点列，，与，，互为正交点列.理由如下：由题设可知，，，，因，，所以，.所以整点列，，与，，互为正交点列.（2）证明：由题意可得，，，设点列，，，是点列，，，的正交点列，则可设，，，，因为与，与相同，所以有因为方程②不成立，所以有序整点列，，，不存在正交点列.（3）存在无正交点列的整点列.当时，设，，其中，是一对互质整数，，若有序整点列，，，，是点列，，，，的正交点列，则，，由，得取，，，，，，，由于，，，，是整点列，所以有，.等式②中左边是3倍数，右边等于1，等式不成立，所以存在无正交点列的整点列.【点睛】本题考查的知识点是向量垂直的充要条件，存在性问题，反证法，难度较大，运算量也比较大，属于难题．2020届高三数学6月统一练习（三模）考试试题（含解析）本试卷共5页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 集合，，若，则A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】，，且，解得，则，，.故选：C．考点：1.集合的运算；2.对数的计算．2. 若复数，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用复数的除法运算化简复数，再利用复数的模长公式可求得.【详解】，因此，.故选：C.【点睛】本题考查复数模长的计算，同时也考查了复数的除法运算，考查计算能力，属于基础题.3. 已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分别根据指数函数、对数函数的单调性分析函数值的范围即可.【详解】函数是单调递减函数，所以，函数是单调递增函数，所以，函数是单调递增函数，所以，即.故选：D.【点睛】本题主要考查了根据指数函数、对数函数的单调性比较大小的问题，属于基础题. 4. 已知函数的图象沿轴向左平移2个单位后与函数的图象关于轴对称，若，则（）A. -2B. 2C.D.【答案】B【解析】【分析】由题意可得与函数的图象关于轴对称的函数，可得：，再向右平移2个单位可得，再由即可得解.【详解】先求与函数的图象关于轴对称的函数，可得：，再向右平移2个单位可得，所以，可得：，故选：B.【点睛】本题考查了函数的对称和平移，考查了指数的计算，解题方法是反向移动，属于基础题.5. 为了解某年级400名女生五十米短跑情况，从该年级中随机抽取8名女生进行五十跑测试，她们的测试成绩（单位：秒）的茎叶图（以整数部分为茎，小数部分为叶）如图所示.由此可估计该年级女生五十米跑成绩及格（及格成绩为9.4秒）的人数为（）A. 150B. 250C. 200D. 50【答案】B【解析】【分析】结合古典概型公式求出成绩合格的概率，再由频数=总数频率即可求解【详解】由茎叶图可知，成绩在9.4秒以内的都为合格，即合格率为，故估计该年级女生五十米跑成绩及格的人数为，故选：B【点睛】本题考查概率及频数的求解，属于基础题6. “”是“函数与函数为同一函数”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用诱导公式，结合充分条件与必要条件的定义，论证充分性与必要性是否成立即可.【详解】若，则，即函数与函数为同一函数，充分性成立；若函数与函数为同一函数，的值可以为，即两个函数数为同一函数不能推出，必要性不成立，所以，“”是“函数与函数为同一函数”的充分而不必要条件，故选：A.【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，以及充分条件与必要条件的定义，属于基础题.7. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是（）A. 6B. 12C. 24D. 36【答案】B【解析】【分析】由三视图可得原图，结合原图，利用四棱锥的体积公式即可得解.【详解】原图如图所示，可得，故选：B.【点睛】本题考查了三视图，考查了利用三视图画直观图，同时考查了锥体的体积公式，属于基础题.8. 等比数列中，且，，成等差数列，则的最小值为（）A. B. C. D. 1【答案】D【解析】【分析】首先设等比数列的公比为，根据，，成等差数列，列出等量关系式，求得，比较相邻两项的大小，求得其最小值.【详解】在等比数列中，设公比，当时，有，，成等差数列，所以，即，解得，所以，所以，，当且仅当时取等号，所以当或时，取得最小值1，故选：D.【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等比数列的通项公式，三个数成等差数列的条件，求数列的最小项，属于简单题目.9. 如图，四个棱长为的正方体排成一个正四棱柱，是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则集合中的元素个数（）A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】A【解析】【分析】本题首先可根据图像得出，然后将转化为，最后根据棱长为以及即可得出结果.【详解】由图像可知，，则，因为棱长为，，所以，，故集合中的元素个数为，故选：A【点睛】本题考查向量数量积的求解问题，关键是能够利用平面向量线性运算将所求向量数量积转化为已知模长的向量和有垂直关系向量的数量积的运算问题，考查了转化与化归的思想，考查集合中元素的性质，是中档题.10. 某校高一年级研究性学习小组利用激光多普勒测速仪实地测量复兴号高铁在某时刻的速度，其工作原理是：激光器发出的光平均分成两束射出，在被测物体表面汇聚，探测器接收反射光.当被测物体横向速度为零时，反射光与探测光频率相同.当横向速度不为零时，反射光相对探测光会发生频移，其中为测速仪测得被测物体的橫向速度，为激光波长，为两束探测光线夹角的一半，如图.若激光测速仪安装在距离高铁处，发出的激光波长为，测得某时刻频移为，则该时刻高铁的速度约等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先计算，再根据所给公式计算即可．【详解】，故，即，故．故选：A【点睛】本题主要考查三角函数的计算和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 抛物线的焦点到准线的距离是___________.【答案】【解析】【分析】由抛物线的解析式求出，即可求解【详解】由变形得，故抛物线焦点在的正半轴，，，故抛物线的焦点到准线的距离是故答案为：【点睛】本题考查由抛物线解析式求解基本量，属于基础题12. 的展开式中，的系数为．（用数字作答）【答案】10.【解析】解：因为由二项式定理的通项公式可知13. 已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围为___________.【答案】【解析】【分析】由，，可得：，求出函数的最大值即可.【详解】由，，可得：，，当时，，当时，，当且仅当时取等，所以，故答案为：.【点睛】本题考查了存在性问题，考查了参变分离求参数范围，同时考查了利用基本不等式求最值，属于基础题.14. 在平面直角坐标系中，以双曲线，的右焦点为圆心，以实半轴为半径的圆与其渐近线相交，则双曲线的离心率的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】根据圆与直线相交，得到圆心到直线的距离小于半径，求得结果.【详解】根据题意有圆与双曲线的渐近线相交，则有圆心到直线的距离，所以，因为，所以，所以，故答案为：.【点睛】该题考查的是有关双曲线的问题，涉及到的知识点有双曲线的离心率的范围的求解，直线与圆相交的特征，属于简单题目.15. 在一个不透明的口袋中装有大小、形状完全相同的9个小球，将它们分别编号为1，2，3，，9，甲、乙、丙三人从口袋中依次各抽出3个小球.甲说：我抽到了8号和9号小球；乙说：我抽到了8号和9号小球；丙说：我抽到了2号小球，没有抽到8号小球.已知甲、乙、丙三人抽到的3个小球的编号之和都相等，且甲、乙、丙三人都只说对了一半.给出下列四各结论：①甲抽到的3个小球的编号之和一定为15；②乙有可能抽到了2号小球；③丙有可能抽到了8号小球；④3号，5号和7号小球一定被同一个人抽到.其中，所有正确结论的序号是__________.【答案】①②④【解析】【分析】所有编号之和为，由甲、乙、丙三人每人抽到的3个小球的编号之和为15，在此条件下进行分析判断，即可得解.【详解】编号为1，2，3，，9的小球所有编号之和为，由甲、乙、丙三人抽到的3个小球的编号之和都相等，则每人抽到的3个小球编号之和为15，故①正确，依题意，由甲和乙的表述可知，甲和乙一人抽到了编号为8的小球，一人抽到了编号为9的小球，则丙所述没有抽到8号小球是正确的，故乙没有抽到2号小球，若甲抽到了编号为9的小球，乙抽到了编号为8的小球，设甲抽到的另外两个小球的编号分别为，乙抽到的另外两个小球的编号分别为，则，所以的取值只有1和5，2和4两种情况，当甲抽到的编号为1和5的小球时，乙只能抽到编号为3和4的小球，此时丙只能抽到编号为2，6，7，与条件矛盾，所以甲抽到编号为2与4的小球，则乙抽到编号为1和6的小球，所以甲抽到编号为2，4，9的小球，乙抽到编号为1，6，8的小球，丙则抽到编号为3，5，7的小球同理，也可以是甲抽到编号为1，6，8的小球，乙抽到编号为2，4，9的小球，而丙则抽到编号为3，5，7的小球，故②正确，③错误，④正确，故答案为：①②④【点睛】本题考查了命题的真假和逻辑关系，考查了逻辑推理能力和思维判断能力，考查了分类讨论思想，属于较难题.。

利用多出来的一个月，多多练习，提升自己，加油！1．设全集}7,5,3,1{=U ，集合,},5,1{U M a M ⊆-= C U M={5，7}，则a 的值为（ ）A ．2B ．8C ．－2D ．－82．已知θ是第二象限角，则θθ42sin sin -可化简为 （ ）A ．θθcos sinB ．－θθcos sinC ．θ2sinD ．－θ2sin3．命题p ：不等式1|1|->-x xx x 的解集为}10|{<<x x 命题q ：“A=B”是“B A sin sin =”成立的必要非充分条件，则 （ ）A ．p 真q 假B ．“p 且q”为真C ．“p 或q”为假 D ．p 假q 真4．已知双曲线)0(1222>=-a y ax 的一条渐近线与直线032=+-y x 垂直，则该双曲线的准线方程是（ ）A ．23±=x B ．25±=x C ．334±=x D ．554±=x 5．设函数)3()3(24)(-≥++=x x x f ，则其反函数)(1x f -的图象是（ ）A B CD6．已知1,0=+<<b a b a 且，下列不等式正确的是 （ ） A ．1log 2>aB ．2log log 22->+b aC ．0)(log 2<-a bD ．1)(log 2<+ba ab7．在空间中，有如下命题：①互相平行的两条直线在同一个平面内的射影必然是互相平行的两条直线； ②若平面α//平面β，则平面α内任意一条直线m//平面β；③若平面α与平面β的交线为m ，平面α内的直线n ⊥直线m ，则直线n ⊥平面β；④若点P 到三角形三条边的距离相等，则点P 在该三角形内部的射影是该三角形的内心.其中正确命题的个数为 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．计算αααcos 2)60cos()30sin(οο+++= .9．函数2x y =的图象F 按向量)2,3(-=a 平移到F′，则F′的函数解析式为 .10．如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，CC 1中点为E ，则AE 与BC 1所在的两条直线的位置关系是 ，它们所成的角的大小为 .11．已知数列则为正偶数为正奇数中⎩⎨⎧-=-),(12,)(2,}{1n n n a a n n n9a = （用数字作答），设数列{n a }的前n项和为S n ，则S 9= （用数字作答）.12．已知函数),(13)(23+∞-∞+-+=在区间x x ax x f 上是减函数，则a 的取值范围是 .8 9 .10 11、 . 12.高三数学小题专项训练（7）8．2； 9． 762+-=x x y ； 10．异面直线，4； 11．256，377； 12． ]3,(--∞高三数学选择填空专项训练（8）班级 学号 姓名 得分1．若集合M={y|y=－2－x }，P={y|y=1-x },则M∩P=（ ）A ．{y|y<0}B ．{y|y≥1}C ．{y|y≥0}D ．φ2．下列函数中，既是偶函数，又在（0，π）内单调递增的函数是 （ ）A ．y=tan|x|B ．y=cos(－x)C ．y=sin(x －2π)D ．y=|cot 2x|3．若实数a 、b 满足ab<0，则有 （ ）A ．|a －b|<|a|－|b|B ．|a －b|<|a|+|b|C ．|a+b|>|a －b|D ．|a+b|<|a －b|4．图中阴影部分可用哪一组二元一次不等式表示 （ ） A ．⎩⎨⎧≥+--≥0221y x yB ．⎩⎨⎧≤+--≥0221y x yC ．⎪⎩⎪⎨⎧≥+--≥≤02210y x y xD ．⎪⎩⎪⎨⎧≤+--≥≤02210y x y x5．生物学指出：生态系统中，在输入一个营养级的能量中，大约10%的能量能够流到下一个营养级.在H 1→H 2→H 3这个生物链中，若能使H 3获得10kj 的能量，则需H 1提供的能 量为（ ）A ．105kjB ．104kjC ．103kjD ．102kj6．给定两个向量)()(),1,2(),4,3(b a b x a b a -⊥+==若，则x 的等于（ ）A ．－3B ．23C ．3D ．－237．若某等差数列{a n }中，a 2+a 6+a 16为一个确定的常数，则其前n项和S n 中也为确定的常数的是（ ）A ．