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专题 恒成立存在性问题知识点梳理1、恒成立问题的转化：()a f x >恒成立⇒()max a f x >；()()min a f x a f x ≤⇒≤恒成立2、能成立问题的转化：()a f x >能成立⇒()min a f x >；()()max a f x a f x ≤⇒≤能成立3、恰成立问题的转化：()a f x >在M 上恰成立⇔()a f x >的解集为M ()()R a f x M a f x C M ⎧>⎪⇔⎨≤⎪⎩在上恒成立在上恒成立另一转化方法：若A x f D x ≥∈)(,在D 上恰成立，等价于)(x f 在D 上的最小值A x f =)(min ，若,D x ∈Bx f ≤)(在D 上恰成立，则等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max .4、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min min ≥5、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max max ≤6、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min max ≥7、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max min ≤8、若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象上方；9、若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象下方；题型一、常见方法1、已知函数12)(2+-=ax x x f ，xax g =)(，其中0>a ，0≠x ． 1）对任意]2,1[∈x ，都有)()(x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围；2）对任意]4,2[],2,1[21∈∈x x ，都有)()(21x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围；2、设函数b x x a x h ++=)(，对任意]2,21[∈a ，都有10)(≤x h 在]1,41[∈x 恒成立，求实数b 的取值范围．3、已知两函数2)(x x f =，m x g x-⎪⎭⎫ ⎝⎛=21)(，对任意[]2,01∈x ，存在[]2,12∈x ，使得()21)(x g x f ≥，则实数m 的取值范围为题型二、主参换位法(已知某个参数的范围，整理成关于这个参数的函数)1、对于满足2p ≤的所有实数p,求使不等式212x px p x ++>+恒成立的x 的取值范围。
高三数学专题——恒成立与存在性问题高三复专题——恒成立与存在性问题知识点总结：1.___成立问题：1) 若对于D中的任意x，都有f(x)>A，则f(x)的最小值>A；2) 若对于D中的任意x，都有f(x)<A，则f(x)的最大值<A；3) 若对于D中的任意x，都有f(x)>g(x)，则F(x)=f(x)-g(x)>0，因此F(x)的最小值>0；4) 若对于D中的任意x，都有f(x)<g(x)，则F(x)=f(x)-g(x)<0，因此F(x)的最大值<0；5) 若对于D中的任意x1和E中的任意x2，都有f(x1)>g(x2)，则f(x)的最小值>g(x)的最大值；6) 若对于D中的任意x1和E中的任意x2，都有f(x1)<g(x2)，则f(x)的最大值<g(x)的最小值。
2.存在性问题：1) 若存在D中的x，使得f(x)>A，则f(x)的最大值>A；2) 若存在D中的x，使得f(x)<A，则f(x)的最小值<A；3) 若存在D中的x，使得f(x)>g(x)，则F(x)=f(x)-g(x)，因此F(x)的最大值>0；4) 若存在D中的x，使得f(x)<g(x)，则F(x)=f(x)-g(x)，因此F(x)的最小值<0；5) 若存在D中的x1和E中的x2，使得f(x1)>g(x2)，则f(x)的最大值>g(x)的最小值；6) 若存在D中的x1和E中的x2，使得f(x1)<g(x2)，则f(x)的最小值<g(x)的最大值。
3.相等问题：1) 若对于D中的任意x1，存在E中的某个x2，使得f(x1)=g(x2)，则{f(x)}={g(x)}；4.___成立与存在性的综合性问题：1) 若对于D中的任意x1，存在E中的某个x2，使得f(x1)>g(x2)，则f(x)的最小值>g(x)的最小值；2) 若对于D中的任意x1，存在E中的某个x2，使得f(x1)<g(x2)，则f(x)的最大值<g(x)的最大值。
