【2020年高考数学预测题、估测题】天津市试卷(文史类)4【附详细答案和解析_可编辑】

1 / 132020年 普通高考（天津卷）全真模拟卷（4）数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4．测试范围：高中全部内容。

第Ⅰ卷一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集{}4U x N x =∈≤，集合{}{}1,2,2,4A B ==，则()U A B ⋃ð为 A ．{}1 B ．{}0,1,2C ．{}1,2,3D ．{}0,1,2,3【答案】D【解析】{}{}40,1,2,3,4U x N x =∈≤=，{}0,1,3U B =ð，(){}0,1,2,3U A B ⋃=ð，故选：D 2．下列说法错误．．的是 A ．命题:p “2000,10x R x x ∃∈++<”，则p ⌝：“2,10x R x x ∀∈++≥”B ．命题“若2430x x -+=，则3x =”的否命题是真命题C ．若p q ∧为假命题，则p q ∨为假命题D ．若p 是q 的充分不必要条件，则q 是p 的必要不充分条件 【答案】C【解析】命题p ：“∃x 0∈R ，x 02+x 0+1＜0”，则￢p ：“∀x ∈R ，x 2+x +1≥0”满足命题的否定形式，所以A 正确； 命题“若x 2﹣4x +3＝0，则x ＝3”的逆命题是x ＝3，则x 2﹣4x +3＝0，逆命题为真命题，而逆命题与否命题互为逆否命题，同真同假，所以B 正确；若p ∧q 为假命题，至少一个是假命题，当个命题都是假命题是p ∨q 为假命题，所以C 不正确；2 / 13若p 是q 的充分不必要条件，则q 是p 的必要不充分条件，满足充要条件的定义，所以D 正确； 故选C ．3．三个数30.330.5,log 0.5,5a b c === 之间的大小关系是A ．b a c <<B ．a b c <<C ．a c b <<D ．b c a <<【答案】A【解析】33log 0.5log 10b =<=，()30.50,1a =∈，0.30551c =>=，所以b a c <<．故选：A ．4．《九章算术》中有如下问题：今有蒲生一日，长四尺，莞生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．意思是：今有蒲第一天长高四尺，莞第一天长高一尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的两倍．请问第几天，莞的长度是蒲的长度的4倍 A ．4天 B ．5天C ．6天D ．7天【答案】B【解析】由题意，蒲第一天长高四尺，以后蒲每天长高前一天的一半，所以蒲生长构成首项为14a =，公比为112q =的等比数列，其前n 项和为314[1()]128()1212n n n S -⨯-==--， 又由莞第一天长高一尺，每天长高前一天的两倍，则莞生长构成首项为14b =，公比为12q =的等比数列，其前n 项和为1[12]2112nn n T ⨯-==--，又因为4n n T S =，即31214[8()]2nn --=⨯-，解得5n =．故选：B ．5．已知1F ，2F 分别为双曲线()222330x y aa -=>的左右焦点，P 是抛物线28y ax =-与双曲线的一个交点，若1218PF PF +=，则抛物线的准线方程为（ ） A ．2x = B ．3x =- C ．3x = D ．2x =-【答案】C【解析】双曲线的标准方程为222213x y a a-=，3 / 13∴双曲线的左焦点1(2,0)F a -为抛物线28y ax =-的焦点，联立方程组2222338x y a y ax⎧-=⎨=-⎩，消元可得2238+30x ax a -=，解得3ax =（舍)或3x a =-．不妨设P 在第二象限，则(3P a -，)，又2(2,0)F a，1||5PF a ∴=，2||7PF a ， 12||||1218PF PF a ∴+==，即32a =．所以抛物线的方程为212y x =- ∴抛物线的准线方程为112=34x =⨯．故选：C ．6．将函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向左平移12π个单位，再向上平移1个单位，得到()g x 的图像．若()()129g x g x =，且[]12,2,2x x ππ∈-，则122x x -的最大值为A ．174πB ．256πC ．356πD ．4912π【答案】D【解析】由已知可得()()112g x f x π=++⇒()()()122sin 21322,33212g x x g x g x x k k x k πππππππ⎛⎫=++⇒==⇒+=+∈⇒=+ ⎪⎝⎭()121223111349,,,,21212121212maxx x x x πππππ⎧⎫⇒∈--⇒-=⎨⎬⎩⎭，故选D 7．某地实行高考改革，考生除参加语文、数学、英语统一考试外，还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中选考三科．学生甲要想报考某高校的法学专业，就必须要从物理、政治、历史三科中至少选考一科，则学生甲的选考方法种数为 A ．6 B ．12 C ．18 D ．19【答案】D【解析】从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中任选三科的方法有3620C =种方法，从物理、政治、历史三科中至少选考一科的对立事件是一科都不选，即从剩下的三科选三科，共1种方法，所以学生甲的选考方法种数有20-1=19种方法．故选：D8．如图，原点O 是ABC ∆内一点，顶点A 在x 上，0150AOB ∠=， 090BOC ∠=， ||2OA =u u u r ， ||1OB =uu u r，4 / 133OC =u u u v ，若OC OA OB λμ=+u u u r u u u r u u u r ，则μλ=A． BC．D【答案】D【解析】建立如图所示的直角坐标系，则A （2，0），B12），C （﹣32）， 因为OC OA OB λμ=+u u u v u u u v u u u v ，由向量相等的坐标表示可得：3222122λμμ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得3λμ=-⎧⎪⎨=-⎪⎩ ，即μλ故选D ．9．已知定义在R 上的函数()f x 满足： ①(1)0f =；②对任意的x ∈R 都有()f x -()f x =-； ③对任意的1x 、2x ()0,∈+∞且1x ≠2x 时，总有1212()()0f x f x x x ->-．记2()3()()1f x f xg x x --=-，则不等式()0g x ≤的解集为A ．[)()1,00,1-⋃B ．(][),10,1-∞-UC ．[)1,0-D ．[]1,0-5 / 13【答案】D【解析】根据①(1)0f =； ②对任意的x ∈R 都有()f x -()f x =-； ③对任意的1x 、2x ()0,∈+∞且1x ≠2x 时，总有1212()()0f x f x x x ->-．可得()f x 在(),0-∞，()0,∞+上单调递增，且()()110f f =-=，()00f = 所以得到()f x 图像，如图所示，()()()()23511f x f x f xg x x x --==--所以不等式()0g x ≤，即()01f x x ≤- ()100x f x -<⎧⎨≥⎩，1101x x x <⎧⎨-≤≤≥⎩或，所以10x -≤≤ ()100x f x ->⎧⎨≤⎩，1101x x x >⎧⎨≤-≤≤⎩或，所以无解集， 综上所述，()0g x ≤的解集为[]1,0-．故选：D ． 第Ⅰ卷 二、填空题：本题共6个小题，每小题5分，共30分．6 / 1310．i 为虚数单位，若复数22(23)()m m m m i +-+-是纯虚数，则实数m =_______． 【答案】-3【解析】∵复数()()2223m m m m i +-+-是纯虚数，22230m m m m ⎧+-∴⎨-≠⎩＝ ，解得3m =- ．11．二项式1022x ⎫⎪⎭，则该展开式中的常数项是______． 