向量知识点复习资料总结表格

高二数学《向量》知识点总结考点一：向量的概念、向量的大体定理【内容解读】了解向量的实际背景，掌握向量、零向量、平行向量、共线向量、单位向量、相等向量等概念，理解向量的几何表示，掌握平面向量的大体定理。

注意对向量概念的理解，向量是可以自由移动的，平移后所得向量与原向量相同；两个向量无法比较大小，它们的模可比较大小。

考点二：向量的运算【内容解读】向量的运算要求掌握向量的加减法运算，会用平行四边形法则、三角形法则进行向量的加减运算；掌握实数与向量的积运算，理解两个向量共线的含义，会判断两个向量的平行关系；掌握向量的数量积的运算，体会平面向量的数量积与向量投影的关系，并理解其几何意义，掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用向量积判断两个平面向量的垂直关系。

【命题规律】命题形式主要以选择、填空题型出现，难度不大，考查重点为模和向量夹角的概念、夹角公式、向量的坐标运算，有时也会与其它内容相结合。

考点三：定比分点【内容解读】掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并能熟练应用，求点分有向线段所成比时，可借助图形来帮忙理解。

【命题规律】重点考查概念和公式，主要以选择题或填空题型出现，难度一般。

由于向量应用的普遍性，常常也会与三角函数，解析几何一并考查，若出此刻解答题中，难度以中档题为主，偶尔也以难度略高的题目。

考点四：向量与三角函数的综合问题【内容解读】向量与三角函数的综合问题是高考常常出现的问题，考查了向量的知识，三角函数的知识，达到了高考中试题的覆盖面的要求。

【命题规律】命题以三角函数作为坐标，以向量的坐标运算或向量与解三角形的内容相结合，也有向量与三角函数图象平移结合的问题，属中档偏易题。

考点五：平面向量与函数问题的交汇【内容解读】平面向量与函数交汇的问题，主如果向量与二次函数结合的问题为主，要注意自变量的取值范围。

【命题规律】命题多以解答题为主，属中档题。

考点六：平面向量在平面几何中的应用【内容解读】向量的坐标表示实际上就是向量的代数表示。

向量知识点总结高一一、向量的定义和性质1. 向量的定义在数学中，向量是有大小和方向的量。

向量用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。

2. 向量的性质（1）向量的大小和方向唯一确定一个向量。

（2）同一向量的不同表示叫做向量的等价表示。

（3）向量的等价表示之间可以互相转换。

（4）向量与数的乘积可以用数的乘法来定义。

（5）向量之间可以进行加法运算和减法运算。

二、向量的基本运算1. 加法和减法（1）向量的加法：两个向量的和等于它们的尾部相连形成的新向量。

（2）向量的减法：两个向量的差是指把减数的向量的起点与被减数的向量的终点相连成新向量。

2.数乘（1）向量的数乘：一个向量与一个实数相乘是指该向量的长度乘以这个实数，并且方向不变。

3.数量积（内积）（1）数量积的定义：设两个向量a，b之间的夹角为θ，那么向量a与向量b之间的数量积为一个数abcosθ。

（2）数量积的性质：a·b=|a|·|b|cosθ。

（3）数量积的应用：计算向量的模、求向量的夹角、求向量的投影等。

4.向量积（外积）（1）向量积的定义：设有向量a，b，它们的向量积a×b是一个向量，它的大小等于|a|·|b|·sinθ，它的方向垂直于a和b所在的平面，满足右手定则。