恒成立和存在性问题函数中经常出现恒成立和存在性问题，它能够很好地考察函数、不等式等知识以及转化与化归等数学思想，因此备受命题者青睐，在高考中频频出现，也是高考中的一个难点问题．例1已知函数f (x )＝ax 2－ln x (a 为常数)．(1) 当a ＝12时，求f (x )的单调减区间； (2) 若a <0，且对任意的x ∈[1，e]，f (x )≥(a －2)x 恒成立，求实数a 的取值范围．例2已知函数f (x )＝mx －a ln x －m ，g (x )＝e x e x ，其中m ，a 均为实数． (1) 求g (x )的极值；(2) 设m ＝1，a <0，若对任意的x 1，x 2∈[3,4](x 1≠x 2)，|f (x 2)－f (x 1)|<⎪⎪⎪⎪⎪⎪1g (x 2)－1g (x 1)恒成立，求a 的最小值．例3已知函数f (x )＝m ln x －12x (m ∈R)，g (x )＝2cos 2x ＋sin x ＋a . (1) 求函数f (x )的单调区间；(2) 当m ＝12时，对于任意x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e ，总存在x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，使得f (x 1)≤g (x 2)成立，求实数a 的取值范围．思维变式题组训练1. 已知函数(x ＋1)ln x －ax ＋a ≥0在x ∈[1，＋∞)恒成立，求a 的取值范围．2. 已知e 为自然对数的底数，函数f (x )＝e x －ax 2的图象恒在直线y ＝32ax 上方，求实数a 的取值范围．3. 已知函数f (x )＝(a ＋1)ln x ＋ax 2＋1.(1) 试讨论函数f (x )的单调性；(2) 设a <－1，如果对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，|f (x 1)－f (x 2)|≥4|x 1－x 2|，求实数a 的取值范围．强化训练一、 填空题1. 若当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则实数m 的取值范围是________．2. 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ －x 2＋2x ， x ≤0，ln (x ＋1)， x >0，若|f (x )|≥ax －1恒成立，则a的取值范围________．3. 设实数m ≥1，不等式x |x －m |≥m －2对∀x ∈[1,3]恒成立，则实数m 的取值范围是________．4. 已知函数f (x )＝ln x ＋(e －a )x －b ，其中e 为自然对数的底数．若不等式f (x )≤0恒成立，则b a的最小值为________．二、 解答题5. 已知函数f (x )＝(x ＋1)ln x －ax ＋a (a 为常数，且为正实数)．(1) 若f(x)在(0，＋∞)上单调递增，求a的取值范围；(2) 若不等式(x－1)f(x)≥0恒成立，求a的取值范围．6. 设函数f(x)＝x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的导函数为f(x)．已知x1，x2是f′(x)的2个不同的零点．(1) 证明：a2>3b；(2) 当b＝0时，若对任意x＞0，不等式f(x)≥x ln x恒成立，求a的取值范围．7. 已知函数f(x)＝x3＋bx2＋2x－1, 若对任意x∈[1,2]，均存在t∈(1,2]，使得e t－ln t－4≤f(x)－2x，试求实数b的取值范围．8. 已知函数f(x)＝ax2＋2ln x.记函数g(x)＝f(x)＋(a－1)ln x＋1，当a≤－2时，若对任意x1，x2∈(0，＋∞)，总有|g(x1)－g(x2)|≥k|x1－x2|成立，试求k 的最大值．9. 已知函数f(x)＝x－ln x－2.(1) 求曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程；(2) 若函数f(x)在区间(k，k＋1)(k∈N)上有零点，求k的值；(3) 若不等式(x－m)(x－1)x>f(x)对任意正实数x恒成立，求正整数m的取值集合．10. 若对任意实数k，b都有函数y＝f(x)＋kx＋b的图象与直线y＝kx＋b相切，则称函数f(x)为“恒切函数”．设函数g(x)＝a e x－x－pa，a，p∈R.(1) 试讨论函数g(x)的单调性；(2) 已知函数g(x)为“恒切函数”．①求实数p的取值范围；②当p取最大值时，若函数h(x)＝g(x)e x－m也为“恒切函数”，求证：0≤m<3 16.(参考数据：e3≈20)。