【答案】180【解析】由题意，二项式1022x ⎫⎪⎭的展开式的通项为1051021101022()2rr r r r rr T C C x x --+==⋅，令2r =，可得223102180T C ==，即展开式的常数项是180．12．已知函数()()x f x e ax a R =+∈，若过原点O 的直线l 与曲线()y f x =相切，切点为P，若OP =a 的值为__________．【答案】(21)e -+或1【解析】由函数的解析式可得：()'xf x e a =+，设切点坐标为()000,xP x e ax +，则切线的斜率为：()00'xk f x e a ==+，切线方程为：()()()0000xxy e ax e ax x -+=+-，切线过坐标原点，则：()()()000000xxe ax e a x -+=+-，解得：01x =，切点坐标为：()1,P e a +，=a 的值为()21e -+或1．13．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，3AB =，4BC =，5PA =，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为__________ 【答案】50π【解析】由题意，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面,,3,4,5ABC AB BC AB BC PA ⊥===， 以,,AB BC PA 为长宽高构建长方体，则长方体的外接球是三棱锥P ABC -的外接球， 所以三棱锥P ABC-的外接球的半径为2R ==，所以三棱锥P ABC -的外接球的表7 / 13面积为224450S R πππ==⨯=． 14．用17列货车将一批货物从A 市以/vkm h 的速度匀速行驶直达B 市．已知A 、B 两市间铁路线长400km ，为了确保安全，每列货车之间的距离不得小于220v km ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则这批货物全部运到B 市最快需要________h ，此时货车的速度是________/km h ． 【答案】8，100【解析】这批货物全部运到B市需要时间为24001640016208400v v v v ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=+≥=当40016400vv =，即100v =，速度越快，时间越短，所以最快需要100/km h 的速度行驶，需要8小时，故答案为8，100．15．已知函数11(0)()2ln (0)x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩若存在四个不同的实数,,,a b c d 且()a b c d <<<，使得()()()()f a f b f c f d ===，记()S a b cd =+，则S 的值为_____．【答案】-4【解析】()()1102(0)x x f x lnx x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩若存在四个不同的实数,,,a b c d 且()a b c d <<<，使得()()()()f a f b f c f d ===，所以11(1)122a b -+=+，即4a b +=-，又ln ln c d -=，即1cd =，414S =-⨯=-四、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．已知在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且1c =，)()cos sin sin cos 0B C B A B +-+=（1）求角C 的大小；（2）若3a b =，求()cos 2B C -的值．8 / 13【答案】（1）3π．（2）1314． 【解析】（1）cos B sin C +﹣sin B ）cos （A +B ）＝0 可得：cos B sin Ca ﹣sin B ）cos C ＝0 即：sinA cos C ＝0． 由正弦定理可知：a csinA sinC=，∴asinCccos C ＝0， ∴a sinC cos C ＝0，c ＝1， ∴sinC C ＝0，可得2sin （C 3π-）＝0，C 是三角形内角， ∴C 3π=．（2）∵a ＝3b ，∴sin A ＝3sin B ． ∵3C π=，∴233sin B sinB π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即5sinB =． ∵cos B ＝0上式不成立，即cos B ≠0，∴tanB =，sin B =，cos2B ＝2cos 2B ﹣11114=，sin2B =，∴cos （2B ﹣C ）＝cos2B cos C +sin2B sin C＝1111314214⨯+=． 17．如图，底面ABCD 是边长为1的正方形，DE ⊥平面ABCD ，//,3AF DE DE AF =，BE 与平面ABCD 所成角为60°．9 / 13（1）求证：AC ⊥ 平面BDE ； （2）求二面角F BE D --的余弦值． 【答案】（1）见解析；（2）13． 【解析】（1）证明：∵DE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， ∴DE AC ⊥，又∵底面ABCD 是正方形， ∴AC BD ⊥． ∵BD DE D ⋂=， ∴AC ⊥平面BDE ．（2）解：∵,,DA DC DE 两两垂直，∴以D 为原点，DA 方向为x 轴，DC 方向为y 轴，DE 方向为z 轴建立空间直角坐标系， 由已知可得060DBE ∠=，∴EDDB= 由1AD =，可知BD DE AF ===． 则()(()()1,0,0,,,1,1,0,0,1,0A F E B C ⎛ ⎝⎭，∴0,1,3BF ⎛=- ⎝⎭u u u v，1,0,3EF ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u v ． 设平面BDE 的一个法向量为(),,n x y z =v ，则00n BF n EF ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v，即0,30,y z x z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩令z =(4,n =v．∵AC ⊥平面BDE ，则CA u u u v为平面BDE 的一个法向量，∴()1,1,0CA =-u u u v，cos ,13n CA 〈=〉u uu v v ，∵二面角F BE D --为锐角，10 / 13∴二面角F BE D --． 18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，110,,.n n a S n a n N *+=+=∈（Ⅰ）求证：数列{}1n a +是等比数列；（Ⅰ）设数列{}n b 的首项11b =，其前n 项和为n T ，且点()1,n n T T +在直线112x y n n -=+上，求数列1n n b a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.n R【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅰ)124.2n n n R -+=-【解析】（Ⅰ）由1n n S n a ++=， ① 得()112n n S n a n ++-=≥， ② ①-②，得()1212n n a a n +=+≥，()()11212n n a a n +∴+=+≥，110,1 1.a a =∴+=Q由①得()21121111,121a S a a a =+=+=∴+=+{}1n a ∴+是以1为首项，公比为2的等比数列，（Ⅰ）由（Ⅰ）得1112,21n n n n a a --+=∴=-，Q 点()1,n n T T +在直线112x y n n -=+上，1112n n T T n n +∴-=+， n T n ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭是以11111T b ==为首项，公差为12的等差数列，()()111,.22n n n n T n T n +∴=+-∴= 当2n ≥时，()()11122n n n n n n n b T T n -+-=-=-=，11 / 13又11b =满足上式，.n b n ∴=112n n n b n a -∴=+， 01211232222n n n R -∴=++++L ， ③ 23111231222222n n n n n R L --∴=+++++， ④ ③-④，得2311111111222222n n n n R L -⎛⎫-=+++++- ⎪⎝⎭1122212212n n n n n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭=-=--， 124.2n n n R -+∴=- 19．