2013年新课标2理科数学试卷及答案

2013年普通高等学校招生全国统一考试( 新课标Ⅱ)数学(理科)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题。

每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合{}{}2|(1)4,,1,0,1,2,3M x x x R N =-<∈=-，则=N M（A ）{}2,1,0 （B ）{}2,1,0,1- （C ）{}3,2,0,1- （D ）{}3,2,1,02．设复数z 满足(1)2i z i -=，则=z（A ）-1+i （B ）-1-i （C ）1+i （D ）1-i3．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12310a a S +=，95=a ，则=1a（A ）31 （B ）31- （C ）91 （D ）91- 4．已知n m ,为异面直线，⊥m 平面α，⊥n 平面β。

直线l 满足,,,l m l n l l αβ⊥⊥⊄⊄，则（A ）βα//，且α//l （B ）βα⊥，且β⊥l （C ）α与β相交，且交线垂直于l （D ）α与β相交，且交线平行于l5．已知5)1)(1(x ax ++的展开式中2x 的系数为5，则=a（A ）4- （B ）3- （C ）2- （D ）1-6．执行右面的程序框图，如果输入的10N =，那么输出的S = （A ）1111+2310+++…… （B ）1111+2310+++……！！！ （C ）1111+2311+++…… （D ）1111+2311+++……！！！ 7．一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0)画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到正视图可以为(A) (B) (C)(D)8．设357log 6,log 10,log 14a b c ===，则（A ）c b a >> （B ）b c a >> （C ）a c b >> （D ）a b c >>9．已知0a >，,x y 满足约束条件13(3)x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，若2z x y =+的最小值为1，则a =（A ）14 （B ） 12 （C ）1 （D ）210．已知函数32()f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是（A ）0x ∃∈R ，0()0f x = （B ）函数()y f x =的图像是中心对称图形（C ）若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间0(,)x -∞上单调递减[来源:学&科&网] （D ）若0x 是()f x 的极值点，则0'()0f x =11．设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点M 在C 上，5MF =，若以MF 为直径的圆过点)2,0(，则C 的方程为（A ）24y x =或28y x = （B ）22y x =或28y x =（C ）24y x =或216y x = （D ）22y x =或216y x =12．已知点(1,0),(1,0),(0,1)A B C -，直线(0)y ax b a =+>将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是（A ）(0,1)(B) 1(1)2( C) 1(1]3(D) 11[,)32 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题，每个试题考生都必修作答。

2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)数 学 (理科)第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题。

每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知集合2{|(1)4,}M x x x R =-<∈，{1,0,1,2,3}N =-，则MN =（ ）（A ）{0,1,2} （B ）{1,0,1,2}- （C ）{1,0,2,3}- （D ）{0,1,2,3} 2、设复数z 满足(1)2i z i -=，则z =（ ）（A ）1i -+ （B ）1i -- （C ）1i + （D ）1i -3、等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知32110S a a =+，59a =，则1a =（ ） （A ）13 （B ）13- （C ）19 （D ）19- 4、已知,m n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β。

直线l 满足l m ⊥，l n ⊥，l α⊄，l β⊄，则（ ）（A ）//αβ且//l α （B ）αβ⊥且l β⊥（C ）α与β相交，且交线垂直于l （D ）α与β相交，且交线平行于l5、已知5(1)(1)ax x ++的展开式中2x 的系数为5，则a =（ ）（A ）4- （B ）3- （C ）2- （D ）1- 6、执行右面的程序框图，如果输入的10N =，那么输出的S =（ ）（A ）11112310+++⋅⋅⋅+ （B ）11112!3!10!+++⋅⋅⋅+（C ）11112311+++⋅⋅⋅+ （D ）11112!3!11!+++⋅⋅⋅+7、一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到正视图可以为（ ）(A)(B)(C)(D)8、设3log 6a =，5log 10b =，7log 14c =，则（ ）（A ）c b a >> （B ）b c a >> （C ）a c b >> （D ）a b c >>9、已知0a >，,x y 满足约束条件1,3,(3)x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，若2z x y =+的最小值为1，则a =（ ）（A ）14 （B ）12（C ）1 （D ）2 10、已知函数32()f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是（ ） （A ）0x R ∃∈，0()0f x =（B ）函数()y f x =的图象是中心对称图形（C ）若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间0(,)x -∞单调递减 （D ）若0x 是()f x 的极值点，则0'()0f x =11、设抛物线2:3(0)C y px p =≥的焦点为F ，点M 在C 上，||5MF =，若以MF 为直径的圆过点(0,3)，则C 的方程为（ ）（A ）24y x =或28y x = （B ）22y x =或28y x = （C ）24y x =或216y x = （D ）22y x =或216y x =12、已知点(1,0)A -，(1,0)B ，(0,1)C ，直线(0)y ax b a =+>将ABC ∆分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是（ ） （A ）(0,1) （B ）21(1)22-（C ）21(1)23- （D ）11[,)32第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题，每个试题考生都必修作答。

