向量知识点总结 最新最全

高中向量知识点归纳总结一、向量的概念与表示1. 向量的定义与概念向量是具有大小和方向的物理量，表示为有向线段。

向量的大小称为模，通常用|a|表示；向量的方向用一个角度或者与坐标轴的夹角表示。

2. 向量的表示向量可以通过不同方式进行表示，常见的表示方法有点表示法、坐标表示法和分解成分表示法。

其中点表示法是指用起点和终点的坐标表示向量，坐标表示法是指用向量的坐标来表示向量，分解成分表示法是指将一个向量分解为与坐标轴平行的分向量。

二、向量的运算1. 向量的加法向量的加法满足三角形法则，即两个向量相加的结果是以它们为两边的平行四边形的对角线。

2. 向量的数乘向量的数乘是指一个向量与一个实数相乘，结果是一个大小变为原来的倍数，方向不变的新向量。

3. 向量的减法向量的减法即将一个向量减去另一个向量，可以理解为向量的加法的逆运算。

4. 向量的线性运算线性运算是指向量的加法和数乘运算满足分配律、结合律和交换律。

5. 向量的数量积向量的数量积又称为点积，表示为a·b，定义为|a|·|b|·cos(θ)，其中|a|和|b|分别是向量a 和b的模，θ是两个向量的夹角。

6. 向量的数量积的性质向量的数量积具有交换律、分配律和可能与零向量数量积为零等性质。

7. 向量的向量积向量的向量积又称为叉积，定义为一个向量与另一个向量在夹角方向上的投影的大小。

8. 已知向量的坐标求向量大小通过向量的坐标可以利用勾股定理求出向量的大小。

9. 用向量表示物理问题在物理问题中，可以利用向量的运算来描述力的合成、速度方向以及几何问题等。

三、平面向量1. 平面向量的模和方向平面向量的模指向量的大小，平面向量的方向指向量的方向。

2. 平面向量共线与定比分点若有两个向量a和b，则a与b共线的充分必要条件是存在实数λ，使得a=λb或者b=λa；定比分点是指分点m将向量a和b分成λ:1-λ的两部分。

3. 平面向量共面若有三个向量a、b、c，则a、b、c共面的充分必要条件是它们的数量积为零。

向量知识点与公式总结向量是数学中的一个重要概念，具有广泛的应用和许多重要的性质。

接下来，我将结合向量的定义、基本运算、向量积、应用与公式等方面，进行一篇总结文章。

一、向量的定义与表示向量是有大小和方向的量，可以用有序的数对或列矩阵表示。

通常记作：A = (a1, a2, ..., an) 或 A = [a1, a2, ..., an]向量的大小和方向分别由模和方向角表示，其中模表示向量的长度，方向角表示向量与某一坐标轴的夹角。

二、向量的基本运算1. 向量的加法向量的加法是指将两个向量的对应分量相加，结果仍为一个向量。

表示为：A +B = (a1 + b1, a2 + b2, ..., an + bn)2. 向量的减法向量的减法是指将两个向量的对应分量相减，结果仍为一个向量。

表示为：A -B = (a1 - b1, a2 - b2, ..., an - bn)3. 向量的数量乘法向量的数量乘法是指将一个向量的每个分量乘以一个实数，结果仍为一个向量。

表示为：kA = (ka1, ka2, ..., kan)，其中k为实数。

4. 内积向量的内积也叫点乘，表示为A·B，定义为：A·B = a1b1 + a2b2 + ... + anbn5. 向量的模向量的模表示向量的长度，记作 ||A||，定义为：||A|| = √(a1² + a2² + ... + an²)三、向量积向量积又叫叉乘，是在三维空间中定义的二元运算。

向量积的结果是一个新的向量，其大小为原向量所构成的平行四边形的面积，并且垂直于原向量所在的平面。

表示为A × B，定义为：A ×B = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)四、向量的应用1. 物理学中的力和速度在物理学中，力和速度常常用向量表示。