S 17B ．S 15C ．S 8D ．S 7 8． 将一张画了直角坐标系且两轴的长度单位相同的纸折叠一次，使点（2，0）与点（－2， 4）重合，若点（7，3）与点（m ,n ）重合，则m+n 的值为 A ．4B ．－4C ．10D ．－109．方程0)1lg(122=-+-y x x 所表示的曲线图形是 （ ）10．已知=++=-)1(),1lg()(12f x x x f 则 .11．在一个水平放置的底面半径为3的圆柱形量杯中装有适量的水，现放入下个半径为R 的实心铁球，球完全浸没于水中且无水溢出，若水面高度恰好上升R ，则R= .12．设函数⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0,10,00,1)(x x x x f ，则方程)()12(1x f x x -=+的解为 .10、 . 11、 . 12.高三数学小题专项训练（8）10．2099 11．2312．X=0，2或－4171+高三数学选择填空专项训练（9）班级学号 姓名 得分 1．设),2(,53sin ππαα∈=，则αtan 的值为（ ） A ．43B ．－43C ．34D ．－342．设条件A ：几何体的各个面都是三角形，条件B ：几何体是三棱锥，则条件A 是条件B 的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．设),1(32)1(2≤+-=-x x x x f ，则函数)(1x f -的图象为 （ ）4．设集合M={a ，b ，c}，N={0，1}，映射f ：M→N 满足)()()(c f b f a f =+，则映射f ：M→N 的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．45．圆心在抛物线)0(212<=x x y 上，并且与抛物线的准线及y 轴都相切的圆的方程为（ ） A ．041222=+--+y x y xB ．01222=+-++y x y xC ．041222=+-++y x y xD ．01222=++-+y x y x6．过△ABC 的重心任作一直线分别交AB 、AC 于点D 、E.若,0,,≠==xy y x 则yx 11+的值为（ ） A ．4B ．3C ．2D ．17．给出下列命题： ①);()()1()()(R d c a b d a c b a ∈++++=++++λλλλλ②把正方形ABCD 平移向量m 到A′B′C′D′的轨迹形成的几何体叫做正方体；③a =“从济南往正比平移3km”，b =“从济南向正北平移6km”，则b =2a . 其中正确的命题是（ ）A ．①②B ．②③C ．①②③D ．①③8．设三棱锥的三个侧面两两互相垂直，且侧棱长均为32，则其外接球的表面积为（ ）A ．48πB ．36πC ．32πD ．12π9．设]2,[,),()()(ππ--∈-+=R x x f x f x F 是函数F(x )的单调递增区间，将F(x )的图象按a )0,(π=平移得到一个新的函数G(x )的图象，则G(x )的单调递减区间必定是（ ）A ．]0,2[π-B ．],2[ππC ．]23,[ππ D ．]2,23[ππ10．若双曲线14222=-y ax 过点)2,23(-，则该双曲线的焦距为 .11．某地区预计2004年的前x 个月内对某种商品的需求总量)(x f （万件）与月份x 的近似关系式是121*,),19)(1(751)(≤≤∈-+=x N x x x x x f ，则2004年的第x 月的需求量g(x )（万件）与月份x 的函数关系式是 . 12．若直线y=x是曲线ax x x y +-=233的切线，则a = .10、 . 11、 . 12.高三数学小题专项训练（9）1. B2. B3. C4. C5. C6. B7. D8. B9. D10．132 11．*,121),13(251)(N x x x x x g ∈≤≤-=（注：未写x 的取值范围可视作正确） 12．1或413高三数学选择填空专项训练（10）班级 学号 姓名 得分1．下列各组中，M 是N 的充要条件的是 （ ）A ．M ：|x|+|y|≤1，N ：x 2+y 2≤1,B ．M ：实数a 、b ，a+b>2，且ab>1,N ：a>1且b>1C ．M ：集合E 、F 和P ，PE 且PF ，N ：PE∩FD ．M ：－3≤t≤32，N ：曲线y=29x -（y≠0）与直线y=x+t 有公共点2．设3a =4,3b =12,3c =36，那么数列a ，b ，cＡ．是等差数列但不是等比数列 B ．是等比数列但不是等差数列Ｃ．既是等差数列也是等比数列 Ｄ．既不是等差数列也不是等比数列3．函数f (x )=sin(2x+φ)+3cos(2x +φ)的图像关于原点对称的充要条件是A ．φ=2k π－π6 ，k ∈ZB ．φ=k π－π6，k∈ZC ．φ=2k π－π3 ，k ∈ZD ．φ=k π－π3 ，k∈Z4．将棱长为3的正四面体的各棱长三等份，经过分点将原正四面体各顶点附近均截去一个棱长为1的小正四面体，则剩下的多面体的棱数E 为A ．16B ．17C ．18D ．195．设ｆ(x )= x 2+ax+b ，且1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4，则点(a ，b )在积是A．12B．1 C．2D．926．已知向量OP=(2,1)，OA=(1,7)，OB=(5,1)，设X是直线OP 上的一点(O为坐标原点)，那么XBXA 的最小值是A．－16B．－8 C．0 D．47．直线x4+y3=1与椭圆x216+y29=1相交于A、B两点，椭圆上的点P使△PAB的面积等于12．这样的点P共有A．1个B．2个 C 3个D．4个8．函数y=f(x)与y=g(x)有相同的定义域，且都不是常数函数，对定义域中任何x，有f(x)+f(－x)=0，g(x)·g(－x)=1，且当x≠0时，g(x) ≠1，则()F x＝2f(x)g(x)－1＋()f xA．是奇函数但不是偶函数B．是偶函数但不是奇函数C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数也不是偶函数9．当x∈［0,2］时，函数f(x)=ax2+4(a－1)x－3在x=2时取得最大值，则a的取值范围是A．[－21,+∞) B．[0，+∞）C．[1, +∞)D．[32,+∞)10．已知直线ax+by+1=0中的a，b是取自集合{－3，－2，－1，0，1，2}中的2个不同的元素，并且直线的倾斜角大于60°，那么符合这些条件的直线的共有A．8条B．11条C．13条D．16条11．不等式(x－2)x2－2x－3 ≥0的解集是．12．给出下列四个命题：①过平面外一点，作与该平面成θ角的直线一定有无穷多条；②一条直线与两个相交平面都平行，则它必与这两个平面的交线平行；③对确定的两条异面直线，过空间任意一点有且只有唯一的一个平面与这两条异面直线都平行；④对两条异面的直线，都存在无穷多个平面与这两条直线所成的角相等；其中正确的命题序号为（请把所有正确命题的序号都填上）．11、 . 12.高三数学小题专项训练（10）1．D．2．A 3．D 4．C 5．B 6．B 7．B 8．B 9．D 10．D11{x|x=－1或x≥3}，12 （2）、（4）。

百师联盟2020届高三练习一全国卷 理科数学试卷注言事项：L 答卷祁,君生务必将白己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

Z 冋答远择題时,选出铮小题答案n,Hi®笔把答题R 上对应题口的答案标号涂黑,如需 改动,用橡皮慷干療后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时,将答案场在答题卡上。

丐在本 试卷上无效。

3. 羽试给束后,将本试卷和答题卡一并交回。

考试时间120分钟•满分150分」一、选择题:本题共12小题，毎小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合題目要求的。

L 集合力={xlZ τ2-x-3≤0},βχ{xl -2<Λ<1}.贝IMrl£ =A. {xl -2 <x < -* 1}B. {x ∖ -1 < 1} G "今}严-y + 2 NO.2-若X.yifli 足约朿条件< 2X +Λ-2^0,则“2戈-3）的授人值为 3x -y— 3≤∏,A.2B. -23.已知 LatIa=-3^i ∣J 2sh ζα~11 的值等丁COSZa + 15.等差数列仏}中,若α3+αj +α∣1+αu = 10,则心-Ya ln 的值是丄 2 B.4 C.56. LL 知圆 C ： J + (>• - 1 )2 =K(r>O),设p ：(JVrV3/2 ；g ： [S] C 上至多有 2 个点到H 线 Λ + y ÷ 3 = O的距离为②则"是Q 的A.充分不必耍条件 R 必耍不充分条件 C.充更条件D.既不充分也不必要条件第】页(宾4页)114D.丄-亠丄D.6A. -4氏-24. ^aJ^C 均为正数,且3“=5—45「,则7. 已知定虑4(-】,0),点B 在圆C ：? + Γ-2x-15=0上运动,C 为圆心,线段AB 的垂直半分 线交SC F 点P,则动点P 的轨迹方程为9. 2 2 > 2 2 2A ∙ v+⅛ = lB. V + y 1 = >C ・ v+Λ1 = lD ∙ v+j V = i4 34 Z 4 4 3已知定义征R 上的函数/ (%)满足：/ ( -X) = /(χ),当0 <知V 七时Ux 1 -χ2) I/ (V I ) - / (A 2) J >0,« - - ⅝^.6 J> -2(I Λ,Γ ^0.玖则 ∕α),∕(E,∕(r)的人小顺庁为 λ.f{a)<f(b}<f(c) B. /(c)<∕(δ)<∕(α) C. ./ (C) </(«)</(/>)a∕(5)<∕(c)<∕(α)斐波那契燻旋线T 也称“黄金缥 旋”，是根据雯波那契数列画治 来的嫖旋曲线，Fl 然界中行在 许多斐波那契摞淀线的1冬1案， 是自然界录完天的经典黄金比 例.作圏规则是在以更波那契数为边的正方形拼成 的氏方形屮匝一个圆心角为90。

2020届高三数学二轮复习选填专练“12＋4”限时提速练(一) (满分80分，限时45分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1.已知集合U ＝{x |4x 2－4x ＋1≥0}，B ＝{x |x －2≥0}，则∁U B ＝( ) A.(－∞，2) B.(－∞，2] C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 解析：选A 由4x 2－4x ＋1≥0，得x ∈R ，所以U ＝R .又B ＝{x |x －2≥0}＝{x |x ≥2}，所以∁U B ＝(－∞，2).故选A.2.已知a －3ii ＝b ＋2i(a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则复数z ＝a －b i 在复平面内对应的点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：选B 法一：由已知得a －3i ＝(b ＋2i)·i ＝－2＋b i ，由复数相等的充要条件可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－3，所以z ＝a －b i ＝－2＋3i ，所以复数z ＝－2＋3i 在复平面内对应的点(－2，3)在第二象限.故选B.法二：由a －3i i ＝b ＋2i 得，a i －3i 2i 2＝－3－a i ＝b ＋2i ，由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－3，则z ＝－2＋3i ，所以复数z ＝－2＋3i 在复平面内对应的点(－2，3)在第二象限.故选B.3.已知直线a ⊥平面α，则“直线b ∥平面α”是“b ⊥a ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：选A 因为直线a ⊥平面α，直线b ∥平面α，所以b ⊥a ，所以充分性成立；由直线a ⊥平面α及b ⊥a 可以推得b ∥α或b ⊂α，所以必要性不成立.故选A.4.数学界有名的“角谷猜想”：任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半⎝ ⎛⎭⎪⎫即n 2，如果n 是奇数，则将它乘3加1(即3n ＋1)，不断重复这样的运算，经过有限次运算后，一定可以得到1.如果对正整数a 按照上述规则施行变换后得到的第4个数为1(注：1可以多次出现)，则这样的a 的所有不同取值的个数为( )A.1B.2C.3D.4解析：选B 依题意，引入数列{a n }，其中a 1＝a ∈N *，a n ＋1＝⎩⎨⎧an 2，a n 是偶数，3a n ＋1，a n 是奇数.当a 4＝1时，a 3＝2；当a 3＝2时，a 2＝4；当a 2＝4时，a 1＝8或a 1＝1.因此，满足题意的a 的所有不同取值的个数为2.故选B. 5.据统计，2019年春节期间，甲、乙两个抢红包群抢红包的金额(单位：元)的茎叶图如图所示 ，其中甲群抢得红包金额的平均数是88元，乙群抢得红包金额的中位数是89元，则m ，n 的等差中项为( )A.5B.6C.7D.8解析：选B因为甲群抢得红包金额的平均数是88，所以78＋86＋84＋88＋95＋（90＋m ）＋927＝88，解得m ＝3.因为乙群抢得红包金额的中位数是89，所以n ＝9.所以m ，n 的等差中项为m ＋n 2＝3＋92＝6.故选B.6.