离散数学代数结构部分共126页文档

因此当x 1/2时，x/(1+2x)是x的逆元，1/2无逆元.
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群的性质：消去律
设G = {a1, a2, … , an}是n阶群，令aiG = {ai aj | j=1,2,…,n} 证明 aiG = G. 证 由群中运算的封闭性有 aiGG. 假设aiGG，即 |aiG| < n. 必有aj , ak∈G使得 ai aj = ai ak （j ≠ k） 由消去律得 aj = ak , 与 |G| = n矛盾.
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子群判定定理3
设G为群，H是G的非空有穷子集，则H是G的子群当且仅当
a,b∈H有ab∈H. 证 必要性显然. 为证充分性，只需证明 a∈H有a1∈H. 任取a∈H, 若a = e, 则a1 = e∈H. 若a≠e，令S={a,a2,…}，则SH. 由于H是有穷集，必有ai = aj（i<j）. 根据G中的消去律得 aji = e，由a ≠ e可知 ji>1，由此得 a ji1a = e 和 a a ji1 = e 从而证明了a1 = a ji1∈H.
图2
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陪集的基本性质
设H是群G的子群，则a,b∈G有 a∈Hb Ha=Hb 证 充分性. 若Ha=Hb，由ea∈Hb 可知必有 a∈Hb. 必要性. 由 a∈Hb 可知存在 h∈H 使得 a =hb，即b =h1a 任取 h1a∈Ha，则有 h1a = h1(hb) = (h1h)b∈Hb 从而得到 Ha Hb. 反之，任取h1b∈Hb，则有 h1b = h1(h1a) = (h1h1)a∈Ha 从而得到Hb Ha. 综合上述，Ha=Hb得证.
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子群判定定理2
G为群，H是G的非空子集. H是G的子群当且仅当a,b∈H 有ab1∈H. 证 必要性显然. 只证充分性. 因为H非空，必存在a∈H. 根据给定条件得aa1∈H，即e∈H. 任取a∈H, 由e,a∈H 得 ea1∈H，即a1∈H. 任取a,b∈H，由上步知b1∈H， 从而a(b1) 1∈H，即ab∈H. 综合上述，可知H是G的子群.

第一节 代数结构的定义
2020年11月5日星期四
代数结构的定义 一个代数结构< S, f1, f2, …, fm >通常由两个部分组成：
一个集合S ，叫做代数的载体； 定义在载体上的运算（operator） f1, f2, …, fm
代数结构
2020年11月5日星期四
一个集合，叫做代数的载体 载体，是我们将要处理的数学目标的集合 如整数集合、实数集合、符号集合等 一般不讨论载体是空集合的代数结构
例5.1.2： 代数结构 < N, ×>与< Z, - > 具有相同的构成成分 因为它们都有一个二元运算 代数结构 < {F, T}, ∧, ∨> 与 < P(S), , >具有相同 的构成成分，它们都具有两个二元运算
子代数
2020年11月5日星期四
子代数 设< S, f1, f2, …, fm >是一个代数结构
⊙0 1 000 101
这种表称为运算表或复合表，它由 运算符、行表头元素、列表头元素 和复合元素组成。
运算⊙具有封闭性：运算表中的每个元素都属于S
结合律
2020年11月5日星期四
一、结合律
设有代数结构< S, ⊙ >，若 (x)(y)(z)(x,y,z S (x⊙y)⊙z=x⊙(y⊙z)) 则称运算⊙满足结合律，或⊙是可结合的
代数结构
2020年11月5日星期四
代数结构 有时还在代数结构的表示中加入特异元素k，记做 < S, f1, f2, …, fm , k > 载体中的特异元素，也叫做代数常数 有些运算存在么元和零元，它们在运算中起着特殊的作用
代数结构示例
2020年11月5日星期四