力是有大小和方向的，所以可以看作是一个向量。

高中向量部分知识点总结一、向量的概念和表示1. 向量的概念向量是具有大小和方向的量，通常用箭头表示。

物理上，速度、力、位移等都可以用向量表示。

在几何学中，位移、速度、加速度等物理量都是向量。

2. 向量的表示方法向量可以用多种表示方法，包括：方向向量、定点向量、线段的中点向量、终点向量等。

其中，最常用的表示方法是平行四边形法则和三角法则。

二、向量的运算1. 向量的加法向量的加法满足三角形法则，即两个向量的和等于以这两个向量为两边的三角形的对角线。

2. 向量的减法向量的减法可以看作是向量的加法，即将减去的向量取反后与被减的向量相加。

3. 向量的数量积向量的数量积，也称为内积，是向量的数量乘积加和。

设向量 a=(x1, y1)，向量 b=(x2, y2)，则 a·b=x1x2+y1y2。

4. 向量的夹角两个向量的夹角可以由向量的数量积求得，夹角的余弦等于两个向量的数量积与向量的模的乘积。

5. 向量的外积向量的外积，也称为叉积，是两个向量对应分量的乘积减去对应分量的乘积。

设向量a=(x1, y1)，向量 b=(x2, y2)，则 a×b=x1y2-y1x2。

三、向量的应用1. 物理中的向量在物理学中，很多物理量都是向量，如力、速度、加速度、位移等。

利用向量的概念和运算律，可以很好地描述和分析物理现象。

2. 几何中的向量在几何学中，向量经常用来描述线段、向量和点的位置关系，从而解决多种几何问题。

同时，向量还被应用到三角函数的相关计算中。

四、平面向量及坐标表示1. 平面向量的概念平面上的向量是指具有大小和方向的量。

平面上的每一个向量都可以利用坐标表示。

在平面直角坐标系中，平面向量可以用两个有序实数对表示。

2. 平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示是指用有序实数对表示向量的坐标。

在平面直角坐标系中，向量a=(x1, y1)，向量 b=(x2, y2)，则可以表示为 a=(x1, y1)，b=(x2, y2)。

向量知识点总结在数学和统计学中，向量是一种常见且重要的概念。

它是指具有大小和方向的物理量，可以用来表示空间中的位置、速度、力等。

在本文中，我将介绍向量的基本概念、运算规则以及常见的应用场景。

1.向量的基本概念向量由多个有序的数值组成，通常用箭头表示。

例如，一个二维向量可以表示为(v1, v2)，其中v1和v2分别表示向量在x轴和y轴方向上的分量。

向量也可以是三维或更高维的，表示更复杂的空间关系。

向量的大小称为模，可以通过勾股定理计算。

2.向量的运算规则向量之间可以进行加法、减法和数乘等运算。

加法运算是指将两个向量的对应分量相加，得到一个新的向量。

减法运算是指将两个向量的对应分量相减，得到一个新的向量。

数乘运算是指将一个向量的每个分量都乘以一个实数，得到一个新的向量。

这些运算满足交换律、结合律和分配律等基本规则。

3.向量的应用场景向量在各个学科领域中都有广泛的应用。

在物理学中，向量可以用来表示力的方向和大小，研究物体的运动和受力情况。

在计算机图形学中，向量可以用来表示三维空间中的点和方向，实现三维模型的渲染和动画效果。

在机器学习和数据分析中，向量可以用来表示样本的特征，进行分类和聚类等任务。

4.向量的线性相关性两个向量之间可能存在线性相关性，即一个向量可以由另一个向量线性表示。

这种关系可以通过计算向量的内积来确定。

如果两个向量的内积为0，则它们垂直且线性无关；如果内积不为0，则它们具有一定的关联性。

线性相关的向量在机器学习中经常用于构造特征和优化模型。

5.向量的投影向量的投影是指将一个向量投影到另一个向量上，得到一个新的向量。

投影可以用来计算向量在某个方向上的分量大小，常用于计算夹角、距离和相似度等。

在机器学习中，向量的投影可以用于特征选择和维度约简等任务。

6.向量的范数向量的范数是指向量的大小或长度，可以用来衡量向量的强度或距离。

常见的向量范数有L1范数、L2范数和无穷范数等。

L1范数是指向量的所有分量的绝对值之和，L2范数是指向量的分量平方和的平方根，无穷范数是指向量的分量绝对值的最大值。

向量知识点公式总结一、向量的概念1. 向量的定义在欧氏空间中，向量是指一个有大小和方向的量，可以用箭头表示。

在数学上，向量通常用坐标表示，比如二维空间中的向量可以表示为(x, y)，三维空间中的向量可以表示为(x, y, z)。

向量与点不同，向量只有方向和大小，没有固定的位置。

2. 向量的运算（1）向量的加法设有向量a=(a1,a2,a3)，b=(b1,b2,b3)，则a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3)。

（2）向量的数乘设有向量a=(a1,a2,a3)，k为常数，则ka=(ka1,ka2,ka3)。

3. 向量的模长设有向量a=(a1,a2,a3)，则向量a的模长是|a| = √(a1^2 + a2^2 + a3^2)。

4. 向量的方向角设有向量a=(a1,a2,a3)，则向量a的方向角分别为α、β、γ，其中cosα = a1/|a|，cosβ =a2/|a|，cosγ = a3/|a|。

二、向量的线性表示1. 点乘设有向量a=(a1,a2,a3)，b=(b1,b2,b3)，则a•b = a1b1 + a2b2 + a3b3。

2. 叉乘设有向量a=(a1,a2,a3)，b=(b1,b2,b3)，则a×b = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)。

3. 向量的混合积设有向量a=(a1,a2,a3)，b=(b1,b2,b3)，c=(c1,c2,c3)，则[a,b,c] = a•(b×c) = b•(c×a) = c•(a×b)。

三、向量的坐标表示1. 平面直角坐标系上的向量设有向量a，其起点坐标为A(x1, y1)，终点坐标为B(x2, y2)，则a=(x2-x1, y2-y1)。

2. 空间直角坐标系上的向量设有向量a，其起点坐标为A(x1, y1, z1)，终点坐标为B(x2, y2, z2)，则a=(x2-x1, y2-y1, z2-z1)。

向量知识点与公式总结一、向量的基本概念1. 向量的定义：向量是具有大小和方向的物理量，通常用一个箭头表示，箭头的长度代表向量的大小，箭头的方向代表向量的方向。

2. 向量的表示：通常用字母加上一个箭头表示向量，如a、b、c等，也可以用粗体字母表示向量，如a、b、c等。

3. 向量的模：向量的大小叫做模，通常用|a|表示，表示向量a的大小。

4. 向量的方向：向量的方向是指向量所在的直线的方向。

通常用角度来表示，如θ，表示与x轴的夹角。

5. 坐标表示：向量也可以用坐标来表示，如(a₁, a₂, a₃)表示三维空间中的一个向量。

6. 零向量：大小为零的向量叫做零向量，通常用0表示。

7. 平行向量：如果两个向量的方向相同或者相反，那么它们就是平行向量。

8. 共线向量：如果两个向量在同一条直线上，那么它们就是共线向量。

二、向量的运算1. 向量的加法：向量的加法是指将两个向量的相应分量相加得到一个新的向量。

表示为a + b = c，其中c的分量是a和b的分量相加得到的。

2. 向量的减法：向量的减法是指将一个向量的分量减去另一个向量的分量得到一个新的向量。

表示为a - b = c，其中c的分量是a和b的分量相减得到的。

3. 向量的数量乘法：向量的数量乘法是指将一个向量的每个分量乘以一个数量得到一个新的向量。

表示为ka = b，其中b的分量是a的每个分量乘以k得到的。

4. 内积：两个向量a和b的内积表示为a·b，它等于a与b的模的乘积与它们的夹角的余弦值的乘积。

内积的计算公式为a·b = |a||b|cosθ。

5. 外积：两个向量a和b的外积表示为a×b，它等于一个新的向量，它的大小等于a与b 所构成的平行四边形的面积，方向垂直于a和b所构成的平面。

三、向量的性质1. 方向性：向量有方向性，即向量的方向是它的一个重要特征。

2. 大小性：向量有大小性，即向量有模，它的大小可以用模来表示。

物理向量知识点总结一、向量的概念我们在日常生活中常常听到“矢量”这个词，乍听之下可能会觉得这只是一个数学概念，与我们的生活并无关联。

而其实，矢量概念贯穿于自然科学的方方面面。

在物理学中，向量是一个重要的概念，它不仅能够帮助我们描述物体的运动和力的作用，还能够用来描述电场、磁场等物理量的大小和方向。

1. 向量的定义向量的定义比较抽象，通常使用箭头表示。

向量的大小用箭头长度表示，箭头的指向表示向量的方向。

向量的大小和方向都很重要，称为向量的模和方向。

在具体的计算中，我们使用有向线段表示向量。

有向线段具有一定的长度和方向，它代表着从一个点到另一个点的位移。

2. 向量的特点向量通常具有以下几个特点：a. 有大小和方向；b. 可以进行加法和减法运算；c. 可以进行数乘运算；d. 可以表示物理量，如速度、力、位移等；e. 可以进行坐标表示。