已知圆G：2220x y x +-=经过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点F 及上顶点B ，过椭圆外一点（m ，0）(m a >)倾斜角为56π的直线L 交椭圆与C 、D 两点． （1）求椭圆的方程;（2）若右焦点F 在以线段CD 为直径的圆E 的内部，求m 的取值范围． 【答案】(1)22162x y +=;(2)． 【解析】（1）Q圆22:20G x y x +--=经过点F 、B，2(2,0),2,6F B c b a ∴∴==∴=故椭圆的方程为22162x y +=； （2）设直线L的方程为)(y x m m =->由22162{()3x y y x m +==-消去y 得2222(6)0x mx m -+-= 由2248(6)0,m m =-->V解得m -<<12 / 13又m m ><<设1122(,),(,),C x y D x y 则212126,,2m x x m x x -+==2121212121)()()33333m m y y x m x m x x x x ⎡⎤⎡⎤∴=--⋅--=-++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦11221212(2,),(2,),(2)(2)FC x y FD x y FC FD x x y y =-=-∴⋅=--+u u u r u u u r u Q u u r u u u r 212124(6)2(3)()43333m m m m x x x x +-=-+++= Q 点F 在圆E 内部，0,FC FD ∴⋅<u u u r u u u r 即2(3)0,3m m -<解得0<m<3 ∴m的取值范围是．20．已知函数()()()2ln 21f x x ax a x a R =++++∈ ()1讨论函数()f x 的单调性；()2设a Z ∈，对任意()0,0x f x >≤的恒成立，求整数a 的最大值；()3求证：当0x >时，32ln 210x e x x x x x -+-+->【答案】（1）当0a ≥时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a <时，()f x 在1(0,)a-上单调递增，在1(,)a -+∞上单调递减；（2）2-；（3）证明见解析． 【解析】（1）∵函数 f （x ）＝()()()22111221'22x ax ax ax x f x ax a x x x+++++=+++==（a ∈R ）． ∴21x x+=＞，x ＞0， 当a ＝0时，f ′（x ）1a-＜0，f （x ）在（0，+∞）单调递增． 当a ＞0时，f ′（x ）＞0，f （x ）在（0，+∞）单调递增． 当a ＜0时，令f ′（x ）＞0，解得：0＜x 1a-＞，13 / 13令f ′（x ）＜0，解得：x 111()ln max f x f a a a ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故f （x ）在（0，1a -）递增，在（1a-，+∞）递减． （2）当0a ≥时，则f （1）＝2a +3＞0，不满足f （x ）≤0恒成立． 若a <0，由（1）可知，函数f （x ）在（0，1a -）递增，在（1a -，+∞）递减． ∴11ln a a⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭，又f （x ）≤0恒成立， ∴f （x ）max ≤0，即11 ln a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭0，令g(a)=1 ln 22-，则g(a)单调递增，g(-1)=1， g(-2)=32ln x 0x x x --≥<0，∴a 2≤-时，g(a) <0恒成立，此时f （x ）≤0恒成立， ∴整数a 的最大值-2．（3）由（2）可知，当a ＝-2时，f （x ）≤0恒成立，即lnx ﹣2x 2+1≤0．即x lnx ﹣2x 3+x≤0，32ln 21x e x x x x x -+-+-=恒成立，①又32ln x x x x --e x ﹣x 2+2x ﹣1+（()2()2222ln min h x h ln eln ==-+=） ∴只需证e x ﹣x 2+2x ﹣10≥，记g （x ）＝e x ﹣x 2+2x ﹣1（x ＞0），则g ′（x ）＝e x ﹣2x +2，记h （x ）＝e x ﹣2x +2，则h ′（x ）＝e x ﹣2，由h ′（x ）＝0，得x ＝ln 2． 当x ∈（0，ln 2）时，h ′（x ）＜0；当x ∈（ln 2，+∞）时，h ′（x ）＞0． ∴函数h （x ）在（0，ln 2）上单调递减；在（ln 2，+∞）上单调递增． ∴32ln 21x e x x x x x -+-+-4﹣2ln 2＞0．∴h （x ）＞0，即g ′（x ）＞0，故函数g （x ）在（0，+∞）上单调递增． ∴g （x ）＞g （0）＝e 0﹣1＝0，即e x ﹣x 2+2x ﹣1＞0．结合①∴e x ﹣x 2+2x ﹣1+（()2()2222ln min h x h ln eln ==-+=）＞0，即32ln 21x e x x x x x -+-+-＞0成立．。

绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学本试卷分为第Ⅰ卷（选择题目）和第Ⅱ卷（非选择题目）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第I 卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．2．本卷共9小题，每小题5分，共45分． 参考公式：如果事件A 与事件B 互斥，那么()()()⋃=+P A B P A P B ． 如果事件A 与事件B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =． 球的表面积公式24S R π=，其中R 表示球的半径．一、选择题目：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.设全集{3,2,1,0,1,2,3}U =---，集合{1,0,1,2},{3,0,2,3}A B =-=-，则()UAB =（ ）A. {3,3}-B. {0,2}C. {1,1}-D. {3,2,1,1,3}---2.设a ∈R ，则“1a >”是“2a a >”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.函数241xy x =+的图象大致为（ ） AB.C. D.4.从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：mm ），将所得数据分为9组：[5.31,5.33),[5.33,5.35),,[5.45,5.47],[5.47,5.49]，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为（ ）A. 10B. 18C. 20D. 365.若棱长为 ） A. 12πB. 24πC. 36πD. 144π6.设0.80.70.713,,log 0.83a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ）A. a b c <<B. b a c <<C. b c a <<D. c a b <<7.