行程及流水问题

复习八：行程问题——流水行船问题1.甲、乙两港间的水路长432千米，一只船从上游甲港航行到下游乙港需要18小时。

从乙港返回甲港，需要24小时，求船在静水中的速度和水流速度。

2.一艘船在静水中的速度为每小时15千米，它从上游甲地开往下游乙地共花去了8小时，已知水速为每小时3千米，那么从乙地返回甲地需多少小时？3.一艘轮船从甲港开往乙港，顺水而行每小时行28千米，返回甲港时逆水而行用了6小时，已知水速是每小时4千米，甲、乙两港相距多少千米？4.一条大河，河中间（主航道）水的流速为每小时8千米，沿岸边水的速度为每小时6千米。

一条船在河中间顺流而下，13小时行驶520千米，求这条船沿岸边返回原地需要多少小时？5.有人在河中游泳逆流而上，丢失了水壶，水壶顺流而下，经30分钟才发觉此事，他立即返回寻找。

结果在离丢失地点下游6千米处找到水壶，他返回寻找用了多少时间？水流速度是多少？6.一艘货轮顺流航行36千米，逆流航行12千米，共用了10小时，顺流航行20千米，再逆流航行20千米也用了10小时，顺流航行12千米，又逆流航行24千米要用多少小时？7.一只船在水中航行，水速为每小时2千米，它在静水中航行每小时行8千米。

问这只船顺水航行50千米需要多少小时？8.一艘轮船在静水中的速度是每小时15千米，它逆水航行88千米用了11小时，问这艘船返回原地需用几小时？9.一只船往返于一段长120千米的航道，上行时用了10小时，下行时用了6小时。

船在静水中航行的速度与水速各是多少？10.两港口相距432千米，轮船顺水行这段路程需要16小时，逆水每小时比顺水少行9千米。

问行驶这段路程逆水比顺水多用几小时？11.一艘轮船往返于相距198千米的甲、乙两个码头，已知这段水路的水速是每小时2千米，从甲码头到乙码头顺流而下需要9小时。

这艘船往返于甲、乙两码头共需几小时？12.一条船在静水中的速度是每小时16千米，它逆水航行了12小时，行了144千米，如果这是按原路返回，每小时要行多少千米？13.甲、乙之间的水路是234千米，一只船从甲港到乙港需9小时，从乙港返回甲港需13小时。

行程、流水问题公式
一般行程问题公式
平均速度×时间=路程；
路程÷时间=平均速度；
路程÷平均速度=时间。

同向行程问题公式
追及路程÷（速度差）=追及时间
追及路程÷追及时间=（速度差）
（速度差）×追及时间=追及路程
反向行程问题公式
反向行程问题可以分为“相遇问题”（二人从两地出发，相向而行）和“相离问题”（两人背向而行）两种。

这两种题，都可用下面的公式解答：
（速度和）×相遇（离）时间=相遇（离）路程
相遇（离）路程÷（速度和）=相遇（离）时间
相遇（离）路程÷相遇（离）时间=（速度和）
流水问题公式
顺流速度=静水速度+水流速度
逆流速度=静水速度-水流速度
静水速度=（顺流速度+逆流速度）÷2
水流速度=（顺流速度-逆流速度）÷2。

行程问题------------行船问题方法总结：解行船问题的一般方法：船在流水中航行的问题叫做行船问题。

行船问题和行程问题一样，也有速度、时间与路程之间的数量关系，但是又比一般的行程问题多了一个水流的影响。

行船问题中常用的概念有：船速、水速、顺水速度和逆水速度。

船在静水中航行的速度叫做船速，河水流动的速度叫做水速，船从上游向下游顺水而行的速度叫做顺水速度，船从下游向上游逆水而行的速度叫做逆水速度。

各种速度之间的关系：顺水速度=船速+水速逆水速度=船速-水速船速=（顺水速度+逆水速度）÷2水速=（顺水速度-逆水速度）÷2例1：一条船从甲港开往乙港，顺水航行15小时可以到达乙港，已知船在静水中的速度是16千米每小时。