5.混合积（1）混合积的定义：设有三个向量a，b，c，它们的混合积为|a×b·c|。

三、向量的基本定理1. 平行四边形法则对于平行四边形abcd，向量a，b的和是向量a+c，且a+c=b+d。

2. 三角形法则对于三角形abc，向量a+b+c=0。

3. 余弦定理对于三角形abc，有c²=a²+b²-2abcosC，其中C为角c所对的边。

4. 已知（a1,b1）,(a2,b2)的数量积等于0的条件两个向量的数量积等于0，表示这两个向量垂直。

四、向量的常用技巧1. 向量的模向量a的模表示为|a|，表示向量a的大小。

向量 1、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量．有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量．单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量． 2、向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点．⑶三角形不式：a b a b a b -≤+≤+．⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+ ；②结合律：()()a b c a b c ++=++ ；③00a a a +=+= ．⑸坐标运算：设()11,a x y = ，()22,b x y = ，则()1212,a b x x y y +=++．3、向量减法运算：⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．⑵坐标运算：设()11,a x y = ，()22,b x y = ，则()1212,a b x x y y -=--． 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y A B=--．4、向量数乘运算：⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①a a λλ= ； ②当0λ>时，a λ 的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a的方向相反；当0λ=时，0a λ=．1、实数与向量的积的运算律 ： 设λ、μ为实数，那么(1) 结合律：λ(μa )=(λμ)a ; (2)第一分配律：(λ+μ)a =λa +μa; (3)第二分配律：λ(a +b )=λa +λb . 2、向量的数量积的运算律：(1) a ·b= b ·a （交换律）; (2)（λa ）·b= λ（a ·b ）=λa ·b = a ·（λb ）; (3)（a +b ）·c= a ·c +b ·c. 3、平面向量基本定理如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e 1+λ2e 2．不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．4、向量共线定理：向量()0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ= ．5、向量平行的坐标表示设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则a b(b ≠0)12210x y x y ⇔-=.b aCBAa b C -=A -AB =B6、 a 与b 的数量积(或内积) ： a ·b =|a ||b |cos θ．a ·b 的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．性质：①0a b a b ⊥⇔⋅= ．②当a 与b 同向时，a b a b ⋅=；当a 与b 反向时， a b a b ⋅=- ；22a a a a ⋅== 或a a a =⋅．③a b a b ⋅≤ ．7、平面向量的坐标运算(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a+b=1212(,)x x y y ++.(2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a-b=1212(,)x x y y --.(3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--.(4)设a =(,),x y R λ∈，则λa=(,)x y λλ.(5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b=1212()x x y y +.8、两向量的夹角公式121222221122cos x x y y x y x y θ+=+⋅+(a =11(,)x y ,b =22(,)x y ).9、平面两点间的距离公式,A B d =||AB AB AB =⋅222121()()x x y y =-+-(A 11(,)x y ，B 22(,)x y ).10、向量的平行与垂直 设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则A ||b ⇔b =λa 12210x y x y ⇔-=. a ⊥b(a ≠0)⇔a ·b=012120x x y y ⇔+=. 11、线段的定比分公式设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12PP 的分点,λ是实数，且12PP PP λ=，则121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩⇔121OP OP OP λλ+=+ ⇔12(1)OP tOP t OP =+- （11t λ=+）. 12、三角形的重心坐标公式△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是123123(,)33x x x y y y G ++++. 13、点的平移公式''''x x h x x h y y k y y k⎧⎧=+=-⎪⎪⇔⎨⎨=+=-⎪⎪⎩⎩''OP OP PP ⇔=+ . 注:图形F 上的任意一点P(x ，y)在平移后图形'F 上的对应点为'''(,)P x y ，且'PP 的坐标为(,)h k .14、“按向量平移”的几个结论（1）点(,)P x y 按向量a =(,)h k 平移后得到点'(,)P x h y k ++.(2) 函数()y f x =的图象C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的函数解析式为()y f x h k =-+.(3) 图象'C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象C ,若C 的解析式()y f x =,则'C 的函数解析式为()y f x h k =+-.