第八讲相遇问题

第八讲相遇问题1.通过实际演示，理解“相向运动”“相遇”及“速度和”。

2.掌握相向运动中求路程的解题方法：速度和×时间=路程。

3.培养学生认真审题的好习惯。

会解决与此有关的含两、三步计算的实际问题。

4.培养学生分析和解答问题的能力。

一：使学生掌握相向运动中秋路程的解题方法。

二：理解“速度和”。

例1.甲乙两艘轮船分别从A、B两港同时出发相向而行，甲船每小时行驶18千米，乙船每小时行驶15千米，经过6小时两船在途中相遇．两地间的水路长多少千米？例2.一辆汽车和一辆摩托车同时分别从相距900千米的甲、乙两地出发，汽车每小时行40千米，摩托车每小时行50千米．8小时后两车相距多少千米？例3.甲乙两车分别从相距480千米的A、B两城同时出发，相向而行，已知甲车从A城到B城需6小时，乙车从B城到A城需12小时．两车出发后多少小时相遇？答案：两车出发后4小时相遇．例4.王欣和陆亮两人同时从相距2000米的两地相向而行，王欣每分钟行110米，陆亮每分钟行90米．如果一只狗与王欣同时同向而行，每分钟行500米，遇到陆亮后，立即回头向王欣跑去；遇到王欣后再回头向陆亮跑去．这样不断来回，直到王欣和陆亮相遇为止，狗共行了多少米？例5.甲乙两队学生从相隔18千米的两地同时出发相向而行．一个同学骑自行车以每小时15千米的速度在两队之间不停地往返联络．甲队每小时行5千米，乙队每小时行4千米．两队相遇时，骑自行车的同学共行多少千米？例6. A、B两地相距400千米，甲、乙两车同时从两地相对开出，甲车每小时行38千米，乙车每小时行行42千米，一只燕子以每小时50千米的速度和甲车同时出发向乙车飞去，遇到乙车又折回向甲车飞去，这样一直飞，燕子飞了多少千米，两车才能相遇？A档1．甲、乙两个车队同时从相隔330千米的两地相向而行，甲队每小时行60千米，乙队每小时行50千米．一个人骑摩托车以每小时行80千米的速度在两车队中间往返联络，问两车队相遇时，摩托车行驶了多少千米？2．甲每小时行7千米，乙每小时行5千米，两人于同一地方同时相背而行，一个向东，一个向西，5小时后两人相隔多少千米？3．一条环形跑道长400米，小强每分钟跑300米，小星每分钟跑250米，两人同时同地同向出发，经过多长时间小强第一次追上小星？4．光明小学有一条长200米的环形跑道，亮亮和晶晶同时从起跑线起跑．亮亮每秒跑6米，晶晶每秒跑4米，问：亮亮第一次追上晶晶时两人各跑了多少米？B 档1．甲每小时行17千米，乙每小时行24千米，两人于同一地方同时相背而行，一个向东，一个向西，几小时后两人相隔164千米？2．甲、乙两人绕周长1540米的环形广场竞走，已知甲每分钟走160米，乙的速度是甲的3倍．现在甲在乙后面260米，乙追上甲需要多少分钟？3．甲每小时行10千米，乙每小时行12千米，两人于同一地方同时相背而行，一个向南，一个向北，几小时后两人相隔88千米？4．甲、乙两列火车同时从相距700千米的两地相向而行，甲列车每小时行85千米，乙列车每小时行90千米，几小时两列火车相遇？5．两列火车从两个车站同时相向出发，甲车每小时行48千米，乙车每小时行78千米，经过2.5小时两车相遇．两个车站之间的铁路长多少千米？C档1．师徒两人合作加工520个零件，师傅每小时加工30个，徒弟每小时加工20个，几小时以后还有70个零件没有加工？2．甲、乙两艘轮船从相距654千米的两地相对开出而行，8小时两船还相距22千米．已知乙船每小时行42千米，甲船每小时行多少千米？3．一辆汽车和一辆自行车从相距172.5千米的甲、乙两地同时出发，相向而行，3小时后两车相遇．已知汽车每小时比自行车多行31.5千米，求汽车、自行车的速度各是多少？4．两地相距270千米，甲、乙两列火车同时从两地相对开出，经过4小时相遇．已知甲车的速度是乙车的1.5倍，求甲、乙两列火车每小时各行多少千米？5．甲、乙两城相距680千米，从甲城开往乙城的普通客车每小时行驶60千米，2小时后，快车从乙城开往甲城，每小时行80千米，快车开出几小时后两车相遇？1．A、B两地相距3300米，甲、乙两人同时从两地相对而行，甲每分钟走82米，乙每分钟走83米，已经行了15分钟，还要行多少分钟才可以相遇？2．甲、乙两列汽车同时从两地出发，相向而行．已知甲车每小时行45千米，乙车每小时行32千米，相遇时甲车比乙车多行52千米．求甲乙两地相距多少千米？3．姐妹俩同时从家里到少年宫，路程全长770米．妹妹步行每分钟行60米，姐姐骑自行车以每分钟160米的速度到达少年宫后立即返回，途中与妹妹相遇．这时妹妹走了几分钟？1．小明和小华从甲、乙两地同时出发，相向而行．小明步行每分钟走60米，小华骑自行车每分钟行190米，几分钟后两人在距中点650米处相遇？2．A、B两地相距300千米，两辆汽车同时从两地出发，相向而行．各自达到目的地后又立即返回，经过8小时后它们第二次相遇．已知甲车每小时行45千米，乙车每小时行多少千米？。