设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，过抛物线24y x =的焦点和点(0,)b 的直线为l ．若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为（ ）A. 22144x y -=B. 2214y x -=C. 2214x y -=D. 221x y -=8.已知函数()sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭．给出下列结论： ①()f x 的最小正周期为2π； ②2f π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最大值；③把函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，可得到函数()y f x =的图象．其中所有正确结论的序号是 A. ① B. ①③C. ②③D. ①②③9.已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx xk =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是（ ） A. 1,(22,)2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭B. 1,(0,22)2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C. (,0)(0,22)-∞ D. (,0)(22,)-∞+∞绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共11小题，共105分．二、填空题目：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分． 10.i 是虚数单位，复数82ii-=+_________． 11.在522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 的系数是_________．12.已知直线80x +=和圆222(0)x y r r +=>相交于,A B 两点．若||6AB =，则r 的值为_________．13.已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．14.已知0,0a b >>，且1ab =，则11822a b a b+++的最小值为_________． 15.如图，在四边形ABCD 中，60,3B AB ︒∠==，6BC =，且3,2AD BC AD AB λ=⋅=-，则实数λ的值为_________，若,M N 是线段BC 上的动点，且||1MN =，则DM DN ⋅的最小值为_________．三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知5,a b c ===． （Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）求sin A 的值； （Ⅲ）求sin 24A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．17.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面,,2ABC AC BC AC BC ⊥==，13CC =，点,D E分别在棱1AA 和棱1CC 上，且12,AD CE M ==为棱11A B 的中点．（Ⅰ）求证：11C M B D ⊥；（Ⅱ）求二面角1B B E D --的正弦值；（Ⅲ）求直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值．18.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(0,3)A -，右焦点为F ，且||||OA OF =，其中O 为原点．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）已知点C 满足3OC OF =，点B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程．19.已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，()()115435431,5,4a b a a a b b b ===-=-． （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，求证：()2*21n n n S S S n ++<∈N；（Ⅲ）对任意的正整数n ，设()21132,,,.n nn n n n n a b n a a c a n b +-+⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数求数列{}n c 的前2n 项和．20.已知函数3()ln ()f x x k x k R =+∈，()f x '为()f x 的导函数． （Ⅰ）当6k =时，（i ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（ii ）求函数9()()()g x f x f x x'=-+的单调区间和极值； （Ⅱ）当3k-时，求证：对任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x >，有()()()()1212122f x f x f x f x x x ''+->-．的绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学本试卷分为第Ⅰ卷（选择题目）和第Ⅱ卷（非选择题目）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第I 卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．2．本卷共9小题，每小题5分，共45分． 参考公式：如果事件A 与事件B 互斥，那么()()()⋃=+P A B P A P B ． 如果事件A 与事件B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =． 球的表面积公式24S R π=，其中R 表示球的半径．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集{3,2,1,0,1,2,3}U =---，集合{1,0,1,2},{3,0,2,3}A B =-=-，则()UAB =（ ）A. {3,3}-B. {0,2}C. {1,1}-D. {3,2,1,1,3}---2.设a ∈R ，则“1a >”是“2a a >”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.函数241xy x =+的图象大致为（ ） A .B.C. D.4.从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：mm ），将所得数据分为9组：[5.31,5.33),[5.33,5.35),,[5.45,5.47],[5.47,5.49]，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为（ ）A. 10B. 18C. 20D. 365.若棱长为3 ） A. 12πB. 24πC. 36πD. 144π6.设0.80.70.713,,log 0.83a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ）A. a b c <<B. b a c <<C. b c a <<D. c a b <<7.设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，过抛物线24y x =的焦点和点(0,)b 的直线为l ．