江苏省苏州市陆慕高级中学2020-2021学年高二下学期在线学习质量检测数学试题

江苏省苏州市陆慕高级中学2021-2022高二数学下学期在线学习质量检测试题（含解析）一、单选题（共8题，每题5分，共40分） 1.复数2i -的虚部为（ ） A. 2 B. 1C. -1D. -i【答案】C 【解析】试题分析：复数2i -的虚部为－1，故选C ． 考点：复数的概念．2.已知函数()f x 可导，则()()11lim x f x f x∆→-∆--∆等于（ ）A. ()'1fB. 不存在C.()1'13f D. 以上都不对【答案】A 【解析】 【分析】直接根据导数的定义进行求解，将x -∆看成一个整体，即可得到答案。

【详解】因为0x ∆→，所以()0x -∆→，所以()()()()'001111limlim (1)x x f x f f x f f x x∆→-∆→-∆--∆-==-∆-∆. 故选：A【点睛】本题考查导数的概念、极根符号的理解，属于基础题.3.将4个不同的文件发往3个不同的邮箱地址，则不同的方法种数为（ ） A. 43 B. 34C. 24D. 4【答案】A 【解析】 【分析】直接利用乘法原理计算得到答案.【详解】根据乘法原理：不同的方法种数为43. 故选：A .【点睛】本题考查了乘法原理，属于简单题. 4.函数f （x ）1lnxx =+的图象大致是（ ）A. B. C. D.【答案】C 【解析】 【分析】求出f (x )的导函数,利用导数研究函数的单调性,然后结合图象得到答案.【详解】解:由f (x )1lnxx =+,得f ′(x )211(0)(1)lnx x x x +-=>+, 令g (x )＝11lnx x +-,则g ′(x )22111xx x x+=--=-＜0, 所以g (x )在(0,+∞)上单调递减,又g (e )1e=＞0,g (e 2)2221111lne e e=+-=-＜0, 所以存在x 0∈(e ,e 2),使得g (x 0)＝0, 所以当x ∈(0,x 0)时,g (x )＞0,f ′(x )＞0; 当x ∈(x 0,+∞)时,g (x )＜0,f ′(x )＜0,所以f (x )在(0,x 0)上单调递增,在(x 0,+∞)上单调递减. 故选:C .【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和零点存在定理,属中档题. 5.已知()()21xf x e xf =+'，则()0f '等于（ ）A. 12e +B. 12e -C. 2e -D. 2e【答案】B 【解析】试题分析：由于()()()()121,121xf x e f f e f =+=+''''，所以()1f e '=-，()()00212f e e e =+⋅-=-'．考点：函数导数．6.已知函数()29ln 3f x x x x =-+在其定义域内的子区间()1,1m m -+上不单调,则实数m的取值范围为( ) A. 13,22⎛⎫⎪⎝⎭B. 31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 51,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 51,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】 【分析】对()f x 求导得到()f x '，然后利用导数得到()f x 的单调区间，根据()f x 在()1,1m m -+上不单调，从而得到关于m 的不等式，得到答案. 【详解】因为()29ln 3f x x x x =-+所以()923f x x x'=-+ 令()0f x '=，即9230x x-+=， 解得32x =或3x =-（舍） 所以30,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减， 3,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增， 而()f x 在区间()1,1m m -+上不单调， 所以3112m m -<<+解得1522m <<， 因为()1,1m m -+是函数()f x 定义域内的子区间， 所以10m -≥，即m 1≥， 所以m 的范围为51,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 故选：D.【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，根据函数的单调性求参数的范围，属于中档题.7.如图，在底面边长为4，侧棱长为6的正四棱锥P ABCD -中，E 为侧棱PD 的中点，则异面直线PB 与CE 所成角的余弦值是（ ）A.3417B.23417C.51717D.31717【答案】D 【解析】 【分析】首先通过作平行的辅助线确定异面直线PB 与CE 所成角的平面角，在PCD ∆中利用余弦定理求出cos DPC ∠进而求出CE ，再在GFH ∆中利用余弦定理即可得解.【详解】如图，取PA 的中点F ，AB 的中点G ，BC 的中点H ，连接FG ，FH ，GH ，EF ，则//EF CH ，EF CH =，从而四边形EFHC 是平行四边形，则//EC FH ， 且EC FH =. 因为F 是PA的中点，G 是AB 的中点，所以FG 为ABP ∆的中位线，所以//FG PB ，则GFH ∠是异面直线PB 与CE 所成的角.由题意可得3FG =，1222HG AC ==. 在PCD ∆中，由余弦定理可得2223636167cos 22669PD PC CD DPC PD PC +-+-∠===⋅⨯⨯，则2222cos 17CE PC PE PC PE DPC =+-⋅∠=，即17CE =GFH ∆中，由余弦定理可得222cos 2FG FH GH GFH FG FH +-∠=⋅3172317==⨯⨯. 故选：D【点睛】本题考查异面直线所成的角，余弦定理解三角形，属于中档题.8.e 为自然对数的底数，已知函数()1,18ln 1,1xx f x x x ⎧+<⎪=⎨⎪-≥⎩，则函数()y f x ax =-有唯一零点的充要条件是（ ） A. 1a <-或21a e =或98a > B. 1a <-或2118a e≤≤ C. 1a >-或2198a e <<D. 1a >-或98a >【答案】A 【解析】【详解】作出函数()f x 的图像如图所示，其中9(1,),(1,1)8A B -，则9,18OA OB k k ==-，设直线y ax =与曲线ln 1(1)y x x =-≥相切，则ln 1ax x =-，即ln 1x a x-=，设ln 1()x g x x-=，则221(ln 1)2ln ()x x g x x x ---='=，当2x e =时，()0g x '=， 分析可知，当2x e =时，函数()g x 有极大值也是最大值，221()g e e=，所以当21a e =时，ln 1x a x-=有唯一解，此时直线y ax =与曲线ln 1(1)y x x =-≥相切． 分析图形可知，当1a <-或21a e =或98a >时，函数()f x 的图像与函数y ax =的图像只有一个交点，即函数()y f x ax =-有唯一零点．故选A .【点睛】本小题主要考查分段函数的图象与性质，考查函数零点问题的处理方法，考查利用导数求相切时斜率的方法，考查数形结合的数学思想方法.首先画出函数的图象，分段函数的图象注意分界点的位置是实心的函数空心的.然后将函数的零点问题转化为两个函数图象的交点来解决.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9.已知函数3211()1()32f x ax x x a R =+++∈，下列选项中可能是函数()f x 图像的是（ ）A. B. C. D.【答案】BCD 【解析】 【分析】求出函数的导数，分类讨论函数3211()1()32f x ax x x a R =+++∈的形状，即可得结论．【详解】解：当0a =时，函数21()12f x x x =++的图象如图D 所示：当0a >时，2()1f x ax x '=++， 若104a <<，则导函数有两个负根，即原函数的两个极值点均为负，不存在满足条件图象； 若14a，则导函数至多有一个根，即原函数在R 上递增，图象如图B 所示： 当0a <时，导函数有两个异号的根，即原函数的两个极值点异号，且函数单调性先递减后递增，图象如图C 所示， 故A 不可能是函数()f x 图象. 故选：BCD ．【点睛】本题考查的知识点是函数的图象，分类讨论思想，利用导数分析函数的单调性，属于中档题．10.已知i 为虚数单位，下列说法中正确的是（ ）A. 若复数z 满足||z i -=z 对应的点在以(1,0)为半径的圆上B. 若复数z 满足||28z z i +=+，则复数158z i =+C. 复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模D. 复数1z 对应的向量为1OZ ，复数2z 对应的向量为2OZ ，若1212z z z z +=-，则12OZ OZ ⊥【答案】CD 【解析】 【分析】根据复数减法的模的几何意义，判断A 选项的正确性.设z a bi =+，结合||28z z i +=+求得z ，由此判断B 选项的正确性.根据复数模的定义判断C 选项的正确性.根据复数加法、减法的模的几何意义，判断D 选项的正确性.【详解】满足||5z i -=的复数z 对应的点在以(0,1)为圆心，5为半径的圆上，A 错误； 在B 中，设(,)z a bi a b R =+∈，则22||z a b =+.由||28z z i +=+，得2228a bi a b i +++=+，222,8,a ab b ⎧⎪++=∴⎨=⎪⎩解得15.8,a b =-⎧⎨=⎩158z i ∴=-+，B 错误；由复数的模的定义知C 正确； 由1212z z z z +=-的几何意义知，以1OZ ，2OZ 为邻边的平行四边形为矩形，从而两邻边垂直，D 正确. 故选：CD【点睛】本小题主要考查复数模的运算以及复数加法、减法的模的几何意义，属于基础题. 11.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，点,,E F G 分别棱楼111,,AB AA C D 的中点，下列结论中正确的是（ ）A. 四面体11ACB D 的体积等于312a B. 1BD ⊥平面1ACBC. 11//B D 平面EFGD. 异面直线EF 与1BD 所成角的正切值为22【答案】BD 【解析】 【分析】根据直线与平面的位置关系可知C 不正确；根据线面垂直的判定定理可知B 正确；根据空间向量夹角的坐标公式可知D 正确；用正方体体积减去四个正三棱锥的体积可知A 不正确．【详解】解：延长EF 分别与11B A ，1B B 的延长线交于N ，Q ，连接GN 交11A D 于H ，设HG 与11B C 的延长线交于P ，连接PQ 交1CC 于I ，交BC 于M ，连FH ，HG ，GI ，IM ，ME ，11B D 与HG 相交，故11B D 与平面EFG 相交，所以C 不正确；1⊥BD AC ，11BD B C ⊥，且AC 与1B C 相交，所以1BD ⊥平面1ACB ，故B 正确；以D 为原点，DA ，DC ，1DD 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角可得异面直线EF 与1BD 的夹角的正切值为2，故D 正确； 四面体11ACB D 的体积等于正方体的体积减去四个正三棱锥的体积，即为3331114323a a a -⨯⨯=，故A 不正确．故选：BD【点睛】本题考查了命题的真假判断与应用，空间中点、线、面之间的位置关系，属于难题． 12.(多选)已知函数()ln xf x e a x =+,其中正确结论的是( )A. 当0a =时,函数()f x 有最大值.B. 对于任意的0a <,函数()f x 一定存在最小值.C. 对于任意的0a >,函数()f x 是()0,∞+上的增函数.D. 对于任意的0a >,都有函数()0f x >. 【答案】BC【解析】 【分析】根据函数的单调性,导数和函数的最值的关系,逐项判断,即可求得答案.【详解】对于A,当0a =时,函数()xf x e =,根据指数单调性可知,此时()f x 是单调增函数,故无最大值,故A 错误; 对于B,对于任意的0a <, ()ln xf x e a x =+∴ ()x a f x e x'=+,易知()f x '是在(0,)+∞单调增函数, 当x →+∞时,()f x →+∞ 当0x →时,()f x →-∞∴存在()00f x '=∴ 当00x x <<时, ()0f x '<,()f x 单调递减 ∴ 当0x x <<+∞时, ()0f x '>,()f x 单调递增 ∴ ()min 0()=f x f x故B 正确;对于C,对于任意的0a >, 函数()ln xf x e a x =+∴ ()x af x e x'=+, 0a >,0x > 可得:()0f x '>,故函数()f x 是()0,∞+上的增函数. 故C 正确;对于D,对于任意的0a >, 函数()ln xf x e a x =+∴ ()x af x e x'=+, 0a >,0x > 可得:()0f x '>,故函数()f x 是()0,∞+上的增函数. 当0x →时,1x e →,ln x →-∞, 可得:()f x →-∞,故D 错误. 故选:BC.【点睛】本题考查了根据导数来判断函数的单调性和判断函数是否有最值,解题关键是掌握用导数求函数单调性的求法和最值的求法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若复数z 满足(1＋2i)z ＝－3＋4i(i 是虚数单位)，则z ＝________. 【答案】1＋2i 【解析】∵(1＋2i)z ＝－3＋4i ，∴z ＝34(34)(12)51012(12)(12)5i i i ii i i －＋－＋－＋＝＝＋＋－＝1＋2i. 14.若各棱长均为1的正六棱柱的12个顶点都在球O 上，则球O 的表面积为____ 【答案】5π 【解析】 【分析】设正六棱柱ABCDEF A B C D E F ''''''-的上下底面中心为,M M '，根据正六棱柱的对称性，1MM 中点O 为球心，求出底面ABCDEF 的外接圆圆心，即可求解.【详解】设正六棱柱ABCDEF A B C D E F ''''''-底面中心为,M M '，MM '中点为O ，则O 到正六棱柱的各顶点距离都相等，所以O 为正六棱柱外接球的球心，连,OB MB ，OB 为正六棱柱外接球的半径，1111,222MB AB OM MM AA ''=====，222151()22OB MB OM =+=+=， 球O 的表面积为254()454OB πππ=⨯=. 故答案为:5π.【点睛】本题考查多面体与球的“接”“切”问题，确定外接球的球心是解题的关键，属于中档题.15.函数e xy mx =-在区间(]03,上有两个零点，则m 的取值范围是_________．【答案】3e e,3⎛⎤⎥⎝⎦【解析】 试题分析：由题意得e 0xy mx =-=，得xe m x=，设()()22(1)x x x x e e x e e x f x f x x x x ⋅--=='=⇒，可得()f x 在区间(1,3)上单调递增；在区间(0,1)上单调递减，所以当1x =时，函数()f x 取得极小值，同时也是最小值()1f e =，因为当0x →时，()f x →+∞，当3x =时，()333e f =，所以要使得函数e xy mx =-在区间(0,3]上有两个零点，所以实数m 的取值范围是3ee 3m <<．考点：利用导数研究函数的单调性及极值（最值）．16.已知函数()()2ln 2f x x x x x a =+-（a R ∈）.若存在[]1,3x ∈，使得()()f x xf x '>成立，则实数a 的取值范围是______.【答案】5,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】由()()f x xf x '>可构造函数()()f x g x x =，则()0g x '<即1()4()0g x x a x'=+-<恒成立，转化为min14a x x ⎛⎫>+⎪⎝⎭，再求14x x +的最值即可.【详解】由()()f x xf x '>得'()0f x x ⎡⎤<⎢⎥⎣⎦,设2()()ln 2()f x g x x x a x ==+-，则存在[]1,3x ∈，使得()0g x '<成立，即1()4()0g x x a x '=+-<成立.所以14a x x >+成立，所以min12a x x ⎛⎫>+⎪⎝⎭成立， 又令14t x x =+，()()'22+1214x x t x -=，所以[]1,3x ∈时，'>0,t t 单调递增，当1x =时，t 有最小值54， 所以实数a 的取值范围是5,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭， 故答案为：5,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查函数单调性，不等式成立的问题, 这类问题的通解方法就是：划归与转化之后，就可以假设相对应的函数，然后利用导数研究这个函数的单调性、极值和最值，图像与性质，进而求解得结果，属于中档题.四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知复数z ＝a 2－a －6＋222154a a a +--i ，分别求出满足下列条件的实数a 的值： （1）z 是实数； （2）z 是虚数； （3）z 是0.【答案】（1）a ＝－5或a ＝3；（2）a ≠－5且a ≠3且a ≠±2；（3）a ＝3 【解析】 【分析】（1）根据题意a 2＋2a －15＝0且a 2－4≠0，解得答案. （2）根据题意a 2＋2a －15≠0且a 2－4≠0，解得答案.（3）根据题意由a 2－a －6＝0且a 2＋2a －15＝0，且a 2－4≠0，解得答案. 【详解】由a 2－a －6＝0，解得a ＝－2或a ＝3. 由a 2＋2a －15＝0，解得a ＝－5或a ＝3. 由a 2－4≠0，解得a ≠±2.（1）由a 2＋2a －15＝0且a 2－4≠0，得a ＝－5或a ＝3， ∴当a ＝－5或a ＝3时，z 为实数.（2）由a 2＋2a －15≠0且a 2－4≠0，得a ≠－5且a ≠3且a ≠±2， ∴当a ≠－5且a ≠3且a ≠±2时，z 是虚数.（3）由a 2－a －6＝0且a 2＋2a －15＝0，且a 2－4≠0，得a ＝3，∴当a ＝3时，z ＝0. 【点睛】本题考查了根据复数类型求参数，意在考查学生的计算能力. 18.已知0x >，证明不等式ln(1)x x >+． 【答案】见解析 【解析】【详解】主要考查导数在研究函数的单调性、极值、最值、不等式证明等方面的应用． 证明：原不等式等价于证明ln(1)0x x -+>．设()ln(1)f x x x =-+，则1()111x f x x x '=-=++． 0x，()0f x '∴>．()f x ∴在0()x ∈+∞，上是单调增函数． 又(0)0ln10f =-=，()(0)0f x f ∴>=即ln(1)0x x -+>，即ln(1)x x >+．19.已知函数()2ln af x x x=+. （1）若函数()f x 在[)2,+∞上是增函数，求实数a 的取值范围； （2）若函数()f x 在[]1,e 上的最小值为3，求实数a 的值. 【答案】（1）1a ≤；（2）a e =. 【解析】试题分析：（1）()22x a f x x -'=，由()f x 在区间[)2,+∞上是增函数，知()220x af x x -'=≥恒成立，所以只需要20x a -≥在区间[)2,+∞恒成立，即220a -≥解得1a ≤；（2）本题只需求出函数的最小值，建立方程求解，因为()22x af x x-'=，分情况分析，①当12a ≤时，()220x af x x -'=≥在[]1,e 恒成立，()f x 在区间[]1,e 为增函数，()()min 13f x f ==得32a =不符合题意舍；②当122e a <<时，()220x af x x -'=≤在[]1,2a 成立，()f x 在区间[]2,a e 为增函数，()()2min232e f x f a a ===（舍）；③当2e a ≥时，()220x a f x x -'=≤在[]1,e 恒成立，()f x 在区间[]1,e 为减函数，()()min 3f x f e a e ===，． 试题解析：（1）()22x af x x -'=，∵()f x 在区间[)2,+∞上是增函数， ∵20x >，∴20x a -≥区间[)2,+∞恒成立，即220a -≥解得1a ≤；（2）()22x af x x -'=，①当12a ≤时，()220x af x x -'=≥在[]1,e 恒成立，∴()f x 在区间[]1,e 为增函数， ∴()()min 13f x f ==得32a =不符合题意舍；②当122e a <<时，()220x af x x-'=≤在[]1,2a 成立，∴()f x 在区间[]1,2a 为减函数， ()220x af x x -'=≥在[]2,a e 成立，∴()f x 在区间[]2,a e 为增函数，∴()()2min 232e f x f a a ===（舍）； ③当2e a ≥时，()220x af x x-'=≤在[]1,e 恒成立，∴()f x 在区间[]1,e 为减函数， ∴()()min 3f x f e a e ，===．点睛：本题考查函数的导数，利用导数求函数的单调区间及函数的最小值，属于中档题．处理函数单调性问题时，注意利用导函数的正负，特别是已知单调性问题，转化为函数导数恒不小于零，或恒小于零，再分离参数求解，求函数最值时分析好单调性再求极值，从而求出函数最值．20.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系：C （x ）=(010),35kx x ≤≤+若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f （x ）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（Ⅰ）求k 的值及f(x)的表达式．（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值． 【答案】40k =，因此40()35C x x =+.,当隔热层修建5cm 厚时，总费用达到最小值为70万元． 【解析】解：（Ⅰ）设隔热层厚度为cm x ，由题设，每年能源消耗费用为()35kC x x =+. 再由(0)8C =，得40k =，因此40()35C x x =+. 而建造费用1()6C x x =最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为140800()20()()2066(010)3535f x C x C x x x x x x =+=⨯+=+≤≤++ （Ⅱ）22400'()6(35)f x x =-+，令'()0f x =，即224006(35)x =+. 解得5x =，253x =-（舍去）. 当05x 时，'()0f x ，当510x 时，'()0f x ，故5x =是()f x 的最小值点，对应的最小值为800(5)6570155f =⨯+=+．当隔热层修建5cm 厚时，总费用达到最小值为70万元．21.如图所示的几何体中，PD 垂直于梯形ABCD 所在的平面，,2ADC BAD F π∠=∠=为PA 的中点，12,12PD AB AD CD ====，四边形PDCE 为矩形，线段PC 交DE 于点N .（1）求证：AC平面DEF ；（2）求二面角A PB C --的正弦值；（3）在线段EF 上是否存在一点Q ，使得BQ 与平面BCP 所成角的大小为π6？若存在，求出FQ 的长；若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析（2）33（3）在线段EF 上存在一点Q 满足题意，且192FQ = 【解析】 【分析】(1)由题意结合线面平行的判定定理即可证得题中的结论；(2)建立空间直角坐标系，利用两个半平面的法向量可得二面角的余弦值，然后利用同角三角函数基本关系可得二面角的正弦值；(3)假设点Q 存在，利用直线的方向向量和平面的法向量计算可得点Q 的存在性和位置. 【详解】（1）因为四边形PDCE 为矩形，所以N 为PC 的中点.连接FN ，在PAC 中，,F N 分别为,PA PC 的中点，所以FN AC ∥， 因为FN ⊂平面DEF ，AC ⊄平面DEF ， 所以AC平面DEF .（2）易知,,DA DC DP 两两垂直，如图以D 为原点，分别以,,DA DC DP 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系.则2),(1,0,0),(1,1,0),(0,2,0)P A B C ，所以(1,1,2),(1,1,0)PB BC =-=-.设平面PBC 的法向量为(,,)m x y z =，则(,,)(1,1,2)0(,,)(1,1,0)0m PB x y z m BC x y z ⎧⋅=⋅-=⎪⎨⋅=⋅-=⎪⎩即20,0,x y z x y ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩解得,2,y x z x =⎧⎪⎨=⎪⎩令1x =，得1,2,y z =⎧⎪⎨=⎪⎩所以平面PBC 的一个法向量为(1,1,2)m =. 设平面ABP 的法向量为(,,)n x y z =，(,,)(0,1,0)0(,,)(1,1,0n AB x y z n PB x y z ⎧⋅=⋅=⎪⎨⋅=⋅=⎪⎩ ，据此可得01x y z ⎧=⎪=⎨⎪=⎩， 则平面ABP 的一个法向量为()2,0,1n =，cos ,3m n <>==，于是3sin ,3m n 〈〉=. 故二面角APB C --（3）设存在点Q 满足条件.由1,0,,(0,22F E ⎛ ⎝⎭， 设(01)FQ FE λλ=，整理得1,22Q λλ⎛-⎝⎭， 则1),21,22BQ λλλ⎛⎫++=-- ⎪ ⎪⎝⎭. 因为直线BQ 与平面BCP 所成角的大小为6π， 所以1sin|cos ,|||62||||2BQ m BQ m BQ m π⋅====⋅解得21λ=， 由01λ知1λ=，即点Q 与E 重合.故在线段EF 上存在一点Q ，且FQ EF ==. 【点睛】本题的核心在考查空间向量的应用，需要注意以下问题：(1)求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算．(2)设,m n 分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与,m n <>互补或相等.求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．22.函数32()1(0,)f x x ax bx a b R =+++>∈有极值，且导函数'()f x 的极值点是()f x 的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值) （1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域； （2）若()f x ，'()f x 这两个函数的所有极值之和不小于7-2，求实数a 的取值范围．【答案】（1）b ＝2239a a+（a ＞3）；（2）（3，6] 【解析】 【分析】（1）求导得到g （x ）＝f ′（x ）＝3x 2+2ax +b ，计算函数单调性，故f （﹣3a）＝0，计算得到b ＝2239a a+，再计算a ＞3得到答案.（2）f ′（x ）的极小值为f ′（﹣3a ）＝b ﹣23a ，设x 1，x 2是y ＝f （x ）的两个极值点，则x 1+x 2＝23a -，x 1x 2＝3b ，f （x 1）+f （x 2）＝3427a ﹣23ab +2，得到所以b ﹣23a +3427a ﹣23ab+2≥﹣72，解得答案. 【详解】（1）因为f （x ）＝x 3+ax 2+bx +1，所以g （x ）＝f ′（x ）＝3x 2+2ax +b ，g ′（x ）＝6x +2a ，令g ′（x ）＝0，解得x ＝﹣3a ． 由于当x ＞﹣3a时g ′（x ）＞0，g （x ）＝f ′（x ）单调递增； 当x ＜﹣3a时g ′（x ）＜0，g （x ）＝f ′（x ）单调递减； 所以f ′（x ）的极小值点为x ＝﹣3a，由于导函数f ′（x ）的极值点是原函数f （x ）的零点，所以f （﹣3a ）＝0，即﹣33279a a +﹣3ab +1＝0，所以b ＝2239a a+（a ＞0）． 因为f （x ）＝x 3+ax 2+bx +1（a ＞0，b ∈R ）有极值，所以f ′（x ）＝3x 2+2ax +b ＝0有实根，所以4a 2﹣12b ＞0，即a 2﹣223a ﹣9a ＞0，解得a ＞3，所以b ＝2239a a +（a ＞3）． （2）f ′（x ）的极小值为f ′（﹣3a ）＝b ﹣23a ，优质资料\word 可编辑- 21 - / 21- 21 - 设x 1，x 2是y ＝f （x ）的两个极值点，则x 1+x 2＝23a，x 1x 2＝3b ， 所以f （x 1）+f （x 2）＝31x +32x +a （21x +22x ）+b （x 1+x 2）+2 ＝（x 1+x 2）[（x 1+x 2）2﹣3x 1x 2]+a [（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2]+b （x 1+x 2）+2＝3427a ﹣23ab +2， 又因为f （x ），f ′（x ）这两个函数的所有极值之和不小于﹣72， 所以b ﹣23a +3427a ﹣23ab +2＝3a ﹣29a ≥﹣72，因为a ＞3，所以2a 3﹣63a ﹣54≤0， 所以2a （a 2﹣36）+9（a ﹣6）≤0，所以（a ﹣6）（2a 2+12a +9）≤0，由于a ＞3时2a 2+12a +9＞0，所以a ﹣6≤0，解得a ≤6，所以a 的取值范围是（3，6]．【点睛】本题考查了函数的极值点和零点，根据极值之和求参数，意在考查学生的综合应用能力.。