(4)曲线C :(,)0f x y =按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的方程为(,)0f x h y k --=.(5) 向量m =(,)x y 按向量a =(,)h k 平移后得到的向量仍然为m =(,)x y . 15、 三角形五“心”向量形式的充要条件设O 为ABC ∆所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则（1）O 为ABC ∆的外心222OA OB OC ⇔== .（2）O 为ABC ∆的重心0OA OB OC ⇔++=.（3）O 为ABC ∆的垂心OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅.（4）O 为ABC ∆的内心0aOA bOB cOC ⇔++=.（5）O 为ABC ∆的A ∠的旁心aOA bOB cOC ⇔=+.练习题 1、(2012·浙江)设a ，b 是两个非零向量( )A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥bB ．若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b |C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得b ＝λaD ．若存在实数λ，使得b ＝λa ，则|a ＋b |＝|a |－|b |2、(2012·辽宁)已知两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则下面结论正确的是( )A ．a ∥bB ．a ⊥bC ．|a |＝|b |D ．a ＋b ＝a －b3、已知△ABC 的三个顶点A 、B 、C 及其所在平面内一点P ，满足PA +PB +PC =AB ，则点P 与△ABC 的关系为：A. P 在△ABC 内部B. P 在△ABC 外部C. P 在边AB 所在的直线上D. P 是AC 边的一个三等分点4、已知点()()1,3,4,1,A B AB -则与向量同方向的单位向量为（ ）A ．3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，-B ．4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，-C ．3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，D ．4355⎛⎫- ⎪⎝⎭，5、设0,P ABC ∆是边AB 上一定点,满足AB B P 410=,且对于边AB 上任一点P ,恒有C P B P PC PB 00∙≥∙.则（ ）A 、090=∠ABCB ．090=∠BAC C ．AC AB =D ．BC AC =6、在四边形ABCD 中,(1,2)AC = ,(4,2)BD =-,则四边形的面积为（ ）A ．5B ．25C ．5D ．107、在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,两定点,A B 满足2,OA OB OA OB ===则点集{}|,1,,P OP OA OB R λμλμλμ=++≤∈所表示的区域的面积是（ ）A ．22B ．23C ．42D ．438、已知,a b 是单位向量,0a b =.若向量c 满足1,c a b c --=则的取值范围是 （ ）A ．2-1,2+1⎡⎤⎣⎦，B ．2-1,2+2⎡⎤⎣⎦，C ．1,2+1⎡⎤⎣⎦，D ．1,2+2⎡⎤⎣⎦，9、已知向量()()1,1,2,2m n λλ=+=+ ,若()()m n m n +⊥-,则=λ（ ）A ．4-B ．3-C ．2-D ．-110、已知点()1,1A -.()1,2B .()2,1C --.()3,4D ,则向量AB 在CD方向上的投影为（ ）A ．322 B ．3152 C ．322-D ．3152-11、已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C .若OA ＋2OC ＝3OB ，则|BC||AB |的值为( ) A.12 B.13 C.14D.1612、已知正方形ABCD 的边长为2,E 为CD 的中点,则AE BD =_______13、已知向量AB 与AC的夹角为120°,且3AB = ,2AC = ,若AP AB AC λ=+ ,且AP BC ⊥,则实数λ的值为__________.14、已知两个单位向量a ,b 的夹角为60°,c =t a +(1-t)b ,若b ·c =0,则t =_____. 向量a ,b ,c 在正方形网格中的位置如图所示.若c =λa +μb (λ,μ∈R),则λμ=_________.15、设21,e e 为单位向量,非零向量R y x e y e x b ∈+=,,21,若21,e e 的夹角为6π,则||||b x 的最大值等于________bca16、设E D ，分别是ABC ∆的边BC AB ，上的点,AB AD 21=,BC BE 32=,若AC AB DE 21λλ+= (21λλ，为实数),则21λλ+的值为__________17、在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点O ,AB AD AO λ+=,则λ=_________18、设1e ,2e 为单位向量.且1e ,2e 的夹角为3π,若123a e e =+,12b e =,则向量a 在b 方向上的射影为 __________19、在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点. 若·1AD BE =, 则AB的长为_____20、△ABC 中，∠C ＝90°，且CA ＝CB ＝3，点M 满足BM ＝2AM ，则CM ·CA ＝________.21、设OA ＝(1，－2)，OB ＝(a ，－1)，OC＝(－b,0)，a ＞0，b ＞0，O 为坐标原点，若A 、B 、C 三点共线，则1a ＋2b的最小值是________22、P ＝{a |a ＝(－1,1)＋m (1,2)，m ∈R}，Q ＝{b |b ＝(1，－2)＋n (2,3)，n ∈R}是两个向量集合，则P ∩Q 等于________23、如图，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，AE ＝23AD ，AB＝a ，AC ＝b .(1)用a ，b 表示向量AD ，AE ，AF ，BE ，BF；(2)求证：B ，E ，F 三点共线．24、已知向量a ＝（cos23x ，sin 23x ），b ＝（cos 2x ，—sin 2x ），且x ∈［2π，23π］.(1) 求b a ⋅及|a +b |；（II ）求函数f(x)＝b a ⋅-b a +的最小值。