若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为（ ）A. 22144x y -=B. 2214y x -=C. 2214x y -=D. 221x y -=8.已知函数()sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭．给出下列结论： ①()f x 的最小正周期为2π； ②2f π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最大值；③把函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，可得到函数()y f x =的图象． 其中所有正确结论的序号是 A. ① B. ①③C. ②③D. ①②③9.已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx xk =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是（ ） A. 1,(22,)2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ B. 1,(0,22)2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C. (,0)(0,22)-∞D. (,0)(22,)-∞+∞绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共11小题，共105分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10.i 是虚数单位，复数82ii-=+_________． 11.在522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 的系数是_________．12.已知直线80x +=和圆222(0)x y r r +=>相交于,A B 两点．若||6AB =，则r 的值为_________．13.已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．14.已知0,0a b >>，且1ab =，则11822a b a b+++的最小值为_________． 15.如图，在四边形ABCD 中，60,3B AB ︒∠==，6BC =，且3,2AD BC AD AB λ=⋅=-，则实数λ的值为_________，若,M N 是线段BC 上的动点，且||1MN =，则DM DN ⋅的最小值为_________．三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知22,5,13a b c ===． （Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）求sin A 的值； （Ⅲ）求sin 24A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．17.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面,,2ABC AC BC AC BC ⊥==，13CC =，点,D E 分别在棱1AA 和棱1CC 上，且12,AD CE M ==为棱11A B 的中点．（Ⅰ）求证：11C M B D ⊥；（Ⅱ）求二面角1B B E D --的正弦值；（Ⅲ）求直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值．18.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(0,3)A -，右焦点为F ，且||||OA OF =，其中O 为原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C 满足3OC OF =，点B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程．19.已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，()()115435431,5,4a b a a a b b b ===-=-． （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，求证：()2*21n n n S S S n ++<∈N；（Ⅲ）对任意的正整数n ，设()21132,,,.n nn n n n n a b n a a c a n b +-+⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数求数列{}n c 的前2n 项和．20.已知函数3()ln ()f x x k x k R =+∈，()f x '为()f x 的导函数． （Ⅰ）当6k =时，（i ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（ii ）求函数9()()()g x f x f x x'=-+的单调区间和极值； （Ⅱ）当3k -时，求证：对任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x >，有()()()()1212122f x f x f x f x x x ''+->-．绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

2020年天津市高考数学试卷副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共9小题，共45.0分）1.设全集U={−3,−2,−1,0，1，2，3}，集合A={−1,0，1，2}，B={−3,0，2，3}，则A∩(∁U B)=()A. {−3,3}B. {0,2}C. {−1,1}D. {−3,−2,−1,1，3}2.设a∈R，则“a>1”是“a2>a”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.函数y=4x的图象大致为()x2+1A. B.C. D.4.从一批零件中抽取80个，测量其直径(单位：mm)，将所得数据分为9组：[5.31,5.33)，[5.33,5.35)，…，[5.45,5.47)，[5.47,5.49]，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为()A. 10B. 18C. 20D. 365.若棱长为2√3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()A. 12πB. 24πC. 36πD. 144π6. 设a =30.7，b =(13)−0.8，c =log 0.70.8，则a ，b ，c 的大小关系为( )A. a <b <cB. b <a <cC. b <c <aD. c <a <b7. 设双曲线C 的方程为x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)，过抛物线y 2=4x 的焦点和点(0,b)的直线为l.若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为( )A.x 24−y 24=1B. x 2−y 24=1C.x 24−y 2=1 D. x 2−y 2=18. 已知函数f(x)=sin(x +π3).给出下列结论：①f(x)的最小正周期为2π； ②f(π2)是f(x)的最大值；③把函数y =sinx 的图象上的所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数y =f(x)的图象．其中所有正确结论的序号是( )A. ①B. ①③C. ②③D. ①②③9. 已知函数f(x)={x 3,x ≥0,−x,x <0.