苏州市2020~2021学年第二学期期初学业质量阳光指标调研卷高三数学注意事项：学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1.本卷共6页，包含单项选择题（第1题～第8题）、多项选择题（第9题～第12题）、填空题（第13题～第16题）解答题（第17题～第22题）．本卷满分150分，答题时间为120分钟．答题结束后，请将答题卡交回。

2.答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡 的规定位置。

3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用 0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．一、选择题．本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.如图，阴影部分所表示的集合为A.A ∩(C U B)B.B ∩(C U A)C.A ∪(C U B)D.B ∪(C U A)2.已知复数z 满足iz=1-i(i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,2(a 1+a 3+a 5)+3(a 8+a 10)=60,则S 11的值为A.33B.44C.55D.664.古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说过：“美的线型和其他一切美的形体都必须有对称形式”．在中华传统文化里，建筑、器物、书法、诗歌、对联、绘画几乎无不讲究对称之美。

如清代诗人黄柏权的《茶壶回文诗》（如图）以连环诗的形式展现，20个字绕着茶壶成一圆环，不论顺着读还是逆着读，皆成佳作．数学与生活也有许多奇妙的联系，如2020年02月02日（20200202)电元被称为世界完全对称日（公历纪年日期中数字左右完全对称的日期）数学上把20200202这样的对称数叫回文数，两位数的回文数共有9个（11,22,...,99),则在三位数的回文数中，出现奇数的概率为A. 13 B. 49 C. 59 D. 235.如图，在斜坐标系xOy 中，x 轴、y 轴相交成60°角，e 1,e 2分别是与x 轴、y 轴正方向同向的单位向量，若向量OP =xe 1+ye 2,则称有序实数对（x,y)为向量OP 的坐标，记作OP =(x,y).在此斜坐标系xOy 中，已知向量a =(2,3),b =(-5,2）,则a ,b 夹角的大小为A. 6πB. 3π C. 23π D. 56π6.已知函数y=f(x)和y=g(x)分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f(0)=-4,f(x)=g(x+2),则g(x)的解析式可以是 A.y=-4sin4x π B.y=4sin 2x π C.y=-4cos 4x π D.y=4cos 2x π 7.已知函数f(x)=2sin(2x+6π)，若α为锐角且f(2a )=65，则f(α+12π)的值为 A.- 4825 B.- 2425 C. 2425 D. 48258.我国南北朝时期的数学家祖暅在计算球的体积时，提出了一个原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高。

陆慕高级中学2021-2021学年高二数学下学期在线学习质量检测试题〔含解析〕一、单项选择题〔一共8题，每一小题5分，一共40分〕2i -的虚部为〔 〕A. 2B. 1C. -1D. -i【答案】C 【解析】试题分析：复数2i -的虚部为－1，应选C ． 考点：复数的概念．()f x 可导，那么()()11limx f x f x∆→-∆--∆等于〔 〕A. ()'1fB. 不存在C.()1'13f D. 以上都不对【答案】A 【解析】 【分析】直接根据导数的定义进展求解，将x -∆看成一个整体，即可得到答案。