甲、乙两港的航线长多少？船返回时从乙港到达甲港需要多少时间？例2：甲、乙两港的水路长288千米。

一只船从甲港开往乙港，顺水航行16小时到达乙港；从乙港返回甲港，逆水航行18小时到达甲港。

求船在静水中的速度（即船速）和水流速度（即水速）。

例3：一艘船从甲港开往乙港，逆水而行每小时行14千米，返回甲港时顺水而行用了12小时，已知水流速度为每小时2千米，甲、乙两港相距多少千米？例4：A、B两港之间的水路长90千米，甲船顺水而下需要行驶6小时，逆水而上需要行驶10小时。

如果乙船顺水而下需要行驶5小时，那么乙船在静水中的速度是多少？例5：甲、乙两港相距360千米，一轮船往返这两港需要64小时，逆水航行比顺水航行多花16小时。

现有一艘客船在静水中的速度是每小时15千米，这时客船往返两港需要多少小时？例6：一艘轮船第一次顺流航行64千米，逆水航行24千米。

共用14小时，第二次用同样的时间顺流航行82千米，逆流航行15千米。

求这艘船在静水中的速度和水流速度。

对应练习：1、一艘轮船的静水速度是25千米/小时，往来于相距180千米的A、B两城之间，从A到B是顺水航行，水速为5千米/小时，求这轮船往返于两城之间各需航行多长时间？2、甲、乙两港间的水路长286千米，一艘轮船从甲港开往乙港，顺水11小时到达，从乙港返回甲港，逆水13小时到达。

行程问题和流水问题行程问题：关于走路、行车等问题，一般都是计算路程、时间、速度，叫做行程问题。

解答这类问题首先要搞清楚速度、时间、路程、方向、杜速度和、速度差等概念，了解他们之间的关系，再根据这类问题的规律解答。

解题关键及规律：同时同地相背而行：路程=速度和×时间。

同时相向而行：相遇时间=速度和×时间同时同向而行（速度慢的在前，快的在后）：追及时间=路程速度差。

同时同地同向而行（速度慢的在后，快的在前）：路程=速度差×时间。

例甲在乙的后面28 千米，两人同时同向而行，甲每小时行16 千米，乙每小时行9 千米，甲几小时追上乙？分析：甲每小时比乙多行（16-9 ）千米，也就是甲每小时可以追近乙（16-9 ）千米，这是速度差。

已知甲在乙的后面28 千米（追击路程），28 千米里包含着几个（16-9 ）千米，也就是追击所需要的时间。

列式2 8 ÷（16-9 ）=4 （小时）流水问题：一般是研究船在“流水”中航行的问题。

它是行程问题中比较特殊的一种类型，它也是一种和差问题。

它的特点主要是考虑水速在逆行和顺行中的不同作用。

船速：船在静水中航行的速度。

水速：水流动的速度。

顺水速度：船顺流航行的速度。

逆水速度：船逆流航行的速度。

顺速=船速＋水速逆速=船速－水速解题关键：因为顺流速度是船速与水速的和，逆流速度是船速与水速的差，所以流水问题当作和差问题解答。

解题时要以水流为线索。

解题规律：船行速度=（顺水速度+ 逆流速度）÷2流水速度=（顺流速度逆流速度）÷2路程=顺流速度×顺流航行所需时间路程=逆流速度×逆流航行所需时间例一只轮船从甲地开往乙地顺水而行，每小时行28 千米，到乙地后，又逆水航行，回到甲地。