3. 向量的表示通常使用直角坐标系表示向量，在二维直角坐标系中，向量可以表示为（a，b），其中a为向量在x轴上的分量，b为向量在y轴上的分量。

在三维空间中，向量可以表示为（a，b，c），其中a，b，c分别为向量在x，y，z轴上的分量。

二、向量的基本运算1. 向量的加法向量的加法是指将一个向量与另一个向量相加，得到一个新的向量。

向量的加法满足三角形法则，即将两个向量首尾相连，新的向量的起点为第一个向量的起点，终点为第二个向量的终点。

2. 向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量，得到一个新的向量。

向量的减法可以理解为向量的加法的逆运算，即将被减去的向量取反，再进行加法运算。

3. 向量的数乘向量的数乘是指将一个向量与一个标量相乘，得到一个新的向量。

数乘的结果是一个与原向量方向相同或相反，大小为原向量大小的数值倍的向量。

数乘可以用来改变向量的大小，也可以改变向量的方向。

4. 向量的数量积向量的数量积又称为内积或点积，是指两个向量相乘得到一个标量。

向量的数量积满足交换律和分配律，即a·b=b·a, a·(b+c)=a·b+a·c。

高中向量所有的知识点总结一、向量及其性质1. 定义：具有大小和方向的量称为向量。

向量通常用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。

2. 向量的表示：向量通常用有序数对表示，如(a, b)。

其中，a表示向量的横坐标，b表示向量的纵坐标。

3. 向量的模：向量的模表示向量的大小，通常用||a||表示。

模的计算公式为：||a||=√(a^2+b^2)。

4. 向量的方向角：向量的方向可以用与x轴的夹角来表示，记为θ。

计算公式为：tanθ=b/a。

5. 平行向量：如果两个向量的方向相同或者相反，则称这两个向量是平行的。

6. 单位向量：模为1的向量称为单位向量。

7. 坐标系与向量：向量可以在不同的坐标系中表示，常见的坐标系有直角坐标系和极坐标系。

8. 特殊向量：零向量、负向量、相等向量等。

二、向量的运算1. 向量的加法：向量的加法满足平行四边形法则，即向量a+b的末端为a和b的末端构成的平行四边形的对角线。

2. 向量的减法：向量的减法等于向量的加法取对应的相反向量。

3. 向量的数量积：向量的数量积，也称为点积，表示的是两个向量的数量关系。

计算公式为：a·b=|a|*|b|*cosθ。

4. 向量的数量积的几何意义：向量的数量积表示的是一个向量在另一个向量上的投影。

5. 向量的数量积的性质：a) 交换律，即a·b=b·a； b) 结合律，即(a+b)·c=a·c+b·c； c) 数乘结合律，即k(a·b)=(ka)·b=a·(kb)。

6. 向量的数量积的应用：如计算平行四边形的面积、计算夹角的余弦、判断向量的正交性等。

7. 向量的叉积：向量的叉积，也称为向量积，表示的是两个向量的叉积所构成的新向量。

计算公式为：a×b=|a|*|b|*sinθ。

8. 向量的叉积的性质：a) 叉积满足反交换律，即a×b=-b×a； b) 叉积满足分配律，即a×(b+c)=a×b+a×c。

向量组相关知识点总结一、向量的定义和性质:1. 向量的定义：向量是具有大小和方向的量，通常用箭头表示，可以表示平移、位移、速度、加速度等物理量。

2. 向量的模：向量的大小称为模，通常用|AB|或||A||表示，表示点A到点B的距离。

3. 单位向量：模为1的向量称为单位向量，通常用e表示，如i,j,k。

4. 向量的相等：向量的模和方向都相等时，称为相等向量。

5. 向量的相反：模相等，但方向相反的向量称为相反向量。

6. 平行向量：方向相同或相反的向量称为平行向量。

7. 向量的加法：向量的加法满足交换律和结合律，用平行四边形法则或三角法则进行计算，例如A+B=B+A, A+(B+C)=(A+B)+C。

8. 向量的减法：向量的减法可以转化为加法，即A-B = A+(-B)。

9. 数乘：一个向量与一个实数相乘，结果是一个新的向量，模的变化为原来的模与实数的绝对值的乘积，方向不变或相反。

二、向量组的线性相关性和线性无关性:1. 定义：给定向量组V={v1,v2,...,vn}，如果存在一组不全为0的实数k1,k2,...,kn,使得k1v1+k2v2+...+knvn=0，则称向量组V线性相关。