【详解】因为0x ∆→，所以()0x -∆→，所以()()()()'001111limlim (1)x x f x f f x f f x x∆→-∆→-∆--∆-==-∆-∆. 应选：A【点睛】此题考察导数的概念、极根符号的理解，属于根底题.3.将4个不同的文件发往3个不同的邮箱地址，那么不同的方法种数为〔 〕 A. 43 B. 34C. 24D. 4【答案】A 【解析】 【分析】直接利用乘法原理计算得到答案.【详解】根据乘法原理：不同的方法种数为43. 应选：A .【点睛】此题考察了乘法原理，属于简单题.f 〔x 〕1lnxx =+的图象大致是〔 〕 A. B. C. D.【答案】C 【解析】 【分析】求出f (x )的导函数,利用导数研究函数的单调性,然后结合图象得到答案.【详解】解:由f (x )1lnxx =+,得f ′(x )211(0)(1)lnx x x x +-=>+,令g (x )＝11lnx x +-,那么g ′(x )22111xx x x+=--=-＜0, 所以g (x )在(0,+∞)上单调递减, 又g (e )1e =＞0,g (e 2)2221111lne e e=+-=-＜0, 所以存在x 0∈(e ,e 2),使得g (x 0)＝0, 所以当x ∈(0,x 0)时,g (x )＞0,f ′(x )＞0; 当x ∈(x 0,+∞)时,g (x )＜0,f ′(x )＜0,所以f (x )在(0,x 0)上单调递增,在(x 0,+∞)上单调递减. 应选:C .【点睛】此题考察了利用导数研究函数的单调性和零点存在定理,属中档题. 5.()()21xf x e xf =+'，那么()0f '等于〔 〕A. 12e +B. 12e -C. 2e -D. 2e【答案】B 【解析】试题分析：由于()()()()121,121x f x e f f e f =+=+''''，所以()1f e '=-，()()00212f e e e =+⋅-=-'．考点：函数导数．()29ln 3f x x x x =-+在其定义域内的子区间()1,1m m -+上不单调,那么实数m 的取值范围为( )A. 13,22⎛⎫⎪⎝⎭B. 31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 51,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 51,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】 【分析】对()f x 求导得到()f x '，然后利用导数得到()f x 的单调区间，根据()f x 在()1,1m m -+上不单调，从而得到关于m 的不等式，得到答案. 【详解】因为()29ln 3f x x x x =-+所以()923f x x x'=-+ 令()0f x '=，即9230x x-+=， 解得32x =或者3x =-〔舍〕 所以30,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减，3,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增， 而()f x 在区间()1,1m m -+上不单调， 所以3112m m -<<+ 解得1522m <<， 因为()1,1m m -+是函数()f x 定义域内的子区间， 所以10m -≥，即m 1≥， 所以m 的范围为51,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 应选：D.【点睛】此题考察利用导数求函数的单调区间，根据函数的单调性求参数的范围，属于中档题.7.如图，在底面边长为4，侧棱长为6的正四棱锥P ABCD -中，E 为侧棱PD 的中点，那么异面直线PB 与CE 所成角的余弦值是〔 〕A.3417B.23417C.51717D.31717【答案】D 【解析】 【分析】首先通过作平行的辅助线确定异面直线PB 与CE 所成角的平面角，在PCD ∆中利用余弦定理求出cos DPC ∠进而求出CE ，再在GFH ∆中利用余弦定理即可得解.【详解】如图，取PA 的中点F ，AB 的中点G ，BC 的中点H ，连接FG ，FH ，GH ，EF ，那么//EF CH ，EF CH =，从而四边形EFHC 是平行四边形，那么//EC FH ， 且EC FH =.因为F 是PA 的中点，G 是AB 的中点，所以FG 为ABP ∆的中位线，所以//FG PB ，那么GFH ∠是异面直线PB 与CE 3FG =，12HG AC ==. 在PCD ∆中，由余弦定理可得2223636167cos 22669PD PC CD DPC PD PC +-+-∠===⋅⨯⨯，那么2222cos 17CE PC PE PC PE DPC =+-⋅∠=，即CE =在GFH ∆中，由余弦定理可得222cos 2FG FH GH GFH FG FH +-∠=⋅==. 应选：D【点睛】此题考察异面直线所成的角，余弦定理解三角形，属于中档题.8.e 为自然对数的底数，函数()1,18ln 1,1xx f x x x ⎧+<⎪=⎨⎪-≥⎩，那么函数()y f x ax =-有唯一零点的充要条件是〔 〕A. 1a <-或者21a e =或者98a >B. 1a <-或者2118a e≤≤ C. 1a >-或者2198a e <<D. 1a >-或者98a >【答案】A 【解析】【详解】作出函数()f x 的图像如下图，其中9(1,),(1,1)8A B -，那么9,18OA OB k k ==-，设直线y ax =与曲线ln 1(1)y x x =-≥相切，那么ln 1ax x =-，即ln 1x a x-=，设ln 1()x g x x-=，那么221(ln 1)2ln ()x x g x x x ---='=，当2x e =时，()0g x '=， 分析可知，当2x e =时，函数()g x 有极大值也是最大值，221()g e e =，所以当21a e =时，ln 1x a x-=有唯一解，此时直线y ax =与曲线ln 1(1)y x x =-≥相切． 分析图形可知，当1a <-或者21a e =或者98a >时，函数()f x 的图像与函数y ax =的图像只有一个交点，即函数()y f x ax =-有唯一零点．应选A .【点睛】本小题主要考察分段函数的图象与性质，考察函数零点问题的处理方法，考察利用导数求相切时斜率的方法，考察数形结合的数学思想方法.首先画出函数的图象，分段函数的图象注意分界点的位置是实心的函数空心的.然后将函数的零点问题转化为两个函数图象的交点来解决.二、多项选择题：此题一共4小题，每一小题5分，一共20分.在每一小题给出的选项里面，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，局部选对的得3分，有选错的得0分.3211()1()32f x ax x x a R =+++∈，以下选项里面可能是函数()f x 图像的是〔 〕A. B. C. D.【答案】BCD 【解析】 【分析】求出函数的导数，分类讨论函数3211()1()32f x ax x x a R =+++∈的形状，即可得结论．【详解】解：当0a =时，函数21()12f x x x =++的图象如下图D ：当0a >时，2()1f x ax x '=++， 假设104a <<，那么导函数有两个负根，即原函数的两个极值点均为负，不存在满足条件图象；假设14a，那么导函数至多有一个根，即原函数在R 上递增，图象如下图B ： 当0a <时，导函数有两个异号的根，即原函数的两个极值点异号，且函数单调性先递减后递增，图象如下图C ， 故A 不可能是函数()f x 图象. 应选：BCD ．【点睛】此题考察的知识点是函数的图象，分类讨论思想，利用导数分析函数的单调性，属于中档题．10.i 为虚数单位，以下说法中正确的选项是〔 〕A. 假设复数z 满足||z i -=那么复数z 对应的点在以(1,0)B. 假设复数z 满足||28z z i +=+，那么复数158z i =+C. 复数的模本质上就是复平面内复数对应的点到原点的间隔 ，也就是复数对应的向量的模D. 复数1z 对应的向量为1OZ ，复数2z 对应的向量为2OZ ，假设1212z z z z +=-，那么12OZ OZ ⊥【答案】CD 【解析】 【分析】z a bi =+，结合||28z z i +=+求得z ，由此判断B 选项的正确性.根据复数模的定义判断C 选项的正确性.根据复数加法、减法的模的几何意义，判断D 选项的正确性.【详解】满足||5z i -=的复数z 对应的点在以(0,1)为圆心，5为半径的圆上，A 错误； 在B 中，设(,)z a bi a b R =+∈，那么22||z a b =+.由||28z z i +=+，得2228a bi a b i +++=+，222,8,a ab b ⎧⎪++=∴⎨=⎪⎩解得15.8,a b =-⎧⎨=⎩158z i ∴=-+，B 错误；由复数的模的定义知C 正确； 由1212z z z z +=-的几何意义知，以1OZ ，2OZ 为邻边的平行四边形为矩形，从而两邻边垂直，D 正确. 应选：CD【点睛】本小题主要考察复数模的运算以及复数加法、减法的模的几何意义，属于根底题.1111ABCD A B C D -的棱长为a ，点,,E F G 分别棱楼111,,AB AA C D 的中点，以下结论中正确的选项是〔 〕A. 四面体11ACB D 的体积等于312a B. 1BD ⊥平面1ACBC. 11//B D 平面EFGD. 异面直线EF 与1BD 所成角的正切值为22【答案】BD 【解析】 【分析】根据直线与平面的位置关系可知C 不正确；根据线面垂直的断定定理可知B 正确；根据空间向量夹角的坐标公式可知D 正确；用正方体体积减去四个正三棱锥的体积可知A 不正确． 【详解】解：延长EF 分别与11B A ，1B B 的延长线交于N ，Q ，连接GN 交11A D 于H ，设HG 与11B C 的延长线交于P ，连接PQ 交1CC 于I ，交BC 于M ，连FH ，HG ，GI ，IM ，ME ， 11B D 与HG 相交，故11B D 与平面EFG 相交，所以C 不正确；1⊥BD AC ，11BD B C ⊥，且AC 与1B C 相交，所以1BD ⊥平面1ACB ，故B 正确；以D 为原点，DA ，DC ，1DD 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角可得异面直线EF 与1BD 的夹角的正切值为22，故D 正确； 四面体11ACB D 的体积等于正方体的体积减去四个正三棱锥的体积，即为3331114323a a a -⨯⨯=，故A 不正确．应选：BD【点睛】此题考察了命题的真假判断与应用，空间中点、线、面之间的位置关系，属于难题． 12.(多项选择)函数()ln xf x e a x =+,其中正确结论的是( )A. 当0a =时,函数()f x 有最大值.B. 对于任意的0a <,函数()f x 一定存在最小值.C. 对于任意的0a >,函数()f x 是()0,∞+上的增函数.D. 对于任意的0a >,都有函数()0f x >. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据函数的单调性,导数和函数的最值的关系,逐项判断,即可求得答案.【详解】对于A,当0a =时,函数()xf x e =,根据指数单调性可知,此时()f x 是单调增函数,故无最大值,故A 错误; 对于B,对于任意的0a <, ()ln xf x e a x =+∴ ()x a f x e x'=+,易知()f x '是在(0,)+∞单调增函数, 当x →+∞时,()f x →+∞ 当0x →时,()f x →-∞∴存在()00f x '=∴ 当00x x <<时, ()0f x '<,()f x 单调递减 ∴ 当0x x <<+∞时, ()0f x '>,()f x 单调递增 ∴ ()min 0()=f x f x故B 正确;对于C,对于任意的0a >, 函数()ln xf x e a x =+∴ ()x af x e x'=+, 0a >,0x >可得:()0f x '>,故函数()f x 是()0,∞+上的增函数. 故C 正确;对于D,对于任意的0a >, 函数()ln xf x e a x =+∴ ()x af x e x'=+, 0a >,0x > 可得:()0f x '>,故函数()f x 是()0,∞+上的增函数. 当0x →时,1x e →,ln x →-∞, 可得:()f x →-∞,故D 错误. 应选:BC.【点睛】此题考察了根据导数来判断函数的单调性和判断函数是否有最值,解题关键是掌握用导数求函数单调性的求法和最值的求法,考察了分析才能和计算才能,属于中档题. 三、填空题：此题一共4小题，每一小题5分，一共20分．z 满足(1＋2i)z ＝－3＋4i(i 是虚数单位)，那么z ＝________.【答案】1＋2i 【解析】∵(1＋2i)z ＝－3＋4i ，∴z ＝34(34)(12)51012(12)(12)5i i i ii i i －＋－＋－＋＝＝＋＋－＝1＋2i. 1的正六棱柱的12个顶点都在球O 上，那么球O 的外表积为____【答案】5π 【解析】【分析】设正六棱柱ABCDEF A B C D E F ''''''-的上下底面中心为,M M '，根据正六棱柱的对称性，1MM 中点O 为球心，求出底面ABCDEF 的外接圆圆心，即可求解. 【详解】设正六棱柱ABCDEF A B C D E F ''''''-的底面中心为,M M '，MM '中点为O ，那么O 到正六棱柱的各顶点间隔 都相等，所以O 为正六棱柱外接球的球心，连,OB MB ，OB 为正六棱柱外接球的半径，1111,222MB AB OM MM AA ''=====， 222151()22OB MB OM =+=+=， 球O 的外表积为254()454OB πππ=⨯=. 故答案为:5π.【点睛】此题考察多面体与球的“接〞“切〞问题，确定外接球的球心是解题的关键，属于中档题.e x y mx =-在区间(]03,上有两个零点，那么m 的取值范围是_________．【答案】3e e,3⎛⎤⎥⎝⎦【解析】试题分析：由题意得e 0xy mx =-=，得xe m x=，设()()22(1)x x x x e e x e e x f x f x x x x⋅--=='=⇒，可得()f x 在区间(1,3)上单调递增；在区间(0,1)上单调递减，所以当1x =时，函数()f x 获得极小值，同时也是最小值()1f e =，因为当0x →时，()f x →+∞，当3x =时，()333e f =，所以要使得函数e xy mx =-在区间(0,3]上有两个零点，所以实数m 的取值范围是3ee 3m <<．