第八讲：卫星变轨问题和双星问题一、卫星相遇问题两颗卫星在同一轨道平面内同向绕地球做匀速圆周运动，a 卫星的角速度为ωa ，b 卫星的角速度为ωb .若某时刻两卫星正好同时通过地面同一点正上方，相距最近，如图甲所示．当它们转过的角度之差Δθ＝π，即满足ωa Δt －ωb Δt ＝π时，两卫星第一次相距最远，如图乙所示．当它们转过的角度之差Δθ＝2π，即满足ωa Δt －ωb Δt ＝2π时，两卫星再次相距最近．二、卫星变轨问题1．变轨分析(1)卫星在圆轨道上稳定运行时， G Mmr 2＝m v 2r＝mω2r ＝m ⎝⎛⎭⎫2πT 2r . (2)当卫星的速度突然增大时，G Mm r 2<m v 2r ，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大．当卫星进入新的轨道稳定运行时，由v ＝GMr可知其运行速度比原轨道时减小，但重力势能、机械能均增加．(3)当卫星的速度突然减小时，G Mm r 2>m v 2r ，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，脱离原来的圆轨道，例题、如图所示，北斗导航系统中的两颗工作卫星均绕地心做匀速周运动，且轨道半径为r ，某时刻工作卫星1、2分别位于轨道上的A 、B 两个位置，若两卫星均沿顺时针方向运行，地球表面的重力加速度为g ，地球半径为R ，不计卫星间的相互作用力。

下列判断正确的是（ ）例题、如图所示，三个质点a 、b 、c 质量分别为m 1、m 2、M ，（M ＞＞m 1，M ＞＞m 2）．a 、b 在同一平面内绕c 沿逆时针方向做匀速圆周运动，它们的周期之比T a ：T b ＝1：k ．（k ＞1，为正整数）从图示位置开始，在b 运动一周的过程中，则（ ）A ．a 、b 距离最近的次数为k 次B ．a 、b 距离最近的次数为k+1次C ．a 、b 、c 共线的次数为2k 次轨道半径变小．当卫星进入新的轨道稳定运行时，由v ＝GMr可知其运行速度比原轨道时增大，但重力势能、机械能均减小．2．三个运行物理量的大小比较(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v 1、v 3，在轨道Ⅱ上过A 点和B 点速率分别为v A 、v B .在A 点加速，则v A >v 1，在B 点加速，则v 3>v B ，又因v 1>v 3，故有v A >v 1>v 3>v B .(2)加速度：因为在A 点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A 点，卫星的加速度都相同，同理，经过B 点加速度也相同．(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上运行周期分别为T 1、T 2、T 3，轨道半径分别为r 1、r 2(半长轴)、r 3，由开普勒第三定律r 3T2＝k 可知T 1<T 2<T 3. 三、多星模型1．定义绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统．如图所示．A ．这两颗卫星的加速度大小相等，均为22gR rB ．卫星1出A 位置运动到B 位置所需的时间是3rr R gC ．这两颗卫星的机械能一定相等D ．卫星1向后喷气就一定能够追上卫星22．特点(1)各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即 Gm 1m 2L2＝m 1ω21r 1， Gm 1m 2L 2＝m 2ω22r 2. (2)两颗星的周期及角速度都相同，即T 1＝T 2，ω1＝ω2. (3)两颗星的半径与它们之间的距离关系为：r 1＋r 2＝L .3．两颗星到圆心的距离r 1、r 2与星体质量成反比，即m 1m 2＝r 2r 1.针对训练题型1：相遇问题1．如图所示，A 和B 两行星绕同一恒星C 做圆周运动，旋转方向相同，A 行星的周期为T 1，B 行星的周期为T 2，某一时刻两行星相距最近，则（ ）A ．经过T 1+T 2两行星再次相距最近B ．经过两行星再次相距最近C ．经过两行星相距最远D ．经过两行星相距最远2．已知地球自转周期为T0，有一颗与同步卫星在同一轨道平面的低轨道卫星，自西向东绕地球运行，其运行半径为同步轨道半径的四分之一，该卫星至少相隔多长时间才在同一城市的正上方出现一次．（）A．B．C．D．题型2：变轨问题3．如图所示，假设月球半径为R，月球表面的重力加速度为g0，飞船在距月球表面高度为3R的圆形轨道Ⅰ上运动，到达轨道的A点点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道的近月点B再次点火进入近月轨道Ⅲ绕月球做圆周运动。