空间向量与立体几何知识点归纳总结一．知识要点。

1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。

（2）向量具有平移不变性 2. 空间向量的运算。

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。

OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈运算律：⑴加法交换律：a b b a+=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a++=++⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。

（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a平行于b ，记作b a //。

（2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 存在实数λ，使a＝λb 。

（3）三点共线：A 、B 、C 三点共线<=>λ=<=>)1(=++=y x y x 其中 （4）与a共线的单位向量为±4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。

说明：空间任意的两向量都是共面的。

（2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+。

（3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>y x AP += <=>)1(=++++=z y x z y x OP 其中5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++。

若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。

空间向量与立体几何知识点归纳总结一．知识要点。

1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

注：（1)向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。

(2)向量具有平移不变性 2。

空间向量的运算。

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下(如图)。

OB OA AB a b =+=+；BA OA OB a b =-=-；()OP a R λλ=∈运算律：⑴加法交换律：a b b a+=+⑵加法结合律:)()(c b a c b a++=++⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3。

共线向量。

（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，平行于,记作b a//。

（2）共线向量定理：空间任意两个向量、（≠）,//存在实数λ，使＝λ。

(3）三点共线：A 、B 、C 三点共线〈=>AC AB λ=<=>)1(=++=y x OB y OA x OC 其中 （4）与a 共线的单位向量为aa ±4。

共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。

说明：空间任意的两向量都是共面的。

(2）共面向量定理:如果两个向量,a b 不共线,与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+.（3)四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面〈=>AC y AB x AP += 〈=>)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 其中 5. 空间向量基本定理:如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ,存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++.若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。

空间向量与立体几何知识点归纳总结一.知识要点。

1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

注：（1）向量一般用有向线段表示•同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 （2）向量具有平移不变性 2. 空间向量的运算。

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）运算律：⑴加法交换律：abba ⑵加法结合律：（a b ） c a （b c ） ⑶数乘分配律：（a b ） a b运算法则：三角形法则、平行四边形法则、 平行六面体法则3.共线向量。

（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直 线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a 平行于b ，记作a // b 。

（2） 共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （ b 工0 ）, a //b 存在实数 入使a = 7b 。

（3） 三点共线：A 、B 、C 三点共线<=> ABAC<=>OC XOA yOB （其中（ y 1）f一 a（4）与a 共线的单位向量为— a4. 共面向量（1） 定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。

说明：空间任意的两向量都是共面的。

（2） 共面向量定理：如果两个向量a,b 不共线，p 与向量a,b 共面的条件是存在实数r r rx, y 使 p xa yb 。

（3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面v=>AP xAB yAC <=>OP xOAyOB zOC （其中 x y z 1）一 r 「「一 一 一 r5.空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c 不共面，那么对空间任一向量 p ，存在一ra 加B gor br r r r个唯一的有序实数组x,y, z，使p xa yb zc or r r r ,r r r ,r r 若三向量a,b,c不共面，我们把｛a,b,c｝叫做空间的一个基底，a,b,c叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。

空间向量与立体几何知识点归纳总结一．知识要点。

1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。

（2）向量具有平移不变性 2. 空间向量的运算。

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。

OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈运算律：⑴加法交换律：a b b a+=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a++=++⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。

（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a平行于b ，记作b a //。

（2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 存在实数λ，使a ＝λb 。

（3）三点共线：A 、B 、C 三点共线<=>AC AB λ=<=>)1(=++=y x OB y OA x OC 其中 （4）与a 共线的单位向量为aa ±4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。

说明：空间任意的两向量都是共面的。

（2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+。

（3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>AC y AB x AP +=<=>)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 其中5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++。