逆水比顺水多行 2 小时，已知水速每小时 4 千米。

求甲乙两地相距多少千米？分析：此题必须先知道顺水的速度和顺水所需要的时间，或者逆水速度和逆水的时间。

行程问题（一）一、考点、热点顺水：行驶速度=静水速度+流水速度逆水：行驶速度=静水速度—流水速度相遇问题：相距距离÷速度和=相遇时间追及问题：相距距离÷速度差=追及时间二、典型例题例1 一只船在静水中每小时行8千米，逆水行4小时航行24千米，求水流速度？例2 一只每小时航行13千米的客船在一条河中航行，这条河的水速为每小时7千米，这只客船顺水航行140千米需要多少小时？例3 甲乙两港间的水路长208千米，一只船从甲港开往乙港，顺水8小时到达，从乙港返回甲港，逆水13小时到达。

求船在静水的速度？例4 甲河是乙河的支流，甲河水流速度为每小时3千米，乙河水流速度为每小时2千米，一艘船沿乙河逆水航行6小时，行了84千米到达甲河，在甲河还要顺水航行133千米，这艘船一共航行多少小时？例5 一艘客船从A港驶往B港顺水下行，每小时航行28千米，到达B港后，又逆水上行回到A港，逆水上行比顺水下行多用2小时，已知水流速度为每小时4千米，求A、B两港相距多少千米？例6 A、B两船分别从上游的甲港和下游的乙港同时相向而行，6小时相遇，然后相并向下游驶去，A船经3小时到达乙港，B船经4小时回到乙港。

已知甲、乙两港间相距936千米，求AB两船的速度及水速各是多少千米？例7 一艘客轮顺水航行60千米需4小时，逆水航行60千米需5小时，现在客轮从上游甲城到下游乙城，已知两城间的水路长75千米。

开船时一旅客从窗口投出一木板，问船到乙城时，木板离乙城还有多少千米？例8 两只木排，甲木排和漂流物同时从A地到B地前行，乙木排也同时从B地向A地前行，甲木排5小时后与漂流物相距75千米，乙木排15小时后与漂流物相遇，两木排的划速相同，AB两地距离多长？三、习题练习1、AB两码头相距360千米，一艘轮船在其间航行，顺流需18小时，逆流需24小时，求水流速度。

2、甲、乙两港相距200千米，有一艘汽艇顺水行完全程需8小时，这条河的水流速度是每小时2.5千米，求逆水行完全程要多少小时？3、一只小船在静水中每小时航行35千米，逆水航行180千米需6小时，顺水航行这段水路需多少小时？4、光明号客船顺水航行200千米要8小时，逆水航行120千米也要8小时，那么在静水中航行200千米需要多少小时？5、一艘客轮每小时行驶27千米，在大河中顺水航行160千米，每小时水速5千米，需要航行多少小时？6、一艘货轮每小时行驶25千米，大河中水速为5千米，要在大河中逆水航行7小时，能行驶多少千米？7、甲乙两地相距270千米，客轮从甲地顺水以每小时27千米的速度航行到乙地要用9小时，这样水速是每小时多少千米？8、一只船顺水行320千米需用8小时，水流每小时15千米，逆水每小时行多少千米？9、惟惟划船，沿河向上游划去，不巧帽子被风刮走了。

流水行程问题一公式顺水速度：由于水流的速度带动了船的速度，所以，顺水的速度=船速+水流的速度水流的速度船的速度顺水的速度逆水速度:由于水流的速度阻碍船的速度，那么逆水的速度=船速—水流的速度水流的速度船的速度逆水的速度上述两个公式是基本公式,从上述两个公式中，我们知道，顺水的速度是两速之和，而逆水的速度则是两速之差，那么如果只告诉你顺水速度和逆水速度，你能求出船速和水流的速度吗？流水的速度=船的速度=二例题讲解例题1 一轮船在一条河流里顺水而下行200千米要10小时，逆流而上120千米,也要用10小时,这艘船在静水中航行280千米要几小时?解析：1 要求静水的行驶时间，时间=路程÷速度2 其次，路程是280千米，那么静水中船的速度呢？=船速3 如何求船速？例题2 某船在静水中的速度是每小时15千米，它从上游甲地开往下游乙地共花去了8小时，水速每小时3千米,问从乙地返回甲地需要多少时间？解析:1 从甲地到乙地的速度，是顺水的速度:2 甲乙两地的距离:3 先从乙地返回甲地，其速度是，为4 返回时所用的时间：例题3 一条船往返于A、B两地之间，由A到B是顺水航行，而由B到A是逆水航行。