已知向量a ＝(2，3)，b ＝(6，m )，且a ⊥b ，则向量a 在a ＋b 方向上的投影为( )A.655B.－655C.13D.－13解析：选A 因为a ⊥b ，所以a ·b ＝12＋3m ＝0，解得m ＝－4，所以b ＝(6，－4)，所以a ＋b ＝(8，－1)，所以向量a 在a ＋b 方向上的投影为a ·（a ＋b ）|a ＋b |=＝655.故选A.7.在不等式组⎩⎨⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ＋1≥0所表示的平面区域内随机取一点P ，则点P 到直线l ：x ＝－1的距离小于或等于1的概率为( )A.12B.14 C.18 D.116解析：选C画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ＋1≥0所表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线l ：x ＝－1.易得A (－1，－1)，B (3，－1)，C (1，1)，则阴影部分的面积为12×4×2＝4.易知满足条件的点P 恰好落在△OAM 内(含该三角形的边界)，且△OAM 的面积为12×1×1＝12，∴点P 到直线l ：x ＝－1的距离小于或等于1的概率为124＝18.故选C.8.已知f (x )＝13x 3＋ax 2＋(b －4)x (a >0，b >0)在x ＝1处取得极值，则2a ＋1b 的最小值为( )A.3＋223B.3＋2 2C.3D.2 2解析：选C 由f (x )＝13x 3＋ax 2＋(b －4)x (a >0，b >0)，得f ′(x )＝x 2＋2ax ＋b －4.由题意得f ′(1)＝12＋2a ＋b －4＝0，则2a ＋b ＝3，所以2a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ×2a ＋b 3＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b (2a ＋b )＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2b a ＋2a b ≥13⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋22b a ·2a b ＝3，当且仅当2b a ＝2a b ，即a ＝b ＝1时，等号成立.故2a ＋1b 的最小值为3.故选C.9.执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为( )A.6732 020B.2 0196 061C.13D.2 0206 061解析：选D i ＝1，a ＝11×4，S ＝11×4；i ＝2，a ＝14×7，S ＝11×4＋14×7＝13×⎝⎛⎭⎪⎫1－14＋14－17；…；i ＝2 020，a ＝1（3×2 020－2）（3×2 020＋1），S ＝13×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－17＋⎝ ⎛⎭⎪⎫17－110＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13×2 020－2－13×2 020＋1＝13×⎝⎛⎭⎪⎫1－13×2 020＋1＝2 0206 061，结束循环.此时输出S ＝2 0206 061.故选D.10.先将函数f (x )的图象向右平移2π5个单位长度，再将所得函数图象上的所有点的横坐标缩短到原来的14，得到函数g (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，|φ|<π2的图象.已知函数g (x )的部分图象如图所示，则函数f (x )的图象的对称轴方程是( )A.x ＝4k π＋2π5，k ∈Z B.x ＝4k π＋7π10，k ∈Z C.x ＝2k π＋2π5，k ∈Z D.x ＝2k π＋7π5，k ∈Z解析：选D 法一：设g (x )的最小正周期为T ，由题意和题图可知A ＝2，T4＝9π20－π5＝π4，∴T ＝π，∴ω＝2，∴g (x )＝2sin(2x ＋φ).∵g (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫9π20，2，∴9π10＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π－2π5，k ∈Z .又|φ|<π2，∴φ＝－2π5，∴g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π5.将函数g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π5的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的4倍，得到y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2π5的图象，再将y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2π5的图象向左平移2π5个单位长度，得到f (x )＝2sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2π5－2π5＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π5的图象.令12x －π5＝k π＋π2，k ∈Z ，则x ＝2k π＋7π5，k ∈Z .∴函数f (x )的图象的对称轴方程为x ＝2k π＋7π5，k ∈Z .故选D.法二：由题图可知，函数g (x )的图象的对称轴方程为x ＝9π20＋k π2(k ∈Z )，将函数 g (x )的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的4倍，再向左平移2π5个单位长度后得到f (x )的图象，故f (x )的图象的对称轴方程为x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9π20＋k π2×4－2π5＝7π5＋2k π，k ∈Z .故选D.11.已知抛物线C ：x 2＝3y 的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，若弦AB 的长为4，则|AF ||BF |＝( )A.1B.2或12C.3D.3或13解析：选D 法一：由题意可设直线l 的方程为y ＝kx ＋34，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).联立，得⎩⎨⎧x 2＝3y ，y ＝kx ＋34，整理得，4x 2－12kx －9＝0，∴⎩⎨⎧x 1＋x 2＝3k ，x 1x 2＝－94，∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝3(1＋k 2)＝4，∴k ＝±33.设|AF ||BF |＝λ，当k ＝33时，过点A ，B 分别作抛物线C 的准线的垂线，垂足分别为M ，N ，过点B 作BE ⊥AM 于点E ，则|AE ||BE |＝33，|AE |2＋|BE |2＝|AB |2＝16，所以|AE |＝2.|AB |＝|AF |＋|BF |＝(λ＋1)|BF |＝4，|AF |－|BF |＝(λ－1)|BF |＝|AE |＝2，∴（λ＋1）|BF |（λ－1）|BF |＝λ＋1λ－1＝2，∴λ＝3.同理，当k ＝－33时，可求得λ＝13.故选D. 法二：设直线l 的倾斜角为θ，则|AB |＝2pcos 2θ＝3cos 2θ＝4，解得cos θ＝±32，∴直线l 的倾斜角θ＝30°或θ＝150°.当θ＝30°时，过点A ，B 分别作抛物线C 的准线的垂线，垂足分别为M ，N ，过点B 作BE ⊥AM 于点E ，则|AF |＝|AM |，|BF |＝|BN |，∴|AF |－|BF |＝|AE |＝12|AB |＝2，又|AF |＋|BF |＝4，∴|AF |＝3，|BF |＝1，因此|AF ||BF |＝3.同理，当θ＝150°时，得|AF ||BF |＝13.故选D.12.已知在四面体ABCD 中，AB ＝AD ＝BC ＝CD ＝BD ＝2，平面ABD ⊥平面BDC ，则四面体ABCD 的外接球的表面积为( )A.20π3B.6πC.22π3D.8π解析：选A ∵AB ＝AD ＝BC ＝CD ＝BD ＝2，∴△ABD 与△BDC 均是边长为2的正三角形.设正三角形BDC 的中心为O 1，四面体ABCD 的外接球的球心为O ，外接球的半径为R ，M 为BD 的中点，连接AM ，CM ，OA ，OO 1，则OO 1⊥平面BDC ，AM ⊥BD ，又平面ABD ⊥平面BDC ，所以AM ⊥平面BCD ，∴AM ∥OO 1，AM ⊥MO 1.过O 作OG ⊥AM 于点G ，易知G 为△ABD 的中心，可得OG ∥MO 1.∵MA ＝MC ＝32×2＝3，∴MG ＝MO 1＝13×3＝33，GA ＝233，∴四边形MO 1OG 为正方形，∴OG ＝MO 1＝33.在直角三角形AGO 中，GA 2＋GO 2＝OA 2，即⎝⎛⎭⎪⎫2332＋⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝R 2，R 2＝53，∴四面体ABCD 的外接球的表面积S ＝4πR 2＝20π3.故选A.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.曲线f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2处的切线方程为________.解析：∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x ，∴f ′(x )＝－sin x ，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－sin π2＝－1，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，∴所求切线方程为y －0＝－⎝⎛⎭⎪⎫x －π2，即2x ＋2y －π＝0.答案：2x ＋2y －π＝014.已知直线l 1：mx ＋y ＋4＝0和直线l 2：(m ＋2)x －ny ＋1＝0(m ，n ＞0)互相垂直，则mn 的取值范围为________.解析：因为l 1⊥l 2，所以m (m ＋2)＋1×(－n )＝0，得n ＝m 2＋2m ，因为m ＞0，所以m n ＝m m 2＋2m ＝1m ＋2，则0＜1m ＋2＜12，故m n 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1215.有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________.解析：根据丙的说法可知，丙的卡片上的数字不是2和3.若丙的卡片上的数字是1和2，则根据乙的说法可知，乙的卡片上的数字是2和3，从而甲的卡片上的数字是1和3，此时满足甲的说法；若丙的卡片上的数字是1和3，则根据乙的说法可知，乙的卡片上的数字是2和3，从而甲的卡片上的数字是1和2，此时不满足甲的说法.综上，甲的卡片上的数字是1和3.答案：1和316.(2019·广东揭阳期末改编)已知数列{a n }满足a 1＝－19，a n ＋1＝a n8a n ＋1(n ∈N *)，则a n ＝________，数列{a n }中最大项的值为________.解析：本题考查构造等差数列求通项.由题意知a n ≠0，由a n ＋1＝a n 8a n ＋1得1a n ＋1＝8a n ＋1a n ＝1a n ＋8，整理得1a n ＋1－1a n ＝8，即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是公差为8的等差数列，故1an ＝1a 1＋(n －1)×8＝8n －17，所以a n ＝18n －17.当n ＝1，2时，a n ＜0；当n ≥3时，a n ＞0，则数列{a n }在n ≥3时是递减数列，故{a n }中最大项的值为a 3＝17.答案：18n －1717 “12＋4”限时提速练(二) (满分80分，限时45分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1.已知集合A ＝{x |x －a ≤0}，B ＝{1，2，3}，若A ∩B ≠∅，则a 的取值范围为( )A.(－∞，1]B.[1，＋∞)C.(－∞，3]D.[3，＋∞)解析：选B 法一：集合A ＝{x |x ≤a }，集合B ＝{1，2，3}，若A ∩B ≠∅，则1，2，3这三个元素至少有一个在集合A 中，若2或3在集合A 中，则1一定在集合A 中，因此只要保证1∈A 即可，所以a ≥1.故选B.法二：集合A ＝{x |x ≤a }，B ＝{1，2，3}，a 的值大于3时，满足A ∩B ≠∅，因此排除A 、C.当a ＝1时，满足A ∩B ≠∅，排除D.故选B.2.z 是z ＝1＋2i1－i的共轭复数，则z 的虚部为( ) A.－12 B.12 C.－32D.32解析：选C z ＝1＋2i 1－i ＝（1＋2i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝－1＋3i 2＝－12＋32i ，则z ＝－12－32i ，所以z 的虚部为－32.故选C.3.