若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。

向量组相关知识点总结一、向量的定义和性质:1. 向量的定义：向量是具有大小和方向的量，通常用箭头表示，可以表示平移、位移、速度、加速度等物理量。

2. 向量的模：向量的大小称为模，通常用|AB|或||A||表示，表示点A到点B的距离。

3. 单位向量：模为1的向量称为单位向量，通常用e表示，如i,j,k。

4. 向量的相等：向量的模和方向都相等时，称为相等向量。

5. 向量的相反：模相等，但方向相反的向量称为相反向量。

6. 平行向量：方向相同或相反的向量称为平行向量。

7. 向量的加法：向量的加法满足交换律和结合律，用平行四边形法则或三角法则进行计算，例如A+B=B+A, A+(B+C)=(A+B)+C。

8. 向量的减法：向量的减法可以转化为加法，即A-B = A+(-B)。

9. 数乘：一个向量与一个实数相乘，结果是一个新的向量，模的变化为原来的模与实数的绝对值的乘积，方向不变或相反。

二、向量组的线性相关性和线性无关性:1. 定义：给定向量组V={v1,v2,...,vn}，如果存在一组不全为0的实数k1,k2,...,kn,使得k1v1+k2v2+...+knvn=0，则称向量组V线性相关。

否则称为线性无关。

2. 性质：a. 向量组中包含一个零向量，则向量组一定线性相关。

b. 向量组中向量个数大于向量的维数，则向量组一定线性相关。

c. 向量组中一个向量是另一个向量的线性组合，则向量组一定线性相关。

3. 判定方法：通过求解线性方程组，若方程组有非零解，则向量组线性相关；若方程组只有零解，则向量组线性无关。

4. 线性相关向量组的性质：如果一个向量组A的子集B线性相关，则向量组A一定线性相关。

5. 极大线性无关组：对于向量组V中的线性无关的向量组，如果再加入一个该向量组中的向量会使其变成线性相关，则称该向量组为极大线性无关组。

6. 基础向量组和坐标：对于线性无关的向量组V，可以通过线性组合得到空间内的所有向量，称为向量组V的基础向量组。

有关向量的知识点总结一、向量的定义在数学中，向量是指具有大小和方向的量，常用箭头表示。

向量通常用有序数组表示，如(a1, a2, ..., an)，其中ai为向量在每一个坐标轴上的分量。

向量也可以用字母加上一个箭头表示，如a→, a→。

向量有很多种表示方式，比如坐标表示、基底表示等。

向量的模表示了向量的大小，向量的方向则由向量本身的方向决定。

二、向量的性质1.向量的加法：对于两个向量a→=(a1,a2,...,an), b→=(b1,b2,...,bn)，它们的和是a→+b→=(a1+b1, a2+b2, ..., an+bn)。

2.向量的数量乘法：给定一个向量a→=(a1,a2,...,an)和一个标量λ，它们的数量积是λa→=(λa1,λa2,...,λan)。

3.向量的点积（内积）：对于两个向量a→=(a1,a2,...,an), b→=(b1,b2,...,bn)，它们的点积是a→·b→=a1b1+a2b2+...+anbn。

4.向量的叉积（外积）：对于三维空间中的向量a→=(a1,a2,a3)和b→=(b1,b2,b3)，它们的叉积是a→×b→=(a2b3−a3b2, a3b1−a1b3, a1b2−a2b1)。

三、向量的运算规则1.向量满足交换律和结合律，即a→+b→=b→+a→，(a→+b→)+c→=a→+(b→+c→)。

2.各种向量运算都满足分配律，即λ(a→+b→)=λa→+λb→，(λ+μ)a→=λa→+μa→，a→·(b→+c→)=a→·b→+a→·c→。

3.向量的点积还满足a→·b→=|a→||b→|cosθ，其中θ为a→和b→之间的夹角。

4.两个向量的叉积的大小是这两个向量构成的平行四边形的面积，即|a→×b→|=|a→||b→|sinθ，其中θ为a→和b→之间的夹角。

四、向量的应用1.物理学中，向量常用于描述物体的运动状态、力的作用方向和大小等。

空间向量与立体几何知识点归纳总结一．知识要点。

1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。

（2）向量具有平移不变性2. 空间向量的运算。

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。

OB OA AB a b =+=+ ;BA OA OB a b =-=- ;()OP a R λλ=∈运算律：⑴加法交换律：a b b a +=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a++=++⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。