否则称为线性无关。

2. 性质：a. 向量组中包含一个零向量，则向量组一定线性相关。

b. 向量组中向量个数大于向量的维数，则向量组一定线性相关。

c. 向量组中一个向量是另一个向量的线性组合，则向量组一定线性相关。

3. 判定方法：通过求解线性方程组，若方程组有非零解，则向量组线性相关；若方程组只有零解，则向量组线性无关。

4. 线性相关向量组的性质：如果一个向量组A的子集B线性相关，则向量组A一定线性相关。

5. 极大线性无关组：对于向量组V中的线性无关的向量组，如果再加入一个该向量组中的向量会使其变成线性相关，则称该向量组为极大线性无关组。

6. 基础向量组和坐标：对于线性无关的向量组V，可以通过线性组合得到空间内的所有向量，称为向量组V的基础向量组。

平面向量一、向量的基本概念1.向量的概念2.零向量：3.单位向量：长度为一个单位长度的向量（与AB 共线的单位向量是||AB AB ±）；4.相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5.平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ， 规定：零向量和任何向量平行.注：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)； ④三点A B C 、、共线 AB AC ⇔、共线.6.相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量.a 的相反向量记作a -.二、向量的表示方法1.几何表示：2.符号表示：3.坐标表示三、平面向量的基本定理定理 设12,e e 同一平面内的一组基底向量，a 是该平面内任一向量，则存在唯一实数对12(,)λλ，使1122a e e λλ=+.（1）定理核心：1122a λe λe =+；（2）从左向右看，是对向量a 的分解，且表达式唯一；反之，是对向量a 的合成.（3）向量的正交分解：当21e e ⊥时，就说1122a λe λe =+为对向量a 的正交分解． 举例3 （1）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 BA.1(0,0)e =，2(1,2)e =- B.1(1,2)e =-，2(5,7)e = C.1(3,5)e =，2(6,10)e = D.1(2,3)e =-，213,24e⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）已知,AD BE 分别是ABC △的边BC ，AC上的中线,且AD a=，BE b =,则BC 可用向量,a b 表示为 . 结果：2433a b +. （3）已知ABC △中，点D 在BC 边上，且2CD DB =，CD rAB sAC =+，则r s +=的值是 . 结果：0.四、实数与向量的积实数λ与向量a 的积是一个向量，记作a λ，它的长度和方向规定如下：（1）模：||||||a a λλ=⋅；（2）方向：当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同，当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反，当0λ=时，0a λ=，注意：0a λ≠.五、平面向量的数量积1.两个向量的夹角：对于非零向量a ，b ，作OA a =，OB b =，则把(0)AOB θθπ∠=≤≤称为向量a ，b 的夹角.当0θ=时，a ，b 同向；当θπ=时，a ，b 反向；当2πθ=时，a ，b 垂直.2.平面向量的数量积：如果两个非零向量a ，b ，它们的夹角为θ，我们把数量||||cos a b θ叫做a 与b 的数量积（或内积或点积），记作：a b ⋅，即||||cos a b a b θ⋅=⋅.规定：零向量与任一向量的数量积是0.注：数量积是一个实数，不再是一个向量.举例4 （1）ABC △中，||3AB =，||4AC =，||5BC =，则AB BC ⋅=_________. 结果：9-.（2）已知11,2a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，10,2b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，c a kb =+，d a b =-，c 与d 的夹角为4π，则k = ____. 结果：1. （3）已知||2a =，||5b =，3a b ⋅=-，则||a b +=____.（4）已知,a b 是两个非零向量，且||||||a b a b ==-，则a 与a b +的夹角为____. 结果：30. 3.向量b 在向量a 上的投影：||cos b θ，它是一个实数，但不一定大于0.举例5 已知||3a =，||5b =，且12a b ⋅=，则向量a 在向量b 上的投影为______. 结果：125. 4.a b ⋅的几何意义：数量积a b ⋅等于a 的模||a 与b 在a 上的投影的积. 5.向量数量积的性质：设两个非零向量a ，b ，其夹角为θ，则： （1）0a b a b ⊥⇔⋅=；（2）当a 、b 同向时，||||a b a b ⋅=⋅，特别地，222||||a a a a a a =⋅=⇔=； ||||a b a b ⋅=⋅是a 、b 同向的充要分条件；当a 、b 反向时，||||a b a b ⋅=-⋅，||||a b a b ⋅=-⋅是a 、b 反向的充要分条件；当θ为锐角时，0a b ⋅>，且a 、b 不同向，0a b ⋅>是θ为锐角的必要不充分条件； 当θ为钝角时，0a b ⋅<，且a 、b 不反向；0a b ⋅<是θ为钝角的必要不充分条件. （3）非零向量a ，b 夹角θ的计算公式：cos ||||a b a b θ⋅=；④||||a b a b ⋅≤.举例 6 （1）已知(,2)a λλ=，(3,2)b λ=，如果a 与b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是______. 结果：43λ<-或0λ>且13λ≠；（2）已知OFQ △的面积为S ，且1OF FQ ⋅=，若12S <，则OF ，FQ 夹角θ的取值范围是_________. 结果：,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭； （3）已知(cos ,sin )a x x =，(cos ,sin )b y y =，且满足||3||ka b a kb +=-（其中0k >）.①用k 表示a b ⋅；②求a b ⋅的最小值，并求此时a 与b 的夹角θ的大小. 结果：①21(0)4k a b k k+⋅=>；②最小值为12，60θ=. 六、向量的运算1.几何运算 （1）向量加法运算法则：①平行四边形法则；②三角形法则.运算形式：若AB a =，BC b =，则向量AC 叫做a 与b 的和，即a b AB BC AC +=+=； 作图：略.注：平行四边形法则只适用于不共线的向量. （2）向量的减法运算法则：三角形法则.运算形式：若AB a =，AC b =，则a b AB AC CA -=-=，即由减向量的终点指向被减向量的终点.作图：略.注：减向量与被减向量的起点相同. 举例7 （1）化简：①AB BC CD ++= ；②AB AD DC --= ；③()()AB CD AC BD ---= . 结果：①AD ；②CB ；③0；（2）若正方形ABCD 的边长为1，AB a =，BC b =，AC c =，则||a b c ++= . 结果： （3）若O 是ABC △所在平面内一点，且满足2OB OC OB OC OA -=+-，则ABC △的形状为. 结果：直角三角形；（4）若D 为ABC △的边BC 的中点，ABC △所在平面内有一点P ，满足0PA BP CP ++=，设||||AP PD λ=，则λ的值为 . 结果：2；（5）若点O 是ABC △的外心，且0O A O B CO ++=，则ABC △的内角C 为 . 结果：120. 2.坐标运算：设11(,)a x y =，22(,)b x y =，则（1）向量的加减法运算：1212(,)a b x x y y +=++，1212(,)a b x x y y -=--.举例8 （1）已知点(2,3)A ，(5,4)B ，(7,10)C ，若()AP AB AC λλ=+∈R ，则当λ=____时，点P 在第一、三象限的角平分线上. 结果：12； （2）已知(2,3)A ，(1,4)B ，且1(sin ,cos )2AB x y =，,(,)22x y ππ∈-，则x y += .结果：6π或2π-； （3）已知作用在点(1,1)A 的三个力1(3,4)F =，2(2,5)F =-，3(3,1)F =，则合力123F F F F =++的终点坐标是 . 结果：(9,1).（2）实数与向量的积：1111(,)(,)a x y x y λλλλ==.（3）若11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2121(,)AB x x y y =--，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.举例9 设(2,3)A ，(1,5)B -，且13AC AB =，3AD AB =，则,C D 的坐标分别是__________. 结果：11(1,),(7,9)3-. （4）平面向量数量积：1212a b x x y y ⋅=+.举例10 已知向量(sin ,cos )a x x =，(sin ,sin )b x x =，(1,0)c =-. （1）若3x π=，求向量a 、c 的夹角； （2）若3[,]84x ππ∈-，函数()f x a b λ=⋅的最大值为12，求λ的值.结果：（1）150；（2）12或1.