若函数g(x)=f(x)−|kx 2−2x|(k ∈R)恰有4个零点，则k 的取值范围是( )A. (−∞,−12)∪(2√2,+∞) B. (−∞,−12)∪(0,2√2) C. (−∞,0)∪(0,2√2)D. (−∞,0)∪(2√2,+∞)二、填空题（本大题共6小题，共30.0分） 10. i 是虚数单位，复数8−i2+i =______．11. 在(x +2x 2)5的展开式中，x 2的系数是______．12. 已知直线x −√3y +8=0和圆x 2+y 2=r 2(r >0)相交于A ，B 两点．若|AB|=6，则r 的值为______． 13. 已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13.假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为______；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为______．14. 已知a >0，b >0，且ab =1，则12a +12b +8a+b 的最小值为______． 15. 如图，在四边形ABCD 中，∠B =60°，AB =3，BC =6，且AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−32，则实数λ的值为______，若M ，N 是线段BC 上的动点，且|MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，则DM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为______． 三、解答题（本大题共5小题，共75.0分）16. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知a =2√2，b =5，c =√13．(Ⅰ)求角C 的大小； (Ⅱ)求sin A 的值；(Ⅲ)求sin(2A +π4)的值．17. 如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，CC 1⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，AC =BC =2，CC 1=3，点D ，E 分别在棱AA 1和棱CC 1上，且AD =1，CE =2，M 为棱A 1B 1的中点． (Ⅰ)求证：C 1M ⊥B 1D ；(Ⅱ)求二面角B −B 1E −D 的正弦值；(Ⅲ)求直线AB 与平面DB 1E 所成角的正弦值．18. 已知椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个顶点为A(0,−3)，右焦点为F ，且|OA|=|OF|，其中O 为原点．(Ⅰ)求椭圆的方程； (Ⅱ)已知点C 满足3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，点B 在椭圆上(B 异于椭圆的顶点)，直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程．19. 已知{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，a 1=b 1=1，a 5=5(a 4−a 3)，b 5=4(b 4−b 3).(Ⅰ)求{a n }和{b n }的通项公式；(Ⅱ)记{a n }的前n 项和为S n ，求证：S n S n+2<S n+12(n ∈N ∗)；(Ⅲ)对任意的正整数n ，设c n ={(3a n −2)b na n a n+2,n 为奇数,a n−1bn+1,n 为偶数．求数列{c n }的前2n 项和．20.已知函数f(x)=x3+klnx(k∈R)，f′(x)为f(x)的导函数．(Ⅰ)当k=6时，(ⅰ)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(ⅰ)求函数g(x)=f(x)−f′(x)+9的单调区间和极值；x> (Ⅱ)当k≥−3时，求证：对任意的x1，x2∈[1,+∞)，且x1>x2，有f′(x1)+f′(x2)2f(x1)−f(x2)．x1−x2答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查列举法的定义，以及补集、并集的运算，属于基础题． 进行补集、交集的运算即可． 【解答】解：全集U ={−3,−2,−1,0，1，2，3}，集合A ={−1,0，1，2}，B ={−3,0，2，3}， 则∁U B ={−2,−1,1}， ∴A ∩(∁U B)={−1,1}， 故选：C ． 2.【答案】A【解析】【分析】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．解得a 的范围，即可判断出结论． 【解答】解：由a 2>a ，解得a <0或a >1，故a >1”是“a 2>a ”的充分不必要条件， 故选：A ． 3.【答案】A【解析】【分析】本题考查了函数图象的识别，属于基础题． 根据函数的奇偶性和函数值的正负即可判断． 【解答】解：函数y =f(x)=4xx 2+1，则f(−x)=−4xx 2+1=−f(x)，则函数y =f(x)为奇函数，故排除C ，D ， 当x >0是，y =f(x)>0，故排除B ， 故选：A ． 4.【答案】B【解析】【分析】本题考查了频率分布直方图，属于基础题．根据频率分布直方图求出径径落在区间[5.43,5.47)的频率，再乘以样本的个数即可． 【解答】解：直径径落在区间[5.43,5.47)的频率为(6.25+5)×0.02=0.225，则被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为0.225×80=18个， 故选：B ． 5.【答案】C【解析】【分析】本题考查球的表面积，考查学生空间想象能力，球的内接体问题，是基础题． 正方体的对角线就是球的直径，求出半径后，即可求出球的表面积． 【解答】解：由题意，正方体的对角线就是球的直径，所以2R=√3×2√3=6，所以R=3，S=4πR2=36π．故选：C．6.【答案】D【解析】【分析】本题考查了指数函数和对数函数的性质，属于基础题．根据指数函数和对数函数的性质即可求出．【解答】解：a=30.7，b=(13)−0.8=30.8，则b>a>1，log0.70.8<log0.70.7=1，∴c<a<b，故选：D．7.【答案】D【解析】【分析】本题考查了双曲线的渐近线方程，抛物线的焦点坐标，直线的平行和垂直，属于中档题．先求出直线l的方程和双曲线的渐近线方程，根据直线平行和垂直即可求出a，b的值，可得双曲线的方程．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0)，则直线l的方程为y=−b(x−1)，∵双曲线C的方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±b ax，∵C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，∴−ba =−b，ba⋅(−b)=−1，∴a=1，b=1，∴双曲线C的方程为x2−y2=1，故选：D．8.【答案】B【解析】【分析】本题以命题的真假判断为载体，主要考查了正弦函数的性质的简单应用，属于中档题．由已知结合正弦函数的周期公式可判断①，结合函数最值取得条件可判断②，结合函数图象的平移可判断③．【解答】解：因为f(x)=sin(x+π3)，①由周期公式可得，f(x)的最小正周期T=2π，故①正确；、②f(π2)=sin(π2+π3)=sin5π6=12，不是f(x)的最大值，故②错误；③根据函数图象的平移法则可得，函数y=sinx的图象上的所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数y=f(x)的图象，故③正确．故选：B．9.【答案】D【解析】【分析】本题考查函数的零点，参数的取值范围，关键利用分类讨论思想，分析函数的交点，属于难题．问题转化为f(x)=|kx2−2x|有四个根，⇒y=f(x)与y=ℎ(x)=|kx2−2x|有四个交点，再分三种情况当k=0时，当k<0时，当k>0时，讨论两个函数四否能有4个交点，进而得出k的取值范围．