2013年(全国卷II)(含答案)高考理科数学2013年普通高等学校招生全国统一考试（2新课标Ⅱ卷）数学(理)试题一、选择题( 本大题共12 题, 共计60 分)1．已知集合M＝{x|(x－1)2＜4，x∈R}，N＝{－1,0,1,2,3}，则M∩N＝()．A．{0,1,2} B．{－1,0,1,2} C．{－1,0,2,3} D．{0,1,2,3}2．设复数z满足(1－i)z＝2i，则z＝()．A．－1＋i B．－1－i C．1＋i D．1－i3．等比数列{a n}的前n项和为S n.已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝()．A．13B．13-C．19D．19-4．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，lα，lβ，则()．A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l5．已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝()．A．－4 B．－3 C．－2 D．－16．执行下面的程序框图，如果输入的N＝10，那么输出的S＝()．A．1111+2310+++B．1111+2!3!10!+++C．1111+2311+++D．1111+2!3!11!+++7．一个四面体的顶点在空间直角坐标系O－xyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为()．8．设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则()．A．c＞b＞a B．b＞c＞aC．a＞c＞b D．a＞b＞c9．已知a＞0，x，y满足约束条件1,3,3.xx yy a x≥⎧⎪+≤⎨⎪≥(-)⎩若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝()．A．14B．12C．1 D．210．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是()．A．∃x0∈R，f(x0)＝0B．函数y＝f(x)的图像是中心对称图形C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝011．设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为()．A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8xC．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x12．已知点A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线y＝ax＋b(a＞0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是()．A．(0,1) B．211,22⎛⎫-⎪⎪⎝⎭C．211,23⎛⎤-⎥⎝⎦D．11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭18．(本小题满分12分)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1＝AC＝CB＝22AB.(1)证明：BC1∥平面A1CD；(2)求二面角D－A1C－E的正弦值．19．(本小题满分12分)经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品．以X(单位：t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．(1)将T表示为X的函数；(2)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率；(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X∈[100,110)，则取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入[100,110)的频率)，求T的数学期望．20．(本小题满分12分)平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：2222=1 x ya b+(a＞b＞0)右焦点的直线30x y+=交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为1 2 .(1)求M的方程；(2)C，D为M上两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD 面积的最大值．21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝e x－ln(x＋m)．(1)设x＝0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；(2)当m≤2时，证明f(x)＞0.22．(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F 分别为弦AB与弦AC上的点，且BC·AE＝DC·AF，B，E，F，C四点共圆．(1)证明：CA是△ABC外接圆的直径；(2)若DB＝BE＝EA，求过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．23．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程已知动点P，Q都在曲线C：2cos,2sin x t y t =⎧⎨=⎩(t为参数)上，对应参数分别为t＝α与t＝2α(0＜α＜2π)，M为PQ的中点．(1)求M的轨迹的参数方程；(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．24．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：(1)ab＋bc＋ac≤13；(2)2221a b cb c a++≥.2013年普通高等学校招生全国统一考试（2新课标Ⅱ卷）数学(理)试题答案解析:一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．答案：A解析：解不等式(x －1)2＜4，得－1＜x ＜3，即M ＝{x |－1＜x ＜3}．而N ＝{－1,0,1,2,3}，所以M ∩N ＝{0,1,2}，故选A.2．答案：A 解析：2i 2i 1i =1i 1i 1i z (+)=-(-)(+)＝22i 2-+＝－1＋i. 3．答案：C解析：设数列{a n }的公比为q ，若q ＝1，则由a 5＝9，得a 1＝9，此时S 3＝27，而a 2＋10a 1＝99，不满足题意，因此q ≠1.∵q ≠1时，S 3＝31(1)1a q q--＝a 1·q ＋10a 1， ∴311q q--＝q ＋10，整理得q 2＝9. ∵a 5＝a 1·q 4＝9，即81a 1＝9，∴a 1＝19.4．答案：D解析：因为m ⊥α，l ⊥m ，l α，所以l ∥α.同理可得l ∥β. 又因为m ，n 为异面直线，所以α与β相交，且l 平行于它们的交线．故选D.5．答案：D解析：因为(1＋x )5的二项展开式的通项为5C r rx (0≤r ≤5，r ∈Z)，则含x 2的项为225C x ＋ax ·15C x ＝(10＋5a )x 2，所以10＋5a ＝5，a ＝－1.6．答案：B解析：由程序框图知，当k ＝1，S ＝0，T ＝1时，T ＝1，S ＝1； 当k ＝2时，12T =，1=1+2S ； 当k ＝3时，123T =⨯，111+223S =+⨯； 当k ＝4时，1234T =⨯⨯，1111+223234S =++⨯⨯⨯；…；当k ＝10时，123410T =⨯⨯⨯⨯，1111+2!3!10!S =+++，k 增加1变为11，满足k ＞N ，输出S ，所以B 正确．7．答案：A解析：如图所示，该四面体在空间直角坐标系O －xyz 的图像为下图：则它在平面zOx 上的投影即正视图为，故选A.8．答案：D解析：根据公式变形，lg 6lg 21lg3lg3a ==+，lg10lg 21lg5lg5b ==+，lg14lg 21lg 7lg 7c ==+，因为lg 7＞lg 5＞lg 3，所以lg 2lg 2lg 2lg 7lg5lg3<<，即c ＜b ＜a .故选D.9．答案：B 解析：由题意作出1,3x x y ≥⎧⎨+≤⎩所表示的区域如图阴影部分所示，作直线2x ＋y ＝1，因为直线2x ＋y ＝1与直线x ＝1的交点坐标为(1，－1)，结合题意知直线y ＝a (x －3)过点(1，－1)，代入得12a =，所以12a =.10．答案：C解析：∵x 0是f (x )的极小值点，则y ＝f (x )的图像大致如下图所示，则在(－∞，x 0)上不单调，故C 不正确．11．答案：C解析：设点M 的坐标为(x 0，y 0)，由抛物线的定义，得|MF |＝x 0＋2p ＝5，则x 0＝5－2p .又点F 的坐标为,02p⎛⎫⎪⎝⎭，所以以MF 为直径的圆的方程为(x －x 0)2p x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋(y －y 0)y ＝0. 将x ＝0，y ＝2代入得px 0＋8－4y 0＝0，即202y －4y 0＋8＝0，所以y 0＝4.由20y ＝2px 0，得16252p p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，解之得p ＝2，或p ＝8.所以C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x .故选C. 12．答案：B解析：情形1：直线y = a x +b 与AC 、BC 相交时，如图所示，设MC= m, NC = n,由条件知S△MNC = 12⇒mn = 1显然0 < n ≤ 2 ⇒m = 1n≥22又知0 <m ≤ 2 , m≠n所以22≤m ≤ 2 且m≠1D到AC、BC的距离为t, 则tm+ tn=DNMN+DMMN= 1⇒t =mnm+n⇒1t= m +1mf (m) = m + 1m(22≤m ≤ 2 且m≠1)的值域为(2,322] ⇒2 < 1t≤322⇒23≤t <12因为b =1-CD =1- 2 t ，所以1-22< b≤13情形2：直线y = a x +b与AB、BC相交时，如图所示，易求得x M= -ba,y N=a+ba+1,由条件知(1+ba)a+ba+1= 1⇒b21-2b= aM在线段OA上⇒0< ba<1 ⇒0 < a < bt txym nDCoNMA BxyCo BA MNN 在线段BC 上⇒0< a +ba +1 <1 ⇒b < 1解不等式：0 < b 21-2b < b 得 13 < b < 12综上：1-22 < b < 12第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．答案：2解析：以AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则点A 的坐标为(0,0)，点B 的坐标为(2,0)，点D 的坐标为(0,2)，点E 的坐标为(1,2)，则AE ＝(1,2)，BD ＝(－2,2)，所以2AE BD ⋅=.14．答案：8解析：从1,2，…，n 中任取两个不同的数共有2C n 种取法，两数之和为5的有(1,4)，(2,3)2种，所以221C 14n=，即24111142n n n n ==(-)(-)，解得n ＝8.15．答案：10 解析：由π1tan 1tan 41tan 2θθθ+⎛⎫+== ⎪-⎝⎭，得tan θ＝13-，即sin θ＝13-cos θ.将其代入sin 2θ＋cos 2θ＝1，得210cos 19θ=. 因为θ为第二象限角，所以cos θ＝31010-，sin θ＝1010，sin θ＋cos θ＝105-. 16．答案：－49解析：设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则S 10＝1109102a d ⨯＋＝10a 1＋45d ＝0，①S 15＝11514152a d ⨯+＝15a 1＋105d ＝25.② 联立①②，得a 1＝－3，23d =， 所以S n ＝2(1)211032333n n n n n --+⨯=-. 令f (n )＝nS n ，则32110()33f n n n =-，220'()3f n n n =-. 令f ′(n )＝0，得n ＝0或203n =. 当203n >时，f ′(n )＞0,200<<3n 时，f ′(n )＜0，所以当203n =时，f (n )取最小值，而n ∈N ＋，则f (6)＝－48，f (7)＝－49，所以当n ＝7时，f (n )取最小值－49.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．解：(1)由已知及正弦定理得 sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B ．① 又A ＝π－(B ＋C )，故sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ．② 由①，②和C ∈(0，π)得sin B ＝cos B ， 又B ∈(0，π)，所以π4B =. (2)△ABC 的面积12sin 24S ac B ac ==. 由已知及余弦定理得4＝a 2＋c 2－π2cos 4ac . 又a 2＋c 2≥2ac ，故422ac ≤-，当且仅当a ＝c 时，等号成立． 因此△ABC 面积的最大值为2+1.18．解：(1)连结AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1中点． 又D 是AB 中点，连结DF ，则BC 1∥DF . 因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1平面A 1CD ， 所以BC 1∥平面A 1CD . (2)由AC ＝CB 2AB 得，AC ⊥BC . 以C 为坐标原点，CA 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C －xyz .设CA ＝2，则D (1,1,0)，E (0,2,1)，A 1(2,0,2)，CD ＝(1,1,0)，CE ＝(0,2,1)，1CA ＝(2,0,2)．设n ＝(x 1，y 1，z 1)是平面A 1CD 的法向量，则10,0,CD CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即11110,220.x y x z +=⎧⎨+=⎩可取n ＝(1，－1，－1)． 同理，设m 是平面A 1CE 的法向量，则10,0,CE CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 可取m ＝(2,1，－2)． 从而cos 〈n ，m 〉＝3||||=·n m n m sin 〈n ，m 6即二面角D －A 1C －E 619．解：(1)当X ∈[100,130)时，T ＝500X －300(130－X )＝800X －39 000，当X ∈[130,150]时，T ＝500×130＝65 000.所以80039000,100130,65000,130150.X X T X -≤<⎧=⎨≤≤⎩(2)由(1)知利润T 不少于57 000元当且仅当120≤X ≤150. 由直方图知需求量X ∈[120,150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T 不少于57 000元的概率的估计值为0.7.(3)依题意可得T 的分布列为T 45 000 53 000 61 000 65 000 P0.10.20.30.4所以ET ＝45 000×0.1＋53 000×0.2＋61 000×0.3＋65 000×0.4＝59 400.20．解：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，则221122=1x y a b +，222222=1x y a b +，2121=1y yx x ---， 由此可得2212122121=1b x x y y a y y x x (+)-=-(+)-.因为x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，0012y x =，所以a 2＝2b 2. 又由题意知，M 的右焦点为30)，故a 2－b 2＝3.因此a 2＝6，b 2＝3.所以M 的方程为22=163x y +.(2)由2230,1,63x y x y ⎧+-=⎪⎨+=⎪⎩解得4333x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或0,3.x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ 因此|AB |46.由题意可设直线CD 的方程为y ＝533x n n ⎛+<< ⎝，设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．由22,163y x n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得3x 2＋4nx ＋2n 2－6＝0. 于是x 3,42229n n -±(-).因为直线CD 的斜率为1，所以|CD |＝24342|93x x n -=-.由已知，四边形ACBD 的面积2186||||929S CD AB n =⋅=-当n ＝0时，S 86. 所以四边形ACBD 86. 21．解：(1)f ′(x )＝1e x x m-+. 由x ＝0是f (x )的极值点得f ′(0)＝0，所以m ＝1.于是f (x )＝e x －ln(x ＋1)，定义域为(－1，＋∞)，f ′(x )＝1e 1x x -+. 函数f ′(x )＝1e 1x x -+在(－1，＋∞)单调递增，且f ′(0)＝0. 因此当x ∈(－1,0)时，f ′(x )＜0； 当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0.所以f (x )在(－1,0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增．(2)当m ≤2，x ∈(－m ，＋∞)时，ln(x ＋m )≤ln(x ＋2)，故只需证明当m ＝2时，f (x )＞0.当m ＝2时，函数f ′(x )＝1e 2x x -+在(－2，＋∞)单调递增． 又f ′(－1)＜0，f ′(0)＞0，故f ′(x )＝0在(－2，＋∞)有唯一实根x 0，且x 0∈(－1,0)．当x ∈(－2，x 0)时，f ′(x )＜0；当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )＞0，从而当x ＝x 0时，f (x )取得最小值． 由f ′(x 0)＝0得0e x ＝012x +，ln(x 0＋2)＝－x 0， 故f (x )≥f (x 0)＝012x +＋x 0＝20012x x (+)+＞0. 综上，当m ≤2时，f (x )＞0.请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号．22．解：(1)因为CD 为△ABC 外接圆的切线，所以∠DCB ＝∠A ，由题设知BC DC FA EA=， 故△CDB ∽△AEF ，所以∠DBC ＝∠EFA .因为B ，E ，F ，C 四点共圆，所以∠CFE ＝∠DBC ，故∠EFA ＝∠CFE ＝90°.所以∠CBA ＝90°，因此CA 是△ABC 外接圆的直径．(2)连结CE ，因为∠CBE ＝90°，所以过B ，E ，F ，C 四点的圆的直径为CE ，由DB ＝BE ，有CE ＝DC ，又BC 2＝DB ·BA ＝2DB 2，所以CA 2＝4DB 2＋BC 2＝6DB 2.而DC 2＝DB ·DA ＝3DB 2，故过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值为12.23．解：(1)依题意有P (2cos α，2sin α)，Q (2cos 2α，2sin 2α)， 因此M (cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．M 的轨迹的参数方程为cos cos 2,sin sin 2x y αααα=+⎧⎨=+⎩(α为参数，0＜α＜2π)． (2)M 点到坐标原点的距离2222cos d x y α=+=+＜α＜2π)．当α＝π时，d ＝0，故M 的轨迹过坐标原点．24．解：（Ⅰ）由a 2 + b 2 ≥2ab ，b 2 + c 2 ≥2bc ，a 2 + c 2 ≥2ac 得a 2 +b 2 +c 2≥ab + bc + ac ⇒ (a + b + c )2 = (a 2 + b 2 + c 2) + 2(ab + bc + ac ) ≥3(ab + bc + ac ) ⇒ 1≥3(ab + bc + ac )⇒ab + bc + ac ≤ 13. （Ⅱ）证法一：因为 a 2b + b ≥2a ，b 2c + c ≥2b ，c 2a + a ≥2c所以 ( a 2b + b 2c + c 2a )+(a + b + c ) ≥ 2(a + b + c )⇒ a 2b + b 2c + c 2a + 1 ≥ 2⇒ a 2b + b 2c + c 2a ≥1证法二：由柯西不等式得：( a 2b+ b 2c + c 2a )( b + c + a )≥ (a + b + c )2 ⇒ a 2b + b 2c + c 2a ≥1。