2016-2017学年度高三《恒成立存在性问题》专题讲义知识点梳理1、恒成立问题的转化：()a f x >恒成立⇒()max a f x >；()()min a f x a f x ≤⇒≤恒成立2、能成立问题的转化：()a f x >能成立⇒()min a f x >；()()max a f x a f x ≤⇒≤能成立3、恰成立问题的转化：()a f x >在M 上恰成立⇔()a f x >的解集为M ()()R a f x M a f x C M ⎧>⎪⇔⎨≤⎪⎩在上恒成立在上恒成立另一转化方法：若A x f D x ≥∈)(,在D 上恰成立，等价于)(x f 在D 上的最小值A x f =)(min ，若,D x ∈B x f ≤)(在D 上恰成立，则等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max .4、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min min ≥5、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max max ≤。
6、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()12=f x g x ，则()f x 在[]b a x ,1∈上的值域M 是()x g 在[]d c x ,2∈上的值域N 的子集。
即：M ⊆N 。
7、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min max ≥ 8、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max min ≤9、若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象上方；10、若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象下方；题型一、常见方法1、已知函数12)(2+-=ax x x f ，xax g =)(，其中0>a ，0≠x ． （1）对任意]2,1[∈x ，都有)()(x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围；（2）对任意]4,2[],2,1[21∈∈x x ，都有)()(21x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围；【分析：】（1）思路：等价转化为函数0)()(>-x g x f 恒成立，在通过分离变量，创设新函数求最值解决． （2）思路：对在不同区间内的两个函数)(x f 和)(x g 分别求最值，即只需满足)()(max min x g x f >即可．解：（1）由12012232++<⇒>-+-x xx a x a ax x 成立，只需满足12)(23++=x x x x ϕ的最小值大于a 即可．对12)(23++=x xx x ϕ求导，0)12(12)(2224>+++='x x x x ϕ，故)(x ϕ在]2,1[∈x 是增函数，32)1()(min ==ϕϕx ，所以a 的取值范围是320<<a ．（2）注意：含参的动轴定区间上的最值求法。
恒成立和存在性问题1 恒成立和存在性问题(1)单变量的恒成立问题①∀x∈D , f(x)<a恒成立，则f(x)max<a；②∀x∈D ,f(x)>a恒成立，则f(x)min>a；③∀x∈D , f(x)<g(x)恒成立，则F(x)=f(x)−g(x)<0 ∴f(x)max<0；④ ∀x∈D , f(x)>g(x)恒成立，则F(x)=f(x)−g(x)>0 ∴f(x)min>0;(2)单变量的存在性问题①∃x0∈D，使得 f(x0)<a成立，则 f(x)min<a；②∃x0∈D，使得 f(x0)>a成立，则f(x)max>a；③∃x0∈D，使得 f(x0)<g(x0)恒成立，则F(x)=f(x)−g(x)<0 ∴f(x)min<0；④ ∃x0∈D，使得f(x0)>g(x0)恒成立，则F(x)=f(x)−g(x)>0 ∴f(x)max>0;(3) 双变量的恒成立与存在性问题①∀x1∈D ,∃x2∈E，使得f(x1)<g(x2)恒成立，则f(x)max<g(x)max;②∀x1∈D ,∃x2∈E，使得f(x1)>g(x2)恒成立，则f(x)min>g(x)min;③∀x1∈D ,∀x2∈E ,f(x1)<g(x2)恒成立，则f(x)max<g(x)min;④∃x1∈D，∃x2∈E , 使得f(x1)<g(x2)恒成立，则f(x)min<g(x)max;(4) 相等问题①∃x1∈D ,∃x2∈E，使得f(x1)=g(x2)，则两个函数的值域的交集不为空集；②∀x1∈D ,∃x2∈E，使得f(x1)=g(x2)，则f(x)的值域⊆g(x)的值域2 解题方法恒成立和存在性问题最终可转化为最值问题，具体的方法有◆直接最值法◆分类参数法◆变换主元法◆数形结合法【题型一】恒成立和存在性问题的解题方法 1 直接构造函数最值法 【典题1】 设函数f(x)=3|x|x 2+9的最大值是a ，若对于任意的x ∈[0 ,2)，a >x 2−x +b 恒成立，则b 的取值范围是 .