（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a平行于b ，记作b a//。

（2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b（b ≠0 ），a //b 存在实数λ，使a＝λb 。

（3）三点共线：A 、B 、C 三点共线<=>AC AB λ=<=>)1(=++=y x OB y OA x OC 其中（4）与a共线的单位向量为a ±4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。

说明：空间任意的两向量都是共面的。

（2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b共面的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+。

（3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>AC y AB x AP +=<=>)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 其中5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++。

若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。

空间向量与立体几何知识点归纳总结一．知识要点。

1.空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。

（2）向量具有平移不变性2。

空间向量的运算。

定义:与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下(如图）。

；；运算律：⑴加法交换律：⑵加法结合律:⑶数乘分配律:运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则3。

共线向量。

（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，平行于,记作。

(2）共线向量定理：空间任意两个向量、（≠），//存在实数λ，使＝λ。

(3）三点共线:A、B、C三点共线<=〉<=〉（4）与共线的单位向量为4。

共面向量（1)定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。

说明：空间任意的两向量都是共面的。

（2)共面向量定理:如果两个向量不共线，与向量共面的条件是存在实数使。

（3）四点共面:若A、B、C、P四点共面〈=〉〈=〉5. 空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使。

若三向量不共面，我们把叫做空间的一个基底，叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.推论：设是不共面的四点，则对空间任一点，都存在唯一的三个有序实数,使。

6。

空间向量的直角坐标系：(1）空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在唯一的有序实数组,使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标,记作，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标。

注：①点A（x,y,z)关于x轴的的对称点为(x,-y，—z）,关于xoy平面的对称点为（x,y,-z).即点关于什么轴/平面对称，什么坐标不变,其余的分坐标均相反。

②在y轴上的点设为（0,y，0），在平面yOz中的点设为（0,y，z）(2)若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为，这个基底叫单位正交基底，用表示。

向量知识点总结在数学和物理学中，向量是一种具有大小和方向的量。

它在许多领域中都有广泛应用，包括几何、力学、电磁学等。

本文将总结向量的基本概念、运算法则以及一些常见应用。

1. 向量的基本概念向量由大小和方向两个要素组成。

我们通常用箭头（→）来表示向量，如AB→。

向量可以用坐标表示，也可以用矩阵表示。

2. 向量的表示方法2.1 坐标表示：向量的坐标表示为(x, y, z)，分别代表向量在x、y、z轴上的投影长度。

2.2 矩阵表示：向量也可以用矩阵表示，如A = [a1, a2, a3]，其中a1、a2、a3为向量在不同轴上的分量。

3. 向量的运算法则3.1 向量的加法：当两个向量的方向相同时，它们的加法就是将两个向量的对应分量相加，如A + B = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)。

3.2 向量的减法：向量的减法是指将被减向量的分量取相反数后与减向量相加，如A - B = (x1 - x2, y1 - y2, z1 - z2)。

3.3 向量的数量乘法：向量的数量乘法是指将向量的每个分量都与一个常数相乘，如kA = (kx, ky, kz)，其中k为常数。

3.4 向量的点积：向量的点积是指两个向量对应分量乘积的和，如A · B = x1x2 + y1y2 + z1z2，结果是一个标量。

3.5 向量的叉积：向量的叉积是指两个向量相乘得到一个新的向量，如A × B = (y1z2 - y2z1, z1x2 - z2x1, x1y2 - x2y1)。

4. 向量的性质4.1 平行向量：如果两个向量的方向相同或相反，则它们是平行向量。

4.2 垂直向量：如果两个向量的点积为0，则它们是垂直向量。

4.3 单位向量：向量的长度称为其模，单位向量是模为1的向量。

5. 向量的应用5.1 几何：向量在几何中有广泛的应用，如表示线段、直线、平面的方向和距离等。

5.2 力学：向量在力学中用于描述力和速度等物理量。

有关向量的知识点总结一、向量的基本概念1、向量的定义：既有大小又有方向的量称为向量。

姓名：＿___________________________2、向量的表示（1）几何表示：用有向线段表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。