（5）向量的模：222222||||a a x y a x y ==+⇔=+.举例11 已知,a b 均为单位向量，它们的夹角为60，那么|3|a b +=＝ .结果：（6）两点间的距离：若11(,)A x y ，22(,)B x y ，则||AB 举例12 如图，在平面斜坐标系xOy 中，60xOy ∠=一点P 关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若12OP xe ye =+其中12,e e 分别为与x 轴、y 轴同方向的单位向量，则P 点斜坐标为(,)x y . （1）若点P 的斜坐标为(2,2)-，求P 到O 的距离||PO ；（2）求以O 为圆心，1为半径的圆在斜坐标系xOy 中的方程. 结果：（1）2；（2）2210x y xy ++-=. 七、向量的运算律1.交换律：a b b a +=+，()()a a λμλμ=，a b b a ⋅=⋅；2.结合律：()a b c a b c ++=++，()a b c a b c --=-+，()()()a b a b a b λλλ=⋅=⋅；3.分配律：()a a a λμλμ+=+，()a b a b λλλ+=+，()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅.举例13 给出下列命题：① ()a b c a b a c ⋅-=⋅-⋅；② ()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅；③ 222()||2||||||a b a a b b -=-+； ④ 若0a b ⋅=，则0a =或0b =；⑤若a b c b ⋅=⋅则a c =；⑥22||a a =；⑦2a b b a a⋅=；⑧222()a b a b ⋅=⋅；⑨222()2a b a a b b -=-⋅+.其中正确的是 . 结果：①⑥⑨. 说明：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；（2）向量的“乘法”不满足结合律，即()()a b c a b c ⋅⋅≠⋅⋅，为什么？ 八、向量平行(共线)的充要条件221212//()(||||)0a b a b a b a b x y y x λ⇔⇔⋅=⇔-=.60举例14 (1)若向量(,1)a x =，(4,)b x =，当x =_____时，a 与b 共线且方向相同. 结果：2.（2）已知(1,1)a =，(4,)b x =，2u a b =+，2v a b =+，且//u v ，则x = . 结果：4. （3）设(,12)PA k =，(4,5)PB =，(10,)PC k =，则k = _____时，,,A B C 共线. 结果：2-或11. 九、向量垂直的充要条件12120||||0a b a b a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=-⇔+=.特别地||||||||ABAC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫+⊥- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 举例15 (1)已知(1,2)OA =-，(3,)OB m =，若O A O B ⊥，则m = .结果：32m =； （2）以原点O 和(4,2)A 为两个顶点作等腰直角三角形OAB ，90B ∠=︒，则点B 的坐标是 .结果：(1,3)或（3，－1））；（3）已知(,)n a b =向量n m ⊥，且||||n m =，则m =的坐标是 .结果：(,)b a -或(,)b a -. 十、线段的定比分点1.定义：设点P 是直线12P P 上异于1P 、2P 的任意一点，若存在一个实数λ ，使12PP PP λ=，则实数λ叫做点P 分有向线段12P P 所成的比λ，P 点叫做有向线段12P P 的以定比为λ的定比分点.2.λ的符号与分点P 的位置之间的关系（1）P 内分线段12P P ，即点P 在线段12P P 上0λ⇔>；（2）P 外分线段12P P 时，①点P 在线段12P P 的延长线上1λ⇔<-，②点P 在线段12P P 的反向延长线上10λ⇔-<<.注：若点P 分有向线段12P P 所成的比为λ，则点P 分有向线段21P P 所成的比为1λ.举例16 若点P 分AB 所成的比为34，则A 分BP 所成的比为 . 结果：73-. 3.线段的定比分点坐标公式：设111(,)P x y ，222(,)P x y ，点(,)P x y 分有向线段12P P 所成的比为λ，则定比分点坐标公式为1212,1(1).1x x x y y y λλλλλ+⎧=⎪⎪+≠-⎨+⎪=⎪+⎩. 特别地，当1λ=时，就得到线段12P P 的中点坐标公式1212,2.2x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩说明：（1）在使用定比分点的坐标公式时，应明确(,)x y ，11(,)x y 、22(,)x y 的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标.（2）在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比λ.举例17 （1）若(3,2)M --，(6,1)N -，且13MP MN =-，则点P 的坐标为 . 结果：7(6,)3--； （2）已知(,0)A a ，(3,2)B a +，直线12y ax =与线段AB 交于M ，且2AM MB =，则a = . 结果：２或4-. 十一、平移公式如果点(,)P x y 按向量(,)a h k =平移至(,)P x y ''，则,.x x h y y k '=+⎧⎨'=+⎩；曲线(,)0f x y =按向量(,)a h k =平移得曲线(,)0f x h y k --=.举例18 （1）按向量a 把(2,3)-平移到(1,2)-，则按向量a 把点(7,2)-平移到点______. 结果：(8,3)-；（2）函数sin2y x =的图象按向量a 平移后，所得函数的解析式是cos21y x =+，则a =________. 结果：(,1)4π-. 十二、向量中一些常用的结论1.一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；2.模的性质：||||||||||a b a b a b -≤+≤+.（1）右边等号成立条件： a b 、同向或 a b 、中有0||||||a b a b ⇔+=+； （2）左边等号成立条件： a b 、反向或 a b 、中有0||||||a b a b ⇔-=+；（3）当 a b 、不共线||||||||||a b a b a b ⇔-<+<+. 3.三角形重心公式在ABC △中，若11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，则其重心的坐标为123123(,)33x x x y y y G ++++.举例19 若ABC △的三边的中点分别为(2,1)A 、(3,4)B -、(1,1)C --，则ABC △的重心的坐标为 .结果：24,33⎛⎫- ⎪⎝⎭. 5.三角形“三心”的向量表示（1）1()3PG PA PB PC G =++⇔为△ABC 的重心，特别地0PA PB PC G ++=⇔为△ABC 的重心. （2）PA PB PB PC PC PA P ⋅=⋅=⋅⇔为△ABC 的垂心.（3）||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔为△ABC 的内心；向量(0)||||AB AC AB AC λλ⎛⎫+≠ ⎪ ⎪⎝⎭所在直线过△ABC 的内心.6.点P 分有向线段12P P 所成的比λ向量形式设点P 分有向线段12P P 所成的比为λ，若M 为平面内的任一点，则121MP MP MP λλ+=+，特别地P 为有向线段12P P 的中点122MP MP MP +⇔=.7. 向量,,PA PB PC 中三终点,,A B C 共线⇔存在实数,αβ，使得PA PB PC αβ=+且1αβ+=．举例20 平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点(3,1)A ，(1,3)B -，若点C 满足12OC OA OB λλ=+,其中12,λλ∈R 且121λλ+=,则点C 的轨迹是 . 结果：直线AB .知识应用1.（2018•卷Ⅰ）在中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则( )A. B. C. D.2.（2018•浙江）已知a ， b ， e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为 ，向量b 满足b 2−4e ·b +3=0，则|a −b |的最小值是（ ）A. −1B. +1C. 2D. 2−3.如图，在平面四边形ABCD中，，，，. 若点E为边CD上的动点，则的最小值为（）A. B. C. D.4.（2018•卷Ⅱ）已知向量，满足=1, ⋅=−1 ，则·(2-)=（）A.4B.3C.2D.05.过点()0,2-且斜率为的直线与抛物线：交于，两点，若的焦点为，则（）A. B. C. D.6.已知，且，则向量在方向上的投影为（）A. B. C. D.7.抛物线的焦点为 ,过点的直线交抛物线于、两点，点为轴正半轴上任意一点，则（）A. B. C. D.AAABDCB8.已知向量，，则________．9.（2018•江苏）在平面直角坐标系中，为直线上在第一象限内的点，以为直径的圆与直线交于另一点，若,则点的横坐标为________ 310.（2018•卷Ⅲ）已知向量，，，若，则________。