【例】（1）以实数集 R 为基集，加法运算" ＋"为二元，运算组成一代数系统，记为〈R， ＋〉。 （2）以全体n×n实数矩阵组成的集合 M为基集，矩阵加"+"为二元运算，组成一代 数系统，记为〈M,+〉。 (3)设 S A { | 是集合A上的关系}， “ ” 是求复合关系的运算。它们构成代数 系统S A , 。
有了集合上运算的概念后，便可定义代数结
构了。
定义6.1.2 设S是个非空集合且fi是S上的 ni元运算，其中i=1，2，…，m。由S及f1， f2，…，fm组成的结构，称为代数结构，记 作<S，f1，f2，…，fm>。
此外，集合S的基数即|S|定义代数结构 的基数。如果S是有限集合，则说代数结构 是有限代数结构；否则便说是无穷代数结构。
分配律，或者⊙对于○是可左分配的，即
(x)(y)(z)
(x，y，z∈S→x⊙(y○z))=(x⊙y)○(x⊙z))。
运算⊙对于○满足右分配律或⊙对于○是可 右分配的，即(x)(y)(z) (x，y，z∈S→(y○z)⊙x=(y⊙x)○(z⊙x)) 类似地可定义○对于⊙是满足左或右分配律。 若⊙对于○既满足左分配律又满足右分配律， 则称⊙对于○满足分配律或是可分配的。同样可 定义○对于⊙满足分配律。
x为关于⊙的右逆元:=(y)(y∈S∧y⊙x=e)；
x为关于⊙可逆的:=(y)(y∈S∧y⊙x=x⊙y=e)
给定<S，⊙>及幺元e；x，y∈S，则 y为x的左逆元:=y⊙x=e
y为x的右逆元:=x⊙y=e
y为x的逆元:=y⊙x=x⊙y=e
显然，若y是x的逆元，则x也是y的逆元，
因此称x与y互为逆元。通常x的逆元表为x-1。

添加标题
例：代数系统(N，+，×)。其中+，×分别代表通常数的加法和乘法。
添加标题
是否满足交换律？
添加标题
单位元( 幺元)
一个代数系统(S，*)， 若存在一个元素eU，使得对 xS，有：e * x =x * e = x，则称 e 为对于运算“ * ”的单位元,也称幺元 。 注意： 单位元是跟运算有关系的，不同的运算可能单位元是不一样的。
解： 作双射 f：A1A2，f(1)=b, f(2)=d, f(3)=c, f(4)=a
a
b
c
d
a
b
b
b
d
b
a
a
d
b
c
c
b
c
a
d
a
a
c
d
*
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2
3
4
1
4
1
2
4
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1
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1
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设代数系统V1=(A1，*)，V2=(A2，º)， 其中A1={1，2，3，4}， A2={a，b，c，d}， * 和 º 的运算分别如下表，V1 和 V2 是否同构？
等幂律
设 * 是定义在集合A上的一个二元运算，如果对于任意的xA，都有x * x = x，则称 * 运算是等幂的。 例: S={1,2,4}，在集合 p(S) 定义两个二元运算，∩，∪，分别表示集合的“并”运算和集合的“交”运算，∩，∪是等幂的？ 解：对于任意的A p(S) ，有A∩A=A；A∪A=A 因此运算∩，∪都满足等幂律。
性质、定理
定理 一个代数系统，其零元若存在，则唯一。 定理 一个代数系统(S，)，若集合 A 中元素的个数大于1，且该代数系统存在幺元 e 和零元θ，则θe。 证明：用反证法，设θ=e，则对于任意的xA，必有 x = ex = θx =θ= e， 即对于A中所有元素都是相同的，这与A中含有多个元素相矛盾。