已知点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，a 在函数y ＝log 3x 的图象上，且角θ的终边所在的直线过点M ，则tan θ＝( )A.－13 B.±13 C.－3D.±3解析：选C 因为点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，a 在函数y ＝log 3x 的图象上，所以a ＝log 313＝－1，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－1，所以tan θ＝－113＝－3，故选C.4.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中把三角形的田称为“圭田”，把直角梯形的田称为“邪田”，称底是“广”，称高是“正从”，“步”是丈量土地的单位.现有一邪田，广分别为十步和二十步，正从为十步，其内有一块广为八步，正从为五步的圭田.若在邪田内随机种植一株茶树，求该株茶树恰好种在圭田内的概率为( )A.215 B.25 C.415D.15解析：选A 由题意可得邪田的面积S ＝12×(10＋20)×10＝150，圭田的面积S 1＝12×8×5＝20，则所求的概率P ＝S 1S ＝20150＝215.故选A.5.设函数f (x )＝x ·ln x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，0)处的切线方程为( ) A.y ＝－x －1 B.y ＝x ＋1 C.y ＝－x ＋1D.y ＝x －1解析：选D f ′(x )＝ln x ＋1，∴切线的斜率k ＝f ′(1)＝1，则曲线y ＝f (x )在点(1，0)处的切线方程为y ＝x －1.故选D.6.已知数列{a n }中，a 1＝a 2＝1，a n ＋2＝⎩⎨⎧a n ＋2，n 是奇数，2a n ，n 是偶数，则数列{a n }的前20项和为( )A.1 121B.1 122C.1 123D.1 124解析：选C 由题意可知，数列{a 2n }是首项为1，公比为2的等比数列，数列{a 2n －1}是首项为1，公差为2的等差数列，故数列{a n }的前20项和为1×（1－210）1－2＋10×1＋10×92×2＝1 123.故选C.7.两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位如图所示，则下列座位号码符合要求的可以是( )A.25，26B.33，34C.64，65D.72，73解析：选C 设靠左、右窗的座位号码分别为a n ，b n ，则由火车上的座位号码规律可得，a n ＝5n －4，b n ＝5n .因此33号与72号都不是靠左窗的座位号，所以选项B 和D 均不符合；25号与65号都是靠右窗的座位号码，所以25号，26号是不相邻的，64号与65号是相邻的.故选C.8.已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，点M 在双曲线E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝14，则双曲线E 的离心率为( )A.153B.32C.132D.2解析：选A 如图，由题意知F 1(－c ，0)，因为MF 1与x 轴垂直，且M 在椭圆上，所以|MF 1|＝b 2a .在Rt △MF 2F 1中，sin ∠MF 2F 1＝14，所以tan ∠MF 2F 1＝|MF 1||F 1F 2|＝115，即b 2a 2c ＝b 22ac ＝115，又b 2＝c 2－a 2，所以15c 2－15a 2－2ac ＝0，两边同时除以a 2，得15e 2－2e －15＝0，又e >1，所以e ＝153.故选A.9.函数f (x )＝e x ＋1x （e x －1）(其中e 为自然对数的底数)的图象大致为( )解析：选D 法一：由题意得函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).∵f (－x )＝e －x ＋1－x （e －x －1）＝－1＋e x x （1－e x）＝e x ＋1x （e x－1）＝f (x )，∴函数f (x )为偶函数，可排除选项A 、C. 又f (x )＝e x ＋1x （e x－1）＝（e x －1）＋2x （e x－1）＝1x ＋2x （e x－1），∴f ′(x )＝－1x 2－2[（x ＋1）e x －1]x 2（e x －1）2，∴x >0时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，可排除选项B.故选D.法二：由题意得函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).f (x )＝1x ·e x＋1e x －1，易知y ＝1x 和y ＝e x ＋1e x －1均为奇函数，所以函数f (x )是偶函数，可排除选项A 、C.当x →＋∞时，1x →0，e x ＋1e x －1→1，所以e x ＋1x （e x－1）→0，则可排除B.故选D. 10.(2019·河北六校联考)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π＜φ＜0).将f (x )的图象向左平移π3个单位长度后所得图象对应的函数为偶函数，则关于函数f (x )，下列命题正确的是( )A.函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3上有最小值B.函数f (x )的图象的一条对称轴为直线x ＝π12 C.函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3上单调递增D.函数f (x )的图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0解析：选C 将f (x )的图象向左平移π3个单位长度后所得图象对应的函数为g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＋φ，又g (x )为偶函数，－π＜φ＜0，所以φ＝－π6，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－π6＝sin π2＝1，故排除D ；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12－π6＝0，故排除B ；当－π6＜x ＜π3时，－π3＜2x ＜2π3，－π3－π6＜2x －π6＜2π3－π6，即－π2＜2x －π6＜π2，故函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3上单调递增，选C.11.如图，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则下列四个结论错误的是( )A.直线A 1C 1与AD 1为异面直线B.A 1C 1∥平面ACD 1C.BD 1⊥ACD.三棱锥D 1­ADC 的体积为83解析：选D对于A，直线A1C1⊂平面A1B1C1D1，AD1⊂平面ADD1A1，D1∉直线A1C1，则易得直线A1C1与AD1为异面直线，故A正确；对于B，因为A1C1∥AC，A1C1⊄平面ACD1，AC⊂平面ACD1，所以A1C1∥平面ACD1，故B正确；对于C，连接BD(图略)，因为正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC⊥BD，AC⊥DD1，BD∩DD1＝D，所以AC⊥平面BDD1，所以BD1⊥AC，故C正确；对于D，三棱锥D1­ADC的体积V三棱锥D1­ADC＝13×12×2×2×2＝43，故D错误.综上.故选D.12.设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x＞0时，xf′(x)－f(x)＜0，则使得f(x)＞0成立的x的取值范围是()A.(－∞，－1)∪(0，1)B.(－1，0)∪(1，＋∞)C.(－∞，－1)∪(－1，0)D.(0，1)∪(1，＋∞)解析：选A令F(x)＝f（x）x，因为f(x)为奇函数，所以F(x)为偶函数，由于F′(x)＝xf′（x）－f（x）x2，当x＞0时，xf′(x)－f(x)＜0，所以F(x)＝f（x）x在(0，＋∞)上单调递减，根据对称性，F(x)＝f（x）x在(－∞，0)上单调递增，又f(－1)＝0，f(1)＝0，数形结合可知，使得f(x)＞0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1)，故选A.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知向量a＝(1，1)，b＝(－2，3)，若k a－b与b垂直，则实数k＝________.解析：因为k a－b与b垂直，所以(k a－b)·b＝k a·b－b2＝k－13＝0，所以k ＝13.答案：1314.(2019·山东枣庄薛城区月考改编)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥1，x ＋2y ≤2，x ≤a ，目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值为2，则a ＝________，z 的最大值是________.解析：x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x ＋2y ≤2，x ≤a 的可行域如图，目标函数z ＝2x ＋3y 经过可行域内的点A 时，z 取得最小值，经过点B 时，z 取得最大值.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，2x ＋3y ＝2解得A (1，0).又点A 在直线x ＝a上，可得a ＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋2y ＝2解得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，则z 的最大值是z ＝2×1＋3×12＝72.答案：1 7215.已知三棱锥P -ABC 中，AB ⊥平面APC ，AB ＝42，P A ＝PC ＝2，AC ＝2，则三棱锥P -ABC 外接球的表面积为________.解析：∵P A ＝PC ＝2，AC ＝2，∴P A ⊥PC ，又AB ⊥平面P AC ，∴把三棱锥P ­ABC 放在如图所示的长方体中，且长方体的长、宽、高分别为2，2，42，则三棱锥P -ABC 的外接球即长方体的外接球，长方体的体对角线即长方体外接球的直径，易得长方体体对角线的长为（2）2＋（2）2＋（42）2＝6，则外接球的半径R ＝3，∴外接球的表面积S ＝4πR 2＝36π.答案：36π16.在△ABC 中，∠ABC ＝90°，延长AC 到D ，使得CD ＝AB ＝1，若∠CBD ＝30°，则AC ＝________.解析：如图，设AC ＝x (x >0)，在△BCD 中，由正弦定理得BD sin ∠BCD＝CD sin ∠CBD，所以BD ＝2sin ∠BCD ，又sin ∠BCD ＝sin ∠ACB ＝1x ，所以BD ＝2x .在△ABD 中，(x ＋1)2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－2·2x ·cos(90°＋30°)， 化简得x 2＋2x ＝2x ＋4x 2，即x 3＝2，故x ＝32，故AC ＝3 2.答案：3 2“12＋4”限时提速练(三) (满分80分，限时45分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1.已知集合A ＝{x |lg(x －2)＜1}，集合B ＝{x |x 2－2x －3＜0}，则A ∪B ＝( ) A.(2，12) B.(－1，3) C.(－1，12)D.(2，3)解析：选C 由lg(x －2)＜1＝lg 10，得0＜x －2＜10，所以2＜x ＜12，集合A ＝{x |2＜x ＜12}，由x 2－2x －3＜0得－1＜x ＜3，所以集合B ＝{x |－1＜x ＜3}，所以A ∪B ＝{x |－1＜x ＜12}.故选C.2.已知i 是虚数单位，若z ＋1i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2 020，则|z |＝( ) A.1 B. 2 C.2D. 5解析：选B 1i ＝－i i （－i ）＝－i ，1－i 1＋i ＝（1－i ）2（1＋i ）（1－i ）＝－2i 2＝－i ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－i 1＋i 2 020＝(－i)2 020＝i 2 020＝i 505×4＝i 4＝1，所以由z ＋1i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－i 1＋i 2 020，得z －i＝1，z ＝1＋i ，所以|z |＝ 2.故选B.3.在等差数列{a n }中，a 1＝1，a 6a 5＝2，则公差d 的值是( )A.－13B.13C.－14D.14解析：选A 法一：由a 6a 5＝2，得a 6＝2a 5，所以a 1＋5d ＝2(a 1＋4d )，又a 1＝1，所以d ＝－13.故选A.法二：由a 6－a 5＝d ，a 6a 5＝2，得a 5＝d ，又a 5＝a 1＋4d ，所以d ＝a 1＋4d ，又a 1＝1，所以d ＝－13.故选A.4.