已知船在静水中的速度是每小时20千米,由A到B用了6小时，由B到A所用的时间是由A到B所用时间的1。

5倍,求水流的速度。

解析：1 由B到A用的时间：2 根据时间之比,可以得到顺水速度和逆水速度的比3 设水流的速度为X，即可求得解你还有其他解法吗？三练习1 轮船以统一速度往返于两码头之间。

它顺流而下，行了8小时；逆流而上，行了10小时。

如果水流速度是每小时3千米,求两码头之间的距离。

2 船每小时行3千米，在长176千米的河中逆流航行要11小时才能到达，那么，返回需要几小时？3 一机动船在水流每小时3千米的河中逆流而上时，8小时48千米。

返回时水流的速度是逆流而上的2倍，那么航行195千米需要多少小时?4 有甲乙两船,甲船和漂流物同时由河西向东而行,乙船也同时从河东向西而行。

流水问题例题分析【例题分析】例1. 一条轮船往返于A、B两地之间，由A到B是顺水航行；由B到A是逆水航行。

已知船在静水中的速度是每小时20千米，由A到B用了6小时，由B到A的时间是由A到B所用时间的1.5倍，求水流速度。

分析与解答：不论是顺水航行还是逆水航行，其行驶路程相等，都等于AB两地之间的路程；而船顺水航行时其行驶的速度是船在静水中的速度加上水流速度，而船在逆水航行时的速度等于船在静水中的速度减去水流速度，我们可以列方程求解。

顺水速×时间＝逆水速×时间解：设水流速度为每小时x千米答：水流速度为每小时4千米。

例2. 两条公路成十字交叉，甲从十字路南1350米处向北直行，乙从十字路口向东直行，二人同时出发10分钟后，二人距十字路口距离相等；二人仍保持原速度直行，又过了80分钟，这时二人离十字路口的距离又相等，求甲、乙二人的速度。

分析与解答：二人同时出发后第一次距十字路口距离相等时，甲在十字路口的南侧，此时两人所走的路程和为1350米，第二次距十字路口的距离相等时，甲处在十字路口北侧，此时甲比乙正好多走了1350米，即两人所走路程的差是1350米。

根据二人10分钟所走路程和是1350米，可以求出甲乙速度和。

根据二人（10＋80）分钟的路程差是1350米，可以求出甲乙速度差。

应用和、差问题的规律，可以求出甲、乙速度。

列式：（米）（米）（米）（米）答：甲的速度是每分钟75米，乙的速度是每分钟60米。

例3. 一个游泳池长50米，甲、乙二人分别从游泳池的两端同时出发，游到另一端立即返回，照这样往返游，两人游了两分钟，已知甲每秒钟游3米，乙每秒钟游2米，从出发后的两分钟内，二人相遇了几次？分析与解答：两人同时从游泳池的两端出发，第一次相遇时，两人共游了50米，第一次相遇到第二次相遇，两人共游了100米，即从第一次相遇后，两人共同游100米就相遇一次。

两人游了两分钟，一共游了（米），除了第一次相遇时游的50米，又游了550米，这550米中有几个100米就相遇了多少次。

行程问题之流水行船问题四个速度：⑴顺水速度＝船速＋水速，V顺＝V船＋V水；⑵逆水速度＝船速－水速，V逆＝V船－V水；⑶船速＝(顺水速度＋逆水速度)÷2；⑷水速＝(顺水速度－逆水速度)÷2。