【解析】当x =0时，f(x)=0；当x ≠0时，f(x)=3|x|x 2+9=3|x|+9|x|≤2√9=12，则f (x )max =12，即a =12．由题意知x 2−x +b ＜12在x ∈[0 ,2)上恒成立， 即x 2−x +b −12＜0在x ∈[0 ,2)上恒成立 (∗)，(把不等式中12移到右边，使得右边为0，从而构造函数y =g (x )求最值) 令g (x )=x 2−x +b −12，则问题(∗)等价于在[0 ,2)上g(x)<0恒成立， 在x ∈[0 ,2)上， g (x )<g (2)=4－2+b −12=32+b ， ∴32+b ≤0 即b ≤−32． 【点拨】① 直接构造函数最值法：遇到类似不等式f (x )<g(x)恒成立问题，可把不等式变形为f (x )−g (x )<0，从而构造函数ℎ(x )=f (x )−g (x )求其最值解决恒成立问题； ② 在求函数的最值时，一定要优先考虑函数的定义域;③ 题目中y =g(x)在x ∈[0 ,2)上是取不到最大值，g (x )<g (2)=32+b ，而要使得g (x )<0恒成立，32+b可等于0，即32+b ≤0，而不是32+b <0.2 分离参数法【典题1】 已知函数f(x)=3x +8x +a 关于点(0 ,−12)对称，若对任意的x ∈[−1 ,1]， k ∙2x −f(2x )≥0恒成立，则实数k 的取值范围为 . 【解析】由y =3x +8x 为奇函数，可得其图象关于(0 ,0)对称，可得f(x)的图象关于(0 ,a)对称，函数f(x)=3x +8x +a 关于点(0 ,－12)对称，可得a =−12，对任意的x ∈[−1 ,1],k ∙2x −f(2x )≥0恒成立， ⟺∀x ∈[−1 ,1] ,k ∙2x －3∙2x +82x −12≥0恒成立，【思考：此时若利用最值法，求函数f (x )=k ∙2x －3∙2x +82x −12 ,x ∈[−1 ,1]的最小值，第一函数较复杂，第二函数含参要分离讨论，路漫漫其修远兮，务必另辟蹊径】 即k ∙2x ≥3∙2x +82x−12在x ∈[−1 ,1]恒成立，所以k ≥8(2x )2−122x+3，(使得不等式一边是参数k ，另一边不含k 关于x 的式子，达到分离参数的目的) 令t =12x ，由x ∈[−1 ,1]，可得t ∈[12 ,2]， 设ℎ(t )=8t 2−12t +3=8(t −34)2−32， 当t =2时，ℎ(t)取得最大值11， 则k 的取值范围是k ≥11， 【点拨】① 分离参数法：遇到类似k ⋅f (x )≥g (x )或k +f (x )≥g (x )等不等式恒成立问题，可把不等式化简为k >ℎ(x)或k < ℎ(x)的形式，达到分离参数的目的，再求解y =ℎ(x)的最值处理恒成立问题；② 恒成立问题最终转化为最值问题，而分离参数法，最好之处就是转化后的函数不含参，避免了麻烦的分离讨论.【典题2】 已知f (x )=log 2(1−a ⋅2x +4x )，其中a 为常数 (1)当f (1)−f(0)=2时，求a 的值；(2)当x ∈[1 ,+∞)时，关于x 的不等式f (x )≥x −1恒成立，试求a 的取值范围； 【解析】(1)f (1)−f(0)=2⇒log 2(1−2a +4)－log 2(1−a +1)=log 24 ⇒log 2(5−2a)=log 24(2－a)⇒5−2a =8−4a ⇒a =32； (2)log 2(1−a ⋅2x +4x )≥x −1=log 22x−1 ⇒1−a ⋅2x +4x ≥2x−1⇒a ≤2x +12x −12， 令t =2x ，∵x ∈[1 ,+∞) ∴t ∈[2 ,+∞)， 设ℎ(t)=t +1t −12，则a ≤ℎ(t )min ,∵ℎ(t)在[2 ,+∞)上为增函数⇒t =2时，ℎ(t)=t +1t−12有最小值为2，∴a ≤2.【点拨】在整个解题的过程中不断的利用等价转化，把问题慢慢变得更简单些.3 变换主元法【典题1】对任意a ∈[−1 ,1]，不等式x 2+(a −4) x −2 a >0恒成立，求x 的取值范围.思考痕迹 见到本题中“x 2+(a −4) x −2 a >0恒成立”潜意识中认为x 是变量，a 是参数，这样会构造函数f (x )=x 2+(a −4) x −2 a ，而已知条件是a ∈[−1 ,1]，觉得怪怪的做不下去;此时若把a 看成变量，x 看成参数呢？【解析】因为不等式x 2+(a −4) x −2 a >0恒成立 ⇔不等式 (x −2) a +x 2−4 x >0恒成立...①， 令f(a)=(x −2) a +x 2−4 x ,若要使得①成立，只需要{f(−1)>0f(1)>0 ⇔{x 2−5 x +2>0 x 2−3 x −2>0解得x >5+√172或x <3−√172, 故x 的取值范围{x | x >5+√172或 x <3−√172}.【点拨】变换主元法，就是要分辨好谁做函数的自变量，谁做参数，方法是以已知范围的字母为自变量.4 数形结合法【典题1】已知a >0 ,f(x)=x 2−a x , 当x ∈(−1 ,1)时，有f(x)<12恒成立，求a 的取值范围.