考点：利用导数研究函数的单调性及极值〔最值〕．()()2ln 2f x x x x x a =+-〔a R ∈〕.假设存在[]1,3x ∈，使得()()f x xf x '>成立，那么实数a 的取值范围是______.【答案】5,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】由()()f x xf x '>可构造函数()()f x g x x =，那么()0g x '<即1()4()0g x x a x'=+-<恒成立，转化为min14a x x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭，再求14x x +的最值即可.【详解】由()()f x xf x '>得'()0f x x ⎡⎤<⎢⎥⎣⎦,设2()()ln 2()f x g x x x a x ==+-，那么存在[]1,3x ∈，使得()0g x '<成立，即1()4()0g x x ax'=+-<14a xx>+成立，所以min12a xx⎛⎫>+⎪⎝⎭成立，又令14t xx=+，()()'22+1214x xtx-=，所以[]1,3x∈时，'>0,t t单调递增，当1x=时，t有最小值54，所以实数a的取值范围是5,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭，故答案为：5,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭.【点睛】此题主要考察函数单调性，不等式成立的问题, 这类问题的通解方法就是：划归与转化之后，就可以假设相对应的函数，然后利用导数研究这个函数的单调性、极值和最值，图像与性质，进而求解得结果，属于中档题.四、解答题：本大题一一共6小题，一共70分，解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤.z＝a2－a－6＋222154a aa+--i，分别求出满足以下条件的实数a的值：〔1〕z是实数；〔2〕z是虚数；〔3〕z是0.【答案】〔1〕a＝－5或者a＝3；〔2〕a≠－5且a≠3且a≠±2；〔3〕a＝3 【解析】【分析】〔1〕根据题意a2＋2a－15＝0且a2－4≠0，解得答案.〔2〕根据题意a2＋2a－15≠0且a2－4≠0，解得答案.〔3〕根据题意由a2－a－6＝0且a2＋2a－15＝0，且a2－4≠0，解得答案.【详解】由a 2－a －6＝0，解得a ＝－2或者a ＝3. 由a 2＋2a －15＝0，解得a ＝－5或者a ＝3. 由a 2－4≠0，解得a ≠±2.〔1〕由a 2＋2a －15＝0且a 2－4≠0，得a ＝－5或者a ＝3， ∴当a ＝－5或者a ＝3时，z 为实数.〔2〕由a 2＋2a －15≠0且a 2－4≠0，得a ≠－5且a ≠3且a ≠±2， ∴当a ≠－5且a ≠3且a ≠±2时，z 是虚数.〔3〕由a 2－a －6＝0且a 2＋2a －15＝0，且a 2－4≠0，得a ＝3，∴当a ＝3时，z ＝0. 【点睛】此题考察了根据复数类型求参数，意在考察学生的计算才能. 18.0x >，证明不等式ln(1)x x >+． 【答案】见解析 【解析】【详解】主要考察导数在研究函数的单调性、极值、最值、不等式证明等方面的应用． 证明：原不等式等价于证明ln(1)0x x -+>．设()ln(1)f x x x =-+，那么1()111x f x x x '=-=++． 0x，()0f x '∴>．()f x ∴在0()x ∈+∞，上是单调增函数． 又(0)0ln10f =-=，()(0)0f x f ∴>=即ln(1)0x x -+>，即ln(1)x x >+．()2ln a f x x x=+. 〔1〕假设函数()f x 在[)2,+∞上是增函数，务实数a 的取值范围； 〔2〕假设函数()f x 在[]1,e 上的最小值为3，务实数a 的值.【答案】〔1〕1a ≤；〔2〕a e =. 【解析】试题分析：〔1〕()22x a f x x -'=，由()f x 在区间[)2,+∞上是增函数，知()220x af x x-'=≥恒成立，所以只需要20x a -≥在区间[)2,+∞恒成立，即220a -≥解得1a ≤；〔2〕此题只需求出函数的最小值，建立方程求解，因为()22x af x x -'=，分情况分析，①当12a ≤时，()220x af x x-'=≥在[]1,e 恒成立，()f x 在区间[]1,e 为增函数，()()min 13f x f ==得32a =不符合题意舍；②当122e a <<时，()220x af x x -'=≤在[]1,2a 成立，()f x 在区间[]2,a e 为增函数，()()2min232e f x f a a ===〔舍〕；③当2e a ≥时，()220x a f x x -'=≤在[]1,e 恒成立，()f x 在区间[]1,e 为减函数，()()min 3f x f e a e ===，．试题解析：〔1〕()22x af x x-'=，∵()f x 在区间[)2,+∞上是增函数， ∵20x >，∴20x a -≥在区间[)2,+∞恒成立，即220a -≥解得1a ≤； 〔2〕()22x af x x -'=， ①当12a ≤时，()220x af x x-'=≥在[]1,e 恒成立，∴()f x 在区间[]1,e 为增函数， ∴()()min 13f x f ==得32a =不符合题意舍；②当122e a <<时，()220x af x x -'=≤在[]1,2a 成立，∴()f x 在区间[]1,2a 为减函数， ()220x af x x-'=≥在[]2,a e 成立，∴()f x 在区间[]2,a e 为增函数， ∴()()2min 232e f x f a a ===〔舍〕； ③当2e a ≥时，()220x af x x -'=≤在[]1,e 恒成立，∴()f x 在区间[]1,e 为减函数， ∴()()min 3f x f e a e ，===．点睛：此题考察函数的导数，利用导数求函数的单调区间及函数的最小值，属于中档题．处理函数单调性问题时，注意利用导函数的正负，特别是单调性问题，转化为函数导数恒不小于零，或者恒小于零，再别离参数求解，求函数最值时分析好单调性再求极值，从而求出函数最值．20.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造本钱为6万元．该建筑物每年的能源消消耗用C 〔单位：万元〕与隔热层厚度x 〔单位：cm 〕满足关系：C 〔x 〕=(010),35kx x ≤≤+假设不建隔热层，每年能源消消耗用为8万元．设f 〔x 〕为隔热层建造费用与20年的能源消消耗用之和． 〔Ⅰ〕求k 的值及f(x)的表达式．〔Ⅱ〕隔热层修建多厚时，总费用f(x)到达最小，并求最小值． 【答案】40k =，因此40()35C x x =+.,当隔热层修建5cm 厚时，总费用到达最小值为70万元． 【解析】解：〔Ⅰ〕设隔热层厚度为cm x ，由题设，每年能源消消耗用为()35kC x x =+. 再由(0)8C =，得40k =，因此40()35C x x =+. 而建造费用为1()6C x x =最后得隔热层建造费用与20年的能源消消耗用之和为140800()20()()2066(010)3535f x C x C x x x x x x =+=⨯+=+≤≤++ 〔Ⅱ〕22400'()6(35)f x x =-+，令'()0f x =，即224006(35)x =+. 解得5x =，253x =-〔舍去〕. 当05x 时，'()0f x ，当510x 时，'()0f x ，故5x =是()f x 的最小值点，对应的最小值为800(5)6570155f =⨯+=+．当隔热层修建5cm 厚时，总费用到达最小值为70万元．21.如下图的几何体中，PD 垂直于梯形ABCD 所在的平面，,2ADC BAD F π∠=∠=为PA 的中点，12,12PD AB AD CD ====，四边形PDCE 为矩形，线段PC 交DE 于点N .〔1〕求证：AC平面DEF ；〔2〕求二面角A PB C --的正弦值；〔3〕在线段EF 上是否存在一点Q ，使得BQ 与平面BCP 所成角的大小为π6？假设存在，求出FQ 的长；假设不存在，请说明理由.【答案】〔1〕见解析〔233〕在线段EF 上存在一点Q 满足题意，且19FQ = 【解析】 【分析】(1)由题意结合线面平行的断定定理即可证得题中的结论；(2)建立空间直角坐标系，利用两个半平面的法向量可得二面角的余弦值，然后利用同角三角函数根本关系可得二面角的正弦值；(3)假设点Q 存在，利用直线的方向向量和平面的法向量计算可得点Q 的存在性和位置. 【详解】〔1〕因为四边形PDCE 为矩形，所以N 为PC FN ，在PAC 中，,F N 分别为,PA PC 的中点，所以FN AC ∥， 因为FN ⊂平面DEF ，AC ⊄平面DEF ， 所以AC平面DEF .〔2〕易知,,DA DC DP 两两垂直，如图以D 为原点，分别以,,DA DC DP 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系.那么2),(1,0,0),(1,1,0),(0,2,0)P A B C ，所以(1,1,2),(1,1,0)PB BC =-=-.设平面PBC 的法向量为(,,)m x y z =，那么(,,)(1,1,2)0(,,)(1,1,0)0m PB x y z m BC x y z ⎧⋅=⋅-=⎪⎨⋅=⋅-=⎪⎩即20,0,x y z x y ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩解得,2,y x z x =⎧⎪⎨=⎪⎩令1x =，得1,2,y z =⎧⎪⎨=⎪⎩所以平面PBC 的一个法向量为(1,1,2)m =. 设平面ABP 的法向量为(,,)n x y z =，(,,)(0,1,0)0(,,)(1,1,0n AB x y z n PB x y z ⎧⋅=⋅=⎪⎨⋅=⋅-=⎪⎩ ，据此可得01x y z ⎧=⎪=⎨⎪=⎩， 那么平面ABP 的一个法向量为()2,0,1n =，cos ,3m n <>==，于是3sin ,3m n 〈〉=. 故二面角APB C --〔3〕设存在点Q 满足条件.由1,0,,(0,22F E ⎛ ⎝⎭， 设(01)FQ FE λλ=，整理得1,22Q λλ⎛-⎝⎭， 那么1),21,22BQ λλλ⎛⎫++=-- ⎪ ⎪⎝⎭. 因为直线BQ 与平面BCP 所成角的大小为6π， 所以1sin |cos ,|||62||||2BQ m BQ m BQ m π⋅====⋅解得21λ=，由01λ知1λ=，即点Q 与E 重合.故在线段EF 上存在一点Q ，且FQ EF ==. 【点睛】此题的核心在考察空间向量的应用，需要注意以下问题：(1)求解此题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进展向量运算，要认真细心，准确计算．(2)设,m n 分别为平面α，β的法向量，那么二面角θ与,m n <>互补或者相等.求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．32()1(0,)f x x ax bx a b R =+++>∈有极值，且导函数'()f x 的极值点是()f x 的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)〔1〕求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域；〔2〕假设()f x ，'()f x 这两个函数的所有极值之和不小于7-2，务实数a 的取值范围． 【答案】〔1〕b ＝2239a a+〔a ＞3〕；〔2〕〔3，6] 【解析】【分析】〔1〕求导得到g 〔x 〕＝f ′〔x 〕＝3x 2+2ax +b ，计算函数单调性，故f 〔﹣3a 〕＝0，计算得到b ＝2239a a+，再计算a ＞3得到答案. 〔2〕f ′〔x 〕的极小值为f ′〔﹣3a 〕＝b ﹣23a ，设x 1，x 2是y ＝f 〔x 〕的两个极值点，那么x 1+x 2＝23a -，x 1x 2＝3b ，f 〔x 1〕+f 〔x 2〕＝3427a ﹣23ab +2，得到所以b ﹣23a +3427a ﹣23ab +2≥﹣72，解得答案. 【详解】〔1〕因为f 〔x 〕＝x 3+ax 2+bx +1，所以g 〔x 〕＝f ′〔x 〕＝3x 2+2ax +b ， g ′〔x 〕＝6x +2a ，令g ′〔x 〕＝0，解得x ＝﹣3a ． 由于当x ＞﹣3a 时g ′〔x 〕＞0，g 〔x 〕＝f ′〔x 〕单调递增； 当x ＜﹣3a 时g ′〔x 〕＜0，g 〔x 〕＝f ′〔x 〕单调递减； 所以f ′〔x 〕的极小值点为x ＝﹣3a ，由于导函数f ′〔x 〕的极值点是原函数f 〔x 〕的零点，所以f 〔﹣3a 〕＝0，即﹣33279a a +﹣3ab +1＝0，所以b ＝2239a a+〔a ＞0〕． 因为f 〔x 〕＝x 3+ax 2+bx +1〔a ＞0，b ∈R 〕有极值，所以f ′〔x 〕＝3x 2+2ax +b ＝0有实根，所以4a 2﹣12b ＞0，即a 2﹣223a ﹣9a ＞0，解得a ＞3，所以b ＝2239a a +〔a ＞3〕． 〔2〕f ′〔x 〕的极小值为f ′〔﹣3a 〕＝b ﹣23a ， 设x 1，x 2是y ＝f 〔x 〕的两个极值点，那么x 1+x 2＝23a -，x 1x 2＝3b ， 所以f 〔x 1〕+f 〔x 2〕＝31x +32x +a 〔21x +22x 〕+b 〔x 1+x 2〕+2 ＝〔x 1+x 2〕[〔x 1+x 2〕2﹣3x 1x 2]+a [〔x 1+x 2〕2﹣2x 1x 2]+b 〔x 1+x 2〕+2＝3427a ﹣23ab +2， 又因为f 〔x 〕，f ′〔x 〕这两个函数的所有极值之和不小于﹣72， 所以b ﹣23a +3427a ﹣23ab +2＝3a ﹣29a ≥﹣72，因为a ＞3，所以2a 3﹣63a ﹣54≤0， 所以2a 〔a 2﹣36〕+9〔a ﹣6〕≤0，所以〔a ﹣6〕〔2a 2+12a +9〕≤0，由于a ＞3时2a 2+12a +9＞0，所以a ﹣6≤0，解得a ≤6，所以a 的取值范围是〔3，6]．【点睛】此题考察了函数的极值点和零点，根据极值之和求参数，意在考察学生的综合应用才能.。