【解答】解：若函数g(x)=f(x)−|kx2−2x|(k∈R)恰有4个零点，则f(x)=|kx2−2x|有四个根，即y=f(x)与y=ℎ(x)=|kx2−2x|有四个交点，当k=0时，y=f(x)与y=|−2x|=2|x|图象如下：两图象有2个交点，不符合题意，(x2<x1)当k<0时，y=|kx2−2x|与x轴交于两点x1=0，x2=2k图象如图所示，两图象有4个交点，符合题意，当k>0时，(x2>x1)y=|kx2−2x|与x轴交于两点x1=0，x2=2k)内两函数图象有两个交点，所以若有四个交点，在[0,2k只需y=x3与y=kx2−2x在(2k,+∞)还有两个交点，即可，即x3=kx2−2x在(2k,+∞)还有两个根，即k=x+2x 在(2k,+∞)还有两个根，函数y=x+2x≥2√2，(当且仅当x=√2时，取等号)，所以0<2k<√2，且k>2√2，所以k>2√2，综上所述，k的取值范围为(−∞,0)∪(2√2,+∞)．故选：D．10.【答案】3−2i【解析】【分析】本题考查了复数的运算，属于基础题．根据复数的运算法则即可求出．【解答】解：i是虚数单位，复数8−i2+i =(8−i)(2−i)(2+i)(2−i)=15−10i5=3−2i，故答案为：3−2i11.【答案】10【解析】【分析】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．在(x+2x2)5的展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可得到展开式中x2的系数．【解答】解：∵(x+2x2)5的展开式的通项公式为T r+1=C5r x5−r2r x−2r=2r C5r x5−3r，令5−3r =2，得r =1，∴x 2的系数是2×C 51=10， 故答案为10． 12.【答案】5【解析】【分析】本题考查直线与圆相交的性质，涉及弦长的计算，属于基础题． 根据题意，分析圆的圆心，由点到直线的距离公式可得圆心到直线x −√3y +8=0的距离，结合直线与圆相交的性质可得r 2=d 2+(|AB|2)2，计算可得答案． 【解答】解：根据题意，圆x 2+y 2=r 2的圆心为(0,0)，半径为r ； 则圆心到直线x −√3y +8=0的距离d =√1+3=4， 若|AB|=6，则有r 2=d 2+(|AB|2)2=16+9=25，故r =5； 故答案为：513.【答案】16 23【解析】【分析】本题考查了互斥事件的概率公式，考查了运算求解能力，属于基础题． 根据互斥事件的概率公式计算即可． 【解答】解：因为甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13， 则甲、乙两球都落入盒子的概率12×13=16，甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为1−(1−12)(1−13)=1−13=23， 故答案为：16，23．14.【答案】4【解析】【分析】本题考查了基本不等式的应用，考查了运算求解能力，属于中档题． 由12a +12b +8a+b =a+b 2ab+8a+b =a+b 2+8a+b ，利用基本不等式即可求出．【解答】解：a >0，b >0，且ab =1， 则12a+12b +8a+b =a+b 2ab+8a+b =a+b 2+8a+b ≥2√a+b 2⋅8a+b =4，当且仅当a+b 2=8a+b ，即a =2+√3，b =2−√3或a =2−√3，b =2+√3 取等号，故答案为：415.【答案】16 132【解析】【分析】本题考查了向量在几何中的应用，考查了向量的共线和向量的数量积，以及二次函数的性质，属于中档题．以B 为原点，以BC 为x 轴建立如图所示的直角坐标系，根据向量的平行和向量的数量积即可求出点D 的坐标，即可求出λ的值，再设出点M ，N 的坐标，根据向量的数量积可得关于x 的二次函数，根据二次函数的性质即可求出最小值． 【解答】解：以B 为原点，以BC 为x 轴建立如图所示的直角坐标系， ∵∠B =60°，AB =3， ∴A(32,3√32)， ∵BC =6，∴C(6,0)， ∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AD//BC ， 设D(x 0,3√32)， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0−32,0)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−32,−3√32)， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−32(x 0−32)+0=−32，解得x 0=52，∴D(52,3√32)， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,0)， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =16BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴λ=16，∵|MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1， 设M(x,0)，则N(x +1,0)，其中0≤x ≤5， ∴DM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −52,−3√32)，DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −32,−3√32)， ∴DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −52)(x −32)+274=x 2−4x +212=(x −2)2+132，当x =2时取得最小值，最小值为132， 故答案为：16，132．16.【答案】解：(Ⅰ)由余弦定理以及a =2√2，b =5，c =√13，则cosC =a 2+b 2−c 22ab=8+25−132×2√2×5=√22， ∵C ∈(0,π)， ∴C =π4；(Ⅱ)由正弦定理，以及C =π4，a =2√2，c =√13，可得sinA = asinC c =2√2×√22√13=2√1313；(Ⅲ)由a <c ，及sinA =2√1313，可得cosA =√1−sin 2A =3√1313， 则sin2A =2sinAcosA =2×2√1313×3√1313=1213，∴cos2A =2cos 2A −1=513，∴sin(2A +π4)=√22(sin2A +cos2A)=√22(1213+513)=17√226．【解析】本题考了正余弦定理，同角的三角形函数的关系，二倍角公式，两角和的正弦公式，属于中档题．(Ⅰ)根据余弦定理即可求出C 的大小； (Ⅱ)根据正弦定理即可求出sin A 的值；(Ⅲ)根据同角的三角形函数的关系，二倍角公式，两角和的正弦公式即可求出．17.【答案】解：以C 为原点，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则C(0,0，0)，A(2,0，0)，B(0,2，0)，C 1(0,0，3)，A 1(2,0，3)，B 1(0,2，3)，D(2,0，1)，E(0,0，2)，M(1,1，3)，(Ⅰ)证明：依题意，C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1，0)，B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−2,−2)，∴C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2−2+0=0，∴C 1M ⊥B 1D ；(Ⅱ)依题意，CA⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0，0)是平面BB 1E 的一个法向量， EB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，1)，ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0，−1)， 设n⃗ =(x,y ，z)为平面DB 1E 的法向量， 则{n ⃗ ⋅EB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{2y +z =02x −z =0，不妨设x =1，则n ⃗ =(1,−1,2)， ∴cos <CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√66， ∴sin <CA⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=√1−16=√306， ∴二面角B −B 1E −D 的正弦值√306；(Ⅲ)依题意，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2，0)，由(Ⅱ)知，n⃗ =(1,−1,2)为平面DB 1E 的一个法向量， ∴cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=−√33，∴直线AB 与平面DB 1E 所成角的正弦值为√33．