重要结论：同一条河中两船的相遇与追及和水速无关。

丢物品与追物品用的时间一样。

【例1】〔★★〕平时轮船从A地顺流而下到B地要行20小时，从B地逆流而上到A地要行28小时. 现正值雨季，水流速度为平时的2倍，那么，从A到B再回A共需_____小时.【例2】〔★★★〕一只轮船从甲港顺水而下到乙港，马上又从乙港逆水行回甲港，共用了8小时.顺水每小时比逆水多行20千米，又知前4小时比后4小时多行60千米.那么，甲、乙两港相距多少千米？【例3】〔★★★★〕一条河上有甲、乙两个码头，甲在乙的上游50千米处.客船和货船分别从甲、乙两码头出发向上游行驶，两船的静水速度相同且始终保持不变.客船出发时有一物品从船上落入水中，10分钟后此物距客船5千米.客船在行驶20千米后折向下游追赶此物，追上时恰好和货船相遇 .求水流的速度.【例4】〔★★★★〕A、B两地相距100千米，甲乙两艘静水速度相同的船同时从A、B两地出发，相向而行，相遇后继续前进，到达B、A后再沿原路返回。

第一次和第二次相遇地点相距20千米，水流速度为每秒2米，那么船的静水速度是每小时多少千米？行程问题之扶梯问题三个公式：1〕顺行速度＝人速＋电梯速度2〕逆行速度＝人速－电梯速度3〕电梯级数＝可见级数＝路程注意路程和时间的转化【例5】〔★★★〕某城市火车站中，从候车室到大厅有一架向上的自动扶梯.海海想逆行从上到下，如果每秒向下迈两级台阶，那么他走过80级台阶后到达站台；如果每秒向下迈三级台阶，那么走过60级台阶到达站台.自动扶梯有多少级台阶?【例6】〔★★★〕小丁在捷运站搭一座电扶梯下楼.如果他向下走14阶，那么需时30秒即可由电扶梯顶到达底部；如果他向下走28阶，那么需时18秒即可由电扶梯顶到达底部.请问这座电扶梯有几阶？行程问题之环形路线问题两人同时同地出发1〕相向而行：相遇一次合走一圈2〕同向而行：追上一次多走一圈【例7】〔★★★〕有甲、乙、丙3人，甲每分钟行走120米，乙每分钟行走100米，丙每分钟行走70米.如果3个人同时同向,从同地出发，沿周长是400米的圆形跑道行走，【例8】〔★★★〕甲、乙两人从400米的环形跑道上一点A背向同时出发，8分钟后两人第五次相遇，每秒钟甲比乙多走米，那么两人第五次相遇的地点与点A沿跑道上的最短路程是多少米?【例9】〔★★★★★〕二人沿一周长400米的环形跑道均速前进，甲行一圈4分钟，乙行一圈7分钟，他们同时同地同向出发，甲走10圈后，改反向出发，每次甲追上乙或迎面相遇时二人都要击掌。

复习八：行程问题——流水行船问题1.甲、乙两港间的水路长432千米，一只船从上游甲港航行到下游乙港需要18小时。

从乙港返回甲港，需要24小时，求船在静水中的速度和水流速度。

2.一艘船在静水中的速度为每小时15千米，它从上游甲地开往下游乙地共花去了8小时，已知水速为每小时3千米，那么从乙地返回甲地需多少小时？3.一艘轮船从甲港开往乙港，顺水而行每小时行28千米，返回甲港时逆水而行用了6小时，已知水速是每小时4千米，甲、乙两港相距多少千米？4.一条大河，河中间（主航道）水的流速为每小时8千米，沿岸边水的速度为每小时6千米。

一条船在河中间顺流而下，13小时行驶520千米，求这条船沿岸边返回原地需要多少小时？5.有人在河中游泳逆流而上，丢失了水壶，水壶顺流而下，经30分钟才发觉此事，他立即返回寻找。