已知函数f (x )＝2x (x ＜0)，其值域为D ，在区间(－1，2)上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是( )A.12B.13C.14D.23解析：选B 因为函数y ＝2x 是R 上的增函数，由x ＜0得0＜2x ＜1，所以函数f (x )的值域是(0，1)，由几何概型的概率公式得，所求概率P ＝1－02－（－1）＝13.故选B.5.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1 L 汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是( )A.消耗1 L 汽油，乙车最多可行驶5 kmB.以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C.甲车以80 km/h 的速度行驶1 h ，消耗8 L 汽油D.某城市机动车最高限速80 km/h ，相同条件下，在该市用乙车比用丙车更省油解析：选C 从题图可知消耗1 L 汽油，乙车最多可行驶的里程超过了5 km ，故选项A 错误；以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车燃油效率最高，甲车消耗汽油最少，故选项B 错误；若甲车以80 km/h 的速度行驶，由题图可知“燃油效率”为10 km/L ，所以行驶1 h ，消耗8 L 汽油，所以选项C 正确；若某城市机动车最高限速80 km/h ，从题图可知，丙车比乙车“燃油效率”高，所以在相同条件下，丙车比乙车省油，选项D 错误.故选C.6.已知圆C 的圆心在坐标轴上，且经过点(6，0)及椭圆x 216＋y 24＝1的两个顶点，则该圆的标准方程为( )A.(x －2)2＋y 2＝16B.x 2＋(y －6)2＝72C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －832＋y 2＝1009 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋832＋y 2＝1009 解析：选C 由题意得圆C 经过点(0，±2)， 设圆C 的标准方程为(x －a )2＋y 2＝r 2， 由a 2＋4＝r 2，(6－a )2＝r 2， 解得a ＝83，r 2＝1009，所以该圆的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －832＋y 2＝1009.故选C.7.如图1，在三棱锥D -ABC 中，已知AC ＝BC ＝CD ＝2，CD ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°.若其正视图、俯视图如图2所示，则其侧视图的面积为( )A. 6B.2C. 3D. 2解析：选D 由题意知侧视图为直角三角形，因为正视图的高即几何体的高，所以正视图的高为2，则侧视图的高，即一直角边长也为2.因为俯视图为边长为2的等腰直角三角形，所以侧视图的另一直角边长为 2.所以侧视图的面积为 2.故选D.8.已知函数y ＝⎩⎨⎧f （x ），x ＞0，g （x ），x ＜0是偶函数，f (x )＝log a x 的图象过点(2，1)，则y ＝g (x )在(－∞，0)上对应的大致图象是( )解析：选B 因为f (x )＝log a x 的图象过点(2，1)，且恒过点(1，0)，且y ＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），x ＞0，g （x ），x ＜0是偶函数，所以y ＝g (x )在(－∞，0)上对应的图象和f (x )＝log a x 的图象关于y 轴对称，所以y ＝g (x )的图象过点(－2，1)和(－1，0).观察图象只有选项B 满足题意.9.已知点A (0，2)，抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，射线F A 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，若|FM ||MN |＝55，则p 的值等于( )A.18B.14C.2D.4解析：选C 过点M 向准线作垂线，垂足为P ，由抛物线的定义可知，|MF |＝|MP |，因为|FM ||MN |＝55，所以|MP ||MN |＝55，所以sin ∠MNP ＝55，则tan ∠MNP ＝12，又∠OF A ＋∠MNP ＝90°(O 为坐标原点)，所以tan ∠OF A ＝2＝212p ，则p ＝2.故选C.10.定义np 1＋p 2＋…＋p n为n 个正数p 1，p 2，…，p n 的“均倒数”.若已知正项数列{a n }的前n 项的“均倒数”为12n ＋1，又b n ＝a n ＋14，则1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 10b 11＝( )A.111B.112C.1011D.1112解析：选C 依题意有na 1＋a 2＋…＋a n ＝12n ＋1，即前n 项和S n ＝n (2n ＋1)＝2n 2＋n ， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4n －1，a 1＝3满足该式. 则a n ＝4n －1，b n ＝a n ＋14＝n . 因为1b n b n ＋1＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，所以1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 10b 11＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫110－111＝1011.故选C.11.如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PB⊥底面ABCD ，O 为对角线AC 与BD 的交点.若PB ＝1，∠APB ＝π3，则三棱锥P ­BCO 的外接球的表面积是( )A.2πB.4πC.6πD.8π解析：选B ∵底面ABCD 为菱形，∴AC ⊥BD ，又PB ⊥底面ABCD ，∴AC ⊥PB ，∴AC ⊥平面PBD ，∴AC ⊥PO ，即∠POC ＝π2.取PC 的中点M ，连接BM ，OM (图略).在Rt △PBC 中，MB ＝MC ＝MP ＝12PC ，在Rt △POC 中，MO ＝12PC ，则三棱锥P -BCO 的外接球的球心为M ，半径为12PC .在Rt △P AB 中，PB ＝1，∠APB ＝π3，∴BC ＝AB ＝3，∴PC ＝2，则三棱锥P ­BCO 的外接球的表面积S ＝4πR 2＝4π.故选B.12.若函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω＞0)在区间(π，2π)内没有最值，则ω的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，112∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，23 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，16∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，23 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23 解析：选B 法一：当f (x )取得最值时，ωx ＋π6＝k π＋π2，x ＝kωπ＋π3ω，k ∈Z ，依题意，得x ＝kωπ＋π3ω∉(π，2π)，因为当ω＝16时，x ＝(2＋6k )π∉(π，2π)恒成立，k ∈Z ，排除A 、C 、D.故选B.法二：因为ω＞0，π＜x ＜2π，所以ωπ＋π6＜ωx ＋π6＜2ωπ＋π6，又函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6在区间(π，2π)内没有最值，所以函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6在区间(π，2π)上单调，所以2ωπ＋π6－⎝⎛⎭⎪⎫ωπ＋π6＝ωπ＜π，0＜ω＜1，则π6＜ωπ＋π6＜7π6.当π6＜ωπ＋π6＜π2时，则2ωπ＋π6≤π2，所以0＜ω≤16；当π2≤ωπ＋π6＜7π6时，则2ωπ＋π6≤3π2，所以13≤ω≤23.故选B. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13.若函数f (x )＝x 2＋axx 3是奇函数，则常数a ＝______. 解析：函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， 则由f (x )＋f (－x )＝0，得x 2＋ax x 3＋x 2－ax－x 3＝0， 即ax ＝0，则a ＝0. 答案：014.如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为________.解析：开始，x ＝1，y ＝1，第一次循环，z ＝x ＋y ＝2，x ＝1，y ＝2；第二次循环，z ＝x ＋y ＝3，x ＝2，y ＝3；第三次循环，z ＝x ＋y ＝5，x ＝3，y ＝5；第四次循环，z ＝x ＋y ＝8，x ＝5，y ＝8；第五次循环，z ＝x ＋y ＝13，x ＝8，y ＝13；第六次循环，z ＝x ＋y ＝21，不满足条件z ＜20，退出循环.输出y x ＝138，故输出的结果为138.答案：13815.(2019·贵州黔东南一模改编)已知sin α＋3cos α＝－10，则tan 2α＝________，tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________.解析：∵(sin α＋3cos α)2＝sin 2α＋6sin αcos α＋9cos 2α＝10(sin 2α＋cos 2α)，∴9sin 2α－6sin αcos α＋cos 2α＝0，则(3tan α－1)2＝0，即tan α＝13.∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝34，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝13＋11－13＝2.答案：34 216.已知a ＞1，若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1e ，x ≤－1，a x －x ln a ，x ＞－1在(－∞，0)上单调递减，则实数a 的取值范围是________.解析：由已知条件得1a ＋ln a ≤1＋1e ， 令g (x )＝1x ＋ln x (x ＞1)， 则g ′(x )＝－1x 2＋1x ＝x －1x 2＞0， 故g (x )在(1，＋∞)上单调递增，又g (a )＝1a ＋ln a ≤1＋1e ＝g (e)，所以1＜a ≤e. 经验证，满足题意. 答案：(1，e]“12＋4”限时提速练(四) (满分80分，限时45分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1.设全集U ＝R ，集合A ＝{x |－3＜x ＜1}，B ＝{x |x ＋1≥0}，则∁U (A ∪B )＝( )A.{x |x ≤－3或x ≥1}B.{x |x ＜－1或x ≥3}C.{x |x ≤3}D.{x |x ≤－3}解析：选D因为B＝{x|x≥－1}，A＝{x|－3＜x＜1}，所以A∪B＝{x|x＞－3}，所以∁U(A∪B)＝{x|x≤－3}.故选D.2.若复数z满足(3＋4i)z＝25i，其中i为虚数单位，则z的虚部是()A.3iB.－3iC.3D.－3解析：选D因为(3＋4i)z＝25i，所以z＝25i3＋4i＝25i（3－4i）（3＋4i）（3－4i）＝25i（3－4i）25＝4＋3i，所以z＝4－3i，所以z的虚部为－3.故选D.3.高铁、扫码支付、共享单车、网购被称为中国的“新四大发明”，为评估共享单车的使用情况，选了n座城市作试验基地.这n座城市共享单车的使用量(单位：人次/天)分别为x1，x2，…，x n，下面给出的指标中可以用来评估共享单车使用量的稳定程度的是()A.x1，x2，…，x n的平均数B.x1，x2，…，x n的标准差C.x1，x2，…，x n的最大值D.x1，x2，…，x n的中位数解析：选B平均数、中位数可以反映一组数据的集中程度；方差、标准差可以反映一组数据的波动大小，同时也即反映这组数据的稳定程度.故选B.4.已知数列{a n}为等比数列，首项a1＝4，数列{b n}满足b n＝log2a n，且b1＋b2＋b3＝12，则a4＝()A.4B.32C.108D.256解析：选D设等比数列{a n}的公比为q，由题意知q＞0，又首项a1＝4，所以数列{a n}的通项公式为a n＝4·q n－1，又b n＝log2a n，所以b n＝log2(4·q n－1)＝2＋(n－1)·log2q，所以{b n}为等差数列，则b1＋b2＋b3＝3b2＝12，所以b2＝4，由b2＝2＋(2－1)log2q＝4，解得q＝4，所以a4＝4×44－1＝44＝256.故选D.5.