向量知识点总结在数学和物理学中，向量是一种具有大小和方向的量。

它在许多领域中都有广泛应用，包括几何、力学、电磁学等。

本文将总结向量的基本概念、运算法则以及一些常见应用。

1. 向量的基本概念向量由大小和方向两个要素组成。

我们通常用箭头（→）来表示向量，如AB→。

向量可以用坐标表示，也可以用矩阵表示。

2. 向量的表示方法2.1 坐标表示：向量的坐标表示为(x, y, z)，分别代表向量在x、y、z轴上的投影长度。

2.2 矩阵表示：向量也可以用矩阵表示，如A = [a1, a2, a3]，其中a1、a2、a3为向量在不同轴上的分量。

3. 向量的运算法则3.1 向量的加法：当两个向量的方向相同时，它们的加法就是将两个向量的对应分量相加，如A + B = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)。

3.2 向量的减法：向量的减法是指将被减向量的分量取相反数后与减向量相加，如A - B = (x1 - x2, y1 - y2, z1 - z2)。

3.3 向量的数量乘法：向量的数量乘法是指将向量的每个分量都与一个常数相乘，如kA = (kx, ky, kz)，其中k为常数。

3.4 向量的点积：向量的点积是指两个向量对应分量乘积的和，如A · B = x1x2 + y1y2 + z1z2，结果是一个标量。

3.5 向量的叉积：向量的叉积是指两个向量相乘得到一个新的向量，如A × B = (y1z2 - y2z1, z1x2 - z2x1, x1y2 - x2y1)。

4. 向量的性质4.1 平行向量：如果两个向量的方向相同或相反，则它们是平行向量。

4.2 垂直向量：如果两个向量的点积为0，则它们是垂直向量。

4.3 单位向量：向量的长度称为其模，单位向量是模为1的向量。

5. 向量的应用5.1 几何：向量在几何中有广泛的应用，如表示线段、直线、平面的方向和距离等。

5.2 力学：向量在力学中用于描述力和速度等物理量。

有关向量的知识点总结一、向量的基本概念1、向量的定义：既有大小又有方向的量称为向量。

姓名：＿___________________________2、向量的表示（1）几何表示：用有向线段表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。

（2）字母表示：通常用小写字母表示向量，如\（＼vec{a}＼），＼（＼vec{b}＼），＼（＼vec{c}＼）等；有时也用大写字母表示，如\（＼overrightarrow{AB}＼）表示以\（A\）为起点，＼（B\）为终点的向量。

姓名：＿___________________________3、向量的模向量的大小称为向量的模，记作\（｜＼vec{a}｜＼）。

若\（＼overrightarrow{AB}＼），则其模长为\（｜＼overrightarrow{AB}｜＝＼sqrt{（x_{2} x_{1}）＾2 ＋（y_{2} y_{1}）＾2}＼）（其中\（（x_{1}，y_{1}）＼）和\（（x_{2}，y_{2}）＼）分别为\（A\）、＼（B\）两点的坐标）。

姓名：＿___________________________4、零向量长度为\（0\）的向量称为零向量，记作\（＼vec{0}＼），其方向是任意的。

姓名：＿___________________________5、单位向量长度等于\（1\）个单位的向量称为单位向量。

姓名：＿___________________________二、向量的运算1、向量的加法（1）三角形法则：已知非零向量\（＼vec{a}＼），＼（＼vec{b}＼），在平面内任取一点\（A\），作\（＼overrightarrow{AB} ＝＼vec{a}＼），＼（＼overrightarrow{BC} ＝＼vec{b}＼），则向量\（＼overrightarrow{AC}＼）叫做\（＼vec{a}＼）与\（＼vec{b}＼）的和，记作\（＼vec{a} ＋＼vec{b}＼），即\（＼vec{a} ＋＼vec{b} ＝＼overrightarrow{AC}＼）。