江苏省苏州市中学2020-2021学年高二数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. “”是“椭圆焦距为”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件参考答案：A略2. 已知抛物线x=4y2上一点P（m，1），焦点为F．则|PF|=（）A．m+1 B．2 C．D．参考答案：D【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出m，利用点P到抛物线焦点的距离等于它到准线的距离，点P到抛物线的准线的距离为4+，从而得到结论．【解答】解：∵抛物线x=4y2上一点P（m，1），∴m=4，由抛物线的定义可得，点P到抛物线焦点的距离等于它到准线的距离，点P到抛物线的准线的距离为4+=4+=，故选D．【点评】本题考查抛物线的定义、标准方程，体现了转化的数学思想，利用抛物线的定义是解题的关键．3. 一束光线从点出发，经x轴反射到圆上的最短路径是（）A．4 B．5C． D．参考答案：A略4. 下面对算法描述正确的一项是：（）A．算法只能用自然语言来描述 B．算法只能用图形方式来表示C．同一问题可以有不同的算法 D．同一问题的算法不同，结果必然不同参考答案：C 解析：算法的特点：有穷性，确定性，顺序性与正确性，不唯一性，普遍性5. 在梯形ABCD中，∠ABC=，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2，将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）A．B．C．D．2π参考答案：C【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】画出几何体的直观图，利用已知条件，求解几何体的体积即可．【解答】解：由题意可知几何体的直观图如图：旋转体是底面半径为1，高为2的圆柱，挖去一个相同底面高为1的倒圆锥，几何体的体积为： =．故选：C．6. 抛物线的焦点坐标为（）．A．B．C．D．参考答案：D∵抛物线方程的焦点坐标为，∴抛物线的焦点坐标是．故选．7. 下列命题：①至少有一个x使x2＋2x＋1＝0成立；②对任意的x都有x2＋2x＋1＝0成立；③对任意的x都有x2＋2x＋1＝0不成立；④存在x使x2＋2x＋1＝0成立．其中是全称命题的有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．0个参考答案：B8. 已知函数，其中为自然对数的底数，若关于的方程，有且只有一个实数解，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.参考答案：B略9. 下列有关命题的说法中错误的是A．在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等 .B．一个样本的方差是，则这组数据的总和等于60. C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越差.D．对于命题使得＜0，则，使.参考答案：C10. 设y1=40.9，y2=80.48，y3=，则（）A．y3＞y1＞y2 B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y3＞y2 D．y1＞y2＞y3参考答案：C【考点】4B：指数函数的单调性与特殊点．【分析】化简这三个数为2x的形式，再利用函数y=2x在R上是增函数，从而判断这三个数的大小关系．【解答】解：∵ =21.8， =（23）0.48=21.44， =21.5，函数y=2x在R上是增函数，1.8＞1.5＞1.44，∴21.8＞21.5＞21.44，故y1＞y3＞y2，故选C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若“”是“”的必要不充分条件，则m的取值范围是__________参考答案：(－∞,－2]【分析】解出的等价条件，根据必要不充分的定义得到关于的不等式，求解即可。