2013年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷II）数学试题（笔试部分）注意事项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，包含填空题（第1题——第14题）、解答题（第15题——第20题）．本卷满分160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、班级写在答题卡的规定位置．3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0．5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．4．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．5．请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．设复数满足（是虚数单位），则复数的模=__ __．2．已知，则_______．3．抛物线y2 = 8x的焦点到双曲线–= 1的渐近线的距离为___ ___．4．阅读下列算法语句:Read S1For I from 1 to 5 step 2SS+IEnd forPrint SEnd输出的结果是．5．设集合，则=___________．6．设等比数列{an}的公比q =，前n项和为Sn，则= ___________．7．在区间内随机地取出一个数，则恰好使1是关于的不等式的一个解的概率大小为_______．8．已知向量，，则的最大值为．9．已知A（2,4），B（–1,2），C（1,0），点P（x,y）在△ABC内部及边界上运动，则z = x – y的最大值与最小值的和为_____10．设表示两条直线，表示两个平面，现给出下列命题：① 若，则；② 若，则；③ 若，则；④ 若，则．其中正确的命题是_________．（写出所有正确命题的序号）11．设函数，若关于的方程恰有三个不同的实数解，则实数的取值范围为________．12．函数在求导数时，可以运用对数法：在函数解析式两边求对数得，两边求导数，于是．运用此方法可以探求得知的一个单调增区间为_________．13．已知椭圆的上焦点为，直线和与椭圆相交于点，，，，则．14．已知定义在上的函数满足，，则不等式的解集为_ __．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤．15．（本小题满分14分）如图，点B在以PA为直径的圆周上，点C在线段AB上，已知，设，均为锐角．（1）求；（2）求两条向量的数量积的值．16．（本小题满分14分）如图，已知AB平面ACD，DE//AB，△ACD是正三角形，AD = DE = 2AB，且F 是CD的中点．（1）求证：AF//平面BCE；（2）求证：平面BCE平面CDE．17．（本大题满分14分）2010年上海世博会组委会为保证游客参观的顺利进行，对每天在各时间段进入园区和离开园区的人数（以百人为计数单位）作了一个模拟预测．为了方便起见，以10分钟为一个计算单位，上午9点10分作为第一个计数人数的时间，即；9点20分作为第二个计数人数的时间，即；依此类推，把一天内从上午9点到晚上24点分成了90个计数单位．第个时刻进入园区的人数和时间（）满足以下关系：，第个时刻离开园区的人数和时间满足以下关系：．（1）试计算在当天下午3点整（即15点整）时，世博园区内共有游客多少百人？（提示：，结果仅保留整数）（2）问：当天什么时刻世博园区内游客总人数最多？18．（本小题满分16分）设圆，动圆，（1）求证：圆、圆相交于两个定点；（2）设点P是椭圆上的点，过点P作圆的一条切线，切点为，过点P作圆的一条切线，切点为，问：是否存在点P，使无穷多个圆，满足？如果存在，求出所有这样的点P；如果不存在，说明理由．19．（本小题满分16分）已知数列{an}的通项公式为an =（nN）．（1）求数列{an}的最大项；（2）设bn =，试确定实常数p，使得{bn}为等比数列；（3）设，问：数列{an}中是否存在三项，，，使数列，，是等差数列？如果存在，求出这三项；如果不存在，说明理由．20．（本大题满分16分）已知函数，（1）若，且关于的方程有两个不同的正数解，求实数的取值范围；（2）设函数，满足如下性质：若存在最大（小）值，则最大（小）值与无关．试求的取值范围．（加试部分）21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做两题，每小题l0分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修4 – 1几何证明选讲如图，△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线相交于点E,∠BAC的平分线与BC 交于点D．求证：ED2= EB·EC．B．矩阵与变换已知矩阵，，求满足的二阶矩阵．C．选修4 – 4 参数方程与极坐标若两条曲线的极坐标方程分别为 = 1与 = 2cos（ +）,它们相交于A，B两点，求线段AB的长．D．选修4 – 5 不等式证明选讲设a,b,c为正实数,求证:a3 + b3 + c3 +≥2．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图，在四棱锥P – ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA底面ABCD，点M是棱PC的中点，AM平面PBD．（1）求PA的长；（2）求棱PC与平面AMD所成角的正弦值．23．（本小题满分10分）用四个不同字母组成一个含个字母的字符串，要求由开始，相邻两个字母不同．例如时，排出的字符串是；时排出的字符串是，……，如图所示．记这含个字母的所有字符串中，排在最后一个的字母仍是的字符串的种数为．（1）试用数学归纳法证明：；（2）现从四个字母组成的含个字母的所有字符串中随机抽取一个字符串，字符串最后一个的字母恰好是的概率为，求证：．参考答案1．2 2．3 3．1 4．105．6．15 7．0.7 8．49．－2 10．④ 11．12．13．8 14．15．解（1）：因为点B在以PA为直径的圆周上，所以，所以．所以，…………………………………2分，，所以，………………………………………………………………4分，…………………………6分又，所以．………………………………………………………8分（2）…………………………11分……………………………………………14分16．⑴解:取CE中点P，连结FP,BP,因为F为CD的中点,所以FP//DE,且FP =DE, …2分又AB//DE,且AB =DE,所以AB//FP,且AB= FP,所以四边形ABPF为平行四边形,所以AF//BP．………………4分又因为AF平面BCE,BP平面BCE, 所以AF//平面BCE．……7分（该逻辑段缺1个条件扣1分）⑵因为△ACD为正三角形,所以AF⊥CD．因为AB⊥平面ACD,DE//AB,所以DE⊥平面ACD,又AF平面ACD,所以DE⊥AF．……………………………………9分又AF⊥CD，CD∩DE = D，所以AF⊥平面CDE．又BP//AF，所以BP⊥平面CDE．……………………………12分又因为BP平面BCE，所以平面BCE⊥平面CDE．………………………………………14分17．解：（1）当且时，，当且时，所以…××；…………………………2分另一方面，已经离开的游客总人数是：×；…………………4分所以（百人）故当天下午3点整（即15点整）时，世博园区内共有游客百人．……………6分（2）当时园内游客人数递增；当时园内游客人数递减．（i）当时，园区人数越来越多，人数不是最多的时间；……………………8分（ii）当时，令，得出，即当时，进入园区人数多于离开人数，总人数越来越多；……………10分（iii）当时，，进入园区人数多于离开人数，总人数越来越多；……………………………………………………………………12分（Ⅳ）当时，令时，，即在下午点整时，园区人数达到最多．此后离开人数越来越多，故园区内人数最多的时间是下午4点整．………………14分答：（1）当天下午3点整（即15点整）时，世博园区内共有游客百人；（2）在下午点整时，园区人数达到最多．18．解（1）将方程化为，令得或，所以圆过定点和，4分将代入，左边=右边，故点在圆上，同理可得点也在圆上，所以圆、圆相交于两个定点和；……………6分（2）设，则，………………………8分，………………………………10分即，整理得（*）…………………………………………………12分存在无穷多个圆，满足的充要条件为有解，解此方程组得或，………………………………………14分故存在点P，使无穷多个圆，满足，点P的坐标为．………………16分19．解⑴由题意an = 2 +,随着n的增大而减小,所以{an}中的最大项为a1 = 4．…4分⑵bn ===，若{bn}为等比数列，则b– bnbn+2= 0（nN ）所以 [（2 + p）3n+1 + （ 2 – p）]2 – [{2 + p）3n + （2 – p）][（2 + p）3n+2 + （2 – p）] = 0（nN），化简得（4 – p2）（2·3n+1 – 3n+2 – 3n ） = 0即–（4 –p2）·3n·4 = 0,解得p = ±2．……………………………7分反之,当p = 2时,bn = 3n,{bn}是等比数列;当p = – 2时,bn = 1,{bn}也是等比数列．所以,当且仅当p = ±2时{bn}为等比数列．………………………………………………10分。