向量知识点总结归纳一、向量的定义和性质1. 向量的定义:在数学中，向量是指具有大小和方向的量。

它是空间中的一个几何量，由其大小和方向确定。

向量通常用有向线段表示，起点表示向量的起点，终点表示向量的终点。

2. 向量的性质:(1) 向量的大小: 向量的大小是指向量的长度，通常用|AB|表示，其中A和B分别为向量的起点和终点。

向量的大小可以通过勾股定理计算，即|AB| = √(x2-x1)² + (y2-y1)²。

(2) 向量的方向: 向量的方向是指向量的指向，通常用箭头表示，箭头指向的方向即为向量的方向。

(3) 向量的零向量: 零向量是指大小为0的向量，用0表示，它的起点和终点重合。

(4) 向量的相等: 两个向量相等的充分必要条件是它们的大小和方向都相等。

(5) 向量的加法: 向量的加法是指将两个向量的对应分量相加得到一个新的向量，其大小为两个向量的大小之和，方向为两个向量的方向之和。

(6) 向量的数乘: 向量的数乘是指将一个向量的每个分量乘以一个常数得到一个新的向量，其大小为原向量的大小乘以常数，方向不变。

二、向量的表示1. 坐标表示: 在直角坐标系中，向量可以表示为一个有序数对(a, b)，其中a和b分别为向量在x轴和y轴上的分量。

2. 分解表示: 一个向量可以分解为与坐标轴平行的两个向量相加的形式，即V = Vx + Vy，其中Vx和Vy分别为向量在x轴和y轴上的分量。

3. 模长和方向角表示: 一个向量可以表示为它的大小和方向角的形式，即V = |V|∠θ，其中|V|为向量的大小，θ为向量与x轴的夹角。

三、向量的运算1. 加法运算: 两个向量A和B的加法运算定义为A + B = (Ax + Bx, Ay + By)，即对应分量相加得到一个新的向量。

2. 减法运算: 两个向量A和B的减法运算定义为A - B = (Ax - Bx, Ay - By)，即对应分量相减得到一个新的向量。

大学向量知识点总结1. 向量的定义和基本性质向量是指具有大小和方向的物理量，它通常用带箭头的字母表示，比如a→，b→等。

向量可以在空间中表示为一个有向线段，起点和终点分别表示向量的始点和末点。

向量的大小通常被称为模，用||a||表示，表示向量的长度；向量的方向则由箭头指示。

向量也可以用坐标表示，比如a→= (x,y)，其中x，y分别表示向量在x轴和y轴上的分量。

向量的基本性质有以下几个：- 平行向量：如果两个向量a→和b→的方向相同（或相反），则它们被称为平行向量。

两个平行向量的模之比为定值。

- 零向量：模为0的向量被称为零向量，它的方向是未定义的。

任何向量与零向量的和都等于这个向量本身。

- 单位向量：模等于1的向量称为单位向量，用e→表示。

任何非零向量都可以表示为一个模为1的单位向量与它的模的乘积。

2. 向量的线性运算向量可以进行加法和数乘运算，这两种运算都具有一些特定性质和规律，下面我们将分别进行介绍2.1 向量的加法向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。

给定向量a→=(x_1,y_1)和向量b→=(x_2,y_2)，它们的和可以表示为c→=(x_1+x_2,y_1+y_2)。

加法满足交换律和结合律，即a→+b→=b→+a→，(a→+b→)+c→=a→+(b→+c→)。

2.2 向量的数乘向量的数乘是指将一个标量与一个向量相乘，得到一个新的向量。

给定向量a→=(x,y)和标量k，它们的乘积可以表示为ka→=(kx,ky)。

数乘满足分配律，即(k+m)a→=ka→+ma→，k(a→+b→)=ka→+kb→。

3. 向量的内积和外积向量的内积和外积是两种特殊的运算，它们分别描述了向量的夹角和垂直关系，在物理学和工程学中有着广泛的应用。

3.1 向量的内积给定向量a→=(x_1,y_1)和向量b→=(x_2,y_2)，它们的内积可以表示为a→·b→=x_1x_2+y_1y_2。

内积具有以下性质：- 对称性：a→·b→=b→·a→- 线性性：(ka→)·b→=k(a→·b→)，a→·(kb→)=k(a→·b→)- 正交性：a→·b→=0，当且仅当a→与b→垂直3.2 向量的外积给定向量a→=(x_1,y_1)和向量b→=(x_2,y_2)，它们的外积可以表示为a→×b→=x_1y_2-x_2y_1。