（2）字母表示：通常用小写字母表示向量，如\（＼vec{a}＼），＼（＼vec{b}＼），＼（＼vec{c}＼）等；有时也用大写字母表示，如\（＼overrightarrow{AB}＼）表示以\（A\）为起点，＼（B\）为终点的向量。

姓名：＿___________________________3、向量的模向量的大小称为向量的模，记作\（｜＼vec{a}｜＼）。

若\（＼overrightarrow{AB}＼），则其模长为\（｜＼overrightarrow{AB}｜＝＼sqrt{（x_{2} x_{1}）＾2 ＋（y_{2} y_{1}）＾2}＼）（其中\（（x_{1}，y_{1}）＼）和\（（x_{2}，y_{2}）＼）分别为\（A\）、＼（B\）两点的坐标）。

姓名：＿___________________________4、零向量长度为\（0\）的向量称为零向量，记作\（＼vec{0}＼），其方向是任意的。

姓名：＿___________________________5、单位向量长度等于\（1\）个单位的向量称为单位向量。

姓名：＿___________________________二、向量的运算1、向量的加法（1）三角形法则：已知非零向量\（＼vec{a}＼），＼（＼vec{b}＼），在平面内任取一点\（A\），作\（＼overrightarrow{AB} ＝＼vec{a}＼），＼（＼overrightarrow{BC} ＝＼vec{b}＼），则向量\（＼overrightarrow{AC}＼）叫做\（＼vec{a}＼）与\（＼vec{b}＼）的和，记作\（＼vec{a} ＋＼vec{b}＼），即\（＼vec{a} ＋＼vec{b} ＝＼overrightarrow{AC}＼）。

向量知识点全总结一、向量的基本概念1.1 向量的定义向量是表示空间中有方向和大小的量，通常用箭头来表示。

向量可以用坐标表示，也可以用物理量的大小和方向表示。

1.2 向量的性质（1）相等性质：两个向量相等，当且仅当它们的大小相等并且方向相同。

（2）零向量：大小为0的向量称为零向量。

（3）负向量：一个向量的方向与另一个向量相反，并且大小相同，那么这个向量就是另一个向量的负向量。

1.3 向量的表示向量可以用坐标表示，一般表示为 (x，y) 或 (x，y，z)。

也可以用物理量的大小和方向表示。

1.4 向量的运算（1）向量的加法：向量a加上向量b得到向量c，即a＋b=c，也可以表示为c＝a+b。

（2）向量的减法：向量a减去向量b得到向量c，即a－b=c，也可以表示为c＝a-b。

（3）向量的数乘：一个向量乘以一个实数k，得到一个新的向量，大小和原向量的方向相同。

1.5 向量的线性运算（1）向量的线性组合：给定向量α1，α2，···，αn及标量k1，k2，···，kn，它们的线性组合是指表达式k1α1+k2α2+···+knαn ，其中k1，k2，···，kn 是任意实数。

（2）基底：如果空间里的所有向量都可以由向量组β1，β2，···，βn的线性组合组成，那么向量组β1，β2，···，βn被称为空间的一组基底。

1.6 向量的模向量的模表示向量的大小，通常用|v|表示。

对于二维向量(x，y)和三维向量(x，y，z)，向量的模可以表示为：|v|=√(x^2+y^2) （二维）|v|=√(x^2+y^2+z^2) （三维）1.7 向量的方向向量的方向是指向量的朝向。