思考痕迹 本题若用直接最值法，去求函数f (x )=x 2−a x x ∈(−1 ,1)的最大值，就算用高二学到的导数求解也是难度很大的事情；用分离参数法呢？试试也觉得一个硬骨头.看看简单些的想法吧！ 【解析】 不等式x 2−a x <12 (x ∈(−1 ,1))恒成立 等价于x 2−12<a x (x ∈(−1 ,1))恒成立...①， 令f(x)=x 2−12 ,g(x)=a x ，若①成立，则当x ∈(−1 ,1)时，f(x)=x 2−12的图像恒在g(x)=a x 图像的下方，则需要{g(1)>f(1)g(−1)>f(−1)⇔{a >121a>12或a =1(不要漏了a =1，因为a >0，g (x )=a x 不一定是指数函数)又a >0 ,a ≠ 1，解得{a |12 <a <2 或a ≠ 1} , 即实数a 的取值范围为[12,2] 【点拨】① 数形结合法：∀x ∈D ,f (x )<g (x )恒成立⇒在x ∈D 上，函数y =f (x )的图像在函数y =g(x)图像的下方.② 遇到不等式ℎ(x)<0恒成立，可以把不等式化为f(x)<g(x)用数形结合法，而函数y=f(x)与y=g(x)最好是熟悉的函数类型，比如本题中构造出f(x)=x2−12,g(x)=a x两个常见的基本初级函数.【题型二】恒成立与存在性问题混合题型【典题1】已知函数f(x)=x3+1 ,g(x)=2−x−m+1．(1)若对任意x1∈[−1 ,3]，任意x2∈[0 ,2]都有f(x1)≥g(x2)成立，求实数m的取值范围．(2)若对任意x2∈[0 ,2]，总存在x1∈[−1 ,3]使得f(x1)≥g(x2)成立，求实数m的取值范围．【解析】(1)由题设函数f(x)=x3+1，g(x)=2−x−m+1．对任意x1∈[−1 ,3]，任意x2∈[0 ,2]都有f(x1)≥g(x2)成立，知：f(x1)min≥g(x2)max，∵f(x)在[−1 ,3]上递增，∴f(x1)min=f(−1)=0又∵g(x)在[0 ,2]上递减，∴g(x2)max=g(0)=2−m∴有0≥2−m，m的范围为[2 ,+∞)(2)由题设函数f(x)=x3+1，g(x)=2−x−m+1．对任意x2∈[0 ,2]，总存在x1∈[−1 ,3]，使得f(x1)≥g(x2)成立，知f(x1)max≥g(x2)max，∴有f(3)≥g(0)，即28≥2−m，∴M的范围为[−26 ,+∞)．【点拨】对于双变量的恒成立--存在性问题，比如第二问中怎么确定f(x1)max≥g(x2)max，即到底是函数最大值还是最小值呢？具体如下思考如下，先把g(x2)看成定值m，那∃x1∈[−1 ,3]，都有f(x1)≥m，当然是要f(x)max≥m；再把f(x1)看成定值n，那∀x2∈[0 ,2]，都有n≥g(x2)，当然是n≥g(x)max；故问题转化为f(x1)max≥g(x2)max.其他形式的双变量成立问题同理，要理解切记不要死背..【典题2】设f(x)=x 2x+1，g(x)=ax+3−2a(a>0)，若对于任意x1∈[0 ,1]，总存在x0∈[0 ,1]，使得g(x0)=f(x1)成立，则a的取值范围是．【解析】∵f(x)=x 2x+1，当x=0时，f(x)=0，当x ≠0时，f(x)=11x 2+1x=1(1x +12)2−14，由0<x ≤1，即1x ≥1，(1x +12)2−14≥2，∴0<f(x)≤12， 故0≤f(x)≤12，又因为g (x )=ax +3−2a(a >0)，且g (0)=3−2a ,g (1)=3−a ． 由g(x)递增，可得3－2a ≤g (x )≤3−a ，对于任意x 1∈[0 ,1]，总存在x 0∈[0 ,1]，使得g(x 0)=f(x 1)成立， 可得[0 ,12]⊆[3−2a ,3−a]，可得{3−2a ≤03−a ≥12，∴32≤a ≤52．巩固练习1(★★) 已知1+2x +a ∙4x >0对一切x ∈(−∞ ,1]上恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】 (−34 ,+∞)【解析】1+2x +4x•a >0可化为a >−1+2x4x =−2−2x −2−x ，令t ＝2－x ，由x ∈(－∞，1]，得t ∈[12，+∞)， 则a >－t 2－t ，－t 2－t =−(t +12)2+34在[12，+∞)上递减，当t =12时－t 2－t 取得最大值为−34，所以a >−34．故答案为：(−34，+∞)．2(★★) 若不等式2x −1>m(x 2−1)对满足|m|≤2的所有m 都成立，求x 的取值范围. 【答案】√7−12<x <√3+12【解析】令x m x m f 21)1()(2-+-=；不等式()2211x m x ->-对满足2m ≤的所有m 都成立⇔对任意22≤≤-m ，021)1(2<-+-x m x 恒成立⇔⎩⎨⎧<-->-+⇔⎩⎨⎧<<-012203220)2(0)2(22x x x x f f ，解得√7−12<x <√3+12。