椭圆x 225＋y 216＝1的焦点为F 1，F 2，P 为椭圆上一点，若∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积是( )A.1633B.3233C.16 3D.32 3解析：选A 法一：由椭圆x 225＋y 216＝1的焦点为F 1，F 2知，|F 1F 2|＝2c ＝6，在△F 1PF 2中，不妨设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则|PF 1|＋|PF 2|＝m ＋n ＝2a ＝10，在△F 1PF 2中，由余弦定理|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos ∠F 1PF 2，得(2c )2＝m 2＋n 2－2m ·n cos 60°，即4c 2＝(m ＋n )2－3mn ＝4a 2－3mn ，解得mn ＝643，所以S △F 1PF 2＝12·|PF 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2＝12mn sin 60°＝1633.故选A.法二：由椭圆的焦点三角形的面积公式S △F 1PF 2＝b 2·tan θ2(其中P 为椭圆上的点，F 1，F 2为椭圆的左、右焦点，θ＝∠F 1PF 2)得S △F 1PF 2＝b 2·tan θ2＝16×tan 60°2＝1633.故选A.6.已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3，则下列结论正确的是( ) A.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移7π12个单位长度，得到曲线C 2B.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2C.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移7π12个单位长度，得到曲线C 2D.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π6个单位长度，得到曲线C 2解析：选C 把曲线C 1：y ＝cos x 上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象，再把图象向右平移7π12个单位长度，得到函数y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－7π12＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3的图象，即得曲线C 2.故选C.7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说：“你们四人中有两位优秀，两位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩”.看后甲对大家说：“我还是不知道我的成绩”.根据以上信息，则( )A.乙可以知道四人的成绩B.丁可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩解析：选D 若乙、丙均优秀(或良好)，则根据四人中两人优秀两人良好可知，甲、丁均良好(或优秀)，所以甲看后应该知道自己的成绩，但这与题意矛盾，从而乙、丙必一人优秀一人良好，进而可知甲、丁也必一人优秀一人良好.于是，根据乙知道丙的成绩，丁知道甲的成绩，易知乙、丁可以知道自己的成绩.故选D.8.设函数f (x )＝2ln(x ＋x 2＋1)＋3x 3(－2＜x ＜2)，则使得f (2x )＋f (4x －3)＞0成立的x 的取值范围是( )A.(－1，1)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，54解析：选B 因为f (x )＝2ln(x ＋x 2＋1)＋3x 3，－2＜x ＜2，f (x )＋f (－x )＝[2ln(x＋x 2＋1)＋3x 3]＋[2ln(－x ＋（－x ）2＋1)＋3(－x )3]＝2[ln(x ＋x 2＋1)＋ln(－x ＋x 2＋1)]＝2ln 1＝0，所以f (x )为奇函数.易得f (x )在(－2，2)上单调递增.所以f (2x )＋f (4x －3)＞0可转化为f (2x )＞－f (4x －3)＝f (3－4x )，则由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－2＜2x ＜2，－2＜3－4x ＜22x ＞3－4x ，，解得12＜x ＜1.故选B. 9.已知变量x ，y 满足⎩⎨⎧x －2y ＋4≤0，x ≥2，x ＋y －6≥0，则k ＝y ＋1x －3的取值范围是()A.k ＞12或k ≤－5 B.－5≤k ＜12 C.－5≤k ≤12D.k ≥12或k ≤－5解析：选A由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≤0，x ≥2，x ＋y －6≥0作出可行域，如图中阴影部分所示，其中A (2，4)，k ＝y ＋1x －3的几何意义为可行域内的动点(x ，y )与定点P (3，－1)连线的斜率，∵k P A ＝4－（－1）2－3＝－5，x －2y＋4＝0的斜率为12，由图可知，k ≤－5或k ＞12.故选A.10.魔法箱中装有6张卡片，上面分别写着如下6个定义域为R 的函数：f 1(x )＝2x ，f 2(x )＝2x ，f 3(x )＝x 2，f 4(x )＝sin x ，f 5(x )＝cos x ，f 6(x )＝1－2x1＋2x.现从魔法箱中任取2张卡片，将卡片上的函数相乘得到一个新函数，所得新函数为奇函数的概率是( )A.25B.35C.12D.13解析：选A 由题意知，在已知的6个函数中，奇函数有f 1(x )，f 4(x )，f 6(x )，共3个；偶函数有f 3(x )，f 5(x )，共2个；非奇非偶函数为f 2(x ).则从6张卡片中任取2张，根据函数奇偶性的性质知，函数乘积为奇函数的有f 1(x )·f 3(x )，f 1(x )·f 5(x )，f 4(x )·f 3(x )，f 4(x )·f 5(x )，f 6(x )·f 3(x )，f 6(x )·f 5(x )，共6个，而已知的6个函数任意2个函数相乘，可得15个新函数，所以所求事件的概率P ＝615＝25.故选A.11.已知数列{a n }满足2a n ＋1＋a n ＝3(n ≥1)，且a 3＝134，其前n 项和为S n ，则满足不等式|S n －n －6|＜1123的最小整数n 是( )A.8B.9C.10D.11解析：选C 由2a n ＋1＋a n ＝3，得2(a n ＋1－1)＋(a n －1)＝0，即a n ＋1－1a n －1＝－12，又a 3＝134，所以a 3－1＝94，代入上式，有a 2－1＝－92，a 1－1＝9，所以数列{a n －1}是首项为9，公比为－12的等比数列.所以|S n －n －6|＝|(a 1－1)＋(a 2－1)＋…＋(a n －1)－6|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪9×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n 1－⎝⎛⎭⎪⎫－12－6＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＜1123，又n ∈N *，所以n 的最小值为10.故选C.12.已知三棱锥P -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，PC 是球O 的直径.若平面PCA ⊥平面PCB ，P A ＝AC ，PB ＝BC ，三棱锥P -ABC 的体积为a ，则球O 的体积为( )A.2πaB.4πaC.23πa D.43πa解析：选B 设球O 的半径为R ，因为PC 为球O 的直径，P A ＝AC ，PB ＝BC ，所以△P AC ，△PBC 均为等腰直角三角形，点O 为PC 的中点，连接AO ，OB (图略)，所以AO ⊥PC ，BO ⊥PC ，因为平面PCA ⊥平面PCB ，平面PCA ∩平面PCB ＝PC ，所以AO ⊥平面PCB ，所以V三棱锥P -ABC＝13·S △PBC ·AO ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×PC ×BO ×AO ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2R ×R ×R ＝13R 3＝a ，所以球O 的体积V ＝43πR 3＝4πa .故选B.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知e 1，e 2为单位向量且夹角为2π3，设a ＝3e 1＋2e 2，b ＝3e 2，则a 在b 方向上的投影为________.解析：因为a ＝3e 1＋2e 2，b ＝3e 2，所以a ·b ＝(3e 1＋2e 2)·3e 2＝9e 1·e 2＋6e 22＝9×1×1×cos 2π3＋6＝32，又|b |＝3，所以a 在b 方向上的投影为a ·b |b |＝323＝12.答案：1214.已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )的图象与直线x －y ＋1＝0相切，则实数a 的值为________.解析：设直线x －y ＋1＝0与函数f (x )＝ln x －ax 的图象的切点为P (x 0，y 0)，因为f ′(x )＝1x －a ，所以由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0＋1＝0，f ′（x 0）＝1x 0－a ＝1，f （x 0）＝ln x 0－ax 0＝y 0，解得a ＝1e 2－1.答案：1e 2－115.已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过点F 向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为P ，交另一条渐近线于点Q ，若5PF ―→＝3FQ ―→，则双曲线E 的离心率为________.解析：由题意知，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F 的坐标为(c ，0)，设一条渐近线OP (O 为坐标原点)的方程为y ＝ba x ，另一条渐近线OQ 的方程为y ＝－b a x ，不妨设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，b a m ，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，－b a n ，由5PF ―→＝3FQ ―→，得⎩⎨⎧5（c －m ）＝3（n －c ），5⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a m ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝45c ，n ＝43c ，因为OP ⊥FP ，所以k PF ＝－ba m c －m ＝－ab ，解得a 2＝4b 2，所以e 2＝c 2a 2＝1＋b 2a 2＝54，故双曲线E 的离心率e ＝52.答案：5216.(2018·浙江高考)已知λ∈R ，函数f (x )＝⎩⎨⎧x －4，x ≥λ，x 2－4x ＋3，x <λ.当λ＝2时，不等式f (x )<0的解集是________.若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是________.解析：当λ＝2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≥2，x 2－4x ＋3，x <2，其图象如图①所示.由图知f (x )<0的解集为(1，4).f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≥λ，x 2－4x ＋3，x <λ恰有2个零点有两种情况：①二次函数有两个零点，一次函数无零点； ②二次函数与一次函数各有一个零点.在同一平面直角坐标系中画出y ＝x －4与y ＝x 2－4x ＋3的图象如图②所示，平移直线x ＝λ，可得λ∈(1，3]∪(4，＋∞).答案：(1，4) (1，3]∪(4，＋∞)“12＋4”限时提速练(五) (满分80分，限时45分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1.已知复数z 满足(3＋4i)z ＝7＋i ，则z ＝( ) A.1＋i B.1－i C.－1－iD.－1＋i解析：选B 法一：依题意得z ＝7＋i3＋4i ＝（7＋i ）（3－4i ）（3＋4i ）（3－4i ）＝1－i.故选B.法二：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，因为(3＋4i)z ＝7＋i ，所以(3＋4i)(a ＋b i)＝7＋i ，所以3a －4b ＋(3b ＋4a )i ＝7＋i ，由复数相等得⎩⎪⎨⎪⎧3a －4b ＝7，3b ＋4a ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，所以z ＝1－i.故选B.2.已知集合A ＝{x |x 2－4|x |≤0}，B ＝{x |x >0}，则A ∩B ＝( ) A.(0，4] B.[0，4] C.[0，2]D.(0，2]解析：选A 由x 2－4|x |≤0得0≤|x |≤4，所以－4≤x ≤4，即A ＝[－4，4]，因为B ＝(0，＋∞)，所以A ∩B ＝(0，4].故选A.3.