数学试题一、单选题（共8题，每题5分，共40分） 1．复数2i -的虚部为（ ） A ．2 B ．1 C ．-1 D ．-i2．已知函数()f x 可导，则()()11limx f x f x∆→-∆--∆等于（ ）A ．()'1fB ．不存在C ．()1'13f D ．以上都不对 3．将4个不同的文件发往3个不同的邮箱地址，则不同的方法种数为（ ） A 43B. 34C.24D. 44．函数f （x ）1lnxx =+的图象大致是（ ） A ．B ．C ．D ．5．已知()()21xf x e xf =+'，则()0f '等于（ ）A ．12e +B ．12e -C ．2e -D ．2e6．已知函数()29ln 3f x x x x =-+在其定义域内的子区间()1,1m m -+上不单调,则实数m 的取值范围为( )A ．13,22⎛⎫⎪⎝⎭B ．31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．51,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．51,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭7．如图，在底面边长为4，侧棱长为6的正四棱锥P ABCD -中，E 为侧棱PD 的中点，则异面直线PB 与CE 所成角的余弦值是（ ） A 34B ．3417C 5173178．e 为自然对数的底数，已知函数()1,18ln 1,1xx f x x x ⎧+<⎪=⎨⎪-≥⎩，则函数()y f x ax =-有唯一零点的充要条件是（ ） A ．1a <-或21a e =或98a > B ．1a <-或2118a e≤≤C ．1a >-或2198a e<< D ．1a >-或98a > 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9．已知函数3211()1()32f x ax x x a R =+++∈，下列选项中可能是函数()f x 图像的是（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知i 为虚数单位，下列说法中正确的是（ ）A ．若复数z 满足||5z i -=z 对应的点在以(1,0)5为半径的圆上B ．若复数z 满足||28z z i +=+，则复数158z i =+C ．复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模D ．复数1z 对应的向量为1OZ u u u u v ，复数2z 对应的向量为2OZ u u u u v ，若1212z z z z +=-，则12OZ OZ ⊥u u u u v u u u u v11．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，点,,E F G 分别棱楼111,,AB AA C D 的中点，下列结论中正确的是（ ） A ．四面体11ACB D 的体积等于312a B ．1BD ⊥平面1ACB ；C ．11//B D 平面EFG D ．异面直线EF 与1BD 2 12．已知函数()ln xf x e a x =+,其中正确结论的是( )A ．当0a =时,函数()f x 有最大值.B ．对于任意的0a <,函数()f x 一定存在最小值.C ．对于任意的0a >,函数()f x 是()0,∞+上的增函数.D ．对于任意的0a >,都有函数()0f x >.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若复数z 满足(1＋2i)z ＝－3＋4i(i 是虚数单位)，则z ＝________.14．若各棱长均为1的正六棱柱的12个顶点都在球O 上，则球O 的表面积为____15．函数e x y mx =-在区间(]03,上有两个零点，则m 的取值范围是_________． 16．已知函数()()2ln 2f x x x x x a =+-（a R ∈）.若存在[]1,3x ∈，使得()()f x xf x '>成立，则实数a 的取值范围是______.四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）已知复数z ＝a 2－a －6＋a 2＋2a －15a 2－4i ，分别求出满足下列条件的实数a 的值：(1)z 是实数；(2)z 是虚数；(3)z 是0.18．（12分）已 ，证明不等式：.19．（12分）已知函数．（1）若函数在上是增函数，求实数a 的取值范围； （2）若函数在上的最小值为3，求实数的值．20．（12分）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元.设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.(1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小，并求最小值.21．（12分）如图所示的几何体中，PD 垂直于梯形ABCD 所在的平面，,2ADC BAD Fπ∠=∠=为PA 的中点，12,12PD AB AD CD ====，四边形PDCE 为矩形，线段PC 交DE 于点N .（1）求证：//平面DEF ；（2）求二面角A PB C --的正弦值；（3）在线段EF 上是否存在一点Q ，使得BQ 与平面BCP 所成角的大小为π6？若存在，求出FQ 的长；若不存在，请说明理由.22．（12分）函数),0(1)(23R b a bx ax x x f ∈>+++=有极值，且导函数)('x f 的极值点是)(x f 的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值) （1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域； （2）若)(x f ，)('x f 这两个函数的所有极值之和不小于27-，求实数a 的取值范围．数学一、单选题（共8题，每题5分，共40分） 1．复数2i -的虚部为（ ）【答案】C A ．2B ．1C ．-1D ．-i2．已知函数()f x 可导，则()()11limx f x f x∆→-∆--∆等于（ ）【答案】AA ．()'1fB ．不存在C ．()1'13f D ．以上都不对 3．将4个不同的文件发往3个不同的邮箱地址，则不同的方法种数为（ ） A 43 B. 34C.24D. 4【答案】A 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理，即可得答案.【详解】每一个文件都有三种不同的发法，共有34种不同方法. 故选：A . 4．函数f （x ）1lnxx =+的图象大致是（ ）【答案】C A ．B ．C ．D ．5．已知()()21xf x e xf =+'，则()0f '等于（ ）【答案】BA ．12e +B ．12e -C ．2e -D ．2e6．已知函数()29ln 3f x x x x =-+在其定义域内的子区间()1,1m m -+上不单调,则实数m 的取值范围为( ) 【答案】DA ．13,22⎛⎫⎪⎝⎭B ．31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．51,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．51,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭7．如图，在底面边长为4，侧棱长为6的正四棱锥P ABCD -中，E 为侧棱PD 的中点，则异面直线PB 与CE 所成角的余弦值是（ ）【答案】DA ．34B ．234C ．517D ．3178．e 为自然对数的底数，已知函数()1,18ln 1,1xx f x x x ⎧+<⎪=⎨⎪-≥⎩，则函数()y f x ax =-有唯一零点的充要条件是（ ）【答案】AA ．1a <-或21a e =或98a > B ．1a <-或2118a e≤≤ C ．1a >-或2198a e<< D ．1a >-或98a > 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9．已知函数3211()1()32f x ax x x a R =+++∈，下列选项中可能是函数()f x 图像的是（ ）【答案】BCDA ．B ．C ．D ．10．已知i 为虚数单位，下列说法中正确的是（ ）【答案】CDA ．若复数z 满足||5z i -=z 对应的点在以(1,0)5为半径的圆上B ．若复数z 满足||28z z i +=+，则复数158z i =+C ．复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模D ．复数1z 对应的向量为1OZ u u u u v ，复数2z 对应的向量为2OZ u u u u v，若1212z z z z +=-，则12OZ OZ ⊥u u u u v u u u u v11．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，点,,E F G 分别棱楼111,,AB AA C D 的中点，下列结论中正确的是（ ）【答案】BD A ．四面体11ACB D 的体积等于312a B ．1BD ⊥平面1ACB ；C ．11//B D 平面EFG D ．异面直线EF 与1BD 所成角的正切值为2212．已知函数()ln xf x e a x =+,其中正确结论的是( ) 【答案】BCA ．当0a =时,函数()f x 有最大值.B ．对于任意的0a <,函数()f x 一定存在最小值.C ．对于任意的0a >,函数()f x 是()0,∞+上的增函数.D ．对于任意的0a >,都有函数()0f x >.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若复数z 满足(1＋2i)z ＝－3＋4i(i 是虚数单位)，则z ＝___ 1＋2i_____. 14．若各棱长均为1的正六棱柱的12个顶点都在球O 上，则球O 的表面积为5π15．函数e xy mx =-在区间(]03,上有两个零点，则m 的取值范围是____ 3e e,3⎛⎤⎥⎝⎦_．16．已知函数()()2ln 2f x x x x x a =+-（a R ∈）.若存在[]1,3x ∈，使得()()f x xf x '>成立，则实数a 的取值范围是______. 5,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知复数z ＝a 2－a －6＋a 2＋2a －15a 2－4i ，分别求出满足下列条件的实数a 的值：(1)z 是实数；(2)z 是虚数；(3)z 是0. 解 由a 2－a －6＝0，解得a ＝－2或a ＝3. 由a 2＋2a －15＝0，解得a ＝－5或a ＝3. 由a 2－4≠0，解得a ≠±2. (1)由a 2＋2a －15＝0且a 2－4≠0， 得a ＝－5或a ＝3，∴当a ＝－5或a ＝3时，z 为实数. (2)由a 2＋2a －15≠0且a 2－4≠0， 得a ≠－5且a ≠3且a ≠±2，∴当a ≠－5且a ≠3且a ≠±2时，z 是虚数.(3)由a 2－a －6＝0且a 2＋2a －15＝0，且a 2－4≠0，得a ＝3， ∴当a ＝3时，z ＝0.18．（12分）已 ，证明不等式：.作差构造函数19．（12分）已知函数f (x )=ln x +2ax ,a∈R ． （1）若函数在上是增函数，求实数的取值范围； （2）若函数在上的最小值为3，求实数的值． （1）1（2）（3）a =e20.（12分）如图所示的几何体中，PD 垂直于梯形ABCD 所在的平面，,2ADC BAD F π∠=∠=为PA 的中点，12,12PD AB AD CD ====，四边形PDCE 为矩形，线段PC 交DE 于点N . （1）求证：AC P 平面DEF ； （2）求二面角A PB C --的正弦值；（3）在线段EF 上是否存在一点Q ，使得BQ 与平面BCP 所成角的大小为π6？若存在，求出FQ 的长；若不存在，请说明理由.（1）因为四边形PDCE 为矩形，所以N 为PC 的中点.连接FN ，在PAC V 中，,F N 分别为,PA PC 的中点，所以FN AC ∥， 因为FN ⊂平面DEF ，AC ⊄平面DEF ， 所以AC P 平面DEF .（2）易知,,DA DC DP 两两垂直，如图以D 为原点，分别以,,DA DC DP 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系.则2),(1,0,0),(1,1,0),(0,2,0)P A B C ，所以(1,1,2),(1,1,0)PB BC ==-u u u r u u u r.设平面PBC 的法向量为(,,)m x y z =r，则(,,)(1,1,2)0(,,)(1,1,0)0m PB x y z m BC x y z ⎧⋅=⋅-=⎪⎨⋅=⋅-=⎪⎩u u u v r u u u v r 即20,0,x y z x y ⎧+-=⎪⎨-+=⎪⎩解得,2,y x z x =⎧⎪⎨=⎪⎩令1x =，得1,2,y z =⎧⎪⎨=⎪⎩所以平面PBC 的一个法向量为2)m =r. 设平面ABP 的法向量为(,,)n x y z =r，(,,)(0,1,0)0(,,)(1,1,2)0n AB x y z n PB x y z ⎧⋅=⋅=⎪⎨⋅=⋅=⎪⎩u u uv r u u uv r ，据此可得 201x y z ⎧=⎪=⎨⎪=⎩， 则平面ABP 的一个法向量为)2,0,1n =r，226cos ,311221m n <>==++⋅+u r r ，于是3sin ,3m n 〈〉=r r. 故二面角A PB C --3（3）设存在点Q 满足条件.由12,0,,(0,2)22F E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，设(01)FQ FE λλ=u u u r u u u r &剟，整理得1),2,22Q λλλ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭， 则.因为直线BQ 与平面BCP 所成角的大小为6π，所以1sin |cos ,|||62||||BQ m BQ m BQ m π⋅====⋅u u u r u ru u u r u r u u ur u r 解得21λ=，由01λ剟知1λ=，即点Q 与E 重合. 故在线段EF 上存在一点Q，且FQ EF ==. cos ,5||||n CD n CD n CD ⋅<>==-r uu u rr uu u r r uu u r∴二面角P AG C --的平面角的余弦值为5-.…………12分21．（12分）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元.设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.(1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小，并求最小值. 解 (1)由题设知，每年能源消耗费用为C (x )＝k 3x ＋5，再由C (0)＝8，得k ＝40，因此C (x )＝403x ＋5，而建造费用为C 1(x )＝6x .因此得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为 f (x )＝20C (x )＋C 1(x )＝20×403x ＋5＋6x ＝8003x ＋5＋6x (0≤x ≤10).(2)f ′(x )＝6－ 2 400(3x ＋5)2. 令f ′(x )＝0，即 2 400(3x ＋5)2＝6， 解得x ＝5，x ＝－253(舍去). 当0<x <5时，f ′(x )<0；当5<x <10时，f ′(x )>0，故当x ＝5时，f (x )取到最小值，对应的最小值为f (5)＝6×5＋80015＋5＝70. 所以当隔热层修建5 cm 厚时，总费用达到最小值70万元.22．（12分）函数),0(1)(23R b a bx ax x x f ∈>+++=有极值，且导函数)('x f 的极值点是)(x f 的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)（1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域；（2）若)(x f ，)('x f 这两个函数的所有极值之和不小于27-，求实数a 的取值范围．解：(1) 由f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋1，得f′(x)＝3x 2＋2ax ＋b ＝3(x ＋a 3)2＋b －a 23.令g(x)＝3x 2＋2ax ＋b ，则g′(x)＝6x ＋2a ，令g′(x)＝0，解得x ＝－a 3.当x>－a 3时，g ′(x)>0，g(x)＝f′(x)单调递增，当x<－a 3时，g ′(x)<0，g(x)＝f′(x)单调递减，所以f′(x)的极小值点为x ＝－a 3.因为f′(x)的极值点是f(x)的零点，所以f(－a 3)＝－a 327＋a 39－ab 3＋1＝0， 又a>0，故b ＝2a 29＋3a .因为f(x)有极值，故f′(x)＝0有实根，从而b －a 23＝19a (27－a 3)≤0，即a ≥3.当a ＝3时，f ′(x)>0(x ≠－1)，故f(x)在R 上是增函数，f(x)没有极值，当a>3时，f ′(x)＝0有两个相异的实根x 1＝－a －a 2－3b 3，x 2＝－a ＋a 2－3b 3. 列表如下：故f(x)的极值点是x 1，x 2.从而a ＞3.因此b ＝2a 29＋3a ，定义域为(3，＋∞)．(2) 由(1)知，f(x)的极值点是x 1，x 2，且x 1＋x 2＝－23a ，x 21＋x 22＝4a 2－6b 9.从而f(x 1)＋f(x 2)＝x 31＋ax 21＋bx 1＋1＋x 32＋ax 22＋bx 2＋1＝x 13(3x 21＋2ax 1＋b)＋x 23(3x 22＋2ax 2＋b)＋13a(x 21＋x 22)＋23b(x 1＋x 2)＋2＝4a 3－6ab 27－4ab 9＋2＝0.记f(x)，f ′(x)所有极值之和为h(a)，因为f′(x)的极值为f′(－a 3)＝b －a 23＝－19a 2＋3a ，所以h(a)＝－19a 2＋3a ，a ＞3.因为h′(a)＝－29a －3a 2＜0，于是h(a)在(3，＋∞)上单调递减．因为h(6)＝－72，于是h(a)≥h(6)，故a ≤6.因此a 的取值范围是(3，6]．。

苏州市2020~2021学年第二学期期初学业质量阳光指标调研卷高三数学注意事项：学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1.本卷共6页，包含单项选择题（第1题～第8题）、多项选择题（第9题～第12题）、填空题（第13题～第16题）解答题（第17题～第22题）．本卷满分150分，答题时间为120分钟．答题结束后，请将答题卡交回。

2.答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡 的规定位置。

3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用 0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．一、选择题．本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.如图，阴影部分所表示的集合为A.A ∩(C U B)B.B ∩(C U A)C.A ∪(C U B)D.B ∪(C U A)2.已知复数z 满足iz=1-i(i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,2(a 1+a 3+a 5)+3(a 8+a 10)=60,则S 11的值为A.33B.44C.55D.664.古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说过：“美的线型和其他一切美的形体都必须有对称形式”．在中华传统文化里，建筑、器物、书法、诗歌、对联、绘画几乎无不讲究对称之美。