结果在离丢失地点下游6千米处找到水壶，他返回寻找用了多少时间？水流速度是多少？6.一艘货轮顺流航行36千米，逆流航行12千米，共用了10小时，顺流航行20千米，再逆流航行20千米也用了10小时，顺流航行12千米，又逆流航行24千米要用多少小时？7.一只船在水中航行，水速为每小时2千米，它在静水中航行每小时行8千米。

问这只船顺水航行50千米需要多少小时？8.一艘轮船在静水中的速度是每小时15千米，它逆水航行88千米用了11小时，问这艘船返回原地需用几小时？9.一只船往返于一段长120千米的航道，上行时用了10小时，下行时用了6小时。

船在静水中航行的速度与水速各是多少？10.两港口相距432千米，轮船顺水行这段路程需要16小时，逆水每小时比顺水少行9千米。

问行驶这段路程逆水比顺水多用几小时？11.一艘轮船往返于相距198千米的甲、乙两个码头，已知这段水路的水速是每小时2千米，从甲码头到乙码头顺流而下需要9小时。

这艘船往返于甲、乙两码头共需几小时？12.一条船在静水中的速度是每小时16千米，它逆水航行了12小时，行了144千米，如果这是按原路返回，每小时要行多少千米？13.甲、乙之间的水路是234千米，一只船从甲港到乙港需9小时，从乙港返回甲港需13小时。

第十讲行程问题（流水问题）流水问题是行程问题的一种,多指在水中行驶,因水流造成行进速度发生变化而产生的一类应用题.流水问题中的规律:顺水的速度是船在静水中的速度与水流的速度的和.逆水的速度是船在静水中的速度与水流的速度的差.用式子表示为:顺水船水逆水船水其他公式有:船逆顺船顺逆典型例题【例1】甲乙两城市相距350千米，一艘客轮在其间往返航行。

从甲城到乙城是顺流，用去10小时；从乙城返回甲城是逆流，用去14小时，算一算这艘船在静水中的速度和水流速度。

拓展一一艘船从甲城出发，逆流而行，时速40千米，经过2.5小时到达乙城，回来是顺流航行，每小时快10千米，往返一共用去多少小时？拓展二一艘轮船往返于甲、乙码头一次。

问是静水中航行所用的时间多，还是流水中航行所用的时间多？【例2】甲、乙两港相距360千米，一轮船往返两港需35小时，逆流航行比顺流航行多花了5小时。

现在有一艘轮船，静水中的速度是每小时12千米，这艘轮船往返两港要多少小时？拓展一艘船沿江顺流而下，由A码头到B码头用了2小时35分，两码头之间的航程为31千米，一船在静水中的速度为每小时9千米。

当此船按原速逆流而上返回A码头时需用多少时间？轻松一刻有个渔人有着一流的捕鱼技术，被人们尊称为‘渔王’。

然而‘渔王’年老的时候非常苦恼，因为他的三个儿子的渔技都很平庸。

于是个经常向人诉说心中的苦恼：“我真不明白，我捕鱼的技术这么好，我的儿子们为什么这么差？我从他们懂事起就传授捕鱼技术给他们，从最基本的东西教起，告诉他们怎样织网最容易捕捉到鱼，怎样划船最不会惊动鱼，怎样下网最容易请鱼入瓮。

他们长大了，我又教他们怎样识潮汐，辨鱼汛。

凡是我长年辛辛苦苦总结出来的经验，我都毫无保留地传授给了他们，可他们的捕鱼技术竟然赶不上技术比我差的渔民的儿子！”一位路人听了他的诉说后，问：“你一直手把手地教他们吗？”“是的，为了让他们得到一流的捕鱼技术，我教得很仔细很耐心。

”“他们一直跟随着你吗？”“是的，为了让他们少走弯路，我一直让他们跟着我学。