2013年全国高考试题独家解析(新课标卷Ⅱ)理科数学答案1．A 【解析】∵(1,3)M =-，∴{}0,1,2M N =2．A 【解析】()()()2122211112i i i i z i i i i +-+====-+--+ 3．C 【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，∵32110S a a =+，∴1232110a a a a a ++=+，即319a a =，∴29q =，由59a =，即419a q =，∴119a =． 4．D 【解析】作正方形模型，α为后平面，β为左侧面可知D 正确．5．D 【解析】2x 的系数为21555C aC +=，解得1a =-6．B 【解析】第一次循环1,1,2T S k ===，第二次循环11,1,322T S k ==+= 第三次循环111,1,423223T S k ==++=⨯⨯ 当10k N >=时，输出的S 应为B ． 7．A 【解析】如图所示正视图可以为A8．D 【解析】33log 61log 2,a ==+5577log 101log 2,log 141log 2b c ==+==+，由下图可知D 正确．解法二 3321log 61log 21log 3a ==+=+， 5521log 101log 21log 5b ==+=+， 7721log 141log 21log 7c ==+=+由222log 3log 5log 7<<，可得答案D 正确．9．B 【解析】如下图，可知2z x y =+在C 点取得最小值，()1,2C a -代入得12a =3)10．C 【解析】若0c =则有(0)0f =，所以A 正确。