【解析】(Ⅰ)建立空间坐标系，根据向量的数量积等于0，即可证明； (Ⅱ)先平面DB 1E 的法向量n ⃗ ，再根据向量的夹角公式，求出二面角B −B 1E −D 的正弦值；(Ⅱ)求出cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n⃗ >值，即可求出直线AB 与平面DB 1E 所成角的正弦值． 本题考查了空间向量在几何中的应用，线线平行和二面角和线面角的求法，考查了运算求解能力，转化与化归能力，逻辑推理能力，属于中档题．18.【答案】解：(Ⅰ)由已知可得b =3，记半焦距为c ，由|OF|=|OA|可得c =b =3，由a 2=b 2+c 2，可得a 2=18， ∴椭圆的方程为 x 218+y 29=1，(Ⅱ)：∵直线AB 与C 为圆心的圆相切于点P ， ∴AB ⊥CP ，根据题意可得直线AB 和直线CP 的斜率均存在，设直线AB 的方程为y =kx −3， 由方程组{y =kx −3x 218+y 29=1，消去y 可得(2k 2+1)x 2−12kx =0，解得x =0，或x =12k2k 2+1，依题意可得点B 的坐标为(12k2k 2+1,6k 2−32k 2+1)，∵P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为(0,−3)， ∴点P 的坐标为(6 k 2k 2+1,−32k 2+1)，由3OC⃗⃗⃗⃗⃗ =OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得点C 的坐标为(1,0)， 故直线CP 的斜率为−32k 2+16k2k 2+1−1=32k 2−6k+1，∵AB ⊥CP ， ∴k ⋅32k 2−6k+1=−1， 整理可得2k 2−3k +1=0， 解得k =12或k =1，∴直线AB 的方程为y =12x −3或y =x −3．【解析】(Ⅰ)根据可得c =b =3，由a 2=b 2+c 2，可得a 2=18，即可求出椭圆方程； (Ⅱ)根据题意可得直线AB 和直线CP 的斜率均存在，设直线AB 的方程为y =kx −3，联立方程组，求出点B 的坐标，再根据中点坐标公式可得点P 的坐标，根据向量的知识求出点C 的坐标，即可求出CP 的斜率，根据直线垂直即可求出k 的值，可得直线AB 的方程．本题中考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与圆相切问题、中点坐标公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ， 由a 1=1，a 5=5(a 4−a 3)，则1+4d =5d ，可得d =1， ∴a n =1+n −1=n ，∵b 1=1，b 5=4(b 4−b 3)， ∴q 4=4(q 3−q 2)，解得q =2， ∴b n =2n−1； 证明(Ⅱ)由(Ⅰ)可得S n =n(n+1)2，∴S n S n+2=14n(n +1)(n +2)(n +3)，(S n+1)2=14(n +1)2(n +2)2，∴S n S n+2−S n+12=−12(n +1)(n +2)<0，∴S n S n+2<S n+12(n ∈N ∗)；解：(Ⅲ)，当n 为奇数时，c n =(3a n −2)b n a n a n+2=(3n−2)2n−1n(n+2)=2n+1n+2−2n−1n，当n 为偶数时，c n = a n−1b n+1=n−12n，对任意的正整数n ，有∑c 2k−1n k=1=∑(n k=122k 2k+1−22k−22k−1)=22n 2n+1−1，和∑c 2k n k=1=∑2k−14kn k=1=14+342+543+⋯+2n−14n，①， 由①×14可得14∑c 2k n k=1=142+343+⋯+2n−34 n +2n−14n+1，②，①−②得34∑c 2k n k=1=14+242+243+⋯+24 n −14--2n−14n+1， ∴∑c 2k n k=1=59−6n+59×4n，因此∑c 2k 2n k=1=∑c 2k−1n k=1+∑c 2k n k=1=4n 2n+1−6n+59×4n−49．数列{c n }的前2n 项和4n2n+1−6n+59×4n −49．【解析】(Ⅰ)分别根据等差数列的通项公式和等比数列的通项公式即可求出； (Ⅱ)根据等差数列的求和公式和作差法即可比较大小，则课证明； (Ⅲ)分类讨论，再根据错位相减法即可求出前2n 项和．本题考查了等差数列等比数列的通项公式和求和公式，考查了不等式的大小比较，考查了数列求和的方法，考查了运算求解能力，转化与化归能力，分类与整合能力，属于难题．20.【答案】解：(I)(i)当k =6时，f(x)=x 3+6lnx ， 故f′(x)=3x 2+6x ，∴f′(1)=9， ∵f(1)=1，∴曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y −1=9(x −1)，即9x −y −8=0． (ii)g(x)=f(x)−f′(x)+9x =x 3+6lnx −3x 2+3x ，x >0， ∴g′(x)=3x 2−6x +6x −3x 2=3(x−1)3(x+1)x 2，令g′(x)=0，解得x =1， 当0<x <1，g′(x)<0， 当x >1，g′(x)>0，∴函数g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，x=1是极小值点，极小值为g(1)=1，无极大值证明：(Ⅱ)由f(x)=x3+klnx，则f′(x)=3x2+kx，对任意的x1，x2∈[1,+∞)，且x1>x2，令x1x2=t，t>1，则(x1−x2)[f′(x1)+f′(x2)]−2[f(x1)+f(x2)]=(x1−x2)(3x12+kx1+3x22+kx2)−2(x13−x23+kln x1x2)，=x13−x23−3x12x2+3x1x22+k(x1x2−x2x1)−2kln x1x2，=x23(t3−3t2+3t−1)+k(t−1t−2lnt)，①令ℎ(x)=x−1x−2lnx，x>1，当x>1时，ℎ′(x)=1+1x2−2x=(1−1x)2>0，∴ℎ(x)在(1,+∞)单调递增，∴当t>1，ℎ(t)>ℎ(1)=0，即t−1t−2lnt>0，∵x2≥1，t3−3t2+3t−1=(t−1)3>0，k≥−3，∴x23(t3−3t2+3t−1)+k(t−1t −2lnt)>t3−3t2+3t−1−3(t−1t−2lnt)=t3−3t2+6lnt+3t−1，②，由(Ⅰ)(ii)可知当t≥1时，g(t)>g(1)即t3−3t2+6lnt+3t>1，③，由①②③可得(x1−x2)[f′(x1)+f′(x2)]−2[f(x1)+f(x2)]>0，∴当k≥−3时，对任意的x1，x2∈[1,+∞)，且x1>x2，有f′(x1)+f′(x2)2>f(x1)−f(x2)x1−x2．【解析】(Ⅰ)(i)根据导数的几何意义即可求出切线方程；(ii)根据导数和函数单调性极值的关系，即可求出；(Ⅱ)要证不等式成立，只要证明(x1−x2)[f′(x1)+f′(x2)]−2[f(x1)+f(x2)]>0，根据导数和函数最值的关系，以及放缩法即可证明．本题是利用导数研究函数的单调性、求函数的极值的基本题型，不等式的证明，属于难题．。