如清代诗人黄柏权的《茶壶回文诗》（如图）以连环诗的形式展现，20个字绕着茶壶成一圆环，不论顺着读还是逆着读，皆成佳作．数学与生活也有许多奇妙的联系，如2020年02月02日（20200202)电元被称为世界完全对称日（公历纪年日期中数字左右完全对称的日期）数学上把20200202这样的对称数叫回文数，两位数的回文数共有9个（11,22,...,99),则在三位数的回文数中，出现奇数的概率为A. 13 B. 49 C. 59 D. 235.如图，在斜坐标系xOy 中，x 轴、y 轴相交成60°角，e 1,e 2分别是与x 轴、y 轴正方向同向的单位向量，若向量OP =xe 1+ye 2,则称有序实数对（x,y)为向量OP 的坐标，记作OP =(x,y).在此斜坐标系xOy 中，已知向量a =(2,3),b =(-5,2）,则a ,b 夹角的大小为A. 6πB. 3π C. 23π D. 56π6.已知函数y=f(x)和y=g(x)分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f(0)=-4,f(x)=g(x+2),则g(x)的解析式可以是 A.y=-4sin4x π B.y=4sin 2x π C.y=-4cos 4x π D.y=4cos 2x π 7.已知函数f(x)=2sin(2x+6π)，若α为锐角且f(2a )=65，则f(α+12π)的值为 A.- 4825 B.- 2425 C. 2425 D. 48258.我国南北朝时期的数学家祖暅在计算球的体积时，提出了一个原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高。

2020-2021学年江苏省苏州市昆山陆家中学高二数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若命题p：?a∈R，方程ax+1=0有解；命题q：?m＜0使直线x+my=0与直线2x+y+1=0平行，则下列命题为真的有（）A．p∧q B．p∨q C．（?p）∨q D．（?p）∧q参考答案：C【考点】2E：复合命题的真假．【分析】分别判断p，q的真假，从而判断复合命题的真假即可．【解答】解：命题p：?a∈R，方程ax+1=0有解，命题p是假命题，比如a=0时，不成立；命题q：?m＜0使直线x+my=0与直线2x+y+1=0平行，命题q是假命题，直线平行时，m=是正数，故（?p）∨q是真命题，故选：C．2. 有一段“三段论”，推理是这样的：对于可导函数，如果，那么是函数的极值点．因为在处的导数值，所以是函数的极值点．以上推理中 ( )A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.结论正确参考答案：A略3. 当时，关于函数，下列叙述正确的是：（）A、函数有最小值3B、函数有最大值3C、函数有最小值4D、函数有最大值4参考答案：C4. 某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k值是（）A．5 B．6 C．7 D．8参考答案：C【考点】程序框图．【分析】执行程序框图，写出每次循环得到的S，k的值，当S=126，K=7时不满足条件S＜100，输出K的值为7．【解答】解：执行程序框图，有k=1，S=0满足条件S＜100，S=2，K=2；满足条件S＜100，S=6，K=3；满足条件S＜100，S=14，K=4；满足条件S＜100，S=30，K=5；满足条件S＜100，S=62，K=6；满足条件S＜100，S=126，K=7；不满足条件S＜100，输出K的值为7．故选：C．5. 重庆市2013年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如，则这组数据的中位数是( )A．19 B．20 C．21.5 D．23参考答案：B【考点】茎叶图．【专题】概率与统计．【分析】根据中位数的定义进行求解即可．【解答】解：样本数据有12个，位于中间的两个数为20，20，则中位数为，故选：B【点评】本题主要考查茎叶图的应用，根据中位数的定义是解决本题的关键．比较基础．6. 的展开式中的系数为A. 4B. 6C. 10D. 20参考答案：B解析：由通项公式得7. 的展开式中常数项为（）A、-40B、-10C、10D、40参考答案：D8. 设曲线y=x2上任一点（x，y）处的切线的斜率为g（x），则函数h（x）=g（x）cosx 的部分图象可以为（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】函数的图象．【分析】先研究函数y=g（x）cos x的奇偶性，再根据在某点处的函数值的符号进一步进行判定【解答】解：g（x）=2x，g（x）?cosx=2x?cosx，g（﹣x）=﹣g（x），cos（﹣x）=cosx，∴y=g（x）cosx为奇函数，故排除：B、D．令x=0.1，h（x）＞0．故排除：C．故选：A9. 函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是()．A．m＝－2 B．m＝2 C．m＝－1 D．m＝1参考答案：A略10. 节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒的概率是（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】CF：几何概型．【分析】设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x，y，由题意可得0≤x≤4，0≤y≤4，要满足条件须|x﹣y|≤2，作出其对应的平面区域，由几何概型可得答案．【解答】解：设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x，y，由题意可得0≤x≤4，0≤y≤4，它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒，则|x ﹣y|≤2， 由几何概型可得所求概率为上述两平面区域的面积之比，由图可知所求的概率为： =故选C二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数，其中，，且在上的导数满足，则不等式的解集为．参考答案：12.表示不超过实数的最大整数，如 在平面上由满足的点所形成的图形的面积是．参考答案：1213. A ，B ，C ，D ，E 等5名同学坐成一排照相，要求学生A ，B 不能同时坐在两旁，也不能相邻而坐，则这5名同学坐成一排的不同坐法共有 种．（用数学作答）参考答案：60【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】先排C ，D ，E 学生，有A 33种坐法，A ，B 不能同时坐在两旁，也不能相邻而坐，有A 42﹣A 22种坐法，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：先排C ，D ，E 学生，有A 33种坐法，A ，B 不能同时坐在两旁，也不能相邻而坐，有A 42﹣A 22种坐法， 则共有A 33（A 42﹣A 22）=60种坐法． 故答案为60．14. 与圆外切，且与y 轴相切的动圆圆心的轨迹方程为或 ．参考答案：，解析： 由圆锥曲线的定义，圆心可以是以(2,0)为焦点、为准线的抛物线上的点；若切点是原点，则圆心在x 轴负半轴上．所以轨迹方程为，或15. （1）在如图所示的流程图中，输出的结果是 ． (2） -----右边的流程图最后输出的的值是 ．(3）下列流程图中，语句1（语句1与无关）将被执行的次数为 ．(4）右图给出的是计算的值的一个流程图，其中判断框内应填入的条件是 。