由32()f x x ax bx c =+++得32()f x c x ax bx -=++，因为函数32y x ax bx =++的对称中心为（0,0），所以32()f x x ax bx c =+++的对称中心为(0,)c ,所以B 正确。

绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)数 学(理科)注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前考生将自己的姓名\准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置。

2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3. 答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4. 考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题。

每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合M=｛x|(x-1)2< 4,x ∈R ｝，N=｛-1，0，1，2，3｝，则M ∩N =( ） （A ）｛0，1，2｝ （B ）｛-1，0，1，2｝ （C ）{-1，0，2，3} （D ）{0，1，2，3} （2）设复数z 满足（1-i ）z=2 i ，则z =（ ） （A ）-1+i（B ）-1-i（C ）1+i（D ）1-i（3）等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，已知S 3 = a 2 +10a 1 ，a 5 = 9，则a 1=（ ） （A ）13 （B ）13- （C ）19 （D ）19- （4）已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β。

直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，,l l αβ⊄⊄，则（）（A ）α∥β且l ∥α（B ）α⊥β且l ⊥β（C ）α与β相交，且交线垂直于l（D ）α与β相交，且交线平行于l（5）已知（1+ɑx ）(1+x )5的展开式中x 2的系数为5，则ɑ=（ ） （A ）-4（B ）-3（C ）-2（D ）-1（6）执行右面的程序框图，如果输入的N=10，那么输出的S=（A ）11112310++++ （B ）11112!3!10!++++（C ）11112311++++ （D ）11112!3!11!++++ （7）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz 中的坐标分 别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四 面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到正视 图可以为(A) (B)(C)(D)（8）设a=log 36,b=log 510,c=log 714,则（A ）c ＞b ＞a （B ）b ＞c ＞a （C ）a ＞c ＞b (D)a ＞b ＞c（9）已知a ＞0，x ，y 满足约束条件()133x x y y a x ⎧≥⎪+≤⎨⎪≥-⎩,若z=2x+y 的最小值为1，则a=(A) 14 (B) 12(C)1 (D)2（10）已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c ，下列结论中错误的是 （A ）∃x α∈R,f(x α)=0（B ）函数y=f(x)的图像是中心对称图形（C ）若x α是f(x)的极小值点，则f(x)在区间（-∞,x α）单调递减（D ）若x 0是f （x ）的极值点，则()0'0f x =（11）设抛物线y 2=3px(p>0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |=5，若以MF 为直径的圆过点（0，2），则C 的方程为（A ）y 2=4x 或y 2=8x （B ）y 2=2x 或y 2=8x（C ）y 2=4x 或y 2=16x （D ）y 2=2x 或y 2=16x（12）已知点A （-1，0）；B （1，0）；C （0，1），直线y=ax+b (a >0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是（A ）（0，1）(B)112⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭( C) 113⎛⎤ ⎥ ⎦⎝(D) 11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题，每个试题考生都必修作答。

2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类、选择题：本大题共 （ 全国新课标卷 II ）第Ⅰ卷12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的． 21）已知集合 M ＝{x |（ x － 1） 2< 4， x ∈ R} ，N ＝{－1,0,1,2,3} B ．{ －1,0,1,2} C ．{ －1,0,2,3} D 1． （2013 课标全国Ⅱ，理 A ．{0,1,2} 2． （2013 课标全国Ⅱ，理 2）设复数 z 满足（1 － i ） z ＝2i ，则 z ＝（ A ．－1＋i B ．－ 1－I C3．（2013 课标全国Ⅱ，理 3）等比数列 { a n }的前 n 项和为 11A ． 3B ． 3C 4．（2013 课标全国Ⅱ， 理 4） 已知 m ，n 为异面直线， m ⊥平面 l β，则 （ A ．α∥ β 且 l ∥α B，则 M ∩N ＝( ) ． ．{0,1,2,3} )． ． 1＋i D ．1－i S n . 已知 S 3＝ a 2＋ 10a 1，a 5＝ 9， 1． 9 D α ，n ⊥平面 β . 直线 l 满足 l )．．α⊥β 且 l ⊥ β则 a 1＝（ ） ．⊥m ，l ⊥n ，l α， C ． α 与 β 相交，且交线垂直于 l D ． α 与 β 相交，且交线平行于 5．（2013 课标全国Ⅱ，理 5）已知（1 ＋ ax ）（1 ＋ x ） 5的展开式中 x 2的系数为 5，则a ＝（ ．－ 1 N ＝ 10，那么输出的 S A ．－4 B ．－ 3 C ．－ 2 D6．（2013 课标全国Ⅱ，理 6） 执行下面的程序框图，如果输入的 ＝（）．A． 2 3 101+ 1 11B ．2! 3!10!1+1 111C ． 2 3111+1 1 1 1D 2! 3! 11 1+1 11 l )． 7．（2013 课标全国Ⅱ，理 7） 一个四面体的顶点在空间直角坐标系 （0,1,1） ，（0,0,0） O － xyz 中的坐标分别是 (1,0,1) ，(1,1,0) ，( ) ．8．（2013 课标全国Ⅱ，理 8）设 a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则（ ）．． a > c > b D ． a > b > cx 1,x y 3, 若 z ＝ 2x ＋y 的最小值为 1，则 y a x 3 .A ．c >b > aB ．b >c > a C9． （2013 课标全国Ⅱ，理 9） 已知a >0，x ， y 满足约束条件 a ＝( 1 ．2）． 1 A ． 4 ． 1 D ．210．(2013 课标全国Ⅱ，理10)已知函数f(x) ＝x 3＋ax2＋bx＋ c ，下列结论中错误的是( )．A．x0∈R，f(x0) ＝0B．函数y ＝f(x) 的图像是中心对称图形C．若x0 是f(x) 的极小值点，则f(x) 在区间( －∞，x0) 单调递减D．若x0 是f(x) 的极值点，则f′ (x0) ＝011．(2013 课标全国Ⅱ，理11)设抛物线C：y2＝2px( p> 0)的焦点为F，点M在C上，| MF| ＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2) ，则C的方程为( ) ．A．y2 ＝4x 或y2＝8x B ．y2＝2x 或y2＝8xC．y2＝4x 或y2＝16x D ．y2＝2x 或y2＝16x12．(2013 课标全国Ⅱ，理12)已知点A(－1,0) ，B(1,0) ，C(0,1) ，直线y＝ax＋b(a>0)将△ ABC分割为面积相等的两部分，则 b 的取值范围是( ) ．12 , 11,12 ,11,1,1 A．(0,1) B．2 2 C ． 2 3 D ．3,2第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21 题为必考题，每个试题考生都必须做答。