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝12，S 5＝90，则等差数列{a n }的公差d ＝( )A.2B.32C.3D.4解析：选C 法一：依题意，5×12＋5×42d ＝90，解得d ＝3.故选C. 法二：因为等差数列{a n }中，S 5＝90，所以5a 3＝90，即a 3＝18，因为a 1＝12，所以2d ＝a 3－a 1＝18－12＝6，所以d ＝3.故选C.4.设向量a ＝(1，－2)，b ＝(0，1)，向量λa ＋b 与向量a ＋3b 垂直，则实数λ＝( )A.12B.1C.－1D.－12解析：选B 法一：因为a ＝(1，－2)，b ＝(0，1)，所以λa ＋b ＝(λ，－2λ＋1)，a ＋3b ＝(1，1)，由已知得(λ，－2λ＋1)·(1，1)＝0，所以λ－2λ＋1＝0，解得λ＝1.故选B.法二：因为向量λa ＋b 与向量a ＋3b 垂直，所以(λa ＋b )·(a ＋3b )＝0， 所以λ|a |2＋(3λ＋1)a ·b ＋3|b |2＝0，因为a ＝(1，－2)，b ＝(0，1)，所以|a |2＝5，|b |2＝1，a ·b ＝－2，所以5λ－2(3λ＋1)＋3×1＝0，解得λ＝1.故选B.5.已知α是第一象限角，sin α＝2425，则tan α2＝( ) A.－43B.43C.－34D.34解析：选D 因为α是第一象限角，sin α＝2425，所以cos α＝1－sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫24252＝725，所以tan α＝sin αcos α＝247，tan α＝2tan α21－tan 2α2＝247，整理得12tan 2α2＋7tan α2－12＝0，解得tan α2＝34或tan α2＝－43(舍去).故选D.6.陕西省西安市周至县的旅游景点楼观台，号称“天下第一福地”，是我国著名的道教胜迹，古代圣哲老子曾在此著《道德经》五千言.景区内有一处景点建筑，是按古典著作《连山易》中记载的金、木、水、火、土之间相生相克的关系来建造的，如图所示，现从五种不同属性的物质中任取两种，则取出的两种物质恰好是相克关系的概率为( )A.23B.12C.15D.25解析：选B 从五种不同属性的物质中任取两种，所有可能的取法共有10种，取出两种物质恰好是相克关系的基本事件有5种，则取出两种物质恰好是相克关系的概率P ＝510＝12.故选B.7.已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π8上单调递增，则ω的最大值为( )A.12 B.1 C.2D.4解析：选C 法一：因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π8，所以ωx ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，ωπ8＋π4，因为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π8上单调递增，所以ωπ8＋π4≤π2，所以ω≤2，即ω的最大值为2.故选C.法二：逐个选项代入函数f (x )进行验证，选项D 不满足条件，选项A 、B 、C 满足条件f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π8上单调递增，所以ω的最大值为2.故选C.8.瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上.这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作△ABC ，△ABC 中，AB ＝AC ＝4，点B (－1，3)，点C (4，－2)，且其“欧拉线”与圆(x －3)2＋y 2＝r 2相切，则该圆的直径为( )A.1B. 2C.2D.2 2解析：选D 依题意，△ABC 的外心、重心、垂心均在边BC 的高线上，又BC 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，直线BC 的斜率为k BC ＝－2－34＋1＝－1，因此△ABC 的“欧拉线”方程是y －12＝x －32，即x －y －1＝0.易知圆心(3，0)到直线x －y －1＝0的距离等于r ＝22＝2，所以该圆的直径为2 2.故选D. 9.函数f (x )＝x 2－ln x 的最小值为( ) A.1＋ln 2 B.1－ln 2 C.1＋ln 22D.1－ln 22解析：选C 因为f (x )＝x 2－ln x (x >0)，所以f ′(x )＝2x －1x ，令2x －1x ＝0得x ＝22，令f ′(x )>0，则x >22；令f ′(x )<0，则0<x <22.所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞上单调递增，所以f (x )的极小值(也是最小值)为⎝ ⎛⎭⎪⎫222－ln 22＝1＋ln 22.故选C.10.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a ＝3b ，A －B ＝π2，则角C ＝( )A.π12B.π6C.π4D.π3解析：选B 因为△ABC 中，A －B ＝π2，所以A ＝B ＋π2，所以sin A ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π2＝cos B ，因为a ＝3b ，所以由正弦定理得sin A ＝3sin B ，所以cos B ＝3sin B ，所以tan B ＝33，因为B ∈(0，π)，所以B ＝π6，所以C ＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π2－π6＝π6.故选B.11.在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点A 关于平面BDC 1的对称点为M ，则M 到平面A 1B 1C 1D 1的距离为( )A.32B.54C.43D.53解析：选D 法一：依题意，点M 在平面ACC 1A 1上，如图，取AC 的中点O ，连接C 1O 并延长，与过A 且垂直于C 1O 的直线交于N ，取MN ＝AN ，过M 作AC 的垂线MP 交AC 于P ，交A 1C 1于Q ，MQ 的长等于点A 关于平面BDC 1的对称点M 到平面A 1B 1C 1D 1的距离，因为正方体的棱长为1，所以CC 1＝1，OA ＝OC ＝22.在Rt △OCC 1中，由勾股定理得OC 1＝OC2＋CC 21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫222＋12＝62，cos。

2020高考虽然延迟，但是练习一定要跟上，加油，少年！一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．要使函数ｙ＝ｘ２－２ａｘ＋１在［１，２］上存在反函数，则a 的取值范围是CA ．ａ≤１B ．ａ≥２C ．ａ≤１或ａ≥２D ．１≤ａ≤２2．已知α－β＝3π且ｃｏｓα－ｃｏｓβ＝31，则ｃｏｓ（α＋β）等于CA ．31 B ．32 C ．97 D ．98 3．先作与函数ｙ＝ｌｇx-21的图象关于原点对称的图象，再将所得图象向右平移２个单位得图象Ｃ１，又ｙ＝ｆ（ｘ）的图象C ２与C １关于y=x 对称，则ｙ＝ｆ（ｘ）的解析式是 AA.ｙ＝１０ｘB.ｙ＝１０ｘ－２C.ｙ＝ｌｇｘD.ｙ＝ｌｇ（ｘ－２）4.两个复数ｚ１＝ａ１＋ｂ１ｉ，ｚ２＝ａ２＋ｂ２ｉ（ａ１、ａ２、ｂ１、ｂ２都是实数且ｚ１≠０，ｚ２≠０），对应的向量21OZ OZ 和在同一直线上的充要条件是D A.12211-=⋅a b a b B.02121=+b b a a C.2121b ba a = D.1221b a b a =5.已知ｘ，ｙ∈Ｒ＋，且111=+yx ,则ｘ＋４ｙ的取值范围是B A.［８，＋∞］ B.［９，＋∞］ C.（０，１）∪［９，＋∞］ D.［１，９)6.函数ｙ＝ｓｉｎ（ｋπｘ）＋２ｃｏｓ（ｋπｘ）的最小正周期T ＝１，则实数k 的值可以等于DA.πB.2πC.１D.２7.已知数列｛ａｎ｝为等差数列，前n 项和为S ｎ，数列｛ｂｎ｝为等差数列，前n 项和为T ｎ，且==∞→∞→nn n n n n T Sb a lim ,32lim则，B A.－32 B.32 C.－94 D. 948.直线⎪⎩⎪⎨⎧+=-=ty tx 4322（ｔ为参数）的倾角是DA.ａｒｃｔｇ（－21） B.ａｒｃｔｇ（－２）C.π－ａｒｃｔｇ21D.π－ａｒｃｔｇ29.椭圆的短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形，则椭圆的离心率e 为A A.1010 B.1717 C.13132 D.3737 10．长方体ABCD —A １B 1C １D １中，E 、F 分别为C １Ｂ１，Ｄ１Ｂ１的中点，且ＡＢ＝ＢＣ，ＡＡ１＝２ＡＢ，则CE 与BF 所成角的余弦值是D A.1010 B. 10103 C. 3434 D. 3434511.双曲线的渐近线方程为ｙ＝±２（ｘ－１），一焦点坐标为（１＋２5，０），则该双曲线的方程是B A．116)1(422=--y x B.1164)1(22=--y x C.1416)1(22=--y x D.116)1(422=--y x 12.若一个圆锥有三条母线两两成60°角，则此圆锥侧面展开图所成扇形的圆心角为BA.πB.π332 C.π362 D.π3 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上)13.(1－３ａ＋２ｂ)５展开式中不含b 的项系数之和是 -32 .14.已知f (x )=｜ｌｏｇ３ｘ｜当０＜ａ＜２时，有ｆ（ａ）＞ｆ（２），则a 的取值范围是 0<a<1/2 .15.直线l 过点A (0,-1)，且点B (-2,1)到l 距离是点C (1，2)到l 的距离的两倍，则直线l 的方程是 y = x - 1 或x=0 .一、 选择题：每小题5分，共60分。

(二)数列1.(2019·全国Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列{a n}的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3等于()A.16B.8C.4D.22.(2019·榆林模拟)在等差数列{a n}中，其前n项和为S n，且满足a3＋S5＝12，a4＋S7＝24，则a5＋S9等于()A.24B.32C.40D.723.(2019·肇庆检测)记S n为等差数列{a n}的前n项和，公差d＝2，a1，a3，a4成等比数列，则S8等于()A.－20B.－18C.－10D.－84.(2019·河南百校联盟考试)已知等差数列{a n}满足a1＝32，a2＋a3＝40，则{|a n|}的前12项之和为()A.－144B.80C.144D.3045.(2019·毛坦厂中学联考)已知等差数列{a n}满足a3＝3，a4＋a5＝a8＋1，数列{b n}满足b n a n＋1a n ＝a n＋1－a n，记数列{b n}的前n项和为S n，若对于任意的a∈[－2,2]，n∈N*，不等式S n<2t2＋at－3恒成立，则实数t的取值范围为()A.(－∞，－2]∪[2，＋∞)B.(－∞，－2]∪[1，＋∞)C.(－∞，－1]∪[2，＋∞)D.[－2,2]6.(2019·淄博实验中学诊断)已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝2，S n＋1＝2S n－1(n∈N*)，则a10等于()A.128B.256C.512D.1 0247.(2019·南充质检)已知数列{a n}满足a1＝0，a n＋1＝a n－33a n＋1(n∈N*)，则a56等于()A.－ 3B.0C. 3D.3 28.《张丘建算经》是中国古代数学史上的杰作，该书中有首古民谣记载了一数列问题：“南山一棵竹，竹尾风割断，剩下三十节，一节一个圈.头节高五寸①，头圈一尺三②.逐节多三分③，逐圈少分三④.一蚁往上爬，遇圈则绕圈.爬到竹子顶，行程是多远？”(注释：①第一节的高度为0.5尺；②第一圈的周长为1.3尺；③每节比其下面的一节多0.03尺；④每圈周长比其下面的一圈少0.013尺)问：此民谣提出的问题的答案是()A.72.705尺B.61.395尺C.61.905尺D.73.995尺9.已知数列{a n }是各项均为正数的等比数列，S n 是其前n 项和，若S 2＋a 2＝S 3－3，则a 4＋3a 2的最小值为( )A.12B.9C.6D.1810.已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n (n ∈N *)，数列{b n }的通项公式为b n ＝3n －1，记它们的公共项由小到大排成的数列为{c n }，令x n ＝c n 1＋c n ，则1x 1…x n －1x n的取值范围为( ) A.[1,2) B.(1，e) C.233,e 2⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.⎣⎡⎭⎫32，e 11.(2019·成都模拟)在正项等比数列{a n }中，a 5＝12，a 6＋a 7＝3.则满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n >a 1a 2a 3…a n 的最大正整数n 的值为( )A.10B.11C.12D.1312.(2019·烟台模拟)对于任意实数x ，符号[x ]表示不超过x 的最大整数，例如[3]＝3，[－1.2]＝－2，[1.2]＝1.已知数列{a n }满足a n ＝[log 2n ]，其前n 项和为S n ，若n 0是满足S n >2 018的最小整数，则n 0的值为( )A.305B.306C.315D.31613.(2019·全国Ⅲ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 1≠0，a 2＝3a 1，则S 10S 5＝________. 14.(2019·北京朝阳区模拟)天坛公园是明、清两代皇帝“祭天”“祈谷”的场所.天坛公园中的圜丘台共有三层(如图1所示)，上层坛的中心是一块呈圆形的大理石板，从中心向外围为扇面形石(如图2所示).上层坛从第一环至第九环共有九环，中层坛从第十环至第十八环共有九环，下层坛从第十九环至第二十七环共有九环；第一环的扇面形石有9块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多9块，则第二十七环的扇面形石块数是________；上、中、下三层坛所有的扇面形石块数是________.15.(2019·东北三省四市模拟)已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝na n n ＋1＋2a n (n ∈N *)，则∑k ＝1n 1a k ＝________.16.(2019·钟祥模拟)对于实数x ，[x ]表示不超过x 的最大整数，已知正数数列{a n }满足S n ＝12⎝⎛⎭⎫a n ＋1a n ，n ∈N *，其中S n 为数列{a n }的前n 项和，则⎣⎡⎦⎤1S 1＋1S 2＋…＋1S 121＝________.。