可以用夹角来表示向量的方向。

1.8 单位向量模为1的向量称为单位向量。

1.9 向量的投影向量a在向量b上的投影是向量a在向量b上的正交投影。

高中向量知识点总结打印一、向量的定义与性质1. 向量的定义向量是具有大小和方向的量，通常表示为有向线段。

在数学上，向量通常用箭头或者加粗表示，例如，AB→或者A⃗A⃗。

2. 向量的性质（1）相等向量向量以起点和终点表示，两个向量相等意味着它们的大小和方向相同。

即如果A⃗A⃗→=A⃗A⃗→，则向量A⃗A⃗→与向量A⃗A⃗→相等。

（2）零向量零向量是长度为0的向量，记作0A⃗→。

它在平面直角坐标系中的表示是一个起点和终点相同的点。

（3）平行向量如果两个向量的方向相同或者相反，则它们是平行向量。

并且，如果它们的大小相同，则它们是共线的。

（4）共线向量如果两个向量或多个向量共线，那么它们一定是平行的。

（5）方向角方向角是从 x 轴正半轴逆时针旋转到向量的角度。

一个向量的方向角不是唯一确定的，通常用θ表示。

二、向量的表示1. 分量表示平面直角坐标系中，一个向量A⃗A⃗→可表示为A⃗XY ZA⃗→=A⃗A⃗A⃗+A⃗A⃗A⃗。

2. 基本单位向量表示三维空间的向量可以表示为A⃗A⃗→=A⃗+A⃗+A⃗A⃗，其中i、j、k分别是坐标轴上的单位向量。

三、向量的运算1. 向量的加法向量的加法满足“平行四边形法则”：若A⃗A⃗→和A⃗A⃗→是平面直角坐标系中的两个向量，则A⃗A⃗→+A⃗A⃗→就是以A⃗A⃗→为一条边，以A⃗A⃗→为对角线的平行四边形的对角线。

2. 向量的减法向量的减法A⃗A⃗→−A⃗A⃗→=A⃗A⃗→+(−A⃗A⃗→)。

3. 向量的数乘数乘是指一个向量乘以一个数。

A⃗A⃗A⃗→=A⃗A⃗+A⃗A⃗+A⃗A⃗A⃗。

4. 向量的数量积向量A⃗A⃗→与向量A⃗A⃗→的数量积定义为数量积A⃗A⃗→·A⃗A⃗→=|A⃗A⃗→|·|A⃗A⃗→|·cosθ，其中|A⃗A⃗→|、|A⃗A⃗→|分别为向量A⃗A⃗→和A⃗A⃗→的模，θ 是它们之间的夹角。

5. 向量的向量积向量A⃗A⃗→与向量A⃗A⃗→的向量积定义为向量积A⃗×A⃗=|A⃗A⃗→|·|A⃗A⃗→|·sinθ·n，其中|A⃗A⃗→|、|A⃗A⃗→|分别为向量A⃗A⃗→和A⃗A⃗→的模，θ 是它们之间的夹角，n 为垂直于由A⃗A⃗→、A⃗A⃗→引出的平面上的单位向量。

平面向量知识要点1.(1)向量的基本要素：大小和方向.(2)向量的表示：几何表示法；字母表示：a；(3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a｜.(4)特殊的向量：零向量：零向量的方向是任意的。

但我们规定：零向量的方向与任一向量平行。

零向量的方向不确定，但模的大小确定。

a＝O｜a｜＝O.单位向量：单位向量是指模等于1的向量。

由于是非零向量，单位向量具有确定的方向。

aO为单位向量｜aO｜＝1.(5)(6) 相反向量：长度相等且方向相反的两个向量。

a=-b b=-a a+b=0(7)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a∥b.平行向量也称为共线向量.2.两个向量的关系⑴平行（共线）：平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，记作：a∥b，规定零向量和任何向量平行。

⑵重合、相交附：三角形的五个“心”；重心：三角形三条中线交点.外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.内心：三角形三内角的平分线相交于一点.垂心：三角形三边上的高相交于一点.旁心：三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点.3.向量的运算：三角形法则、平行四边形法则4.向量的线性组合：5.分向量A l 1FG B Cl 2向量训练1.下列命题中是假命题的是( )(A) 若，则. (B)(C) 若，则.(D) 若，则2．如果向量与单位向量方向相反，且长度为，那么向量用单位向量表示为（ ）（A ）； （B ）； （C ）； （D ）．3.下列命题正确是（ ）A ．长度相等的两个非零向量相等B ．平行向量一定在同一直线上C ．与零向量相等的向量必定是零向量D ．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点 4.已知，，且与反向，如果用向量表示向量，那么= ．5.如图，正方形ABCD 中，M 是边BC 上一点，且BM=BC ，若，，则_______（用和表示）6.已知：平行四边形ABCD ，点M ，N 分别是边DC,BC 的中点，射线AM 与BC 相交于点E 。