高中向量知识点总结一、向量的基本概念1. 向量：具有大小和方向的量，可以表示空间中的位移、速度等。

2. 向量的表示：用带箭头的线段表示，箭头方向表示向量的方向，线段长度表示向量的大小。

3. 向量的分类：有序实数对、有序三元组、复数向量等。

二、向量的运算1. 加法：两个向量相加，结果向量的模长等于原向量模长的和，方向与两个原向量相同。

2. 减法：两个向量相减，结果向量的模长等于原向量模长的差，方向与被减向量相同。

3. 数乘：向量与实数的乘积，结果向量的模长等于原向量的模长乘以实数的绝对值，方向与原向量相同。

4. 向量与向量的数量积：两个向量的模长相乘再乘以它们的夹角的余弦值。

5. 向量的几何意义：向量的模长表示向量的大小，向量的方向表示夹角。

三、平面向量1. 平面向量的基本概念：平面上的向量，包括有序实数对和有序三元组。

2. 平面向量的运算：加法、减法、数乘、几何意义等。

3. 平面向量的应用：几何、物理、计算机图形学等领域。

四、空间向量1. 空间向量的基本概念：空间中的向量，包括有序实数对、有序三元组和复数向量。

2. 空间向量的运算：加法、减法、数乘、几何意义等。

3. 空间向量的应用：几何、物理、计算机图形学、机器人等领域。

五、向量与解析几何1. 解析几何中的向量：用于表示点、线、面的位置和方向。

2. 向量在解析几何中的应用：求解直线、圆、椭圆等几何图形的方程。

3. 解析几何中的向量运算：向量加法、向量数乘、向量夹角、向量模长等。

六、向量与概率1. 随机向量：具有随机性和方向性的向量。

2. 概率向量：用于表示随机变量，包括离散型和连续型随机变量。

3. 向量在概率中的应用：用于表示多元随机变量、边缘分布、条件概率等。

七、向量与其他数学领域1. 向量与线性代数：向量空间、线性变换、矩阵与向量的关系等。

2. 向量与微积分：求解微分方程、积分方程等。

3. 向量与计算机科学：图形学、计算几何、机器人等。

以上为高中向量知识点总结，实际学习过程中还需注重实践操作、实验技能的培养以及解决实际问题的能力。

平面向量知识点总结平面向量是高中数学中的重要概念之一，是解决平面几何问题的数学工具。

本文将对平面向量的概念、运算、线性组合、共线与共面、平行与垂直、向量投影、平面的方程、向量积等知识点进行总结，并介绍一些相关的解题技巧。

一、概念1. 定义：平面向量是具有大小和方向的量，一般用有向线段表示。

2. 向量的模：向量的模表示向量的长度，用||AB||或 |AB| 表示。

3. 零向量：长度为零，没有方向的向量，记作0。

4. 平移：向量可以表示平面上的平移，即通过向量的起点和终点来表示移动的方向和距离。

二、运算1. 向量的加法：设有向线段AB和AC，以A为起点，AB的终点是B，AC的终点是C，则向量AB加上向量AC等于以A为起点，以C为终点的向量AD。

2. 向量的减法：向量的减法可以理解为向量加法的逆运算，即向量A减去向量B等于向量A加上向量B的相反向量。

3. 向量的数乘：向量的数乘是指用实数k乘以一个向量A，得到的结果是长度为k倍的向量，且方向与A相同（当k大于0）或相反（当k小于0）。

4. 向量的点乘：设A、B为两个向量，其夹角为θ，两个向量的点乘结果等于AB的模乘以BC的模乘以θ的余弦值，即A·B=|AB|×|BC|×cosθ。

三、线性组合线性组合是指对多个向量进行数乘和加法运算得到的结果。

对于向量a1、a2、...、an和实数k1、k2、...、kn，它们的线性组合可以表示为k1a1 + k2a2 + ... + knan。

四、共线与共面1. 共线：若两个向量的方向相同或相反，则它们是共线的；若两个向量的方向不同，则它们是不共线的。

2. 共面：若三个向量都在同一个平面内，则它们是共面的；若三个向量不在同一个平面内，则它们是不共面的。

五、平行与垂直1. 平行：若两个向量的方向相同或相反，则它们是平行的。

2. 垂直：若两个向量的点乘结果为0，则它们是垂直的。

即A·B=0，其中A和B为两个向量。

平面向量模块一、平面向量的基本概念要点一、向量的定义与表示1、向量的概念：既有 又有 的量。

2、向量的表示：向量一般用a ⃗，b ⃗⃗，c ⃗……来表示，或用 的起点与终点的 表示，如：AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ()()2211,,,y x B y x A ，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗= .几何表示法AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，a ⃗；坐标表示法a ⃗注意：不能说向量就是有向线段，为什么？3、向量的模：向量的 即向量的模（ ），记作|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|，｜a ⃗｜即向量的大小，向量 比较大小，但向量的 可以比较大小．要点二、特殊向量1、零向量：长度为0的向量，记为0⃗⃗，其方向是 的。

注意：在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别）2、单位向量：模为13、平行向量（共线向量）：方向 的 向量，称为平行向量，记作a ⃗∥b⃗⃗，由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。

规定：零向量和任何向量平行.注：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0⃗⃗)；④三点A B C 、、共线⇔AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗共线. 4、相等向量： 且 的向量，相等向量经过平移后总可以重合，记为a ⃗=⃗⎧=21x x ),(y x yj xi a =+=5、相反向量：长度 方向 的向量叫做相反向量. a ⃗的相反向量记作−a ⃗。

模块二、向量的线性运算要点三、向量的加法1、定义：2、向量加法的几何法则： “三角形法则”与“平行四边形法则”：当两个向量的 时，用平行四边形法则；当两向量是 时，用三角形法则。

向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+L +PQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+QR ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AR⃗⃗⃗⃗⃗⃗. 3、向量加法的运算律：交换律和结合律。

向量的相关知识点总结1.向量的定义在二维空间中，向量可以用有序数对(a, b)表示，而在三维空间中，向量可以用有序数组(a, b, c)来表示。

一般情况下，我们用小写字母(a, b, c)来表示向量，而用粗体字母（a, b, c）来表示向量。

向量的大小通常通过其模长来表示，模长用 ||a|| 表示，在二维空间中，则有||a|| = sqrt(a^2 + b^2)，而在三维空间中，则有 ||a|| = sqrt(a^2 + b^2 + c^2)。

2.向量的性质（1）向量的相等：两个向量相等当且仅当它们的方向和大小都相等。

（2）零向量：大小为0的向量称为零向量，用0表示。

（3）平行向量：如果两个向量的方向相同或者相反，那么它们被称为平行向量。

（4）共线向量：如果两个向量共线并且同向或者反向，那么它们被称为共线向量。

（5）向量的方向余弦：向量a的方向余弦分别为cosα = a1/||a||, cosβ = a2/||a||, cosγ =a3/||a||。

3.向量的运算（1）向量的加法：设有向量a = (a1, a2)和向量b = (b1, b2)，那么a + b = (a1 + b1, a2 +b2)。

（2）向量的数乘：设有向量a = (a1, a2)，实数k，那么ka = (ka1, ka2)。

（3）向量的点积：设有向量a = (a1, a2)和向量b = (b1, b2)，那么a·b = a1b1 + a2b2。

（4）向量的叉积：设有向量a = (a1, a2)和向量b = (b1, b2)，那么a × b = a1b2 - a2b1。

4.向量的应用（1）几何意义：向量可以用来表示位移、速度、加速度等物理量，从而广泛应用于力学、天文学等领域。

（2）工程应用：向量可以用来描述电磁场、热传导等现象，从而应用于电子工程、材料工程等领域。

（3）计算机图形学：向量被广泛应用于计算机图形学中，用来表示点、线、面等几何图形，从而用于游戏开发、动画制作等领域。