知识概述1、行程问题中的时间（t）、速度（v）和路程（s）三个基本量，它们关系如下：（1）路程=速度×时间简记为：s = v×t（2）时间=路程÷速度简记为：t = s÷v（3）速度=路程÷时间简记为：v = s÷t2、相遇问题的意义：两个运动物体（人）分别以一定的速度，从两地同时出发，相向（面对面）而行，经过一段时间后在途中相遇，这类行程问题叫做“相遇问题”。

它的特点是两个运动物体（人）在相遇时间内共同走完的路程等于它们原来相距的路程。

3、相遇问题的基本量：速度和：两个运动物体（人）在单位时间(秒、分、时)所走的路程和；相遇时间：两个运动物体（人）同时出发到相遇所用的时间；总路程：两个运动物体（人）同时出发到相遇所走的路程；4、解答相遇问题通用公式：。

路程和＝速度和×相遇时间速度和=路程和÷相遇时间相遇时间=路程和÷速度和行程问题是反映物体匀速运动的应用题。

由于变化较多，而且又纷繁复杂，所以对于学习者而言，相对比较难以掌握。

在解决行程问题时，要关注几个要素：时间、地点、方向、移动物体的个数和路线。

但是归纳起来，不管是怎样的行程问题，在找清楚对应量后，最终的数量关系还是：速度×时间=路程。

名师点题行程问题（一）例1甲、乙两辆客车同时从东城开往西城，甲客车每小时行60千米，4小时到达西城，乙客车比甲客车迟1小时到达。

问：（1）乙客车的速度是多少？（2）如果要使乙客车比甲客车提前1小时到达西城，那么乙客车的速度应是多少？【解析】（1）显然甲和乙走的路程都一样，而要求乙的速度，就必须知道路程和乙的时间，路程=甲的速度×时间=60×4=240乙的时间=甲的时间+1=5小时那么：乙的速度=240÷5=48（千米/小时）（2）现在乙要比甲快1小时。

也就是3小时达到。

那么：乙的速度=240÷3=80（千米/小时）例2龟兔赛跑，乌龟每分钟爬20米，兔子每分钟跑300米，全程1500米。

五年级秋季培优第十讲相遇问题行程问题是小学阶段接触最多、难度比较大的一类应用题，行程问题有其基本的解答规律。

本讲重点学习相遇问题。

相遇问题基本关系式：速度和×相遇时间＝相遇路程相遇路程÷相遇时间＝速度和相遇路程÷速度和＝相遇时间两物体在两地间往返运动，第一次相遇走一个全程，以后每次再相遇都共走两个全程。

解答相遇问题的应用题，一般情况下要从相遇时间、速度和及总路程这三者之间的关系去分析，但有时要具体情况具体分析。

典例精讲例1 甲城到乙城的公路长470千米，快慢两汽车同时从两城相对开出，快车每小时行50千米，慢车每小时行44千米，两车经过多长时间相遇？【思路点拨】这是一道基本的相遇问题，根据“相遇路程÷速度和＝相遇时间”可直接求出两车相遇时间。

【详细解答】例2 甲、乙两车同时分别从两地相向而行。

甲车每小时行72千米，乙车每小时行64千米。

两车相遇时距全程的中点20千米。

两地之间相距多少千米？【思路点拨】在相同的时间内，甲的速度快，行的路程多，比全程的一半多20千米，而乙则比全程的一半少20千米，所以甲应该比乙多行20×2＝40（千米）。

而甲1小时比乙多行72－64＝8（千米），多少小时甲比乙多行40千米呢？40÷8＝5（小时），这就是他们行驶的时间，即相遇时间。

【详细解答】例3 海模比赛中，甲、乙两船同时从池塘的东西两岸相对开出。

第一次在距东岸15米处相遇。

相遇后继续前进，到达对岸后立即返回，第二次相遇在离西岸8米处。

如果两船在行驶中速度不变，求池塘东西两岸的距离。

【思路点拨】本题中没有行驶的速度和时间，不能用一般思路分析，首先，画图理解。

第一次相遇两船共行驶1个全程，甲船行了15米，第二次相遇两船共行3个全程，甲船就应该行15×3＝45（米），而到第二次相遇时甲船行驶的路程比1个全程多8米，所以再用45－8得全程是37米。

【详细解答】例4 甲、乙、丙三人行走的速度每分钟分别是30米、40米和50米。