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代数的概念与方法是研究计算机工程与科学的主要工具之 一.例如,要构作一个现象或过程的数学模型,就需要某种数 学结构,而代数结构就是最常用的数学结构之一；又如描述 机器可计算的函数,研究算术计算的复杂性,刻划抽象数据 结构,以及作为程序设计语言的语义学基础和编码理论等等, 也都需要代数结构的知识.因此,我们有必要掌握它的重要 概念和基本方法. 本章提供了代数结构的基础知识, 它们在组合计数、编码 理论、形式语言与自动机理论等学科中都发挥了重要作用.
所以*不满足交换律.
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(a, b) (c, d ) (ac, ad b)
（4）设单位元为 e ( a , b ) ,则对x , y Q ,应满足
( a , b ) ( x , y ) ( ax , ay b ) ( x , y ) ,
( a , b ) (1,0 ) , 即 (1,0) 为左单位元； 可以验证 (1,0 ) 也是右单位元, 故单位元为e (1,0 ) ；
例 (*, ◦, ) 是独异点, 而(+, ◦)不是.
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备注 ◦ , )中的称为代数常数. 代数结构 中的代数常数可以不止一个, 也可以没有代数 常数. (2) (*, ◦)是半群, (*, ◦ , )是独异点, 它们是 两个不同的代数结构. 我们可以将代数常数看作是0元运算,(*, ◦, ) 有1个0元运算(及1个二元运算).
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（3）结合律: [( a , b ) ( c , d )] ( e , f ) (ac, ad b) (e, f )
(a, b) (c, d ) (ac, ad b)
(ace, acf ad b) ,
(a , b) [(c, d ) (e, f )] ( a , b ) ( ce , cf d ) (ace, acf ad b) ,

第十章 代数结构通论
2. 同态、同构及同余
1. 同态与同构
➢ 定义10.9
设< S,Δ, >及< S’,Δ’, ’ >均为代数结构，称函
数 h: S→S’为（代数结构S到S’的）同态映射，或同态
（homomorphism），如果对S中任何元素a，b，
h（Δa）= Δ’（h（a））
(10-3)
h（a b）＝ h（a） ’ h（b）
第十章 代数结构通论
第十章 代数结构通论
1. 代数结构 2. 同态、同构及同余
Δ10.3 商代数与积代数
第十章 代数结构通论
1. 代数结构
1. 代数结构的意义
2.
代数结构的特殊元素
3.
子代数结构
第十章 代数结构通论
2. 同态、同构及同余
1. 同态与同构
2.
同余关系
第十章 代数结构通论
Δ 10.3商代数与积代数
√ 定理10.2
任何含有关于 运算么元的代数结构 <S， >,其所含么元是唯一的。
第十章 代数结构通论
10.1 代数结构
10.1.2 代数结构的特殊元素
➢定义10.4
元素O称为代数结构<S， >( 关于 运 算) 的零元(zero)，如果0 S且对任意x S有
x 0＝ O x＝ O 元素0r S (0l S)称为左零元（右零元）．如 果Or（Ol）满足: 对一切x S，
第十章 代数结构通论
2. 同态、同构及同余
1. 同态与同构
√ 定理10.9
设h是代数结构< S, 1, 2 > 到 < S’, 1’, 2’>的同态, 态象为< h（S）, 1’, 2’>（这里 1, 2, 1’, 2’ 均为二元 那么 （1）当运算 1( 2)满足结合律、交换律时，同态象中运算

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5 2020/2/14
第四节 子群
与集合的子集、向量空间的子空间一样. 群也有子群的概念.子群作为群的一部分. 它的结构对群的结构有重要影响.
主要概念有:平凡 元素的周期.
讨论了一个群的非空子集构成子群的条 件;在某个元素生成的子群的基础上定义 循环群,把循环群的结构研究清楚了.
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2 2020/2/14
第二节 置换(1)
群论的研究始于置换群.置换群在群论里 有重要的地位.例如，五次以上方程不能 用根号求解的问题的证明就用到置换群. 置换概念本身在计算机科学中也起作重 要作用.同时置换群的记法简单，运算方 便.
本节的概念有:置换、循环置换、不相交 置换、对换、奇置换、偶置换等;
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1 2020/2/14
第一节 代数结构概述
我们在前面已经研究过集合，那时没有 过多地考虑一个集合内部元素之间的联 系.现在我们要在一个集合的内部引入运 算，并研究其运算规律,主要内容为:
1.代数系统的定义,然后用例子说明代数 系统的丰富性;
2.代数系统的运算的常用记法和运算表 的概念.
第六章 代数结构
代数结构的主要研究对象是各种各样的代数系 统，即具有一些元运算的集合,本章介绍的群就 是具有一个二元运算的代数系统.
本章以群为例讨论代数结构，它的思想和方 法已经渗透到现代科学的许多分支、它的结果 已应用到计算机的不少方面，因此计算机科学 工作者应初步掌握其基本的理论和方法. 读者通过对群的学习应初步掌握对代数系统研 究的一般方法，从简单到复杂、从具体到一般， 从而发现代数系统的一般规律.本章的内容较为 抽象、难学.可根据具体情况删减一些内容.
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3 2020/2/14