2020届高三数学（理）“小题速练”1513. 14. 15. 16.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x ∈R |x ＋1＞0}，B ＝{x ∈Z |x ≤1}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |－1＜x ≤1} B ．{x |0≤x ≤1}C ．{0，1}D ．{1}2．若复数z ＝i1＋i (i 为虚数单位)，则z ·z ＝( )A.12i B ．－14C.14D ．123．已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝2cos(π－α)，则tan(π4＋α)＝( ) A ．－3 B ．3 C ．－13D ．134．下列说法中正确的是( )A ．若数列{a n }为常数列，则{a n }既是等差数列又是等比数列B ．若函数f (x )为奇函数，则f (0)＝0C ．在△ABC 中，A ＞B 是sin A ＞sin B 的充要条件D ．若两个变量x ，y 的相关系数为r ，则r 越大，x 与y 之间的相关性越强． 5．已知非零向量a 与b 的夹角为2π3，且|b |＝1，|a ＋2b |＝2，则|a |＝( )A ．1B ．2 C. 3 D ．2 3 6．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x )＝f (2－x )，当x ∈[0，1]时，f (x )＝4x －1，则f ⎝⎛⎭⎫52＝( )A ．1B ．0C ．－1D ．－127.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分成阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是( )A.516 B ．1132C.2132D ．11168．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，点F 为左焦点，点P 为下顶点，平行于FP 的直线l交椭圆于A ，B 两点，且AB 的中点为M ⎝⎛⎭⎫1，12，则椭圆的离心率为( ) A.12 B ．22 C.14D ．329．已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，点A (0，3)，B ⎝⎛⎭⎫π6，0，则函数f (x )图象的一条对称轴为( )A ．x ＝－π3B ．x ＝－π12C ．x ＝π18D ．x ＝π2410．函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )11．我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在封闭的鳖臑P -ABC 内有一个体积为V 的球，若P A ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，P A ＝AB ＝BC ＝1，则V 的最大值是( )A.52＋36πB ．5π3C.52－76πD ．32π312．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n (n ∈N *)，数列{b n }的通项公式为b n ＝3n －1，记它们的公共项由小到大排成的数列为{c n }，令x n ＝c n 1＋c n ，则1x 1…x n －1x n的最小值为( )A ．1B ．32C ．2D ．e二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在4次试验中成功次数X 的均值是________．14．记S n 为正项数列{a n }的前n 项和，且a n ＋1＝2S n ，则S 2 019＝________． 15．已知双曲线C ：x 2－4y 2＝1，过点P (2，0)的直线l 与C 有唯一公共点，则直线l 的方程为________________．16．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，O ，O 1分别为底面ABCD 和A 1B 1C 1D 1的中心，记四棱锥O 1 -ABCD 和O -A 1B 1C 1D 1的公共部分的体积为V ，则体积V 的值为________．2020届高三数学（理）“小题速练”15（答案解析）1．解析：选C.由题知A ＝{x ∈R |x ＞－1}，B ＝{x ∈Z |x ≤1}，∴A ∩B ＝{x ∈Z |－1＜x ≤1}，∴A ∩B ＝{0，1}，故选C.2．解析：选D.解法一：∵z ＝i 1＋i＝i （1－i ）2＝1＋i 2＝12＋i 2，∴z ＝12－i 2，∴z ·z ＝⎝⎛⎭⎫12＋i 2⎝⎛⎭⎫12－i 2＝12，故选D. 解法二：z ·z ＝|z |2＝|i|2|1＋i|2＝12，故选D. 3．解析：选A.∵cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝2cos(π－α)，∴－sin α＝－2cos α，∴tan α＝2，∴tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝1＋tan α1－tan α＝－3，故选A. 4．解析：选C.因为a n ＝0时，数列{a n }不是等比数列，所以选项A 错误；当奇函数f (x )的定义域中没有数值0时，f (0)没有意义，所以选项B 错误；在△ABC 中，A ＞B ，则a ＞b ，则sin A ＞sin B ，反之亦然，所以在△ABC 中，A ＞B 是sin A ＞sin B 的充要条件，所以选项C 正确；|r |越大，两个变量的相关性越强，|r |越接近0，两个变量的相关性越弱，所以选项D 错误．5．解析：选B.解法一：∵|a ＋2b |＝2，∴|a |2＋4a ·b ＋4|b |2＝4，又a 与b 的夹角为2π3，|b |＝1，∴|a |2－2|a |＋4＝4，∴|a |2－2|a |＝0，又a ≠0，∴|a |＝2，故选B.解法二：在如图所示的平行四边形中，∵|b |＝1，∴|2b |＝2，又a 与b 的夹角为2π3，|a ＋2b |＝2，∴此平行四边形是菱形，∴|a |＝2，故选B.6．解析：选C.∵f (x )＝f (2－x )， ∴f ⎝⎛⎭⎫52＝f (－12)，又f (x )是奇函数， ∴f ⎝⎛⎭⎫52＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫12，∵0≤x ≤1时，f (x )＝4x －1，∴f ⎝⎛⎭⎫12＝1，∴f ⎝⎛⎭⎫52＝－1，故选C.7．解析：选A.由6个爻组成的重卦种数为26＝64，在所有重卦中随机取一重卦，该重卦恰有3个阳爻的种数为C 36＝6×5×46＝20.根据古典概型的概率计算公式得，所求概率P ＝2064＝516.故选A. 8．解析：选B.∵FP 的斜率为－b c ，FP ∥l ，∴直线l 的斜率为－bc.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b 2＝1x 22a 2＋y 22b 2＝1得y 21b 2－y 22b 2＝－⎝⎛⎭⎫x 21a 2－x 22a 2，即y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2（x 1＋x 2）a 2（y 1＋y 2）.∵AB 的中点为M ⎝⎛⎭⎫1，12∴－b c ＝－2b 2a 2，∴a 2＝2bc ，∴b 2＋c 2＝2bc ，∴b ＝c ，∴a ＝2c ，∴椭圆的离心率为22，故选B.9．解析：选D.∵函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)的图象过点A (0，3)，∴2cos φ＝3，即cos φ＝32，∴φ＝2k π±π6(k ∈Z )．∵|φ|＜π2，∴φ＝±π6，由函数f (x )的图象知φω＜0，又ω＞0，∴φ＜0，∴φ＝－π6，∴f (x )＝2cos(ωx －π6)．∵f (x )＝2cos (ωx －π6)的图象过点B ⎝⎛⎭⎫π6，0，∴cos （ω－1）π6＝0，∴（ω－1）π6＝m π＋π2(m ∈Z )，∴ω＝6m ＋4(m ∈Z )，∴ω＞0，πω＞π6，∴0＜ω＜6，∴ω＝4，∴f (x )＝2cos(4x －π6)．∵x ＝π24时，f (x )＝1，∴x ＝π24为函数f (x )图象的一条对称轴，故选D.10.解析：选D.观察导函数f ′(x )的图象可知，f ′(x )的函数值从左到右依次为小于0，大于0，小于0，大于0，∴对应函数f (x )的增减性从左到右依次为减、增、减、增．观察选项可知，排除A ，C.如图所示，f ′(x )有3个变号零点，从左到右依次设为x 1，x 2，x 3，且x 1，x 3是极小值点，x 2是极大值点，且x 2＞0，故选项D 正确．故选D.11．解析：选C.球与三棱锥的四个面均相切时球的体积最大，设此时球的半径为R ，则V三棱锥P －ABC ＝13·R ·(S △ABC ＋S △P AB ＋S △P AC ＋S △PBC )，即13×12×1×1×1＝13×R ×(12×1×1＋12×1×1＋12×1×2＋12×1×2)，解得R ＝2－12.所以球的体积V 的最大值为43π⎝ ⎛⎭⎪⎫2－123＝52－76π.故选C.12．解析：选B.由题意知，{a n }，{b n }的共同项为2，8，32，128，…，易知c n ＝22n －1，c 1＝2.由x n ＝c n 1＋c n ，得1x n ＝1＋1c n ，1x 1…x n －1x n ＝⎝⎛⎭⎫1＋1c 1⎝⎛⎭⎫1＋1c 2…⎝⎛⎭⎫1＋1c n .令F n ＝1x 1…x n －1x n ，则当n ≥2时，F n F n －1＝1x n>1，故数列{F n }是递增数列， ∴1x 1x 2…x n －1x n ≥1＋1c 1，即1x 1…x n －1x n ≥32.故选B.13．解析：同时抛掷两枚质地均匀的硬币，可能的结果有(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，所以在1次试验中正面向上的次数ξ的取值为0，1，2，其中P (ξ＝0)＝14，P (ξ＝1)＝12，P (ξ＝2)＝14，在1次试验中成功的概率为P (ξ≥1)＝14＋12＝34，依题意在4次试验中成功的次数X ～B ⎝⎛⎭⎫4，34，即E (X )＝4×34＝3. 答案：314．解析：依题意，4S n ＝(a n ＋1)2， ①当n ＝1时，4a 1＝(a 1＋1)2，a 1＝1，当n ≥2时，4S n －1＝(a n －1＋1)2， ②①－②得：4a n ＝(a n ＋1)2－(a n －1＋1)2，即a 2n －a 2n －1－2(a n ＋a n －1)＝0，所以(a n －a n －1－2)(a n ＋a n －1)＝0.又a n >0，所以a n －a n －1＝2，{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列，所以a n ＝2n －1，S 2 019＝2 019×（1＋2×2 019－1）2＝2 0192.答案：2 019215．解析：∵双曲线C 的方程为x 2－4y 2＝1，∴a ＝1，b ＝12，∴渐近线方程为y ＝±12x .∵P (2，0)在双曲线内部且直线l 与双曲线有唯一公共点，∴直线l 与双曲线的渐近线平行，∴直线l 的斜率为±12，∴直线l 的方程为y ＝±12(x －2)．答案：y ＝±12(x －2)16．解析：如图所示，四棱锥O -A 1B 1C 1D 1和四棱锥O 1 -ABCD 的公共部分是同底等高的四棱锥O 1 -EFGH 和四棱锥O -EFGH 的组合体，其中，四边形EFGH 是边长为a2的正方形，OO 1＝a ，所以公共部分的体积V ＝2×13×⎝⎛⎭⎫a 22×a 2＝a 312.答案：a 312。