江苏省苏州中学2020-2021学年暑期自主学习质量评估 高二数学2021.7.31，13：00-15：00本试卷满分150分，考试时间120分钟 一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合{}1,2A =，{}2,3B a a =+，若{}1AB =，则实数a 的值为（）A. B.0 C.1D.22.若复数z 满足()12i 34i z +=-，则z 的实部为（） A.1B.1-C.2D.2-3.已知函数()f x 关于直线2x =-对称，且周期为2，当[]3,2x ∈--时，2()(2)f x x =+，则5()2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭A.0B.14C.116D.14.双曲线2212523x y -=的两个焦点为1F ，2F ，双曲线上一点P 到1F 的距离为8，则点P 到2F 的距离为（） A.2或12B.2或18C.18D.25.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项10a >，公差0d <，10210a S <，则n S 最大时，n 的值为（） A.11B.10C.9D.86.将函数()ln 1y x =+（x ≥0）的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角θ（(]0,θα∈），得到曲线C ，若对于每一个旋转角θ，曲线C 都仍然是一个函数的图象，则α的最大值为（）A.πB.2πC.3πD.4π7.直线3450x y -+=关于直线0x y +=对称的直线方程为()A.4350x y --=B.4350x y ++=C.4350x y +-=D.4350x y -+=8.若关于x 的不等式e 20xx ax a -+<的非空解集中无整数解，则实数a 的取值范围是（）A.221,5e 3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.1,3e 4e ⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭C.1,e 3e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.4e ⎤⎥⎣⎦二、多选题（本大题共4小题，共20.0分） 9.0a b <<，下列不等式中成立的是（） A.1ba< B.11a b< C.a b >- D.22b a >10.对于任意向量a ，b ，c ，下列命题正确的是（） A.若//a b ，//b c ，则//a c B.若a b b c ⋅=⋅，则a c = C.若a b =，b c =，则a c = D.若a b a b -=+，则0a b ⋅= 11.下列叙述正确的是（）A.线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越弱；反之，线性相关性越强B.在回归直线方程ˆ0.20.8yx =-+中，当变量x 每增加1个单位时，预报变量y 平均减少0.2个单位C.若ˆybx a =+的斜率0b >，则变量x 与y 正相关 D.某学校有男教师60名、女教师40名，为了解教师的体育爱好情况，在全体教师中利用分层抽样抽取20名调查，则男教师应抽取12名12.信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量$X$所有可能的取值为1，2，…，n ，且()0i P X i p ==>（1,2,,i n =⋅⋅⋅），11ni i p ==∑，定义X 的信息熵21()log ni i i H X p p ==-∑（） A.若1n =，则()0H x =B.若2n =，则()H x 随着的i p 增大而增大C.若1i p n=（1,2,,i n =⋅⋅⋅），则()H x 随着n 的增大而增大 D.若2n m =，随机变量Y 的所有可能取值为1，2，…，m ，且()21j m j P Y j p p +-==+，（1,2,,j n =⋅⋅⋅）则()()H X H Y ≤ 三、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13.已知cos 2cos()2πααπ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，则cos 2α=______.14.分别从集合{}1,2,3M =和集合{}4,5,6N =中各取一个数，则这两个数之和为偶数的概率为______.15.已知函数31,1,(),1x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩若()01f x =-，则0x =______；若关于x 的方程()f x k =有两个不同零点，则实数k 的取值范围是______.16.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>1的直线过(,0)M b 且与椭圆交于A ，B两点，O 为坐标原点，若325tan OA OB AOB⋅=∠，则椭圆的标准方程是______.四、解答题（本大题共6小题，共70分）17.在①3sin 4cos c A a C =，②2sin sin 2A Bb B +=这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，然后解答补充完整的题.在ABC △中，角A ，B ，C ，的对边分别为a ，b ，c ，已知______（只需序号），c =.（1）求sin C . （2）M 为AC 边上一点，MA MB =，2CBM π∠=，求ABC △的面积.18.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC ∠为直角，2BC =，14CC =，D 为1CC 的中点.（1）求证：平面11A B D ⊥平面ABD ； （2）若异面直线11A B 与AC，求三棱锥1B A AD -的体积. 19.已知数列{}n a 是等差数列，设n S （n *∈N ）为数列{}n a 的前n 项和，数列{}n b 是等比数列，0n b >，若13a =，11b =，3212b S +=，5232.a b a -=（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若2,,,,n n nn S c b n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数求数列{}n c 的前2n 项和.20.某公司为了了解顾客对其旗下产品的满意程度，随机抽取n 名顾客进行满意度问卷调查，按所得评分（满分100分）从低到高将满意度分为四个等级：并绘制如图所示的频率分布直方图.已知调查评分在[)70,80的顾客为400人.（1）求n 的值及频率分布直方图中t 的值；（2）据以往数据统计，调查评分在[)60,70的顾客购买该公司新品的概率为14，调查评分在[)70,80的顾客购买该公司新品的概率为13，若每个顾客是否购买该公司新品相互独立，在抽取的满意度等级为“一般”的顾客中，按照调查评分分层抽取3人试问在抽取的3人中，至少有一人购买该公司新品的概率为多少？（3）该公司设定的预案是：以抽取的样本作为参考，若顾客满意度评分的均值低于80分，则需要对该公司旗下产品进行调整，否则不需要调整根据你所学的统计知识，判断该公司是否需要对旗下产品进行调整，并说明理由.（每组数据以区间的中点值代替）21.已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别是1F ，2F ，122FF =，点P 为椭圆短轴的端点，且12PF F △（1）求椭圆的方程；（2）点31,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭是椭圆上的一点，1B ，2B 是椭圆上的两动点，且直线1BB ，2BB 关于直线1x =对称，试证明：直线12B B 的斜率为定值.22、已知函数2()xf x xe ax =-，其中 2.718e =⋅⋅⋅为自然对数的底数.（1）若函数()f x 在(1,(1))f 处的切线与直线220x y -+=垂直，求函数()f x 在(1,(1))f 处的切线方程.（2）若对任意的(0,)x ∈+∞，()11l 0n f x a x x x x +⎛⎫-+-≥ ⎪⎝⎭恒成立，求实数a 的取值范围.江苏省苏州中学2020-2021学年暑期自主学习质量评估 高二数学答案一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1.C 2.B3.B4.C解：由双曲线定义可知：28210PF a -==解得218PF =，2-（舍）∴点P 到2F 的距离为18，故选C. 5.B 解析：()121211121212a a S a ⨯+==，∵10a >，0d <，10210a S <⋅，∴10110a a <⋅，∴100a >，110a <，则n S 最大时，n 的值为10.故选B.6.D 解：11y x '=+，（1x >-）. 将函数()ln 1y x =+在原点的切线OM 的斜率1k =，4MOB π∠=.由图可知：当函数图象绕坐标原点逆时针方向旋转时，旋转的角θ大于2MOB π-∠时，旋转所得的图象与垂直于x 轴的直线就有两个交点，曲线C 都不是一个函数的图象，故θ的最大值是24MOB ππ-∠=.故选：D.7.D 解析：设直线3450x y -+=与直线0x y +=的交点为由题意可知3450,0,x y x y -+=⎧⎨+=⎩解得5,75,7x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即55,77A ⎛⎫- ⎪⎝⎭.取直线3450x y -+=上点()3,1B --，设点()3,1B --关于直线0x y +=的对称点为(),B x y '，则直线0x y +=垂直平分线段BB '，即(1)1,(3)310,22BB y k x x y '--⎧==⎪--⎪⎨-+-+⎪+=⎪⎩解得1,3x y =⎧⎨=⎩所以点()1,3B '直线AB '方程为5373(1)517y x --=---，即4350x y -+=，故选D. 8.B 解：设()x g x xe =，()2f x ax a =-，由题意可得()xg x xe =在直线()2f x ax a =-下方，()(1)x x g x e '=+，()2f x ax a =-恒过定点1,02⎛⎫⎪⎝⎭，设直线与曲线相切于(,)m n ，可得2(1)m a m e =+，2m me am a =-，消去a ，可得2210m m --=，解得1m =（舍去）或12-，则切线的斜率为121212a e -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，解得a =，又由题设原不等式无整数解，由图象可得当1x =-时，1(1),(1)3g e f a --=--=-，由(1)(1)f g -=-，可得13a e =，由直线绕着点1,02⎛⎫⎪⎝⎭旋转，可得13a e <≤，故选：B. 二、多选题（本大题共4小题，共20.0分） 9.AC解：由0a b <<，可得1b a <，故A 正确；由0a b <<，可得11a b>，故B 错误；由0a b <<可得0a b ->->，故a b >-，22a b >，故C 正确，D 错误.故选：AC.10.CD 解：若//a b ，//b c ，则//a c ，如果0b =，则a ，c ，可以是任意向量，所以A 不正确；若a b b c ⋅=⋅，则a c =，显然不正确，反例：0b =，则a ，c ，可以是任意向量，所以B 不正确.若a b =，b c =，则a c =，显然正确，C 正确；若a b a b -=+，如果a ，b 都是非零向量，说明以a 、b 为邻边的平行四边形是矩形，则0a b ⋅=，如果用零向量，也满足0a b ⋅=，所以D 正确；故选：CD. 11.BCD解：A ，线性相关系数r 的绝对值越大，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱，所以A 不正确；B ，在回归直线方程ˆ0.20.8yx =-+中，当变量x 每增加1个单位时，预报变量y 平均减少0.2个单位，所以B 正确；C ，若ˆybx a =+的斜率0b >，则变量x 与y 正相关，满足回归直线的性质，所以C 正确； D ，总体是由差异比较明显的男教师和女教师两部分组成，男教师60名、女教师40名，为了解教师的体育爱好情况，在全体教师中利用分层抽样抽取20名调查，则男教师应抽取12名.所以D 正确. 故选：BCD. 12.AC解：A 选项中，由题意知11p =，此时2()1log 10H X =-⨯=，故A 正确； B 选项中，由题意知121p p +=，且1(0,1)p ∈，()()121222121121()log log log 1log 1H X p p p p p p p p =--=----设22()log (1)log (1)f x x x x x =----，(0,1)x ∈则()222111log log (1)log 1ln 2ln 2f x x x x ⎛⎫'=--+-+=- ⎪⎝⎭，当1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<， 当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，故当110,2p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()H X 随着1p 的增大而增大，当11,12p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()H X 随着1p 的增大而减小，故B 错误；C 选项中，由题意知2211()log log H X n n n n ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭， 故()H X 随着n 的增大而增大，故C 正确. D 选项中，由题意知()()212211()log mjm j j m j j H Y pp p p +-+-==-++∑，()2222122111()log log log mmj j j j m j m j j j H X p p p p p p +-+-===-=-+∑∑，()()2121221222111()()log log log j m jj m jmmp p p pj m j j m j j j H X H Y p p p p +-+-++-+-==-=+-+∑∑()2121212121log j m jj m jp p mj m j p p j jm jp p pp +-+-++-=+-+=∑()()212121212121log jm jj m j p p mjm j jm j p p j jm jpp pp pp +-+-+-+-=+-++=∑21212121log 110jm jp p mm jj j j m j p p p p +-+-=+-⎛⎫⎛⎫=++> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑，故D 错误，故答案为AC.三、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13.35-解：∵cos 2cos()2πααπ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，∴sin 2cos αα=， ∴tan 2α=，∴222222cos sin 1tan 143cos 2sin cos tan 1415ααααααα---====-+++.故答案为35-. 14.49解：从集合{}1,2,3M =和集合{}4,5,6N =中各取一个数，基本事件共有339⨯=个，∵两数之和为偶数，∴两数中全是偶数或全是奇数，故基本事件有1与5，3与5，2与4，2与6，共有4个，∴两数之和为偶数的概率是49，故答案为49. 15.1-()0,1解析：解方程()01f x =-，得001,11,x x ≥⎧⎪⎨=-⎪⎩①0301,1x x <⎧⎪⎨=-⎪⎩②解①无解，解②得01x =-.关于x 的方程()f x k =有两个不同零点等价于()y f x =的图象与直线y k =有两个不同交点，观察图象可知：当01k <<时()y f x =的图象与直线y k =有两个不同交点，即()0,1k ∈.16.221164x y +=解：由题意ce a==，222b a c =-，可得224a b =， 所以椭圆的方程为：222214x y b b+=，由题意可得直线AB 的方程为：y x b =-，联立222214y x b x y b b =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得0,x y b =⎧⎨=-⎩或8535x b y b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 所以设(0,)OA b =-，83,55OB b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，35OA OB b ⋅=-，3cos bOA OB AOB OA OBb -⋅∠===⋅⋅， 所以8tan 33AOB ∠==-， 因为325tan OA OB AOB⋅=∠，所以3328553OA OB b ⋅=-=⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭，所以24b =， 所以椭圆的方程是为：221164x y +=. 故答案为：221164x y +=. 四、解答题（本大题共6小题，共70分） 17.解：（1）若选条件①，则答案为：在ABC △中，由正弦定理得3sin sin 4sin cos C A A C =，∵sin 0A ≠，∴3sin 4cos C C =，∴229sin 16cos C C =，又22sin cos 1C C +=，∴225sin 16C =，由题意知sin 0C >，∴4sin 5C =，…………4分 若选条件②，则答案为：∵2sinsin 2A Bb B +=， ∴2sinsin 2cb B π-=，∴2cos sin 2cb B =，由正弦定理得：2sin cos sin2cB c B =又sin 0B ≠，∴2cos 2cC =，∴2cos cos 222C CC=，∵cos02C≠，∴sin 2C =，∴sin2C =23cos 12sin 25C C =-=， ∴4sin 5C =…………4分 （2）如图，在ABC △中，设BM MA m ==，∵4cos cos cos sin 25BMA BMC C C π⎛⎫∠=-∠=--=-=- ⎪⎝⎭，∴在ABM △中，241825m m m m m ⎛⎫=+-⋅⋅-⇒= ⎪⎝⎭…………6分 ∴21133sin 52252EMA S m BMA =∠=⨯⨯=△，又在Rt CBM △中，3cos 5C =，4tan 3C =，BM 2CBM π∠=，∴43BM BC =，∴BC = ∴11528CBM BC BM S ⋅⋅==△， ∴278ABCBMA CEM S S S =+=△△△.…………10分 18.（1）证明：因为ABC ∠为直角，所以AB BC ⊥，又因为在直三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以1AB BB ⊥，1BB B BC =，BC ⊂平面11BCC B ，1BB ⊂平面11BCC B ，所以AB ⊥平面11BCC B ，，因为1B D ⊂平面11BCC B ，所以1AB D B ⊥，又因为D 是1CC 的中点，2BC =，14CC =，所以22211BD B D BB +=，即1B D BD ⊥，又因为AB B BD =，AB ⊂平面ABD ，BD ⊂平面ABD ，所以1B D ⊥平面ABD ，又因为1B D ⊂平面11A B D ，所以平面11A B D ⊥平面ABD ；……6分（2）解：因为11//A B AB ，所以BAC ∠是异面直线11A B 与AC 所成的角或补角，又因为ABC ∠是直角，2BC =，异面直线11A B 与AC ，所以3AB =，因为点D 到平面11ABB A 的距离等于点C 到平面11ABB A 的距离，所以 1111342432B ADAC ABA V V --==⨯⨯⨯⨯=，所以三棱锥1B A AD -的体积为4.…………12分 19.解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，则由3252312,2b S a b a +=⎧⎨-=⎩得2612,34232q d d q d ⎧++=⎨+-=+⎩，解得2,2,d q =⎧⎨=⎩或33d q =-⎧⎨=-⎩（舍）， 所以32(1)21n a n n =+-=+，…………2分12n n b -=，…………4分（Ⅱ）13a =，21n a n =+，得()2n S n n =+，则()12,,22,,n n n n n c n -⎧⎪+=⎨⎪⎩为奇数为偶数…………6分 即111,,22,,n n n c n n n -⎧-⎪=+⎨⎪⎩为奇数为偶数()()21321242n n n T c c c c c c -=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+()3211111112223352121n n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()21214112112114321n n n n +-+=-+=-+-+.…………12分 20.解：（1）由频率分布直方得，(0.0060.010.020.0249)101t t +++++⨯=，解得0.04t =，……2分因为调查评分在[)70,80的顾客为400人，且评分在[)70,80的频率为0.02100.2⨯=， 所以40020000.2n ==；…………4分 （2）调查评分在[)60,70的人数与评分在[)70,80的人数之比为1:2，因为按照调查评分分层抽取3人，所以评分在[)60,70的人数为1，评分在[)70,80的人数为2，没有一人购买该公司新品的概率为32214333⨯⨯=， 故在抽取的3人中，至少有一人购买该公司新品的概率为12133-=；…………8分 （3）由频率分布直方图可得，顾客满意度评分的均值为：450.04550.06650.1750.28590.04950.2480⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯+⨯=，由题意可知，不需要对该公司旗下产品进行调整…………12分21.（1）解：由已知122FF =得1c =，又12122PF F S b =⨯⨯=△b =所以2a ==. 所以椭圆的方程为22143x y +=.…………4分 （2）证明：已知点31,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，当直线1BB 斜率不存在时显然不满足题意，所以直线1BB 斜率存在， 设直线13:(1)2BB y k x -=-，即32y kx k =+-， 由于直线1BB ，2BB 关于直线1x =对称， 则直线23:2BB y kx k =-++， 设()111,B x y ，()222,B x y ， 联立223,2143y kx k x y ⎧=+-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 得()222344(32)41230k x k k x k k ++-+--=，…………6分 212412343k k x k --=+（方程有一解是1x =），同理222412343k k x k +-=+，…………8分 则122121B B y y k x x -=- 21213322kx k kx k x x ⎛⎫⎛⎫-++-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=- ()12212k k x x x x -+=-22286214324243k k k k k k --⋅+=+=， 所以直线12B B 的斜率为定值…………12分22.解：（1）因为()(1)2xx e x f x a '=+-，(1)222f e a '=-=-，所以1a e =+， 又()11f e a =-=-，所以()121y x +=--，即21y x =-+.…………3分（2）（ⅰ）由()1ln 10f x x a x x x +⎛⎫-+-≥ ⎪⎝⎭，得21ln 10x xe ax x a x x x -+⎛⎫-+-≥ ⎪⎝⎭对0x >恒成立，即ln 0x xe a x ax a ---≥对0x >恒成立，即(ln 1)0x xe a x x -++≥对0x >恒成立， 设()(ln 1)xh x xe a x x =-++即()0h x ≥对0x >恒成立， ①当0a =时，()x h x xe =>0对0x >恒成立，…………5分()1()(1)1(1)(1)x x x xe a a h x x e a x e x x x x -⎛⎫⎛⎫'=+-+=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭②当0a <时，()0h x '>，()h x 在()0,x ∈+∞上为增函数，当01x <<时，()(ln 1)(ln 2)x h x xe a x x e a x =-++<-+，22ln 20e e a a e h e e a e e a a --⎛⎫⎛⎫<-+=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，不合题意；…………8分 ③当0a >，设()x t x xe a =-在()0,x ∈+∞上为增函数，又()00t a =-<，()()10a a e t a -=>， 所以0(0,)x a ∃∈使()00t x =即00x x e a =，所以，当00x x <<时，()0t x <，()0h x '<，()h x 为减函数，当0x x >时，()0t x >，()0h x '>，()h x 为增函数，则当0x x =时，()()0min 0000()ln 1xh x h x x e a x x ==-++ ()0000ln 1(ln 1)0x x x e a x e a a a =-+=-+≥，所以ln 0a a ≤，因为0a >，所以01a <≤，…………11分综上01a ≤≤.…………12分。