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国新课标卷II)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013课标全国Ⅱ，理1)已知集合M ＝{x |(x －1)2＜4，x ∈R }，N ＝{－1,0,1,2,3}，则M ∩N ＝( )．A ．{0,1,2}B ．{－1,0,1,2}C ．{－1,0,2,3}D ．{0,1,2,3} 2．(2013课标全国Ⅱ，理2)设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，则z ＝( )．A ．－1＋iB ．－1－IC ．1＋iD ．1－i3．(2013课标全国Ⅱ，理3)等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( )．A ．13B ．13-C ．19D ．19-4．(2013课标全国Ⅱ，理4)已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，lα，lβ，则( )．A ．α∥β且l ∥αB ．α⊥β且l ⊥βC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l5．(2013课标全国Ⅱ，理5)已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝( )．A ．－4B ．－3C ．－2D ．－16．(2013课标全国Ⅱ，理6)执行下面的程序框图，如果输入的N ＝10，那么输出的S ＝( )．A ．1111+2310+++B ．1111+2!3!10!+++C ．1111+2311+++D ．1111+2!3!11!+++7．(2013课标全国Ⅱ，理7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为( )．8．(2013课标全国Ⅱ，理8)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( )．A ．c ＞b ＞aB ．b ＞c ＞aC ．a ＞c ＞bD ．a ＞b ＞c9．(2013课标全国Ⅱ，理9)已知a ＞0，x ，y 满足约束条件1,3,3.x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥(-)⎩若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝( )．A ．14 B．12 C ．1 D ．210．(2013课标全国Ⅱ，理10)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是( )．A．∃x0∈R，f(x0)＝0B．函数y＝f(x)的图像是中心对称图形C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝011．(2013课标全国Ⅱ，理11)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为( )．A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8xC．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x12．(2013课标全国Ⅱ，理12)已知点A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线y＝ax＋b(a＞0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是( )．A．(0,1) B．11,22⎛⎫-⎪⎪⎝⎭ C．1123⎛⎤-⎥⎝⎦ D．11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。

2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)数学(理科)注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前考生将自己的姓名\准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置。

2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3. 答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4. 考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、 选择题：本大题共10小题。