1．主要算律
定义 10.3 设为 S 上的二元运算, （1）若对于任意的 x,y∈S 有 xy=yx, 则称运算在 S 上满足交换律. （2）若对于任意的 x,y,z∈S 有 (xy)z=x(yz), 则称运算在 S 上满足结
合律.
（3）若对于任意的 x∈S 有 xx=x, 则称运算在 S 上满足幂等律. 定义 10.4 设和∗为 S 上两个不同的二元运算,
则矩阵加法和乘法都是 Mn(R)上的二元运算.
（6）S 为任意集合，则∪、∩、－、 为 P(S)上的二元运算.
（7）SS 为 S 上的所有函数的集合，则合成运算为 SS 上的二元运算.
2. 一元运算的定义与实例 定义 10.2 设 S 为集合，函数 f：S→S 称为 S 上的一元运算，简称为一元运算. 例
定理 10.1 设为 S 上的二元运算，el 和 er 分别为 S 中关于运算的左和 右单位元，则 el = er = e 为 S 上关于运算的惟一的单位元.
证：el = eler (er 为右单位元) eler = er (el 为左单位元)
所以 el = er, 将这个单位元记作 e.
假设 e也是 S 中的单位元，则有 e = ee = e. 惟一性得证.
（4）设 S={a1,a2,…,an}, aiaj =ai 为 S 上二元运算.
（5）设 Mn(R)表示所有 n 阶(n≥2)实矩阵的集合，即
Mn
(R)


a11 a21 an1
a12 a22
an2


a1n
a2n


ann

aij R, i, j 1,2,..., n
对一元运算, x 的运算结果记作x. 2．表示二元或一元运算的方法---解析公式和运算表

定义 设<S，f1，f2，…，fm>是一代数结构，且非空集TS在运算f1，f2，…，fm作用下是封闭的，且T含有与S中相同的特异元，则称<T，f1，f2，…，fm>为代数结构<S，f1，f2，…，fm>的子代数。记为<T，f1，…><S，f1，…>。
例：设 E是所有偶数所组成的集合，则代数结构< E，＋>是< Z，＋>的一个子代数结构
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例：我们可以构造下述的一个代数结构：
设有一个由有限个字母组成的集合∑ ，叫字母表，在∑上任意长的字母串，叫做∑上句子或字符串，串中字母的个数m叫这个串的长度，我们假定当一个字的长度m=0时用符号表示，它叫做空串。这样我们可以构造一个在∑上的所有串的集合∑*。
其次，我们定义一个在∑*上的运算“//”——并置运算或者连接运算，设， ∑*，则 //＝。通过并置运算将两个串联成一个新的串，而此联成的新串也在∑*内，这样构造的<∑*，//> 是一个代数结构
有了集合上运算的概念后，便可定义代数结构了。
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定义 设S是个非空集合且fi是S上的ni元运算，其中i=1，2，…，m。由S及f1，f2，…，fm组成的结构，称为代数结构，记作<S，f1，f2，…，fm>。
例：设Z是整数集， “＋”是Z上的普通加法运算，则<Z，＋>是一个代数结构。
例：设R是实数集 ，“＋”与“×”是实数集R上的普通加法和乘法运算，则<R,＋,×>是一个代数结构。
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证：对任意A P(S)，有A∪A=A和A∩A=A，故∪和∩是等幂的。
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幺元或单位元
1
给定<S，⊙>且el，er，e∈S，则