每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合M ＝{x |(x －1)2<4，x ∈R }，N ＝{－1,0,1,2,3}，则M ∩N 等于( ) A ．{0,1,2} B ．{－1,0,1,2} C ．{－1,0,2,3} D ．{0,1,2,3} 答案 A解析 化简集合M 得M ＝{x |－1<x <3，x ∈R }，则M ∩N ＝{0,1,2}．2．设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，则z ＝( )A ．－1＋iB ．－1－IC ．1＋iD ．1－i 答案 A解析 由已知得z ＝2i1－i ＝2i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－1＋i.3．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1等于( )A.13 B ．－13 C.19 D ．－19 答案 C解析 设等比数列{a n }的公比为q ，由S 3＝a 2＋10a 1得a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋10a 1，即a 3＝9a 1，q 2＝9，又a 5＝a 1q 4＝9，所以a 1＝19.4．已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l ⊄α，l ⊄β，则( ) A ．α∥β且l ∥α B ．α⊥β且l ⊥βC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l 答案 D解析 假设α∥β，由m ⊥平面α，n ⊥平面β，则m ∥n ，这与已知m ，n 为异面直线矛盾，那么α与β相交，设交线为l 1，则l 1⊥m ，l 1⊥n ，在直线m 上任取一点作n 1平行于n ，那么l 1和l 都垂直于直线m 与n 1所确定的平面，所以l 1∥l .5．已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a 等于( ) A ．－4 B ．－3 C ．－2 D ．－1 答案 D解析 (1＋ax )(1＋x )5中含x 2的项为：(C 25＋C 15a )x 2，即C 25＋C 15a ＝5，a ＝－ 1.6．执行右面的程序框图，如果输入的N ＝10，那么输出的S ＝( )A ．1＋12＋13＋…＋110B ．1＋12！＋13！＋…＋110！C ．1＋12＋13＋…＋111D ．1＋12！＋13！＋…＋111！答案 B解析 k ＝1，T ＝11，S ＝1，k ＝2，T ＝11×2＝12！，S ＝1＋12！，k ＝3，T ＝11×2×3＝13！，S ＝1＋12！＋13！，…由于N ＝10，即k >10时，结束循环，共执行10次．所以输出S ＝1＋12！＋13！＋…＋110！.7．一个四面体的顶点在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标分别是(1,1,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到正视图可以为()答案 A解析 在空间直角坐标系中，先画出四面体O －ABC 的直观图，以zOx 平面为投影面，则得到正视图，所以选A.8．设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( )A ．c >b >aB ．b >c >aC ．a >c >bD ．a >b >c 答案 D解析 设a ＝log 36＝1＋log 32＝1＋1log 23，b ＝log 510＝1＋log 52＝1＋1log 25，c ＝log 714＝1＋log 72＝1＋1log 27，显然a >b >c.（9）已知a ＞0，x ，y 满足约束条件()133x x y y a x ⎧≥⎪+≤⎨⎪≥-⎩,若z=2x+y 的最小值为1，则a=(A) 14 (B) 12(C)1(D)210．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，下列结论中错误的是( ) A ．∃x 0∈R ，f (x 0)＝0B ．函数y ＝f (x )的图象是中心对称图形C ．若x 0是f (x )的极小值点，则f (x )在区间(－∞，x 0)上单调递减D ．若x 0是f (x )的极值点，则f ′(x 0)＝0 答案 C解析 若c ＝0，则有f (0)＝0，所以A 正确．由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 得f (x )－c ＝x 3＋ax 2＋bx ，因为函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx 的对称中心为(0,0)，所以f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 的对称中心为(0，c )，所以B 正确．由三次函数的图象可知，若x 0是f (x )的极小值点，则极大值点在x 0的左侧，所以函数在区间(－∞，x 0 )单调递减是错误的，D 正确．选C.11．设抛物线C ：y 2＝2px (p ≥0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为( ) A ．y 2＝4x 或y 2＝8x B ．y 2＝2x 或y 2＝8x C ．y 2＝4x 或y 2＝16x D ．y 2＝2x 或y 2＝16x 答案 C解析 由题意知：F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，抛物线的准线方程为x ＝－p 2，则由抛物线的定义知，x M ＝5－p2，设以MF 为直径的圆的圆心为⎝⎛⎭⎫52，y M 2，所以圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －522＋⎝⎛⎭⎫y －y M 22＝254，又因为圆过点(0,2)，所以y M ＝4，又因为点M 在C 上，所以16＝2p ⎝⎛⎭⎫5－p2，解得p ＝2或p ＝8，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x ，故选C.12．已知点A (－1,0)，B (1,0)，C (0,1)，直线y ＝ax ＋b (a >0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( )A ．(0,1) B.⎝⎛⎭⎫1－22，12 C.⎝⎛⎭⎫1－22，13 D.⎣⎡⎭⎫13，12 答案 B二、填空题13．已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE →·BD →＝________. 答案 2解析 由题意知：AE →·BD →＝(AD →＋DE →)·(AD →－AB →)＝(AD →＋12AB →)·(AD →－AB →)＝AD →2－12AD →·AB →－12AB →2＝4－0－2＝2.14．从n 个正整数1,2，…，n 中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为114，则n＝________. 答案 8解析 由题意，取出的两个数只可能是1与4,2与3这两种情况，∴在n 个数中任意取出两个不同的数的总情况应该是C 2n＝n (n －1)2＝2÷114＝28，∴n ＝8.15．设θ为第二象限角，若tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝12，则sin θ＋cos θ＝________. 答案 －105解析 ∵tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝12，∴tan θ＝－13，即{ 3sin θ＝－cos θ，2θ＋cos 2θ＝1，解得sin θ＝1010，cos θ＝－31010. ∴sin θ＋cos θ＝－105.16．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10＝0，S 15＝25，则nS n 的最小值为________． 答案 －49解析 由题意知a 1＋a 10＝0，a 1＋a 15＝103.两式相减得a 15－a 10＝103＝5d ，∴d ＝23，a 1＝－3.∴nS n ＝n ·⎝⎛⎭⎫na 1＋n (n －1)2d ＝n 3－10n 23＝f (n )， f ′(n )＝13n (3n －20)．由函数的单调性知f (6)＝－48，f (7)＝－49. ∴nS n 的最小值为－49.三、解答题17．△ABC 中内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝bcos C ＋c sin B . (1)求B ；(2)若b ＝2，求△ABC 面积的最大值． 解 (1)由已知及正弦定理得sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B ，① 又A ＝π－(B ＋C )，故sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ．② 由①，②和C ∈(0，π)得sin B ＝cos B .又B ∈(0，π)，所以B ＝π4.(2)△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝24ac .由已知及余弦定理得4＝a 2＋c 2－2ac cos π4.又a 2＋c 2≥2ac ，故ac ≤42－2，当且仅当a ＝c 时，等号成立． 因此△ABC 面积的最大值为2＋1.18．如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点，AA 1＝AC ＝CB ＝22AB . (1)证明：BC 1∥平面A 1CD ；(2)求二面角D －A 1C －E 的正弦值．(1)证明 连结AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1的中点． 又D 是AB 的中点，连结DF ，则BC 1∥DF . 因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ， 所以BC 1∥平面A 1CD .(2)解 由AC ＝CB ＝22AB 得，AC ⊥BC .以C 为坐标原点，CA →的方向为x 轴正方向，CB →的方向为y 轴正方向，CC 1→的方向为z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C －xyz .设CA ＝2，则D (1,1,0)，E (0,2,1)，A 1(2,0,2)， CD →＝(1,1,0)，CE →＝(0,2,1)，CA 1→＝(2,0,2)． 设n ＝(x 1，y 1，z 1)是平面A 1CD 的法向量，则{n ·CD →＝0，n ·CA 1→＝0，即{ x 1＋y 1＝0，x 1＋2z 1＝0.可取n ＝(1，－1，－1)．同理，设m 是平面A 1CE 的法向量，则{m ·CE →＝0，m ·CA 1→＝0.可取m ＝(2,1，－2)．从而cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝33，故sin 〈n ，m 〉＝63.即二面角D －A 1C －E 的正弦值为63.19．经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t 该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t 亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t 该农产品．以X (单位： t,100≤X ≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T (单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．(1)将T 表示为X 的函数；(2)根据直方图估计利润T 不少于57 000元的概率； (3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若x ∈[100,110)，则取X ＝105，且X ＝105的概率等于需求量落入[100,110)的T 的数学期望．解 (1)当X ∈[100,130)时，T ＝500X －300(130－X )＝800X －39 000. 当X ∈[130,150]时，T ＝500×130＝65 000.所以T ＝{ 800X －39 000，100≤X <130，，130≤X ≤150. (2)由(1)知利润T 不少于57 000元当且仅当120≤X ≤150.由直方图知需求量X ∈[120,150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T 不少于57 000元的概率的估计值为0.7.(3)依题意可得T 的分布列为所以E (T )＝45 000×20．平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12.(1)求M 的方程；(2)C ，D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形的最大值．解 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 x 21a 2＋y 21b 2＝1① x 22a 2＋y 22b2＝1②①－②，得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2＝0.因为y 1－y 2x 1－x 2＝－1，设P (x 0，y 0)，因为P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12，所以y 0＝12x 0，即y 1＋y 2＝12(x 1＋x 2)．所以可以解得a 2＝2b 2，即a 2＝2(a 2－c 2)，即a 2＝2c 2， 又因为c ＝3，所以a 2＝6，所以M 的方程为x 26＋y 23＝1.(2)因为CD ⊥AB ，直线AB 方程为x ＋y －3＝0， 所以设直线CD 方程为y ＝x ＋m ，将x ＋y －3＝0代入x 26＋y 23＝1得：3x 2－43x ＝0，即A (0，3)，B ⎝⎛⎭⎫433，－33， 所以可得|AB |＝463；将y ＝x ＋m 代入x 26＋y 23＝1得：3x 2＋4mx ＋2m 2－6＝0， 设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，则|CD |＝2(x 3＋x 4)2－4x 3x 4＝22318－2m 2，又因为Δ＝16m 2－12(2m 2－6)>0，即－3<m <3，所以当m ＝0时，|CD |取得最大值4，所以四边形ACBD 面积的最大值为12|AB |·|CD |＝863.21．已知函数f (x )＝e x －ln(x ＋m )．(1)设x ＝0是f (x )的极值点，求m ，并讨论f (x )的单调性； (2)当m ≤2时，证明f (x )>0.(1)解 f (x )＝e x －ln(x ＋m )⇒f ′(x )＝e x －1x ＋m ⇒f ′(0)＝e 0－10＋m＝0⇒m ＝1，定义域为{x |x >－1}，f ′(x )＝e x－1x ＋m ＝e x (x ＋1)－1x ＋1，令1)1()(-+=x e x g x ，则0)2()(>+='x e x g x ，又0)0(=g显然f (x )在(－1,0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增．(2)证明 令g (x )＝e x －ln(x ＋2)，则g ′(x )＝e x －1x ＋2(x >－2)．h (x )＝g ′(x )＝e x －1x ＋2(x >－2)⇒h ′(x )＝e x ＋1(x ＋2)2>0，所以h (x )是增函数，h (x )＝0至多只有一个实数根，又g ′(－12)＝1e －132<0，g ′(0)＝1－12>0，所以h (x )＝g ′(x )＝0的唯一实根在区间⎝⎛⎭⎫－12，0内， 设g ′(x )＝0的根为t ，则有g ′(t )＝e t －1t ＋2＝0⎝⎛⎭⎫－12<t <0，所以，e t ＝1t ＋2⇒t ＋2＝e －t ， 当x ∈(－2，t )时，g ′(x )<g ′(t )＝0，g (x )单调递减； 当x ∈(t ，＋∞)时，g ′(x )>g ′(t )＝0，g (x )单调递增；所以g (x )min ＝g (t )＝e t－ln(t ＋2)＝1t ＋2＋t ＝(1＋t )2t ＋2>0，当m ≤2时，有ln(x ＋m )≤ln(x ＋2)，所以f (x )＝e x －ln(x ＋m )≥e x －ln(x ＋2)＝g (x )≥g (x )min >0.22．[选修4－1]几何证明选讲如图，CD 为△ABC 外接圆的切线，AB 的延长线交直线CD 于点D ，E 、F 分别为弦AB 与弦AC 上的点，且BC ·AE ＝DC ·AF ，B 、E 、F 、C 四点共圆．(1)证明：CA 是△ABC 外接圆的直径；(2)若DB ＝BE ＝EA ，求过B 、E 、F 、C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值．(1)证明 因为CD 为△ABC 外接圆的切线，所以∠DCB ＝∠A ，由题设知BC F A ＝DCEA，故△CDB ∽△AEF ，所以∠DBC ＝∠EF A .因为B ，E ，F ，C 四点共圆，所以∠CFE ＝∠DBC ， 故∠EF A ＝∠CFE ＝90°. 所以∠CBA ＝90°，因此CA 是△ABC 外接圆的直径．(2)解 连结CE ，因为∠CBE ＝90°，所以过B ，E ，F ，C 四点的圆的直径为CE ， 由DB ＝BE ，有CE ＝DC ， 又BC 2＝DB ·BA ＝2DB 2， 所以CA 2＝4DB 2＋BC 2＝6DB 2. 而DC 2＝DB ·DA ＝3DB 2，故过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值为12.23．[选修4－4]坐标系与参数方程已知动点P 、Q 都在曲线C ：{ x ＝2cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)上，对应参数分别为t ＝α与t ＝2α(0<α<2π)，M 为PQ 的中点． (1)求M 的轨迹的参数方程；(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点． 解 (1)依题意有P (2cos α，2sin α)，Q (2cos 2α，2sin 2α)， 因此M (cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．M 的轨迹的参数方程为{ x ＝cos α＋cos 2α，y ＝sin α＋sin 2α，(α为参数，0<α<2π)． (2)M 点到坐标原点的距离d ＝x 2＋y 2＝2＋2cos α(0<α<2π)． 当α＝π，d ＝0，故M 的轨迹过坐标原点．24．[选修4－5]不等式选讲设a 、b 、c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明：(1)ab ＋bc ＋ac ≤13；(2)a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥1.证明 (1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac 得 a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca . 由题设得(a ＋b ＋c )2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1.所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤13.(2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c2a ＋a ≥2c ，故a 2b ＋b 2c ＋c2a ＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )， 即a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c .所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥1.。

绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)数学(理科)注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前考生将自己的姓名\准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置。

2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3. 答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4. 考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题。

每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合M=｛x|(x+1)2 < 4,x∈R｝，N=｛-1，0，1，2，3｝，则M∩N=（）（A）｛0，1，2｝（B）｛-1，0，1，2｝（C）{-1，0，2，3} （D）{0，1，2，3}（2）设复数z满足（1-i）z=2 i，则z= （）（A）-1+i （B）-1-i （C）1+i （D）1-i（3）等比数列｛an ｝的前n项和为Sn，已知S3= a2+10a1，a5= 9，则a1= （）（A）（B）-（C）（D）-（4）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β。

直线l满足l ⊥m，l ⊥n，lβ，则（）（A）α∥β且l ∥α（B）α⊥β且l⊥β（C）α与β相交，且交线垂直于l （D）α与β相交，且交线平行于l（5）已知（1+ɑx）(1+x)5的展开式中x2的系数为5，则ɑ=（A）-4 （B）-3 （C）-2 （D）-1（6）执行右面的程序框图，如果输入的N=10，那么输出的s=（A）1+ + +…+ （B）1+ + +…+（C ）1+ + +…+ （D ）1+ + +…+（7）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz 中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（1，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为搞影面，则得到正视图可以为(A) (B) (C) (D)（8）设ɑ=log 36,b=log 510,c=log 714,则（A ）c ＞b ＞a （B ）b ＞c ＞a（C ）a ＞c ＞b (D)a ＞b ＞c（9）已知a ＞0，x ，y 满足约束条件 ,若z=2x+y 的最小值为1，则a=(A)(B) (C)1 (D)2（10）已知函数f(x)=x2+αx2+bx+，下列结论中错误的是（A ）∑x α∈R f(x α)=0（B ）函数y=f(x)的图像是中心对称图形（C ）若x α是f(x)的极小值点，则f(x)在区间（-∞,x α）单调递减（D ）若xn 是f （x ）的极值点，则f 1(x α)=0（11）设抛物线y2=3px(p ≥0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF|=5若以MF 为直径的园过点（0，3），则C 的方程为（A ）y2=4x 或y2=8x （B ）y2=2x 或y2=8x（C ）y2=4x 或y2=16x （D ）y2=2x 或y2=16x（12）已知点A （-1，0）；B （1，0）；C （0，1），直线y=ax+b(a>0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是（A ）（0，1）(B)（1-，1/2）( C)（1-，1/3）(D)[ 1/3, 1/2）第Ⅱ卷x ≥1,x+y ≤3, y ≥a(x-3). {本卷包括必考题和选考题，每个试题考生都必修作答。